Elektrik yükünün korunumu kanunu. Potansiyel ve alan gücü arasındaki ilişki

Yerine koyarsak şunu elde ederiz:

İçin sürekli dağıtım benzer:

Nerede V- yüklerin bulunduğu uzay bölgesi (sıfır olmayan yük yoğunluğu) veya uzayın tamamı, - hesapladığımız noktanın yarıçap vektörü, - bölgenin tüm noktalarından geçen kaynağın yarıçap vektörü ^V entegre ederken, dV- hacim unsuru.

Uzayın herhangi bir noktasında şiddeti ve şiddeti aynı olan elektrik alanına denir. düzgün elektrik alanı .

Zıt yüklü iki düz metal plaka arasındaki elektrik alanı yaklaşık olarak aynıdır. Düzgün bir elektrik alanındaki gerilim çizgileri birbirine paraleldir

Şu tarihte: üniforma dağıtımı elektrik şarjı Q alanın yüzeyi üzerinde S yüzey yoğunluğu yük sabit ve eşittir

4.Potansiyel elektrostat alanlar. Eşpotansiyel yüzey Hemen donatın. yüzey

Elektrostatik alan, seçilen referans çerçevesinde sabit olan yüklerin elektrik alanıdır. Temel özellikleri elektrostatik alan gerilim ve potansiyeldir. El.stat'ın herhangi bir noktasındaki potansiyel. alanlar var fiziksel miktar potansiyel enerji ile belirlenir pozitif yük, bu noktaya yerleştirildi.

İki nokta arasındaki potansiyel fark, birim pozitif yükün 1. noktadan 2. noktaya taşınması sırasında yapılan işe eşittir.

Uzayda sonsuz uzaklıktaki bir noktanın potansiyelini sıfır potansiyel olarak almak çoğu zaman uygundur. Potansiyel– elektrostatik alanın enerji karakteristiği. Sıfır seviye ise potansiyel enerji yük sistemi koşullu olarak sonsuzlukta seçilirse, ifade, tek bir pozitif yükü sonsuzluktan dikkate alınan B noktasına taşımak için bir dış kuvvetin çalışmasını temsil eder: ;

Her noktasında potansiyel bulunan bir yüzey Elektrik alanı Var aynı değerler, eşpotansiyel yüzey olarak adlandırılır.

Eşpotansiyel yüzey üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki potansiyel fark sıfırdır, dolayısıyla eşpotansiyel yüzey boyunca bir yükün herhangi bir hareketi için elektrik alan kuvvetlerinin yaptığı iş sıfırdır. Bu, eş potansiyel yüzey boyunca yükün yörüngesindeki herhangi bir noktada kuvvet vektörü Fe'nin hız vektörüne dik olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, elektrostatik alan kuvveti çizgileri eşpotansiyel yüzeye diktir.

Potansiyel, koordinatların (x, y, z) bir fonksiyonu olarak verilirse, eş potansiyel yüzeyin denklemi şu şekilde olur:

φ(x, y, z) = sabit

Bir nokta elektrik yükünün alanının eşpotansiyel yüzeyleri, merkezinde yükün bulunduğu kürelerdir. Düzgün bir elektrik alanının eşpotansiyel yüzeyleri, gerilim çizgilerine dik olan düzlemlerdir.

5. Gerilim ve potansiyel arasındaki ilişki. Bir nokta yükünün alan potansiyelleri ve üretimi. şarj bedenler. Güçlü. düzgün alan.

Güç karakteristiği olan elektrostatik alanın yoğunluğu ile potansiyel arasındaki ilişkiyi bulalım - enerji özellikleri alanlar.

Noktaların birbirine sonsuz yakın olması koşuluyla, tek noktalı bir pozitif yükün x ekseni boyunca bir noktadan diğerine hareket ettirilmesi işi A = Exdxq0'a eşittir. Aynı iş eşittir A=(1-2)q0=-d Her iki ifadeyi de eşitlersek şunu yazabiliriz:

Örn=-d/dx. Benzer şekilde Ey=-д/дy, Ez=-д/z. Bu nedenle E= Exi+ Eyj+ Ezk, burada i, j, k - birim vektörleri koordinat eksenleri x, y, z. Daha sonra yani alan gücü E, eksi işaretli potansiyel gradyana eşittir. Eksi işareti, alan kuvveti vektörü E'nin azalan potansiyel yönünde yönlendirilmesiyle belirlenir.

Elektrostatik alan potansiyelinin dağılımını grafiksel olarak göstermek için, sıfır yerçekimi durumunda olduğu gibi, eş potansiyel yüzeyler kullanılır - tüm noktalarda potansiyel  aynı değere sahip olan yüzeyler.

Eğer alan bir nokta yük tarafından yaratılmışsa, o zaman potansiyeli =(1/40)Q/r'ye göre olur. Böylece eşpotansiyel yüzeyler bu durumda- eşmerkezli küreler.

