3 skaidrė

Horner Williams George (1786-1837 9 22) – anglų matematikas. Gimė Bristolyje. Ten jis mokėsi ir dirbo, vėliau – Bato mokyklose. Pagrindiniai algebros darbai. 1819 metais paskelbė apytikslį daugianario realių šaknų apskaičiavimo metodą, kuris dabar vadinamas Ruffini-Horner metodu (šis metodas buvo žinomas kinams dar XIII a. Dauginamo dalijimosi iš binomo x-a schema). po Hornerio.

4 skaidrė

HORNER SCHEMA

Polinomo padalijimo būdas n-asis laipsnis tiesiniu dvinariu - a, remiantis tuo, kad nepilnojo dalinio ir liekanos koeficientai yra susiję su dalijamojo daugianario koeficientais ir formulėmis:

5 skaidrė

Skaičiavimai pagal Hornerio schemą pateikiami lentelėje:

Pavyzdys 1. Padalinimas Dalinis koeficientas yra x3-x2+3x - 13, o likusioji dalis yra 42=f(-3).

6 skaidrė

Pagrindinis šio metodo privalumas yra įrašymo kompaktiškumas ir galimybė greitas padalijimas daugianario į dvinarį. Tiesą sakant, Hornerio schema yra dar viena grupavimo metodo įrašymo forma, nors, skirtingai nei pastarasis, ji yra visiškai nevaizdi. Atsakymas (faktorizavimas) čia gaunamas savaime, o jo gavimo proceso nematome. Mes nesiimsime į griežtą Hornerio schemos pagrindimą, o tik parodysime, kaip ji veikia.

7 skaidrė

2 pavyzdys.

Įrodykime, kad daugianomas P(x)=x4-6x3+7x-392 dalijasi iš x-7, ir raskime dalybos koeficientą. Sprendimas. Naudodami Hornerio schemą randame P(7): Iš čia gauname P(7)=0, t.y. liekana dalijant daugianarį iš x-7 lygus nuliui ir todėl polinomas P(x) yra (x-7) kartotinis. Be to, antroje lentelės eilutėje esantys skaičiai yra P(x) dalinio koeficientai, padalyti iš (x-7), todėl P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).

8 skaidrė

Padalinkite daugianario koeficientą x3 – 5x2 – 2x + 16.

Šis daugianomas turi sveikųjų skaičių koeficientus. Jei sveikasis skaičius yra šio daugianario šaknis, tai jis yra skaičiaus 16 daliklis. Taigi, jei duotasis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis, tai gali būti tik skaičiai ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Tiesioginiu patikrinimu įsitikiname, kad skaičius 2 yra šio daugianario šaknis, tai yra x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), kur Q(x) yra antrojo laipsnio daugianario

9 skaidrė

Gauti skaičiai 1, −3, −8 yra daugianario koeficientai, gaunami pradinį daugianarį padalijus iš x – 2. Tai reiškia, kad padalijimo rezultatas yra: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Padalinimo rezultate gautas daugianario laipsnis visada yra 1 mažesnis už pradinio laipsnį. Taigi: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) (x2 – 3x – 8).

ir kt. yra bendrojo edukacinio pobūdžio ir turi puiki vertė studijuoti VISĄ kursą aukštoji matematika. Šiandien pakartosime „mokyklos“ lygtis, bet ne tik „mokyklines“, bet ir tas, kurios yra visur įvairios užduotys vyshmat. Kaip įprasta, istorija bus pasakojama taikomuoju būdu, t.y. Nekreipsiu dėmesio į apibrėžimus ir klasifikacijas, bet tiksliai pasidalinsiu su jumis asmeninė patirtis sprendimus. Informacija skirta pirmiausia pradedantiesiems, tačiau daug ką ras ir pažengę skaitytojai. įdomių akimirkų. Ir, žinoma, bus nauja medžiaga, einantis toliau vidurinę mokyklą.

Taigi lygtis…. Daugelis šį žodį prisimena su šiurpu. Ko vertos „rafinuotos“ lygtys su šaknimis... ...pamirškite jas! Nes tada sutiksite pačius nekenksmingiausius šios rūšies „atstovus“. Arba nuobodu trigonometrines lygtis su daugybe sprendimo būdų. Tiesą pasakius, man pačiai jie nelabai patiko... Nepanikuokite! – tuomet dažniausiai jūsų laukia „kiaulpienės“ su akivaizdžiu sprendimu 1-2 žingsniais. Nors „varnalėša“ tikrai prilimpa, čia reikia būti objektyviems.

Kaip bebūtų keista, aukštojoje matematikoje daug dažniau susiduriama su labai primityviomis lygtimis, tokiomis kaip linijinis lygtys

Ką reiškia išspręsti šią lygtį? Tai reiškia, kad reikia rasti TOKIĄ „x“ (šaknies) reikšmę, kuri paverčia ją tikra lygybe. Išmeskime „trys“ į dešinę, pakeisdami ženklą:

ir iš naujo nustatykite „du“ į dešinėje pusėje (arba tas pats - padauginkite abi puses iš) :

Norėdami patikrinti, pakeiskime laimėtą trofėjų į pradinė lygtis :

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad rasta reikšmė iš tikrųjų yra šaknis duota lygtis. Arba, kaip jie taip pat sako, atitinka šią lygtį.

Atkreipkite dėmesį, kad šaknis taip pat gali būti įrašyta formoje dešimtainis:
Ir stenkitės nesilaikyti šio blogo stiliaus! Priežastį pakartojau ne kartą, ypač pačioje pirmoje pamokoje aukštesnė algebra.

Beje, lygtį taip pat galima išspręsti „arabų kalba“:

Ir kas įdomiausia - šis įrašas visiškai legalus! Bet jei nesate mokytojas, geriau to nedaryti, nes už originalumą čia baudžiama =)

O dabar šiek tiek apie

grafinio sprendimo metodas

Lygtis turi formą, o jos šaknis yra „X“ koordinatė susikirtimo taškai tiesinės funkcijos grafikas su grafiku tiesinė funkcija (x ašis):

Atrodytų, kad pavyzdys toks elementarus, kad čia nėra ką daugiau analizuoti, tačiau iš jo galima „išspausti“ dar vieną netikėtą niuansą: pateikime tą pačią lygtį formoje ir sukonstruokime funkcijų grafikus:

tuo pat metu nepainiokite šių dviejų sąvokų: lygtis yra lygtis ir funkcija– tai funkcija! Funkcijos tik padėti rasti lygties šaknis. Iš kurių gali būti du, trys, keturi ar net be galo daug. Artimiausias pavyzdys šia prasme yra gerai žinomas kvadratinė lygtis, kurio sprendimo algoritmas gavo atskirą pastraipą „karštos“ mokyklinės formulės. Ir tai nėra atsitiktinumas! Jei galite išspręsti kvadratinę lygtį ir žinoti Pitagoro teorema, tada, galima sakyti, „pusė aukštosios matematikos jau kišenėje“ =) Žinoma, perdėta, bet ne taip toli nuo tiesos!

