Хотын төсөв боловсролын байгууллага
"Сиверская дундаж дунд сургууль№3"
математикт.
Ажлаа хийсэн
8-1-р ангийн сурагч
Емелин Павел
Шинжлэх ухааны удирдагч
математикийн багш
Тупицына Наталья Алексеевна
Сиверский тосгон
2014 он
Математик нь гоо үзэсгэлэн, эв найрамдлаар дүүрэн байдаг.
Та зөвхөн энэ гоо сайхныг харах хэрэгтэй.
Б.Манделброт
Танилцуулга__________________________________________3-4х.
Бүлэг 1.Фрактал үүссэн түүх._______5-6pp.
Бүлэг 2. Фракталуудын ангилал ______6-10х.
Геометрийн фракталууд
Алгебрийн фракталууд
Стохастик фракталууд
Бүлэг 3. "Байгалийн фрактал геометр"______11-13х.
Бүлэг 4. Фракталуудын хэрэглээ_________________13-15х.
5-р бүлэг Практик ажил______________16-24х.
Дүгнэлт_________________________________25.хуудас
Ашигласан материал, интернет эх сурвалжийн жагсаалт________26 хуудас.
Танилцуулга
Математик,
Хэрэв та үүнийг зөв харвал
зөвхөн үнэнийг илэрхийлээд зогсохгүй
гэхдээ бас юутай ч зүйрлэшгүй гоо үзэсгэлэн.
Бертран Рассел
"Фрактал" гэдэг үг нь өнөө үед эрдэмтэдээс эхлээд ахлах ангийн сурагчид хүртэл олон хүний ярьдаг зүйл юм. Энэ нь математикийн олон сурах бичгийн нүүрэн дээр гардаг. шинжлэх ухааны сэтгүүлүүдкомпьютертэй хайрцагнууд програм хангамж. Фракталуудын өнгөт зургийг өнөөдөр хаанаас ч олж болно: ил захидал, подволкоос эхлээд хувийн компьютерийн ширээний зураг хүртэл. Тэгэхээр бидний эргэн тойронд харагддаг эдгээр өнгөт дүрсүүд юу вэ?
Математик - эртний шинжлэх ухаан. Ихэнх хүмүүст байгаль дээрх геометр нь ийм зүйлээр хязгаарлагддаг мэт санагдаж байв энгийн тоонууд, шугам, тойрог, олон өнцөгт, бөмбөрцөг гэх мэт. Үүнээс харахад олон байгалийн системЭдгээр нь маш нарийн төвөгтэй тул ердийн геометрийн зөвхөн танил объектуудыг ашиглах нь найдваргүй мэт санагддаг. Жишээлбэл, геометрийн хувьд уулын нуруу, модны титмийн загварыг хэрхэн яаж барих вэ? Энэ олон янз байдлыг хэрхэн тодорхойлох вэ биологийн олон янз байдалургамал, амьтны ертөнцөд бидний ажигладаг? Олон хялгасан судас, судаснуудаас бүрдэх, эс бүрт цус хүргэдэг цусны эргэлтийн тогтолцооны нарийн төвөгтэй байдлыг хэрхэн төсөөлөх вэ? хүний бие? Уушиг, бөөрний бүтэц нь салаалсан титэмтэй модны бүтцийг санагдуулдаг гэж төсөөлөөд үз дээ?
Фракталууд нь эдгээр асуултуудыг судлахад тохиромжтой хэрэгсэл юм. Ихэнхдээ байгалиас харж буй зүйл нь хэд хэдэн удаа нэмэгдэж эсвэл буурсан ижил хэв маягийн төгсгөлгүй давталтаар бидний сонирхлыг татдаг. Жишээлбэл, мод мөчиртэй байдаг. Эдгээр салбарууд дээр жижиг салбарууд гэх мэт байдаг. Онолын хувьд салаалсан элемент нь хязгааргүй олон удаа давтагдаж, улам бүр багасдаг. Гэрэл зургийг харахад ижил зүйлийг харж болно. уулархаг газар нутаг. Уулын нуруунд бага зэрэг ойртуулж үзээрэй --- та уулсыг дахин харах болно. Фракталуудын ижил төстэй шинж чанар ийм байдлаар илэрдэг.
Фракталуудыг судлах нь хязгааргүй тооны хэрэглээг судлах, математикийн салбарт ч гайхалтай боломжийг нээж өгдөг. Фракталуудын хэрэглээ маш өргөн хүрээтэй! Эцсийн эцэст эдгээр объектууд нь маш үзэсгэлэнтэй тул дизайнерууд, зураачид ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар мод, үүл, уулс гэх мэт олон элементүүдийг графикаар зурдаг. Гэхдээ фракталуудыг олон гар утсанд антен болгон ашигладаг.
Олон хаологичдын хувьд (фрактал ба эмх замбараагүй байдлыг судалдаг эрдэмтэд) энэ нь тийм ч хялбар биш юм шинэ газарматематик, онолын физик, урлаг, компьютерийн технологийг хослуулсан мэдлэг бол хувьсгал юм. Энэ бол бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг дүрсэлсэн, зөвхөн сурах бичигт төдийгүй байгальд, хязгааргүй ертөнцийн хаа сайгүй харагдах геометрийн шинэ төрлийн нээлт юм..
Би ч гэсэн уран бүтээлээрээ гоо сайхны ертөнцөд “хүрч” байхаар шийдэж, өөрийнхөө төлөө шийдсэн...
Ажлын зорилго: зураг нь байгалийнхтай маш төстэй объектуудыг бүтээх.
Судалгааны аргууд: харьцуулсан шинжилгээ, синтез, загварчлал.
Даалгаврууд:
Б.Манделбротын үзэл баримтлал, үүсэл, судалгааны түүхтэй танилцах,
G. Koch, V. Sierpinsky болон бусад;
янз бүрийн төрлийн фрактал багцуудтай танилцах;
Энэ асуудлын талаархи шинжлэх ухааны алдартай уран зохиолыг судлах, танилцах
шинжлэх ухааны таамаглал;
хүрээлэн буй ертөнцийн фракталийн онолын баталгааг олох;
бусад шинжлэх ухаан болон практикт фракталуудын хэрэглээг судлах;
өөрийн фрактал зургийг бүтээх туршилт хийх.
Үндсэн асуултажил:
Математик бол хуурай, сүнсгүй хичээл биш гэдгийг харуулахын тулд тухайн хүний оюун санааны ертөнцийг хувь хүн болон нийгэмд бүхэлд нь илэрхийлж чаддаг.
Судалгааны сэдэв: Фрактал геометр.
Судалгааны объект: математик болон бодит ертөнц дэх фракталууд.
Таамаглал: Бодит ертөнцөд байгаа бүх зүйл бол фрактал юм.
Судалгааны аргууд: аналитик, хайлт.
Хамааралтай байдалТодорхойлсон сэдвийг юуны өмнө судалгааны сэдэв болох фрактал геометрээр тодорхойлдог.
Хүлээгдэж буй үр дүн:Ажлын явцад би математикийн чиглэлээр мэдлэгээ өргөжүүлж, фрактал геометрийн гоо сайхныг харж, өөрөө фрактал бүтээх ажлыг эхлүүлэх боломжтой болно.
Ажлын үр дүн нь бүтээл байх болно компьютерийн танилцуулга, мэдээллийн хуудас, товхимол.
Бүлэг 1. Түүх
Б 
хэзээ бол Манделброт
"Фрактал" гэсэн ойлголтыг Бенуа Манделброт зохион бүтээсэн. Энэ үг нь "эвдэрсэн, хугарсан" гэсэн утгатай латин "фрактус"-аас гаралтай.
Фрактал (лат. fractus - буталсан, хугарсан, хугарсан) гэдэг нь өөрөө ижил төстэй шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн хэсгээс бүрдэх, тус бүр нь бүхэл бүтэн дүрстэй төстэй геометрийн цогц дүрсийг илэрхийлдэг нэр томъёо юм.
Үүнд хамаарах математикийн объектууд нь маш сонирхолтой шинж чанаруудаар тодорхойлогддог. Энгийн геометрийн хувьд шугам нь нэг хэмжээстэй, гадаргуу нь хоёр хэмжээст, орон зайн дүрс нь гурван хэмжээстэй байдаг. Фракталууд нь шугам эсвэл гадаргуу биш, гэхдээ хэрэв та үүнийг төсөөлж чадвал тэдгээрийн хооронд ямар нэгэн зүйл байдаг. Хэмжээ ихсэх тусам фракталын эзэлхүүн нэмэгдэх боловч түүний хэмжээс (экспонент) нь бүхэл утга биш, харин бутархай, тиймээс фрактал дүрсийн хил нь шугам биш юм: өндөр томруулсан үед энэ нь тодорхой болно. энэ нь бүдгэрсэн бөгөөд спираль ба буржгараас бүрдэх бөгөөд дүрсийг өөрөө бага томруулдаг масштабаар давтана. Энэхүү геометрийн зүй тогтлыг хуваарийн инварианци буюу өөрөө ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг. Энэ нь фрактал тоонуудын бутархай хэмжээг тодорхойлдог зүйл юм.
Фрактал геометр үүсэхээс өмнө шинжлэх ухаан орон зайн гурван хэмжигдэхүүнд агуулагдах системийг авч үздэг байв. Эйнштейний ачаар гурван хэмжээст орон зай бол бодит байдлын өөрөө биш зөвхөн бодит байдлын загвар болох нь тодорхой болсон. Үнэн хэрэгтээ манай ертөнц дөрвөн хэмжээст орон зай цаг хугацааны үргэлжлэлд оршдог.
Манделбротын ачаар дөрвөн хэмжээст орон зай нь эмх замбараагүй байдлын фрактал нүүр царай гэж юу болох нь тодорхой болсон. Бенуа Манделброт дөрөв дэх хэмжигдэхүүн нь эхний гурван хэмжигдэхүүн төдийгүй (энэ нь маш чухал!) хоорондын зайг багтаадаг болохыг олж мэдсэн.
Рекурсив (эсвэл фрактал) геометр нь Евклидийн геометрийг орлож байна. Шинэ шинжлэх ухааныг тодорхойлж болно жинхэнэ мөн чанарбие махбодь ба үзэгдэл. Евклидийн геометр нь зөвхөн гурван хэмжээст хамаарах хиймэл, төсөөлөлтэй объектуудыг авч үзсэн. Зөвхөн дөрөв дэх хэмжээс нь тэдгээрийг бодит байдал болгон хувиргаж чадна.