Öte yandan, noktasal yük durumunda gerilim çizgileri radyal düz çizgilerdir. Sonuç olarak noktasal yük durumunda gerilim çizgileri eşpotansiyel yüzeylere diktir.

^ Nokta yük alanı potansiyeli Q homojen izotropik bir ortamda dielektrik sabiti  :

Düzgün alan potansiyeli:
φ = W p / q = -E x x + C
Belirli bir noktadaki potansiyel değer seçime bağlıdır sıfır seviye Potansiyeli ölçmek için. Bu seviye keyfi olarak seçilir.

6. Elektrostat kuvvetlerinin çalışması. Nokta ücreti aktarımı için alanlar. Sirkülasyon ve rotor elektrostatı. Alanlar

Bir nokta elektrik yükü qpr'yi elektrostatik alanın bir noktasından dl yol parçası üzerinde başka bir noktaya hareket ettirirken F kuvveti tarafından yapılan temel iş, tanımı gereği şuna eşittir:

kuvvet vektörü F ile hareket yönü dl arasındaki açı nerede? Eğer iş dış kuvvetler tarafından yapılıyorsa dA=0 olur. Son ifadenin integralini alırsak, bir test yükü qpr'yi "a" noktasından "b" noktasına hareket ettirirken alan kuvvetlerine karşı yapılan işin şuna eşit olacağını elde ederiz:

Nerede - Coulomb kuvveti, alanın her noktasında E yoğunluğuna sahip test yükü qpr'ye etki ediyor. Daha sonra iş...

Bir yükün q yük alanında, q'dan uzaktaki “a” noktasından, q'dan uzaktaki “b” noktasına hareket etmesine izin verin (Şekil 1.12).

Şekilden de görülebileceği gibi, o zaman şunu elde ederiz:

Yukarıda bahsedildiği gibi elektrostatik alan kuvvetlerinin çalışması dış kuvvetler, büyüklük olarak eşit ve dış kuvvetlerin işine zıt işaretlidir, bu nedenle

Herhangi bir kapalı devre boyunca elektrostatik kuvvetlerin işi sıfırdır. onlar. Elektrostatik alanın herhangi bir devre boyunca dolaşımı sıfırdır. Herhangi bir yüzeyi alalım S, kontur bazında G.

Stokes teoremine göre: bu herhangi bir yüzey için olduğundan

Bir kimlik var: . onlar. Güç hatları Elektrostatik alanlar uzayda dolaşmaz.

7. E(r) vektör alanı için Gauss t-ma. uyuşmazlık Elektrostat. Alanlar. Potansiyel için Ur-e Poisson. Elektrostat. Alanlar

^ Gauss'un teoremi- elektrik alanlarını hesaplamak için kullanılan elektrodinamiğin temel teoremi. Elektrik alan kuvvetinin kapalı bir yüzeyden akışı ile bu yüzey tarafından sınırlanan hacimdeki yük arasındaki ilişkiyi ifade eder.

Elektrik alan kuvveti vektörünün keyfi olarak seçilen herhangi bir kapalı yüzeyden akışı, bu yüzeyin içerdiği elektrik yüküyle orantılıdır. Gauss teoremi için süperpozisyon ilkesi geçerlidir, yani yoğunluk vektörünün yüzeyden akışı yüzey içindeki yük dağılımına bağlı değildir.

Elektrostatik alan şiddeti vektörü için Gauss teoremi diferansiyel biçimde de formüle edilebilir. Aslında, koordinatların orijininde bulunan bir nokta elektrik yükünün alanını düşünün: Aşağıdaki ilişkiden

Elektrik yükünün bulunmadığı bir gözlem noktası için aşağıdaki ilişkinin geçerli olduğunu kontrol etmek kolaydır: (1.55) Matematiksel operasyon ilişkinin sol tarafında (1.55) vardır özel isim"uyuşmazlık Vektör alanı ve özel atama

Poisson denklemi- diğer şeylerin yanı sıra elektrostatik alanı tanımlayan eliptik kısmi diferansiyel denklem. Bu denklem şuna benzer:

burada Δ Laplace operatörü veya Laplace operatörüdür ve F- geçerli veya karmaşık fonksiyon bazı çeşitliliklerde.

Üç boyutlu Kartezyen sistem koordinatlar denklem şu formu alır:

Kartezyen koordinat sisteminde Laplace operatörü şu şekilde yazılır ve Poisson denklemi şu şekli alır: F sıfıra yaklaşırsa Poisson denklemi Laplace denklemine dönüşür: nerede Ф - elektrostatik potansiyel, hacimsel yük yoğunluğudur ve vakumun dielektrik sabitidir.

Eşlenmemiş yük yoğunluğunun olmadığı uzay bölgesinde: =0 elde ederiz ve potansiyel denklemi Laplace denklemine dönüşür:

Elektrostatik alan, uzayda sabit olan ve zamanla değişmeyen (elektrik akımlarının yokluğunda) elektrik yükleri tarafından oluşturulan bir alandır.

