Слайд 3

Хорнер Уильямс Жорж (1786-22.9.1837) - Английн математикч. Бристол хотод төрсөн. Тэр тэнд сурч, ажиллаж, дараа нь Батын сургуульд сурч байсан. Алгебрийн үндсэн ажил. 1819 онд олон гишүүнтийн бодит язгуурыг ойролцоогоор тооцоолох аргыг хэвлүүлсэн бөгөөд үүнийг одоо Руффини-Хорнерын арга гэж нэрлэдэг (энэ аргыг 13-р зуунд Хятадууд мэддэг байсан. Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнт x-a хуваах схемийг нэрлэсэн). Хорнерын дараа.

Слайд 4

ХОРНЕР СХЕМ

Олон гишүүнтийг хуваах арга n-р зэрэгшугаман бином дээр - a, бүрэн бус хэсгийн коэффициент ба үлдэгдлийн коэффициентүүд нь хуваагдах олон гишүүнтийн коэффициентүүдтэй холбоотой бөгөөд дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Слайд 5

Хорнерын схемийн дагуу тооцооллыг хүснэгтэд үзүүлэв.

Жишээ 1. Хуваах Хэсэгчилсэн хэсэг нь x3-x2+3x - 13, үлдэгдэл нь 42=f(-3).

Слайд 6

Энэ аргын гол давуу тал нь бичлэгийн нягтрал, чадвар юм хурдан хуваагдалолон гишүүнээс хоёр гишүүн. Үнэн хэрэгтээ Хорнерын схем нь бүлэглэх аргыг бүртгэх өөр нэг хэлбэр боловч сүүлчийнхээс ялгаатай нь энэ нь бүрэн харааны бус юм. Хариултыг (факторжуулалт) эндээс өөрөө олж авдаг бөгөөд бид үүнийг олж авах үйл явцыг олж харахгүй байна. Бид Хорнерын схемийг нарийн нотлох ажилд оролцохгүй, зөвхөн энэ нь хэрхэн ажилладагийг харуулах болно.

Слайд 7

Жишээ 2.

P(x)=x4-6x3+7x-392 олон гишүүнт нь x-7-д хуваагддаг болохыг баталж, хуваагдлын хэсгийг олъё. Шийдэл. Хорнерын схемийг ашиглан бид P(7)-г олно: Эндээс бид P(7)=0-г олж авна, өөрөөр хэлбэл. олон гишүүнтийг х-7-д хуваахад үлдэгдэл тэгтэй тэнцүүИймээс P(x) олон гишүүнт нь (х-7)-ийн үржвэр мөн. Түүнээс гадна хүснэгтийн хоёр дахь эгнээний тоонууд нь (х-7)-д хуваагдсан P(x)-ын коэффициент юм. тиймээс P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).

Слайд 8

Олон гишүүнт x3 – 5x2 – 2x + 16-г үржүүлээрэй.

Энэ олон гишүүнт бүхэл тоон коэффициенттэй. Хэрэв бүхэл тоо нь энэ олон гишүүнтийн язгуур бол энэ нь 16-ын хуваагч болно. Тиймээс хэрэв өгөгдсөн олон гишүүнт бүхэл язгууртай бол эдгээр нь зөвхөн ±1 тоо байж болно; ±2; ±4; ±8; ±16. Шууд баталгаажуулснаар бид 2-ын тоо нь энэ олон гишүүнтийн үндэс, өөрөөр хэлбэл x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), Q(x) нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт гэдэгт итгэлтэй байна.

Слайд 9

Үүссэн 1, −3, −8 тоонууд нь олон гишүүнтийн илтгэлцүүрүүд бөгөөд анхны олон гишүүнтийг х – 2-т хуваасан үр дүн нь: 1 x2 + (–3)x + ( гэсэн үг юм. –8) = x2 – 3x – 8. Хуваалтын үр дүнд үүссэн олон гишүүнтийн зэрэг нь анхныхаас ямагт 1-ээр бага байна. Тэгэхээр: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

гэх мэт. ерөнхий боловсролын шинж чанартай бөгөөд байна их үнэ цэнэБҮХЭЛДСЭН сургалтанд хамрагдана дээд математик. Өнөөдөр бид "сургуулийн" тэгшитгэлийг давтах болно, гэхдээ зөвхөн "сургуулийн" тэгшитгэлийг биш, харин хаа сайгүй байдаг. янз бүрийн даалгаварвышмат. Ердийнх шигээ түүхийг хэрэглээний аргаар ярих болно, өөрөөр хэлбэл. Би тодорхойлолт, ангилалд анхаарлаа хандуулахгүй, харин тантай яг таг хуваалцах болно хувийн туршлагашийдлүүд. Мэдээлэл нь анхлан суралцагчдад зориулагдсан боловч илүү ахисан түвшний уншигчид өөрсдөдөө их зүйлийг олох болно. сонирхолтой мөчүүд. Тэгээд мэдээж байх болно шинэ материал, цааш явах ахлах сургууль.

Тэгэхээр тэгшитгэл .... Энэ үгийг олон хүн чичирсээр санаж байна. Үндэстэй "боловсронгуй" тэгшитгэл гэж юу вэ... ... тэдгээрийг март! Учир нь та энэ зүйлийн хамгийн хор хөнөөлгүй "төлөөлөгчид" -тэй уулзах болно. Эсвэл уйтгартай тригонометрийн тэгшитгэлолон арван шийдлийн аргуудтай. Үнэнийг хэлэхэд би тэдэнд үнэхээр дургүй байсан ... Бүү сандар! - тэгвэл ихэвчлэн 1-2 алхамаар тодорхой шийдэл бүхий "данделионууд" таныг хүлээж байна. Хэдийгээр "burdock" наалддаг ч гэсэн та энд бодитой хандах хэрэгтэй.

Хачирхалтай нь, дээд математикийн хувьд маш энгийн тэгшитгэлтэй харьцах нь илүү түгээмэл байдаг шугамантэгшитгэл

Энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь "x" (үндэс)-ийн ИЙМ утгыг олох бөгөөд үүнийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргана гэсэн үг юм. Тэмдгийг өөрчилснөөр "гурвыг" баруун тийш шидье.

"хоёр"-ыг дахин тохируулна уу баруун тал (эсвэл ижил зүйл - хоёр талыг үржүүлнэ) :

Шалгахын тулд хожсон цомоо сольж үзье анхны тэгшитгэл :

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь олсон утга нь үнэхээр үндэс мөн гэсэн үг юм өгөгдсөн тэгшитгэл. Эсвэл тэдний хэлснээр энэ тэгшитгэлийг хангадаг.

Үндэсийг мөн хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг анхаарна уу аравтын:
Мөн энэ муу хэв маягийг баримтлахгүй байхыг хичээгээрэй! Би шалтгааныг нэгээс олон удаа давтсан, ялангуяа эхний хичээл дээр дээд алгебр.

Дашрамд хэлэхэд тэгшитгэлийг "араб хэлээр" шийдэж болно.

Хамгийн сонирхолтой нь юу вэ - энэ оруулгабүрэн хууль ёсны! Гэхдээ хэрэв та багш биш бол үүнийг хийхгүй байх нь дээр, учир нь оригинал нь энд шийтгэгддэг =)

Тэгээд одоо бага зэрэг

график шийдлийн арга

Тэгшитгэл нь хэлбэртэй, үндэс нь байна "X" координат уулзвар цэгүүд шугаман функцийн графикхуваарьтай шугаман функц (x тэнхлэг):

Жишээ нь маш энгийн тул энд задлан шинжлэх зүйл байхгүй, гэхдээ үүнээс өөр нэг гэнэтийн нюансыг "шахаж" болно: ижил тэгшитгэлийг хэлбэрээр танилцуулж, функцүүдийн графикийг байгуулъя.

