Üç boyutlu koordinatlar. Koordinat sisteminin tanıtımı

Bu çıkmazdan kurtulmanın bir yolu, 1913'te Danimarkalı bilim adamı Niels Bohr tarafından bulundu. Nobel Ödülü 1922'de.

Bohr şu varsayımlarda bulundu: Bohr'un varsayımları.

· İlk varsayım (varsaymak durağan durumlar ):elektronlar yalnızca belirli doğrultuda hareket eder(sabit)yörüngeler. Aynı zamanda, hızlı hareket ederken bile,enerji yaymazlar.

· İkinci varsayım (frekans kuralı):bir kuantum ışık formunda enerjinin emisyonu ve emilimi (HN) yalnızca bir elektron bir durağan durumdan diğerine geçtiğinde meydana gelir. Büyüklük ışık kuantumu bu durağan durumların enerjileri farkına eşit,elektronun atladığı yerler: .

Bir foton emildiğinde radyasyonla ilişkili atom enerjisindeki değişimin ν frekansıyla orantılı olduğu sonucu çıkar:

Yörünge nicemleme kuralı : Tüm elektron yörüngeleri arasında yalnızca bunlar mümkündür,açısal momentumun Planck sabitinin tamsayı katına eşit olduğu durumda:

Nerede N= 1, 2, 3,... – ana kuantum sayısı.

Bir atomdaki elektronun enerjisi için bir ifade elde edelim.

Bir alanda hızla hareket eden bir elektronu (Şekil 6.6a) düşünün atom çekirdeğiücretli ze(saatte Z= 1 – hidrojen atomu).

	A	B

Elektron hareketinin denklemi şu şekildedir:

.

(6.3.3)

Formül (6.3.3)'ten açıkça görülmektedir ki merkezkaç kuvveti eşit Coulomb kuvveti, Nerede .

(6.3.2)'deki υ değerini (6.3.3)'e değiştirin ve yarıçap için bir ifade elde edin sabit yörüngeler(Şekil 6.6, b):

Hidrojen atomunun ilk yörüngesinin yarıçapına denir Bohr yarıçapı . Şu tarihte: N =1, Z= 1 hidrojen için elimizde:

Å = 0,529·10 –10 m.

Bir atomun iç enerjisi elektronun kinetik enerjisinden oluşur (çekirdek hareketsizdir) ve potansiyel enerji Elektronun çekirdekle etkileşimi:

.

Elektron hareketi denkleminden şunu takip eder, yani. kinetik enerji potansiyele eşittir. O zaman şunu yazabiliriz:

.

Burada birinci yörüngenin yarıçapı yerine ifadeyi koyalım ve şunu elde edelim:

.

(6.3.5)

Burada Planck sabitinin yani; .

Bir hidrojen atomu için Z= 1 elimizde:

.

(6.3.6)

Formül (6.3.6)'dan sadece kabul ettiği açıktır. ayrık değerler enerji çünkü N = 1, 2, 3….

Şema enerji seviyeleri Denklem (6.3.6) ile tanımlanan , Şekil 2'de gösterilmektedir. 6.1 ve 6.7.

Hidrojen atomundaki bir elektron durumdan geçtiğinde N bir durumda k enerjili bir foton yayılır:

.

Emisyon frekansı:

.

Deneyle iyi uyum sağlayan genelleştirilmiş bir Balmer formülü elde edildi. Daha önce de belirtildiği gibi, parantezlerden önceki ifadeye denir. Rydberg sabiti :

.

Bohr'un teorisinin büyük bir başarısı, hidrojen benzeri sistemler için Rydberg sabitinin hesaplanması ve yapılarının açıklanmasıydı. çizgi spektrumu. Bohr spektrumun çizgilerini açıklayabildi iyonize helyum Protonun kütlesinin elektronun kütlesine oranını teorik olarak hesapladı; bu, deneyle uyumluydu; bu, teorisinin içerdiği ana fikirlerin önemli bir doğrulamasıydı. Bohr'un teorisi yaratılışta büyük rol oynadı atom fiziği. Gelişim döneminde (1913–1925) önemli keşifler, sonsuza kadar dünya biliminin hazinesine dahil edildi.

Ancak başarıların yanı sıra Bohr'un teorisinde en başından beri önemli eksiklikler keşfedildi. Bunlardan en önemlisi şuydu iç tutarsızlık teoriler: mekanik bağlantı klasik fizik kuantum varsayımlarıyla. Teori soruyu açıklayamadı yoğunluklar spektral çizgiler. Ciddi bir başarısızlık, yörüngede iki elektron içeren bir helyum atomunun spektrumunu açıklamak için teorinin uygulanmasının kesinlikle imkansız olmasıydı; çok elektronlu atomlar(Şekil 6.8).

Bohr'un teorisinin daha genel ve doğru bir teori yaratma yolunda yalnızca bir geçiş aşaması olduğu ortaya çıktı. Kuantum mekaniği böyle bir teoriydi.

Demoları görüntülemek için uygun köprüye tıklayın:

Nokta HAKKINDA kökeni denir. İlk eksene eksen denir Ah, veya x ekseni, ikincisi – eksen Ah, veya ordinat ekseni, üçüncüsü – eksen Oz, veya eksen uygulanır. Üç eksenden ikisinden geçen bir düzlem Ah, Ah, Oz, koordinat düzlemi olarak adlandırılır; 3 koordinat düzlemi vardır ve bunlar aşağıdaki gibi belirlenir: yOz, zOx Ve xOy.

