Yapı genel çözüm Böyle bir denklem aşağıdaki teorem ile belirlenir.
Teorem 1. Genel çözüm homojen denklem(1), bu denklemin belirli bir çözümünün toplamı olarak temsil edilir y h ve karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü
Kanıt. Toplamın (3) olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Denklemin (1) genel bir çözümü vardır.
Öncelikle fonksiyon (3)'ün denklem (1)'in çözümü olduğunu kanıtlayalım. Onun yerine ikame en denklem (1)'deki toplam şu şekilde olacaktır:
- denklem (2)'nin bir çözümü olduğundan, denklem (4)'ün ilk parantezindeki ifade aynı şekilde sıfıra eşittir. Çünkü y h denklemin (1) bir çözümü ise, ikinci parantezdeki (4) ifade şuna eşittir: f(x). Dolayısıyla eşitlik (4) bir özdeşliktir. Böylece teoremin ilk kısmı kanıtlanmıştır.
Şimdi ifade (3)'ün denklem (1)'in genel bir çözümü olduğunu kanıtlayalım; İçerisindeki keyfi sabitlerin başlangıç koşulları (5) sağlanacak şekilde seçilebileceğini kanıtlayalım.
sayılar ne olursa olsun x 0, y 0, ve (eğer yalnızca işlevlerin olduğu alanlar bir 1, bir 2 Ve f(x) sürekli).
Bunu şu şekilde temsil edebileceğimizi fark ederek 
, Nerede y 1 , y 2 Denklemin (2) doğrusal bağımsız çözümleri ve C1 Ve C2 keyfi sabitlerdir, eşitliği (3) biçiminde yeniden yazabiliriz. Daha sonra koşul (5)'e göre sistemi elde edeceğiz.
.
Bu denklem sisteminden şunu belirlemek gerekir: C1 Ve C2. Sistemi formda yeniden yazalım.
(6)
Sistem belirleyicisi 
– çözümler için bir Wronski determinantı var 1'de Ve saat 2'de noktada. Bu fonksiyonlar koşula göre doğrusal olarak bağımsız olduğundan Wronski determinantı sıfıra eşit, dolayısıyla sistem (6) tek çözüm C1 Ve C2 yani öyle anlamlar var C1 Ve C2 burada formül (3), verileri karşılayan denklem (1)'in çözümünü belirler başlangıç koşulları.
Dolayısıyla, homojen denklemin (2) genel çözümü biliniyorsa, o zaman integral almadaki asıl sorun homojen olmayan denklem(1) özel çözümlerinden herhangi birini bulmaktan ibarettir y h.
İkinci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemler sabit katsayılar sağ tarafla özel tip. Yöntem belirsiz katsayılar.
Bazen entegrasyona başvurmadan daha basit bir çözüm bulmak mümkün olabilir. Bu gerçekleşir özel durumlar fonksiyon ne zaman f(x)özel bir görünüme sahiptir.
Denklemi alalım, (1)
Nerede P Ve Q gerçek sayılar ve f(x)özel bir görünüme sahiptir. Denklem (1) için buna benzer birkaç olasılığı ele alalım.
Denklemin (1) sağ tarafı ürün olsun üstel fonksiyon bir polinoma, yani benziyor 
, (2)
n'inci dereceden bir polinom nerede. O zaman aşağıdaki durumlar mümkündür:
a) sayı – bir kök değil karakteristik denklem 
.
Bu durumda (3) formunda özel bir çözüm aranmalıdır.
onlar. aynı zamanda bir polinom biçiminde N-inci derece, nerede A 0, A 1,…, A n katsayılar belirlenecektir.
Bunları belirlemek için ve türevlerini buluyoruz.
Değiştirme y h ve denklem (1)'e yerleştirip her iki tarafı da sahip olacağımız bir faktörle azaltarak:
Burada n'inci dereceden bir polinom, – (n-1)'inci dereceden bir polinom ve – (n-2)'inci dereceden bir polinom var.
Böylece eşittir işaretinin solunda ve sağında polinomlar vardır N-inci derece. Katsayıların eşitlenmesi eşit derece X(bilinmeyen katsayıların sayısı eşittir), katsayıları belirlemek için bir denklem sistemi elde ederiz A 0, A 1, ..., A n.