Үүний зэрэгцээ, Энэ хоёр ойлголтыг битгий хольж хутгаарай: тэгшитгэл нь тэгшитгэл бөгөөд функц- энэ бол функц! Функцүүд зөвхөн туслахтэгшитгэлийн язгуурыг ол. Үүнээс хоёр, гурав, дөрөв, бүр хязгааргүй олон байж болно. Энэ утгаараа хамгийн ойрын жишээ бол олны танил юм квадрат тэгшитгэл, тусдаа догол мөрийг хүлээн авсан шийдлийн алгоритм "халуун" сургуулийн томъёо. Мөн энэ нь санамсаргүй биш юм! Хэрэв та квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадвал мэдэж байгаа бол Пифагорын теорем, тэгвэл "дээд математикийн тал нь таны халаасанд байна" гэж хэлж болно =) Мэдээжийн хэрэг хэтрүүлсэн, гэхдээ үнэнээс тийм ч хол биш!

Тиймээс залхуу байж, квадрат тэгшитгэлийг ашиглан шийдье стандарт алгоритм:

, энэ нь тэгшитгэл нь хоёр өөр байна гэсэн үг юм хүчинтэйүндэс:

Олдсон утгууд хоёулаа энэ тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Хэрэв та шийдлийн алгоритмаа гэнэт мартаж, туслах хэрэгсэл байхгүй бол яах вэ? Ийм нөхцөл байдал, жишээлбэл, шалгалт эсвэл шалгалтын үеэр үүсч болно. Бид график аргыг ашигладаг! Мөн хоёр арга бий: та чадна цэгээр барихпарабол , ингэснээр тэнхлэгтэй хаана огтлолцож байгааг олж мэднэ (хэрэв огт гаталж байвал). Гэхдээ илүү зальтай зүйл хийх нь дээр: тэгшитгэлийг хэлбэрээр төсөөлж, илүү график зур. энгийн функцууд- Тэгээд "X" координатТэдний огтлолцох цэгүүд тод харагдаж байна!


Хэрэв шулуун шугам параболд хүрч байгаа бол тэгшитгэл нь хоёр давхцсан (олон) үндэстэй байна. Хэрэв шулуун шугам нь параболыг огтлолцоогүй бол жинхэнэ үндэс байхгүй болно.

Үүнийг хийхийн тулд мэдээж бүтээн байгуулалт хийх чадвартай байх хэрэгтэй энгийн функцүүдийн графикууд, гэхдээ нөгөө талаас сургуулийн хүүхэд хүртэл эдгээр чадварыг хийж чадна.

Дахин хэлэхэд тэгшитгэл бол тэгшитгэл, функцууд нь функцууд юм зөвхөн тусалсантэгшитгэлийг шийд!

Дашрамд хэлэхэд, бас нэг зүйлийг санах нь зүйтэй болов уу. Хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлбэл түүний үндэс өөрчлөгдөхгүй..

Жишээлбэл, тэгшитгэл ижил үндэстэй. Энгийн "баталгаа" болгон би тогтмолыг хаалтнаас гаргана:
мөн би үүнийг өвдөлтгүй арилгах болно (Би хоёр хэсгийг "хасах хоёр" гэж хуваана):

ГЭХДЭЭ!Хэрэв бид функцийг авч үзвэл , тэгвэл та энд тогтмол байдлаас салж чадахгүй! Зөвхөн үржүүлэгчийг хаалтнаас гаргахыг зөвшөөрнө. .

Олон хүмүүс график шийдлийн аргыг дутуу үнэлж, үүнийг "үнэгүй" гэж үздэг бөгөөд зарим нь энэ боломжийг бүрмөсөн мартдаг. График зурах нь заримдаа нөхцөл байдлыг авардаг тул энэ нь үндсэндээ буруу юм!

Өөр нэг жишээ: та хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсийг санахгүй байна гэж бодъё: . Ерөнхий томъёодотор байна сургуулийн сурах бичиг, дээрх бүх лавлах номонд анхан шатны математик, гэхдээ тэдгээр нь танд боломжгүй. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш чухал ("хоёр"). Гарах гарц байна! - функцүүдийн графикийг бүтээх:


Үүний дараа бид тэдгээрийн огтлолцлын цэгүүдийн "X" координатыг тайвнаар бичнэ.

Хязгааргүй олон үндэс байдаг бөгөөд алгебрт тэдгээрийн хураангуй тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрдөг:
, Хаана ( – бүхэл тоонуудын багц) .

"Явахгүйгээр" нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргын талаар хэдэн үг хэлье. Энэ зарчим нь адилхан. Жишээлбэл, тэгш бус байдлын шийдэл нь дурын "x" юм, учир нь Синусоид нь шулуун шугамын доор бараг бүрэн байрладаг. Тэгш бус байдлын шийдэл нь синусоидын хэсгүүд шулуун шугамаас яг дээгүүр байрлах интервалуудын багц юм. (х тэнхлэг):

эсвэл товчхондоо:

Гэхдээ тэгш бус байдлын олон шийдэл энд байна: хоосон, учир нь синусоидын ямар ч цэг шулуун шугамаас дээгүүр оршдоггүй.

Ойлгохгүй байгаа зүйл байна уу? тухай хичээлүүдийг яаралтай судлаарай багцТэгээд функцын графикууд!

Дулааццгаая:

Даалгавар 1

Дараах тригонометрийн тэгшитгэлийг графикаар шийд.

Хичээлийн төгсгөлд хариултууд

Таны харж байгаагаар суралцах нарийн шинжлэх ухаанТомьёо, лавлах номыг хавчих шаардлагагүй! Түүнээс гадна энэ нь үндсэндээ алдаатай арга юм.

Хичээлийн эхэнд би таныг тайвшруулж хэлсэнчлэн дээд математикийн стандарт курст тригонометрийн нийлмэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш ховор байдаг. Бүх нарийн төвөгтэй байдал нь дүрмээр бол тэгшитгэлээр төгсдөг бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь хамгийн энгийн тэгшитгэлээс гаралтай хоёр бүлэг үндэс юм. . Сүүлчийн асуудлыг шийдэх гэж бүү санаа зов - номноос хайж эсвэл интернетээс олоорой =)

График шийдлийн арга нь өчүүхэн жижиг тохиолдлуудад тусалж чадна. Жишээлбэл, дараах "ragtag" тэгшитгэлийг авч үзье.

Үүнийг шийдэх хэтийн төлөв нь ... огтхон ч харагдахгүй байна, гэхдээ та тэгшитгэлийг хэлбэрээр төсөөлж, бүтээх хэрэгтэй. функцын графикуудтэгээд бүх зүйл гайхалтай энгийн болж хувирах болно. Өгүүллийн дундуур зураг байна хязгааргүй жижиг функцууд (дараагийн таб дээр нээгдэнэ).

Үүнтэй адил график аргатэгшитгэл нь аль хэдийн хоёр үндэстэй болохыг олж мэдэх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн нэг нь тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь бололтой, үндэслэлгүйсегментэд хамаарах ба . Өгөгдсөн үндэсойролцоогоор тооцоолж болно, жишээ нь, шүргэгч арга. Дашрамд хэлэхэд, зарим асуудалд үндсийг нь олох шаардлагагүй, харин олж мэдээрэй тэд ерөөсөө байдаг уу?. Энд ч гэсэн зураг нь тусалж чадна - хэрвээ графикууд огтлолцохгүй бол үндэс байхгүй болно.

Бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн рационал үндэс.
Хорнерын схем

Одоо би та бүхнийг Дундад зууны үе рүү харцаа хандуулж, сонгодог алгебрийн өвөрмөц уур амьсгалыг мэдрэхийг урьж байна. Материалыг илүү сайн ойлгохын тулд бага зэрэг уншихыг зөвлөж байна нийлмэл тоо.

Тэд бол хамгийн шилдэг нь. Олон гишүүнт.

