Belirli bir integral kullanarak dönen bir cismin hacmi nasıl hesaplanır? bir eksen etrafında düz şekil.

Geometrik hacimsel rakamlar katılarÖklid (üç boyutlu) uzayda sıfırdan farklı bir hacim kaplayan. Bu şekiller matematiğin “uzaysal geometri” adı verilen bir dalı tarafından incelenmektedir. Üç boyutlu şekillerin özelliklerine ilişkin bilgi mühendislik ve doğa bilimlerinde kullanılmaktadır. Makalede geometrik üç boyutlu şekiller ve isimleri konusunu ele alacağız.

Geometrik katılar

Bu cisimlerin üç uzamsal yönde sonlu bir boyutu olduğundan, onları geometride tanımlamak için üçlü bir sistem kullanılır. koordinat eksenleri. Bu eksenler var aşağıdaki özellikler:

Birbirlerine dik, yani diktirler.
Bu eksenler normalleştirilmiştir, yani her eksenin temel vektörleri aynı uzunluktadır.
Koordinat eksenlerinden herhangi biri sonuçtur vektör çarpımı iki kişi daha.

Geometrik hacimsel figürler ve adlarından bahsederken hepsinin 2 büyük sınıftan birine ait olduğunu belirtmekte fayda var:

Çokyüzlüler sınıfı. Sınıfın adına göre bu figürler düz kenarlara ve düz yüzlere sahiptir. Yüz, şekli sınırlayan bir düzlemdir. İki yüzün birleştiği noktaya kenar, üç yüzün birleştiği noktaya tepe noktası denir. Çokyüzlüler, küp, tetrahedron, prizma ve piramitlerden oluşan geometrik şekilleri içerir. Bu şekiller için, her çokyüzlü için kenar sayısı (C), kenar sayısı (P) ve köşe sayısı (B) arasında bir bağlantı kuran Euler teoremi geçerlidir. Matematiksel olarak bu teorem şu şekilde yazılır: C + B = P + 2.
Yuvarlak cisimler veya devrim cisimleri sınıfı. Bu şekillerin kavisli olan en az bir yüzeyi vardır. Örneğin bir top, bir koni, bir silindir, bir simit.

Hacimsel rakamların özelliklerine gelince, bunlardan en önemli iki tanesi vurgulanmalıdır:

Bir figürün uzayda kapladığı belirli bir hacmin varlığı.
Her üç boyutlu figürün varlığı

Her şeklin her iki özelliği de özel matematiksel formüllerle açıklanmaktadır.

Aşağıda en basit geometrik hacimsel figürleri ve adlarını ele alalım: küp, piramit, prizma, tetrahedron ve top.

Küp şekli: açıklama

Geometrik şekil küpü, 6 kare düzlem veya yüzeyden oluşan üç boyutlu bir gövdedir. Bu şekle aynı zamanda 6 tarafı olduğu için normal altı yüzlü veya 3 çiftten oluştuğu için dikdörtgen paralel yüzlü de denir. paralel kenarlar, birbirlerine karşılıklı olarak dik olanlardır. Tabanı kare olan ve yüksekliği tabanın kenarına eşit olan küplere denir.

Bir küp çokyüzlü veya çokyüzlü olduğundan, kenar sayısını belirlemek için Euler teoremi ona uygulanabilir. Kenar sayısı 6 ve küpün 8 köşesi olduğuna göre kenar sayısı: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12 olur.

Bir küpün bir kenarının uzunluğunu "a" harfiyle belirtirsek hacim ve yüzey alanı formülleri sırasıyla şöyle görünecektir: V = a 3 ve S = 6*a 2.

Piramit figürü

Bir piramit, basit bir çokyüzlüden (piramidin tabanı) ve tabana bağlanan ve bir taneye sahip üçgenlerden oluşan bir çokyüzlüdür. ortak üst(piramidin tepesi). Üçgenlere piramidin yan yüzleri denir.

Bir piramidin geometrik özellikleri, tabanında hangi çokgenin bulunduğuna ve ayrıca piramidin düz veya eğik olmasına bağlıdır. Düz bir piramit, piramidin tepesinden çizilen tabana dik bir düz çizginin tabanla kesiştiği bir piramit olarak anlaşılmaktadır. geometrik merkez.