İzin vermek M – keyfi nokta uzay. ile belirtelim R bir noktanın projeksiyonu M eksen başına Ah düzleme paralel yOz ve aracılığıyla X– nokta koordinatı R eksende Ah. Başından sonuna kadar Q noktanın izdüşümünü gösterelim M eksen başına Ah düzleme paralel zOx ve aracılığıyla en– nokta koordinatı Q eksende Ah. Başından sonuna kadar R noktanın izdüşümünü gösterelim M eksen başına Oz düzleme paralel xOy ve aracılığıyla z– nokta koordinatı R eksende Oz(Bkz. Şekil 15).

Üç sayı X, sen, z bu sıraya göre alınan noktanın genel Kartezyen (veya afin) koordinatları denir. M. İlk koordinata noktanın apsisi denir M, ikinci en– noktanın ordinatı M ve üçüncü z– uygulama noktası M. Nokta M koordinatlarla X, sen, z ile gösterilir M(X, sen, z).

Apsis noktaları M sıfıra eşittir ancak ve ancak nokta M uçakta yatıyor yOz. Benzer şekilde ordinat ve başvuru hakkında.

Bundan şu sonuç çıkıyor: M(X, sen, z) eksen üzerinde yer alır Ah o zaman ve yalnızca ne zaman en=z=0, eksenler için benzer Ah, Oz. Kökeni için X=en=z=0.

Puanlar , koordinat eksenlerinin birim noktaları denir. Nokta denir tek nokta koordinat sistemleri.

Tepe noktası O orijininde olan ve kenarları olan bir paralelyüzlüye ölçek paralelyüzlü denir. Segmentler sırasıyla Ox, Oy, Oz eksenlerinin ölçek segmentleridir. Vektörler

sırasıyla Ox eksenlerinin ölçek vektörleri olarak adlandırılır, Ah, Oz.

Genel bir Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak, uzaydaki tüm noktalar kümesi ile tüm sıralı üçlüler kümesi arasında bire bir yazışma kurulur. gerçek sayılar. Burada noktayı çizmek için M, koordinatları olan verilen sayılar X, en, z, şunu yapın: eğer eksenler üzerine kurulularsa Ah, Ah, Oz puan P, Q, R Bu eksenlerdeki koordinatlar buna karşılık gelen eşitliğe sahip X, en, z ve noktalardan geçin P, Q, R sırasıyla koordinat düzlemlerine paralel düzlemler yOz, zOx, xOy; nokta M– bu düzlemlerin kesişme noktasıdır.

Uzaydaki bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi, ikili dik koordinat eksenlerinin sıralı bir üçlüsüdür. ortak başlangıç her birinde O koordinatları vardır ve her eksen için aynı ölçek segmentine sahiptir (şekle bakın).

Bir noktanın kartezyen dikdörtgen koordinatları M benzer şekilde tanımlanır. Bunlar bir noktanın dik izdüşümleridir. M eksende Ah, Ah, Oz.

Genellikle eksenlerin ölçek vektörlerinin Ah, Ah, Oz Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde belirtilmiştir.

), armatürlerin ve yardımcı noktaların konumunun yardımıyla gök küresi. Astronomide kullandıkları çeşitli sistemler göksel koordinatlar. Bunların her biri, uygun şekilde seçilmiş bir temel düzlem ve orijine sahip, esasen küresel bir koordinat sistemidir (radyal koordinat olmadan). Temel düzlemin seçimine bağlı olarak göksel koordinat sistemine yatay (ufuk düzlemi), ekvatoral (ekvator düzlemi), ekliptik (ekliptik düzlem) veya galaktik (galaktik düzlem) adı verilir.

Düzlemdeki ve uzaydaki koordinatlar girilebilir sonsuz sayı farklı yollar. Şunu veya bunu matematiksel olarak çözmek veya fiziksel sorun koordinat yöntemini kullanarak çeşitli kullanabilirsiniz koordinat sistemleri Bu özel durumda sorunun daha kolay veya daha rahat çözüleceği seçeneği seçmek. Koordinat sistemlerinin iyi bilinen bir genellemesi referans sistemleri ve referans sistemleridir.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

Kartezyen koordinat sisteminin modeli.

Geometri 11. sınıf - Uzayda dikdörtgen koordinat sistemi

Koordinat düzlemi ➽ Cebir 7. sınıf ➽ Video dersi

Video eğitimi " Kutup sistemi koordinatlar"

Uzayda dikdörtgen koordinat sistemi. Vektör koordinatları. Geometri 11. sınıf video dersi

Altyazılar

Temel sistemler

Bu bölümde ilköğretim matematikte en sık kullanılan koordinat sistemlerine ilişkin açıklamalar verilmektedir.

Kartezyen koordinatlar

Nokta konumu P uçakta belirlendi Kartezyen koordinatlar birkaç sayı kullanarak (x , y) : (\displaystyle (x,y):)

Uzayda zaten 3 koordinata ihtiyacınız var (x , y , z) : (\displaystyle (x,y,z):)

Kutupsal koordinatlar

İÇİNDE kutupsal koordinat sistemi, düzleme uygulandığında noktanın konumu P orijine olan uzaklığı ile belirlenir R= |OP| ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ .

Öküz Genellemeler uzayda geçerlidir - kutupsal koordinatlar Ve silindirik küresel

koordinat sistemleri.

koordinat sistemleri. Silindirik koordinatlar P- kutupsal olanların üç boyutlu bir analogu, burada nokta sıralı bir üçlü gibi görünüyor

(\displaystyle (r,\varphi,z).) R = 0 .

Not: literatürde bazen birinci (radyal) koordinat için ρ gösterimi, ikinci (açısal veya azimut) koordinat için θ gösterimi ve üçüncü koordinat için θ gösterimi kullanılır. R Kutupsal koordinatların bir dezavantajı vardır: φ değeri şu durumlarda tanımlanmaz: z Silindirik koordinatlar, bazı eksenlere göre simetrik olan sistemleri incelemek için kullanışlıdır. Örneğin yarıçapı olan uzun bir silindir Kartezyen koordinatlarda (eksenli), silindir eksenine denk gelen) denklemine sahiptir R = R .

x 2 + y 2 = R 2 , (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2),)

x 2 + y 2 = R 2 , (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2),) oysa silindirik koordinatlarda çok daha basit görünüyor

Küresel koordinatlar P- kutupsal olanların üç boyutlu bir analogu. Küresel koordinat sisteminde bir noktanın konumuüç bileşen tarafından belirlenir:

Kartezyen koordinat sistemi açısından,

Not: Literatürde azimut bazen θ ile, kutup açısı ise φ ile gösterilir. Bazen radyal koordinat için kullanılır Pρ yerine. Ayrıca azimut için açı aralığı aralık yerine aralık yerine (−180°, +180°] olarak seçilebilir. Bazen üçlüdeki koordinatların sırası açıklanandan farklı seçilir; örneğin kutup ve azimut açıları değiştirilebilir. zρ'ye eşit bir parçayı bir kenara koyun, onu eksen etrafında θ açısı kadar döndürün sen X ve sonra eksen etrafında θ açısı kadar döndürün z pozitif yarı eksen yönünde sen .

Küresel koordinatlar, bir noktaya göre simetrik olan sistemlerin incelenmesinde faydalıdır. Böylece yarıçaplı bir kürenin denklemi R Kartezyen koordinatlarda orijini kürenin merkezinde gibi görünüyor x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , (\displaystyle x^(2)+y^(2)+z^(2)=R^(2),) oysa içinde küresel koordinatlarçok daha basit hale geliyor: ρ = R.

(\displaystyle \rho =R.)