Шингэн, хий, хатуу- танил гурав биеийн байдалгурван хэмжээст ертөнцөд орших бодис. Гэвч үймээн самуунтай агаарын хөдөлгөөнд тасралтгүй элэгдэж буй утааны үүл, үүл, бүр тодруулбал тэдгээрийн хил хязгаар ямар хэмжээтэй вэ?
Үндсэндээ фракталуудыг гурван бүлэгт ангилдаг.
Алгебрийн фракталууд
Стохастик фракталууд
Геометрийн фракталууд
Тэд тус бүрийг нарийвчлан авч үзье.
Бүлэг 2. Фракталуудын ангилал
Геометрийн фракталууд
Бенуа Манделброт фрактал загварыг санал болгосон бөгөөд энэ нь аль хэдийн сонгодог болсон бөгөөд фракталын ердийн жишээг харуулах, фракталуудын гоо үзэсгэлэнг харуулахад ихэвчлэн хэрэглэгддэг бөгөөд энэ нь судлаачид, уран бүтээлчид, зүгээр л сонирхогч хүмүүсийн анхаарлыг татдаг.
Эндээс фракталуудын түүх эхэлсэн. Энэ төрлийн фракталыг энгийн геометрийн байгууламжуудаар олж авдаг. Ихэвчлэн эдгээр фракталуудыг бүтээхдээ тэд үүнийг хийдэг: тэд "үр" - аксиом - фрактал үүсгэх сегментүүдийн багцыг авдаг. Дараа нь энэ "үр" -д хэд хэдэн дүрмийг хэрэгжүүлдэг бөгөөд энэ нь түүнийг ямар нэгэн геометрийн дүрс болгон хувиргадаг. Дараа нь энэ зургийн хэсэг бүрт ижил дүрмийг дахин хэрэглэнэ. Алхам бүрээр энэ зураг улам бүр төвөгтэй болж, хэрэв бид үүнийг хэрэгжүүлбэл (ядаж бидний оюун ухаанд) хязгааргүй тоохувиргалт - бид геометрийн фрактал авдаг.
Энэ ангийн фракталууд нь хамгийн их харагдахуйц байдаг, учир нь ажиглалтын аль ч масштабтай ижил төстэй байдал нь тэдгээрт шууд харагддаг. Хоёр хэмжээст тохиолдолд генератор гэж нэрлэгддэг зарим тасархай шугамыг зааж өгснөөр ийм фракталуудыг олж авч болно. Алгоритмын нэг алхамд полилиныг бүрдүүлдэг сегмент бүрийг тохирох масштабаар генераторын полилинээр солино. Энэ процедурыг эцэс төгсгөлгүй давтсаны үр дүнд (эсвэл илүү нарийвчлалтай, хязгаарт хүрэх үед) фрактал муруйг олж авдаг. Үүссэн муруй нь илт нарийн төвөгтэй хэдий ч түүний ерөнхий дүр төрх нь зөвхөн генераторын хэлбэрээр тодорхойлогддог. Ийм муруйн жишээ нь: Кох муруй (Зураг 7), Пеано муруй (Зураг 8), Минковскийн муруй.
20-р зууны эхээр математикчид аль ч цэгт шүргэгчгүй муруйг хайж байсан. Энэ нь муруй чиглэлээ огцом өөрчилсөн бөгөөд үүнээс гадна асар том хэмжээтэй болсон гэсэн үг юм өндөр хурд(үүсмэл нь хязгааргүйтэй тэнцүү). Эдгээр муруйг хайх нь зөвхөн математикчдын хоосон сонирхолоос үүдэлтэй биш юм. 20-р зууны эхээр маш хурдацтай хөгжил байсан нь баримт юм квант механик. Судлаач М.Браун усан дахь түдгэлзүүлсэн бөөмсийн замналыг тоймлон зурж, энэ үзэгдлийг дараах байдлаар тайлбарлав: санамсаргүй байдлаар хөдөлж буй шингэний атомууд өлгөөтэй хэсгүүдийг цохиж, улмаар тэдгээрийг хөдөлгөөнд оруулдаг. Энэ тайлбарын дараа Брауны хөдөлгөөнЭрдэмтэд ийм муруйг олох даалгавартай тулгарсан хамгийн сайн аргаарБрауны бөөмсийн хөдөлгөөнийг харуулсан. Үүнийг хийхийн тулд муруй нь дараах шинж чанаруудыг хангасан байх ёстой: аль ч цэг дээр шүргэгч байх ёсгүй. Математикч Кох нэг ийм муруйг санал болгосон.
TO 
Кох муруй нь ердийн геометрийн фрактал юм. Түүнийг барих үйл явц нь дараах байдалтай байна: авах нэгж сегмент, гурван тэнцүү хэсэгт хувааж, солино дундаж интервалэнэ сегментгүй тэгш талт гурвалжин. Үүний үр дүнд 1/3 урттай дөрвөн холбоосоос бүрдэх тасархай шугам үүсдэг. Дараагийн алхамд бид үүссэн дөрвөн холбоос гэх мэт үйлдлийг давтан хийнэ...
Хязгаарын муруй нь Кох муруй.
Цасан ширхгүүд Кох.Адил талт гурвалжны талууд дээр ижил төстэй хувиргалт хийснээр та Кох цасан ширхгийн фрактал дүрсийг авах боломжтой.
Т 
Геометрийн фракталын өөр нэг энгийн төлөөлөгч бол Сиерпинскийн талбай.Энэ нь маш энгийн байдлаар бүтээгдсэн: Талбайг талуудтай параллель шулуун шугамаар 9 тэнцүү квадрат болгон хуваасан. Төв талбайг талбайгаас хасав. Үр дүн нь үлдсэн "эхний зэрэглэлийн" 8 квадратаас бүрдсэн багц юм. Эхний зэрэглэлийн квадрат тус бүртэй яг ижил зүйлийг хийснээр бид хоёр дахь зэрэглэлийн 64 квадратаас бүрдсэн багцыг авна. Энэ процессыг хязгааргүй үргэлжлүүлснээр бид хязгааргүй дараалал буюу Сиерпинскийн квадратыг олж авна. 
Алгебрийн фракталууд
Энэ бол хамгийн их том бүлэгфракталууд. Алгебрийн фракталууд нь энгийн аргаар бүтээгдсэн тул нэрээ авсан алгебрийн томъёо.
Тэдгээрийг шугаман бус процессуудыг ашиглан олж авдаг n- хэмжээст орон зай. Шугаман бус динамик системүүд хэд хэдэн тогтвортой төлөвтэй байдаг нь мэдэгдэж байна. Динамик систем тодорхой тооны давталтын дараа өөрийгөө олох төлөв нь түүний анхны төлөвөөс хамаарна. Тиймээс тогтвортой төлөв бүр (эсвэл тэдний хэлснээр татагч) нь анхны төлөвүүдийн тодорхой мужтай байдаг бөгөөд үүнээс систем нь авч үзэж буй эцсийн төлөвт орох болно. Тиймээс, фазын орон зайсистемд хуваагддаг татах газруудтатагч. Хэрэв фазын орон зай нь хоёр хэмжээст байвал таталцлын хэсгүүдийг өөр өнгөөр будах замаар олж авах боломжтой өнгөт фазын хөрөг зурагэнэ систем (давтагдах үйл явц). Өнгө сонгох алгоритмыг өөрчилснөөр та хачирхалтай олон өнгийн хээ бүхий нарийн төвөгтэй фрактал хэв маягийг авах боломжтой. Математикчдыг гайхшруулсан зүйл бол анхдагч алгоритмуудыг ашиглан маш нарийн төвөгтэй бүтцийг бий болгох чадвар байв.
Жишээ болгон Mandelbrot багцыг авч үзье. Тэд үүнийг комплекс тоо ашиглан бүтээдэг.
200 дахин томруулсан Манделбротын багцын хилийн хэсэг.
Mandelbrot багц цэгүүдийг агуулсан, үедхязгааргүй давталтын тоо хязгааргүйд хүрдэггүй (хар цэгүүд). Багцын хил хязгаарт хамаарах цэгүүд(энэ нь нийлмэл бүтэц үүсдэг) хязгаарлагдмал тооны давталтаар хязгааргүйд очих ба олонлогийн гадна байрлах цэгүүд хэд хэдэн давталтын дараа хязгааргүйд очдог (цагаан дэвсгэр).
П 
Өөр нэг алгебрийн фракталын жишээ бол Жулиа олонлог юм. Энэ фракталын 2 төрөл байдаг.Гайхалтай нь Жулиа багцууд нь Манделбротын багцтай ижил томъёог ашиглан үүсдэг. Julia багцыг Францын математикч Гастон Жулиа зохион бүтээсэн бөгөөд түүний нэрээр уг багцыг нэрлэжээ.
БА 
сонирхолтой баримт, зарим алгебрийн фракталууд нь амьтан, ургамал болон бусад биологийн объектуудын дүрсийг гайхалтай санагдуулдаг бөгөөд үүний үр дүнд биоморф гэж нэрлэгддэг.
Стохастик фракталууд
Фракталуудын өөр нэг алдартай ангилал нь стохастик фракталууд бөгөөд хэрэв түүний зарим параметрүүдийг давтагдах процессоор санамсаргүй байдлаар өөрчилсөн тохиолдолд олж авдаг. Энэ тохиолдолд үүссэн объектууд нь байгалийнхтай маш төстэй байдаг - тэгш бус мод, бартаат эрэг гэх мэт.
Энэ бүлгийн фракталуудын ердийн төлөөлөгч бол "плазм" юм.
Д 
Үүнийг бүтээхийн тулд тэгш өнцөгтийг авч, булан бүрт нь өнгө онооно. Дараа нь тэгш өнцөгтийн төв цэгийг олж, тэгш өнцөгтийн булангийн өнгөний арифметик дундажтай тэнцэх өнгөөр будаж, зарим санамсаргүй тоог нэмнэ. Санамсаргүй тоо том байх тусам зураг илүү "ховор" байх болно. Хэрэв бид цэгийн өнгө нь далайн түвшнээс дээш өндөр байна гэж үзвэл плазмын оронд уулын нурууг олж авна. Чухам энэ зарчмаар ихэнх хөтөлбөрт уулсыг загварчилсан байдаг. Плазмтай төстэй алгоритмыг ашиглан өндрийн зураглалыг хийж, түүнд янз бүрийн шүүлтүүр хэрэглэж, бүтэцтэй болгож, фотореалист уулс бэлэн болсон.