Бидний сонирхож буй объект нь хэлбэрийн хамгийн түгээмэл олон гишүүнтүүд байх болно бүхэлд нькоэффициентүүд Натурал тоодуудсан олон гишүүнтийн зэрэг, тоо – хамгийн дээд зэргийн коэффициент (эсвэл хамгийн өндөр коэффициент), мөн коэффициент нь байна чөлөөт гишүүн.

Би энэ олон гишүүнтийг товчоор тэмдэглэнэ.

Олон гишүүнтийн үндэстэгшитгэлийн язгуурыг дууд

Би төмөр логикт дуртай =)

Жишээлбэл, нийтлэлийн эхэнд очно уу:

1 ба 2-р зэрэглэлийн олон гишүүнтийн үндсийг олоход ямар ч асуудал байхгүй, гэхдээ та үүнийг нэмэгдүүлэх тусам энэ даалгавар улам бүр хэцүү болно. Хэдийгээр нөгөө талаас бүх зүйл илүү сонирхолтой юм! Хичээлийн хоёр дахь хэсгийг яг ийм зүйлд зориулах болно.

Нэгдүгээрт, онолын дэлгэцийн хагас нь:

1) Үр дүнгийн дагуу алгебрийн үндсэн теорем, зэрэгтэй олон гишүүнт яг байна цогцолборүндэс. Зарим үндэс (эсвэл бүр бүгд) нь ялангуяа байж болно хүчинтэй. Түүнээс гадна жинхэнэ үндэс дунд ижил (олон) үндэс байж болно (хамгийн багадаа хоёр, дээд тал нь).

Хэрэв олон гишүүнт ямар нэг нийлмэл тоо нь үндэс бол коньюгаттүүний тоо нь мөн энэ олон гишүүнтийн үндэс байх ёстой (холбоо нарийн төвөгтэй үндэсшиг харагдах).

Хамгийн энгийн жишээнь 8-д анх гарч ирсэн квадрат тэгшитгэл юм (дуртай)анги, бид эцэст нь уг сэдвийг "дуусгасан" нийлмэл тоо. Би танд сануулъя: квадрат тэгшитгэл нь хоёр өөр бодит язгууртай, эсвэл олон үндэстэй, эсвэл нийлмэл нийлмэл язгууртай.

2) -аас Безутын теоремХэрэв тоо нь тэгшитгэлийн язгуур бол харгалзах олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ангилж болно.
, энд зэрэгтэй олон гишүүнт байна .

Дахин хэлэхэд бидний хуучин жишээ: оноос хойш тэгшитгэлийн язгуур, тэгвэл . Үүний дараа алдартай "сургуулийн" өргөтгөлийг олж авах нь тийм ч хэцүү биш юм.

Безутын теоремын үр дагавар нь маш их практик ач холбогдолтой: хэрэв бид 3-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол бид үүнийг хэлбэрээр илэрхийлж болно. ба квадрат тэгшитгэлээс үлдсэн үндсийг олоход хялбар байдаг. Хэрэв бид 4-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол зүүн талыг бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлэх боломжтой.

Мөн энд хоёр асуулт байна:

Асуулт нэг. Энэ үндсийг хэрхэн олох вэ? Юуны өмнө түүний мөн чанарыг тодорхойлъё: дээд математикийн олон асуудалд үүнийг олох шаардлагатай байна оновчтой, ялангуяа бүхэлд ньолон гишүүнтийн үндэс, үүнтэй холбогдуулан цаашид бид тэдгээрийг голчлон сонирхох болно.... ... тэд маш сайн, сэвсгэр тул та зүгээр л тэднийг олохыг хүсч байна! =)

Сонгох арга нь хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг авч үзье. Энд байгаа зүйл бол чөлөөт нэр томъёо юм - хэрэв тэгтэй тэнцүү байсан бол бүх зүйл сайхан болно - бид "X" тэмдгийг хаалтнаас гаргаж, үндэс нь өөрөө гадаргуу дээр "унадаг".

Гэхдээ бидэнд байгаа чөлөөт гишүүннь "гурав"-тай тэнцүү тул бид тэгшитгэлд орлуулж эхэлнэ өөр өөр тоо, "үндэс" гэж мэдэгдэв. Юуны өмнө, нэг утгыг орлуулах нь өөрийгөө санал болгож байна. Орлуулж үзье:

Хүлээн авсан буруутэгш байдал, ингэснээр нэгж "тохирохгүй". За, орлуулъя:

Хүлээн авсан үнэнтэгш байдал! Өөрөөр хэлбэл, утга нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм.

3-р зэргийн олон гишүүнтийн үндсийг олохын тулд байдаг аналитик арга (Кардано томъёо гэж нэрлэгддэг), гэхдээ одоо бид арай өөр даалгавар сонирхож байна.

- нь манай олон гишүүнтийн язгуур учир олон гишүүнт хэлбэрт дүрслэгдэж, үүсдэг Хоёр дахь асуулт: "дүү" яаж олох вэ?

Хамгийн энгийн алгебрийн санаанууд үүнийг хийхийн тулд бид -д хуваах хэрэгтэйг харуулж байна. Олон гишүүнтийг олон гишүүнт хэрхэн хуваах вэ? Үүнтэй адил сургуулийн аргахуваалцсан энгийн тоонууд- "багананд"! Энэ аргаХичээлийн эхний жишээн дээр би үүнийг нарийвчлан авч үзсэн Цогцолборын хязгаар, одоо бид өөр аргыг авч үзэх болно, үүнийг гэж нэрлэдэг Хорнерын схем.

Эхлээд бид "хамгийн өндөр" олон гишүүнт бичнэ хүн бүртэй , үүнд тэг коэффициентүүд орно:
, үүний дараа бид эдгээр коэффициентүүдийг (хатуу дарааллаар) хүснэгтийн дээд мөрөнд оруулна.

Бид зүүн талд үндсийг бичнэ:

Хэрэв "улаан" тоо байвал Хорнерын схем ч бас ажилладаг гэдгийг би даруй анхааруулах болно Үгүйолон гишүүнтийн үндэс юм. Гэсэн хэдий ч яарах хэрэггүй.

Дээрхээс бид тэргүүлэх коэффициентийг хасдаг.

Доод нүдийг дүүргэх үйл явц нь хатгамалыг зарим талаар санагдуулдаг бөгөөд "хасах нэг" нь дараагийн алхмуудыг нэвт шингээдэг нэг төрлийн "зүү" юм. Бид "зөөгдсөн" тоог (–1)-ээр үржүүлж, дээд нүднээс гарсан тоог бүтээгдэхүүнд нэмнэ.

Бид олсон утгыг "улаан зүү" -ээр үржүүлж, бүтээгдэхүүнд дараахь тэгшитгэлийн коэффициентийг нэмнэ.

Эцэст нь, үүссэн утгыг "зүү" ба дээд коэффициентээр дахин "боловсруулна".

Сүүлчийн нүдэн дэх тэг нь олон гишүүнт хуваагдаж байгааг хэлдэг ул мөргүй (байх ёстой шиг), тэлэлтийн коэффициентүүд хүснэгтийн доод мөрөөс шууд "арилгасан" бол:

Тиймээс бид тэгшитгэлээс ижил тэгшитгэл рүү шилжсэн бөгөөд үлдсэн хоёр үндэстэй бүх зүйл тодорхой болсон. (В энэ тохиолдолдБид хосолсон цогц үндэсийг авдаг).

Дашрамд хэлэхэд тэгшитгэлийг графикаар шийдэж болно: график "аянга" График нь х тэнхлэгийг огтолж байгааг харна уу () цэг дээр. Эсвэл ижил "зальтай" заль мэх - бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичиж, зурна анхан шатны графиктэдгээрийн огтлолцлын цэгийн "X" координатыг илрүүлнэ.

