Kas yra darinys?
Išvestinės funkcijos apibrėžimas ir reikšmė

Daugelį nustebins netikėta šio straipsnio vieta mano autoriaus kurse apie vieno kintamojo funkcijos išvestinę ir jos taikymą. Juk kaip buvo nuo mokyklos laikų: standartiniame vadovėlyje pirmiausia pateikiamas darinio apibrėžimas, jo geometrinis, mechaninis pojūtis. Tada studentai randa funkcijų išvestinius pagal apibrėžimą ir, tiesą sakant, tik tada tobulina diferencijavimo techniką naudodami išvestinių lentelių.

Bet mano požiūriu, toks požiūris yra pragmatiškesnis: visų pirma patartina GERAI SUPRASTAI funkcijos riba, ir ypač be galo maži kiekiai. Faktas yra tas išvestinės apibrėžimas grindžiamas ribos sąvoka, kuris yra prastai įvertintas mokyklos kursas. Štai kodėl nemaža dalis jaunų žinių granito vartotojų nesuvokia pačios darinio esmės. Taigi, jei esate prastai orientuotas diferencialinis skaičiavimas arba išmintingos smegenys už ilgus metus sėkmingai atsikratėte šio bagažo, pradėkite nuo to funkcijų ribos. Tuo pačiu metu įvaldykite / prisiminkite jų sprendimą.

Tas pats praktinis pojūtis rodo, kad tai pirmiausia naudinga išmokti rasti išvestinius, įskaitant sudėtingų funkcijų dariniai. Teorija yra teorija, bet, kaip sakoma, visada norisi atskirti. Šiuo atžvilgiu geriau išstudijuoti išvardytus dalykus pagrindinės pamokos, o gal ir taps diferenciacijos meistras net nesuvokdami savo veiksmų esmės.

Perskaičius straipsnį rekomenduoju pradėti nuo šio puslapio medžiagos. Paprasčiausios problemos su išvestinėmis priemonėmis, kur visų pirma nagrinėjama funkcijos grafiko liestinės problema. Bet jūs galite palaukti. Faktas yra tas, kad daugeliui išvestinės taikymų nereikia jos suprasti, ir nenuostabu, kad teorinė pamoka pasirodė gana vėlai - kai reikėjo paaiškinti didėjančių/mažėjančių intervalų ir ekstremalų radimas funkcijas. Be to, jis gana ilgą laiką buvo šioje temoje. Funkcijos ir grafikai“, kol galiausiai nusprendžiau įdėti anksčiau.

Todėl, mieli arbatinukai, neskubėkite kaip alkani gyvūnai įsisavinti darinio esmės, nes sodrumas bus neskanus ir nepilnas.

Funkcijos didėjimo, mažėjimo, maksimumo, minimumo sąvoka

Daug mokymo priemones veda prie išvestinės sąvokos naudojant kai kuriuos praktines problemas, ir aš taip pat sugalvojau įdomus pavyzdys. Įsivaizduokite, kad ruošiamės keliauti į miestą, kurį galima pasiekti įvairiais būdais. Iškart atmeskime vingiuotus kelius ir svarstykime tik tiesius greitkelius. Tačiau tiesiosios kryptys taip pat skiriasi: į miestą galite patekti lygiu greitkeliu. Arba kalvotu greitkeliu – aukštyn ir žemyn, aukštyn ir žemyn. Kitas kelias eina tik įkalnėn, o kitas visą laiką leidžiasi žemyn. Ekstremalūs entuziastai rinksis maršrutą per tarpeklį su stačiu skardžiu ir stačiu kopimu.

Bet kad ir kokie būtų jūsų pageidavimai, patartina žinoti vietovę arba bent jau ją rasti topografinis žemėlapis. O jei tokios informacijos trūksta? Juk galima rinktis, pavyzdžiui, lygų taką, bet dėl to užklysti į slidinėjimo trasą su linksmais suomiais. Netiesa, kad navigatorius ar net palydovinė nuotrauka pateiks patikimus duomenis. Todėl būtų malonu įforminti tako reljefą naudojant matematiką.

Pažiūrėkime į kelią (vaizdas iš šono):

Bet kokiu atveju primenu elementarų faktą: kelionių būna iš kairės į dešinę. Paprastumo dėlei darome prielaidą, kad funkcija tęstinis nagrinėjamoje teritorijoje.

Kokios yra savybės šio tvarkaraščio?

Protarpiais funkcija dideja, tai yra, kiekviena kita jo reikšmė daugiau ankstesnis. Grubiai tariant, tvarkaraštis yra žemyn aukštyn(lipame į kalną). O intervale funkcija mažėja– kiekvienas kitą vertę mažiau ankstesnis, o mūsų tvarkaraštis yra iš viršaus žemyn(leidžiame šlaitu žemyn).

Taip pat atkreipkime dėmesį į vienetiniai taškai. Taške, kurį pasiekiame maksimalus, tai yra egzistuoja tokia kelio atkarpa, kurioje reikšmė bus didžiausia (didžiausia). Tuo pačiu metu tai pasiekiama minimumas, Ir egzistuoja jos kaimynystėje, kurioje vertė yra mažiausia (mažiausia).

Klasėje pažvelgsime į griežtesnę terminologiją ir apibrėžimus. apie funkcijos kraštutinumą, bet kol kas išstudijuokime kitą svarbią savybę: intervalais funkcija didėja, bet didėja Su skirtingu greičiu . Ir pirmas dalykas, kuris patraukia jūsų dėmesį, yra tai, kad grafikas pakyla per intervalą daug šaunesnis, nei intervale . Ar įmanoma matematiniais įrankiais išmatuoti kelio statumą?