• Diğer ortak koordinat sistemleri Afin (eğik) koordinat sistemi HAKKINDA- afin uzayda doğrusal koordinat sistemi. Düzlemde koordinatların başlangıç ​​noktası ile belirtilir ve bir afin temeli temsil eden iki sıralı doğrusal olmayan vektör. Eksenleri koordine edin bu durumda eksenlerin pozitif yönünü belirten, temel vektörlere paralel başlangıç ​​noktasından geçen düz çizgiler olarak adlandırılır. Üç boyutlu uzayda sırasıyla, afin sistemi koordinatlar üçlü tarafından doğrusal olarak belirtilir bağımsız vektörler M ve başlangıç ​​noktası. Belirli bir noktanın koordinatlarını belirlemek vektör genişleme katsayıları hesaplanır OM
• temel vektörlere göre. Barisentrik koordinatlar İlk kez 1827'de üçgenin köşelerinde bulunan kütlelerin ağırlık merkezi problemini çözen A. Mobius tarafından tanıtıldı. Bunlar afin değişmezdir ve temsil ederözel durum N ortak homojen koordinatlar. Barisantrik koordinatlara sahip nokta şu konumda bulunur: boyutlu vektör uzayı E n N ve koordinatların kendileri ('de yer almayan sabit bir nokta sistemine atıfta bulunur)
• −1) boyutlu alt uzay. Barisentrik koordinatlar cebirsel topolojide simpleks noktalarla ilişkili olarak da kullanılır.İki köşeli koordinatlar - iki merkezli koordinatların özel bir durumu, iki sabit noktayla tanımlanan bir düzlem üzerindeki koordinat sistemiİLE - iki merkezli koordinatların özel bir durumu, iki sabit noktayla tanımlanan bir düzlem üzerindeki koordinat sistemi 1 ve P 2, içinden apsis ekseni görevi gören düz bir çizgi çizilir. Bir noktanın konumu Bu çizgi üzerinde yer almayan açılar tarafından belirlenir. 1 bilgisayar C Bu çizgi üzerinde yer almayan açılar tarafından belirlenir. 2 bilgisayar 1 .
• 2 ve Bipolar koordinatlar bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir A Ve ve onlara dik olan bir daire ailesi. Bipolar koordinatların Kartezyen dikdörtgen koordinatlara dönüştürülmesi özel formüller kullanılarak gerçekleştirilir. Uzaydaki iki kutuplu koordinatlara bisferik denir; bu durumda koordinat yüzeyleri kürelerdir, dairesel yayların dönmesiyle oluşan yüzeyler ve eksenden geçen yarım düzlemlerdir. Oz .
• İki merkezli koordinatlar- iki sabit noktaya dayanan ve içinde başka bir noktanın konumunun, kural olarak, bu iki ana noktaya göre konumu veya uzaklaştırılma derecesine göre belirlendiği herhangi bir koordinat sistemi. Bu tür sistemler oldukça yararlı olabilir. belirli alanlar bilimsel araştırma.
• İki silindirli koordinatlar- bir düzlemde iki kutuplu bir koordinat sistemi olması durumunda oluşan bir koordinat sistemi Oksi eksene paralel Oz. Bu durumda koordinat yüzeyleri, eksenleri paralel olan dairesel silindir çiftlerinden oluşan bir ailedir ve onlara dik bir ailedir. dairesel silindirler ve aynı zamanda uçak. İki silindirli koordinatları Kartezyen dikdörtgen koordinatlara dönüştürmek için üç boyutlu uzayözel formüller de kullanılmaktadır.
• Konik koordinatlar- üç boyutlu ortogonal sistem Yarıçaplarıyla tanımlanan eşmerkezli kürelerden ve eksenler boyunca yer alan iki dikey koni ailesinden oluşan koordinatlar X A z .
• Rindler'in koordinatlarıöncelikle görelilik teorisi çerçevesinde kullanılır ve düz uzay-zamanın genellikle Minkowski uzayı olarak adlandırılan kısmını tanımlar. Özel görelilik teorisinde, düzgün şekilde hızlanan bir parçacık hiperbolik hareket halindedir ve Rindler koordinatlarındaki bu tür her parçacık için, hareketsiz olduğu yere göre bir referans noktası seçilebilir.
• Parabolik koordinatlar koordinat çizgilerinin eş odaklı parabollerden oluşan iki boyutlu bir ortogonal koordinat sistemidir. Parabolik koordinatların üç boyutlu bir modifikasyonu, iki boyutlu bir sistemin bu parabollerin simetri ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulur. Parabolik koordinatlar ayrıca belirli bir potansiyel spektrumuna sahiptir. pratik uygulamalar: özellikle Stark etkisi ile ilgili olarak kullanılabilirler. Parabolik koordinatlar dikdörtgen Kartezyen koordinatlarla belirli bir şekilde ilişkilidir.
• Projektif koordinatlar ismine göre P projektif uzayında mevcuttur N (İLE) ve elemanları ile vücudun sonlu eleman alt kümelerinin sınıfları arasında bire bir yazışmayı temsil eder İLE denklik ve sıralama özellikleriyle karakterize edilir. Projektif altuzayların projektif koordinatlarını belirlemek için noktaların karşılık gelen koordinatlarını belirlemek yeterlidir. projektif uzay. İÇİNDE genel durum bazı temellere göre, projektif koordinatlar tamamen projektif araçlarla tanıtılır.
• Toroidal koordinat sistemi- iki boyutlu bir çift kutuplu koordinat sisteminin iki odağını ayıran eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen üç boyutlu bir ortogonal koordinat sistemi. Bipolar sistemin odakları buna göre yarıçaplı bir halkaya dönüşür A, uçakta yatıyorum xy toroidal koordinat sistemi, eksen ise z sistemin dönme ekseni olur. Odak halkasına bazen taban dairesi de denir.
• Üç çizgili koordinatlarörneklerden biri homojen koordinatlar ve belirli bir üçgeni temel alır, böylece belirli bir noktanın konumu bu üçgenin kenarlarına göre belirlenir - esas olarak onlardan uzaklığın derecesine göre, ancak diğer varyasyonlar da mümkündür. Üç çizgili koordinatlar, barisentrik koordinatlara nispeten kolay bir şekilde dönüştürülebilir; ayrıca kullanıldıkları iki boyutlu dikdörtgen koordinatlara da dönüştürülebilirler. karşılık gelen formüller.
• Silindirik parabolik koordinatlar- iki boyutlu bir parabolik koordinat sisteminin uzaysal dönüşümünün bir sonucu olarak elde edilen üç boyutlu bir ortogonal koordinat sistemi. Koordinat yüzeyleri buna göre eş odaklıdır parabolik silindirler. Silindirik parabolik koordinatların dikdörtgen koordinatlarla belirli bir ilişkisi vardır ve birçok bilimsel araştırma alanında kullanılabilir.
• Elipsoidal koordinatlar- uzayda eliptik koordinatlar. Bu durumda koordinat yüzeyleri, merkezleri orijinde bulunan elipsoidler, tek yapraklı hiperboloitler ve çift yapraklı hiperboloidlerdir. Sistem diktir. Elipsoidal koordinatlar olan sayıların her üçlüsü, sistemin düzlemlerine göre sekiz noktaya karşılık gelir. Oksiz birbirlerine simetriktir.

Bir koordinat sisteminden diğerine geçiş

Kartezyen ve kutupsal

Nerede sen 0 - Heaviside fonksiyonu ile u 0 (0) = 0 , (\displaystyle u_(0)(0)=0,) ve sgn,signum fonksiyonudur. İşte işlevler sen 0 ve sgn, programlama dillerindeki "if...else" ifadelerine benzer şekilde "mantıksal" anahtarlar olarak kullanılır. Bazı programlama dillerinin özel bir atan2 işlevi vardır ( sen , X), koordinatlarla tanımlanan gerekli çeyrekte doğru φ değerini döndürür X A sen .

Kartezyen ve silindirik

(d r d φ d z) = (x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 0 - y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 0 0 1) ⋅ (d x d y d z) .

