Çoğu durumda veriler merkezi bir nokta etrafında yoğunlaşır. Bu nedenle herhangi bir veri kümesini tanımlamak için ortalama değeri belirtmek yeterlidir. Üçünü art arda ele alalım sayısal özellikler Bir dağılımın ortalamasını tahmin etmek için kullanılanlar: aritmetik ortalama, medyan ve mod.
Aritmetik ortalama
Aritmetik ortalama (genellikle basitçe ortalama olarak adlandırılır), bir dağılımın ortalamasının en yaygın tahminidir. Tüm gözlemlenebilirlerin toplamının bölünmesinin sonucudur. sayısal büyüklükler onların numarasına göre. Sayılardan oluşan bir örnek için X 1, X 2,…, XN, örnek ortalama (ile gösterilir) ) eşittir = (X 1 + X 2 + … + XN) / N, veya
örnek ortalaması nerede, N- numune büyüklüğü, XBen – i'inci elemanörnekler.
Notu veya formatında indirin, formattaki örnekler
Ortalamayı hesaplamayı düşünün aritmetik değer 15 yatırım fonunun beş yıllık ortalama yıllık getirisi çok yüksek yüksek seviye risk (Şekil 1).
Pirinç. 1. Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirisi
Örnek ortalaması şu şekilde hesaplanır:
Bu, özellikle banka veya kredi birliği mevduat sahiplerinin aynı dönemde aldıkları %3-4'lük getiriyle karşılaştırıldığında iyi bir getiridir. Getirileri sıraladığımızda sekiz fonun ortalamanın üzerinde, yedi fonun ise ortalamanın altında getiri sağladığını görmek kolay. Aritmetik ortalama denge noktası görevi görür, böylece düşük getirili fonlar yüksek getirili fonları dengeler. Ortalamanın hesaplanmasında numunenin tüm unsurları yer alır. Bir dağılımın ortalamasına ilişkin diğer tahminlerin hiçbiri bu özelliğe sahip değildir.
Aritmetik ortalamayı ne zaman hesaplamanız gerekir? Aritmetik ortalama örnekteki tüm elemanlara bağlı olduğundan uç değerlerin varlığı sonucu önemli ölçüde etkiler. Bu gibi durumlarda aritmetik ortalama, sayısal verilerin anlamını bozabilir. Bu nedenle uç değerler içeren bir veri seti açıklanırken medyanın veya aritmetik ortalamanın ve medyanın belirtilmesi gerekir. Örneğin RS Gelişen Büyüme fonunun getirilerini örneklemden çıkarırsak, 14 fonun örnek ortalaması neredeyse %1 azalarak %5,19'a düşüyor.
Medyan
Medyan, sıralı bir sayı dizisinin ortadaki değerini temsil eder. Dizi tekrarlayan sayılar içermiyorsa, elemanlarının yarısı ortancadan küçük, yarısı da büyük olacaktır. Örnek aşırı değerler içeriyorsa, ortalamayı tahmin etmek için aritmetik ortalama yerine ortancayı kullanmak daha iyidir. Bir örneğin medyanını hesaplamak için önce sıralanması gerekir.
Bu formül belirsizdir. Sonuç, sayının çift veya tek olmasına bağlıdır N:
- Örnek tek sayıda öğe içeriyorsa, medyan (n+1)/2-'inci eleman.
- Örnek çift sayıda öğe içeriyorsa, medyan, örneğin ortadaki iki öğesi arasında yer alır ve bu iki öğe üzerinden hesaplanan aritmetik ortalamaya eşittir.
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerini içeren bir örneğin medyanını hesaplamak için öncelikle ham verileri sıralamanız gerekir (Şekil 2). Daha sonra medyan, numunenin ortadaki elemanının sayısının karşısında olacaktır; 8 numaralı örneğimizde. Excel'in sırasız dizilerle de çalışan özel bir işlevi =MEDIAN() vardır.
Pirinç. 2. Ortalama 15 fon
Dolayısıyla medyan 6,5'tir. Bu, çok yüksek riskli fonların bir yarısının getirisinin 6,5'u geçmediği, diğer yarısının getirisinin ise onu aştığı anlamına geliyor. 6,5'lik medyanın 6,08'lik ortalamadan çok da büyük olmadığını unutmayın.
Örneklemden RS Emerging Growth fonunun getirisini çıkarırsak kalan 14 fonun medyanı %6,2'ye düşüyor, yani aritmetik ortalama kadar anlamlı değil (Şekil 3).
Pirinç. 3. Ortalama 14 fon
Moda
Terim ilk kez 1894'te Pearson tarafından icat edildi. Moda, bir örnekte en sık görülen (en moda olan) sayıdır. Moda, örneğin sürücülerin trafik ışığı sinyaline hareket etmeyi bırakma yönündeki tipik tepkisini çok iyi tanımlıyor. Klasik örnek moda kullanımı - bir ayakkabı partisinin boyutunu veya duvar kağıdının rengini seçmek. Bir dağıtımın birden fazla modu varsa, bu durumda multimodal veya multimodal (iki veya daha fazla "zirveye" sahip) olduğu söylenir. Çok modlu dağıtım şunları sağlar önemli bilgi incelenen değişkenin doğası hakkında. Örneğin, sosyolojik araştırmalarda, eğer bir değişken bir şeye yönelik bir tercihi veya tutumu temsil ediyorsa, o zaman çok modluluk, birden fazla farklı seçeneğin olduğu anlamına gelebilir. farklı görüşler. Çok modluluk aynı zamanda numunenin homojen olmadığının ve gözlemlerin iki veya daha fazla "örtüşen" dağılım tarafından üretilebileceğinin bir göstergesi olarak da hizmet eder. Aritmetik ortalamanın aksine aykırı değerler modu etkilemez. Yatırım fonlarının ortalama yıllık getirisi gibi sürekli dağıtılan rastgele değişkenler için bu mod bazen mevcut olmayabilir (veya hiçbir anlam ifade etmeyebilir). Bu göstergeler çok farklı değerler alabildiğinden tekrarlanan değerler son derece nadirdir.
Çeyrekler
Çeyrekler, büyük sayısal örneklerin özelliklerini açıklarken veri dağılımını değerlendirmek için en sık kullanılan metriklerdir. Medyan, sıralı diziyi ikiye bölerken (dizinin öğelerinin %50'si medyandan küçük ve %50'si büyüktür), çeyrekler sıralı veri kümesini dört parçaya böler. Q 1 , medyan ve Q 3 değerleri sırasıyla 25., 50. ve 75. yüzdelik dilimlerdir. İlk çeyrek Q1, numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: öğelerin %25'i ilk çeyrekten küçüktür ve %75'i büyüktür.
Üçüncü çeyrek Q3 aynı zamanda numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: Öğelerin %75'i üçüncü çeyrekten küçüktür ve %25'i büyüktür.
Excel'in 2007'den önceki sürümlerinde çeyrekleri hesaplamak için =QUARTILE(array,part) işlevini kullanın. Excel 2010'dan itibaren iki işlev kullanılmaktadır:
- =QUARTILE.ON(dizi, parça)
- =QUARTILE.HRC(dizi, parça)
Bu iki fonksiyon çok az şey verir farklı anlamlar(Şekil 4). Örneğin, çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirisini içeren bir örneğin çeyrekleri hesaplanırken, QUARTILE.IN ve QUARTILE.EX için sırasıyla Q 1 = 1,8 veya –0,7. Bu arada, daha önce kullanılan QUARTILE işlevi şuna karşılık gelir: modern fonksiyon DÖRTTEBİRLİK.DAHİL Yukarıdaki formülleri kullanarak Excel'de çeyrekleri hesaplamak için veri dizisinin sıralanmasına gerek yoktur.
