કમ્પ્યુટર આપણા જીવનમાં નિશ્ચિતપણે પ્રવેશ્યું છે, અને વ્યવહારીક રીતે આવા કોઈ ક્ષેત્ર નથી માનવ પ્રવૃત્તિ, જ્યાં કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ થતો નથી. નવા મશીનો બનાવવા અને સંશોધન કરવાની પ્રક્રિયામાં હવે કમ્પ્યુટરનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે તકનીકી પ્રક્રિયાઓઅને તેમના શ્રેષ્ઠ વિકલ્પોની શોધ; નક્કી કરતી વખતે આર્થિક કાર્યો, જ્યારે વિવિધ સ્તરે આયોજન અને ઉત્પાદન વ્યવસ્થાપનની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. રોકેટ ટેક્નોલોજી, એરક્રાફ્ટ મેન્યુફેક્ચરિંગ, શિપબિલ્ડિંગ, તેમજ ડેમ, પુલ વગેરેની ડિઝાઇનમાં મોટા પદાર્થોનું સર્જન સામાન્ય રીતે કમ્પ્યુટરના ઉપયોગ વિના અશક્ય છે.

લાગુ પડતી સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે કમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરવા માટે, સૌ પ્રથમ લાગુ સમસ્યાઔપચારિકમાં "અનુવાદ" થવો જોઈએ ગાણિતિક ભાષા, એટલે કે વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમ માટે, તેનું ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું આવશ્યક છે.

"મોડલ" શબ્દ લેટિન મોડસ (કૉપિ, ઇમેજ, રૂપરેખા) પરથી આવ્યો છે. મોડેલિંગ એ અમુક ઑબ્જેક્ટ A ને અન્ય ઑબ્જેક્ટ B સાથે બદલવાનું છે. બદલાયેલ ઑબ્જેક્ટ A ને મૂળ અથવા મોડેલિંગ ઑબ્જેક્ટ કહેવામાં આવે છે, અને બદલી B ને મોડેલ કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મૉડલ એ મૂળ ઑબ્જેક્ટ માટે અવેજી ઑબ્જેક્ટ છે, જે મૂળના કેટલાક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ પૂરો પાડે છે.

મોડેલિંગનો હેતુ એકબીજા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી વસ્તુઓ વિશેની માહિતી મેળવવા, પ્રક્રિયા કરવા, પ્રસ્તુત કરવાનો અને ઉપયોગ કરવાનો છે બાહ્ય વાતાવરણ; અને અહીંનું મોડેલ ઑબ્જેક્ટના વર્તનના ગુણધર્મો અને પેટર્નને સમજવાના સાધન તરીકે કાર્ય કરે છે.

ગાણિતિક મૉડલિંગ એ વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા પ્રણાલીનો અભ્યાસ કરવાનું એક સાધન છે જેને ગાણિતિક મોડલ સાથે બદલીને વધુ અનુકૂળ હોય છે. પ્રાયોગિક સંશોધનકમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરીને.

ગાણિતિક મોડેલિંગ એ વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓ અને ઘટનાઓના ગાણિતિક મોડેલો બનાવવા અને અભ્યાસ કરવાની પ્રક્રિયા છે. તમામ પ્રાકૃતિક અને સામાજિક વિજ્ઞાન કે જે ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરે છે તે આવશ્યકપણે ગાણિતિક મોડેલિંગમાં રોકાયેલા છે: તેઓ બદલો વાસ્તવિક પદાર્થતેનું મોડેલ અને પછી પછીનો અભ્યાસ કરો. કોઈપણ મોડેલિંગની જેમ, ગાણિતિક મોડેલ અભ્યાસ કરવામાં આવતી ઘટનાનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરતું નથી, અને આ રીતે મેળવેલા પરિણામોની લાગુ પડવા અંગેના પ્રશ્નો ખૂબ જ અર્થપૂર્ણ છે. ગાણિતિક મોડલ એ વાસ્તવિકતાનો ઉપયોગ કરીને સરળ વર્ણન છે ગાણિતિક ખ્યાલો.

ગાણિતિક મોડલ સમીકરણો અને અન્યની ભાષામાં ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાની આવશ્યક વિશેષતાઓને વ્યક્ત કરે છે ગાણિતિક સાધનો. હકીકતમાં, ગણિત પોતે જે પ્રતિબિંબિત કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યું છે તેના માટે તેના અસ્તિત્વને આભારી છે, એટલે કે. તમારા પોતાના પર મોડેલ ચોક્કસ ભાષાઆસપાસના વિશ્વની પેટર્ન.

મુ ગાણિતિક મોડેલિંગકોઈ વસ્તુનો અભ્યાસ ગણિતની ભાષામાં ચોક્કસ ઉપયોગ કરીને ઘડવામાં આવેલા મોડેલ દ્વારા કરવામાં આવે છે ગાણિતિક પદ્ધતિઓ.

આપણા સમયમાં ગાણિતિક મોડેલિંગનો માર્ગ પૂર્ણ-સ્કેલ મોડેલિંગ કરતાં વધુ વ્યાપક છે. કોમ્પ્યુટરના આગમન દ્વારા ગાણિતિક મોડેલિંગના વિકાસને એક વિશાળ પ્રોત્સાહન આપવામાં આવ્યું હતું, જો કે આ પદ્ધતિ હજારો વર્ષો પહેલા ગણિત સાથે એકસાથે ઉદભવેલી હતી.

જેમ કે ગાણિતિક મોડેલિંગને હંમેશા કમ્પ્યુટર સપોર્ટની જરૂર હોતી નથી. ગાણિતિક મોડેલિંગમાં વ્યવસાયિક રીતે સંકળાયેલા દરેક નિષ્ણાત મોડેલનો વિશ્લેષણાત્મક અભ્યાસ કરવા માટે શક્ય બધું કરે છે. વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો (એટલે ​​​​કે, મૂળ ડેટા દ્વારા અભ્યાસના પરિણામોને વ્યક્ત કરતા સૂત્રો દ્વારા પ્રસ્તુત) સામાન્ય રીતે સંખ્યાત્મક ઉકેલો કરતાં વધુ અનુકૂળ અને વધુ માહિતીપ્રદ હોય છે. જટિલ ગાણિતિક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓની ક્ષમતાઓ, જો કે, ખૂબ મર્યાદિત છે અને, એક નિયમ તરીકે, આ પદ્ધતિઓ સંખ્યાત્મક મુદ્દાઓ કરતાં ઘણી વધુ જટિલ છે.

ગાણિતિક મૉડલ એ વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ્સ, પ્રક્રિયાઓ અથવા સિસ્ટમોનું અંદાજિત પ્રતિનિધિત્વ છે, જેમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે ગાણિતિક શબ્દોઅને મૂળની આવશ્યક વિશેષતાઓને જાળવી રાખવી. જથ્થાત્મક સ્વરૂપમાં ગાણિતિક મોડેલો, તાર્કિક અને ગાણિતિક બાંધકામોનો ઉપયોગ કરીને, ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમના મૂળભૂત ગુણધર્મો, તેના પરિમાણો, આંતરિક અને બાહ્ય સંબંધો

બધા મોડેલોને બે વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

1. વાસ્તવિક
2. સંપૂર્ણ

બદલામાં, વાસ્તવિક મોડેલોને આમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

1. સંપૂર્ણ પાયે,
2. ભૌતિક,
3. ગાણિતિક

આદર્શ મોડેલોવિભાજિત કરી શકાય છે:

1. દ્રશ્ય
2. પ્રતિકાત્મક
3. ગાણિતિક

વાસ્તવિક ફુલ-સ્કેલ મોડલ્સ વાસ્તવિક વસ્તુઓ, પ્રક્રિયાઓ અને સિસ્ટમો છે જેના પર વૈજ્ઞાનિક, તકનીકી અને ઔદ્યોગિક પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવે છે.

વાસ્તવિક ભૌતિક મોડેલો- આ મોડેલો, ડમીઝ, પ્રજનન છે ભૌતિક ગુણધર્મોમૂળ (કાઇનેમેટિક, ડાયનેમિક, હાઇડ્રોલિક, થર્મલ, ઇલેક્ટ્રિકલ, લાઇટ મોડલ્સ).

વાસ્તવિક ગાણિતિક એ એનાલોગ, માળખાકીય, ભૌમિતિક, ગ્રાફિક, ડિજિટલ અને સાયબરનેટિક મોડલ છે.

આદર્શ વિઝ્યુઅલ મોડલ ડાયાગ્રામ, નકશા, રેખાંકનો, આલેખ, આલેખ, એનાલોગ, માળખાકીય અને ભૌમિતિક મોડલ છે.

આદર્શ સાઇન મોડલ પ્રતીકો, મૂળાક્ષરો, પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓ, ઓર્ડર કરેલ નોટેશન, ટોપોલોજીકલ નોટેશન, નેટવર્ક પ્રતિનિધિત્વ છે.

આદર્શ ગાણિતિક મોડલ એ વિશ્લેષણાત્મક, કાર્યાત્મક, સિમ્યુલેશન અને સંયુક્ત મોડલ છે.

ઉપરોક્ત વર્ગીકરણમાં, કેટલાક મોડેલોમાં ડબલ અર્થઘટન હોય છે (ઉદાહરણ તરીકે, એનાલોગ). પૂર્ણ-સ્કેલ સિવાયના તમામ મોડેલોને માનસિક મોડલના એક વર્ગમાં જોડી શકાય છે, કારણ કે તેઓ એક ઉત્પાદન છે અમૂર્ત વિચારવ્યક્તિ

ગેમ થિયરીના તત્વો

IN સામાન્ય કેસરમતને હલ કરવી એ એક મુશ્કેલ કાર્ય છે, અને સમસ્યાની જટિલતા અને તેને હલ કરવા માટે જરૂરી ગણતરીઓની માત્રા વધવાની સાથે ઝડપથી વધે છે. જો કે, આ મુશ્કેલીઓ મૂળભૂત પ્રકૃતિની નથી અને તે માત્ર ગણતરીના ખૂબ મોટા જથ્થા સાથે સંકળાયેલી છે, જે કેટલાક કિસ્સાઓમાં વ્યવહારીક રીતે અશક્ય બની શકે છે. ઉકેલ શોધવાની પદ્ધતિનું મુખ્ય પાસું કોઈપણ માટે રહે છે એક જ.

ચાલો આને રમતના ઉદાહરણથી સમજાવીએ. ચાલો તેણીને આપીએ ભૌમિતિક અર્થઘટન- પહેલેથી જ અવકાશી. અમારી ત્રણ વ્યૂહરચનાઓને પ્લેનમાં ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે ; પ્રથમ મૂળ મૂળમાં આવેલું છે (ફિગ. 1). બીજા અને ત્રીજા - કુહાડીઓ પર ઓહઅને ઓહશરૂઆતથી 1 ના અંતરે.

Axes I-I, II-II અને III-III પ્લેન પર લંબરૂપ બિંદુઓ દ્વારા દોરવામાં આવે છે . I-I અક્ષ પર વ્યૂહરચના માટે ચૂકવણી છે; II-II અને III-III અક્ષો વ્યૂહરચના માટે ચૂકવણી છે. દરેક દુશ્મન વ્યૂહરચના ખાતે કટીંગ ઓફ પ્લેન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે અક્ષ I-I, II-II અને III-III, જીતના સમાન વિભાગો

યોગ્ય વ્યૂહરચના અને વ્યૂહરચના સાથે . આ રીતે દુશ્મનની બધી વ્યૂહરચના તૈયાર કર્યા પછી, અમે ત્રિકોણ (ફિગ. 2) ઉપર વિમાનોનો પરિવાર મેળવીએ છીએ.

આ કુટુંબ માટે, તમે ચૂકવણી માટે નીચલી સીમા પણ બનાવી શકો છો, જેમ કે અમે કેસમાં કર્યું છે, અને આ સીમા પર બિંદુ N સાથે શોધી શકો છો મહત્તમ ઊંચાઈરોકડ વિમાન . આ ઊંચાઈ રમતની કિંમત હશે.

શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચનામાં વ્યૂહરચનાઓની ફ્રીક્વન્સી કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે (x, y)પોઈન્ટ N, એટલે કે:

જો કે, આ ભૌમિતિક બાંધકામકેસ માટે પણ તે અમલમાં મૂકવું સરળ નથી અને તેની જરૂર છે ઊંચા ખર્ચસમય અને કલ્પનાનો પ્રયત્ન. રમતના સામાન્ય કિસ્સામાં, તે સ્થાનાંતરિત થાય છે - પરિમાણીય જગ્યાઅને તમામ સ્પષ્ટતા ગુમાવે છે, જો કે સંખ્યાબંધ કેસોમાં ભૌમિતિક પરિભાષાનો ઉપયોગ ઉપયોગી હોઈ શકે છે. વ્યવહારમાં રમતો હલ કરતી વખતે, ભૌમિતિક સાદ્રશ્યનો નહીં, પરંતુ ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓ, ખાસ કરીને કારણ કે સમસ્યા ઉકેલવા માટે કમ્પ્યુટર્સઆ પદ્ધતિઓ જ યોગ્ય છે.

આ તમામ પદ્ધતિઓ અનિવાર્યપણે અનુગામી અજમાયશ દ્વારા સમસ્યાને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે, પરંતુ ટ્રાયલના ક્રમને ક્રમ આપવાથી તમે અલ્ગોરિધમનું નિર્માણ કરી શકો છો જે સૌથી વધુ આર્થિક રીતે ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે.

અહીં આપણે સંક્ષિપ્તમાં એક પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું ગણતરી પદ્ધતિરમત ઉકેલો - કહેવાતી પદ્ધતિ પર " રેખીય પ્રોગ્રામિંગ».

આ કરવા માટે, ચાલો પહેલા આપીએ સામાન્ય સેટિંગરમત માટે ઉકેલ શોધવા વિશે સમસ્યાઓ. સાથે એક રમત આપવા દો ટીખેલાડી વ્યૂહરચના એઅને nખેલાડી વ્યૂહરચના INઅને ચુકવણી મેટ્રિક્સ આપવામાં આવે છે

રમતનો ઉકેલ શોધવા માટે જરૂરી છે, એટલે કે ખેલાડીઓ A અને Bની બે શ્રેષ્ઠ મિશ્ર વ્યૂહરચના

જ્યાં (કેટલીક સંખ્યાઓ અને શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છે).

અમારી શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના એસ*એદુશ્મનની કોઈપણ વર્તણૂક માટે, અને તેના શ્રેષ્ઠ વર્તણૂક (વ્યૂહરચના) માટે સમાન લાભ અમને પૂરો પાડવો જોઈએ. એસ*બી.સમાન વ્યૂહરચના એસ*બીદુશ્મનને આપણી કોઈપણ વર્તણૂક માટે અને આપણા શ્રેષ્ઠ વર્તન માટે સમાન (વ્યૂહરચના એસ*એ).