Todėl nepatingėkime ir išspręskime kokią nors kvadratinę lygtį standartinis algoritmas:

, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi skirtingas galiojašaknis:

Nesunku patikrinti, ar abi rastos reikšmės iš tikrųjų atitinka šią lygtį:

Ką daryti, jei staiga pamiršote sprendimo algoritmą, o priemonių/pagalbos rankų nėra po ranka? Tokia situacija gali susidaryti, pavyzdžiui, testo ar egzamino metu. Mes naudojame grafinį metodą! Ir yra du būdai: galite statyti taškas po taško parabolė , taip išsiaiškindami, kur jis kerta ašį (jei iš viso kerta). Bet geriau padaryti ką nors gudresnio: įsivaizduokite lygtį formoje, daugiau nubrėžkite grafikus paprastos funkcijos- Ir „X“ koordinatės aiškiai matomi jų susikirtimo taškai!


Jei paaiškėja, kad tiesi linija liečia parabolę, tada lygtis turi dvi atitinkančias (kelias) šaknis. Jei paaiškėja, kad tiesė nekerta parabolės, tada nėra tikrų šaknų.

Norint tai padaryti, žinoma, reikia mokėti statyti elementariųjų funkcijų grafikai, bet, kita vertus, šiuos įgūdžius gali atlikti net moksleivis.

Ir vėl – lygtis yra lygtis, o funkcijos , yra funkcijos, kurios tik padėjo išspręskite lygtį!

Ir čia, beje, derėtų prisiminti dar vieną dalyką: jei visi lygties koeficientai padauginami iš ne nulio skaičiaus, tai jos šaknys nepasikeis.

Taigi, pavyzdžiui, lygtis turi tas pačias šaknis. Kaip paprastą „įrodymą“, konstantą išimsiu iš skliaustų:
ir aš jį pašalinsiu neskausmingai (Aš padalinsiu abi dalis iš „minus du“):

BET! Jei atsižvelgsime į funkciją , tada jūs negalite atsikratyti konstantos čia! Leidžiama tik išimti daugiklį iš skliaustų: .

Daugelis žmonių neįvertina grafinio sprendimo metodo, laikydami jį kažkuo „negarbingu“, o kai kurie net visiškai pamiršta apie šią galimybę. Ir tai iš esmės neteisinga, nes grafikų sudarymas kartais tiesiog išsaugo situaciją!

Kitas pavyzdys: tarkime, kad neprisimenate paprasčiausios trigonometrinės lygties šaknų: . Bendra formulė yra mokykliniai vadovėliai, visose žinynuose elementarioji matematika, bet jie jums neprieinami. Tačiau lygties sprendimas yra labai svarbus (dar žinomas kaip „du“). Yra išeitis! - sudaryti funkcijų grafikus:


po to ramiai užrašome jų susikirtimo taškų „X“ koordinates:

Yra be galo daug šaknų ir jų sutrumpintas žymėjimas priimamas algebroje:
, Kur ( – sveikųjų skaičių rinkinys) .

Ir, „neišeinant“, keli žodžiai apie grafinį nelygybių su vienu kintamuoju sprendimą metodą. Principas tas pats. Taigi, pavyzdžiui, nelygybės sprendimas yra bet koks „x“, nes Sinusoidas yra beveik visiškai po tiesia linija. Nelygybės sprendimas yra intervalų rinkinys, kuriame sinusoidės dalys yra griežtai virš tiesės (x ašis):

arba trumpai:

Tačiau čia yra daugybė nelygybės sprendimų: tuščias, nes nė vienas sinusoidės taškas nėra virš tiesės.

Ar yra kažkas, ko nesupranti? Skubiai išstudijuokite pamokas apie rinkiniai Ir funkcijų grafikai!

Sušilkime:

1 užduotis

Grafiškai išspręskite šias trigonometrines lygtis:

Atsakymai pamokos pabaigoje

Kaip matote, mokytis tikslieji mokslai Visai nebūtina prikimšti formulių ir žinynų! Be to, tai iš esmės ydingas požiūris.

Kaip jau raminau pačioje pamokos pradžioje, sudėtingos trigonometrinės lygtys standartiniame aukštosios matematikos kurse turi būti sprendžiamos itin retai. Visas sudėtingumas, kaip taisyklė, baigiasi tokiomis lygtimis kaip , kurių sprendimas yra dvi šaknų grupės, kilusios iš paprasčiausių lygčių ir . Per daug nesijaudinkite spręsdami pastarąjį – pažiūrėkite knygoje arba susiraskite internete =)

Grafinio sprendimo metodas taip pat gali padėti mažiau nereikšmingais atvejais. Apsvarstykite, pavyzdžiui, šią „ragtag“ lygtį:

Jo sprendimo perspektyvos atrodo... visai nekaip, bet tereikia įsivaizduoti lygtį formoje , statyti funkcijų grafikai ir viskas pasirodys neįtikėtinai paprasta. Straipsnio viduryje yra piešinys apie be galo mažos funkcijos (bus atidaryta kitame skirtuke).

Tas pats grafinis metodas galite sužinoti, kad lygtis jau turi dvi šaknis, ir viena iš jų yra lygi nuliui, o kita, matyt, neracionalus ir priklauso segmentui . Duota šaknis galima apskaičiuoti apytiksliai, pvz. tangentinis metodas. Beje, kai kuriose problemose nutinka taip, kad reikia ne ieškoti šaknų, o išsiaiškinti ar jie apskritai egzistuoja?. Ir čia taip pat gali padėti piešinys – jei grafikai nesikerta, vadinasi, nėra ir šaknų.

Racionalios daugianario šaknys su sveikaisiais koeficientais.
Hornerio schema

O dabar kviečiu nukreipti žvilgsnį į viduramžius ir pajusti nepakartojamą klasikinės algebros atmosferą. Norint geriau suprasti medžiagą, rekomenduoju bent šiek tiek perskaityti kompleksiniai skaičiai.

Jie patys geriausi. Polinomai.

