Bir birimin bir kısmına veya birkaç kısmına basit veya ortak kesir denir. Bir birimin bölündüğü eşit parça sayısına payda, alınan parça sayısına ise pay denir. Kesir şu şekilde yazılır:

İÇİNDE bu durumda a pay, b ise paydadır.

Pay ise paydadan daha az ise kesir 1'den küçüktür ve buna uygun kesir denir. Pay paydadan büyükse kesir 1'den büyükse bu kesre uygunsuz kesir denir.

Bir kesrin payı ve paydası eşitse kesir eşittir.

1. Pay paydaya bölünebiliyorsa, bu kesir bölümün bölümüne eşittir:

Bölme bir kalanla yapılırsa, bu uygunsuz kesir karışık bir sayı ile temsil edilebilir, örneğin:

O zaman 9 tamamlanmamış bir bölümdür ( Bütün parça karışık numara),
1 - kalan (kesirli kısmın payı),
5 paydadır.

Tam sayılı bir sayıyı kesire dönüştürmek için tam sayının tam kısmını paydayla çarpmanız ve kesirli kısmın payını eklemeniz gerekir.

Ortaya çıkan sonuç ortak kesrin payı olacaktır, ancak payda aynı kalacaktır.

Kesirlerle işlemler

Kesir genişlemesi. Bir kesrin payını ve paydasını sıfır dışında aynı sayıyla çarptığınızda değeri değişmez.
Örneğin:

Bir kesri azaltmak. Bir kesrin payını ve paydasını sıfır dışında aynı sayıya bölerseniz değeri değişmez.
Örneğin:

Kesirlerin karşılaştırılması. Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan daha büyüktür:

İki kesirden aynı paydalar payı büyük olan:

Payları ve paydaları farklı olan kesirleri karşılaştırmak için onları genişletmek yani ortak payda. Örneğin aşağıdaki kesirleri düşünün:

Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması. Kesirlerin paydaları aynıysa, kesirleri toplamak için paylarını eklemeniz, kesirleri çıkarmak için paylarını çıkarmanız gerekir. Ortaya çıkan toplam veya fark, sonucun payı olacak, ancak payda aynı kalacaktır. Kesirlerin paydaları farklıysa öncelikle kesirleri ortak bir paydaya indirgemeniz gerekir. Eklerken karışık sayılar tam ve kesirli kısımları ayrı ayrı eklenir. Karışık sayıları çıkarırken, önce bunları bileşik kesirler biçimine dönüştürmeniz, ardından birini diğerinden çıkarmanız ve ardından gerekirse sonucu tekrar karma sayı biçimine dönüştürmeniz gerekir.

Kesirlerin Çarpılması. Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız ve ilk çarpımı ikinciye bölmeniz gerekir.

Kesirlerin bölünmesi. Bir sayıyı bir kesre bölmek için bu sayıyı ters kesirle çarpmanız gerekir.

Ondalık- bu, birin ona, yüz, bin vb.'ye bölünmesinin sonucudur. parçalar. Önce sayının tamamı yazılır, ardından sağa bir virgül konur. Ondalık noktadan sonraki ilk rakam, onda birlik sayı, ikinci - yüzde birlik sayı, üçüncü - binde birlik sayı vb. anlamına gelir. Ondalık noktadan sonraki sayılara ondalık sayı denir.

Örneğin:

Ondalık Sayıların Özellikleri

Özellikler:

Sağa sıfır eklerseniz ondalık kesir değişmez: 4,5 = 4,5000.
Ondalık sayının sonundaki sıfırları kaldırırsanız ondalık sayı değişmez: 0,0560000 = 0,056.
Ondalık sayı 10, 100, 1000 vb. artar. kez, virgül bir, iki, üç vb. hareket ettirilirse sağdaki pozisyonlar: 4,5 45 (kesir 10 kat arttı).
Ondalık kesirler 10, 100, 1000 vb. azaltılır. kez, virgül bir, iki, üç vb. hareket ettirilirse soldaki pozisyonlar: 4,5 0,45 (kesir 10 kat azaldı).

Periyodik ondalık kesir, nokta adı verilen, sonsuz şekilde tekrarlanan bir rakam grubunu içerir: 0,321321321321…=0,(321)

Ondalık sayılarla işlemler

Ondalık sayıların eklenmesi ve çıkarılması, tam sayılarla toplama ve çıkarmayla aynı şekilde yapılır; yalnızca karşılık gelen sayıları yazmanız gerekir. ondalık sayılar biri diğerinin altında.
Örneğin:

Ondalık kesirlerin çarpılması birkaç aşamada gerçekleştirilir:

Ondalık sayıları göz ardı ederek tam sayı olarak çarpıyoruz.
Kural geçerlidir: Çarpımdaki ondalık basamakların sayısı, tüm faktörlerdeki ondalık basamakların toplamına eşittir.

Örneğin:

Faktörlerdeki ondalık basamakların toplamı şuna eşittir: 2+1=3. Şimdi ortaya çıkan sayının sonundan itibaren 3 rakamı saymanız ve bir ondalık nokta koymanız gerekiyor: 0,675.

Ondalık sayıları bölme. Ondalık kesirin bir tam sayıya bölünmesi: eğer temettü bölenden daha az, o zaman bölümün tamsayı kısmına sıfır yazmanız ve ondan sonra bir ondalık nokta koymanız gerekir. Daha sonra, temettü payının ondalık noktasını hesaba katmadan, kesirli kısmın bir sonraki basamağını tam kısmına ekleyin ve temettü payının elde edilen tam kısmını tekrar bölenle karşılaştırın. Yeni sayı yine bölenden küçükse işlemin tekrarlanması gerekir. Bu işlem, elde edilen temettü bölenden büyük olana kadar tekrarlanır. Daha sonra tam sayılarda olduğu gibi bölme işlemi yapılır. Bölünen bölenden büyük veya ona eşitse önce tamamını bölün, bölümün sonucunu bölüme yazın ve virgül koyun. Bundan sonra tam sayılarda olduğu gibi bölme işlemine devam edilir.

Bir ondalık kesirin diğerine bölünmesi: İlk olarak, bölen ve bölendeki ondalık noktalar, bölendeki ondalık basamakların sayısına aktarılır, yani böleni bir tamsayı yaparız ve yukarıda açıklanan eylemler gerçekleştirilir.

Tersine çevirmek için ondalık sıradan birinde, pay olarak virgülden sonraki sayıyı almanız ve payda olarak onun k'inci kuvvetini almanız gerekir (k, ondalık basamakların sayısıdır). Sıfır olmayan tam sayı kısmı ortak kesirde saklanır; sıfır tamsayı kısmı atlanır.
Örneğin:

Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için bölme kurallarına uygun olarak payı paydaya bölmeniz gerekir.

Yüzde, bir birimin yüzde biri kadardır; örneğin: %5, 0,05 anlamına gelir. Oran, bir sayının diğerine bölümüdür. Oran, iki oranın eşitliğidir.

Örneğin:

Oranın temel özelliği: Oranın uç terimlerinin çarpımı orta terimlerinin çarpımına eşittir, yani 5x30 = 6x25. Karşılıklı olarak iki bağımlı miktarlar değerlerinin oranı değişmeden kalırsa (orantılılık katsayısı) orantılı olarak adlandırılır.

Böylece aşağıdaki aritmetik işlemler tespit edilmiştir.
Örneğin:

Rasyonel sayılar kümesi pozitif ve negatif sayıları (tam sayılar ve kesirler) ve sıfırı içerir. Daha kesin tanım Matematikte kabul edilen rasyonel sayılar şunlardır: Bir sayı, sıradan bir formda temsil edilebiliyorsa rasyonel olarak adlandırılır. indirgenemez kesir a ve b tam sayılar olmak üzere: biçimindedir.

