Tanım: L verilen olsun N- ölçülen doğrusal uzay. Sıfır olmayan bir L vektörüne denir özvektör doğrusal dönüşüm A, eğer eşitliği sağlayacak bir sayı varsa:

A
(7.1)

Bu durumda  sayısı çağrılır. özdeğer (karakteristik numarası) vektöre karşılık gelen doğrusal dönüşüm A .

Aktarıldıktan sağ taraf(7.1) sola doğru ve ilişkiyi dikkate alarak
(7.1)’i formda yeniden yazıyoruz

(7.2)

Denklem (7.2) doğrusal bir sisteme eşdeğerdir. homojen denklemler:

(7.3)

Doğrusal homojen denklemler (7.3) sisteminin sıfırdan farklı bir çözümünün varlığı için, bu sistemin katsayılarının determinantının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir;

|A-λE|=
(7.4)

Bu determinant λ'ya göre n'inci dereceden bir polinomdur ve şöyle adlandırılır: karakteristik polinom doğrusal dönüşüm A ve denklem (7.4) - karakteristik denklem matrisler A.

Tanım: Bazı bazlarda doğrusal bir dönüşüm A ise ,,…,A matrisi var =
, O özdeğerler A doğrusal dönüşümü karakteristik denklemin  1 ,  2 , … ,  n kökleri olarak bulunabilir:

düşünelim özel durum . A biraz olsun doğrusal dönüşüm matrisi eşit olan düzlem
. O halde A dönüşümü aşağıdaki formüllerle verilebilir:

;

bazı temelde
.

Bir A dönüşümünün özdeğeri  olan bir özvektörü varsa, o zaman A
.

veya

Çünkü özvektör sıfır değilse x 1 ve x 2 aynı anda sıfıra eşit değildir. Çünkü Verilen sistem homojen ise, önemsiz olmayan bir çözüme sahip olması için sistemin determinantı şu şekilde olmalıdır: sıfıra eşit. Aksi halde Cramer kuralına göre sistem tek çözüm– sıfır, bu imkânsız.

Ortaya çıkan denklem doğrusal dönüşümün karakteristik denklemi A.

Böylece özvektör bulunabilir (x 1, x 2) özdeğeri  olan doğrusal dönüşüm A; burada  karakteristik denklemin köküdür ve x 1 ve x 2,  değeri yerine konulduğunda denklem sisteminin kökleridir.

Karakteristik denklemin gerçel kökleri yoksa, doğrusal dönüşüm A'nın özvektörlerinin olmadığı açıktır.

Şunu belirtmek gerekir ki A dönüşümünün özvektörü ise, ona eşdoğrusal olan herhangi bir vektör aynı zamanda aynı özdeğere sahip özvektördür.

Gerçekten mi,. Vektörlerin aynı kökene sahip olduğunu dikkate alırsak, bu vektörler sözde kendi yönü veya kendi hattı.

Çünkü karakteristik denklemin iki farklı gerçek kökü olabilir ( 1 ve  2), bu durumda bunları denklem sistemine yerleştirdiğimizde sonsuz sayıda çözüm elde ederiz. (Çünkü denklemler doğrusal bağımlıdır). Bu çözüm kümesi iki şeyi belirler: kendi hatları.

Karakteristik denklemin iki değeri varsa eşit kökler 1 = 2 =, o zaman ya tek bir doğru çizgi vardır ya da sisteme değiştirildiğinde şu formdaki bir sisteme dönüşürse:
. Bu sistem x 1 ve x 2'nin herhangi bir değerini karşılar. O zaman tüm vektörler özvektör olacaktır ve böyle bir dönüşüme denir. benzerlik dönüşümü.

Örnek.
.

Örnek. A = matrisi ile doğrusal bir dönüşümün karakteristik sayılarını ve özvektörlerini bulun
.

Doğrusal dönüşümü şu şekilde yazalım:

Karakteristik bir denklem oluşturalım:

 2 - 4+ 4 = 0;

Karakteristik denklemin kökleri:  1 = 2 = 2;

Şunu elde ederiz:

Sistem bir bağımlılık üretir: X 1 – X 2 = 0. Karakteristik denklemin ilk köküne ait özvektörler koordinatlara sahiptir: ( T ; T ) Nerede T- parametre.

Özvektör şu şekilde yazılabilir:
.

Başka bir tane düşünelim özel durum. Eğer üç boyutlu doğrusal uzayda belirtilen A doğrusal dönüşümünün özvektörüdür ve x 1, x 2, x 3 bu vektörün belirli bir bazdaki bileşenleridir
, O

burada , A dönüşümünün özdeğeridir (karakteristik sayısı).

Doğrusal dönüşüm matrisi A şu forma sahipse:

, O

Karakteristik denklem:

Determinantı genişleterek  için kübik bir denklem elde ederiz. Herhangi kübik denklem Reel katsayılı denklemlerin bir ya da üç reel kökü vardır.