Pirinç. 4. Excel'de çeyrekleri hesaplamak
Tekrar vurgulayalım. Excel, tek değişkenli bir değişken için çeyrekleri hesaplayabilir ayrık seri değerleri içeren rastgele değişken. Frekans bazlı bir dağılım için çeyreklerin hesaplanması aşağıdaki bölümde verilmiştir.
Geometrik ortalama
Aritmetik ortalamanın aksine geometrik ortalama, bir değişkenin zaman içindeki değişim derecesini tahmin etmenize olanak tanır. Geometrik ortalama köktür N işten elde edilen derece N miktarlar (Excel'de =SRGEOM işlevi kullanılır):
G= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n
Benzer bir parametre ortalamadır geometrik anlamı getiri oranı aşağıdaki formülle belirlenir:
G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,
Nerede R ben– kar oranı Ben zaman dilimi.
Örneğin ilk yatırımın 100.000$ olduğunu varsayalım. İlk yılın sonunda 50.000$'a düşüyor, ikinci yılın sonunda ise başlangıç seviyesi olan 100.000$'a geri dönüyor. -yıllık dönem, başlangıç ve son fon tutarları birbirine eşit olduğundan 0'a eşittir. Ancak aritmetik ortalama yıllık standartlar kâr = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 veya %25'e eşittir, çünkü ilk yıldaki kâr oranı R 1 = (50.000 – 100.000) / 100.000 = –0,5 ve ikinci yılda R 2 = ( 100.000 – 50.000) / 50.000 = 1. Aynı zamanda iki yıllık kâr oranının geometrik ortalaması şuna eşittir: G = [(1–0,5) * (1+1)] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Dolayısıyla geometrik ortalama, iki yıllık bir süre boyunca yatırım hacmindeki değişimi (daha doğrusu değişiklik yokluğunu) aritmetik ortalamaya göre daha doğru yansıtır.
İlginç gerçekler. Birincisi, geometrik ortalama her zaman aynı sayıların aritmetik ortalamasından küçük olacaktır. Alınan tüm sayıların birbirine eşit olduğu durum hariç. İkincisi, özellikleri dikkate alarak dik üçgen ortalamanın neden geometrik olarak adlandırıldığı anlaşılabilir. Hipotenüse indirilen bir dik üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır ve her bacak, hipotenüs ile hipotenüse izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır (Şekil 5). Bu verir geometrik yöntem iki (uzunluk) parçanın geometrik ortalamasını oluşturmak: bu iki parçanın toplamını çap olarak kullanarak bir daire oluşturmanız gerekir, daha sonra bunların daire ile kesişme noktasına bağlantı noktasından geri yüklenen yükseklik gerekli değeri verecektir:
Pirinç. 5. Geometrik ortalamanın geometrik doğası (Wikipedia'dan şekil)
Saniye önemli özellik sayısal veriler - onların varyasyon, veri dağılım derecesini karakterize eder. İki farklı örnek hem ortalama hem de varyans açısından farklı olabilir. Ancak Şekil 2'de gösterildiği gibi. Şekil 6 ve 7'de, iki numune aynı varyasyonlara ancak farklı ortalamalara veya aynı ortalamaya ve tamamen farklı varyasyonlara sahip olabilir. Şekil 2'deki B poligonuna karşılık gelen veriler. Şekil 7'deki gibi, A poligonunun oluşturulduğu verilere göre çok daha az değişiklik olur.
Pirinç. 6. Aynı yayılma ve farklı ortalama değerlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım
Pirinç. 7. Aynı ortalama değerlere ve farklı spreadlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım
Veri değişimine ilişkin beş tahmin vardır:
- kapsam,
- çeyrekler arası aralık,
- dağılım,
- standart sapma,
- varyasyon katsayısı.
Kapsam
Aralık, numunenin en büyük ve en küçük elemanları arasındaki farktır:
Aralık = XMaksimum – XMin.
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerini içeren bir örneklemin aralığı, sıralı dizi kullanılarak hesaplanabilir (bkz. Şekil 4): Aralık = 18,5 – (–6,1) = 24,6. Bu da çok yüksek riskli fonların en yüksek ve en düşük ortalama yıllık getirileri arasındaki farkın %24,6 olduğu anlamına geliyor.
Aralık, verilerin genel yayılımını ölçer. Örnek aralığı, verilerin genel yayılımına ilişkin çok basit bir tahmin olmasına rağmen, zayıflığı, verilerin minimum ile minimum arasında nasıl dağıldığını tam olarak hesaba katmamasıdır. maksimum elemanlar. Bu etki Şekil 2'de açıkça görülmektedir. Şekil 8, aynı aralığa sahip numuneleri göstermektedir. Ölçek B, bir numunenin en az bir uç değer içermesi durumunda numune aralığının, verilerin yayılmasına ilişkin oldukça kesin olmayan bir tahmin olduğunu göstermektedir.
Pirinç. 8. Aynı aralığa sahip üç numunenin karşılaştırılması; üçgen ölçeğin desteğini sembolize eder ve konumu örnek ortalamaya karşılık gelir
Çeyrekler arası aralık
Çeyrekler arası veya ortalama aralık, numunenin üçüncü ve birinci çeyrekleri arasındaki farktır:
Çeyrekler arası aralık = Q 3 – Q 1
Bu değer, aşırı elementlerin etkisini hesaba katmadan elementlerin %50'sinin dağılımını tahmin etmemizi sağlar. Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerini içeren bir örneklemin çeyrekler arası aralığı, Şekil 1'deki veriler kullanılarak hesaplanabilir. 4 (örneğin, QUARTILE.EXC işlevi için): Çeyrekler arası aralık = 9,8 – (–0,7) = 10,5. 9,8 ve -0,7 sayılarıyla sınırlanan aralığa genellikle orta yarı denir.
Q 1 ve Q 3 değerlerinin ve dolayısıyla çeyrekler arası aralığın, aykırı değerlerin varlığına bağlı olmadığına dikkat edilmelidir, çünkü hesaplamaları Q 1'den küçük veya daha büyük herhangi bir değeri hesaba katmaz. Q 3'ten daha. Aykırı değerlerden etkilenmeyen medyan, birinci ve üçüncü çeyrekler ve çeyrekler arası aralık gibi özet ölçümlere sağlam ölçümler denir.
