Sprendžiant nelygybes, kuriose yra nežinomasis po absoliučiu ženklu, naudojama ta pati technika, kaip ir sprendžiant lygtis, kuriose yra nežinomasis po absoliučiu ženklu, būtent: pradinės nelygybės sprendimas sumažinamas iki kelių nelygybių, nagrinėjamų reiškinių pastovaus ženklo intervalais po absoliučiu ženklu, sprendimas. absoliutus ženklas padidintas.
Pavyzdys: Išspręskite nelygybę
x 2 - 2 + x< 0. (*)
Sprendimas: Panagrinėkime išraiškos x 2 - 2 pastovaus ženklo intervalus, stovinčius po absoliutaus dydžio ženklu.
1) Tarkime, kad
tada nelygybė (*) įgauna formą
x 2 + x -2< 0.
Šios nelygybės sprendinių aibės ir nelygybės x 2 -2 0 sankirta parodo pirmąją pradinės nelygybės sprendinių rinkinį (1 pav.): x(-2; -].
- 2) Tarkime, kad x 2 - 2
- 2 - x 2 + x
Šios nelygybės sprendinių aibės ir nelygybės x 2 - 2 sankirta< 0 дает второе множество решений исходного неравенства (рис. 2): х(-; -1). Объединяя найденные множества решений, окончательно получаем х(-2; -1)
Atsakymas: x(-2; -1).
Skirtingai nei lygtys, nelygybės negali būti tiesiogiai patikrintos. Tačiau daugeliu atvejų galite patikrinti, ar gauti rezultatai yra teisingi. grafiškai. Iš tiesų, pavyzdžio nelygybę parašykime formoje
x - 2< -х.
Sukurkime funkcijas y 1 = x 2 - 2 ir y 2 = -x, įtrauktas į kairę ir dešinėje pusėje nagrinėjamą nelygybę ir raskite tas argumento reikšmes, kurioms y 1 Fig. 3, tamsesnėje x ašies srityje yra norimos x reikšmės. Nelygybių, turinčių absoliučios reikšmės ženklą, sprendimą kartais galima žymiai sumažinti naudojant lygybę x 2 = x 2. 3 pav Pavyzdys: Išspręskite nelygybę Sprendimas: pradinė nelygybė visiems x -2 yra lygiavertė nelygybei x - 1> x + 2. (**) Atvedus abi nelygybės (**) puses kvadratu panašių narių gauname nelygybę 6x< -3, т.е. х < -1/2. Atsižvelgiant į daugelį priimtinos vertės pradinė nelygybė, nustatyta sąlyga x -2, galiausiai gauname, kad nelygybė (*) tenkinama visiems x(-; -2)(-2; -1/2). Atsakymas: (-; -2) (-2; -1/2). Pavyzdys: Raskite mažiausią sveikąjį skaičių x, kuris tenkina nelygybę: Sprendimas: Kadangi x +1 0 ir pagal sąlygą x +1 0, ši nelygybė yra lygi: 2x + 5 > x +1. Pastaroji, savo ruožtu, yra lygiavertė nelygybių sistemai -(2x + 5)< х + 1 < 2х + 5, Mažiausias sveikasis skaičius x, tenkinantis šią nelygybių sistemą, yra 0. Atkreipkite dėmesį, kad x -1, kitaip išraiška kairėje pusėje šios nelygybės neturi prasmės. Pavyzdys: Išspręskite nelygybę: Atsakymas: [-1; 1]. Pavyzdys: Išspręskite nelygybę x2 – 3x + 2+ 2x + 1 5. Sprendimas. x 2 – 3x + 2 yra neigiamas ties 1< x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая. Atsakymas: 5 - 41 2 ? X? 2. Pavyzdys: Išspręskite nelygybę. x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8. Sprendimas. Išspręskime šią nelygybę nestandartiniu būdu. x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8, x 3 + x - 3 - 5 x 3 + x - 8 x 3 + x - 3 x 3 - x + 13 x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3 x 3 + x - 3 x 3 - x + 13, x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13, x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3, x 3 + x - 3 x 3 - x + 3 Kemerovas savivaldybės švietimo įstaiga „Vidurinė“ vidurinę mokyklą Nr. 37" Pasirenkamasis kursas 10-11 klasių mokiniams Lygtys, nelygybės ir sistemos, Sudarė: Kaplunova Zoja Nikolaevna matematikos mokytojas Aiškinamasis raštas…………………………………………..2 psl Mokymosi programa ir teminis planas……………………………………p. 6 Raktinių žodžių sąrašas……………………………………………………………………………………………………………… Literatūra mokytojams……………………………………………..8 psl Literatūra studentams………………………………………8 p Aiškinamasis raštas. Pagrindinis matematikos mokymo mokykloje uždavinys – užtikrinti, kad mokiniai tvirtai ir sąmoningai įsisavintų sistemą matematines žinias ir reikalingi įgūdžiai kasdienybė Ir darbinė veikla kiekvienas narys šiuolaikinė visuomenė, pakanka studijoms susijusios disciplinos ir tęstinis mokymasis. Kartu su pagrindinės problemos sprendimu giliau studijuojant matematiką, mokiniuose formuojamas tvarus domėjimasis dalyku, identifikuojamas ir ugdomas. matematinius gebėjimus, orientacija į profesijas, reikšmingai susijusias su matematika, pasirengimas studijoms universitetuose. Tebėra aktualus matematikos mokymo diferencijavimo klausimas, leidžiantis, viena vertus, atlikti pagrindinį matematikos mokymą, kita vertus, patenkinti kiekvieno besidominčio šiuo dalyku poreikius. Šio kurso programa „Lygtys, nelygybės ir sistemos, turinčios absoliučios reikšmės ženklą“ siūlo nagrinėti klausimus, kurie nėra visiškai įtraukti į pagrindinės mokyklos matematikos kursą, tačiau yra būtini tolesniam jo studijavimui. Absoliučios vertės (modulio) sąvoka yra viena iš svarbiausios savybės numeriai tiek realiame domene, tiek domene kompleksiniai skaičiai. Ši sąvoka plačiai naudojama ne tik įvairiuose skyriuose mokyklos kursas, bet ir kursuose aukštoji matematika, fizikos ir technikos mokslus studijavo universitetuose. Pavyzdžiui, apytikslių skaičiavimų teorijoje absoliučios ir sąvokos santykinės klaidos apytikslis skaičius. Mechanikoje ir geometrijoje nagrinėjamos vektoriaus ir jo ilgio (vektoriaus modulio) sąvokos. Matematinės analizės metu skaičiaus absoliučios vertės sąvoka yra tokių pagrindinių sąvokų apibrėžimuose kaip riba, ribota funkcija ir tt. Dažnai kyla problemų, susijusių su absoliučiomis reikšmėmis matematikos olimpiados, stojamieji egzaminai į universitetus ir vieningas valstybinis egzaminas. IN mokyklos mokymo programa Matematikos kurse nenumatomas studentų per visą studijų laikotarpį įgytų žinių apie modulius ir jų savybes apibendrinimas ir sisteminimas. Taigi šis kursas „Lygtys, nelygybės ir sistemos, turinčios absoliučios reikšmės ženklą“ yra skirtos išplėsti pagrindinis kursas algebra ir pradžios analizė bei suteikia studentams galimybę susipažinti su pagrindiniais su moduliais susijusių užduočių atlikimo technikomis ir metodais. Pažadina mokslinių tyrimų interesasį šias problemas, vystosi loginis mąstymas, prisideda prie patirties įgijimo atliekant aukštesnę užduotį privalomas lygis sudėtingumo. Kursas „Lygtys, nelygybės ir sistemos, turinčios absoliučios reikšmės ženklą“ skirtas specializuotas mokymas 10-11 klasių mokinių ir yra skirta 34 valandoms (1 val. per savaitę). Mokant šį kursą, siūloma naudoti įvairių metodų atgaivinimas pažintinė veikla studentai, taip pat įvairių formų organizuoti savo savarankišką darbą. Šio kurso metu studentai mokysis teorinė medžiaga ir atlikti praktines užduotis. Kurso programos įsisavinimo rezultatas – pristatymas kūrybiniai darbai paskutinėje pamokoje Studijuojant kursą numatyta testo kontrolė. Kurso tikslai: *žinių tema „Absoliuti vertė“ apibendrinimas ir sisteminimas, plėtimas ir gilinimas; *įgyti praktinių įgūdžių atliekant užduotis su moduliu; * aukštyn lygiu matematinis mokymas studentai. Kurso tikslai *
