Pitagoro teorema visiems žinoma nuo tada mokyklos laikas. Nuostabus matematikasįrodyta puiki hipotezė, kurį šiuo metu naudoja daugelis žmonių. Taisyklė skamba taip: hipotenuzės ilgio kvadratas stačiakampis trikampis lygi sumai kojų kvadratai. Daugelį dešimtmečių ne vienas matematikas nesugebėjo ginčytis šią taisyklę. Juk Pitagoras ilgai siekė savo tikslo, kad dėl to piešiniai vyktų kasdieniame gyvenime.

1. Nedidelė šios teoremos eilutė, kuri buvo išrasta netrukus po įrodymo, tiesiogiai įrodo hipotezės savybes: „ Pitagoro kelnės vienodas visomis kryptimis“. Ši dviejų eilučių eilutė įsirėžė į daugelio žmonių atmintį – iki šiol eilėraštis prisimenamas atliekant skaičiavimus.
2. Ši teorema buvo pavadinta „Pitagoro kelnėmis“ dėl to, kad nubrėžus per vidurį gautas stačiakampis trikampis su kvadratais kiekvienoje pusėje. Išvaizda šis piešinys priminė kelnes – iš čia ir kilo hipotezės pavadinimas.
3. Pitagoras didžiavosi savo sukurta teorema, nes ši hipotezė skiriasi nuo panašių maksimalus skaičiusįrodymų Svarbu: lygtis buvo įtraukta į Gineso rekordų knygą dėl 370 tikrų įrodymų.

   

4. Hipotezė buvo įrodyta didžiulė suma matematikai ir profesoriai iš skirtingos šalys daugeliu atžvilgių. Anglų matematikas Jonesas netrukus paskelbė hipotezę ir įrodė ją naudodamas diferencialinę lygtį.

   

5. Šiuo metu niekas nežino paties Pitagoro teoremos įrodymo.. Faktai apie matematiko įrodymus šiandien nėra žinomi niekam. Manoma, kad Euklido piešinių įrodymas yra Pitagoro įrodymas. Tačiau kai kurie mokslininkai ginčijasi su šiuo teiginiu: daugelis mano, kad Euklidas savarankiškai įrodė teoremą, be hipotezės kūrėjo pagalbos.

   

6. Šiandienos mokslininkai tai atrado puikus matematikas nebuvo pirmasis, atradęs šią hipotezę. Lygtis buvo žinoma dar ilgai, kol ją atrado Pitagoras. Šis matematikas sugebėjo tik iš naujo sujungti hipotezę.

   

7. Pitagoras nedavė lygties pavadinimo „Pitagoro teorema“. Šis pavadinimas įstrigo po „garsaus dviejų linijų“. Matematikas tik norėjo, kad visas pasaulis žinotų ir panaudotų jo pastangas bei atradimus.

   

8. Didysis matematikas Moritzas Cantoras rado ir pamatė užrašus su piešiniais ant senovinio papiruso. Netrukus po to Kantoras tai suprato ši teorema buvo žinomas egiptiečiams jau 2300 m.pr.Kr. Tik tada niekas tuo nepasinaudojo ir nebandė to įrodyti.

   

9. Dabartiniai mokslininkai mano, kad hipotezė buvo žinoma dar VIII amžiuje prieš Kristų. To meto Indijos mokslininkai atrado apytikslį trikampio su stačiais kampais hipotenuzės apskaičiavimą. Tiesa, tuo metu apytiksliais skaičiavimais lygties niekas negalėjo tiksliai įrodyti.

   

10. Didysis matematikas Bartelas van der Waerdenas, įrodęs hipotezę, padarė išvadą svarbi išvada : „Graikų matematiko nuopelnu laikomas ne krypties ir geometrijos atradimas, o tik jos pateisinimas. Pitagoras turėjo savo rankose skaičiavimo formules, kurios buvo pagrįstos prielaidomis, netiksliais skaičiavimais ir neaiškiomis idėjomis. Tačiau išskirtiniam mokslininkui pavyko tai paversti tiksliuoju mokslu.

    

11. Garsus poetas pasakojo, kad savo piešinio atradimo dieną jaučiams pastatė šlovingą auką.. Po to, kai buvo atrasta hipotezė, pradėjo sklisti gandai, kad šimto jaučių auka „nukeliavo po knygų ir leidinių puslapius“. Iki šiol juokaujama, kad nuo tada visi jaučiai bijojo naujo atradimo.

    

12. Įrodymas, kad ne Pitagoras sugalvojo eilėraštį apie kelnes, norėdamas įrodyti jo pateiktus piešinius: Per didžiojo matematiko gyvenimą kelnių dar nebuvo. Jie buvo išrasti po kelių dešimtmečių.
13. Pitagoro mintys apie sava taisyklė: egzistavimo žemėje paslaptis slypi skaičiuose. Mat matematikas, remdamasis savo hipoteze, tyrinėjo skaičių savybes, nustatė lygumą ir nelygumą, kūrė proporcijas.

    

„Pitagoro kelnės yra vienodos iš visų pusių.
Norėdami tai įrodyti, turime tai nufilmuoti ir parodyti.

Šis eilėraštis yra žinomas visiems vidurinę mokyklą, nuo tada, kai geometrijos klasėje studijavome garsiąją Pitagoro teoremą: stačiojo trikampio hipotenuzės ilgio kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai. Nors pats Pitagoras niekada nemūvėjo kelnių – tais laikais graikai jų nedėvėjo. Kas yra Pitagoras?
Pitagoras iš Samos iš lat. Pitagoras, pitų transliuotojas (570–490 m. pr. Kr.) – senovės graikų filosofas, matematikas ir mistikas, pitagoriečių religinės ir filosofinės mokyklos kūrėjas.
Tarp prieštaringų savo mokytojų mokymų Pitagoras ieškojo gyvo ryšio, vienos didelės visumos sintezės. Jis išsikėlė sau tikslą – rasti kelią, vedantį į tiesos šviesą, tai yra patirti gyvenimą vienybėje. Tuo tikslu Pitagoras aplankė visą senovės pasaulis. Jis tikėjo, kad turėtų plėsti savo ir taip platų akiratį, studijuodamas visas religijas, doktrinas ir kultus. Jis gyveno tarp rabinų ir daug sužinojo apie slaptas Mozės, Izraelio įstatymų leidėjo, tradicijas. Tada jis aplankė Egiptą, kur buvo įtrauktas į Adonio slėpinius, ir, spėjęs perplaukti Eufrato slėnį, ilgam pasiliko pas chaldėjus, kad išmoktų jų slaptos išminties. Pitagoras aplankė Aziją ir Afriką, įskaitant Hindustaną ir Babiloną. Babilone jis studijavo magų žinias.
Pitagoriečių nuopelnas buvo iškelti idėją kiekybiniai modeliai pasaulio raida, kuri prisidėjo prie matematinių, fizinių, astronominių ir geografinių žinių. Daiktų pagrindas yra skaičius, mokė Pitagoras, pažinti pasaulį reiškia pažinti jį valdančius skaičius. Tyrinėdami skaičius, pitagoriečiai sukūrė skaitinius ryšius ir juos rado visose srityse žmogaus veikla. Pitagoras mokė paslapčia ir nepaliko rašto darbų. Pitagoras davė puiki vertė numerį. Jo filosofines pažiūras daugiausia dėl matematinius vaizdus. Jis pasakė: „Viskas yra skaičius“, „visi dalykai yra skaičiai“, taip išryškindamas vieną pasaulio supratimo pusę, būtent jo išmatuojamumą. skaitinė išraiška. Pitagoras tikėjo, kad skaičius valdo viską, įskaitant moralines ir dvasines savybes. Jis mokė (pagal Aristotelį): „Teisingumas... yra skaičius, padaugintas iš savęs“. Jis tikėjo, kad kiekviename objekte, be kintančių jo būsenų, yra ir nekintanti būtybė, tam tikra nekintanti substancija. Tai yra skaičius. Taigi pagrindinė pitagorizmo idėja: skaičius yra visko, kas egzistuoja, pagrindas. Pitagoriečiai paaiškinimą matė skaičiuje ir matematiniuose santykiuose paslėpta prasmė reiškiniai, gamtos dėsniai. Pasak Pitagoro, minties objektai yra tikresni nei daiktai juslinės žinios, kadangi skaičiai turi nesenstančią prigimtį, t.y. amžinas. Jie yra tam tikra tikrovė, kuri yra aukščiau už dalykų tikrovę. Pitagoras sako, kad visos objekto savybės gali būti sunaikintos arba pakeistos, išskyrus vieną skaitmeninė savybė. Ši nuosavybė yra vienetas. Vienybė yra daiktų egzistavimas, nesunaikinamas ir nesuardomas, nekeičiamas. Sulaužykite bet kokį objektą į dalis smulkios dalelės– kiekviena dalelė bus viena. Teigdamas, kad skaitinė būtybė yra vienintelė nekintanti būtybė, Pitagoras padarė išvadą, kad visi objektai yra skaičių kopijos.
Yra vienetas absoliutus skaičius Vienetas turi amžinybę. Įrenginys neturi būti susijęs su niekuo kitu. Ji egzistuoja savaime. Du yra tik vieno santykis su vienu. Visi skaičiai yra tik
skaitiniai vieneto ryšiai, jo modifikacijos. Ir visos būties formos yra tik tam tikros begalybės pusės, taigi ir Vienetai. Originaliame Viene yra visi skaičiai, todėl jame yra viso pasaulio elementai. Daiktai yra tikrosios apraiškos abstrakti būtybė. Pitagoras pirmasis paskyrė kosmosą su visais jame esančiais daiktais tvarka, kuri nustatoma pagal skaičių. Ši tvarka yra prieinama protui ir yra jo atpažįstama, o tai leidžia pamatyti pasaulį visiškai naujai.
Pasaulio pažinimo procesas, pasak Pitagoro, yra jį valdančių skaičių pažinimo procesas. Po Pitagoro kosmosas buvo pradėtas laikyti suskirstytu pagal visatos skaičių.
Pitagoras mokė, kad žmogaus siela yra nemirtinga. Jis sugalvojo sielų persikraustymo idėją. Jis tikėjo, kad viskas, kas vyksta pasaulyje, po tam tikro laiko kartojasi vėl ir vėl, o mirusiųjų sielos po kurio laiko apsigyvena kituose. Siela, kaip skaičius, reprezentuoja Vienetą, t.y. siela iš esmės yra tobula. Bet kiekviena tobulybė, kiek ji patenka į judėjimą, virsta netobulumu, nors ir stengiasi susigrąžinti buvusią tobulą būseną. Nukrypimą nuo Vienybės Pitagoras pavadino netobulumu; todėl Du buvo laikomi prakeiktu skaičiumi. Žmogaus siela yra lyginamojo netobulumo būsenoje. Jį sudaro trys elementai: protas, protas, aistra. Bet jei gyvūnai taip pat turi intelektą ir aistras, tai tik žmogus yra apdovanotas protu (protu). Bet kuris iš šių tris puses gali vyrauti žmoguje, ir tada žmogus tampa daugiausia arba protingas, arba sveiko proto, arba jausmingas. Atitinkamai jis pasirodo esąs arba filosofas, arba paprastas žmogus, arba gyvūnas.
Tačiau grįžkime prie skaičių. Taip, iš tiesų, skaičiai yra abstraktus pagrindinio filosofinio Visatos dėsnio – priešybių vienybės – pasireiškimas.
Pastaba. Abstrakcija yra apibendrinimo ir koncepcijos formavimo procesų pagrindas. Ji - būtina sąlyga skirstymas į kategorijas. Jis formuoja apibendrintus tikrovės vaizdinius, leidžiančius išryškinti tuos, kurie yra svarbūs tam tikra veikla daiktų ryšiai ir santykiai.
Visatos priešybių vienybę sudaro forma ir turinys, forma yra kiekybinė kategorija, o turinys yra kokybinė kategorija. Natūralu, kad skaičiai abstrakciškai išreiškia kiekybines ir kokybines kategorijas. Vadinasi, skaičių sudėjimas (atėmimas) yra kiekybinis Formų abstrakcijos komponentas, o daugyba (dalyba) – kokybinis Turinio abstrakcijos komponentas. Formos ir Turinio abstrakcijos skaičiai yra neatsiejamai susiję su priešybių vienybe.
Pabandykime gaminti matematines operacijas, nustatymas virš skaičių nenutrūkstamas ryšys Formos ir turinys.

Taigi pažvelkime į skaičių serijas.
1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1+2= 3 (3) 4+5=9 (9)… (6) 7+8=15 -1+5=6 (9). Kiti 10 – (1+0) + 11 (1+1) = (1+2= 3) – 12 – (1+2=3) (3) 13-(1+3= 4) + 14 – (1 +4=5) = (4+5= 9) (9) …15 – (1+5=6) (6) … 16- (1+6=7) + 17 – (1+7 =8) ( 7+8=15) – (1+5= 6) … (18) – (1+8=9) (9). 19 – (1+9= 10) (1) –20 – (2+0=2) (1+2=3) 21 – (2+1=3) (3) – 22– (2+2= 4) ) 23-(2+3=5) (4+5=9) (9) 24- (2+4=6) 25 – (2+5=7) 26 – (2+6= 8) – 7+ 8 = 15 (1 + 5 = 6) (6) ir kt.
Iš čia stebime ciklinę formų transformaciją, kuri atitinka Turinio ciklą - 1 ciklas - 3-9-6 - 6-9-3 2 ciklas - 3-9- 6 -6-9-3 ir kt.
6
9 9
3

Ciklai atspindi Visatos toro inversiją, kur Formos ir Turinio abstrakcijos skaičių priešingybės yra 3 ir 6, kur 3 lemia suspaudimą, o 6 – tempimą. Jų sąveikos kompromisas yra skaičius 9.
Kitas 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1x2=2 (3) 4x5=20 (2+0=2) (6) 7x8=56 (5+6=11 1+1= 2) (9) ir kt.
Ciklas atrodo taip 2-(3)-2-(6)- 2- (9)… kur 2 yra ciklo 3-6-9 sudedamoji dalis.
Žemiau yra daugybos lentelė:
2x1=2
2x2=4
(2+4=6)
2x3=6
2x4=8
2x5=10
(8+1+0 = 9)
2x6=12
(1+2=3)
2x7=14
2x8=16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2x9=18
(1+8=9)
Ciklas -6,6- 9- 3,3 - 9.
3x1=3
3x2=6
3x3=9
3x4=12 (1+2=3)
3x5=15 (1+5=6)
3x6 = 18 (1 + 8 = 9)
3x7 = 21 (2 + 1 = 3)
3x8 = 24 (2 + 4 = 6)
3x9 = 27 (2 + 7 = 9)
Ciklas 3-6-9; 3-6-9; 3-6-9.
4x1=4
4x2=8 (4+8=12 1+2=3)
4x3=12 (1+2=3)
4x4=16
4x5=20 (1+6+2+0=9)
4x6 = 24 (2 + 4 = 6)
4x7=28
4x8 = 32 (2 + 8 + 3 + 2 = 15 1 + 5 = 6)
4x9 = 36 (3 + 6 = 9)
Ciklas 3,3 – 9 – 6,6 – 9.
5x1=5
5x2=10 (5+1+0=6)
5x3=15 (1+5=6)
5x4=20
5x5=25 (2+0+2+5=9)
5x6 = 30 (3 + 0 = 3)
5x7=35
5x8 = 40 (3 + 5 + 4 + 0 = 12 1 + 2 = 3)
5x9 = 45 (4 + 5 = 9)
Ciklas -6,6 - 9 - 3,3- 9.
6x1 = 6
6x2=12 (1+2=3)
6x3=18 (1+8=9)
6x4=24 (2+4=6)
6x5 = 30 (3 + 0 = 3)
6x6 = 36 (3 + 6 = 9)
6x7 = 42 (4 + 2 = 6)
6x8 = 48 (4 + 8 = 12 1 + 2 = 3)
6x9 = 54 (5 + 4 = 9)
Ciklas – 3-9-6; 3-9-6; 3-9.
7x1=7
7x2=14 (7+1+4=12 1+2=3)
7x3 = 21 (2 + 1 = 3)
7x4=28
7x5=35 (2+8+3+5=18 1+8=9)
7x6 = 42 (4 + 2 = 6)
7x7=49
7x8=56 (4+9+5+6=24 2+4=6)
7x9 = 63 (6 + 3 = 9)
Ciklas – 3,3 – 9 – 6,6 – 9.
8x1 = 8
8x2=16 (8+1+6=15 1+5=6.
8x3 = 24 (2 + 4 = 6)
8x4=32
8x5 = 40 (3 + 2 + 4 + 0 = 9)
8x6 = 48 (4 + 8 = 12 1 + 2 = 3)
8x7=56
8x8=64 (5+6+6+4=21 2+1=3)
8x9 = 72 (7 + 2 = 9)
Ciklas -6,6 - 9 - 3,3 - 9.
9x1=9
9x2 = 18 (1 + 8 = 9)
9 x 3 = 27 (2 + 7 = 9)
9x4=36 (3+6=9)
9x5 = 45 (4 + 5 = 9)
9x6 = 54 (5 + 4 = 9)
9x7 = 63 (6 + 3 = 9)
9x8 = 72 (7 + 2 = 9)
9x9=81 (8+1=9).
Ciklas yra 9-9-9-9-9-9-9-9-9.

Turinio kokybinės kategorijos skaičiai – 3-6-9, nurodo atomo branduolį su skirtingos sumos neutronai, o kiekybinės kategorijos nurodo elektronų skaičių atome. Cheminiai elementai yra branduoliai, kurių masė yra 9 kartotiniai, o 3 ir 6 kartotiniai yra izotopai.
Pastaba. Izotopas (iš graikų „lygus“, „identiškas“ ir „vieta“) - to paties atomų ir branduolių atmainos cheminis elementas su skirtingu neutronų skaičiumi branduolyje. Cheminis elementas yra atomų, turinčių identiškus branduolinius krūvius, rinkinys. Izotopai yra cheminio elemento atomų atmainos su vienodas krūvis branduolių, bet turi skirtingus masės skaičius.

Visi galiojantys daiktai yra sudaryti iš atomų, o atomai apibrėžiami skaičiais.
Todėl natūralu, kad Pitagoras buvo įsitikinęs, kad skaičiai yra tikri objektai, o ne paprasti simboliai. Skaičius – tam tikra materialių objektų būsena, daikto esmė. Ir Pitagoras buvo teisus.

Kūrybiškumo potencialas dažniausiai priskiriamas humanitariniai mokslai natūralu, kad analizė paliekama mokslinei, praktinis požiūris ir sausa formulių ir skaičių kalba. Matematikos negalima priskirti prie humanitarinių mokslų dalykų. Tačiau be kūrybiškumo „visų mokslų karaliene“ toli nenueisi – žmonės tai žinojo jau seniai. Pavyzdžiui, nuo Pitagoro laikų.

Mokykliniuose vadovėliuose, deja, dažniausiai nepaaiškinama, kad matematikoje svarbu ne tik prigrūsti teoremas, aksiomas ir formules. Svarbu suprasti ir pajusti pagrindinius jos principus. Ir tuo pačiu pasistenkite išlaisvinti savo mintis nuo klišių ir elementarių tiesų – tik tokiomis sąlygomis gimsta visi didieji atradimai.

Tokie atradimai apima tai, ką šiandien žinome kaip Pitagoro teoremą. Jos pagalba bandysime parodyti, kad matematika ne tik gali, bet ir turėtų jaudinti. Ir kad šis nuotykis tiktų ne tik vėplai su storais akiniais, bet visiems, kas stipriu protu ir stipria dvasia.

Iš problemos istorijos

Griežtai kalbant, nors teorema vadinama „Pitagoro teorema“, pats Pitagoras jos neatrado. Stačiakampis trikampis ir jo ypatingos savybės buvo tiriamos gerokai prieš jį. Yra du poliariniai taškai požiūrį į šį klausimą. Remiantis viena versija, Pitagoras pirmasis rado išsamų teoremos įrodymą. Kito teigimu, įrodymas nepriklauso Pitagoro autorystei.

Šiandien nebegalite patikrinti, kas teisus, o kas neteisus. Yra žinoma, kad Pitagoro įrodymas, jei jis kada nors egzistavo, neišliko. Tačiau yra pasiūlymų, kad garsusis įrodymas iš Euklido elementų gali priklausyti Pitagorui, o Euklidas jį tik užfiksavo.

Taip pat šiandien žinoma, kad egiptiečių šaltiniuose randama problemų apie stačiakampį trikampį iš faraono Amenemhato I laikų, babiloniečių kalba. molio tabletės karaliaus Hamurabio valdymo laikotarpį, senovės Indijos traktate „Sulva Sutra“ ir senovės kinų veikale „Zhou-bi suan jin“.

Kaip matote, Pitagoro teorema užėmė matematikų protus nuo seniausių laikų. Tai patvirtina apie 367 skirtingi šiandien egzistuojantys įrodymai. Šiuo atveju jokia kita teorema negali su ja konkuruoti. Iš žymių įrodinėjimo autorių galime prisiminti Leonardo da Vinci ir dvidešimtąjį JAV prezidentą Jamesą Garfieldą. Visa tai byloja apie itin didelę šios teoremos svarbą matematikai: dauguma geometrijos teoremų yra išvestos iš jos arba kaip nors su ja susijusios.

Pitagoro teoremos įrodymai

Mokykliniuose vadovėliuose dažniausiai pateikiami algebriniai įrodymai. Tačiau teoremos esmė yra geometrijoje, todėl pirmiausia apsvarstykime tuos garsiosios teoremos įrodymus, kurie yra pagrįsti šiuo mokslu.

1 įrodymas

Daugiausiai paprastas įrodymas Turi būti pateikta Pitagoro teorema stačiajam trikampiui idealios sąlygos: tegul trikampis būna ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Yra pagrindo manyti, kad senovės matematikai iš pradžių svarstė būtent tokį trikampį.

pareiškimas „Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzės, yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, sumai“ galima iliustruoti tokiu piešiniu:

Pažvelkite į lygiašonį stačiakampį trikampis ABC: hipotenuzėje AC galite sukurti kvadratą, sudarytą iš keturių trikampių, lygių pradiniam ABC. O kraštinėse AB ir BC pastatytas kvadratas, kurių kiekviename yra du panašūs trikampiai.

Beje, šis piešinys buvo daugelio anekdotų ir animacinių filmų, skirtų Pitagoro teoremai, pagrindas. Garsiausias turbūt "Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis":

2 įrodymas

Šis metodas sujungia algebrą ir geometriją ir gali būti laikomas senovės Indijos matematiko Bhaskari įrodymo variantu.

Sukurkite stačiakampį trikampį su kraštinėmis a, b ir c(1 pav.). Tada sukurkite du kvadratus, kurių kraštinės yra lygios dviejų kojų ilgių sumai - (a+b). Kiekviename iš kvadratų padarykite konstrukcijas, kaip parodyta 2 ir 3 paveiksluose.

Pirmajame kvadrate pastatykite keturis trikampius, panašius į 1 paveiksle. Gaunate du kvadratus: vienas su kraštine a, antras su kraštine. b.

Antrajame kvadrate keturi panašūs trikampiai sudaro kvadratą su kraštine lygus hipotenuzei c.

Sukonstruotų kvadratų plotų suma 2 pav. yra lygi kvadrato, kurį sukonstravome su kraštine c 3 pav., plotui. Tai galima lengvai patikrinti apskaičiuojant kvadratų plotą pav. 2 pagal formulę. Ir įbrėžto kvadrato plotas 3 paveiksle, atimant keturių lygių stačiųjų trikampių, įrašytų į kvadratą, plotus iš didelio kvadrato su kraštine ploto (a+b).

Užrašę visa tai, turime: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Atidarykite skliaustus ir užpildykite viską, ko reikia algebriniai skaičiavimai ir gauk tai a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Šiuo atveju plotas, įrašytas 3 pav. kvadratas taip pat gali būti apskaičiuojamas naudojant tradicinę formulę S=c 2. Tie. a 2 +b 2 =c 2– įrodėte Pitagoro teoremą.

3 įrodymas

Pats senovės Indijos įrodymas buvo aprašytas XII amžiuje traktate „Žinių karūna“ („Siddhanta Shiromani“) ir kaip pagrindinį argumentą autorius naudoja kreipimąsi į mokinių ir pasekėjų matematinius gabumus ir stebėjimo įgūdžius: „ Žiūrėk!"

Bet mes išanalizuosime šį įrodymą išsamiau:

Kvadrato viduje pastatykite keturis stačiuosius trikampius, kaip nurodyta brėžinyje. Pažymėkime didžiojo kvadrato, dar žinomo kaip hipotenuzė, kraštą, Su. Pavadinkime trikampio kojas A Ir b. Pagal brėžinį vidinio kvadrato pusė yra (a–b).

Naudokite kvadrato ploto formulę S=c 2 Norėdami apskaičiuoti išorinio kvadrato plotą. Ir tuo pačiu metu apskaičiuokite tą pačią vertę, pridėdami vidinio kvadrato plotą ir visų keturių stačiųjų trikampių plotus: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Apskaičiuodami kvadrato plotą galite naudoti abi parinktis, kad įsitikintumėte, jog jos duoda tą patį rezultatą. Ir tai suteikia jums teisę tai užsirašyti c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Išsprendę gausite Pitagoro teoremos formulę c 2 =a 2 + b 2. Teorema įrodyta.

4 įrodymas

Šis keistas senovės kinų įrodymas buvo vadinamas „Nuotakos kėde“ dėl į kėdę panašios figūros, kuri susidaro iš visų konstrukcijų:

Jis naudoja brėžinį, kurį jau matėme 3 pav. antrajame įrodyme. O vidinis kvadratas su kraštine c yra sukonstruotas taip pat, kaip ir aukščiau pateiktame senovės Indijos įrodyme.

Jei mintyse nupjovėte du žalius stačiuosius trikampius iš piešinio 1 pav., perkelkite juos į priešingos pusės alyvinių trikampių įduboms pritaikykite kvadratą su kraštine c ir hipotenomis, gausite figūrą, vadinamą „nuotakos kėde“ (2 pav.). Aiškumo dėlei tą patį galite padaryti su popieriniais kvadratais ir trikampiais. Įsitikinsite, kad „nuotakos kėdę“ suformuotų du kvadratai: maži su šonu b ir didelis su šonu a.

Šios konstrukcijos leido senovės Kinijos matematikams ir mums, jomis sekantiems, prieiti prie išvados c 2 =a 2 + b 2.

5 įrodymas

Tai dar vienas būdas rasti Pitagoro teoremos sprendimą naudojant geometriją. Jis vadinamas Garfieldo metodu.

Sukurkite statųjį trikampį ABC. Turime tai įrodyti BC 2 = AC 2 + AB 2.

Norėdami tai padaryti, tęskite koją AC ir sukonstruoti segmentą CD, kuris lygus kojai AB. Nuleiskite statmeną AD segmentas ED. Segmentai ED Ir AC yra lygūs. Sujunkite taškus E Ir IN, ir taip pat E Ir SU ir gaukite piešinį, kaip paveikslėlyje žemiau:

Norėdami įrodyti esmę, vėl kreipiamės į jau išbandytą metodą: susiraskime sritį gautą figūrą dviem būdais ir prilyginkite išraiškas viena kitai.

Raskite daugiakampio plotą ABED galima padaryti sudėjus trijų jį sudarančių trikampių plotus. Ir vienas iš jų, ERU, yra ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Taip pat nepamirškime to AB = CD, AC=ED Ir BC = SE– tai leis supaprastinti įrašymą ir jo neperkrauti. Taigi, S ABED = 2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Kartu akivaizdu, kad ABED- Tai trapecija. Todėl apskaičiuojame jo plotą pagal formulę: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Mūsų skaičiavimams patogiau ir aiškiau pavaizduoti segmentą AD kaip segmentų suma AC Ir CD.

Užrašykime abu figūros ploto skaičiavimo būdus, tarp jų padėdami lygybės ženklą: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Supaprastinimui naudojame mums jau žinomą ir aukščiau aprašytą segmentų lygybę dešinėje pusėjeįrašai: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Dabar atidarykime skliaustus ir pakeiskime lygybę: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Atlikę visas transformacijas, gauname būtent tai, ko mums reikia: BC 2 = AC 2 + AB 2. Įrodėme teoremą.

Žinoma, šis įrodymų sąrašas toli gražu nėra baigtas. Pitagoro teorema taip pat gali būti įrodyta naudojant vektorius, kompleksiniai skaičiai, diferencialines lygtis, stereometrija ir kt. Ir net fizikai: jei, pavyzdžiui, skystis pilamas į kvadratinius ir trikampius tūrius, panašius į parodytus brėžiniuose. Pildami skystį, galite įrodyti plotų lygybę ir dėl to pačią teoremą.

Keletas žodžių apie Pitagoro trynukus

Mokyklos programoje šis klausimas mažai nagrinėjamas arba visai nenagrinėjamas. Tuo tarpu tai labai įdomu ir turi didelę reikšmę geometrijoje. Pitagoro trigubai naudojami daugeliui išspręsti matematines problemas. Jų supratimas gali būti naudingas tolesniam mokymuisi.

Taigi, kas yra Pitagoro trynukai? Taip vadinami natūralieji skaičiai, surinkti grupėmis po tris, kurių dviejų kvadratų suma yra lygi trečiajam skaičiui kvadratu.

Pitagoro trigubai gali būti:

• primityvus (visi trys skaičiai yra santykinai pirminiai);
• ne primityvus (jei kiekvienas trigubo skaičius padauginamas iš to paties skaičiaus, gaunamas naujas trigubas, kuris nėra primityvus).

Dar prieš mūsų erą senovės egiptiečius žavėjo skaičių manija. Pitagoro trigubai: uždaviniuose jie pažvelgė į stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3, 4 ir 5 vienetai. Beje, bet kuris trikampis, kurio kraštinės yra lygios skaičiams iš Pitagoro trigubo, pagal nutylėjimą yra stačiakampis.

Pitagoro trynukų pavyzdžiai: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) ir kt.

Praktinis teoremos taikymas

Pitagoro teorema naudojama ne tik matematikoje, bet ir architektūroje bei statybose, astronomijoje ir net literatūroje.

Pirmiausia apie statybą: Pitagoro teorema plačiai naudojama uždaviniuose skirtingi lygiai sudėtingumo. Pavyzdžiui, pažiūrėkite į romaninį langą:

Lango plotį pažymėkime kaip b, tada didžiojo puslankio spindulį galima žymėti kaip R ir išreikšti per b: R=b/2. Mažesnių puslankių spindulys taip pat gali būti išreikštas per b: r=b/4. Šioje užduotyje mus domina lango vidinio apskritimo spindulys (vadinkime jį p).

Pitagoro teorema tiesiog naudinga skaičiuojant r. Norėdami tai padaryti, naudojame stačiakampį trikampį, kuris paveikslėlyje pažymėtas punktyrine linija. Trikampio hipotenuzė susideda iš dviejų spindulių: b/4+p. Viena koja reiškia spindulį b/4, kitas b/2-p. Naudodami Pitagoro teoremą rašome: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Toliau atidarome skliaustus ir gauname b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Paverskime šią išraišką į bp/2=b 2 /4-bp. Ir tada mes padaliname visus terminus iš b, pateikiame panašių gauti 3/2*p=b/4. Ir galų gale mes tai surandame p=b/6– ko mums ir reikėjo.

Naudodami teoremą galite apskaičiuoti dvišlaičio stogo gegnių ilgį. Nustatykite, koks yra bokšto aukštis mobiliojo ryšio signalas turi pasiekti tam tikrą atsiskaitymas. Ir netgi nuolat diegti Kalėdų eglutė miesto aikštėje. Kaip matote, ši teorema gyvena ne tik vadovėlių puslapiuose, bet dažnai praverčia ir realiame gyvenime.

Literatūroje Pitagoro teorema įkvėpė rašytojus nuo antikos laikų ir tebekelia tai mūsų laikais. Pavyzdžiui, XIX amžiaus vokiečių rašytojas Adelbertas von Chamisso buvo įkvėptas parašyti sonetą:

Tiesos šviesa greitai neišsklaidys,
Tačiau sužibėjęs vargu ar išsisklaidys
Ir, kaip ir prieš tūkstančius metų,
Tai nesukels abejonių ar ginčų.

Išmintingiausias, kai paliečia tavo žvilgsnį
Tiesos šviesa, ačiū dievams;
Ir šimtas jaučių, paskerstų, guli -
Dovana iš laimingojo Pitagoro.

Nuo tada jaučiai beviltiškai riaumoja:
Amžinai sunerimo bulių gentis
Čia paminėtas įvykis.

Jiems atrodo: tuoj ateis laikas,
Ir jie vėl bus paaukoti
Puiki teorema.

(vertė Viktoras Toporovas)

Ir XX a Sovietų rašytojas Jevgenijus Veltistov savo knygoje „Elektronikos nuotykiai“ visą skyrių skyrė Pitagoro teoremos įrodymams. Ir dar pusė skyriaus istorijos apie dvimatį pasaulį, kuris galėtų egzistuoti, jei Pitagoro teorema taptų pagrindiniu vieno pasaulio dėsniu ir net religija. Ten gyventi būtų daug lengviau, bet ir nuobodžiau: pavyzdžiui, ten niekas nesupranta žodžių „apvalus“ ir „pūkas“ reikšmės.

O knygoje „Elektronikos nuotykiai“ autorius matematikos mokytojo Tarataro lūpomis sako: „Matematikoje svarbiausia yra minčių judėjimas, naujos idėjos“. Kaip tik toks kūrybinis minties polėkis ir lemia Pitagoro teoremą – ne veltui ji turi tiek daug įvairiausių įrodymų. Tai padeda peržengti pažįstamo ribas ir pažvelgti į pažįstamus dalykus naujai.

Išvada

Šis straipsnis skirtas padėti jums pažvelgti daugiau mokyklos mokymo programa matematikos ir išmokti ne tik tuos Pitagoro teoremos įrodymus, kurie pateikiami vadovėliuose „Geometrija 7-9“ (L.S. Atanasjanas, V.N. Rudenko) ir „Geometrija 7-11“ (A.V. Pogorelovas), bet ir kitų įdomių būdų įrodyti. garsioji teorema. Taip pat pažiūrėkite, kaip Pitagoro teorema gali būti taikoma kasdieniame gyvenime.

Pirma, ši informacija leis jums gauti daugiau aukštus balus matematikos pamokose - informacija apie dalyką iš papildomų šaltinių visada yra labai vertinami.

Antra, norėjome padėti jums pajusti, kaip sekasi matematika įdomus mokslas. Įsitikinkite konkrečių pavyzdžių kad jame visada yra vietos kūrybai. Tikimės, kad Pitagoro teorema ir šis straipsnis jus įkvėps nepriklausomos paieškos ir įdomių matematikos ir kitų mokslų atradimų.

Pasakykite mums komentaruose, jei jums pasirodė įdomūs straipsnyje pateikti įrodymai. Ar ši informacija jums buvo naudinga studijuojant? Parašykite mums, ką manote apie Pitagoro teoremą ir šį straipsnį – mes mielai visa tai aptarsime su jumis.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

1 iš 8

Pristatymas tema: Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis

1 skaidrė

Skaidrės aprašymas:

2 skaidrė

Skaidrės aprašymas:

Ši kaustinė pastaba (kuris visas turi tęsinį: norint tai įrodyti, reikia ją pašalinti ir parodyti), kurią sugalvojo kažkas, matyt, sukrėstas vienos svarbios Euklido geometrijos teoremos vidinio turinio, atskleidžia kuo tiksliau. atspirties taškas, nuo kurio grandinės visiškai paprastas atspindys greitai veda prie teoremos įrodymo, taip pat prie dar reikšmingesnių rezultatų. Šią teoremą, priskiriamą senovės graikų matematikui Pitagorui Samiečiui (VI a. pr. Kr.), žino beveik kiekvienas moksleivis ir skamba taip: stačiojo trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.

3 skaidrė

Skaidrės aprašymas:

Galbūt daugelis su tuo sutiks geometrinė figūra, vadinamas kodu "Pitagoro kelnės yra lygios iš visų pusių", vadinamas kvadratu. Na, o su šypsena veide pridurkime nekenksmingą pokštą dėl to, ką turėjome omenyje šifruoto sarkazmo tęsinys. Taigi, „norėdami tai įrodyti, turite tai nufilmuoti ir parodyti“. Akivaizdu, kad „tai“ - įvardis reiškė pačią teoremą, „pašalinti“ - tai reiškia patekti į rankas, paimti įvardintą figūrą, „parodyti“ - buvo reiškiamas žodis „paliesti“, įtraukiant kai kurias figūros dalis. susisiekti. Apskritai „Pitagoro kelnės“ buvo pavadintas grafiniam dizainui, savo išvaizda primenančiam kelnes, kuris buvo gautas Euklido piešinyje jam atliekant labai sudėtingą Pitagoro teoremos įrodymą. Kai buvo rastas paprastesnis įrodymas, galbūt koks nors rimuotojas sukūrė šią liežuvio užuominą, kad nepamirštų požiūrio į įrodymą pradžios, o populiarūs gandai jau pasklido po pasaulį kaip tuščią posakį.

4 skaidrė

Skaidrės aprašymas:

Taigi, jei paimsite kvadratą ir į jį įdėsite mažesnį kvadratą, kad jų centrai sutaptų, ir sukite mažesnį kvadratą tol, kol jo kampai palies didesnio kvadrato kraštines, tada ant didesnės figūros rasite paryškintus 4 vienodus stačiuosius trikampius. prie mažesnės aikštės šonų Iš čia jau yra tiesus kelias į įrodymą garsioji teorema. Mažesnio kvadrato kraštinė pažymėta c. Didesnio kvadrato kraštinė yra a+b, o tada jo plotas yra (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. Tą patį plotą galima apibrėžti kaip mažesnio kvadrato ploto sumą ir 4 vienodų stačiakampių trikampių plotai, tai yra kaip 4 ab/2+c 2 =2ab+c 2. Padėkime lygybės ženklą tarp dviejų to paties ploto skaičiavimų: a 2 +2ab+b 2 =2ab+ c 2. Sumažinus narius 2ab gauname išvadą: stačiojo trikampio hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai, tai yra a 2 + b 2 =c 2.

Skaidrė Nr

Skaidrės aprašymas:

Ne visi iš karto supras šios teoremos naudą. Praktiniu požiūriu jo vertė yra daugelio geometrinių skaičiavimų, pavyzdžiui, atstumo tarp taškų nustatymas, pagrindu. koordinačių plokštuma. Kai kurios vertingos formulės išvedamos iš teoremos, jos apibendrinimai veda prie naujų teoremų, kurios užpildo atotrūkį tarp skaičiavimų plokštumoje ir skaičiavimų erdvėje. Teoremos pasekmės prasiskverbia į skaičių teoriją, atskleisdamos atskiras skaičių serijos struktūros detales. Ir daug daugiau, per daug, kad būtų galima išvardyti.

Skaidrė Nr

Skaidrės aprašymas:

Žvilgsnis iš tuščio smalsumo taško parodo linksmų problemų pateikimą teorema, kurios suformuluotos itin aiškiai, bet kartais yra kieti riešutai. Kaip pavyzdį užtenka paminėti paprasčiausią iš jų, vadinamąjį klausimą apie Pitagoro skaičius, kasdieniškai užduodamą taip: ar galima pastatyti kambarį, kurio ilgio, pločio ir įstrižainės ant grindų būtų vienu metu matuojamas tik sveikaisiais skaičiais, tarkime, žingsniais? Tik menkiausias šios problemos pakeitimas gali labai apsunkinti užduotį. Ir atitinkamai atsiras norinčių vien iš mokslinio entuziazmo išbandyti save skirstant kitą. matematikos galvosūkis. Dar vienas klausimo pakeitimas – ir dar vienas galvosūkis. Dažnai, ieškant atsakymų į tokias problemas, matematika vystosi, įgyja naują požiūrį į senas sąvokas ir įgyja naujų. sisteminiai metodai ir taip toliau, o tai reiškia, kad Pitagoro teorema, kaip ir bet kuris kitas vertingas mokymas, šiuo požiūriu yra ne mažiau naudingas.

Skaidrė Nr

Skaidrės aprašymas:

Pitagoro laikų matematika nepripažino kitų skaičių, išskyrus racionalius (natūralūs skaičiai arba trupmenos su natūraliuoju skaitikliu ir vardikliu). Viskas buvo matuojama visais kiekiais arba sveikų kiekių dalimis. Štai kodėl vis labiau suprantamas noras atlikti geometrinius skaičiavimus ir spręsti lygtis. natūraliuosius skaičius. Priklausomybė nuo jų atveria kelią į neįtikėtinas pasaulis skaičių paslaptys, kurių nemažai yra geometrinė interpretacija iš pradžių pasirodo kaip tiesi linija su begalinis skaičiusženklų Kartais iš karto krenta į akis priklausomybė tarp kai kurių skaičių serijoje, „tiesinis atstumas“ tarp jų, proporcija, o kartais sudėtingiausios psichinės struktūros neleidžia nustatyti, kokiems dėsningumams priklauso tam tikrų skaičių pasiskirstymas. Pasirodo, naujajame pasaulyje, šioje „vienmatėje geometrijoje“, senosios problemos lieka galioti, keičiasi tik jų formuluotė. Pavyzdžiui, užduoties apie pitagoriškus skaičius variantas: „Iš namų tėvas žengia x žingsnius po x centimetrus, o paskui nueina dar po y centimetrus Sūnus nueina z žingsnius po z centimetrus būti jų žingsnių dydžio, kad z-tame žingsnyje vaikas sektų tėvo pėdomis?