Negatif bir sayı için mutlak değer(modül) işareti “-”den “+”ya değiştirilerek elde edilen pozitif bir sayıdır; İçin pozitif sayı ve sıfır sayının kendisidir. Bir sayının modülünü belirtmek için bu sayının içinde yazıldığı iki düz çizgi kullanılır, örneğin: |–5|=5.

Mutlak değerin özellikleri

Bir sayının modülü verilsin , bunun için aşağıdaki özellikler doğrudur:

Tek terimli, her biri bir sayı, bir harf veya bir harfin kuvveti olan iki veya daha fazla faktörün çarpımıdır: 3 x a x b. Katsayı çoğunlukla sadece sayısal bir çarpan olarak adlandırılır. Monomlar aynıysa veya yalnızca katsayılar farklıysa benzer denir. Bir monomun derecesi, tüm harflerin üslerinin toplamıdır. Tek terimlilerin toplamı arasında benzer olanlar varsa, o zaman toplam daha fazla azaltılabilir basit görünüm: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Bu işleme döküm denir benzer üyeler veya parantezlerin dışına çıkararak.

Bir polinom cebirsel toplam monomiyaller. Bir polinomun derecesi, verilen polinomun içerdiği monomların derecelerinin en büyüğüdür.

Var olmak aşağıdaki formüller kısaltılmış çarpma:

Çarpanlara ayırma yöntemleri:

Cebirsel kesir, A ve B'nin bir sayı, bir monom veya bir polinom olabileceği formun bir ifadesidir.

İki ifade (sayısal ve alfabetik) “=” işaretiyle birbirine bağlanırsa, bunların bir eşitlik oluşturduğu söylenir. Kabul edilebilir tüm durumlar için geçerli olan herhangi bir gerçek eşitlik Sayısal değerlerİçinde yer alan harflerden oluşan yapıya kimlik denir.

Denklem, içinde yer alan harflerin belirli değerleri için geçerli olan gerçek bir eşitliktir. Bu harflere bilinmeyenler (değişkenler) adı verilir ve değerleri verilen denklem denklemin köklerine göre bir kimliğe dönüşür.

Bir denklemi çözmek onun tüm köklerini bulmak anlamına gelir. İki veya daha fazla denklemin kökleri aynıysa eşdeğer denir.

sıfır denklemin köküydü;
denklem sadece vardı son sayı kökler.

Temel cebirsel denklem türleri:

Doğrusal denklem için ax + b = 0:

a x 0 ise tek bir kök vardır x = -b/a;
a = 0, b ≠ 0 ise kök yoktur;
a = 0, b = 0 ise kök herhangi bir gerçek sayıdır.

Denklem xn = a, n N:

eğer n - tek sayı, herhangi bir a için a/n'ye eşit bir gerçek köke sahiptir;
n çift sayı ise 0 için iki kökü vardır.

Temel kimlik dönüşümleri: bir ifadenin kendisine tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesi; denklemin terimlerinin bir taraftan diğer tarafa zıt işaretlerle aktarılması; Bir denklemin her iki tarafının sıfır dışında aynı ifadeyle (sayı) çarpılması veya bölünmesi.

Bir bilinmeyenli doğrusal denklem şu formda bir denklemdir: ax+b=0, burada a ve b bilinen sayılar ve x bilinmeyen bir miktardır.

İkili sistemler doğrusal denklemler iki bilinmeyenli form şu şekildedir:

Burada a, b, c, d, e, f - verilen sayılar; x, y bilinmiyor.

a, b, c, d sayıları bilinmeyenlerin katsayılarıdır; e, f- ücretsiz üyeler. Bu denklem sisteminin çözümü iki ana yöntemle bulunabilir: ikame yöntemi: bir denklemden bilinmeyenlerden birini katsayılar aracılığıyla ve diğer bilinmeyeni ifade ederiz ve ardından bunu ikinci denklemde yerine koyarız, önce son denklemi çözeriz; bir bilinmeyen buluyoruz, sonra bulunan değeri ilk denklemde yerine koyuyoruz ve ikinci bilinmeyeni buluyoruz; bir denklemi diğerine ekleme veya çıkarma yöntemi.

Köklerle yapılan işlemler:

Aritmetik n'inci kök Negatif olmayan bir sayının kuvvetleri a denir negatif olmayan sayı, n'inci derece bu da a'ya eşittir. Cebirsel kök n'inci derece itibaren verilen numara Bu sayının tüm köklerinin kümesine denir.

İrrasyonel sayılar, rasyonel sayıların aksine, m ve n'nin tam sayılar olduğu m/n formunun sıradan indirgenemez kesirleri olarak temsil edilemez. Bunlar, herhangi bir hassasiyetle hesaplanabilen ancak değiştirilemeyen yeni türde sayılardır. rasyonel sayı. Geometrik ölçümlerin bir sonucu olarak ortaya çıkabilirler, örneğin: bir karenin köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuna oranı eşittir.

İkinci dereceden denklem cebirsel denklem ikinci derece ax2+bx+c=0, a, b, c'ye sayısal veya harf katsayıları verildiğinde x bilinmiyor. Bu denklemin tüm terimlerini a'ya bölersek sonuç x2+px+q=0 olur - indirgenmiş denklem p=b/a, q=c/a. Kökleri aşağıdaki formülle bulunur:

b2-4ac>0 ise iki farklı kök vardır, b2- 4ac=0 ise iki kök vardır eşit kökler; b2-4ac Modül içeren denklemler

Modül içeren temel denklem türleri:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, burada f(x), g(x), fk(x), gk(x) fonksiyonları verilmiştir.

Bu makale hakkındadır ortak kesirler. Burada bir bütünün kesri kavramını tanıtacağız, bu da bizi ortak kesrin tanımına götürecektir. Daha sonra odaklanacağız kabul edilen notasyonlar Sıradan kesirler için kesir örnekleri verip kesrin pay ve paydasından bahsedelim. Bundan sonra doğru ve yanlış kesirlerin, pozitif ve negatif kesirlerin tanımlarını vereceğiz ve kesirli sayıların kesirlerdeki konumunu ele alacağız. koordinat ışını. Sonuç olarak ana işlemleri kesirlerle listeliyoruz.

Sayfada gezinme.

Bütünün payları

İlk önce tanıtıyoruz paylaşma kavramı.

Tamamen aynı (yani eşit) birkaç parçadan oluşan bir nesnemiz olduğunu varsayalım. Netlik sağlamak için, örneğin birkaç eşit parçaya bölünmüş bir elmayı veya birkaç eşit dilimden oluşan bir portakalı hayal edebilirsiniz. Oluşturan bu eşit parçaların her biri tüm konu, isminde bütünün parçaları ya da sadece hisseler.

Paylaşımların farklı olduğunu unutmayın. Bunu açıklayalım. İki elmamız olsun. İlk elmayı iki eşit parçaya, ikincisini ise 6 eşit parçaya bölün. Birinci elmanın payının ikinci elmanın payından farklı olacağı açıktır.

Nesnenin tamamını oluşturan paylaşımların sayısına bağlı olarak bu paylaşımların kendi isimleri vardır. Hadi halledelim vuruş isimleri. Bir nesne iki parçadan oluşuyorsa bunlardan herhangi birine tüm nesnenin ikinci parçası denir; eğer bir nesne üç parçadan oluşuyorsa, bunlardan herhangi birine üçüncü parça denir vb.

Bir saniyelik paylaşım özel isim – yarım. Üçte biri denir üçüncü ve çeyrek kısım – çeyrek.

