İkinci dereceden denklemlerin çözümünde özel durumlar. Matematikte bilimsel araştırma çalışmaları

Belediye bütçeli eğitim kurumu

"Ortalama ortaokul 64" Bryansk

Şehir bilimsel ve pratik konferansı

"Bilime ilk adımlar"

İlmi araştırma çalışması

"Üçüncü ve dördüncü derece denklemler için Viete teoremi"

Matematik

Tamamlayan: 11b sınıfı öğrencisi

Shanov Ilya Alekseevich

Bilimsel süpervizör:

matematik öğretmeni,

Fizik ve Matematik Adayı bilimler

Bykov Sergey Valentinoviç

Bryansk 2012

Giriş………………………………………………………………………………… 3

Amaçlar ve hedefler ……………………………………………………… 4

Kısa bilgi tarihsel arka plan ………………………………………… 4

İkinci dereceden denklem…………………………………………………. 5

Kübik denklem……………………………………………………………. 6

Dördüncü dereceden denklem ………………………………………… 7

Pratik kısım………………………………………………………. 9

Referanslar…………………………………………………… 12

Ek ……………………………………………………………… 13

giriiş

Cebirin temel teoremi, bir alanın cebirsel olarak kapalı olduğunu, başka bir deyişle, karmaşık katsayılı n'inci dereceden denklemlerin ( genel durum) alanın üzerinde tam olarak n var karmaşık kökler. Üçüncü dereceden denklemler Cordano formülü ile çözülür. Ferrari yöntemini kullanan dördüncü derece denklemler. Ayrıca cebir teorisinde kanıtlanmıştır ki eğer denklemin kökü ise aynı zamanda bu denklemin köküdür. İçin kübik denklem Aşağıdaki durumlar mümkündür:

üç kök de gerçektir;

iki kök karmaşıktır, biri gerçektir.

Bundan, herhangi bir kübik denklemin en az bir gerçek kökü olduğu sonucu çıkar.

Dördüncü dereceden bir denklem için:

Dört kök de farklıdır.

İki kök gerçek, ikisi karmaşıktır.

Dört kökün tümü karmaşıktır.

Bu çalışma Vieta teoreminin kapsamlı bir çalışmasına ayrılmıştır: formülasyonu, kanıtı ve bu teoremi kullanarak problemlerin çözümü.

Yapılan çalışmayla 11.sınıf öğrencilerine yardımcı olmak amaçlanıyor. Birleşik Devlet Sınavını geçmek ve daha basit ve daha basit olanlara kayıtsız olmayan genç matematikçiler için etkili yöntemlerçözümler çeşitli alanlar matematik.

Bu çalışmanın ekinde aşağıdaki sorunlara ilişkin bir derleme sunulmaktadır: bağımsız karar ve araştırdığım yeni materyalin konsolidasyonu.

Bu konu göz ardı edilemez çünkü matematik için, genel olarak bilim açısından, öğrenciler ve bu tür problemleri çözmekle ilgilenenler için önemlidir.

Çalışmanın amaç ve hedefleri:

Üçüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini edinin.

Üçüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini kanıtlayın.

Dördüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini elde edin.

Dördüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini kanıtlayın.

Bu soruların pratik problemlerin çözümüne uygulanmasını düşünün.

• Bu teoremin pratik olduğundan emin olun.

Derinleştir matematik bilgisi Denklem çözme alanında.

Matematiğe ilginizi geliştirin.

Kısa tarihsel arka plan

Şiirde söylenmeye haklı olarak layık

Köklerin özellikleri üzerine VIETTE TEOREMİ...

FRANCOIS VIET (1540-1603) - Fransız matematikçi. Mesleği gereği bir avukat. 1591'de tanıttı harf atamaları sadece bilinmeyen büyüklükler için değil aynı zamanda denklem katsayıları için de; Bu sayede ilk defa denklemlerin özellikleri ve köklerinin genel formüllerle ifade edilmesi mümkün hale geldi. 2., 3. ve 4. derece denklemlerin çözümü için tek tip bir yöntem oluşturmaktan sorumluydu. Keşifler arasında Viète'in kendisi özellikle denklemlerin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkinin kurulmasına çok değer verdi. Denklemlerin yaklaşık çözümü için sayısal katsayılar Vieth, Newton'un sonraki yöntemine benzer bir yöntem önerdi. Trigonometride François Viète şunu verdi: komple çözümÜç veriden bir düzlemin veya küresel üçgenin tüm elemanlarını belirleme problemi, cos'un önemli açılımlarını buldu nx ve günah nxçünkü cos'un güçleri X ve günah X.İlk kez sonsuz eserleri düşündü. Viet'in eserleri yazıldı zor dil ve bu nedenle zamanlarında hak ettiklerinden daha az dağıtım aldılar .