Aralık ve çeyrekler arası aralık sırasıyla bir numunenin genel ve ortalama yayılımına ilişkin tahminler sağlasa da, bu tahminlerin hiçbiri verilerin tam olarak nasıl dağıtıldığını hesaba katmaz. Varyans ve standart sapma bu dezavantajdan yoksundur. Bu göstergeler, verilerin ortalama değer etrafında ne ölçüde dalgalandığını değerlendirmenize olanak tanır. Örnek varyans her bir örnek öğe ile örnek ortalaması arasındaki farkların karelerinden hesaplanan aritmetik ortalamanın bir yaklaşımıdır. Bir X 1, X 2, ... X n örneği için örnek varyansı (S2 sembolüyle gösterilir) aşağıdaki formülle verilir:
İÇİNDE genel durum numune varyansı, numune öğeleri ile numune ortalaması arasındaki farkların karelerinin toplamının numune büyüklüğü eksi bire eşit bir değere bölünmesiyle elde edilir:
Nerede - aritmetik ortalama, N- numune büyüklüğü, X ben - Ben inci seçim öğesi X. Hesaplamalar için Excel 2007 sürümüne kadar örnek varyans=DISP() işlevi 2010 sürümünden beri kullanılmaktadır; =DISP.V() işlevi kullanılmaktadır.
Verilerin yayılmasına ilişkin en pratik ve yaygın olarak kabul edilen tahmin şu şekildedir: örnek standart sapma. Bu gösterge S sembolü ile gösterilir ve şuna eşittir: karekökörnek varyansından:
Excel'de sürüm 2007'den önce standart örnek sapmayı hesaplamak için =STDEV.() işlevi kullanılıyordu; sürüm 2010'dan bu yana =STDEV.V() işlevi kullanılıyor. Bu işlevleri hesaplamak için veri dizisi sırasız olabilir.
Ne örneklem varyansı ne de örneklem standart sapması negatif olamaz. S 2 ve S göstergelerinin sıfır olabileceği tek durum, numunenin tüm elemanlarının birbirine eşit olmasıdır. Bu kesinlikle inanılmaz durum aralık ve çeyrekler arası aralık da sıfırdır.
Sayısal veriler doğası gereği değişkendir. Herhangi bir değişken birçok şey alabilir farklı anlamlar. Örneğin, farklı yatırım fonları Farklı karlılık ve zarar göstergelerine sahiptir. Sayısal verilerin değişkenliği nedeniyle, yalnızca doğası gereği özet olan ortalama tahminlerini değil, aynı zamanda verilerin yayılmasını karakterize eden varyans tahminlerini de incelemek çok önemlidir.
Dağılım ve standart sapma, verilerin ortalama değer etrafındaki yayılımını değerlendirmenize, başka bir deyişle kaç örnek öğenin ortalamadan küçük, kaçının büyük olduğunu belirlemenize olanak tanır. Varyansın bazı değerli özellikleri vardır matematiksel özellikler. Ancak değeri ölçü biriminin karesidir - yüzde kare, dolar kare, inç kare vb. Bu nedenle, dağılımın doğal bir ölçüsü, ortak gelir birimleri yüzdesi, dolar veya inç cinsinden ifade edilen standart sapmadır.
Standart sapma, örnek öğelerin ortalama değer etrafındaki değişim miktarını tahmin etmenize olanak tanır. Hemen hemen tüm durumlarda, gözlemlenen değerlerin çoğunluğu, ortalamadan artı veya eksi bir standart sapma aralığında yer alır. Bu nedenle ortalamayı bilmek aritmetik elemanlarörnekleri ve standart örnek sapmasını kullanarak verilerin büyük kısmının ait olduğu aralığı belirleyebilirsiniz.
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerinin standart sapması 6,6'dır (Şekil 9). Bu, fonların büyük kısmının karlılığının ortalama değerden %6,6'dan fazla farklılık göstermediği anlamına gelir (yani, -S= 6,2 – 6,6 = –0,4 ila +S= 12.8). Aslında fonların beş yıllık ortalama yıllık getirisi %53,3 (15 üzerinden 8) bu aralıkta yer alıyor.
Pirinç. 9. Örnek standart sapma
Kareleri alınmış farklar toplandıkça, ortalama kazançtan daha uzakta olan örnek öğelerin elde edildiğini unutmayın. daha fazla ağırlık daha yakın olan unsurlardan daha fazladır. Bu özellik, bir dağılımın ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamanın en sık kullanılmasının ana nedenidir.
Değişim katsayısı
Önceki dağılım tahminlerinin aksine, varyasyon katsayısı göreceli bir tahmindir. Orijinal verinin birimlerinde değil, her zaman yüzde olarak ölçülür. CV simgeleriyle gösterilen varyasyon katsayısı, verilerin ortalama etrafındaki dağılımını ölçer. Değişim katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünmesi ve %100 ile çarpılmasına eşittir:
Nerede S- standart numune sapması, - örnek ortalaması.
Değişim katsayısı, elemanları farklı ölçü birimleriyle ifade edilen iki örneği karşılaştırmanıza olanak tanır. Örneğin, bir posta dağıtım hizmetinin yöneticisi, kamyon filosunu yenilemeyi planlıyor. Paketleri yüklerken dikkate alınması gereken iki kısıtlama vardır: her paketin ağırlığı (pound cinsinden) ve hacmi (fit küp cinsinden). 200 paket içeren bir örnekte, ortalama ağırlık 26,0 pound, ağırlığın standart sapması 3,9 pound, ortalama torba hacmi 8,8 fit küp ve hacmin standart sapması 2,2 fit küptür. Paketlerin ağırlık ve hacmindeki farklılıklar nasıl karşılaştırılır?
Ağırlık ve hacim ölçü birimleri birbirinden farklı olduğundan, yöneticinin bu miktarların göreceli yayılımını karşılaştırması gerekir. Ağırlık değişim katsayısı CV W = 3,9 / 26,0 * %100 = %15 ve hacim değişim katsayısı CV V = 2,2 / 8,8 * %100 = %25'tir. Dolayısıyla paketlerin hacmindeki göreceli değişim, ağırlıklarındaki göreceli değişimden çok daha fazladır.
Dağıtım formu
Bir numunenin üçüncü önemli özelliği dağılımının şeklidir. Bu dağılım simetrik veya asimetrik olabilir. Bir dağılımın şeklini tanımlamak için ortalamasını ve medyanını hesaplamak gerekir. İkisi aynıysa değişkenin simetrik olarak dağıldığı kabul edilir. Bir değişkenin ortalama değeri ortancadan büyükse dağılımı pozitif çarpıklığa sahiptir (Şekil 10). Medyan ortalamadan büyükse değişkenin dağılımı negatif çarpıktır. Pozitif çarpıklık, ortalama olağandışı bir ölçüde arttığında ortaya çıkar yüksek değerler. Ortalama alışılmadık derecede küçük değerlere düştüğünde negatif çarpıklık ortaya çıkar. Bir değişken her iki yönde de uç değerler almıyorsa simetrik olarak dağılmıştır, böylece değişkenin büyük ve küçük değerleri birbirini iptal eder.
Pirinç. 10. Üç tür dağıtım
A ölçeğinde gösterilen veriler negatif çarpıktır. Bu şekilde görebilirsiniz uzun kuyruk ve alışılmadık derecede küçük değerlerin varlığından kaynaklanan sola çarpıklık. Bu son derece küçük değerler ortalama değeri sola kaydırarak medyandan daha küçük hale getirir. B ölçeğinde gösterilen veriler simetrik olarak dağıtılmıştır. Sol ve sağ yarı dağıtımlar kendilerine aittir ayna yansımaları. Büyük ve küçük değerler birbirini dengeler ve ortalama ile medyan eşittir. B ölçeğinde gösterilen veriler pozitif olarak çarpıktır. Bu şekil, alışılmadık derecede yüksek değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruğu ve sağa doğru bir eğimi göstermektedir. Bunlar da büyük miktarlar ortalama değeri sağa kaydırırsanız medyandan büyük olur.