Mūsų susidomėjimo objektas bus dažniausiai pasitaikantys formos su visa koeficientai Natūralusis skaičius paskambino daugianario laipsnis, skaičius – aukščiausio laipsnio koeficientas (arba tiesiog didžiausias koeficientas), o koeficientas yra laisvas narys.

Šį daugianarį trumpai pažymėsiu .

Daugiakalnio šaknys vadiname lygties šaknis

Man patinka geležinė logika =)

Norėdami gauti pavyzdžių, eikite į pačią straipsnio pradžią:

Nėra jokių problemų ieškant 1-ojo ir 2-ojo laipsnio daugianario šaknų, tačiau augant ši užduotis tampa vis sunkesnė. Nors iš kitos pusės viskas įdomiau! Ir kaip tik tam bus skirta antroji pamokos dalis.

Pirma, pažodžiui pusė teorijos ekrano:

1) Pagal išvadą Pagrindinė algebros teorema, laipsnio daugianario turi tiksliai kompleksasšaknys. Kai kurios šaknys (ar net visos) gali būti ypatingos galioja. Be to, tarp tikrųjų šaknų gali būti identiškų (kelių) šaknų (mažiausiai du, daugiausiai vienetų).

Jei koks nors kompleksinis skaičius yra daugianario šaknis, tada konjugatas jo skaičius taip pat būtinai yra šio daugianario šaknis (konjugatas sudėtingos šaknys atrodo kaip).

Paprasčiausias pavyzdys yra kvadratinė lygtis, kuri pirmą kartą pasirodė 8 (patinka) klasėje, ir kurią pagaliau „užbaigėme“ temoje kompleksiniai skaičiai. Leiskite jums priminti: kvadratinė lygtis turi arba dvi skirtingas realias šaknis, arba kelias šaknis, arba konjuguotas sudėtingas šaknis.

2) Nuo Bezouto teorema iš to išplaukia, kad jei skaičius yra lygties šaknis, tai atitinkamą daugianarį galima koeficientuoti:
, kur yra laipsnio daugianario .

Ir vėl mūsų senas pavyzdys: kadangi yra lygties šaknis, tada . Po to nesunku gauti gerai žinomą „mokyklos“ plėtrą.

Bezouto teoremos išvada turi didelę praktinę vertę: jei žinome 3 laipsnio lygties šaknį, galime ją pavaizduoti forma o iš kvadratinės lygties nesunku sužinoti likusias šaknis. Jei žinome 4-ojo laipsnio lygties šaknį, tai galima kairiąją pusę išplėsti į sandaugą ir pan.

Ir čia yra du klausimai:

Klausimas vienas. Kaip rasti šią šaknį? Visų pirma, apibrėžkime jo prigimtį: daugelyje aukštosios matematikos uždavinių reikia rasti racionalus, ypač visa daugianario šaknys, ir šiuo atžvilgiu mes juos daugiausiai dominsime toliau.... ...jie tokie geri, tokie purūs, kad norisi juos rasti! =)

Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą, yra atrankos metodas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, lygtį. Laimikis čia yra laisvas terminas - jei jis būtų lygus nuliui, tada viskas būtų gerai - išimame „X“ iš skliaustų ir pačios šaknys „iškrenta“ į paviršių:

Bet mes turime laisvas narys yra lygus „trims“, todėl pradedame keisti lygtį skirtingi skaičiai, teigiantis, kad yra „šaknis“. Visų pirma, pavienių vertybių pakeitimas rodo pats savaime. Pakeiskime:

Gauta neteisinga lygybė, taigi vienetas „netinka“. Na, gerai, pakeiskime:

Gauta tiesa lygybė! Tai reiškia, kad vertė yra šios lygties šaknis.

Norint rasti 3 laipsnio daugianario šaknis, yra analitinis metodas (vadinamosios Cardano formulės), bet dabar mus domina kiek kitokia užduotis.

Kadangi - yra mūsų daugianario šaknis, daugianomas gali būti pavaizduotas forma ir atsiranda Antras klausimas: kaip susirasti „jaunesnįjį brolį“?

Paprasčiausi algebriniai svarstymai rodo, kad norėdami tai padaryti, turime padalyti iš . Kaip padalyti daugianarį iš daugianario? Tas pats mokyklos metodas pasidalino įprasti skaičiai- „stulpelyje“! Šis metodas Išsamiai tai aptariau pirmuosiuose pamokos pavyzdžiuose Sudėtingos ribos, o dabar pažvelgsime į kitą metodą, kuris vadinamas Hornerio schema.

Pirmiausia rašome „aukščiausią“ daugianarį su visais , įskaitant nulinius koeficientus:
, po kurio įvesime šiuos koeficientus (griežtai eilės tvarka) į viršutinę lentelės eilutę:

Kairėje rašome šaknį:

Iš karto padarysiu išlygą, kad Hornerio schema taip pat veikia, jei „raudonas“ skaičius Ne yra daugianario šaknis. Tačiau neskubėkime dalykų.

Iš viršaus pašaliname pirmaujantį koeficientą:

Apatinių langelių užpildymo procesas šiek tiek primena siuvinėjimą, kai „minus vienas“ yra tam tikra „adata“, persmelkianti tolesnius veiksmus. „Nuneštą“ skaičių padauginame iš (–1) ir pridedame skaičių iš viršutinio langelio prie produkto:

Rastą reikšmę padauginame iš „raudonos adatos“ ir prie produkto pridedame tokį lygties koeficientą:

Ir galiausiai gauta vertė vėl „apdorojama“ „adata“ ir viršutiniu koeficientu:

Nulis paskutiniame langelyje nurodo, kad daugianomas yra padalintas į be pėdsakų (kaip ir turi būti), o plėtimosi koeficientai „pašalinami“ tiesiai iš apatinės lentelės eilutės:

Taigi, mes perėjome nuo lygties prie lygiavertės lygties ir viskas aišku su dviem likusiomis šaknimis (V šiuo atveju gauname konjuguotas sudėtingas šaknis).

Lygtį, beje, galima išspręsti ir grafiškai: plot "žaibas" ir pamatysite, kad grafikas kerta x ašį () taške. Arba tas pats „gudrus“ triukas - perrašome lygtį į formą, nubrėžiame elementari grafika ir aptikti jų susikirtimo taško „X“ koordinatę.

Beje, bet kurios 3 laipsnio funkcijos-polinomo grafikas kerta ašį bent kartą, o tai reiškia, kad atitinkama lygtis turi bent jau vienas galiojašaknis. Šis faktas galioja bet kuriai nelyginio laipsnio daugianario funkcijai.