O halde üç boyutlu uzaydaki herhangi bir doğrusal dönüşümün özvektörleri vardır.

Örnek. Doğrusal dönüşüm A'nın karakteristik sayılarını ve özvektörlerini bulun, doğrusal dönüşüm matrisi A = .

Örnek. Doğrusal dönüşüm A'nın karakteristik sayılarını ve özvektörlerini bulun, doğrusal dönüşüm matrisi A =
.

Karakteristik bir denklem oluşturalım:

-(3 + )((1 -)(2 -) – 2) + 2(4 - 2- 2) - 4(2 - 1 +) = 0

-(3 + )(2 -- 2+ 2 - 2) + 2(2 - 2) - 4(1 +) = 0

-(3 + )( 2 - 3) + 4 - 4- 4 - 4= 0

3 2 + 9- 3 + 3 2 - 8= 0

 1 = 0; 2 = 1; 3 = -1;

 1 = 0 için:

Eğer x 3 = 1 alırsak, x 1 = 0, x 2 = -2 elde ederiz

Özvektörler
t, burada t bir parametredir.

Benzer şekilde bulabilirsiniz Ve  2 ve  3 için.

Özdeğerler (sayılar) ve özvektörler.
Çözüm örnekleri

Kendin ol

Her iki denklemden de şu çıkıyor.

O zaman şunu koyalım: .

Sonuç olarak: – ikinci özvektör.

tekrarlayalım önemli noktalarçözümler:

– ortaya çıkan sistem kesinlikle genel çözüm(denklemler doğrusal olarak bağımlıdır);

– “y”yi tam sayı, ilk “x” koordinatı ise tam sayı, pozitif ve mümkün olduğu kadar küçük olacak şekilde seçiyoruz.

– Belirli bir çözümün sistemin her denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol ederiz.

Cevap .

Yeterince ara "kontrol noktası" vardı, bu nedenle eşitliğin kontrol edilmesi prensipte gereksizdir.

İÇİNDE çeşitli kaynaklar bilgi, özvektörlerin koordinatları sıklıkla sütunlar halinde değil satırlar halinde yazılır, örneğin: (ve dürüst olmak gerekirse ben de bunları satırlar halinde yazmaya alışkınım). Bu seçenek kabul edilebilir, ancak konunun ışığında doğrusal dönüşümler teknik olarak kullanımı daha uygun sütun vektörleri.

Belki çözüm size çok uzun göründü ama bunun nedeni ilk örnekte çok detaylı yorum yapmamdır.

Örnek 2

Matrisler

Kendi başımıza antrenman yapalım! Yaklaşık örnek Dersin sonunda görevi bitirmek.

Bazen yapman gerekir ek görev yani:

kanonik matris ayrıştırmasını yazın

Nedir?

Matrisin özvektörleri ise temel ise şu şekilde temsil edilebilir:

Özvektörlerin koordinatlarından oluşan bir matris nerede, – diyagonal karşılık gelen özdeğerlere sahip matris.

Bu matris ayrıştırmasına denir kanonik veya diyagonal.

İlk örneğin matrisine bakalım. Özvektörleri doğrusal bağımsız(doğrusal olmayan) ve bir temel oluşturur. Koordinatlarından bir matris oluşturalım:

Açık ana diyagonal matrisler uygun sıraylaözdeğerler bulunur ve kalan elemanlar sıfıra eşittir:
– Sıranın önemini bir kez daha vurguluyorum: “iki” 1. vektöre karşılık gelir ve bu nedenle 1. sütunda yer alır, “üç” ise 2. vektöre karşılık gelir.

Bulmak için olağan algoritmayı kullanma ters matris veya Gauss-Jordan yöntemi buluruz . Hayır, bu bir yazım hatası değil! - senden önce nadirdir, sanki güneş tutulması tersinin orijinal matrisle çakıştığı bir olay.

Geriye matrisin kanonik ayrışmasını yazmaya devam ediyor:

Sistem kullanılarak çözülebilir temel dönüşümler ve içinde aşağıdaki örnekler başvuracağız bu yöntem. Ancak burada "okul" yöntemi çok daha hızlı çalışıyor. 3. denklemden şunu ifade ederiz: – ikinci denklemde yerine koyarız:

İlk koordinat sıfır olduğundan, her denklemden bunu takip eden bir sistem elde ederiz.

Ve yine doğrusal bir ilişkinin zorunlu varlığına dikkat edin. Sadece önemsiz bir çözüm elde edilirse , bu durumda ya özdeğer hatalı bulunmuştur ya da sistem bir hatayla derlenmiştir/çözülmüştür.

Kompakt koordinatlar değeri verir

Özvektör:

Ve bir kez daha çözümün bulunup bulunmadığını kontrol ediyoruz sistemin her denklemini karşılar. Sonraki paragraflarda ve sonraki görevlerde bu isteğin zorunlu bir kural olarak alınmasını öneriyorum.