Excel'de bir eklenti kullanılarak tanımlayıcı istatistikler elde edilebilir. Analiz paketi. Menüde gezinme Veri → Veri Analizi, açılan pencerede satırı seçin Tanımlayıcı İstatistikler ve tıklayın Tamam. pencerede Tanımlayıcı İstatistikler mutlaka belirtin Giriş aralığı(Şekil 11). Açıklayıcı istatistikleri orijinal verilerle aynı sayfada görmek istiyorsanız radyo düğmesini seçin. Çıkış aralığı ve soldakinin yerleştirilmesi gereken hücreyi belirtin üst köşeçıktı istatistikleri (örneğimizde $C$1). Veri çıktısını almak istiyorsanız yeni yaprak veya içinde yeni kitap, sadece uygun anahtarı seçin. yanındaki kutuyu işaretleyin Özet istatistikler. İstenirse siz de seçebilirsiniz Zorluk seviyesien küçük veen büyük k..
Eğer depozito varsa Veri bölgede Analiz simgeyi görmüyorsun Veri Analizi, önce eklentiyi yüklemelisiniz Analiz paketi(örneğin bkz.).
Pirinç. 11. Çok yüksek risk seviyesine sahip fonların eklenti kullanılarak hesaplanan beş yıllık ortalama yıllık getirilerine ilişkin tanımlayıcı istatistikler Veri Analizi Excel programları
Excel yukarıda tartışılan bir dizi istatistiği hesaplar: ortalama, medyan, mod, standart sapma, varyans, aralık ( aralık), minimum, maksimum ve örneklem büyüklüğü ( kontrol etmek). Excel ayrıca bizim için yeni olan bazı istatistikleri de hesaplar: standart hata, basıklık ve çarpıklık. Standart hata standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesine eşittir. Asimetri dağılımın simetrisinden sapmayı karakterize eder ve örnek öğeler ile ortalama değer arasındaki farkların küpüne bağlı bir fonksiyondur. Basıklık, dağılımın kuyruklarına kıyasla ortalama etrafındaki göreceli veri konsantrasyonunun bir ölçüsüdür ve örnek öğeler ile dördüncü kuvvete yükseltilen ortalama arasındaki farklara bağlıdır.
Hesaplama tanımlayıcı istatistiklerİçin nüfus
Yukarıda tartışılan dağılımın ortalaması, yayılımı ve şekli örneklemden belirlenen özelliklerdir. Ancak veri seti tüm popülasyonun sayısal ölçümlerini içeriyorsa parametreleri hesaplanabilir. Bu parametreler popülasyonun beklenen değerini, dağılımını ve standart sapmasını içerir.
Beklenti popülasyondaki tüm değerlerin toplamının popülasyon büyüklüğüne bölünmesine eşittir:
Nerede µ - matematiksel beklenti, XBen- Ben değişkenin gözlemlenmesi X, N- genel nüfusun hacmi. Hesaplama için Excel'de matematiksel beklenti Aritmetik ortalama için kullanılan fonksiyonun aynısı kullanılır: =ORTALAMA().
Nüfus varyansı genel popülasyonun unsurları ile mat arasındaki farkların karelerinin toplamına eşittir. beklentinin nüfus büyüklüğüne bölümü:
Nerede σ2– genel nüfusun dağılımı. Sürüm 2007'den önceki Excel'de, sürüm 2010 =VARP()'dan başlayarak popülasyon varyansını hesaplamak için =VARP() işlevi kullanılıyordu.
Nüfus standart sapması popülasyon varyansının kareköküne eşittir:
2007 sürümünden önceki Excel'de, bir popülasyonun standart sapmasını hesaplamak için =STDEV() işlevi kullanılıyordu; 2010 sürümünden bu yana =STDEV.Y(). Popülasyon varyansı ve standart sapmaya ilişkin formüllerin, örneklem varyansı ve standart sapmayı hesaplamaya yönelik formüllerden farklı olduğunu unutmayın. Örnek istatistikleri hesaplarken S2 Ve S kesrin paydası n – 1 ve parametreleri hesaplarken σ2 Ve σ - genel nüfusun hacmi N.
Temel kural
Çoğu durumda, gözlemlerin büyük bir kısmı medyan çevresinde yoğunlaşarak bir küme oluşturur. Pozitif çarpıklık içeren veri setlerinde bu küme matematiksel beklentinin solunda (yani altında), negatif çarpıklık bulunan kümelerde ise bu küme matematiksel beklentinin sağında (yani üstünde) yer alır. Simetrik veriler için ortalama ve medyan aynıdır ve gözlemler ortalamanın etrafında toplanarak çan şeklinde bir dağılım oluşturur. Dağılım açıkça çarpık değilse ve veriler bir ağırlık merkezi etrafında yoğunlaşmışsa, değişkenliği tahmin etmek için kullanılabilecek genel kural şudur: Veriler çan şeklinde bir dağılıma sahipse, gözlemlerin yaklaşık %68'i bu aralıktadır. beklenen değerin bir standart sapması, gözlemlerin yaklaşık %95'i matematiksel beklentiden iki standart sapmadan fazla uzakta değildir ve gözlemlerin %99,7'si matematiksel beklentiden en fazla üç standart sapma uzaktadır.
Böylece, beklenen değer etrafındaki ortalama değişimin bir tahmini olan standart sapma, gözlemlerin nasıl dağıldığını anlamaya ve aykırı değerleri belirlemeye yardımcı olur. Temel kural, çan şeklindeki dağılımlarda yalnızca yirmi değerden birinin matematiksel beklentiden iki standart sapmadan fazla farklı olduğudur. Bu nedenle aralığın dışındaki değerler u ± 2σ, aykırı değerler olarak kabul edilebilir. Ayrıca 1000 gözlemden yalnızca üçü matematiksel beklentiden üç standart sapmadan fazla farklılık göstermektedir. Böylece aralığın dışındaki değerler u ± 3σ neredeyse her zaman aykırıdır. Oldukça çarpık veya çan şeklinde olmayan dağılımlar için Bienamay-Chebyshev temel kuralı uygulanabilir.
Yüz yıldan fazla bir süre önce matematikçiler Bienamay ve Chebyshev birbirlerinden bağımsız olarak şunu keşfettiler: kullanışlı özellik standart sapma. Herhangi bir veri seti için, dağılımın şekline bakılmaksızın, belirli bir mesafede bulunan gözlemlerin yüzdesinin, k matematiksel beklentiden standart sapmalar, daha az değil (1 – 1/ k 2)*100%.
Örneğin, eğer k= 2, Bienname-Chebyshev kuralı, gözlemlerin en az (1 – (1/2) 2) x %100 = %75'inin aralıkta yer alması gerektiğini belirtir u ± 2σ. Bu kural her şey için geçerlidir k, birini aşıyor. Bienamay-Chebyshev kuralı çok genel karakter ve her türlü dağıtım için geçerlidir. gösterir minimum miktar gözlemler, matematiksel beklentinin aşılmadığı mesafe verilen değer. Bununla birlikte, eğer dağılım çan şeklindeyse, temel kural, verilerin beklenen değer etrafındaki konsantrasyonunu daha doğru bir şekilde tahmin eder.