Ir čia aš taip pat norėčiau pasilikti svarbus punktas kas liečia terminiją: daugianario Ir daugianario funkcija – tai ne tas pats dalykas! Tačiau praktiškai jie dažnai kalba, pavyzdžiui, apie „polinomo grafiką“, kuris, žinoma, yra aplaidumas.

Tačiau grįžkime prie Hornerio schemos. Kaip neseniai minėjau, ši schema tinka kitiems skaičiams, bet jei skaičius Ne yra lygties šaknis, tada mūsų formulėje atsiranda ne nulis priedas (likutis):

„Paleiskite“ „nesėkmingą“ reikšmę pagal Hornerio schemą. Šiuo atveju patogu naudoti tą pačią lentelę - kairėje užrašykite naują „adatą“, perkelkite pirminį koeficientą iš viršaus (kairė žalia rodyklė), ir einame:

Norėdami patikrinti, atidarykite skliaustus ir pateikite panašius terminus:
, Gerai.

Nesunku pastebėti, kad likusioji dalis („šeši“) yra lygi daugianario reikšmė . Ir iš tikrųjų - kaip tai yra:
, o dar gražiau – taip:

Iš aukščiau pateiktų skaičiavimų nesunku suprasti, kad Hornerio schema leidžia ne tik apskaičiuoti daugianarį, bet ir atlikti „civilizuotą“ šaknies pasirinkimą. Siūlau savarankiškai konsoliduoti skaičiavimo algoritmą atliekant nedidelę užduotį:

2 užduotis

Naudodami Hornerio schemą raskite visa šaknis lygtį ir koeficientą atitinkamą daugianarį

Kitaip tariant, čia reikia nuosekliai tikrinti skaičius 1, –1, 2, –2, ... – tol, kol paskutiniame stulpelyje bus „nupieštas“ nulis. Tai reikš, kad šios eilutės „adata“ yra daugianario šaknis

Skaičiavimus patogu išdėstyti vienoje lentelėje. Detalus sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Šaknų atrankos metodas yra geras santykinai paprasti atvejai, bet jei daugianario koeficientai ir (arba) laipsnis yra dideli, procesas gali užtrukti ilgiau. O gal yra kokių nors verčių iš to paties sąrašo 1, –1, 2, –2 ir nėra prasmės svarstyti? Be to, šaknys gali pasirodyti trupmeninės, o tai sukels visiškai nemokslišką kibimą.

Laimei, yra dvi galingos teoremos, kurios gali žymiai sumažinti „kandidatų“ verčių paiešką racionalios šaknys:

1 teorema Pasvarstykime nesumažinamas trupmena , kur . Jei skaičius yra lygties šaknis, tada laisvasis narys dalijamas iš, o pagrindinis koeficientas – iš.

Ypač, jei pagrindinis koeficientas yra , tada ši racionalioji šaknis yra sveikasis skaičius:

Ir mes pradedame išnaudoti teoremą tik su šia skania detale:

Grįžkime prie lygties. Kadangi jo pagrindinis koeficientas yra , tada hipotetinės racionalios šaknys gali būti išimtinai sveikosios, o laisvasis terminas būtinai turi būti padalintas į šias šaknis be liekanos. O „trys“ gali būti skirstomi tik į 1, –1, 3 ir –3. Tai yra, mes turime tik 4 „šakinius kandidatus“. Ir, pasak 1 teorema, kitas racionalūs skaičiai I PRINCIPAS negali būti šios lygties šaknys.

Lygtyje yra šiek tiek daugiau „pretendentų“: laisvasis terminas skirstomas į 1, –1, 2, – 2, 4 ir –4.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 1, –1 yra galimų šaknų sąrašo „įprasti“. (akivaizdi teoremos pasekmė) ir dauguma geriausias pasirinkimas dėl pirmumo patikrinimo.

Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių:

3 problema

Sprendimas: kadangi pirmaujantis koeficientas yra , tai hipotetinės racionalios šaknys gali būti tik sveikosios ir būtinai turi būti laisvojo termino dalikliai. „Minus keturiasdešimt“ yra padalintas į šias skaičių poras:
– iš viso 16 „kandidatų“.

Ir čia iš karto atsiranda viliojanti mintis: ar įmanoma išrauti visą negatyvą, ar viską teigiamų šaknų? Kai kuriais atvejais tai įmanoma! Suformuluosiu du ženklus:

1) Jei Visi Jei daugianario koeficientai yra neneigiami, tada jis negali turėti teigiamų šaknų. Deja, tai ne mūsų atvejis (dabar, jei mums būtų pateikta lygtis - tada taip, pakeičiant bet kurią daugianario reikšmę, daugianario reikšmė yra griežtai teigiama, o tai reiškia visus teigiamus skaičius (ir neracionalių) negali būti lygties šaknys.

2) Jei koeficientai ties nelyginiai laipsniai yra neneigiami ir visoms lygioms galioms (įskaitant nemokamą narį) yra neigiami, tada daugianomas negali turėti neigiamos šaknys. Tai mūsų atvejis! Pažvelgę ​​šiek tiek atidžiau, galite tai pamatyti, kai lygtyje pakeisite bet kurį neigiamą „x“. kairėje pusėje bus griežtai neigiamas, o tai reiškia neigiamos šaknys išnykti

Taigi tyrimams liko 8 skaičiai:

Mes nuolat juos "apmokestiname" pagal Hornerio schemą. Tikiuosi, kad jau išmokote protinius skaičiavimus:

Bandant „du“ mūsų laukė sėkmė. Taigi, yra nagrinėjamos lygties šaknis ir

Belieka ištirti lygtį . Tai lengva padaryti naudojant diskriminantą, bet aš atliksiu orientacinį testą pagal tą pačią schemą. Pirma, atkreipkime dėmesį, kad laisvasis terminas yra lygus 20, o tai reiškia 1 teorema skaičiai 8 ir 40 iškrenta iš galimų šaknų sąrašo, paliekant reikšmes tyrimams (vienas buvo pašalintas pagal Hornerio schemą).

Viršutinėje eilutėje rašome trinario koeficientus naujas stalas Ir Pradedame tikrinti nuo tų pačių „du“. Kodėl? Ir kadangi šaknys gali būti kartotinės, prašome: - ši lygtis turi 10 identiškos šaknys. Bet nesiblaškykime:

Ir čia, žinoma, šiek tiek melavau, žinodama, kad šaknys racionalios. Galų gale, jei jie būtų neracionalūs ar sudėtingi, aš susidurčiau su nesėkmingu visų likusių skaičių patikrinimu. Todėl praktikoje vadovaukitės diskriminantu.