Funkcijos kitimo greitis

Idėja tokia: paimkime tam tikrą vertę (skaitykite "delta x"), kurį paskambinsime argumentų prieaugis, ir pradėkime „išbandyti“ įvairiuose mūsų kelio taškuose:

1) Pažiūrėkime į kairiausią tašką: įveikę atstumą, lipame šlaitu į aukštį ( žalia linija). Kiekis vadinamas funkcijos padidėjimas, ir į tokiu atvejušis padidėjimas yra teigiamas (reikšmių skirtumas išilgai ašies yra Virš nulio). Sukurkime santykį, kuris bus mūsų kelio statumo matas. Akivaizdu, kad tai yra labai konkretus skaičius, ir kadangi abu žingsniai yra teigiami, tada .

Dėmesio! Pavadinimai yra VIENA simbolis, tai yra, negalite „nuplėšti“ „deltos“ nuo „X“ ir atsižvelgti į šias raides atskirai. Žinoma, komentaras taip pat susijęs su funkcijos prieaugio simboliu.

Ištirkime gautos trupmenos prigimtį prasmingiau. Iš pradžių būkime 20 metrų aukštyje (kairiame juodajame taške). Įveikę metrų atstumą (kairė raudona linija), atsidursime 60 metrų aukštyje. Tada funkcijos padidėjimas bus metrų (žalia linija) ir: . Taigi, ant kiekvieno metrošioje kelio atkarpoje ūgis didėja vidutinis 4 metrais...pamiršote laipiojimo įrangą? =) Kitaip tariant, sukonstruotas ryšys apibūdina funkcijos VIDUTINIĄ POKYČIŲ (šiuo atveju augimą) GRĄ.

Pastaba : skaitines reikšmes Nagrinėjamas pavyzdys tik apytiksliai atitinka brėžinio proporcijas.

2) Dabar eikime tuo pačiu atstumu nuo dešiniojo juodojo taško. Čia kilimas yra laipsniškesnis, todėl prieaugis (raudonoji linija) yra palyginti mažas, o santykis, palyginti su ankstesniu atveju, bus labai kuklus. Santykinai kalbant, metrų ir funkcijos augimo greitis yra . Tai yra, čia yra kiekvienam kelio metrui vidutinis pusės metro aukščio.

3) Mažas nuotykis kalno šlaite. Pažiūrėkime į viršutinį juodą tašką, esantį ordinačių ašyje. Tarkime, kad tai yra 50 metrų žyma. Vėl įveikiame distanciją, ko pasekoje atsiduriame žemiau – 30 metrų lygyje. Kadangi judėjimas atliekamas iš viršaus žemyn(ašies „priešinga“ kryptimi), tada galutinis funkcijos prieaugis (aukštis) bus neigiamas: metrų (rudas segmentas brėžinyje). Ir šiuo atveju mes jau kalbame apie mažėjimo greitis Funkcijos: , tai yra, kiekvienam šios atkarpos tako metrui aukštis mažėja vidutinis 2 metrais. Penktame taške pasirūpinkite savo drabužiais.

Dabar užduokime sau klausimą: kokią „matavimo etalono“ reikšmę geriausia naudoti? Tai visiškai suprantama, 10 metrų yra labai grubus. Ant jų nesunkiai telpa keliolika kauburėlių. Kad ir iškiltų nelygumai, apačioje gali būti gilus tarpeklis, o po kelių metrų – kita jo pusė su dar stačiu pakilimu. Taigi, su dešimties metrų negausime suprantamo tokių kelio atkarpų aprašymo per santykį .

Iš aukščiau pateiktos diskusijos daroma tokia išvada: kaip mažesnė vertė , tuo tiksliau aprašome kelio topografiją. Be to, teisingi šie faktai:

– Bet kam kėlimo taškai galite pasirinkti vertę (net jei labai maža), kuri atitinka tam tikro padidėjimo ribas. Tai reiškia, kad atitinkamas aukščio prieaugis bus garantuotas teigiamas, o nelygybė teisingai parodys funkcijos augimą kiekviename šių intervalų taške.

- Taip pat, bet kuriam nuolydžio taškas yra vertė, kuri visiškai tilps šiame šlaite. Vadinasi, atitinkamas aukščio padidėjimas yra aiškiai neigiamas, o nelygybė teisingai parodys funkcijos sumažėjimą kiekviename duoto intervalo taške.

– Ypač įdomus atvejis, kai funkcijos kitimo greitis lygus nuliui: . Pirma, nulinis aukščio padidėjimas () yra lygaus kelio ženklas. Antra, yra ir kitų įdomių situacijų, kurių pavyzdžius matote paveikslėlyje. Įsivaizduokite, kad likimas atvedė mus į pačią kalvos viršūnę su sklandančiais ereliais arba į daubos dugną su kurkiančiomis varlėmis. Jei žengsite nedidelį žingsnį bet kuria kryptimi, aukščio pokytis bus nereikšmingas, ir galime pasakyti, kad funkcijos kitimo greitis iš tikrųjų yra lygus nuliui. Būtent toks vaizdas matomas taškuose.

Taip mes prieiname nuostabi galimybė idealiai tiksliai apibūdinti funkcijos kitimo greitį. Po visko matematinė analizė leidžia nukreipti argumento prieaugį į nulį: , tai yra, padaryti jį be galo mažas.

