Kurių taisyklingųjų daugiakampių visos įstrižainės yra lygios viena kitai? Daugiakampis

Daugiakampis

Daugiakampis- tai kūnas, kurio paviršius susideda iš baigtinio skaičiaus plokščių daugiakampių. Daugiakampis vadinamas išgaubtas, jei jis yra vienoje pusėje kiekvieno jo paviršiaus plokštumos daugiakampio plokštumos. Bendroji dalis tokia plokštuma ir išgaubto daugiakampio paviršius vadinamas kraštas.
Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduotas neišgaubtas daugiakampis kairėje; paveikslėlyje dešinėje - išgaubta.

Išgaubto daugiakampio paviršiai yra plokšti išgaubti daugiakampiai. Veidų šonai vadinami daugiakampio briaunos, o veidų viršūnės yra daugiakampio viršūnės.

Prizmė

Prizmė yra daugiakampis, susidedantis iš dviejų plokščių daugiakampių, esančių skirtingose plokštumose ir persidengiančių lygiagretus perdavimas, ir visos atkarpos, jungiančios atitinkamus šių daugiakampių taškus (žr. pav.). Daugiakampiai vadinami prizmės pagrindai, o atitinkamas viršūnes jungiančios atkarpos yra šoniniai prizmės kraštai.

Pavadinimai: .
Šoninis paviršius Prizmė sudaryta iš lygiagretainių. Kiekvienas iš jų turi dvi puses, kurios yra atitinkamos pagrindo pusės, o kitos dvi yra gretimos šoninės briaunos. Prizmės pagrindai yra lygūs ir guli lygiagrečios plokštumos. Prizmės šoninės briaunos yra lygiagrečios ir lygios. Prizmės aukštis vadinamas atstumu tarp jo pagrindų plokštumų.
Vadinamas segmentas, jungiantis dvi prizmės viršūnes, nepriklausančias tam pačiam paviršiui prizmės įstrižainė. (Paveiksle - aukštis ir - įstrižainės.)
Įstrižainės pjūviai- tai prizmės pjūviai, sudaryti iš plokštumų, einančių per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui (žr. paveikslėlius).

Prizmė vadinama tiesioginis, jei jo šoninės briaunos statmenos pagrindams. Priešingu atveju prizmė vadinama linkęs.
Tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai, tiesios prizmės aukštis lygus šoniniam kraštui, įstrižinės pjūviai yra stačiakampiai.
Šoninis paviršius prizmės yra šoninių paviršių plotų suma. Visas paviršius prizmės lygus šoninio paviršiaus ir pagrindų plotų sumai.
1 teorema. Tiesiosios prizmės šoninis paviršius lygus pagrindo perimetro ir aukščio sandaugai, tai yra šoninės briaunos ilgiui.
Statmenas prizmės pjūvis pjūvį vadinsime plokštuma, statmena šoniniam prizmės kraštui (tai reiškia, kad ši plokštuma yra statmena visoms prizmės šoninėms briaunoms).
2 teorema. Šoninis paviršius pasvirusi prizmė lygus šoninės briaunos ilgio ir statmenos pjūvio perimetro sandaugai.
Paveiksle pavaizduotas statmenas pjūvis.
S b = H ⋅ P pagrindinis;
S n = S b + 2 S pagrindinis
S b = l ⋅ P ter;
S n = S b + 2 S pagrindinis

Akivaizdu, kad ši teorema galioja ir tiesiosios prizmės atveju, nes tada statmena pjūvis bus pjūvis plokštuma, lygiagrečia prizmės pagrindų plokštumoms.
Atkreipkite dėmesį: jei tam tikras daugiakampis yra statmena prizmės pjūvis, tada jo vidiniai kampai yra dvikampių kampų tiesiniai kampai tarp atitinkamų šoninių paviršių.
Tiesios prizmės atveju dvikampių kampų tiesiniai kampai tarp šoninių paviršių yra tiesioginiai pagrindo kampai.
Pavyzdys
Paveiksle pavaizduota tiesi prizmė.

- tiesinis dvikampio kampo tarp paviršių ir .
Prizmė vadinama teisinga, Jei:
jis remiasi taisyklingas daugiakampis;
prizmė tiesi.

Lygiagretaus vamzdžio

Lygiagretainis yra prizmė, kurios pagrinde yra lygiagretainis.
Visi gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai.
Vadinami gretasienio paviršiai, neturintys bendrų viršūnių priešinga.
1 teorema. Gretasienio priešingi paviršiai yra lygiagretūs ir lygūs.
Lygiagretainis gretasienis išlieka visais atvejais, kai jo pagrindu laikome bet kurį jo paviršių (žr. pav.).
2 teorema. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir dalijamos per pusę iš susikirtimo taško.
Iš to išplaukia, kad gretasienio įstrižainių susikirtimo taškas yra jo simetrijos centras.
Atkreipkite dėmesį: dešinysis gretasienis keturios įstrižainės, poromis lygios viena kitai.
Nuotraukoje; .
Tai išplaukia iš linkusių savybių, nes - lygis statmenai pagrindo plokštumai ABCD.

Jei dvi dešiniojo gretasienio įstrižainės ateina iš kaimyninės viršūnės, tada didžiausias iš jų yra tas, kuris projektuojamas į didžiąją pagrindo įstrižainę, tai yra lygiagretainio, esančio priešais bukas kampas. Taigi, jei aukščiau pateiktame paveikslėlyje atsižvelgsime į kampą ABC Kvailys, sulauksim, .
Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis stačiakampis gretasienis(žr. paveikslėlį).

Visi stačiakampio gretasienio paviršiai yra stačiakampiai, kuriuos galima padalyti į tris lygių poras. Jo pagrindu galima laikyti savavališką stačiakampio gretasienio paviršių. Atsižvelgiant į tai, kai lygiagretus dizainas savavališkas gretasienis gali būti pavaizduotas savavališku lygiagretainiu, stačiakampio gretasienio vaizdas niekuo nesiskiria nuo bet kurio dešiniojo gretasienio vaizdo.
Nelygiagrečių briaunų ilgiai vadinami linijiniai matmenys(matavimai) stačiakampio gretasienio.
3 teorema. Stačiakampio gretasienio visos įstrižainės lygios. Įstrižainė kvadratas lygi sumai jo trijų matmenų kvadratai.
Visi stačiakampio gretasienio dvikampiai kampai yra stačiakampiai.
Stačiakampis gretasienis turi tris poras vienodų įstrižų pjūvių. Kiekvienas iš šių skyrių yra stačiakampis (žr. paveikslėlius).