Дашрамд хэлэхэд, 3-р зэргийн олон гишүүнт функцийн график нь тэнхлэгийг дор хаяж нэг удаа огтолж байгаа бөгөөд энэ нь харгалзах тэгшитгэлтэй байна гэсэн үг юм. ядажнэг хүчинтэйүндэс. Энэ баримтсондгой зэрэгтэй олон гишүүнт функцэд хүчинтэй.

Энд би бас энд анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна чухал цэг нэр томьёотой холбоотой: олон гишүүнтТэгээд олон гишүүнт функц – энэ нь ижил зүйл биш юм! Гэхдээ практик дээр тэд ихэвчлэн "олон гишүүнтийн график" гэж ярьдаг бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хайхрамжгүй байдал юм.

Гэсэн хэдий ч Хорнерын схем рүү буцъя. Би саяхан дурьдсанчлан, энэ схем нь бусад тоонуудад ажилладаг, гэхдээ хэрэв тоо ҮгүйЭнэ нь тэгшитгэлийн үндэс бол бидний томъёонд тэг биш нэмэлт (үлдэгдэл) гарч ирнэ.

Хорнерын схемийн дагуу "амжилтгүй" утгыг "ажиллуулъя". Энэ тохиолдолд ижил хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой - зүүн талд шинэ "зүү" бичиж, тэргүүлэх коэффициентийг дээрээс нь хөдөлгө. (зүүн ногоон сум), тэгээд бид явлаа:

Шалгахын тулд хашилтыг нээж танилцуулъя ижил төстэй нэр томъёо:
, За.

Үлдэгдэл ("зургаан") нь олон гишүүнтийн яг ижил утгатай болохыг харахад хялбар байдаг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь юу вэ:
, бүр илүү сайхан - иймэрхүү:

Дээрх тооцооллуудаас харахад Хорнерын схем нь олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр тооцох төдийгүй үндсийг "соёл иргэншсэн" сонгох боломжийг олгодог гэдгийг ойлгоход хялбар юм. Тооцооллын алгоритмыг жижиг даалгавраар нэгтгэхийг би танд санал болгож байна.

Даалгавар 2

Хорнерын схемийг ашиглан ол бүх үндэстэгшитгэл болон харгалзах олон гишүүнт хүчин зүйл

Өөрөөр хэлбэл, энд та 1, –1, 2, –2, ... – гэсэн тоог сүүлийн баганад тэг үлдэгдэл “зурах” хүртэл дараалан шалгах хэрэгтэй. Энэ нь энэ шугамын "зүү" нь олон гишүүнтийн үндэс болно гэсэн үг юм

Тооцооллыг нэг хүснэгтэд хийх нь тохиромжтой. Нарийвчилсан шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Үндэс сонгох арга нь харьцангуй сайн байдаг энгийн тохиолдлууд, гэхдээ олон гишүүнтийн коэффициент ба/эсвэл зэрэг нь их байвал процесс удаан үргэлжилж магадгүй. Эсвэл ижил жагсаалтаас 1, –1, 2, –2 гэсэн утгууд байгаа бөгөөд авч үзэх нь утгагүй юм болов уу? Үүнээс гадна үндэс нь бутархай болж хувирах бөгөөд энэ нь шинжлэх ухааны үндэслэлгүй нудрахад хүргэдэг.

Аз болоход, "нэр дэвшигч" утгыг хайхыг эрс багасгах хоёр хүчирхэг теорем байдаг. оновчтой үндэс:

Теорем 1Ингээд авч үзье бууруулж боломгүйбутархай , хаана . Хэрэв тоо нь тэгшитгэлийн үндэс бол чөлөөт гишүүнийг хувааж, тэргүүлэх коэффициентийг хуваана.

Ялангуяа, хэрэв тэргүүлэх коэффициент нь бол энэ оновчтой үндэс нь бүхэл тоо болно:

Мөн бид теоремыг зөвхөн энэ амттай нарийн ширийн зүйлээр ашиглаж эхэлдэг.

Тэгшитгэл рүү буцъя. Түүний тэргүүлэх коэффициент нь , тэгвэл таамагласан рационал язгуур нь зөвхөн бүхэл тоо байж болох бөгөөд чөлөөт нэр томъёог эдгээр үндэст үлдэгдэлгүйгээр хуваах ёстой. Мөн "гурав" -ыг зөвхөн 1, -1, 3, -3 гэж хувааж болно. Өөрөөр хэлбэл, манайд ердөө 4 “үндсэн нэр дэвшигч” байна. Тэгээд дагуу Теорем 1, бусад рационал тоозарчмын хувьд энэ тэгшитгэлийн үндэс байж болохгүй.

Тэгшитгэлд арай илүү "өрсөлдөгчид" байна: чөлөөт нэр томъёо нь 1, –1, 2, – 2, 4, –4-т хуваагдана.

1, –1 тоонууд нь боломжит язгууруудын жагсаалтын "ердийн" тоо гэдгийг анхаарна уу (теоремын тодорхой үр дагавар)болон ихэнх нь хамгийн сайн сонголтдавуу эрх шалгах зорилгоор.

Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжье:

Асуудал 3

Шийдэл: тэргүүлэх коэффициент нь , учир нь таамагласан рационал язгуур нь зөвхөн бүхэл тоо байж болох бөгөөд тэдгээр нь заавал чөлөөт гишүүний хуваагч байх ёстой. "Хасах дөч" нь дараах хос тоонд хуваагдана.
– нийт 16 “нэр дэвшигч”.

Эндээс нэн даруй нэгэн сэтгэл татам бодол гарч ирнэ: бүх сөрөг эсвэл бүгдийг арилгах боломжтой юу эерэг үндэс? Зарим тохиолдолд боломжтой! Би хоёр тэмдгийг томъёолох болно:

1) Хэрэв БүгдХэрэв олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь сөрөг биш бол эерэг үндэстэй байж болохгүй. Харамсалтай нь энэ нь бидний тохиолдол биш юм (Одоо, хэрэв бидэнд тэгшитгэл өгсөн бол - тийм ээ, олон гишүүнтийн аль нэг утгыг орлуулах үед олон гишүүнтийн утга нь хатуу эерэг байдаг бөгөөд энэ нь бүх эерэг тоонууд гэсэн үг юм. (мөн үндэслэлгүй)тэгшитгэлийн үндэс байж болохгүй.

2) Хэрэв коэффициентүүд нь үед сондгой градуссөрөг биш бөгөөд бүх эрх мэдлийн хувьд (үнэгүй гишүүн орно)сөрөг байвал олон гишүүнт байж болохгүй сөрөг үндэс. Энэ бол бидний хэрэг! Жаахан ойроос харвал тэгшитгэлд ямар нэгэн сөрөг “x”-ийг орлуулахад та үүнийг харж болно зүүн талхатуу сөрөг байх болно, энэ нь гэсэн үг сөрөг үндэсалга болно

Ингээд судалгаа явуулахад 8 тоо үлдлээ.

Бид тэднийг Хорнерын схемийн дагуу байнга "цэнэглэдэг". Та сэтгэцийн тооцооллыг аль хэдийн эзэмшсэн гэж найдаж байна:

"Хоёр" -ыг туршиж үзэхэд биднийг аз хүлээж байв. Тиймээс авч үзэж буй тэгшитгэлийн үндэс, ба

Тэгшитгэлийг судлах л үлдлээ . Үүнийг ялгаварлан гадуурхах замаар хийхэд хялбар байдаг, гэхдээ би ижил схемийг ашиглан заагч тест хийх болно. Нэгдүгээрт, чөлөөт нэр томъёо нь 20-той тэнцэх бөгөөд энэ нь гэсэн үг юм Теорем 1 8 ба 40 тоо нь боломжит язгууруудын жагсаалтаас хасагдаж, судалгааны утгыг үлдээдэг (Нэг нь Хорнерын схемийн дагуу хасагдсан).