Kısaltmak adına aşağıdakiler tanıtıldı: sembolleri yenmek. İkinci bir pay veya 1/2, üçüncü bir pay veya 1/3 olarak belirlenir; dörtte bir pay - beğen veya 1/4 vb. Yatay çubuklu gösterimin daha sık kullanıldığını unutmayın. Konuyu pekiştirmek için bir örnek daha verelim: Madde bütünün yüz altmış yedinci parçasını ifade ediyor.

Paylaşım kavramı doğal olarak nesnelerden miktarlara kadar uzanır. Örneğin uzunluk ölçülerinden biri metredir. Bir metreden daha kısa uzunlukları ölçmek için bir metrenin kesirleri kullanılabilir. Yani örneğin yarım metreyi veya metrenin onda birini veya binde birini kullanabilirsiniz. Diğer miktarların payları da benzer şekilde uygulanır.

Ortak kesirler, kesirlerin tanımı ve örnekleri

Kullandığımız hisse sayısını açıklamak için ortak kesirler. Adi kesirlerin tanımına yaklaşmamızı sağlayacak bir örnek verelim.

Portakalın 12 parçadan oluşmasına izin verin. Bu durumda her pay bir tam portakalın on ikide birini temsil eder, yani. İki atım olarak, üç atım olarak ve bu şekilde 12 atım olarak belirtiyoruz. Verilen girdilerin her birine sıradan kesir denir.

Şimdi bir genel bilgi verelim ortak kesirlerin tanımı.

Sıradan kesirlerin sesli tanımı şunu vermemizi sağlar: ortak kesir örnekleri: 5/10, , 21/1, 9/4, . Ve işte kayıtlar sıradan kesirlerin belirtilen tanımına uymazlar, yani sıradan kesirler değildirler.

Pay ve payda

Kolaylık sağlamak için sıradan kesirler ayırt edilir pay ve payda.

Tanım.

Pay sıradan kesir (m/n), bir m doğal sayısıdır.

Tanım.

Payda ortak kesir (m/n) bir doğal sayıdır n.

Yani pay, kesir çizgisinin üstünde (eğik çizginin solunda) ve payda, kesir çizgisinin altında (eğik çizginin sağında) bulunur. Örneğin 17/29 ortak kesirini ele alalım, bu kesrin payı 17, paydası da 29 sayısıdır.

Sıradan bir kesrin pay ve paydasında yer alan anlamı tartışmaya devam ediyor. Bir kesrin paydası bir nesnenin kaç parçadan oluştuğunu gösterir ve pay da bu parçaların sayısını gösterir. Örneğin 12/5 kesirinin paydası 5, bir nesnenin beş paydan oluştuğunu, payı 12 ise bu tür 12 payın alındığı anlamına gelir.

Paydası 1 olan kesir olarak doğal sayı

Ortak bir kesrin paydası şu şekilde olabilir: bire eşit. Bu durumda nesnenin bölünemez olduğunu yani bir bütünü temsil ettiğini düşünebiliriz. Böyle bir kesrin payı kaç tane tam nesnenin alındığını gösterir. Böylece, ortak kesir m/1 formunun anlamı m doğal sayısı anlamına gelir. m/1=m eşitliğinin geçerliliğini bu şekilde kanıtladık.

Son eşitliği şu şekilde yeniden yazalım: m=m/1. Bu eşitlik herhangi bir m doğal sayısını sıradan bir kesir olarak temsil etmemizi sağlar. Örneğin 4 sayısı 4/1 kesridir ve 103.498 sayısı 103.498/1 kesrine eşittir.

Bu yüzden, herhangi bir m doğal sayısı, m/1 olarak paydası 1 olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir ve m/1 formundaki herhangi bir sıradan kesir, bir m doğal sayısı ile değiştirilebilir..

Bölme işareti olarak kesir çubuğu

Orijinal nesneyi n pay şeklinde temsil etmek, n eşit parçaya bölmekten başka bir şey değildir. Bir öğe n hisseye bölündükten sonra, onu n kişiye eşit olarak bölebiliriz - her biri bir pay alacaktır.

Eğer başlangıçta m varsa aynı öğeler Her biri n hisseye bölünürse, bu m eşyayı n kişi arasında eşit olarak bölebilir ve her kişiye m eşyanın her birinden bir pay verebiliriz. Bu durumda, her kişi m adet 1/n hisseye sahip olacaktır ve m adet 1/n hisse, m/n ortak kesirini verecektir. Böylece, m/n ortak kesri, m öğenin n kişi arasında bölünmesini belirtmek için kullanılabilir.

Sıradan kesirler ile bölme arasında açık bir bağlantıyı bu şekilde elde ettik (doğal sayıları bölmenin genel fikrine bakın). Bu bağlantı şu şekilde ifade edilir: kesir çizgisi bir bölme işareti olarak anlaşılabilir, yani m/n=m:n.

Ortak bir kesir kullanarak ikiye bölmenin sonucunu yazabilirsiniz. doğal sayılar, bunun için integral bölme işlemi gerçekleştirilmez. Örneğin 5 elmayı 8 kişiye bölmenin sonucu 5/8 olarak yazılabilir, yani herkes bir elmanın sekizde beşini alacaktır: 5:8 = 5/8.

Eşit ve eşit olmayan kesirler, kesirlerin karşılaştırılması

Oldukça doğal bir eylem kesirleri karşılaştırmaÇünkü bir portakalın 1/12'sinin 5/12'sinden farklı olduğu ve bir elmanın 1/6'sının bu elmanın diğer 1/6'sıyla aynı olduğu açıktır.

İki sıradan kesirin karşılaştırılması sonucunda şu sonuçlardan biri elde edilir: Kesirler ya eşittir ya da eşit değildir. İlk durumda elimizde eşit ortak kesirler ve ikincisinde – eşit olmayan sıradan kesirler. Eşit ve eşit olmayan sıradan kesirlerin tanımını verelim.

Tanım.

eşit a·d=b·c eşitliği doğruysa.

Tanım.

İki ortak kesir a/b ve c/d eşit değil a·d=b·c eşitliği sağlanmıyorsa.

İşte eşit kesirlerin bazı örnekleri. Örneğin, 1.4=2.2 olduğundan ortak kesir 1/2, 2/4 kesrine eşittir (gerekirse doğal sayılarla çarpma kurallarına ve örneklerine bakın). Netlik sağlamak için, iki özdeş elmayı hayal edebilirsiniz, birincisi ikiye bölünmüş, ikincisi ise 4 parçaya bölünmüştür. Bir elmanın dörtte ikisinin 1/2 paya eşit olduğu açıktır. Eşit ortak kesirlerin diğer örnekleri 4/7 ve 36/63 kesirleri ve 81/50 ve 1.620/1.000 kesir çiftidir.

Ancak 4/13 ve 5/14 sıradan kesirleri eşit değildir, çünkü 4·14=56 ve 13·5=65, yani 4·14≠13·5. Eşit olmayan ortak kesirlerin diğer örnekleri 17/7 ve 6/4 kesirleridir.

İki ortak kesiri karşılaştırırken eşit olmadıkları ortaya çıkarsa, bu ortak kesirlerden hangisinin olduğunu bulmanız gerekebilir. az farklı ve hangisi - Daha. Bunu bulmak için, sıradan kesirleri karşılaştırma kuralı kullanılır; bunun özü, karşılaştırılan kesirleri ortak bir paydaya getirmek ve ardından payları karşılaştırmaktır. Bu konuyla ilgili ayrıntılı bilgi kesirlerin karşılaştırılması makalesinde toplanmıştır: kurallar, örnekler, çözümler.