રમત કિંમત માં આ કિસ્સામાંઅમને અજાણ્યા; અમે ધારીશું કે તે કેટલાક સમાન છે હકારાત્મક સંખ્યા. આ રીતે માનીને, અમે તર્કની સામાન્યતાનું ઉલ્લંઘન કરતા નથી; તે > 0 હોવા માટે, તે દેખીતી રીતે પૂરતું છે કે મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો બિન-નકારાત્મક છે. આ હંમેશા તત્વોમાં પૂરતું મોટું હકારાત્મક મૂલ્ય ઉમેરીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે, આ કિસ્સામાં, રમતની કિંમત એલ દ્વારા વધશે, પરંતુ ઉકેલ બદલાશે નહીં.

ચાલો અમારી શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના પસંદ કરીએ એસ*એ.પછી પ્રતિસ્પર્ધીની વ્યૂહરચના હેઠળ અમારું સરેરાશ વળતર બરાબર હશે:

અમારી શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના એસ*એતેની પાસે એવી મિલકત છે કે, દુશ્મનના કોઈપણ વર્તન માટે, તે તેનાથી ઓછો લાભ પ્રદાન કરે છે; તેથી, કોઈપણ સંખ્યાઓ કરતાં ઓછી ન હોઈ શકે. અમને ઘણી શરતો મળે છે:

(1)

ચાલો અસમાનતાઓ (1) ને હકારાત્મક મૂલ્ય દ્વારા વિભાજીત કરીએ અને સૂચિત કરીએ:

પછી શરત (1) તરીકે લખવામાં આવશે

(2)

ક્યાં - બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ. કારણ કે જથ્થો સ્થિતિને સંતોષે છે

અમે અમારી ખાતરીપૂર્વકની જીતને શક્ય તેટલી ઊંચી બનાવવા માંગીએ છીએ; દેખીતી રીતે, તે જ સમયે જમણી બાજુસમાનતા (3) લઘુત્તમ મૂલ્ય લે છે.

આમ, રમતનો ઉકેલ શોધવાની સમસ્યા નીચેની ગાણિતિક સમસ્યામાં આવે છે: બિન-નકારાત્મક માત્રા નક્કી કરો , સંતોષકારક શરતો (2), જેથી તેમનો સરવાળો

ન્યૂનતમ હતું.

સામાન્ય રીતે, જ્યારે આત્યંતિક મૂલ્યો (મેક્સિમા અને મિનિમા) શોધવા સંબંધિત સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કાર્યને અલગ પાડવામાં આવે છે અને ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્યની બરાબર સેટ કરવામાં આવે છે. પરંતુ આવી તકનીક આ કિસ્સામાં નકામું છે, કારણ કે ફંક્શન Ф, જે જરૂર છેલઘુત્તમ કરો, રેખીય છે, અને તમામ દલીલોના સંદર્ભમાં તેના ડેરિવેટિવ્સ એક સમાન છે, એટલે કે, તેઓ ક્યાંય અદૃશ્ય થતા નથી. પરિણામે, ફંક્શનની મહત્તમતા દલીલોમાં ફેરફારોની શ્રેણીની સીમા પર ક્યાંક પ્રાપ્ત થાય છે, જે દલીલો અને શરતો (2) ની બિન-નકારાત્મકતાની જરૂરિયાત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. ભિન્નતાનો ઉપયોગ કરીને આત્યંતિક મૂલ્યો શોધવાની તકનીક એવા કિસ્સાઓમાં પણ અયોગ્ય છે કે જ્યાં જીતની મહત્તમ નીચલી (અથવા ઉપલાની લઘુત્તમ) મર્યાદા રમતને હલ કરવા માટે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, જેમ આપણે કર્યું. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓએ રમતોને હલ કરતી વખતે તે કર્યું હતું, ખરેખર, નીચેની સીમા સીધી રેખાઓના વિભાગોથી બનેલી હોય છે, અને મહત્તમ તે બિંદુએ પ્રાપ્ત થાય છે જ્યાં વ્યુત્પન્ન શૂન્ય સમાન હોય છે (આવો કોઈ બિંદુ નથી), પરંતુ અંતરાલની સીમા પર અથવા સીધા વિભાગોના આંતરછેદના બિંદુએ.

ઉકેલવા માટે સમાન કાર્યો, ઘણી વાર વ્યવહારમાં જોવા મળે છે, ગણિતમાં એક વિશેષ ઉપકરણ વિકસાવવામાં આવ્યું છે રેખીય પ્રોગ્રામિંગ.

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવી છે.

તંત્રને આપ્યું છે રેખીય સમીકરણો:

(4)

તે જથ્થાના બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો શોધવા માટે જરૂરી છે જે શરતોને સંતોષે છે (4) અને તે જ સમયે આપેલ સજાતીયને ઓછું કરવું રેખીય કાર્યજથ્થો ( રેખીય સ્વરૂપ):

તે જોવાનું સરળ છે કે ઉપર દર્શાવેલ ગેમ થિયરી સમસ્યા એ રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યાનો વિશેષ કેસ છે

પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે શરતો (2) શરતો (4) ની સમકક્ષ નથી, કારણ કે સમાન ચિહ્નોને બદલે તેમાં અસમાનતાના ચિહ્નો છે. જો કે, નવા બનાવટી બિન-નકારાત્મક ચલો રજૂ કરીને અને ફોર્મમાં શરતો (2) લખીને અસમાનતાના ચિહ્નોથી છુટકારો મેળવવો સરળ છે:

(5)

ફોર્મ Φ જે નાનું કરવાની જરૂર છે તે બરાબર છે

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ ઉપકરણ પ્રમાણમાં ઓછી સંખ્યામાં ક્રમિક નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરીને મૂલ્યો પસંદ કરવાનું શક્ય બનાવે છે , જણાવેલ જરૂરિયાતોને સંતોષે છે. વધુ સ્પષ્ટતા માટે, અમે અહીં આ ઉપકરણનો સીધો ઉપયોગ ચોક્કસ રમતોને ઉકેલવાની સામગ્રી પર દર્શાવીશું.

સોવેટોવ અને યાકોવલેવ દ્વારા પાઠયપુસ્તક અનુસાર: "એક મોડેલ (લેટ. મોડ્યુલસ - માપ) એ મૂળ પદાર્થ માટે અવેજી પદાર્થ છે, જે મૂળના કેટલાક ગુણધર્મોના અભ્યાસની ખાતરી આપે છે." (p. 6) "મૉડલ ઑબ્જેક્ટનો ઉપયોગ કરીને મૂળ ઑબ્જેક્ટના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો વિશે માહિતી મેળવવા માટે એક ઑબ્જેક્ટને બીજા ઑબ્જેક્ટ સાથે બદલવાને મોડેલિંગ કહેવામાં આવે છે." (p. 6) “ગાણિતિક મોડેલિંગ દ્વારા આપણે ચોક્કસ ગાણિતિક પદાર્થ સાથે આપેલ વાસ્તવિક પદાર્થ સાથે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવાની પ્રક્રિયાને સમજીએ છીએ, જેને ગાણિતિક મોડેલ કહેવાય છે, અને આ મોડેલનો અભ્યાસ, જે આપણને વાસ્તવિકતાની લાક્ષણિકતાઓ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. વિચારણા હેઠળ પદાર્થ. ગાણિતિક મૉડલનો પ્રકાર વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટની પ્રકૃતિ અને ઑબ્જેક્ટનો અભ્યાસ કરવાના કાર્યો અને આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી વિશ્વસનીયતા અને ચોકસાઈ બંને પર આધાર રાખે છે.”

છેલ્લે, ગાણિતિક મોડેલની સૌથી સંક્ષિપ્ત વ્યાખ્યા: "એક વિચાર વ્યક્ત કરતું સમીકરણ."

મોડલ વર્ગીકરણ

મોડલનું ઔપચારિક વર્ગીકરણ

મોડેલોનું ઔપચારિક વર્ગીકરણ ઉપયોગમાં લેવાતા ગાણિતિક સાધનોના વર્ગીકરણ પર આધારિત છે. ઘણીવાર દ્વિભાષી સ્વરૂપમાં બાંધવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ડિકોટોમીઝના લોકપ્રિય સેટમાંથી એક:

અને તેથી વધુ. દરેક બાંધવામાં આવેલ મોડેલ રેખીય અથવા બિનરેખીય, નિર્ણાયક અથવા સ્ટોકેસ્ટિક છે,... સ્વાભાવિક રીતે, મિશ્ર પ્રકારો: એક સંદર્ભમાં કેન્દ્રિત (પરિમાણોની દ્રષ્ટિએ), બીજામાં - વિતરિત મોડેલો, વગેરે.

ઑબ્જેક્ટને જે રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે તેના આધારે વર્ગીકરણ

ઔપચારિક વર્ગીકરણની સાથે, મોડલ્સ તેઓ જે રીતે ઑબ્જેક્ટનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે તે રીતે અલગ પડે છે:

• માળખાકીય અથવા કાર્યાત્મક મોડલ

સ્ટ્રક્ચરલ મૉડલ્સ ઑબ્જેક્ટને તેની પોતાની રચના અને કાર્ય પદ્ધતિ સાથે સિસ્ટમ તરીકે રજૂ કરે છે. કાર્યાત્મક મોડેલો આવી રજૂઆતોનો ઉપયોગ કરતા નથી અને ઑબ્જેક્ટની માત્ર બાહ્ય રીતે દેખાતી વર્તણૂક (કાર્ય) પ્રતિબિંબિત કરે છે. તેમની આત્યંતિક અભિવ્યક્તિમાં, તેઓને "બ્લેક બોક્સ" મોડલ પણ કહેવામાં આવે છે.

સામગ્રી અને ઔપચારિક મોડલ

ગાણિતિક મોડેલિંગની પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરતા લગભગ તમામ લેખકો સૂચવે છે કે પ્રથમ એક વિશિષ્ટ આદર્શ માળખું બનાવવામાં આવ્યું છે, સામગ્રી મોડેલ. અહીં કોઈ સ્થાપિત પરિભાષા નથી, અને અન્ય લેખકો આને આદર્શ પદાર્થ કહે છે વૈચારિક મોડેલ , સટ્ટાકીય મોડલઅથવા પ્રીમોડેલ. આ કિસ્સામાં, અંતિમ ગાણિતિક બાંધકામ કહેવામાં આવે છે ઔપચારિક મોડેલઅથવા આપેલ અર્થપૂર્ણ મોડેલ (પ્રી-મોડલ) ના ઔપચારિકરણના પરિણામે મેળવેલ ગાણિતિક મોડેલ. અર્થપૂર્ણ મોડલનું નિર્માણ તૈયાર આદર્શીકરણના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે, જેમ કે મિકેનિક્સમાં, જ્યાં આદર્શ સ્પ્રિંગ્સ ઘન, આદર્શ લોલક, સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમો, વગેરે રેડીમેડ પ્રદાન કરે છે માળખાકીય તત્વોઅર્થપૂર્ણ મોડેલિંગ માટે. જો કે, જ્ઞાનના ક્ષેત્રોમાં જ્યાં સંપૂર્ણ રીતે પૂર્ણ ઔપચારિક સિદ્ધાંતો (ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર, મનોવિજ્ઞાન અને અન્ય મોટા ભાગના ક્ષેત્રોની અદ્યતન ધાર) ન હોય ત્યાં અર્થપૂર્ણ મોડેલોની રચના નાટકીય રીતે વધુ મુશ્કેલ બની જાય છે.

મોડેલોનું સામગ્રી વર્ગીકરણ

વિજ્ઞાનમાં કોઈપણ પૂર્વધારણા એકવાર અને બધા માટે સાબિત થઈ શકતી નથી. રિચાર્ડ ફેનમેને આ ખૂબ જ સ્પષ્ટ રીતે ઘડ્યું:

"અમારી પાસે હંમેશા સિદ્ધાંતને ખોટો સાબિત કરવાની તક હોય છે, પરંતુ નોંધ લો કે અમે ક્યારેય સાબિત કરી શકતા નથી કે તે સાચું છે. ચાલો માની લઈએ કે તમે સફળ પૂર્વધારણા આગળ મૂકી છે, તે ક્યાં લઈ જાય છે તેની ગણતરી કરી છે, અને જાણવા મળ્યું છે કે તેના તમામ પરિણામો પ્રાયોગિક રીતે પુષ્ટિ થયેલ છે. શું આનો અર્થ એ છે કે તમારો સિદ્ધાંત સાચો છે? ના, તેનો સીધો અર્થ એ છે કે તમે તેનું ખંડન કરવામાં નિષ્ફળ ગયા છો.”

જો પ્રથમ પ્રકારનું મોડેલ બનાવવામાં આવ્યું હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે તે અસ્થાયી રૂપે સત્ય તરીકે ઓળખાય છે અને વ્યક્તિ અન્ય સમસ્યાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરી શકે છે. જો કે, આ સંશોધનનો મુદ્દો હોઈ શકતો નથી, પરંતુ માત્ર એક અસ્થાયી વિરામ: પ્રથમ પ્રકારનાં મોડેલની સ્થિતિ ફક્ત અસ્થાયી હોઈ શકે છે.

પ્રકાર 2: ફેનોમેનોલોજીકલ મોડેલ (આપણે એવું વર્તન કરીએ છીએ…)

અસાધારણ મોડેલમાં ઘટનાનું વર્ણન કરવા માટેની પદ્ધતિ હોય છે. જો કે, આ મિકેનિઝમ પૂરતું વિશ્વાસપાત્ર નથી, ઉપલબ્ધ ડેટા દ્વારા પૂરતા પ્રમાણમાં પુષ્ટિ કરી શકાતી નથી, અથવા અસ્તિત્વમાંના સિદ્ધાંતો અને ઑબ્જેક્ટ વિશે સંચિત જ્ઞાન સાથે સારી રીતે બંધબેસતી નથી. તેથી, અસાધારણ મોડેલો અસ્થાયી ઉકેલોની સ્થિતિ ધરાવે છે. એવું માનવામાં આવે છે કે જવાબ હજી અજ્ઞાત છે અને "સાચી પદ્ધતિઓ" ની શોધ ચાલુ રાખવી જોઈએ. પીઅરલ્સમાં, ઉદાહરણ તરીકે, બીજા પ્રકાર તરીકે કેલરી મોડલ અને પ્રાથમિક કણોના ક્વાર્ક મોડલનો સમાવેશ થાય છે.

સંશોધનમાં મોડેલની ભૂમિકા સમયાંતરે બદલાઈ શકે છે, અને એવું બની શકે છે કે નવા ડેટા અને સિદ્ધાંતો અસાધારણ મોડેલોની પુષ્ટિ કરે છે અને તેમને પૂર્વધારણાની સ્થિતિમાં પ્રમોટ કરવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે, નવું જ્ઞાન ધીમે ધીમે પ્રથમ પ્રકારની પૂર્વધારણાઓ સાથે સંઘર્ષમાં આવી શકે છે, અને તે બીજામાં અનુવાદિત થઈ શકે છે. આમ, કવાર્ક મોડલ ધીમે ધીમે પૂર્વધારણાઓની શ્રેણીમાં આગળ વધી રહ્યું છે; ભૌતિકશાસ્ત્રમાં અણુવાદ અસ્થાયી ઉકેલ તરીકે ઉભો થયો, પરંતુ ઇતિહાસના અભ્યાસક્રમ સાથે તે પ્રથમ પ્રકાર બન્યો. પરંતુ ઈથર મોડેલોએ પ્રકાર 1 થી પ્રકાર 2 સુધી તેમનો માર્ગ બનાવ્યો છે, અને હવે તે વિજ્ઞાનની બહાર છે.