Uzayda yüklü cisimlerden oluşan bir sistem varsa, bu uzayın her noktasında bir kuvvet elektrik alanı vardır. Bu alana yerleştirilen bir test yüküne etki eden kuvvet aracılığıyla belirlenir. Elektrostatik alanın özelliklerini etkilemeyecek şekilde test yükü küçük olmalıdır.

Süperpozisyon ilkesi nedeniyle tüm yük kümesinin potansiyeli toplamına eşit Alanın belirli bir noktasında her bir yükün ayrı ayrı yarattığı potansiyeller: *

Bu miktara şarj sisteminin elektrik dipol momenti denir.

^ Elektrik dipol momenti ya da sadece dipol momenti yük sistemi q i, yüklerin büyüklükleri ile yarıçap vektörlerinin çarpımlarının toplamıdır.

Genellikle dipol momenti ile gösterilir Latince harf d veya Latin harfi p.

Nötr sistemleri incelerken dipol momenti fizikte son derece önemlidir. Bir elektrik alanının nötr bir yük sistemi üzerindeki etkisi ve nötr bir sistem tarafından oluşturulan elektrik alanı, öncelikle dipol momenti tarafından belirlenir. Bu özellikle atomlar ve moleküller için geçerlidir.

Sıfır olmayan dipol momentine sahip nötr yük sistemlerine denir dipoller.

Özellikler: Yukarıda tanımlanan toplam dipol momenti referans çerçevesine bağlıdır. Ancak nötr bir sistem için tüm yüklerin toplamı sıfırdır, dolayısıyla referans çerçevesine bağımlılık ortadan kalkar.

Dipolün kendisi iki özdeş parçadan oluşur mutlak değer, ancak birbirlerinden belirli bir r uzaklıkta bulunan + q ve -q yüklerinin yönleri terstir. Dipol momenti mutlak değer olarak qr'ye eşit olur ve pozitif yükten negatif yüke doğru yönlendirilir. Yoğunluğa sahip sürekli bir yük dağılımı durumunda, dipol momenti integral alınarak belirlenir.

9. Harici elektrostattaki dipol. Alan. Dipol üzerine etki eden kuvvetin momenti, potansiyel. Düzgün bir alanda dipol enerjisi.

Bir elektrik dipolü, iki eşit boyutlu zıt nokta yükünden oluşan bir sistemdir ve aralarındaki mesafe, sistem alanının belirlendiği noktalara olan mesafeden önemli ölçüde daha azdır. Her iki yükten geçen düz çizgiye dipol ekseni denir. Süperpozisyon ilkesine uygun olarak, bir A noktasındaki alan potansiyeli şuna eşittir: .

Bir elektrik alanına bir dipol yerleştirelim. Dipolün yönünün yoğunluk vektörünün yönü ile belirli bir açı yapmasına izin verin. Negatif bir yük, alana doğru yönlendirilen bir kuvvet tarafından etki edilir ve pozitif bir yük, alan boyunca yönlendirilen bir kuvvet tarafından etki eder. Bu kuvvetler oluşur birkaç kuvvet torklu: V vektör formu:

^ Düzgün bir dış alandaki bir dipol, bir torkun etkisi altında döner öyle ki, dipolün pozitif yüküne etki eden kuvvet, dipolün vektörü ve ekseni ile aynı doğrultuda olacaktır. Bu hüküm aşağıdakilere karşılık gelir:

10. Elektrostattaki dielektrikler. Alan. Polarizasyon vektörleri ve e. Ofsetler. Diel. Alıcı Ve anlayışlı. Çarşambaları. Aralarındaki bağlantı.

Dielektrikler neredeyse hiç serbest yük taşıyıcısı olmayan maddelerdir. Bu nedenle akımı iletmezler, yükler aktarılmaz, kutuplanırlar. dielektrikler maddelerdir moleküler yapı, yüklerinin içteki bağlanma kuvvetleri daha fazla güç dış alan ve moleküllerin içinde bağlı, kapalı ve dış alan tarafından yalnızca kısmen kaydırılarak kutuplaşmaya neden oluyorlar.

Harici bir elektrostatik alanın varlığında dielektrik moleküller deforme olur. Pozitif bir yük dış alan yönünde, negatif bir yük ise dış alan yönünde kaydırılır. ters yön, bir dipol oluşturan - bağlı bir yük. Dielektriklerde dipol molekülleri, harici bir alanın etkisi altındaki elektrik momentleri kısmen alan yönünde yönlendirilir. Çoğu dielektrik için, polarizasyon vektörünün yönü, dış alan kuvveti vektörünün yönü ile çakışır ve polarize yük kuvveti vektörünün yönü, dış alan kuvveti vektörünün yönünün tersidir (+'dan + Qİle - Q).

Polarizasyon vektörü tarafından karar verildi geometrik toplam Birim hacim başına dipollerin elektriksel momentleri. Çoğu dielektrik için burada k bağıl dielektrik duyarlılığıdır.

Elektrik hesaplamalarında da kullanılır vektör elektriksel yer değiştirme(indüksiyon):,burada. Vektör hem serbest hem de sınırlı yüklere bağlıdır.

Dielektrik sabiti ortam ε, bir ortamdaki iki elektrik yükü arasındaki etkileşim kuvvetinin, boşluktakinden kaç kat daha az olduğunu gösterir. Dielektrik duyarlılığı (polarize edilebilirlik) madde - fiziksel bir miktar, bir maddenin bir elektrik alanının etkisi altında polarize olma yeteneğinin bir ölçüsü. Polarize edilebilirlik dielektrik sabiti ε oranıyla ilgilidir: , veya.

11. İntegral olarak P(r) ve D(r) vektör alanları için Gauss yöntemleri. Ve kesinlikle. Formlar

Vektör için Gauss teoremi: Polarizasyon vektörünün kapalı bir yüzeyden akısı, buradan alınana eşittir zıt işaret yüzeyin kapladığı hacimde dielektrikin aşırı bağlı yükü.

Diferansiyel form: Polarizasyon vektörünün sapması, aynı noktada zıt işaretle alınan aşırı bağlı yükün hacim yoğunluğuna eşittir.

Alanın kaynaklarının olduğu noktalar (alan çizgilerinin birbirinden ayrıldığı) ve bunun tersi, alanın yutaklarının olduğu noktalar.

Yoğunluk; , Ne zaman:

1) - dielektrik homojen değildir; 2) - alan düzgün değil.

Homojen bir izotropik dielektrik polarize olduğunda, yalnızca yüzeye bağlı yükler görünür, ancak hacim yükleri görülmez.

^ D vektörü için Gauss teoremi

Elektrik yer değiştirme vektörü D'nin kapalı bir S yüzeyinden akısı şuna eşittir: cebirsel toplam bu yüzeyle sınırlı hacimde bulunan serbest yükler, yani (1)

Koordinatlara bağlı değilse ( izotropik ortam), O

Denklem (1)'den, yük kapalı bir yüzeyle sınırlanan hacmin dışında bulunduğunda şu sonuç çıkar: S, D vektörünün S yüzeyinden akışı sıfıra eşit.

Gauss-Ostrogradsky teoremini (1)'in sol tarafına uygulayarak ve ifade ederek Q hacimsel yük yoğunluğu p aracılığıyla şunları elde ederiz:

Hacim keyfi olarak seçildiğinden, integraller eşittir:

Diferansiyel form Gauss-Ostrogradsky teoremi (2-78), elektrik yer değiştirme vektörünün kaynaklarının elektrik yükleri olduğunu belirtir. P=0 olan uzay alanlarında, elektrik yer değiştirme vektörünün kaynakları yoktur ve bu nedenle div D=0 olduğundan alan çizgilerinde kesinti yoktur. Koordinatlara bağlı olmayan mutlak dielektrik sabiti olan ortamlar için şunu yazabiliriz:

Metal iletkenler serbest yük taşıyıcıları içerir - iletim elektronları ( serbest elektronlar), harici bir elektrik alanının etkisi altında tüm iletken boyunca hareket edebilen. Harici bir alanın yokluğunda, iletim elektronlarının elektrik alanları ve pozitif iyonlar metaller karşılıklı olarak telafi edilir. Bir metal iletken harici bir elektrostatik alana sokulursa, bu alanın etkisi altında iletim elektronları, iletkenin içindeki herhangi bir noktada iletken elektronların ve pozitif iyonların elektrik alanı, iletkenliği telafi edecek şekilde iletken içinde yeniden dağıtılır. dış alan.

^ Elektrostatik indüksiyon olgusu harici bir elektrostatik alanın etkisi altında bir iletkendeki yüklerin yeniden dağıtılmasına denir. Bu durumda, iletken üzerinde sayısal olarak birbirine eşit, ancak işaret kaynaklı (indüklenen) yüklerde zıt yükler belirir ve iletken elektrik alanından çıkarıldığı anda kaybolur.

İletkenin içinde E=-grad phi=0 olduğundan potansiyel şu şekilde olacaktır: sabit değer. Telafi edilmemiş yükler bir iletkenin yalnızca yüzeyinde bulunur.

nötr bir iletkeni harici bir alana yerleştirirken ücretsiz masraflar hareket etmeye başlayacak: pozitif olanlar - saha boyunca ve negatif olanlar - sahaya karşı. İletkenin bir ucunda fazla pozitif yük, diğer ucunda ise negatif yük olacaktır. Son olarak iletkenin içindeki alan kuvveti sıfır olacak ve iletkenin dışındaki alan kuvveti çizgileri iletkenin yüzeyine dik olacaktır.

• 
  ^ Tek bir iletkenin elektriksel kapasitesi.

top için yarıçap R

• 
  Kapasitörler.

Paralel bağlı devrelerde potansiyel fark aynıdır; seri bağlı devrelerde tüm plakaların yükleri eşittir.

14. Yüklü bir kapasitörün enerjisi. Elektrostatik alanın enerji ve enerji yoğunluğu.

Herhangi bir yüklü iletken gibi, bir kapasitör de şuna eşit enerjiye sahiptir:

W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (1) burada Q kapasitörün yükü, C kapasitesi,  plakalar arasındaki potansiyel farktır.

(1) ifadesini kullanarak şunları bulabilirsiniz: mekanik kuvvet kapasitör plakalarının birbirini çektiği yer. Bunu yapmak için, plakalar arasındaki x mesafesinin örneğin Ax değeri kadar değiştiğini varsayalım. Daha sonra etkili kuvvet sistemin potansiyel enerjisindeki azalma nedeniyle dA=Fdx işi yapar

Fdx=-dW, dolayısıyla F=dW/dx. (2)

Farklılaştırarak özel anlam enerji gerekli kuvveti bulacağız:

burada eksi işareti F kuvvetinin çekici bir kuvvet olduğunu gösterir.

^ Elektrostatik alan enerjisi.

Enerjiyi ifade eden formül (1)'i dönüştürelim. düz kapasitör Düz bir kapasitörün kapasitansı (C = 0/d) ve plakaları arasındaki potansiyel farkı ( =Ed) ifadesini kullanarak yükler ve potansiyeller aracılığıyla. Sonra alırız

burada V=Sd kapasitörün hacmidir. Bu f-la, kapasitörün enerjisinin elektrostatik alanı karakterize eden bir miktar - yoğunluk E - aracılığıyla ifade edildiğini gösterir.

Elektrostatik alanın hacimsel enerji yoğunluğu(birim hacim başına enerji)

w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95.8)

İfade (95.8) yalnızca izotropik bir dielektrik için geçerlidir;

P=0E ilişkisi sağlanır.

Formül (1) ve (95.7) sırasıyla kapasitörün enerjisini plakalarındaki yük ve alan kuvveti ile ilişkilendirir.

• 
  Elektromanyetik alan - tensör elektromanyetik alan.
• 
  ^ Manyetik indüksiyon vektörü.

Düzgün bir manyetik alanın manyetik indüksiyonu, mıknatıslı çerçeveye etki eden maksimum tork ile belirlenir. an bire eşit Normal, alan yönüne dik olduğunda.

^ Manyetik alanların üst üste binmesi ilkesi : Akımlı birkaç iletken tarafından bir manyetik alan oluşturulursa, bu alanın herhangi bir noktasındaki manyetik indüksiyon vektörü, vektör toplamına eşittir. manyetik indüksiyon bu noktada her akım tarafından ayrı ayrı oluşturulur:

• 
  Lorentz kuvveti.

Lorentz kuvvet modülü ürüne eşit yüklü parçacığın bulunduğu manyetik alan indüksiyon modülü B(vektör), bu parçacığın yükünün modülü q, hızı υ ve hız yönleri ile manyetik alan indüksiyon vektörü arasındaki açının sinüsü. Lorentz kuvveti parçacığın hız vektörüne diktir, hız değerini değiştiremez, sadece yönünü değiştirir ve dolayısıyla iş yapmaz.

^ Yüklü parçacıkların manyetik alanda hareketi.

Yüklü bir parçacık manyetik alana doğru hareket ederse. alan B vektörüne dik ise Lorentz kuvvetinin büyüklüğü sabittir ve parçacığın yörüngesine normaldir.

^ Elektrik yüklü parçacıkların bir iletken içindeki düzenli hareketidir. Ortaya çıkması için, önce yukarıda belirtilen yüklü parçacıkların etkisi altında hareket etmeye başlayacağı bir elektrik alanı yaratılmalıdır.

^ Ohm Yasası-Devrenin homojen bir bölümündeki akım gücü, bölüme uygulanan voltajla doğru orantılı, ters orantılıdır. elektrik direnci bu alan.

Akım gücü, içinden geçen Δq yükünün oranıyla belirlenen skaler bir fiziksel niceliktir. enine kesit Belirli bir Δt süresi boyunca iletken bu süreye kadar.

Aynı derecede ilginç olan ve daha az önemli olmayan başka koşullar altında ortaya çıkan dipol alanıdır. bir bedene sahip olalım karmaşık dağıtımörneğin bir su molekülününki gibi bir yük (bkz. Şekil 6.2) ve biz yalnızca ondan uzaktaki alanla ilgileniyoruz. Cisim boyutlarından çok daha büyük mesafelere uygun, alanlar için nispeten basit bir ifade elde etmenin mümkün olduğunu göstereceğiz.

Bu cisme sınırlı bir alanda nokta yüklerin birikmesi olarak bakabiliriz (Şekil 6.7). (Daha sonra gerekirse ile değiştireceğiz.) Yükün, yük grubu içinde bir yerden seçilen koordinatların başlangıç ​​noktasından belirli bir mesafe kadar uzaklaştırılmasına izin verin. Uzakta bir yerde, en büyüğünden çok daha uzakta bulunan bir noktadaki potansiyel nedir? Tüm kümemizin potansiyeli şu formülle ifade edilir:

, (6.21)

yüke olan mesafe nerede (vektör uzunluğu). Yüklerin (gözlem noktasına) uzaklığı çok büyükse, her biri şu şekilde alınabilir: Toplamdaki her terim eşit olacak ve toplam işaretinin altından çıkarılabilir. Sonuç basit

, (6.22)

vücudun toplam yükü nerede. Böylece, yüklerin birikmesinden yeterince uzaktaki noktalardan bakıldığında bunun sadece bir nokta yük gibi göründüğüne inanıyoruz. Bu sonuç genellikle çok şaşırtıcı değildir.

Şekil 6.7. Bir yük grubundan çok uzak bir noktadaki potansiyelin hesaplanması.

Peki ya grupta eşit sayıda pozitif ve negatif yük varsa? Bu durumda toplam ücret sıfır olacaktır. Bu o kadar da nadir bir durum değil; çoğu bedenin nötr olduğunu biliyoruz. Su molekülü nötrdür ancak içindeki yükler tek bir noktada bulunmaz, dolayısıyla yaklaştığımızda yüklerin ayrıldığına dair bazı işaretler fark etmeliyiz. Nötr bir cisimdeki keyfi yük dağılımı potansiyeli için (6.22) formülüyle verilenden daha iyi bir yaklaşıma ihtiyacımız var. Denklem (6.21) hala geçerlidir ancak artık varsayılamaz. Daha kesin bir ifadeye ihtiyaç var. İyi bir yaklaşımla, bir vektörün bir vektör üzerine izdüşümünden (nokta çok uzaksa) farklı olduğu düşünülebilir (bkz. Şekil 6.7, ancak gösterilenden çok daha uzakta olduğunu hayal etmelisiniz). Başka bir deyişle, eğer yönde bir birim vektör ise, o zaman bir sonraki yaklaşım alınmalıdır.

Ama ihtiyacımız olan şey değil; bizim yaklaşımımızda ( dikkate alınarak ) şuna eşittir:

(6.24)

Bunu (6.21)'de yerine koyarsak, potansiyelin şuna eşit olduğunu görürüz:

(6.25)

Üç nokta üyeleri gösterir yüksek mertebeden bunu ihmal ettik. Yazdığımız terimler gibi bunlar da Taylor serisinin üsler komşuluğundaki açılımının sonraki terimleridir.

(6.25)'teki ilk terimi zaten elde etmiştik; nötr cisimlerde kaybolur. İkinci terim, bir dipolünki gibi, bağlıdır. Aslında tanımlarsak

yük dağılımlarını tanımlayan bir miktar olarak, potansiyelin ikinci terimi (6,25) şuna dönüşür:

yani tam da dipol potansiyeli. Bu miktara dağılımın dipol momenti denir. Bu daha önceki tanımımızın bir genellemesidir; nokta yüklerinin özel durumunda bu değere düşer.

Sonuç olarak, herhangi bir yük kümesinden yeterince uzakta, bu küme genellikle nötr olduğu sürece potansiyelin dipol olduğunu bulduk. arttıkça azalır ve değişir ve değeri yük dağılımının dipol momentine bağlıdır. Bu nedenle dipol alanları önemlidir; nokta yük çiftleri son derece nadirdir.

Örneğin bir su molekülünün oldukça büyük bir dipol momenti vardır. Bu anın yarattığı elektrik alanı bazı durumlardan sorumludur. önemli özellikler su. Ve birçok molekül için, örneğin, simetri nedeniyle dipol momenti kaybolur. Bu tür moleküller için ayrışmanın, dört kutuplu potansiyel olarak adlandırılan azalan potansiyelin sonraki terimlerine kadar daha kesin bir şekilde gerçekleştirilmesi gerekir. Bu vakaları daha sonra ele alacağız.

İÇİNDE gerçek sorunlar Fizik çalışma sürecinde veya teknik ve teknolojik uygulamada karşılaşılabilecek olan, ayrık nokta yükleri içeren basitleştirilmiş bir resim genellikle gerçekleştirilmez. Her molekül, negatif yüklerle (elektronlarla) çevrelenmiş pozitif yüklü çekirdeklere sahip atomlardan oluşur. Sonuç olarak, sistemin toplam ücreti bir dizi nokta ücretle değil, işlev p(t) (elektrostatikte zamana bağımlılık dikkate alınmaz) yük yoğunluğu dağılımları. Bu fonksiyon, söz konusu noktayı çevreleyen sonsuz küçük hacimdeki yükü belirler

p(r) kullanılarak sistemin toplam yükü şu şekilde belirlenir:

Pirinç. 5.20.

Yük yoğunluğu dağıtım fonksiyonu çok önemli karakteristikşarj sistemleri, çünkü bu işlevi bilerek şarj sistemlerinin özelliklerini hesaplayabilirsiniz.

Yaratılan alanı düşünün keyfi sistem p(r) fonksiyonuyla tanımlanan, yüklü bir cisim üzerinde sürekli olarak dağıtılan elektrik yükleri (Şekil 5.20).