2) Özdeğer için aynı prensibi kullanarak şunu elde ederiz: aşağıdaki sistem:

Sistemin 2. denkleminden şunu ifade ederiz: – üçüncü denklemde yerine şunu koyarız:

“Zeta” koordinatı sıfıra eşit olduğundan, takip ettiği her denklemden bir sistem elde ederiz. doğrusal bağımlılık.

İzin vermek

Çözümün kontrol edilmesi sistemin tüm denklemlerini karşılar.

Dolayısıyla özvektör: .

3) Ve son olarak sistem özdeğere karşılık gelir:

İkinci denklem en basit gibi göründüğü için onu ifade edelim ve 1. ve 3. denklemlerde yerine koyalım:

Her şey yolunda - ifadenin yerine koyduğumuz doğrusal bir ilişki ortaya çıktı:

Sonuç olarak “x” ve “y” “z” ile ifade edildi: . Uygulamada bu tür ilişkilerin tam olarak sağlanması gerekli değildir; bazı durumlarda hem aracılığıyla hem de yoluyla ifade etmek daha uygundur. Hatta "eğitim" - örneğin "X"ten "I"ye ve "I"den "Z"ye

O zaman şunu koyalım:

Çözümün bulunup bulunmadığını kontrol ediyoruz sistemin her denklemini karşılar ve üçüncü özvektörü yazar

Cevap: özvektörler:

Geometrik olarak bu vektörler üç farklı uzaysal yönü tanımlar ("ileri geri") buna göre doğrusal dönüşüm sıfır olmayan vektörleri (özvektörleri) eşdoğrusal vektörlere dönüştürür.

Koşul kanonik ayrıştırmanın bulunmasını gerektiriyorsa bu burada mümkündür, çünkü çeşitli özdeğerler farklı doğrusal bağımsız özvektörlere karşılık gelir. Matris yapmak koordinatlarından diyagonal bir matris itibaren ilgiliözdeğerler ve bulma ters matris .

Koşula göre yazmanız gerekiyorsa özvektörler temelinde doğrusal dönüşüm matrisi, ardından cevabı formda veriyoruz. Bir fark var ve fark önemli!Çünkü bu matris “de” matrisidir.

Daha fazlası ile ilgili sorun basit hesaplamalarİçin bağımsız karar:

Örnek 5

Bir matris tarafından verilen doğrusal dönüşümün özvektörlerini bulun

Kendi numaralarınızı bulurken 3. derece polinoma kadar gitmemeye çalışın. Ayrıca sistem çözümleriniz benim çözümlerimden farklı olabilir - burada kesinlik yoktur; ve bulduğunuz vektörler örnek vektörlerden ilgili koordinatlarının orantılılığına kadar farklılık gösterebilir. Örneğin ve. Cevabı formda sunmak estetik açıdan daha hoş ama ikinci seçenekte durursanız sorun olmaz. Ancak her şeyin makul sınırları var; sürüm artık pek iyi görünmüyor.

Dersin sonunda ödevin yaklaşık son örneği.

Çoklu özdeğer durumunda problem nasıl çözülür?

Genel algoritma Aynı kalır, ancak kendine has özellikleri vardır ve çözümün bazı bölümlerinin daha katı bir akademik tarzda tutulması tavsiye edilir:

Örnek 6

Özdeğerleri ve özvektörleri bulun

Çözüm

Tabii ki, muhteşem ilk sütunu büyük harfle yazalım:

Ve ayrışmadan sonra ikinci dereceden üç terimliçarpanlara göre:

Sonuç olarak, ikisi kat olan özdeğerler elde edilir.

Özvektörleri bulalım:

1) "Basitleştirilmiş" bir şemaya göre yalnız bir askerle ilgilenelim:

Son iki denklemden eşitlik açıkça görülebilmektedir ve bunun sistemin 1. denkleminde değiştirilmesi gerektiği açıktır:

Daha iyi bir kombinasyon bulamazsınız:
Özvektör:

2-3) Şimdi birkaç nöbetçiyi kaldırıyoruz. İÇİNDE bu durumda işe yarayabilir ya iki ya da birözvektör. Köklerin çokluğuna bakılmaksızın değeri determinantın yerine koyarız. bu da bize bir sonrakini getiriyor homojen doğrusal denklem sistemi:

Özvektörler tam olarak vektörlerdir
temel çözüm sistemi

Aslında tüm ders boyunca temel sistemin vektörlerini bulmaktan başka bir şey yapmadık. Sadece şimdilik bu terim buna gerçekten ihtiyacım yoktu. Bu arada, kamuflaj elbiseli konuyu kaçıran zeki öğrenciler homojen denklemler, şimdi onu içmeye zorlanacak.

Tek işlem silmekti ekstra çizgiler. Sonuç, ortasında resmi bir "adım" bulunan bire üç matristir.
– temel değişken, – serbest değişkenler. İki serbest değişken vardır, bu nedenle temel sistemin iki vektörü de vardır.