Bir tanesi basit piramitler tabanında "a" kenarı olan bir kare bulunan dörtgen düz bir piramittir, bu piramidin yüksekliği "h" dir. Bu piramit şekli için hacim ve yüzey alanı eşit olacaktır: sırasıyla V = a 2 *h/3 ve S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2. Bunu uygulayarak yüz sayısının 5 ve köşe sayısının 5 olduğunu dikkate alarak kenar sayısını elde ederiz: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Dört yüzlü şekil: açıklama

Geometrik şekil tetrahedron, 4 yüzden oluşan üç boyutlu bir gövde olarak anlaşılmaktadır. Uzayın özelliklerine göre bu tür yüzler yalnızca üçgenleri temsil edebilir. Dolayısıyla tetrahedron, tabanında bir üçgen bulunan piramidin özel bir durumudur.

Bir tetrahedronun yüzlerini oluşturan 4 üçgenin tümü eşkenar ve birbirine eşitse, o zaman böyle bir tetrahedrona normal denir. Bu tetrahedronun 4 yüzü ve 4 köşesi vardır, kenar sayısı 4 + 4 - 2 = 6'dır. Söz konusu şekil için düzlem geometrisinden standart formüller uygulayarak şunu elde ederiz: V = a 3 * √2/12 ve S = √ 3*a 2, burada a eşkenar üçgenin kenar uzunluğudur.

Doğada bazı moleküllerin şu şekilde olduğunu belirtmek ilginçtir: düzenli tetrahedron. Örneğin, hidrojen atomlarının tetrahedronun köşelerinde bulunduğu ve karbon atomuna kovalent olarak bağlandığı bir metan molekülü CH4 kimyasal bağlar. Karbon atomu tetrahedronun geometrik merkezinde bulunur.

Üretimi kolay olan tetrahedron şekli mühendislikte de kullanılmaktadır. Örneğin, tetrahedral şekil gemiler için çapaların imalatında kullanılır. Dikkat uzay sondası 4 Temmuz 1997'de Mars yüzeyine inen NASA'nın Mars Pathfinder'ı da tetrahedron şeklindeydi.

Prizma figürü

Bu geometrik şekil iki çokyüzlüyü alıp, bunları uzayın farklı düzlemlerinde birbirine paralel yerleştirerek ve köşelerini birbirine uygun şekilde bağlayarak elde edilebilir. Sonuç bir prizma olacak, iki çokyüzlüye tabanları denir ve bu çokyüzlüleri birbirine bağlayan yüzeyler paralelkenar şeklinde olacaktır. Bir prizmaya düz denirse taraflar(paralelkenarlar) dikdörtgenlerdir.

Prizma bir çokyüzlü olduğundan Euler teoremi bunun için doğrudur. Örneğin, bir prizmanın tabanında bir altıgen bulunuyorsa, prizmanın kenar sayısı 8 ve köşe sayısı 12'dir. Kenar sayısı şuna eşit olacaktır: P = 8 + 12 - 2 = 18. Tabanında kenarı a olan düzgün bir altıgen bulunan h yüksekliğinde düz bir prizma için hacim şuna eşittir: V = a 2 *h*√3/4, yüzey alanı şuna eşittir: S = 3*a*(a *√3 + 2*h).

Basit geometrik hacimsel figürlerden ve isimlerinden bahsetmişken toptan bahsetmek gerekir. Top adı verilen hacimsel bir cisim, küre ile sınırlı bir cisim olarak anlaşılmaktadır. Buna karşılık küre, kürenin merkezi olarak adlandırılan bir noktadan eşit uzaklıktaki uzaydaki noktaların toplamıdır.

Top yuvarlak cisimler sınıfına ait olduğundan kenar, kenar ve köşe kavramı yoktur. Topu çevreleyen kürenin yüzey alanı şu formülle bulunur: S = 4*pi*r 2, topun hacmi ise şu formülle hesaplanabilir: V = 4*pi*r 3/3, burada pi, pi sayısıdır (3.14), r, kürenin (topun) yarıçapıdır.