Atsakymas: racionalios šaknys: 2, 4, 5

Mums pasisekė su analizuota problema, nes: a) jie iškart nukrito neigiamos reikšmės, ir b) labai greitai radome šaknį (ir teoriškai galėtume patikrinti visą sąrašą).

Tačiau iš tikrųjų situacija yra daug blogesnė. Kviečiu pažiūrėti įdomų žaidimą „ Paskutinis herojus»:

4 problema

Raskite racionalias lygties šaknis

Sprendimas: pagal 1 teorema hipotetinių skaitikliai racionalios šaknys turi tenkinti sąlygą (skaitome „dvylika yra padalinta iš el“), o vardiklius – į sąlygą. Remdamiesi tuo, gauname du sąrašus:

"sąrašas el":
ir "sąrašas um": (laimei, skaičiai čia yra natūralūs).

Dabar sudarykime visų galimų šaknų sąrašą. Pirmiausia „el sąrašą“ padalijame iš . Visiškai aišku, kad bus gauti tie patys skaičiai. Kad būtų patogiau, sudėkime juos į lentelę:

Daugelis trupmenų buvo sumažintos, todėl vertės jau yra „herojų sąraše“. Pridedame tik „naujokus“:

Panašiai tą patį „sąrašą“ padalijame iš:

ir galiausiai toliau

Taigi mūsų žaidimo dalyvių komanda sukomplektuota:


Deja, polinomas šioje užduotyje neatitinka „teigiamo“ ar „neigiamo“ kriterijaus, todėl negalime atmesti viršutinės ar apatinės eilės. Turėsite dirbti su visais skaičiais.

kaip tu jautiesi? Nagi, pakelk galvą – yra dar viena teorema, kurią perkeltine prasme galima pavadinti „žudiko teorema“... ...„kandidatai“, žinoma =)

Bet pirmiausia turite slinkti Hornerio diagramoje bent vieną visuma skaičių. Tradiciškai imkime vieną. Viršutinėje eilutėje rašome daugianario koeficientus ir viskas kaip įprasta:

Kadangi keturi akivaizdžiai nėra nulis, reikšmė nėra aptariamo daugianario šaknis. Bet ji mums labai padės.

2 teorema Jei kai kuriems apskritai daugianario reikšmė nėra lygi nuliui: , tada jo racionalios šaknys (jei jie yra) patenkinti sąlygą

Mūsų atveju ir todėl visos galimos šaknys turi tenkinti sąlygą (pavadinkime tai Sąlyga Nr. 1). Šis ketvertas bus daugelio „kandidatų“ „žudikas“. Kaip demonstraciją, pažvelgsiu į keletą patikrinimų:

Patikrinkime „kandidatą“. Norėdami tai padaryti, dirbtinai pavaizduokime ją trupmenos pavidalu, iš kurios aiškiai matyti, kad . Apskaičiuokime testo skirtumą: . Keturi yra padalinti iš „minus du“: , o tai reiškia, kad galima šaknis išlaikė testą.

Patikrinkime vertę. Testo skirtumas yra toks: . Žinoma, todėl sąraše lieka ir antrasis „subjektas“.

Yra daugianario padalijimo algoritmas f(x) iki ( x–a), kuri vadinama Hornerio schema.

Leiskite f(x) = , deg f(x) = n, a n 0. Padalinkite f(x) iki ( x–a), gauname: (*) f(x) = (x – a) ×q(x)+r, Kur rÎ F,degq(x) = n – 1.

Užsirašykime q(x)= b n -1 x n -1 + b n -2 x n -2 + … + b 1 x + b 0. Tada vietoj to pakeiskite (*) į lygybę f(x) Ir q(x) jų išraiškas gauname:

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 = (x – a) (b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + … + b 1 x + b 0)+r

Kadangi daugianariai yra lygūs, atitinkamų laipsnių koeficientai turi būti lygūs.

r – ab 0 = a 0 r = a 0 + ab 0

b 0 – ab 1 = a 1 b 0 = a 1 + ab 1

…………… .. ……………

b n -1 = a n a n = a n -1

Dauginamo koeficientų skaičiavimas q(x) patogiau įgyvendinti naudojant lentelę (Hornerio diagrama).

Naudodami Hornerio schemą galite išspręsti šių tipų problemas:

1. Rasti q(x) Ir r dalijant f(x) iki ( x – a);

2. Apskaičiuokite daugianario reikšmę f(x) adresu x = a;

3. Sužinok, ar bus x = a daugianario šaknis f(x), ir F;

4. Nustatykite šaknies daugumą;

5. Išplėskite daugianarį laipsniais ( x – a).

6. Apskaičiuokite daugianario reikšmę f(x) ir visi jo dariniai adresu x = a.

Pavyzdys. Leiskite f(x) = x 5 – 15 x 4 + 76 x 3 – 140x 2 + 75x– 125 ir a = 5.

Padarykite Hornerio diagramą:

1. Apskaičiuokite nepilnąjį koeficientą q(x) ir likusią dalį r dalijant f(x) iki ( X - 5). Antroje lentelės eilutėje matome, kad dalinio koeficientai q(x) yra lygūs: 1, – 10, 26, – 10, 25, todėl q(x) = 1x 4– 10x 3+ 26x 2– 10x + 25 ir likusią dalį r lygus 0.

2. Apskaičiuokite daugianario reikšmę f(x) adresu x = 5. Pasinaudokime Bezout teorema: f(5) = r = 0.

3. Išsiaiškinkime, ar bus x = 5 daugianario šaknis f(x). Pagal apibrėžimą A– šaknis f(x), jei f(A) = 0. Kadangi f(5) = r= 0, tada 5 yra šaknis f(x).

4. Iš antros, trečios ir ketvirtos lentelės eilių matome, kad f(x) yra padalintas iš ( X– 5) 3, bet f(x) nedalomas iš ( X– 5) 4 . Todėl skaičiaus šaknis 5 turi 3 kartotinį.

5. Išplėskime daugianarį f(x) pagal laipsnius ( X - 5), plėtimosi koeficientai c 0, c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 gaunami paskutinėse antros, trečios, ketvirtos, penktos, šeštos ir septintos Hornerio schemos eilutėse:

f(x) = c 0 + c 1 ( X - 5)+ su 2 ( X - 5) 2 + su 3 ( X - 5) 3 + su 4 ( X - 5) 4 + su 5 ( X - 5) 5 arba

f(x) = 26 (X - 5) 3 + 10 (X - 5) 4 + (X - 5) 5 .