Dėl to kyla kitas logiškas klausimas: ar įmanoma rasti kelią ir jo tvarkaraštį kita funkcija, kuris mums praneštų apie visas plokščias atkarpas, pakilimus, nusileidimus, viršūnes, slėnius, taip pat augimo/mažėjimo greitį kiekviename taške pakeliui?

Kas yra darinys? Išvestinės apibrėžimas.
Išvestinės ir diferencialo geometrinė reikšmė

Perskaitykite atidžiai ir ne per greitai – medžiaga paprasta ir visiems prieinama! Gerai, jei kai kuriose vietose kažkas neatrodo labai aišku, visada galite grįžti prie straipsnio vėliau. Pasakysiu daugiau, pravartu kelis kartus perstudijuoti teoriją, norint gerai suprasti visus dalykus (patarimas ypač aktualus „techie“ studentams, turintiems aukštoji matematika vaidina svarbų vaidmenį ugdymo procese).

Natūralu, kad pačiame išvestinės apibrėžime tam tikru momentu jį pakeičiame taip:

Prie ko priėjome? Ir padarėme išvadą, kad funkcijai pagal įstatymą yra suderintas kita funkcija, kuris vadinamas išvestinė funkcija(arba tiesiog išvestinė).

Išvestinė charakterizuoja kitimo greitis funkcijas Kaip? Idėja eina kaip raudona gija nuo pat straipsnio pradžios. Apsvarstykime kai kuriuos dalykus apibrėžimo sritis funkcijas Tegul funkcija yra diferencijuojama tam tikrame taške. Tada:

1) Jei , tada funkcija didėja taške . Ir akivaizdu, kad yra intervalas(net ir labai mažas), kuriame yra taškas, kuriame funkcija auga, o jos grafikas eina „iš apačios į viršų“.

2) Jei , tada funkcija mažėja taške . Ir yra intervalas, kuriame yra taškas, kuriame funkcija mažėja (grafikas eina „iš viršaus į apačią“).

3) Jei , tada be galo artišalia taško funkcija palaiko pastovų greitį. Tai atsitinka, kaip pažymėta, esant nuolatinei funkcijai ir kritiniuose funkcijos taškuose, ypač minimaliais ir maksimaliais taškais.

Šiek tiek semantikos. Kas viduje plačiąja prasme ar reiškia veiksmažodis „diferencijuoti“? Atskirti reiškia pabrėžti bruožą. Išskirdami funkciją, jos kitimo greitį „išskiriame“ funkcijos išvestinės formos pavidalu. Ką, beje, reiškia žodis „darinys“? Funkcija įvyko nuo funkcijos.

Sąvokas labai sėkmingai interpretuoja mechaninė vedinio reikšmė :
Panagrinėkime kūno koordinačių kitimo dėsnį, priklausantį nuo laiko, ir tam tikro kūno judėjimo greičio funkciją. Funkcija apibūdina kūno koordinačių kitimo greitį, todėl yra pirmoji funkcijos išvestinė laiko atžvilgiu: . Jei „kūno judėjimo“ sąvoka gamtoje neegzistuotų, tada jos nebūtų išvestinė„kūno greičio“ sąvoka.

Kūno pagreitis yra greičio kitimo greitis, todėl: . Jei pradinės sąvokos „kūno judėjimas“ ir „kūno greitis“ gamtoje neegzistuotų, tada jų nebūtų išvestinė„kūno pagreičio“ sąvoka.

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl

Įsivaizduokime tiesų kelią, einantį per kalvotą vietovę. Tai yra, jis eina aukštyn ir žemyn, bet nesisuka nei į dešinę, nei į kairę. Jei ašis nukreipta horizontaliai išilgai kelio ir vertikaliai, tada kelio linija bus labai panaši į kokios nors ištisinės funkcijos grafiką:

Ašis yra tam tikras nulinio aukščio lygis, kurį mes naudojame kaip jūros lygį.

Judėdami į priekį tokiu keliu, taip pat judame aukštyn arba žemyn. Taip pat galime pasakyti: pasikeitus argumentui (judėjimas išilgai abscisių ašies), pasikeičia funkcijos reikšmė (judėjimas išilgai ordinačių ašies). Dabar pagalvokime, kaip nustatyti mūsų kelio „statumą“? Kokia tai galėtų būti vertė? Tai labai paprasta: kiek pasikeis aukštis judant į priekį tam tikru atstumu. Iš tiesų skirtingose kelio atkarpose, judėdami į priekį (išilgai x ašies) vienu kilometru, kilsime arba krissime skirtingi kiekiai metrų jūros lygio atžvilgiu (išilgai ordinačių ašies).

Pažymėkime pažangą (skaitykite „delta x“).

Graikiška raidė (delta) matematikoje dažniausiai naudojama kaip priešdėlis, reiškiantis „pokytį“. Tai yra, tai yra kiekio pokytis, - pokytis; tada kas tai? Tai tiesa, masto pokytis.

Svarbu: išraiška yra viena visuma, vienas kintamasis. Niekada neatskirkite „delta“ nuo „x“ ar bet kokios kitos raidės! Tai yra, pavyzdžiui,.

Taigi, mes pajudėjome į priekį, horizontaliai, per. Jei lygintume kelio liniją su funkcijos grafiku, tai kaip žymėsime kilimą? Be abejo,. Tai yra, eidami į priekį, kylame aukščiau.