મોડેલો બનાવતી વખતે સરળીકરણનો વિચાર ખૂબ જ લોકપ્રિય છે. પરંતુ સરળીકરણ વિવિધ સ્વરૂપોમાં આવે છે. પિયરલ્સ મોડેલિંગમાં ત્રણ પ્રકારની સરળીકરણો ઓળખે છે.

પ્રકાર 3: અંદાજ (આપણે કોઈ વસ્તુને બહુ મોટી કે ખૂબ નાની ગણીએ છીએ)

જો અભ્યાસ હેઠળની સિસ્ટમનું વર્ણન કરતા સમીકરણો બાંધવાનું શક્ય હોય, તો તેનો અર્થ એ નથી કે તેઓ કમ્પ્યુટરની મદદથી પણ ઉકેલી શકાય છે. આ કિસ્સામાં એક સામાન્ય તકનીક એ અંદાજ (પ્રકાર 3 મોડેલ) નો ઉપયોગ છે. તેમની વચ્ચે રેખીય પ્રતિભાવ મોડેલો. સમીકરણો રેખીય રાશિઓ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પ્રમાણભૂત ઉદાહરણ- ઓહ્મનો કાયદો.

અહીં પ્રકાર 8 આવે છે, જે જૈવિક પ્રણાલીના ગાણિતિક મોડેલોમાં વ્યાપક છે.

પ્રકાર 8: લક્ષણ પ્રદર્શન (મુખ્ય વસ્તુ એ શક્યતાની આંતરિક સુસંગતતા બતાવવાની છે)

આ કાલ્પનિક સંસ્થાઓ સાથેના વિચાર પ્રયોગો પણ છે, જે દર્શાવે છે માનવામાં આવતી ઘટનાસાથે સુસંગત મૂળભૂત સિદ્ધાંતોઅને આંતરિક રીતે સુસંગત. પ્રકાર 7 ના મોડેલોમાંથી આ મુખ્ય તફાવત છે, જે છુપાયેલા વિરોધાભાસને જાહેર કરે છે.

આ પ્રયોગોમાંથી એક સૌથી પ્રસિદ્ધ છે લોબાચેવ્સ્કીની ભૂમિતિ (લોબાચેવ્સ્કીએ તેને "કાલ્પનિક ભૂમિતિ" કહે છે). બીજું ઉદાહરણ રાસાયણિક અને ઔપચારિક ગતિશીલ મોડલનું મોટા પાયે ઉત્પાદન છે જૈવિક વધઘટ, ઓટોવેવ્સ, વગેરે. આઈન્સ્ટાઈન-પોડોલ્સ્કી-રોઝન વિરોધાભાસને અસંગતતા દર્શાવવા માટે પ્રકાર 7 મોડેલ તરીકે કલ્પના કરવામાં આવી હતી. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ. સંપૂર્ણપણે બિનઆયોજિત રીતે, તે આખરે એક પ્રકાર 8 મોડેલમાં ફેરવાઈ ગયું - માહિતીના ક્વોન્ટમ ટેલિપોર્ટેશનની શક્યતાનું પ્રદર્શન.

ઉદાહરણ

ચાલો વિચાર કરીએ યાંત્રિક સિસ્ટમ, જેમાં એક છેડે નિશ્ચિત સ્પ્રિંગ અને સમૂહનો સમૂહ હોય છે mવસંતના મુક્ત અંત સાથે જોડાયેલ. અમે ધારીશું કે ભાર ફક્ત વસંત અક્ષની દિશામાં જ આગળ વધી શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, સળિયાની સાથે ચળવળ થાય છે). ચાલો આ સિસ્ટમનું ગાણિતિક મોડેલ બનાવીએ. અમે અંતર દ્વારા સિસ્ટમની સ્થિતિનું વર્ણન કરીશું xભારના કેન્દ્રથી તેની સંતુલન સ્થિતિ સુધી. ચાલો સ્પ્રિંગ અને લોડનો ઉપયોગ કરીને ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું વર્ણન કરીએ હૂકનો કાયદો (એફ = − kx ) અને પછી તેને વિભેદક સમીકરણના રૂપમાં વ્યક્ત કરવા માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો:

જ્યાં નો અર્થ થાય છે નું બીજું વ્યુત્પન્ન xસમય દ્વારા:.

પરિણામી સમીકરણ ગણિતના ગાણિતિક મોડેલનું વર્ણન કરે છે ભૌતિક સિસ્ટમ. આ મોડેલને "હાર્મોનિક ઓસિલેટર" કહેવામાં આવે છે.

ઔપચારિક વર્ગીકરણ મુજબ, આ મોડેલ રેખીય, નિર્ધારિત, ગતિશીલ, કેન્દ્રિત, સતત છે. તેના નિર્માણની પ્રક્રિયામાં, અમે ઘણી ધારણાઓ કરી હતી (બાહ્ય દળોની ગેરહાજરી, ઘર્ષણની ગેરહાજરી, વિચલનોની નાનીતા, વગેરે વિશે), જે વાસ્તવિકતામાં પૂર્ણ થઈ શકશે નહીં.

વાસ્તવિકતાના સંબંધમાં, આ મોટેભાગે પ્રકાર 4 મોડેલ છે સરળીકરણ("અમે સ્પષ્ટતા માટે કેટલીક વિગતો છોડી દઈશું"), કારણ કે કેટલીક આવશ્યક સાર્વત્રિક સુવિધાઓ (ઉદાહરણ તરીકે, ડિસીપેશન) અવગણવામાં આવી છે. અમુક અંદાજ મુજબ (કહો, જ્યારે સંતુલનમાંથી ભારનું વિચલન નાનું હોય છે, ઓછા ઘર્ષણ સાથે, વધુ સમય માટે નહીં અને અમુક અન્ય શરતોને આધીન હોય), આવા મોડેલ વાસ્તવિક યાંત્રિક પ્રણાલીને ખૂબ સારી રીતે વર્ણવે છે, કારણ કે કાઢી નાખવામાં આવેલા પરિબળો તેના વર્તન પર નજીવી અસર. જો કે, આમાંના કેટલાક પરિબળોને ધ્યાનમાં લઈને મોડેલને શુદ્ધ કરી શકાય છે. આનાથી લાગુ થવાના વ્યાપક (જોકે ફરીથી મર્યાદિત) અવકાશ સાથે નવા મોડલ તરફ દોરી જશે.

જો કે, મોડેલને રિફાઇન કરતી વખતે, તેની જટિલતા ગાણિતિક સંશોધનનોંધપાત્ર રીતે વધારો કરી શકે છે અને મોડેલને વર્ચ્યુઅલ રીતે નકામું બનાવી શકે છે. ઘણીવાર વધુ સરળ મોડેલઅમને વધુ જટિલ (અને, ઔપચારિક રીતે, "વધુ યોગ્ય") કરતાં વાસ્તવિક સિસ્ટમનો વધુ સારી રીતે અને વધુ ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

જો આપણે મોડેલ લાગુ કરીએ હાર્મોનિક ઓસિલેટરભૌતિકશાસ્ત્રથી દૂરના પદાર્થો માટે, તેની મૂળ સ્થિતિ અલગ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ મોડેલને લાગુ કરતી વખતે જૈવિક વસ્તી, તે મોટે ભાગે પ્રકાર 6 તરીકે વર્ગીકૃત થયેલ હોવું જોઈએ સામ્યતા("ચાલો ફક્ત કેટલીક સુવિધાઓ ધ્યાનમાં લઈએ").

સખત અને નરમ મોડેલો

હાર્મોનિક ઓસિલેટર કહેવાતા "હાર્ડ" મોડેલનું ઉદાહરણ છે. તે વાસ્તવિક ભૌતિક સિસ્ટમના મજબૂત આદર્શીકરણના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે. તેની લાગુ પડવાની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તે સમજવું જરૂરી છે કે આપણે જે પરિબળોની અવગણના કરી છે તે કેટલા મહત્વપૂર્ણ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, "સોફ્ટ" મોડેલનો અભ્યાસ કરવો જરૂરી છે, જે "હાર્ડ" મોડેલના નાના વિક્ષેપ દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. તે સેટ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના સમીકરણ:

અહીં કેટલાક કાર્ય છે જે ઘર્ષણ બળ અથવા તેના સ્ટ્રેચિંગની ડિગ્રી પર વસંતની જડતા ગુણાંકની અવલંબનને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે - કેટલાક નાના પરિમાણ. સ્પષ્ટ કાર્ય સ્વરૂપ fઅમને માં આ ક્ષણેરસ નથી. જો આપણે સાબિત કરીએ કે સોફ્ટ મોડેલની વર્તણૂક કઠણ વ્યક્તિની વર્તણૂકથી મૂળભૂત રીતે અલગ નથી (વિક્ષેપિત પરિબળોના સ્પષ્ટ પ્રકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના, જો તે પર્યાપ્ત નાના હોય), તો સમસ્યા હાર્ડ મોડેલનો અભ્યાસ કરવામાં ઘટાડો થશે. નહિંતર, સખત મોડેલનો અભ્યાસ કરવાથી મેળવેલા પરિણામોને લાગુ કરવાની જરૂર પડશે વધારાના સંશોધન. ઉદાહરણ તરીકે, હાર્મોનિક ઓસિલેટરના સમીકરણનો ઉકેલ એ સ્વરૂપના કાર્યો છે, એટલે કે, સતત કંપનવિસ્તાર સાથેના ઓસિલેશન. શું તે આનાથી અનુસરે છે કે વાસ્તવિક ઓસિલેટર સતત કંપનવિસ્તાર સાથે અનિશ્ચિત સમય માટે ઓસીલેટ કરશે? ના, કારણ કે મનસ્વી રીતે નાના ઘર્ષણ સાથેની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લેતા (હંમેશા તેમાં હાજર હોય છે વાસ્તવિક સિસ્ટમ), અમને ભીના ઓસિલેશન મળે છે. સિસ્ટમની વર્તણૂક ગુણાત્મક રીતે બદલાઈ ગઈ છે.

જો સિસ્ટમ નાના વિક્ષેપો હેઠળ તેના ગુણાત્મક વર્તનને જાળવી રાખે છે, તો તે માળખાકીય રીતે સ્થિર હોવાનું કહેવાય છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટર એ માળખાકીય રીતે અસ્થિર (બિન-રફ) સિસ્ટમનું ઉદાહરણ છે. જો કે, આ મોડેલનો ઉપયોગ મર્યાદિત સમયગાળા દરમિયાન પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે થઈ શકે છે.

મોડેલોની વૈવિધ્યતા

સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક મોડલ સામાન્ય રીતે હોય છે મહત્વપૂર્ણ મિલકત વર્સેટિલિટી: મૂળભૂત રીતે જુદી જુદી વાસ્તવિક ઘટનાઓ સમાન ગાણિતિક મોડેલ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હાર્મોનિક ઓસિલેટર માત્ર સ્પ્રિંગ પરના ભારની વર્તણૂક જ નહીં, પણ અન્ય ઓસીલેટરી પ્રક્રિયાઓ, ઘણીવાર સંપૂર્ણપણે અલગ સ્વભાવ ધરાવે છે: લોલકના નાના ઓસિલેશન, પ્રવાહી સ્તરમાં વધઘટ યુ-આકારનું જહાજ અથવા ઓસીલેટરી સર્કિટમાં વર્તમાન તાકાતમાં ફેરફાર. આમ, જ્યારે એક ગાણિતિક મોડેલનો અભ્યાસ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે તરત જ અભ્યાસ કરીએ છીએ આખો વર્ગતે જે ઘટનાનું વર્ણન કરે છે. વિવિધ સેગમેન્ટમાં ગાણિતિક મોડેલો દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ કાયદાઓની આ સમરૂપતા છે વૈજ્ઞાનિક જ્ઞાન, "જનરલ સિસ્ટમ્સ થિયરી" બનાવવા માટે લુડવિગ વોન બર્ટાલેન્ફી માટે પ્રેરણા.

ગાણિતિક મોડેલિંગની સીધી અને વ્યસ્ત સમસ્યાઓ

ગાણિતિક મોડેલિંગ સાથે સંકળાયેલી ઘણી સમસ્યાઓ છે. પ્રથમ, તમારે મોડેલ કરેલ ઑબ્જેક્ટના મૂળભૂત આકૃતિ સાથે આવવાની જરૂર છે, તેને આ વિજ્ઞાનના આદર્શીકરણના માળખામાં પુનઃઉત્પાદન કરવાની જરૂર છે. આમ, એક ટ્રેન કાર પ્લેટોની સિસ્ટમમાં ફેરવાય છે અને તેમાંથી વધુ જટિલ સંસ્થાઓ બને છે વિવિધ સામગ્રી, દરેક સામગ્રીને તેના પ્રમાણભૂત યાંત્રિક આદર્શીકરણ (ઘનતા, સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલી, પ્રમાણભૂત તાકાત લાક્ષણિકતાઓ) તરીકે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, જે પછી સમીકરણો સંકલિત કરવામાં આવે છે, જે રીતે કેટલીક વિગતો બિનમહત્વપૂર્ણ તરીકે કાઢી નાખવામાં આવે છે, ગણતરીઓ કરવામાં આવે છે, માપની સરખામણીમાં, મોડેલને શુદ્ધ કરવામાં આવે છે, અને તેથી વધુ. જો કે, ગાણિતિક મોડેલિંગ તકનીકો વિકસાવવા માટે, આ પ્રક્રિયાને તેના મુખ્ય ઘટકોમાં ડિસએસેમ્બલ કરવું ઉપયોગી છે.

પરંપરાગત રીતે, ગાણિતિક મોડેલો સાથે સંકળાયેલ સમસ્યાઓના બે મુખ્ય વર્ગો છે: પ્રત્યક્ષ અને વ્યસ્ત.

સીધું કાર્ય: મોડેલનું માળખું અને તેના તમામ પરિમાણો જાણીતા ગણવામાં આવે છે, મુખ્ય કાર્ય- કાઢવા માટે મોડેલનો અભ્યાસ કરો ઉપયોગી જ્ઞાનઑબ્જેક્ટ વિશે. પુલ કયા સ્થિર ભારનો સામનો કરશે? તે ગતિશીલ લોડ પર કેવી પ્રતિક્રિયા આપશે (ઉદાહરણ તરીકે, સૈનિકોની કંપનીની કૂચ માટે, અથવા ટ્રેન પસાર થવા પર? અલગ ઝડપ), પ્લેન ધ્વનિ અવરોધને કેવી રીતે દૂર કરશે, શું તે ફફડાટથી અલગ પડી જશે - અહીં લાક્ષણિક ઉદાહરણોસીધું કાર્ય. યોગ્ય પ્રત્યક્ષ સમસ્યા (સાચો પ્રશ્ન પૂછવા) સેટ કરવા માટે વિશેષ કૌશલ્યની જરૂર છે. જો ઉલ્લેખિત નથી યોગ્ય પ્રશ્નો, તો પછી પુલ તૂટી શકે છે જો તેની વર્તણૂક માટે સારું મોડેલ બનાવવામાં આવ્યું હોય. તેથી, 1879 માં, ઇંગ્લેન્ડમાં ટે નદી પરનો એક ધાતુનો પુલ તૂટી પડ્યો, જેના ડિઝાઇનરોએ પુલનું એક મોડેલ બનાવ્યું હતું, તેની ગણતરી કરી હતી કે પેલોડની ક્રિયા માટે 20-ગણો સલામતી પરિબળ છે, પરંતુ સતત પવન વિશે ભૂલી ગયા હતા. તે સ્થળોએ ફૂંકાય છે. અને દોઢ વર્ષ પછી તે પડી ભાંગી.