Bir noktada kendimize bu sistemin alanını hesaplama görevini koyalım. A, yeterince uzun mesafe (g >> g") seçilen şarj sisteminden. Koordinat sisteminin eksenini yönlendirelim Oz noktada başlangıç ​​noktası ile HAKKINDA yani asıl nokta A bu eksen üzerinde yer aldığı ortaya çıktı. Bir noktada elektrik potansiyeli A alanların üst üste binmesi ilkesine göre toplama

tüm masraflardan katkı paylarının azaltılması d q = p(r)dF" = = p(x", y", z")dV, bir alan yaratmak, yani (SI'de)

Nerede G - yarıçap vektör modülü G puan A, B potansiyelin hesaplandığı; G"- fonksiyon argümanı

yük dağıtımı; R=|ben| = İyi oyun", onlar. hacim elemanından uzaklık d V, d yükünün yoğunlaştığı yer Q diyeceğim şey şu ki A. Entegrasyon hacim (veya koordinatlar) üzerinden gerçekleştirilir. G") bölge genelinde V, d ücretleri içeren Q. Vektörler arasındaki açıyı 0 olarak gösterelim

r ve r" ve kosinüs teoremi ile bunu dikkate alın R=(r 2 + + r" 2 - 2/r"cos 0) 1/2. Daha sonra integral (5.54) şeklinde yeniden yazılacaktır.

5.1. Elektrostatik alan 369

(5.56)'daki integral terimlerinin her birinin değeri, sistemdeki yüklerin dağılımının özelliklerine bağlıdır (yani, p (r")'ye). Hesaplandıktan sonra sayılarla temsil edilirler. tamam, k Ve 2'ye, sırasıyla ve fl'nin bağımlılığı G toplamı ile temsil edilebilir

Miktarları İle" isminde sistemin elektriksel momentleri(genişleme devam ederse birinci, ikinci, üçüncü vb. siparişler). Parantez içindeki terimleri (5.57) analiz edelim.

Büyüklük 0'a integral tarafından belirlenir

ve koordinatların orijininde yoğunlaşan sistemin toplam yükünü temsil eder (nokta HAKKINDA incirde. 5.20). O aradı tekel anı(ya da sadece tekel). Doğal olarak elektriksel olarak nötr bir sistem için 0'a = 0.

Miktarları İle Ve 2'ye, Farklı 0'a, yük dağılımının şekline bağlıdır. Katsayı İle ortalamayı temsil eder Bir yük sisteminin elektrik dipol momenti

r"cos 0 değeri d elemanının koordinatı olduğundan V eksende Oz,şekline dönüştü kx pozitif ve göreceli yer değiştirmeyi karakterize eder negatif masraflar p(r")dV" bu eksen boyunca. Aslında iki farklı yükten oluşan bir sistem hayal edersek ±q noktalarda (0, 0, z) ve (0, 0, - z)İle z= -/, burada / mesafedir

yükler arasında r"cosQ = ±-/ değeri çıkarılabilir

integralin işareti için (5.59). Daha sonra geri kalan Jp(r")dF" ifadesi şu hale gelir: yüke eşit Q, ve tüm katsayı kb eşit lq=p, yönünde yönlendirilmiş bir elektrik dipol momenti oluşturacaktır. G(alt bölüm 5.1.5'te açıklanmıştır).

Katsayı 2'ye bir ifadedir

ve denir dört kutuplu moment. SI'da, dört kutuplu moment C m biriminde ölçülür. Küresel simetrik yük dağılımı için 2'ye= 0. Eksen boyunca “oblate” için Oz pozitif yük dağılımı 2 0'a ve negatif için 2'ye> 0. Yük dağılımı eksen boyunca uzatılmışsa Oz, daha sonra suçlamaların işaretleri arasındaki ilişki 2'ye tam tersi olacak.

Önemli bir gerçek şu ki, (5.57) ifadesine dayanarak sistemin elektrostatik alan potansiyeli dağıtılan masraflar gözlem noktasına r mesafesi arttıkça farklı şekilde azalır: elektrik momentinin sırası ne kadar yüksek olursa, yarattığı alanın potansiyeli mesafeyle o kadar hızlı azalır. Nötr sistemler (atomlar, moleküller) bile kendi etrafında bir elektrik alanı oluşturur ve bu alan aracılığıyla bu sistemler birbirleriyle etkileşime girer. Buna göre, elektrik momentinin sırası ne kadar yüksek olursa, yükün alanla etkileşiminin enerjisi de o kadar düşük olur; örneğin dipollerin birbirleriyle etkileşimi (dipol-dipol etkileşimi) dikkat çekicidir daha zayıf etkileşim Coulomb potansiyeline sahip nokta yükler (tek kutuplar) vb.

• Dört kutuplu moment, analizin 9.2.3 alt bölümünde daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.
• Atom çekirdeğinin özellikleri.