6. Apskaičiuokite daugianario reikšmę f(x) ir visi jo dariniai adresu x = 5.

su 0 = f(5) = 0, s 1 = f′(5) = 0, s 2 = = 0 f"(5) = 0,

s 3 = = 26 f′′′(5) = 26 ∙ 3! = 156, kai 4 = = 10 f′ v (5) = 10 ∙ 4! = 240,

su 5 = = 1 f v (5) = 1 ∙ 5! = 120.

15 METODAS.„Logaritminė funkcija“.

1. Logika – matematinė analizė temomis.

Ši tema mokėsi 10 klasėje.

Pagrindinės sąvokos:

funkcija, pateikta pagal formulę y=log a x, kur vadinamas a>0, a≠0 logaritminė funkcija su pagrindu a.

Terminas yra logaritminė funkcija.

Genus yra funkcija.

Rūšių skirtumai: 1) a>0, a≠0; 2) funkcija pateikiama formule y=log a x.

Pagrindiniai pasiūlymai:

Logaritminės funkcijos savybės.

1°. Logaritminės funkcijos apibrėžimo sritis yra visų aibė teigiami skaičiai R + , t.y. D(log)=R + .

2°. Logaritminės funkcijos diapazonas yra visų realiųjų skaičių aibė.

3°. Logaritminė funkcija visoje apibrėžimo srityje didėja (jeigu a>1) arba mažėja (0<а<1).

Teisingas toks teiginys: vienodą bazę turinčių eksponentinių ir logaritminių funkcijų grafikai yra simetriški tiesės y=x atžvilgiu.

Pagrindinės studijų idėjos ir metodai:

Sąvokų apibrėžimai yra aiškūs, per artimiausius genties ir rūšių skirtumus – konstruktyvūs.

Įrodinėjimo metodai:

Dedukcinis (remiantis apibrėžimu) naudojant matematinius metodus: laipsnių logaritmas, pagrindinės laipsnių savybės, metodas pagal prieštaravimą.

Pavyzdžiui, savybė, kad a>1 funkcija didėja, įrodoma apibrėžiant didėjančią funkciją, naudojant prieštaravimo metodą.

1. - astronomijoje (žvaigždžių ryškumo įvertinimas);

- fizikoje;

- aukštojoje matematikoje (matematinė logika, matematinė analizė).

Pagrindinės matematinių problemų rūšys šia tema

Raskite funkcijos sritį;

Nubraižykite funkciją;

Raskite funkcijos diapazoną;

Raskite funkcijos pastovaus ženklo intervalus;

Išnagrinėkite funkciją ir sukurkite jos grafiką;

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę;

Raskite posakio prasmę.

Tipiškos klaidos ir sunkumai studijuojant temą

Matematinės klaidos:

ü skaičiavimo paklaidos: sprendžiant lygtis ir nelygybes, randant funkcijų reikšmes, operuojant laipsniais;

ü loginės klaidos: atliekant tapatybės transformacijas, naudojant logaritmų savybes, apibrėžiant sąvokas, išvedant formules;

ü grafinės klaidos: konstruojant funkcijų grafikus (į funkcijų savybes neatsižvelgiama); Grafų transformacijos taikomos neteisingai.

3. metodai ir būdai mokiniams dirbti su matematikos vadovėliu, atsižvelgiant į mokinių amžiaus ypatybes.

5-6 klasėse naudojami šie darbo su vadovėliu metodai:

1. taisyklių, apibrėžimų, teoremų teiginių skaitymas mokiniams po mokytojo paaiškinimo

2. mokytojo balsu skaitymas mokiniams, išryškinant pagrindinius ir esminius

3. darbas su formulėmis ir iliustracijomis ant vadovėlio viršelio

4. mokiniai skaito vadovėlį ir atsako į mokytojo klausimus

7-8 klasėse pridedami šie darbo su vadovėliu metodai:

1. tekstų skaitymas po to, kai juos paaiškina mokytojas

2. mokiniai skaito tekstą ir skaido jį į prasmingas pastraipas

3. mokinių teksto iš vadovėlio skaitymas ir temos pagrindinių sakinių užrašymas pagal mokytojo pasiūlytą planą

9–11 klasėse prie visko, kas siūloma, pridedama:

1. mokinių vadovėlyje pateiktų pavyzdžių analizė, mokytojui paaiškinus temą

2. mokinių skaitymas tekste ir šio teksto patvirtinamoji santrauka

3. vadovėlio teksto skaitymas ir mokiniai savarankiškai sudaro šio teksto planą.

Edukacinis: pamokos metu užtikrinti logaritminės funkcijos sampratos įsisavinimą, ugdyti gebėjimą nustatyti logaritminių funkcijų savybes, ugdyti gebėjimą pavaizduoti logaritminės funkcijos grafikus.

Vystymasis: lavina mąstymą, suvokimą, atmintį, vaizduotę, dėmesį.

Ugdomasis: ugdyti stabilų domėjimąsi matematika, ugdyti tam tikras asmenybės savybes: tikslumą, užsispyrimą, darbštumą.

Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymasis

Pamokos struktūra:

1. organizacinis momentas; 2. pamokos tikslų nustatymas; 3.namų darbų tikrinimas; 4. pasirengimas studijuoti naują medžiagą; 5. naujos medžiagos mokymasis; 6.pirminis naujos medžiagos konsolidavimas ir suvokimas; 7. namų darbų ruošimas; 8. pamokos apibendrinimas.;

Šiandien mes išnagrinėsime naują logaritminę funkciją. Ištyrę eksponentinę funkciją, jos savybes suskirstėme į lentelę. Dabar aš siūlau atsiversti 98 puslapį savo vadovėliuose, perskaityti 18 pastraipą ir užrašų knygelėse užsirašyti pagrindžiančią santrauką pagal lentoje pateiktą planą. Pagalbinę santrauką suformatuosite taip pat, kaip ir tyrinėdami eksponentinę funkciją. Pagrindinis planas. 3. logaritminės funkcijos apibrėžimas 4. suformatuokite logaritminės funkcijos savybes lentelėje.
O dabar prie lentos kviečiu vieną žmogų, kuris teisingai suformuos užrašus lentoje. 5. Skaitinė funkcija, turinti D apibrėžimo sritį, yra atitikmuo, kuriame kiekvienas skaičius x iš aibės D yra susietas pagal tam tikrą taisyklę su skaičiumi y, priklausančiu nuo x. 6. galia, eksponentinė.
Paprasto Habrahabro skaitytojo negalima vadinti nepatyrusiu, naudojančiu visokius iškrypimus. Kas antras žmogus sakys, kad daugianomas turi būti apskaičiuojamas pagal Hornerio taisyklę. Tačiau visada yra mažas „bet“, ar Hornerio schema visada pati veiksmingiausia?