(\displaystyle (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)x/\rho &y/\rho &z/\rho \\( \frac (xz)(\rho ^(2)(\sqrt (x^(2)+y^(2)))))&(\frac (yz)(\rho ^(2)(\sqrt (x) ^(2)+y^(2))))&(\frac (-(x^(2)+y^(2)))(\rho ^(2)(\sqrt (x^(2) +y^(2))))))\\(\frac (-y)(x^(2)+y^(2)))&(\frac (x)(x^(2)+y^( 2)))&0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)dx\\dy\\dz\end(pmatrix))).)

Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminin inşası

uçakta

Bir düzlemdeki Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi, karşılıklı olarak dik iki koordinat ekseninden oluşur. ÖKÜZ 1 Ve ÖKÜZ 2 noktasında kesişen O, koordinatların kökeni denir (Şekil 1). Her eksende, oklarla gösterilen pozitif bir yön ve eksenlerdeki bölümler için bir ölçü birimi seçilir. Birimler genellikle tüm eksenler için aynıdır (bu zorunlu değildir). İÇİNDE sağ taraflı Koordinat sisteminde eksenlerin pozitif yönü, eksen yönlendiğinde eksenlerin pozitif yönü seçilir. ÖKÜZ 2 yukarı, eksen ÖKÜZ 1 sağa baktı. ÖKÜZ 1 -- apsis ekseni, ÖKÜZ 2 -- koordinat ekseni. Koordinat eksenlerinin oluşturduğu dört köşe (I, II, III, IV) ÖKÜZ 1 Ve ÖKÜZ 2 , koordinat açıları olarak adlandırılır veya çeyrekler.

Nokta Ve bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir koordinat eksenine ÖKÜZ 1 ;

Nokta bilgisayar - ortografik projeksiyon puan bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir koordinat eksenine ÖKÜZ 2 ;

Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminin inşası uzayda

Uzaydaki Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi birbirine dik üç koordinat ekseninden oluşur ÖKÜZ, OY Ve OZ. Koordinat eksenleri bir noktada kesişir O Koordinatların orijini olarak adlandırılan, her eksende oklarla gösterilen pozitif bir yön ve eksenlerdeki bölümler için bir ölçü birimi seçilir. Birimler genellikle tüm eksenler için aynıdır (bu zorunlu değildir). ÖKÜZ-- apsis ekseni, OY-- koordinat ekseni, OZ-- aplikatör ekseni.

Eğer baş parmak sağ el yön almak X, dizin - yön için e ve ortadaki yön içindir Z, sonra oluşur Sağ koordinat sistemi Sol elin benzer parmakları sol koordinat sistemini oluşturur. Başka bir deyişle eksenlerin pozitif yönü, eksen döndüğünde ÖKÜZ saat yönünün tersine 90° pozitif yönü eksenin pozitif yönü ile çakışır OY, eğer bu dönüş eksenin pozitif yönünden gözlemleniyorsa OZ. Karşılık gelen eksenlerin çakışması için sağ ve sol koordinat sistemlerini birleştirmek imkansızdır (Şekil 2). Nokta F- bir noktanın ortogonal izdüşümü bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir Açık koordinat düzlemi OKSİ; Nokta e- bir noktanın ortogonal izdüşümü bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir koordinat düzlemine OYZ; Nokta G- bir noktanın ortogonal izdüşümü bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir koordinat düzlemine ÖKÜZ Z ;

Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminin yerleşim gösterimi uzayda Şekil 3, 4 ve 5'te gösterilmiştir.

Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde bir noktanın koordinatlarını belirleme

Herhangi bir koordinat sisteminin ana sorusu, kendi düzleminde veya uzayında bulunan bir noktanın koordinatlarını belirleme sorunudur.

Düzlemdeki bir noktanın koordinatlarını belirleme Kartezyen koordinat sistemi

Nokta konumu bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir düzlemde iki koordinatla belirlenir - X Ve sen (Şekil 5). Koordinat X segmentin uzunluğuna eşit O.B., koordinat sen -- parçanın uzunluğu OC seçilen ölçü birimlerinde. Segmentler O.B. Ve OC noktadan çizilen çizgilerle belirlenir. bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir eksenlere paralel OY Ve ÖKÜZ sırasıyla. Koordinat X apsis denir (lat. apsis- segment), koordinat sen -- ordinat (lat. koordinatlar- sırayla yerleştirilmiş) noktalar bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir. Bunu şu şekilde yazın:

Eğer nokta bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir yatıyor koordinat açısı O halde pozitif bir apsis ve koordinata sahiptir. Eğer nokta bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir II koordinat açısında yatıyorsa, negatif bir apsis ve pozitif bir koordinat vardır. Eğer nokta bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir III koordinat açısında yatıyorsa negatif apsis ve ordinatlıdır. Eğer nokta bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir IV koordinat açısında yatıyorsa, pozitif bir apsis ve negatif bir koordinat vardır.

Bir düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde koordinatlar bu şekilde belirlenir.

Ortak bir kökene (koordinatların kökeni) ve ortak bir uzunluk birimine sahip, birbirine dik, kesişen iki veya üç eksenden oluşan düzenli bir sisteme denir. dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi .

Genel Kartezyen koordinat sistemi (afin koordinat sistemi) mutlaka dik eksenleri içermeyebilir. onuruna Fransız matematikçi René Descartes (1596-1662), tüm eksenlerde ortak bir uzunluk biriminin ölçüldüğü ve eksenlerin düz olduğu böyle bir koordinat sistemi adını verdi.

Düzlemde dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi iki ekseni vardır ve uzayda dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi - üç eksen. Bir düzlemdeki veya uzaydaki her nokta, sıralı bir koordinatlar dizisiyle tanımlanır - koordinat sisteminin uzunluk birimine karşılık gelen sayılar.

Tanımdan da anlaşılacağı gibi, düz bir çizgi üzerinde, yani tek boyutta bir Kartezyen koordinat sistemi olduğuna dikkat edin. Bir doğru üzerinde Kartezyen koordinatların kullanılması, bir doğru üzerindeki herhangi bir noktanın iyi tanımlanmış bir gerçek sayıyla, yani bir koordinatla ilişkilendirilmesinin yollarından biridir.

Rene Descartes'ın çalışmalarında ortaya çıkan koordinat yöntemi, tüm matematiğin devrim niteliğinde bir yeniden yapılanmasına işaret ediyordu. Yorumlamak mümkün oldu cebirsel denklemler(veya eşitsizlikler) geometrik görüntüler (grafikler) biçiminde ve tersine bir çözüm arayın geometrik problemler analitik formüller ve denklem sistemlerini kullanma. Evet eşitsizlik z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ve bu düzlemin 3 birim üzerinde yer almaktadır.

Kartezyen koordinat sistemini kullanarak, belirli bir eğri üzerindeki bir noktanın üyeliği, sayıların aynı olduğu gerçeğine karşılık gelir. X Ve sen bazı denklemleri karşılayın. Yani, merkezi merkezde olan bir daire üzerindeki bir noktanın koordinatları verilen nokta (A; B) denklemi karşılayın (X - A)² + ( sen - B)² = R² .

Düzlemde dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi

Ortak orijine ve aynı ölçek birimi formuna sahip bir düzlem üzerinde birbirine dik iki eksen Kartezyen dikdörtgen sistem düzlemdeki koordinatlar . Bu eksenlerden birine eksen denir ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ, veya x ekseni , diğeri - eksen oy, veya y ekseni . Bu eksenlere koordinat eksenleri de denir. ile belirtelim MX Ve Msen sırasıyla, rastgele bir noktanın izdüşümü M eksende ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ Ve oy. Projeksiyonlar nasıl alınır? Konunun üzerinden geçelim M ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ. Bu düz çizgi eksenle kesişiyor ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ bu noktada MX. Konunun üzerinden geçelim M eksene dik olan düz çizgi oy. Bu düz çizgi eksenle kesişiyor oy bu noktada Msen. Bu, aşağıdaki resimde gösterilmektedir.

X Ve sen puan M yönlendirilen segmentlerin değerlerini buna göre arayacağız OMX Ve OMsen. Bu yönlendirilmiş segmentlerin değerleri buna göre hesaplanır. X = X0 - 0 Ve sen = sen0 - 0 . Kartezyen koordinatlar X Ve sen puan M apsis Ve koordine etmek . Gerçek şu ki, asıl nokta M koordinatları var X Ve sen, aşağıdaki gibi gösterilir: M(X, sen) .

Koordinat eksenleri düzlemi dörde böler çeyrek daire Numaralandırması aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Ayrıca belirli bir kadrandaki konumlarına bağlı olarak noktaların koordinatlarına ilişkin işaretlerin düzenini de gösterir.

Düzlemdeki Kartezyen dikdörtgen koordinatlara ek olarak kutupsal koordinat sistemi de sıklıkla dikkate alınır. Bir koordinat sisteminden diğerine geçiş yöntemi hakkında - derste kutupsal koordinat sistemi .

Uzayda dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi

Uzaydaki Kartezyen koordinatlar, düzlemdeki Kartezyen koordinatlara tam bir benzetmeyle tanıtılmıştır.

Uzayda birbirine dik üç eksen ( koordinat eksenleri) ortak bir başlangıçla O ve aynı ölçek birimiyle oluşturdukları Uzayda Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi .

Bu eksenlerden birine eksen denir ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ, veya x ekseni , diğeri - eksen oy, veya y ekseni , üçüncü eksen Oz, veya eksen uygulaması . İzin vermek MX, Msen Mz- keyfi bir noktanın projeksiyonları M eksen üzerindeki boşluk ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ , oy A Oz sırasıyla.

Konunun üzerinden geçelim M ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ bu noktada MX. Konunun üzerinden geçelim M eksene dik düzlem oy. Bu düzlem eksenle kesişiyor oy bu noktada Msen. Konunun üzerinden geçelim M eksene dik düzlem Oz. Bu düzlem eksenle kesişiyor Oz bu noktada Mz.

Kartezyen dikdörtgen koordinatlar X , sen A z puan M yönlendirilen segmentlerin değerlerini buna göre arayacağız OMX, OMsen Ve OMz. Bu yönlendirilmiş segmentlerin değerleri buna göre hesaplanır. X = X0 - 0 , sen = sen0 - 0 Ve z = z0 - 0 .

Kartezyen koordinatlar X , sen A z puan M buna göre çağrılır apsis , koordine etmek Ve başvurmak .