Бид гурвалсан тооны коэффициентийг дээд мөрөнд бичнэ шинэ ширээТэгээд Бид ижил "хоёр" -оор шалгаж эхэлдэг.. Яагаад? Үндэс нь үржвэр байж болох тул: - энэ тэгшитгэлд 10 байна ижил үндэс. Гэхдээ анхаарал сарниулахгүй байцгаая:

Энд мэдээжийн хэрэг үндэс нь оновчтой гэдгийг мэдсээр байж жаахан худлаа хэлсэн. Эцсийн эцэст, хэрэв тэдгээр нь үндэслэлгүй эсвэл төвөгтэй байсан бол би үлдсэн бүх тоог амжилтгүй шалгахтай тулгарах болно. Тиймээс практик дээр ялгаварлагчаар удирдуулах хэрэгтэй.

Хариулах: оновчтой үндэс: 2, 4, 5

Шинжилсэн асуудалд бид азтай байсан, учир нь: a) тэд шууд унасан сөрөг утгууд, ба б) бид үндсийг маш хурдан олсон (мөн онолын хувьд бид бүх жагсаалтыг шалгаж болно).

Гэвч бодит байдал дээр нөхцөл байдал хамаагүй муу байна. Би таныг "Гэдэг" нэртэй сонирхолтой тоглоом үзэхийг урьж байна. Сүүлчийн баатар»:

Асуудал 4

Тэгшитгэлийн рационал язгуурыг ол

Шийдэл: By Теорем 1таамаглалын тоологч оновчтой үндэснөхцөлийг хангасан байх ёстой (бид "арван хоёрыг элээр хуваадаг" гэж уншдаг), мөн хуваагч нь нөхцөлтэй тохирч байна. Үүний үндсэн дээр бид хоёр жагсаалтыг авна.

"list el":
болон "жагсаалт": (Аз болоход энд байгаа тоонууд нь байгалийн юм).

Одоо бүх боломжит язгууруудын жагсаалтыг гаргая. Эхлээд бид "el list" -ийг хуваана. Яг ийм тоо гарах нь туйлын тодорхой. Тохиромжтой болгохын тулд тэдгээрийг хүснэгтэд оруулъя:

Олон тооны фракцууд буурч, үр дүнд нь "баатрын жагсаалт" -д аль хэдийн орсон утгууд бий болсон. Бид зөвхөн "шинэхэн"-ийг нэмнэ:

Үүний нэгэн адил бид ижил "жагсаалтыг" дараахь байдлаар хуваана.

тэгээд эцэст нь

Ийнхүү манай тоглоомд оролцогчдын баг бүрдэв.


Харамсалтай нь, энэ асуудлын олон гишүүнт нь "эерэг" эсвэл "сөрөг" шалгуурыг хангахгүй байгаа тул бид дээд эсвэл доод эгнээнээс татгалзаж чадахгүй. Та бүх тоонуудтай ажиллах хэрэгтэй болно.

Таны сэтгэл ямар байна вэ? Алив, толгойгоо өргө - "алуурчин теорем" гэж нэрлэж болох өөр нэг теорем бий. ..."нэр дэвшигчид", мэдээжийн хэрэг =)

Гэхдээ эхлээд та Хорнерын диаграммыг дор хаяж нэгийг нь гүйлгэх хэрэгтэй бүхэлд ньтоо. Уламжлал ёсоор бол нэгийг нь авч үзье. Дээд мөрөнд бид олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг бичдэг бөгөөд бүх зүйл ердийнх шиг байна.

Дөрөв нь тэг биш нь тодорхой тул утга нь тухайн олон гишүүнтийн үндэс биш юм. Гэхдээ тэр бидэнд маш их туслах болно.

Теорем 2Зарим хүмүүсийн хувьд бол ерөнхийдөөолон гишүүнтийн утга тэгээс ялгаатай: , дараа нь түүний рационал үндэс (хэрэв байгаа бол)нөхцөлийг хангана

Манай тохиолдолд, тиймээс бүх боломжит үндэс нь нөхцөлийг хангах ёстой (Нөхцөл No1 гэж нэрлэе). Энэ дөрөв олон “нэр дэвшигч”-ийн “алуурчин” болно. Үзүүлэн болгон би хэд хэдэн шалгалтыг авч үзэх болно:

"Нэр дэвшигч"-ийг шалгая. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг бутархай хэлбэрээр зохиомлоор илэрхийлье, үүнээс тодорхой харагдаж байна. Туршилтын зөрүүг тооцоолъё: . Дөрөвийг "хасах хоёр" гэж хуваана: , энэ нь боломжит үндэс нь шалгалтыг давсан гэсэн үг юм.

Утгыг шалгацгаая. Тестийн ялгаа энд байна: . Мэдээжийн хэрэг, хоёр дахь "субъект" нь жагсаалтад хэвээр байна.

Олон гишүүнтийг хуваах алгоритм байдаг е(x) хүртэл ( х–а), үүнийг Хорнер схем гэж нэрлэдэг.

Болъё е(x) = , градус f(x) = n, a n 0. Хуваах е(x) хүртэл ( х–а), бид дараахыг авна: (*) е(x) = (х – а) × q(x)+r, Хаана rÎ Ф,degq(x) = n - 1.

Үүнийг бичээд үзье q(x)= b n -1 x n -1 + b n -2 x n -2 + … + b 1 x + b 0. Дараа нь оронд нь (*) тэгшитгэлд орлуулна е(x) Тэгээд q(x) Тэдний илэрхийлэлд бид дараахь зүйлийг олж авна.

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 = (х – а) (b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + … + b 1 x + b 0)+r

Олон гишүүнтүүд тэнцүү тул харгалзах чадваруудын коэффициентүүд тэнцүү байх ёстой.

r – ab 0 = a 0 r = a 0 + ab 0

b 0 – ab 1 = a 1 b 0 = a 1 + ab 1

…………… .. ……………

b n -1 = a n a n = a n -1

Олон гишүүнтийн коэффициентийг тооцоолох q(x) хүснэгтийг ашиглан хэрэгжүүлэхэд илүү тохиромжтой (Хорнер диаграм).

Horner схемийг ашигласнаар та дараахь төрлийн асуудлыг шийдэж чадна.

1. Хай q(x)Тэгээд rхуваах үед е(x) хүртэл ( х – а);

2. Олон гишүүнтийн утгыг тооцоол е(x) цагт x = a;

3. Байх эсэхийг олж мэд x = aолон гишүүнтийн үндэс е(x), болон Ф;

4. Үндэсний олон талт байдлыг тодорхойлох;

5. Олон гишүүнтийг зэрэглэл болгон өргөжүүлэх ( х – а).

6. Олон гишүүнтийн утгыг тооцоол е(x) болон түүний бүх деривативууд x = a.

Жишээ.Болъё е(x) = x 5 – 15 x 4 + 76 x 3 – 140x 2 + 75x– 125 ба a = 5.

Хорнер диаграммыг хийцгээе.

1. Бүрэн бус хэсгийг тооцоол q(x) болон үлдсэн хэсэг rхуваах үед е(x) хүртэл ( X - 5). Хүснэгтийн хоёр дахь мөрөнд бид коэффициентийн коэффициентүүд байгааг харж байна q(x) нь дараахтай тэнцүү байна: 1, – 10, 26, – 10, 25, тиймээс q(x) = 1x 4– 10x 3+ 26x 2– 10x + 25, үлдсэн нь r 0-тэй тэнцүү.

2. Олон гишүүнтийн утгыг тооцоол е(x) цагт x = 5. Безутын теоремыг ашиглая: е(5) = r = 0.

3. Байх эсэхийг олж мэдье x =Олон гишүүнтийн 5 үндэс е(x). Тодорхойлолтоор А- үндэс е(x), Хэрэв е(А) = 0. Түүнээс хойш е(5) = r= 0 бол 5 нь үндэс болно е(x).