Kesirli sayılar

Her kesir bir gösterimdir kesirli sayı. Yani kesir, kesirli bir sayının yalnızca bir "kabuğudur"; dış görünüş ve tüm anlamsal yük kesirli sayıda bulunur. Bununla birlikte, kısalık ve kolaylık sağlamak için kesir ve kesirli sayı kavramları birleştirilir ve basitçe kesir olarak adlandırılır. Burada tekrar ifade etmek uygundur ünlü söz: kesir diyoruz - demek istiyoruz kesirli bir sayı, kesirli bir sayı diyoruz - bir kesri kastediyoruz.

Koordinat ışınındaki kesirler

Sıradan kesirlere karşılık gelen tüm kesirli sayıların kendine özgü bir yeri vardır, yani kesirler ile koordinat ışınının noktaları arasında bire bir yazışma vardır.

Koordinat ışınında m/n oranına karşılık gelen noktaya ulaşmak için, uzunluğu bir birim parçanın 1/n kesri kadar olan m parçayı orijinden pozitif yönde ayırmanız gerekir. Bu tür bölümler, bir birim parçanın n eşit parçaya bölünmesiyle elde edilebilir; bu her zaman bir pergel ve bir cetvel kullanılarak yapılabilir.

Örneğin koordinat ışınında 14/10 kesrine karşılık gelen M noktasını gösterelim. Uçları O noktasında ve ona en yakın nokta olan küçük çizgi ile işaretlenmiş bir doğru parçasının uzunluğu, bir birim parçanın 1/10'udur. 14/10 koordinatına sahip nokta, başlangıç noktasından bu tür 14 parça uzaklıkta kaldırılır.

Eşit kesirler aynı kesirli sayıya karşılık gelir, yani, eşit kesirler koordinat ışınındaki aynı noktanın koordinatlarıdır. Örneğin, 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 koordinatları, tüm yazılı kesirler eşit olduğundan koordinat ışınındaki bir noktaya karşılık gelir (bir birim parçanın yarısı kadar bir mesafede bulunur) orijinden pozitif yönde).

Yatay ve sağa doğrultulu bir koordinat ışınında koordinatı büyük kesir koordinatı olan noktanın sağında yer alır. küçük kesir. Benzer şekilde, koordinatı daha küçük olan bir nokta, koordinatı daha büyük olan bir noktanın solunda yer alır.

Doğru ve yanlış kesirler, tanımlar, örnekler

Sıradan kesirler arasında şunlar vardır: doğru ve uygunsuz kesirler . Bu bölme pay ve paydanın karşılaştırılmasına dayanmaktadır.

Doğru ve yanlış sıradan kesirleri tanımlayalım.

Tanım.

Uygun kesir payı paydasından küçük olan sıradan bir kesirdir, yani m ise

Tanım.

Uygunsuz kesir payın paydadan büyük veya paydaya eşit olduğu sıradan bir kesirdir; yani m≥n ise sıradan kesir uygunsuzdur.

İşte bazı doğru kesir örnekleri: 1/4, , 32,765/909,003. Aslında, yazılı sıradan kesirlerin her birinde pay, paydadan küçüktür (gerekirse, doğal sayıları karşılaştıran makaleye bakın), dolayısıyla tanım gereği doğrudurlar.

İşte uygunsuz kesirlerin örnekleri: 9/9, 23/4, . Nitekim yazılı adi kesirlerden birincisinin payı paydaya eşittir, geri kalan kesirlerde pay paydadan büyüktür.

Kesirlerin bir ile karşılaştırılmasına dayanan doğru ve yanlış kesirlerin tanımları da vardır.

Tanım.

doğru birden küçükse.

Tanım.

Sıradan bir kesir denir yanlış 1'e eşit veya 1'den büyükse.

Yani 7/11 ortak kesri doğrudur, çünkü 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 ve 27/27=1.

Paydası paydadan büyük veya paydaya eşit olan sıradan kesirlerin nasıl böyle bir adı hak ettiğini düşünelim - "uygunsuz".

Örneğin 9/9 bileşik kesirini ele alalım. Bu kesir, dokuz parçadan oluşan bir nesnenin dokuz parçasının alınması anlamına gelir. Yani elimizdeki dokuz parçadan bütün bir nesneyi oluşturabiliriz. Yani bileşik kesir 9/9 esasen nesnenin tamamını verir, yani 9/9 = 1. Genel olarak, payı paydaya eşit olan uygunsuz kesirler bir tam nesneyi belirtir ve böyle bir kesir, doğal sayı 1 ile değiştirilebilir.

Şimdi 7/3 ve 12/4 bileşik kesirlerini düşünün. Bu yedi üçüncü parçadan iki tam nesne oluşturabileceğimiz oldukça açıktır (bir tam nesne 3 parçadan oluşur, o zaman iki tam nesneyi oluşturmak için 3 + 3 = 6 parçaya ihtiyacımız olacak) ve geriye hala üçte bir parça kalacak . Yani uygunsuz kesir 7/3, esasen 2 nesne ve ayrıca böyle bir nesnenin 1/3'ü anlamına gelir. Ve on iki çeyrek parçadan üç tam nesne (her biri dört parçalı üç nesne) yapabiliriz. Yani 12/4 kesri aslında 3 tam nesne anlamına gelir.

Ele alınan örnekler bizi şu sonuca götürüyor: uygunsuz kesirler, pay paydaya eşit olarak bölündüğünde doğal sayılarla (örneğin, 9/9=1 ve 12/4=3) veya toplamla değiştirilebilir. Payın paydaya tam olarak bölünemediği durumlarda bir doğal sayının ve bir uygun kesrin kullanılması (örneğin, 7/3=2+1/3). Belki de uygunsuz kesirlere "düzensiz" adını kazandıran şey tam olarak budur.

Özellikle ilgi çekici olan, uygun olmayan bir kesrin bir doğal sayı ile bir uygun kesirin (7/3=2+1/3) toplamı olarak temsil edilmesidir. Bu işleme, bütün parçayı uygunsuz bir kesirden ayırmak denir ve ayrı ve daha dikkatli bir değerlendirmeyi hak eder.

Uygunsuz kesirler ile karışık sayılar arasında çok yakın bir ilişki olduğunu da belirtmekte fayda var.

Pozitif ve negatif kesirler

Her ortak kesir, pozitif bir kesirli sayıya karşılık gelir (pozitif ve negatif sayılar hakkındaki makaleye bakın). Yani sıradan kesirler pozitif kesirler. Örneğin 1/5, 56/18, 35/144 sıradan kesirler pozitif kesirlerdir. Bir kesrin pozitifliğini vurgulamanız gerektiğinde önüne bir artı işareti yerleştirilir, örneğin +3/4, +72/34.

Ortak bir kesrin önüne eksi işareti koyarsanız, bu giriş negatif bir kesirli sayıya karşılık gelecektir. Bu durumda konuşabiliriz negatif kesirler. Negatif kesirlerin bazı örnekleri şunlardır: −6/10, −65/13, −1/18.

Pozitif ve negatif kesirler m/n ve −m/n zıt sayılardır. Örneğin 5/7 ve −5/7 kesirleri zıt kesirlerdir.

Pozitif kesirler, genel olarak pozitif sayılar gibi, bir eklemeyi, geliri, herhangi bir değerdeki yukarı doğru değişimi vb. ifade eder. Negatif kesirler gidere, borca veya herhangi bir miktardaki azalmaya karşılık gelir. Örneğin, negatif kesir −3/4, değeri 3/4'e eşit olan bir borç olarak yorumlanabilir.

Yatay ve sağa doğru negatif kesirler orijinin solunda bulunur. Koordinatları pozitif kesir m/n ve negatif kesir -m/n olan koordinat çizgisinin noktaları, orijinden aynı uzaklıkta, ancak O noktasının zıt taraflarında bulunur.