Çiftler halinde alınan koordinat eksenleri koordinat düzlemlerinde bulunur xOy , yOz A zOx .

Kartezyen koordinat sistemindeki noktalarla ilgili problemler

Örnek 1.

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir(2; -3) ;

Ve(3; -1) ;

bilgisayar(-5; 1) .

Bu noktaların apsis eksenine izdüşümlerinin koordinatlarını bulun.

Çözüm. Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın apsis eksenine izdüşümü apsis ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ ve bu nedenle noktanın kendisinin apsisine eşit bir apsisine ve bir ordinatına (eksen üzerindeki koordinat) sahiptir. oy x ekseninin 0 noktasında kesiştiği nokta), sıfıra eşit. Böylece x eksenindeki bu noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilirx(2;0);

Vex(3;0);

bilgisayarx(-5;0).

Örnek 2. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar düzlem üzerinde verilir.

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir(-3; 2) ;

Ve(-5; 1) ;

bilgisayar(3; -2) .

Bu noktaların ordinat eksenine izdüşümlerinin koordinatlarını bulun.

Çözüm. Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın ordinat eksenine izdüşümü ordinat ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. oy ve bu nedenle noktanın kendisinin koordinatına eşit bir koordinata ve bir apsise (eksen üzerindeki koordinat) sahiptir. ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ Ordinat ekseninin 0 noktasında kesiştiği nokta sıfıra eşittir. Böylece ordinat eksenindeki bu noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize ediliry(0;2);

Vey(0;1);

bilgisayary(0;-2).

Örnek 3. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar düzlem üzerinde verilir.

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir(2; 3) ;

Ve(-3; 2) ;

bilgisayar(-1; -1) .

ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ .

ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ, aynı apsise sahip olacak verilen nokta ve koordinat şuna eşittir: mutlak değer Belirli bir noktanın koordinatı ve zıt işareti. Böylece eksene göre bu noktalara simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Kartezyen koordinat sistemini kullanarak problemleri kendiniz çözün ve ardından çözümlere bakın.

Örnek 4. Bir noktanın hangi çeyreklerde (çeyrekler, çeyreklerle çizim - “Düzlemde Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi” paragrafının sonunda) bulunabileceğini belirleyin M(X; sen) , Eğer

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) X − sen = 0 ;

4) X + sen = 0 ;

5) X + sen > 0 ;

6) X + sen < 0 ;

7) X − sen > 0 ;

8) X − sen < 0 .

Örnek 5. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar düzlem üzerinde verilir.

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir(-2; 5) ;

Ve(3; -5) ;

bilgisayar(A; B) .

Bu noktalara simetrik olan noktaların eksene göre koordinatlarını bulun oy .

Sorunları birlikte çözmeye devam edelim

Örnek 6. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar düzlem üzerinde verilir.

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir(-1; 2) ;

Ve(3; -1) ;

bilgisayar(-2; -2) .

Bu noktalara simetrik olan noktaların eksene göre koordinatlarını bulun oy .

Çözüm. Eksen etrafında 180 derece döndürün oy eksenden yönlü segment oy bu noktaya kadar. Düzlemin çeyreklerinin gösterildiği şekilde, eksene göre verilen noktaya simetrik olan noktanın olduğunu görüyoruz. oy, verilen noktayla aynı koordinata sahip olacak ve mutlak değer olarak verilen noktanın apsisine eşit ve işaret olarak zıt bir apsise sahip olacaktır. Böylece eksene göre bu noktalara simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Örnek 7. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar düzlem üzerinde verilir.

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir(3; 3) ;

Ve(2; -4) ;

bilgisayar(-2; 1) .

Bu noktalara orijine göre simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun.

Çözüm. Orijinden verilen noktaya giden yönlendirilmiş parçayı orijin etrafında 180 derece döndürüyoruz. Düzlemin çeyreklerinin belirtildiği şekilde, koordinatların orijinine göre verilen noktaya simetrik bir noktanın, verilen noktanın apsis ve ordinatına mutlak değerde eşit bir apsis ve ordinat sahip olacağını görüyoruz, ancak işareti tam tersi. Böylece orijine göre bu noktalara simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

bilgisayar(2; -1) .

Örnek 8.

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir(4; 3; 5) ;

Ve(-3; 2; 1) ;

bilgisayar(2; -3; 0) .

Bu noktaların projeksiyonlarının koordinatlarını bulun:

1) uçakta Oksi ;

2) uçakta Öküz ;

3) uçağa Oyz ;

4) apsis ekseninde;

5) ordinat ekseninde;

6) uygulama ekseninde.

1) Bir noktanın düzleme izdüşümü Oksi bu düzlemin üzerinde yer alır ve bu nedenle belirli bir noktanın apsisine ve ordinatına eşit bir apsis ve ordinat ve sıfıra eşit bir aplikasyona sahiptir. Böylece bu noktaların projeksiyonlarının aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oksi :

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilirxy (4; 3; 0);

Vexy (-3; 2; 0);

bilgisayarxy(2;-3;0).

2) Bir noktanın düzleme izdüşümü Öküz bu düzlemin kendisinde yer alır ve bu nedenle belirli bir noktanın apsisine ve uygulamasına eşit bir apsis ve uygulamaya ve sıfıra eşit bir koordinata sahiptir. Böylece bu noktaların projeksiyonlarının aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Öküz :

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilirxz (4; 0; 5);

Vexz (-3; 0; 1);

bilgisayarxz (2; 0; 0).