Bir yük sisteminin alan potansiyeli

Sistem sabit nokta yüklerinden oluşsun q 1, q 2, ... Alanın herhangi bir noktasındaki süperpozisyon ilkesine göre kuvvet E = E 1 + E 2 +'dır, burada E 1 alan kuvvetidir yükün q 1, vb. Daha sonra (1.8) formülünü kullanarak yazabiliriz:

nerede yani Süperpozisyon ilkesinin potansiyel için de geçerli olduğu ortaya çıkıyor. Böylece, sabit nokta yüklerden oluşan bir sistemin potansiyeli

burada r i noktasal yük q'ya olan mesafedir, bizi ilgilendiren saha noktasına. Burada da keyfi sabit atlanmıştır. Bu, her birinin gerçeğiyle tamamen tutarlıdır. gerçek sistem Yükler uzayda sınırlıdır, dolayısıyla sonsuzdaki potansiyeli sıfıra eşit alınabilir.

Sistemi oluşturan yükler sürekli olarak dağıtılıyorsa, her zamanki gibi, her temel hacim dV'nin bir "nokta" yük cdV içerdiğini düşünüyoruz; burada c - kütle yoğunluğu dV hacminin bulunduğu yerde şarj edin. Bunu dikkate alarak formül (1.10)'a farklı bir form verilebilir.

entegrasyonun ya tüm alan üzerinde ya da yük içeren kısmı üzerinde gerçekleştirildiği yer. Yükler yalnızca S yüzeyinde bulunuyorsa , O

neredesin - yüzey yük yoğunluğu; dS - yüzey elemanı S. Yüklerin doğrusal olarak dağıtılması durumunda da benzer bir ifade olacaktır.

Dolayısıyla, yüklerin dağılımını (kesikli, sürekli) bilerek, prensip olarak herhangi bir sistemin alan potansiyelini bulabiliriz.

Potansiyel ve alan gücü arasındaki ilişki

Bilindiği gibi elektrik alanı tamamen E(r) vektör fonksiyonu ile tanımlanmaktadır. Bunu bilerek, bizi ilgilendiren yüke etki eden kuvveti alanın herhangi bir noktasında bulabilir, yükün herhangi bir hareketi için alan kuvvetlerinin işini hesaplayabilir ve daha fazlasını yapabiliriz. Potansiyelin tanıtılması ne işe yarar? Her şeyden önce, belirli bir elektrik alanının μ(r) potansiyelini bilerek, E(r) alanının kendisini oldukça basit bir şekilde eski haline getirebileceğimiz ortaya çıktı. Bu konuyu daha ayrıntılı olarak ele alalım.

q ve E arasındaki bağlantı denklem (1.8) kullanılarak kurulabilir. Yer değiştirme dl'nin X eksenine paralel olmasına izin verin , o zaman dl =Ei dx, burada i X ekseninin birim vektörüdür; dx - x koordinat artışı . Bu durumda

E vektörünün i birim vektörüne izdüşümü nerededir (ve dl yer değiştirmesine değil). Son ifadeyi formül (1.8) ile karşılaştırarak şunu elde ederiz:

burada kısmi türev sembolü μ (x, y, z) fonksiyonunun yalnızca x'e göre türevinin alınması gerektiğini vurgular , y'yi saymak ve z sürekli olurken.

Benzer akıl yürütmeyi kullanarak E y ve E z projeksiyonları için karşılık gelen ifadeleri elde edebiliriz. Ve E x , E y , E z'yi belirledikten sonra E vektörünün kendisini bulmak kolaydır

Parantez içindeki miktar potansiyel gradyan c'den (grad c) başka bir şey değildir. Onlar. alan gücü E, potansiyel gradyanın eksi işaretine eşittir. Bu, μ(r) fonksiyonunu bilerek E alanını geri yükleyebileceğiniz formüldür.

Eş potansiyel yüzeyler

Eşpotansiyel yüzey kavramını tanıtalım - tüm noktalarda μ potansiyeli aynı değere sahip olan bir yüzey. E vektörünün, eş potansiyel yüzeye normal boyunca her noktada azalan potansiyel yönünde yönlendirildiğinden emin olalım. Aslında formül (1.13)'ten, E vektörünün belirli bir noktada eş potansiyel yüzeye teğet herhangi bir yöne izdüşümünün sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar. Bu, E vektörünün bu yüzeye normal olduğu anlamına gelir. Daha sonra, dx'in yüzeye normal boyunca azalan c yönündeki yer değiştirmesini, ardından 5c'yi alalım.<0 и согласно (1.13) E x >0, yani E vektörü azalan q yönünde veya grad q vektörünün tersi yönde yönlendirilir.

İki bitişik yüzey için potansiyel farkı aynı olacak şekilde eş potansiyel yüzeylerin yapılması en çok tavsiye edilir. Daha sonra yoğunluğa göre eş potansiyel yüzeyler alan gücünün değerini açıkça yargılayabilirsiniz. farklı noktalar. Bu yüzeylerin daha yoğun olduğu durumlarda (“daha ​​dik potansiyel rahatlama”) alan kuvveti daha fazladır.