Frekans Tabanlı Bir Dağılım için Tanımlayıcı İstatistiklerin Hesaplanması
Kaynak veri mevcut değilse frekans dağılımı tek bilgi kaynağı haline gelir. Bu gibi durumlarda, aritmetik ortalama, standart sapma ve çeyrekler gibi dağılımın niceliksel göstergelerinin yaklaşık değerlerini hesaplamak mümkündür.
Örnek veriler bir frekans dağılımı olarak temsil edilirse, her sınıftaki tüm değerlerin sınıf orta noktasında yoğunlaştığı varsayılarak aritmetik ortalamanın yaklaşık değeri hesaplanabilir:
Nerede - örnek ortalaması, N- gözlem sayısı veya örneklem büyüklüğü, İle- frekans dağılımındaki sınıf sayısı, mj- orta nokta J sınıf, FJ- karşılık gelen frekans J-inci sınıf.
Bir frekans dağılımından standart sapmayı hesaplamak için, her sınıftaki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı da varsayılır.
Bir serinin çeyreklerinin frekanslara göre nasıl belirlendiğini anlamak için, Rus nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelire göre dağılımına ilişkin 2013 verilerine dayanarak alt çeyreğin hesaplanmasını düşünün (Şekil 12).
Pirinç. 12. Kişi başına aylık ortalama nakit geliri olan Rus nüfusunun payı, ruble
Aralığın ilk çeyreğini hesaplamak için varyasyon serisi formülü kullanabilirsiniz:
burada Q1, birinci çeyreğin değeridir, xQ1, birinci çeyreği içeren aralığın alt sınırıdır (aralık, ilk olarak %25'i aşan birikmiş frekans tarafından belirlenir); i – aralık değeri; Σf – tüm numunenin frekanslarının toplamı; muhtemelen her zaman %100'e eşittir; SQ1–1 – alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın birikmiş frekansı; fQ1 – alt çeyreği içeren aralığın frekansı. Üçüncü çeyreğin formülü, her yerde Q1 yerine Q3 kullanmanız ve ¼ yerine ¾ kullanmanız gerektiği açısından farklılık gösterir.
Örneğimizde (Şekil 12), alt çeyrek 7000,1 – 10.000 aralığındadır ve bunun toplam frekansı %26,4'tür. Bu aralığın alt sınırı 7000 ruble, aralığın değeri 3000 ruble, alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın toplam frekansı %13,4, alt çeyreği içeren aralığın frekansı %13,0'dır. Böylece: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13,4) / 13 = 9677 ovma.
Tanımlayıcı İstatistiklerle İlişkili Tuzaklar
Bu yazıda, bir veri kümesinin ortalamasını, yayılmasını ve dağılımını değerlendiren çeşitli istatistikleri kullanarak nasıl tanımlanabileceğine baktık. Bir sonraki adım veri analizi ve yorumlamadır. Şimdiye kadar verilerin nesnel özelliklerini inceledik ve şimdi öznel yorumlarına geçiyoruz. Araştırmacı iki hatayla karşı karşıyadır: yanlış seçilmiş bir analiz konusu ve sonuçların yanlış yorumlanması.
Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerinin analizi oldukça tarafsızdır. Tamamen nesnel sonuçlara varmıştır: tüm yatırım fonlarının farklı getirileri vardır, fon getirilerinin dağılımı -6,1 ile 18,5 arasında değişmektedir ve ortalama getiri 6,08'dir. Veri analizinin objektifliği sağlanır doğru seçim dağılımın toplam niceliksel göstergeleri. Verilerin ortalamasını ve dağılımını tahmin etmek için çeşitli yöntemler dikkate alındı ve bunların avantajları ve dezavantajları belirtildi. Objektif ve tarafsız bir analiz sağlamak için doğru istatistikleri nasıl seçersiniz? Veri dağılımı biraz çarpıksa ortalama yerine medyanı mı seçmelisiniz? Hangi gösterge verinin yayılmasını daha doğru şekilde karakterize eder: standart sapma mı yoksa aralık mı? Dağılımın pozitif çarpık olduğunu belirtmeli miyiz?
Öte yandan veri yorumlama subjektif bir süreçtir. Farklı insanlar gelmek farklı sonuçlar, aynı sonuçları yorumluyor. Herkesin kendi bakış açısı vardır. Birisi çok yüksek risk seviyesine sahip 15 fonun toplam ortalama yıllık getirisinin iyi olduğunu düşünüyor ve elde edilen gelirden oldukça memnun. Diğerleri bu fonların getirisinin çok düşük olduğunu düşünebilir. Bu nedenle öznellik, dürüstlük, tarafsızlık ve sonuçların netliği ile telafi edilmelidir.
Etik konular
Veri analizi ayrılmaz bir şekilde etik konularla bağlantılıdır. Gazeteler, radyo, televizyon ve internet aracılığıyla yayılan bilgileri eleştirmelisiniz. Zamanla yalnızca sonuçlara değil, aynı zamanda araştırmanın hedeflerine, konusuna ve nesnelliğine de şüpheyle yaklaşmayı öğreneceksiniz. Ünlü İngiliz siyasetçi Benjamin Disraeli bunu en güzel şekilde ifade etmiştir: “Üç tür yalan vardır: Yalan, apaçık yalan ve istatistikler."
Notta belirtildiği gibi etik sorunlar Raporda sunulacak sonuçları seçerken ortaya çıkar. Hem olumlu hem de olumsuz sonuçlar yayınlanmalıdır. Ayrıca bir rapor veya yazılı rapor hazırlarken sonuçların dürüst, tarafsız ve objektif bir şekilde sunulması gerekir. Başarısız ve dürüst olmayan sunumlar arasında yapılması gereken bir ayrım vardır. Bunu yapmak için konuşmacının niyetinin ne olduğunu belirlemek gerekir. Bazen konuşmacı önemli bilgileri bilgisizliğinden dolayı atlar ve bazen de bunu kasıtlı olarak yapar (örneğin, istenen sonucu elde etmek amacıyla açıkça çarpık verilerin ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamayı kullanırsa). Araştırmacının bakış açısına uymayan sonuçların gizlenmesi de dürüstlüktür.
Levin ve diğerleri İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmıştır. – M.: Williams, 2004. – s. 178–209
DÖRTTEBİRLİK işlevi, Excel'in önceki sürümleriyle uyumluluk amacıyla korunmuştur.
Çok kullanışlı bir buluş bilgisayar dünyası- elektronik tablolar. Bunlara veri girebilir ve bunları kendi zevkinize (veya üstlerinizin zevkine) göre güzel bir şekilde belge biçiminde düzenleyebilirsiniz.
Böyle bir belgeyi bir kerede oluşturabilirsiniz - aslında, Excel terminolojisinde "çalışma kitabı" olarak adlandırılan bütün bir belge ailesini aynı anda oluşturabilirsiniz ( İngilizce versiyonuçalışma kitabı).
Excel nasıl davranır?