aprūpinti mokinius žinių sistema tema „Absoliuti vertė“ *ugdyti gebėjimus pritaikyti šias žinias sprendžiant įvairaus sudėtingumo problemas; *rengti mokinius vieningam valstybiniam egzaminui; *ugdyti savarankiško ir grupinio darbo įgūdžius; *ugdyti darbo su informacine literatūra įgūdžius; Reikalavimai mokomosios medžiagos įsisavinimo lygiui Studijuodami kurso programą studentai turi galimybę žinoti ir suprasti: *nelygybių lygčių ir sistemų su moduliu sprendimo apibrėžimai, sąvokos ir pagrindiniai algoritmai; *funkcijų, turinčių absoliučios reikšmės ženklą, grafikų sudarymo taisyklės; Gebėti: *taikyti apibrėžimą, absoliučios vertės savybes realus skaičius realiųjų skaičių sprendimui konkrečių problemų sprendimui; *spręsti lygtis, nelygybes, lygčių ir nelygybių sistemas, turinčias kintamąjį po modulio ženklu; *gebėti savarankiškai atlikti smulkius tyrimus. 1. Įvadas 1 val Kurso tikslai ir uždaviniai. Kurse nagrinėjami klausimai ir jo struktūra. Susipažinimas su literatūra, kūrybinių darbų temomis. 2. (4 valandos) Absoliučios vertės nustatymas. Geometrinė interpretacija modulio sąvokos. Operacijos su absoliučiomis vertėmis. Išraiškų, turinčių kintamąjį po modulio ženklu, supaprastinimas. Modulio savybių taikymas sprendžiant uždavinius. 3. Funkcijų grafikai, kuriuose yra absoliučios reikšmės ženklas (8 valandos). Funkcijų grafikų konstravimo taisyklės ir algoritmai. Apibrėžimas lygi funkcija. Geometrinės transformacijos funkcijų grafikai, kuriuose yra modulio ženklas. Pagrindinė grafikų konstravimas naudojant paprasčiausių funkcijų pavyzdžius. Lygčių grafikai: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),kur f(x)≥0; |y|=|f(x)| 4.Lygtys su absoliučiomis reikšmėmis. (10 valandų) Pagrindiniai lygčių su moduliu sprendimo metodai. Modulio išplėtimas pagal apibrėžimą, perėjimas iš pradinė lygtisį lygiavertę sistemą, padalijus abi lygties puses kvadratu, intervalo metodas, grafinis metodas, absoliučios vertės savybių naudojimas. Formos lygtys: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|; Kintamųjų pakeitimo būdas sprendžiant lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės. Intervalinis metodas, skirtas spręsti lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės. Formos lygtys:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x). Metodas, skirtas nuosekliai atskleisti modulį sprendžiant lygtis, kuriose yra „modulis modulyje“. Grafinis sprendimas lygtys, kuriose yra absoliučios reikšmės. 5. Nelygybės su absoliučiomis reikšmėmis (10 valandų) Nelygybės su vienu nežinomu. Pagrindiniai nelygybių sprendimo metodai su moduliu |f(x)|>a. Formos a|f(x)|>g(x) nelygybės; |f(x)|>|g(x)|. 6. Paskutinė pamoka (1 val.) Kūrybinių darbų pristatymas. III skyrius. Edukacinis ir teminis planas Skyrių ir temų pavadinimai Praktika Elgesio forma Kontrolės forma Įvadas Žinių aukcionas Anketa, įrašai Absoliuti tikrojo skaičiaus vertė Absoliuti tikrojo skaičiaus vertė Paskaita, dirbtuvės Pagrindinės pastabos, problemų sprendimas Supaprastinamos išraiškos, kuriose yra kintamasis po modulio ženklu dirbtuvės Problemų sprendimas Lygčių grafikai, kuriuose yra modulio ženklas Diagramų braižymo taisyklės ir algoritmai Seminaras Atmintinė su taisyklėmis ir konstravimo algoritmais Lyginės funkcijos apibrėžimas. Geometrinės grafikų transformacijos Seminaras – dirbtuvės Pagrindinė santrauka, užduoties sprendimas Lygčių grafikai: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),kur f(x)≥0; |y|=|f(x)| Planavimo eigos tikrinimas Lygtys, kuriose yra absoliučios reikšmės Pagrindiniai lygčių su moduliu sprendimo metodai Pastabos, algoritmai Formos lygtys: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|; dirbtuvės Išspręstų užduočių tikrinimas Intervalinis metodas lygtims, turinčioms modulio ženklą, spręsti. Formos lygtys:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x). Seminaras Pagrindiniai užrašai, išspręstų užduočių tikrinimas Metodas, skirtas nuosekliai atskleisti modulį sprendžiant lygtis, kuriose yra „modulis modulyje“ dirbtuvės Santrauka, atmintinė, tikrinimo užduotys Grafinis lygčių, turinčių absoliučiąsias reikšmes, sprendimas. Seminaras Diagramos testas Nelygybės, turinčios absoliučias reikšmes Nelygybės su vienu nežinomu. Pagrindiniai nelygybių su moduliu sprendimo metodai abstrakčiai Pagrindiniai nelygybių su moduliu sprendimo metodai dirbtuvės Santrauka, sprendimo patikrinimas Formos a|f(x)|>g(x) nelygybės; |f(x)|>|g(x)|. dirbtuvės Intervalinis metodas nelygybėms, turinčioms modulio ženklą, spręsti. dirbtuvės Bandymo valdymas Paskutinė pamoka konferencija tezės IV skyrius. Raktinių žodžių sąrašas. Algoritmas, lygtis, nelygybė, modulis, grafikas, koordinačių ašys, lygiagretus perdavimas, centrinis ir ašinė simetrija, intervalo metodas, kvadratinis trinaris, daugianomas, daugianario faktorizavimas, sutrumpintos daugybos formulės, simetrinės lygtys, abipusės lygtys, absoliučios vertės savybės, apibrėžimo sritis, leistinų reikšmių sritis. V skyrius. Literatūra mokytojams. 1. Bašmakovas M.I. Lygtys ir nelygybės. (Tekstas)/ M.I. Bašmakovas.-M.: VZMSH Maskvos valstybiniame universitete, 1983.-138p. 2.Vilenkin N.Ya ir kt. Algebra ir matematinė analizė, 11 klasė. (Tekstas)/N.Ya. Vilenkin-M.: Švietimas, 2007.-280 p. 3. Gaidukovas I.I. Absoliuti vertė. (Tekstas)/ Gaidukovas I.I. –M.: Švietimas, 1968.-96 p. 4. Gelfand I. M. et al. Funkcijos ir grafikai (tekstas) / I. M. Gelfand - M.: MTsNMO, 5. Goldichas V.A. Zlotin S.E.t 3000 uždaviniai algebroje (tekstas) / V.A. Goldich S.E.-M.: Eksmo, 2009.-350 p. 6. Kolesnikova S.I. Matematika. Intensyvus kursas pasirengimas Unifikacijai Valstybinis egzaminas. (Tekstas)/ Kolesnikova S.I. - M.: Iris-press 2004.-299p. 7. Nikolskaya I.L. Pasirenkamas kursas matematikoje. (Tekstas)/I.L. Nikolskaja- M.: Švietimas, 1995.-80 p. 8.Olekhnik S.N. ir kiti lygtys ir nelygybės. Nestandartiniai metodai sprendimus. (Tekstas)/ .Olekhnik S.N.-M.: Bustard, 2002.-219 p. VI skyrius. Literatūra studentams 1. Goldich V.A. Zlotin S.E.t 3000 uždaviniai algebroje (tekstas) / V.A. Goldich S.E.-M.: Eksmo, 2009.-350 p. 2. Kolesnikova S.I. Matematika. Intensyvus pasirengimo Vienam kursas ... Užpasirinkimas tas ar anas akademinis dalykas(mokymo programoje skyrius: „ Pasirenkamasiskursai") V 10
-11
klases... ir taip pat viduje sistema papildomas išsilavinimas. Užšios kategorijos studentai parengtas ir įgyvendintas tinklo mokymas kursaiAutorius visi... ... studentai. IN šis tyrimas pristatyta pasirenkamasisgeraiAutorius matematika "Pradžia" matematinė analizė ir jų taikymas“ Už10
- 11
profilį klases... priklausomybės ir santykiai (funkcijos, lygtys, nelygybės ir tt). Dažniausiai pirmiausia nustatoma... Pagrindinio patiekalo turinys Absoliuti skaičiaus reikšmė. Pagrindinės savybės (1 val.).