Kiekviena sekcijų pora susikerta išilgai tiesės, kuri eina per įstrižainių susikirtimo taškus priešingi veidai. Atkarpos tarp šių taškų yra lygiagrečios ir lygios vienai iš stačiakampio gretasienio kraštinių.
Stačiakampį trikampį sudaro stačiakampio gretasienio įstrižainė, šoninio paviršiaus įstrižainė ir pagrindo šonas (žr. pav.). Pavyzdžiui,.

Stačiakampis gretasienis turi simetrijos centrą – tai yra jo įstrižainių susikirtimo taškas.
Jame taip pat yra trys simetrijos plokštumos, einančios per simetrijos centrą lygiagrečiai veidams.
Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio visos briaunos lygios kubas.
Bet kurio plokštuma įstrižainė kubas yra jo simetrijos plokštuma. Taigi, kubas turi devynias simetrijos plokštumas.
Paveiksle mes svarstome santykinė padėtis kai kurie dešiniojo gretasienio elementai:

- kampas tarp šoninio paviršiaus įstrižainės ir pagrindo plokštumos ( - statmenas, - pasviręs, CD- projekcija).
- kampas tarp dešiniojo gretasienio įstrižainės ir pagrindo plokštumos ( - statmenas, - pasviręs, AC- projekcija).
- šoninio paviršiaus įstrižainės pasvirimo kampas ( AD- statmenai, - įstrižai, - projekcijai).
Leisti būti dešinysis gretasienis (žr. pav.), kur ABCD- rombas Nubrėžkime jo pjūvį plokštuma, einančia per pagrindo įstrižainę BD ir viršuje.

Skerspjūvyje gauname lygiašonį trikampį.
- dvikampio kampo tiesinis kampas tarp pagrindo ir pjūvio plokštumų. pagal rombo įstrižainių savybes, - statmenas, - įstrižas, CO- projekcija. Pagal trijų statmenų teoremą: .

Piramidė

Piramidė vadinamas daugiakampiu, kuris susideda iš plokščio daugiakampio – piramidės pagrindo, taško, esančio ne pagrindo plokštumoje – piramidės viršūnės ir visų atkarpų, jungiančių piramidės viršūnę su pagrindo taškais. . Atkarpos, jungiančios piramidės viršūnę su pagrindo viršūnėmis, vadinamos šoniniai šonkauliai.
Piramidės aukštis- statmenas, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos.
Piramidė vadinama n-anglis, jei jo pagrindas yra n-gon. Taip pat vadinama trikampė piramidė tetraedras. Piramidės šoninis paviršius- trikampis. Viena iš jos viršūnių yra piramidės viršūnė ir priešinga pusė- piramidės pagrindo pusė.
Nuotraukoje TAIP- piramidės aukštis. Tada - kampas tarp šoninio krašto ir pagrindo plokštumos ( TAIP- statmenai, SA- linkęs, OA- projekcija).

Nuo piramidės aukščio pagrindo (taškas A) nubrėžkite statmeną pagrindo šonui (pvz., AE). Šio statmens pagrindas (taškas F) prijunkite prie piramidės viršaus (taškas S). Pagal trijų statmenų teoremą: . ( TAIP- statmenai, SP- linkęs, OF- projekcija, pagal konstrukciją.) Todėl - dvikampio kampo tiesinis kampas tarp šoninio paviršiaus plokštumos ASE ir pagrindo plokštuma.
Norint išspręsti piramidės problemas, labai svarbu išsiaiškinti, kur yra jos aukščio pagrindas.
1. Jei bent vienas iš šias sąlygas:
visos piramidės šoninės briaunos yra lygios;
visi šoniniai šonkauliai yra pasvirę į pagrindinę plokštumą tuo pačiu kampu;
visi šoniniai šonkauliai sudaro vienodus kampus su piramidės aukščiu;
visos šoninės briaunos yra vienodu atstumu nuo aukščio pagrindo, tada piramidės aukščio pagrindas yra apskritimo, apibrėžto aplink piramidės pagrindą, centras.
Šoninis šonkaulis l, aukštis H ir spindulys R Aplink apskritimo pagrindą sudarytas stačiakampis trikampis:

Šiuo atveju šoninį paviršių galima rasti pagal formulę, kur l- šoninio krašto ilgis, , ... - plokšti kampai viršūnėje.
2. Jei įvykdoma bent viena iš šių sąlygų:
Visi šoniniai veidai pasviręs į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu;
visi šoniniai paviršiai yra vienodo aukščio;
šoninių paviršių aukščiai sudaro lygius kampus su piramidės aukščiu;
šoniniai paviršiai yra vienodu atstumu nuo aukščio pagrindo, tada aukščio pagrindas yra apskritimo, įrašyto į piramidės pagrindą, centre.
Nuotraukoje - stačiakampis, - įbrėžto apskritimo spindulys ABCDEF;

- piramidės aukštis, SP- šoninio paviršiaus aukštis;
- dvikampio kampo tiesinis kampas tarp šoninio paviršiaus ir pagrindo plokštumos;
APIE- apskritimo centras, įrašytas į pagrindą, tai yra pusiaukampių susikirtimo taškas ABCDEF.
Šiuo atveju.
3. Jei šoninė briauna statmena pagrindo plokštumai, tai ši briauna yra piramidės aukštis (žr. paveikslėlius).

Šiuo atveju Ir - šoninių šonkaulių pasvirimo kampai SV Ir SC atitinkamai į pagrindo plokštumą. yra tiesinis kampas dvikampis kampas tarp šoninių paviršių S.A.C. Ir S.B.A..
4. Jei šoninis paviršius yra statmenas pagrindo plokštumai (žr. pav.), tai piramidės aukštis bus šio paviršiaus aukštis (pagal teoremą „Jei tiesė, esanti vienoje iš dviejų statmenos plokštumos, yra statmena jų susikirtimo linijai, tada ji yra statmena antrajai plokštumai").
5. Jei du šoniniai paviršiai statmeni pagrindo plokštumai, tai piramidės aukštis yra jų bendra šoninė briauna.

Atstumai nuo piramidės aukščio pagrindo

Atstumas nuo piramidės aukščio pagrindo iki šoninės briaunos yra statmenas, numestas iš taško APIE ant šio krašto (žr. paveikslėlį). Atkreipkite dėmesį: , bet paveikslėlyje neturi būti tiesūs: lygiagrečiai projektuojant kampai neišsaugomi.
OF- atstumas nuo aukščio pagrindo iki šoninio krašto S.E.;
ĮJUNGTA- atstumas nuo aukščio pagrindo iki šoninio krašto A.S.B.(Žr. šį atstumą plačiau žemiau).