Temel değişkeni serbest değişkenler cinsinden ifade edelim: . “X” in önündeki sıfır çarpanı, kesinlikle herhangi bir değeri almasına izin verir (ki bu, denklem sisteminden açıkça görülebilir).

Bu problem bağlamında genel çözümü arka arkaya değil sütun halinde yazmak daha uygundur:

Çift bir özvektöre karşılık gelir:
Çift bir özvektöre karşılık gelir:

Not : deneyimli okuyucular bu vektörleri sözlü olarak seçebilirler - yalnızca sistemi analiz ederek , ancak burada biraz bilgiye ihtiyaç vardır: üç değişken vardır, sistem matris sıralaması- bir, yani temel karar sistemi 3 – 1 = 2 vektörden oluşur. Ancak bulunan vektörler bu bilgi olmadan bile tamamen sezgisel düzeyde açıkça görülebilir. Bu durumda üçüncü vektör daha da “güzel” yazılacaktır: . Ancak bir başka örnekte basit bir seçimin mümkün olmayabileceği konusunda sizi uyarıyorum, bu nedenle madde tecrübeli kişilere yöneliktir. Ayrıca neden üçüncü vektörü de almayasınız? Sonuçta koordinatları aynı zamanda sistemin her denklemini ve vektörleri de karşılar doğrusal bağımsız. Bu seçenek prensipte uygundur ancak "çarpıktır", çünkü "diğer" vektör temel sistemin vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir.

Cevap: özdeğerler: , özvektörler:

Benzer örnek bağımsız çözüm için:

Örnek 7

Özdeğerleri ve özvektörleri bulun

Dersin sonunda nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Hem 6. hem de 7. örneklerde doğrusal olarak bağımsız özvektörlerin üçlüsünün elde edildiğine ve dolayısıyla orijinal matrisin kanonik ayrıştırmada temsil edilebildiğine dikkat edilmelidir. Ancak bu tür ahududular her durumda olmaz:

Örnek 8

Çözüm: Karakteristik denklemi oluşturup çözelim:

İlk sütundaki determinantı genişletelim:

3. derece polinomdan kaçınarak, dikkate alınan metodolojiye göre daha fazla basitleştirmeler yapıyoruz:

– özdeğerler.

Özvektörleri bulalım:

1) Kökle ilgili herhangi bir zorluk yoktur:

Şaşırmayın, kitin yanı sıra kullanılan değişkenler de var - burada hiçbir fark yok.

3. denklemden ifade edip 1. ve 2. denklemlerde yerine koyuyoruz:

Her iki denklemden de şu sonuç çıkar:

O halde:

2-3) Birden fazla değer için sistemi alıyoruz .

Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getirelim:

Köşegen matrisler en basit yapıya sahiptir. Doğrusal operatörün matrisinin köşegen formda olacağı bir taban bulmanın mümkün olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Böyle bir temel mevcut.
Bize bir Rn doğrusal uzayı ve onun içinde hareket eden bir doğrusal A operatörü verilsin; bu durumda A operatörü R n'yi kendi içine alır, yani A:R n → R n .

Tanım. Sıfır olmayan bir x vektörüne, eğer A operatörü x'i eşdoğrusal bir vektöre dönüştürüyorsa, A operatörünün özvektörü denir. λ sayısına, x özvektörüne karşılık gelen A operatörünün özdeğeri veya özdeğeri denir.
Özdeğerlerin ve özvektörlerin bazı özelliklerine dikkat edelim.
1. Özvektörlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonu Aynı özdeğer λ'ya karşılık gelen A operatörü, aynı özdeğere sahip bir özvektördür.
2. Özvektörler çift ​​olarak farklı özdeğerlere sahip A operatörü λ 1 , λ 2 , …, λ m doğrusal olarak bağımsızdır.
3. Özdeğerler λ 1 =λ 2 = λ m = λ ise, o zaman özdeğer λ m'den fazla doğrusal bağımsız özvektöre karşılık gelmez.

Yani, eğer n tane doğrusal bağımsız özvektör varsa farklı özdeğerlere karşılık gelen λ 1, λ 2, …, λ n, o zaman doğrusal olarak bağımsızdırlar, bu nedenle R n uzayının temeli olarak alınabilirler. Temel vektörler üzerinde A operatörüyle hareket ettiğimiz özvektörleri temelinde doğrusal operatör A'nın matrisinin formunu bulalım: Daha sonra .
Böylece, doğrusal operatör A'nın özvektörleri temelinde matrisi köşegen bir forma sahiptir ve A operatörünün özdeğerleri köşegen boyuncadır.
Matrisin köşegen formda olduğu başka bir taban var mı? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem. (i = 1..n) bazındaki doğrusal bir A operatörünün matrisi, ancak ve ancak bazın tüm vektörlerinin A operatörünün özvektörleri olması durumunda köşegen bir forma sahiptir.