Burada 0/n formundaki kesirlerden bahsetmeye değer. Bu kesirler sıfır sayısına eşittir yani 0/n=0.

Pozitif kesirler, negatif kesirler ve 0/n kesirler birleşerek rasyonel sayılar oluşturur.

Kesirlerle işlemler

Yukarıda sıradan kesirlerle ilgili bir eylemi - kesirleri karşılaştırarak - tartışmıştık. Dört aritmetik fonksiyon daha tanımlandı kesirlerle işlemler– Kesirlerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Her birine bakalım.

Kesirli işlemlerin genel özü, doğal sayılarla karşılık gelen işlemlerin özüne benzer. Bir benzetme yapalım.

Kesirlerin Çarpılması kesirden kesir bulma eylemi olarak düşünülebilir. Açıklığa kavuşturmak için bir örnek verelim. Bir elmanın 1/6'sını alalım, 2/3'ünü almamız lazım. İhtiyacımız olan kısım 1/6 ve 2/3 kesirlerinin çarpılması sonucudur. İki sıradan kesirin çarpılmasının sonucu, sıradan bir kesirdir (özel bir durumda bu, bir doğal sayıya eşittir). Daha sonra Kesirlerde Çarpma - Kurallar, Örnekler ve Çözümler makalesindeki bilgileri incelemenizi öneririz.

Kaynakça.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik: 5. sınıf ders kitabı. Eğitim Kurumları.
Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

Matematikte kesir, bir veya daha fazla birimden oluşan bir sayıdır. Yani kesir, bir bütünün bir kısmını temsil eder. Örneğin bir cismi 4 eşit parçaya bölüp bunlardan 1 tanesini alırsak 1/4 kesirini elde ederiz, burada 3 pay, 4 paydadır ve bu bölmenin sonucu (0,25) bölümdür. Okul müfredatında çeşitli kesirler kullanılır; bunların adı türlerine bağlıdır.

Ortak, ondalık ve periyodik kesirler

Kayıt yöntemine göre sıradan ve ondalık kesirler ayırt edilir. İlk durumda kesire basit kesir de denir. Aşağıdaki resimde olduğu gibi yatay veya eğik çizgiyle ayrılmış iki doğal sayıdan oluşur.

Ondalık sayı, paydası bir ve ardından sıfır gelen sıradan bir kesirdir; böyle bir kesirin bir örneği aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Ancak bu tür kesirler genellikle payda olmadan yazılır ve bütünün bir kısmını belirtmek için virgül (0,3) kullanılır. Bu durumda, basit kesirin paydasında sıfırlar olduğu için, virgülden sonra o kadar çok sayı belirtilir.

Ondalık kesrin konum noktasından önce yazılan kısmına, ondan sonra kesirin tamamı denir - ondalık basamaklar. Ayrıca ondalık basamakların sayısı sonlu (2.3) veya sonsuz (2.333333) olabilir.

İkinci durumda, tekrar eden sayılara dönem adı verildiği için periyodik kesirlerden bahsediyoruz. Yazılı olarak, noktanın parantez içine alınması gelenekseldir, örneğin 2,(3). Bu giriş şu şekilde okunur: iki tam sayı ve bir periyotta üç. Bununla birlikte, periyodik kesirler yuvarlanabilir, o zaman bunlara genellikle yuvarlak kesirler denir, ancak matematikte yuvarlak kesir demek daha doğru olur.

Doğru, yanlış ve karışık kesirler

Payın modülü paydanın modülünden küçük olduğunda bir kesir doğru olarak adlandırılır. (1/3, 2/5, 7/8), aksi halde kesre bileşik kesir denir (3/2, 9/7, 13/5). Pay ve paydanın eşit olduğu kesirler de bileşik kesirler olarak sınıflandırılır.

Aynı zamanda, herhangi bir uygunsuz kesir, karışık bir kesir olarak temsil edilebilir; böyle bir kesirin bir örneği aşağıda verilmiştir.

Burada 1 tamsayı kısmı, 1/2 ise kesirli kısımdır. Tam sayılı bir sayıyı kesire dönüştürmek için, parçanın tamamını paydayla çarpmanız ve payı elde edilen değere eklemeniz gerekir. Bu tür işlemler sonucunda sıradan bir kesrin payı bulunurken payda aynı kalır.

İndirgenebilir ve indirgenemez kesirler

Bir kesrin payı ve paydası aynı sayıya (biri hariç) bölünebildiğinde, kesre indirgenebilir, diğer durumlarda indirgenemez denir. Örneğin:

3/9 indirgenebilir bir kesirdir, çünkü hem pay hem de payda 3'e bölünebilir;
3/5 indirgenemez bir kesirdir, çünkü her iki sayı da asaldır; yalnızca kendilerine ve 1'e bölünürler;
2/7 indirgenemez bir kesirdir çünkü hem payı hem de paydayı bölebilecek ortak bir sayı yoktur.

Bileşik ve karşılıklı kesirler

Çoğu zaman okul çocukları hangi kesirin karşılıklı, hangisinin bileşik olduğunu anlamıyorlar. Her şeyin oldukça basit olduğu ortaya çıktı. 7/8 kesirini alıp pay ve paydayı değiştirirsek 8/7 kesirini elde ederiz. Karşılıklı olarak adlandırılan bu kesirler (7/8 ve 8/7). Ayrıca, bu tür kesirlerin çarpımının her zaman 1'e eşit olduğuna dikkat edilmelidir.

Bileşik kesirler, kesrin çeşitli özelliklerini içeren ifadeleri içerir. Bu tür fraksiyonların örnekleri aşağıda verilmiştir.

Ayrıca pozitif ve negatif kesirler arasında da ayrım yapılır. İkincisini belirtmek için kesrin önüne “-” işareti konur. Bu durumda pozitif sayılarda olduğu gibi “+” işareti genellikle belirtilmez.

Hayatta kesirlerle okulda çalışmaya başlamadan çok daha önce karşılaşırız. Bir elmayı tam olarak ikiye bölersek meyvenin yarısını elde ederiz. Tekrar keselim - ¼ olacak. Bunlar kesirler. Ve her şey basit görünüyordu. Bir yetişkin için. Bir çocuk için (ve bu konu ilkokulun sonunda incelenmeye başlar), soyut matematiksel kavramlar hala korkutucu derecede anlaşılmazdır ve öğretmen, doğru ve yanlış kesrin, ortak ve ondalık sayının ne olduğunu, hangi işlemlerin yapılabileceğini açıkça açıklamalıdır. onlarla ve en önemlisi tüm bunlara neden ihtiyaç duyulduğu.

Kesirler nedir?

Okulda yeni bir konunun tanıtılması sıradan kesirlerle başlar. Üstteki ve alttaki iki sayıyı ayıran yatay çizgiyle kolayca tanınırlar. Üsttekine pay, alttakine ise payda denir. Ayrıca uygunsuz ve doğru sıradan kesirleri eğik çizgiyle yazmak için küçük harf seçeneği de vardır, örneğin: ½, 4/9, 384/183. Bu seçenek, satır yüksekliğinin sınırlı olduğu ve “iki katlı” giriş formunun kullanılmasının mümkün olmadığı durumlarda kullanılır. Neden? Evet çünkü daha kullanışlı. Bunu biraz sonra göreceğiz.

Sıradan kesirlerin yanı sıra ondalık kesirler de vardır. Bunları ayırt etmek çok basittir: Bir durumda yatay veya eğik çizgi kullanılıyorsa, diğerinde sayı dizilerini ayırmak için virgül kullanılır. Bir örneğe bakalım: 2.9; 163.34; 1.953. Sayıları sınırlandırmak için kasıtlı olarak ayırıcı olarak noktalı virgül kullandık. Bunlardan ilki şu şekilde okunacak: "iki virgül dokuz."