, kur yra kampas tarp krašto S.E. ir pagrindo plokštuma.

Atstumas nuo aukščio pagrindo iki šoninio krašto

Leisti , Tada trijų statmenų teorema. Vadinasi, AB statmenai plokštumai SOK. Vadinasi, jei , tai tada ĮJUNGTA statmenai plokštumai A.S.B..
.
Piramidė vadinama teisinga, jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o jo aukščio pagrindas sutampa su daugiakampio centru. Ašis taisyklinga piramidė vadinama tiesia linija, kurioje yra jos aukštis. Taisyklingos piramidės šoniniai kraštai lygūs, šoniniai paviršiai lygūs lygiašoniai trikampiai. Šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas nuo piramidės viršaus, vadinamas apotemas. Tai šoninio paviršiaus pusiaukraštis ir mediana, lygiašonis trikampis.
Teorema. Taisyklingos piramidės šoninis paviršius lygus pagrindo perimetro ir apotemos sandaugai.
; ,
Kur R- bazinis perimetras, A- pagrindo pusė, l- apotemos ilgis.
Teisingai trikampė piramidė
Taisyklingos trikampės piramidės pagrinde yra pavaizduotas lygiakraštis trikampis savavališkas trikampis(žr. paveikslėlį).

Centras yra jo pusiausvyros, kurios yra ir aukščiai, ir medianos, susikirtimo taškas. Lygiagrečiame projekte medianos vaizduojamos kaip medianos. Todėl statome dvi pagrindo medianas. Jų susikirtimo taškas yra piramidės aukščio pagrindas. Mes pavaizduojame aukštį, o tada sujungiame piramidės viršūnę su pagrindo viršūnėmis. Gauname šoninius šonkaulius.
Paveiksle: - šoninio šonkaulio pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą (visoms briaunoms vienodas); - šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą (visiems paviršiams vienodas).
Tegul .
Tada; ; ;
; ; .
Vadinasi,.
; .
Lėktuvas ašinis skyrius A.S.D. yra taisyklingos trikampės piramidės simetrijos plokštuma.
Ši plokštuma yra statmena pagrindo plokštumai ir krašto plokštumai BSC.
Taip pat įdomu tai, kad susikertančios piramidės briaunos ( S.A. Ir B.C., S.B. Ir A.C., S.C. Ir AB) yra statmenos. Jei, tada ĮJUNGTA yra atstumas nuo aukščio pagrindo ne tik iki anatemos, bet ir iki šoninio veido BSC.
.
Teisingai keturkampė piramidė
Taisyklingos keturkampės piramidės pagrinde yra kvadratas, pavaizduotas kaip savavališkas lygiagretainis. Jo centras yra įstrižainių susikirtimo taškas. Šis taškas yra piramidės aukščio pagrindas.
Tegul aikštės pusė A(žr. paveikslėlį).
Tada;
;
;
;
.

Atkreipkite dėmesį: , , tai yra .
Su lygiagrečiu dizainu išsaugomas lygiagretumas.
; .
Atstumas nuo aukščio pagrindo iki šoninio krašto:
; .

Taisyklinga šešiakampė piramidė
Remiantis teisingu šešiakampė piramidė yra taisyklingas šešiakampis (žr. pav.). Jo centras yra įstrižainių susikirtimo taškas. Šis taškas yra piramidės aukščio pagrindas.
Tada;
Tegul taisyklingo šešiakampio pusė A.
;
;

.
; .

Nupjauta piramidė
Iškirpta piramidės vadinamas daugiakampiu, kuris liks, jei nuo piramidės bus atskirtas plokštuma, kuri lygiagreti pagrindui, piramidė su ta pačia viršūne.
Teorema. Plokštuma, lygiagreti piramidės pagrindui ir susikertanti su juo, nukerta panašią piramidę.
Atkreipkite dėmesį: norėdami teisingai pavaizduoti nupjautą piramidę, turite pradėti nuo originalo vaizdo pilna piramidė(žr. paveikslėlį).

Nupjautos piramidės pagrindai - panašūs daugiakampiai. Šoniniai paviršiai trapecijos formos. - nupjautinės piramidės aukštis, šoninio paviršiaus aukštis - šoninio krašto pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą (bet koks), - šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į apatinio pagrindo plokštumą.
Taisyklinga nupjauta piramidė- tai sutrumpinta piramidė, kuri buvo paimta iš įprastos piramidės.
Jo šoniniai šonkauliai yra lygūs ir pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu. Jo šoniniai paviršiai yra lygūs horizontaliai trapecijai ir yra pasvirę į apatinio pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu. Piramidės šoninių paviršių aukščiai vadinami apotemos.
Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninis paviršius lygus pusės pagrindų ir apotemos perimetrų sumos sandaugai.
, Kur P n ir P c - atitinkamų bazių perimetrai, l- apotemas.
Nuotraukose pavaizduoti skaičiai, į kuriuos gali būti labai naudinga atsižvelgti sprendžiant problemas, susijusias su nupjauta piramide.
;
.

;

- stačiakampė trapecija.
- nupjautos piramidės aukštis.
- šoninio krašto aukštis.

Tuo atveju, kai nupjautoji piramidė yra taisyklinga, atkarpos O.D. ir yra apibrėžtojo apskritimo spinduliai, ir OF ir - atitinkamai apatinio ir viršutinio pagrindo įbrėžto apskritimo spinduliai.

Įprastas daugiakampis

Išgaubtas daugiakampis vadinamas teisinga, jei jo paviršiai yra taisyklingi daugiakampiai, turintys vienodą kraštinių skaičių, o kiekviena daugiakampio viršūnė turi tiek pat briaunų.
Yra penki įprastinių išgaubtų daugiakampių tipai: taisyklingas tetraedras, kubas, oktaedras, dodekaedras, ikosaedras.
1. Taisyklingo tetraedro paviršiai yra taisyklingi trikampiai; Kiekviena viršūnė turi tris sutampančius kraštus. Tetraedras yra trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios.
2. Visi kubo paviršiai yra kvadratai; Kiekviena viršūnė turi tris sutampančius kraštus. Kubas – stačiakampis gretasienis su vienodos briaunos.
3. Oktaedro paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Kiekviena jo viršūnė turi keturias sutampančius kraštus.
4. Dodekaedro paviršiai yra taisyklingi penkiakampiai. Kiekvienoje jo viršūnėje sutampa trys briaunos.
5. Ikozaedro paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Kiekvienoje jo viršūnėje sutampa penkios briaunos.
Nuotraukose pateikiami pavyzdžiai taisyklingas daugiabriaunis su vardais.