Skaičiaus ar modulio absoliučios reikšmės nustatymas. Analitinis apibrėžimo įrašas. Geometrinė reikšmė. Pagrindinės savybės. Istorinė informacija. Pagrindinis tikslas – susisteminti ir apibendrinti mokinių žinias tema „Absoliuti vertė“, įgytas 6 ir 8 klasėse; apsvarstyti geometrine prasme absoliuti vertė ir pagrindinės savybės; pateikti istorinę informaciją apie terminų „modulis“ ir „modulio ženklas“ įvedimą; apsvarstykite pavyzdžius, kurių sprendimas pagrįstas modulio apibrėžimu. Lygčių sprendimas moduliais (3 val.).
Linijinis sprendimas kvadratines lygtis su moduliais, taip pat lygtimis, kuriose yra absoliuti vertė, su parametrais. Pagrindinis tikslas– geometrinė išraiškos interpretacija ir panaudojimas sprendžiant formos lygtis ; apsvarstykite tiesinių lygčių sprendimą pagal modulio apibrėžimą; sprendžiant kvadratines lygtis, turinčias absoliučios reikšmės ženklą, taip pat grafiškai sprendžiant lygtis, turinčias absoliučią reikšmę su parametrais. Nelygybių sprendimas moduliais (3 val.).
Linijinis sprendimas kvadratinės nelygybės su moduliais, taip pat nelygybės, turinčios absoliučias reikšmes su parametrais. Pagrindinis tikslas- ugdyti sprendimų priėmimo įgūdžius tiesinės nelygybės su moduliu įvairiais būdais (naudojant geometrinę reikšmę, kvadratuojant nelygybę, naudojant dvigubą nelygybę); kvadratinės nelygybės, turinčios absoliučios reikšmės ženklą, naudojant scheminį grafiko eskizą kvadrato funkcija, taip pat intervalo metodas; suteikti idėją, kaip išspręsti nelygybes, susijusias su absoliučiomis reikšmėmis su parametrais. Intervalinis metodas (2 val.).
Lygčių ir nelygybių, apimančių absoliučiąsias reikšmes, sprendimas naudojant intervalų metodą. Pagrindinis tikslas
- išmokyti moksleivius spręsti lygtis ir nelygybes, turinčias absoliučias reikšmes, naudojant intervalų metodą; suformuluoti teoremą, kuria grindžiama pastovaus ženklo intervalų paieška; modulio nulių radimas. Formos , , sprendžiamos ekvivalentiniais perėjimais nelygybės (2h).
Formos nelygybių sprendimas lygiaverčiais perėjimais į nelygybių aibę, o nelygybes - į nelygybių sistemą. Pagrindinis tikslas– įtvirtinti lygiavertiškumo sampratą, žinomą mokiniams nuo 8 klasės; suformuluoti (ir įrodyti „stipriojoje“ klasėje) ekvivalentinio perėjimo iš nelygybės į aibę ir iš nelygybės į sistemą savybę. Absoliučios vertės savybių taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes (1 val.).
Sprendžiant lygtis ir nelygybes (tiesines, kvadratines, aukštesnius už du laipsnius), taip pat lygčių ir nelygybių sistemas naudojant absoliučios vertės savybes. Pagrindinis tikslas– jei reikia, pakartokite pagrindines modulio savybes; mokyti spręsti lygtis ir nelygybes (tiesines, kvadratines, laipsnius virš dviejų), taip pat lygčių ir nelygybių sistemas naudojant absoliučios vertės savybes; rašant atsakymą parodyti grafines technikas; išplėskite lygčių klasę su moduliu (apsvarstykite lygtį su dviem kintamaisiais). Lygčių ir nelygybių su absoliučia reikšme sprendimas koordinačių tiesėje (1 val.).
Sprendimas tiesines lygtis ir nelygybės su moduliu koordinačių tiesėje. Pagrindinis tikslas– pakartokite atstumo tarp dviejų taškų formulę A( x 1) ir B( x 2) koordinačių tiesė; mokyti studentus spręsti lygtis ir nelygybes su moduliu koordinačių tiesėje. Modulis ir šaknų transformacija (1 val.).
Modulio sąvokos taikymas operuojant su aritmetinėmis šaknimis. Iracionalių reiškinių transformacija, kurios sprendimui naudojamas modulis. Pagrindinis tikslas– ugdyti gebėjimą atlikti reiškinių, turinčių kvadratinę šaknį, transformacijas, kuriose naudojamas modulis. Modulio ir iracionaliosios lygtys (2 val.).
Sprendimas neracionalios lygtys naudojant pilno kvadrato išskyrimo arba naujo kintamojo įvedimo metodą. Pagrindinis tikslas– kartoti 8 klasės mokiniams žinomą iracionaliųjų lygčių apibrėžimą; su pavyzdžiais parodykite neracionalių lygčių, susijusių su modulio naudojimo poreikiu, sprendimą. Edukacinis ir teminis planas Linijinis; Kvadratas; Su parametrais. dirbtuvės mokytis naujos medžiagos sprendžiant testo užduotis darbo knygelių tikrinimas Linijinis; Kvadratas; Su parametrais. mokytis naujos medžiagos atsakymus į klausimus darbo knygelių tikrinimas pamoka-konkursas tarpusavio peržiūros pamoka išmoktos medžiagos konsolidavimas matematinis diktantas konsultacija atsakymus į klausimus Literatūros mokytojams sąrašas Literatūros studentams sąrašas Metodinė medžiaga 1 pamoka: Skaičiaus absoliučios reikšmės (skaičiaus modulio), geometrinės reikšmės ir pagrindinių savybių nustatymas. Absoliuti tikrojo skaičiaus a reikšmė (arba modulis) yra pats skaičius, jei jis yra neneigiamas, ir šis skaičius paimtas iš priešingas ženklas, jei jis yra neigiamas. Skaičiaus modulis žymimas taip: Nustatę ryšį tarp skaičiaus modulio ir paties skaičiaus, gauname analitinį apibrėžimo žymėjimą: = Skaičiaus modulis taip pat yra atstumas nuo pradžios iki taško, vaizduojančio šį skaičių koordinačių tiesėje. Tai yra geometrine prasme modulis. Tai. Vartojami skaičiaus terminai „modulis“, „absoliuti vertė“ arba „absoliuti reikšmė“. Pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą = 5, = 3, =0. Skaičiaus modulis taip pat gali būti apibrėžtas kaip didžiausias iš skaičių a ir – a. Istorinė informacija: terminą „modulis“ (iš lot. modulis - matas) įvedė anglų matematikas R. Cotesas (1682-1716), o modulio ženklą – vokiečių matematikas K. Weierstrassas (1815-1897), 1841 metais. Pagrindinės modulio savybės: Pažiūrėkime į pavyzdžius, kurių sprendimas pagrįstas modulio apibrėžimu. Nr. 1. Išspręskite lygtį =4. Pagal modulio apibrėžimą; X= 4 arba X=-4. Nr. 2. Išspręskite lygtį: =3. Lygtis yra lygiavertė dviejų lygčių deriniui: Kur: x 1=2 ir x 2=-1. Nr 3. Išspręskite lygtį: =-2. Pagal 1 savybę: bet kurio realaus skaičiaus modulis yra neneigiamas skaičius, darome išvadą, kad sprendimo nėra. Nr. 4. Išspręskite lygtį: = X–5. Tam pačiam turtui 1: X–50, X 5. Nr. 5. Išspręskite lygtį: + X=0. =- x, X 0. Nr. 6. Išspręskite lygtį: = X+2. Skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, dešinėje šios lygties pusėje yra išraiška su kintamuoju. Todėl lygtis turi sprendinį su sąlyga X+20, t.y. x-2. Tada mes turime: 2x+1= x +2 arba 2x+1 = - x - 2. Tai. adresu x -2, mes turime: Išspręskite lygtis: 2 pamoka. Tiesinių lygčių sprendimas moduliais. Sprendžiant tiesines lygtis, naudojama arba geometrinė skaičiaus modulio reikšmė, arba modulio ženklo atskleidimas. Pažiūrėkime į pavyzdį: išspręskite lygtį a) Vartojame geometrinę skaičiaus modulio reikšmę. Parašykime lygtį tokia forma: +=7. Tada d=x–5- atstumas nuo taško Xį skaičių eilutės 5 tašką, f =x–(-2)- atstumas nuo taško X iki taško (-2) pagal uždavinio sąlygas šių atstumų suma d+f=7. Nubraižykime 5 ir -2 taškus skaičių tiesėje. Nesunku patikrinti, ar bet kuriam skaičiui iš intervalo [-2;5] atstumų suma d+f lygus atkarpos AB ilgiui, t.y. 7. Taip pat lengva nustatyti, kas už taškus X<2
arba x>5 atstumų suma d+f>7. Todėl lygties sprendimas yra intervalas. b) Išplėskime modulio ženklą. Norėdami tai padaryti, skaičių tiesėje nubrėžkite taškus -2 ir 5. Šie taškai padalija jį į tris intervalus. Panagrinėkime modulių ženklus kiekviename intervale. 1 intervale (X<-2)
gauname: -(x–5)–(x+2)=7 arba –x+5–x–2=7 arba - 2x+3=7, iš kur gauname: x=-2. Tačiau šis taškas neįtrauktas į nagrinėjamą intervalą. Štai kodėl x=-2 nėra sprendimas. 2 intervale: X gauname: -(x–5)+(x+2)=7 arba 7=7.