Yeni konseptler

Sıradan kesirlere dönelim. İki tipte gelirler.

Düzgün kesirin tanımı şu şekildedir: Payı paydasından küçük olan kesirdir. Neden önemlidir? Şimdi göreceğiz!

Birkaç elmanız var, yarıya bölünmüş. Toplam - 5 parça. Nasıl dersiniz: “iki buçuk” veya “beş buçuk” elmanız var mı? Elbette ilk seçenek kulağa daha doğal geliyor ve bunu arkadaşlarımızla konuşurken kullanacağız. Ama her kişinin ne kadar meyve alacağını hesaplamamız gerekirse, şirkette beş kişi varsa 5/2 sayısını yazıp 5'e böleriz - matematiksel açıdan bu daha net olacaktır. .

Yani doğru ve yanlış kesirleri isimlendirmede kural şudur: Bir kesirde tam kısım ayırt edilebiliyorsa (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), o zaman bileşik değildir. ½, 13/16, 9/10 gibi bu yapılamıyorsa doğru olacaktır.

Bir kesrin temel özelliği

Bir kesrin payı ve paydası aynı sayıyla aynı anda çarpılır veya bölünürse değeri değişmez. Düşünün: Pastayı 4 eşit parçaya bölüp size bir tane verdiler. Aynı pastayı sekiz parçaya bölüp sana ikisini verdiler. Gerçekten önemli mi? Sonuçta ¼ ile 2/8 aynı şeydir!

Kesinti

Matematik ders kitaplarındaki problemlerin ve örneklerin yazarları genellikle yazması zahmetli olan ancak aslında kısaltılabilen kesirler sunarak öğrencilerin kafasını karıştırmaya çalışırlar. İşte uygun bir kesir örneği: 167/334, öyle görünüyor ki, çok "korkutucu" görünüyor. Ama aslında bunu ½ olarak da yazabiliriz. 334 sayısı 167'ye kalansız bölünebilir - bu işlemi yaptıktan sonra 2 elde ederiz.

Karışık sayılar

Uygunsuz bir kesir, karışık bir sayı olarak temsil edilebilir. Bu, parçanın tamamının öne getirilerek yatay çizgi seviyesinde yazılmasıdır. Aslında ifade bir toplam şeklini alır: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 vb.

Parçanın tamamını çıkarmak için payı paydaya bölmeniz gerekir. Bölmenin geri kalanını en üste, çizginin üstüne ve tamamını ifadeden önce yazın. Böylece iki yapısal parça elde ederiz: tam birimler + doğru kesir.

Ayrıca ters işlemi de gerçekleştirebilirsiniz - bunu yapmak için tamsayı kısmını paydayla çarpmanız ve elde edilen değeri paya eklemeniz gerekir. Karmaşık bir şey yok.

Çarpma ve bölme

İşin garibi, kesirleri çarpmak toplama yapmaktan daha kolaydır. Tek yapmanız gereken yatay çizgiyi uzatmak: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Bölme işleminde de her şey basittir: Kesirleri çapraz olarak çarpmanız gerekir: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Kesirleri Ekleme

Toplama yapmanız gerekiyorsa veya paydada farklı sayılar varsa ne yapmalısınız? Çarpma işleminde olduğu gibi aynısını yapmak işe yaramayacaktır - burada uygun kesirin tanımını ve özünü anlamalısınız. Terimleri ortak bir paydaya getirmek, yani her iki kesirin alt kısmının aynı sayılara sahip olması gerekir.

Bunu yapmak için kesirin temel özelliğini kullanmalısınız: her iki parçayı da aynı sayıyla çarpın. Örneğin, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Terimlerin hangi paydaya indirileceği nasıl seçilir? Bu, kesirlerin paydalarındaki her iki sayının katı olan minimum sayı olmalıdır: 1/3 ve 1/9 için 9 olacaktır; ½ ve 1/7 - 14 için, çünkü 2 ve 7'ye kalansız bölünebilen daha küçük bir değer yoktur.

Kullanım

Uygun olmayan kesirler ne için kullanılır? Sonuçta, tüm parçayı hemen seçmek, karışık bir sayı elde etmek ve bu işi bitirmek çok daha uygundur! İki kesri çarpmanız veya bölmeniz gerekiyorsa, düzensiz olanları kullanmanın daha karlı olduğu ortaya çıktı.

Şu örneği ele alalım: (2 + 3/17) / (37/68).

Görünüşe göre kesilecek hiçbir şey yok. Peki ya toplama sonucunu ilk parantez içine bileşik kesir olarak yazarsak? Bak: (37/17) / (37/68)

Artık her şey yerine oturuyor! Örneği her şey belli olacak şekilde yazalım: (37*68) / (17*37).

Pay ve paydadaki 37'yi iptal edelim ve son olarak üst ve alt kısmı 17'ye bölelim. Doğru ve yanlış kesirlerin temel kuralını hatırlıyor musunuz? Pay ve payda için aynı anda yaptığımız sürece bunları herhangi bir sayıyla çarpabilir ve bölebiliriz.

Böylece cevabı alıyoruz: 4. Örnek karmaşık görünüyordu, ancak cevap yalnızca bir sayı içeriyor. Bu matematikte sıklıkla olur. Önemli olan korkmamak ve basit kurallara uymaktır.

Yaygın hatalar

Uygulama yaparken öğrenci sık yapılan hatalardan birini kolaylıkla yapabilir. Genellikle dikkatsizlik nedeniyle ve bazen de çalışılan materyalin henüz kafada uygun şekilde saklanmaması nedeniyle ortaya çıkarlar.

Çoğu zaman paydaki sayıların toplamı, tek tek bileşenlerini azaltmak istemenize neden olur. Örnekte diyelim ki (13 + 2) / 13, parantezsiz (yatay çizgiyle) yazılmış, birçok öğrenci deneyimsizlik nedeniyle üstte ve altta 13'ün üzerini çiziyor. Ancak bu hiçbir koşulda yapılmamalıdır çünkü bu büyük bir hatadır! Toplama yerine çarpma işareti olsaydı cevapta 2 sayısını alırdık. Ancak toplama yaparken terimlerden biriyle hiçbir işlem yapılmasına izin verilmez, yalnızca toplamın tamamıyla işlem yapılmasına izin verilir.

Erkekler ayrıca kesirleri bölerken sıklıkla hata yaparlar. İndirgenemeyen iki tam kesir alıp birbirine bölelim: (5/6) / (25/33). Öğrenci bunu karıştırıp ortaya çıkan ifadeyi (5*25) / (6*33) şeklinde yazabilir. Ancak çarpma işleminde bu olur, ancak bizim durumumuzda her şey biraz farklı olacaktır: (5*33) / (6*25). Mümkün olanı azaltıyoruz ve cevap 11/10 olacak. Ortaya çıkan uygunsuz kesri ondalık sayı olarak yazıyoruz - 1.1.

Parantez

Herhangi bir matematiksel ifadede işlem sırasının, işlem işaretlerinin önceliğine ve parantezlerin varlığına göre belirlendiğini unutmayın. Diğer her şey eşit olduğunda eylemlerin sırası soldan sağa doğru sayılır. Bu aynı zamanda kesirler için de geçerlidir - pay veya paydadaki ifade kesinlikle bu kurala göre hesaplanır.

Sonuçta bu, bir sayının diğerine bölünmesinin sonucudur. Eşit olarak bölünmezlerse, kesir haline gelir - hepsi bu.