સૌથી સરળ કિસ્સામાં (ઉદાહરણ તરીકે, એક ઓસિલેટર સમીકરણ), સીધી સમસ્યા ખૂબ જ સરળ છે અને આ સમીકરણના સ્પષ્ટ ઉકેલ સુધી ઘટાડે છે.

વ્યસ્ત સમસ્યા: ઘણા સંભવિત મોડેલો જાણીતા છે, ઑબ્જેક્ટ વિશેના વધારાના ડેટાના આધારે ચોક્કસ મોડેલ પસંદ કરવું આવશ્યક છે. મોટેભાગે, મોડેલનું માળખું જાણીતું છે, અને તે કેટલાક નક્કી કરવા માટે જરૂરી છે અજાણ્યા પરિમાણો. વધારાની માહિતીવધારાના પ્રયોગમૂલક ડેટા, અથવા ઑબ્જેક્ટ માટેની આવશ્યકતાઓ સમાવી શકે છે ( ડિઝાઇન સમસ્યા). નિર્ણય પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લીધા વિના વધારાનો ડેટા આવી શકે છે વ્યસ્ત સમસ્યા (નિષ્ક્રિય અવલોકન) અથવા સોલ્યુશન દરમિયાન ખાસ આયોજિત પ્રયોગનું પરિણામ હોઈ શકે છે ( સક્રિય દેખરેખ).

ઉપલબ્ધ ડેટાના સંપૂર્ણ ઉપયોગ સાથે વિપરિત સમસ્યાના નિપુણતાપૂર્વક ઉકેલના પ્રથમ ઉદાહરણોમાંનું એક આઇ. ન્યૂટન દ્વારા અવલોકન કરાયેલ ભીના ઓસિલેશન્સમાંથી ઘર્ષણ બળનું પુનર્નિર્માણ કરવા માટેની પદ્ધતિ હતી.

વધારાના ઉદાહરણો

જ્યાં x s- "સંતુલન" વસ્તીનું કદ, જેના પર જન્મ દર મૃત્યુ દર દ્વારા બરાબર સરભર થાય છે. આવા મોડેલમાં વસ્તીનું કદ સંતુલન મૂલ્ય તરફ વળે છે x s, અને આ વર્તન માળખાકીય રીતે સ્થિર છે.

જ્યારે સસલા અને શિયાળની સંખ્યા સતત હોય ત્યારે આ સિસ્ટમમાં સંતુલન સ્થિતિ હોય છે. આ સ્થિતિમાંથી વિચલન સસલા અને શિયાળની સંખ્યામાં વધઘટમાં પરિણમે છે, જે હાર્મોનિક ઓસિલેટરની વધઘટ સમાન છે. હાર્મોનિક ઓસીલેટરની જેમ, આ વર્તન માળખાકીય રીતે સ્થિર નથી: મોડેલમાં એક નાનો ફેરફાર (ઉદાહરણ તરીકે, સસલા દ્વારા જરૂરી મર્યાદિત સંસાધનોને ધ્યાનમાં લેવું) વર્તનમાં ગુણાત્મક ફેરફાર તરફ દોરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંતુલન સ્થિતિ સ્થિર બની શકે છે, અને સંખ્યામાં વધઘટ મરી જશે. તે પણ શક્ય છે વિપરીત પરિસ્થિતિ, જ્યારે સંતુલન સ્થિતિમાંથી કોઈપણ નાનું વિચલન વિનાશક પરિણામો તરફ દોરી જશે, એક જાતિના સંપૂર્ણ લુપ્ત થવા સુધી. વોલ્ટેરા-લોટકા મૉડલ એ પ્રશ્નનો જવાબ આપતું નથી કે આમાંથી કયા દૃશ્યો સાકાર થઈ રહ્યા છે: અહીં વધારાના સંશોધનની જરૂર છે.

નોંધો

1. "વાસ્તવિકતાનું ગાણિતિક પ્રતિનિધિત્વ" (એનસાયક્લોપેડિયા બ્રિટાનિકા)
2. નોવિક આઈ.બી., વિશે ફિલોસોફિકલ મુદ્દાઓસાયબરનેટિક મોડેલિંગ. એમ., નોલેજ, 1964.
3. સોવેટોવ બી. યા., યાકોવલેવ એસ.એ., સિસ્ટમ્સનું મોડેલિંગ: પ્રોક. યુનિવર્સિટીઓ માટે - 3જી આવૃત્તિ, સુધારેલ. અને વધારાના - એમ.: ઉચ્ચ. શાળા, 2001. - 343 પૃષ્ઠ. ISBN 5-06-003860-2
4. સમર્સ્કી એ.એ., મિખૈલોવ એ.પી.ગાણિતિક મોડેલિંગ. વિચારો. પદ્ધતિઓ. ઉદાહરણો. . - 2જી આવૃત્તિ.
5. મિશ્કિસ એ. ડી., ગાણિતિક મોડેલોના સિદ્ધાંતના તત્વો. - 3જી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: કોમક્નિગા, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 સાથે 192
6. વિક્શનરી: ગાણિતિક મોડેલ
7. ક્લિફ્સનોટ્સ
8. મલ્ટિસ્કેલ ફિનોમેના, સ્પ્રિંગર, કોમ્પ્લેક્સિટી સિરીઝ, બર્લિન-હેઇડલબર્ગ-ન્યૂ યોર્ક, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. "સિદ્ધાંત કેવા પ્રકારના ગાણિતિક ઉપકરણ - રેખીય અથવા બિનરેખીય - અને તે કયા પ્રકારના રેખીય અથવા બિનરેખીય ગાણિતિક મોડલ્સનો ઉપયોગ કરે છે તેના આધારે રેખીય અથવા બિનરેખીય ગણવામાં આવે છે. ... બાદમાં નકાર્યા વિના. આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રી, જો તેને બિનરેખીયતા જેવી મહત્વપૂર્ણ એન્ટિટીની વ્યાખ્યા ફરીથી બનાવવાની તક મળી હોત, તો તેણે મોટે ભાગે અલગ રીતે કાર્ય કર્યું હોત, અને બે વિરોધીમાં વધુ મહત્વપૂર્ણ અને વ્યાપક તરીકે બિનરેખીયતાને પ્રાધાન્ય આપતા, તેણે રેખીયતાને વ્યાખ્યાયિત કરી હોત. "નૉનલાઈનિયરિટી" તરીકે. ડેનિલોવ યુ., નોનલાઇનર ડાયનેમિક્સ પર લેક્ચર્સ. પ્રાથમિક પરિચય. શ્રેણી "સિનેર્જેટિક્સ: ભૂતકાળથી ભવિષ્ય સુધી." આવૃત્તિ 2. - એમ.: યુઆરએસએસ, 2006. - 208 પૃ. ISBN 5-484-00183-8
10. « ગતિશીલ સિસ્ટમો, સિમ્યુલેટેડ મર્યાદિત સંખ્યાસામાન્ય વિભેદક સમીકરણોને લમ્પ્ડ અથવા કહેવામાં આવે છે બિંદુ સિસ્ટમો. તેઓનું વર્ણન મર્યાદિત-પરિમાણીયનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે તબક્કાની જગ્યાઅને સ્વતંત્રતાની મર્યાદિત સંખ્યામાં ડિગ્રી દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. માં સમાન સિસ્ટમ વિવિધ શરતોકાં તો કેન્દ્રિત અથવા વિતરિત ગણી શકાય. વિતરિત પ્રણાલીઓના ગાણિતિક મોડલ છે વિભેદક સમીકરણોઆંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ, અભિન્ન સમીકરણો અથવા સામાન્ય સમીકરણોવિલંબિત દલીલ સાથે. વિતરિત પ્રણાલીની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા અનંત છે, અને તે જરૂરી છે અનંત સંખ્યાતેની સ્થિતિ નક્કી કરવા માટેનો ડેટા." અનિશ્ચેન્કો વી. એસ., ડાયનેમિક સિસ્ટમ્સ, સોરોસ શૈક્ષણિક મેગેઝિન, 1997, નંબર 11, પૃષ્ઠ. 77-84.
11. "સિસ્ટમ S માં અભ્યાસ કરવામાં આવતી પ્રક્રિયાઓની પ્રકૃતિના આધારે, તમામ પ્રકારના મોડેલિંગને નિર્ણાયક અને સ્ટોકેસ્ટિક, સ્થિર અને ગતિશીલ, સ્વતંત્ર, સતત અને સ્વતંત્ર-સતત વિભાજિત કરી શકાય છે. નિર્ધારિત મોડેલિંગ નિર્ણાયક પ્રક્રિયાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે, એટલે કે, એવી પ્રક્રિયાઓ જેમાં કોઈપણ રેન્ડમ પ્રભાવોની ગેરહાજરી માનવામાં આવે છે; સ્ટોકેસ્ટિક મોડેલિંગ સંભવિત પ્રક્રિયાઓ અને ઘટનાઓ દર્શાવે છે. ... સ્ટેટિક મોડેલિંગ સમયના કોઈપણ સમયે ઑબ્જેક્ટના વર્તનનું વર્ણન કરવા માટે સેવા આપે છે, અને ગતિશીલ મોડેલિંગસમય જતાં ઑબ્જેક્ટના વર્તનને પ્રતિબિંબિત કરે છે. સ્વતંત્ર મોડેલિંગનો ઉપયોગ પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે જે અનુક્રમે સ્વતંત્ર હોવાનું માનવામાં આવે છે, સતત મોડેલિંગ તમને સિસ્ટમમાં સતત પ્રક્રિયાઓને પ્રતિબિંબિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને જ્યારે તમે સ્વતંત્ર અને બંનેની હાજરીને પ્રકાશિત કરવા માંગતા હો ત્યારે સ્વતંત્ર-સતત મોડેલિંગનો ઉપયોગ એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે. સતત પ્રક્રિયાઓ.» સોવેટોવ બી. યા., યાકોવલેવ એસ.એ., સિસ્ટમ્સનું મોડેલિંગ: પ્રોક. યુનિવર્સિટીઓ માટે - 3જી આવૃત્તિ, સુધારેલ. અને વધારાના - એમ.: ઉચ્ચ. શાળા, 2001. - 343 પૃષ્ઠ. ISBN 5-06-003860-2
12. સામાન્ય રીતે, ગાણિતિક મોડલ મોડેલ કરેલ ઑબ્જેક્ટની રચના (ઉપકરણ), આ ઑબ્જેક્ટના ઘટકોના ગુણધર્મો અને સંબંધોને પ્રતિબિંબિત કરે છે જે સંશોધનના હેતુઓ માટે જરૂરી છે; આવા મોડેલને માળખાકીય કહેવામાં આવે છે. જો મોડેલ ફક્ત તે જ દર્શાવે છે કે ઑબ્જેક્ટ કેવી રીતે કાર્ય કરે છે - ઉદાહરણ તરીકે, તે બાહ્ય પ્રભાવોને કેવી રીતે પ્રતિક્રિયા આપે છે - તો તેને કાર્યાત્મક અથવા, અલંકારિક રીતે, બ્લેક બોક્સ કહેવામાં આવે છે. મોડેલો પણ શક્ય છે સંયુક્ત પ્રકાર. મિશ્કિસ એ. ડી., ગાણિતિક મોડેલોના સિદ્ધાંતના તત્વો. - 3જી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: કોમક્નિગા, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 સાથે 192
13. "સ્પષ્ટ, પરંતુ સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રારંભિક તબક્કોગાણિતિક મૉડલનું નિર્માણ અથવા પસંદગી એ ઑબ્જેક્ટનું મોડલ કરવામાં આવે છે તે વિશે શક્ય તેટલું સ્પષ્ટ ચિત્ર મેળવવું અને અનૌપચારિક ચર્ચાઓના આધારે તેના અર્થપૂર્ણ મોડેલને રિફાઇન કરવું. તમારે આ તબક્કે સમય અને પ્રયત્ન છોડવો જોઈએ નહીં; સમગ્ર અભ્યાસની સફળતા તેના પર નિર્ભર છે. એવું એક કરતા વધુ વખત બન્યું છે કે ગાણિતિક સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ખર્ચવામાં આવેલ નોંધપાત્ર કાર્ય આ બાબતના આ પાસા પર અપૂરતા ધ્યાનને કારણે બિનઅસરકારક અથવા તો વેડફાઈ ગયું. મિશ્કિસ એ. ડી., ગાણિતિક મોડેલોના સિદ્ધાંતના તત્વો. - 3જી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: કોમક્નિગા, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 સાથે 192, પૃષ્ઠ. 35.
14. « સિસ્ટમના વૈચારિક મોડેલનું વર્ણન.સિસ્ટમ મોડેલ બનાવવાના આ સબસ્ટેજ પર: a) વૈચારિક મોડલ M એ અમૂર્ત શબ્દો અને ખ્યાલોમાં વર્ણવેલ છે; b) મોડેલનું વર્ણન પ્રમાણભૂત ગાણિતિક યોજનાઓનો ઉપયોગ કરીને આપવામાં આવે છે; c) પૂર્વધારણાઓ અને ધારણાઓ આખરે સ્વીકારવામાં આવે છે; ડી) મોડેલ બનાવતી વખતે અંદાજિત વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓ માટે પ્રક્રિયાની પસંદગી વાજબી છે. સોવેટોવ બી. યા., યાકોવલેવ એસ.એ., સિસ્ટમ્સનું મોડેલિંગ: પ્રોક. યુનિવર્સિટીઓ માટે - 3જી આવૃત્તિ, સુધારેલ. અને વધારાના - એમ.: ઉચ્ચ. શાળા, 2001. - 343 પૃષ્ઠ. ISBN 5-06-003860-2, પૃષ્ઠ. 93.

ગાણિતિક મોડેલ બનાવવા માટે તમારે આની જરૂર પડશે:

1. વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ અથવા પ્રક્રિયાનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરો;
2. તેની સૌથી નોંધપાત્ર લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને પ્રકાશિત કરો;
3. ચલોને વ્યાખ્યાયિત કરો, એટલે કે. પરિમાણો કે જેના મૂલ્યો ઑબ્જેક્ટની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને અસર કરે છે;
4. લોજિકલ-ગાણિતિક સંબંધો (સમીકરણો, સમાનતાઓ, અસમાનતાઓ, તાર્કિક-ગાણિતિક બાંધકામો) નો ઉપયોગ કરીને ચલોના મૂલ્યો પર ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમના મૂળભૂત ગુણધર્મોની અવલંબનનું વર્ણન કરો;
5. પ્રતિબંધો, સમીકરણો, સમાનતાઓ, અસમાનતાઓ, તાર્કિક અને ગાણિતિક બાંધકામોનો ઉપયોગ કરીને ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમના આંતરિક જોડાણોને પ્રકાશિત કરો;
6. બાહ્ય જોડાણોને ઓળખો અને પ્રતિબંધો, સમીકરણો, સમાનતાઓ, અસમાનતાઓ, તાર્કિક અને ગાણિતિક બાંધકામોનો ઉપયોગ કરીને તેનું વર્ણન કરો.