Kadangi lygybė yra teisinga, bet kuris šio intervalo taškas yra šios lygties sprendimas. 3 intervale (x>5) gauname: (x-5)+(x+2)=7 arba 2x-3=7, kur x=5. Taškas x=5 nėra įtrauktas į nagrinėjamą intervalą ir nėra lygties sprendimas. Taigi šios lygties sprendimas yra toks: -2x5. Pratimai savarankiškam darbui: Išspręskite lygtis: Pamoka Nr.3.
Kvadratinių lygčių su moduliu sprendimas. Apsvarstykime, kaip išspręsti kvadratines lygtis su moduliais naudojant pavyzdžius: Nr. 1. Išspręskite lygtį Pristatome pakaitalą =y, tada val y 0 lygtis įgauna tokią formą: y 2 –6у+8=0, iš kur y 1 = 2 ir y 2 = 4. a x= 2 arba -2; 4 arba -4. Nr. 2. Išspręskite lygtį: Lygtis yra lygiavertė sistemai: Iš kur X=1. Nr. 3. Išspręskite lygtį: 2X – 1. Lygtis turi sprendinį su sąlyga, kad 2 X–10, o lygybė galima numatant: posakių reikšmes x 2 + x–1 ir 2 X–1 yra vienodi arba priešingi. Tai. mes turime: x0,5. Sudarykime lygtis: x 2 + x–1=2X– 1 arba x 2+X–1=-(2X–1); kurią išspręsdami gauname Nr. 4. Raskite lygties šaknis: Įsivaizduokime duota lygtis forma: = X 2 – 1, iš kur: x – 1 = x 2 – 1, arba x – 1 = – (x 2 – 1). x 2–1 val x - 1 Ir x 1.Spręsdami lygtis, gauname iš pirmos: x=0 Ir x=1, nuo antrojo: x=-2 Ir x=1. Atsakymas: x=1; x=-2. Nr. 5. Raskite visas lygties šaknis: = . Naudodamiesi modulio apibrėžimu, darome išvadą, kad lygybė yra įmanoma, jei išraiškų reikšmės x–x 2–1 Ir 2x+3–2 lygus arba priešingas, t.y. ši lygtis yra lygi dviejų lygčių rinkiniui: Išspręsdami aibę, gauname šios lygties šaknis: x=-4;-0,5;2. Tarp jų yra sveikieji skaičiai: -4 ir 2. Nr. 6. Išspręskite lygtį: =2x 2 –3x+1. Pažymėkime išraišką 3x-1-2x 2 laišką A. Tada ši lygtis bus tokia: =-a. Remiantis analitine modulio apibrėžimo žyma, galime daryti išvadą, kad ši lygtis yra lygiavertė nelygybei: 3x–1–2x 2 0, išspręsdami, gauname atsakymą: x0.5 Ir x1. Pratimai savarankiškam darbui. Išspręskite lygtį: Nr.1.=x 2 + x–20. Nr. 2. + 3x -5 = 0, Nr. 3. =(x–1)(x+1), Nr. 4. x 2 – 6+5=0, Nr. 5. x 2 +8 = 9, Nr. 6.=x 2 –6x+6, Nr. 7. x = -8.
4 pamoka. Spręsti lygtis, turinčias absoliučią reikšmę su parametrais. Panagrinėkime pavyzdį: išspręskite lygtį su parametru Sukurkime funkcijų grafikus y=3–x Ir y=. Tvarkaraštis y=3–x yra fiksuotas ir nepriklauso nuo parametro. Tvarkaraštis y= gautas iš funkcijos grafiko y=, priklauso nuo parametro A. Taigi, panagrinėkime 3 atvejus: Šis atvejis, kaip matyti iš paveikslo, bus kada A<3
. Šių funkcijų grafikai susikerta viename taške B. Apsvarstykite trikampį ABC, kuriame kampas A lygus kampui B ir lygus 45 0, šiame trikampyje nubrėžkite aukštį VD. Nes trikampis ABC yra lygiašonis, tada BD taip pat yra šio trikampio mediana. Todėl taško D abscisė X=(a + 3)/2. Šis atvejis atsiranda, kai A=3. Tada funkcijų grafikai sutampa išilgai atkarpos AB ir bet kurio šio spindulio taško abscisė yra šios lygties sprendimas, t.y. X<3. Šiuo atveju A>3. Matyti, kad funkcijų grafikai nesikerta, t.y. neturi bendrų taškų. Todėl lygtis neturi sprendimo. Pratimai savarankiškam darbui: Išspręskite lygtis: Nr. 3. (a–2)=a–2, Nr. 4. a 2 x 2 + a = 0.
Pamoka Nr.5. Tiesinių nelygybių sprendimas moduliais. Nelygybės, turinčios kintamąjį po modulio ženklu, sprendžiamos įvairiais būdais; Pažvelkime į gana paprastą pavyzdį: Nr. 1. Išspręskite nelygybę: Pirmasis metodas: turime: >4, Geometriškai išraiška reiškia atstumą koordinačių linijoje tarp taškų X ir 2.5. Tai reiškia, kad turime rasti visus tokius taškus X, kurie yra daugiau nei 2 atstumu nuo 2.5 taško, yra taškai iš intervalų X<0,5
Ir x>4,5. Antrasis metodas: Kadangi abi duotosios nelygybės pusės yra neneigiamos, tai abi šios nelygybės puses kvadratu: 2 >4 2. (2x–5) 2 > 4 2, (2x–5) 2–16>0, (2x–5–4) (2x–5+4)>0, 2 (x–4,5) 2 (x–0,5)>0, (x–4,5) (x–0,5)>0. Taikydami intervalo metodą gauname: X<0
,5 ir x>4,5. Trečias būdas: išraiška 2x-5 gali būti neneigiamas arba neigiamas. Tie. turime dviejų sistemų derinį: Kur: X<0,5
Ir x>4,5. Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius. Pavyzdys Nr. 2. Išspręskite nelygybę:<3. Ši nelygybė prilygsta dviejų sistemų deriniui: Iš pirmos sistemos gauname 2x<5
, nuo antrojo -1<х<2
. Sujungę šiuos du sprendimus gauname: -1<х<5
. 3 pavyzdys. Išspręskite nelygybę: 3 x+3. Ši nelygybė prilygsta dvigubai nelygybei -x-33x-3x+3 arba sistema Turime : 0x3. Pratimai savarankiškam darbui: Išspręskite nelygybes: №1. <3х+1, №3. ->-2.