Bilgisayarda kesir nasıl yazılır

Standart araçlar her zaman iki “katmandan” oluşan bir kesir oluşturmaya izin vermediğinden, öğrenciler bazen çeşitli hilelere başvururlar. Örneğin pay ve paydaları Paint grafik düzenleyicisine kopyalayıp birbirine yapıştırarak aralarında yatay bir çizgi çiziyorlar. Elbette, gelecekte işinize yarayacak birçok ek özellik sağlayan daha basit bir seçenek de var.

Microsoft Word'ü açın. Ekranın üst kısmındaki panellerden birine "Ekle" denir - tıklayın. Sağ tarafta pencereyi kapat ve simge durumuna küçült simgelerinin bulunduğu tarafta “Formül” butonu bulunmaktadır. Tam olarak ihtiyacımız olan şey bu!

Bu işlevi kullanırsanız, ekranda klavyede olmayan herhangi bir matematiksel işareti kullanabileceğiniz ve kesirleri klasik biçimde yazabileceğiniz dikdörtgen bir alan görünecektir. Yani pay ve paydayı yatay bir çizgiyle bölmek. Böyle bir düzgün kesirin yazılmasının bu kadar kolay olmasına bile şaşırabilirsiniz.

Matematik öğren

Eğer 5-6. Sınıftaysanız, yakında birçok okul dersinde matematik bilgisi (kesirlerle çalışma yeteneği dahil!) gerekli olacaktır. Fizikteki hemen hemen her problemde, kimyada, geometride ve trigonometride maddelerin kütlesini ölçerken kesirler olmadan yapamazsınız. Yakında, ifadeleri kağıda bile yazmadan kafanızda her şeyi hesaplamayı öğreneceksiniz, ancak giderek daha karmaşık örnekler ortaya çıkacak. Öyleyse düzgün kesirin ne olduğunu ve onunla nasıl çalışılacağını öğrenin, müfredatınıza ayak uydurun, ödevinizi zamanında yapın, başarılı olacaksınız.

1 Sıradan kesirler nelerdir? Kesir türleri.
Kesir her zaman bir bütünün bir parçası anlamına gelir. Gerçek şu ki, miktar her zaman doğal sayılarla ifade edilemez, yani yeniden hesaplanamaz: 1,2,3 vb. Örneğin yarım karpuz veya çeyrek saat nasıl belirlenir? Kesirlerin veya sayıların ortaya çıkmasının nedeni budur.

Başlangıç olarak, genel olarak iki tür kesir olduğu söylenmelidir: sıradan kesirler ve ondalık kesirler. Sıradan kesirler şu şekilde yazılır:
Ondalık kesirler farklı şekilde yazılır:

Sıradan kesirler iki bölümden oluşur: üstte pay, altta payda bulunur. Pay ve payda bir kesir çizgisiyle ayrılır. Hatırla:

Her kesir bir bütünün parçasıdır. Genellikle bir bütün olarak alınır 1 (birim). Bir kesrin paydası bütünün kaç parçaya bölündüğünü gösterir ( 1 ) ve pay kaç parçanın alındığıdır. Pastayı 6 eşit parçaya bölersek (matematikte şöyle derler) hisseler ), o zaman pastanın her bir kısmı 1/6'ya eşit olacaktır. Vasya 4 parça yerse 4/6 yemiş demektir.

Öte yandan eğik çizgi, bölme işaretinden başka bir şey değildir. Bu nedenle kesir, iki sayının (pay ve payda) bölümüdür. Problem metninde veya tariflerde kesirler genellikle şu şekilde yazılır: 2/3, 1/2 vb. Bazı kesirlerin kendi isimleri vardır; örneğin, 1/2 - "yarım", 1/3 - "üçüncü", 1/4 - "çeyrek"
Şimdi ne tür sıradan kesirlerin olduğunu bulalım.

2 Sıradan kesir türleri

Üç tür ortak kesir vardır: uygun, yanlış ve karışık:

Uygun kesir

Pay paydadan küçükse, böyle bir kesir denir doğru,Örneğin: Uygun kesir her zaman 1'den küçüktür.

Uygunsuz kesir

Pay, paydadan büyükse veya paydaya eşitse bu kesirlere denir. yanlış, Örneğin:

Uygunsuz kesir birden büyükse (pay paydadan büyükse) veya bire eşitse (pay paydaya eşitse)

Karışık kesir

Bir kesir bir tam sayıdan (tamsayı kısım) ve bir uygun kesirden (kesirli kısım) oluşuyorsa, böyle bir kesir denir. karışık, Örneğin:

Karışık kesir her zaman birden büyüktür.

3 Kesir Dönüşümleri

Matematikte, sıradan kesirlerin sıklıkla dönüştürülmesi gerekir, yani karışık bir kesirin bileşik bir kesire dönüştürülmesi gerekir ve bunun tersi de geçerlidir. Çarpma ve bölme gibi belirli işlemleri gerçekleştirmek için bu gereklidir.

Bu yüzden, herhangi bir karışık fraksiyon uygunsuz bir fraksiyona dönüştürülebilir. Bunu yapmak için tüm kısım payda ile çarpılır ve kesirli kısmın payı eklenir. Ortaya çıkan miktar pay olarak alınır ve payda aynı bırakılır, örneğin:

Herhangi bir uygunsuz kesir, karışık bir kesire dönüştürülebilir. Bunu yapmak için payı paydaya bölün (kalanla birlikte). Ortaya çıkan sayı tamsayı kısmı olacak ve geri kalan kesirli kısmın payı olacaktır, örneğin:

Aynı zamanda diyorlar ki: “Biz tam kısmı, yanlış kesirden ayırdık.”

Unutulmaması gereken bir kural daha: Herhangi bir tam sayı, paydası 1 olan ortak bir kesir olarak temsil edilebilir, Örneğin:

Kesirlerin nasıl karşılaştırılacağı hakkında konuşalım.

4 Kesirlerin karşılaştırılması

Kesirleri karşılaştırırken birkaç seçenek olabilir: Paydaları aynı olan kesirleri karşılaştırmak kolaydır, ancak paydalar farklıysa çok daha zordur. Ayrıca karışık fraksiyonların bir karşılaştırması da var. Ancak endişelenmeyin, şimdi her seçeneğe ayrıntılı olarak bakacağız ve kesirleri nasıl karşılaştıracağımızı öğreneceğiz.

Paydaları aynı olan kesirleri karşılaştırma

Paydaları aynı ancak payları farklı olan iki kesirden paydası büyük olan kesir daha büyüktür, örneğin:

Payları aynı olan kesirleri karşılaştırma

Payları aynı ancak paydaları farklı olan iki kesirden paydası daha küçük olan kesir daha büyüktür, örneğin:

Karışık ve bileşik kesirlerin uygun kesirlerle karşılaştırılması

Uygun olmayan veya karışık bir kesir her zaman uygun bir kesirden daha büyüktür, örneğin:

İki karışık kesirin karşılaştırılması

İki tam sayılı kesri karşılaştırırken, tam kısmı büyük olan kesir daha büyüktür, örneğin:

Karışık kesirlerin tamsayı kısımları aynı ise kesirli kısmı büyük olan kesir daha büyüktür, örneğin:

Farklı pay ve paydalara sahip kesirleri karşılaştırma

Farklı pay ve paydalara sahip kesirleri dönüştürmeden karşılaştıramazsınız. Öncelikle kesirler aynı paydaya indirilmeli, daha sonra payları karşılaştırılmalıdır. Payı büyük olan kesir ne kadar büyükse o kadar büyüktür. Ancak makalenin sonraki iki bölümünde kesirleri aynı paydaya nasıl indireceğimize bakacağız. Öncelikle kesirlerin temel özelliklerine ve indirgenen kesirlere bakacağız, ardından kesirleri doğrudan aynı paydaya indirgeyeceğiz.