ગાણિતિક મોડેલિંગ, ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમનો અભ્યાસ કરવા અને તેનું ગાણિતિક વર્ણન દોરવા ઉપરાંત, તેમાં પણ શામેલ છે:

1. ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમની વર્તણૂકનું મોડેલ બનાવતા અલ્ગોરિધમનું નિર્માણ;
2. કોમ્પ્યુટેશનલ અને ફુલ-સ્કેલ પ્રયોગોના આધારે મોડેલ અને ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમની પર્યાપ્તતા તપાસવી;
3. મોડેલ ગોઠવણ;
4. મોડેલનો ઉપયોગ કરીને.

અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયાઓ અને સિસ્ટમોનું ગાણિતિક વર્ણન આના પર આધાર રાખે છે:

1. વાસ્તવિક પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમની પ્રકૃતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, મિકેનિક્સ, થર્મોડાયનેમિક્સ, હાઇડ્રોડાયનેમિક્સ, ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ, પ્લાસ્ટિસિટી સિદ્ધાંત, સ્થિતિસ્થાપકતા સિદ્ધાંત વગેરેના નિયમોના આધારે સંકલિત કરવામાં આવે છે.
2. વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓ અને સિસ્ટમોના અભ્યાસ અને સંશોધનની આવશ્યક વિશ્વસનીયતા અને ચોકસાઈ.

ગાણિતિક મૉડલનું નિર્માણ સામાન્ય રીતે વિચારણા હેઠળના ઑબ્જેક્ટ, પ્રક્રિયા અથવા સિસ્ટમના સૌથી સરળ, સૌથી ક્રૂડ ગાણિતિક મોડલના નિર્માણ અને વિશ્લેષણથી શરૂ થાય છે. ભવિષ્યમાં, જો જરૂરી હોય તો, મોડેલને શુદ્ધ કરવામાં આવે છે અને ઑબ્જેક્ટ સાથે તેના પત્રવ્યવહારને વધુ સંપૂર્ણ બનાવવામાં આવે છે.

ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ લઈએ. ડેસ્કની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરવું જરૂરી છે. સામાન્ય રીતે, આ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈને માપીને અને પછી પરિણામી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીને કરવામાં આવે છે. આ પ્રાથમિક પ્રક્રિયાનો વાસ્તવમાં અર્થ નીચે મુજબ છે: વાસ્તવિક ઑબ્જેક્ટ (કોષ્ટકની સપાટી)ને અમૂર્ત ગાણિતિક મોડેલ - એક લંબચોરસ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. કોષ્ટકની સપાટીની લંબાઈ અને પહોળાઈને માપીને મેળવેલા પરિમાણો લંબચોરસને સોંપવામાં આવે છે, અને આવા લંબચોરસનો વિસ્તાર લગભગ ટેબલના જરૂરી વિસ્તાર તરીકે લેવામાં આવે છે. જો કે, ડેસ્ક માટેનું લંબચોરસ મોડેલ સૌથી સરળ, સૌથી ક્રૂડ મોડલ છે. જો તમે સમસ્યા માટે વધુ ગંભીર અભિગમ અપનાવો છો, તો ટેબલનો વિસ્તાર નક્કી કરવા માટે લંબચોરસ મોડેલનો ઉપયોગ કરતા પહેલા, આ મોડેલને તપાસવાની જરૂર છે. તપાસ નીચે પ્રમાણે કરી શકાય છે: લંબાઈને માપો વિરુદ્ધ બાજુઓકોષ્ટક, તેમજ તેના કર્ણની લંબાઈ અને તેમની એકબીજા સાથે સરખામણી કરો. જો, ચોકસાઈની આવશ્યક ડિગ્રી સાથે, વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈ અને કર્ણની લંબાઈ જોડીમાં સમાન હોય, તો કોષ્ટકની સપાટીને ખરેખર એક લંબચોરસ તરીકે ગણી શકાય. નહિંતર, લંબચોરસ મોડેલને નકારવું પડશે અને ચતુર્ભુજ મોડેલ સાથે બદલવું પડશે સામાન્ય દૃશ્ય. વધુ સાથે ઉચ્ચ માંગચોકસાઈમાં સુધારો કરવા માટે, મોડેલને વધુ શુદ્ધ કરવું જરૂરી હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટકના ખૂણાઓના ગોળાકારને ધ્યાનમાં લેવા.

આ સાથે સરળ ઉદાહરણતે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે ગાણિતિક મોડેલ વિશિષ્ટ રીતે પદાર્થ, પ્રક્રિયા અથવા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવતું નથી સિસ્ટમ.

અથવા (કાલે સ્પષ્ટ થશે)

ગણિત હલ કરવાની રીતો. મોડલ્સ:

1, પ્રકૃતિના નિયમો પર આધારિત મોડેલનું નિર્માણ (વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ)

2. આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઔપચારિક રીત. પ્રક્રિયા અને માપન પરિણામો (આંકડાકીય અભિગમ)

3. તત્વોના મોડેલ (જટિલ સિસ્ટમો) પર આધારિત મોડેલનું નિર્માણ

1, વિશ્લેષણાત્મક - પૂરતા અભ્યાસ સાથે ઉપયોગ કરો. સામાન્ય પેટર્ન Izv. મોડલ્સ.

2. પ્રયોગ. માહિતીની ગેરહાજરીમાં.

3. અનુકરણ m - ઑબ્જેક્ટના ગુણધર્મોની શોધ કરે છે. સામાન્ય રીતે.

ગાણિતિક મોડેલ બનાવવાનું ઉદાહરણ.

ગાણિતિક મોડેલ- આ ગાણિતિક રજૂઆતવાસ્તવિકતા

ગાણિતિક મોડેલિંગગાણિતિક મોડેલો બનાવવા અને અભ્યાસ કરવાની પ્રક્રિયા છે.

તમામ પ્રાકૃતિક અને સામાજિક વિજ્ઞાન કે જે ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરે છે તે આવશ્યકપણે ગાણિતિક મોડેલિંગમાં રોકાયેલા છે: તેઓ કોઈ પદાર્થને તેના ગાણિતિક મોડલથી બદલે છે અને પછીનો અભ્યાસ કરે છે. ગાણિતિક મોડેલ અને વાસ્તવિકતા વચ્ચેનું જોડાણ પૂર્વધારણાઓ, આદર્શીકરણો અને સરળીકરણોની સાંકળનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, એક નિયમ તરીકે, અર્થપૂર્ણ મોડેલિંગના તબક્કે બાંધવામાં આવેલ આદર્શ પદાર્થનું વર્ણન કરવામાં આવે છે.

શા માટે મોડેલોની જરૂર છે?

ઘણી વાર, કોઈપણ પદાર્થનો અભ્યાસ કરતી વખતે, મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય છે. અસલ પોતે જ કેટલીકવાર અનુપલબ્ધ હોય છે, અથવા તેનો ઉપયોગ સલાહભર્યો નથી, અથવા મૂળને આકર્ષિત કરવું ખર્ચાળ છે. આ બધી સમસ્યાઓ સિમ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. ચોક્કસ અર્થમાં, મોડેલ અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટને બદલી શકે છે.

મોડેલોના સૌથી સરળ ઉદાહરણો

§ ફોટોગ્રાફને વ્યક્તિનું મોડેલ કહી શકાય. વ્યક્તિને ઓળખવા માટે, તેનો ફોટોગ્રાફ જોવો પૂરતો છે.

§ આર્કિટેક્ટે નવા રહેણાંક વિસ્તારનું મોડેલ બનાવ્યું. તે હાથ વડે હલનચલન કરી શકે છે ઊંચી ઇમારતએક ભાગથી બીજા ભાગમાં. વાસ્તવમાં આ શક્ય બનશે નહીં.

મોડલ પ્રકારો

મોડેલોને વિભાજિત કરી શકાય છે સામગ્રી"અને સંપૂર્ણ. ઉપરોક્ત ઉદાહરણો ભૌતિક મોડેલો છે. આદર્શ મોડેલોમાં ઘણીવાર આઇકોનિક આકારો હોય છે. વાસ્તવિક ખ્યાલોકેટલાક ચિહ્નો દ્વારા બદલવામાં આવે છે, જે સરળતાથી કાગળ પર, કમ્પ્યુટર મેમરીમાં, વગેરેમાં રેકોર્ડ કરી શકાય છે.

ગાણિતિક મોડેલિંગ

ગાણિતિક મોડેલિંગ સાંકેતિક મોડેલિંગના વર્ગનું છે. આ કિસ્સામાં, મોડેલો કોઈપણમાંથી બનાવી શકાય છે ગાણિતિક વસ્તુઓ: સંખ્યાઓ, કાર્યો, સમીકરણો, વગેરે.

ગાણિતિક મોડેલ બનાવવું

§ ગાણિતિક મોડેલ બનાવવાના કેટલાક તબક્કાઓ નોંધી શકાય છે:

1. સમસ્યાને સમજવી, અમારા માટે સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણો, ગુણધર્મો, જથ્થા અને પરિમાણોને ઓળખવા.

2. નોટેશનનો પરિચય.

3. પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ બનાવવી જે દાખલ કરેલ મૂલ્યોને સંતોષવી આવશ્યક છે.

4. શરતોની રચના અને રેકોર્ડિંગ કે જે ઇચ્છિત શ્રેષ્ઠ ઉકેલ દ્વારા સંતુષ્ટ થવી જોઈએ.

મોડેલિંગ પ્રક્રિયા મોડેલની રચના સાથે સમાપ્ત થતી નથી, પરંતુ તેની સાથે જ શરૂ થાય છે. એક મોડેલનું સંકલન કર્યા પછી, તેઓ જવાબ શોધવા અને સમસ્યા હલ કરવા માટે એક પદ્ધતિ પસંદ કરે છે. જવાબ મળ્યા પછી, તેની વાસ્તવિકતા સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે. અને શક્ય છે કે જવાબ સંતોષકારક ન હોય, આ કિસ્સામાં મોડેલમાં ફેરફાર કરવામાં આવે છે અથવા તો સંપૂર્ણપણે અલગ મોડલ પસંદ કરવામાં આવે છે.

ગાણિતિક મોડેલનું ઉદાહરણ

કાર્ય

પ્રોડક્શન એસોસિએશન, જેમાં બે ફર્નિચર ફેક્ટરીઓ શામેલ છે, તેના મશીન પાર્કને અપડેટ કરવાની જરૂર છે. તદુપરાંત, પ્રથમ ફર્નિચર ફેક્ટરીને ત્રણ મશીનો બદલવાની જરૂર છે, અને બીજા - સાત. બે મશીન ટૂલ ફેક્ટરીઓમાં ઓર્ડર આપી શકાય છે. પ્રથમ પ્લાન્ટ 6 થી વધુ મશીનો ઉત્પન્ન કરી શકશે નહીં, અને જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછા ત્રણ હોય તો બીજો પ્લાન્ટ ઓર્ડર સ્વીકારશે. તમારે ઓર્ડર કેવી રીતે મૂકવો તે નક્કી કરવાની જરૂર છે.

વ્યાખ્યાન 1.

મોડેલિંગના મેથોડોલોજિકલ બેઝિક્સ

સિસ્ટમ મોડેલિંગની સમસ્યાની વર્તમાન સ્થિતિ

મોડેલિંગ અને સિમ્યુલેશન ખ્યાલો

મોડેલિંગઅભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટ (મૂળ)ને તેની પરંપરાગત છબી, વર્ણન અથવા અન્ય ઑબ્જેક્ટ સાથે રિપ્લેસમેન્ટ તરીકે ગણી શકાય. મોડેલઅને અમુક ધારણાઓ અને સ્વીકાર્ય ભૂલોના માળખામાં મૂળની નજીકનું વર્તન પ્રદાન કરવું. મોડેલિંગ સામાન્ય રીતે તેના મોડેલનો અભ્યાસ કરીને મૂળના ગુણધર્મોને સમજવાના ધ્યેય સાથે કરવામાં આવે છે, અને ઑબ્જેક્ટ જ નહીં. અલબત્ત, મોડેલિંગ વાજબી છે જ્યારે તે બનાવવા માટે સરળમૂળ પોતે અથવા જ્યારે કોઈ કારણોસર તે પછીનું બિલકુલ ન બનાવવું વધુ સારું છે.

હેઠળ મોડેલભૌતિક અથવા અમૂર્ત ઑબ્જેક્ટ તરીકે સમજવામાં આવે છે, જેનાં ગુણધર્મો ચોક્કસ અર્થમાં અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટના ગુણધર્મો જેવા જ હોય ​​છે, આ કિસ્સામાં, મોડેલ માટેની આવશ્યકતાઓ સમસ્યાનું સમાધાન અને ઉપલબ્ધ માધ્યમો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. મોડેલો માટે સંખ્યાબંધ સામાન્ય આવશ્યકતાઓ છે:

2) સંપૂર્ણતા - પ્રાપ્તકર્તાને તમામ જરૂરી માહિતી પૂરી પાડવી

ઑબ્જેક્ટ વિશે;

3) લવચીકતા - દરેક વસ્તુમાં વિવિધ પરિસ્થિતિઓનું પુનઃઉત્પાદન કરવાની ક્ષમતા

શરતો અને પરિમાણોમાં ફેરફારોની શ્રેણી;

4) વિકાસની જટિલતા વર્તમાન માટે સ્વીકાર્ય હોવી જોઈએ

સમય અને સોફ્ટવેર.

મોડેલિંગઑબ્જેક્ટનું મોડેલ બનાવવાની અને મોડેલની તપાસ કરીને તેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવાની પ્રક્રિયા છે.

આમ, મોડેલિંગમાં 2 મુખ્ય તબક્કાઓ શામેલ છે:

1) મોડેલનો વિકાસ;

2) મોડેલનો અભ્યાસ અને તારણો દોરો.

તે જ સમયે, દરેક તબક્કે તે નક્કી કરવામાં આવે છે વિવિધ કાર્યોઅને વપરાય છે

આવશ્યકપણે વિવિધ પદ્ધતિઓ અને માધ્યમો.

વ્યવહારમાં તેઓ ઉપયોગ કરે છે વિવિધ પદ્ધતિઓમોડેલિંગ અમલીકરણની પદ્ધતિના આધારે, તમામ મોડેલોને બે મોટા વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: ભૌતિક અને ગાણિતિક.

ગાણિતિક મોડેલિંગતે સામાન્ય રીતે તેમના ગાણિતિક મોડેલોનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયાઓ અથવા ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરવાના સાધન તરીકે ગણવામાં આવે છે.