İkinci dereceden denklem

Öncelikle programda öğrendiğimiz Vieta'nın ikinci derece denklem formüllerini hatırlayalım. okul kursu eğitim.

T
Vieta teoremiikinci dereceden denklem için (8. sınıf)

e
eğer ve ikinci dereceden bir denklemin kökleri ise o zaman

yani indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, buradan alınan ikinci katsayıya eşittir. karşıt işaret ve köklerin çarpımı eşittir ücretsiz üye.

Ayrıca teoremi hatırlayın, Vieta teoreminin tersi:

Eğer sayılar - P Ve Qöyle mi

o zaman ve denklemin kökleridir

Vieta teoremi, kare trinomiyalin köklerini bilmeden, bunların toplamını ve çarpımını, yani en basit simetrik ifadeleri kolayca hesaplayabilmemiz açısından dikkat çekicidir.

Vieta teoremi bir kare trinomiyalin tam köklerini tahmin etmenize olanak sağlar.

kübik denklem

Şimdi doğrudan Vieta teoremini kullanarak kübik denklemin formülasyonuna ve çözümüne geçelim.

Formülasyon

İLE
Her yerde bulunan denklem, formun üçüncü dereceden bir denklemidir

Nerede bir ≠ 0.

Eğer bir = 1, bu durumda denkleme indirgenmiş kübik denklem denir:

Yani denklem için bunu kanıtlamamız gerekiyor.

aşağıdaki teorem doğrudur:

N
bu denklemin köklerini bulun, sonra

Kanıt

Bir polinom hayal edelim

dönüşümleri gerçekleştirelim:

Yani bunu anlıyoruz

İki polinom ancak ve ancak karşılık gelen güçlerdeki katsayıları eşitse eşittir.

Bu şu anlama geliyor

Q.E.D.

Şimdi teoremi düşünün, üçüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin tersi.

F
formülasyon

e
sayılar bu şekilde ise

Dördüncü derece denklem

Şimdi dördüncü derece denklem için Vieta teoremini kullanarak dördüncü derece denklem kurup çözmeye geçelim.

Formülasyon

sen
dördüncü derecenin denklemi - formun bir denklemi

G
de bir ≠ 0.

e
eğer bir = 1, o zaman denklem indirgenmiş olarak adlandırılır

VE
denklem için bunu kanıtlayalım

İle
aşağıdaki teorem doğrudur: Verilen denklemin köklerine izin verin, o zaman

Kanıt

Bir polinom hayal edelim

dönüşümleri gerçekleştirelim:

Yani bunu anlıyoruz

Bunu biliyoruz iki polinom ancak ve ancak karşılık gelen güçlerdeki katsayıları eşitse eşittir.

Bu şu anlama geliyor

Q.E.D.

Teoremi düşünün, dördüncü derece denklem için Vieta teoreminin tersi.

Formülasyon

Rakamlar bu şekilde ise

o zaman bu sayılar denklemin kökleridir

Pratik kısım

Şimdi üçüncü ve dördüncü derece denklemler için Vieta teoremlerini kullanarak problemlerin çözümlerine bakalım.

Görev No.1

Cevap: 4, -4.

Görev No.2

Cevap: 16, 24.

Bu denklemleri çözmek için sırasıyla Cardano formüllerini ve Ferrari yöntemini kullanabiliriz ancak Vieta teoremini kullanarak bu denklemlerin köklerinin toplamını ve çarpımını biliyoruz.

Görev No.3

Köklerin toplamının 6, köklerin eşleştirilmiş çarpımının 3 ve çarpımının -4 olduğu biliniyorsa üçüncü dereceden bir denklem oluşturun.

Hadi bir denklem kuralım, şunu elde ederiz

Görev No.4

Köklerin toplamının eşit olduğu biliniyorsa üçüncü dereceden bir denklem yazın 8 , köklerin çift çarpımı eşittir 4 , çarpımın üç katı eşittir 12 ve ürün 20 .