Özdeğerleri ve özvektörleri bulma kuralı

. (*)

(1)
Nerede - doğrusal operatör matrisi.

Eğer determinantı D sıfıra eşitse, Sistem (1)'in sıfır olmayan bir çözümü vardır

Örnek 12. Doğrusal operatör A, yasaya göre R3'te hareket eder; burada x 1, x 2, .., x n, vektörün tabandaki koordinatlarıdır , , . Bu operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun.
Çözüm. Bu operatörün matrisini oluşturuyoruz:
.
Özvektörlerin koordinatlarını belirlemek için bir sistem oluşturuyoruz:

Karakteristik bir denklem oluşturup çözüyoruz:

.
λ1,2 = -1, λ3 = 3.
λ = -1'i sisteme koyarsak:
veya
Çünkü O zaman iki bağımlı değişken ve bir serbest değişken vardır.
x 1 serbest bir bilinmeyen olsun, o zaman Bu sistemi herhangi bir şekilde çözüyoruz ve bu sistemin genel çözümünü buluyoruz: Temel sistem n - r = 3 - 2 = 1 olduğundan çözümler tek çözümden oluşur.
λ = -1 özdeğerine karşılık gelen özvektörler kümesi şu biçimdedir: burada x1 sıfırdan farklı herhangi bir sayıdır. Bu kümeden bir vektör seçelim, örneğin x 1 = 1 koyarak: .
Benzer şekilde akıl yürüterek, λ = 3 özdeğerine karşılık gelen özvektörü buluruz: .
R3 uzayında temel üç doğrusal elemandan oluşur. bağımsız vektörler R3'te bir bazın oluşturulamayacağı yalnızca iki doğrusal bağımsız özvektör aldık. Sonuç olarak, doğrusal bir operatörün A matrisini köşegen forma indirgeyemeyiz.

Örnek 13. Bir matris verildiğinde .
1. Vektörün olduğunu kanıtlayın A matrisinin bir özvektörüdür. Bu özvektöre karşılık gelen özdeğeri bulun.
2. A matrisinin köşegen formda olduğu bir taban bulun.
Çözüm.
1. Eğer ise x bir özvektördür

.
Vektör (1, 8, -1) bir özvektördür. Özdeğer λ = -1.
Matris, özvektörlerden oluşan bir temelde köşegen bir forma sahiptir. Bunlardan biri ünlü. Gerisini bulalım.
Sistemden özvektörleri arıyoruz:

Karakteristik denklem: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ2 - 1) = 0
λ1 = -3, λ2 = 1, λ3 = -1.
λ = -3 özdeğerine karşılık gelen özvektörü bulalım:

Bu sistemin matrisinin rütbesi ikidir ve sayıya eşit bilinmeyenler olduğundan bu sistemin yalnızca sıfır çözümü x 1 = x 3 = 0 vardır. Burada x 2 sıfırdan başka herhangi bir şey olabilir, örneğin x 2 = 1. Dolayısıyla (0,1,0) vektörü bir özvektördür λ = -3'e karşılık gelir. Kontrol edelim:
.
Eğer λ = 1 ise sistemi elde ederiz
Matrisin rütbesi ikidir. Son denklemin üzerini çiziyoruz.
x 3 bir serbest bilinmeyen olsun. O zaman x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
X 3 = 1 varsayarsak, (-3,-9,1) - λ = 1 özdeğerine karşılık gelen bir özvektörümüz var. Kontrol edin:

.
Özdeğerler gerçel ve farklı olduğundan bunlara karşılık gelen vektörler doğrusal olarak bağımsızdır, dolayısıyla R3'te temel alınabilirler. Böylece temelde , , A matrisi şu şekildedir:
.
Bir doğrusal operatör A:R n → R n'nin her matrisi köşegen forma indirgenemez, çünkü bazı doğrusal operatörler için n'den daha az doğrusal bağımsız özvektör bulunabilir. Bununla birlikte, matris simetrikse, m çokluğunun karakteristik denkleminin kökü tam olarak m doğrusal bağımsız vektöre karşılık gelir.

Tanım. Simetrik bir matris, ana köşegen etrafında simetrik olan elemanların eşit olduğu, yani .
Notlar. 1. Simetrik bir matrisin tüm özdeğerleri gerçektir.
2. İkili olarak farklı özdeğerlere karşılık gelen simetrik bir matrisin özvektörleri diktir.
Çalışılan aparatın birçok uygulamasından biri olarak, ikinci dereceden bir eğrinin tipini belirleme problemini ele alıyoruz.