Daha sonra, veriler değiştiğinde yalnızca birkaç başlangıç sayısını değiştirmeniz gerekir ve ardından Excel, aritmetik ve diğerleri gibi birkaç işlemi aynı anda gerçekleştirecektir. Belgede var:
Bu amaçla program elektronik tablolar(ve Excel tek olmaktan çok uzaktır), halihazırda hata ayıklaması yapılmış ve çalıştırılabilir programlar kullanılarak gerçekleştirilen çok sayıda aritmetik araç ve hazır işlevler cephaneliği vardır. Bir formül yazarken, diğer işlenenlerin yanı sıra herhangi bir hücrede adı belirtmeniz yeterlidir. karşılık gelen fonksiyon ve parantez içinde argümanlar var.
Çok sayıda fonksiyon var ve uygulama alanlarına göre gruplandırılmıştır:
Birden fazla veriyi genelleştirmek için bir dizi var istatistiksel fonksiyonlar. Bir istatistikçinin sayılara baktığında aklına ilk gelen şey muhtemelen bazı verilerin ortalama değerini elde etmektir.
Ortalama nedir?
Bu, belirli bir sayı dizisinin alındığı ve bunlardan iki değerin hesaplandığı zamandır - toplam miktar sayılar ve toplamları, ardından ikincisi birinciye bölünür. Daha sonra değeri serinin tam ortasında bir yerde olan bir sayı elde edersiniz. Hatta belki serideki bazı rakamlarla örtüşecek.
Peki, bu sayının bu durumda son derece şanslı olduğunu varsayalım, ancak genellikle aritmetik ortalama yalnızca serisindeki sayılardan herhangi biriyle çakışmakla kalmaz, aynı zamanda dedikleri gibi "hiçbir kapıya sığmaz". bu seri. Örneğin, ortalama kişi sayısı N-Ska'daki bazı şehirlerdeki apartmanlarda 5.216 kişi yaşıyor olabilir. Bu nasıl? 5 kişi mi yaşıyor ve bunlardan 216 binde biri daha mı yaşıyor? Bilenler sadece sırıtacak: neden bahsediyorsun! Bunlar istatistik!
İstatistiksel (veya basitçe muhasebe) tablolar tamamen farklı formlar ve boyutları. Aslında şekil bir dikdörtgendir, ancak bunlar geniş, dar olabilir, tekrarlanabilir (örneğin, her haftanın verileri), çalışma kitabınızın farklı sayfalarına dağılmış olabilir.
Ve hatta diğer çalışma kitaplarında (yani İngilizce kitaplarda) ve hatta diğer bilgisayarlarda bile yerel ağ ya da söylemesi korkutucu, hayatımızın diğer uçlarında beyaz ışık, artık çok güçlü İnternet tarafından birleştirildi. Zaten internette çok saygın kaynaklardan pek çok bilgi elde edilebilir. bitmiş form. Daha sonra işleyin, analiz edin, sonuç çıkarmak, makaleler, tezler yazın...
Aslına bakılırsa bugün mucizevi formülü kullanarak bazı homojen veriler dizisinin ortalamasını hesaplamamız gerekiyor. elektronik tablo programı. Homojen, bazı benzer nesnelere ilişkin ve aynı ölçü birimlerindeki veriler anlamına gelir. Böylece insanlar asla patates çuvallarıyla, kilobaytlar ise ruble ve kopeklerle özetlenmeyecek.
Ortalama değeri bulma örneği
Başlangıç verilerinin bazı hücrelere yazılmasını sağlayalım. Genellikle genelleştirilmiş veriler veya orijinal verilerden elde edilen veriler bir şekilde buraya kaydedilir.
İlk veriler tablonun sol tarafında bulunur (örneğin, bir sütun, bir A çalışanı tarafından üretilen parça sayısıdır; bu, tabloda ayrı bir satıra karşılık gelir ve ikinci sütun, bir parçanın fiyatıdır) , son sütun A çalışanının para cinsinden çıktısını gösterir.
Daha önce bu bir hesap makinesi kullanılarak yapılıyordu, ancak artık bu kadar basit bir görevi asla hata yapmayan bir programa emanet edebilirsiniz.
Basit günlük kazanç tablosu
İşte resimde kazanç miktarı ve E sütunundaki her çalışan için parça sayısını (C sütunu) parçaların fiyatıyla (D sütunu) çarpma formülü kullanılarak hesaplanır.
O zaman tablonun diğer yerlerine bile adım atamayacak, formüllere bakamayacak. Ancak elbette o atölyedeki herkes, bireysel bir işçinin çıktısının, bir günde kazandığı paraya nasıl dönüştüğünü biliyor.
Toplam değerler
Daha sonra toplam değerler genellikle hesaplanır. Bunlar özet rakamlar atölye, alan veya tüm ekip boyunca. Genellikle bu rakamlar bazı patronlar tarafından diğerlerine, daha üst düzey patronlara rapor edilir.
Kaynak veri sütunlarında ve aynı zamanda türetilmiş sütunda yani kazanç sütununda tutarları bu şekilde hesaplayabilirsiniz.
Hemen belirteyim ki Excel tablosu oluşturulurken, hücrelerde koruma yapılmaz. Yoksa tabelanın kendisini nasıl çizeceğiz, tasarımı tanıtacağız, renklendireceğiz, akıllı ve doğru formüllere nasıl gireceğiz? Peki, her şey hazır olduğunda, bu çalışma kitabını (yani bir elektronik tablo dosyasını) tamamen farklı bir kişiye vermeden önce koruma yapılır. Evet, formüle yanlışlıkla zarar vermemek için dikkatsiz bir hareketten.
Ve artık kendi kendini hesaplayan masa, diğer atölye çalışanlarıyla birlikte atölyede çalışmaya başlayacak. Çalışma günü bittikten sonra, atölye çalışmasıyla ilgili tüm bu veri tabloları (ve sadece bir tanesi değil), ertesi gün bu verileri özetleyecek ve bazı sonuçlar çıkaracak olan üst yönetime aktarılır.
İşte bu, ortalama (ortalama - İngilizce)
İlk önce gelir ortalama parça sayısını hesaplayacak, çalışan başına günlük üretimin yanı sıra atölye çalışanlarının (ve ardından fabrikanın) ortalama günlük kazancı. Bunu tablomuzun son, en alt satırında da yapacağız.
Gördüğünüz gibi, önceki satırda hesaplanan tutarları, çalışan sayısına (bu durumda 6) bölerek kullanabilirsiniz.
Formüllerde sabitlere bölme, sabit sayılar bu kötü bir biçim. Peki ya başımıza olağandışı bir şey gelirse ve çalışan sayımız azalırsa? O zaman tüm formülleri gözden geçirmeniz ve her yerde yedi sayısını başka bir sayıyla değiştirmeniz gerekecek. Örneğin işareti şu şekilde “aldatabilirsiniz”:
Belirli bir sayı yerine, formüle A7 hücresine bir bağlantı ekleyin; seri numarası listedeki son çalışan. Yani bu çalışan sayısı olacaktır, yani ilgilendiğimiz sütunun tutarını sayıya doğru bir şekilde bölüp ortalama değeri elde ederiz. Gördüğünüz gibi, ortalama parça sayısı 73 olarak ortaya çıktı ve artı, genellikle yuvarlama yoluyla atılan sayılar (önemli olmasa da) açısından akıllara durgunluk veren bir ağırlık ortaya çıktı.