Çözüm: Vieta formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Hadi bir denklem kuralım, şunu elde ederiz

Vieta teoremini kullanarak köklerini kullanarak kolayca denklemler oluşturduk. Bu en çok rasyonel yol bu sorunları çözmek.

Sorun #5

burada a, b, c Heron formülleridir.

Parantezleri açalım ve ifadeyi dönüştürelim, şunu elde ederiz:

Z
Radikal ifadenin şöyle olduğuna dikkat edin: kübik ifade. Karşılık gelen kübik denklem için Vieta teoremini kullanalım, o zaman şunu elde ederiz:

Z

Şunu elde ettiğimizi bilerek:

Bu problemin çözümünden Vieta teoreminin aşağıdaki problemlere uygulanabilir olduğu açıktır: farklı alanlar matematik.

Çözüm

Bu yazıda üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmenin bir yöntemi araştırıldı. Çalışmada elde edilen formüllerin kullanımı kolaydır. Çalışma sırasında, bazı durumlarda bu yöntemin üçüncü ve dördüncü derece denklemler için sırasıyla Cordano formülü ve Ferrari yönteminden daha etkili olduğu ortaya çıktı.

Vieta teoremi pratikte uygulandı. Yeni malzemenin daha iyi pekiştirilmesine yardımcı olan bir dizi sorun çözüldü.

Bu çalışma benim için çok ilginç ve öğreticiydi. Matematik bilgimi derinleştirerek birçok ilginç şey keşfettim ve bu araştırmayı yapmaktan keyif aldım.

Ancak denklem çözme alanındaki araştırmam henüz bitmedi. Gelecekte, Vieta teoremini kullanarak n'inci dereceden bir denklemin çözümünü çalışmayı planlıyorum.

derin şükranlarımı sunmak istiyorum bilimsel süpervizör, fiziksel ve matematik bilimleri adayı ve böyle bir olasılık sıradışı araştırma ve çalışmaya sürekli dikkat.

Referanslar

Vinogradov I.M. Matematik ansiklopedisi. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Şunun için görevler: ilköğretim matematik, Fizmatlit, 1980.

“Tamamlanmamış İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür” - Çözme Becerileri. Kostroma. Yaroslavl. Ladyzhenskaya Olga Alexandrovna. Steklov Vladimir Andreyeviç. Denklemi çözelim. Eşitlik. Sözlü çalışma. Kazan. Hareket nesnesi. Şifreleme tablosu. Nijniy Novgorod. Lyapunov Alexander Mihayloviç. Eksik çözme ikinci dereceden denklemler. Hız. Otobüs. Hareket görevleri.

“Matematik “İkinci Dereceden Denklemler” - f) Denklemin hangi a değerinde tek kökü vardır? İkinci dereceden denklemlerin çözümü. İkinci dereceden denklemi sözlü olarak çözün. Denklemi harf katsayılarıyla çözün. Zihninize mümkün olduğu kadar çok yiyecek vermeye çalışın. Hedef: İkinci dereceden denklemleri çözmenin rasyonel bir yolunu görmeyi öğrenmek. M.V. Lomonosov. Egzersiz yapmak.

“François Viète ve teoremi” - İki polinom tamamen eşittir. Matematik öğretimi. Matematiksel keşifler. Vieta'nın formülleri. François Viet. Öğretmenler. Şuradan öğrenin: çeşitli kaynaklar François Viet kimdir? Ayrımcı. Vieta teoremi herhangi bir dereceden polinomlara genelleştirilebilir. İkinci dereceden denklemler için Viethe tarafından türetilen formüller.

“İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma” - Denklemin kökleri yoktur. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Denklem katsayılarının özellikleri. Formülü kullanarak denklemleri çözme. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. İkinci dereceden bir denklemin kök sayısının belirlenmesi. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulma. Diskriminantın bulunması. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri.

“Kareköklü denklemlerin çözümü” - Ek. Çizim. Denklemin "atma" yöntemini kullanarak çözülmesi. Grafik çözümüİkinci dereceden denklemler. İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özellikleri. Faktorizasyon. Seçim yöntemi tam kare. Denklem. Katsayı. Katsayıların toplamı. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. Ücretsiz üye.

“Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme” - Sorunu çözme. Gerçeklerin birikmesi. Bu denklemleri 4 gruba dağıtın. Akran değerlendirmesi. Çalışılan materyalin temel olarak anlaşılması ve uygulanması. Ders konusu. Hiçbir şey öğrenmediğiniz günü veya saati talihsiz olarak düşünün. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. Soru. Bir öğrenme görevi ayarlama.

Konuda toplam 34 sunum bulunmaktadır.

Bugün şiirle söylenmeyi hak ediyor
Köklerin özelliklerine ilişkin Vieta teoremi.
Hangisi daha iyi, söyleyin bana, şöyle bir tutarlılık:
Kökleri çarptınız - ve kesir hazır
Payda İle, paydada A.
Ve kesrin köklerinin toplamı da eşittir
Bu kesir eksi olsa bile
Ne sorun
Paylarda V, paydada A.
(Okul folklorundan)

Epigrafta harika teorem François Vieta tamamen doğru bir şekilde verilmemiştir. Aslında kökü olmayan ikinci dereceden bir denklem yazıp, toplamını ve çarpımını yazabiliriz. Örneğin x 2 + 2x + 12 = 0 denkleminin gerçel kökleri yoktur. Ancak resmi bir yaklaşımla bunların çarpımını (x 1 · x 2 = 12) ve toplamını (x 1 + x 2 = -2) yazabiliriz. Bizim ayetler şu uyarıyla birlikte teoreme karşılık gelecektir: “eğer denklemin kökleri varsa” yani. D ≥ 0.

Birinci pratik uygulama Bu teorem kökleri verilmiş ikinci dereceden bir denklemin yapısıdır. İkincisi, birçok ikinci dereceden denklemi sözlü olarak çözmenize olanak tanır. Okul ders kitapları öncelikle bu becerilerin geliştirilmesine odaklanmaktadır.

Burada daha fazlasını ele alacağız karmaşık görevler, Vieta teoremi kullanılarak çözüldü.

Örnek 1.

5x 2 – 12x + c = 0 denkleminin köklerinden biri ikincinin üç katıdır. Bul.

Çözüm.

İkinci kök x 2 olsun.

O halde ilk kök x1 = 3x 2.

Vieta teoremine göre köklerin toplamı 12/5 = 2,4'tür.

3x 2 + x 2 = 2,4 denklemini oluşturalım.

Dolayısıyla x 2 = 0,6. Bu nedenle x 1 = 1,8.

Cevap: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

Örnek 2.

x 1 ve x 2'nin, x 2 – 8x + p = 0 denkleminin kökleri olduğu ve 3x 1 + 4x 2 = 29 olduğu bilinmektedir. p'yi bulun.

Çözüm.

Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = 8 ve 3x 1 + 4x 2 = 29 koşuluna göre.

Bu iki denklemin sistemini çözdükten sonra x 1 = 3, x 2 = 5 değerini buluyoruz.

Ve dolayısıyla p = 15.

Cevap: p = 15.

Örnek 3.

3x 2 + 8 x – 1 = 0 denkleminin köklerini hesaplamadan x 1 4 + x 2 4'ü bulun

Çözüm.

Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = -8/3 ve x 1 x 2 = -1/3 olduğuna dikkat edin ve ifadeyi dönüştürün

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Cevap: 4898/9.

Örnek 4.

A parametresinin hangi değerlerinde denklemin en büyük ve en küçük kökleri arasındaki fark
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 bunların çarpımına eşittir.

Çözüm.

Bu ikinci dereceden bir denklemdir. D > 0 ise 2 farklı kökü olacaktır. Başka bir deyişle (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 veya (a – 3) 2 > 0. Dolayısıyla her a için 2 kökümüz var, a = 3 hariç.

Kesinlik sağlamak için x 1 > x 2 olduğunu varsayacağız ve x 1 + x 2 = (a + 1)/2 ve x 1 x 2 = (a – 1)/2 elde edeceğiz. Problemin koşullarına göre x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Her üç koşulun da aynı anda karşılanması gerekir. İlk ve son denklemleri bir sistem olarak ele alalım. Cebirsel toplama ile kolayca çözülebilir.

x 1 = a/2, x 2 = 1/2 elde ederiz. Ne olduğunu kontrol edelim A ikinci eşitlik sağlanacaktır: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Elde edilen değerleri yerine koyarsak: a/4 = (a – 1)/2 elde ederiz. O halde a = 2. Açıktır ki a = 2 ise tüm koşullar karşılanmıştır.

