Funkcijos išvestinės diferencialinis skaičiavimas. Didžioji sovietinė enciklopedija – diferencialinis skaičiavimas

Diferencialinis skaičiavimas remiasi šiomis svarbiausiomis matematikos sąvokomis, kurių apibrėžimas ir studijavimas sudaro įvado į matematinę analizę dalyką: realūs skaičiai (skaičių eilutė), funkcija , riba , tęstinumą . Visos šios sąvokos išsikristalizavo ir gavosi modernus turinys diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kūrimo ir pagrindimo eigoje. pagrindinė idėja Diferencialinis skaičiavimas susideda iš mažųjų funkcijų tyrimo. Tiksliau: Diferencialinis skaičiavimas suteikia aparatą funkcijoms tirti, kurių elgsena pakankamai mažoje kiekvieno taško kaimynystėje yra artima tiesinės funkcijos arba daugianario elgsenai. Toks prietaisas naudojamas centrinės sąvokos Diferencialinis skaičiavimas: išvestinė ir diferencinė. Darinio sąvoka atsirado iš didelis skaičius gamtos mokslų ir matematikos problemos, lemiančios to paties tipo ribų skaičiavimą. Svarbiausias iš jų – greičio nustatymas tiesinis judėjimas taškų ir kreivės liestinės konstravimas. Diferencialo sąvoka yra matematinė išraiška funkcijos artumas tiesinei mažoje tiriamo taško kaimynystėje. Skirtingai nei išvestinė, ji lengvai perkeliama į vienos Euklido erdvės atvaizdavimą į kitą ir į savavališkų tiesinių normuotų erdvių atvaizdavimą ir yra viena iš pagrindinių šiuolaikinės netiesinės erdvės sąvokų. funkcinė analizė .

Darinys. Tegul reikia nustatyti tiesiaeigio judėjimo greitį materialus taškas. Jei judėjimas vienodas, tai taško nueitas kelias yra proporcingas judėjimo laikui; tokio judėjimo greitis gali būti apibrėžtas kaip kelias, nueitas per laiko vienetą, arba kaip per tam tikrą laikotarpį nueito kelio ir šio intervalo trukmės santykis. Jei judėjimas yra netolygus, tada taško nueiti keliai vienodais laiko intervalais, paprastai kalbant, bus skirtingi. Pavyzdys netolygus judėjimas suteikia kūnui laisvai krentantį į tuštumą. Tokio kūno judėjimo dėsnis išreiškiamas formule s = gt 2/2, kur s- atstumas, nuvažiuotas nuo kritimo pradžios (metrais), t- kritimo laikas (sekundėmis), g - pastovus, pagreitis laisvasis kritimas, g» 9.81 m/sek 2. Per pirmąją rudens sekundę kūnas nukeliaus apie 4,9 m, antrajam - apie 14,7 val m, o už dešimtadalį – apie 93,2 m, ty kritimas vyksta netolygiai. Todėl aukščiau pateiktas greičio apibrėžimas čia yra nepriimtinas. Šiuo atveju atsižvelgiama į vidutinį judėjimo greitį per tam tikrą laikotarpį po (arba prieš) fiksuotą momentą t; jis apibrėžiamas kaip per šį laikotarpį nueito kelio ilgio ir jo trukmės santykis. Šis vidutinis greitis priklauso ne tik nuo momento t, bet ir apie laikotarpio pasirinkimą. Mūsų pavyzdyje vidutinis kritimo greitis per tam tikrą laikotarpį nuo tį t+D t lygus

Ši išraiška reiškia neribotą laiko intervalo D sumažėjimą t artėja prie vertės GT, kuris vadinamas judėjimo greičiu laiko momentu t. Taigi judėjimo greitis bet kuriuo laiko momentu apibrėžiamas kaip vidutinio greičio riba, kai laiko periodas mažėja neribotai.

IN bendras atvejisšie skaičiavimai turi būti atliekami bet kuriuo laiko momentu t, laikotarpis nuo tį t+D t o formule išreikštas judėjimo dėsnis s = f(t). Tada vidutinis judėjimo greitis per tam tikrą laikotarpį nuo tį t+D t pateikiama formule /D t, kur D s = f(t+D t) - f(t), ir judėjimo greitį laiko momentu t lygus

Pagrindinis greičio privalumas šiuo metu laikas, arba momentinis greitis, prieš vidutinį greitį, kad jis, kaip ir judėjimo dėsnis, yra laiko funkcija t, o ne intervalo funkcija ( t, t+D t). Kita vertus, momentinis greitis yra tam tikra abstrakcija, nes jis yra vidutinis, o ne momentinis greitis, kurį galima tiesiogiai išmatuoti.

Problema taip pat sukelia (*) tipo išraišką (žr. ryžių. ) statyba liestinė iki plokštumos kreivės tam tikru momentu M. Tegul kreivė Г yra funkcijos grafikas adresu = f(x). Liestinės padėtis bus nustatyta, jei ji bus rasta nuolydis, t.y. kampo a liestinė, kurią sudaro liestinė su ašimi Jautis. Pažymėkime pagal x 0 abscisės taškas M, ir per x 1 = x 0+D X- taško abscisė M 1. Sekanto kampinis koeficientas MM 1 lygus

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Funkcijų klasėje, kuri turi išvestinę, ši operacija yra tiesinė.

Formulių ir diferenciacijos taisyklių lentelė

Šie pasiūlymai leidžia metodus Diferencialinis skaičiavimas atlikti išsamų pakankamai sklandžių (t. y. turinčių pakankamai išvestinių) funkcijų elgsenos tyrimą aukšta tvarka). Tokiu būdu galima ištirti glotnumo laipsnį, išgaubtumas ir įdubimas , didėjančios ir mažėjančios funkcijos , jų kraštutinumai , surask juos asimptotų , vingio taškai (žr. Posūkio tašką), apskaičiuokite kreivumas kreivę, sužinokite jos prigimtį vienetiniai taškai ir tt Pavyzdžiui, sąlyga f"(x) > 0 reiškia (griežtą) funkcijos padidėjimą adresu = f(x), ir sąlyga f"(x) > 0 – jo (griežtas) išgaubtumas. Visi diferencijuojamos funkcijos ekstremalūs taškai, priklausantys jos apibrėžimo srities vidui, yra tarp lygties šaknų f"(x) = 0.

Pagrindinis pritaikymas yra funkcijų tyrimas naudojant išvestines Diferencialinis skaičiavimas Be to, Diferencialinis skaičiavimas leidžia apskaičiuoti įvairių tipų funkcijų ribas, ypač 0/0 ir ¥/¥ formos ribas (žr. Neapibrėžta išraiška , L'Hopital taisyklė ). Diferencialinis skaičiavimas ypač patogu tyrimams elementarios funkcijos, nes šiuo atveju jų išvestinės išrašomos aiškiai.

Diferencialinis skaičiavimas daugelio kintamųjų funkcijas. Metodai Diferencialinis skaičiavimas naudojami kelių kintamųjų funkcijoms tirti. Dviejų nepriklausomų kintamųjų funkcijai z = f (X, adresu) dalinė išvestinė priemonė Xšios funkcijos išvestinė atžvilgiu X esant pastoviam adresu. Ši dalinė išvestinė žymima z"x, f" x(x, y), ¶ z/¶ X arba ¶ f(x, y)/¶ x, Taigi

Dalinė išvestinė apibrėžiama ir žymima panašiai z Autorius adresu. Didumas

D z = f(x+D x, y+D y) - f(x, y)

vadinamas visišku funkcijos padidėjimu z = f(x, y). Jei tai galima pavaizduoti formoje

D z = A D x + IN D adresu+ a,

kur a yra aukštesnės eilės begalinis dydis nei atstumas tarp taškų ( X, adresu) Ir ( X+D X, adresu+D adresu), tada jie sako, kad funkcija z = f(x, y) yra diferencijuojamas. Komponentai A D X + IN D adresu forma pilnas diferencialas dz funkcijas z = f(x, y), ir A = z"x, = z" y. Vietoj D x ir D y paprastai rašyti dx Ir dy, Taigi

Geometriškai dviejų kintamųjų funkcijos diferenciacija reiškia, kad jos grafikas turi liestinės plokštumą, o diferencialas reiškia liestinės plokštumos taikymo prieaugį, kai nepriklausomi kintamieji gauna prieaugius. dx Ir dy. Dviejų funkcijai kintamųjų samprata diferencialas yra daug svarbesnis ir natūralesnis nei dalinių išvestinių sąvoka. Skirtingai nuo vieno kintamojo funkcijų, dviejų kintamųjų funkcijų atveju abiejų pirmos eilės dalinių išvestinių egzistavimas negarantuoja funkcijos diferencijavimo. Tačiau jei dalinės išvestinės taip pat yra tolydžios, tai funkcija yra diferencijuojama.

Panašiai apibrėžiamos ir aukštesnės eilės dalinės išvestinės priemonės. Dalinės išvestinės priemonės ¶ 2 f/¶ x 2 Ir ¶ 2 f/¶ 2 val, kuriose diferencijavimas atliekamas vieno kintamojo atžvilgiu, vadinami grynosiomis, o dalinėmis išvestinėmis ¶ 2 f/¶ x¶ y Ir ¶ 2 f/¶ adresu¶ X- sumaišytas. Jei mišrios dalinės išvestinės yra ištisinės, tai jos yra lygios viena kitai. Visi šie apibrėžimai ir žymėjimai perkeliami į bylą daugiau kintamieji.

Istorinė informacija. Atskiros kreivių liestinių nustatymo ir maksimalaus ir minimalios vertės kintamieji buvo išspręstos matematikų Senovės Graikija. Pavyzdžiui, buvo rasta būdų, kaip sudaryti tangentus kūginės sekcijos ir kai kurios kitos kreivės. Tačiau senovės matematikų sukurti metodai buvo taikomi tik labai ypatingais atvejais ir yra toli nuo idėjų Diferencialinis skaičiavimas

Kūrybos era Diferencialinis skaičiavimas savarankiška matematikos šaka laikytinas laikas, kai buvo suprasta, kad nurodyta specialios užduotys kartu su daugybe kitų (ypač momentinio greičio nustatymo problema) sprendžiami naudojant tą patį matematinį aparatą – naudojant išvestines ir diferencialus. Tokį supratimą pasiekė I. Niutonas ir G. Leibnicas.