Nerede? belirli bir skalerdir, yani gerçek veya karmaşık sayı.
Yani matrisin özvektörleri A doğrusal bir dönüşümün etkisi altında matris tarafından belirtilen sıfırdan farklı vektörlerdir A yönü değiştirmez, ancak uzunluğu bir faktör kadar değiştirebilir mi?
Matrisin boyutları şundan fazla değildir: N bunlara karşılık gelen özvektörler ve özdeğerler.
İlişki (*) aynı zamanda bir vektör uzayındaki doğrusal operatör için de anlamlıdır V. Eğer bu uzay sonlu boyutlu ise operatör belirli bir tabana göre matris olarak yazılabilir. V.
Özvektörler ve özdeğerler, temel seçiminden bağımsız olarak koordinatlar kullanılmadan belirtildiği için. Bu nedenle benzer matrisler aynı özdeğerlere sahiptir.
Matrislerin özdeğerlerinin anlaşılmasında öncü rol Hamilton-Cayley teoremi tarafından oynanır. Bundan matrisin özdeğerlerinin olduğu sonucu çıkar A ve yalnızca onlar köklerdir karakteristik polinom matrisler A:

P (?) bir derece polinomudur N, bu nedenle cebirin temel teoremine göre tam olarak var Nçoklukları dikkate alınarak karmaşık özdeğerler.
Yani matris A artık yok Nözdeğerler (ancak her biri için birçok özvektör).
Karakteristik polinomu köklerine göre yazalım:

Bir matrisin karakteristik polinomunun kökünün çokluğuna denir cebirsel çokluközdeğer
Sonlu boyutlu bir vektör uzayındaki bir matrisin veya doğrusal operatörün tüm özdeğerlerinin kümesine denir spektrum matris veya doğrusal operatör. (Bu terminoloji, deri olmayan diğer dünya için değiştirildi vektör uzayları: V genel durum operatörün spektrumu özdeğer olmayan ?'yi içerebilir.)
Bir matrisin karakteristik polinomu ile onun özdeğerleri arasındaki bağlantıdan dolayı, ikincisine aynı zamanda denir. karakteristik sayılar matrisler.
Her özdeğer için kendi denklem sistemimizi elde ederiz:

Neye sahip olacak doğrusal bağımsız kararlar.
Sistem formlarının tüm çözümlerinin kümesi doğrusal alt uzay boyutlar ve denir kendi alanı(İngilizce) özuzay)özdeğerleri olan matrisler.
Uygun uzayın boyutuna denir geometrik çokluk karşılık gelen özdeğer?
Tüm özuzaylar, için değişmez altuzaylardır.
Aynı özdeğere sahip en az iki doğrusal bağımsız özvektör varsa, bu tür bir özdeğere denir. dejenere. Bu terminoloji öncelikle özdeğerlerin geometrik ve cebirsel çoklukları örneğin Hermit matrisleri için çakıştığında kullanılır.

Nerede - Kare matris boyut nxn,-İkinci sütunu bir vektör olan A – Bu, karşılık gelen değerleri içeren köşegen bir matristir.

Özdeğer problemi, bir matrisin özvektörlerini ve sayılarını bulma problemidir.
Tanım gereği (karakteristik denklemi kullanarak), yalnızca boyutları beşten küçük olan matrislerin özdeğerlerini bulabilirsiniz. Karakteristik denklemin derecesi vardır eşit olarak matrisler. İçin daha yüksek dereceler Denklemin çözümlerini bulmak çok sorunlu hale geliyor, bu yüzden çeşitli yöntemler kullanıyorlar. sayısal yöntemler
Çeşitli görevler almayı gerektirir farklı miktarlarözdeğerler. Bu nedenle, her biri kendi yöntemlerini kullanan özdeğerlerin bulunmasında çeşitli problemler vardır.
Özdeğerlerin kısmi probleminin tam problemin kısmi problemi olduğu ve tam problemle aynı yöntemlerle çözüldüğü görülmektedir. Ancak belirli problemlere uygulanan yöntemler çok daha verimli olduğundan yüksek boyutlu matrislere de uygulanabilir (örneğin, nükleer fizik 10 3 – 10 6) boyutlarındaki matrisler için özdeğer bulmada sorunlar ortaya çıkar.
Jacobi yöntemi

En eski ve en iyilerden biri ortak yaklaşımlar bir karara tam sorunözdeğerler, ilk kez 1846'da yayınlanan Jacobi yöntemidir.
Yöntem simetrik bir matrise uygulanır A
Bu, bir özvektör matrisinin bir dizi çarpma ile hesaplandığı basit bir yinelemeli algoritmadır.

A matrisinde, AX = lX olacak şekilde bir l sayısı varsa.

Bu durumda l numarası çağrılır. özdeğer X vektörüne karşılık gelen operatör (matris A).

Başka bir deyişle, bir özvektör, doğrusal bir operatörün etkisi altında eşdoğrusal bir vektöre dönüşen bir vektördür; sadece bir sayıyla çarpın. Buna karşılık, uygunsuz vektörlerin dönüştürülmesi daha karmaşıktır.