Pamoka Nr.6. Kvadratinių nelygybių sprendimas moduliais. Pažiūrėkime į pavyzdį Nr. 1. Išspręskite nelygybę: +x–2<0
. Šią nelygybę galima išspręsti naudojant intervalų metodą. Apsvarstykime kitą sprendimą, pagrįstą šiuo teiginiu: bet kuriai a reikšmei nelygybė yra lygiavertė nelygybių sistemai: ,ir nelygybėyra lygiavertis nelygybių rinkiniui. Todėl mūsų nelygybė yra lygiavertė nelygybių sistemai: Užrašykime atsakymą: (1-;2-). 2 pavyzdys. Raskite sveikuosius nelygybės sprendimus: 2x-x 2. Problema susijusi su dviejų nelygybių sistemų aibės sprendimu: Išspręskime pirmąją sistemą: iš pirmosios nelygybės turime: x1; x2. nuo antrojo: 2x 2 –5x+20, arba 0,5x2. Koordinačių tiesėje pažymėję rastus pirmosios ir antrosios sistemos nelygybių sprendinius, randame sprendinių sankirtą. Tai. 0,5x1 Ir x=2. Tai yra pirmosios sistemos sprendimas. Išspręskime antrąją sistemą: iš pirmosios nelygybės turime: 1<х<2
, nuo antrojo: -(x 2 -3x+2) 2x -x 2, arba – x 2 +3x–2–2x+ x 2 0, arba x2. Atsižvelgdami į rastus antrosios sistemos pirmosios ir antrosios nelygybių sprendinius koordinačių tiesėje, gauname: 1<х<2
. Tai yra antrosios sistemos sprendimas. Rastų sprendimų derinimas su nelygybių sistemomis 0,5x1; x=2; 1 Pratimai savarankiškam darbui: Išspręskite nelygybes: №3. <3х–3, Nr. 4. x 2 -3+2>0, Nr. 5. x 2 x<3, Nr. 6. x 2 -6x+7-<0, Nr. 7. 3+x2 –7>0, №8. >.
Pamoka Nr.7. Nelygybių, turinčių absoliučią reikšmę, sprendimas su parametrais. Pavyzdys. Kokiomis vertybėmis A nelygybė tiesa: ah 2 +4+a+3<0
? At x0 mes turime ah 2 +4x+a+3<0
. Senjorų koeficientas A turi būti neigiamas, diskriminantas turi būti mažesnis už nulį. A<0, Д=16–4a (a+3)<0; 16-4а 2 -12а<0; а 2 +3а-4>0; A<-4
Ir a>1; parabolės viršūnės abscisė x 0 = -b/2a=- 4/2a=-2/a 0, kur A<-4
. At X<0
mes turime ah 2 –4x+a+3<0
. Ginčiuodami panašiai, gauname: A<-4
. Atsakymas: kada A<-4
ši nelygybė galioja visoms tikrosioms x reikšmėms. Pratimai savarankiškam darbui: Išspręskite nelygybes su parametrais: Nr. 2. (ha)<0, Nr. 3. Ar yra a reikšmių, kurioms taikoma nelygybė ah 2 > 2+5 neturi sprendimų? 8 - 9 pamokos. Intervalinis metodas lygtims ir nelygybėms, turinčioms modulį, spręsti. Panagrinėkime intervalų metodą naudodamiesi lygties sprendimo pavyzdžiu -+3-2=x+2. Norint išspręsti šią nelygybę, būtina išplėsti modulius. Norėdami tai padaryti, pasirenkame intervalus, kurių kiekvienoje išraiškos po modulio ženklu įgauna tik teigiamas arba neigiamas reikšmes. Tokių intervalų radimas pagrįstas teorema: jei intervale (a; b) funkcija f yra ištisinė ir neišnyksta, tai šiame intervale ji išlaiko pastovų ženklą. Norėdami paryškinti pastovaus ženklo intervalus, randame taškus, kuriuose po moduliu parašytos išraiškos tampa nuliais: x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2. Gauti taškai padalins liniją į reikiamus intervalus. Apibrėžkime posakių ženklus x+1, x, x–1, x–2 šiais intervalais: Atsižvelgdami į ženklus, išplėsime modulius. Dėl to gauname sistemų rinkinį, lygiavertį šiai lygčiai: Paskutinis rinkinys sumažinamas iki formos: Sistemų aibės ir šios lygties sprendinys: -2; X 2. Naudojama technika vadinama intervalo metodas. Jis taip pat naudojamas sprendžiant nelygybes. Išspręskite nelygybę: +x–2<0. 1) Raskite išraiškos nulius: x 2-3x. x 1 = 0, x 2 = 3. 2) Padalinkime koordinačių liniją į intervalus ir nustatykime išraiškos ženklą x 2-3x kiekvienu intervalu: 3) Išplėskime modulį: Pirmosios sistemos sprendimas: , antrosios sprendinys. Šios nelygybės sprendimas: Pratimai savarankiškam darbui: №3 10 - 11 pamoka. Formos nelygybių sprendimas ,
per lygiaverčius perėjimus. Panagrinėkime formos nelygybes ir . Priimkime šią teoremą be įrodymų: bet kuriai nelygybės verteiyra lygiavertis nelygybių ir nelygybės sistemaiyra lygiavertis nelygybių rinkiniui Pažiūrėkime į pavyzdį: išspręskite nelygybę: Naudodamiesi suformuluota teorema, pereikime prie nelygybių aibės: Sistema ir nelygybė 0x>2 neturi sprendimų. Todėl sprendimas dėl gyventojų (ir šios nelygybės) yra X. Pratimai savarankiškam darbui: Pamoka Nr.12. Absoliučios vertės savybių taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes. Sprendžiant kai kurias užduotis, naudojamos modulio savybės. (Jei reikia, pakartokite juos, žr. pamoką Nr. 1). Aiškinamasis raštas Matematika yra kalba, kuria kalba ne tik mokslas ir technologijos, matematika yra žmonių civilizacijos kalba. Jis praktiškai prasiskverbė į visas žmogaus gyvenimo sritis. Šiuolaikinė gamyba, visuomenės kompiuterizavimas, modernių diegimas informacinės technologijos reikalauja matematinio raštingumo. Matematinis išsilavinimas prisideda prie bendros žmogaus kultūros formavimo. Matematikos studijos prisideda prie estetinio žmogaus ugdymo, suvokiant matematinio samprotavimo grožį ir malonę. Pasirenkamasis kursas „Lygtys ir nelygybės, turinčios absoliučios reikšmės ženklą“ sukurtas įgyvendinti 9 klasėse. Kursas skirtas plėsti studentų žinias ir įgūdžius, susijusius su skaičiaus absoliučios vertės samprata, grafinėmis funkcijomis ir grafiniu lygčių bei nelygybių, kuriose yra absoliučios reikšmės ženklas, sprendimu. Absoliučios vertės (modulio) sąvoka yra viena iš svarbiausių skaičiaus charakteristikų tiek realiųjų, tiek kompleksinių skaičių srityje. Ši sąvoka plačiai naudojama ne tik įvairiose mokyklinio matematikos kurso sekcijose, bet ir universitetuose studijuojamuose aukštosios matematikos, fizikos ir technikos mokslų kursuose. Pavyzdžiui, apytikslių skaičiavimų teorijoje vartojamos apytikslio skaičiaus absoliučios ir santykinės paklaidos sąvokos. Mechanikoje ir geometrijoje nagrinėjamos vektoriaus ir jo ilgio (vektoriaus modulio) sąvokos. Matematinės analizės metu skaičiaus absoliučios vertės sąvoka yra įtraukta į tokių pagrindinių sąvokų, kaip riba, ribojama funkcija ir kt., apibrėžimus. Problemos, susijusios su absoliučiomis reikšmėmis, dažnai aptinkamos matematikos olimpiadose, stojamuosiuose į universitetus egzaminuose ir unifikuotoje. Valstybinis egzaminas. Kursas padės mokytojui kuo geriau paruošti mokinius matematikos olimpiadoms, vieningo valstybinio egzamino, vieningo valstybinio egzamino ir stojimo į universitetus egzaminams išlaikymui. Pasirenkamojo kurso programa apima supažindinimą su nagrinėjamų klausimų teorija ir praktika ir yra skirta 34 val.: 7,5 val. paskaitų ir 26,5 val. praktinių užsiėmimų. Kurso turinį sudaro aštuoni skyriai, įskaitant įvadą ir baigiamąją pamoką. Dėstytojas, atsižvelgdamas į mokinių pasirengimo lygį, studijuojamos medžiagos sudėtingumo lygį ir mokinių suvokimą, gali ne visomis temomis mokytis, tuo pačiu didindamas kitų studijų valandų skaičių. Mokytojas taip pat gali pakeisti pateiktos medžiagos sudėtingumo lygį. Programoje pateikiamos kūrybinių darbų temos ir literatūros siūlomomis temomis sąrašas. Studijuojant šį kursą daroma prielaida, kad moksleivių pažintinei veiklai stiprinti bus naudojami įvairūs metodai, įvairios savarankiško darbo organizavimo formos. Kurso programos įsisavinimo rezultatas – mokinių kūrybinių individualių ir grupinių darbų pristatymas paskutinėje pamokoje. Kurso tikslai: Kurso tikslai: (1 valanda per savaitę, iš viso 34 valandos) 1. Įvadas (1 val.) Pasirenkamojo kurso tikslai ir uždaviniai. Kurse nagrinėjami klausimai ir jo struktūra. Susipažinimas su literatūra, kūrybinių darbų temomis. Reikalavimai kursų dalyviams. Aukcionas „Ką aš žinau apie absoliučią vertę? 