Э 
Хэрэв бид энэ фракталыг хөндлөн огтлолоор харвал энэ фрактал нь эзэлхүүнтэй бөгөөд "барзгар" шинж чанартай болохыг олж харах болно, яг энэ "барзгар" байдлаас болж энэ фрактал нь маш чухал хэрэглээ юм.
Та уулын хэлбэрийг дүрслэх хэрэгтэй гэж бодъё. Евклидийн геометрийн энгийн дүрсүүд энд тус болохгүй, учир нь тэдгээр нь гадаргуугийн топографийг харгалздаггүй. Гэхдээ ердийн геометрийг фрактал геометртэй хослуулснаар та уулын "барзгар" байдлыг олж авах боломжтой. Бид ердийн конус руу плазмыг түрхэх хэрэгтэй бөгөөд бид уулын тусламжийг авах болно. Стохастик фракталуудын ачаар ийм үйлдлийг байгальд байгаа бусад олон объекттой хийж болно.
Одоо геометрийн фракталуудын талаар ярилцъя.
.
Гуравдугаар бүлэг "Байгалийн фрактал геометр"
" Яагаад геометрийг ихэвчлэн "хүйтэн", "хуурай" гэж нэрлэдэг вэ? Үүний нэг шалтгаан нь үүл, уул, далайн эрэг, модны хэлбэрийг дүрсэлж чаддаггүй. Үүл нь бөмбөрцөг биш, уулс нь боргоцой биш, эрэг нь тойрог биш, модны холтос биш юм. гөлгөр биш, аянга нь шулуун шугамаар явдаггүй. Ерөнхийдөө би байгаль дээрх олон объектууд Евклидтэй харьцуулахад маш жигд бус, хуваагдмал байдаг - энэ ажил нь бүх стандарт геометрийг илэрхийлдэг нэр томъёо - Байгаль нь зөвхөн илүү нарийн төвөгтэй биш юм. , гэхдээ огт өөр түвшний нарийн төвөгтэй байдал. Байгалийн объектуудын янз бүрийн уртын хэмжээ нь бүх практик зорилгоор хязгааргүй юм."
(БенойтМанделброт "Байгалийн фрактал геометр" ).
TO 
Фракталуудын гоо үзэсгэлэн нь хоёр талтай: нүдийг баясгадаг нь дэлхий даяар тархсан фрактал зургуудын үзэсгэлэнгээс нотлогддог. бүлэг зохион байгуулсанПейтген, Рихтер нарын удирдлаган дор Бремен математикчид. Хожим нь энэхүү гайхамшигт үзэсгэлэнгийн үзмэрүүдийг ижил зохиолчдын "Фракталуудын гоо үзэсгэлэн" номын чимэглэлд буулгажээ. Харин Фракталуудын гоо сайхны өөр нэг илүү хийсвэр буюу эрхэмсэг тал бий, Р.Фейнманы хэлснээр зөвхөн онолч хүний оюун санааны харцанд нээлттэй, фрактууд нь хэцүү гоо үзэсгэлэнтэй байдаг математикийн асуудал. Бенуа Манделброт өөрийн үеийнхэнд (мөн түүний үр удамд) Евклидийн элементүүдийн ядаргаатай цоорхойг онцлон тэмдэглэсэн бөгөөд үүгээр дамжуулан бараг хоёр мянган жилийн турш хүн төрөлхтөн эргэн тойрныхоо геометрийг ойлгож, илтгэлийн математикийн нарийн ширийнийг сурч мэдсэн. Мэдээжийн хэрэг, фракталуудын гоо үзэсгэлэнгийн хоёр тал нь хоорондоо нягт холбоотой бөгөөд үгүйсгэдэггүй, гэхдээ тус бүр нь бие даасан боловч бие биенээ нөхдөг.
Манделбротын хэлснээр байгалийн фрактал геометр нь Ф.Клейний Эрлангений хөтөлбөрт санал болгосон геометрийн тодорхойлолтыг хангасан бодит геометр юм. Баримт нь Евклидийн бус геометр үүсэхээс өмнө Н.И. Лобачевский - Л.Боляй, "Зарчмууд"-д заасан цорын ганц геометр байсан бөгөөд геометр гэж юу вэ, геометрийн аль нь бодит ертөнцийн геометр вэ гэсэн асуулт гарч ирээгүй, чадаагүй. босох. Гэвч өөр нэг геометр гарч ирснээр геометр гэж юу вэ, олон геометрийн аль нь бодит ертөнцөд тохирох вэ гэсэн асуулт гарч ирэв. Ф.Клейний хэлснээр, геометр нь хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй объектуудын ийм шинж чанарыг судлах асуудлыг авч үздэг: Евклид - хөдөлгөөний бүлгийн инвариантууд (ямар ч хоёр цэгийн хоорондох зайг өөрчилдөггүй хувиргалт, өөрөөр хэлбэл суперпозицийг илэрхийлдэг. зэрэгцээ шилжүүлэгба чиглэлийн өөрчлөлттэй эсвэл өөрчлөгдөөгүй эргэлтүүд), Лобачевский-Боляй геометр - Лоренц бүлгийн инвариантууд. Фрактал геометр нь өөртөө хамааралтай хувиргалтын бүлгийн инвариантуудыг судлахтай холбоотой, өөрөөр хэлбэл. хүчний хуулиар илэрхийлсэн шинж чанарууд.
Бодит ертөнцтэй харьцах харьцааны хувьд фрактал геометр нь байгалийн үйл явц, үзэгдлийн маш өргөн ангиллыг тодорхойлдог тул бид Б.Манделбротыг дагаж байгалийн фрактал геометрийн талаар зүй ёсоор ярьж болно. Шинэ - фрактал объектууд ер бусын шинж чанартай байдаг. Зарим фракталуудын урт, талбай, эзэлхүүн нь тэг байхад зарим нь хязгааргүй болж хувирдаг.
Байгаль нь ихэвчлэн гайхалтай, үзэсгэлэнтэй фракталуудыг бий болгодог бөгөөд энэ нь хамгийн тохиромжтой геометр, ийм зохицолтой тул та зүгээр л биширдэг. Мөн тэдний жишээ энд байна:
Далайн хясаа
Аянгагоо үзэсгэлэнгээрээ биширдэг. Аянга үүссэн фракталууд нь дур зоргоороо эсвэл тогтмол биш юм
Фрактал хэлбэр цэцэгт байцааны дэд зүйл(Brassica cauliflora). Энэ онцгой төрөлнь ялангуяа тэгш хэмтэй фрактал юм.
П 
ой модбас байна сайн жишээургамлын дундах фрактал.
Тогос шувуудХүн бүр хатуу фракталууд нуугдаж байдаг өнгөлөг өдөөрөө алдартай.
Мөс, хүйтэн жавартай хэв маягцонхон дээр эдгээр нь бас фракталууд юм
ТУХАЙ 
t томруулсан зураг навч, хүртэл модны мөчир- Фракталууд бүх зүйлд байдаг
Фракталууд бидний эргэн тойрон дахь байгальд хаа сайгүй, хаа сайгүй байдаг. Орчлон ертөнц бүхэлдээ математикийн нарийвчлалтайгаар гайхалтай зохицсон хуулиудын дагуу бүтээгдсэн. Үүний дараа манай гараг бөөмсүүдийн санамсаргүй нэгдэл гэж бодох боломжтой юу? Бараг.
Бүлэг 4. Фракталуудын хэрэглээ
Фракталууд улам бүр олширч байна илүү өргөн хэрэглээшинжлэх ухаанд. Үүний гол шалтгаан нь тэдгээрийг дүрсэлсэн явдал юм бодит ертөнцзаримдаа уламжлалт физик, математикаас ч илүү байдаг. Энд зарим жишээ байна:
ТУХАЙ 
Фракталуудын хамгийн хүчирхэг хэрэглээний өдрүүд үргэлжилж байна компьютер график
. Энэ бол фрактал зургийн шахалт юм. Орчин үеийн физик, механикууд фрактал биетүүдийн үйл ажиллагааг дөнгөж судалж эхэлж байна.
Фрактал дүрс шахах алгоритмын давуу тал нь багцалсан файлын хэмжээ маш бага, дүрсийг сэргээх хугацаа богино байдаг. Фрактал багцалсан зургуудыг пикселийн харагдахгүйгээр (зургийн чанар муу - том дөрвөлжин) масштабтай болгож болно. Гэхдээ шахах үйл явц удаан үргэлжилдэг, заримдаа хэдэн цаг үргэлжилдэг. Фрактал алдагдалтай савлагааны алгоритм нь jpeg форматтай адил шахалтын түвшинг тохируулах боломжийг танд олгоно. Алгоритм нь зургийн зарим жижиг хэсгүүдтэй төстэй том хэсгүүдийг хайхад суурилдаг. Мөн зөвхөн аль хэсэг нь аль нь адилхан болохыг гаралтын файлд бичнэ. Шахахдаа дөрвөлжин сүлжээг ихэвчлэн ашигладаг (хэсгүүд нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг), энэ нь зургийг сэргээхэд бага зэрэг өнцгийг үүсгэдэг.
Iterated нь фрактал болон "долгион" (jpeg гэх мэт) алдагдалгүй шахалтыг хослуулсан "Sting" зургийн шинэ форматыг боловсруулсан. Шинэ формат нь дараагийн өндөр чанартай масштабтай зураг үүсгэх боломжийг олгодог бөгөөд график файлын хэмжээ нь шахагдаагүй зургийн эзлэхүүний 15-20% байна.
Механик, физикийн чиглэлээрФракталуудыг байгалийн олон объектын тоймыг давтах өвөрмөц шинж чанараараа ашигладаг. Фракталууд нь сегмент эсвэл олон өнцөгт (ижил хэмжээний хадгалагдсан өгөгдөл) ашиглан мод, уулын гадаргуу, хагарлыг ойролцоогоор тооцоолохоос илүү өндөр нарийвчлалтайгаар тооцоолох боломжийг олгодог. Фрактал загварууд нь байгалийн объектуудын нэгэн адил "барзгар" байдаг бөгөөд загварын томруулсан хэмжээнээс үл хамааран энэ шинж чанар нь хадгалагдан үлддэг. Фрактал дээр нэгэн төрлийн хэмжүүр байгаа нь интеграл, боломжит онолыг ашиглах, аль хэдийн судлагдсан тэгшитгэлд стандарт объектын оронд ашиглах боломжийг олгодог.