En yakın kopeğe yuvarlama
Yuvarlama yaygın bir eylemdir formüllerde, özellikle muhasebe formüllerinde, bir sayı diğerine bölünür. Üstelik bu ayrı konu muhasebede. Muhasebeciler uzun süredir ve titizlikle yuvarlama işiyle uğraşıyorlar: bölme yoluyla elde edilen her sayıyı hemen en yakın kopeğe yuvarlıyorlar.
Excel bir matematik programıdır. Bir kuruşun payına bile hayran değil - onu nereye koyacağı. Excel, tüm ondalık basamakları içerecek şekilde sayıları olduğu gibi saklar. Ve tekrar tekrar bu tür sayılarla hesaplamalar yapacak. Kuyu, nihai sonuç yuvarlayabilir (eğer komutu verirsek).
Sadece muhasebe bunun bir hata olduğunu söyleyecektir. Çünkü ortaya çıkan her "çarpık" sayıyı tam ruble ve kopeklere yuvarlıyorlar. Ve nihai sonuç genellikle paraya kayıtsız bir programınkinden biraz farklı olur.
Ama şimdi sana anlatacağım ana sır. Excel ortalama değeri biz olmadan bulabilir; bunun için yerleşik bir işlevi vardır. Yalnızca veri aralığını belirtmesi gerekiyor. Ve sonra kendisi bunları toplayacak, sayacak ve sonra kendisi miktarı miktara bölecek. Ve sonuç, adım adım anladığımızın aynısı olacaktır.
Bu işlevi bulmak için sonucunun yerleştirilmesi gereken E9 hücresine gidiyoruz - ortalama değer E sütununda simgeye tıklayın döviz Formül çubuğunun solundadır.
- “İşlev Sihirbazı” adında bir panel açılacaktır. Bu, programın tasarımına yardımcı olduğu çok adımlı bir diyalogdur (İngilizce Sihirbaz) karmaşık formüller. Ve yardımın zaten başladığını unutmayın: formül çubuğuna program bizim için = işaretini girdi.
- Artık sakin olabiliriz, program tüm zorluklarda bize rehberlik edecek (Rusça, hatta İngilizce bile) ve sonuç olarak inşa edilecek doğru formül hesaplama için.
Üst pencerede (“İşlev ara:”) burada arayabileceğimiz ve bulabileceğimiz yazıyor. Yani buraya “ortalama” yazıp “Bul” butonuna tıklayabilirsiniz (Bul, İngilizce). Ama bunu farklı şekilde yapabilirsiniz. Bu fonksiyonun istatistiksel kategoriden olduğunu biliyoruz. Böylece bu kategoriyi ikinci pencerede bulacağız. Ve aşağıda açılan listede “ORTALAMA” fonksiyonunu bulacağız.
Aynı zamanda orada ne kadar harika olduğunu da göreceğiz. birçok fonksiyonİstatistik kategorisinde yalnızca 7 ortalama bulunmaktadır. Ve her bir fonksiyon için imleci üzerlerine getirirseniz aşağıda görebilirsiniz kısa özet bu işlev için. Ve "Bu işlev için yardım" yazıtının daha da altına tıklarsanız, bunun çok ayrıntılı bir açıklamasını alabilirsiniz.
Şimdi sadece ortalamayı hesaplayacağız. Aşağıdaki düğmeden “Tamam”ı tıklayın (Amerikan dilinde daha muhtemel olmasına rağmen, anlaşma İngilizce olarak bu şekilde ifade edilir).
Program formülün başına girdi, şimdi ilk argümanın aralığını ayarlamanız gerekiyor. Sadece fareyle seçin. Tamam'a tıklayın ve sonucu alın. Sol buraya yuvarlama ekleyin C9 hücresine yaptığımız plakayı günlük kullanıma hazır hale getiriyoruz.
Çeşitli hesaplamalar için en uygun programdır. Kural olarak Excel, hemen hemen her bilgisayarda yüklü olan MS Office yazılım paketiyle birlikte gelir. Ancak çok az kişi bu programın ne kadar güçlü işlevselliğe sahip olduğunu biliyor. Excel'in temellerini öğrendikten sonra onu hemen hemen her faaliyet alanında kullanabilirsiniz. Bu program okul çocukları için matematik, fizik, kimya, ekonomi vb. alanlardaki problemleri çözmede çok faydalı olacaktır. Örneğin Excel'de ihtiyacınız olan sayıların ortalama değerini hızlı ve kolay bir şekilde bulabilirsiniz.
Ortalama değerin hesaplanmasına ilişkin video
Excel'de ortalama nasıl bulunur?
Peki aritmetik ortalama genellikle nasıl hesaplanır? Bunu yapmak için toplam sayılarına bölün. Çözüm için çok basit görevler Bu yeterlidir, ancak diğer tüm durumlarda bu seçenek çalışmayacaktır. Önemli olan şu ki gerçek durum sayılar her zaman değişir ve bu sayıların sayısı da değişir. Örneğin, bir kullanıcının öğrenci notlarını gösteren bir tablosu vardır. Ve bulman gerekiyor not ortalaması her öğrenci. Her birinin farklı notlara sahip olacağı ve farklı uzmanlık dallarındaki ve farklı derslerdeki konu sayısının da farklı olacağı açıktır. Tüm bunları manuel olarak takip etmek ve saymak çok aptalca (ve mantıksız) olurdu. Ve Excel'in herhangi bir sayının ortalama değerini bulmanıza yardımcı olacak özel bir işlevi olduğundan bunu yapmanıza gerek kalmayacak. Zaman zaman değişseler bile program yeni değerleri otomatik olarak yeniden hesaplayacaktır.
Kullanıcının önceden oluşturulmuş iki sütunlu bir tablosu olduğunu varsayabiliriz: ilk sütun konunun adı, ikincisi ise bu konunun notudur. Ve ortalama puanı bulmanız gerekiyor. Bunu yapmak için, aritmetik ortalamayı hesaplamaya yönelik bir formül yazmak üzere işlev sihirbazını kullanmanız gerekir. Bu oldukça basit bir şekilde yapılır:
- Menü çubuğundaki “Ekle - İşlev” öğelerini vurgulamanız ve seçmeniz gerekir.
- "Kategori" alanında "İstatistik" öğesini belirtmeniz gereken yeni bir "İşlev Sihirbazı" penceresi açılacaktır.
- Bundan sonra, "Bir işlev seçin" alanında "ORTALAMA" satırını bulmanız gerekir (listenin tamamı alfabetik olarak filtrelenmiştir, bu nedenle aramada herhangi bir sorun olmamalıdır).
- Ardından aritmetik ortalamanın hesaplanacağı hücre aralığını belirtmeniz gereken başka bir pencere açılacaktır.
- Tamam'a tıkladıktan sonra sonuç seçilen hücrede görüntülenecektir.
Örneğin şimdi öğelerden birinin değerini değiştirirseniz (veya tamamen silip alanı boş bırakırsanız), Excel formülü hemen yeniden hesaplayacak ve yeni bir sonuç üretecektir.
Ortalamayı hesaplamanın alternatif yolları
Excel'de ortalamayı bulmanın başka bir yolu da formül çubuğunu kullanmaktır.
Menü çubuğunun hemen altında ve Excel çalışma sayfasının ilk satırının hemen üstünde bulunur. Burada sergileniyorlar. Örneğin, ortalama değerin önceden hesaplandığı bir hücreye tıklarsanız formül çubuğunda aşağıdakine benzer bir şey görürsünüz: =ORTALAMA(B1:B6). Ve biraz solda, istenen işlevi seçmek için tanıdık bir pencere açabileceğiniz "fx" düğmesi bulunur.