Hacimsel cisimler Etrafınıza bakın, her yerde bulacaksınız hacimsel cisimler. Bunlar üç boyutlu geometrik şekillerdir: uzunluk, genişlik ve yükseklik. Örneğin çok katlı bir bina hayal etmek için “Bu ev üç giriş uzunluğunda, iki pencere genişliğinde ve altı kat yüksekliğinde” demek yeterli. Sizin tarafınızdan bilinen ilkokul dikdörtgen bir paralel yüzlü ve bir küp tamamen üç boyutlu olarak anlatılmıştır. Etrafımızdaki tüm nesnelerin üç boyutu vardır ancak bunların hepsine uzunluk, genişlik ve yükseklik adı verilemez. Örneğin, bir ağaç için yalnızca yüksekliği, ip için uzunluğu, delik için derinliği belirtebiliriz. Peki top için? Onun da üç boyutu var mı? İçine bir küp veya top konulabiliyorsa, cismin üç boyutlu (hacimsel) olduğunu söyleriz. Küre, silindir ve koninin üç boyutu vardır.

Çokyüzlüler Düzlem çokgenlerle sınırlanan cisimlere çokyüzlü denir. Örneğin bir küp eşit karelerle sınırlanmıştır. Bir çokyüzlünün yüzeyini oluşturan çokgenlere yüz denir. Bu çokgenlerin kenarları çokyüzlülerin kenarlarıdır. Çokgenlerin köşeleri, çokyüzlülerin köşeleri. Örneğin bir küpün 6 yüzü vardır (hepsi eşit kareler), 12 kenar ve 8 köşe.

Çokyüzlü. Piramit. Sağdaki çok yüzlünün özel isim: doğru dörtgen piramit. Bu tam olarak ünlü Keops piramidinin şeklidir: tabanında bir kare vardır ve yan yüzler eşit üçgenler. Bu çokyüzlünün kaç yüzü, kenarı ve köşesi var? Resimdeki şekillerin bazıları çokyüzlüdür, bazıları değildir. Çokyüzlüler hangi sayıların altında gösteriliyor?

Dışbükey ve dışbükey olmayan çokgenler Çokgenler, zaten bildiğimiz gibi, dışbükey ve dışbükey olmayan olabilir. Dışbükey bir çokgen, çokgenin herhangi bir kenarını içeren herhangi bir çizginin bir tarafında bulunur. Ve dışbükey olmayan bir kenar için, onu içeren düz çizginin çokgeni parçalara ayıracağı bir kenar bulabilirsiniz. Şekilde sarı çokgen dışbükeydir, mavi olan ise dışbükey değildir. Polyhedra ayrıca dışbükey veya dışbükey olmayabilir. Dışbükey bir çokyüzlü, yüzlerinden herhangi birini içeren herhangi bir düzlemin bir tarafında bulunur. Ve dışbükey olmayan bir çokyüzlü için, içinden geçen bir düzlemin onu parçalara ayıracağı bir yüz bulunabilir. Resimdeki sarı çokyüzlü dışbükeydir. Mavi çokyüzlü dışbükey değildir. Şekildeki hangi sayılar dışbükey çokyüzlüleri, hangi sayılar dışbükey olmayanları göstermektedir?

Soruları cevaplayın: 1. Küpün yüzü nedir: a) bir doğru parçası; b) bir nokta; 2. Küpün kenarı nedir: a) bir parça; b) bir nokta; c) bir kare. 3. Bir küpün tepe noktası neyi temsil eder: a) bir doğru parçası; b) bir nokta; c) bir kare. 4. Kaç yüzü var? dikdörtgen paralel yüzlü: a) 8b) 6c) 12 5. Çokyüzlü, a) herhangi bir hacimsel cisimdir b) düz çokgenlerle sınırlanmış bir cisimdir

Soruları cevaplayın: 6. Temelde ne var? düzenli piramit a) dikdörtgenb) karec) paralelkenar 7. Hangi şekil düzgün bir piramidin yüzüdür a) dikdörtgenb) karec) düzgün üçgen 8. Dışbükey bir çokyüzlü a) yüzlerinden herhangi birini içeren herhangi bir düzlemin bir tarafında bulunur b) herhangi bir hacimsel cisim c) yüzlerinden herhangi birini içeren herhangi bir düzlemin her iki yanında bulunur. 9. Dışbükey çokyüzlüler için şekilde hangi sayılar gösterilmektedir?

Kullanılan kaynaklar: Okulun web sitesi uzaktan eğitim(Moskova) uzaktan eğitim okulları (Moskova) Dünya Çapında Çevrimiçi Ansiklopedi OGRANNIK.html OGRANNIK.html Yandex / resimler %D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD% D0% B0%D 1%8F%20%D1%87%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1 %85%D1%83%D0%B3%D0%BE %D0 %BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0 %D1%8F%20%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8 %D0%B4 %D0 %B0&spsite= ru%3A8080%2For%2Fget_att.jsp%3Fatt_id%3D2493&rpt=simage Geometri ders kitabı 6-9

Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Usta okuryazar ve hızlı teknolojiçizim kullanılarak yapılabilir öğretim materyalleri ve Grafiklerin Geometrik Dönüşümleri. Ama aslında çizimlerin öneminden sınıfta defalarca bahsetmiştim.