2. Absoliuti tikrojo skaičiaus a reikšmė (4 valandos) Absoliuti tikrojo skaičiaus a reikšmė. Priešingų skaičių moduliai. Modulio a sąvokos geometrinis aiškinimas. Realiųjų skaičių sumos modulis ir baigtinio skaičiaus skirtumo modulis. Dviejų skaičių modulių skirtumo modulis. Produkto modulis ir koeficiento modulis. Operacijos su absoliučiomis vertėmis. Išraiškų, turinčių kintamąjį po modulio ženklu, supaprastinimas. Modulio savybių taikymas sprendžiant olimpiados uždavinius. 3. Lygčių (įskaitant funkcijas) grafikai, kurių analitinėje išraiškoje yra absoliučios reikšmės ženklas (5 val.) Kompiuterinės programos „Advanced Grapher“ taikymas konstruojant funkcijų grafikus, kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas. Taisyklės ir algoritmai lygčių, kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas, grafikų sudarymo. Lygčių grafikai Kai kurių paprasčiausių funkcijų grafikai, nurodyti tiesiogiai ir netiesiogiai, kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas. Lygčių (įskaitant funkcijas) grafikai, kurių analitinėje išraiškoje yra absoliučios reikšmės ženklas olimpiados uždaviniuose. 4. Lygtys su absoliučiomis reikšmėmis (11 valandų) Pagrindiniai lygčių su moduliu sprendimo metodai. Modulio atskleidimas pagal apibrėžimą, perėjimas nuo pradinės lygties prie ekvivalentinės sistemos, abiejų lygties pusių kvadratūra, intervalų metodas, grafinis metodas, absoliučios vertės savybių panaudojimas. Formos lygtys Kintamųjų pakeitimo būdas sprendžiant lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės. Intervalinis metodas, skirtas spręsti lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės. Formos lygtys Metodas, skirtas nuosekliai atskleisti modulį sprendžiant lygtis, kuriose yra „modulis modulyje“. Grafinis lygčių, turinčių absoliučiąsias reikšmes, sprendimas. Absoliučios vertės savybių naudojimas sprendžiant lygtis. Lygtys su parametrais, kuriuose yra absoliučios reikšmės. Išspręstų olimpiados užduočių gynimas. 5. Nelygybės su absoliučiomis reikšmėmis (7 valandos) Nelygybės su vienu nežinomu. Pagrindiniai nelygybių su moduliu sprendimo metodai. Formos nelygybės Formos nelygybės Intervalinis metodas nelygybėms, turinčioms modulio ženklą, spręsti. Nelygybės su parametrais, kuriuose yra absoliučios reikšmės. Nelygybės su dviem kintamaisiais. Lygčių ir nelygybių sistemos, turinčios absoliučias reikšmes. Kiti klausimai, kuriuose vartojama absoliučios vertės sąvoka. 6. Paskutinė pamoka (1 val.) Kalendorius ir teminis planavimas p/p Vardas skyrelius ir temas Valandų skaičius Data Įvadas Absoliuti tikrojo skaičiaus a reikšmė (4 valandos) Absoliuti tikrojo skaičiaus a reikšmė. Pagrindinės teoremos Operacijos su absoliučiomis vertėmis Supaprastinamos išraiškos, kuriose yra kintamasis po modulio ženklu Modulio savybių taikymas sprendžiant olimpiados uždavinius Grafikuoti lygtys, kurių analitinėje išraiškoje yra absoliučios reikšmės ženklas (5 valandos) Kompiuterinės programos „Advanced Grapher“ taikymas kuriant funkcijų grafikus, kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas Grafų (įskaitant funkcijas), kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas, sudarymo taisyklės ir algoritmai Lygčių grafikai Kai kurių paprastų funkcijų, nurodytų tiesiogiai ir netiesiogiai, grafikai, kurių analitinėje išraiškoje yra modulio ženklas Lygčių grafikai, kurių analitinėje išraiškoje yra absoliučios reikšmės ženklas olimpiados užduotyse Lygtys su absoliučiomis reikšmėmis (11 valandų) 11-13
Pagrindiniai lygčių su moduliu sprendimo metodai Formos lygtys Kintamųjų pakeitimo metodas sprendžiant lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės Intervalinis metodas, skirtas spręsti lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės. Formos lygtys Metodas, skirtas nuosekliai atskleisti modulį sprendžiant lygtis, kuriose yra „modulis modulyje“ Grafinis lygčių, turinčių absoliučiąsias reikšmes, sprendimas Absoliučios vertės savybių naudojimas lygtims spręsti Lygtys su parametrais, kuriuose yra absoliučios reikšmės Išspręstų olimpiados užduočių apsauga Nelygybės su absoliučiomis reikšmėmis (13 valandų) 22-23
Nelygybės su vienu nežinomu. Pagrindiniai nelygybių su moduliu sprendimo metodai Pagrindiniai nelygybių su moduliu sprendimo metodai Formos nelygybės Nelygybės su dviem kintamaisiais 29-32
Lygčių ir nelygybių sistemos, turinčios absoliučias reikšmes Kiti klausimai, kuriuose vartojama absoliučios vertės sąvoka Paskutinė pamoka Mokomosios ir metodinės medžiagos sąrašas 1. Bašmakovas M.I. Lygtys ir nelygybės. – M.: VZMSH Maskvos valstybiniame universitete, 1983 m. 2. Vilenkin N.Ya. ir kt., Algebra ir matematinė analizė. 11 klasė – M.: Išsilavinimas, 1993 m. 3. Gaidukovas I.I. Absoliuti vertė. – M.: Išsilavinimas, 1968 m. 4. Galitsky M.L. ir kt. uždavinių rinkinys algebroje 8 – 9 kl. – M.: Išsilavinimas, 1995 m. 5. Govorovas V.M. ir kiti matematikos uždavinių rinkinys – M.: Prosveshchenie, 1983. 6. Gornšteinas P.I. ir kitos problemos su parametrais. – M.: Ileksa, Charkovas: Gimnazija, 2003 m. 7. Kolesnikova S.I. Matematika. Intensyvus pasirengimo vieningai valstybei kursas Egzaminas. M.: Iris-press, 2004 m. 8. Merzlyak A.G. ir kiti algebrinis simuliatorius. – M.: Ileksa, 2001 m. 9. Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasė – M.: Mnemosyne, 2000 m. 10. Neškovas K.I. ir kiti rinkiniai. Santykiai. Skaičiai. Kiekiai. – M.: Išsilavinimas, 1978 m. 11. Nikolskaya I.L. Pasirenkamas matematikos kursas. – M.: Išsilavinimas, 1995 m. 12. Olehnik S.N. ir kiti lygtys ir nelygybės. Nestandartiniai sprendimo būdai. 10 – 11 klasės – M.: Bustardas, 1995 m. 13. Šaryginas I.F. Pasirenkamasis matematikos kursas 10 – 11 kl. – M.: Išsilavinimas, 1989 m. 14. Elektroninis vadovėlis „Algebra 7 – 11“. 15. Yastrebinetsky G.A. Problemos su parametrais. – M.: Išsilavinimas, 1986 m. Kūrybinių darbų temos „Modulio“ funkcijos grafikų sudarymo užduotys ir parametrų uždaviniai tradiciškai yra viena sunkiausių matematikos temų, todėl ji visada įtraukiama į aukštesniojo ir aukšto lygio valstybinio egzamino ir vieningo valstybinio egzamino užduotis. „Modulio“ sąvoka mokoma mokykloje nuo 6 klasės ir tik apibrėžimų ir skaičiavimų lygmeniu, nepaisant to, kad ji plačiai naudojama daugelyje mokyklinio matematikos kurso skyrių, pavyzdžiui, studijuojant absoliučią. ir apytikslio skaičiaus santykinės paklaidos; geometrijoje ir fizikoje bus nagrinėjamos vektoriaus ir jo ilgio (vektoriaus modulio) sąvokos. Modulio sąvokos vartojamos aukštosiose mokyklose studijuojamuose aukštosios matematikos, fizikos ir technikos mokslų kursuose. Abiturientai susiduria su problema, kaip sėkmingai išlaikyti valstybinį egzaminą 9 klasėje, o vėliau ir Vieningą valstybinį egzaminą. Šiais metais matematikos pamokose susipažinome su tiesinės funkcijos samprata ir mokėmės sudaryti jos grafiką. Buvo parodyta, kad šis jo grafikas yra paimtas kaip pagrindas konstruojant „modulio“ funkciją. Be to, mokytojas sakė, kad lygtys yra su vienu ir keliais moduliais. Šią temą nusprendžiau panagrinėti giliau, juolab kad ji man pravers laikant egzaminus. Tema "Grafinis lygčių, turinčių absoliučią vertę, sprendimo metodas" Darbo tikslas