Cevap: a = 2 olduğunda.

Örnek 5.

Neye eşittir en küçük değer a, burada denklemin köklerinin toplamı
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0, köklerinin karelerinin toplamına eşittir.

Çözüm.

Öncelikle denklemi şuna indirgeyelim: kanonik form: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. D/4 ≥ 0 ise kökleri olacaktır. Dolayısıyla: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Veya (a – 1) 2 ≥ 0. Ve bu da herhangi bir a için geçerli koşul.

Vieta teoremini uygulayalım: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Hesaplayalım

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Veya x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2'yi değiştirdikten sonra. Geriye problemin koşullarına karşılık gelen bir eşitlik oluşturmak kalıyor: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Şunu elde ederiz: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Bu ikinci dereceden denklemin 2 kökü vardır: a 1 = 1 ve a 2 = 1/2. Bunlardan en küçüğü –1/2'dir.

Cevap: 1/2.

Örnek 6.

Köklerinin küplerinin toplamı bu köklerin karelerinin çarpımına eşitse, ax 2 + bx + c = 0 denkleminin katsayıları arasındaki ilişkiyi bulun.

Çözüm.

Gerçeklerden yola çıkacağız verilen denklem kökleri vardır ve bu nedenle Vieta teoremi ona uygulanabilir.

O zaman problemin koşulu şu şekilde yazılacaktır: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Veya: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

İkinci faktörün dönüştürülmesi gerekiyor. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

(x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2 elde ederiz. Köklerin toplamlarını ve çarpımlarını katsayılar aracılığıyla değiştirmeye devam ediyor.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Bu ifade kolaylıkla forma dönüştürülebilir b(3ac – b 2)/a = c 2.İlişki bulunmuştur.

Yorum. Ortaya çıkan ilişkinin ancak diğer ilişki sağlandıktan sonra dikkate alınmasının anlamlı olacağı dikkate alınmalıdır: D ≥ 0.

Örnek 7.

x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamının en büyük değer olduğu a değişkeninin değerini bulun.

Çözüm.

Bu denklemin kökleri x 1 ve x 2 ise, bunların toplamı x 1 + x 2 = -2a ve çarpım x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2 olur.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2'yi hesaplıyoruz (a – 3) 2 + 22.

Şimdi bu ifadenin geçerli olduğu açıktır. en yüksek değer a = 3'te.

Geriye orijinal ikinci dereceden denklemin köklerinin gerçekten a = 3'te olup olmadığını kontrol etmek kalır. Değiştirme yoluyla kontrol ederiz ve şunu elde ederiz: x 2 + 6x + 7 = 0 ve bunun için D = 36 – 28 > 0.

Bu nedenle cevap: a = 3 için.

Örnek 8.

2x 2 – 7x – 3 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2'dir. Kökleri X 1 = 1/x 1 ve X 2 = 1/x 2 sayıları olan verilen ikinci dereceden denklemin katsayılarının üçlü toplamını bulun. (*)

Çözüm.

Açıkçası, x 1 + x 2 = 7/2 ve x 1 x 2 = -3/2. İkinci denklemi köklerinden x 2 + px + q = 0 formunda oluşturalım. Bunu yapmak için Vieta teoreminin tersini kullanırız. Şunu elde ederiz: p = -(X 1 + X 2) ve q = X 1 · X 2.

Bu formüllerde (*) esas alınarak yerine koyma işlemi yapıldıktan sonra: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 ve q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

Gerekli denklem şu şekilde olacaktır: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Artık katsayılarının üç kat toplamını kolayca hesaplayabiliriz:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Cevap geldi.

Hala sorularınız mı var? Vieta teoremini nasıl kullanacağınızdan emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Vieta'nın teoremi

Yaratıcı çalışmaöğrenci 8. sınıf

Belediye eğitim kurumu "Novokievskaya ortaokulu"

Lukanina Kirill

Başkan: Kryzhanovskaya V.I.

Ben Giriş. Tarihsel bilgi.