Apie 1666 metus I. Niutonas sukūrė srauto metodą (žr. Fluxion skaičiavimas ). Niutonas suformulavo pagrindinius mechanikos uždavinius: 1) nustatyti judėjimo greitį pagal žinomą kelio priklausomybę nuo laiko; 2) nuvažiuoto atstumo nustatymas duoto laiko kelias žinomu greičiu. Niutonas nuolatinį kintamąjį vadino sklandžiu (srove), jo greitį – srautu. Taigi pagrindinės Niutono sąvokos buvo išvestinė (fluxion), o ne apibrėžtasis integralas kaip antiderivatinė priemonė (fluenta). Fluxions metodą jis siekė pagrįsti ribų teorija, nors pastarąją jis tik nubrėžė.

70-ųjų viduryje. XVII a G. Leibnicas sukūrė labai patogų algoritmą Diferencialinis skaičiavimas Pagrindinės Leibnizo sąvokos buvo diferencialas kaip be galo mažas kintamojo prieaugis ir apibrėžtasis integralas kaip be galo didelio diferencialų skaičiaus suma. Leibnizo žymėjimas skirtumui dx ir integralas ò ydx, daugybė diferenciacijos taisyklių, patogi ir lanksti simbolika ir galiausiai pats terminas „diferencialinis skaičiavimas“. Tolesnė plėtra Diferencialinis skaičiavimas pirmiausia nuėjo Leibnizo nubrėžtu keliu; Šiame etape svarbų vaidmenį vaidino brolių Ya ir I. darbai. Bernulis , B. Teiloras ir tt

Kitas vystymosi etapas Diferencialinis skaičiavimas buvo L. kūrinių. Euleris ir J. Lagranžas (XVIII a.). Euleris pirmą kartą pradėjo ją pristatyti kaip analitinę discipliną, nepriklausomą nuo geometrijos ir mechanikos. Jis vėl pateikė kaip pagrindinę koncepciją Diferencialinis skaičiavimas išvestinė. Lagranžas bandė statyti Diferencialinis skaičiavimas algebriškai, naudojant funkcijų išplėtimą galios serija; Visų pirma jis buvo atsakingas už termino „išvestinė priemonė“ ir pavadinimo įvedimą y" arba f"(x). pradžioje, XIX a. pateisinimo problema buvo patenkinamai išspręsta Diferencialinis skaičiavimas remiantis ribų teorija. Tai buvo pasiekta daugiausia dėka O. Koši , B. Bolzanas ir K. Gausas . Daugiau gilią analizę originalios koncepcijos Diferencialinis skaičiavimas buvo siejamas su aibių teorijos ir realaus kintamojo funkcijų teorijos raida XIX amžiaus pabaigoje ir XX amžiaus pradžioje.

Lit.: Istorija. Willeitner G., Matematikos istorija nuo Dekarto iki XIX amžiaus vidurio, vert. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1966 m. Stroik D. Ya. Trumpas rašinys matematikos istorija, vert. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1969 m.; Cantor M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - V., 1901-24.

Įkūrėjų ir klasikų darbai Diferencialinis skaičiavimas Niutonas I., Matematiniai darbai, vert. iš lotynų kalbos, M. - L., 1937; Leibnizas G., Rinktinės matematinių darbų ištraukos, vert. iš lotynų k., „Matematikos mokslų pažanga“, 1948, 3 t., amžius. 1; L'Hopital G. F. de, Analysis of infinitesmals, išversta iš prancūzų kalbos, M. - Leningrad, 1935, Infinitesmals analizė, išversta iš lotynų kalbos, 2 t., M., 1961; , Diferencialinis skaičiavimas, išverstas iš lotynų kalbos., M. - L., 1949; Santrauka diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pamokos, vert. iš prancūzų k., Sankt Peterburgas, 1831 m. jo, Algebrinė analizė, vert. iš prancūzų k., Leipcigas, 1864 m.

Vadovėliai ir mokymo priemonės Autorius Diferencialinis skaičiavimas Khinchin A. Ya., Trumpas kursas Matematinė analizė, 3 leidimas, M., 1957; jo, Aštuonios paskaitos apie matematinę analizę, 3 leidimas, M. - L., 1948; Smirnovas V.I., Kursas aukštoji matematika, 22 leidimas, t. 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, 7 leidimas, t. 1, M., 1969; La Vallée-Poussin C. J. de, Begalinių mažumų analizės kursas, vert. iš prancūzų k., 1 t., L. - M., 1933 m. Kurant R., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, vert. su juo. ir anglų k., 4-asis leidimas, 1 tomas, M., 1967 m. Banach S., Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas, vert. iš lenkų k., 2 leid., M., 1966 m.; Rudinas U., Matematinės analizės pagrindai, vert. iš anglų kalbos, M., 1966 m.

Redagavo S. B. Stechkinas.

Straipsnis apie žodį " Diferencialinis skaičiavimas“ Didžiojoje sovietinėje enciklopedijoje buvo perskaityta 24 920 kartų

Diferencialinis skaičiavimas

matematikos šaka, tirianti funkcijų išvestines ir diferencialus bei jų taikymą funkcijoms tirti. Dizainas D. ir. į savarankišką matematinę discipliną siejama su I. Niutono ir G. Leibnizo vardais (XVII a. antroji pusė). Jie suformulavo pagrindines D. nuostatas ir. ir aiškiai nurodė viena kitai atvirkštinį diferenciacijos ir integravimo operacijų pobūdį. Nuo to laiko D. ir. vystosi glaudžiai susijęs su integraliniu skaičiavimu (žr. Integral calculus), kartu su kuriuo jis sudaro pagrindinę matematinės analizės (arba be galo mažos analizės) dalį. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo sukūrimas atvėrė naują matematikos raidos erą. Tai paskatino daugelio matematinių disciplinų atsiradimą: serijų teoriją, diferencialinių lygčių teoriją, diferencialinę geometriją ir variacijų skaičiavimą. Matematinės analizės metodai buvo pritaikyti visose matematikos šakose. Matematikos taikymo sritis gamtos mokslų ir technologijų klausimams neišmatuojamai išsiplėtė. „Tik diferencialinis skaičiavimas suteikia gamtos mokslui galimybę matematiškai pavaizduoti ne tik būsenas, bet ir procesus: judėjimą“ (F. Engels, žr. K. Marx and F. Engels, Soch., 2nd ed., t. 20, p. 587 ).

D. ir. remiasi šiomis svarbiausiomis matematikos sąvokomis, kurių apibrėžimas ir tyrimas sudaro įvadą į matematinę analizę: realūs skaičiai(Žr. Tikrasis skaičius) (skaičių eilutė), funkcija, riba, tęstinumas.

Darinys. Visos šios sąvokos išsikristalizavo ir įgavo šiuolaikinį turinį diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kūrimo ir pagrindimo eigoje. Pagrindinė mintis D. susideda iš mažųjų funkcijų tyrimo. Tiksliau: D. ir. suteikia aparatą funkcijoms tirti, kurių elgsena pakankamai mažoje kiekvieno taško kaimynystėje yra artima tiesinės funkcijos arba daugianario elgsenai. Kaip toks aparatas tarnauja pagrindinės diferencialinės teorijos sąvokos: išvestinė ir diferencialas. Išvestinės sąvoka atsirado dėl daugybės gamtos mokslų ir matematikos problemų, dėl kurių skaičiuojamos to paties tipo ribos. Svarbiausi iš jų yra taško linijinio judėjimo greičio nustatymas ir kreivės liestinės sudarymas. Diferencialo sąvoka yra matematinė funkcijos artumo tiesinei išraiška nedidelėje tiriamo taško kaimynystėje. Skirtingai nuo išvestinės, jis lengvai perkeliamas į vienos euklido erdvės atvaizdavimą į kitą ir į savavališkų tiesinių normuotų erdvių atvaizdavimą ir yra viena iš pagrindinių šiuolaikinės netiesinės funkcinės analizės sąvokų (žr. Funkcinė analizė). s = gt 2/2, kur s- atstumas, nuvažiuotas nuo kritimo pradžios (metrais), t- kritimo laikas (sekundėmis), g Tegu reikia nustatyti tiesiai judančio medžiagos taško greitį. Jei judėjimas vienodas, tai taško nueitas kelias yra proporcingas judėjimo laikui; tokio judėjimo greitis gali būti apibrėžtas kaip kelias, nueitas per laiko vienetą, arba kaip per tam tikrą laikotarpį nueito kelio ir šio intervalo trukmės santykis. Jei judėjimas yra netolygus, tada taško nueiti keliai vienodais laiko intervalais, paprastai kalbant, bus skirtingi. Netolygaus judėjimo pavyzdys yra laisvai vakuume krintantis kūnas. Tokio kūno judėjimo dėsnis išreiškiamas formule g ≈ 9,81 m/sek 2. Per pirmąją rudens sekundę kūnas nukeliaus apie 4,9 m, antrajam - apie 14,7 val m, o už dešimtadalį – apie 93,2 m, ty kritimas vyksta netolygiai. Todėl aukščiau pateiktas greičio apibrėžimas čia yra nepriimtinas. Šiuo atveju atsižvelgiama į vidutinį judėjimo greitį per tam tikrą laikotarpį po (arba prieš) fiksuotą momentą t; jis apibrėžiamas kaip per šį laikotarpį nueito kelio ilgio ir jo trukmės santykis. Šis vidutinis greitis priklauso ne tik nuo momento t, bet ir apie laikotarpio pasirinkimą. Mūsų pavyzdyje vidutinis kritimo greitis per tam tikrą laikotarpį nuo tį t + Δ t lygus

- pastovi vertė, laisvojo kritimo pagreitis, t artėja prie vertės GT, kuris vadinamas judėjimo greičiu laiko momentu t. Taigi judėjimo greitis bet kuriuo laiko momentu apibrėžiamas kaip vidutinio greičio riba, kai laiko periodas mažėja neribotai.