હેઠળ ભૌતિક મોડેલિંગભૌતિક મોડેલો પરની વસ્તુઓ અને ઘટનાઓના અભ્યાસનો ઉલ્લેખ કરે છે, જ્યારે અભ્યાસ કરવામાં આવતી પ્રક્રિયાને સાચવીને પુનઃઉત્પાદિત કરવામાં આવે છે શારીરિક પ્રકૃતિઅથવા અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી અન્ય ભૌતિક ઘટનાનો ઉપયોગ કરો. તે જ સમયે ભૌતિક મોડેલોએક નિયમ તરીકે, તેઓ મૂળના તે ભૌતિક ગુણધર્મોનું વાસ્તવિક મૂર્ત સ્વરૂપ ધારણ કરે છે જે ચોક્કસ પરિસ્થિતિમાં નોંધપાત્ર હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે નવું વિમાન ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે, ત્યારે એક મોક-અપ બનાવવામાં આવે છે જે સમાન એરોડાયનેમિક ગુણધર્મો ધરાવે છે; વિકાસનું આયોજન કરતી વખતે, આર્કિટેક્ટ્સ એક મોડેલ બનાવે છે જે તેના તત્વોની અવકાશી ગોઠવણીને પ્રતિબિંબિત કરે છે. આ સંદર્ભે, ભૌતિક મોડેલિંગ પણ કહેવામાં આવે છે પ્રોટોટાઇપિંગ.

અર્ધ જીવન મોડેલિંગમોડેલમાં વાસ્તવિક સાધનોના સમાવેશ સાથે મોડેલિંગ સંકુલ પર નિયંત્રણક્ષમ સિસ્ટમોનો અભ્યાસ છે. વાસ્તવિક સાધનોની સાથે, બંધ મોડેલમાં પ્રભાવ અને હસ્તક્ષેપના સિમ્યુલેટર, બાહ્ય વાતાવરણના ગાણિતિક મોડલ અને પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે જેના માટે પૂરતું સચોટ ગાણિતિક વર્ણન અજ્ઞાત છે. મોડેલિંગ જટિલ પ્રક્રિયાઓના સર્કિટમાં વાસ્તવિક ઉપકરણો અથવા વાસ્તવિક સિસ્ટમોનો સમાવેશ એ પ્રાથમિક અનિશ્ચિતતા અને અભ્યાસ પ્રક્રિયાઓને ઘટાડવાનું શક્ય બનાવે છે જેના માટે કોઈ ચોક્કસ ગાણિતિક વર્ણન નથી. અર્ધ-કુદરતી મોડેલિંગનો ઉપયોગ કરીને, વાસ્તવિક સાધનોમાં સહજ નાના સમયના સ્થિરાંકો અને રેખીયતાને ધ્યાનમાં લઈને સંશોધન હાથ ધરવામાં આવે છે. વાસ્તવિક સાધનોનો ઉપયોગ કરીને મોડેલોનો અભ્યાસ કરતી વખતે, ખ્યાલનો ઉપયોગ થાય છે ગતિશીલ સિમ્યુલેશનજટિલ સિસ્ટમો અને ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે - ઉત્ક્રાંતિવાદી, અનુકરણઅને સાયબરનેટિક મોડેલિંગ.

દેખીતી રીતે, મોડેલિંગનો વાસ્તવિક લાભ ફક્ત ત્યારે જ મેળવી શકાય છે જો બે શરતો પૂરી થાય:

1) મોડેલ ગુણધર્મોનું યોગ્ય (પર્યાપ્ત) પ્રદર્શન પ્રદાન કરે છે

મૂળ, અભ્યાસ હેઠળના ઓપરેશનના દૃષ્ટિકોણથી નોંધપાત્ર;

2) મોડેલ તમને ઉપર સૂચિબદ્ધ સમસ્યાઓને દૂર કરવાની મંજૂરી આપે છે

વાસ્તવિક વસ્તુઓ પર સંશોધન હાથ ધરવા.

2. ગાણિતિક મોડેલિંગની મૂળભૂત વિભાવનાઓ

ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વ્યવહારિક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ સમસ્યાનું નિર્માણ કરીને (ગાણિતિક મોડેલ વિકસાવવા), પરિણામી ગાણિતિક મોડેલનો અભ્યાસ કરવા માટેની પદ્ધતિ પસંદ કરીને અને પ્રાપ્ત ગાણિતિક પરિણામનું વિશ્લેષણ કરીને સતત કરવામાં આવે છે. સમસ્યાનું ગાણિતિક ફોર્મ્યુલેશન સામાન્ય રીતે ભૌમિતિક છબીઓ, કાર્યો, સમીકરણોની સિસ્ટમો વગેરેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન (ઘટના) સતત અથવા અલગ, નિર્ધારિત અથવા સ્ટોકેસ્ટિક અને અન્ય ગાણિતિક સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે.

ગાણિતિક મોડેલિંગનો સિદ્ધાંતઆજુબાજુના વિશ્વમાં વિવિધ અસાધારણ ઘટનાઓની ઘટનાના દાખલાઓની ઓળખ અથવા સિસ્ટમો અને ઉપકરણોના સંચાલનને તેમના ગાણિતિક વર્ણન અને મોડેલિંગ દ્વારા સંપૂર્ણ-સ્કેલ પરીક્ષણો હાથ ધર્યા વિના તેની ખાતરી કરે છે. આ કિસ્સામાં, ગણિતની જોગવાઈઓ અને કાયદાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જે તેમના આદર્શીકરણના અમુક સ્તરે સિમ્યુલેટેડ ઘટનાઓ, સિસ્ટમો અથવા ઉપકરણોનું વર્ણન કરે છે.

ગાણિતિક મોડલ (MM)કેટલીક અમૂર્ત ભાષામાં સિસ્ટમ (અથવા ઓપરેશન)નું ઔપચારિક વર્ણન છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગાણિતિક સંબંધોના સમૂહ અથવા અલ્ગોરિધમ ડાયાગ્રામના રૂપમાં, એટલે કે. એટલે કે એવું ગાણિતિક વર્ણન કે જે સિસ્ટમ્સ અથવા ઉપકરણોના સંપૂર્ણ-સ્કેલ પરીક્ષણ દરમિયાન મેળવેલા તેમના વાસ્તવિક વર્તનની પૂરતા પ્રમાણમાં નજીકના સ્તરે સિસ્ટમ્સ અથવા ઉપકરણોના સંચાલનનું સિમ્યુલેશન પ્રદાન કરે છે.

કોઈપણ MM વાસ્તવિક વસ્તુ, ઘટના અથવા પ્રક્રિયાને વાસ્તવિકતાના અમુક અંશે અંદાજ સાથે વર્ણવે છે. એમએમનો પ્રકાર વાસ્તવિક પદાર્થની પ્રકૃતિ અને અભ્યાસના ઉદ્દેશ્યો બંને પર આધાર રાખે છે.

ગાણિતિક મોડેલિંગસામાજિક, આર્થિક, જૈવિક અને ભૌતિક ઘટનાઓ, વસ્તુઓ, પ્રણાલીઓ અને વિવિધ ઉપકરણો પ્રકૃતિને સમજવા અને વિવિધ પ્રકારની સિસ્ટમો અને ઉપકરણોને ડિઝાઇન કરવા માટેનું એક સૌથી મહત્વપૂર્ણ માધ્યમ છે. પરમાણુ તકનીકો, ઉડ્ડયન અને એરોસ્પેસ સિસ્ટમ્સના નિર્માણમાં, વાતાવરણીય અને સમુદ્રી ઘટનાઓ, હવામાન વગેરેની આગાહીમાં મોડેલિંગના અસરકારક ઉપયોગના જાણીતા ઉદાહરણો છે.

જો કે, મોડેલિંગના આવા ગંભીર ક્ષેત્રોમાં ઘણીવાર સુપરકોમ્પ્યુટર અને વૈજ્ઞાનિકોની મોટી ટીમો દ્વારા મોડેલિંગ અને તેના ડિબગીંગ માટે ડેટા તૈયાર કરવા માટે વર્ષોના કામની જરૂર પડે છે. જો કે, આ કિસ્સામાં, જટિલ સિસ્ટમો અને ઉપકરણોનું ગાણિતિક મોડેલિંગ માત્ર સંશોધન અને પરીક્ષણ પર નાણાં બચાવે છે, પરંતુ પર્યાવરણીય આફતોને પણ દૂર કરી શકે છે - ઉદાહરણ તરીકે, તે તમને પરમાણુ અને થર્મોન્યુક્લિયર શસ્ત્રોતેના ગાણિતિક મોડેલિંગની તરફેણમાં અથવા તેમની વાસ્તવિક ઉડાન પહેલાં એરોસ્પેસ સિસ્ટમના પરીક્ષણ દરમિયાન, સરળ સમસ્યાઓ ઉકેલવાના સ્તરે ગાણિતિક મોડેલિંગ, ઉદાહરણ તરીકે, મિકેનિક્સ, ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ, ઇલેક્ટ્રોનિક્સ, રેડિયો એન્જિનિયરિંગ અને વિજ્ઞાનના અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાંથી. અને ટેકનોલોજી હવે આધુનિક પીસી પર કરવા માટે ઉપલબ્ધ બની છે. અને જ્યારે સામાન્યીકૃત મોડેલોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે એકદમ જટિલ સિસ્ટમ્સનું અનુકરણ કરવું શક્ય બને છે, ઉદાહરણ તરીકે, ટેલિકમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સ અને નેટવર્ક્સ, રડાર અથવા રેડિયો નેવિગેશન સિસ્ટમ્સ.

ગાણિતિક મોડેલિંગનો હેતુગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓ (પ્રકૃતિ અથવા તકનીકમાં) નું વિશ્લેષણ છે. બદલામાં, આ માટે MM પ્રક્રિયાના ઔપચારિકકરણની જરૂર છે જે ચલોને સમાવી શકે છે જેનું વર્તન વાસ્તવિક સિસ્ટમની વર્તણૂક જેવું જ છે બે અથવા સંભવિત ક્રિયાઓ વધુ"ખેલાડીઓ", જેમ કે ગેમ થિયરીમાં; અથવા તે ઓપરેટિંગ સિસ્ટમના એકબીજા સાથે જોડાયેલા ભાગોના વાસ્તવિક ચલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે.

સિસ્ટમોની લાક્ષણિકતાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે ગાણિતિક મોડેલિંગને વિશ્લેષણાત્મક, સિમ્યુલેશન અને સંયુક્તમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. બદલામાં, એમએમને સિમ્યુલેશન અને વિશ્લેષણાત્મકમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

વિશ્લેષણાત્મક મોડેલિંગ

માટે વિશ્લેષણાત્મક મોડેલિંગતે લાક્ષણિકતા છે કે સિસ્ટમની કામગીરીની પ્રક્રિયાઓ ચોક્કસ કાર્યાત્મક સંબંધો (બીજગણિત, વિભેદક, અભિન્ન સમીકરણો) ના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે. વિશ્લેષણાત્મક મોડેલનો અભ્યાસ નીચેની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

1) વિશ્લેષણાત્મક, જ્યારે તેઓ સામાન્ય સ્વરૂપમાં, સિસ્ટમની લાક્ષણિકતાઓ માટે સ્પષ્ટ નિર્ભરતા મેળવવાનો પ્રયત્ન કરે છે;

2) સંખ્યાત્મક, જ્યારે સામાન્ય સ્વરૂપમાં સમીકરણોનો ઉકેલ શોધવાનું શક્ય ન હોય અને તે ચોક્કસ પ્રારંભિક ડેટા માટે ઉકેલવામાં આવે છે;

3) ગુણાત્મક, જ્યારે ઉકેલની ગેરહાજરીમાં તેના કેટલાક ગુણધર્મો જોવા મળે છે.

વિશ્લેષણાત્મક મોડેલો માત્ર પ્રમાણમાં સરળ સિસ્ટમો માટે જ મેળવી શકાય છે. જટિલ સિસ્ટમો માટે, મોટી ગાણિતિક સમસ્યાઓ વારંવાર ઊભી થાય છે. વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે, તેઓ મૂળ મોડેલના નોંધપાત્ર સરળીકરણ પર જાય છે. જો કે, સરળ મોડેલનો ઉપયોગ કરીને સંશોધન માત્ર સૂચક પરિણામો મેળવવામાં મદદ કરે છે. વિશ્લેષણાત્મક મોડેલો ગાણિતિક રીતે ઇનપુટ અને આઉટપુટ ચલો અને પરિમાણો વચ્ચેના સંબંધને યોગ્ય રીતે પ્રતિબિંબિત કરે છે. પરંતુ તેમની રચના ઑબ્જેક્ટની આંતરિક રચનાને પ્રતિબિંબિત કરતી નથી.

વિશ્લેષણાત્મક મોડેલિંગ દરમિયાન, તેના પરિણામો વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિઓના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કનેક્ટ કરીને આર.સી.- સ્રોતથી સર્કિટ ડીસી વોલ્ટેજ ઇ(આર, સીઅને ઇ- આ મોડેલના ઘટકો), અમે કંપોઝ કરી શકીએ છીએ વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિવોલ્ટેજની સમય નિર્ભરતા માટે u(t) કેપેસિટર પર સી:

આ રેખીય વિભેદક સમીકરણ (DE) એ આ સરળ રેખીય સર્કિટનું વિશ્લેષણાત્મક મોડેલ છે. પ્રારંભિક સ્થિતિ હેઠળ તેના વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ u(0) = 0, એટલે કે ડિસ્ચાર્જ થયેલ કેપેસિટર સીમોડેલિંગની શરૂઆતમાં, તમને જરૂરી અવલંબન શોધવાની મંજૂરી આપે છે - સૂત્રના રૂપમાં:

u(t) = ઇ(1− દા.તપી(- t/RC)). (2)

જો કે, આ સરળ ઉદાહરણમાં પણ, DE (1) ઉકેલવા અથવા અરજી કરવા માટે ચોક્કસ પ્રયત્નો જરૂરી છે કમ્પ્યુટર ગણિત સિસ્ટમો(SCM) સાંકેતિક ગણતરીઓ સાથે - કમ્પ્યુટર બીજગણિત સિસ્ટમ્સ. આ સંપૂર્ણપણે તુચ્છ કેસ માટે, રેખીય મોડેલિંગની સમસ્યાનું નિરાકરણ આર.સી.-સર્કિટ એકદમ સામાન્ય સ્વરૂપની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ (2) આપે છે - તે કોઈપણ ઘટક રેટિંગ માટે સર્કિટના સંચાલનનું વર્ણન કરવા માટે યોગ્ય છે આર, સીઅને ઇ, અને કેપેસિટરના ઘાતાંકીય ચાર્જનું વર્ણન કરે છે સીરેઝિસ્ટર દ્વારા આરસતત વોલ્ટેજ સ્ત્રોતમાંથી ઇ.