Reikšmę nesunku suskaičiuoti: jei pradžioje buvome aukštyje, o pajudėję atsidūrėme aukštyje, tada. Jeigu pabaigos taškas pasirodė mažesnis nei pradinis, jis bus neigiamas - tai reiškia, kad mes ne kylame, o leidžiamės žemyn.

Grįžkime prie „statumo“: tai reikšmė, rodanti, kiek (stačiai) padidėja aukštis judant į priekį vienu atstumo vienetu:

Tarkime, kad tam tikroje kelio atkarpoje pajudėjus kilometrą į priekį kelias kilometrą pakyla aukštyn. Tada nuolydis šioje vietoje yra lygus. O jei kelias, judant į priekį m, nukrito km? Tada nuolydis yra lygus.

Dabar pažiūrėkime į kalvos viršūnę. Paėmus atkarpos pradžią pusę kilometro iki viršūnės, o pabaigą – puskilometrį po jos, matyti, kad aukštis beveik toks pat.

Tai yra, pagal mūsų logiką paaiškėja, kad nuolydis čia yra beveik lygus nuliui, o tai akivaizdžiai netiesa. Tik nuvažiavus kilometrus daug kas gali pasikeisti. Norint adekvačiau ir tiksliau įvertinti statumą, būtina atsižvelgti į mažesnius plotus. Pavyzdžiui, jei išmatuosite aukščio pokytį judant per metrą, rezultatas bus daug tikslesnis. Bet ir šio tikslumo mums gali nepakakti – juk jei viduryje kelio yra stulpas, galime jį tiesiog aplenkti. Kokį atstumą tuomet turėtume pasirinkti? Centimetras? Milimetras? Mažiau yra geriau!

IN Tikras gyvenimas Matuoti atstumus milimetro tikslumu yra daugiau nei pakankamai. Tačiau matematikai visada siekia tobulumo. Todėl koncepcija buvo išrasta be galo mažas, tai yra, absoliuti reikšmė yra mažesnė už bet kurį skaičių, kurį galime pavadinti. Pavyzdžiui, jūs sakote: vienas trilijonas! Kiek mažiau? Ir padalysite šį skaičių iš – ir bus dar mažiau. Ir taip toliau. Jei norime parašyti, kad dydis yra be galo mažas, rašome taip: (skaitome „x linkęs į nulį“). Labai svarbu suprasti kad šis skaičius nėra lygus nuliui! Bet labai arti to. Tai reiškia, kad galite iš jo padalinti.

Sąvoka, priešinga begaliniam mažumui, yra be galo didelė (). Jūs tikriausiai jau susidūrėte su tuo, kai dirbote su nelygybėmis: šis skaičius yra modulio didesnis nei bet kuris skaičius, kurį galite įsivaizduoti. Jei sugalvojai didžiausią galimi skaičiai, tiesiog padauginkite iš dviejų ir gausite dar daugiau. Ir dar begalybė Be to kas nutiks. Tiesą sakant, be galo didelis ir be galo mažas yra atvirkštiniai vienas kitam, tai yra, at, ir atvirkščiai: at.

Dabar grįžkime į savo kelią. Idealiai apskaičiuotas nuolydis yra nuolydis, apskaičiuotas be galo mažai kelio atkarpai, ty:

Pastebiu, kad esant be galo mažam poslinkiui, aukščio pokytis taip pat bus be galo mažas. Tačiau priminsiu, kad be galo maža nereiškia lygus nuliui. Jei be galo mažus skaičius padalysite vienas iš kito, gausite gana įprastas numeris, Pavyzdžiui, . Tai yra, viena maža reikšmė gali būti lygiai kartų didesnė už kitą.

Kam visa tai? Kelias, statumas... Mes nevažiuojame į automobilių ralį, bet mokome matematikos. O matematikoje viskas lygiai taip pat, tik kitaip vadinama.

Išvestinės samprata

Funkcijos išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui.

Palaipsniui matematikoje jie vadina kaita. Tai, kiek argumentas () keičiasi judant išilgai ašies, vadinamas argumentų prieaugis ir nurodoma, kiek pasikeitė funkcija (aukštis), judant į priekį išilgai ašies per atstumą funkcijos padidėjimas ir yra paskirtas.

Taigi funkcijos išvestinė yra santykis su kada. Išvestinę žymime ta pačia raide kaip ir funkciją, tik su pirminiu pirminiu viršuje dešinėje: arba tiesiog. Taigi, parašykime išvestinę formulę naudodami šiuos žymėjimus:

Kaip ir analogijoje su keliu, čia kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama.

Ar išvestinė gali būti lygi nuliui? Žinoma. Pavyzdžiui, jei važiuojame lygiu horizontaliu keliu, statumas lygus nuliui. Ir tai tiesa, ūgis visai nesikeičia. Tas pats su vediniu: vedinys pastovi funkcija(konstantos) yra lygus nuliui:

kadangi tokios funkcijos prieaugis lygus nuliui bet kuriai.

Prisiminkime kalvos viršūnės pavyzdį. Paaiškėjo, kad galima išilgai išdėstyti segmento galus skirtingos pusės iš viršaus, kad aukštis galuose būtų vienodas, tai yra, segmentas būtų lygiagretus ašiai:

Tačiau dideli segmentai yra netikslaus matavimo ženklas. Mes pakelsime savo segmentą lygiagrečiai sau, tada jo ilgis sumažės.