Ši išraiška neribotam laiko periodo Δ sumažėjimui t, laikotarpis nuo tį t + Δ t o formule išreikštas judėjimo dėsnis s = f(t). Tada vidutinis judėjimo greitis per tam tikrą laikotarpį nuo tį t + Δ t Paprastai šie skaičiavimai turi būti atliekami bet kuriuo metu. t pateikiama formule Δs/Δ s = f(t + Δ t) - f(t), ir judėjimo greitį laiko momentu t lygus

, kur Δ t, o ne intervalo funkcija ( t, t + Δ t). Kita vertus, momentinis greitis yra tam tikra abstrakcija, nes jis yra vidutinis, o ne momentinis greitis, kurį galima tiesiogiai išmatuoti.

Problema taip pat sukelia (*) tipo išraišką (žr. ryžių. Pagrindinis greičio tam tikru metu arba momentinio greičio pranašumas, palyginti su vidutiniu greičiu, yra tas, kad jis, kaip ir judėjimo dėsnis, yra laiko funkcija. M. Tegul kreivė Г yra funkcijos grafikas adresu = f(x) plokštumos kreivės liestinės konstravimas (žr. liestinę) tam tikrame taške Jautis. Pažymėkime pagal x 0 abscisės taškas M, ir per x 1 = x 0 + Δ X- taško abscisė M 1. Sekanto kampinis koeficientas MM 1 lygus

). Liestinės padėtis bus nustatyta, jei bus rastas jos kampinis koeficientas, t. y. kampo α, kurį sudaro liestinė su ašimi, liestinė y = kur Δ = f(x 0 + Δ x) - f(x 0 M1N x 0, x 1) – funkcijos padidėjimas segmente [ M kaip sekanto ribinė padėtis MM 1, Kada x 1 siekia x 0, gauname

Abstrahuodami nuo minėtų problemų mechaninio ar geometrinio turinio ir išryškindami bendrą jų sprendimo būdą, prieiname prie išvestinės sąvokos. Funkcijos išvestinė adresu = f(x) taške X vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba (jei ji yra), kai pastarasis linkęs į nulį, todėl

). Liestinės padėtis bus nustatyta, jei bus rastas jos kampinis koeficientas, t. y. kampo α, kurį sudaro liestinė su ašimi, liestinė q- teigiamas elektros krūvis, perkeltas per grandinės atkarpą laiku Δ t; greitis cheminė reakcija apibrėžta kaip riba

). Liestinės padėtis bus nustatyta, jei bus rastas jos kampinis koeficientas, t. y. kampo α, kurį sudaro liestinė su ašimi, liestinė K- medžiagos kiekio pokytis laikui bėgant Δ t; Apskritai laiko išvestinė yra proceso greičio matas, taikomas įvairiems fiziniams dydžiams.

Funkcijos išvestinė y = f(x) žymi f"(x), y", dy/dx, df/dx arba Df (X). Jei funkcija y = f(x) turi taške x 0 išvestinė, tada ji apibrėžiama kaip pačiame taške x 0, ir tam tikroje šio taško kaimynystėje ir yra ištisinis taške x 0. Tačiau priešinga išvada būtų neteisinga. Pavyzdžiui, funkcija ištisinė kiekviename taške

kurio grafikas yra pirmojo ir antrojo pusiausvyros koordinačių kampai, adresu X= 0 neturi išvestinės, nes santykis Δ y/Δ X neturi ribos ties Δ x→ 0: jei Δ X> 0, šis santykis yra +1, o jei Δ x Nuolatinė funkcija).

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Funkcijų klasėje, kuri turi išvestinę, ši operacija yra tiesinė.

Formulių ir diferenciacijos taisyklių lentelė

(C)´ = 0; ( x n)´ = nx n-1;

(a x)´ = a x ln a Ir ( e x)´ = e x;

(log a x)' = 1/ x ln a ir (ln x)' = 1/ x;

(nuodėmė x)´ = cos x; (cos x)´ = – nuodėmė x;

(tg x)' = 1/cos 2 x; (ctg x)´ = – 1/sin 2 x;

(arkas tg x)´ = 1/(1 + x 2).

[f(x) ± g(x)]´ = f´( x) ± g´( x);

[Plg(x)]´ = Plg´( x);

[f(x) g(x)]´ = f´´( x) g(x) + f(x) g´( x);

Jeigu y = f(u) Ir u = φ( x), t.y. y = f[φ( x)], Tai dy/dx = (dy/du)․(du/dx) = f" (u)φ"( x).

Jei išvestinė f"(x), savo ruožtu turi išvestinę, tada ji vadinama antrąja funkcijos išvestine adresu = f(x) ir pažymėkite

y", f"(x), d 2 m/dx 2, d 2 f/dx 2 arba D 2 f(x).

Tiesiai judančio taško antroji išvestinė apibūdina jo pagreitį.

Panašiai apibrėžiamos ir aukštesnės (sveikos) eilės išvestinės. Užsakymo vedinys nžymimas

y n, fn(x), d n y/dx n, d n f/dx n arba D n f(x).

Diferencialinis. Funkcija adresu = f(x), kurios apibrėžimo srityje yra taško kaimynystė x 0, sakoma, kad taškas skiriasi x 0, jei jo prieaugis

Δ y = f(x 0 + Δ x) - f(x 0)

galima parašyti formoje

Δ adresu = AΔ X + αΔ X,

Kur A = A(x 0), α = α( X, x 0) → 0 val X → x 0. Šiuo ir tik šiuo atveju išraiška AΔ x vadinamas funkcijos diferencialu f(x) taške x 0 ir yra paskirtas dy arba df(x 0). Geometriškai diferencialas (fiksuota verte x 0 ir kintantis prieaugis Δ x) reiškia liestinės, ty atkarpos, ordinatės prieaugį NT(cm. ryžių. ). Diferencialinis dy yra abiejų taško funkcija x 0, o nuo prieaugio Δ X. Jie sako, kad diferencialas yra pagrindinė tiesinė funkcijos padidėjimo dalis, o tai reiškia, kad fiksuotai x 0, dy Yra tiesinė funkcija nuo Δ X ir skirtumas Δ y - dy yra be galo maža Δ atžvilgiu x. Dėl funkcijos f(x) ≡ X mes turime dx = Δ X, ty nepriklausomo kintamojo diferencialas sutampa su jo prieaugiu. Todėl jie dažniausiai rašo dy = Adx. Yra glaudus ryšys tarp funkcijos diferencialo ir jos išvestinės. Kad būtų vieno kintamojo funkcija y = f(x) turėjo taške x 0 diferencialas, būtina ir pakanka, kad šiame taške būtų (baigtinė) išvestinė f"(x 0), ir lygybė yra tiesa dy = f"(x 0) dx. Vizuali šio sakinio prasmė yra ta, kad kreivės liestinė y = f(x) abscisių taške x 0 nes ribinė sekanto padėtis taip pat yra tiesi linija, kuri yra be galo mažoje taško kaimynystėje x 0 ribojasi su kreive arčiau nei bet kuri kita tiesi linija. Taigi visada A(x 0) = f"(x 0); įrašymas dy/dx gali būti suprantamas ne tik kaip vedinio žymėjimas f"(x 0), bet ir kaip priklausomų ir nepriklausomų kintamųjų skirtumų santykis. Dėl lygybės dy = f"(x 0) dx skirtumų nustatymo taisyklės tiesiogiai išplaukia iš atitinkamų išvestinių priemonių radimo taisyklių.

Taip pat atsižvelgiama į didesnius skirtumus. Praktikoje diferencialų pagalba dažnai atliekami apytiksliai funkcijų verčių skaičiavimai, taip pat įvertinamos skaičiavimo klaidos. Pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę f(x) taške X, jei žinoma f(x 0) Ir f"(x 0). Funkcijos prieaugį pakeitę jos diferencialu, gauname apytikslę lygybę

f(x 1) ≈ f(x 0) + df(x 0) = f(x 0) + f"(x 0) (x 1 - x 0).

Šios lygybės paklaida apytiksliai lygi pusei funkcijos antrojo diferencialo, t.y.

1/2 d 2 f = 1/2 f"(x 0)(x 1 – x 0) 2 .

Šie pasiūlymai leidžia metodus D. ir. atlikti išsamų pakankamai sklandžių (tai yra, turinčių pakankamai aukšto lygio išvestinius) funkcijų elgsenos tyrimą. Tokiu būdu galima ištirti glotnumo, išgaubimo ir įdubimo laipsnį, funkcijų padidėjimą ir mažėjimą (Žr. Didėjanti ir mažėjanti funkcija), jų ekstremumus, rasti jų asimptotes (Žr. Asimptote), vingio taškus (Žr. Posūkio taškas) , apskaičiuokite kreivės kreivumą (Žr. . Kreivumas), išsiaiškinkite jos pobūdį vienetiniai taškai(Žr. „Singular point“) ir kt. Pavyzdžiui, sąlyga f"(x) > 0 reiškia (griežtą) funkcijos padidėjimą adresu = f(x), ir sąlyga f"(x) > 0 – jo (griežtas) išgaubtumas. Visi diferencijuojamos funkcijos ekstremalūs taškai, priklausantys jos apibrėžimo srities vidui, yra tarp lygties šaknų f"(x) = 0.

Funkcijų tyrimas naudojant išvestines yra pagrindinis dinaminės teorijos taikymas. Be to, D. ir. leidžia apskaičiuoti įvairių tipų funkcijų ribas, ypač 0/0 ir ∞/∞ formos ribas (žr. Neapibrėžta išraiška (žr. neapibrėžtos išraiškos), L'Hopital taisyklė). D. ir. Tai ypač patogu studijuojant elementarias funkcijas, nes šiuo atveju jų išvestiniai išrašomi aiškiai.