Hornerio schema

Išimtys

Ar yra dar kažkas, nes Hornerio schema yra ekonomiškiausia?

Kai kuriais atvejais, norint gauti daugianario reikšmes, patartina naudoti dviejų pakopų schemas. Pirmajame etape veiksmai atliekami tik su daugianario, į kurį jis transformuojamas, koeficientais specialus tipas. Antrame etape apskaičiuojama paties daugianario reikšmė nurodytoms argumento reikšmėms. Tokiu atveju gali pasirodyti, kad antrajame etape atliktų operacijų skaičius bus mažesnis nei skaičiuojant pagal Hornerio schemą.

Vėlgi pažymiu, kad tokie skaičiavimo metodai yra tinkami skaičiuojant daugianario reikšmes didelis skaičius x reikšmės. Padidėjimas gaunamas dėl to, kad pirmasis daugianario etapas atliekamas tik vieną kartą. Pavyzdys būtų skaičiavimas elementarios funkcijos, kur apytikslis daugianario paruošimas iš anksto.

Tolesnėse diskusijose, kalbėdamas apie skaičiavimo operacijų skaičių, turėsiu omenyje antrojo skaičiavimo etapo sudėtingumą.

J. Todto schema 6 laipsnio daugianariams

Koeficientai nustatomi metodu neapibrėžti koeficientai remiantis sąlyga. Iš paskutinės sąlygos sudarome lygčių sistemą, sulygindami koeficientus lygiais laipsniais daugianario.

Pačios sistemos čia nepateiksiu. Bet tai gali būti lengvai išspręsta pakeitimų metodu, ir reikia išspręsti kvadratines lygtis. Koeficientai gali pasirodyti sudėtingi, tačiau jei koeficientai pasirodo realūs, tada skaičiavimams reikia atlikti tris daugybas ir septynis sudėjimus, o ne penkis daugybas ir šešis pridėjimus pagal Hornerio schemą.

Nereikia kalbėti apie šios schemos universalumą, tačiau skaitytojas gali aiškiai įvertinti operacijų skaičiaus sumažėjimą, palyginti su Hornerio schema.

Schema Yu.L. Ketkova

Yu.L. Ketkovas davė bendra idėja n-ojo laipsnio polinomas, kai n>5, visada vedantis į realias išraiškas ir reikalaujantis [(n+1)/2]+ daugybos ir n+1 pridėjimo, kad būtų galima apskaičiuoti n-ojo laipsnio daugianarį.

Pavyzdžiui, kai n = 2k, Ketkovo schema redukuojasi iki daugianario radimo:

Visi nežinomi koeficientai randami iš lygybės . Ketkovo darbuose pateikiamas gautų sistemų sprendimo metodas, kuris visada duoda realius koeficientus.

Schemos V.Ya. Pana

V.Ya. Panas sprendė optimalaus daugianario skaičiavimo uždavinius. Visų pirma, jis pasiūlė keletą realiųjų daugianarių skaičiavimo schemų, kurios labai priartėjo prie E. Belagos įverčių. Pateiksiu keletą Pano schemų tikriems daugianariams.
1. Ketvirtojo laipsnio daugianario skaičiavimo schema.
Nagrinėjamas daugianomas.

Pateikiame jį tokia forma:

Norėdami apskaičiuoti daugianario reikšmę, naudojame šias išraiškas:

Ši grandinė reikalauja daugybos ir pridėjimo antrajame etape.

Šios schemos ypatumas yra tas, kad pradinio daugianario koeficientai visada egzistuoja ir tikrieji koeficientai.

Pas V.Ya. Yra ir kitų daugianario skaičiavimo schemų, įskaitant sudėtingas.

Išvada

Tačiau jei daugianario reikšmių, kurias reikia apskaičiuoti, skaičius yra didelis, o našumas yra labai svarbus, verta apsvarstyti galimybę naudoti specialius metodus daugianario skaičiavimai.

Kai kurie skaitytojai sakys, kad maišytis su kitomis schemomis nei Hornerio yra sunku, varginanti ir neverta vargti. Tačiau į tikras gyvenimas Yra problemų, kuriose tereikia apskaičiuoti didžiulis skaičius daugianario reikšmės su dideliais laipsniais(pavyzdžiui, juos apskaičiuoti gali prireikti mėnesių), o perpus sumažinus daugybos skaičių, žymiai sutaupysite laiko, net jei turėsite praleisti kelias dienas diegdami konkrečią daugianarių skaičiavimo grandinę.

Literatūra

1. Ketkovas Yu.L. Apie vieną matematinių mašinų polinomų skaičiavimo būdą. // Universiteto žinios, 1 t., 1958 m
2. V. Ya, „Polinomų skaičiavimas naudojant preliminaraus koeficientų apdorojimo programas“, Vychisl. matematika. ir matematika. Fiz., 2:1 (1962), 133–140
3. V. Ya. „Apie polinomų verčių skaičiavimo metodus“, Uspekhi Mat, 21:1(127) (1966), 103–134
4. V. Ya, „Dėl penktojo ir septinto laipsnio daugianario skaičiavimo su realiais koeficientais“, Vychisl. matematika. ir matematika. Fiz., 5:1 (1965), 116–118
5. Pan V. Ya. Kai kurios polinomų su realiais koeficientais verčių skaičiavimo schemos. Kibernetikos problemos. t. 5. M.: Nauka, 1961, 17–29.
6. Belaga E. G. Dėl daugianario verčių apskaičiavimo viename kintamajame iš anksto apdorojant koeficientus. Kibernetikos problemos. t. 5. M.: Fizmatgiz, 1961, 7–15.

Galite padėti ir pervesti šiek tiek lėšų svetainės plėtrai

Polinomo reikšmės apskaičiavimas taške yra viena iš paprasčiausių klasikinio programavimo uždavinių.
Atliekant įvairių tipų skaičiavimus, dažnai reikia nustatyti daugianario reikšmes nurodytoms argumentų reikšmėms. Dažnai apytikslis funkcijų apskaičiavimas yra apytikslis daugianario skaičiavimas.
Paprasto Habrahabro skaitytojo negalima vadinti nepatyrusiu, naudojančiu visokius iškrypimus. Kas antras žmogus sakys, kad daugianomas turi būti apskaičiuojamas pagal Hornerio taisyklę. Tačiau visada yra mažas „bet“, ar Hornerio schema visada pati veiksmingiausia?