Т 
Фрактал геометрийг бас ашигладаг антенны төхөөрөмжийг зохион бүтээх. Үүнийг анх Бостоны төвд амьдарч байсан Америкийн инженер Натан Коэн ашиглаж байсан бөгөөд барилга дээр гаднах антен суурилуулахыг хориглодог байв. Коэн хөнгөн цагаан тугалган цааснаас Кохын муруй хэлбэрийг хайчилж аваад цаасан дээр нааж, дараа нь хүлээн авагч руу залгав. Ийм антен нь ердийнхөөс муу ажилладаггүй нь тогтоогдсон. Тэгээд ч физикийн зарчимИйм антеннуудыг хараахан судлаагүй байгаа нь Коэнийг өөрийн компанийг байгуулж, цуврал үйлдвэрлэлээ эхлүүлэхэд нь саад болоогүй юм. Одоогийн байдлаар Америкийн "Fractal Antenna System" компани шинэ төрлийн антен бүтээжээ. Одоо та гар утсанд цухуйсан гадаад антен ашиглахаа болих боломжтой. Фрактал гэж нэрлэгддэг антенн нь төхөөрөмжийн доторх үндсэн самбар дээр шууд байрладаг.
Фракталыг ашиглах талаар олон таамаглал байдаг - жишээлбэл, лимфийн болон цусны эргэлтийн систем, уушиг болон бусад олон зүйл нь фрактал шинж чанартай байдаг.
Бүлэг 5. Практик ажил.
Эхлээд "Хүзүүний зүүлт", "Ялалт", "Дөрвөлжин" фракталуудыг харцгаая.
Эхлээд - "Хүзүүний зүүлт"(Зураг 7). Энэхүү фракталыг санаачлагч нь тойрог юм. Энэ тойрог нь тодорхой тооны ижил тойргуудаас бүрдэх боловч жижиг хэмжээтэй бөгөөд энэ нь өөрөө ижил хэмжээтэй боловч илүү том хэмжээтэй хэд хэдэн тойргийн нэг юм. Тиймээс боловсролын үйл явц эцэс төгсгөлгүй бөгөөд үүнийг нэг дор, аль алинд нь хийж болно урвуу тал. Тэдгээр. Зөвхөн нэг жижиг нум авах замаар дүрсийг томруулж болно, эсвэл жижиг хэсгүүдээс бүтцийг нь авч үзэх замаар багасгаж болно.
будаа. 7.
Фрактал "хүзүүний зүүлт"
Хоёр дахь фрактал нь "Ялалт"(Зураг 8). Энэ нь латин "V" үсэг, өөрөөр хэлбэл "ялалт" шиг харагддаг тул ийм нэрийг авсан. Энэ фрактал нь нэг том "V"-ийг бүрдүүлдэг тодорхой тооны жижиг "vs"-ээс бүрдэх ба зүүн хагаст жижиг хэсгүүдийг байрлуулсан бөгөөд зүүн тал нь нэг шулуун шугам үүсгэдэг. баруун талижил аргаар баригдсан. Эдгээр "v" тус бүр нь ижил аргаар бүтээгдсэн бөгөөд энэ зарыг эцэс төгсгөлгүй үргэлжлүүлнэ.
Зураг 8. Фрактал "Ялалт"
Гурав дахь фрактал нь "Дөрвөлжин" (Зураг 9). Хажуу тал бүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй нэг эгнээ эсээс бүрдэх ба тэдгээрийн хажуу тал нь нүднүүдийн эгнээ гэх мэтийг төлөөлдөг.
Зураг 9. Фрактал “Квадрат”
Фракталыг "Сарнай" гэж нэрлэсэн (Зураг 10), энэ цэцэгтэй гадаад төстэй байдлаас шалтгаалан. Фрактал байгуулах нь радиус нь өгөгдсөн харьцаатай пропорциональ өөр өөр төвлөрсөн тойргийг бүтээх явдал юм. энэ тохиолдолд R м / R b = ¾ = 0.75.). Үүний дараа тойрог бүрт ердийн зургаан өнцөгт бичдэг бөгөөд түүний тал нь тойргийн радиустай тэнцүү байна.
Цагаан будаа. 11. Фрактал "Сарнай *"
Дараа нь бид түүний диагональуудыг зурсан ердийн таван өнцөгт рүү шилжье. Дараа нь харгалзах сегментүүдийн огтлолцол дээр үүссэн таван өнцөгт дээр бид дахин диагональ зурна. Үргэлжлүүлье энэ үйл явцхязгааргүй хүртэл бид "Пентаграм" фракталыг авдаг (Зураг 12).
Бүтээлч байдлын элементийг танилцуулъя, бидний фрактал нь илүү харааны объектын хэлбэрийг авах болно (Зураг 13).
Р 
байна. 12. Фрактал “Пентаграм”.
Цагаан будаа. 13. Фрактал “Пентаграм*”
Цагаан будаа. 14 фрактал "Хар нүх"
Туршилт No1 “Мод”
Одоо би фрактал гэж юу болох, хэрхэн бүтээхийг ойлгосон тул би өөрийн гэсэн фрактал дүрсийг бүтээхийг оролдсон. Adobe Photoshop программ дээр би жижиг дэд программ эсвэл үйлдэл хийсэн, энэ үйлдлийн онцлог нь миний хийдэг үйлдлүүдийг давтдаг, тэгээд л би фрактал авдаг.
Эхлэхийн тулд би ирээдүйн фракталынхаа дэвсгэрийг 600-аас 600-ийн нарийвчлалтайгаар бүтээсэн. Дараа нь би энэ дэвсгэр дээр 3 шугам зурсан - бидний ирээдүйн фракталын үндэс.
ХАМТДараагийн алхам бол скрипт бичих явдал юм.
давхаргыг хуулбарлах ( давхарга > давхар) болон холих төрлийг " болгож өөрчлөх Дэлгэц" .
Түүнийг дуудъя" fr1". Энэ давхаргыг хуулах (" fr1") дахин 2 удаа.
Одоо бид сүүлчийн давхарга руу шилжих хэрэгтэй (fr3) мөн өмнөхтэй нь хоёр удаа нэгтгэнэ ( Ctrl+E). Давхаргын гэрэлтүүлгийг багасгах ( Зураг > Тохируулга > Гэрэлт байдал/Ялгарал , гэрэлтүүлгийн тохируулга 50% ). Дахин өмнөх давхаргатай нэгтгэж, үл үзэгдэх хэсгүүдийг арилгахын тулд бүх зургийн ирмэгийг хайчилж ав.
Сүүлийн алхам бол энэ зургийг хуулж, жижигрүүлж, эргүүлж буулгах явдал байв. Энэ бол болсон явдал юм эцсийн үр дүн.
Дүгнэлт
Энэхүү бүтээл нь фракталуудын ертөнцийн танилцуулга юм. Фрактал гэж юу болох, ямар зарчмаар бүтээгдсэн тухай бид зөвхөн жижиг хэсгийг л авч үзсэн.
Фрактал график нь зөвхөн өөрөө давтагдах зургийн багц биш бөгөөд энэ нь одоо байгаа аливаа зүйлийн бүтэц, зарчмын загвар юм. Бидний бүх амьдрал фракталаар илэрхийлэгддэг. Бидний эргэн тойрон дахь бүх байгаль тэдгээрээс бүрддэг. Газар нутгийн рельефүүд нь нарийн төвөгтэй багцын гурван хэмжээст загвар дээр суурилсан фрактал зургууд байдаг тул компьютерийн тоглоомуудад фракталуудыг өргөнөөр ашигладаг болохыг тэмдэглэхгүй байх боломжгүй юм. Фракталууд нь фракталуудын тусламжтайгаар компьютерийн графикийг зурахад ихээхэн тусалдаг, олон тусгай эффектүүд, янз бүрийн гайхалтай, гайхалтай зургуудыг бүтээдэг. Мөн мод, үүл, эрэг болон бусад бүх байгалийг фрактал геометр ашиглан зурдаг. Фрактал график нь хаа сайгүй шаардлагатай байдаг бөгөөд "фрактал технологи" хөгжүүлэх нь өнөөгийн чухал ажлуудын нэг юм.
Ирээдүйд би нийлмэл тоог нарийвчлан судалсны дараа алгебрийн фракталуудыг хэрхэн бүтээх талаар сурахаар төлөвлөж байна. Би бас гогцоо ашиглан Паскаль програмчлалын хэлээр өөрийн фрактал дүрсийг бүтээхийг хичээмээр байна.
Фракталуудын хэрэглээг тэмдэглэх нь зүйтэй компьютерийн технологи, зүгээр л компьютерийн дэлгэцэн дээр сайхан зураг бүтээхээс гадна. Компьютерийн технологид фракталуудыг дараахь чиглэлээр ашигладаг.
1. Зураг, мэдээллийг шахах
2. Зураг, дуу чимээ,... доторх мэдээллийг нуух.
3. Фрактал алгоритм ашиглан өгөгдлийг шифрлэх
4. Фрактал хөгжим хийх
5. Системийн загварчлал
Манай ажилд бүх салбар хамрагдаагүй. хүний мэдлэг, энд фракталуудын онол хэрэглэгдэхүүнээ олсон. Онол бий болсноос хойш 1/3-аас илүүгүй хугацаа өнгөрсөн гэж бид хэлэхийг л хүсч байна, гэхдээ энэ хугацаанд олон судлаачдын хувьд фракталууд шөнийн цагаар гэнэт тод гэрэл болж, өгөгдлийн тодорхой хэсэгт өнөөг хүртэл үл мэдэгдэх баримт, хэв маягийг гэрэлтүүлсэн. . Фракталуудын онолын тусламжтайгаар галактикийн хувьсал ба эсийн хөгжил, уулс үүсч, үүл үүсэх, хөрөнгийн бирж дээрх үнийн хөдөлгөөн, нийгэм, гэр бүлийн хөгжлийг тайлбарлаж эхлэв. Магадгүй, анхандаа фракталд зориулсан энэхүү хүсэл тэмүүлэл нь хэтэрхий хүчтэй байсан бөгөөд фракталуудын онолыг ашиглан бүх зүйлийг тайлбарлах оролдлого нь үндэслэлгүй байв. Гэхдээ энэ онол оршин тогтнох эрхтэй бөгөөд үүнд бид харамсаж байна сүүлийн үедЭнэ нь ямар нэгэн байдлаар мартагдаж, сонгогдсон цөөхөн хүмүүсийн дунд үлдсэн. Энэхүү ажлыг бэлтгэх явцад ОНОЛЫН ПРАКТИК дахь хэрэглээг олж мэдэх нь бидэнд маш сонирхолтой байсан. Учир нь ихэнхдээ ийм мэдрэмж байдаг онолын мэдлэгамьдралын бодит байдлаас хол байх.