II Ana bölüm

1. 
   F. Vieta'nın biyografisinden sayfalar
2. 
   Bilimsel faaliyetler:

B) ters teorem

1. 
   Denklem çözme örnekleri
2. 
   Pratik çalışma
3. 
   Bazı özel durumlar denklem çözme

III Sonuç. Ayette Vieta teoremi

IV Kullanılan referanslar
Şiirde söylenmeye haklı olarak layık

Köklerin özelliklerine ilişkin Vieta teoremi.

Tarihsel arka plan

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki ilk olarak ünlü Fransız bilim adamı Francois Viète tarafından kurulmuştur.

François Viète mesleği avukattı ve uzun yıllar kralın danışmanı olarak çalıştı. Ve matematik onun sadece hobisi olmasına rağmen, sıkı çalışması sayesinde bu konuda harika sonuçlar elde etti.

1951'de denklemlerdeki bilinmeyenlerin katsayıları ve özellikleri için harf gösterimini tanıttı.

Vieta birçok keşif yaptı; kendisi en çok Vieta teoremi adı verilen ikinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkinin kurulmasına değer verdi.

Formun başlangıcı

Formun sonu

Bu yetenekli ve üretken bilim insanının çalışmalarının yalnızca bir kısmı Vieta'nın yaşamı boyunca yayınlandı. Ana yazısı: “ Analitik Sanata Giriş"()), bunu kapsamlı bir incelemenin başlangıcı olarak değerlendirdi, ancak devam edecek zamanı yoktu. Bilim adamının şiddetli bir ölümle öldüğüne dair bazı göstergeler var.

Vieta'nın çalışmalarının doğrudan uygulanması, ağır ve hantal sunum nedeniyle çok zorlaştı. Bu nedenle henüz tam olarak yayımlanamamıştır. Az ya da çok tam toplantı Wirth'in çalışmaları 1646'da Leiden'de Hollandalı matematikçi van Scooten tarafından "Vieta'nın Matematiksel Çalışmaları" başlığı altında yayınlandı. G. G. Zeiten, Vieta'nın eserlerini okumanın, onun büyük bilgi birikiminin her yerde parıldadığı incelikli biçimi nedeniyle zorlaştığını belirtti ve çok sayıda onun tarafından icat edildi ve hiç kök salmadı Yunanca terimler. Bu nedenle, sonraki tüm matematikle ilişkili olarak çok önemli olan etkisi nispeten yavaş yayıldı.

MATEMATİK BAŞARILARI
Matematik üzerine son derece zor bir dilde eserler yazdığı için bunlar geniş çapta dağıtılmadı. Vieth'in eserleri ölümünden sonra Leiden'deki matematik profesörü F. Schooten tarafından toplandı. Vieta'nın çalışmalarında cebir şöyle olur: genel bilim sembolik gösterime dayalı cebirsel denklemler hakkında. Viet, yalnızca bilinmeyenleri değil aynı zamanda verilen miktarları, yani karşılık gelen denklemlerin katsayılarını da harflerle belirten ilk kişiydi. Bu sayede ilk kez denklemlerin özelliklerinin ve köklerinin genel formüllerle ifade edilmesi mümkün hale geldi ve cebirsel ifadelerin kendileri üzerinde işlem yapılabilecek nesnelere dönüştü. Viet, 2., 3. ve 4. derece denklemleri çözmek için tek tip bir yöntem geliştirdi ve yeni yöntem kübik denklemin çözümleri, trigonometrik çözüm indirgenemez durumda 3. dereceden denklemler, önerilen çeşitli rasyonel dönüşümler kökler, denklemlerin (Vieta formülleri) kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkiyi kurdu. Denklemleri yaklaşık olarak çözmek için sayısal katsayılar Viet, daha sonra I. Newton tarafından geliştirilen yönteme benzer bir yöntem önerdi. Vieta'nın trigonometrideki başarıları - bir düzlemin veya küresel üçgenin tüm elemanlarını verilen üç elemandan belirleme problemine tam bir çözüm, sin px ve cos px'in cos x ve sinx'in kuvvetlerindeki önemli açılımları. Çoklu yayın sinüs ve kosinüs formülünü bilmek, Viet'in matematikçi A. Roomen tarafından önerilen 45. derece denklemi çözmesini sağladı; Viète, bu denklemin çözümünün açının 45 eşit parçaya bölünmesine indirgendiğini ve 23 parçanın bulunduğunu gösterdi. pozitif kökler bu denklem. Vieth, Apollonius'un problemini bir cetvel ve pusula kullanarak çözdü.