Ayrıca herhangi bir formülü manuel olarak da yazabilirsiniz. Bunu yapmak için, seçilen herhangi bir hücreye "=" işaretini koymanız, formülü (ORTALAMA) manuel olarak girmeniz, parantezi açmanız, istediğiniz hücre aralığını seçmeniz ve parantezi kapatmanız gerekir. Sonuç hemen görüntülenecektir.
Bunun gibi basit bir şekilde ortalama değer şu şekilde hesaplanır: Microsoft Excel'in. Benzer şekilde, aritmetik ortalamayı tüm hücre aralığı için değil, yalnızca gerekli alanlar için hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için, bir hücre aralığı seçerken yalnızca “Ctrl” tuşunu basılı tutmanız ve istediğiniz her alana tek tek tıklamanız yeterlidir.
Aritmetik ortalama - istatistiksel gösterge, belirli bir veri kümesinin ortalama değerini gösterir. Bu gösterge, payı dizideki tüm değerlerin toplamı olan ve paydası onların sayısı olan bir kesir olarak hesaplanır. Aritmetik ortalama günlük hesaplamalarda kullanılan önemli bir katsayıdır.
Katsayının anlamı
Aritmetik ortalama, verileri karşılaştırmak ve kabul edilebilir bir değer hesaplamak için temel bir göstergedir. Örneğin, farklı mağazalar belirli bir üreticinin bir kutu birasını satıyor. Ancak bir mağazada 67 rubleye, diğerinde - 70 rubleye, üçüncüsünde - 65 rubleye ve sonuncusunda - 62 rubleye mal oluyor. Oldukça geniş bir fiyat aralığı var, bu nedenle alıcı kutunun ortalama maliyetiyle ilgilenecek ve böylece bir ürünü satın alırken maliyetlerini karşılaştırabilecektir. Şehirde bir kutu biranın ortalama fiyatı:
Ortalama fiyat = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 ruble.
Ortalama fiyatı bilerek, ürünü nerede satın almanın karlı olduğunu ve nerede fazla ödeme yapmanız gerektiğini belirlemek kolaydır.
Aritmetik ortalama, analiz edildiği durumlarda istatistiksel hesaplamalarda sürekli olarak kullanılır. homojen küme veri. Yukarıdaki örnekte aynı markanın bir kutu birasının fiyatıdır. Ancak biranın fiyatını karşılaştıramayız farklı üreticiler veya bira ve limonata fiyatları, çünkü bu durumda değerlerin yayılımı daha fazla olacak, ortalama fiyat bulanık ve güvenilmez olacak ve hesaplamaların anlamı karikatür noktasına kadar saptırılacaktır. ortalama sıcaklık hastane civarında." Heterojen veri kümelerini hesaplamak için, her değer kendi ağırlıklandırma katsayısını aldığında ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılır.
Aritmetik ortalamanın hesaplanması
Hesaplamaların formülü son derece basittir:
P = (a1 + a2 + … an) / n,
burada an miktarın değeridir, n ise değerlerin toplam sayısıdır.
Ne için kullanılabilir? bu gösterge? İlk ve en belirgin kullanımı istatistiktir. Hemen hemen her istatistiksel araştırma Aritmetik ortalama kullanılır. Olabilir orta yaş Rusya'da evlilik, bir okul çocuğunun bir dersteki ortalama notu veya günlük alışverişe yapılan ortalama harcama. Yukarıda bahsedildiği gibi ağırlıklar dikkate alınmadan ortalamaların hesaplanması garip veya saçma değerler üretebilir.
Örneğin, başkan Rusya Federasyonu istatistiklere göre bir Rus'un ortalama maaşının 27.000 ruble olduğunu açıkladı. Rusya'da yaşayanların çoğu için bu maaş düzeyi saçma görünüyordu. Hesaplarken oligarkların ve yöneticilerin gelirlerini hesaba katmanız şaşırtıcı değil. sanayi işletmeleri Bir yanda büyük bankacılar, diğer yanda öğretmenlerin, temizlikçilerin ve satıcıların maaşları. Örneğin muhasebeci gibi bir uzmanlık alanındaki ortalama maaşlarda bile Moskova, Kostroma ve Yekaterinburg'da ciddi farklılıklar olacaktır.
Heterojen veriler için ortalamalar nasıl hesaplanır?
Durumları sayarken ücretler Her değerin ağırlığını dikkate almak önemlidir. Bu, oligarkların ve bankacıların maaşlarının örneğin 0,00001 ve satıcı maaşlarının ise 0,12 ağırlık alacağı anlamına geliyor. Bunlar birdenbire ortaya çıkan rakamlar, ancak kabaca Rus toplumunda oligarkların ve satıcıların yaygınlığını gösteriyorlar.
Dolayısıyla heterojen bir veri kümesindeki ortalamaların veya ortalama değerlerin ortalamasını hesaplamak için aritmetik ağırlıklı ortalamanın kullanılması gerekir. Aksi takdirde alacaksınız ortalama maaş Rusya'da 27.000 ruble seviyesinde. Eğer bilmek istiyorsan ortalama derecelendirme matematikte veya seçilen hokey oyuncusunun attığı ortalama gol sayısı, o zaman aritmetik ortalama hesaplayıcı size uyacaktır.
Programımız aritmetik ortalamayı hesaplamak için basit ve kullanışlı bir hesap makinesidir. Hesaplamaları gerçekleştirmek için yalnızca parametre değerlerini girmeniz gerekir.
Birkaç örneğe bakalım
Ortalama puan hesaplaması
Birçok öğretmen bir konunun yıllık notunu belirlemek için aritmetik ortalama yöntemini kullanır. Çocuğun matematikte şu çeyrek notlarını aldığını düşünelim: 3, 3, 5, 4. Öğretmen ona yıllık olarak hangi notu verecek? Bir hesap makinesi kullanalım ve aritmetik ortalamayı hesaplayalım. Başlamak için uygun sayıda alanı seçin ve görünen hücrelere derecelendirme değerlerini girin:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
Öğretmen değeri öğrencinin lehine yuvarlayacak ve öğrenci o yıl için sağlam bir B alacak.
Yenen şekerlerin hesaplanması
Aritmetik ortalamanın bazı saçmalıklarını örnekleyelim. Masha ve Vova'nın 10 şekeri olduğunu hayal edelim. Masha 8 şeker yedi ve Vova sadece 2 şeker yedi. Her çocuk ortalama kaç şeker yedi? Bir hesap makinesi kullanarak ortalama olarak çocukların 5 şeker yediğini hesaplamak kolaydır ki bu tamamen yanlıştır ve sağduyu. Bu örnek, anlamlı veri kümeleri için aritmetik ortalamanın önemli olduğunu göstermektedir.
Çözüm
Aritmetik ortalamanın hesaplanması birçok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. bilimsel alanlar. Bu gösterge yalnızca istatistiksel hesaplamalarda değil aynı zamanda fizik, mekanik, ekonomi, tıp veya finans alanlarında da popülerdir. Aritmetik ortalamanın hesaplanmasıyla ilgili problemleri çözmek için hesap makinelerimizi yardımcı olarak kullanın.