:
galimybė racionaliai sudaryti grafikus su moduliais lygtims, kuriose yra modulis ir parametras, spręsti Studijuoti lygčių su moduliu sprendimo metodų teoriją. Išmokite išspręsti 1-ojo laipsnio lygtis, kuriose yra absoliučios reikšmės ženklas. Klasifikuoti grafinius lygčių sprendimo būdus. Išanalizuoti įvairių modulio funkcijos grafikų braižymo metodų privalumus ir trūkumus. Sužinokite, kas yra parametras Taikyti racionalius metodus lygtims su parametru išspręsti Objektas – lygčių su moduliu sprendimo metodai Tema: grafinis lygčių sprendimo metodas Tyrimo metodai: teoriniai ir praktiniai: teorinis – tai literatūros tiriama tema studijavimas; Interneto informacija; praktinis - tai informacijos, gautos studijuojant literatūrą, analizė, rezultatai, gauti įvairiais būdais sprendžiant lygtis su moduliu; lygčių sprendimo metodų palyginimas yra jų naudojimo racionalumo dalykas sprendžiant įvairias lygtis su moduliu. I skyrius Sąvokos ir apibrėžimai 1.1. Modulio sąvoka plačiai vartojama daugelyje mokyklinio matematikos kurso skyrių, pavyzdžiui, tiriant apytikslio skaičiaus absoliučiąsias ir santykines paklaidas; geometrijoje ir fizikoje nagrinėjamos vektoriaus ir jo ilgio (vektoriaus modulio) sąvokos. Modulio sąvokos vartojamos aukštosiose mokyklose studijuojamuose aukštosios matematikos, fizikos ir technikos mokslų kursuose. Žodis „modulis“ kilęs iš lotyniško žodžio „modulus“, kuris reiškia „matuoti“. Šis žodis turi daug reikšmių ir vartojamas ne tik matematikoje, fizikoje ir technologijose, bet ir architektūroje, programavime bei kituose tiksliuosiuose moksluose Manoma, kad šį terminą pasiūlė Niutono mokinys Cotesas. Modulio ženklą XIX amžiuje pristatė Weierstrass. Architektūroje modulis yra pradinis matavimo vienetas, nustatytas tam tikrai architektūrinei struktūrai. Matematikoje modulis turi keletą reikšmių, bet aš jį traktuosiu kaip absoliučią skaičiaus reikšmę. Apibrėžimas :
Realiojo skaičiaus modulis (absoliuti reikšmė). A pats šis skaičius vadinamas if A≥0 arba priešingas skaičius – A, Jei A<0;
nulio modulis lygus nuliui. Modulis yra atstumas koordinačių tiesėje nuo nulio iki taško. 1.2. Lygtis su moduliu yra lygtis, kurioje yra kintamasis po absoliučios reikšmės ženklu (po modulio ženklu). Išspręsti lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba įrodyti, kad šaknų nėra. Modulio lygčių sprendimo būdai: 1. Pagal modulio apibrėžimą – „modulio pašalinimas“. Sprendimas priimamas remiantis apibrėžimu. 2. Analitinis metodas – lygčių sprendimas naudojant į lygtį įtrauktų reiškinių transformacijas ir modulio savybes. 3. Intervalų metodas: modulio išplėtimas ant intervalų ir pusintervalų, suformuotų iš modulių „nulių“. 4.Grafinis metodas. Šio metodo esmė yra sukurti šių funkcijų grafikus, vaizduojančius kairę ir dešinę lygties puses. Jei grafikai susikerta, tada šių grafikų susikirtimo taškų abscisės bus šios lygties šaknys. 1.3.Funkcijų su moduliu braižymo metodai 1.3.1. Pagal apibrėžimą. Dvi eilutės sudaromos y=khx+b, kur x>0, y=-khx+b, kur x<0 1.3.2 Simetrijos metodas. Nubraižytas grafikas y=kx+b, kai x>0 tiesės dalis<0 отображается относительно оси абцисс. 1.3.3.Funkcijų konvertavimas: a) y=|x |+n grafikas pasislenka aukštyn išilgai ordinačių ašies vienetais b) y=|x |-n grafikas pasislenka žemyn išilgai ordinatės c) y=|x +n | grafikas pasislenka į kairę išilgai abscisių ašies d )y=|x -n | grafikas pasislenka į dešinę išilgai abscisių ašies 1.3.4. Intervalinis metodas. Koordinačių linija modulio nuliais dalijama į intervalus ir pusintervalus. Toliau, naudodamiesi modulio apibrėžimu, kiekvienai iš rastų sričių gauname lygtį, kurią reikia išspręsti tam tikrame intervale ir gauti funkciją. 1.3.5. Nulinių sričių išplėtimo metodas. Tuo atveju, kai yra keli moduliai, patogiau ne išplėsti modulius, o naudoti tokį teiginį: algebrinė modulių suma n tiesinės išraiškos yra padalinė tiesinė funkcija, kurios grafikas susideda iš n+1 tiesūs segmentai. Tada grafiką galima sudaryti pagal n+2 taškai, n iš kurių reiškia intramodulinių išraiškų šaknis, kitas yra savavališkas taškas, kurio abscisė yra mažesnė už mažesnę iš šių šaknų, o paskutinis taškas, kurio abscisė yra didesnė už didžiąją šaknį. 1.4. Mes turime lygtį kirvis+b=c.Šioje lygtyje X– nežinomas, a,b,c– koeficientai, kurie gali įgauti skirtingas skaitines reikšmes. Taip nurodyti koeficientai vadinami parametrais. Viena lygtis su parametrais apibrėžia daug lygčių (visoms galimoms parametrų reikšmėms). tai visos lygtys, kurias nurodo lygtis su parametrais kirvis+b=c. Išspręsti lygtį su parametrais reiškia: Nurodykite, kokiomis parametrų reikšmėmis lygtis turi šaknis ir kiek jų yra skirtingoms parametrų reikšmėms. Raskite visas šaknų išraiškas ir kiekvienai iš jų nurodykite tas parametrų reikšmes, kuriose ši išraiška nustato lygties šaknį. 1.5.Išvados: Taigi egzistuoja skirtingi grafų su moduliu sudarymo metodai, kuriuos reikia ištirti racionalaus jų panaudojimo galimybėms. II skyrius Funkcijų, kuriose yra modulis ir programa, grafikų sudarymo metodų analizė « Grafikas yra kalbanti linija kuri gali daug pasakyti“ M.B.Balkas 2.1. Tyrinėdami lygčių tipus su moduliu pamatėme, kad jas galima suskirstyti į tipus ir sprendimo būdus. Lentelė. Lygčių tipų klasifikacija ir jų sprendimo būdai. Lygties tipas Lygties tipas Sprendimo metodas 1. Lygtis su vienu moduliu |x |x| 1.Pagal modulio apibrėžimą 2.Grafika 3.Analitinis 2. Lygtis, kurią sudaro 2 moduliai |x 1.Pagal modulio apibrėžimą 2.Grafika 3. Intervalinis metodas 4.Analitinis 3.Įdėtieji moduliai |||x 1.Pagal modulio apibrėžimą 2.Grafika Išvada: taigi, lygčių klasifikacija suteikia mums bendrus visų tipų lygčių sprendimo metodus - tai pagal apibrėžimą yra modulis ir grafinis metodas. 2.2.Grafikų analizė. 2.2.1.1.Pagal apibrėžimą. 1. Sukurkite tiesę y=x 2. Pasirinkite linijos dalį ties x 3.Sukonstruoti tiesę y=-x 4. Pasirinkite dalį eilutės ties x<0 2.2.1.2. Simetrijos metodas 1. Sukurkite tiesę y=x 2. Sukuriame simetriją aplink abscisių ašį ties x<0 2.2.1.3. Konstrukcija y=|x -2| 1. Sukurkite tiesę y=x-2 2. Pasirinkite tiesės dalį ties x-2 3.Sukonstruoti tiesę y=-x+2 4. Pasirinkite tiesės dalį ties x-2<0 Išvada: simetrijos metodas yra racionalesnis Užduotis: sudaryti y= grafiką 2.2.2.1.Intervalinis metodas 1.