Įstrižainė daugiakampyje (daugiakampyje) - atkarpa, jungianti bet kurias dvi negretimas viršūnes, tai yra viršūnes, kurios nepriklauso vienai daugiakampio pusei (vienai daugiakampio briaunai).

Daugiakampyje skiriamos veidų įstrižainės (laikomos plokščiais daugiakampiais) ir erdvinės įstrižainės, besitęsiančios už paviršių ribų. Daugiakampiai trikampiais paviršiais turi tik erdvines įstrižaines.

Įstrižainių skaičiavimas

Jokių įstrižainių trikampiui plokštumoje ir tetraedrui erdvėje, nes visos šių figūrų viršūnės poromis sujungtos kraštinėmis (kraštinėmis).

Įstrižainių skaičius N Daugiakampį galima lengvai apskaičiuoti naudojant formulę:

N = n·(n - 3)/2,

Kur n— daugiakampio viršūnių skaičius. Naudojant šią formulę, tai lengva rasti

trikampis turi 0 įstrižainių
stačiakampis turi 2 įstrižaines
penkiakampis turi 5 įstrižaines
šešiakampis turi 9 įstrižaines
Aštuonkampis turi 20 įstrižainių
12 kampų yra 54 įstrižainės
24 kampų įstrižainės yra 252

Daugiakampio su viršūnių skaičiumi įstrižainių skaičius n lengva apskaičiuoti tik tuo atveju, kai daugiakampis susilieja kiekvienoje viršūnėje tas pats numerisšonkauliai k. Tada galite naudoti formulę:

N=n· (n – k – 1)/2,

kuris suteikia bendrą erdvinių ir veido įstrižainių skaičių. Iš čia mes galime tai rasti

tetraedras (n=4, k=3) turi 0 įstrižainių
oktaedras (n = 6, k = 4) turi 3 įstrižaines (visas erdvines)
kubas (n = 8, k = 3) turi 16 įstrižainių (12 veido ir 4 erdvinių)
ikosaedras (n = 12, k = 5) turi 36 įstrižaines (visas erdvines)
dodekaedras (n = 20, k = 3) turi 160 įstrižainių (25 įstrižainės ir 135 erdvinės)

Jei skirtingose daugiakampio viršūnėse susilieja skirtingas numerisšonkauliai, skaičiavimas tampa pastebimai sudėtingesnis ir turi būti atliekamas individualiai kiekvienu atveju.

Formos su lygiomis įstrižainėmis

Lėktuve yra du taisyklingi daugiakampiai su visos įstrižainės lygios tarpusavyje. Tai kvadratas Ir taisyklingas penkiakampis. Kvadratas turi dvi vienodas įstrižaines, kurios centre susikerta stačiu kampu. Taisyklingas penkiakampis turi penkias vienodas įstrižaines, kurios kartu sudaro penkiakampės žvaigždės (pentagramos) modelį.

Vienintelis taisyklingas daugiakampis su visos įstrižainės lygios tarp savęs – taisyklingas oktaedras oktaedras. Jame yra trys įstrižainės, kurios poromis susikerta statmenai centre. Visos oktaedro įstrižainės yra erdvinės (oktaedras neturi veidų įstrižainių, nes turi trikampius).

Be oktaedro, yra dar vienas taisyklingas daugiakampis, kuris visos erdvinės įstrižainės lygios tarpusavyje. Tai kubas (šešiaedras). Kubas turi keturias identiškas erdvines įstrižaines, kurios taip pat susikerta centre. Kampas tarp kubo įstrižainių yra arba arccos(1/3) ≈ 70,5° (įstrižainių porai, nubrėžtai į gretimas viršūnes), arba arkos (-1/3) ≈ 109,5° (įstrižainių porai, nubrėžtai į ne -gretimos viršūnės).

ru.wikipedia.org – Vikipedija: įstrižainė
dic.academic.ru - iliustracija apie skirtumą tarp daugiakampio veido ir erdvinių įstrižainių

Daugiakampiai yra paprasčiausi kūnai erdvėje, kaip ir daugiakampiai yra paprasčiausios figūros plokštumoje. Kasdien matome įvairiapuses formas: degtukų dėžutę, knygą, kambarį, daugiaaukštį pastatą (su horizontaliu stogu) - stačiakampiai gretasieniai; pieno maišeliai-tetraedrai arba gretasieniai; briaunotas pieštukas ir veržlė leidžia suprasti prizmes (tačiau gretasienis taip pat yra keturkampė prizmė). Daugelis architektūrinės konstrukcijos arba jų dalys yra piramidės arba nupjautinės piramidės – tokių formų turi garsiosios Egipto piramidės arba Kremliaus bokštai. Daugybė daugialypių formų, pavyzdžiui, „namas“ pav. 1 ir „apvalus namas“ pav. 2, neturiu ypatingi vardai. Grynai geometriniu požiūriu daugiakampis yra erdvės dalis, apribota plokščiais daugiakampiais – veidais. Veidų kraštinės ir viršūnės vadinamos paties daugiakampio briaunomis ir viršūnėmis. Veidai sudaro vadinamąjį daugiakampį paviršių. Kad nebūtų atsižvelgta į daugiakampes figūras, tokias kaip parodyta Fig. 3, kurie paprastai nėra vadinami daugiakampiais, daugiabriauniam paviršiui paprastai taikomi šie apribojimai:

1) kiekvienas kraštas turi būti bendra dviejų ir tik dviejų paviršių pusė, vadinama gretimu;

2) kas du paviršiai gali būti sujungti nuosekliai besiribojančių paviršių grandine;

3) kiekvienai viršūnei greta šios viršūnės esančių paviršių kampai turi susieti tam tikrą daugiakampį kampą.

Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra vienoje bet kurio jo paviršiaus plokštumos pusėje. Ši sąlyga yra lygiavertė kiekvienai iš kitų dviejų: 1) atkarpa su galiniais taškais bet kuriuose dviejuose daugiakampio taškuose yra visiškai daugiakampyje, 2) daugiakampis gali būti vaizduojamas kaip kelių puservių sankirta.