Galų gale, kai būsime be galo arti viršaus, atkarpos ilgis taps be galo mažas. Bet tuo pačiu metu jis išliko lygiagretus ašiai, tai yra, aukščio skirtumas jo galuose yra lygus nuliui (jis nelinkęs, bet lygus). Taigi išvestinė

Tai galima suprasti taip: kai stovime pačiame viršuje, nedidelis poslinkis į kairę arba dešinę mūsų ūgį pakeičia nežymiai.

Taip pat yra grynai algebrinis paaiškinimas: viršūnės kairėje funkcija didėja, o dešinėje - mažėja. Kaip sužinojome anksčiau, kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama. Bet keičiasi sklandžiai, be šuolių (nes kelias niekur smarkiai nekeičia savo nuolydžio). Todėl tarp neigiamų ir teigiamas vertes būtinai turi būti. Tai bus ten, kur funkcija nei didėja, nei mažėja – viršūnės taške.

Tas pats pasakytina apie lovelį (sritis, kurioje funkcija kairėje mažėja, o dešinėje didėja):

Šiek tiek daugiau apie priedus.

Taigi mes keičiame argumentą į dydį. Iš kokios vertės keičiame? Kuo tai (argumentas) tapo dabar? Galime pasirinkti bet kurį tašką, o dabar iš jo šoksime.

Apsvarstykite tašką su koordinate. Funkcijos reikšmė jame lygi. Tada darome tą patį žingsnį: padidiname koordinatę. Koks dabar argumentas? Labai lengva: . Kokia dabar funkcijos vertė? Kur yra argumentas, taip pat ir funkcija: . O kaip su funkcijos padidėjimu? Nieko naujo: tai vis dar yra suma, kuria pasikeitė funkcija:

Praktikuokite žingsnių paiešką:

Raskite funkcijos prieaugį taške, kai argumento prieaugis yra lygus.
Tas pats pasakytina ir apie funkciją taške.

Sprendimai:

IN skirtingus taškus su tuo pačiu argumento prieaugiu, funkcijos padidėjimas bus skirtingas. Tai reiškia, kad išvestinė kiekviename taške yra skirtinga (tai aptarėme pačioje pradžioje – skirtinguose taškuose kelio statumas yra skirtingas). Todėl, kai rašome išvestinę, turime nurodyti, kurioje vietoje:

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija yra funkcija, kai argumentas tam tikru laipsniu yra (logiškas, tiesa?).

Be to – bet kokiu mastu: .

Paprasčiausias atvejis- tai kai eksponentas:

Raskime jo išvestinę taške. Prisiminkime darinio apibrėžimą:

Taigi argumentas keičiasi iš į. Koks yra funkcijos padidėjimas?

Prieaugis yra tai. Bet funkcija bet kuriame taške yra lygi jos argumentui. Štai kodėl:

Išvestinė yra lygi:

Išvestinė yra lygi:

b) Dabar apsvarstykite kvadratinė funkcija (): .

Dabar prisiminkime tai. Tai reiškia, kad prieaugio vertės gali būti nepaisoma, nes ji yra be galo maža ir todėl nereikšminga, atsižvelgiant į kitą terminą:

Taigi, mes sugalvojome kitą taisyklę:

c) Tęsiame loginę seką: .

Šią išraišką galima supaprastinti įvairiais būdais: atidarykite pirmąjį skliaustą naudodami sutrumpinto sumos kubo daugybos formulę arba koeficientuokite visą išraišką naudodami kubelių skirtumo formulę. Pabandykite tai padaryti patys naudodami bet kurį iš siūlomų metodų.

Taigi, aš gavau šiuos dalykus:

Ir vėl prisiminkime tai. Tai reiškia, kad galime nepaisyti visų terminų, kuriuose yra:

Mes gauname: .

d) Panašias taisykles galima gauti didelėms galioms:

e) Pasirodo, kad šią taisyklę galima apibendrinti galios funkcija su savavališku eksponentu, net ne sveikuoju skaičiumi:

(2)

Taisyklė gali būti suformuluota taip: „laipsnis pakeliamas į priekį kaip koeficientas, o po to sumažinamas .

Šią taisyklę įrodysime vėliau (beveik pačioje pabaigoje). Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių. Raskite funkcijų išvestinę:

(dviem būdais: pagal formulę ir naudojant išvestinės apibrėžimą – apskaičiuojant funkcijos prieaugį);

Trigonometrinės funkcijos.

Čia panaudosime vieną faktą iš aukštosios matematikos:

Su išraiška.

Įrodymą išmoksite pirmaisiais instituto metais (o norėdami ten patekti, turite gerai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą). Dabar aš tiesiog parodysiu tai grafiškai:

Matome, kad kai funkcijos nėra – taškas grafike iškerpamas. Tačiau kuo arčiau vertės, tuo arčiau funkcija yra „tikslas“.

Be to, šią taisyklę galite patikrinti naudodami skaičiuotuvą. Taip, taip, nesidrovėkite, pasiimkite skaičiuotuvą, mes dar neateiname į vieningą valstybinį egzaminą.

Taigi, pabandykime: ;

Nepamirškite perjungti skaičiuotuvo į radianų režimą!

ir tt Matome, kad kuo mažiau, tuo artimesnę vertę santykis su

a) Apsvarstykite funkciją. Kaip įprasta, suraskime jo prieaugį:

Sinusų skirtumą paverskime sandauga. Norėdami tai padaryti, naudojame formulę (prisiminkime temą „“): .