4. Хүснэгтийн хоёр, гурав, дөрөв дэх эгнээнээс бид үүнийг харж байна е(x)-д хуваагдана ( X– 5) 3, гэхдээ е(x) нь (-д хуваагддаггүй) X– 5) 4 . Тиймээс язгуур 5 нь 3-ын үржвэртэй байна.

5. Олон гишүүнтийг өргөжүүлье е(x) градусаар ( X - 5), тэлэлтийн коэффициент c 0, c 1, c 2, c 3, c 4, c 5-ийг Хорнерын схемийн хоёр, гурав, дөрөв, тав, зургаа, долдугаар мөрийн сүүлчийн нүднүүдэд авна.

е(x) = c 0 + c 1 ( X - 5)+ 2 ( X - 5) 2 + 3-тай ( X - 5) 3 + 4-тэй ( X - 5) 4 + 5-тай ( X - 5) 5 эсвэл

е(x) = 26 (X - 5) 3 + 10 (X - 5) 4 + (X - 5) 5 .

6. Олон гишүүнтийн утгыг тооцоол е(x) болон түүний бүх деривативууд x = 5.

0 =-тэй е(5) = 0, s 1 = f'(5) = 0, s 2 = = 0 е′′(5) = 0,

s 3 = = 26 f''(5) = 26 ∙ 3! = 156, 4 = = 10-тай е′ v (5) = 10 ∙ 4! = 240,

5 = = 1-тэй е v (5) = 1 ∙ 5! = 120.

АРГА 15."Логарифм функц".

1. Логико – математик шинжилгээсэдвүүд.

Энэ сэдэв 10-р ангидаа сурсан.

Үндсэн ойлголтууд:

функц, томъёогоор өгөгдсөн y=log a x, энд a>0, a≠0 гэж нэрлэдэг логарифм функцсуурьтай a.

Энэ нэр томъёо нь логарифм функц юм.

Төрөл бол функц юм.

Зүйлийн ялгаа: 1) a>0, a≠0; 2) функц нь y=log a x томьёогоор өгөгдөнө.

Үндсэн саналууд:

Логарифм функцийн шинж чанарууд.

1°. Логарифм функцийн тодорхойлолтын муж нь бүгдийн олонлог юм эерэг тоонууд R +, өөрөөр хэлбэл. D(лог)=R +.

2°. Логарифм функцийн муж нь бүх бодит тоонуудын олонлог юм.

3°. Логарифмын функц нь бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд өсдөг (a>1 хувьд) эсвэл буурдаг (0 хувьд).<а<1).

Дараах мэдэгдэл үнэн: ижил суурьтай экспоненциал болон логарифм функцүүдийн графикууд y=x шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй байна.

Судалгааны үндсэн санаа, аргууд:

Үзэл баримтлалын тодорхойлолтууд нь хамгийн ойрын төрөл, зүйлийн ялгаагаар тодорхой байдаг - бүтээмжтэй.

Баталгаажуулах аргууд:

Математик аргуудыг ашиглан дедуктив (тодорхойлолт дээр үндэслэсэн): градусын логарифм, градусын үндсэн шинж чанар, зөрчилдөөний арга.

Жишээлбэл, a>1 бол функц өсөх шинж чанарыг зөрчилдөөний аргыг ашиглан нэмэгдэж буй функцийг тодорхойлж нотолно.

1. - одон орон судлалд (оддын тод байдлыг тооцоолох);

- физикийн чиглэлээр;

- дээд математикийн чиглэлээр (математик логик, математик анализ).

Сэдвийн математикийн асуудлын үндсэн төрлүүд

Функцийн домайныг олох;

Функцийн график дүрслэх;

Функцийн мужийг олох;

Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олох;

Функцийг судалж, графикийг нь бүтээх;

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох;

Илэрхийллийн утгыг ол.

Сэдвийг судлахад тохиолддог ердийн алдаа, бэрхшээлүүд

Математикийн алдаа:

ü тооцооллын алдаа: тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, функцийн утгыг олох, хүч чадалтай ажиллах үед;

ü логик алдаа: таних тэмдэгт хувиргалт хийх, логарифмын шинж чанарыг ашиглах, ойлголтыг тодорхойлох, томъёо гаргах;

ü график алдаа: функцийн графикийг бүтээхэд (функцийн шинж чанарыг харгалзан үзэхгүй); График хувиргалтыг буруу ашигласан.

3. сурагчдын насны онцлогт тохируулан математикийн сурах бичигтэй ажиллах арга, техник.

5-6-р ангид сурах бичигтэй ажиллах дараах аргуудыг ашигладаг.

1. багшийн тайлбарын дараа сурагчдын дүрэм, тодорхойлолт, теоремын мэдэгдлийг унших

2. үндсэн болон чухал зүйлийг тодруулан багш сурагчдад чанга дуугаар уншиж өгөх

3. сурах бичгийн хавтас дээрх томьёо, зураг чимэглэлтэй ажиллах

4. Сурагчид сурах бичгийг уншиж, багшийн асуултад хариулж байна

7-8-р ангид сурах бичигтэй ажиллах дараах аргуудыг нэмж оруулсан болно.

1. зохиолуудыг багш тайлбарласны дараа унших

2. сурагчид текстийг уншиж, утга учиртай догол мөр болгон задлах

3. Сурах бичгээс суралцагчдаар уншиж, багшийн санал болгосон төлөвлөгөөний дагуу сэдвийн үндсэн өгүүлбэрийг бичих

9-11-р ангид санал болгож буй бүх зүйлд дараахь зүйлийг нэмж оруулсан болно.

1. багш сэдвийг тайлбарласны дараа сурах бичигт сурагчдын жишээн дээр дүн шинжилгээ хийх

2. текстийг оюутнуудаар уншиж, энэ бичвэрийн талаар нэмэлт дүгнэлт бичих

3. сурах бичгийн текстийг уншиж, оюутнууд энэ зохиолын төлөвлөгөөг бие даан гаргах.

Боловсрол: Хичээлийн явцад логарифмын функцийн тухай ойлголтыг эзэмшсэн байх, логарифмын функцийн шинж чанарыг тодорхойлох чадварыг хөгжүүлэх, логарифмын функцийн графикийг дүрслэх чадварыг хөгжүүлэх.

Хөгжүүлэх: сэтгэлгээ, ойлголт, санах ой, төсөөлөл, анхаарлыг хөгжүүлэх.

Боловсрол: математикийн тогтвортой сонирхлыг төлөвшүүлэх, хувь хүний ​​​​зан чанарыг төлөвшүүлэх: нарийвчлал, тэсвэр тэвчээр, шаргуу хөдөлмөр.

Хичээлийн төрөл: шинэ материал сурах

Хичээлийн бүтэц:

1. зохион байгуулалтын мөч; 2. хичээлийн зорилгоо тодорхойлох; 3. гэрийн даалгавраа шалгах; 4. шинэ материалыг судлах бэлтгэл; 5. шинэ материал сурах; 6.шинэ материалыг анхан шатны нэгтгэх, ойлгох; 7. гэрийн даалгавар тавих; 8. хичээлийг дүгнэх;

Өнөөдөр бид шинэ логарифмын функцийг судлах болно. Бид экспоненциал функцийг судлахдаа түүний шинж чанарыг хүснэгтэд зохион байгуулав. Одоо би танд сурах бичгийнхээ 98-р хуудсыг нээж, 18-р догол мөрийг уншиж, самбар дээр санал болгосон төлөвлөгөөний дагуу дэвтэртээ туслах хураангуйг бичихийг санал болгож байна. Та экспоненциал функцийг судлахдаа хийсэнтэй ижил аргаар туслах хураангуйг форматлах болно. Үндсэн тойм төлөвлөгөө. 3. логарифм функцийн тодорхойлолт 4. логарифм функцийн шинж чанарыг хүснэгтэд форматлах.
Одоо би самбар дээрх тэмдэглэлийг зөв форматлах нэг хүнийг самбарт урьж байна. 5. Тодорхойлолт D мужтай тоон функц нь D олонлогийн х тоо бүр нь ямар нэгэн дүрмийн дагуу х-ээс хамаарч у тоотой холбоотой байх захидал харилцаа юм. 6. хүч чадал, экспоненциал.
Хабрахабрын дундаж уншигчийг бүх төрлийн гажуудлыг ашиглах туршлагагүй гэж нэрлэж болохгүй. Хоёрдахь хүн бүр олон гишүүнтийг Хорнерын дүрмийг ашиглан тооцоолох ёстой гэж хэлэх болно. Гэхдээ үргэлж жижиг "гэхдээ" байдаг, Хорнерын схем үргэлж хамгийн үр дүнтэй байдаг уу?