Bir özvektörün tanımını bir denklem sistemi biçiminde yazalım:

Tüm terimleri sol tarafa taşıyalım:

İkinci sistem matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:

(A - lE)X = O

Ortaya çıkan sistemin her zaman sıfır çözümü X = O'dur. Her şeyin olduğu sistemler ücretsiz üyeler sıfıra eşit olanlara denir homojen. Böyle bir sistemin matrisi kare ise ve determinantı sıfıra eşit değilse, Cramer formüllerini kullanarak her zaman benzersiz bir çözüm elde edeceğiz - sıfır. Bir sistemin sıfırdan farklı çözümlere sahip olduğu ancak ve ancak bu matrisin determinantının sıfıra eşit olması durumunda kanıtlanabilir;

|A - lE| = = 0

Bilinmeyen l'li bu denklem denir karakteristik denklem (karakteristik polinom) matris A (doğrusal operatör).

Doğrusal bir operatörün karakteristik polinomunun baz seçimine bağlı olmadığı kanıtlanabilir.

Örneğin A = matrisiyle tanımlanan doğrusal operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulalım.

Bunu yapmak için |A - lE| karakteristik denklemini oluşturalım. = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; özdeğerler l 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Özvektörleri bulmak için iki denklem sistemini çözeriz

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Bunlardan ilki için genişletilmiş matris şu şekli alır:

,

dolayısıyla x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, yani. X(1) = (-(2/3)s;s).

İkincisi için genişletilmiş matris şu şekli alır:

,

buradan x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, yani. X(2) = ((2/3)s1;s1).

Dolayısıyla, bu doğrusal operatörün özvektörlerinin tümü (-(2/3)с; с) formundaki ve özdeğeri (-5) olan vektörler ve ((2/3)с 1 ; с 1) formundaki tüm vektörlerdir ve özdeğeri (-5)'dir. özdeğer 7.

A operatörünün matrisinin özvektörlerinden oluşan temelde köşegen olduğu ve şu şekilde olduğu kanıtlanabilir:

,

burada ben bu matrisin özdeğerleridir.

Bunun tersi de doğrudur: Eğer A matrisi bir bazda köşegen ise, o zaman bu bazın tüm vektörleri bu matrisin özvektörleri olacaktır.

Aynı zamanda, bir doğrusal operatörün n tane ikili farklı özdeğeri varsa, o zaman karşılık gelen özvektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve bu operatörün matrisinin karşılık gelen tabanda köşegen bir forma sahip olduğu da kanıtlanabilir.

Bunu önceki örnekle açıklayalım. Rasgele sıfır olmayan c ve c1 değerlerini alalım, ancak X (1) ve X (2) vektörleri doğrusal olarak bağımsız olacak şekilde, yani. bir temel oluşturacaktı. Örneğin c = c 1 = 3 olsun, bu durumda X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3) olur.

Emin olalım doğrusal bağımsızlık bu vektörler:

12 ≠ 0. Bu yeni temelde A matrisi A * = formunu alacaktır.

Bunu doğrulamak için A * = C -1 AC formülünü kullanalım. İlk önce C-1'i bulalım.

C-1 = ;

İkinci dereceden şekiller

İkinci dereceden şekil n değişkenin f(x 1, x 2, x n)'sine, her terimi ya değişkenlerden birinin karesi ya da iki farklı değişkenin belirli bir katsayı ile çarpımı olan toplam denir: f(x 1 , x 2, x n) = (bir ij = bir ji).

Bu katsayılardan oluşan A matrisine denir matris ikinci dereceden form. Her zaman simetrik matris (yani ana köşegen etrafında simetrik bir matris, a ij = a ji).

İÇİNDE matris gösterimi ikinci dereceden form f(X) = X T AX formuna sahiptir, burada

Aslında

Örneğin ikinci dereceden formu matris formunda yazalım.

Bunu yapmak için ikinci dereceden formda bir matris buluyoruz. Çapraz elemanları, kare değişkenlerin katsayılarına eşittir ve geri kalan elemanlar, ikinci dereceden formun karşılık gelen katsayılarının yarısına eşittir. Bu yüzden

X değişkenlerinin matris sütunu, Y matris sütununun dejenere olmayan doğrusal dönüşümüyle elde edilsin; X = CY, burada C n'inci dereceden tekil olmayan bir matristir. O zaman ikinci dereceden f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Böylece, dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm C ile ikinci dereceden formun matrisi şu şekli alır: A * = C T AC.

Örneğin, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ikinci dereceden formundan doğrusal dönüşümle elde edilen ikinci dereceden f(y 1, y 2) formunu bulalım.

İkinci dereceden form denir kanonik(sahip olmak kanonik görünüm), eğer i ≠ j için tüm katsayıları a ij = 0 ise, yani
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Matrisi köşegendir.

Teorem(kanıt burada verilmemiştir). Herhangi bir ikinci dereceden form şuna indirgenebilir: kanonik form dejenere olmayan bir doğrusal dönüşüm kullanarak.

Örneğin ikinci dereceden formu kanonik forma indirgeyelim.
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Bunu yapmak için önce seçiyoruz mükemmel kare değişken x 1 ile:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x2 2 -x2x3.