Denklemin (1) sağ tarafı şu şekle sahipse:
Bir denklemin temel çözüm sisteminin bilgisi, bu denklemin genel bir çözümünü oluşturmayı mümkün kılar. Diferansiyel denklemin genel çözümünün tanımını hatırlayalım N-inci sıra
İşlev 
değişkenlerin bazı varyasyon alanlarında tanımlanmış 
Her noktasında Cauchy probleminin çözümünün varlığı ve tekliği olan ve göre sürekli kısmi türevleri olan X siparişe kadar N aşağıdaki durumlarda, belirtilen bölgedeki denklemin (15) genel çözümüne denir:
denklem sistemi
keyfi sabitlere göre belirtilen bölgede çözülebilir 
, Bu yüzden
(16)
2. işlev 
keyfi sabitlerin tüm değerleri için denklem (15)'in bir çözümüdür 
, formül (16) ile ifade edilir, nokta 
incelenen alana aittir.
Teorem 1. (doğrusal homojen bir çözümün genel çözümünün yapısı hakkında) diferansiyel denklem)
. Eğer işlevler 
,
,
…,
biçim temel sistem homojen bir doğrusal denklemin çözümleri N-inci sıra 
aralıkta 
yani katsayıların sürekliliği aralığında, o zaman fonksiyon 
bölgedeki bu denklemin genel bir çözümüdür D:
,
,
.
Kanıt. Belirtilen bölgenin her noktasında Cauchy probleminin çözümünün varlığı ve tekliği vardır. Şimdi fonksiyonun olduğunu gösterelim. 
denklemin genel çözümünün tanımını karşılar N-inci sipariş.
denklem sistemi
etki alanında çözülebilir D keyfi sabitlere göre 
çünkü bu sistemin determinantı, temel çözüm sistemi (12) için Wronski determinantıdır ve bu nedenle sıfırdan farklıdır.
2. İşlev 
homojen bir doğrusal denklemin çözümlerinin özelliği ile denklemin bir çözümüdür 
keyfi sabitlerin tüm değerleri için 
.
Bu nedenle fonksiyon 
denklemin genel bir çözümüdür 
bölgede D. Teorem kanıtlandı.
Örnek.
.
Bu denklemin çözümleri açıkça fonksiyonlardır. 
,
. Bu kararlar temel bir kararlar sistemini oluşturur, çünkü
.
Bu nedenle genel çözüm orijinal denklem fonksiyondur.
N'inci mertebeden homojen olmayan bir doğrusal denklemin genel çözümünün yapısı.
Homojen olmayan bir durumu ele alalım doğrusal denklem N-inci sıra
Birinci dereceden doğrusal homojen olmayan bir denklem durumunda olduğu gibi, eğer homojen olmayan denklemin (1) özel bir çözümü biliniyorsa, denklem (1)'in entegrasyonunun homojen bir denklemin entegrasyonuna indirgendiğini gösterelim.
İzin vermek 
- denklem (1)'in özel bir çözümü, yani.
,
. (2)
Hadi koyalım 
, Nerede z– yeni değil bilinen fonksiyon itibaren X. Daha sonra denklem (1) şu şekli alacaktır:
veya 
,
dolayısıyla özdeşlik (2) sayesinde şunu elde ederiz:
. (3)
Bu homojen bir doğrusal denklemdir, sol taraf bu, dikkate alınan homojen olmayan denklem (1) ile aynıdır. Onlar. bu homojen olmayan denkleme (1) karşılık gelen homojen bir denklem elde ettik.
,
,
…,
,
homojen denklemin (3) temel çözüm sistemidir. O zaman bu denklemin tüm çözümleri genel çözüm formülünde yer alır, yani.
.
Bu değeri yerine koyalım z formülün içine 
, alıyoruz
.
Ortaya çıkan fonksiyon bölgedeki denklem (1)'in genel bir çözümüdür. D.
Böylece, doğrusal homojen olmayan denklemin (1) genel çözümünün, bu denklemin bazı özel çözümlerinin ve karşılık gelen homojen doğrusal denklemin genel çözümünün toplamına eşit olduğunu göstermiş olduk.
Örnek. Denklemin genel çözümünü bulun
.
Çözüm. Bu homojen olmayan doğrusal denklemin özel bir çözümü şu şekildedir:
.
Karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü 
daha önce de gösterdiğimiz gibi şu forma sahiptir:
Bu nedenle orijinal denklemin genel çözümü şu şekildedir: 
.
Çoğu durumda, aşağıdaki özelliği kullanırsanız, homojen olmayan bir denklemin belirli bir çözümünü bulma görevi daha kolaydır:
Teorem. Denklem (1)'de sağ taraf şu şekle sahipse
ve biliniyor ki 
, A 
- denklemin özel çözümü 
, o zaman bu özel çözümlerin toplamı 
+
denklemin (1) kısmi bir çözümü olacaktır.
Kanıt. Gerçekten de, koşul gereği 
denklemin özel bir çözümü var 
, A 
- denklemin özel çözümü 
, O
,
.
onlar. 
+
denklem (1)'in özel bir çözümüdür.
Daha yüksek derecelerin D U'su
Daha önce de söylediğimiz gibi diferansiyel denklemler çeşitli mertebelerde türevler içerebilir.
Bu tür diferansiyel denklemlerin, çok sayıda keyfi entegrasyon sabiti içeren çözümleri vardır → diferansiyel denklemin sırası nedir, yani 2. dereceden bir diferansiyel denklem için iki keyfi sabit C1 ve C2 olacaktır; 3. dereceden bir diferansiyel denklem için →C1, C2 ve C3 vb.
Böylece genel çözüm ( genel integral) böyle bir diferansiyel denklemin bir fonksiyonu olacaktır
.
Bu tür diferansiyel denklemlerin özel bir çözümünü elde etmek için, diferansiyel denklemin sırası kadar başlangıç koşulunun veya genel çözümde kaç tane keyfi sabitin elde edildiğinin belirlenmesi gerekir.
D U içeride tam diferansiyeller. Bütünleştirici faktör
Formun bir diferansiyel denklemine, eğer sol tarafı bazı diferansiyellerin tam diferansiyeli ise, tam diferansiyellerde diferansiyel denklem denir. pürüzsüz fonksiyon yani Eğer 
, 
. Gerekli ve yeterli koşul böyle bir fonksiyonun var olması şu şekildedir: 
Toplam diferansiyellerde bir diferansiyel denklemi çözmek için fonksiyonu bulmanız gerekir. Daha sonra diferansiyel denklemin genel çözümü keyfi bir C sabiti formunda yazılabilir.
Diferansiyel denklem için integral faktörü
çarpma işleminden sonra diferansiyel denklemin toplam diferansiyellerde bir denkleme dönüştüğü böyle bir fonksiyona denir. Denklemdeki M ve N fonksiyonlarının sürekli kısmi türevleri varsa ve aynı anda yok olmuyorlarsa, o zaman bir integrasyon çarpanı vardır. Fakat, genel yöntem onu bulmanın bir yolu yok.
LNDU'nun genel çözümünün yapısı
Doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemi düşünün
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).
- her ne ise başlangıç noktası(x0, y0, ) , x0∈ , C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 değerleri vardır, öyle ki y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) fonksiyonu y( başlangıç koşullarını karşılar x0) = y0 , y "(x0) ,..., (x0) = .
Adil sonraki ifade(Doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümünün yapısına ilişkin teorem).
Bir doğrusal homojen diferansiyel denklemin denkleminin tüm katsayıları aralıkta sürekliyse ve y1(x), y2(x),..., yn(x) fonksiyonları karşılık gelen homojen denklemin bir çözüm sistemini oluşturuyorsa , o zaman homojen olmayan denklemin genel çözümü şu şekildedir:
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
C1,...,Cn keyfi sabitler olmak üzere, y*(x) homojen olmayan denklemin özel bir çözümüdür.
LNDU 2. derece
İkinci mertebeden lineer homojen olmayan diferansiyel denklemler.
y" + py" + qy = f(x) formundaki denklem, burada p ve q - gerçek sayılar, f(x) - sürekli fonksiyon, sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen olmayan denklem olarak adlandırılır.
Bir denklemin genel çözümü, homojen olmayan bir denklemin özel bir çözümü ile karşılık gelen homojen denklemin genel çözümünün toplamıdır. Homojen bir denklemin genel çözümünün bulunması araştırılmıştır. Belirli bir çözüm bulmak için entegrasyon süreci içermeyen belirsiz katsayılar yöntemini kullanacağız.
düşünelim çeşitli türler y" + py" + qy = f(x) denkleminin sağ tarafları.