3) Bir noktanın düzleme izdüşümü Oyz bu düzlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle belirli bir noktanın koordinatına ve uygulamasına eşit bir koordinat ve uygulamaya ve sıfıra eşit bir apsise sahiptir. Böylece bu noktaların projeksiyonlarının aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oyz :

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize ediliryz(0; 3; 5);

Veyz (0; 2; 1);

bilgisayaryz (0; -3; 0).

4) Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın apsis eksenine izdüşümü apsis ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. ve yarıçap vektörünün eksene olan açısı φ ve bu nedenle noktanın apsisine eşit bir apsise sahiptir ve projeksiyonun ordinatı ve uygulaması sıfıra eşittir (çünkü ordinat ve uygulama eksenleri apsis ile 0 noktasında kesişir). Bu noktaların apsis eksenine izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilirx(4;0;0);

Vex (-3; 0; 0);

bilgisayarx(2;0;0).

5) Bir noktanın ordinat eksenine izdüşümü, ordinat ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. oy ve bu nedenle noktanın kendisinin ordinatına eşit bir ordinatına sahiptir ve projeksiyonun apsisi ve aplikasyonu sıfıra eşittir (apsis ve aplikasyon eksenleri ordinat eksenini 0 noktasında kestiklerinden). Bu noktaların ordinat eksenine projeksiyonlarının aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize ediliry(0; 3; 0);

Vey (0; 2; 0);

bilgisayary(0;-3;0).

6) Bir noktanın uygulanan eksen üzerine izdüşümü, uygulanan eksenin kendisinde, yani eksende bulunur. Oz ve bu nedenle noktanın kendisinin uygulamasına eşit bir uygulamaya sahiptir ve projeksiyonun apsisi ve ordinatı sıfıra eşittir (apsis ve ordinat eksenleri uygulama eksenini 0 noktasında kestiklerinden). Bu noktaların uygulanan eksen üzerindeki izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilirz(0; 0; 5);

Vez(0; 0; 1);

bilgisayarz(0; 0; 0).

Örnek 9. Kartezyen koordinat sisteminde noktalar uzayda verilir

bu durumda kutuplu iki daire ailesinin düzlemde koordinat çizgileri görevi görmesi gerçeğiyle karakterize edilir(2; 3; 1) ;

Ve(5; -3; 2) ;

bilgisayar(-3; 2; -1) .

Bu noktalara göre simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun:

1) uçak Oksi ;

2) uçaklar Öküz ;

3) uçaklar Oyz ;

4) apsis eksenleri;

5) koordinat eksenleri;

6) eksenleri uygulayın;

7) koordinatların kökeni.

1) Noktayı eksenin diğer tarafına “taşıyın” Oksi Oksi, belirli bir noktanın apsisine ve ordinatına eşit bir apsis ve koordinata sahip olacak ve belirli bir noktanın aplikasyonuna büyüklük olarak eşit, ancak işaret olarak zıt bir uygulamaya sahip olacaktır. Böylece, düzleme göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oksi :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) Noktayı eksenin diğer tarafına “taşıyın” Öküz aynı mesafeye. Koordinat uzayını gösteren şekilde, eksene göre belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın olduğunu görüyoruz. Öküz, belirli bir noktanın apsisine ve uygulamasına eşit bir apsis ve uygulamaya ve belirli bir noktanın koordinatına büyüklük olarak eşit, ancak işaret olarak zıt bir koordinata sahip olacaktır. Böylece, düzleme göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Öküz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) Noktayı eksenin diğer tarafına “taşıyın” Oyz aynı mesafeye. Koordinat uzayını gösteren şekilde, eksene göre belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın olduğunu görüyoruz. Oyz, belirli bir noktanın koordinatına ve aplikasyonuna eşit bir ordinat ve aplikasyona ve belirli bir noktanın apsisine değer olarak eşit, ancak işaret olarak zıt bir apsise sahip olacaktır. Böylece, düzleme göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Benzetme yoluyla simetrik noktalar düzlemde ve düzlemlere göre verilere simetrik olan uzaydaki noktalarda, uzaydaki Kartezyen koordinat sisteminin bazı eksenlerine göre simetri olması durumunda, simetrinin verildiği eksen üzerindeki koordinatın olduğunu not ediyoruz. işaretini koruyacak ve diğer iki eksendeki koordinatlar, belirli bir noktanın koordinatlarıyla mutlak anlamda aynı, ancak işaret olarak zıt olacaktır.

4) Apsis işaretini koruyacak, ancak ordinat ve uygulama işaretleri değiştirecektir. Böylece apsis eksenine göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinat işaretini koruyacak, ancak apsis ve aplikasyon işaret değiştirecektir. Böylece, ordinat eksenine göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Başvuru sahibi işaretini koruyacaktır ancak apsis ve koordinat işaretleri değişecektir. Böylece, uygulama eksenine göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Düzlem üzerindeki noktalarda simetriye benzetilerek, koordinatların orijinine göre simetri olması durumunda, belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın tüm koordinatları, belirli bir noktanın koordinatlarına mutlak değer olarak eşit olacaktır, ama işareti tam tersi. Böylece, orijine göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz.