Trigonometrija paprastais žodžiais. Pamokos: trigonometrija

TRIGONOMETRIJA– (iš graikų trigwnon – trikampis ir metrew – matas) – matematinė disciplina, tirianti santykius tarp trikampių kampų ir kraštinių. trigonometrinės funkcijos.

Terminą „trigonometrija“ 1595 m. pradėjo vartoti vokiečių matematikas ir teologas Bartolomejus Pitiscus, trigonometrijos ir trigonometrinių lentelių vadovėlio autorius. Iki XVI amžiaus pabaigos. Dauguma trigonometrinių funkcijų jau buvo žinomos, nors pačios sąvokos dar nebuvo.

Trigonometrijoje yra trijų tipų ryšiai: 1) tarp pačių trigonometrinių funkcijų; 2) tarp plokščiojo trikampio elementų (trigonometrija plokštumoje); 3) tarp sferinio trikampio elementų, t.y. figūra, išraižyta ant rutulio trijų plokštumų, einančių per jos centrą. Trigonometrija prasidėjo būtent nuo sudėtingiausios, sferinės dalies. Tai pirmiausia kilo iš praktinių poreikių. Senoliai stebėjo judėjimą dangaus kūnai. Mokslininkai apdorojo matavimų duomenis, siekdami tvarkyti kalendorių ir teisingai nustatyti sėjos ir derliaus nuėmimo pradžios laiką bei religinių švenčių datas. Žvaigždės buvo naudojamos apskaičiuojant laivo vietą jūroje arba karavano judėjimo kryptį dykumoje. Pastebėjimai įjungti žvaigždėtas dangus Nuo neatmenamų laikų astrologai taip pat vadovavo.

Natūralu, kad visi matavimai, susiję su šviestuvų vieta danguje, yra netiesioginiai matavimai. Tiesias linijas buvo galima nubrėžti tik Žemės paviršiuje, tačiau net ir čia ne visada buvo įmanoma tiesiogiai nustatyti atstumą tarp kai kurių taškų ir tada jie vėl griebėsi netiesioginiai matavimai. Pavyzdžiui, jie apskaičiavo medžio aukštį lygindami jo šešėlio ilgį su šešėlio ilgiu nuo kokio nors stulpo, kurio aukštis buvo žinomas. Panašiai buvo skaičiuojamas ir salos dydis jūroje. Panašios užduotys pereikite prie trikampio, kuriame vieni jo elementai išreiškiami per kitus, analizę. Tai daro trigonometrija. O kadangi senovės žmonės žvaigždes ir planetas matė kaip dangaus sferos taškus, pirmiausia pradėjo vystytis sferinė trigonometrija. Tai buvo laikoma astronomijos šaka.

Ir viskas prasidėjo labai seniai. Pirmoji fragmentiška informacija apie trigonometriją buvo išsaugota dantiraščio lentelėse Senovės Babilonas. Mesopotamijos astronomai išmoko nuspėti Žemės ir Saulės padėtį, būtent iš jų pas mus atėjo kampų matavimo laipsniais, minutėmis ir sekundėmis sistema, nes babiloniečiai perėmė šešiasdešimtinę skaičių sistemą.

Tačiau pirmieji tikrai svarbūs pasiekimai priklausė senovės graikų mokslininkams. Pavyzdžiui, antrosios knygos 12 ir 13 teoremos Prasidėjo Euklidas (IV–III a. pr. Kr. pabaigoje) iš esmės išreiškia kosinuso teoremą. II amžiuje. pr. Kr astronomas Hiparchas iš Nikėjos (180–125 m. pr. Kr.) sudarė lentelę trikampių elementų santykiams nustatyti. Tokios lentelės reikalingos, nes trigonometrinių funkcijų reikšmės negali būti apskaičiuotos pagal jų argumentus naudojant aritmetines operacijas. Trigonometrines funkcijas reikėjo apskaičiuoti iš anksto ir saugoti lentelėse. Hiparchas skaičiavo ratu duotas spindulys stygų ilgiai, atitinkantys visus kampus nuo 0 iki 180°, 7,5° kartotiniai. Iš esmės tai yra sinusų lentelė. Hiparcho darbai mūsų nepasiekė, tačiau daugelis jų informacijos yra įtrauktos Almagestas(II a.) – garsus graikų astronomo ir matematiko Klaudijaus Ptolemėjaus (m. apie 160 m.) kūrinys 13 knygų. Senovės graikai nežinojo sinusų, kosinusų ir liestinių, o vietoj šių dydžių lentelių naudojo lenteles, kurios leido rasti apskritimo stygą išilgai siauro lanko. IN Almagestas autorius pateikia 60 vienetų spindulio apskritimo stygų ilgių lentelę, skaičiuojamą 0,5° žingsniais 1/3600 vieneto tikslumu, ir paaiškina, kaip ši lentelė buvo sudaryta. Ptolemėjaus darbas keletą amžių astronomams buvo įvadas į trigonometriją.

Norėdami suprasti, kaip senovės mokslininkai sudarė trigonometrinės lentelės, reikia susipažinti su Ptolemėjaus metodu. Metodas remiasi teorema – į apskritimą įbrėžto keturkampio įstrižainių sandauga yra lygi priešingų jo kraštinių sandaugų sumai.

Leiskite ABCDįrašytas keturkampis , AD – apskritimo skersmuo ir taškas O– jo centras (1 pav.). Jei žinote, kaip apskaičiuoti stygų sulenkimo kampus DOC= a ir DOB = b, t.y. pusė CD ir įstrižai B, tada pagal Pitagoro teoremą iš stačiųjų trikampių ADV Ir ADC galima rasti AB ir AC, ir tada, pagal Ptolemėjaus teoremą, - B.C. = (AC· ВD – АВ· CD) /AD, t.y. styga, sulenkianti kampą VOS= b – a. Kai kurias stygas, pvz., kvadrato, taisyklingo šešiakampio ir aštuonkampio, atitinkančio 90, 60 ir 45° kampus, kraštines, nustatyti nesunku. Taip pat žinoma taisyklingo penkiakampio kraštinė, kuri nutiesia 72° lanką. Aukščiau pateikta taisyklė leidžia apskaičiuoti šių kampų skirtumų stygas, pavyzdžiui, 12° = 72° – 60°. Be to, galima rasti puskampių stygų, tačiau to nepakanka norint apskaičiuoti, kam lygi 1° lanko styga, jau vien todėl, kad visi šie kampai yra 3° kartotiniai. 1° stygai Ptolemėjus rado įvertinimą, rodantį, kad tai yra daugiau nei 2/3 stygos (3/2)° ir mažiau nei 4/3 stygos (3/4)° – du skaičiai, sutampantys su pakankamai tikslumas jo lentelėms.

Jei graikai stygas skaičiavo iš kampų, tai Indijos astronomai IV–V a. perėjo prie dvigubo lanko puslaidų, t.y. tiksliai į sinusines linijas (2 pav.). Jie taip pat naudojo kosinuso eilutes – tiksliau, ne patį kosinusą, o „apverstą“ sinusą, kuris vėliau Europoje gavo pavadinimą „sinusas prieš“ dabar ši funkcija yra lygi 1 – cos a, nebenaudojamas. Vėliau pagal tą patį metodą buvo apibrėžiamos trigonometrinės funkcijos pagal stačiojo trikampio kraštinių santykius.

Segmentų matavimo vienetui MP,OP,PA buvo paimta lanko minutė. Taigi, lanko sinusinė linija AB= 90° taip O.B.– apskritimo spindulys; lankas AL, lygus spinduliui, yra (suapvalinta) 57°18" = 3438".

Iki mūsų atkeliavusios indiškos sinusų lentelės (seniausia sudaryta IV–V a. po Kr.) nėra tokios tikslios kaip Ptolemajų; jie sudaryti 3°45" intervalais (t. y. 1/24 kvadranto lanko).

Sąvokos „sinusas“ ir „kosinusas“ kilo iš indėnų, bet ne be kurioziško nesusipratimo. Indėnai pavadino pusę akordo „ardhajiva“ (iš sanskrito kalbos išvertus kaip „pusė lanko stygos“), o vėliau šį žodį sutrumpino į „dživa“. Musulmonų astronomai ir matematikai, gavę žinių apie trigonometriją iš indų, laikė ją „džiba“, o vėliau ji virto „džaibu“, kas arabiškai reiškia „išgaubtumą“, „sinusą“. Galiausiai VII a. "jibe" buvo pažodžiui išverstas į lotynų kalbą kaip "sinusas" , kuri neturėjo nieko bendra su ja žymima sąvoka. Sanskrito „kotijiva“ – liekanos sinusas (iki 90°), o lotyniškai – sinus komplementi, t.y. sinuso komplemento, XVII a. sutrumpintas iki žodžio „kosinusas“. Pavadinimus „tangentas“ ir „sekantas“ (išvertus iš lotynų kalbos reiškia „tangentas“ ir „sekantas“) 1583 metais įvedė vokiečių mokslininkas Finkas.

Arabų mokslininkai, tokie kaip Al-Battani (apie 900 m. po Kr.), labai prisidėjo prie trigonometrijos kūrimo. 10 amžiuje Bagdado mokslininkas Muhamedas iš Bujano, žinomas kaip Abu-l-Vefa (940–997), prie sinusų ir kosinusų linijų pridėjo liestinių, kotangentų, sekantų ir kosekantų eilutes. Jis suteikia jiems tuos pačius apibrėžimus, kurie yra mūsų vadovėliuose. Abul-Vefa taip pat nustato pagrindinius ryšius tarp šių linijų.

Taigi iki 10 amžiaus pabaigos. islamo pasaulio mokslininkai kartu su sinusu ir kosinusu jau atliko keturias kitas funkcijas – tangentinę, kotangentinę, sekantinę ir kosekantinę; atrado ir įrodė keletą svarbių plokštumos ir sferinės trigonometrijos teoremų; naudojo vienetinio spindulio apskritimą (kuris leido interpretuoti trigonometrines funkcijas šiuolaikinis jausmas); išrado sferinio trikampio poliarinį trikampį. Arabų matematikai sudarė tikslias lenteles, pavyzdžiui, sinusų ir liestinių lenteles su 1" žingsniu ir 1/700 000 000 tikslumu. Labai svarbi taikoma užduotis buvo tokia: išmokti nustatyti kryptį į Meką penkioms kasdienėms maldoms, kad ir kur būtų. musulmonas buvo.

Ypač didelę įtaką turėjo įtakos trigonometrijos raidai Traktatas apie pilnąjį keturkampį astronomas Nasir-ed-Din iš Tuso (1201–1274), taip pat žinomas kaip at-Tusi. Tai buvo pirmasis darbas pasaulyje, kuriame trigonometrija buvo traktuojama kaip savarankiška matematikos sritis.

XII amžiuje buvo perkeltas iš arabųį lotynų seriją astronomijos darbai, anot jų, europiečiai pirmiausia susipažino su trigonometrija.

Nasir-ed-Din traktatas padarė didelį įspūdį vokiečių astronomui ir matematikui Johannui Mulleriui (1436–1476). Amžininkai jį geriau pažinojo pavadinimu Regiomontana (išvertus į Lotyniškas pavadinimas jo gimtajame mieste Koenigsbergas, dabartinis Kaliningradas). Regiomontanas sudarė plačias sinusų lenteles (per 1 minutę, iki septintos reikšminga figūra). Pirmą kartą jis nukrypo nuo šešiasdešimties spindulio padalijimo ir sinusinės linijos matavimo vienetu paėmė vieną dešimtąją milijoninę spindulio dalį. Taigi sinusai buvo išreikšti sveikaisiais skaičiais, o ne šešamines trupmenomis. Prieš įžangą po kablelio Liko tik vienas žingsnis, bet tam prireikė daugiau nei 100 metų. Darbo Regiomontana Penkios knygos apie visų rūšių trikampius Europos matematikoje atliko tokį patį vaidmenį kaip ir Nasiro-ed-Dino darbas musulmoniškų šalių moksle.

Po Regiomontanus lentelių sekė nemažai kitų, dar detalesnių. Koperniko draugas Retikas (1514–1576) kartu su keliais padėjėjais 30 metų dirbo prie jo mokinio Otto 1596 metais užpildytų ir išleistų lentelių. Kampai ėjo per 10 ", o spindulys buvo padalintas į 1 000 000 000 000 000 dalių, todėl sinusai turėjo 15 teisingų skaitmenų.

Tolesnė trigonometrijos raida ėjo formulių kaupimo ir sisteminimo, pagrindinių sąvokų išaiškinimo, terminijos ir žymėjimo raidos keliu. Daugelis Europos matematikų dirbo trigonometrijos srityje. Tarp jų yra tokie puikūs mokslininkai kaip Nikolajus Kopernikas (1473–1543), Tycho Brahe (1546–1601) ir Johannesas Kepleris (1571–1630). François Viète (1540–1603) papildė ir susistemino įvairius plokščiųjų ir sferinių trikampių sprendimo atvejus, atrado „plokščiojo“ kosinuso teoremą ir kelių kampų trigonometrinių funkcijų formules. Izaokas Niutonas (1643–1727) išplėtė šias funkcijas į serijas ir atvėrė kelią jų naudojimui matematinėje analizėje. Leonhardas Euleris (1707–1783) pristatė ir pačią funkcijos sampratą, ir šiandien priimtą simboliką. Kiekiai nuodėmė x, cos x ir tt jis jas laikė skaičių funkcijomis x– atitinkamo kampo radianinis matas. Euleris davė numerį x visų rūšių reikšmių: teigiamų, neigiamų ir net sudėtingų. Jis taip pat atrado ryšį tarp trigonometrinių funkcijų ir eksponento sudėtingas argumentas, kuris leido daugybę ir dažnai labai sudėtingų trigonometrinių formulių paversti paprastomis pasekmėmis iš sudėties ir daugybos taisyklių kompleksiniai skaičiai. Jis taip pat pristatė atvirkštines trigonometrines funkcijas.

Iki XVIII amžiaus pabaigos. trigonometrija kaip mokslas jau susiformavo. Trigonometrinės funkcijos buvo pritaikytos matematinėje analizėje, fizikoje, chemijoje, inžinerijoje – visur, kur tenka susidurti su periodiniais procesais ir svyravimais – ar tai būtų akustika, optika ar švytuoklės siūbavimas.

Bet kokių trikampių sprendimas galiausiai yra stačiųjų trikampių sprendimas (t. y. tie, kurių vienas iš kampų yra stačiakampis). Kadangi visi stačiakampiai trikampiai su nurodytu smailiuoju kampu yra panašūs vienas į kitą, jų atitinkamų kraštinių santykiai yra vienodi. Pavyzdžiui, in stačiakampis trikampis ABC jo dviejų pusių santykis, pavyzdžiui, kojos Aį hipotenuzę Su, priklauso, pavyzdžiui, nuo vieno iš smailiųjų kampų dydžio A. Stačiojo trikampio skirtingų kraštinių porų santykiai vadinami trigonometrinės funkcijos jo aštrus kampas. Tokie ryšiai trikampyje yra šeši, juos atitinka šešios trigonometrinės funkcijos (trikampio kraštinių ir kampų žymėjimai 3 pav.).

Nes A + IN= 90°, tada

nuodėmė A= cos B= cos(90° – A),

A=ctg B= ctg (90° – A).

Iš apibrėžimų išplaukia kelios lygybės, jungiančios viena su kita to paties kampo trigonometrines funkcijas:

Atsižvelgiant į Pitagoro teoremą a 2 + b 2 = c 2, galite išreikšti visas šešias funkcijas tik per vieną. Pavyzdžiui, sinusas ir kosinusas yra susiję su pagrindine trigonometrine tapatybe

nuodėmė 2 A+ cos 2 A = 1.

Kai kurie ryšiai tarp funkcijų:

Šios formulės taip pat galioja bet kokio kampo trigonometrinėms funkcijoms, tačiau jas reikia naudoti atsargiai, nes dešinėje ir kairėje pusėse gali būti skirtingos sritys apibrėžimai.

Yra tik du stačiakampiai trikampiai, kurie taip pat turi „gerus“ kampus (išreikštus sveikuoju skaičiumi arba racionalus skaičius laipsnių), ir bent vienas iš šalių santykių yra racionalus. Tai lygiašonis trikampis(su kampais 45, 45 ir 90°) ir pusę lygiakraštis trikampis(su kampais 30, 60, 90°) - tai yra būtent du atvejai, kai trigonometrinių funkcijų reikšmes galima apskaičiuoti tiesiogiai pagal apibrėžimą. Šios vertės pateiktos lentelėje

align=center>

Trigonometrija- matematikos mikropjūvis, kuriame tiriami santykiai tarp kampų verčių ir trikampių kraštinių ilgių, taip pat trigonometrinių funkcijų algebrinės tapatybės.
Yra daug sričių, kuriose naudojama trigonometrija ir trigonometrinės funkcijos. Trigonometrijos arba trigonometrinės funkcijos naudojamos astronomijos, jūrų ir oro navigacijos, akustikos, optikos, elektronikos, architektūros ir kitose srityse.

Trigonometrijos kūrimo istorija

Trigonometrijos istorija, kaip mokslas apie trikampio kampų ir kraštinių ryšius su kitais geometrines figūras, apima daugiau nei du tūkstantmečius. Daugumos šių ryšių negalima išreikšti naudojant įprastas algebrines operacijas, todėl reikėjo įvesti specialias trigonometrines funkcijas, iš pradžių pateiktas skaitinių lentelių pavidalu.
Istorikai mano, kad trigonometriją sukūrė senovės astronomai, o kiek vėliau ji pradėta naudoti architektūroje. Laikui bėgant trigonometrijos sritis nuolat plėtėsi ir šiandien apima beveik viską. gamtos mokslai, technologija ir daug kitų veiklos sričių.

Ankstyvieji šimtmečiai

Žinomas kampų matavimas laipsniais, minutėmis ir sekundėmis yra kilęs iš Babilono matematikos (šių vienetų įvedimas į senovės graikų matematiką paprastai priskiriamas II a. pr. Kr.).

Pagrindinis šio laikotarpio pasiekimas buvo ryšys tarp kojų ir hipotenuzės stačiakampiame trikampyje, kuris vėliau tapo žinomas kaip Pitagoro teorema.

Senovės Graikija

Bendras ir logiškai nuoseklus pristatymas trigonometriniai santykiai atsirado senovės graikų geometrijoje. Graikų matematikai dar nebuvo įvardiję trigonometrijos kaip atskiro mokslo, jiems tai buvo astronomijos dalis.
Pagrindinis senovės pasiekimas trigonometrinė teorija tapo sprendimu bendras vaizdas„trikampių sprendimo“ problema, tai yra, remiantis nežinomų trikampio elementų paieška duoti trys jos elementai (iš kurių bent vienas yra pusė).
Taikoma trigonometrinės problemos Jų yra labai įvairių – pavyzdžiui, galima nurodyti praktiškai išmatuojamus veiksmų su išvardintais dydžiais rezultatus (pavyzdžiui, kampų suma arba kraštinių ilgių santykis).
Lygiagrečiai plėtojant plokštuminę trigonometriją, graikai, veikiami astronomijos, labai išplėtojo sferinę trigonometriją. Euklido elementuose šia tema yra tik teorema apie skirtingo skersmens rutulių tūrių santykį, tačiau astronomijos ir kartografijos poreikiai lėmė sparčią sferinės trigonometrijos ir susijusių sričių – dangaus koordinačių sistemų, teorijų – raidą. žemėlapio projekcijos, astronominių instrumentų technologija.

Viduramžiai

IV amžiuje, po senovės mokslo mirties, matematikos raidos centras persikėlė į Indiją. Jie pakeitė kai kurias trigonometrijos sąvokas, priartindami jas prie šiuolaikinių: pavyzdžiui, jie pirmieji pradėjo vartoti kosinusą.

Pirmasis specializuotas trigonometrijos traktatas buvo Vidurinės Azijos mokslininko (X-XI a.) darbas „Astronomijos mokslo raktų knyga“ (995–996). Visas trigonometrijos kursas apima pagrindinis darbas Al-Biruni - „Masudo kanonas“ (III knyga). Be sinusų lentelių (15 colių žingsniais), Al-Biruni pateikė liestinių lenteles (1° žingsniais).

Po arabų traktatų įsigaliojimo XII-XIII a išvertus į lotynų kalbą, daugelis Indijos ir Persijos matematikų idėjų tapo Europos mokslo nuosavybe. Matyt, pirmoji europiečių pažintis su trigonometrija įvyko zij dėka, kurios du vertimai buvo padaryti XII a.

Pirmasis Europos darbas, visiškai skirtas trigonometrijai, anglų astronomas Ričardas iš Wallingfordo (apie 1320 m.) dažnai vadinamas „Keturiais traktatais apie tiesius ir apverstus akordus“. Trigonometrinės lentelės, dažnai verčiamos iš arabų kalbos, bet kartais originalios, yra daugelio kitų XIV–XV a. autorių darbuose. Tuo pat metu trigonometrija užėmė vietą tarp universitetų kursų.

Naujas laikas

Trigonometrijos raida šiais laikais tapo nepaprastai svarbi ne tik astronomijai ir astrologijai, bet ir kitoms reikmėms, pirmiausia artilerijai, optikai ir tolimojo nuotolio navigacijai. kelionė jūra. Todėl po XVI amžiaus daugelis iškilių mokslininkų tyrinėjo šią temą, tarp jų Nikolajus Kopernikas, Johannesas Kepleris, Francois Viète. Kopernikas savo traktate „Apie sukimąsi“ trigonometrijai skyrė du skyrius. dangaus sferos“ (1543 m.). Netrukus (1551 m.) pasirodė Koperniko mokinio Retiko 15 skaitmenų trigonometrinės lentelės. Kepleris paskelbė „Astronomijos optinę dalį“ (1604).

Vietas pirmoje savo „Matematinio kanono“ dalyje (1579 m.) įtraukė įvairias lenteles, tarp jų ir trigonometrines, o antrojoje dalyje detaliai ir sistemingai, nors ir be įrodymų, pristatė plokštumos ir sferinę trigonometriją. 1593 m. Vietas parengė išplėstinį šio pagrindinio darbo leidimą.
Albrechto Durerio darbų dėka gimė sinusinė banga.

XVIII a

Trigonometrija suteikė šiuolaikišką išvaizdą. Savo traktate „Įvadas į begalybių analizę“ (1748 m.) Euleris pateikė trigonometrinių funkcijų apibrėžimą, lygiavertį šiuolaikiniam, ir atitinkamai apibrėžė atvirkštines funkcijas.

Euleris neigiamus kampus ir didesnius nei 360° kampus laikė leistinais, todėl buvo galima apibrėžti trigonometrines funkcijas visoje realiųjų skaičių eilutėje ir jas tęsti sudėtinga plokštuma. Iškilus klausimui apie trigonometrinių funkcijų išplėtimą iki bukųjų kampų, šių funkcijų ženklai prieš Eulerį dažnai būdavo pasirenkami neteisingai; daugelis matematikų laikė, pavyzdžiui, kosinusą ir tangentą bukas kampas teigiamas. Euleris nustatė šiuos kampų ženklus skirtinguose koordinačių kvadrantuose, remdamasis redukcijos formulėmis.
Bendroji teorija trigonometrinės serijos Euleris netyrė ir netyrė gautų eilučių konvergencijos, tačiau gavo keletą svarbius rezultatus. Visų pirma, jis išvedė sveikųjų sinuso ir kosinuso galių plėtinius.

Trigonometrijos taikymas

Tie, kurie sako, kad trigonometrija in tikras gyvenimas nereikia. Na, o kokios yra įprastos jo taikymo užduotys? Išmatuokite atstumą tarp neprieinamų objektų.
Didelę reikšmę turi trianguliacijos technika, leidžianti išmatuoti atstumus iki netoliese esančių žvaigždžių astronomijoje, tarp orientyrų geografijoje ir valdyti palydovines navigacijos sistemas. Taip pat vertas dėmesio trigonometrijos taikymas tokiose srityse kaip navigacijos technologijos, muzikos teorija, akustika, optika, finansų rinkų analizė, elektronika, tikimybių teorija, statistika, biologija, medicina (įskaitant ultragarsą ir kompiuterinę tomografiją), farmacija, chemija, skaičių teorija ( ir dėl to kriptografija), seismologija, meteorologija, okeanologija, kartografija, daugelis fizikos šakų, topografija ir geodezija, architektūra, fonetika, ekonomika, elektronikos inžinerija, mechanikos inžinerija, kompiuterinė grafika, kristalografija ir kt.
Išvada: trigonometrija yra didžiulis mūsų pagalbininkas kasdienybė.

Pateikiami ryšiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – kelių kampų funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per pusės kampo liestinę ir pan.

Šiame straipsnyje iš eilės išvardinsime visas pagrindines trigonometrines formules, kurių pakanka daugeliui trigonometrijos problemų išspręsti. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles.

Puslapio naršymas.

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

Pagrindinis trigonometrinės tapatybės apibrėžti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vieneto apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją bet kuria kita.

Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Sumažinimo formulės

Sumažinimo formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio savybę. nurodytas kampas. Šios trigonometrinės formulės leidžia dirbti su savavališki kampai pereikite prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių.

Straipsnyje galima išnagrinėti šių formulių pagrindimą, jų įsiminimo mnemoninę taisyklę ir jų taikymo pavyzdžius.

Sudėjimo formulės

Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos tų kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra pagrindas išvesti šias trigonometrines formules.

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis.

Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Pusės kampo formulės

Pusės kampo formulės parodykite, kaip trigonometrinės pusės kampo funkcijos išreiškiamos viso kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės išplaukia iš formulių dvigubas kampas.

Jų išvadas ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Laipsnio mažinimo formulės

Trigonometrinės laipsnių mažinimo formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralūs laipsniai trigonometrinės funkcijos sinusams ir kosinusams iki pirmojo laipsnio, bet keli kampai. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios.

Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės

Pagrindinis tikslas trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės yra eiti į funkcijų sandaugą, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrinės išraiškos. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes jie leidžia apskaičiuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą.

Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės

Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules.

Autorių teisės priklauso protingiems studentams

Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia www.svetainės dalis, įskaitant vidinę medžiagą ir išvaizdą, negali būti atgaminta jokia forma arba naudojama be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.

Trigonometrijos istorija yra neatsiejamai susijusi su astronomija, nes senovės mokslininkai pradėjo tyrinėti šio mokslo problemas. įvairių dydžių trikampyje.

Šiandien trigonometrija yra matematikos mikrošaka, tirianti santykį tarp trikampių kampų ir kraštinių ilgių verčių, taip pat nagrinėjanti trigonometrinių funkcijų algebrinių tapatybių analizę.

Terminas "trigonometrija"

Pats terminas, davęs pavadinimą šiai matematikos šakai, pirmą kartą buvo aptiktas knygos pavadinime, kurią parašė vokiečių matematikas Pitiscus 1505 m. Žodis „trigonometrija“ turi graikų kilmės ir reiškia „išmatuoti trikampį“. Tada tiksliau mes kalbame apie ne apie pažodinį šios figūros matavimą, o apie jos sprendimą, tai yra, nežinomų elementų verčių nustatymą naudojant žinomus.

Bendra informacija apie trigonometriją

Trigonometrijos istorija prasidėjo daugiau nei prieš du tūkstančius metų. Iš pradžių jo atsiradimas buvo susijęs su būtinybe išsiaiškinti santykius tarp trikampio kampų ir kraštinių. Tyrimo metu paaiškėjo, kad matematinė išraiškaŠiems ryšiams reikia įdiegti specialias trigonometrines funkcijas, kurios iš pradžių buvo sukurtos kaip skaitinės lentelės.

Daugelio mokslų, susijusių su matematika, vystymosi postūmis buvo trigonometrijos istorija. Kampų (laipsnių) matavimo vienetų, siejamų su Senovės Babilono mokslininkų tyrimais, kilmė remiasi šešiadienių skaičių sistema, dėl kurios atsirado šiuolaikinė dešimtainė skaičių sistema, naudojama daugelyje taikomųjų mokslų.

Manoma, kad trigonometrija iš pradžių egzistavo kaip astronomijos dalis. Tada jis buvo pradėtas naudoti architektūroje. Ir laikui bėgant šio mokslo taikymo tikslingumas įvairiose srityse žmogaus veikla. Tai visų pirma astronomija, jūrų ir oro navigacija, akustika, optika, elektronika, architektūra ir kt.

Trigonometrija pirmaisiais amžiais

Vadovaudamiesi duomenimis apie išlikusias mokslines relikvijas, mokslininkai padarė išvadą, kad trigonometrijos istorija yra susijusi su graikų astronomo Hiparcho darbais, kuris pirmasis galvojo apie (sferinių) trikampių sprendimo būdų paiešką. Jo darbai datuojami II amžiuje prieš Kristų.

Taip pat vienas iš svarbiausi pasiekimai tie laikai yra santykių tarp kojų ir hipotenuzės nustatymas stačiakampiuose trikampiuose, kurie vėliau tapo žinomi kaip Pitagoro teorema.

Trigonometrijos raidos istorija m Senovės Graikija siejamas su astronomo Ptolemėjaus – iki Koperniku vyravusios geocentrinės teorijos autoriaus – vardu.

Graikų astronomai nežinojo sinusų, kosinusų ir liestinių. Jie naudojo lenteles, kurios leido jiems rasti apskritimo stygos vertę naudojant sulenktą lanką. Akordų matavimo vienetai buvo laipsniai, minutės ir sekundės. Vienas laipsnis buvo lygus šešiasdešimtajai spindulio daliai.

Be to, senovės graikų tyrimai paskatino sferinės trigonometrijos raidą. Visų pirma Euklidas savo „Elementuose“ pateikia teoremą apie skirtingo skersmens rutulių tūrių santykio dėsnius. Jo darbai šioje srityje tapo savotišku postūmiu plėtoti susijusias žinių sritis. Tai visų pirma astronominių instrumentų technologija, žemėlapių projekcijų teorija, dangaus koordinačių sistema ir kt.

Viduramžiai: Indijos mokslininkų tyrimai

Indijos viduramžių astronomai pasiekė didelę sėkmę. Antikos mokslo mirtis IV amžiuje paskatino matematikos raidos centro persikėlimą į Indiją.

Trigonometrijos, kaip atskiros matematinio mokymo dalies, atsiradimo istorija prasidėjo viduramžiais. Būtent tada mokslininkai akordus pakeitė sinusais. Šis atradimas leido įvesti funkcijas, susijusias su kraštinių ir kampų tyrinėjimu, tai yra, tada trigonometrija pradėjo atsiskirti nuo astronomijos, pavirsdama matematikos šaka.

Aryabhata turėjo pirmąsias sinusų lenteles, kurios buvo nubrėžtos per 3 o, 4 o, 5 o. Vėliau pasirodė išsamios lentelių versijos: ypač Bhaskara pateikė sinusų lentelę 1 o.

Pirmasis specializuotas trigonometrijos traktatas pasirodė 10–11 a. Jo autorius buvo Vidurinės Azijos mokslininkas Al-Birunis. O pagrindiniame savo darbe „Masudo kanonas“ (III knyga) viduramžių autorius dar labiau gilinasi į trigonometriją, pateikdamas sinusų lentelę (15 colių žingsniais) ir liestinių lentelę (1° žingsniais). ).

Trigonometrijos raidos Europoje istorija

Išvertus arabiškus traktatus į lotynų kalbą (XII-XIII a.), daugumą Indijos ir Persijos mokslininkų idėjų pasiskolino Europos mokslas. Pirmieji trigonometrijos paminėjimai Europoje datuojami XII a.

Tyrėjų teigimu, trigonometrijos istorija Europoje yra susijusi su anglo Richardo iš Wallingfordo, tapusio esė „Keturi traktatai apie tiesius ir apverstus akordus“, vardu. Būtent jo darbas tapo pirmuoju darbu, visiškai skirta trigonometrijai. Iki XV amžiaus daugelis autorių savo darbuose paminėjo trigonometrines funkcijas.

Trigonometrijos istorija: Naujieji laikai

Šiais laikais dauguma mokslininkų pradėjo suvokti didžiulę trigonometrijos svarbą ne tik astronomijoje ir astrologijoje, bet ir kitose gyvenimo srityse. Tai visų pirma artilerija, optika ir tolimojo nuotolio navigacija jūrų keliones. Todėl XVI amžiaus antroje pusėje ši tema domino daugelį iškilių žmonių to meto, įskaitant Nikolajų Koperniką, Francois Vietą. Kopernikas savo traktate „Apie dangaus sferų sukimąsi“ (1543) skyrė keletą skyrių trigonometrijai. Kiek vėliau, XVI amžiaus šeštajame dešimtmetyje, Koperniko mokinys Retikas savo darbe „Astronomijos optinė dalis“ citavo penkiolikos skaitmenų trigonometrines lenteles.

„Matematiniame kanone“ (1579 m.) jis pateikia išsamų ir sistemingą, nors ir neįrodytą, plokštumos ir sferinės trigonometrijos apibūdinimą. O Albrechtas Dureris tapo tuo, kurio dėka gimė sinusinė banga.

Leonhardo Eulerio nuopelnai

Trigonometrijos suteikimas modernus turinys o rūšis buvo Leonhardo Eulerio nuopelnas. Jo traktate „Introduction to the Analysis of Infinites“ (1748 m.) pateikiamas termino „trigonometrinės funkcijos“ apibrėžimas, atitinkantis šiuolaikinį. Taigi šis mokslininkas sugebėjo nustatyti, Bet tai dar ne viskas.

Trigonometrinių funkcijų apibrėžimas visoje skaičių tiesėje tapo įmanomas dėl Eulerio tyrimų, susijusių ne tik su leistinomis neigiami kampai, bet ir kampai, didesni nei 360°. Būtent jis pirmasis savo darbuose įrodė, kad kosinusas ir tangentas stačiu kampu neigiamas. Kosinuso ir sinuso sveikųjų laipsnių išplėtimas taip pat buvo šio mokslininko nuopelnas. Bendroji teorija trigonometrinės eilutės ir gautų eilučių konvergencijos tyrimas nebuvo Eulerio tyrimų objektai. Tačiau dirbama prie sprendimo susijusias užduotis, jis padarė daug atradimų šioje srityje. Būtent jo darbo dėka trigonometrijos istorija tęsėsi. Savo darbuose jis trumpai palietė sferinės trigonometrijos klausimus.

Trigonometrijos taikymas

Trigonometrija netaikoma taikomieji mokslai, realiame kasdieniame gyvenime jos užduotys retai taikomos. Tačiau šis faktas nesumažina jo reikšmės. Labai svarbi, pavyzdžiui, trianguliacijos technika, leidžianti astronomams tiksliai išmatuoti atstumą iki netoliese esančių žvaigždžių ir stebėti palydovines navigacijos sistemas.

Trigonometrija taip pat naudojama navigacijoje, muzikos teorijoje, akustikoje, optikoje, finansų rinkų analizėje, elektronikoje, tikimybių teorijoje, statistikoje, biologijoje, medicinoje (pavyzdžiui, dekoduojant ultragarsinius tyrimus, ultragarsą ir kompiuterinę tomografiją), farmacijoje, chemijoje, skaičių teorijoje, seismologija, meteorologija, okeanologija, kartografija, daugelis fizikos šakų, topografija ir geodezija, architektūra, fonetika, ekonomika, elektroninės technologijos, mechanikos inžinerija, kompiuterinė grafika, kristalografija ir kt. Trigonometrijos istorija ir jos vaidmuo gamtos ir matematikos mokslų studijose yra tiriamas iki šių dienų. Galbūt ateityje atsiras dar daugiau jo taikymo sričių.

Pagrindinių sąvokų atsiradimo istorija

Trigonometrijos atsiradimo ir raidos istorija siekia daugiau nei vieną šimtmetį. Sąvokų, kurios sudaro šio skyriaus pagrindą, įvadas matematikos mokslas, taip pat nebuvo akimirksniu.

Taigi „sinuso“ sąvoka turi labai ilga istorija. Paminėjimai apie įvairūs santykiai trikampių ir apskritimų atkarpos randamos net in mokslo darbai, datuojamas III amžiuje prieš Kristų. Tokių didžių senovės mokslininkų kaip Euklidas, Archimedas ir Apolonijus Pergos darbuose jau yra pirmieji šių santykių tyrimai. Naujiems atradimams reikėjo tam tikrų terminų paaiškinimų. Taigi indų mokslininkas Aryabhata akordui suteikia pavadinimą „dživa“, reiškiantį „lanko styga“. Išvertus arabiškus matematinius tekstus į lotynų kalbą, terminas buvo pakeistas panašia reikšme sine (t.y. „lenkimas“).

Žodis „kosinusas“ atsirado daug vėliau. Šis terminas yra sutrumpintas variantas Lotyniškas posakis"papildomas sinusas".

Tangentų atsiradimas yra susijęs su šešėlio ilgio nustatymo problemos iššifravimu. Terminą „liestinė“ 10 amžiuje įvedė arabų matematikas Abu-l-Wafa, kuris sudarė pirmąsias liestinių ir kotangentų nustatymo lenteles. Tačiau Europos mokslininkai apie šiuos pasiekimus nežinojo. Vokiečių matematikas ir astronomas Regimontanas 1467 m. iš naujo atrado šias sąvokas. Tangentinės teoremos įrodymas yra jo nuopelnas. Ir šis terminas išverstas kaip „susijęs“.

Trigonometrija yra matematinė disciplina, tirianti santykį tarp trikampio kraštinių ir kampų.

Atrodytų, trigonometrija gali būti laikoma tik geometrijos dalimi, tačiau trigonometrinės funkcijos, kurių pagalba sujungiami trikampio elementai, yra tyrimo objektas. matematinė analizė, o trigonometrinės lygtys – lygtys, kuriose nežinomieji yra trigonometrinių funkcijų argumentai – tiriamos algebriniais metodais. Taigi trigonometrija yra matematikos šaka, kurioje naudojami kitų svarbių šakų pasiekimai.

Pagrindinės trigonometrijos formulės pateikiamos sinusų teorema (žr. Sinuso teorema) ir kosinusų teorema (žr. Kosinuso teorema). Be jų, dažnai naudojama liestinės teorema, atrasta XV amžiuje. vokiečių matematikas I. Regiomontanas,

, , ,

ir K. Molweide (vokiečių matematiko) formulės pabaigos XVIII - pradžios XIX V.):

, .

Čia nurodomi trikampio kraštinių ilgiai, o priešingų kampų reikšmės atitinkamai nurodomos.

Be kosinuso teoremos, trikampio kampai taip pat gali būti išreikšti jo kraštinėmis naudojant formules:

, , ,

kur yra trikampio pusperimetras.

Trikampio plotas, be Herono formulės (žr. Herono formulę), gali būti išreikštas naudojant trigonometriją per trikampio kraštines ir kampus keliais kitais būdais:

, , .

Trigonometrija atsirado iš praktinių žmogaus poreikių. Su jo pagalba galite nustatyti atstumą iki neprieinamų objektų ir apskritai žymiai supaprastinti teritorijos geodezinio matavimo procesą geografiniams žemėlapiams sudaryti.

Trigonometrinių žinių užuomazgos atsirado senovėje. Anksti trigonometrija išsivystė m glaudus ryšys su astronomija ir buvo jos pagalbinė sekcija.

Senovės Graikijos mokslininkai sukūrė „stygų trigonometriją“, kurią savo darbe „Almagest“ apibūdino išskirtinis astronomas Ptolemėjus (II a.). Ptolemėjus išvedė ryšius tarp akordų apskritime (išreikštas žodžiu dėl to, kad tuo metu nebuvo matematinė simbolika), kurie yra lygiaverčiai šiuolaikinės formulės pusinio ir dvigubo kampo sinusui – dviejų kampų suma ir skirtumas:

, , .

Svarbų žingsnį plėtojant trigonometriją padarė Indijos mokslininkai, stygas pakeitę sinusais. Ši naujovė perkelta į VIII a. į Artimųjų ir Artimųjų Rytų šalių matematiką arabų kalba, kur trigonometrija iš astronomijos dalies pamažu virto savarankiška matematikos disciplina. Be sinuso, buvo įvestos ir kitos trigonometrinės funkcijos ir joms sudarytos lentelės.

Visuotinai priimtos trigonometrijos sąvokos, taip pat trigonometrinių funkcijų žymėjimai ir apibrėžimai susiformavo ilgą laiką. istorinė raida. Jei, pavyzdžiui, įvedant pagrindines trigonometrines sąvokas, atrodo natūralu imti spindulį trigonometrinis ratas(1 pav.) lygus vienetui, tada atrodytų, paprasta mintis buvo priimtas tik X-XI a. Jei kampo sinusu stačiakampiame trikampyje suprantame kojos (sinuso linijos) ir hipotenuzės santykį (t. y. vienetinio apskritimo spindulį), tai viduramžiais terminas „sinusas“ reiškė sinuso liniją. pati. Tas pats pasakytina apie kosinusą, kuris reiškė kosinuso liniją, ir kitas trigonometrines funkcijas.

Tik palaipsniui, įdiegus naujas sąvokas, taip pat tobulėjant ir tobulinant matematinę simboliką, trigonometrija įgavo modernią formą, patogiausią sprendžiant skaičiavimo problemas. Galutinę formą ji įgijo XVIII a. L. Eulerio darbuose.

Taip pat yra sferinė trigonometrija, kuri tiria ryšius tarp trikampių kraštinių ir kampų sferoje, kurią sudaro didžiųjų apskritimų lankai. Tai yra sferinės geometrijos dalis ir istoriškai atsirado prieš trigonometriją plokštumoje iš praktinio astronomo poreikių.