Тиймээс фракталуудын тухай ойлголт нь зөвхөн "цэвэр" шинжлэх ухааны нэг хэсэг төдийгүй хүн төрөлхтний бүх нийтийн соёлын элемент болж байна. Фрактал шинжлэх ухаан маш залуу хэвээр байгаа бөгөөд түүнийг маш их ирээдүй хүлээж байна. Фракталуудын гоо үзэсгэлэн нь барагдахгүй бөгөөд нүдийг баясгадаг, оюун санаанд жинхэнэ таашаал авчирдаг олон шилдэг бүтээлүүдийг бидэнд өгөх болно.
10. Ашигласан материал
Божокин С.В., Паршин Д.А. Фрактал ба мультифрактал. RHD 2001 .
Витолин D. Фракталуудын хэрэглээ машин график. // Компьютерийн ертөнц-Орос.-1995
Mandelbrot B. Self-affin fractal sets, “Fractals in Physics.” М .: Мир 1988 он
Mandelbrot B. Байгалийн фрактал геометр. - М.: "Компьютерийн судалгааны хүрээлэн", 2002 он.
Морозов А.Д. Фракталын онолын танилцуулга. Н.Новгород: Нижний Новгород хэвлэлийн газар. Их сургууль 1999
Peitgen H.-O., Richter P. H. Фракталуудын гоо үзэсгэлэн. - М.: "Мир", 1993 он.
Интернет нөөц
http://www.ghcube.com/fractals/determin.html
http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/
http://fractals.nsu.ru/animations.htm
http://www.cootey.com/fractals/index.html
http://fraktals.ucoz.ru/publ
http://sakva.narod.ru
http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/
http://www.cnam.fr/fractals/
http://www.softlab.ntua.gr/mandel/
http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html
Би энэ фракталыг голын гадаргуу дээрх долгионы интерференцийг харж байхдаа олж мэдсэн. Долгион нь эрэг рүү хөдөлж, тусгаж, өөр дээрээ наалддаг. Долгион үүсгэдэг загварт дэг журам байдаг уу? Түүнийг олохыг хичээцгээе. Долгионыг бүхэлд нь биш, зөвхөн түүний хөдөлгөөний векторыг авч үзье. Туршилтыг хялбарчлахын тулд "эрэг" -ийг жигд болгоцгооё.
Туршилтыг сургуулийн дэвтэр дээрх ердийн цаасан дээр хийж болно.
Эсвэл алгоритмын JavaScript хэрэгжилтийг ашиглах.
q ба p талуудтай тэгш өнцөгтийг ав. Булангаас булан руу туяа (вектор) илгээцгээе. Цацраг нь тэгш өнцөгтийн нэг тал руу шилжиж, тусгалаа олж, дараагийн тал руу шилжинэ. Энэ нь цацраг нь үлдсэн булангуудын аль нэгэнд хүрэх хүртэл үргэлжилнэ. Хэрэв q ба p талуудын хэмжээ нь харьцангуй анхны тоонууд бол хэв маягийг олж авна (бид дараа нь үзэх болно - фрактал).
Зураг дээр бид энэ алгоритм хэрхэн ажилладагийг тодорхой харж болно.
Gif хөдөлгөөнт дүрс:
Хамгийн гайхалтай нь тэгш өнцөгтийн янз бүрийн талуудтай бид өөр өөр хэв маягийг олж авдаг.
Би яагаад эдгээр хэв маягийг фрактал гэж нэрлэдэг вэ? Та бүхний мэдэж байгаагаар "фрактал" гэдэг нь өөрөө ижил төстэй шинж чанартай геометрийн дүрс юм. Зургийн нэг хэсэг нь зургийг бүхэлд нь давтана. Хэрэв та Q ба P талуудын хэмжээсийг мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлэх юм бол эдгээр хэв маяг нь өөрөө ижил төстэй шинж чанартай байх нь тодорхой байна.
Үүнийг нэмэгдүүлэхийг хичээцгээе. Бид үүнийг зальтай аргаар нэмэгдүүлэх болно. Жишээ нь 17x29 загварыг авч үзье. Дараах загварууд нь: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Нэг тал: F(n);
Хоёр дахь тал: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Фибоначчийн тоонуудын адил зөвхөн дарааллын эхний болон хоёр дахь гишүүд нь ялгаатай: F(0)=17, F(1)=29.
Хэрэв том тал нь тэгш байвал үр дүн нь дараах загвар болно.
Хэрэв богино тал нь тэгш байвал:
Хэрэв хоёр тал нь сондгой байвал бид тэгш хэмтэй хэв маягийг олж авна.
Цацраг хэрхэн эхлэхээс хамаарч:
эсвэл
Би эдгээр тэгш өнцөгтүүдэд юу болж байгааг тайлбарлахыг хичээх болно.
Талбайг тэгш өнцөгтөөс салгаж, хил дээр юу болохыг харцгаая.
Цацраг нь орж ирсэн тэр цэгээс гардаг.
Үүний зэрэгцээ туяа дамжин өнгөрөх квадратуудын тоо үргэлж тэгш тоо байдаг.
Тиймээс, хэрэв та тэгш өнцөгтөөс квадратыг таслах юм бол фракталын өөрчлөгдөөгүй хэсэг үлдэх болно.
Хэрэв та квадратуудыг фракталаас аль болох олон удаа салгавал фракталын "эхлэлд" хүрч болно.
Энэ нь Фибоначчийн спираль шиг харагдаж байна уу?
Фракталуудыг мөн Фибоначчийн тооноос авч болно.
Математикийн хувьд Фибоначчийн тоонууд (Фибоначчийн цуврал, Фибоначчийн дараалал) нь дараах тоонууд юм.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Тодорхойлолтоор Фибоначчийн дарааллын эхний хоёр цифр нь 0 ба 1 бөгөөд дараагийн тоо бүр нь өмнөх хоёрын нийлбэртэй тэнцүү байна.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1
Явцгаая:
Бидний харж байгаагаар талуудын харьцаа нь алтан харьцаанд ойртох тусам фракталын нарийвчлал ихсэх болно.
Энэ тохиолдолд фрактал нь фракталын хэсгийг давтаж, -ээр нэмэгддэг.
Фибоначчийн тоонуудын оронд та үндэслэлгүй хажуугийн хэмжээг ашиглаж болно:
Бид ижил фрактал авдаг.
Хэрэв та цацрагийг өөр өнцгөөр харвал ижил фракталуудыг квадратаас авах боломжтой.
Дүгнэж хэлэхэд та юу хэлэх вэ?
Эмх замбараагүй байдал нь бас дэг журам юм. Өөрийн гэсэн хуультай. Энэ тушаалыг судлаагүй боловч судлахад нэлээд тохиромжтой. Шинжлэх ухааны бүхий л хүсэл бол эдгээр хэв маягийг нээх явдал юм. Эцэст нь том дүр зургийг харахын тулд тааварын хэсгүүдийг холбоно.
Голын гадаргууг харцгаая. Хэрэв та чулуу шидвэл долгион ирнэ. Суралцах боломжтой дугуйлангууд. Хурд, хугацаа, долгионы урт - энэ бүгдийг тооцоолж болно. Гэвч давалгаа эрэгт хүрэх хүртэл тусгалгүй, давхцаж эхэлдэг. Бид эмх замбараагүй байдлыг (хөндлөнгөөс) авдаг бөгөөд үүнийг судлахад аль хэдийн хэцүү байдаг.
Хэрэв бид эсрэг чиглэлээс хөдөлвөл яах вэ? Долгионы зан үйлийг аль болох хялбарчлах. Хялбаршуулж, загвараа олж, дараа нь тайлбарлахыг хичээ бүрэн зурагюу болоод байна.
Юуг хялбарчилж болох вэ? Мэдээжийн хэрэг, цацруулагч гадаргууг гулзайлгахгүйгээр шулуун болго. Дараа нь долгионы оронд зөвхөн долгионы хөдөлгөөний векторыг ашиглана. Зарчмын хувьд, энэ нь энгийн алгоритмыг бий болгож, процессыг компьютер дээр дуурайхад хангалттай юм. Энгийн алаг цаасан дээр долгионы зан үйлийн "загвар" хийхэд хангалттай.
Үүний үр дүнд бидэнд юу байна вэ? Үүний үр дүнд бид үүнийг харж байна долгионы процессууд(голын гадаргуу дээрх ижил долгионууд) бидэнд эмх замбараагүй байдал биш, харин бие биенийхээ дээр байрлах фракталууд (өөрөө ижил төстэй бүтэц) байдаг.
Өөр төрлийн долгионыг авч үзье. Мэдэгдэж байгаагаар, цахилгаан соронзон долгиондолгионы вектор ба цахилгаан ба гэсэн гурван вектороос бүрдэнэ соронзон орон. Бидний харж байгаагаар хэрэв та ийм давалгааг "барьж" байвал хаалттай талбай- Эдгээр векторууд огтлолцох үед бид маш тодорхой хаалттай бүтэцтэй болно. Магадгүй энгийн бөөмс- Эдгээр нь ижил фракталууд мөн үү?
1-ээс 80 (6723x6723 px) хүртэлх тэгш өнцөгт дэх бүх фракталууд: 
Фрактал дахь хаалттай хэсгүүд (6723x6723 пиксел): 
Зүгээр л сайхан фрактал (4078x2518 пиксел): 
Бүгдээрээ сайн уу! Миний нэр Рибенек Валерия,Ульяновск, өнөөдөр би хэд хэдэн шинжлэх ухааны нийтлэлээ LCI вэбсайтад нийтлэх болно.