Şimdi x 2 değişkenine sahip tam bir kare seçiyoruz:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Daha sonra dejenere olmayan doğrusal dönüşüm y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 ve y 3 = x 3, bu ikinci dereceden formu f(y 1, y 2) kanonik formuna getirir , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

İkinci dereceden bir formun kanonik formunun belirsiz bir şekilde belirlendiğine dikkat edin (aynı ikinci dereceden form kanonik forma indirgenebilir) farklı şekillerde). Ancak alınan çeşitli şekillerde kanonik formların bir takım özellikleri vardır genel özellikler. Özellikle, ikinci dereceden bir formun pozitif (negatif) katsayılarına sahip terimlerin sayısı, formun bu forma indirgeme yöntemine bağlı değildir (örneğin, ele alınan örnekte her zaman iki negatif ve bir pozitif katsayı olacaktır). Bu özelliğe ikinci dereceden formların eylemsizlik yasası denir.

Aynı ikinci dereceden formu kanonik forma farklı bir şekilde getirerek bunu doğrulayalım. Dönüşüme x 2 değişkeniyle başlayalım:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, burada y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ve y3 = x 1 . Burada y 1'de negatif bir katsayı -3 ve y 2 ve y 3'te iki pozitif katsayı 3 ve 2 vardır (ve başka bir yöntem kullanarak y 2'de negatif bir katsayı (-5) ve iki pozitif katsayı elde ettik: y 1'de 2) ve y 3'te 1/20).

Aynı zamanda, ikinci dereceden formdaki bir matrisin rütbesinin de belirtildiği belirtilmelidir. ikinci dereceden formun sıralaması, sıfır olmayan katsayıların sayısına eşittir kanonik form ve doğrusal dönüşümler altında değişmez.

İkinci dereceden f(X) formu denir olumlu (negatif) kesin Değişkenlerin aynı anda sıfıra eşit olmayan tüm değerleri için pozitifse, yani. f(X) > 0 (negatif, yani
f(X)< 0).

Örneğin ikinci dereceden f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 formu pozitif tanımlıdır, çünkü karelerin toplamıdır ve ikinci dereceden f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 formu negatif tanımlıdır, çünkü f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 olarak temsil edilebileceğini temsil eder.

Çoğu pratik durumda, ikinci dereceden bir formun kesin işaretini belirlemek biraz daha zordur, bu nedenle bunun için aşağıdaki teoremlerden birini kullanırız (bunları kanıt olmadan formüle edeceğiz).

Teorem. İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak matrisinin tüm özdeğerlerinin pozitif (negatif) olması durumunda pozitif (negatif) kesindir.

Teorem(Sylvester kriteri). İkinci dereceden bir form, ancak ve ancak bu formun matrisinin tüm önde gelen küçüklerinin pozitif olması durumunda pozitif tanımlıdır.

Ana (köşe) minör N'inci dereceden k'inci derece matris A'ya, A () matrisinin ilk k satır ve sütunlarından oluşan matrisin determinantı denir.

Negatif belirli ikinci dereceden formlar için asal küçüklerin işaretlerinin dönüşümlü olduğunu ve birinci dereceden küçüklerin negatif olması gerektiğini unutmayın.

Örneğin işaret kesinliği için ikinci dereceden f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 formunu inceleyelim.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Bu nedenle ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır.

Yöntem 2. A D 1 = a 11 = 2 > 0 matrisinin birinci dereceden asal minörü. İkinci dereceden asal minör D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Bu nedenle Sylvester kriterine göre ikinci dereceden form şu şekildedir: pozitif kesin.

İşaret kesinliği için başka bir ikinci dereceden formu inceleyelim, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Yöntem 1. İkinci dereceden A = şeklinde bir matris oluşturalım. Karakteristik denklem şu şekilde olacaktır: = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Bu nedenle ikinci dereceden form negatif tanımlıdır.

Yöntem 2. A D matrisinin birinci dereceden baş minörü 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Sonuç olarak Sylvester kriterine göre ikinci dereceden form negatif tanımlıdır (eksiden başlayarak ana küçüklerin işaretleri dönüşümlüdür).

Başka bir örnek olarak, işareti belirlenmiş ikinci dereceden f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 formunu inceliyoruz.

Yöntem 1. İkinci dereceden A = şeklinde bir matris oluşturalım. Karakteristik denklem şu şekilde olacaktır: = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Bu sayılardan biri negatif, diğeri pozitiftir. Özdeğerlerin işaretleri farklıdır. Sonuç olarak, ikinci dereceden form ne negatif ne de pozitif tanımlı olabilir; bu ikinci dereceden form işaret tanımlı değildir (herhangi bir işaretin değerini alabilir).

Yöntem 2. A matrisinin birinci dereceden asal minörü D 1 = a 11 = 2 > 0. İkinci dereceden asal minör D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).