Dabar išvestinė:

Pakeiskime: . Tada be galo mažam jis taip pat yra begalinis: . Išraiška yra tokia:

Ir dabar mes tai prisimename su išraiška. Ir taip pat, ką daryti, jei sumoje (ty at) galima nepaisyti be galo mažo dydžio.

Taigi gauname kita taisyklė:sinuso išvestinė lygi kosinusui:

Tai yra pagrindiniai („lentelės“) dariniai. Štai jie yra viename sąraše:

Vėliau juos papildysime dar keletu, tačiau šie yra patys svarbiausi, nes naudojami dažniausiai.

Praktika:

Raskite funkcijos išvestinę taške;
Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimai:

Rodiklis ir natūralusis logaritmas.

Matematikoje yra funkcija, kurios bet kurios reikšmės išvestinė yra lygi ir pačios funkcijos reikšmei tuo pačiu metu. Ji vadinama „eksponentu“ ir yra eksponentinė funkcija

Šios funkcijos pagrindas yra konstanta – ji begalinė dešimtainis, tai yra neracionalus skaičius (pvz.,). Jis vadinamas „Eulerio skaičiumi“, todėl jis žymimas raide.

Taigi, taisyklė:

Labai lengva prisiminti.

Na, toli neikime, pažiūrėkime iš karto atvirkštinė funkcija. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinė funkcija? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj to rašome.

Kam jis lygus? Žinoma, .

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

Raskite funkcijos išvestinę.
Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Parodos dalyvis ir natūralusis logaritmas- funkcijos yra išskirtinai paprastos išvestinių atžvilgiu. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią analizuosime vėliau, po eikime per taisykles diferenciacija.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikos diferencialas yra toks pat funkcijos prieaugis ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei – kai kurie pastovus skaičius(nuolatinis), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė galioja ir skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

taške;
taške;
taške;
taške.

Sprendimai:

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: įeinam nauja funkcija ir suraskite jo prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

Raskite funkcijų ir išvestines;
Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Mes jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją perkelti į naują bazę:

Tam naudosime paprasta taisyklė: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Įvyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to rašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Išvestinės iš eksponentinės ir logaritmines funkcijas beveik niekada nedalyvauja vieningame valstybiniame egzamine, bet nepakenktų juos pažinti.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas nutiko " sudėtinga funkcija"? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis – perriša juostele. Rezultatas yra sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus Atvirkštinė tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums duodamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji, ką gavau (suriši kaspinu). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: pirmiausia pakelkite kvadratą, o tada aš ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi funkcija sudėtingos funkcijos: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Pirmuoju pavyzdžiu,.

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Pritaikyta originalus pavyzdys atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

IŠVEDINĖ VEIKLA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
Pirmo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Jūs jau esate geresnis už didžiąją daugumą jūsų bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, stojant į koledžą su biudžetu ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos yra daug daugiau atvirumo daugiau galimybių ir gyvenimas taps šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Jei laikotės apibrėžimo, tada funkcijos išvestinė taške yra funkcijos Δ prieaugio santykio riba. y prie argumento prieaugio Δ x:

Viskas lyg ir aišku. Bet pabandykite naudoti šią formulę, kad apskaičiuotumėte, tarkime, funkcijos išvestinę f(x) = x 2 + (2x+3) · e x nuodėmė x. Jei viską darysite pagal apibrėžimą, po poros puslapių skaičiavimų jūs tiesiog užmigsite. Todėl yra paprastesnių ir efektyvesnių būdų.

Pirmiausia pažymime, kad iš visos funkcijų įvairovės galime išskirti vadinamąsias elementarias funkcijas. Tai reliatyvu paprasti posakiai, kurių išvestinės priemonės jau seniai skaičiuojamos ir pateikiamos lentelėje. Tokias funkcijas gana lengva įsiminti – kartu su jų dariniais.

Elementariųjų funkcijų dariniai

Visos toliau išvardytos pagrindinės funkcijos. Šių funkcijų išvestinius reikia žinoti mintinai. Be to, juos įsiminti visai nesunku – štai kodėl jie elementarūs.

Taigi, elementariųjų funkcijų išvestiniai:

vardas	Funkcija	Darinys
Pastovus	f(x) = C, C ∈ R	0 (taip, nulis!)
Galia su racionaliuoju rodikliu	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinusas	f(x) = nuodėmė x	cos x
Kosinusas	f(x) = cos x	− nuodėmė x(minus sinusas)
Tangentas	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentas	f(x) = ctg x	– 1 / nuodėmė 2 x
Natūralus logaritmas	f(x) = žurnalas x	1/x
Savavališkas logaritmas	f(x) = žurnalas a x	1/(x ln a)
Eksponentinė funkcija	f(x) = e x	e x(Niekas nepasikeitė)

Jei elementarioji funkcija padauginama iš savavališkos konstantos, tada naujos funkcijos išvestinė taip pat lengvai apskaičiuojama:

(C · f)’ = C · f ’.

Apskritai konstantas galima išimti iš išvestinės ženklo. Pavyzdžiui:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Akivaizdu, kad elementarias funkcijas galima sudėti viena į kitą, dauginti, padalinti – ir dar daugiau. Taip atsiras naujos funkcijos, nebe itin elementarios, bet ir skirtingos tam tikros taisyklės. Šios taisyklės aptariamos toliau.