Хорнерын схем

Үл хамаарах зүйл

Хорнерын схем хамгийн хэмнэлттэй тул өөр зүйл байна уу?

Зарим тохиолдолд олон гишүүнт утгыг олж авахын тулд хоёр үе шаттай схемийг ашиглах нь зүйтэй. Эхний шатанд үйлдлүүд нь зөвхөн хувирсан олон гишүүнтийн коэффициентүүд дээр хийгддэг; тусгай төрөл. Хоёрдахь шатанд олон гишүүнтийн утгыг аргументийн өгөгдсөн утгуудын хувьд өөрөө тооцоолно. Энэ тохиолдолд хоёр дахь шатанд гүйцэтгэсэн үйлдлүүдийн тоо нь Хорнерын схемийг ашигласан тооцооноос бага байх болно.

Олон гишүүнтийн утгыг тооцоолохдоо ийм тооцооны аргууд тохиромжтой гэдгийг би дахин тэмдэглэж байна. их тоо x утгууд. Олон гишүүнтийн эхний шатыг зөвхөн нэг удаа гүйцэтгэдэг тул олзыг олж авдаг. Жишээ нь тооцоолол байж болно үндсэн функцууд, энд ойролцоо олон гишүүнтийг урьдчилан бэлддэг.

Цаашдын хэлэлцүүлэгт тооцоолох үйлдлүүдийн тоог ярихдаа тооцооллын хоёр дахь шатны нарийн төвөгтэй байдлыг санах болно.

6-р зэргийн олон гишүүнтийн Ж.Тодтын схем

Коэффициентийг аргын дагуу тодорхойлно тодорхой бус коэффициентүүднөхцөл дээр үндэслэсэн. Сүүлчийн нөхцлөөс бид коэффициентүүдийг тэгшитгэх тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг тэнцүү градусолон гишүүнт.

Би энд системийг өөрөө танилцуулахгүй. Гэхдээ үүнийг орлуулах аргаар амархан шийдэж болох бөгөөд нэг нь шийдэх ёстой квадрат тэгшитгэл. Коэффициентүүд нь нарийн төвөгтэй болж хувирах боловч хэрэв коэффициентүүд нь бодит болж хувирвал тооцоололд Хорнерын схемийн дагуу таван үржүүлэг, зургаан нэмэхийн оронд гурван үржвэр, долоон нэмэгдэл шаардлагатай болно.

Энэ схемийн түгээмэл байдлын талаар ярих шаардлагагүй, гэхдээ уншигч Хорнерын схемтэй харьцуулахад үйл ажиллагааны тоо багассаныг тодорхой ойлгож чадна.

Схем Ю.Л. Кеткова

Ю.Л. Кетков өгсөн ерөнхий санаа n>5-ын хувьд n-р зэргийн олон гишүүнт, үргэлж бодит илэрхийлэлд хүргэдэг бөгөөд n-р зэргийн олон гишүүнтийг тооцоолоход [(n+1)/2]+ үржүүлэг, n+1 нэмэх шаардлагатай.

Жишээлбэл, n=2k бол Кетковын схем нь олон гишүүнтийг олоход буурдаг.

Бүх үл мэдэгдэх коэффициентүүд тэгшитгэлээс олддог. Кетковын бүтээлүүдэд үр дүнгийн системийг шийдвэрлэх аргыг үргэлж бодит коэффициент өгдөг.

V.Ya-ийн схемүүд. Пана

В.Я. Пан олон гишүүнтийг оновчтой тооцоолох бодлого дээр ажилласан. Ялангуяа тэрээр бодит олон гишүүнтийг тооцоолох хэд хэдэн схемийг санал болгосон нь Э.Белагагийн тооцоололд тун ойртжээ. Би бодит олон гишүүнтэд зориулсан Пан-ийн зарим схемийг өгөх болно.
1. Дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнтийг тооцоолох схем.
Олон гишүүнтийг авч үздэг.

Үүнийг дараах хэлбэрээр танилцуулъя.

Олон гишүүнтийн утгыг тооцоолохын тулд бид дараах илэрхийллийг ашиглана.

Энэ хэлхээ нь хоёр дахь шатанд үржүүлэх, нэмэхийг шаарддаг.

Энэхүү схемийн онцлог нь анхны олон гишүүнтийн коэффициент ба бодит коэффициентүүд үргэлж байдагт оршино.

В.Я. Олон гишүүнт, түүний дотор цогцыг тооцоолох өөр схемүүд байдаг.

Дүгнэлт

Гэсэн хэдий ч, тооцоолох шаардлагатай олон гишүүнт утгуудын тоо их, гүйцэтгэл нь маш чухал бол үүнийг ашиглах нь зүйтэй. тусгай аргуудолон гишүүнтийн тооцоо.

Зарим уншигчид Хорнерын схемээс өөр схемүүдтэй хутгалдах нь хэцүү, уйтгартай, санаа зовох хэрэггүй гэж хэлэх болно. Гэсэн хэдий ч, онд бодит амьдралЗөвхөн тооцоолох шаардлагатай асуудлууд байдаг асар их тообүхий олон гишүүнтийн утгууд их хэмжээгээр(жишээ нь, тэдгээрийг тооцоолоход хэдэн сар зарцуулагдаж болно), үржүүлгийн тоог хоёр дахин багасгах нь олон гишүүнтийг тооцоолох тодорхой хэлхээг хэрэгжүүлэхэд хэдэн өдөр зарцуулах шаардлагатай байсан ч цаг хугацааны хувьд ихээхэн ашиг тус өгөх болно.

Уран зохиол

1. Кетков Ю.Л. Математикийн машин дээр олон гишүүнтийг тооцоолох нэг арга. // Радиофизикийн мэдээ, 1-р боть, №4, 1958
2. V. Ya Pan, "Коэффициентийг урьдчилан боловсруулах схемийг ашиглан олон гишүүнтийн тооцоолол ба параметрүүдийг автоматаар олох програм", Ж. математик. болон математик. Физ., 2:1 (1962), 133–140
3. В.Я.Пан, “Олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох аргуудын тухай”, Усспехи Мат, 21:1(127) (1966), 103–134
4. V. Ya Pan, "Тав, долдугаар зэрэглэлийн олон гишүүнтийг бодит коэффициентээр тооцоолох тухай", Ж. математик. болон математик. Физ., 5:1 (1965), 116–118
5. Пан V. Я. Бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох зарим схем. Кибернетикийн асуудлууд. Боть. 5. М.: Наука, 1961, 17–29.
6. Белага E. G. Коэффициентийг урьдчилан боловсруулснаар нэг хувьсагчийн олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох тухай. Кибернетикийн асуудлууд. Боть. 5. М.: Физматгиз, 1961, 7–15.