Genellikle integral hesabı kullanan birçok ilginç uygulama var belirli integral bir şeklin alanını, bir döner cismin hacmini, yay uzunluğunu, devrimin yüzey alanını ve çok daha fazlasını hesaplayabilirsiniz. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser kalın!

Üzerinde düz bir figür hayal edin koordinat düzlemi. Tanıtıldı mı? ... Acaba kim neyi sundu... =))) Biz zaten alanını bulduk. Ama bunun yanında bu rakam Ayrıca iki şekilde döndürebilir ve döndürebilirsiniz:

– apsis ekseni etrafında;
– ordinat ekseni etrafında.

Bu makale her iki durumu da inceleyecektir. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilginçtir; en fazla zorluğa neden olur, ancak aslında çözüm, daha yaygın olarak x ekseni etrafında döndürmeyle hemen hemen aynıdır. Bonus olarak geri döneceğim bir şeklin alanını bulma problemi ve size alanı ikinci şekilde - eksen boyunca nasıl bulacağınızı anlatacağım. Materyal konuya çok iyi uyduğu için bu pek de bir bonus değil.

En popüler rotasyon türüyle başlayalım.

bir eksen etrafında düz şekil

Örnek 1

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm bir çizimle başlar düz şekil . Yani düzlemde çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir ve denklemin ekseni belirlediğini unutmayın. Bir çizimin daha verimli ve hızlı bir şekilde nasıl tamamlanacağını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri Ve Belirli integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Bu bir Çin hatırlatmasıdır ve şu anda Artık durmuyorum.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir; eksen etrafında dönen şekildir. Dönme sonucunda eksen etrafında simetrik olan hafif oval bir uçan daire elde edilir. Aslında vücudun matematiksel bir adı var ama referans kitabında herhangi bir şeyi açıklığa kavuşturamayacak kadar tembelim, o yüzden devam ediyoruz.

Bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır?

Bir devrim cismin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Formülde sayının integralden önce gelmesi gerekir. Böylece oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılıdır.

Tamamlanan çizimden “a” ve “be” entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceğini tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

İşlev... nedir bu işlev? Çizime bakalım. Düzlem şekli üstteki parabolün grafiğiyle sınırlanmıştır. Formülde ima edilen fonksiyon budur.

İÇİNDE pratik görevler bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki integralin karesi alınır: , dolayısıyla integral her zaman negatif değildir ki bu çok mantıklı.

Dönel bir cismin hacmini kullanarak hesaplayalım. bu formül:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl önemli olan dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevabınızda boyutu - kübik birimleri belirtmelisiniz. Yani dönme gövdemizde yaklaşık 3,35 "küp" vardır. Neden kübik birimler? Çünkü çoğu evrensel formülasyon. Olabilir santimetreküp, olabilir metreküp, belki kilometreküp vb., hayal gücünüzün bir uçan daireye kaç tane küçük yeşil adam koyabileceği budur.

Örnek 2

Cismin hacmini bulunuz, rotasyonla oluşturulançizgilerle sınırlanan şeklin ekseni etrafında, ,

Bu bir örnektir bağımsız karar. Eksiksiz çözüm ve dersin sonunda cevap.

İki tane daha düşünelim karmaşık görevler pratikte de sıklıkla karşılaşılan durumlardır.

Örnek 3

, ve çizgileriyle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizelim:

İstenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir. Kendi ekseni etrafında döndüğünde dört köşeli gerçeküstü bir çörek haline geliyor.

Dönen cismin hacmini şu şekilde hesaplayalım: cisimlerin hacimleri arasındaki fark.

Öncelikle kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Bir eksen etrafında döndüğünde kesik koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini ile gösterelim.

Daire içine alınmış şekli düşünün yeşil. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. Hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çörekimizin" hacmidir.