Bet kuriam išgaubtam daugiakampiui galioja Eulerio formulė (žr. Topologiją), nustatanti ryšį tarp viršūnių skaičiaus B, briaunų P ir paviršių Г:

Neišgaubtiems daugiakampiams šis ryšys, paprastai kalbant, nėra teisingas, pavyzdžiui, daugiakampio paviršiaus, parodyto Fig. 2; , , Štai kodėl. Skaičius vadinamas daugiabriaunio Eulerio charakteristika ir gali būti lygus . Eulerio charakteristika apytiksliai parodo, kiek „skylių“ turi daugiakampis. Skylių skaičius (arba ).

Paprasčiausias daugiakampių klasifikavimas pagal viršūnių (kampų, kraštinių) skaičių yra neveiksmingas. Paprasčiausi daugiakampiai – keturkampiai arba tetraedrai – visada apsiriboja keturiais trikampiais paviršiais. Bet pentaedrai jau gali būti visiškai skirtingų tipų, pvz.: keturkampę piramidę riboja keturi trikampiai ir vienas keturkampis (4,a pav.), o trikampę prizmę riboja du trikampiai ir trys keturkampiai (4,b pav.). Penkių viršūnių struktūrų pavyzdžiai yra keturkampė piramidė ir trikampis dvikampis (4 pav., c).

Dažniausiai mus supančio pasaulio daugiakampiai, žinoma, turi specialius pavadinimus. Taigi, kampinės piramidės apačioje ir šone yra kampas trikampiai veidai, susiliejančios bendroje trikampių viršūnėje (4,a pav., kur ); -kampinę prizmę riboja du lygiagrečiai ir identiškai išsidėstę -gonai - pagrindai - ir lygiagretainiai - šoniniai paviršiai, jungiantys atitinkamas pagrindų puses (4 pav., b, kur).

Tarpinę padėtį tarp piramidžių ir prizmių užima nupjautos piramidės, gautos iš piramidžių, nupjaunant mažesnes piramides lygiagrečiai pagrindams plokštumos (5 pav.). Tarp natūralių kristalų formų yra dvikampės arba bipiramidės, sudarytos iš dviejų piramidžių su bendras pagrindas(4 pav., c). Archimedas taip pat laikė kampines antiprizmes, apribotas dviem lygiagrečiomis, bet viena kitos atžvilgiu pasuktomis kampais ir jas jungiančias, kaip parodyta Fig. 6, -trikampiai (jei antiprizmė didelė, atrodo kaip pionierinis būgnas – 6 pav.).

Kaip ir daugiakampiai, daugiakampiai taip pat klasifikuojami pagal jų simetrijos laipsnį. Tarp piramidžių išskiriamos taisyklingosios: jų pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o aukštis – statmenas, nubrėžtas iš viršaus į pagrindo plokštumą – patenka į piramidės pagrindo centrą.

Lygiagretainio analogas yra gretasienis; lygiagretainis, lygiagretainis turi simetrijos centrą, kuriame visos keturios įstrižainės (atkarpos, jungiančios viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam veidui) susikerta ir dalijasi pusiau. Taisyklingos prizmės prie pagrindų jie turi taisyklingus daugiakampius, išdėstytus taip, kad tiesė, einanti per jų centrus, būtų statmena pagrindų plokštumoms. Taisyklingos kampinės antiprizmės pagrindai turi būti išdėstyti taip pat, tačiau tik vienas pagrindas turi būti pasuktas kampu kito atžvilgiu. Visi taisyklingi daugiakampiai turi gana daug savaiminių kombinacijų – sukimų ir simetrijų, kurios daugiasparnį paverčia į save. Visų savaiminių derinių, įskaitant identiškus, rinkinys sudaro vadinamąją daugiakampio simetrijos grupę. Pavieniai kristalai, kurie dažniausiai turi daugiakampę formą, kristalografijoje klasifikuojami pagal simetrijos grupes.

Aukščiau aptarta daugiakampių simetrija ir taisyklingumas nėra visiškai išsamūs – jie gali turėti nevienodus paviršius ir skirtingus daugiakampius kampus. Išimtis yra trys daugiakampiai: taisyklingas tetraedras yra taisyklinga trikampė piramidė su vienodomis briaunomis, apribota keturiomis taisyklingieji trikampiai(7,a pav.); kubas, arba taisyklingas šešiakampis, – taisyklingas keturkampė prizmė vienodais kraštais, apribotas šešiais kvadratais (7 pav., b); galiausiai oktaedras yra taisyklingas keturkampis lygių briaunų dvikampis, apribotas aštuonių taisyklingųjų trikampių (7c pav.); Aštuonkampis taip pat gali būti apibrėžtas kaip taisyklinga trikampė antiprizmė su vienodomis briaunomis. Skirtingai nuo savavališkų taisyklingų piramidžių, prizmių, dvikampių ir antiprizmų, tetraedras, kubas, oktaedras yra tokie, kad bet kuriuos du jų paviršius (ir bet kuriuos du daugiakampius kampus) galima sujungti naudojant tam tikrą viso daugiakampio savireguliavimą. Be to, jų daugiakampiai kampai yra taisyklingi, t.y. turėti vienodą plokštumą ir vienodus dvikampius kampus.

Panašiai kaip taisyklingieji daugiakampiai plokštumoje, taisyklingieji daugiakampiai gali būti apibrėžti „apskritai“: tai išgaubti daugiakampiai, apriboti vienodais taisyklingaisiais daugiakampiais ir turintys vienodus taisyklingus daugiakampius. Pasirodo, be trijų aukščiau paminėtų taisyklingųjų daugiasparnių tipų – taisyklingojo tetraedro, kubo ir oktaedro – yra tik dar du taisyklingųjų daugiasparnių tipų: dodekaedras (dodekaedras) ir ikosaedras (20 etrų), ribojamas atitinkamai 12 taisyklingųjų. penkiakampiai ir 20 taisyklingų trikampių – pav. 8,a,b. Šie du daugiakampiai yra susiję vienas su kitu taip pat, kaip kubas ir tetraedras (žr. Kubas): dodekaedro paviršių centrai yra ikosaedro viršūnės – pav. 9, - ir atvirkščiai.

Pats faktas, kad egzistuoja tik penki tikrai taisyklingi daugiakampiai, stebina – juk plokštumoje yra be galo daug taisyklingų daugiakampių.