Mano tikslas nėra tiksliai aprašyti polinomų skaičiavimo algoritmus, o tik parodyti, kad kai kuriais atvejais galima (būtina) taikyti ir kitokias schemas nei Hornerio taisyklės. Tiems, kurie domisi medžiaga, straipsnio pabaigoje yra nuorodų sąrašas, kurį galima rasti norint išsamiau išnagrinėti problemą.
Be to, kartais darosi gėda, kad mūsų rusų matematikų vardai lieka mažai žinomi. Be to, man tiesiog malonu kalbėti apie mūsų matematikų darbą.

Hornerio schema

Išimtys

Ar yra dar kažkas, nes Hornerio schema yra ekonomiškiausia?

Kai kuriais atvejais, norint gauti daugianario reikšmes, patartina naudoti dviejų pakopų schemas. Pirmajame etape veiksmai atliekami tik su daugianario koeficientais, jis konvertuojamas į specialią formą. Antrame etape apskaičiuojama paties daugianario reikšmė nurodytoms argumento reikšmėms. Tokiu atveju gali pasirodyti, kad antrajame etape atliktų operacijų skaičius bus mažesnis nei skaičiuojant pagal Hornerio schemą.

Vėlgi, atkreipkite dėmesį, kad tokie skaičiavimo metodai yra naudingi apskaičiuojant daugianario reikšmes daugeliui x reikšmių. Padidėjimas gaunamas dėl to, kad pirmasis daugianario etapas atliekamas tik vieną kartą. Pavyzdys yra elementariųjų funkcijų skaičiavimas, kai aproksimuojamasis daugianomas paruošiamas iš anksto.

Tolesnėse diskusijose, kalbėdamas apie skaičiavimo operacijų skaičių, turėsiu omenyje antrojo skaičiavimo etapo sudėtingumą.

J. Todto schema 6 laipsnio daugianariams

Koeficientai nustatomi neapibrėžtų koeficientų metodu, remiantis sąlyga. Iš paskutinės sąlygos sudarome lygčių sistemą, sulygindami daugianario vienodo laipsnio koeficientus.

Pačios sistemos čia nepateiksiu. Tačiau tai galima lengvai išspręsti naudojant pakeitimo metodą, kuriam reikia išspręsti kvadratines lygtis. Koeficientai gali pasirodyti sudėtingi, tačiau jei koeficientai pasirodo realūs, tada skaičiavimams reikia atlikti tris daugybas ir septynis sudėjimus, o ne penkis daugybas ir šešis pridėjimus pagal Hornerio schemą.

Nereikia kalbėti apie šios schemos universalumą, tačiau skaitytojas gali aiškiai įvertinti operacijų skaičiaus sumažėjimą, palyginti su Hornerio schema.

Schema Yu.L. Ketkova

Yu.L. Ketkovas pateikė bendrą n-ojo laipsnio daugianario vaizdavimą, kai n>5, kuris visada veda į realias išraiškas ir reikalauja [(n+1)/2]+ daugybos ir n+1 pridėjimo, kad būtų galima apskaičiuoti n-ojo laipsnio daugianarį.

Pavyzdžiui, kai n = 2k, Ketkovo schema redukuojasi iki daugianario radimo:

Visi nežinomi koeficientai randami iš lygybės . Ketkovo darbuose pateikiamas gautų sistemų sprendimo metodas, kuris visada duoda realius koeficientus.

Schemos V.Ya. Pana

V.Ya. Panas sprendė optimalaus daugianario skaičiavimo uždavinius. Visų pirma, jis pasiūlė keletą realiųjų daugianarių skaičiavimo schemų, kurios labai priartėjo prie E. Belagos įverčių. Pateiksiu keletą Pano schemų tikriems daugianariams.
1. Ketvirtojo laipsnio daugianario skaičiavimo schema.
Nagrinėjamas daugianomas.

Pateikiame jį tokia forma:

Norėdami apskaičiuoti daugianario reikšmę, naudojame šias išraiškas:

Ši grandinė reikalauja daugybos ir pridėjimo antrajame etape.

Šios schemos ypatumas yra tas, kad pradinio daugianario koeficientai visada egzistuoja ir tikrieji koeficientai.

Pas V.Ya. Yra ir kitų daugianario skaičiavimo schemų, įskaitant sudėtingas.

Išvada

Tačiau jei daugianario reikšmių, kurias reikia apskaičiuoti, skaičius yra didelis, o našumas yra labai svarbus, tikslinga apsvarstyti galimybę naudoti specialius daugianario skaičiavimo metodus.

Kai kurie skaitytojai sakys, kad maišytis su kitomis schemomis nei Hornerio yra sunku, varginanti ir neverta vargti. Tačiau realiame gyvenime yra problemų, kai reikia apskaičiuoti tiesiog daugybę daugianario reikšmių su didelėmis galiomis (pavyzdžiui, jų skaičiavimas gali užtrukti mėnesius), o padauginimų skaičiaus sumažinimas per pusę duos reikšmingą rezultatą. laiko padidėjimas, net jei turite praleisti keletą dienų, kad įgyvendintumėte konkrečią daugianario skaičiavimo schemą.

Literatūra

1. Ketkovas Yu.L. Apie vieną matematinių mašinų polinomų skaičiavimo būdą. // Universiteto žinios, 1 t., 1958 m
2. V. Ya, „Polinomų skaičiavimas naudojant preliminaraus koeficientų apdorojimo programas“, Vychisl. matematika. ir matematika. Fiz., 2:1 (1962), 133–140
3. V. Ya. „Apie polinomų verčių skaičiavimo metodus“, Uspekhi Mat, 21:1(127) (1966), 103–134
4. V. Ya, „Dėl penktojo ir septinto laipsnio daugianario skaičiavimo su realiais koeficientais“, Vychisl. matematika. ir matematika. Fiz., 5:1 (1965), 116–118
5. Pan V. Ya. Kai kurios polinomų su realiais koeficientais verčių skaičiavimo schemos. Kibernetikos problemos. t. 5. M.: Nauka, 1961, 17–29.
6. Belaga E. G. Dėl daugianario verčių apskaičiavimo viename kintamajame iš anksto apdorojant koeficientus. Kibernetikos problemos. t. 5. M.: Fizmatgiz, 1961, 7–15.