1) Sağ taraf F(x) = Pn(x) formuna sahiptir, burada Pn(x), n dereceli bir polinomdur. Daha sonra, Qn(x)'in Pn(x) ile aynı derecede bir polinom olduğu ve r'nin, karakteristik denklemin sıfıra eşit kök sayısı olduğu formda özel bir y çözümü aranabilir.
Örnek. y" – 2y" + y = x+1 denkleminin genel çözümünü bulun.
Çözüm: Karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü Y = ex (C1 + C2x) formundadır. k2 – 2k + 1 = 0 karakteristik denkleminin köklerinin hiçbiri sıfıra eşit olmadığından (k1 = k2 = 1), A ve B'nin bilinmeyen katsayılar olduğu formda özel bir çözüm ararız. İki kere türev alıp bu denklemde " ve " yerine -2A + Ax + B = x + 1 buluruz.
Eşitliğin her iki tarafında x'in aynı kuvvetleri için katsayıları eşitlersek: A = 1, –2A + B = 1, A = 1, B = 3'ü buluruz. verilen denklem= x + 3 biçimindedir ve genel çözümü y = ex (C1 + C2x) + x + Z'dir.
2) Sağ taraf f(x) = eax Pn(x) formundadır; burada Рn(x), n dereceli bir polinomdur. Daha sonra, Qn(x)'in Pn(x) ile aynı derecede bir polinom olduğu ve r'nin, karakteristik denklemin a'ya eşit kök sayısı olduğu formda özel bir çözüm aranmalıdır. Eğer a = 0 ise f(x) = Pn (x), yani 1. durum meydana gelir.
Sabit katsayılı LOD.
Diferansiyel denklemi düşünün
gerçek sabitler nerede.
Denklem (8)'e genel bir çözüm bulmak için bunu yapıyoruz. Denklem (8) için karakteristik denklemi oluşturuyoruz: (9)
Denklemin (9) kökleri olsun ve aralarında katlar olabilir. Aşağıdaki durumlar mümkündür:
a) - gerçek ve farklı. Homojen denklemin genel çözümü;
b) karakteristik denklemin kökleri gerçektir, ancak aralarında katlar vardır, yani. o zaman genel çözüm şu olur
c) Karakteristik denklemin kökleri karmaşıksa (k=a±bi), genel çözüm şu şekildedir:
Genel yapı 2. dereceden LDE'ye çözümler
Doğrusal homojen diferansiyel denklemi düşünün
+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.
Bu denklemin bir aralıktaki genel çözümü, n keyfi sabit C1,..., Cn'ye bağlı olan ve aşağıdakileri sağlayan y = Φ(x, C1,..., Cn) fonksiyonudur. aşağıdaki koşullar:
− herhangi biri için kabul edilebilir değerler C1,..., Cn sabitlerinin y = Φ(x, C1,..., Cn) fonksiyonu üzerindeki denklemin bir çözümüdür;
− (x0, y0, ) , x0∈ başlangıç noktası ne olursa olsun, y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) fonksiyonunu sağlayacak şekilde C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 değerleri vardır başlangıç koşulları y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .
Doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklem için N- ilk sipariş
sen(N) + A 1(X)sen(N- 1) + ... + BİR- 1 (X) sen" + BİR(X)sen = f(x),
Nerede sen = sen(X) - bilinmeyen fonksiyon, A 1(X),A 2(X), ..., BİR- 1(X), BİR(X), F(X) - bilinen, sürekli, adil:
1) eğer sen 1(X) Ve sen 2(X) homojen olmayan bir denklemin iki çözümü ise, o zaman fonksiyon
sen(X) = sen 1(X) - sen 2(X) - karşılık gelen homojen denklemin çözümü;
2) eğer sen 1(X) homojen olmayan bir denklemin çözümü ve sen 2(X) karşılık gelen homojen denklemin çözümüdür, o zaman fonksiyon
sen(X) = sen 1(X) + sen 2(X) - homojen olmayan bir denklemin çözümü;
3) eğer sen 1(X), sen 2(X), ..., ay(X) - N doğrusal bağımsız kararlar homojen denklem ve evet(X) - keyfi karar homojen olmayan denklem,
o zaman herhangi biri için başlangıç değerleri
X 0, sen 0, sen 0,1, ..., sen 0,N- 1
İfade
sen(X)=C 1 sen 1(X) + C 2 sen 2(X) + ... + cn yn(X) +evet(X)
isminde genel karar doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem N-inci sipariş.