Visi įprasti daugiakampiai buvo žinomi dar senovėje Senovės Graikija, o jiems skirta paskutinė, XIII garsiųjų Euklido „Elementų“ knyga. Šios daugiakampės dažnai dar vadinamos platoniškomis kietosiomis dalelėmis – idealistiniame pasaulio paveiksle, kurį suteikia didieji senovės graikų mąstytojas Platonas, keturi iš jų įasmenino keturis elementus: tetraedras – ugnis, kubas – žemė, ikosaedras – vanduo ir oktaedras – oras; penktasis daugiakampis, dodekaedras, simbolizavo visą visatą – lotyniškai jis pradėtas vadinti quinta essentia („penktoji esmė“). Matyt, nebuvo sunku sugalvoti tinkamą tetraedrą, kubą, oktaedrą, juolab kad šios formos turi natūralių kristalų, pvz.: kubas yra vienas valgomosios druskos (NaCl) kristalas, oktaedras yra vienas kalio kristalas. alūnas . Yra prielaida, kad senovės graikai dodekaedro formą gavo tirdami pirito (sieros pirito FeS) kristalus. Turint dodekaedrą, nesudėtinga sukonstruoti ikosaedrą: kaip jau minėta, jo viršūnės bus dvylikos dodekaedro paviršių centrai – pav. 9.

Įstrižainių skaičiavimas

Jokių įstrižainių trikampiui plokštumoje ir tetraedrui erdvėje, nes visos šių figūrų viršūnės poromis sujungtos kraštinėmis (kraštinėmis).

Įstrižainių skaičius N Daugiakampį galima lengvai apskaičiuoti naudojant formulę:

N = n·(n - 3)/2,

Kur n— daugiakampio viršūnių skaičius. Naudojant šią formulę, tai lengva rasti

trikampis turi 0 įstrižainių
stačiakampis turi 2 įstrižaines
penkiakampis turi 5 įstrižaines
šešiakampis turi 9 įstrižaines
Aštuonkampis turi 20 įstrižainių
12 kampų yra 54 įstrižainės
24 kampų įstrižainės yra 252

Daugiakampio su viršūnių skaičiumi įstrižainių skaičius n lengva apskaičiuoti tik tuo atveju, kai kiekvienoje daugiakampio viršūnėje susilieja tiek pat briaunų k. Tada galite naudoti formulę:

N=n· (n – k – 1)/2,

kuris suteikia bendrą erdvinių ir veido įstrižainių skaičių. Iš čia mes galime tai rasti

tetraedras (n=4, k=3) turi 0 įstrižainių
oktaedras (n = 6, k = 4) turi 3 įstrižaines (visas erdvines)
kubas (n = 8, k = 3) turi 16 įstrižainių (12 veido ir 4 erdvinių)
ikosaedras (n = 12, k = 5) turi 36 įstrižaines (visas erdvines)
dodekaedras (n = 20, k = 3) turi 160 įstrižainių (25 įstrižainės ir 135 erdvinės)

Jei skirtingose daugiakampio viršūnėse susilieja skirtingas briaunų skaičius, skaičiavimas tampa pastebimai sudėtingesnis ir turi būti atliekamas individualiai kiekvienu atveju.

Formos su lygiomis įstrižainėmis

ru.wikipedia.org – Vikipedija: įstrižainė
dic.academic.ru - iliustracija apie skirtumą tarp daugiakampio veido ir erdvinių įstrižainių

Kur akcentas žodžiuose: tortai, tortai, tortas
Tortas, torta, pyragas (itališkai torta) - saldus tešlos pyragas, vyras. gentis; daugiskaita – pyragaičiai. Visais atvejais tiek vienaskaitos, tiek daugiskaita akcentas šiame žodyje niekur nejuda, visada ant pirmo O: pjausk man torto gabalėlį, šiam pyragui kažko trūksta, bėk į parduotuvę pyrago, ši kepyklėlė turi viską

Kokie yra sakiniai su vienu pagrindiniu nariu – subjektu?
Viskas rusiškai paprastus sakinius iš prigimties gramatinis pagrindas skirstomi į du tipus: dviejų dalių, vienos dalies. 1. Dviejų dalių sakiniai yra sakiniai, kuriuose yra ir subjektas, ir tarinys: Aukso giraitė atkalbėjo beržus linksma kalba. 2. Vienos dalies sakiniai yra sakiniai, kuriuose yra tik

Ką daryti, jei vaikas peršalo
Kodėl vaikui reikia daug vaikščioti? Grynas oras reikalingas tinkamas veikimas visos gyvybiškai svarbios organizmo sistemos, įskaitant smegenis, o tai ypač svarbu vaiko vystymuisi. Grynas oras išvalo plaučius nuo dulkių ir alergenų, todėl pagerėja nosies gleivinės ir viršutinės dalies funkcionavimas. kvėpavimo takai. Papildomos energijos sąnaudos einant

Kaip tinkamai užtepti nagų pagrindą
Nagų dildžių rūšys. Kaip pasirinkti nagų dildę. Kad nagai atrodytų sveiki ir neskiltų, labai svarbu pasirinkti tinkamą dildę. Priklausomai nuo nagų struktūros, turite pasirinkti nagų dildę. Geležinės nagų dildės nerekomenduojamos. Pats nagų dildės pagrindas turi būti guminis arba kartonas. Jei jūsų nagai tvirti, galite naudoti smėlio ar safyro tipo įrankį. Jei jūsų nagai trapūs,

Kur internete galite pateikti prašymą, skundą ar pasiūlymą Vidaus reikalų ministerijos Kirovo srities Valstybinei saugaus eismo inspekcijai
Prašymą, skundą ar pasiūlymą Rusijos vidaus reikalų ministerijos Valstybinei eismo inspekcijai galite pateikti oficialios svetainės gibdd.ru skiltyje Apeliacijų priėmimas. Pateikti prašymą, skundą ar pasiūlymą steigiamųjų subjektų Valstybinei eismo inspekcijai Rusijos Federacija galima rasti oficialiose šių skyrių svetainėse. 01 Valstybinės saugaus eismo inspekcijos prie Adigėjos Respublikos vidaus reikalų ministerijos departamentas 02 Valstybinės saugaus eismo inspekcijos departamentas

Kokių rūšių koldūnai yra ir kaip juos virti
Klasikiniai koldūnai Malta jautiena - 350 g kiauliena - 150 g svogūnas - 1 vnt. didelės (arba 2 vidutinės) grietinėlės - 50 g vandens - 50 g druskos, pipirų Padarykite faršą, suberkite tarkuotus svogūnus, grietinėlę, druską, pipirus ir, įpylę vandens, gerai išplakite visą faršą. Gamybos t

Kas yra kortelė
Kortelė – kilnojamasis diskas arba žiedas, pagamintas iš nemagnetinės medžiagos magnetinis kompasas su padalomis tolygiai pritaikytais aplink perimetrą. Kitaip tariant, kortelė yra skalė, kuri sukasi nejudančio žymeklio atžvilgiu. Besisukantis skalės kompasas daugiausia naudojamas jūrų ir upės laivynas. Sausumoje dažniausiai naudojamas kitoks dizainas