Bilimsel faaliyetler

Tüm matematikçiler cebirlerinin altında... eşsiz hazinelerin saklı olduğunu biliyorlardı ama onları nasıl bulacaklarını bilmiyorlardı; En zor olduğunu düşündükleri görevler, sanatımızın yardımıyla düzinelerce kolayca çözülüyor, bu nedenle en çok temsil ediyor doğru yol Matematiksel araştırma için.

Viet baştan sona sunumu iki bölüme ayırıyor: genel kanunlar ve bunların somut sayısal uygulamaları. Yani önce sorunları çözer. genel görünüm ve ancak o zaman yol açar sayısal örnekler. Genel kısımda, yalnızca daha önce karşılaşılan bilinmeyenleri değil, aynı zamanda diğer tüm bilinmeyenleri de harflerle belirtir. parametreler, bunun için "terimini icat etti" ihtimaller"(gerçekten: tanıtım). Vieth bunun için yalnızca büyük harfler kullandı; bilinmeyenler için sesli harfler, katsayılar için ünsüzler.

Viet çeşitli uygulamaları serbestçe uygular cebirsel dönüşüm- örneğin, değişkenleri değiştirmek veya bir ifadeyi denklemin başka bir bölümüne taşırken ifadenin işaretini değiştirmek. O zamanki durumu dikkate aldığımızda bunu belirtmekte fayda var. şüpheli tutumİle negatif sayılar. Viet'in üsleri hala sözlü olarak yazılıyor.

Vietnam'ın diğer başarıları:

• 
  ünlü " Vieta'nın formülleri» oranlar için polinom nasıl çalışır? kökler;
• 
  yeni trigonometrik yöntem indirgenemez çözümler kübik denklem, aynı zamanda açı üçlemesi için de geçerlidir;
• 
  sonsuz çarpımın ilk örneği:

• 
  ilk dört derecenin denklem teorisinin tam analitik sunumu;
• 
  uygulama fikri aşkın işlevler bir karara cebirsel denklemler;
• 
  orijinal yöntem cebirsel denklemlerin sayısal katsayılarla yaklaşık çözümü.

Vieta formülleri

Formülasyon

(her kök, çokluğuna karşılık gelen sayıda alınır), daha sonra katsayılar şu şekilde ifade edilir: simetrik polinomlar köklerden, yani:

Başka bir deyişle (− 1) k A k mümkün olan tüm ürünlerin toplamına eşittir k kökler

Polinomun baş katsayısı ise Vieta formülünü uygulamak için önce tüm katsayıları bölmek gerekir. A 0 (bu, polinomun köklerinin değerini etkilemez). Bu durumda Vieta'nın formülü tüm katsayıların en büyüğüne oranı için bir ifade verir. Vieta'nın son formülünden, eğer bir polinomun kökleri tam sayı ise, o zaman bunlar yine tam sayı olan serbest teriminin bölenleridir.

Kanıt

Nerede sağ taraf bir polinomdur çarpanlara ayrılmış.

Sağ tarafın elemanları çarpıldıktan sonra katsayılar eşit derece X Vieta'nın formüllerine göre her iki kısımda da eşit olmalıdır.

Örnekler

İkinci dereceden denklem

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı X 2 + piksel + Q= 0 katsayıya eşittir P zıt işaretle alındığında köklerin çarpımı serbest terime eşittir Q:

Genel durumda (indirgenmemiş ikinci dereceden denklem için) balta 2 + bx + C = 0):

8. sınıfta cebir üzerine pratik çalışma.

Konu: “Vieta teoremi”

Hedef:İkinci dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasında bağlantı kurar.

Çalışmanın amacı:İkinci dereceden denklem ve kökleri.

İşin gerçekleştirilmesi için gerekli bilgi, beceri ve yetenekler:

(yani öğrencilere bir şey sunmadan önce hatırlanması ve tekrarlanması gerekenler) bu iş):

• 
  tam ikinci dereceden denklem kavramı;
• 
  yazma yeteneği ikinci dereceden üç terimli genel anlamda;
• 
  ikinci dereceden bir denklemi çözmek için algoritma (hem tam hem de indirgenmiş);
• 
  yazma yeteneği genel formül ikinci dereceden bir denklemin kökleri (tam ve azaltılmış).

Azaltılmış ikinci dereceden denklemler.