įjungta 2. įjungta 3. įjungta 4. Statome visas tiesias linijas. 5. Pažymėkite eilučių dalis intervalais 2.2.2.2.Nulinio ploto išplėtimo metodas 1. Nuliai: 3 ir 1; išplėstas plotas: 2,4,0 2. Mes apskaičiuojame reikšmes: 3,1,2,4,0 tai yra: -2, -2, -2, 0, 0 3. Sudėkite taškus su jų koordinatėmis ir sujunkite Išvada: Nulių srities išplėtimo metodas yra racionalesnis 2.2.3. 3 tipas. Įdėti moduliai – „matryoshka“ IR 2.2.3.1.Pagal modulio apibrėžimą Pagal pagrindinio modulio apibrėžimą turime: 1) x>0 y=|x|-1 2) x<0 у=-|х|+1 2. „Pašalinkite“ šį modulį: Modulis: y=x-1, x>0 ir y=-x+1 x<0 y=-x+1 x>0 y=x-1 x<0 3. Kuriame grafikus 2.2.3.2.Simetrijos metodas 1. y=|x|-1 2. Simetrija apie grafiko dalies abscisių ašį, kur x-1<0 Išvada: simetrijos metodas yra racionalesnis. 2.2.4. Rezultatų analizę apibendrinkime lentelėje: Žinios ir įgūdžiai Trūkumai Pagal apibrėžimą Modulio apibrėžimas Žinokite: kaip nustatomos tiesių linijų taškų koordinatės Gebėti atpažinti tiesės dalį naudojant nelygybę Tūriniai sprendimai Didelio kiekio žinių pritaikymas „Pašalinant“ modulį galima padaryti klaidų Simetrijos metodas Žinoti ir mokėti taikyti funkcijų transformaciją Sukurkite simetriją aplink abscisių ašį Grafų konvertavimo algoritmų išmanymas Intervalinis metodas Raskite modulio nulius Apibrėžkite intervalus ir pusinius intervalus Išskleisti modulius Apskaičiuokite modulius Pateikite panašias sąlygas Gebėti konstruoti taškus pagal jų koordinates Sukurkite tiesias linijas Tūriniai sprendimai Daug skaičiavimų ir transformacijų šalinant nulius Atima daug laiko Teisingas intervalų ir pusintervalų apibrėžimas Nulinio ploto išplėtimo metodas Raskite modulio nulius Gebėti išplėsti nulių plotą Mokėti apskaičiuoti modulius šiuose taškuose Gebėti konstruoti taškus pagal jų koordinates Skaičiavimo klaidų leidimas Funkcijų transformacijos metodas Žinokite konvertavimo algoritmą Gebėti konstruoti taškus pagal jų koordinates Mokėti apskaičiuoti taškų koordinates Mokėti taikyti konvertavimo algoritmą Grafų konvertavimo algoritmų išmanymas Išvada: išanalizavę lentelę darome išvadą, kad simetrijos metodas ir nulinio ploto išplėtimas yra racionaliausi, nes turi mažiausiai statybos etapų, o tai reiškia, kad jie taupo laiką. 2.3.1. Išspręskite lygtį: Mes statome y= 2.Išplėstas plotas: -1.2 3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1) 4.Nubraižykite atkarpas ir spindulius 2.3.2. Vieningas valstybinis egzaminas 2009 m Raskite visas a reikšmes, kurių kiekvienos lygtis Algebrinės problemos vertimas į kalbą G Rafikovas leidžia išvengti sudėtingų sprendimų; Sprendžiant lygtis, kuriose yra modulis ir parametras, grafinis metodas yra vizualesnis ir santykinai paprastesnis; Kuriant grafikus, kuriuose yra 2 moduliai ir „matryoshka“, simetrijos metodas yra praktiškesnis; Nors grafinis lygčių sprendimo būdas yra apytikslis, nes tikslumas priklauso nuo pasirinkto vieneto segmento, pieštuko storio, linijų susikirtimo kampų ir pan., tačiau šis metodas leidžia įvertinti lygčių šaknų skaičių, sprendžiant lygtis su parametru. Atsižvelgiant į tai, kad vieni iš populiariausių Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino užduočių yra lygtys su moduliu, mano pagrindinis rezultatas yra tai, kad galiu grafiškai išspręsti lygtis su moduliu ir parametru. Nuorodos 1.Dankova I. “Išankstinis pasiruošimas matematikoje”, Maskva, 2006 m. 2.
Užklasinis darbas matematikos srityje. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratovas: licėjus, 2003 m. 3.Matematika. Vadovėlis, kurį redagavo Ant L.Ya., Maskvos tiltas, 1994 m. 4. Matematika. 8-9 klasės: pasirenkamųjų dalykų rinkinys. 2 leidimas Autorius-sudarytojas: M.E. Kozina, Volgogradas: Mokytojas, 2007 m 5. Yastrebinetsky G.A. Problemos su parametrais. M, 2006 m
Priemonė N 4 51-1 „Mokymo metodų tobulinimas vidurinėse mokyklose, remiantis informacinių technologijų diegimu pagrįstų dalykinių modulių sukūrimu iš ne mažiau kaip 18 dalykų; mokslo ir švietimo plėtra
PranešimasNr.
Tema
Valandų skaičius
Užsiėmimų vedimo forma
Kontrolės forma
Mokomojo produkto pavadinimas
1
Absoliuti skaičiaus reikšmė. Pagrindinės savybės.
1
paskaita
-
-
2
Lygčių sprendimas moduliais:
1
dirbtuvės
sprendimas testinės užduotys
-
5
Nelygybių sprendimas moduliais:
1
dirbtuvės
tikrinti namų darbus
-
8
Intervalinis metodas.
1
kombinuota pamoka
atsakymus į klausimus
-
10
Formos , , nelygybių sprendimas, išspręstas lygiaverčiais perėjimais.
1
mokytis naujos medžiagos
tikrinti užrašus
-
12
Absoliučios vertės savybių taikymas sprendžiant lygtis ir nelygybes.
1
apklausa žodžiu
-
13
Spręsti lygtis ir nelygybes su absoliučia reikšme koordinačių tiesėje.
1
žinių apibendrinimas ir sisteminimas
savarankiškas darbas
-
14
Modulis ir šaknų transformacija.
1
dirbtuvės
grupinis darbas
-
15
Modulis ir iracionaliosios lygtys.
1
duomenų registratoriaus tikrinimas ir taisymas
namų testas
-
17
Praeiti.
1
bandymas arba bandomasis darbas
-
fono užrašų paruošimas
.
išspręsdami, gauname: 
.
>x+2.
n|=an=an| |x m|=an| m||= A
2.2.1. Tipas 1. Konstrukcija y=|x |
00
2.2.2. 2 tipas.
gauname y=-x+3+1-x-4; y = -2x
gauname=-x+3-1+x-4; y = -2
gauname y=x-3-1+x-4; y = 2x-8
Išnagrinėkime y=||x|-1| konstrukciją
y=x-1, simetrija
2.3.Racionaliųjų grafinių metodų taikymas sprendžiant lygtis su moduliu ir parametru
ir y = 0,5
, turi lygiai 1 šaknį.a =7. Atlikto darbo metu galėjome išstudijuoti ir analizuoti įvairius grafikų sudarymo metodus. Atlikus grafinių metodų analizę ir palyginimą, buvo padarytos šios išvados:
