Mažiau arba lygus paskyrimui. Pavadinimai ir simbolika

Balaginas Viktoras

Laimingas atidarymas matematines taisykles ir teoremas, mokslininkai sugalvojo naujų matematinių žymėjimų ir ženklų. Matematiniai ženklai- Tai simboliai, skirtas matematinėms sąvokoms, sakiniams ir skaičiavimams įrašyti. Matematikoje specialieji simboliai naudojami užrašymui sutrumpinti ir teiginiui tiksliau išreikšti. Be skaičių ir įvairių abėcėlių raidžių (lotynų, graikų, hebrajų) matematinė kalba naudoti daug specialiųjų simbolių, išrastų per pastaruosius kelis šimtmečius.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

MATEMATINIAI SIMBOLIAI.

Užbaigė darbą

7 klasės mokinys

GBOU vidurinė mokykla Nr.574

Balaginas Viktoras

2012-2013 mokslo metai

MATEMATINIAI SIMBOLIAI.

1. Įvadas

Žodis matematika atėjo pas mus iš senovės graikų kalbos, kur μάθημα reiškė „mokytis“, „gauti žinių“. Ir klysta tas, kuris sako: „Man nereikia matematikos, aš netapsiu matematiku“. Visiems reikia matematikos. Atskleidžiantis nuostabus pasaulis mus supantys skaičiai, moko aiškiau ir nuosekliau mąstyti, lavina mintį, dėmesį, ugdo atkaklumą ir valią. M.V. Lomonosovas sakė: „Matematika sutvarko protą“. Žodžiu, matematika mus moko išmokti įgyti žinių.

Matematika yra pirmasis mokslas, kurį žmogus galėjo įvaldyti. Dauguma senovės veikla buvo balas. Kai kurios primityvios gentys skaičiavo daiktų skaičių naudodamos pirštus ir kojų pirštus. Iš akmens amžiaus iki šių dienų išlikusiame uolų paveiksle skaičius 35 pavaizduotas 35 iš eilės nupieštų pagaliukų pavidalu. Galima sakyti, kad 1 lazda yra pirmasis matematinis simbolis.

Matematinis „rašymas“, kurį dabar naudojame, yra iš žymėjimo nežinomų raidžių x, y, z iki integralo ženklo – sumuojama palaipsniui. Simbolizmo kūrimas supaprastino darbą su matematiniais veiksmais ir prisidėjo prie pačios matematikos raidos.

Iš senovės graikų kalbos „simbolis“ (gr. simbolis - ženklas, ženklas, slaptažodis, emblema) - ženklas, susietas su objektyvumu, kurį jis žymi taip, kad ženklo ir jo objekto reikšmę vaizduoja tik pats ženklas ir atskleidžiama tik jį interpretuojant.

Atradę matematines taisykles ir teoremas, mokslininkai sugalvojo naujų matematinių žymėjimų ir ženklų. Matematiniai ženklai yra simboliai, skirti įrašyti matematines sąvokas, sakinius ir skaičiavimus. Matematikoje specialieji simboliai naudojami užrašymui sutrumpinti ir teiginiui tiksliau išreikšti. Be skaičių ir įvairių abėcėlių (lotynų, graikų, hebrajų) raidžių, matematinėje kalboje naudojama daug specialių simbolių, išrastų per pastaruosius kelis šimtmečius.

2. Sudėjimo ir atimties ženklai

Istorija matematinis žymėjimas prasideda paleolitu. Skaičiavimui naudojami akmenys ir kaulai su įpjovomis datuojami šiais laikais. Garsiausias pavyzdys yraIshango kaulas. Garsusis kaulas iš Ishango (Kongo), datuojamas maždaug 20 tūkstančių metų prieš Kristų, įrodo, kad jau tuo metu žmogus atliko gana sudėtingus darbus. matematines operacijas. Įpjovos ant kaulų buvo naudojamos pridėjimui ir buvo uždėtos grupėmis, simbolizuojančios skaičių pridėjimą.

IN Senovės Egiptas jau buvo daug pažangesnė žymėjimo sistema. Pavyzdžiui, inAhmeso papirusasSudėjimo simbolis naudoja vaizdą, kuriame dvi kojos eina į priekį per tekstą, o atimties simbolis naudoja dvi kojas einančias atgal.Senovės graikai žymėjo sudėjimą rašydami greta, tačiau kartais tam naudojo pasvirąjį brūkšnį „/“, o atimti – pusiau elipsinę kreivę.

Sudėjimo (plius „+“) ir atimties (minus „-“) aritmetinių operacijų simboliai yra tokie įprasti, kad beveik niekada nesusimąstome apie tai, kad jie ne visada egzistavo. Šių simbolių kilmė neaiški. Viena iš versijų yra ta, kad jie anksčiau buvo naudojami prekyboje kaip pelno ir nuostolio ženklai.

Taip pat manoma, kad mūsų ženklaskilęs iš vienos žodžio „et“ formos, kuri lotyniškai reiškia „ir“. Išraiška a+b lotyniškai parašyta taip: a ir b . Palaipsniui, dėl dažnas naudojimas, iš ženklo " et "Liko tik" t “, kuris laikui bėgant virto „+ “. Pirmasis asmuo, kuris galėjo naudoti ženkląkaip et santrumpa, buvo astronomė Nicole d'Orem (Dangaus knygos autorė ir Pasaulis“ – „Dangaus ir pasaulio knygos“) XIV amžiaus viduryje.

XV amžiaus pabaigoje prancūzų matematikas Chiquet (1484) ir italas Pacioli (1494) naudojo "'' arba " “ (žymi „pliusas“) papildymui ir „'' arba " '' (žymi "minusas") atimti.

Atimties žymėjimas buvo painesnis, nes vietoj paprastas ženklas “ “ vokiečių, šveicarų ir olandų knygose kartais vartojo simbolį „÷’“, kurį dabar naudojame dalybai žymėti. Keliose XVII amžiaus knygose (pvz., Dekartas ir Mersenas) atimčiai nurodyti naudojami du taškai „∙ ∙“ arba trys taškai „∙ ∙ ∙“.

Pirmasis šiuolaikinio algebrinio simbolio panaudojimas ““ nurodo vokišką algebros rankraštį iš 1481 m., kuris buvo rastas Drezdeno bibliotekoje. To paties laiko lotyniškame rankraštyje (taip pat iš Drezdeno bibliotekos) yra abu simboliai: "" Ir " - " . Sistemingas ženklų naudojimas“" ir " - " sudėti ir atimti yra rastiJohanas Widmannas. Vokiečių matematikas Johanas Widmannas (1462-1498) pirmasis savo paskaitose panaudojo abu ženklus, pažymėdamas studentų buvimą ir nebuvimą. Tiesa, yra informacijos, kad šiuos ženklus jis „pasiskolino“ iš mažai žinomo Leipcigo universiteto profesoriaus. 1489 m. Leipcige jis išleido pirmąją spausdintą knygą (Merkantilinė aritmetika - „Komercinė aritmetika“), kurioje buvo abu ženklai. Ir , darbe „Greitas ir geras rezultatas visiems pirkliams“ (apie 1490 m.)

Kaip istorinis įdomumas, verta paminėti, kad net ir po ženklo priėmimone visi naudojo šį simbolį. Pats Widmannas jį pristatė kaip graikišką kryžių(šiuo metu naudojamas ženklas), kuriame horizontalus potėpis kartais būna kiek ilgesnis už vertikalųjį. Kai kurie matematikai, tokie kaip Record, Harriot ir Descartes, naudojo tą patį ženklą. Kiti (pvz., Hume'as, Huygensas ir Fermatas) naudojo lotynišką kryžių „†“, kartais išdėstytą horizontaliai, su skersiniu viename ar kitame gale. Galiausiai kai kurie (pvz., Halley) naudojo dekoratyvesnę išvaizdą. ».

3.Lygybės ženklas

Lygybės ženklas matematikoje ir kituose tiksliuosiuose moksluose rašomas tarp dviejų vienodo dydžio posakių. Diofantas pirmasis panaudojo lygybės ženklą. Lygybę jis pažymėjo raide i (iš graikų isos – lygus). INsenovės ir viduramžių matematikalygybė buvo nurodoma žodžiu, pavyzdžiui, est egale, arba jie vartojo santrumpą „ae“ iš lotyniško aequalis - „lygus“. Kitose kalbose taip pat buvo naudojamos pirmosios žodžio „lygus“ raidės, tačiau tai nebuvo visuotinai priimta. Lygybės ženklą "=" 1557 m. įvedė Velso gydytojas ir matematikasRobertas įrašas(Įrašas R., 1510-1558). Matematinis simbolis Kai kuriais atvejais simbolis II buvo naudojamas lygybei nurodyti. Įrašas pristatė simbolį „=“ su dviem lygiomis horizontaliomis lygiagrečiomis linijomis, daug ilgesnėmis nei naudojamos šiandien. Anglų matematikas Robertas Recordas pirmasis panaudojo lygybės simbolį, argumentuodamas žodžiais: „jokie du objektai negali būti lygesni už du lygiagrečiai segmentui“. Bet vis tiekXVII aRenė Dekartasvartojo santrumpą „ae“.Francois VietLygybės ženklas žymimas atimta. Kurį laiką Rekordo simbolio plitimą stabdė tai, kad tas pats simbolis buvo naudojamas tiesių lygiagretumui nurodyti; Galų gale buvo nuspręsta lygiagretumo simbolį padaryti vertikalią. Ženklas paplito tik po Leibnizo darbų XVII–XVIII amžių sandūroje, tai yra, praėjus daugiau nei 100 metų po asmens, kuris pirmą kartą jį panaudojo šiam tikslui, mirties.Robertas įrašas. Ant jo antkapio nėra žodžių – tik jame iškaltas lygybės ženklas.

Susiję simboliai, žymintys apytikslę lygybę „≈“ ir tapatybę „≡“, yra labai jauni – pirmąjį 1885 m. pristatė Güntheris, antrąjį – 1857 m.Riemanas

4. Daugybos ir dalybos ženklai

Daugybos ženklą kryžiaus pavidalu („x“) įvedė anglikonų kunigas matematikas.William Ooughtred V 1631 m. Prieš jį daugybos ženklui buvo naudojama raidė M, nors buvo pasiūlytos ir kitos žymos: stačiakampio simbolis (Erigonas, ), žvaigždutė ( Johanas Rahnas, ).

Vėliau Leibnicaspakeitė kryžių tašku (pabaigaXVII a), kad nesupainiotumėte jo su raide x ; prieš jį tokia simbolika buvo rasta tarpRegiomontana (XV a) ir anglų mokslininkasTomas Herriotas (1560-1621).

Nurodykite padalijimo veiksmąRedaguotipageidaujamas pasvirasis brūkšnys. Dvitaškis pradėjo reikšti padalijimąLeibnicas. Prieš juos taip pat dažnai buvo vartojama D raidėFibonacci, taip pat naudojama trupmenos linija, kuri buvo naudojama arabų kūriniuose. Padalijimas formoje obelius ("÷") pristatė Šveicarijos matematikasJohanas Rahnas(apie 1660 m.)

5. Procento ženklas.

Šimtoji visumos dalis, paimta kaip vienetas. Pats žodis „procentas“ kilęs iš lotyniško žodžio „pro centum“, kuris reiškia „šimtui“. 1685 m. Paryžiuje buvo išleista Mathieu de la Porte (1685) knyga „Komercinės aritmetikos vadovas“. Vienoje vietoje jie kalbėjo apie procentus, kurie tada buvo vadinami „cto“ (sutrumpinimas iš cento). Tačiau rinkėjas suklaidino šį „cto“ su trupmena ir išspausdino „%“. Taigi, dėl rašybos klaidos šis ženklas buvo pradėtas naudoti.

6.Begalybės ženklas

Pradėtas naudoti dabartinis begalybės simbolis „∞“.Džonas Volisas 1655 metais. Džonas Volisasišleido didelį traktatą „Begalybės aritmetika“ (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), kur įvedė savo sugalvotą simbolįbegalybė. Iki šiol nežinoma, kodėl jis pasirinko būtent šį ženklą. Viena autoritetingiausių hipotezių sieja šio simbolio kilmę su lotyniška raidė„M“, kurį romėnai naudojo skaičiui 1000.Maždaug po keturiasdešimties metų matematikas Bernoulli begalybės simbolį pavadino „lemniscus“ (lot. juosta).

Kita versija sako, kad aštunta figūra perteikia pagrindinę „begalybės“ sąvokos savybę: judėjimą be galo . Skaičiaus 8 linijomis galite judėti be galo, tarsi dviračių takeliu. Kad nesupainiotų įvesto ženklo su skaičiumi 8, matematikai nusprendė jį pastatyti horizontaliai. Suveikė. Šis žymėjimas tapo standartu visai matematikai, ne tik algebrai. Kodėl begalybė nevaizduojama nuliu? Atsakymas akivaizdus: kad ir kaip pasuktumėte skaičių 0, jis nepasikeis. Todėl pasirinkimas krito į 8.

Kitas variantas – gyvatė, ryjanti savo uodegą, kurią simbolizavo pusantro tūkstančio metų prieš Kristų Egipte. įvairūs procesai neturintis nei pradžios, nei pabaigos.

Daugelis mano, kad Möbius juostelė yra simbolio pirmtakasbegalybė, nes begalybės simbolis buvo užpatentuotas išradus Mobius juostelės įrenginį (pavadintą XIX a. matematiko Mobius vardu). Möbius juostelė yra popieriaus juostelė, kuri yra išlenkta ir sujungta savo galuose, sudarydama du erdvinius paviršius. Tačiau pagal turimus istorinę informaciją begalybės simbolis buvo pradėtas naudoti begalybei vaizduoti prieš du šimtmečius iki Möbius juostos atradimo

7. Ženklai kampu a ir statmenai sti

Simboliai " kampe"Ir" statmenai“ sugalvojo 1634 mprancūzų matematikasPjeras Erigonas. Jo statmenumo simbolis buvo apverstas, panašus į raidę T. Kampo simbolis priminė piktogramą, suteikė jai šiuolaikišką formąWilliam Ooughtred ().

8. Pasirašykite paralelizmas Ir

Simbolis " paralelizmas» žinomas nuo senų senovės, buvo naudojamasGarnys Ir Pappas iš Aleksandrijos. Iš pradžių simbolis buvo panašus į dabartinį lygybės ženklą, tačiau atsiradus pastarajam, kad būtų išvengta painiavos, simbolis buvo pasuktas vertikaliai (Redaguoti(1677), Kersey (John Kersey ) ir kiti XVII amžiaus matematikai)

9. Pi

Visuotinai priimtas skaičių žymėjimas lygus santykiui perimetras iki jo skersmens (3,1415926535...), suformuotas pirmą kartąViljamas Džounsas V 1706 m, paimdami pirmąją graikiškų žodžių περιφέρεια raidę -ratas ir περίμετρος – perimetras, tai yra apskritimas. Man patiko ši santrumpa.Euleris, kurio darbai tvirtai įtvirtino pavadinimą.

10. Sinusas ir kosinusas

Įdomi sinuso ir kosinuso išvaizda.

Sinusas iš lotynų kalbos – sinusas, ertmė. Tačiau šis vardas turi ilgą istoriją. Indijos matematikai padarė didelę pažangą trigonometrijos srityje apie V a. Pats žodis „trigonometrija“ neegzistavo, jį įvedė Georgas Klügelis 1770 m.) Tai, ką dabar vadiname sine, maždaug atitinka tai, ką induistai vadino ardha-jiya, išvertus kaip pusiau styga (t. y. pusiau akordas). Dėl trumpumo jie tiesiog pavadino jiya (styga). Kai arabai išvertė induistų kūrinius iš sanskrito, jie neišvertė „stygos“ į arabų kalbą, o tiesiog perrašė žodį Arabiškos raidės. Rezultatas buvo džiba. Bet kadangi skiemeninėje arabų kalboje trumposios balsės nenurodomos, iš tikrųjų lieka j-b, panašus į kitą arabišką žodį - jaib (tuščiaviduris, krūtinė). Kai Gerardas iš Kremonos XII amžiuje išvertė arabus į lotynų kalbą, jis išvertė šį žodį kaip sinusas, kuris lotyniškai reiškia ir sinusą, depresiją.

Kosinusas atsirado automatiškai, nes induistai tai vadino koti-jiya arba trumpiau ko-jiya. Koti yra sanskrito kalba išlenktas lanko galas.Modernus trumpi užrašai ir supažindino William Ooughtredir įtvirtinta kūriniuose Euleris.

Pavadinimas tangent/cotangent yra daug vėlesnės kilmės (angliškas žodis tangent kilęs iš lotynų tangere – liesti). Ir ir dabar nėra vieningo pavadinimo – vienose šalyse dažniau vartojamas įdegio pavadinimas, kitose – tg

11. Santrumpa „Ką reikėjo įrodyti“ (ir kt.)

« Quod erat demonstrandum "(quol erat lamonstranlum).
Graikiška frazė reiškia „ką reikėjo įrodyti“, o lotyniškai reiškia „ką reikėjo parodyti“. Šia formule baigiamas kiekvienas didžiojo graikų matematiko matematinis argumentas Senovės Graikija Euklidas (III a. pr. Kr.). Išvertus iš lotynų kalbos – ką ir reikėjo įrodyti. Viduramžių moksliniuose traktatuose ši formulė dažnai buvo parašyta sutrumpintai: QED.

12. Matematinis žymėjimas.

13. Išvada

Matematikos mokslas yra būtinas civilizuotai visuomenei. Matematika yra visuose moksluose. Matematinė kalba maišoma su chemijos ir fizikos kalbomis. Bet mes vis tiek tai suprantame. Galima sakyti, kad kartu pradedame mokytis matematikos kalbos gimtojoje kalboje. Taip matematika neatsiejamai įžengė į mūsų gyvenimą. Ačiū matematiniai atradimai praeityje mokslininkai kuria naujas technologijas. Išlikę atradimai leidžia išspręsti sudėtingas matematines problemas. Ir senovės matematinė kalba mums aiški, ir atradimai mums įdomūs. Matematikos dėka atrado Archimedas, Platonas, Niutonas fiziniai dėsniai. Mes juos mokomės mokykloje. Fizikoje taip pat yra simbolių, būdingų terminų fizinis mokslas. Tačiau matematinė kalba nėra prarasta tarp fizines formules. Priešingai, šios formulės negali būti parašytos be matematikos žinių. Istorija išsaugo žinias ir faktus ateities kartoms. Norint gauti naujų atradimų, būtinas tolesnis matematikos tyrimas. Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Matematiniai simboliai Darbą atliko 574 mokyklos 7 klasės mokinys Balaginas Viktoras

Simbolis (gr. symbolon – ženklas, ženklas, slaptažodis, emblema) – tai ženklas, susietas su juo žymimu objektyvumu taip, kad ženklo ir jo objekto prasmę vaizduoja tik pats ženklas ir atskleidžiama tik per jį. interpretacija. Ženklai yra matematiniai simboliai, skirti įrašyti matematines sąvokas, sakinius ir skaičiavimus.

Ishango kaulas Ahmeso papiruso dalis

+ − Pliuso ir minuso ženklai. Sudėjimas buvo žymimas raide p (pliusas) arba lotynišku žodžiu et (jungtukas „ir“), o atimtį – raide m (minusas). Posakis a + b buvo parašytas lotyniškai taip: a et b.

Atimties žymėjimas. ÷ ∙ ∙ arba ∙ ∙ ∙ René Descartes Maren Mersenne

Puslapis iš Johanno Widmanno knygos. 1489 m. Johanas Widmannas Leipcige išleido pirmąją spausdintą knygą (Merkantilinė aritmetika - „Komercinė aritmetika“), kurioje buvo abu ženklai + ir -

Papildymo žymėjimas. Christiaan Huygens David Hume Pierre'as de Fermatas Edmundas (Edmondas) Halley

Lygybės ženklas Diofantas pirmasis panaudojo lygybės ženklą. Lygybę jis pažymėjo raide i (iš graikų isos – lygus).

Lygybės ženklą 1557 metais pasiūlė anglų matematikas Robertas Recordas: „Nėra dviejų objektų, kurie vienas kitam gali būti lygesni už du lygiagrečius segmentus žemyninėje Europoje lygybės ženklą įvedė Leibnicas

× ∙ Daugybos ženklą 1631 m. įvedė William Oughtred (Anglija) įstrižo kryžiaus pavidalu. Leibnicas kryžių pakeitė tašku (XVII a. pabaiga), kad nesupainiotų jo su x raide. William Oughtred Gottfried Wilhelm Leibniz

proc. Mathieu de la Porte (1685). Šimtoji visumos dalis, paimta kaip vienetas. „procentas“ - „pro centum“, o tai reiškia „šimtui“. „cto“ (sutrumpinimas iš cento). Mašininkė sumaišė „cto“ su trupmena ir įvedė „%“.

Begalybė. John Wallis John Wallis pristatė simbolį, kurį jis išrado 1655 m. Uodegą ryjanti gyvatė simbolizavo įvairius procesus, kurie neturi nei pradžios, nei pabaigos.

Begalybės simbolis pradėtas vaizduoti begalybei likus dviem šimtmečiams iki Möbius juostos atradimo. Möbius juostelė yra išlenkta ir sujungta galuose, sudaranti du erdvinius paviršius. Augustas Ferdinandas Mobiusas

Kampas ir statmena. Simbolius 1634 m. išrado prancūzų matematikas Pierre'as Erigonas. Erigono kampo simbolis priminė piktogramą. Statmenumo simbolis buvo apverstas, panašus į raidę T. Šiuolaikinė formašiuos ženklus davė William Ooughtred (1657).

Lygiagretumas. Simbolį naudojo Aleksandrijos Heronas ir Aleksandrijos Papas. Iš pradžių simbolis buvo panašus į dabartinį lygybės ženklą, tačiau atsiradus pastarajam, siekiant išvengti painiavos, simbolis buvo pasuktas vertikaliai. Aleksandrijos garnys

Pi skaičius. π ≈ 3,1415926535... William Jones 1706 m. π εριφέρεια yra apskritimas, o π ερίμετρος yra perimetras, tai yra apskritimas. Euleriui patiko ši santrumpa, kurios darbai pagaliau įtvirtino pavadinimą. Viljamas Džounsas

sin Sine ir kosinusas cos Sinusas (iš lot.) – sinusas, ertmė. Kochi-jiya arba trumpiau ko-jiya. Coty – lenktas lanko galas Šiuolaikinę stenografinę žymėjimą įvedė Williamas Oughtredas ir įsitvirtino Eulerio darbuose. "Arha-jiva" - tarp indėnų - "pusiau lankas" Leonardas Euleris William Oughtred

Ką reikėjo įrodyti (ir tt) „Quod erat demonstrandum“ QED. Ši formulė užbaigia visus didžiojo Senovės Graikijos matematiko Euklido (III a. pr. Kr.) matematinius argumentus.

Senovės matematikos kalba mums yra aiški. Fizikoje taip pat yra simbolių ir terminų, būdingų fiziniam mokslui. Tačiau matematinė kalba tarp fizikinių formulių nepasiklysta. Priešingai, šios formulės negali būti parašytos be matematikos žinių.

„Simboliai yra ne tik minčių įrašai,
priemonė jį pavaizduoti ir įtvirtinti, -
ne, jie įtakoja pačią mintį,
jie... vadovauja jai, ir to pakanka
perkelkite juos ant popieriaus... kad būtų
neklystamai pasiekti naujų tiesų“.

L.Carnot

Matematiniai ženklai pirmiausia skirti tiksliam (nedviprasmiškai apibrėžtam) matematinių sąvokų ir sakinių užrašymui. Jų visuma realiomis sąlygomis jų taikymas matematikų sudaro tai, kas vadinama matematine kalba.

Matematiniai simboliai leidžia kompaktiška forma parašyti sakinius, kuriuos sudėtinga išreikšti įprasta kalba. Taip juos lengviau atsiminti.

Prieš naudodamas tam tikrus ženklus samprotavimuose, matematikas bando pasakyti, ką kiekvienas iš jų reiškia. Priešingu atveju jie gali jo nesuprasti.
Tačiau matematikai ne visada gali iš karto pasakyti, ką atspindi tas ar kitas simbolis, kurį jie įvedė konkrečiam tikslui. matematinė teorija. Pavyzdžiui, matematikai su neigiamais ir kompleksiniais skaičiais operuoja šimtus metų, tačiau objektyvią šių skaičių reikšmę ir operaciją su jais pavyko atskleisti tik m. pabaigos XVIII ir viduje pradžios XIX amžiaus.

1. Matematinių kvantorių simbolika

Patinka įprasta kalba, matematinių ženklų kalba leidžia keistis nusistovėjusiomis matematinėmis tiesomis, bet būdamas tik pagalba, prisirišęs prie įprastos kalbos ir negali be jos egzistuoti.

Matematinis apibrėžimas:

Įprasta kalba:

Funkcijos riba F (x) tam tikru tašku vadinamas X0 pastovus skaičius O, kam tai bet koks skaičius E>0 yra teigiamas d(E), kad iš sąlygos |X - X 0 |

Rašymas kvantatoriais (matematine kalba)

2. Matematinių ženklų ir geometrinių figūrų simbolika.

1) Begalybė yra matematikoje, filosofijoje ir moksle naudojama sąvoka. Tam tikro objekto sąvokos ar požymio begalybė reiškia, kad jam neįmanoma nurodyti nei ribų, nei kiekybinio mato. Begalybės terminas atitinka kelias skirtingas sąvokas, priklausomai nuo taikymo srities, nesvarbu, ar tai būtų matematika, fizika, filosofija, teologija ar kasdienis gyvenimas. Matematikoje nėra vienos begalybės sąvokos, kiekvienai sekcijai suteikiamos ypatingos savybės. Be to, šios skirtingos „begalybės“ nėra keičiamos. Pavyzdžiui, aibių teorija reiškia skirtingas begalybes, ir viena gali būti didesnė už kitą. Tarkime, sveikųjų skaičių skaičius yra be galo didelis (jis vadinamas skaičiuojamuoju). Apibendrinant begalinių aibių elementų skaičiaus sampratą, matematikoje įvedama aibės kardinalumo sąvoka. Tačiau nėra vienos „begalinės“ galios. Pavyzdžiui, realiųjų skaičių aibės galia yra didesnė už sveikųjų skaičių galią, nes tarp šių aibių negalima sukurti „vienas su vienu“ atitikmenų, o sveikieji skaičiai įtraukiami į realiuosius skaičius. Taigi šiuo atveju vienas kardinalus skaičius (lygus aibės galiai) yra „begalinis“ nei kitas. Šių sąvokų pradininkas buvo vokiečių matematikas Georgas Cantoras. Skaičiuojant du simboliai pridedami prie realiųjų skaičių, pliuso ir minuso begalybės, rinkinio, naudojami ribinėms reikšmėms ir konvergencijai nustatyti. Reikėtų pažymėti, kad šiuo atveju mes nekalbame apie „apčiuopiamą“ begalybę, nes bet koks teiginys, kuriame yra šis simbolis, gali būti parašytas naudojant tik baigtinius skaičius ir kvantifikatorius. Šie simboliai (ir daugelis kitų) buvo įvesti siekiant sutrumpinti ilgesnes išraiškas. Begalybė taip pat yra neatsiejamai susijusi su begalybės mažumo žymėjimu, pavyzdžiui, Aristotelis sakė:
„... visada galima sugalvoti didesnį skaičių, nes dalių, į kurias galima padalinti segmentą, skaičius neribojamas; todėl begalybė yra potenciali, niekuomet aktuali, ir kad ir koks padalijimų skaičius būtų duotas, visada potencialiai galima padalyti šį segmentą į dar didesnį skaičių. Atkreipkite dėmesį, kad Aristotelis labai prisidėjo prie begalybės suvokimo, suskirstydamas ją į potencialų ir faktinį, ir iš šios pusės priartėjo prie matematinės analizės pagrindų, taip pat nurodydamas penkis idėjų apie ją šaltinius:

• laikas,
• kiekių padalijimas,
• kūrybinės prigimties neišsemiamumas,
• pati sienos koncepcija, peržengianti jos ribas,
• mąstymas, kuris yra nesustabdomas.

Daugumoje kultūrų begalybė pasirodė kaip abstraktus kiekybinis kažkoks nesuvokiamai didelis pavadinimas, taikomas subjektams be erdvinių ar laiko ribų.
Be to, begalybė buvo plėtojama filosofijoje ir teologijoje kartu su tiksliaisiais mokslais. Pavyzdžiui, teologijoje Dievo begalybė suteikia ne tiek kiekybinį apibrėžimą, kiek reiškia neribotą ir nesuprantamą. Filosofijoje tai yra erdvės ir laiko atributas.
Šiuolaikinė fizika priartėja prie begalybės, kurią paneigė Aristotelis, svarba – tai yra prieinamumas realiame pasaulyje, o ne tik abstrakčiai. Pavyzdžiui, yra singuliarumo sąvoka, glaudžiai susijusi su juodosiomis skylėmis ir Didžiojo sprogimo teorija: tai erdvėlaikio taškas, kuriame masė be galo mažame tūryje koncentruojama begaliniu tankiu. Jau yra tvirtų netiesioginių juodųjų skylių egzistavimo įrodymų, nors Didžiojo sprogimo teorija vis dar kuriama.

2) Apskritimas yra geometrinis taškų lokusas plokštumoje, nuo kurio atstumas iki tam tikro taško, vadinamo apskritimo centru, neviršija nurodyto neneigiamo skaičiaus, vadinamo šio apskritimo spinduliu. Jei spindulys lygus nuliui, tada apskritimas išsigimsta į tašką. Apskritimas yra geometrinis taškų lokusas plokštumoje, kurie yra vienodai nutolę nuo tam tikro taško, vadinamo centru, tam tikru nuliniu atstumu, vadinamu jo spinduliu.
Apskritimas yra Saulės, Mėnulio simbolis. Vienas iš labiausiai paplitusių simbolių. Tai taip pat begalybės, amžinybės ir tobulumo simbolis.

3) Kvadratas (rombas) – tai keturių skirtingų elementų, pavyzdžiui, keturių pagrindinių elementų arba keturių metų laikų, derinio ir išdėstymo simbolis. Skaičiaus 4 simbolis, lygybė, paprastumas, sąžiningumas, tiesa, teisingumas, išmintis, garbė. Simetrija – tai idėja, per kurią žmogus bando suvokti harmoniją ir nuo senų laikų laikoma grožio simboliu. Vadinamosios „figūruotos“ eilutės, kurių tekstas turi rombo kontūrą, turi simetriją.
Eilėraštis yra rombas.

mes -
Tarp tamsos.
Akis ilsisi.
Nakties tamsa gyva.
Širdis godžiai atsidūsta,
Žvaigždžių šnabždesiai kartais mus pasiekia.
Ir žydros jausmai yra perpildyti.
Rasos spindesyje viskas buvo pamiršta.
Padovanokime tau kvapnų bučinį!
Greitai spindėk!
Vėl pašnibždėti
Kaip tada:
— Taip!

(E.Martovas, 1894)

4) Stačiakampis. Iš visų geometrinių formų tai yra racionaliausia, patikimiausia ir teisingiausia figūra; empiriškai tai paaiškinama tuo, kad stačiakampis visada ir visur buvo mėgstamiausia forma. Jo pagalba žmogus pritaikė erdvę ar bet kokį objektą tiesioginiam naudojimui savo kasdienybėje, pavyzdžiui: namą, kambarį, stalą, lovą ir pan.

5) Pentagonas yra taisyklingas žvaigždės formos penkiakampis, amžinybės, tobulumo ir visatos simbolis. Pentagonas – sveikatos amuletas, ženklas ant durų, apsaugantis nuo raganų, Toto, Merkurijaus, Keltų Gawaino ir kt. emblema, penkių Jėzaus Kristaus žaizdų, klestėjimo, sėkmės tarp žydų simbolis, legendinis Saliamono raktas; aukšto statuso Japonijos visuomenėje ženklas.

6) Taisyklingas šešiakampis, šešiakampis – gausos, grožio, harmonijos, laisvės, santuokos simbolis, skaičiaus 6 simbolis, žmogaus atvaizdas (dvi rankos, dvi kojos, galva ir liemuo).

7) Kryžius yra aukščiausių sakralinių vertybių simbolis. Kryžius modeliuoja dvasinį aspektą, dvasios pakilimą, Dievo, amžinybės siekį. Kryžius yra universalus gyvenimo ir mirties vienybės simbolis.
Žinoma, jūs galite nesutikti su šiais teiginiais.
Tačiau niekas nepaneigs, kad bet koks vaizdas žmogui kelia asociacijas. Tačiau bėda ta, kad vieni objektai, siužetai ar grafiniai elementai visiems žmonėms (tiksliau, daugeliui) sukelia vienodas asociacijas, o kiti – visiškai kitokias.

8) Trikampis yra geometrinė figūra, kurią sudaro trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje, ir trys atkarpos, jungiančios šiuos tris taškus.
Trikampio kaip figūros savybės: stiprumas, nekintamumas.
Stereometrijos aksioma A1 sako: „Per 3 erdvės taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, eina plokštuma ir tik vienas!
Norint patikrinti šio teiginio supratimo gilumą, dažniausiai užduodama užduotis: „Ant stalo, trijuose stalo galuose, sėdi trys musės. Tam tikru momentu jie išskrenda trimis viena kitai statmenomis kryptimis tuo pačiu greičiu. Kada jie vėl bus tame pačiame lėktuve? Atsakymas yra tas, kad trys taškai visada, bet kuriuo momentu apibrėžia vieną plokštumą. Ir būtent 3 taškai apibrėžia trikampį, todėl šis geometrijos skaičius laikomas stabiliausiu ir patvariausiu.
Trikampis paprastai vadinamas aštria, „įžeidžiančia“ figūra, susijusia su vyrišku principu. Lygiakraštis trikampis yra vyriškas ir saulės ženklas, simbolizuojantis dieviškumą, ugnį, gyvenimą, širdį, kalną ir pakilimą, gerovę, harmoniją ir karališkumą. Apverstas trikampis yra moteriškas ir mėnulio simbolis, simbolizuojantis vandenį, vaisingumą, lietų ir dieviškąjį gailestingumą.

9) Šešiakampė žvaigždė (Dovydo žvaigždė) - susideda iš dviejų lygiakraščių trikampių, išdėstytų vienas ant kito. Viena iš ženklo kilmės versijų jo formą sieja su Baltosios lelijos žiedo, turinčio šešis žiedlapius, forma. Gėlė tradiciškai buvo dedama po šventyklos lempa taip, kad kunigas tarsi uždegdavo ugnį Magen Dovydo centre. Kabaloje du trikampiai simbolizuoja prigimtinį žmogaus dvilypumą: gėris prieš blogį, dvasinis prieš fizinį ir pan. Į viršų nukreiptas trikampis simbolizuoja mūsų gerus darbus, kurie kyla į dangų ir skatina malonės srautą nusileisti atgal į šį pasaulį (kurį simbolizuoja žemyn nukreiptas trikampis). Kartais Dovydo žvaigždė vadinama Kūrėjo žvaigžde ir kiekvienas iš šešių jos galų siejamas su viena iš savaitės dienų, o centras – su šeštadieniu.
Jungtinių Valstijų valstybiniuose simboliuose taip pat yra įvairių formų šešiakampė žvaigždė, ypač ji yra ant Didžiojo JAV antspaudo ir ant banknotų. Dovydo žvaigždė pavaizduota Vokietijos miestų Cher ir Gerbstedt herbuose, taip pat Ukrainos Ternopilio ir Konotopo herbuose. Trys šešiakampės žvaigždės pavaizduotos ant Burundžio vėliavos ir simbolizuoja nacionalinį šūkį: „Vienybė. Darbas. Pažanga“.
Krikščionybėje šešiakampė žvaigždė yra Kristaus simbolis, būtent dieviškosios ir žmogiškosios prigimties sąjunga Kristuje. Štai kodėl šis ženklas yra įrašytas stačiatikių kryžiuje.

10) Penkiakampė žvaigždė – pagrindinė išskirtinė bolševikų emblema yra raudona penkiakampė žvaigždė, oficialiai įrengta 1918 m. pavasarį. Iš pradžių bolševikų propaganda pavadino ją „Marso žvaigžde“ (tariamai priklausanti senovės karo dievui – Marsui), o paskui pradėjo skelbti, kad „penki žvaigždės spinduliai reiškia visų penkių žemynų dirbančių žmonių sąjungą. kova su kapitalizmu“. Iš tikrųjų penkiakampė žvaigždė neturi nieko bendra nei su karinga dievybe Marsu, nei su tarptautiniu proletariatu, tai senovinis okultinis ženklas (matyt, Artimųjų Rytų kilmės), vadinamas „pentagrama“ arba „Saliamono žvaigžde“.
Vyriausybė“, kurią visiškai kontroliuoja masonija.
Labai dažnai satanistai piešia pentagramą abiem galais į viršų, kad ten būtų lengva pritaikyti velnio galvą „Bafometo pentagrama“. „Ugninio revoliucionieriaus“ portretas patalpintas „Bafometo pentagramoje“, kuri yra 1932 m. sukurtos ypatingo čekistų ordino „Felikso Dzeržinskio“ kompozicijos centrinė dalis (vėliau projektą atmetė Stalinas, kuris labai nekentė). „Geležinis Feliksas“).

Pastebėkime, kad pentagramą bolševikai dažnai dėdavo ant Raudonosios armijos uniformų, karinės technikos, įvairių ženklų ir visokių vizualinės propagandos atributų grynai šėtoniškai: dviem „ragais“ aukštyn.
Marksistiniai „pasaulinės proletarinės revoliucijos“ planai buvo aiškiai masoniškos kilmės. L. Trockis buvo vienas iš jų ir būtent jis pasiūlė masonų pentagramą padaryti bolševizmo identifikacine emblema.
Tarptautinės masonų ložės slapta teikė bolševikams visą paramą, ypač finansinę.

3. Masonų ženklai

Masonai

Šūkis:"Laisvė. Lygybė. Brolija“.

Visuomeninis laisvų žmonių judėjimas, kurie laisvo pasirinkimo pagrindu leidžia tapti geresniais, priartėti prie Dievo, todėl pripažįstami kaip tobulinantys pasaulį.
Masonai yra Kūrėjo bendražygiai, socialinės pažangos šalininkai, prieš inerciją, inerciją ir neišmanymą. Žymūs masonijos atstovai yra Nikolajus Michailovičius Karamzinas, Aleksandras Vasiljevičius Suvorovas, Michailas Illarionovičius Kutuzovas, Aleksandras Sergejevičius Puškinas, Josephas Goebbelsas.

Ženklai

Švytinti akis (delta) yra senovinis, religinis ženklas. Jis sako, kad Dievas prižiūri jo kūrinius. Su šio ženklo atvaizdu masonai prašė Dievo palaiminimo bet kokiems grandioziniams veiksmams ar jų darbams. Švytinčioji akis yra ant Kazanės katedros frontono Sankt Peterburge.

Kompaso ir kvadrato derinys masonų ženkle.

Nežinantiems tai yra darbo įrankis (mūrininkas), o inicijuotiesiems – būdai suprasti pasaulį ir dieviškosios išminties bei žmogiškojo proto santykį.
Aikštė, kaip taisyklė, iš apačios yra žmogaus žinios apie pasaulį. Masonijos požiūriu žmogus ateina į pasaulį, kad suprastų dieviškąjį planą. O žinioms reikia įrankių. Veiksmingiausias pasaulio supratimo mokslas yra matematika.
Aikštė yra seniausias matematinis instrumentas, žinomas nuo neatmenamų laikų. Aikštės baigimas – jau didelis žingsnis į priekį matematiniuose pažinimo įrankiuose. Žmogus pasaulį supranta mokslų pagalba, matematika yra pirmoji iš jų, bet ne vienintelė.
Tačiau aikštė yra medinė, joje telpa, kas telpa. Jo negalima atskirti. Jei bandysite jį išplėsti, kad tilptų daugiau, jį sulaužysite.
Taigi žmonės, kurie bando suprasti visą dieviškojo plano begalybę, arba miršta, arba išprotėja. "Žinokite savo ribas!" – štai ką šis ženklas sako Pasauliui. Net jei būtumėte Einšteinas, Niutonas, Sacharovas – didžiausi žmonijos protai! - suprasti, kad jus riboja laikas, kuriuo gimėte; suprasti pasaulį, kalbą, smegenų pajėgumus, įvairius žmogaus apribojimus, savo kūno gyvenimą. Todėl, taip, mokykis, bet suprask, kad niekada iki galo nesuprasi!
O kaip su kompasu? Kompasas yra dieviškoji išmintis. Apskritimui apibūdinti galite naudoti kompasą, bet jei išskleisite jo kojas, tai bus tiesi linija. O simbolinėse sistemose apskritimas ir tiesė yra dvi priešingybės. Tiesi linija žymi žmogų, jo pradžią ir pabaigą (kaip brūkšnys tarp dviejų datų – gimimo ir mirties). Apskritimas yra dievybės simbolis, nes tai tobula figūra. Jie priešinasi vienas kitam – dieviškos ir žmogiškos figūros. Žmogus nėra tobulas. Dievas yra tobulas visame kame.

Dieviškajai išminčiai nėra nieko neįmanomo, ji gali įgauti ir žmogišką (-), ir dievišką pavidalą (0), joje gali būti viskas. Taigi žmogaus protas suvokia dieviškąją išmintį ir ją apima. Filosofijoje šis teiginys yra absoliučios ir santykinės tiesos postulatas.
Žmonės visada žino tiesą, bet visada santykinę tiesą. O absoliuti tiesa žinoma tik Dievui.
Sužinok vis daugiau, suprasdamas, kad iki galo nesuvoksi tiesos – kokias gelmes randame įprastame kompase su kvadratu! Kas būtų pagalvojęs!
Tai yra masonų simbolikos grožis ir žavesys, jos didžiulė intelektualinė gelmė.
Nuo viduramžių kompasas, kaip tobulų apskritimų piešimo įrankis, tapo geometrijos, kosminės tvarkos ir planuotų veiksmų simboliu. Tuo metu galybių Dievas dažnai buvo vaizduojamas Visatos kūrėjo ir architekto atvaizde su kompasu rankose (William Blake „Didysis architektas“, 1794).

Šešiakampė žvaigždė (Betliejus)

Raidė G yra Dievo (vokiškai - Got), didžiojo Visatos geometrijos, žymėjimas.
Šešiakampė žvaigždė reiškė vienybę ir priešybių kovą, vyro ir moters, gėrio ir blogio, šviesos ir tamsos kovą. Vienas negali egzistuoti be kito. Tarp šių priešybių kylanti įtampa sukuria pasaulį tokį, kokį mes jį žinome.
Trikampis aukštyn reiškia „Žmogus siekia Dievo“. Trikampis žemyn - „Dievybė nusileidžia žmogui“. Jų ryšyje egzistuoja mūsų pasaulis, kuris yra žmogiškojo ir dieviškojo sąjunga. Raidė G čia reiškia, kad Dievas gyvena mūsų pasaulyje. Jis tikrai yra visame, ką sukūrė.

Išvada

Matematiniai simboliai pirmiausia skirti tiksliai įrašyti matematines sąvokas ir sakinius. Jų visuma sudaro tai, kas vadinama matematine kalba.
Lemiama jėga vystymuisi matematinė simbolika yra ne matematikų „laisva valia“, o praktikos, matematinio tyrimo reikalavimai. Būtent tikri matematiniai tyrimai padeda išsiaiškinti, kuri ženklų sistema geriausiai atspindi kiekybinių ir kokybinių santykių struktūrą, todėl gali būti efektyvi priemonė tolesniam jų panaudojimui simboliuose ir emblemose.

Kai žmonės ilgą laiką bendrauja tam tikroje veiklos srityje, jie pradeda ieškoti būdo, kaip optimizuoti bendravimo procesą. Matematinių ženklų ir simbolių sistema yra dirbtinė kalba, kuri buvo sukurta siekiant sumažinti grafiškai perduodamos informacijos kiekį, visiškai išsaugant pranešimo prasmę.

Bet kurią kalbą reikia mokytis, o matematikos kalba šiuo atžvilgiu nėra išimtis. Norint suprasti formulių, lygčių ir grafikų reikšmę, reikia iš anksto turėti tam tikrą informaciją, suprasti terminus, žymėjimo sistemą ir pan.. Jei tokių žinių nėra, tekstas bus suvokiamas kaip parašytas nepažįstama užsienio kalba.

Atsižvelgiant į visuomenės poreikius, paprastesnių matematinių operacijų grafiniai simboliai (pavyzdžiui, sudėjimo ir atimties žymėjimas) buvo sukurti anksčiau nei sudėtingoms sąvokoms, tokioms kaip integralas ar diferencialas. Kuo sudėtingesnė sąvoka, tuo sudėtingesniu ženklu ji paprastai žymima.

Grafinių simbolių formavimo modeliai

Ankstyvosiose civilizacijos raidos stadijose žmonės paprasčiausius matematinius veiksmus siejo su pažįstamomis sąvokomis, pagrįstomis asociacijomis. Pavyzdžiui, Senovės Egipte sudėjimas ir atėmimas buvo žymimi vaikščiojimo pėdų modeliu: skaitymo kryptimi nukreiptos linijos rodė „pliusą“, o priešinga kryptimi - „minusą“.

Skaičiai, galbūt visose kultūrose, iš pradžių buvo žymimi atitinkamu eilučių skaičiumi. Vėliau įrašymui pradėti naudoti įprasti užrašai – taip sutaupyta laiko, taip pat vietos fizinėje laikmenoje. Raidės dažnai buvo naudojamos kaip simboliai: ši strategija plačiai paplito graikų, lotynų ir daugelyje kitų pasaulio kalbų.

Matematinių simbolių ir ženklų atsiradimo istorija žino du produktyviausius grafinių elementų kūrimo būdus.

Verbalinis vaizdavimas

Iš pradžių bet kuri matematinė sąvoka išreiškiama tam tikru žodžiu ar fraze ir neturi savo grafinio vaizdavimo (be leksinio). Tačiau skaičiavimų atlikimas ir formulių rašymas žodžiais yra ilga procedūra ir užima nepagrįstai daug vietos fizinėje laikmenoje.

Įprastas būdas sukurti matematinius simbolius yra paversti leksinį sąvokos vaizdavimą grafiniu elementu. Kitaip tariant, sąvoką žymintis žodis laikui bėgant trumpinamas arba kitaip transformuojamas.

Pavyzdžiui, pagrindinė pliuso ženklo kilmės hipotezė yra jo santrumpa iš lotynų kalbos et, kurio analogas rusų kalba yra jungtukas „ir“. Palaipsniui nustojo rašyti pirmoji kursyvinio rašto raidė ir t sumažintas iki kryžiaus.

Kitas pavyzdys yra „x“ ženklas, reiškiantis nežinomybę, kuris iš pradžių buvo arabiško žodžio „kažkas“ santrumpa. Panašiai – ženklai, rodantys kvadratinė šaknis, procentas, integralas, logaritmas ir tt Matematinių simbolių ir ženklų lentelėje galite rasti daugiau nei tuziną tokiu būdu atsiradusių grafinių elementų.

Pasirinktinis simbolių priskyrimas

Antrasis įprastas matematinių ženklų ir simbolių formavimo variantas yra savavališkas simbolio priskyrimas. Šiuo atveju žodis ir grafinis žymėjimas nėra susiję vienas su kitu – ženklas paprastai patvirtinamas rekomendavus vienam iš mokslo bendruomenės narių.

Pavyzdžiui, daugybos, dalybos ir lygybės ženklus pasiūlė matematikai Williamas Oughtredas, Johannas Rahnas ir Robertas Recordas. Kai kuriais atvejais vienas mokslininkas į mokslą galėjo įtraukti kelis matematinius simbolius. Visų pirma, Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas pasiūlė daugybę simbolių, įskaitant integralinį, diferencialinį ir išvestinį.

Paprasčiausios operacijos

Kiekvienas moksleivis žino tokius ženklus kaip "pliusas" ir "minusas", taip pat daugybos ir dalybos simbolius, nepaisant to, kad yra keletas galimų grafinių ženklų, skirtų paskutinėms dviem minėtiems veiksmams.

Galima drąsiai teigti, kad sudėti ir atimti žmonės mokėjo daugelį tūkstantmečių iki mūsų eros, tačiau standartizuoti ir šiandien mums žinomi šiuos veiksmus žymintys matematiniai ženklai ir simboliai atsirado tik XIV–XV a.

Tačiau, nepaisant tam tikro susitarimo mokslo bendruomenėje, daugyba mūsų laikais gali būti pavaizduota trimis skirtingais ženklais (įstrižainiu kryžiumi, tašku, žvaigždute) ir padalijimu iš dviejų (horizontali linija su taškais viršuje ir apačioje arba pasvirasis brūkšnys).

lotyniškos raidės

Daugelį amžių mokslo bendruomenė naudojo tik lotynų kalbą informacijai perduoti, o daugelis matematinių terminų ir simbolių kilo iš šios kalbos. Kai kuriais atvejais grafiniai elementai buvo žodžių sutrumpinimo, rečiau jų tyčinio ar atsitiktinio pavertimo (pavyzdžiui, dėl rašybos klaidos) rezultatas.

Procentinis žymėjimas („%“) greičiausiai kilęs dėl santrumpos klaidingos rašybos PSO(cento, t.y. „šimta dalis“). Panašiu būdu atsirado pliuso ženklas, kurio istorija aprašyta aukščiau.

Daug daugiau susidarė sąmoningai trumpinant žodį, nors tai ne visada akivaizdu. Ne kiekvienas žmogus atpažįsta raidę kvadratinės šaknies ženkle R, t. y. pirmasis žodžio Radix simbolis („šaknis“). Integruotas simbolis taip pat žymi pirmąją žodžio Summa raidę, bet intuityviai atrodo kaip didžioji raidė f be horizontalios linijos. Beje, pirmoje publikacijoje leidėjai padarė būtent tokią klaidą vietoje šio simbolio išspausdinę f.

Graikiškos raidės

Įvairių sąvokų grafiniais žymėjimais naudojami ne tik lotyniški, bet ir matematinių simbolių lentelėje galima rasti nemažai tokių pavadinimų pavyzdžių.

Skaičius Pi, kuris yra apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis, kilęs iš pirmosios raidės Graikiškas žodis, nurodant apskritimą. Yra keletas kitų mažiau žinomų neracionalių skaičių, žymimų graikų abėcėlės raidėmis.

Itin paplitęs ženklas matematikoje yra „delta“, atspindintis kintamųjų vertės pokyčio dydį. Kitas dažniausiai naudojamas ženklas yra „sigma“, kuris veikia kaip sumos ženklas.

Be to, beveik visos graikiškos raidės vienaip ar kitaip naudojamos matematikoje. Tačiau šiuos matematinius ženklus ir simbolius bei jų reikšmę žino tik profesionaliai mokslu užsiimantys žmonės. Šių žinių žmogui kasdieniame gyvenime nereikia.

Logikos ženklai

Kaip bebūtų keista, daugelis intuityvių simbolių buvo išrasti visai neseniai.

Visų pirma, horizontali rodyklė, pakeičianti žodį „todėl“, buvo pasiūlyta tik 1922 m. Egzistencijos ir universalumo kvantifikatoriai, t. y. ženklai, skaitomi taip: „yra ...“ ir „bet kokiam ...“, buvo įvesti 1897 m. Atitinkamai 1935 m.

Simboliai iš aibių teorijos srities buvo išrasti 1888–1889 m. O perbrauktas apskritimas, kuris šiandien kiekvienam gimnazistui žinomas kaip tuščio komplekto ženklas, atsirado 1939 m.

Taigi simboliai tokioms sudėtingoms sąvokoms kaip integralas ar logaritmas buvo išrasti šimtmečiais anksčiau nei kai kurie intuityvūs simboliai, kuriuos lengva suvokti ir išmokti net be išankstinio pasiruošimo.

Matematiniai simboliai anglų kalba

Dėl to, kad nemaža dalis sąvokų moksliniuose darbuose aprašyta lotynų kalba, nemažai matematinių ženklų ir simbolių pavadinimų anglų ir rusų kalbomis yra vienodi. Pavyzdžiui: pliusas, integralas, delta funkcija, statmena, lygiagreti, nulinė.

Kai kurios sąvokos dviem kalbomis vadinamos skirtingai: pavyzdžiui, dalyba yra dalyba, daugyba yra daugyba. Retais atvejais angliškas matematinio ženklo pavadinimas yra šiek tiek paplitęs rusų kalboje: pavyzdžiui, pastaraisiais metais brūkšnys dažnai vadinamas „slash“.

Simbolių lentelė

Paprasčiausias ir patogiausias būdas susipažinti su matematinių ženklų sąrašu yra pažvelgti į specialią lentelę, kurioje yra operacijos ženklai, matematinės logikos simboliai, aibių teorija, geometrija, kombinatorika, matematinė analizė ir tiesinė algebra. Šioje lentelėje pateikiami pagrindiniai matematiniai simboliai anglų kalba.

Matematiniai simboliai teksto rengyklėje

Atliekant įvairaus pobūdžio darbus dažnai tenka naudoti formules, kuriose naudojami simboliai, kurių nėra kompiuterio klaviatūroje.

Kaip ir grafinius elementus iš beveik bet kurios žinių srities, „Word“ matematinius ženklus ir simbolius galite rasti skirtuke „Įterpti“. 2003 ar 2007 metų programos versijose yra parinktis „Įterpti simbolį“: spustelėjus dešinėje skydelio pusėje esantį mygtuką, vartotojas pamatys lentelę, kurioje pateikiami visi reikalingi matematiniai simboliai, graikiškos mažosios raidės ir didžiosios raidės, įvairių tipų skliaustai ir daug daugiau.

Programų versijose, išleistose po 2010 m., buvo sukurta patogesnė parinktis. Spustelėjus mygtuką „Formulė“, patenkama į formulių konstruktorių, kuris numato trupmenų naudojimą, duomenų įvedimą po šaknimi, registro keitimą (nurodant kintamųjų laipsnius ar eilės numerius). Čia taip pat galite rasti visus aukščiau pateiktos lentelės ženklus.

Ar verta mokytis matematikos simbolių?

Matematinio žymėjimo sistema yra dirbtinė kalba, kuri tik supaprastina rašymo procesą, bet negali padėti išoriniam stebėtojui suprasti dalyką. Taigi ženklų įsiminimas nenagrinėjant terminų, taisyklių ir loginių sąvokų sąsajų nepadės įvaldyti šios žinių srities.

Žmogaus smegenys nesunkiai išmoksta ženklus, raides ir santrumpas – matematiniai simboliai įsimena patys, studijuojant dalyką. Suvokus kiekvieno konkretaus veiksmo prasmę susidaro tokie stiprūs ženklai, kad terminus žymintys ženklai, o neretai ir su jais siejamos formulės išlieka atmintyje ilgus metus ir net dešimtmečius.

Apibendrinant

Kadangi bet kuri kalba, įskaitant dirbtinę, yra atvira pakeitimams ir papildymams, matematinių ženklų ir simbolių skaičius laikui bėgant tikrai augs. Gali būti, kad vieni elementai bus pakeisti arba pakoreguoti, o kiti – standartizuoti vienintele įmanoma forma, kuri yra aktuali, pavyzdžiui, daugybos ar padalijimo ženklams.

Gebėjimas naudoti matematinius simbolius viso mokyklos kurso lygiu šiuolaikiniame pasaulyje yra praktiškai būtinas. Sparčiai vystantis informacinėms technologijoms ir mokslui, plačiai paplitusiam algoritmizavimui ir automatizavimui, matematinio aparato įvaldymas turėtų būti laikomas savaime suprantamu dalyku, o matematinių simbolių įvaldymas – neatsiejama jo dalis.

Kadangi skaičiavimai naudojami humanitariniuose, ekonomikos, gamtos moksluose ir, žinoma, inžinerijos ir aukštųjų technologijų srityse, suprasti matematines sąvokas ir žinoti simbolius pravers bet kuriam specialistui.

Begalybė.J. Wallis (1655).

Pirmą kartą rasta anglų matematiko Johno Valis traktate „Apie kūginius pjūvius“.

Bazė natūralūs logaritmai. L. Euleris (1736).

Matematinė konstanta, transcendentinis skaičius. Šis numeris kartais vadinamas neplunksnuotasškotų garbei mokslininkas Napier, veikalo „Nuostabiosios logaritmų lentelės aprašymas“ (1614) autorius. Pirmą kartą konstanta tyliai pasirodo Napier minėto kūrinio vertimo į anglų kalbą, išleisto 1618 m., priede. Pačią konstantą pirmasis apskaičiavo šveicarų matematikas Jacobas Bernoulli, spręsdamas palūkanų pajamų ribinės vertės problemą.

2,71828182845904523...

Pirmasis žinomas šios konstantos panaudojimas, kur ji buvo pažymėta raide b, rastas Leibnizo laiškuose Huygensui, 1690–1691 m. Laiškas e Euleris pradėjo jį naudoti 1727 m., o pirmoji publikacija su šiuo laišku buvo jo darbas „Mechanika arba judesio mokslas, paaiškinamas analitiškai“ 1736 m. Atitinkamai, e paprastai vadinamas Eulerio numeris. Kodėl pasirinktas laiškas? e, tiksliai nežinoma. Galbūt taip yra dėl to, kad žodis prasideda juo eksponentinis(„orientacinis“, „eksponentinis“). Dar viena prielaida, kad raidės a, b, c Ir d jau gana plačiai naudojami kitiems tikslams, ir e buvo pirmasis „nemokamas“ laiškas.

Perimetro ir skersmens santykis. W. Jonesas (1706 m.), L. Eileris (1736 m.).

Matematinė konstanta, neracionalusis skaičius. Skaičius „pi“, senasis pavadinimas yra Ludolfo numeris. Kaip ir bet kuris neracionalus skaičius, π vaizduojamas kaip begalinė neperiodinė dešimtainė trupmena:

π =3,141592653589793...

Pirmą kartą šio skaičiaus žymėjimą graikiška raide π panaudojo britų matematikas Williamas Jonesas knygoje „Naujas matematikos įvadas“, ir jis tapo visuotinai priimtas po Leonhardo Eulerio darbo. Šis pavadinimas kilęs iš pradinės graikų kalbos žodžių περιφερεια – apskritimas, periferija ir περιμετρος – perimetras. Johanas Heinrichas Lambertas įrodė π neracionalumą 1761 m., o Adrienne Marie Legendre įrodė π 2 neracionalumą 1774 m. Legendre ir Euleris darė prielaidą, kad π gali būti transcendentinė, t.y. negali patenkinti jokios algebrinės lygties su sveikųjų skaičių koeficientais, ką galiausiai 1882 m. įrodė Ferdinandas von Lindemannas.

Įsivaizduojamas vienetas. L. Euleris (1777, spaudoje - 1794).

Yra žinoma, kad lygtis x 2 = 1 turi dvi šaknis: 1 Ir -1 . Įsivaizduojamasis vienetas yra viena iš dviejų lygties šaknų x 2 = -1, žymimas lotyniška raide i, kita šaknis: -i. Šį pavadinimą pasiūlė Leonhardas Euleris, kuris šiam tikslui paėmė pirmąją lotyniško žodžio raidę įsivaizduojamas(įsivaizduojamas). Taip pat visas standartines funkcijas jis išplėtė į kompleksinį domeną, t.y. skaičių rinkinys, vaizduojamas kaip a+ib, Kur a Ir b- realūs skaičiai. Terminą „sudėtingas skaičius“ plačiai pradėjo vartoti vokiečių matematikas Carlas Gaussas 1831 m., nors anksčiau ta pačia prasme šį terminą 1803 m. vartojo prancūzų matematikas Lazare'as Carnot.

Vienetų vektoriai. W. Hamiltonas (1853).

Vienetų vektoriai dažnai siejami su koordinačių sistemos koordinačių ašimis (ypač su Dekarto koordinačių sistemos ašimis). Vieneto vektorius, nukreiptas išilgai ašies X, pažymėta i, vieneto vektorius, nukreiptas išilgai ašies Y, pažymėta j, o vieneto vektorius nukreiptas išilgai ašies Z, pažymėta k. Vektoriai i, j, k vadinami vienetiniais vektoriais, jie turi vienetinius modulius. Terminą „ort“ įvedė anglų matematikas ir inžinierius Oliveris Heaviside'as (1892), o užrašas i, j, k– airių matematikas Williamas Hamiltonas.

Sveikoji skaičiaus dalis, antie. K.Gausas (1808).

Skaičiaus x skaičiaus [x] sveikoji dalis yra didžiausias sveikasis skaičius, neviršijantis x. Taigi =5, [-3,6]=-4. Funkcija [x] taip pat vadinama "antier of x". Visos dalies funkcijos simbolį Carlas Gaussas pristatė 1808 m. Kai kurie matematikai vietoj to renkasi žymėjimą E(x), kurį 1798 m. pasiūlė Legendre.

Lygiagretumo kampas. N.I. Lobačevskis (1835).

Lobačevskio plokštumoje - kampas tarp tiesėsb, einantis per taškąAPIElygiagrečiai linijaia, kuriame nėra taškoAPIE, ir statmenai nuoAPIEįjungta a. α - šio statmens ilgis. Kai taškas tolstaAPIE nuo tiesios linijos alygiagretumo kampas sumažėja nuo 90° iki 0°. Lobačevskis pateikė lygiagretumo kampo formulęP( α )=2arctg e - α /q , Kur q- tam tikra konstanta, susijusi su Lobačevskio erdvės kreivumu.

Nežinomas arba kintamieji. R. Dekartas (1637).

Matematikoje kintamasis yra dydis, apibūdinamas reikšmių rinkiniu, kurį jis gali užimti. Tai gali reikšti ir realų fizinį dydį, laikinai vertinamą atskirai nuo jo fizinio konteksto, ir kokį nors abstraktų dydį, kuris neturi analogų realiame pasaulyje. Kintamojo samprata atsirado XVII a. iš pradžių veikiamas gamtos mokslo reikalavimų, kurie iškėlė į pirmą planą judėjimo, procesų, o ne tik būsenų, tyrinėjimus. Ši koncepcija reikalavo naujų jos išraiškos formų. Tokios naujos formos buvo Rene Descartes'o raidžių algebra ir analitinė geometrija. Pirmą kartą stačiakampę koordinačių sistemą ir žymėjimą x, y įvedė Rene Descartes savo veikale „Diskursas apie metodą“ 1637 m. Pierre'as Fermatas taip pat prisidėjo prie koordinačių metodo kūrimo, tačiau jo darbai pirmą kartą buvo paskelbti po jo mirties. Dekartas ir Ferma koordinačių metodą naudojo tik plokštumoje. Pirmą kartą koordinačių metodą trimatei erdvei Leonhardas Euleris panaudojo jau XVIII a.

Vektorius. O. Koši (1853).

Nuo pat pradžių vektorius suprantamas kaip objektas, turintis dydį, kryptį ir (pasirinktinai) taikymo tašką. Kartu su geometriniu modeliu atsirado ir vektorinio skaičiavimo užuomazgos kompleksiniai skaičiai Gause (1831). Hamiltonas paskelbė sukurtas operacijas su vektoriais kaip savo ketvirčio skaičiavimo dalį (vektorius buvo suformuotas iš įsivaizduojamų kvaterniono komponentų). Hamiltonas pasiūlė terminą vektorius(iš lotyniško žodžio vektorius, vežėjas) ir aprašė kai kurias vektorinės analizės operacijas. Maxwellas naudojo šį formalizmą savo darbuose apie elektromagnetizmą, taip atkreipdamas mokslininkų dėmesį į naująjį skaičiavimą. Netrukus pasirodė Gibbso vektorinės analizės elementai (1880 m.), o paskui Heaviside'as (1903 m.) pateikė vektorinę analizę. moderni išvaizda. Patį vektorinį ženklą 1853 metais pradėjo naudoti prancūzų matematikas Augustinas Louisas Cauchy.

Sudėjimas, atėmimas. J. Widmanas (1489).

Pliuso ir minuso ženklai, matyt, buvo sugalvoti vokiečių „kosistų“ (tai yra algebristų) matematikos mokykloje. Jie naudojami Jan (Johannes) Widmann vadovėlyje „Greita ir maloni sąskaita visiems prekybininkams“, išleistame 1489 m. Anksčiau papildymas buvo žymimas raide p(iš lotynų kalbos pliusas„daugiau“) arba lotyniškas žodis et(jungtukas „ir“), o atimtis - raidė m(iš lotynų kalbos minusas„mažiau, mažiau“) Widmannui pliuso simbolis pakeičia ne tik pridėjimą, bet ir jungtuką „ir“. Šių simbolių kilmė neaiški, tačiau greičiausiai jie anksčiau buvo naudojami prekyboje kaip pelno ir nuostolio rodikliai. Abu simboliai greitai tapo paplitę Europoje – išskyrus Italiją, kuri maždaug šimtmetį vartojo senuosius pavadinimus.

Daugyba. W. Outredas (1631 m.), G. Leibnicas (1698 m.).

Daugybos ženklą įstrižo kryžiaus pavidalu 1631 m. įvedė anglas Williamas Oughtredas. Prieš jį dažniausiai buvo naudojamas laiškas M, nors buvo pasiūlyti ir kiti užrašai: stačiakampio simbolis (prancūzų matematikas Erigon, 1634), žvaigždutė (šveicarų matematikas Johannas Rahnas, 1659). Vėliau Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas kryžių pakeitė tašku (XVII a. pabaiga), kad nesupainiotų jo su raide. x; prieš jį tokia simbolika buvo rasta tarp vokiečių astronomo ir matematiko Regiomontano (XV a.) ir anglų mokslininko Thomaso Herriot (1560 -1621).

Padalinys. I.Ranas (1659), G.Leibnicas (1684).

William Ooughtred naudojo pasvirąjį brūkšnį / kaip padalijimo ženklą. Gottfriedas Leibnicas skyrybą pradėjo žymėti dvitaškiu. Prieš juos laiškas taip pat dažnai buvo naudojamas D. Pradedant nuo Fibonačio, naudojama ir horizontali trupmenos linija, kurią naudojo Heronas, Diophantas ir arabų kūriniuose. Anglijoje ir JAV paplito simbolis ÷ (obelus), kurį 1659 m. pasiūlė Johanas Rahnas (galbūt dalyvaujant Johnui Pellui). Amerikos nacionalinio matematinių standartų komiteto bandymas ( Nacionalinis matematinių reikalavimų komitetas) pašalinti obelius iš praktikos (1923 m.) nepavyko.

proc. P. de la Porte (1685).

Šimtoji visumos dalis, paimta kaip vienetas. Pats žodis „procentas“ kilęs iš lotyniško žodžio „pro centum“, kuris reiškia „šimtui“. 1685 m. Paryžiuje buvo išleista Mathieu de la Porte knyga „Komercinės aritmetikos vadovas“. Vienoje vietoje jie kalbėjo apie procentus, kurie tada buvo vadinami „cto“ (sutrumpinimas iš cento). Tačiau rinkėjas suklaidino šį „cto“ su trupmena ir išspausdino „%“. Taigi, dėl rašybos klaidos šis ženklas buvo pradėtas naudoti.

Laipsniai. R. Dekartas (1637), I. Niutonas (1676).

Šiuolaikinį eksponento žymėjimą įvedė Rene Descartes savo „ Geometrija"(1637 m.), tačiau tik natūralioms galioms, kurių rodikliai yra didesni nei 2. Vėliau Izaokas Niutonas išplėtė šią žymėjimo formą neigiamiems ir trupmeniniams rodikliams (1676), kurių interpretaciją iki tol jau buvo pasiūlyta: flamandų matematikas ir inžinierius Simonas Stevinas, anglų matematikas Johnas Wallisas ir prancūzų matematikas Albertas Girardas.

Aritmetinė šaknis n- tikrojo skaičiaus laipsnis A≥0, - neneigiamas skaičius n-kurio laipsnis lygus A. 2-ojo laipsnio aritmetinė šaknis vadinama kvadratine ir gali būti užrašoma nenurodant laipsnio: √. 3 laipsnio aritmetinė šaknis vadinama kubo šaknimi. Viduramžių matematikai (pavyzdžiui, Cardano) kvadratinę šaknį žymėjo simboliu R x (iš lot. Radix, šaknis). Šiuolaikinį žymėjimą pirmą kartą panaudojo vokiečių matematikas Christophas Rudolfas iš Cossist mokyklos 1525 m. Šis simbolis kilęs iš stilizuotos pirmosios to paties žodžio raidės radix. Iš pradžių virš radikalios išraiškos nebuvo linijos; vėliau jį įvedė Dekartas (1637 m.) kitokiu tikslu (vietoj skliaustų), ir ši savybė netrukus susiliejo su šaknies ženklu. XVI amžiuje kubinė šaknis buvo žymima taip: R x .u.cu (iš lat. Radix universalis cubica). Albertas Girardas (1629) pradėjo naudoti žinomą žymėjimą savavališko laipsnio šaknims. Šis formatas buvo sukurtas Isaac Newton ir Gottfried Leibniz dėka.

Logaritmas, dešimtainis logaritmas, natūralusis logaritmas. I. Kepleris (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheimas (1893).

Terminas „logaritmas“ priklauso škotų matematikui Johnui Napieriui ( „Nuostabios logaritmų lentelės aprašymas“, 1614); jis atsirado sujungus graikiškų žodžių λογος (žodis, santykis) ir αριθμος (skaičius). J. Napier logaritmas yra pagalbinis skaičius dviejų skaičių santykiui matuoti. Šiuolaikinį logaritmo apibrėžimą pirmasis pateikė anglų matematikas Williamas Gardineris (1742). Pagal apibrėžimą – skaičiaus logaritmas b remiantis a (a ≠ 1, a > 0) – eksponentas m, iki kurio skaičius turėtų būti padidintas a(vadinamą logaritmo baze) gauti b. Paskirta log a b. Taigi, m = žurnalas a b, Jeigu a m = b.

Pirmąsias dešimtainių logaritmų lenteles 1617 m. paskelbė Oksfordo matematikos profesorius Henry Briggsas. Todėl užsienyje dešimtainiai logaritmai dažnai vadinami Briggso logaritmais. Terminą „natūralus logaritmas“ įvedė Pietro Mengoli (1659) ir Nicholas Mercator (1668), nors Londono matematikos mokytojas Johnas Spidellas natūraliųjų logaritmų lentelę sudarė dar 1619 m.

Iki XIX amžiaus pabaigos nebuvo visuotinai priimto logaritmo žymėjimo, pagrindo. a nurodyta kairėje ir virš simbolio žurnalas, tada virš jo. Galiausiai matematikai padarė išvadą, kad patogiausia vieta bazei yra žemiau linijos, po simbolio žurnalas. Logaritmo ženklas – žodžio „logaritmas“ sutrumpinimo rezultatas – įvairiomis formomis atsiranda beveik tuo pačiu metu, kai atsiranda pirmosios logaritmų lentelės, pvz. Žurnalas- I. Kepleris (1624 m.) ir G. Briggsas (1631 m.), žurnalas- B. Cavalieri (1632). Paskyrimas ln nes natūralųjį logaritmą įvedė vokiečių matematikas Alfredas Pringsheimas (1893).

Sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas. W. Outred (XVII a. vidurys), I. Bernoulli (XVIII a.), L. Euleris (1748, 1753).

Sinuso ir kosinuso santrumpas XVII amžiaus viduryje įvedė William Oughtred. Tangento ir kotangento santrumpos: tg, ctg XVIII amžiuje įvedė Johanas Bernullis, jos paplito Vokietijoje ir Rusijoje. Kitose šalyse naudojami šių funkcijų pavadinimai įdegis, lovytė Albertas Girardas pasiūlė dar anksčiau, XVII amžiaus pradžioje. Leonhardas Euleris (1748, 1753) trigonometrinių funkcijų teoriją perkėlė į šiuolaikinę formą, ir mes jam skolingi už tikrosios simbolikos įtvirtinimą.Terminą „trigonometrinės funkcijos“ 1770 metais įvedė vokiečių matematikas ir fizikas Georgas Simonas Klügelis.

Indijos matematikai iš pradžių vadino sinuso liniją "arha-jiva"(„pusė stygos“, tai yra, pusė akordo), tada žodis "archa" buvo išmestas ir sinuso linija pradėta vadinti paprastai "dživa". Arabų kalbos vertėjai šio žodžio neišvertė "dživa" Arabiškas žodis "vataras", reiškiantis stygą ir akordą, ir perrašytas arabiškomis raidėmis ir pradėtas vadinti sinusine linija "džiba". Kadangi arabų kalboje žodyje žymimi ne trumpieji balsiai, o ilgas „i“. "džiba"žymimas taip pat kaip pusbalsis „th“, arabai pradėjo tarti sinusinės linijos pavadinimą "jibe", kuris pažodžiui reiškia „tuščiaviduris“, „sinusas“. Versdami arabiškus kūrinius į lotynų kalbą, Europos vertėjai išvertė šį žodį "jibe" Lotyniškas žodis sinusas, turintis tą pačią reikšmę.Terminas „tangentas“ (iš lot.liestinės- liečiantis) pristatė danų matematikas Thomas Fincke savo knygoje „Apvalaus geometrija“ (1583).

Arčinas. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra matematinės funkcijos, kurios yra atvirkštinės trigonometrinėms funkcijoms. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos pavadinimas sudaromas iš atitinkamos trigonometrinės funkcijos pavadinimo pridedant priešdėlį „lankas“ (iš lat. lankas- lankas).Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos paprastai apima šešias funkcijas: arcsine (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arccotangent (arcsec) ir arccosecant (arccosec). Specialius atvirkštinių trigonometrinių funkcijų simbolius pirmasis panaudojo Danielis Bernulis (1729, 1736).Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų žymėjimo būdas naudojant priešdėlį lankas(nuo lat. arcus, lankas) pasirodė kartu su austrų matematiku Karlu Scherferiu ir buvo konsoliduota prancūzų matematiko, astronomo ir mechaniko Joseph Louis Lagrange dėka. Turėta galvoje, kad, pavyzdžiui, paprastasis sinusas leidžia rasti jį išilgai apskritimo lanko jungiančią stygą, o atvirkštinė funkcija išsprendžia priešingą problemą. Iki XIX amžiaus pabaigos anglų ir vokiečių matematikos mokyklos siūlė kitus žymėjimus: nuodėmė. -1 ir 1/sin, tačiau jie nėra plačiai naudojami.

Hiperbolinis sinusas, hiperbolinis kosinusas. V. Riccati (1757).

Pirmą kartą hiperbolinių funkcijų atsiradimą istorikai atrado anglų matematiko Abraomo de Moivre'o (1707, 1722) darbuose. Šiuolaikinį apibrėžimą ir išsamų jų tyrimą 1757 m. savo darbe „Opusculorum“ atliko italas Vincenzo Riccati, jis taip pat pasiūlė jų pavadinimus: sh,sk. Riccati pradėjo svarstyti vieneto hiperbolę. Nepriklausomą hiperbolinių funkcijų savybių atradimą ir tolesnį tyrimą atliko vokiečių matematikas, fizikas ir filosofas Johannas Lambertas (1768), nustatęs platų paprastosios ir hiperbolinės trigonometrijos formulių paraleliškumą. N.I. Vėliau Lobačevskis panaudojo šį paralelizmą, bandydamas įrodyti neeuklido geometrijos nuoseklumą, kai įprasta trigonometrija pakeičiama hiperboline.

Kaip trigonometrinis sinusas ir kosinusas yra taško koordinačių apskritime koordinatės, hiperbolinis sinusas ir kosinusas yra hiperbolės taško koordinatės. Hiperbolinės funkcijos išreiškiamos eksponentu ir yra glaudžiai susijusios su trigonometrinėmis funkcijomis: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Analogiškai su trigonometrinėmis funkcijomis hiperbolinis tangentas ir kotangentas apibrėžiami kaip atitinkamai hiperbolinio sinuso ir kosinuso, kosinuso ir sinuso santykiai.

Diferencialinis. G. Leibnicas (1675, išleistas 1684).

Pagrindinė, tiesinė funkcijos prieaugio dalis.Jei funkcija y=f(x) vienas kintamasis x turi at x=x 0išvestinė ir prieaugisΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)funkcijas f(x) gali būti pavaizduotas formojeΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , kur narys R be galo mažas, palyginti suΔx. Pirmasis narysdy=f"(x 0 )Δxšiame išplėtime ir vadinamas funkcijos diferencialu f(x) taškex 0. IN Gottfriedo Leibnizo, Jacobo ir Johano Bernoulli darbai"skirtumas"buvo vartojamas „prieaugio“ reikšme, jį žymėjo I. Bernoulli per Δ. G. Leibnicas (1675, paskelbtas 1684) vartojo „begalinio mažo skirtumo“ žymėjimą.d- pirmoji žodžio raidė"diferencinis", suformuotas jo iš"skirtumas".

Ne apibrėžtasis integralas. G. Leibnicas (1675, išleistas 1686).

Žodį „integralus“ pirmasis spaudoje pavartojo Jacobas Bernoulli (1690). Galbūt šis terminas kilęs iš lotynų kalbos sveikasis skaičius- visuma. Remiantis kita prielaida, pagrindas buvo lotyniškas žodis integro- grąžinti į ankstesnę būseną, atkurti. Ženklas ∫ naudojamas matematikos integralui pavaizduoti ir yra stilizuotas lotyniško žodžio pirmosios raidės atvaizdas. suma - suma. Pirmą kartą jį panaudojo vokiečių matematikas ir diferencialinio bei integralinio skaičiavimo įkūrėjas Gotfrydas Leibnicas XVII amžiaus pabaigoje. Kitas diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pradininkų Isaacas Newtonas savo darbuose nepasiūlė alternatyvios integralo simbolikos, nors išbandė įvairius variantus: vertikalią juostą virš funkcijos arba kvadratinį simbolį, kuris stovi priešais funkciją arba ribojasi su juo. Neapibrėžtas funkcijos integralas y=f(x) yra visų tam tikros funkcijos antidarinių rinkinys.

Apibrėžtasis integralas. J. Furjė (1819-1822).

Apibrėžtinis funkcijos integralas f(x) su žemesne riba a ir viršutinė riba b galima apibrėžti kaip skirtumą F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Kur F(x)- tam tikra funkcijos antidarinė f(x) . Apibrėžtasis integralas a ∫ b f(x)dx skaitine prasme lygus figūros plotui, kurį riboja x ašis ir tiesios linijos x=a Ir x=b ir funkcijos grafikas f(x). Mums žinomos formos apibrėžto integralo dizainą XIX amžiaus pradžioje pasiūlė prancūzų matematikas ir fizikas Jeanas Baptiste'as Josephas Fourier.

Darinys. G. Leibnicas (1675), J. Lagranžas (1770, 1779).

Išvestinė yra pagrindinė diferencialinio skaičiavimo sąvoka, apibūdinanti funkcijos kitimo greitį f(x) pasikeitus argumentui x . Jis apibrėžiamas kaip funkcijos padidėjimo santykio su jos argumento prieaugio riba, nes argumento padidėjimas linkęs į nulį, jei tokia riba yra. Funkcija, kuri tam tikru momentu turi baigtinę išvestinę, tame taške vadinama diferencijuojama. Išvestinės apskaičiavimo procesas vadinamas diferenciacija. Atvirkštinis procesas yra integracija. Klasikiniame diferencialiniame skaičiavime išvestinė dažniausiai apibrėžiama per ribų teorijos sąvokas, tačiau istoriškai ribų teorija atsirado vėliau nei diferencialinis skaičiavimas.

Terminą „darinys“ įvedė Joseph Louis Lagrange 1797 m., vedinio žymėjimą, naudojant pirminį žodį, taip pat įvedė jis (1770, 1779), o dy/dx– Gotfrydas Leibnicas 1675 m. Laiko išvestinės žymėjimo tašku virš raidės būdas kilęs iš Niutono (1691).Rusišką terminą „funkcijos išvestinė“ pirmą kartą pavartojo rusų matematikasVasilijus Ivanovičius Viskovatovas (1779-1812).

Dalinė išvestinė. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Daugelio kintamųjų funkcijoms apibrėžiamos dalinės išvestinės – išvestinės vieno iš argumentų atžvilgiu, apskaičiuojamos darant prielaidą, kad kiti argumentai yra pastovūs. Pavadinimai ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y 1786 m. pristatė prancūzų matematikas Adrienas Marie Legendre; fx",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ y- antros eilės daliniai vediniai - vokiečių matematikas Carlas Gustavas Jacobas Jacobi (1837).

Skirtumas, prieaugis. I. Bernoulli (XVII a. pabaiga – XVIII a. pirmoji pusė), L. Euleris (1755).

Prieaugio žymėjimą raide Δ pirmasis panaudojo šveicarų matematikas Johanas Bernoulli. Deltos simbolis buvo pradėtas naudoti po Leonhardo Eulerio darbo 1755 m.

Suma. L. Euleris (1755).

Suma yra dydžių (skaičių, funkcijų, vektorių, matricų ir kt.) pridėjimo rezultatas. n skaičių sumai a 1, a 2, ..., a n žymėti naudojama graikiška raidė „sigma“ Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Sumos ženklą Σ įvedė Leonhardas Euleris 1755 m.

Darbas. K.Gausas (1812).

Produktas yra daugybos rezultatas. n skaičių sandaugai a 1, a 2, ..., a n žymėti naudojama graikiška raidė pi Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Pavyzdžiui, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Π ženklą gaminiui įvedė vokiečių matematikas Carlas Gaussas 1812 m. Rusų matematinėje literatūroje terminą „produktas“ pirmą kartą susidūrė Leonijus Filippovičius Magnickis 1703 m.

Faktorinis. K. Crumpas (1808).

Skaičiaus n faktorialas (žymimas n!, tariamas "en faktorialas") yra visų sandauga natūraliuosius skaičius iki n imtinai: n! = 1·2·3·...·n. Pavyzdžiui, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Pagal apibrėžimą daroma prielaida, kad 0! = 1. Faktorius apibrėžiamas tik neneigiamiems sveikiesiems skaičiams. n faktorialas yra lygus n elementų permutacijų skaičiui. Pavyzdžiui, 3! = 6, tikrai

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Visos šešios ir tik šešios trijų elementų permutacijos.

Terminą „faktorialus“ įvedė prancūzų matematikas ir politikas Louisas Francois Antoine'as Arbogastas (1800), pavadinimu n! – prancūzų matematikas Christian Crump (1808).

Modulis, absoliuti vertė. K. Weierstrassas (1841).

Absoliuti tikrojo skaičiaus x reikšmė yra neneigiamas skaičius, apibrėžtas taip: |x| = x, kai x ≥ 0, ir |x| = -x, kai x ≤ 0. Pavyzdžiui, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Kompleksinio skaičiaus z = a + ib modulis yra tikrasis skaičius, lygus √(a 2 + b 2).

Manoma, kad terminą „modulis“ pasiūlė anglų matematikas ir filosofas, Niutono mokinys Rogeris Cotesas. Gottfriedas Leibnicas taip pat naudojo šią funkciją, kurią pavadino „moduliu“ ir pažymėjo: mol x. Visuotinai priimtą absoliučios vertės žymėjimą 1841 m. įvedė vokiečių matematikas Karlas Weierstrassas. Šią sąvoką kompleksiniams skaičiams XIX amžiaus pradžioje įvedė prancūzų matematikai Augustinas Koši ir Jeanas Robertas Arganas. 1903 m. austrų mokslininkas Konradas Lorenzas panaudojo tą pačią simboliką vektoriaus ilgiui.

Norm. E. Šmidtas (1908).

Norma yra vektoriaus erdvėje apibrėžta funkcija, apibendrinanti vektoriaus ilgio arba skaičiaus modulio sampratą. Ženklą „norma“ (iš lotyniško žodžio „norma“ – „taisyklė“, „raštas“) įvedė vokiečių matematikas Erhardas Schmidtas 1908 m.

Riba. S. Lhuillier (1786), W. Hamiltonas (1853), daugelis matematikų (iki XX a. pradžios)

Riba yra viena iš pagrindinių matematinės analizės sąvokų, reiškianti, kad tam tikra kintamojo reikšmė nagrinėjamo jos kitimo procese neribotai artėja prie tam tikros pastovios vertės. Ribos sąvoką XVII amžiaus antroje pusėje intuityviai vartojo Isaacas Newtonas, taip pat XVIII amžiaus matematikai, tokie kaip Leonhardas Euleris ir Josephas Louisas Lagrange'as. Pirmuosius griežtus sekos ribos apibrėžimus pateikė Bernardas Bolzano 1816 m. ir Augustinas Cauchy 1821 m. Simbolis lim (pirmosios 3 raidės iš lotyniško žodžio limes – kraštelis) atsirado 1787 metais šveicarų matematiko Simono Antoine'o Jeano Lhuillier, tačiau jo vartojimas dar nepriminė šiuolaikinių. Išraišką lim labiau pažįstama forma pirmą kartą pavartojo airių matematikas Williamas Hamiltonas 1853 m.Weierstrassas įvedė pavadinimą, artimą šiuolaikiniam, tačiau vietoj pažįstamos rodyklės naudojo lygybės ženklą. Rodyklė pasirodė XX amžiaus pradžioje tarp kelių matematikų vienu metu - pavyzdžiui, anglų matematikas Godfriedas Hardy 1908 m.

Zeta funkcija, d Riemann zeta funkcija. B. Riemannas (1857).

Sudėtinio kintamojo s = σ + it analitinė funkcija, kai σ > 1, absoliučiai ir tolygiai nustatyta konvergentine Dirichlet eile:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Jei σ > 1, galioja Eulerio produkto forma:

ζ(s) = Π p (1-p -s) -s ,

kur produktas perimamas visas pirminis p. Zeta funkcija vaidina svarbų vaidmenį skaičių teorijoje.Kaip realaus kintamojo funkciją 1737 m. (paskelbta 1744 m.) zeta funkciją įvedė L. Euleris, nurodęs jos išplėtimą į produktą. Tada šią funkciją svarstė vokiečių matematikas L. Dirichlet ir ypač sėkmingai rusų matematikas ir mechanikas P.L. Čebyševas studijuodamas paskirstymo įstatymą pirminiai skaičiai. Tačiau giliausios zeta funkcijos savybės buvo atrastos vėliau, po vokiečių matematiko Georgo Friedricho Bernhardo Riemanno (1859 m.) darbo, kur zeta funkcija buvo laikoma kompleksinio kintamojo funkcija; Jis taip pat pristatė pavadinimą „zeta funkcija“ ir pavadinimą ζ (s) 1857 m.

Gama funkcija, Eulerio Γ funkcija. A. Legendre (1814).

Gama funkcija - matematinė funkcija, kuris faktorialo sąvoką išplečia į kompleksinių skaičių lauką. Paprastai žymimas Γ(z). Pirmą kartą G funkciją 1729 m. pristatė Leonhardas Euleris; jis nustatomas pagal formulę:

Γ(z) = ribn→∞ n!·nz/z(z+1)...(z+n).

Išreiškiamas per G funkciją didelis skaičius integralų, begalinių sandaugų ir serijų sumų. Plačiai naudojamas analitinė teorija skaičių. Pavadinimą „gama funkcija“ ir žymėjimą Γ(z) 1814 m. pasiūlė prancūzų matematikas Adrienas Marie Legendre.

Beta funkcija, B funkcija, Eulerio B funkcija. J. Binet (1839).

Dviejų kintamųjų p ir q funkcija, apibrėžta p>0, q>0 lygybe:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Beta funkcija gali būti išreikšta per Γ funkciją: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Kaip sveikųjų skaičių gama funkcija yra faktorialo apibendrinimas, beta funkcija tam tikra prasme yra binominių koeficientų apibendrinimas.

Beta funkcija apibūdina daugybę savybiųelementariosios dalelės dalyvaujant stipri sąveika. Šią savybę pastebėjo italų fizikas teoretikasGabriele Veneziano 1968 metais. Tai pažymėjo pradžią stygų teorija.

Pavadinimą „beta funkcija“ ir pavadinimą B(p, q) 1839 m. įvedė prancūzų matematikas, mechanikas ir astronomas Jacques'as Philippe'as Marie Binet.

Laplaso operatorius Laplasas. R. Merfis (1833).

Linijinis diferencialinis operatoriusΔ, kuri priskiria funkcijas φ(x 1, x 2, ..., x n) iš n kintamųjų x 1, x 2, ..., x n:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.

Visų pirma, vieno kintamojo funkcijai φ(x), Laplaso operatorius sutampa su 2-osios išvestinės operatoriumi: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Lygtis Δφ = 0 paprastai vadinama Laplaso lygtimi; Iš čia kilo pavadinimai „Laplaso operatorius“ arba „Laplasietis“. Pavadinimą Δ įvedė anglų fizikas ir matematikas Robertas Murphy 1833 m.

Hamiltono operatorius, nabla operatorius, Hamiltonas. O. Heaviside (1892).

Formos vektorinis diferencialinis operatorius

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂m · j+ ∂/∂z · k,

Kur i, j, Ir k- koordinačių vienetų vektoriai. Per nabla operatorių natūraliu būdu išreiškiamos pagrindinės vektorinės analizės operacijos, taip pat Laplaso operatorius.

1853 m. airių matematikas Williamas Rowanas Hamiltonas pristatė šį operatorių ir sugalvojo jam simbolį ∇ apversto pavidalo. graikiška raidėΔ (delta). Hamiltone simbolio galas buvo nukreiptas į kairę, vėliau, škotų matematiko ir fiziko Peterio Guthrie Tate darbuose, simbolis įgavo šiuolaikinę formą. Hamiltonas pavadino šį simbolį „atled“ (žodis „delta“ skaitomas atgal). Vėliau anglų mokslininkai, tarp jų ir Oliveris Heaviside'as, pradėjo vadinti šį simbolį „nabla“ pagal finikiečių abėcėlės raidės ∇ pavadinimą, kur jis pasitaiko. Laiško kilmė siejama su muzikos instrumentas arfos tipas, ναβλα (nabla) senovės graikų kalboje reiškia „arfa“. Operatorius buvo vadinamas Hamiltono operatoriumi arba nabla operatoriumi.

Funkcija. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematinė samprata, atspindintis santykį tarp aibių elementų. Galima sakyti, kad funkcija yra „dėsnis“, „taisyklė“, pagal kurią kiekvienas vienos aibės elementas (vadinamas apibrėžimo sritimi) yra susietas su kokiu nors kitos aibės elementu (vadinamu reikšmių sritimi). Matematinė funkcijos samprata išreiškia intuityvią idėją, kaip vienas dydis visiškai lemia kito dydžio vertę. Sąvoka „funkcija“ dažnai reiškia skaitinė funkcija; tai yra funkcija, kuri vienus skaičius suderina su kitais. Ilgą laiką matematikai nurodė argumentus be skliaustų, pavyzdžiui, taip - φх.Pirmą kartą šį žymėjimą panaudojo šveicarų matematikas Johanas Bernoulli 1718 m. Skliaustai buvo naudojami tik esant daugeliui argumentų, taip pat jei argumentas buvo sudėtinga išraiška. Tų laikų aidai – ir šiandien tebenaudojami įrašaisin x, log x ir tt Bet pamažu pradėjo vartoti skliaustus f(x) bendroji taisyklė

. Ir pagrindinis nuopelnas už tai priklauso Leonhardui Euleriui.

Lygybė. R. Įrašas (1557). Lygybės ženklą pasiūlė Velso gydytojas ir matematikas Robertas Recordas 1557 m.; simbolio kontūras buvo daug ilgesnis nei dabartinis, nes imitavo dviejų įvaizdį lygiagrečiai segmentai . Autorius paaiškino, kad pasaulyje nėra nieko lygesnio už du lygiagrečius vienodo ilgio segmentus. Prieš tai senovės ir viduramžių matematikoje lygybė buvo žymima žodžiu (pvz est egale ). XVII amžiuje Rene Descartes'as pradėjo vartoti æ (iš lot. aequalis ), A modernus ženklas

jis naudojo lygybes, nurodydamas, kad koeficientas gali būti neigiamas. François Viète naudojo lygybės ženklą, nurodydamas atimtį. Rekordo simbolis išplito ne iš karto. Rekordo simbolio plitimą stabdė tai, kad nuo seno tas pats simbolis buvo naudojamas tiesių lygiagretumui nurodyti; Galų gale buvo nuspręsta lygiagretumo simbolį padaryti vertikalią. Žemyninėje Europoje ženklą „=" Gottfriedas Leibnicas įvedė tik XVII–XVIII amžių sandūroje, tai yra praėjus daugiau nei 100 metų po Roberto Recordo mirties, kuris pirmą kartą jį panaudojo šiam tikslui.

Apytiksliai lygus, maždaug lygus. A.Guntheris (1882). ≈ “ kaip santykio „maždaug lygus“ simbolį pradėjo vartoti vokiečių matematikas ir fizikas Adamas Vilhelmas Sigmundas Güntheris 1882 m.

Daugiau, mažiau. T. Hariotas (1631).

Šiuos du ženklus 1631 m. pradėjo vartoti anglų astronomas, matematikas, etnografas ir vertėjas Thomas Harriot. Prieš tai buvo naudojami žodžiai „daugiau“ ir „mažiau“.

Palyginamumas. K.Gausas (1801).

Palyginimas yra ryšys tarp dviejų sveikųjų skaičių n ir m, tai reiškia skirtumas n-mšie skaičiai dalijami iš duoto sveikojo skaičiaus a, vadinamo palyginimo moduliu; rašoma: n≡m(mod а) ir parašyta „skaičiai n ir m yra palyginami modulo a“. Pavyzdžiui, 3≡11(mod 4), nes 3-11 dalijasi iš 4; skaičiai 3 ir 11 yra palyginami modulo 4. Sutapimai turi daug savybių, panašių į lygybes. Taigi vienoje palyginimo dalyje esantis terminas gali būti perkeltas su priešingu ženklu į kitą dalį, o palyginimus su tuo pačiu moduliu galima sudėti, atimti, dauginti, abi palyginimo dalis padauginti iš to paties skaičiaus ir pan. Pavyzdžiui,

3≡9+2 (4 mod.) ir 3–2≡9 (4 mod.)

Tuo pačiu tikri palyginimai. Ir iš poros teisingų palyginimų 3≡11 (mod 4) ir 1≡5 (mod 4) taip:

3+1≡11+5 (4 mod.)

3-1≡11-5 (4 mod.)

3,1≡11,5 (4 mod.)

3 2 ≡ 11 2 (4 mod.)

3,23≡11,23 (4 mod.)

Skaičių teorijoje nagrinėjami įvairių palyginimų sprendimo būdai, t.y. sveikųjų skaičių, atitinkančių vienokio ar kitokio tipo palyginimus, radimo metodai. Modulo palyginimus pirmasis panaudojo vokiečių matematikas Carlas Gaussas savo 1801 m. knygoje Aritmetikos studijos. Jis taip pat pasiūlė simboliką palyginimams, kurie buvo nustatyti matematikoje.

Tapatybė. B. Riemannas (1857).

Tapatybė – dviejų lygybė analitinės išraiškos, teisinga bet kokiam priimtinos vertėsį jį įtrauktos raidės. Lygybė a+b = b+a galioja visiems skaitinės reikšmės a ir b, todėl yra tapatybė. Tapatybėms fiksuoti kai kuriais atvejais nuo 1857 m. buvo naudojamas ženklas „≡“ (skaityti „identiškai lygus“), kurio autorius šiuo vartojimu yra vokiečių matematikas Georgas Friedrichas Bernhardas Riemannas. Galite užsirašyti a+b ≡ b+a.

Statmenumas. P. Erigonas (1634).

Statmenumas - santykinė padėtis dvi tiesės, plokštumos arba tiesė ir plokštuma, kurioje nurodyti skaičiai sudaryti stačią kampą. Ženklą ⊥, reiškiantį statmenumą, 1634 m. įvedė prancūzų matematikas ir astronomas Pierre'as Erigonas. Statmenumo sąvoka turi nemažai apibendrinimų, tačiau prie visų, kaip taisyklė, yra ženklas ⊥.

Lygiagretumas. W. Outredas (1677 m. pomirtinis leidimas).

Lygiagretumas yra santykiai tarp kai kurių geometrines figūras; pavyzdžiui, tiesus. Apibrėžiamas skirtingai, priklausomai nuo skirtingų geometrijų; pavyzdžiui, Euklido geometrijoje ir Lobačevskio geometrijoje. Lygiagretumo ženklas žinomas nuo seniausių laikų, jį naudojo Aleksandrijos Heronas ir Pappas. Iš pradžių simbolis buvo panašus į dabartinį lygybės ženklą (tik labiau išplėstas), tačiau atsiradus pastarajam, siekiant išvengti painiavos, simbolis buvo pasuktas vertikaliai ||. Tokia forma jis pirmą kartą pasirodė pomirtiniame anglų matematiko Williamo Oughtredo darbų leidime 1677 m.

Sankryža, sąjunga. J. Peano (1888).

Aibių sankirta yra aibė, kurioje yra tie ir tik tie elementai, kurie vienu metu priklauso visoms duotoms aibėms. Aibių sąjunga yra rinkinys, kuriame yra visi pradinių rinkinių elementai. Susikirtimas ir jungtis taip pat vadinami aibių operacijomis, kurios pagal aukščiau nurodytas taisykles tam tikroms aibėms priskiria naujas. Žymima atitinkamai ∩ ir ∪. Pavyzdžiui, jei

A= (♠ ♣ ) Ir B= (♣ ♦),

Tai

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Yra, yra. E. Schroederis (1890).

Jei A ir B yra dvi aibės ir A nėra elementų, nepriklausančių B, tada jie sako, kad A yra B. Jie rašo A⊂B arba B⊃A (B yra A). Pavyzdžiui,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Simboliai „yra“ ir „yra“ 1890 m. pasirodė vokiečių matematiko ir logiko Ernsto Schroederio.

Priklausymas. J. Peano (1895).

Jei a yra aibės A elementas, parašykite a∈A ir skaitykite „a priklauso A“. Jei a nėra aibės A elementas, parašykite a∉A ir perskaitykite „a nepriklauso A“. Iš pradžių santykiai „sudėtyje“ ir „priklauso“ („yra elementas“) nebuvo skiriami, tačiau laikui bėgant šias sąvokas reikėjo diferencijuoti. Simbolį ∈ pirmą kartą panaudojo italų matematikas Giuseppe Peano 1895 m. Simbolis ∈ kilęs iš pirmosios graikų kalbos žodžio εστι raidės – būti.

Visuotiškumo, egzistencijos kvantifikatorius. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Kiekintojas - bendras vardas loginėms operacijoms, nurodančioms predikato tiesos sritį (matematinis teiginys). Filosofai jau seniai atkreipė dėmesį į loginės operacijos, apribodamas predikato tiesos sritį, bet neatskyrė jų į atskirą operacijų klasę. Nors kiekybinės-loginės konstrukcijos plačiai naudojamos tiek mokslinėje, tiek kasdieninėje kalboje, jos formalizuotos tik 1879 m., vokiečių logiko, matematiko ir filosofo Friedricho Ludwigo Gottlobo Frege knygoje „Sąvokų skaičiavimas“. Fregės užrašas atrodė kaip sudėtingos grafinės konstrukcijos ir nebuvo priimtas. Vėliau buvo pasiūlyta daug sėkmingesnių simbolių, tačiau visuotinai priimtos žymos buvo ∃ egzistenciniam kvantoriui (skaitykite „egzistuoja“, „yra“), kurį pasiūlė amerikiečių filosofas, logikas ir matematikas Charlesas Peirce'as 1885 m., ir ∀ universaliajam kvantoriui (skaitykite „bet kuris“, „kiekvienas“, „visi“), kurį 1935 m. sukūrė vokiečių matematikas ir logikas Gerhardas Karlas Erichas Gentzenas pagal analogiją su egzistencinio kvantoriaus simboliu (apverstos pirmosios raidės). Anglų kalbos žodžiai Egzistencija (egzistavimas) ir Bet koks (bet koks)). Pavyzdžiui, įrašyti

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0, |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

skamba taip: „bet kuriam ε>0 yra δ>0, kad visiems x nelygus x 0 ir tenkinantis nelygybę |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Tuščias komplektas. N. Bourbaki (1939).

Rinkinys, kuriame nėra nei vieno elemento. Tuščio rinkinio ženklas buvo pristatytas Nicolas Bourbaki knygose 1939 m. Bourbaki yra kolektyvinis prancūzų matematikų grupės, sukurtos 1935 m., pseudonimas. Vienas iš Bourbaki grupės narių buvo Andre Weilas, simbolio Ø autorius.

Q.E.D. D. Knuthas (1978).

Matematikoje įrodymas suprantamas kaip tam tikromis taisyklėmis paremta samprotavimų seka, parodanti, kad tam tikras teiginys yra teisingas. Nuo Renesanso laikų įrodinėjimo pabaigą matematikai žymėjo santrumpa „Q.E.D.“, iš lotyniško posakio „Quod Erat Demonstrandum“ – „Ką reikėjo įrodyti“. 1978 m. kurdamas kompiuterių išdėstymo sistemą ΤΕΧ, amerikiečių kompiuterių mokslo profesorius Donaldas Edwinas Knuthas panaudojo simbolį: užpildytą kvadratą, vadinamąjį „Halmoso simbolį“, pavadintą vengrų kilmės amerikiečių matematiko Paulo Richardo Halmoso vardu. Šiandien įrodymo užbaigimą dažniausiai nurodo Halmos simbolis. Kaip alternatyva, naudojami kiti ženklai: tuščias kvadratas, stačiakampis trikampis, // (du pasvirieji brūkšniai į priekį), taip pat rusiška santrumpa „ch.t.d“.

Matematinės simbolizmo raida buvo glaudžiai susijusi su bendras vystymasis matematikos sąvokos ir metodai. Pirma Matematiniai ženklai buvo ženklai, vaizduojantys skaičius - skaičių, kurio atsiradimas, matyt, buvo prieš rašymą. Seniausios numeracijos sistemos – babiloniečių ir egiptiečių – atsirado jau 3 1/2 tūkstantmečio prieš Kristų. e.

Pirma Matematiniai ženklai nes savavališki kiekiai atsirado daug vėliau (pradedant V–IV a. pr. Kr.) Graikijoje. Kiekiai (plotai, tūriai, kampai) buvo pavaizduoti segmentų pavidalu, o dviejų savavališkų vienarūšių dydžių sandauga buvo pavaizduota stačiakampio forma, pastatyta ant atitinkamų segmentų. „Principuose“ Euklidas (III a. pr. Kr.) dydžiai žymimi dviem raidėmis – atitinkamo segmento pradine ir galutine raide, o kartais net viena. U Archimedas (III a. pr. Kr.) pastarasis metodas tampa paplitęs. Toks žymėjimas turėjo galimybių plėtoti raidžių skaičiavimą. Tačiau klasikinėje senovės matematikoje raidžių skaičiavimas nebuvo sukurtas.

Abėcėlinio vaizdavimo ir skaičiavimo užuomazgos atsirado vėlyvojoje helenizmo epochoje, išlaisvinus algebrą nuo geometrine forma. Diofantas (tikriausiai III a.) įrašyta nežinoma ( X) ir jo laipsnis su šiais ženklais:

[ - iš Graikiškas terminas dunamiV (dynamis – jėga), reiškiantis nežinomybės kvadratą, – iš graikų cuboV (k_ybos) – kubas]. Į dešinę nuo nežinomybės ar jo galių Diofantas parašė koeficientus, pavyzdžiui, buvo pavaizduotas 3 x 5

(kur = 3). Pridėdamas, Diofantas priskyrė terminus atimti, kurį naudojo specialus ženklas; Diofantas lygybę žymėjo raide i [iš graikų isoV (isos) – lygus]. Pavyzdžiui, lygtis

(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X

Diofantas būtų parašęs taip:

(Čia

reiškia, kad vienetas neturi daugiklio nežinomojo laipsnio pavidalu).

Po kelių šimtmečių indėnai pristatė įvairių Matematiniai ženklai keliems nežinomiesiems (nežinomuosius žyminčių spalvų pavadinimų santrumpos), kvadratas, kvadratinė šaknis, subtrahend. Taigi, lygtis

3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1

Įraše Brahmagupta (7 a.) atrodytų taip:

Taip, 3 ir 10 ru 8

Taip va 1 ya 0 ru 1

(ya - iš yavat - tavat - nežinomas, va - iš varga - kvadratinis skaičius, ru - iš rupa - rupijos moneta - laisvas narys, taškas virš skaičiaus reiškia skaičių, kurį reikia atimti).

Šiuolaikinės algebrinės simbolikos kūrimas siekia XIV–XVII a.; jį lėmė praktinės aritmetikos ir lygčių tyrimo sėkmė. Įvairiose šalyse jie atsiranda spontaniškai Matematiniai ženklai kai kuriems veiksmams ir nežinomo dydžio galioms. Praeina daug dešimtmečių ir net šimtmečių, kol sukuriamas vienas ar kitas patogus simbolis. Taigi, pabaigoje 15 ir. N. Shuke ir L. Pacioli naudojo sudėjimo ir atimties ženklus

(iš lotynų pliuso ir minuso), vokiečių matematikai įvedė modernų + (tikriausiai lotynų kalbos et santrumpa) ir -. Dar XVII a. galite suskaičiuoti apie tuziną Matematiniai ženklai daugybos veiksmui.

Taip pat buvo įvairių Matematiniai ženklai nežinomas ir jo laipsniai. XVI – XVII amžiaus pradžioje. vien dėl nežinomybės aikštės varžėsi daugiau nei dešimt užrašų, pvz. se(iš surašymo – lotyniškas terminas, kuris buvo graikų kalbos dunamiV vertimas, K(iš kvadrato), , A (2), , Aii, aa, a 2 tt Taigi lygtis

x 3 + 5 x = 12

italų matematikas G. Cardano (1545) turėtų formą:

iš vokiečių matematiko M. Stiefelio (1544):

iš italų matematiko R. Bombelli (1572):

Prancūzų matematikas F. Vieta (1591 m.):

iš anglų matematiko T. Harioto (1631):

XVI ir XVII amžiaus pradžioje. naudojami lygybės ženklai ir skliaustai: kvadratas (R. Bombelli , 1550), apvalus (N. Tartalija, 1556 m.), figūruotas (F. Viet, 1593). XVI amžiuje šiuolaikinė forma įgauna trupmenų žymėjimą.

Reikšmingas žingsnis į priekį plėtojant matematinę simboliką buvo Vieto (1591 m.) įvadas. Matematiniai ženklai už savavališką pastovios vertės didžiųjų priebalsių pavidalu Lotynų abėcėlė B, D, kas jam suteikė galimybę įrašyti pirmą kartą algebrines lygtis su savavališkais koeficientais ir operuoti su jais. Vietas vaizdavo nežinomuosius su balsėmis didžiosiomis raidėmis A, E,... Pavyzdžiui, Vieto įrašas

Mūsų simboliuose tai atrodo taip:

x 3 + 3bx = d.

Vietas buvo kūrėjas algebrines formules. R. Dekartas (1637) suteikė algebros ženklams šiuolaikišką išvaizdą, žymintį nežinomus dalykus paskutinės raidės lat. abėcėlė x, y, z, ir savavališkos duomenų reikšmės - pradines raides a, b, c. Dabartinis laipsnio rekordas priklauso jam. Dekarto užrašai turėjo didelis privalumas lyginant su visais ankstesniais. Todėl netrukus jie sulaukė visuotinio pripažinimo.

Tolesnė plėtra Matematiniai ženklai buvo glaudžiai susijęs su be galo mažos analizės kūrimu, kurios simbolikos kūrimui pagrindas iš esmės jau buvo paruoštas algebroje.

Kai kurių matematinių simbolių atsiradimo datos

ir be galo mažam prieaugiui o. Kiek anksčiau J. Wallis (1655) pasiūlė begalybės ženklą ¥.

Šiuolaikinės diferencialinio ir integralinio skaičiavimo simbolikos kūrėjas yra G. Leibnicas. Visų pirma, jam priklauso šiuo metu naudojamas Matematiniai ženklai diferencialai

dx, d 2 x, d 3 x

ir integralinis

Didžiulis nuopelnas kuriant šiuolaikinės matematikos simboliką priklauso L. Euleris. Jis įvedė (1734) į bendrą naudojimą pirmąjį kintamosios operacijos ženklą, būtent funkcijos ženklą f(x) (iš lotynų functio). Po Eulerio darbo ženklai daugeliui individualios funkcijos, pavyzdžiui, trigonometriniai, tapo standartiniais. Euleris yra konstantų žymėjimo autorius e(natūralių logaritmų pagrindas, 1736), p [tikriausiai iš graikų perijereia (periphereia) - apskritimas, periferija, 1736], įsivaizduojamas vienetas

(iš prancūzų imaginaire – imaginary, 1777, išleista 1794).

XIX amžiuje simbolizmo vaidmuo didėja. Šiuo metu atsiranda absoliučios reikšmės |x| ženklai. (KAM. Weierstrass, 1841 m.), vektorius (O. Koši, 1853), determinantas

(A. Cayley, 1841) ir kt. Daugelis XIX amžiuje atsiradusių teorijų, pavyzdžiui, tenzorinio skaičiavimo, negalėjo būti sukurtos be tinkamos simbolikos.

Kartu su nurodytu standartizacijos procesu Matematiniai ženklaišiuolaikinėje literatūroje dažnai galima rasti Matematiniai ženklai, kurį naudoja atskiri autoriai tik šio tyrimo apimtyje.

Matematinės logikos požiūriu, tarp Matematiniai ženklai Galima išskirti šias pagrindines grupes: A) objektų ženklai, B) operacijų ženklai, C) ryšių ženklai. Pavyzdžiui, ženklai 1, 2, 3, 4 reiškia skaičius, tai yra aritmetikos būdu tiriamus objektus. Papildymo ženklas + pats savaime neatspindi jokio objekto; ji gauna dalykinį turinį, kai nurodoma, kurie skaičiai sumuojasi: užrašas 1 + 3 reiškia skaičių 4. Ženklas > (didesnis nei) yra skaičių ryšio ženklas. Santykio ženklas įgauna visiškai apibrėžtą turinį, kai nurodoma, tarp kurių objektų yra nagrinėjamas santykis. Į išvardytas tris pagrindines grupes Matematiniai ženklai greta ketvirtojo: D) pagalbiniai ženklai, nustatantys pagrindinių ženklų derinimo tvarką. Pakankamą supratimą apie tokius ženklus suteikia skliausteliai, nurodantys veiksmų tvarką.

Kiekvieno iš jų ženklai tris grupes A), B) ir C) yra dviejų rūšių: 1) atskiri ženklai yra visiškai tam tikrus objektus, operacijos ir santykiai, 2) bendri ženklai„nekintamieji“ arba „nežinomi“ objektai, operacijos ir ryšiai.

Gali būti naudojami pirmosios rūšies ženklų pavyzdžiai (taip pat žr. lentelę):

A 1) Natūraliųjų skaičių 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 žymėjimai; transcendentiniai skaičiai e ir p; įsivaizduojamas vienetas i.

B 1) Aritmetinių veiksmų ženklai +, -, ·, ´,:; šaknų ištraukimas, diferenciacija

aibių sumos (sąjungos) È ir sandaugos (sankirtos) Ç ženklai; tai taip pat apima asmens požymius funkcijos nuodėmė, tg, rąstas ir kt.

1) Lygybės ir nelygybės ženklai =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Antrosios rūšies ženklai vaizduoja savavališkus objektus, tam tikros klasės operacijas ir ryšius arba objektus, operacijas ir ryšius, kuriems taikomos tam tikros iš anksto sutartos sąlygos. Pavyzdžiui, kai rašote tapatybę ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 raides A Ir b pavaizduoti savavališkus skaičius; tiriant funkcinę priklausomybę adresu = X 2 raides X Ir y - savavališki skaičiai, sujungti duotu ryšiu; sprendžiant lygtį

Xžymi bet kurį skaičių, kuris tenkina šią lygtį (išsprendę šią lygtį sužinome, kad šią sąlygą atitinka tik dvi galimos reikšmės +1 ir -1).

Loginiu požiūriu tokius bendruosius ženklus galima vadinti kintamųjų ženklais, kaip įprasta matematinėje logikoje, nebijant, kad kintamojo „pokyčio sritis“ gali būti sudaryta iš vieno vienintelio. objektas arba net „tuščias“ (pavyzdžiui, lygčių atveju be sprendinio). Kiti tokio tipo ženklų pavyzdžiai gali būti:

A 2) Taškų, linijų, plokštumų ir sudėtingesnių geometrinių figūrų su raidėmis žymėjimas geometrijoje.

B 2) Pavadinimai f, , j funkcijoms ir operatoriaus skaičiavimo žymėjimui, kai su viena raide L pavaizduoti, pavyzdžiui, savavališką formos operatorių:

„Kintamųjų santykių“ žymėjimai yra mažiau paplitę, jie naudojami tik matematinėje logikoje (žr. Logikos algebra ) ir santykinai abstrakčiuose, dažniausiai aksiomatiniuose, matematiniuose tyrimuose.

Lit.: Cajori., A matematinių ženklų istorija, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Straipsnis apie žodį " Matematiniai ženklai“ Didžiojoje sovietinėje enciklopedijoje buvo perskaitytas 39 765 kartus