Энэ блог дахь миний анхны шинжлэх ухааны нийтлэл үүнд зориулагдах болно фракталууд. Миний нийтлэлүүд бараг бүх үзэгчдэд зориулагдсан гэдгийг би шууд хэлэх болно. Тэдгээр. Тэд сургуулийн сурагчид болон оюутнуудад сонирхолтой байх болно гэж найдаж байна.
Би саяхан ийм сонирхолтой объектуудын талаар олж мэдсэн математикийн ертөнцфракталууд шиг. Гэхдээ тэд зөвхөн математикт байдаггүй. Тэд биднийг хаа сайгүй хүрээлж байдаг. Фракталууд нь байгалийн юм. Энэ нийтлэлд би фрактал гэж юу болох, фракталуудын төрлүүд, эдгээр объектуудын жишээ, тэдгээрийн хэрэглээний талаар ярих болно. Эхлээд би фрактал гэж юу болохыг товчхон хэлье.
Фрактал(Латин fractus - буталсан, хугарсан, хугарсан) нь өөрөө ижил төстэй шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн хэсгээс бүрдэх, тус бүр нь бүхэл бүтэн дүрстэй төстэй геометрийн цогц дүрс юм. Илүү их өргөн утгаарааФракталууд нь бутархай хэмжигдэхүүнтэй (Минковски эсвэл Хаусдорфын утгаараа) эсвэл топологийн хэмжээсээс өөр хэмжигдэхүүнтэй Евклидийн орон зай дахь цэгүүдийн багц гэж ойлгогддог. Жишээ болгон би дөрвөн өөр фракталыг дүрсэлсэн зургийг оруулах болно.
Би фракталуудын түүхийн талаар бага зэрэг хэлье. 70-аад оны сүүлээр гарч ирсэн фрактал ба фрактал геометрийн тухай ойлголтууд 80-аад оны дунд үеэс математикч, програмистуудын дунд бат бөх суурьшиж эхэлсэн. "Фрактал" гэдэг үгийг Benoit Mandelbrot 1975 онд зохиосон бөгөөд түүний санаа зовдог жигд бус боловч өөртэйгөө төстэй бүтэцтэй холбоотой юм. Фрактал геометрийн төрөлт нь ихэвчлэн 1977 онд Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдсэнтэй холбоотой юм. Түүний бүтээлүүдэд 1875-1925 онуудад ижил чиглэлээр ажиллаж байсан бусад эрдэмтдийн (Пуанкаре, Фату, Жулиа, Кантор, Хаусдорф) шинжлэх ухааны үр дүнг ашигласан. Гэхдээ бидний үед л тэдний ажлыг нэг системд нэгтгэх боломжтой болсон.
Фракталуудын олон жишээ байдаг, учир нь миний хэлсэнчлэн тэд биднийг хаа сайгүй хүрээлж байдаг. Миний бодлоор манай ертөнц бүхэлдээ нэг том фрактал юм. Эцсийн эцэст, атомын бүтцээс эхлээд Орчлон ертөнцийн бүтэц хүртэлх бүх зүйл бие биенээ давтдаг. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, өөр өөр газар нутгаас авсан фракталуудын илүү тодорхой жишээнүүд байдаг. Жишээлбэл, фракталууд нь нарийн төвөгтэй динамикт байдаг. Тэнд тэд шугаман бус судалгаанд аяндаа гарч ирдэг динамик системүүд. Хамгийн их судлагдсан тохиолдол бол динамик системийг давталтаар тодорхойлсон тохиолдол юм олон гишүүнтэсвэл холоморф хувьсагчдын цогцолборын функцонгоцонд. Энэ төрлийн хамгийн алдартай фракталуудын зарим нь Julia set, Mandelbrot set, Newton pools юм. Доорх зургууд нь дээрх фрактал бүрийг дарааллаар нь дүрсэлсэн болно.
Фракталуудын өөр нэг жишээ бол фрактал муруй юм. Фрактал муруйн жишээн дээр фракталыг хэрхэн байгуулахыг тайлбарлах нь хамгийн сайн арга юм. Эдгээр муруйнуудын нэг нь Кох цасан ширхгүүд юм. Хавтгай дээр фрактал муруйг олж авах энгийн журам байдаг. -ээр дурын тасархай шугамыг тодорхойлъё хязгаарлагдмал тооүүсгүүр гэж нэрлэгддэг холбоосууд. Дараа нь бид сегмент бүрийг генератороор солино (илүү нарийвчлалтай, генератортой төстэй эвдэрсэн шугам). Үүссэн эвдэрсэн шугам дээр бид сегмент бүрийг генератороор дахин солино. Хязгааргүй болтол бид фрактал муруйг авна. Доорх нь Кох цасан ширхгүүд (эсвэл муруй).
Мөн маш олон төрлийн фрактал муруй байдаг. Тэдгээрийн хамгийн алдартай нь аль хэдийн дурдсан Кох цасан ширхгүүд, түүнчлэн Леви муруй, Минковскийн муруй, Луугийн тасархай шугам, Төгөлдөр хуурын муруй, Пифагорын мод юм. Хэрэв та хүсвэл эдгээр фракталуудын дүрс, түүхийг Википедиа дээрээс хялбархан олох боломжтой гэж би бодож байна.
Гурав дахь жишээ буюу фракталуудын төрөл нь стохастик фракталууд юм. Ийм фракталуудад хавтгай ба орон зай дахь Брауны хөдөлгөөний замнал, Шрамм-Лёунерийн хувьсал, янз бүрийн төрлийн санамсаргүй фрактууд, өөрөөр хэлбэл алхам бүрт санамсаргүй параметрийг нэвтрүүлсэн рекурсив процедурын тусламжтайгаар олж авсан фракталууд орно.
Мөн цэвэр математикийн фракталууд байдаг. Эдгээр нь жишээлбэл, Кантор багц, Менгер хөвөн, Сиерпинскийн гурвалжин болон бусад.
Гэхдээ хамгийн сонирхолтой фракталууд нь байгалийн фракталууд байж магадгүй юм. Байгалийн фракталууд- эдгээр нь фрактал шинж чанартай байгалийн объектууд юм. Энд жагсаалт аль хэдийн том байна. Би бүгдийг жагсаахгүй, учир нь бүгдийг нь жагсаах боломжгүй байж магадгүй, гэхдээ би танд зарим талаар хэлэх болно. Жишээлбэл, амьд байгальд ийм фракталууд нь манайхыг агуулдаг цусны эргэлтийн системболон уушиг. Мөн түүнчлэн модны титэм, навч. Үүнд мөн далайн од, далайн хясаа, шүр, далайн хясаа, байцаа, цэцэгт байцаа зэрэг зарим ургамал орно. Амьд байгалиас авсан хэд хэдэн ийм байгалийн фракталуудыг доор харуулав.
Хэрэв бид амьгүй байгалийг авч үзвэл тэнд сонирхолтой жишээнүүдбодит амьдралаас хамаагүй илүү. Аянга, цасан ширхгүүд, үүл, хүйтэн жавартай өдрүүдэд цонхон дээрх алдартай хэв маяг, талстууд, уулын нуруу- эдгээр нь бүгд амьгүй байгалиас гаралтай байгалийн фракталуудын жишээ юм.
Бид фракталуудын жишээ, төрлийг авч үзсэн. Фракталуудын хэрэглээний хувьд тэдгээрийг янз бүрийн мэдлэгийн салбарт ашигладаг. Физикийн хувьд фракталууд нь шугаман бус үйл явц, тухайлбал, турбулент шингэний урсгал, нарийн төвөгтэй тархалт-шингээх процесс, дөл, үүл гэх мэтийг загварчлах үед үүсдэг. Фракталуудыг сүвэрхэг материалыг загварчлахад, жишээлбэл, нефтийн химийн салбарт ашигладаг. Биологийн хувьд тэдгээр нь популяцийг загварчлах, дотоод эрхтний системийг (цусны судасны систем) тодорхойлоход ашиглагддаг. Кох муруйг үүсгэсний дараа эргийн шугамын уртыг тооцоолоход ашиглахыг санал болгов. Фракталуудыг радио инженерчлэл, мэдээллийн шинжлэх ухаан, компьютерийн технологи, харилцаа холбоо, эдийн засагт ч идэвхтэй ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, фрактал алсын хараа нь орчин үеийн урлаг, архитектурт идэвхтэй ашиглагддаг. Фрактал хэв маягийн нэг жишээ энд байна:
Тиймээс би фрактал гэх мэт ер бусын математик үзэгдлийн тухай түүхээ дуусгая гэж бодож байна. Өнөөдөр бид фрактал гэж юу болох, хэрхэн үүссэн, фракталуудын төрөл, жишээний талаар олж мэдсэн. Би мөн тэдний хэрэглээний талаар ярьж, зарим фракталуудыг нүдээр үзүүлэв. Гайхамшигтай, сэтгэл татам фрактал биетүүдийн ертөнцөд хийсэн энэхүү бяцхан аялал танд таалагдсан гэж найдаж байна.
Ихэнхдээ гайхалтай нээлтүүд, шинжлэх ухаанд төгс төгөлдөр болсон нь бидний амьдралыг үндсээр нь өөрчилж чадна. Жишээлбэл, вакцин зохион бүтээснээр олон хүнийг аварч чадна, харин шинэ зэвсэг бүтээх нь аллагад хүргэдэг. Өчигдөр (түүхийн хэмжээнд) хүн цахилгаан эрчим хүчийг "зохиолж" байсан бөгөөд өнөөдөр түүнгүйгээр амьдралаа төсөөлөхийн аргагүй болжээ. Гэсэн хэдий ч бидний амьдралд нэг юмуу өөр нөлөө үзүүлдэг ч тэдний хэлснээр сүүдэрт үлддэг нээлтүүд бас байдаг. Эдгээр нээлтүүдийн нэг нь фрактал юм. Ихэнх хүмүүс энэ ойлголтын талаар хэзээ ч сонсож байгаагүй бөгөөд түүний утгыг тайлбарлаж чадахгүй. Энэ нийтлэлд бид фрактал гэж юу вэ гэсэн асуултыг ойлгохыг хичээж, энэ нэр томъёоны утгыг шинжлэх ухаан, байгалийн үүднээс авч үзэх болно.
Эмх замбараагүй байдал
Фрактал гэж юу болохыг ойлгохын тулд бид математикийн байр сууринаас дүгнэлт хийх хэрэгтэй, гэхдээ үүнийг судлахын өмнө бид бага зэрэг философи хийх болно. Хүн бүр төрөлхийн сониуч зантай байдаг бөгөөд үүний ачаар тэр суралцдаг бидний эргэн тойрон дахь ертөнц. Ихэнхдээ мэдлэгийг эрэлхийлэхдээ тэрээр дүгнэлт хийхдээ логикийг ашиглахыг хичээдэг. Тиймээс түүний эргэн тойронд болж буй үйл явцыг шинжлэх замаар тэрээр харилцаа холбоог тооцоолж, тодорхой хэв маягийг гаргаж авахыг хичээдэг. Дэлхий дээрх хамгийн агуу оюун ухаантнууд эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх завгүй байдаг. Бүдүүлэгээр хэлбэл, манай эрдэмтэд байхгүй, байх ёсгүй хэв маягийг хайж байна. Гэсэн хэдий ч эмх замбараагүй байдалд ч гэсэн тодорхой үйл явдлын хоорондын холбоо байдаг. Энэ холболт нь фрактал юм. Жишээлбэл, зам дээр хэвтэж буй эвдэрсэн мөчрийг авч үзье. Хэрэв бид үүнийг сайн ажиглавал бүх мөчрүүд, мөчрүүд нь мод шиг харагдах болно. Нэг бүхэл бүхий салангид хэсгийн энэхүү ижил төстэй байдал нь рекурсив өөрөө ижил төстэй байдлын зарчмыг харуулж байна. Фракталууд нь байгальд хаа сайгүй байж болно, учир нь олон органик бус болон органик хэлбэрүүд ижил төстэй байдлаар үүсдэг. Эдгээр нь үүл, далайн хясаа, эмгэн хумс, модны титэм, тэр ч байтугай цусны эргэлтийн систем юм. Энэ жагсаалтыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх санамсаргүй хэлбэрийг фрактал алгоритмаар хялбархан дүрсэлдэг. Одоо бид фрактал гэж юу болохыг нарийн шинжлэх ухааны үүднээс авч үзэх болсон.
Зарим хуурай баримтууд
"Фрактал" гэдэг үгийг латин хэлнээс "хэсэгчилсэн", "хуваасан", "хуваагдсан" гэж орчуулсан бөгөөд энэ нэр томъёоны агуулгын хувьд ийм томъёолол байдаггүй. Энэ нь ихэвчлэн микро түвшинд өөрийн бүтцийг давтдаг бүхэл бүтэн нэг хэсэг, өөрөө ижил төстэй багц гэж тайлбарладаг. Энэ нэр томъёог 20-р зууны далан онд эцэг гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн Бенуа Манделброт бүтээсэн бөгөөд өнөөдөр фрактал гэдэг нь тодорхой бүтцийн график дүрсийг илэрхийлдэг бөгөөд үүнийг томруулж үзэхэд өөртэйгөө төстэй байх болно. Гэсэн хэдий ч энэ онолыг бий болгох математик үндэс нь Манделброт өөрөө төрөхөөс өмнө тавигдсан боловч электрон компьютер гарч ирэх хүртэл хөгжиж чадаагүй юм.
Түүхэн суурь буюу энэ бүхэн хэрхэн эхэлсэн тухай
19-20-р зууны зааг дээр фракталуудын мөн чанарыг судлах ажил үе үе байсан. Үүнийг математикчид судалж болох объектуудыг судлахыг илүүд үздэг байсантай холбон тайлбарлаж байна. ерөнхий онолуудболон аргууд. 1872 онд Германы математикч К.Вейерштрасс хаана ч ялгагдахгүй тасралтгүй функцийн жишээг бүтээжээ. Гэсэн хэдий ч энэ барилга нь бүхэлдээ хийсвэр, ойлгоход хэцүү болсон. Дараа нь Швед Хельге фон Кох ирсэн бөгөөд 1904 онд хаана ч шүргэгчгүй тасралтгүй муруйг бүтээжээ. Энэ нь зурахад маш хялбар бөгөөд фрактал шинж чанартай байдаг. Энэ муруйн нэг хувилбарыг зохиогчийнхоо нэрээр нэрлэсэн - "Кох цасан ширхгүүд". Цаашилбал, дүрүүдийн өөртэйгөө ижил төстэй санааг Б.Манделбротын ирээдүйн зөвлөгч, Францын Пол Леви боловсруулсан. 1938 онд тэрээр "Хавтгай ба орон зайн муруй ба бүхэлдээ ижил төстэй хэсгүүдээс бүрдэх гадаргуу" гэсэн өгүүлэл нийтлүүлсэн. Үүнд тэрээр дүрсэлсэн шинэ дүр төрх- Левигийн C муруй. Дээрх бүх тоонуудыг геометрийн фрактал гэж уламжлалт байдлаар ангилдаг.
Динамик эсвэл алгебрийн фракталууд
Mandelbrot багц нь энэ ангилалд багтдаг. Энэ чиглэлийн анхны судлаачид бол Францын математикч Пьер Фату, Гастон Жулиа нар юм. 1918 онд Жулиа рациональ давталтын судалгаанд үндэслэсэн нийтлэлээ хэвлүүлжээ нарийн төвөгтэй функцууд. Энд тэрээр Манделбротын олонлогтой нягт холбоотой фракталуудын гэр бүлийг дүрсэлсэн. Гэсэн хэдий ч энэ ажилМатематикчдын дунд зохиолчийг алдаршуулсан тэрээр хурдан мартагдсан. Хагас зуун жилийн дараа л компьютерийн ачаар Жулиягийн ажил хоёр дахь амьдралаа авчээ. Математикчдын “хардаг” фракталуудын ертөнцийн гоо үзэсгэлэн, баялгийг функцээр дамжуулан харуулах замаар компьютерууд хүн бүрт харагдах боломжтой болгосон. Манделброт компьютерийг анх удаа тооцоолол хийхдээ (ийм хэмжээг гараар хийх боломжгүй) ашигласан нь эдгээр тоонуудын дүрсийг бүтээх боломжийг олгосон юм.
Орон зайн төсөөлөлтэй хүн
Манделброт яриагаа эхлэв шинжлэх ухааны карьер IBM судалгааны төвд. Мэдээлэл дамжуулах боломжийг судлах хол зайд, эрдэмтэд дуу чимээний хөндлөнгийн улмаас үүссэн их хэмжээний алдагдалтай тулгарсан. Бенуа энэ асуудлыг шийдэх арга замыг хайж байв. Хэмжилтийн үр дүнг харахад тэрээр хачирхалтай хэв маягийг анзаарав, тухайлбал: дуу чимээний графикууд өөр өөр цагийн хуваарь дээр адилхан харагдаж байв.
Үүнтэй төстэй дүр зургийг нэг өдрийн турш, долоон өдөр эсвэл нэг цагийн турш ажиглав. Бенуа Манделброт өөрөө томьёотой ажилладаггүй, зургаар тоглодог гэдгээ олонтаа давтдаг байв. Энэ эрдэмтэн өөр байсан уран сэтгэмж, тэр ямар ч алгебрийн бодлогыг зөв хариулт нь тодорхой байгаа геометрийн муж руу хөрвүүлсэн. Тиймээс тэр баян бөгөөд фрактал геометрийн эцэг болсон нь гайхах зүйл биш юм. Эцсийн эцэст, та зургийг судалж, хэв маягийг бүрдүүлдэг эдгээр хачирхалтай эргүүлгүүдийн утгын талаар бодох үед л энэ дүрсийг мэддэг болно. Фрактал хэв маяг нь ижил элементгүй боловч ямар ч масштабаар ижил төстэй байдаг.
Жулиа - Манделброт
Энэ зургийн анхны зургуудын нэг бол Гастон Жулиагийн бүтээлээс үүссэн багцын график тайлбар бөгөөд Манделброт цаашид хөгжүүлсэн зураг юм. Гастон гогцоонд давтагдсан энгийн томьёоны үндсэн дээр багц ямар харагдахыг төсөөлөхийг оролдсон санал хүсэлт. Хүний хэлээр, хуруугаараа ярьсныг тайлбарлахыг хичээцгээе. Тодорхой зүйлийн хувьд тоон утгатомъёог ашиглан бид шинэ утгыг олно. Бид үүнийг томъёонд орлуулж дараахь зүйлийг олно. Үр дүн нь том хэмжээтэй байна. Ийм багцыг илэрхийлэхийн тулд та энэ үйлдлийг гүйцэтгэх хэрэгтэй асар их хэмжээудаа: зуу, мянга, сая. Энэ бол Бенуагийн хийсэн зүйл юм. Тэр дарааллыг боловсруулж, үр дүнг шилжүүлсэн график хэлбэр. Дараа нь тэрээр үүссэн дүрсийг будсан (өнгө бүр тодорхой тооны давталттай тохирч байна). Энэхүү график дүрсийг "Манделбротын фрактал" гэж нэрлэдэг.
Л.Мужаан: байгалиас заяасан урлаг
Фрактал онол хурдан олдсон практик хэрэглээ. Энэ нь өөртэйгөө төстэй зургийг дүрслэхтэй маш нягт холбоотой тул уран бүтээлчид эдгээр ер бусын хэлбэрийг бий болгох зарчим, алгоритмыг анхлан нэвтрүүлсэн. Тэдний анхных нь Pixar-ийн ирээдүйн үүсгэн байгуулагч Лорен Карпентер байв. Онгоцны прототипийн танилцуулга дээр ажиллаж байхдаа тэрээр уулсын зургийг дэвсгэр болгон ашиглах санааг олжээ. Өнөөдөр бараг бүх компьютер хэрэглэгч ийм ажлыг даван туулж чадна, гэхдээ өнгөрсөн зууны далаад онд компьютерууд ийм процессыг гүйцэтгэх боломжгүй байсан, учир нь тэр үед гурван хэмжээст графикт зориулсан график засварлагч эсвэл програм байхгүй байсан. Дараа нь Лорен Манделбротын "Фракталууд: хэлбэр, санамсаргүй байдал ба хэмжээс" номтой танилцав. Үүнд Бенуа фрактууд байгальд (fyva) байдгийг харуулсан олон жишээ өгч, тэдгээрийн янз бүрийн хэлбэрийг дүрсэлж, тэдгээрийг математикийн илэрхийлэлээр хялбархан дүрсэлдэг болохыг нотолсон. Математикч энэ зүйрлэлийг хамтран ажиллагсдынхаа шүүмжлэлийн хариуд өөрийн боловсруулж буй онолын ашиг тусын аргумент гэж иш татав. Тэд фрактал бол шударга гэж маргасан сайхан зураг, үнэ цэнэгүй, ажлын дайвар бүтээгдэхүүн байх электрон машинууд. Мужаан энэ аргыг практик дээр туршиж үзэхээр шийджээ. Номыг сайтар судалсны дараа ирээдүйн аниматор компьютер графикт фрактал геометрийг хэрэгжүүлэх арга замыг хайж эхлэв. Уулын ландшафтын дүр төрхийг бүрэн бодитойгоор компьютер дээрээ буулгахад ердөө гуравхан хоног зарцуулжээ. Мөн өнөөдөр энэ зарчмыг өргөнөөр ашиглаж байна. Эндээс харахад фрактал үүсгэх нь их цаг хугацаа, хүчин чармайлт шаарддаггүй.