Та сайтыг хөгжүүлэхэд тусалж, зарим хөрөнгийг шилжүүлж болно

Нэг цэгт олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох нь програмчлалын хамгийн энгийн сонгодог бодлогын нэг юм.
Төрөл бүрийн тооцоолол хийхдээ аргументуудын өгөгдсөн утгуудын олон гишүүнтийн утгыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Ихэнхдээ функцүүдийн ойролцоо тооцоолол нь ойролцоогоор олон гишүүнтүүдийн тооцоонд ордог.
Хабрахабрын дундаж уншигчийг бүх төрлийн гажуудлыг ашиглах туршлагагүй гэж нэрлэж болохгүй. Хоёрдахь хүн бүр олон гишүүнтийг Хорнерын дүрмийг ашиглан тооцоолох ёстой гэж хэлэх болно. Гэхдээ үргэлж жижиг "гэхдээ" байдаг, Хорнерын схем үргэлж хамгийн үр дүнтэй байдаг уу?


Миний зорилго бол олон гишүүнтийг тооцоолох алгоритмыг үнэн зөв тайлбарлах биш, харин зөвхөн зарим тохиолдолд Хорнерын дүрмээс өөр схемүүдийг ашиглах боломжтой (шаардлагатай) гэдгийг харуулах явдал юм. Материалыг сонирхож буй хүмүүсийн хувьд нийтлэлийн төгсгөлд асуудлыг илүү нарийвчлан судлахын тулд лавлагаа авах боломжтой жагсаалт байдаг.
Нэмж дурдахад манай Оросын математикчдын нэрс бараг мэдэгддэггүй нь заримдаа ичгүүртэй байдаг. Нэмж дурдахад манай математикчдын ажлын талаар ярихад таатай байна.

Хорнерын схем

Үл хамаарах зүйл

Хорнерын схем хамгийн хэмнэлттэй тул өөр зүйл байна уу?

Зарим тохиолдолд олон гишүүнт утгыг олж авахын тулд хоёр үе шаттай схемийг ашиглах нь зүйтэй. Эхний шатанд үйлдлүүд нь зөвхөн олон гишүүнтийн коэффициентүүд дээр хийгддэг; Хоёрдахь шатанд олон гишүүнтийн утгыг аргументийн өгөгдсөн утгуудын хувьд өөрөө тооцоолно. Энэ тохиолдолд хоёр дахь шатанд гүйцэтгэсэн үйлдлүүдийн тоо нь Хорнерын схемийг ашигласан тооцооноос бага байх болно.

Ийм тооцооны аргууд нь олон гишүүнтийн утгыг олон тооны х утгыг тооцоолоход хэрэгтэй гэдгийг дахин анхаарна уу. Олон гишүүнтийн эхний шатыг зөвхөн нэг удаа гүйцэтгэдэг тул олзыг олж авдаг. Жишээ нь, ойролцоо олон гишүүнтийг урьдчилан бэлтгэсэн энгийн функцүүдийн тооцоо юм.

Цаашдын хэлэлцүүлэгт тооцоолох үйлдлүүдийн тоог ярихдаа тооцооллын хоёр дахь шатны нарийн төвөгтэй байдлыг санах болно.

6-р зэргийн олон гишүүнтийн Ж.Тодтын схем

Нөхцөлд тулгуурлан тодорхойлогдоогүй коэффициентийн аргаар коэффициентүүдийг тодорхойлно. Сүүлчийн нөхцлөөс бид тэнцүү зэрэгтэй олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг тэнцүүлэх тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.

Би энд системийг өөрөө танилцуулахгүй. Гэхдээ үүнийг квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай орлуулах аргыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. Коэффициентүүд нь нарийн төвөгтэй болж хувирах боловч хэрэв коэффициентүүд нь бодит болж хувирвал тооцоололд Хорнерын схемийн дагуу таван үржүүлэг, зургаан нэмэхийн оронд гурван үржвэр, долоон нэмэгдэл шаардлагатай болно.

Энэ схемийн түгээмэл байдлын талаар ярих шаардлагагүй, гэхдээ уншигч Хорнерын схемтэй харьцуулахад үйл ажиллагааны тоо багассаныг тодорхой ойлгож чадна.

Схем Ю.Л. Кеткова

Ю.Л. Кетков n>5-ын хувьд n-р зэргийн олон гишүүнтийн ерөнхий дүрслэлийг өгсөн бөгөөд энэ нь үргэлж бодит илэрхийлэлд хүргэдэг бөгөөд n-р зэргийн олон гишүүнтийг тооцоолоход [(n+1)/2]+ үржүүлэг, n+1 нэмэх шаардлагатай.

Жишээлбэл, n=2k бол Кетковын схем нь олон гишүүнтийг олоход буурдаг.

Бүх үл мэдэгдэх коэффициентүүд тэгшитгэлээс олддог. Кетковын бүтээлүүдэд үр дүнгийн системийг шийдвэрлэх аргыг үргэлж бодит коэффициент өгдөг.

V.Ya-ийн схемүүд. Пана

В.Я. Пан олон гишүүнтийг оновчтой тооцоолох бодлого дээр ажилласан. Ялангуяа тэрээр бодит олон гишүүнтийг тооцоолох хэд хэдэн схемийг санал болгосон нь Э.Белагагийн тооцоололд тун ойртжээ. Би бодит олон гишүүнтэд зориулсан Пан-ийн зарим схемийг өгөх болно.
1. Дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнтийг тооцоолох схем.
Олон гишүүнтийг авч үздэг.

Үүнийг дараах хэлбэрээр танилцуулъя.

Олон гишүүнтийн утгыг тооцоолохын тулд бид дараах илэрхийллийг ашиглана.

Энэ хэлхээ нь хоёр дахь шатанд үржүүлэх, нэмэхийг шаарддаг.

Энэхүү схемийн онцлог нь анхны олон гишүүнтийн коэффициент ба бодит коэффициентүүд үргэлж байдагт оршино.

В.Я. Олон гишүүнт, түүний дотор цогцыг тооцоолох өөр схемүүд байдаг.

Дүгнэлт

Гэсэн хэдий ч хэрэв тооцоолох шаардлагатай олон гишүүнт утгуудын тоо их, гүйцэтгэл нь маш чухал бол олон гишүүнтийг тооцоолох тусгай аргыг ашиглах нь зүйтэй юм.

Зарим уншигчид Хорнерын схемээс өөр схемүүдтэй хутгалдах нь хэцүү, уйтгартай, санаа зовох хэрэггүй гэж хэлэх болно. Гэсэн хэдий ч бодит амьдрал дээр та том хүчин чадалтай олон гишүүнтүүдийн асар их тооны утгыг тооцоолох шаардлагатай асуудлууд байдаг (жишээлбэл, тэдгээрийг тооцоолоход хэдэн сар шаардлагатай) бөгөөд үржүүлгийн тоог хоёр дахин багасгах нь ихээхэн ач холбогдолтой болно. олон гишүүнтийг тооцоолох тодорхой схемийг хэрэгжүүлэхийн тулд хэдэн өдөр зарцуулах шаардлагатай байсан ч цаг хугацааны ашиг.

Уран зохиол

1. Кетков Ю.Л. Математикийн машин дээр олон гишүүнтийг тооцоолох нэг арга. // Радиофизикийн мэдээ, 1-р боть, №4, 1958
2. V. Ya Pan, "Коэффициентийг урьдчилан боловсруулах схемийг ашиглан олон гишүүнтийн тооцоолол ба параметрүүдийг автоматаар олох програм", Ж. математик. болон математик. Физ., 2:1 (1962), 133–140
3. В.Я.Пан, “Олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох аргуудын тухай”, Усспехи Мат, 21:1(127) (1966), 103–134
4. V. Ya Pan, "Тав, долдугаар зэрэглэлийн олон гишүүнтийг бодит коэффициентээр тооцоолох тухай", Ж. математик. болон математик. Физ., 5:1 (1965), 116–118
5. Пан V. Я. Бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох зарим схем. Кибернетикийн асуудлууд. Боть. 5. М.: Наука, 1961, 17–29.
6. Белага E. G. Коэффициентийг урьдчилан боловсруулснаар нэг хувьсагчийн олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох тухай. Кибернетикийн асуудлууд. Боть. 5. М.: Физматгиз, 1961, 7–15.