Sumos ir skirtumo išvestinė

Tegul funkcijos pateikiamos f(x) Ir g(x), kurių vediniai mums žinomi. Pavyzdžiui, galite paimti pirmiau aptartas elementarias funkcijas. Tada galite rasti šių funkcijų sumos ir skirtumo išvestinę:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Taigi dviejų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui). Gali būti ir daugiau terminų. Pavyzdžiui, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Griežtai kalbant, algebroje nėra „atimties“ sąvokos. Yra sąvoka „neigiamas elementas“. Todėl skirtumas f − g galima perrašyti į sumą f+ (-1) g, o tada lieka tik viena formulė – sumos išvestinė.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) yra dviejų elementariųjų funkcijų suma, todėl:

f ’(x) = (x 2 + nuodėmė x)’ = (x 2)' + (nuodėmė x)’ = 2x+ cos x;

Panašiai motyvuojame ir dėl funkcijos g(x). Tik jau yra trys terminai (algebros požiūriu):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Atsakymas:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Produkto darinys

Matematika yra loginis mokslas, todėl daugelis žmonių mano, kad jei sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai, tai sandaugos išvestinė streikuoti">lygus išvestinių sandaugai. Bet sukiškite! Produkto išvestinė apskaičiuojama naudojant visiškai kitą formulę. Būtent:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formulė paprasta, bet dažnai pamirštama. Ir ne tik moksleiviai, bet ir studentai. Rezultatas – neteisingai išspręstos problemos.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) yra dviejų elementarių funkcijų sandauga, todėl viskas paprasta:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)“ cos x + x 3 (kai x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− nuod x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x)

Funkcija g(x) pirmasis veiksnys yra šiek tiek sudėtingesnis, bet bendra schema tai nesikeičia. Akivaizdu, kad pirmasis funkcijos veiksnys g(x) yra daugianario, o jo išvestinė yra sumos išvestinė. Mes turime:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Atsakymas:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame etape išvestinė yra faktorizuojama. Formaliai to daryti nereikia, tačiau dauguma išvestinių skaičiuojamos ne pačios, o funkcijai ištirti. Tai reiškia, kad toliau išvestinė bus prilyginama nuliui, nustatomi jos ženklai ir pan. Tokiam atvejui išraišką geriau naudoti faktoriais.

Jei yra dvi funkcijos f(x) Ir g(x), ir g(x) ≠ 0 mus dominančioje aibėje, galime apibrėžti naują funkciją h(x) = f(x)/g(x). Tokiai funkcijai taip pat galite rasti išvestinę:

Ne silpna, tiesa? Iš kur atsirado minusas? Kodėl g 2? Ir taip! Tai vienas iš labiausiai sudėtingos formulės- Negalite to suprasti be butelio. Todėl geriau jį studijuoti konkrečių pavyzdžių.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius:

Kiekvienos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra elementarios funkcijos, todėl mums tereikia koeficiento išvestinės formulės:

Pagal tradiciją, skaitiklį suskaidykime faktoriais – tai labai supaprastins atsakymą:

Sudėtinga funkcija nebūtinai yra pusės kilometro ilgio formulė. Pavyzdžiui, pakanka paimti funkciją f(x) = nuodėmė x ir pakeiskite kintamąjį x, tarkim, įjungta x 2 + ln x. Tai pavyks f(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x) – tai sudėtinga funkcija. Ji taip pat turi išvestinę, tačiau jos nebus galima rasti naudojant aukščiau aptartas taisykles.

Ką turėčiau daryti? Tokiais atvejais sudėtingos funkcijos išvestinės kintamojo ir formulės pakeitimas padeda:

f ’(x) = f ’(t) · t', jei x pakeičiamas t(x).

Paprastai situacija su šios formulės supratimu yra dar liūdnesnė nei su koeficiento išvestine. Todėl taip pat geriau tai paaiškinti konkrečiais pavyzdžiais, su Išsamus aprašymas kiekviename žingsnyje.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x)

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijoje f(x) vietoj 2 išraiškos x+3 bus lengva x, tada viskas pavyks elementari funkcija f(x) = e x. Todėl pakeičiame: leiskite 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Sudėtinės funkcijos išvestinės ieškome naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

O dabar – dėmesio! Atliekame atvirkštinį keitimą: t = 2x+ 3. Gauname:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Dabar pažiūrėkime į funkciją g(x). Akivaizdu, kad jį reikia pakeisti x 2 + ln x = t. Mes turime:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (nuodėmė t)’ · t' = cos t · t ’

Atvirkštinis pakeitimas: t = x 2 + ln x. Tada:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Tai viskas! Kaip matyti iš paskutinės išraiškos, visa problema buvo sumažinta iki išvestinės sumos apskaičiavimo.

Atsakymas:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Labai dažnai pamokose vietoj termino „išvestinė“ vartoju žodį „pirminis“. Pavyzdžiui, pirminis dydis nuo sumos lygi sumai potėpių. Ar taip aiškiau? Na, tai yra gerai.

Taigi, apskaičiuojant išvestinę sumą, reikia atsikratyti tų pačių smūgių pagal aukščiau aptartas taisykles. Kaip paskutinis pavyzdys Grįžkime prie išvestinės galios su racionaliuoju rodikliu:

(x n)’ = n · x n − 1

Nedaug žmonių tai žino vaidmenyje n gali veikti trupmeninis skaičius. Pavyzdžiui, šaknis yra x 0.5. Ką daryti, jei po šaknimi yra kažkas įmantraus? Vėlgi, rezultatas bus sudėtinga funkcija - tokias konstrukcijas jie mėgsta dovanoti bandymai ir egzaminus.