1.1. Denklemleri çözün:

A) x 2 + 4x + 3 = 0;

B) x 2 – 10x – 24 = 0.

1.2. Tabloyu doldurun:

1.3. Her denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını katsayılarıyla karşılaştırın.

1.4. Hipotez: Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin kökleri ile katsayıları arasında nasıl bir bağlantı fark ettiniz? Sembolleri kullanarak yazın.

1.5. Hipotez testi: Yukarıdaki ikinci dereceden denklemi genel formda yazın (x 2 + px + q = 0).

1.6. Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin genel formülünü yazın.

(X 1 = ; X 2 = )

1.7. İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamını bulun.

1.8. İkinci dereceden denklemin köklerinin çarpımını bulun.

1.9. Bir sonuç çıkarmak

Ek soru.

Denklemi çözerek sonuçlarınızı kontrol edin: x 2 – 12x + 36 = 0.

2. İkinci dereceden denklemleri tamamlayın.

2.1. Denklemleri çözün:

A) 6x2 – 5x – 1 = 0;

B) 5 x 2 + 9 x + 4 = 0.

2.1. Tabloyu doldurun:

2.4. Hipotez:İkinci dereceden tam bir denklemin kökleri ile katsayıları arasında nasıl bir bağlantı fark ettiniz? Bunu sembollerle yazın.

2.5. Hipotez testi: ikinci dereceden denklemin tamamını genel formda yazın

(ax 2 + bx + c = 0).

2.6. İkinci dereceden tam bir denklemin köklerinin genel formülünü yazın.

(X 1 =; X 2 =)

2.7. İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamını bulun.

2.8. İkinci dereceden denklemin köklerinin çarpımını bulun.

2.9. Bir sonuç çıkarmak: elde edilen sonucu belirtin. Not defterinize yazın.

(Sonuçta ortaya çıkan ifadeye Vieta teoremi denir)

Ek soru.

Şu denklemi çözerek sonuçlarınızı kontrol edin: -2x 2 + 8x + 3 = 0.

Ek görev.

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemlerin köklerinin toplamını ve çarpımını bulun:

A) x 2 – 5x + 6 = 0;

B) 3x2 – 4x – 2 = 0;

B) x 2 – 6x + 24 = 0;

D) 6x2 – 5x = 0.

2. Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerinin doğru bulunup bulunmadığını kontrol edin.

Teoremi kullanarak, bulun ters teoremİkinci dereceden bir denklemin Vieta kökleri:

a) x 2 + 11x – 12 = 0; b) 2x2 + 9x + 8 = 0; c) -3x 2 – 6x = 0; d) x 2 – 6 = 0.

İkinci dereceden denklemlerin çözümünde özel durumlar

balta 2 +bx + c = 0

1. a+b+c =0 ise x 1 = 1, x 2 =

2. a-b+c =0, (veya a+c=b) ise x 1 = -1, x 2 = -

Örneğin: 3x 2 + 5x – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

Sözlü olarak çözün:

3x 2 – 2x – 1 = 0 3x 2 – 5x – 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

Önce “eksi” yazalım,
Onun yanında P yarıda,
"Artı-eksi" radikal işareti,
Çocukluğumuzdan beri bize tanıdık geliyor.

Temelde dostum,
Her şey boşa çıkıyor:
P yarım ve kare
Eksi güzel Q.

• 
  İtibaren " Bebek monitörleri"(başka bir seçenek):

Ve kökün altında çok faydalıdır
yarım P karesi
eksi Q- ve işte çözümler,
yani denklemin kökleri.

Şiirde söylenmeye haklı olarak layık

Köklerin özelliklerine ilişkin Vieta teoremi.

Hangisi daha iyi, tutarlı bir şekilde şunu söyleyin:

Kökleri çarpıyorsunuz ve kesir hazır:

Pay c, payda a,

Ve köklerin toplamı da bir kesirdir

Eksili kesir de olsa ne sorun

Pay içeride, payda a'dır.
Kullanılan literatür:

1. 
   Genç bir matematikçinin ansiklopedik sözlüğü.

1. 
   Matematik. Referans materyalleri. V.A.Gusev, A.G.Mordkovich. M. "Aydınlanma" 1986
2. 
   Okulda matematiğin tarihi. GI Glazer

1. 
   Cebir 8. sınıf. Düzenleyen: S.A. Telyakovsky