Formun sağ tarafında sabit katsayılı homojen olmayan diferansiyel denklemlerin kısmi çözümlerini bulmak için:
Pk(X)exp(a X)çünkü( bx) + S M(X)exp(a X)günah( bx),
Nerede Pk(X), Q M(X) - derece polinomları k Ve M Buna göre, belirli bir çözümü oluşturmak için basit bir algoritma vardır. seçim yöntemi.
Seçim yöntemi veya belirlenemeyen katsayılar yöntemi aşağıdaki gibidir.
Denklemin gerekli çözümü şu şekilde yazılır:
(PR(X)exp(a X)çünkü( bx) + Qr(X)exp(a X)günah( bx))xs,
Nerede PR(X), Qr(X) - derece polinomları R= maksimum( k, M) İle bilinmiyor katsayılar
halkla ilişkiler , pr- 1, ..., P 1, P 0, QR, QR- 1, ..., Q 1, Q 0.
Böylece, Sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulmak için,
karşılık gelen homojen denklemin genel çözümünü bulun (karakteristik denklemi yazın, karakteristik denklemin tüm köklerini bulun ben 1, ben 2, ... , içinde, temel çözüm sistemini yazın sen 1(X), sen 2(X), ..., ay(X));
homojen olmayan denklemin herhangi bir özel çözümünü bulun evet(X);
Genel çözümün ifadesini yazın
sen(X)=C 1 sen 1(X) + C 2 sen 2(X) + ... + cn yn(X) + evet(X);
Özel sağ tarafı olan sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemler. Belirsiz katsayılar yöntemi.
Formun diferansiyel denklemi (1)
burada f, sabit katsayılı, n'inci dereceden doğrusal diferansiyel denklem olarak adlandırılan bilinen bir fonksiyondur. Eğer öyleyse, o zaman denklem (1) homojen, aksi takdirde - homojen olmayan olarak adlandırılır.
Sabit katsayılı ve özel bir formun sağ tarafı olan, yani fonksiyonların toplamları ve çarpımlarından oluşan doğrusal homojen olmayan denklemler için belirsiz katsayılar yöntemiyle özel bir çözüm aranabilir. Özel çözümün türü karakteristik denklemin köklerine bağlıdır. Aşağıda, özel bir sağ tarafı olan doğrusal homojen olmayan bir denklemin kısmi çözüm türlerinin bir tablosu bulunmaktadır.
Karmaşık düzlem. Karmaşık bir sayının modülü ve argümanı. Argümanın ana anlamı. Geometrik anlam
Karmaşık sayılar şu şekilde yazılır: a+bi. Burada a ve b gerçel sayılardır ve i ise hayali birim yani ben 2 = –1. a sayısına apsis denir ve b, a+bi karmaşık sayısının ordinatıdır. a+bi ve a-bi olmak üzere iki karmaşık sayıya eşlenik karmaşık sayılar denir.
Geometrik gösterim karmaşık sayılar. Gerçek sayılar sayı doğrusu üzerindeki noktalarla temsil edilir:
Burada A noktası –3 sayısını, B noktası 2 sayısını ve O noktası sıfırı temsil etmektedir. Bunun tersine, karmaşık sayılar noktalarla temsil edilir. koordinat düzlemi. Bu amaçla her iki eksende aynı ölçeklere sahip dikdörtgen (Kartezyen) koordinatları seçiyoruz. Daha sonra karmaşık sayı a+bi apsis a ve ordinat b ile P noktası ile temsil edilecektir (şekle bakınız). Bu koordinat sistemine karmaşık düzlem denir.
Bir karmaşık sayının modülü, koordinat (karmaşık) düzleminde bir karmaşık sayıyı temsil eden OP vektörünün uzunluğudur. a+ bi karmaşık sayısının modülü | a+ bi | veya r harfi ve şuna eşittir:
Eşlenik karmaşık sayılar aynı modüle sahiptir. __
Karmaşık bir sayının argümanı, OX ekseni ile bu karmaşık sayıyı temsil eden OP vektörü arasındaki açıdır. Dolayısıyla tan = b/a.