Skaidrė Nr

Skaidrės aprašymas:

Teisybės dėlei reikia pažymėti, kad Pitagoro mąstymo ugdymo metodas yra šiek tiek sunkus pradedančiajam matematikui. Tai ypatingas stilius matematinis mąstymas, reikia priprasti. Vienas įdomus momentas. matematikai Babilonijos valstybė(ji atsirado dar gerokai prieš Pitagoro gimimą, beveik pusantro tūkstančio metų prieš jį) taip pat, matyt, žinojo kai kuriuos skaičių paieškos metodus, kurie vėliau tapo žinomi kaip pitagoriški. Buvo rastos dantiraščio lentelės, kuriose Babilono išminčiai užrašė tokių skaičių, kuriuos atpažino, trynukus. Kai kuriuos trejetus sudarė per daug dideli skaičiai, dėl kurių mūsų amžininkai pradėjo manyti, kad babiloniečiai turėjo gerus ir tikriausiai net paprastus jų skaičiavimo metodus. Deja, nieko nežinoma apie pačius metodus ar jų egzistavimą.

Kam reikalingos „Pitagoro kelnės“? Darbą atliko 8 klasės mokiniai

Kvadrato, pastatyto ant stačiojo trikampio hipotenuzos, plotas yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, plotų sumai... Arba Stačiojo trikampio hipotenuzos kvadratas yra lygus jo kojų kvadratai.

Tai vienas garsiausių geometrines teoremas Antikos laikais, vadinama Pitagoro teorema. Beveik visi, kas kada nors studijavo planimetriją, ją žino ir dabar. Tokio Pitagoro teoremos populiarumo priežastis yra jos paprastumas, grožis ir reikšmingumas. Pitagoro teorema paprasta, bet neaiški. Šis dviejų prieštaringų principų derinys suteikia jai ypatingą patrauklumą ir daro ją gražią. Jis naudojamas geometrijoje pažodžiui kiekviename žingsnyje, o tai, kad yra apie 500 skirtingų šios teoremos įrodymų (geometrinių, algebrinių, mechaninių ir kt.), rodo jos platų taikymą.

Teoremoje beveik visur yra Pitagoro vardas, tačiau šiuo metu visi sutinka, kad ją atrado ne Pitagoras. Tačiau vieni mano, kad jis pirmasis pateikė visišką to įrodymą, kiti neigia jo nuopelnus. Ši teorema buvo žinoma daugelį metų prieš Pitagorą. Taigi 1500 metų prieš Pitagorą senovės egiptiečiai žinojo, kad trikampis su 3, 4 ir 5 kraštinėmis yra stačiakampis, ir naudojo šią savybę statydami stačius kampus planuodami. žemės sklypai ir statybines konstrukcijas.

Teoremos įrodymas buvo laikomas labai sunkiu viduramžių studentų sluoksniuose ir buvo vadinamas „asilo tiltu“ arba „vargo skrydžiu“, o pati teorema buvo vadinama „ vėjo malūnas“ arba „Nuotakos teorema“. Mokiniai net piešė karikatūras ir kūrė eilėraščius, tokius kaip: Pitagoro kelnės Visos pusės lygios.

Įrodymas, pagrįstas vienodo dydžio figūrų sąvokos vartojimu. Nuotraukoje pavaizduoti du lygus kvadratas. Kiekvieno kvadrato kraštinių ilgis yra a + b. Kiekvienas kvadratas yra padalintas į dalis, sudarytas iš kvadratų ir stačiųjų trikampių. Akivaizdu, kad jei iš kvadrato ploto atimsime stačiakampio trikampio su kojelėmis a, b plotą keturis kartus, tada mums liks lygių plotų, t.y. senovės induistai, kuriems priklauso šis samprotavimas, dažniausiai jo neužsirašydavo, o palydėdavo piešinį tik vienu žodžiu: „žiūrėk! Visai įmanoma, kad Pitagoras pateikė tą patį įrodymą.

Siūlomas įrodymas mokyklinis vadovėlis. CD – aukštis trikampis ABC. AC = √ AD*AB AC 2 = AD*AB Panašiai, BC 2 = BD*AB Atsižvelgiant į tai, kad AD + BD = AB, gauname AC 2 + BC 2 = AD*AB+ BD*AB = (AD+BD)*AB = AB 2 A C B D

Problema Nr.1 ​​Iš aerodromo vienu metu pakilo du lėktuvai: vienas į vakarus, kitas į pietus. Po dviejų valandų atstumas tarp jų buvo 2000 km. Raskite lėktuvų greičius, jei vieno greitis būtų 75% kito greičio. Sprendimas: Pagal Pitagoro teoremą: 4x2+(0,75x*2)2=20002 6,25x2=20002 2,5x=2000 x=800 0,75x=0,75*800=600. Atsakymas: 800 km/h; 600 km/val.

Užduotis Nr. 2. Ką turėtų daryti jaunas matematikas, kad patikimai gautų stačią kampą? Sprendimas: galite naudoti Pitagoro teoremą ir sukurti trikampį, suteikdami jo kraštinėms tokį ilgį, kad trikampis būtų stačiakampis. Lengviausias būdas tai padaryti – paimti 3, 4 ir 5 ilgio juosteles iš bet kurių atsitiktinai parinktų vienodų segmentų.

Užduotis Nr. 3. Raskite rezultatą trys jėgos po 200 N, jei kampas tarp pirmosios ir antrosios jėgos bei tarp antrosios ir trečiosios jėgų yra 60°. Sprendimas: Pirmosios jėgų poros sumos modulis lygus: F1+22=F12+F22+2*F1*F2cosα čia α – kampas tarp vektorių F1 ir F2, t.y. F1+2=200√ 3 N. Kaip matyti iš simetrijos, vektorius F1+2 nukreiptas išilgai kampo α bisektoriaus, todėl kampas tarp jo ir trečiosios jėgos lygus: β=60°+60 °/2=90°. Dabar suraskime trijų jėgų rezultatą: R2=(F3+F1+2) R=400 N. Atsakymas: R=400 N.

Užduotis Nr. 4. Žaibolaidis apsaugo nuo žaibo visus objektus, kurių atstumas nuo pagrindo neviršija dvigubo aukščio. Nustatykite optimalią žaibolaidžio padėtį ant dvišlaičio stogo, užtikrindami žemiausią pasiekiamą aukštį. Sprendimas: Pagal Pitagoro teoremą h2≥ a2+b2, o tai reiškia h≥(a2+b2)1/2. Atsakymas: h≥(a2+b2)1/2.