Kullanıyoruz standart formül Dönen bir cismin hacmini bulmak için:

1) Kırmızıyla daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenilen dönme gövdesinin hacmi:

Cevap:

İlginçtir ki bu durumdaçözüm kullanılarak doğrulanabilir okul formülü kesik koninin hacmini hesaplamak için

Kararın kendisi genellikle daha kısa yazılır, şöyle bir şey:

Şimdi biraz dinlenelim ve size geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

İnsanlar genellikle ciltlerle ilgili yanılsamalar yaşarlar, bu da Perelman'ın (başka biri) kitapta fark ettiği bir şeydir. Eğlenceli geometri . Çözülmüş problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrimin gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, bu da çok büyük görünüyor. Bu arada ortalama bir insan tüm hayatı boyunca alanı 18 odaya eşdeğer olan bir sıvıyı içer. metrekare tam tersine çok küçük bir hacim gibi görünüyor.

Genel olarak SSCB'deki eğitim sistemi gerçekten en iyisiydi. Perelman'ın 1950'de yayınlanan aynı kitabı, mizahçının dediği gibi, çok iyi gelişiyor, size orijinali aramayı anlıyor ve öğretiyor. standart dışı çözümler sorunlar. Geçenlerde bazı bölümleri büyük bir ilgiyle yeniden okudum, tavsiye ederim, hümanistlerin bile okuyabileceği bir kitap. Hayır, boş zaman teklif ettiğim için gülümsemenize gerek yok, iletişimde bilgi ve geniş ufuklar harika bir şey.

Sonrasında lirik ara söz karar vermek uygundur yaratıcı görev:

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan bir cismin hacmini hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Lütfen tüm durumların bantta gerçekleştiğini, yani entegrasyon için hazır limitlerin verildiğini unutmayın. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini doğru çizin, size bununla ilgili ders materyalini hatırlatayım grafiklerin geometrik dönüşümleri: eğer argüman ikiye bölünürse: , grafikler eksen boyunca iki kez uzatılır. En az 3-4 puan bulmanız tavsiye edilir trigonometrik tablolara göreÇizimi daha doğru tamamlamak için. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Bu arada, görev çok rasyonel değil, rasyonel olarak çözülebilir.

Döndürülerek oluşturulan bir cismin hacminin hesaplanması
bir eksen etrafında düz şekil

İkinci paragraf birincisinden daha da ilginç olacak. Ordinat ekseni etrafında dönen bir cismin hacmini hesaplama görevi de oldukça sık karşılaşılan bir konudur. testler. Yol boyunca dikkate alınacak bir şeklin alanını bulma problemi ikinci yöntem eksen boyunca entegrasyondur, bu yalnızca becerilerinizi geliştirmenize olanak sağlamakla kalmayacak, aynı zamanda size en karlı çözüm yolunu bulmayı da öğretecektir. Bunun pratik bir yanı da var. hayatın anlamı! Matematik öğretme yöntemleri öğretmenimin gülümseyerek hatırladığı gibi, birçok mezun ona şu sözlerle teşekkür etti: “Konunuzun bize çok faydası oldu, artık biz de etkili yöneticiler ve personelimizi en iyi şekilde yönetiyoruz. Bu fırsatı değerlendirerek, özellikle burada edindiğim bilgileri kullandığım için kendisine büyük şükranlarımı sunuyorum. doğrudan amaç =).

Herkese tavsiye ederim, hatta tam mankenler bile. Ayrıca, ikinci paragrafta öğrenilenler çift katlı integrallerin hesaplanmasında paha biçilmez yardım sağlayacaktır..

Örnek 5

Düz bir rakam verildiğinde çizgilerle sınırlı , , .

1) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun.

Dikkat! Sadece ikinci noktayı okumak isteseniz bile, önce mutlaka ilkini oku!

Çözüm: Görev iki bölümden oluşmaktadır. Kareyle başlayalım.

1) Bir çizim yapalım:

Fonksiyonun parabolün üst dalını, fonksiyonun da parabolün alt dalını belirttiğini görmek kolaydır. Önümüzde "kendi tarafında duran" önemsiz bir parabol var.

İstenilen şekil Bulunacak alan mavi renkle gölgelendirilmiştir.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur? Sınıfta tartışılan “olağan” şekilde bulunabilir. Belirli integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır. Ayrıca şeklin alanı alanların toplamı olarak bulunur:
- segmentte ;
- segmentte.

Bu yüzden:

Bu durumda kötü olan ne? olağan yolçözümler? Öncelikle iki integralimiz var. İkincisi, integraller köklerdir ve integrallerdeki kökler bir hediye değildir ve ayrıca integralin sınırlarını değiştirirken kafanız karışabilir. Aslında integraller elbette öldürücü değil ama pratikte her şey çok daha üzücü olabilir, ben sadece problem için "daha iyi" fonksiyonları seçtim.

Daha fazlası var rasyonel yolçözümler: taşınmayı içerir ters fonksiyonlar ve eksen boyunca entegrasyon.

Ters fonksiyonlara nasıl ulaşılır? Kabaca söylemek gerekirse “x”i “y”ye kadar ifade etmeniz gerekiyor. İlk önce parabole bakalım:

Bu kadar yeter ama aynı fonksiyonun alt daldan da türetilebildiğinden emin olalım:

Düz bir çizgiyle daha kolaydır:

Şimdi eksene bakın: lütfen açıklarken başınızı periyodik olarak 90 derece sağa doğru eğin (bu bir şaka değil!). İhtiyacımız olan rakam kırmızı noktalı çizgiyle gösterilen segmentin üzerinde yer alıyor. Bu durumda, segmentte düz bir çizgi parabolün üzerinde bulunur; bu, şeklin alanının zaten bildiğiniz formül kullanılarak bulunması gerektiği anlamına gelir: . Formülde neler değişti? Sadece bir mektup ve daha fazlası değil.

! Not: Eksen boyunca entegrasyonun sınırları belirlenmeli kesinlikle aşağıdan yukarıya!

Alanı bulmak:

Bu nedenle segmentte:

Lütfen entegrasyonu nasıl gerçekleştirdiğime dikkat edin, bu en çok rasyonel yol ve görevin bir sonraki paragrafında bunun nedeni açık olacaktır.

Entegrasyonun doğruluğundan şüphe duyan okuyucular için türevleri bulacağım:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilir, bu da entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir.

Cevap:

2) Bu şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayalım.

Çizimi biraz farklı bir tasarımla yeniden çizeceğim:

Yani mavi renkle gölgelenen şekil eksen etrafında dönmektedir. Sonuç, kendi ekseni etrafında dönen bir "havada uçan kelebek"tir.

Dönen cismin hacmini bulmak için eksen boyunca integral alacağız. Öncelikle ters fonksiyonlara gitmemiz gerekiyor. Bu zaten önceki paragrafta ayrıntılı olarak yapılmış ve açıklanmıştır.

Şimdi başımızı tekrar sağa eğip figürümüzü inceliyoruz. Açıkçası, dönen bir cismin hacmi, hacimler arasındaki fark olarak bulunmalıdır.

Kırmızı daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürerek kesik bir koni elde ediyoruz. Bu hacmi ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürüyoruz ve elde edilen dönme gövdesinin hacmiyle belirtiyoruz.

Kelebeğimizin hacmi farka eşit birimler

Dönen cismin hacmini bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Önceki paragraftaki formülden farkı nedir? Sadece mektupta.

Ancak yakın zamanda bahsettiğim entegrasyonun avantajını bulmak çok daha kolay , önce integrali 4'üncü kuvvete yükseltmek yerine.

Cevap:

Ancak hasta bir kelebek değil.

Aynı düz şekil eksen etrafında döndürülürse, doğal olarak farklı hacimde, tamamen farklı bir dönüş gövdesi elde edeceğinizi unutmayın.

Örnek 6

Çizgilerle ve bir eksenle sınırlanmış düz bir şekil verilmiştir.

1) Ters fonksiyonlara gidin ve bu doğruların sınırladığı bir düzlem şeklinin alanını değişken üzerinden integral alarak bulun.
2) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İlgilenenler ayrıca bir şeklin alanını “olağan” şekilde bulabilir, böylece 1) noktasını kontrol edebilirler. Ancak tekrar ediyorum, düz bir şekli eksen etrafında döndürürseniz, farklı bir hacme sahip tamamen farklı bir dönme gövdesi elde edersiniz, bu arada, doğru cevap (ayrıca sorunları çözmeyi sevenler için).

Görevin önerilen iki noktasının tam çözümü dersin sonundadır.

Evet, dönme gövdelerini ve entegrasyonun sınırlarını anlamak için başınızı sağa eğmeyi unutmayın!