અલબત્ત, શોધવી વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલોવિશ્લેષણાત્મક મોડેલિંગમાં તે સરળ રેખીય સર્કિટ, સિસ્ટમ્સ અને ઉપકરણોની સામાન્ય સૈદ્ધાંતિક પેટર્નને ઓળખવા માટે અત્યંત મૂલ્યવાન હોવાનું બહાર આવ્યું છે, જો કે, તેની જટિલતા તીવ્રપણે વધે છે કારણ કે મોડેલ પરના પ્રભાવો વધુ જટિલ બને છે અને રાજ્યના સમીકરણોની સંખ્યા અને ક્રમમાં વધારો થાય છે. મોડલ કરેલ પદાર્થ વધારો. જ્યારે તમે બીજા અથવા ત્રીજા ક્રમના ઑબ્જેક્ટ્સનું મોડેલિંગ કરો ત્યારે તમે વધુ કે ઓછા દૃશ્યમાન પરિણામો મેળવી શકો છો, પરંતુ પહેલાથી જ વધુ ઓર્ડરવિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિઓ વધુ પડતા બોજારૂપ, જટિલ અને સમજવામાં મુશ્કેલ બની જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક સરળ ઇલેક્ટ્રોનિક એમ્પ્લીફાયરમાં પણ ઘણીવાર ડઝનેક ઘટકો હોય છે. જો કે, ઘણા આધુનિક SCM, ઉદાહરણ તરીકે, સાંકેતિક ગણિતની સિસ્ટમો મેપલ, મેથેમેટિકાઅથવા પર્યાવરણ MATLAB, સોલ્યુશનને મોટાભાગે સ્વચાલિત કરવામાં સક્ષમ છે જટિલ કાર્યોવિશ્લેષણાત્મક મોડેલિંગ.

મોડેલિંગનો એક પ્રકાર છે સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ,જેમાં યુલર અથવા રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ જેવી કોઈપણ યોગ્ય સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ દ્વારા સિસ્ટમો અથવા ઉપકરણોની વર્તણૂક પર જરૂરી માત્રાત્મક ડેટા મેળવવાનો સમાવેશ થાય છે. વ્યવહારમાં, સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને બિન-રેખીય સિસ્ટમ્સ અને ઉપકરણોનું મોડેલિંગ વ્યક્તિગત ખાનગી રેખીય સર્કિટ, સિસ્ટમ અથવા ઉપકરણોના વિશ્લેષણાત્મક મોડેલિંગ કરતાં વધુ અસરકારક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, વધુ જટિલ કેસોમાં DE (1) અથવા DE સિસ્ટમ્સને ઉકેલવા માટે, વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપમાં ઉકેલ મેળવી શકાતો નથી, પરંતુ સંખ્યાત્મક સિમ્યુલેશન ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, તમે સિમ્યુલેટેડ સિસ્ટમ્સ અને ઉપકરણોની વર્તણૂક પર એકદમ સંપૂર્ણ ડેટા મેળવી શકો છો. આ વર્તણૂકનું વર્ણન કરતી નિર્ભરતાના ગ્રાફનું નિર્માણ કરો.

સિમ્યુલેશન મોડેલિંગ

મુ અનુકરણ 10 અને મોડેલિંગ, એલ્ગોરિધમ કે જે મોડેલને અમલમાં મૂકે છે તે સમય જતાં સિસ્ટમની કામગીરીની પ્રક્રિયાને પુનઃઉત્પાદિત કરે છે. પ્રારંભિક ઘટના કે જે પ્રક્રિયા બનાવે છે તે સિમ્યુલેટેડ છે, તેમની તાર્કિક રચના અને સમય જતાં ઘટનાઓનો ક્રમ જાળવી રાખે છે.

વિશ્લેષણાત્મક લોકોની તુલનામાં સિમ્યુલેશન મોડલ્સનો મુખ્ય ફાયદો એ વધુ જટિલ સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા છે.

સિમ્યુલેશન મોડલ્સ અલગ અથવા સતત તત્વો, બિનરેખીય લાક્ષણિકતાઓ, રેન્ડમ પ્રભાવો વગેરેની હાજરીને ધ્યાનમાં લેવાનું સરળ બનાવે છે. તેથી, જટિલ સિસ્ટમોના ડિઝાઇન તબક્કે આ પદ્ધતિનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. સિમ્યુલેશન મોડેલિંગના અમલીકરણનું મુખ્ય માધ્યમ એ કમ્પ્યુટર છે, જે સિસ્ટમ્સ અને સિગ્નલોના ડિજિટલ મોડેલિંગ માટે પરવાનગી આપે છે.

આ સંદર્ભે, ચાલો વાક્ય વ્યાખ્યાયિત કરીએ " કમ્પ્યુટર મોડેલિંગ”, જેનો સાહિત્યમાં વધુને વધુ ઉપયોગ થાય છે. ચાલો માની લઈએ કે કમ્પ્યુટર મોડેલિંગકમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક મોડેલિંગ છે. તદનુસાર, કમ્પ્યુટર મોડેલિંગ ટેક્નોલોજીમાં નીચેની ક્રિયાઓ કરવામાં સામેલ છે:

1) મોડેલિંગનો હેતુ નક્કી કરવો;

2) વૈચારિક મોડેલનો વિકાસ;

3) મોડેલનું ઔપચારિકકરણ;

4) મોડેલનું સોફ્ટવેર અમલીકરણ;

5) મોડેલ પ્રયોગોનું આયોજન;

6) પ્રાયોગિક યોજનાનું અમલીકરણ;

7) મોડેલિંગ પરિણામોનું વિશ્લેષણ અને અર્થઘટન.

મુ સિમ્યુલેશન મોડેલિંગવપરાયેલ MM સિસ્ટમ પરિમાણો અને બાહ્ય વાતાવરણના મૂલ્યોના વિવિધ સંયોજનો માટે સમય જતાં અભ્યાસ હેઠળની સિસ્ટમની કામગીરીના અલ્ગોરિધમ ("તર્ક")નું પુનઃઉત્પાદન કરે છે.

સૌથી સરળ વિશ્લેષણાત્મક મોડેલનું ઉદાહરણ એ રેક્ટિલિનિયર યુનિફોર્મ ગતિનું સમીકરણ છે. સિમ્યુલેશન મોડેલનો ઉપયોગ કરીને આવી પ્રક્રિયાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, સમય જતાં પાથમાં ફેરફારોનું અવલોકન લાગુ કરવું જોઈએ, દેખીતી રીતે, કેટલાક કિસ્સાઓમાં વિશ્લેષણાત્મક મોડેલિંગ વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ છે - સિમ્યુલેશન (અથવા બંનેનું સંયોજન). સફળ પસંદગી કરવા માટે, તમારે બે પ્રશ્નોના જવાબ આપવાની જરૂર છે.

મોડેલિંગનો હેતુ શું છે?

નમૂનારૂપ ઘટનાને કયા વર્ગમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે?

આ બંને પ્રશ્નોના જવાબો મોડેલિંગના પ્રથમ બે તબક્કા દરમિયાન મેળવી શકાય છે.

સિમ્યુલેશન મોડલ્સ માત્ર પ્રોપર્ટીઝમાં જ નહીં, પણ સ્ટ્રક્ચરમાં પણ મોડલ કરેલ ઑબ્જેક્ટને અનુરૂપ છે. આ કિસ્સામાં, મોડેલ પર પ્રાપ્ત પ્રક્રિયાઓ અને ઑબ્જેક્ટ પર થતી પ્રક્રિયાઓ વચ્ચે એક અસ્પષ્ટ અને સ્પષ્ટ પત્રવ્યવહાર છે. સિમ્યુલેશનનો ગેરલાભ એ છે કે સારી સચોટતા મેળવવા માટે સમસ્યાને ઉકેલવામાં લાંબો સમય લાગે છે.

સ્ટોકેસ્ટિક સિસ્ટમની કામગીરીના સિમ્યુલેશન મોડેલિંગના પરિણામો અમલીકરણ છે રેન્ડમ ચલોઅથવા પ્રક્રિયાઓ. તેથી, સિસ્ટમની લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે વારંવાર પુનરાવર્તન અને અનુગામી ડેટા પ્રોસેસિંગની જરૂર છે. મોટેભાગે આ કિસ્સામાં, એક પ્રકારનું સિમ્યુલેશન વપરાય છે - આંકડાકીય

મોડેલિંગ(અથવા મોન્ટે કાર્લો પદ્ધતિ), એટલે કે. રેન્ડમ પરિબળો, ઘટનાઓ, જથ્થાઓ, પ્રક્રિયાઓ, મોડેલોમાં ક્ષેત્રોનું પ્રજનન.

આંકડાકીય મોડેલિંગના પરિણામોના આધારે, સંભવિત ગુણવત્તાના માપદંડોના અંદાજો, સામાન્ય અને વિશિષ્ટ, સંચાલિત સિસ્ટમની કામગીરી અને કાર્યક્ષમતાનું લક્ષણ નક્કી કરવામાં આવે છે. વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજીના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વૈજ્ઞાનિક અને પ્રયોજિત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આંકડાકીય મોડેલિંગનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે. જટિલ ગતિશીલ પ્રણાલીઓના અભ્યાસમાં, તેમની કામગીરી અને કાર્યક્ષમતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે આંકડાકીય મોડેલિંગ પદ્ધતિઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

આંકડાકીય મોડેલિંગનો અંતિમ તબક્કો પ્રાપ્ત પરિણામોની ગાણિતિક પ્રક્રિયા પર આધારિત છે. અહીં, ગાણિતિક આંકડાઓની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે (પેરામેટ્રિક અને નોનપેરામેટ્રિક અંદાજ, પૂર્વધારણા પરીક્ષણ). પેરામેટ્રિક એસ્ટીમેટરનું ઉદાહરણ એ પ્રદર્શન માપનો નમૂનાનો સરેરાશ છે. નોનપેરામેટ્રિક પદ્ધતિઓમાં, વ્યાપક હિસ્ટોગ્રામ પદ્ધતિ.

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલ યોજના સિસ્ટમના પુનરાવર્તિત આંકડાકીય પરીક્ષણો અને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના આંકડાઓની પદ્ધતિઓ પર આધારિત છે. વધુ સચોટ મૂલ્યાંકન પદ્ધતિઓના ઉપયોગ દ્વારા સિસ્ટમ પરીક્ષણ સમય ઘટાડવાનું પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. ગાણિતિક આંકડાઓ પરથી જાણીતું છે તેમ, આપેલ નમૂનાના કદ માટે નમૂનાઓમાં સૌથી વધુ ચોકસાઈ હોય છે અસરકારક મૂલ્યાંકન. શ્રેષ્ઠ ફિલ્ટરિંગ અને મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ આપે છે સામાન્ય પદ્ધતિઆવા અંદાજો મેળવવા આંકડાકીય મોડેલિંગ સમસ્યાઓમાં, રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનું પ્રોસેસિંગ અમલીકરણ માત્ર આઉટપુટ પ્રક્રિયાઓનું વિશ્લેષણ કરવા માટે જ જરૂરી નથી.

ઇનપુટ રેન્ડમ પ્રભાવોની લાક્ષણિકતાઓનું નિયંત્રણ પણ ખૂબ મહત્વનું છે. નિયંત્રણમાં આપેલ વિતરણો સાથે જનરેટ થયેલ પ્રક્રિયાઓના વિતરણના અનુપાલનને તપાસવાનો સમાવેશ થાય છે. આ સમસ્યા ઘણી વખત તરીકે ઘડવામાં આવે છે પૂર્વધારણા પરીક્ષણ સમસ્યા.

જટિલ નિયંત્રિત સિસ્ટમોના કમ્પ્યુટર મોડેલિંગમાં સામાન્ય વલણ એ મોડેલિંગ સમય ઘટાડવાની ઇચ્છા છે, તેમજ વાસ્તવિક સમયમાં સંશોધન હાથ ધરે છે. કોમ્પ્યુટેશનલ એલ્ગોરિધમ્સને રિકરન્ટ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવું અનુકૂળ છે, જે વર્તમાન માહિતીની પ્રાપ્તિના દરે તેમના અમલીકરણને મંજૂરી આપે છે.

મોડલિંગમાં સિસ્ટમના અભિગમના સિદ્ધાંતો

સિસ્ટમ થિયરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો

ડાયનેમિક સિસ્ટમ્સ અને તેમના કાર્યાત્મક તત્વોના અભ્યાસ દરમિયાન સિસ્ટમ થિયરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો ઉદ્ભવ્યા. સિસ્ટમને એકબીજા સાથે જોડાયેલા તત્વોના જૂથ તરીકે સમજવામાં આવે છે જે પૂર્વનિર્ધારિત કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે એકસાથે કાર્ય કરે છે. સિસ્ટમ્સ વિશ્લેષણ તમને સૌથી વધુ નક્કી કરવા દે છે વાસ્તવિક રીતોસોંપાયેલ કાર્યની પરિપૂર્ણતા, જણાવેલી આવશ્યકતાઓની મહત્તમ સંતોષની ખાતરી કરવી.

તત્વો કે જે સિસ્ટમ સિદ્ધાંતનો આધાર બનાવે છે તે પૂર્વધારણા દ્વારા બનાવવામાં આવતાં નથી, પરંતુ પ્રાયોગિક રીતે શોધવામાં આવે છે. સિસ્ટમ બનાવવાનું શરૂ કરવા માટે, તકનીકી પ્રક્રિયાઓની સામાન્ય લાક્ષણિકતાઓ હોવી જરૂરી છે. ગાણિતિક રીતે ઘડવામાં આવેલા માપદંડો બનાવવાના સિદ્ધાંતોના સંદર્ભમાં પણ આ જ સાચું છે જે પ્રક્રિયા અથવા તેના સૈદ્ધાંતિક વર્ણનને સંતોષવા જોઈએ. મોડેલિંગ એ વૈજ્ઞાનિક સંશોધન અને પ્રયોગોની સૌથી મહત્વપૂર્ણ પદ્ધતિઓમાંની એક છે.

ઑબ્જેક્ટના મૉડલનું નિર્માણ કરતી વખતે, સિસ્ટમ અભિગમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે જટિલ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ છે, જે ઑબ્જેક્ટને ચોક્કસ વાતાવરણમાં કાર્યરત સિસ્ટમ તરીકે ધ્યાનમાં લેવા પર આધારિત છે. વ્યવસ્થિત અભિગમમાં ઑબ્જેક્ટની અખંડિતતા જાહેર કરવી, તેની આંતરિક રચનાને ઓળખવી અને તેનો અભ્યાસ કરવો, તેમજ બાહ્ય વાતાવરણ સાથેના જોડાણોનો સમાવેશ થાય છે. આ કિસ્સામાં, ઑબ્જેક્ટને વાસ્તવિક દુનિયાના એક ભાગ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, જે એક મોડેલ બનાવવાની સમસ્યાના સંબંધમાં અલગ અને અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. વધુમાં, સિસ્ટમના અભિગમમાં સામાન્યથી વિશિષ્ટમાં સતત સંક્રમણનો સમાવેશ થાય છે, જ્યારે ડિઝાઇન ધ્યેય વિચારણાનો આધાર હોય છે, અને ઑબ્જેક્ટને પર્યાવરણના સંબંધમાં ગણવામાં આવે છે.