D. ir. daugelio kintamųjų funkcijas. Metodai D. ir. naudojami kelių kintamųjų funkcijoms tirti. Dviejų nepriklausomų kintamųjų funkcijai z = f (X, adresu) dalinė išvestinė priemonė Xšios funkcijos išvestinė atžvilgiu X esant pastoviam adresu. Ši dalinė išvestinė žymima z"x, f" x(x, y), ∂z/∂X arba ∂ f(x, y)/∂x, Taigi

Dalinė išvestinė apibrėžiama ir žymima panašiai z Autorius adresu. Didumas

Δ z = f(x + Δ x, y + Δ y) - f(x, y)

vadinamas visišku funkcijos padidėjimu z = f(x, y). Jei tai galima pavaizduoti formoje

Δ z = AΔ x + INΔ adresu + α,

kur α yra aukštesnės eilės begalinis dydis nei atstumas tarp taškų ( X, adresu) Ir ( X + Δ X, adresu + Δ adresu), tada jie sako, kad funkcija z = f(x, y) yra diferencijuojamas. Komponentai AΔ X + INΔ adresu sudaro bendrą skirtumą dz funkcijas z = f(x, y), ir A = z"x, B = z" y. Vietoj Δ x ir Δ y paprastai rašyti dx Ir dy, Taigi

Geometriškai dviejų kintamųjų funkcijos diferenciacija reiškia, kad jos grafikas turi liestinės plokštumą, o diferencialas reiškia liestinės plokštumos taikymo prieaugį, kai nepriklausomi kintamieji gauna prieaugius. dx Ir dy. Dviejų kintamųjų funkcijai diferencialo sąvoka yra daug svarbesnė ir natūralesnė nei dalinių išvestinių sąvoka. Skirtingai nuo vieno kintamojo funkcijų, dviejų kintamųjų funkcijų atveju abiejų pirmos eilės dalinių išvestinių egzistavimas negarantuoja funkcijos diferencijavimo. Tačiau jei dalinės išvestinės taip pat yra tolydžios, tai funkcija yra diferencijuojama.

Panašiai apibrėžiamos ir aukštesnės eilės dalinės išvestinės priemonės. Dalinės išvestinės ∂ 2 f/∂x 2 ir ∂ 2 f/∂2 val, kuriose diferencijavimas atliekamas vieno kintamojo atžvilgiu, vadinamos grynosiomis, o dalinėmis išvestinėmis ∂ 2 f/∂x∂y ir ∂ 2 f/∂adresu∂X- sumaišytas. Jei mišrios dalinės išvestinės yra ištisinės, tai jos yra lygios viena kitai. Visi šie apibrėžimai ir žymėjimai perkeliami į didesnį kintamųjų skaičių.

Istorinė informacija. Individualias problemas, susijusias su kreivių liestinių nustatymu ir didžiausių bei mažiausių kintamųjų reikšmių radimu, sprendė Senovės Graikijos matematikai. Pavyzdžiui, buvo rasti kūginių pjūvių liestinių ir kai kurių kitų kreivių sudarymo metodai. Tačiau senovės matematikų sukurti metodai buvo taikomi tik labai ypatingais atvejais ir buvo toli nuo D. ir idėjų.

Kūrybos era D. ir. Kaip savarankiška matematikos šaka, reikėtų atsižvelgti į laiką, kai buvo suprasta, kad šios specialiosios problemos kartu su daugybe kitų (ypač momentinio greičio nustatymo problema) yra sprendžiamos naudojant tą patį matematinį aparatą – naudojant išvestines ir diferencialus. Tokį supratimą pasiekė I. Niutonas ir G. Leibnicas.

Apie 1666 metus I. Niutonas sukūrė srauto metodą (žr. Fluxion calculus). Niutonas suformulavo pagrindinius mechanikos uždavinius: 1) nustatyti judėjimo greitį pagal žinomą kelio priklausomybę nuo laiko; 2) per tam tikrą laiką nuvažiuoto atstumo, naudojant žinomą greitį, nustatymas. Niutonas nuolatinį kintamąjį vadino sklandžiu (srove), jo greitį – srautu. Taigi, pagrindinės Niutono sąvokos buvo išvestinė (fluxion) ir neapibrėžtas integralas kaip antiderivatinė priemonė (fluenta). Fluxions metodą jis siekė pagrįsti ribų teorija, nors pastarąją jis tik nubrėžė.

70-ųjų viduryje. XVII a G. Leibnicas sukūrė labai patogų algoritmą D. ir. Pagrindinės Leibnizo sąvokos buvo diferencialas kaip be galo mažas kintamojo prieaugis ir apibrėžtasis integralas kaip be galo didelio diferencialų skaičiaus suma. Leibnizo žymėjimas skirtumui dx ir integralas ∫ ydx, daugybė diferenciacijos taisyklių, patogi ir lanksti simbolika ir galiausiai pats terminas „diferencialinis skaičiavimas“. Tolimesnė D. plėtra ir. pirmiausia nuėjo Leibnizo nubrėžtu keliu; Didelį vaidmenį šiame etape suvaidino brolių J. ir I. Bernoulli, B. Taylor ir kitų kūryba.

Kitas D. raidos etapas ir. Buvo L. Eulerio ir J. Lagrange darbų (XVIII a.). Euleris pirmą kartą pradėjo ją pristatyti kaip analitinę discipliną, nepriklausomą nuo geometrijos ir mechanikos. Jis vėl iškėlė D. ir kaip pagrindinę sąvoką. išvestinė. Lagranžas bandė statyti D. ir. algebriškai, naudojant funkcijų išplėtimą į laipsnių eilutes; Visų pirma jis buvo atsakingas už termino „išvestinė priemonė“ ir pavadinimo įvedimą y" arba f"(x). pradžioje, XIX a. D. pagrindimo problema buvo išspręsta patenkinamai. remiantis ribų teorija. Tai buvo pasiekta daugiausia O. Cauchy, B. Bolzano ir C. Gausso darbo dėka. Išsamesnė pradinių D. ir sampratų analizė. buvo siejamas su aibių teorijos ir realaus kintamojo funkcijų teorijos raida XIX amžiaus pabaigoje ir XX amžiaus pradžioje.

Lit.: Istorija. Willeitner G., Matematikos istorija nuo Dekarto iki XIX amžiaus vidurio, vert. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1966 m. Stroik D. Ya., Trumpas matematikos istorijos eskizas, vert. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1969 m.; Cantor M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - V., 1901-24.

Įkūrėjų ir klasikų darbai D. ir. Niutonas I., Matematiniai darbai, vert. iš lotynų kalbos, M. - L., 1937; Leibnizas G., Rinktinės matematinių darbų ištraukos, vert. iš lotynų k., „Matematikos mokslų pažanga“, 1948, 3 t., amžius. 1; L'Hopital G. F. de, Analysis of infinitesmals, išversta iš prancūzų kalbos, M. - Leningrad, 1935, Infinitesmals analizė, išversta iš lotynų kalbos, 2 t., M., 1961; , Diferencialinis skaičiavimas, išverstas iš lotynų kalbos, M. - L., 1949, Cauchy O. L., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pamokų santrauka, išversta iš prancūzų kalbos, Sankt Peterburgas, 1831, Algebrinė analizė, išversta iš prancūzų kalbos, Leipcigas, 1864 m .

Vadovėliai ir mokymo priemonės apie D. ir. Khinchin A. Ya., Trumpas matematinės analizės kursas, 3 leidimas, M., 1957; jo, Aštuonios paskaitos apie matematinę analizę, 3 leidimas, M. - L., 1948; Smirnovas V.I., Aukštosios matematikos kursas, 22 leidimas, 1 t., M., 1967 m. Fikhtengolts G. M., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, 7 leidimas, t. 1, M., 1969; La Vallée-Poussin C. J. de, Begalinių mažumų analizės kursas, vert. iš prancūzų k., 1 t., L. - M., 1933 m. Kurant R., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, vert. su juo. ir anglų k., 4-asis leidimas, 1 tomas, M., 1967 m. Banach S., Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas, vert. iš lenkų k., 2 leid., M., 1966 m.; Rudinas U., Matematinės analizės pagrindai, vert. iš anglų kalbos, M., 1966 m.

Redagavo S. B. Stechkinas.

Didelis Sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .

diferencialinis skaičiavimas

matematikos šaka, tirianti išvestines, diferencialus ir jų taikymą funkcijų savybėms tirti. Funkcijos y = f(x) išvestinė yra funkcijos padidėjimo?y = y1 - y0 ir argumento prieaugio?x = x1 - x0 santykio riba, nes?x linkusi į nulį (jei tai riba egzistuoja). Išvestinė žymima f?(x) arba y?; Taigi funkcijos y = f(x) diferencialas yra išraiška dy = y?dx, kur dx = ?x yra argumento x prieaugis. Akivaizdu, kad y? = dy/dx. Santykis dy/dx dažnai naudojamas kaip išvestinės ženklas. Išvestinių ir diferencialų skaičiavimas vadinamas diferenciacija. Jei išvestinė f?(x) savo ruožtu turi išvestinę, tada ji vadinama 2-ąja funkcijos f(x) išvestine ir žymima f??(x) ir kt. Pagrindinės diferencialinio skaičiavimo sąvokos gali būti išplėstos kelių kintamųjų funkcijų atveju. Jei z = f(x,y) yra dviejų kintamųjų x ir y funkcija, tai, fiksavus tam tikrą y reikšmę, z galime atskirti x atžvilgiu; gauta išvestinė dz/dx = f?x vadinama daline z išvestine x atžvilgiu. Panašiai apibrėžiami ir dalinė išvestinė dz/dy = f?y, aukštesnių laipsnių daliniai išvestiniai, daliniai ir suminiai skirtumai. Diferencialinio skaičiavimo taikymui geometrijoje svarbu, kad vadinamasis. liestinės kampo koeficientas, t.y. kampo liestinė? (žr. pav.) tarp Ox ašies ir kreivės liestinės y = f(x) taške M(x0, y0), lygi vertei išvestinė, kai x = x0, t.y. f?(x0). Mechanikoje tiesiai judančio taško greitis gali būti interpretuojamas kaip kelio išvestinė laiko atžvilgiu. Diferencialinis skaičiavimas (kaip ir integralinis skaičiavimas) turi daugybę pritaikymų.

Diferencialinis skaičiavimas

matematikos šaka, tirianti funkcijų išvestines ir diferencialus bei jų taikymą funkcijoms tirti. Dizainas D. ir. į savarankišką matematinę discipliną siejama su I. Niutono ir G. Leibnizo vardais (XVII a. antroji pusė). Jie suformulavo pagrindines D. nuostatas ir. ir aiškiai nurodė viena kitai atvirkštinį diferenciacijos ir integravimo operacijų pobūdį. Nuo to laiko D. ir. vystosi glaudžiai susijęs su integraliniu skaičiavimu, kartu su kuriuo sudaro pagrindinę matematinės analizės (arba begalinės analizės) dalį. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo sukūrimas atvėrė naują matematikos raidos erą. Tai paskatino daugelio matematinių disciplinų atsiradimą: serijų teoriją, diferencialinių lygčių teoriją, diferencialinę geometriją ir variacijų skaičiavimą. Matematinės analizės metodai buvo pritaikyti visose matematikos šakose. Matematikos taikymo sritis gamtos mokslų ir technologijų klausimams neišmatuojamai išsiplėtė. „Tik diferencialinis skaičiavimas suteikia gamtos mokslui galimybę matematiškai pavaizduoti ne tik būsenas, bet ir procesus: judėjimą“ (F. Engels, žr. K. Marx and F. Engels, Soch., 2nd ed., t. 20, p. 587 ). D. ir. remiasi šiomis svarbiausiomis matematikos sąvokomis, kurių apibrėžimas ir tyrimas sudaro matematinės analizės įvado dalyką: realieji skaičiai (skaičių eilutė), funkcija, riba, tęstinumas. Visos šios sąvokos išsikristalizavo ir įgavo šiuolaikinį turinį diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kūrimo ir pagrindimo eigoje. Pagrindinė mintis D. susideda iš mažųjų funkcijų tyrimo. Tiksliau: D. ir. suteikia aparatą funkcijoms tirti, kurių elgsena pakankamai mažoje kiekvieno taško kaimynystėje yra artima tiesinės funkcijos arba daugianario elgsenai. Kaip toks aparatas tarnauja pagrindinės diferencialinės teorijos sąvokos: išvestinė ir diferencialas. Išvestinės sąvoka atsirado dėl daugybės gamtos mokslų ir matematikos problemų, dėl kurių skaičiuojamos to paties tipo ribos. Svarbiausi iš jų yra taško tiesinio judėjimo greičio nustatymas ir kreivės liestinės sudarymas. Diferencialo sąvoka yra matematinė funkcijos artumo tiesinei išraiška nedidelėje tiriamo taško kaimynystėje. Skirtingai nuo išvestinės, jis lengvai perkeliamas į vienos Euklido erdvės atvaizdavimą į kitą ir į savavališkų tiesinių normuotų erdvių atvaizdavimą ir yra viena iš pagrindinių šiuolaikinės netiesinės funkcinės analizės koncepcijų. Darinys. Tegu reikia nustatyti tiesiai judančio medžiagos taško greitį. Jei judėjimas vienodas, tai taško nueitas kelias yra proporcingas judėjimo laikui; tokio judėjimo greitis gali būti apibrėžtas kaip kelias, nueitas per laiko vienetą, arba kaip per tam tikrą laikotarpį nueito kelio ir šio intervalo trukmės santykis. Jei judėjimas yra netolygus, tada taško nueiti keliai vienodais laiko intervalais, paprastai kalbant, bus skirtingi. Netolygaus judėjimo pavyzdys yra laisvai vakuume krintantis kūnas. Tokio kūno judėjimo dėsnis išreiškiamas formule s = gt2/2, kur s ≈ atstumas, nuvažiuotas nuo kritimo pradžios (metrais), t ≈ kritimo laikas (sekundėmis), g ≈ pastovi reikšmė, laisvojo kritimo pagreitis, g » 9,81 m/sek2. Pirmąją kritimo sekundę kūnas nuvažiuos apie 4,9 m, antrąją ≈ apie 14,7 m, o dešimtąją ≈ apie 93,2 m, t.y. kritimas vyksta netolygiai. Todėl aukščiau pateiktas greičio apibrėžimas čia yra nepriimtinas. Šiuo atveju atsižvelgiama į vidutinį judėjimo greitį per tam tikrą laikotarpį po (arba prieš) fiksuotą momentą t; jis apibrėžiamas kaip per šį laikotarpį nueito kelio ilgio ir jo trukmės santykis. Šis vidutinis greitis priklauso ne tik nuo momento t, bet ir nuo pasirinkto laiko periodo. Mūsų pavyzdyje vidutinis kritimo greitis per laikotarpį nuo t iki t + Dt yra lygus Ši išraiška, neribotai mažėjant laiko intervalui Dt, artėja prie reikšmės gt, kuri vadinama judėjimo greičiu t. Taigi judėjimo greitis bet kuriuo laiko momentu apibrėžiamas kaip vidutinio greičio riba, kai laiko periodas mažėja neribotai. Bendruoju atveju šie skaičiavimai turi būti atliekami bet kuriam laiko momentui t, laiko intervalui nuo t iki t + Dt ir judėjimo dėsniui, išreikštam formule s = f (t). Tada vidutinis judėjimo greitis laikotarpiui nuo t iki t + Dt apskaičiuojamas pagal formulę Ds/Dt, kur Ds = f (t + Dt) ≈ f (t), o judėjimo greitis momentu t yra lygus Pagrindinis greičio tam tikru metu arba momentinio greičio pranašumas prieš vidutinį greitį yra tas, kad jis, kaip ir judėjimo dėsnis, priklauso nuo laiko t, o ne nuo intervalo (t, t + Dt) . Kita vertus, momentinis greitis yra tam tikra abstrakcija, nes jis yra vidutinis, o ne momentinis greitis, kurį galima tiesiogiai išmatuoti. Problema taip pat sukelia (*) tipo išraišką (žr. ryžių.) sudarydami plokštumos kreivės liestinę tam tikrame taške M. Tegul kreivė Г yra funkcijos y = f (x) grafikas. Liestinės padėtis bus nustatyta, jei rastas jos kampinis koeficientas, t.y. kampo a, kurį sudaro liestinė su Ox ašimi, liestinė. Pažymime x0 taško M abscises, o x1 = x0 + Dх ≈ taško M abscises

Sekanto MM1 kampinis koeficientas lygus

čia Dy = M1N = f (x0 + Dx) ≈ f (x0) ≈ atkarpoje esančios funkcijos prieaugis. Apibrėžę liestinę taške M kaip ribinę sekanto MM1 padėtį, kai x1 linkęs į x0, gauname

Abstrahuodami nuo minėtų problemų mechaninio ar geometrinio turinio ir išryškindami bendrą jų sprendimo būdą, prieiname prie išvestinės sąvokos. Funkcijos y = f (x) išvestinė taške x yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio riba (jei ji yra), kai pastarasis linkęs į nulį, todėl

Naudojant išvestinę, be jau svarstytų, nustatoma serija svarbios sąvokos gamtos mokslai. Pavyzdžiui, srovės stiprumas apibrėžiamas kaip riba

kur Dq ≈ teigiamas elektros krūvis, perduotas grandinės skerspjūviu per laiką Dt; cheminės reakcijos greitis apibrėžiamas kaip riba

kur DQ ≈ medžiagos kiekio pokytis laikui bėgant Dt; Apskritai laiko išvestinė yra proceso greičio matas, taikomas įvairiems fiziniams dydžiams.

Funkcijos y = f (x) išvestinė žymima f" (x), y", dy/dx, df/dx arba Df (x). Jei funkcija y = f (x) turi išvestinę taške x0, tai ji apibrėžiama ir pačiame taške x0, ir kurioje nors šio taško kaimynystėje ir yra tolydi taške x0. Tačiau priešinga išvada būtų neteisinga. Pavyzdžiui, funkcija ištisinė kiekviename taške

kurio grafikas yra pirmojo ir antrojo koordinačių kampų pusiausvyros, kai x = 0, jis neturi išvestinės, nes santykis Dу/Dх neturi ribų, kai Dx ╝ 0: jei Dх > 0, šis santykis yra lygus +1, o jei Dx< 0, то оно равно -1. Более того, существуют nuolatinės funkcijos, kurios jokiame taške neturi išvestinės (žr. Nepertraukiamą funkciją).

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Funkcijų klasėje, kuri turi išvestinę, ši operacija yra tiesinė.

Formulių ir diferenciacijos taisyklių lentelė

(C)' = 0; (xn)" = nxn-1;

(ax)" = ax ln a ir (ex)" = ex;

(logaksas)` = 1/x ln a ir (ln x)` = 1/x;

(sin x) = cos x; (cos x)` = √ sin x;

(tg x)` = 1/cos2x; (ctg x)` = √ 1/sin2x;

(lanko įdegio x) = 1/(1 + x2).

` = f `(x) ╠ g`(x);

` = Cf `(x);

` = f`` (x) g (x) + f (x) g `(x);

jei y = f (u) ir u = j(x), ty y = f, tai dy/dx = (dy/du)×(du/dx) = f¢ (u)j¢(x) .

Čia C, n ir a ≈ konstantos, a > 0. Ši lentelė ypač parodo, kad bet kurios elementariosios funkcijos išvestinė vėl yra elementarioji funkcija.

Jei išvestinė f" (x) savo ruožtu turi išvestinę, tada ji vadinama antrąja funkcijos y = f (x) išvestine ir žymima

y", f" (x), d2y/dx2, d2f/dx2 arba D2f (x).

Tiesiai judančio taško antroji išvestinė apibūdina jo pagreitį.

Panašiai apibrėžiamos ir aukštesnės (sveikos) eilės išvestinės. Žymima n eilės išvestinė

yn, fn (x), dny/dxn, dnf/dxn arba Dnf (x).