Užduotis. Raskite funkcijos išvestinę:

Pirma, perrašykime šaknį kaip laipsnį su racionaliuoju rodikliu:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Dabar pakeičiame: tegul x 2 + 8x − 7 = t. Išvestinę randame naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Atlikime atvirkštinį pakeitimą: t = x 2 + 8x− 7. Mes turime:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x– 7) –0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Galiausiai grįžkime prie šaknų:

Vieno kintamojo funkcijos išvestinė.

Įvadas.

Tikras metodologinius pokyčius skirtas Pramonės ir statybos fakulteto studentams. Jie buvo sudaryti atsižvelgiant į matematikos kurso programą skyriuje „Vieno kintamojo funkcijų diferencialinis skaičiavimas“.

Patobulinimai sudaro vieną metodinį vadovą, apimantį: trumpą teorinę informaciją; „standartinės“ problemos ir pratimai su išsamiais šių sprendimų sprendimais ir paaiškinimais; testavimo parinktys.

Kiekvienos pastraipos pabaigoje yra papildomų pratimų. Dėl šios raidos struktūros jie tinka savarankiškam skyriaus įvaldymui su minimalia mokytojo pagalba.

§1. Išvestinės apibrėžimas.

Mechaninė ir geometrinė reikšmė

išvestinė.

Išvestinės sąvoka yra viena iš labiausiai svarbios sąvokos matematinė analizė atsirado XVII a. Išvestinės sąvokos formavimasis istoriškai siejamas su dviem problemomis: kintamo judėjimo greičio ir kreivės liestinės problema.

Šios užduotys, nepaisant jų skirtingą turinį, veda į tą patį matematinį veiksmą, kuris turi būti atliktas su funkcija Ši operacija buvo gauta matematikoje specialus vardas. Tai vadinama funkcijos diferenciacijos operacija. Diferencijavimo operacijos rezultatas vadinamas išvestine.

Taigi funkcijos y=f(x) išvestinė taške x0 yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio riba (jei ji yra).
adresu
.

Išvestinė paprastai žymima taip:
.

Taigi, pagal apibrėžimą

Simboliai taip pat naudojami dariniams žymėti
.

Mechaninė vedinio reikšmė.

Jei s=s(t) yra materialaus taško tiesinio judėjimo dėsnis, tai
yra šio taško greitis laiko momentu t.

Geometrinė išvestinės reikšmė.

Jei funkcija y=f(x) taške turi išvestinę , Tai nuolydis funkcijos grafiko liestinė taške
lygus
.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę
taške =2:

1) Duokime tašką = 2 prieaugis
. Pastebėti, kad.

2) Raskite funkcijos prieaugį taške =2:

3) Sukurkime funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykį:

Raskime santykio ribą ties
:

Taigi,
.

§ 2. Kai kurių išvestinių

paprasčiausias funkcijas.

Studentas turi išmokti skaičiuoti konkrečių funkcijų išvestines: y=x,y= ir apskritai = .

Raskime funkcijos y=x išvestinę.

tie. (x)′=1.

Raskime funkcijos išvestinę

Darinys

Leisti
Tada

Galios funkcijos išvestinių išraiškose nesunku pastebėti šabloną
su n=1,2,3.

Vadinasi,

. (1)

Ši formulė galioja bet kuriai realiai n.

Visų pirma, naudojant (1) formulę, turime:

;

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

Ši funkcija yra ypatingas formos funkcijos atvejis

adresu
.

Naudodami formulę (1), turime

Funkcijų y=sin x ir y=cos x išvestinės.

Tegu y=sinx.

Padalijus iš ∆x, gauname

Pereinant prie ribos ties ∆x→0, turime

Tegul y=cosx.

Pereinant prie ribos ties ∆x→0, gauname

;
. (2)

§3. Pagrindinės diferenciacijos taisyklės.

Panagrinėkime diferenciacijos taisykles.

Teorema1 . Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) yra diferencijuojamos duotame taškex, tai šiame taške jų suma taip pat yra diferencijuojama, o sumos išvestinė lygi terminų išvestinių sumai : (u+v)"=u"+v".(3)

Įrodymas: apsvarstykite funkciją y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumento x prieaugis ∆x atitinka funkcijų u ir v priedus ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Tada funkcija y padidės

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Vadinasi,

Taigi, (u+v)"=u"+v.

Teorema2. Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) yra diferencijuojamos duotame taške, tai jų sandauga yra diferencijuojama tame pačiame taške Šiuo atveju sandaugos išvestinė randama pagal šią formulę: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Įrodymas: Tegu y=uv, kur u ir v yra kai kurios diferencijuojamos x funkcijos. Suteikime x ∆x prieaugį, tada u gaus ∆u prieaugį, v – ∆v, y – ∆y;

Turime y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), arba

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Todėl ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Iš čia

Pereinant prie ribos ties ∆x→0 ir atsižvelgiant į tai, kad u ir v nepriklauso nuo ∆x, turėsime

3 teorema. Dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios vardiklis lygus daliklio kvadratui, o skaitiklis yra skirtumas tarp dividendo ir daliklio išvestinės sandaugos ir daliklio sandaugos. dividendas ir daliklio išvestinė, t.y.

Jeigu
Tai
(5)