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Hedef:

çocukların düz ve üç boyutlu nesnelere ilişkin anlayışlarını derinleştirmek ve genişletmek; bunları karşılaştırmak ve aralarındaki farkları belirlemek;
öğrencilerin geometrik şekiller ve özellikleri hakkındaki bilgilerinin belirlenmesi ve genelleştirilmesi;
çeşitli düz figürlerin tasarlanması;
Bir grupta çalışma becerilerini geliştirmek, kurallara uymak, bir hedef belirlemek, ona ulaşmak, işinizi ve grubun çalışmasını analiz etmek.

Biçim: ders dışı etkinliklerde ders gezisi veya grup çalışması.

Teçhizat: sınıf için sunum; her grup için: inşaat seti, görevleri ve şekilleri içeren zarflar, geometrik cisimler, kural kartları.

Dersin ilerlemesi

BEN. Organizasyon anı.

Biz buraya tembellik etmeye değil, çalışmaya geldik.
Özenle çalışıyoruz ve dikkatle dinliyoruz.
Birlikte, neşeyle ve dostane bir şekilde ihtiyacımız olan her şeyi yapıyoruz.

Bugünkü çalışmalarımız gruplar halinde gerçekleşiyor. Çalışmamızın kurallarını tekrarlayalım: (Her grubun masasında bir hatırlatma kartı bulunur, her kuralı sırasıyla kıdemli gruplara hatırlatın). Kurallar Ek'tedir.

bunu biliyor muydun? büyük dünyaÇok sayıda matematikçi var ilginç ülke güzel bir isimle - Geometri. Bu ülkede sayılar değil, çeşitli çizgiler, figürler ve bedenler yaşıyor. (Slayt 2)

Bugün Geometri ülkesinde bir yolculuğa çıkıp düz ve üç boyutlu figürlerin yaşadığı şehirleri ziyaret edeceğiz. Görevimiz hangi geometrik şekillerin düz, hangilerinin üç boyutlu olduğunu ve bunların nasıl farklılaştığını bulmaktır.

Sıcak hava balonuyla seyahat edeceğiz. (Slayt 3)

Neden düşünüyorsun? - Geometrik şekillerden bir araya getirilmiştir.

Yolculuk sırasında balonumuzun parçalarının hangi gruba ait olduğunu öğreneceğiz.

II. Ana kısım.

Öyleyse gidelim!

Şehri önümüzde görüyoruz. Ne tür bir şehir? Bakmak!

1. durak - dağıtım durağı.

Evet, bir değil iki şehir. (Slayt 4)

Önünüzde iki şehir var. İsimlerini okuyun.

Masalarda ayrıca çeşitli figürler görüyorsunuz - bunlar şehir sakinleri. Zarftaki şekillere bakın, isimlerini verin, bize bir tanesini anlatın.

Gruplar halinde çalışmak.

Şimdi bize hangi rakamları doldurduğunuzu söyleyin Düz figürlerin şehri.

Çocukların cevapları. (4-sola kaydırın)

Tüm düz figürlerin ortak noktası nedir?

(Tamamen bir kağıda veya masaya serilirler, düzlemin üzerine çıkmazlar, kağıttan kesilebilirler.)

Matematikçiler bunu söylüyor uçak - bu iki boyutlu bir alandır, yani. iki boyutu vardır: uzunluk ve genişlik.

Başka hangi düz figürleri biliyorsun?

Parçalar, düz çizgiler, üçgenler, daireler...

Şimdi yerleşen rakamları adlandırın Hacimsel rakamların şehri.

Çocukların cevapları. (4-sağa kaydırın)

Bu rakamların ortak noktası nedir?

Onları nasıl yerleştirdiğiniz önemli değil, masanın veya tahtanın üzerinde yükselecekler.

Başka hangi üç boyutlu şekilleri biliyorsunuz? Her grup kendi üç boyutlu figürlerini adlandırır.Çocukların cevapları.

Geometride hacimsel şekillere özel bir isim vardır: geometrik gövde.

Çevremizdeki tüm bedenler üç boyut: uzunluk, genişlik ve yükseklik. Doğru, tüm geometrik cisimlerin uzunluğu, genişliği ve yüksekliği olamaz. Ama en dikdörtgen paralel yüzlü Olabilmek.

Öğretmenin gösterisinde çocuklar masaların üzerindeki paralelyüzlerini inceliyorlar. Bütün yüzleri dikdörtgendir. Birçok nesne bu şekle sahiptir. Onlara isim verin. (Slayt 6) Çocukların cevapları.