Kur rasti 2008 metų kalendorių
Žemiau pateikiamos nuorodos į svetaines su 2008 m. kalendoriais: oboi2008.easytask.biz – 2008 m. kalendorius. Nuotraukų tapetai darbalaukyje. Meninės fotografijos su uždengtu kalendoriumi, suformatuotas 1024×768 ir 1280×1024 dydžiais darena.ru – paprasčiausias

Kas yra Da Hong Pao
Da Hong Pao - „Didysis raudonas chalatas“, uola kinietiška arbata, kuris gaminamas Fudzian provincijos šiaurės vakaruose, Wuyi kalnuose. Pagal džiovinto lapelio spalvą arbata yra rusva su bordo ir žali atspalviai, sodraus, saldaus skonio. Vėliau verdant arbatos skonis, spalva ir aromatas pasikeičia: iš pradžių

Kaip išsirinkti mandarinus
Šie saulėti, džiaugsmingi vaisiai pasirodo turguose ir parduotuvėse su vėlyvą rudenį ir nešiotis su jais gera nuotaika, žvalumo, vitaminų užtaisas, o svarbiausia – šventės jausmas. Mandarinai nuo seno buvo stipriai siejami su žiemos šventėmis, Naujaisiais metais ir Kalėdomis. Šviežių vaisių aromatas kartu su eglutės ar pušies letenų kvapu prisotina namus šventės ir komforto jausmu.

Daugiakampiai ne tik užima svarbią vietą geometrijoje, bet ir aptinkami kasdienybė kiekvienas žmogus. Jau nekalbant apie dirbtinai sukurtus namų apyvokos daiktus įvairių daugiakampių pavidalu, pradedant nuo degtukų dėžutė ir baigiant architektūriniais elementais, gamtoje taip pat aptinkami kristalai kubo (druska), prizmės (kristalo), piramidės (scheelito), oktaedro (deimanto) pavidalu.

Daugiakampio samprata, daugiakampių rūšys geometrijoje

Geometrija kaip mokslas apima stereometrijos skyrių, kuriame tiriamos charakteristikos ir savybės tūriniai kūnai, kurio šonai yra trimatė erdvė sudarytos ribotų plokštumų (veidų), vadinamos „daugiabriauniais“. Yra dešimtys daugiakampių tipų, kurie skiriasi veidų skaičiumi ir forma.

Nepaisant to, visi daugiakampiai turi bendrų savybių:

Visi jie turi 3 vientisus komponentus: veidą (daugiakampio paviršių), viršūnę (kampai suformuoti veidų sandūroje), briauną (figūrų kraštinė arba atkarpa, suformuota dviejų paviršių sandūroje ).
Kiekvienas daugiakampio kraštas jungia du ir tik du paviršius, esančius greta vienas kito.
Išgaubtumas reiškia, kad kūnas yra visiškai išsidėstęs tik vienoje plokštumos pusėje, kurioje guli vienas iš veidų. Taisyklė taikoma visiems daugiakampio paviršiams. Stereometrijoje tokios geometrinės figūros vadinamos išgaubtomis daugiakampėmis. Išimtis yra žvaigždiniai daugiakampiai, kurie yra taisyklingųjų daugiasluoksnių dariniai. geometriniai kūnai.

Daugiakampius galima suskirstyti į:

Išgaubtų daugiakampių tipai, susidedantys iš šių klasių: įprastiniai arba klasikiniai (prizmė, piramidė, gretasienis), taisyklingi (dar vadinami platoniniais kietaisiais kūnais), pusiau taisyklingieji (kitas pavadinimas – Archimedo kietieji kūnai).
Neišgaubtas daugiakampis (žvaigždė).

Prizmė ir jos savybės

Stereometrija kaip geometrijos šaka tiria trimačių figūrų savybes, daugiakampių tipus (tarp jų ir prizmės). Prizmė yra geometrinis kūnas, kuris būtinai turi du visiškai identiškus paviršius (jie taip pat vadinami pagrindais), esančius lygiagrečiose plokštumose, ir n-ąjį skaičių šoninių paviršių lygiagretainių pavidalu. Savo ruožtu prizmė taip pat turi keletą veislių, įskaitant tokius daugiakampio tipus kaip:

Lygiagretainis - susidaro, jei pagrindas yra lygiagretainis - daugiakampis su 2 poromis lygių priešingi kampai ir dvi poros kongruentų priešingos pusės.
turi statmenas pagrindui briaunas.
būdingas netiesioginių kampų (išskyrus 90) buvimas tarp kraštų ir pagrindo.
Taisyklingai prizmei būdingi lygių šoninių paviršių formos pagrindai.

Pagrindinės prizmės savybės:

Sutampančios bazės.
Visos prizmės briaunos yra lygios ir lygiagrečios viena kitai.
Visi šoniniai paviršiai yra lygiagretainio formos.

Piramidė

Piramidė yra geometrinis kūnas, susidedantis iš vieno pagrindo ir n-ojo skaičiaus trikampių paviršių, jungiančių viename taške – viršūnėje. Reikėtų pažymėti, kad jei piramidės šoniniai paviršiai būtinai pavaizduoti trikampiais, tada prie pagrindo gali būti trikampis daugiakampis, keturkampis, penkiakampis ir tt ad begalybės. Šiuo atveju piramidės pavadinimas atitiks daugiakampį prie pagrindo. Pavyzdžiui, jei piramidės pagrinde yra trikampis - tai keturkampis ir pan.

Piramidės yra kūgio formos daugiakampiai. Šios grupės daugiabriauniai tipai, be aukščiau išvardytų, taip pat apima šiuos atstovus:

turi taisyklingą daugiakampį prie pagrindo, o jo aukštis projektuojamas į pagrinde įbrėžto arba aplink jį apibrėžiamo apskritimo centrą.
Stačiakampė piramidė susidaro, kai viena iš šoninių briaunų stačiu kampu susikerta su pagrindu. Šiuo atveju šią briauną galima pavadinti ir piramidės aukščiu.

Piramidės savybės:

Tuo atveju, jei viskas šoniniai šonkauliai Piramidės yra kongruentinės (to paties aukščio), tada jos visos susikerta su pagrindu tuo pačiu kampu, o aplink pagrindą galima nubrėžti apskritimą, kurio centras sutampa su piramidės viršūnės projekcija.
Jei piramidės pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, tada visos šoninės briaunos yra lygiagrečios, o paviršiai yra lygiašoniai trikampiai.