5 Bir kesrin temel özelliği. Kesirlerin azaltılması. GCD kavramı.

Hatırlamak: Yalnızca paydaları aynı olan kesirleri toplayabilir, çıkarabilir ve karşılaştırabilirsiniz.. Paydalar farklıysa, önce kesirleri aynı paydaya getirmeniz, yani kesirlerden birini paydası ikinci kesirin payıyla aynı olacak şekilde dönüştürmeniz gerekir.

Kesirlerin önemli bir özelliği vardır. Bir kesrin temel özelliği:

Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse kesrin değeri değişmez:

Bu özellik sayesinde şunları yapabiliriz: kesirleri azalt:

Bir kesri azaltmak, pay ve paydayı aynı sayıya bölmektir.(hemen yukarıdaki örneğe bakın). Bir kesri küçülttüğümüzde eylemlerimizi şu şekilde yazabiliriz:

Defterlerde daha sık olarak kesir şu şekilde kısaltılır:

Ancak unutmayın: yalnızca faktörleri azaltabilirsiniz. Pay veya paydada bir toplam veya fark varsa terimleri azaltamazsınız. Örnek:

Önce toplamı bir çarpana dönüştürmelisiniz:

Bazen büyük sayılarla çalışırken bir kesri azaltmak için bulmak daha uygundur. pay ve paydanın en büyük ortak böleni (GCD)

En Büyük Ortak Bölen (GCD) birkaç sayı, bu sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal sayıdır.

İki sayının (örneğin bir kesrin payı ve paydası) GCD'sini bulmak için, her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırmanız, her iki çarpanlara ayırmada da aynı çarpanları işaretlemeniz ve bu çarpanları çarpmanız gerekir. Ortaya çıkan ürün GCD olacaktır. Örneğin bir kesri azaltmamız gerekiyor:

96 ve 36 sayılarının gcd'sini bulalım:

OBEB bize hem payın hem de paydanın 12 çarpanına sahip olduğunu gösteriyor ve kesri kolaylıkla azaltabiliyoruz.

Bazen kesirleri aynı paydaya getirmek için kesirlerden birini azaltmak yeterlidir. Ancak daha sıklıkla her iki kesir için de ek faktörlerin seçilmesi gerekir. Şimdi bunun nasıl yapıldığına bakacağız. Bu yüzden:

6 Kesirler aynı paydaya nasıl azaltılır? En küçük ortak kat (LCM).

Kesirleri aynı paydaya indirdiğimizde, payda için hem birinci hem de ikinci paydaya bölünebilecek bir sayı seçeriz (yani matematiksel açıdan her iki paydanın katı olur). Ve bu sayının mümkün olduğu kadar küçük olması arzu edilir, sayılması daha uygundur. Bu nedenle her iki paydanın da LCM'sini bulmalıyız.

İki sayının en küçük ortak katı (LCM) Bu sayıların her ikisine de kalansız bölünebilen en küçük doğal sayıdır. Bazen LCM sözlü olarak bulunabilir, ancak daha sıklıkla, özellikle büyük sayılarla çalışırken, aşağıdaki algoritmayı kullanarak LCM'yi yazılı olarak bulmanız gerekir:

Birkaç sayının LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

Bu sayıları asal çarpanlara ayırın
En büyük açılımı alın ve bu sayıları çarpım olarak yazın
Diğer ayrıştırmalarda en büyük ayrıştırmada görünmeyen (veya daha az kez ortaya çıkan) sayıları seçin ve bunları çarpıma ekleyin.
Çarpımdaki tüm sayıları çarpın, bu LCM olacaktır.

Örneğin 28 ve 21 sayılarının LCM'sini bulalım:

Ancak kesirlerimize dönelim. Her iki paydanın LCM'sini bulduktan veya yazılı olarak hesapladıktan sonra, bu kesirlerin paylarını şu şekilde çarpmamız gerekir: ek çarpanlar. Bunları, LCM'yi karşılık gelen kesirin paydasına bölerek bulabilirsiniz, örneğin:

Böylece kesirlerimizi aynı paydaya - 15'e indirdik.

7 Kesirleri toplama ve çıkarma

Paydaları benzer olan kesirlerde toplama ve çıkarma

Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını eklemeniz gerekir, ancak paydayı aynı bırakmalısınız, örneğin:

Paydaları aynı olan kesirleri çıkarmak için, ikinci kesirin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir, örneğin:

Paydaları benzer olan tam sayılı kesirlerde toplama ve çıkarma

Karışık kesirleri eklemek için, bunların tüm parçalarını ayrı ayrı eklemeniz, ardından kesirli kısımlarını eklemeniz ve sonucu karışık kesir olarak yazmanız gerekir:

Kesirli parçaları eklerken uygunsuz bir kesir elde ederseniz, ondan tüm parçayı seçin ve onu tam parçaya ekleyin, örneğin:

Çıkarma işlemi de benzer şekilde gerçekleştirilir: tam sayı kısmı tam kısımdan çıkarılır ve kesirli kısım kesirli kısımdan çıkarılır:

Çıkarılanın kesirli kısmı eksinin kesirli kısmından büyükse, tam kısımdan bir "ödünç alırız", eksilen kısmı uygunsuz bir kesre dönüştürürüz ve sonra her zamanki gibi devam ederiz:

Aynı şekilde bir tam sayıdan bir kesri çıkarmak:

Tam sayı ve kesir nasıl eklenir?

Bir tam sayı ve bir kesir eklemek için, karışık bir kesir oluşturmak amacıyla bu sayıyı kesirin önüne eklemeniz yeterlidir, örneğin:

Eğer biz bir tam sayı ve bir karışık kesirin eklenmesi, bu sayıyı kesrin tamamına ekliyoruz, örneğin:

Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma.

Farklı paydalara sahip kesirleri eklemek veya çıkarmak için, önce bunları aynı paydaya getirmeniz, ardından aynı paydalara sahip kesirleri eklerken yaptığınız gibi ilerlemeniz gerekir (payları ekleyin):

Çıkarma işleminde de aynı şekilde ilerliyoruz:

Karışık kesirlerle çalışıyorsak, bunların kesirli kısımlarını aynı paydaya indiririz ve ardından her zamanki gibi çıkarırız: tüm kısmı tam kısımdan ve kesirli kısmı kesirli kısımdan:

8 Kesirlerde çarpma ve bölme.

Kesirleri çarpmak ve bölmek, toplama ve çıkarmaya göre çok daha kolaydır çünkü onları aynı paydaya indirmeniz gerekmez. Kesirleri çarpmak ve bölmek için basit kuralları unutmayın:

Pay ve paydadaki sayıları çarpmadan önce örneğimizde olduğu gibi kesri azaltmanız, yani pay ve paydadaki aynı faktörlerden kurtulmanız önerilir.

Bir kesri bir doğal sayıya bölmek için paydayı bu sayıyla çarpmanız ve payı değiştirmeden bırakmanız gerekir:

Örneğin:

Bir kesri bir kesire bölmek

Bir kesri diğerine bölmek için, bölenin tersiyle (karşılıklı kesir) bölüneni çarpmanız gerekir. Bu ne tür bir karşılıklı kesirdir?

Kesri ters çevirirsek yani pay ve paydayı değiştirirsek karşılıklı bir kesir elde ederiz. Bir kesirin tersi ile çarpımı bir verir. Matematikte bu tür sayılara karşılıklı sayılar denir:

Örneğin sayılar - karşılıklı olarak terstir, çünkü