જટિલ ઑબ્જેક્ટને સબસિસ્ટમમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જે ઑબ્જેક્ટના ભાગો છે જે નીચેની આવશ્યકતાઓને પૂર્ણ કરે છે:

1) સબસિસ્ટમ એ ઑબ્જેક્ટનો કાર્યાત્મક રીતે સ્વતંત્ર ભાગ છે. તે અન્ય સબસિસ્ટમ સાથે જોડાયેલ છે, તેમની સાથે માહિતી અને ઉર્જાનું વિનિમય કરે છે;

2) દરેક સબસિસ્ટમ ફંક્શન્સ અથવા પ્રોપર્ટીઝ માટે કે જે સમગ્ર સિસ્ટમના પ્રોપર્ટીઝ સાથે સુસંગત નથી તે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે;

3) દરેક સબસિસ્ટમને તત્વોના સ્તરે વધુ વિભાજનને આધિન કરી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, એક તત્વને નીચલા-સ્તરની સબસિસ્ટમ તરીકે સમજવામાં આવે છે, જેનું આગળનું વિભાજન સમસ્યાના ઉકેલના દૃષ્ટિકોણથી અયોગ્ય છે.

આમ, સિસ્ટમને તેની રચના, સંશોધન અથવા સુધારણાના હેતુ માટે સબસિસ્ટમ, તત્વો અને જોડાણોના સમૂહના સ્વરૂપમાં ઑબ્જેક્ટના પ્રતિનિધિત્વ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમની વિસ્તૃત રજૂઆત, જેમાં મુખ્ય સબસિસ્ટમ્સ અને તેમની વચ્ચેના જોડાણો શામેલ છે, તેને મેક્રોસ્ટ્રક્ચર કહેવામાં આવે છે, અને તત્વોના સ્તર સુધી સિસ્ટમની આંતરિક રચનાની વિગતવાર જાહેરાતને માઇક્રોસ્ટ્રક્ચર કહેવામાં આવે છે.

સિસ્ટમની સાથે, સામાન્ય રીતે એક સુપરસિસ્ટમ હોય છે - ઉચ્ચ સ્તરની સિસ્ટમ, જેમાં પ્રશ્નમાં રહેલા ઑબ્જેક્ટનો સમાવેશ થાય છે, અને કોઈપણ સિસ્ટમનું કાર્ય ફક્ત સુપરસિસ્ટમ દ્વારા જ નક્કી કરી શકાય છે.

બાહ્ય વિશ્વમાં પદાર્થોના સમૂહ તરીકે પર્યાવરણની વિભાવનાને પ્રકાશિત કરવા યોગ્ય છે જે સિસ્ટમની કાર્યક્ષમતાને નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત કરે છે, પરંતુ તે સિસ્ટમ અને તેના સુપરસિસ્ટમનો ભાગ નથી.

બિલ્ડિંગ મૉડલ્સ માટે સિસ્ટમના અભિગમ સાથે જોડાણમાં, ઇન્ફ્રાસ્ટ્રક્ચરની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે તેના પર્યાવરણ (પર્યાવરણ) સાથે સિસ્ટમના સંબંધનું વર્ણન કરે છે, આ કિસ્સામાં, માળખામાં નોંધપાત્ર છે તેવા ઑબ્જેક્ટ ગુણધર્મોની ઓળખ, વર્ણન અને અભ્યાસ ચોક્કસ કાર્યઑબ્જેક્ટનું સ્તરીકરણ કહેવાય છે, અને ઑબ્જેક્ટનું દરેક મોડેલ તેનું સ્તરીકરણ વર્ણન છે.

સિસ્ટમના અભિગમ માટે, સિસ્ટમની રચના નક્કી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે, એટલે કે. સિસ્ટમના ઘટકો વચ્ચેના જોડાણોનો સમૂહ, તેમની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. આ કરવા માટે, અમે સૌ પ્રથમ મોડેલિંગ માટે માળખાકીય અને કાર્યાત્મક અભિગમોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

માળખાકીય અભિગમ સાથે, સિસ્ટમના પસંદ કરેલા ઘટકોની રચના અને તેમની વચ્ચેના જોડાણો જાહેર થાય છે. તત્વો અને જોડાણોનો સમૂહ અમને સિસ્ટમની રચનાનો નિર્ણય કરવાની મંજૂરી આપે છે. રચનાનું સૌથી સામાન્ય વર્ણન એ ટોપોલોજીકલ વર્ણન છે. તે તમને આલેખનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના ઘટકો અને તેમના જોડાણોને નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઓછું સામાન્ય એ કાર્યાત્મક વર્ણન છે, જ્યારે વ્યક્તિગત કાર્યોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, એટલે કે, સિસ્ટમની વર્તણૂક માટે અલ્ગોરિધમ્સ. આ કિસ્સામાં, કાર્યાત્મક અભિગમ અમલમાં મૂકવામાં આવે છે જે સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવતી કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

સિસ્ટમના અભિગમના આધારે, જ્યારે બે મુખ્ય ડિઝાઇન તબક્કાઓને અલગ પાડવામાં આવે ત્યારે મોડેલ વિકાસનો ક્રમ પ્રસ્તાવિત કરી શકાય છે: મેક્રોડિઝાઇન અને માઇક્રોડિઝાઇન.

મેક્રો-ડિઝાઇન સ્ટેજ પર, બાહ્ય પર્યાવરણનું એક મોડેલ બનાવવામાં આવે છે, સંસાધનો અને મર્યાદાઓ ઓળખવામાં આવે છે, પર્યાપ્તતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે સિસ્ટમ મોડેલ અને માપદંડ પસંદ કરવામાં આવે છે.

માઇક્રો-ડિઝાઇન સ્ટેજ મોટે ભાગે પસંદ કરેલ મોડેલના ચોક્કસ પ્રકાર પર આધાર રાખે છે. સામાન્ય રીતે, તેમાં માહિતી, ગાણિતિક, તકનીકી અને સોફ્ટવેર મોડેલિંગ સિસ્ટમ્સનું નિર્માણ સામેલ છે. આ તબક્કે, બનાવેલ મોડેલની મુખ્ય તકનીકી લાક્ષણિકતાઓ સ્થાપિત થાય છે, તેની સાથે કામ કરવા માટે જરૂરી સમય અને મોડેલની નિર્દિષ્ટ ગુણવત્તા મેળવવા માટે સંસાધનોની કિંમતનો અંદાજ છે.

મોડેલના પ્રકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના, તેનું નિર્માણ કરતી વખતે, વ્યવસ્થિત અભિગમના સંખ્યાબંધ સિદ્ધાંતો દ્વારા માર્ગદર્શન આપવું જરૂરી છે:

1) મોડેલ બનાવવાના તબક્કાઓ દ્વારા સતત પ્રગતિ;

2) માહિતી, સંસાધન, વિશ્વસનીયતા અને અન્ય લાક્ષણિકતાઓનું સંકલન;

3) મોડેલ બાંધકામના વિવિધ સ્તરો વચ્ચેનો સાચો સંબંધ;

4) મોડેલ ડિઝાઇનના વ્યક્તિગત તબક્કાઓની અખંડિતતા.

ગાણિતિક મોડેલ એ ગાણિતિક સંબંધોની સિસ્ટમ છે - સૂત્રો, સમીકરણો, અસમાનતાઓ, વગેરે, જે પદાર્થ અથવા ઘટનાના આવશ્યક ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

દરેક કુદરતી ઘટના તેની જટિલતામાં અનંત છે. ચાલો આને વી.એન.ના પુસ્તકમાંથી લીધેલા ઉદાહરણથી સમજાવીએ. ટ્રોસ્ટનિકોવ "મેન એન્ડ ઇન્ફર્મેશન" (પબ્લિશિંગ હાઉસ "નૌકા", 1970).

સરેરાશ વ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે ગાણિતિક સમસ્યા બનાવે છે: "200 મીટરની ઉંચાઈથી પથ્થર પડવા માટે કેટલો સમય લાગશે?"ગણિતશાસ્ત્રી આના જેવી સમસ્યાનું પોતાનું સંસ્કરણ બનાવવાનું શરૂ કરશે: "ચાલો માની લઈએ કે પથ્થર રદબાતલમાં પડે છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગક 9.8 મીટર પ્રતિ સેકન્ડ પ્રતિ સેકન્ડ છે. પછી..."

- મને દો- "ગ્રાહક" કહી શકે છે, - હું આ સરળીકરણથી ખુશ નથી. હું ખરેખર જાણવા માંગુ છું કે વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં પથ્થર પડવા માટે કેટલો સમય લાગશે, અને અસ્તિત્વમાં ન હોય તેવા શૂન્યાવકાશમાં નહીં.

- સારું,- ગણિતશાસ્ત્રી સંમત થશે. - ચાલો ધારીએ કે પથ્થર ગોળાકાર આકાર અને વ્યાસ ધરાવે છે... અંદાજે તેનો વ્યાસ કેટલો છે?

- લગભગ પાંચ સેન્ટિમીટર. પરંતુ તે બિલકુલ ગોળાકાર નથી, પરંતુ લંબચોરસ છે.

- પછી આપણે ધારીશું કે તેલંબગોળ આકાર ધરાવે છે એક્સલ શાફ્ટ ચાર, ત્રણ અને ત્રણ સેન્ટિમીટર સાથે અને તેપડે છે જેથી અર્ધ-મુખ્ય ધરી દરેક સમયે ઊભી રહે . ચાલો હવાના દબાણને બરાબર લઈએ760 mm Hg , અહીંથી આપણે હવાની ઘનતા શોધીએ છીએ...

જો જેણે "માનવ" ભાષામાં સમસ્યા ઊભી કરી છે તે ગણિતશાસ્ત્રીની વિચારસરણીમાં વધુ દખલ ન કરે, તો બાદમાં થોડા સમય પછી સંખ્યાત્મક જવાબ આપશે. પરંતુ "ગ્રાહક" હજી પણ વાંધો ઉઠાવી શકે છે: પથ્થર હકીકતમાં લંબગોળ નથી, તે સ્થાને હવાનું દબાણ અને તે ક્ષણે 760 mm Hg, વગેરે જેટલું નહોતું.

ગણિતશાસ્ત્રી તેને શું જવાબ આપશે? તે તેનો જવાબ આપશે ચોક્કસ ઉકેલવાસ્તવિક સમસ્યાબિલકુલ અશક્ય પથ્થરનો આકાર, જે હવાના પ્રતિકારને અસર કરે છે, વર્ણન કરવું અશક્ય ગાણિતિક સમીકરણ; ફ્લાઇટમાં તેનું પરિભ્રમણ પણ ગણિતના નિયંત્રણની બહાર છેતેની જટિલતાને કારણે. આગળ, હવા એકરૂપ નથી,કારણ કે, અવ્યવસ્થિત પરિબળોની ક્રિયાના પરિણામે, તેમાં ઘનતાની વધઘટમાં વધઘટ થાય છે. જો આપણે વધુ ઊંડાણમાં જઈએ, તો આપણે તે ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ અનુસાર, દરેક શરીર દરેક અન્ય શરીર પર કાર્ય કરે છે. તે એક લોલક પણ અનુસરે છે દિવાલ ઘડિયાળતેની હિલચાલ સાથે પથ્થરના માર્ગને બદલે છે.

ટૂંકમાં, જો આપણે કોઈપણ પદાર્થની વર્તણૂકનો ગંભીરતાપૂર્વક અભ્યાસ કરવા માંગતા હોઈએ, તો આપણે સૌ પ્રથમ બ્રહ્માંડમાં અન્ય તમામ વસ્તુઓનું સ્થાન અને ગતિ જાણવી પડશે. અને આ, અલબત્ત. અશક્ય

સૌથી વધુ અસરકારક રીતે, ગાણિતિક મોડલને એલ્ગોરિધમિક મોડેલના રૂપમાં કમ્પ્યુટર પર અમલમાં મૂકી શકાય છે - એક કહેવાતા "કમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ" (જુઓ [1], ફકરો 26).

અલબત્ત, જો મોડેલ વાસ્તવિકતાના કેટલાક મહત્વપૂર્ણ પાસાઓને ધ્યાનમાં ન લે તો ગણતરીના પ્રયોગના પરિણામો વાસ્તવિકતાને અનુરૂપ ન હોઈ શકે.

તેથી, સમસ્યા હલ કરવા માટે ગાણિતિક મોડેલ બનાવતી વખતે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

1. ધારણાઓને પ્રકાશિત કરો કે જેના પર ગાણિતિક મોડેલ આધારિત હશે;
2. પ્રારંભિક ડેટા અને પરિણામો શું માનવામાં આવે છે તે નક્કી કરો;
3. મૂળ ડેટા સાથે પરિણામોને જોડતા ગાણિતિક સંબંધો લખો.

ગાણિતિક મોડેલો બનાવતી વખતે, ડેટા દ્વારા ઇચ્છિત માત્રાને સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરતા સૂત્રો શોધવાનું હંમેશા શક્ય નથી. આવા કિસ્સાઓમાં, ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ ચોકસાઈની વિવિધ ડિગ્રીના જવાબો આપવા માટે થાય છે. કોઈપણ ઘટનાનું માત્ર ગાણિતિક મોડેલિંગ જ નથી, પણ દ્રશ્ય-કુદરતી મોડેલિંગ પણ છે, જે માધ્યમોનો ઉપયોગ કરીને આ ઘટનાઓને પ્રદર્શિત કરીને પ્રદાન કરવામાં આવે છે. કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ, એટલે કે એક પ્રકારનું "કમ્પ્યુટર કાર્ટૂન" સંશોધકની સામે બતાવવામાં આવ્યું છે, જે વાસ્તવિક સમયમાં ફિલ્માવવામાં આવ્યું છે. અહીં દૃશ્યતા ખૂબ ઊંચી છે.

અન્ય એન્ટ્રીઓ

06/10/2016.

8.3. સોફ્ટવેર ડેવલપમેન્ટ પ્રક્રિયાના મુખ્ય તબક્કા શું છે? 8.4. પ્રોગ્રામના ટેક્સ્ટને કોમ્પ્યુટર પર રીલીઝ કરતા પહેલા તેને કેવી રીતે નિયંત્રિત કરવું?

06/10/2016.

8.5. ડીબગીંગ અને પરીક્ષણ શા માટે જરૂરી છે? 8.6. ડીબગીંગ શું છે? 8.7. પરીક્ષણ અને પરીક્ષણ શું છે? 8.8. ટેસ્ટ ડેટા શું હોવો જોઈએ? 8.9. પરીક્ષણ પ્રક્રિયાના તબક્કા શું છે?

8.5. ડીબગીંગ અને પરીક્ષણ શા માટે જરૂરી છે? પ્રોગ્રામને ડીબગ કરવું એ પ્રોગ્રામમાં ભૂલો શોધવા અને તેને દૂર કરવાની પ્રક્રિયા છે, જે તેને કમ્પ્યુટર પર ચલાવવાના પરિણામોના આધારે હાથ ધરવામાં આવે છે. પરીક્ષણ...

06/10/2016. 8.10. સામાન્ય પ્રોગ્રામિંગ ભૂલો શું છે? 8.11. શું સિન્ટેક્સ ભૂલોની ગેરહાજરી એ પુરાવો છે કે પ્રોગ્રામ સાચો છે? 8.12. અનુવાદક દ્વારા કઈ ભૂલો શોધી શકાતી નથી? 8.13. પ્રોગ્રામનો આધાર શું છે? 8.10. શું છે