Taisyklingasis daugiakampis: daugiakampių rūšys ir savybės

Stereometrijoje ypatinga vieta užima geometrinius kūnus su absoliučiai vienodais paviršiais, kurių viršūnėse yra sujungtas tiek pat briaunų. Šie kūnai vadinami platoniškomis kietosiomis medžiagomis arba taisyklingaisiais daugiakampiais. Yra tik penki daugiakampiai, turintys šias savybes:

Tetraedras.
Šešiaedras.
oktaedras.
Dodekaedras.
Ikozaedras.

Įprastos daugiakampės savo vardą skolingos senovės graikų filosofui Platonui, kuris šiuos geometrinius kūnus aprašė savo darbuose ir susiejo juos su gamtos elementais: žeme, vandeniu, ugnimi, oru. Penktoji figūra buvo apdovanota panašumu į Visatos struktūrą. Jo nuomone, natūralių elementų atomai yra suformuoti kaip taisyklingi daugiakampiai. Dėl savo žaviausios savybės – simetrijos, šie geometriniai kūnai labai domino ne tik senovės matematikus ir filosofus, bet ir visų laikų architektus, menininkus ir skulptorius. Tik 5 absoliučią simetriją turinčių daugiasluoksnių tipų buvimas buvo laikomas esminiu radiniu, jie netgi buvo siejami su dieviškuoju principu.

Šešiaedras ir jo savybės

Šešiakampio pavidalu Platono įpėdiniai padarė panašumą su žemės atomų struktūra. Žinoma, šiuo metu ši hipotezė yra visiškai paneigta, tačiau tai netrukdo figūroms patraukti protus šiais laikais. garsios figūros jos estetika.

Geometrijoje šešiakampis, taip pat žinomas kaip kubas, laikomas ypatingu gretasienio, kuris, savo ruožtu, yra prizmės tipas, atvejis. Atitinkamai, kubo savybės yra susijusios viena su kita, vienintelis skirtumas yra tas, kad visi kubo veidai ir kampai yra lygūs vienas kitam. Iš to išplaukia šios savybės:

Visos kubo briaunos yra lygiagrečios ir yra lygiagrečiose plokštumose viena kitos atžvilgiu.
Visi veidai yra sutampantys kvadratai (jų kube yra 6), bet kurį iš jų galima paimti kaip pagrindą.
Visi tarpederiniai kampai lygūs 90.
Kiekviena viršūnė turi vienodą briaunų skaičių, būtent 3.
Kubas turi 9, kurie visi susikerta šešiakampio įstrižainių susikirtimo taške, vadinamame simetrijos centru.

Tetraedras

Tetraedras yra tetraedras, turintis lygius trikampių formos paviršius, kurių kiekviena viršūnė yra trijų paviršių sujungimo taškas.

Taisyklingo tetraedro savybės:

Visi tetraedro paviršiai – tai reiškia, kad visi tetraedro paviršiai yra sutampa.
Kadangi bazę vaizduoja teisinga geometrinė figūra, tai yra, turi lygios pusės, tada tetraedro paviršiai susilieja tuo pačiu kampu, tai yra, visi kampai yra lygūs.
Plokštumos kampų suma kiekvienoje viršūnėje yra 180, nes visi kampai yra lygūs, tada bet kuris taisyklingo tetraedro kampas yra 60.
Kiekviena viršūnė projektuojama į priešingo (ortocentrinio) veido aukščių susikirtimo tašką.

Oktaedras ir jo savybės

Apibūdinant taisyklingųjų daugiakampių tipus, negalima nepažymėti tokio objekto kaip oktaedras, kurį vizualiai galima pavaizduoti kaip dvi keturkampes taisyklingas piramides, sulipusias prie pagrindų.

Oktaedro savybės:

Pats geometrinio kūno pavadinimas rodo jo veidų skaičių. Oktaedras susideda iš 8 kongruentų lygiakraščiai trikampiai, kurios kiekvienoje viršūnėje susilieja vienodas veidų skaičius, būtent 4.
Kadangi visi oktaedro paviršiai yra lygūs, jo sąsajos kampai taip pat yra lygūs, kiekvienas iš jų lygus 60, taigi bet kurios viršūnės plokštumos kampų suma yra 240.

Dodekaedras

Jei įsivaizduosime, kad visi geometrinio kūno paviršiai yra taisyklingas penkiakampis, tai gauname dodekaedrą – 12 daugiakampių figūrą.

Dodekaedro savybės:

Kiekvienoje viršūnėje susikerta trys veidai.
Visi paviršiai yra vienodi ir vienodo krašto ilgio bei vienodo ploto.
Dodekaedras turi 15 ašių ir simetrijos plokštumų, bet kuri iš jų eina per veido viršūnę ir priešingos jam briaunos vidurį.

Ikozaedras

Ne mažiau įdomi nei dodekaedras, ikosaedro figūra yra trimatis geometrinis kūnas, turintis 20 vienodų veidų. Tarp įprasto 20-hedrono savybių galima pastebėti:

Visi ikosaedro paviršiai yra lygiašoniai trikampiai.
Kiekvienoje daugiakampio viršūnėje susitinka penki veidai ir suma gretimų kampų viršūnės yra 300.
Ikozaedras, kaip ir dodekaedras, turi 15 ašių ir simetrijos plokštumų, einančių per priešingų veidų vidurio taškus.

Pusiau taisyklingi daugiakampiai

Be platoniškų kietųjų kūnų, išgaubtų daugiasluoksnių kūnų grupei priklauso ir Archimedo kietieji kūnai, kurie yra nupjauti taisyklingi daugiakampiai. Šios grupės daugiasluoksnių tipų savybės yra tokios:

Geometriniai kūnai turi poromis vienodus kelių tipų paviršius, pvz. nupjautas tetraedras kaip įprastas tetraedras turi 8 paviršius, bet Archimedo kieto kūno atveju bus 4 veidai trikampio formos ir 4 - šešiakampis.
Visi vienos viršūnės kampai yra kongruentiški.

Žvaigždžių daugiakampis

Netūrinių geometrinių kūnų tipų atstovai yra žvaigždiniai daugiakampiai, kurių veidai susikerta vienas su kitu. Jie gali būti suformuoti sujungus du reguliarius trimačiai kūnai arba dėl jų kraštų tęsimosi.

Taigi, tokie žvaigždiniai daugiasluoksniai žinomi kaip: oktaedro, dodekaedro, ikosaedro, kuboktaedro, ikozidodekaedro žvaigždinės formos.