Konumuza dönelim balon. Düz veya üç boyutlu hangi şekillerden oluşur? - Silindir ve top üç boyutlu şekillerdir ve şerit çizgileri düzdür. (Slayt 7)

Güneş yükseldi ve uzaklara uçuyoruz.

Durak 2 – bilimsel. Grup No.1.

Şimdi tahmin edin hangi rakamdan bahsediyoruz?

Öğrenci 1: Üç açı, üç kenar

Farklı uzunluklarda olabilir. ( üçgen). (Slayt 8)

Öğrenci 2: Bu düz bir rakam. 3 köşesi, 3 köşesi, 3 kenarı vardır. Kenarlar aynı veya farklı uzunluklarda olabilir.

Öğrenci 3:Üçgen, kesikli bir çizginin üç parçasından oluşur.

Bu nasıl bir figür, düz mü yoksa üç boyutlu mu? Çocukların cevapları.

(Slayt 9) Geometrik şekillere sahip ZARF. Sonraki şekil...

2 numaralı grup.

Öğrenci 1: Tuğlanın tamamını asfalt üzerine tebeşirle çizin,

Ve bir figür elde edeceksiniz - elbette buna aşinasınız.

Bu dikdörtgen. slaytta “tıklayın” )

Öğrenci 2: Dikdörtgenin 4 köşesi, 4 köşesi, 4 kenarı vardır. Çiftler halinde eşit.

Öğrenci 3: Model 4 bağlantıdan oluşan kapalı bir kesikli çizgidir. Bağlantılar çiftler halinde eşittir.

3 numaralı grup.

Öğrenci 1: Dört kenarı da aynı uzunluktadır.

Kendisini size tanıtmaktan mutluluk duyuyor ama adı...( kare).

Öğrenci 2: Karenin 4 köşesi, 4 köşesi ve 4 eşit kenarı vardır.

Öğrenci 3: model – aynı uzunlukta 4 bağlantıdan oluşan kapalı bir çizgi.

4 numaralı grup.

Öğrenci 1:Üçgen burnunu jet elektrikli süpürgeye soktu.

Ve burnu yok - aman Tanrım! – etek gibi oldu.

En ilginç olanı şu anki isminin ne olduğu. ( yamuk)

Öğrenci 2: 4 köşe, 4 köşe, 4 kenar. Kenarların hepsi farklı ya da kenarlar eşit ama tabanlar farklı.

Öğrenci 3: model – 4 kapalı çizgi, açılar – 2 geniş ve 2 dar.

5 numaralı grup.

Öğrenci 1: tüm kareler köşelerde belirli bir açıyla duruyorsa,

Gördüğümüz şey kareler değildi arkadaşlar, ama... ( elmaslar.)

Öğrenci 2: 4 köşe, 4 köşe, 4 kenar. Kenarlar eşit Zıt açılar– aynı zamanda eşittir.

Öğrenci 3: model – 4 kapalı çizgi, tanımlanmış açılar.

Güneş yükseldi ve uzaklara uçuyoruz.
İleride dur. Bu nedir? Bakmak!

3. durak - dur. Beden eğitimi dersi: “Nokta, nokta, virgül...” Müzik eşliğinde dans hareketleri. (Ders için video kaydı)

Durak 4 – tasarım. (Slayt 10) Önünüzde tasarım parçalarının bulunduğu kaplar var. Her grubun rakamları göreve göre birleştirmesi gerekir. (Ek'e bakınız).

Bir görev bulun, ayrıntıları sıralayın, bir eylem planını tartışın ve işe başlayın: geometrik şekilleri birleştirin. Onlara isim verin.

Çiftler halinde çalışın. Grupların büyükleri yardım ediyor ve organize oluyor. Eserlerin analizi.

III. Dersin özeti. Refleks. Böylece Geometri ülkesindeki ilk yolculuğumuz sona erdi. Ancak bu muhteşem ve harika ülkeyi birden fazla kez ziyaret etmeli ve birçok yeni şey öğrenmelisiniz. Bugün hepiniz harika çalıştınız ve bu yüzden... aferin.

Grup çalışmalarının analizi: görevin tamamlanıp tamamlanmadığı, işin kalitesi, kurallara uygunluk (gruplardaki çalışmayı değerlendirmek için kartlar).

Dersimiz bitti. İlginiz için teşekkür ederiz. (slayt 11)