Diferencialinis. Funkcija y = f (x), kurios srityje yra tam tikra taško x0 kaimynystė, taške x0 vadinama diferencijuojama, jei jos prieaugis

Dy = f (x0 + Dx) – f (x0)

galima parašyti formoje

Dу = АDх + aDх,

kur A = A (x0), a = a(x, x0) ╝ 0, jei x ╝ x0. Šiuo ir tik šiuo atveju išraiška ADx vadinama funkcijos f (x) diferencialu taške x0 ir žymima dy arba df (x0). Geometriškai diferencialas (su fiksuota reikšme x0 ir kintamu Dx prieaugiu) reiškia liestinės, ty atkarpos NT, ordinatės prieaugį (žr. ryžių.). Diferencialas dy yra taško x0 ir prieaugio Dx funkcija. Jie sako, kad diferencialas yra pagrindinė tiesinė funkcijos prieaugio dalis, o tai reiškia, kad fiksuoto x0 atveju dy yra tiesinė Dx funkcija, o skirtumas Dy - dy yra be galo mažas Dx atžvilgiu. Funkcijai f (x) º x turime dx = Dх, ty nepriklausomo kintamojo diferencialas sutampa su jo prieaugiu. Todėl jie dažniausiai rašo dy = Adx. Tarp funkcijos diferencialo ir jos išvestinės yra glaudus ryšys. Kad vieno kintamojo y = f (x) funkcija taške x0 turėtų skirtumą, būtina ir pakanka, kad ji turėtų (baigtinę) išvestinę f" (x0) šiame taške, o lygybė dy = f" (x0) dx yra tiesa. Vizuali šio teiginio prasmė ta, kad kreivės y = f (x) liestinė taške su abscise x0, kaip ribinė sekanto padėtis, taip pat yra tiesė, kuri be galo mažoje taško x0 kaimynystėje, ribojasi su kreive arčiau nei bet kuri kita linija. Taigi visada A (x0) = f" (x0); žymėjimas dy/dx gali būti suprantamas ne tik kaip išvestinės f" (x0) žymėjimas, bet ir kaip priklausomų ir nepriklausomų kintamųjų skirtumų santykis. . Dėl lygybės dy = f" (x0) dx diferencialų nustatymo taisyklės tiesiogiai išplaukia iš atitinkamų išvestinių radimo taisyklių.

Taip pat atsižvelgiama į didesnius skirtumus. Praktikoje diferencialų pagalba dažnai atliekami apytiksliai funkcijų verčių skaičiavimai, taip pat įvertinamos skaičiavimo klaidos. Tegu, pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti funkcijos f (x) reikšmę taške x, jei žinomi f (x0) ir f" (x0). Funkcijos prieaugį pakeitę jos diferencialu, gauname apytikslę lygybę

f (x1) » f (x0) + df (x0) = f (x0) + f" (x0) (x1 - x0).

Šios lygybės paklaida apytiksliai lygi pusei funkcijos antrojo diferencialo, t.y.

1/2 d2f = 1/2 f" (x0) (x1 √ x0)

Programos. D. ir. nustatomi ryšiai tarp funkcijos savybių ir jos išvestinių (arba diferencialų), išreikštų pagrindinėmis dinaminės teorijos teoremomis. Tai apima Rolle'o teoremą, Lagrange'o formulę f (a) ≈ f (b) = f" (c) (b ≈ a), kur a< с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.

Šie pasiūlymai leidžia metodus D. ir. atlikti išsamų pakankamai sklandžių (tai yra, turinčių pakankamai aukšto lygio išvestinius) funkcijų elgsenos tyrimą. Tokiu būdu galima tirti lygumo, išgaubtumo ir įdubimo laipsnį, funkcijų didėjimą ir mažėjimą, jų ekstremumus, rasti jų asimptotes, vingio taškus (žr. Posūkio taškas), apskaičiuoti kreivės kreivumą, išsiaiškinti pobūdį. jo atskirų taškų ir kt. Pavyzdžiui, sąlyga f" (x) > 0 reiškia (griežtą) funkcijos y = f (x) padidėjimą, o sąlyga f" (x) > 0 ≈ jos (griežtą) išgaubimą. Visi diferencijuojamos funkcijos ekstremalūs taškai, priklausantys jos apibrėžimo srities vidui, yra tarp lygties f" (x) = 0 šaknų.

Funkcijų tyrimas naudojant išvestines yra pagrindinis dinaminės teorijos taikymas. Be to, D. ir. leidžia apskaičiuoti įvairių tipų funkcijų ribas, ypač 0/0 ir ¥/¥ formos ribas (žr. Neapibrėžta išraiška, L'Hopital taisyklė). D. ir. Tai ypač patogu studijuojant elementarias funkcijas, nes šiuo atveju jų išvestiniai išrašomi aiškiai.

D. ir. daugelio kintamųjų funkcijas. Metodai D. ir. naudojami kelių kintamųjų funkcijoms tirti. Dviejų nepriklausomų kintamųjų funkcijai z = f (x, y), dalinė išvestinė x atžvilgiu yra šios funkcijos išvestinė x konstantos y atžvilgiu. Ši dalinė išvestinė žymima z"x, f"x (x, y), ╤z/╤x arba ╤f (x, y)/╤x, taigi

Dalinė z išvestinė y atžvilgiu apibrėžiama ir žymima panašiai. Didumas

Dz = f (x + Dx, y + Dy) – f (x, y)

vadinamas pilnu funkcijos z = f (x, y) prieaugiu. Jei tai galima pavaizduoti formoje

Dz = ADx + ВDу + a,

kur a ≈ aukštesnės eilės begalinis dydis nei atstumas tarp taškų (x, y) ir (x + Dx, y + Dу), tada funkcija z = f (x, y) yra diferencijuojama. Terminai ADx + BDу sudaro pilną funkcijos z = f (x, y) diferencialą dz, kai A = z"x, B = z"y. Vietoj Dx ir Dy paprastai rašome dx ir dy, taigi

Geometriškai dviejų kintamųjų funkcijos diferencijavimas reiškia, kad jos grafikas turi liestinės plokštumą, o diferencialas reiškia liestinės plokštumos taikymo prieaugį, kai nepriklausomi kintamieji gauna prieaugius dx ir dy. Dviejų kintamųjų funkcijai diferencialo sąvoka yra daug svarbesnė ir natūralesnė nei dalinių išvestinių sąvoka. Skirtingai nuo vieno kintamojo funkcijų, dviejų kintamųjų funkcijų atveju abiejų pirmos eilės dalinių išvestinių egzistavimas negarantuoja funkcijos diferencijavimo. Tačiau jei dalinės išvestinės taip pat yra tolydžios, tai funkcija yra diferencijuojama.

Panašiai apibrėžiamos ir aukštesnės eilės dalinės išvestinės priemonės. Dalinės išvestinės ╤2f/╤х2 ir ╤2f/╤у2, kuriose diferencijavimas atliekamas vieno kintamojo atžvilgiu, vadinamos grynosiomis, o dalinės išvestinės ╤2f/╤x╤y ir ╤2f/╤у╤хх. ≈ mišrus. Jei mišrios dalinės išvestinės yra ištisinės, tai jos yra lygios viena kitai. Visi šie apibrėžimai ir žymėjimai perkeliami į didesnį kintamųjų skaičių.

Istorinė informacija. Individualias problemas, susijusias su kreivių liestinių nustatymu ir didžiausių bei mažiausių kintamųjų reikšmių radimu, sprendė Senovės Graikijos matematikai. Pavyzdžiui, buvo rasti kūginių pjūvių liestinių ir kai kurių kitų kreivių sudarymo metodai. Tačiau senovės matematikų sukurti metodai buvo taikomi tik labai ypatingais atvejais ir buvo toli nuo D. ir idėjų.

Kūrybos era D. ir. Kaip savarankiška matematikos šaka, reikėtų atsižvelgti į laiką, kai buvo suprasta, kad šios specialios problemos kartu su daugybe kitų (ypač momentinio greičio nustatymo problema) sprendžiamos naudojant tą patį matematinį aparatą – išvestinių pagalba. ir diferencialai. Tokį supratimą pasiekė I. Niutonas ir G. Leibnicas.

Apie 1666 metus I. Niutonas sukūrė srauto metodą (žr. Fluxion calculus). Niutonas suformulavo pagrindinius mechanikos uždavinius: 1) nustatyti judėjimo greitį pagal žinomą kelio priklausomybę nuo laiko; 2) per tam tikrą laiką nuvažiuoto atstumo, naudojant žinomą greitį, nustatymas. Niutonas nuolatinį kintamąjį pavadino sklandžiu (srove), jo greitis ≈ srautas. Taigi pagrindinės Niutono sąvokos buvo išvestinė (fluxion) ir neapibrėžtasis integralas kaip antidarinys (fluentia). Fluxions metodą jis siekė pagrįsti ribų teorija, nors pastarąją jis tik nubrėžė.

70-ųjų viduryje. XVII a G. Leibnicas sukūrė labai patogų algoritmą D. ir. Pagrindinės Leibnizo sąvokos buvo diferencialas kaip be galo mažas kintamojo prieaugis ir apibrėžtasis integralas kaip be galo didelio diferencialų skaičiaus suma. Leibnicui priklauso diferencialo dx ir integralo òydx žymėjimas, daugybė diferenciacijos taisyklių, patogi ir lanksti simbolika ir, galiausiai, pats terminas „diferencialinis skaičiavimas“. Tolimesnė D. plėtra ir. pirmiausia nuėjo Leibnizo nubrėžtu keliu; Didelį vaidmenį šiame etape suvaidino brolių J. ir I. Bernoulli, B. Taylor ir kitų kūryba.

Kitas D. raidos etapas ir. buvo L. Eulerio ir J. Lagrange (XVIII a.) kūriniai. Euleris pirmą kartą pradėjo ją pristatyti kaip analitinę discipliną, nepriklausomą nuo geometrijos ir mechanikos. Jis vėl iškėlė D. ir kaip pagrindinę sąvoką. išvestinė. Lagranžas bandė statyti D. ir. algebriškai, naudojant funkcijų išplėtimą į laipsnių eilutes; Visų pirma jis buvo atsakingas už termino „išvestinė priemonė“ ir pavadinimo y“ arba f“ (x) įvedimą. pradžioje, XIX a. D. pagrindimo problema buvo išspręsta patenkinamai. remiantis ribų teorija. Tai buvo pasiekta daugiausia O. Cauchy, B. Bolzano ir C. Gausso darbo dėka. Išsamesnė pradinių D. ir sampratų analizė. buvo siejamas su aibių teorijos ir realaus kintamojo funkcijų teorijos raida XIX amžiaus pabaigoje ir XX amžiaus pradžioje.

Lit.: Istorija. Willeitner G., Matematikos istorija nuo Dekarto iki XIX amžiaus vidurio, vert. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1966 m. Stroik D. Ya., Trumpas matematikos istorijos eskizas, vert. iš vokiečių k., 2 leid., M., 1969 m.; Cantor M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3≈4, Lpz. ≈ V., 1901≈24.

Įkūrėjų ir klasikų darbai D. ir. Niutonas I., Matematiniai darbai, vert. iš lotynų kalbos, M. ≈ L., 1937; Leibnizas G., Rinktinės matematinių darbų ištraukos, vert. iš lotynų k., „Matematikos mokslų pažanga“, 1948, 3 t., amžius. 1; L'Hopital G. F. de, Analysis of infinitesmals, išversta iš prancūzų kalbos, M. ≈ Leningrad, 1935, Įvadas į infinitesmals, išversta iš lotynų k., 1 t., M., 1961; , Diferencialinis skaičiavimas, išverstas iš lotynų kalbos, M. ≈ L., 1949, O. L. Cauchy, Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pamokų santrauka, išversta iš prancūzų kalbos, Sankt Peterburgas, 1831 m., Algebrinė analizė, išversta iš prancūzų kalbos, Leipcigas, 1864 m .

Vadovėliai ir mokymo priemonės apie D. ir. Khinchin A. Ya., Trumpas matematinės analizės kursas, 3 leidimas, M., 1957; jo, Aštuonios matematinės analizės paskaitos, 3 leidimas, M. ≈ Leningradas, 1948 m.; Smirnovas V.I., Aukštosios matematikos kursas, 22 leidimas, 1 t., M., 1967 m. Fikhtengolts G. M., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, 7 leidimas, t. 1, M., 1969; La Vallée-Poussin C. J. de, Begalinių mažumų analizės kursas, vert. iš prancūzų k., t. 1, L. ≈ M., 1933 m. Kurant R., Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas, vert. su juo. ir anglų k., 4-asis leidimas, 1 tomas, M., 1967 m. Banach S., Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas, vert. iš lenkų k., 2 leid., M., 1966 m.; Rudinas U., Matematinės analizės pagrindai, vert. iš anglų kalbos, M., 1966 m.

Redagavo S. B. Stechkinas.

Vikipedija

Diferencialinis skaičiavimas

Diferencialinis skaičiavimas- matematinės analizės šaka, tirianti išvestinės ir diferencialo sąvokas bei jų taikymą funkcijoms tirti.

Diferencialinis skaičiavimas yra matematinės analizės šaka, pirmiausia susijusi su funkcijos išvestinės ir diferencialo sąvokomis. Diferencialiniame skaičiavime nagrinėjamos išvestinių (diferenciacijos dėsnių) skaičiavimo ir išvestinių taikymo funkcijų savybių tyrimui taisyklės.

Pagrindinės diferencialinio skaičiavimo sąvokos - išvestinė ir diferencinė - atsirado svarstant daugybę gamtos mokslų ir matematikos problemų, dėl kurių buvo skaičiuojamos to paties tipo ribos. Svarbiausios iš jų yra fizinė netolygaus judėjimo greičio nustatymo problema ir geometrinė kreivės liestinės sudarymo problema. Pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiai.

Tyrinėdami laisvojo kūnų kritimo dėsnį, vadovaukimės italų mokslininku G. Galileo. Pakelkime akmenuką, o tada paleiskite jį iš poilsio. Tegul laikas skaičiuojamas nuo kritimo pradžios, o nuvažiuotas atstumas iki šios akimirkos. Galileo eksperimentiškai nustatė, kad priklausomybė turi tokią paprastą formą:

kur laikas sekundėmis ir yra fizinė konstanta, lygi maždaug 9,8 m/s2.

Laisvai krentančio kūno judėjimas yra aiškiai netolygus. Kritimo greitis palaipsniui didėja. Bet kaip tiksliai atrodo priklausomybė? Aišku, kad žinant priklausomybę, t.y. krintančio kūno judėjimo dėsnį, iš esmės turėtume išvesti iš čia greičio kaip laiko funkcijos išraišką.

Pabandykime rasti priklausomybę nuo . Mes samprotuosime taip: nustatome momentą, kada norime sužinoti greičio reikšmę. Leisti būti trumpas laiko tarpas praėjo nuo momento . Per tą laiką krintantis kūnas nuvažiuos atstumą, lygų . Jei laiko tarpas labai trumpas, tai kūno greitis per laiką nespėja pastebimai pasikeisti, todėl galime daryti prielaidą, kad jei jis trumpas, tai apytiksliai

, (1)

, (2)

o paskutinė apytikslė lygybė tikslesnė, tuo mažesnė (kuo reikšmė arčiau nulio). Tai reiškia, kad greičio dydis šiuo metu gali būti laikomas riba, iki kurios linksta santykis kairėje apytikslės lygybės (2) pusėje, išreiškiantis vidutinis greitis laiko intervale nuo momento iki momento, kai reikšmė linkusi į nulį.

Aukščiau parašyta formoje

. (3)

Atlikime (3) santykyje nurodytus skaičiavimus, remdamiesi Galileo nustatyta priklausomybe

Pirmiausia atlikime keletą pagrindinių skaičiavimų:

o dabar, padalinę iš , gauname

.

Kai jis linkęs į nulį, antrasis dešinėje parašytos sumos narys taip pat linkęs į nulį, o pirmasis išlieka pastovus, tiksliau, nepriklausomas nuo reikšmės, taigi mūsų atveju

,

ir mes radome įstatymą

laisvai krintančio kūno greičio pokyčiai. Atkreipkite dėmesį, kad formulė (3) vienu metu pateikia ir apibrėžimą, ir taisyklę momentinio funkcijos pokyčio verčių apskaičiavimui.

Kadangi pats greitis yra laiko funkcija, galima kelti klausimą dėl jo kitimo greičio. Fizikoje greičio kitimo greitis vadinamas pagreičiu. Taigi, jei greitis yra laiko funkcija, tada, samprotuodami kaip formulėje (3), momentiniam pagreičiui laiko momentu gauname išraišką

. (4)

„Begalinio mažumo skaičiavimo atradimas suteikė matematikams galimybę sumažinti kūnų judėjimo dėsnius iki analitinių lygčių. J. L. Lagranžas

Pažiūrėkime, ką ši formulė duoda laisvojo kritimo atvejui, kuriame, kaip apskaičiavome, :

,

ir kadangi - yra konstanta, tai iš (4) paaiškėja, kad , t.y. laisvai krintančio kūno pagreitis yra pastovus, o reikšmė yra ta pati fizikinė konstanta, kuri išreiškia laisvo kritimo pagreitį Žemės paviršiuje .

Nesunku pastebėti visišką (3), (4) išraiškų panašumą ir suprasti, kad radome bendrą matematinę išraišką momentiniam kintamojo kitimo greičiui. Žinoma, skaičiavimų, naudojant (3), (4) formules, rezultatas, kaip matėme, priklauso nuo konkretus tipas funkcijos arba bet pačios operacijos su šiomis funkcijomis, kurios nurodytos (3), (4) formulių dešinėje pusėje, yra vienodos.

Apibendrinant atliktus pastebėjimus, matematinės analizės metu bet kuriai funkcijai jau atsižvelgiama į svarbų dydį:

, (5)

kuri vadinama funkcijos išvestine.

Taigi išvestinė atlieka priklausomo kintamojo kitimo greičio nepriklausomo kintamojo atžvilgiu vaidmenį; pastarasis nebeprivalo turėti fizinę reikšmę laiko.

Išvestinės reikšmė priklauso nuo argumento reikšmės, todėl, kaip ir greičio atveju, kai kurios funkcijos išvestinė pati yra kintamojo funkcija.

(5) formulėje skirtumo dydis vadinamas funkcijos argumento prieaugiu ir dažnai žymimas simboliu (skaitykite: delta x), o skirtumas paprastai žymimi (arba, tiksliau, ) ir vadinami funkcijos prieaugiu, atitinkančiu nurodytą argumento prieaugį. Šiuose žymėjimuose išraiška (5) yra tokia:

,

arba .

Taigi funkcijos išvestinės reikšmė taške yra funkcijos prieaugio, atitinkančio poslinkį nuo taško iki argumento prieaugio, santykio riba, kai jis linkęs į nulį.

Funkcijos išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Fiziniu požiūriu, kaip dabar suprantame, diferenciacija yra kintamojo kitimo greičio nustatymas.

Diferencialiniame skaičiavime išvedamos pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės. Pažymėkime, pavyzdžiui, kad funkcijų , , išvestinės yra atitinkamai funkcijos , ir .

Diferencialiniame skaičiavime taip pat išvedamos šios bendrosios diferenciacijos taisyklės:

(pastoviojo daugiklio pridėjimas);

(funkcijų sumos ir skirtumo diferencijavimas);

(funkcijų sandaugos diferencijavimas);

(dalytinių funkcijų diferencijavimas).

Galiausiai taip pat yra tiesa svarbi taisyklė diferenciacija sudėtinga funkcija: jei , a , tai funkcijos išvestinė lygi , arba .

Bendrieji diferenciacijos dėsniai labai palengvina darinių paiešką, o bet kokiam elementariųjų funkcijų deriniui diferencijavimą daro tokią pat prieinamą operaciją kaip aritmetinės operacijos daugybos lentelę išmanančiam žmogui.

Pavyzdžiui, jei yra daugianario, tada

Visuotinės gravitacijos dėsnis palaipsniui buvo suvokiamas kaip vienas principas, kuris leido sukurti tobulą dangaus kūnų judėjimo teoriją. Jo sukurta matematinė analizė atvėrė naują matematikos erą. Arba jei , tada, darant prielaidą, mes tai gauname

ir todėl,.

Jau pažymėjome, kad daugybė problemų paskatino skaičiuoti (3), (4), (5) formos ribas, t. y., kaip dabar galime pasakyti, išvestinę. Dabar apsvarstykime kitą klasikinis pavyzdys

jau grynai geometrinis klausimas, kuris sprendžiamas išvestinės atžvilgiu, yra kreivės liestinės konstravimas (žr. Tangentas).

Reikia sukonstruoti tiesią liniją (1 pav.), liestinę kreivės taške – funkcijos grafiką.

„Tik diferencialinis skaičiavimas suteikia gamtos mokslui galimybę matematiškai pavaizduoti ne tik būsenas, bet ir procesus: judėjimą. F. Engelsas

Kaip ir momentinio greičio nustatymo atveju, liestinės konstravimas bus lydimas pačios liestinės sąvokos paaiškinimo. ,

Tegul yra taško koordinatės: kaip žinoma, bet kuri ne vertikali linija, einanti per tašką, yra pateikta lygtimi vadinamasis linijos kampinis koeficientas, apibūdinantis jos polinkį į horizontalią ašį. Todėl mūsų atveju linijos, einančios per tašką, lygtis turi formą

,

, o koeficiento reikšmę norime pasirinkti taip, kad tiesė kuo geriau būtų „pritaikyta“ prie kreivės, tai yra, ji geriausiai atitiktų mūsų kreivę taško greta. Tai reiškia, kad norime pasirinkti taip, kad apytikslė lygybė , arba, kas yra tas pats, apytikslė lygybė

Bet tai yra pažįstama situacija ir iki pertvarkymų , tai yra pažįstamas santykis iš (5) formulės, todėl

Taigi, lygtis rasta

tiesi linija ta geriausiu įmanomu būdu priartina kreivę prie taško . Natūralu šią tiesę laikyti norima duotosios kreivės liestine nagrinėjamame taške.

Pavyzdžiui, jei paimtume parabolę, t.y. , tada jo liestinė taške dėl (7) bus pateikta lygtimi , kurią galima paversti kompaktiškesne forma .

Aukščiau pateikėme fizinę išvestinės kaip momentinio greičio interpretaciją, o dabar, remiantis liestinės lygtimi (7), galime pateikti geometrinę išvestinės interpretaciją. Būtent, funkcijos išvestinės reikšmė fiksuotame taške yra funkcijos grafiko liestinės nuolydis taške .

Tai visų pirma reiškia, kad tose srityse, kuriose keičiasi kintamasis, kuriame funkcija didėja; kur , funkcija mažėja, o funkcijos lokalinių maksimumų arba minimumų taškuose jos išvestinė turi išnykti, nes liestinė šiuose taškuose yra horizontali. Taip pat aišku, kad jei tam tikru momentu išvestinė nukrypsta į nulį, tai negalima skubėti daryti išvados, kad tai yra maksimumo ar minimumo taškas (žr. tašką), nes einant per šį tašką išvestinės ženklas gali ir nepasikeisti. , ir funkcija toliau didės arba mažės. Bet jei išvestinė keičia savo ženklą eidama per šį tašką (žr. taškus), tada aišku, kad funkcija turės arba vietinį maksimumą, jei ženklas pasikeis iš „“ į „“ (kaip taškuose), arba vietinį mažiausiai, jei ženklai pasikeičia iš "" į "" (kaip taške).

Atlikti pastebėjimai apie ryšį tarp išvestinės ženklo ar nulių su funkcijos monotoniškumo pobūdžiu (padidėjimu, sumažėjimu) arba su jos kraštutinumais (maksimai, minimumai) turi daug pritaikymų.

Pabandykime, pavyzdžiui, tokią stačiakampę pievos atkarpą aptverti nurodyto ilgio viela, kad gautume kuo erdvesnį aptvarą gyvuliams, t.y. tarp stačiakampių su duotas perimetras(t. y. tarp izoperimetrinių stačiakampių) reikia rasti tą, kurio plotas didžiausias.

Jei yra vienos iš stačiakampio kraštinių ilgis, tai kada nurodyta sąlyga kitos kraštinės ilgis yra , o stačiakampio plotas yra . Turime rasti maksimalią funkcijos reikšmę segmente. Kadangi at arba funkcija akivaizdžiai išnyksta (stačiakampis išsigimsta į atkarpą), maksimalus kiekis pasiekiamas esant tam tikram dydžiui, esančiam tarp 0 ir . Kaip rasti šią vertę?

Remiantis aukščiau pateiktu pastebėjimu, maksimali funkcijos reikšmė gali būti tik tada, kai funkcijos kitimo greitis lygus nuliui, t.y.

Naudodami jau anksčiau atliktus skaičiavimus, suraskime mūsų funkcijos išvestinę. Kadangi , tada adresu . Pagal pačią problemos prasmę, esant rasta argumento reikšmei, funkcija turėtų turėti maksimumą. Tai taip pat galima oficialiai patikrinti:

Kada ir kada.

Taigi, mes nustatėme, kad norimas stačiakampis su didžiausias plotas yra kvadratas, kurio kraštinės ilgis yra .

Vieno metodo sprendimas įvairios užduotys rasti maksimalias ir minimalias funkcijų reikšmes, arba, kaip jie paprastai vadinami matematikoje, uždavinius rasti ekstremumus, yra vienas iš ankstyviausių ir kartu populiariausių bei įspūdingiausių matematinės analizės pasiekimų (žr. Geometrinis ekstremumas problemos).

Iki šiol, sekdami I. Newtonu, išvestinę identifikavome kaip pagrindinę diferencialinio skaičiavimo sąvoką. Kitas matematinės analizės pradininkas G. W. Leibnicas savo išeities tašku pasirinko diferencialo sąvoką, kuri, kaip matysime, logiškai prilygsta išvestinės sąvokai, tačiau su ja nesutampa. Leibnicas rado diferencialų skaičiavimo taisykles, kurios buvo lygiavertės išvestinių nustatymo taisyklėms, ir pavadino savo sukurtą skaičiavimą diferencialiniu skaičiavimu. Šis vardas buvo išsaugotas. Aukščiau aptarti pavyzdžiai padės mums greitai suprasti šiuos dalykus, iš pirmo žvilgsnio formalius, bet labai svarbius apibrėžimus visų diferencialinių skaičiavimų.

Sakoma, kad funkcija yra diferencijuojama pagal tam tikrą argumento reikšmę, jei prieaugis šios funkcijos, atitinkančios prieaugį jo argumentas gali būti pavaizduotas kaip

kur yra koeficientas, kuris priklauso tik nuo , Ir yra vertė, kuri linkusi į nulį kaip , linkusi į nulį.

Taigi,

tie. tikslumu iki paklaidos maža, palyginti su argumento prieaugiu, prieaugiu taške diferencijuojama funkcija gali būti pakeista dydžiu, kuris yra tiesinis argumento prieaugio atžvilgiu.

Ši apytikslė tiesinė funkcija vadinama pradinės funkcijos skirtumu taške ir žymima simboliu arba, tiksliau, .

Kiekviename taške apytikslė tiesinė funkcija, paprastai kalbant, yra skirtinga, tai rodo koeficiento priklausomybė nuo .

Abi lygybės (8) puses padalinus iš ir atsižvelgiant į tai, kad vertė linkusi į nulį, kai artėja prie nulio, gauname ryšį:

, (10)

leidžiantis apskaičiuoti diferencialinis koeficientas ir parodydamas, kad jis tiesiog sutampa su funkcijos išvestinės reikšme taške.

Taigi, jei funkcija taške yra diferencijuota, tai šiame taške egzistuoja riba, nurodyta (10), t.y. jame yra išvestinė ir .

Leibnicas savo gyvenimo prasmę įžvelgė gamtos pažinime, idėjų, padedančių atskleisti jos dėsnius, kūrime.

,

Ir atvirkščiai, jei funkcija taške turi išvestinę, apibrėžtą lygybe (5), tada

kur korekcija linkusi į nulį, kai linkusi į nulį. Padauginę šią lygybę iš , gauname

ir tai reiškia, kad funkcija taške yra diferencijuojama.

Taigi, esame įsitikinę, kad funkcija turi diferencialą tada ir tik tada, kai ji turi išvestinę ir . Bet diferencialą, kaip funkciją tiesinę funkciją, visiškai lemia koeficientas, todėl funkcijos diferencialo radimas yra visiškai lygiavertis jos išvestinės radimui. Štai kodėl abi šios operacijos dažnai vadinamos vienu terminu – „diferencija“, o skaičiavimas – diferencialiniu. Jei rašote vietoj to, galite rašyti . Jei imsime , tada ir , todėl vietoj nepriklausomo kintamojo prieaugio dažnai rašome diferencialą. Šis žymėjimas duoda gražų funkcijos diferencialo žymėjimą, iš kurio Leibnicas atėjo į išvestinės žymėjimą, pastarąjį laikydamas funkcijos diferencialų ir jos argumentų santykiu. Atkreipkite dėmesį, kad vedinio žymėjimas buvo įvestas tik 1770 m. prancūzų matematikas

J. L. Lagrange, o pradinis pavadinimas buvo

G. Leibnizo, kuris daugeliu atžvilgių yra toks sėkmingas, kad plačiai naudojamas iki šių dienų.

Jei lygybėje (8) rašome vietoj , tai galime manyti, kad pav. 1 iš kairės lygybės (8) pusės atitinka atkarpą (tai yra funkcijos prieaugis arba kreivės ordinatės prieaugis), diferencialą atitinka atkarpą (tai yra liestinės, kuri aproksimuoja mūsų kreivę taško kaimynystėje, ordinatės prieaugis), o likusioji dalis atitinka atkarpą, kuri yra mažesnė, palyginti su atkarpa, tuo mažesnis argumentas. Būtent šią aplinkybę atspindi santykis (11) ir apytikslė lygybė (9), o tai reiškia, kad .. yra jo greitis, a, . Pasirodo, santykis (12) yra ypatingas bendrosios lygybės atvejis ir ne prastesniu nei .

Galima patikrinti, kad nagrinėjamu atveju, neribotai padidinus , galime pasiūlyti tokį žymėjimą:

Dešinėje šios lygybės pusėje yra be galo daug terminų, t.y., kaip sakoma, yra serija. Lygybė (16) suprantama, kaip ir eilučių suma apskritai, ta prasme, kad bet kuriai vertei skirtumas tarp ir sumos baigtinis skaičius paimtas eilės terminų tvarka, linkęs į nulį, jei terminų skaičius didėja neribotai.

Tokių formulių kaip (15), (16) reikšmė yra ta, kad jos leidžia pakeisti sudėtingos funkcijos reikšmių apskaičiavimą daugianario, kuris jį apytiksliai, verčių skaičiavimu. Polinomo verčių apskaičiavimas sumažinamas iki vienos aritmetinės operacijos, kurią, pavyzdžiui, galima atlikti elektroniniame kompiuteryje.

Ir lygybė

matematikoje žinomas kaip Niutono dvinaris (žr. Niutono binomį).