Мужааны шийдэл
Лоренийн ашигласан зарчим нь энгийн байсан. Энэ нь том хэсгүүдийг жижиг элементүүдэд хуваах, ижил төстэй жижиг хэсгүүдэд хуваах гэх мэтээс бүрдэнэ. Мужаан том гурвалжинг ашиглан тэдгээрийг 4 жижиг гурвалжинд хувааж, уулын ландшафтыг бодитой болгох хүртэл үргэлжлүүлэв. Ийнхүү тэрээр шаардлагатай дүрсийг бүтээхийн тулд компьютер графикт фрактал алгоритмыг ашигласан анхны зураач болжээ. Өнөөдөр энэ зарчмыг янз бүрийн бодит байгалийн хэлбэрийг дуурайхад ашигладаг.
Фрактал алгоритм ашиглан анхны 3D дүрслэл
Хэдэн жилийн дотор Лорен өөрийн бүтээн байгуулалтыг ашигласан том хэмжээний төсөл- 1980 онд Siggraph дээр үзүүлсэн Vol Libre хүүхэлдэйн видео. Энэ бичлэг олныг цочирдуулж, бүтээгчийг Лукасфильмд урьсан. Энд аниматор нь "Оддын аялал" уран сайхны кинонд зориулж гурван хэмжээст ландшафтыг (бүхэл бүтэн гариг) бүтээсэн; Орчин үеийн аливаа программ ("Фрактал") эсвэл 3D график үүсгэх програм (Terragen, Vue, Bryce) нь бүтэц, гадаргууг загварчлахад ижил алгоритмыг ашигладаг.
Том Беддард
Урьд нь лазерын физикч, одоо дижитал зураач, зураач байсан Беддард маш олон сонирхолтой геометрийн дүрсүүдийг бүтээсэн бөгөөд түүнийг Фаберге фрактал гэж нэрлэжээ. Гаднах байдлаар тэд Оросын үнэт эдлэлийн гоёл чимэглэлийн өндөгнүүдтэй төстэй бөгөөд тэдгээр нь ижил гайхалтай, нарийн хээтэй байдаг. Беддард загваруудын дижитал дүрслэлийг бүтээхдээ загварын аргыг ашигласан. Үүссэн бүтээгдэхүүн нь гоо үзэсгэлэнгээрээ гайхшруулдаг. Хэдийгээр олон хүн бүтээгдэхүүнийг харьцуулахаас татгалздаг өөрөө хийсэн-тай компьютерийн програмГэсэн хэдий ч үүссэн хэлбэрүүд нь маш үзэсгэлэнтэй гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Онцлох зүйл бол WebGL программ хангамжийн санг ашиглан хэн ч ийм фрактал бүтээх боломжтой юм. Энэ нь янз бүрийн фрактал бүтцийг бодит цаг хугацаанд судлах боломжийг танд олгоно.
Байгаль дахь фракталууд
Цөөхөн хүн анхаарлаа хандуулдаг, гэхдээ эдгээр гайхалтай тоонуудхаа сайгүй байдаг. Байгаль өөрөө өөрөөсөө бий болсон ижил төстэй тоо, бид үүнийг анзаардаггүй. Томруулдаг шилээр арьс эсвэл модны навчийг харахад хангалттай бөгөөд бид фракталуудыг харах болно. Эсвэл хан боргоцой, тэр ч байтугай тогос сүүлийг авч үзье - тэдгээр нь ижил төстэй дүрсээс бүрдэнэ. Романеску цэцэгт байцааны сорт нь ерөнхийдөө гадаад төрхөөрөө гайхалтай байдаг, учир нь үүнийг үнэхээр байгалийн гайхамшиг гэж нэрлэж болно.
Хөгжмийн завсарлага
Фракталууд нь зөвхөн геометрийн дүрс биш, дуу авиа ч байж болно. Тиймээс хөгжимчин Жонатан Колтон фрактал алгоритм ашиглан хөгжим бичдэг. Энэ нь байгалийн зохицолд нийцдэг гэж үздэг. Хөгжмийн зохиолч өөрийн бүх бүтээлийг CreativeCommons Attribution-Арилжааны бус лицензийн дагуу хэвлүүлдэг бөгөөд энэ нь бүтээлийг үнэ төлбөргүй түгээх, хуулбарлах, бусдад шилжүүлэх боломжийг олгодог.
Фрактал үзүүлэлт
Энэ техник нь маш гэнэтийн хэрэглээг олсон. Үүний үндсэн дээр хөрөнгийн биржийн зах зээлд дүн шинжилгээ хийх хэрэгсэл бий болсон бөгөөд үүний үр дүнд Forex зах зээлд ашиглагдаж эхэлсэн. Өнөө үед фрактал индикатор нь бүх арилжааны платформ дээр байдаг бөгөөд үнийн эвдрэл гэж нэрлэгддэг арилжааны техникт ашиглагддаг. Энэ техникийг Билл Уильямс боловсруулсан. Зохиогч өөрийн шинэ бүтээлийн талаар тайлбарлахдаа, энэ алгоритмЭнэ нь хэд хэдэн "лаа" -ын хослол бөгөөд төв нь хамгийн их буюу эсрэгээр хамгийн бага туйлын цэгийг тусгадаг.
Дүгнэж хэлэхэд
Тиймээс бид фрактал гэж юу болохыг харлаа. Бидний эргэн тойрон дахь эмх замбараагүй байдал үнэхээр оршдог нь харагдаж байна төгс хэлбэрүүд. Байгаль бол хамгийн сайн архитектор, хамгийн тохиромжтой барилгачин, инженер юм. Энэ нь маш логик байдлаар зохион байгуулагдсан бөгөөд хэрэв бид загварыг олж чадахгүй бол энэ нь байхгүй гэсэн үг биш юм. Магадгүй бид өөр өнцгөөс харах хэрэгтэй байх. Фракталууд бидний олж нээгээгүй олон нууцыг хадгалсаар байгааг бид итгэлтэйгээр хэлж чадна.
Мод, далайн эрэг, үүл эсвэл бидний гарт байгаа судаснууд юугаараа ижил төстэй вэ? Эхлээд харахад эдгээр бүх объектуудад нийтлэг зүйл байхгүй мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч, үнэн хэрэгтээ, жагсаасан бүх объектод байдаг бүтцийн нэг шинж чанар байдаг: тэдгээр нь хоорондоо төстэй байдаг. Модны их бие гэх мэт мөчрөөс жижиг найлзуурууд гарч ирдэг, үүнээс бүр жижиг найлзуурууд гэх мэт, өөрөөр хэлбэл мөчир нь бүхэл бүтэн модтой төстэй байдаг. Цусны эргэлтийн систем нь ижил төстэй бүтэцтэй байдаг: артериолууд артериудаас салж, тэдгээрээс хүчилтөрөгч нь эрхтэн, эд эсэд ордог хамгийн жижиг хялгасан судаснууд байдаг. Ингээд харцгаая сансрын зургууддалайн эрэг: бид булан, хойгуудыг харах болно; Үүнийг харцгаая, гэхдээ шувууны нүдээр: бид булан, хошуу харах болно; Одоо бид далайн эрэг дээр зогсоод хөл рүүгээ харж байна гэж төсөөлөөд үз дээ: бусад хэсгээс илүү ус руу цухуйсан хайрга үргэлж байх болно. Өөрөөр хэлбэл, далайн эргийн шугамыг томруулж үзэхэд өөртэйгөө адилхан хэвээр байна. Америкийн (тэр хэдийгээр Францад өссөн ч) математикч Бенуа Манделброт объектын энэ шинж чанарыг фрактал гэж нэрлэсэн бөгөөд ийм объектыг өөрөө фрактал гэж нэрлэдэг (Латин хэлнээс fractus - эвдэрсэн).
Энэ үзэл баримтлалд хатуу тодорхойлолт байдаггүй. Тиймээс "фрактал" гэдэг үг тийм биш юм математикийн нэр томъёо. Ерөнхийдөө фрактал нь дараахь шинж чанаруудын нэг буюу хэд хэдэн шинж чанарыг хангасан геометрийн дүрс юм: Энэ нь масштабын өсөлтөд нарийн төвөгтэй бүтэцтэй байдаг (жишээлбэл, шулуун шугамаас ялгаатай нь аль ч хэсэг нь хамгийн энгийн геометрийн дүрс - сегмент юм. ). (ойролцоогоор) өөртэйгөө төстэй. Энэ нь топологийн хэмжээсээс том хэмжээтэй Хаусдорф (фрактал) хэмжигдэхүүнтэй. Рекурсив процедурыг ашиглан бүтээж болно.
Геометр ба алгебр
19-20-р зууны эхэн үед фракталуудыг судлах нь системчилсэн гэхээсээ илүү үе шаттай байсан, учир нь өмнө нь математикчид ерөнхий арга, онол ашиглан судалж болох "сайн" объектуудыг голчлон судалдаг байв. 1872 онд Германы математикч Карл Вейерштрасс хаана ч ялгах боломжгүй тасралтгүй функцийн жишээг бүтээжээ. Гэсэн хэдий ч түүний бүтэц нь бүхэлдээ хийсвэр бөгөөд ойлгоход хэцүү байв. Тиймээс 1904 онд Швед Хельге фон Кох хаана ч шүргэгчгүй, зурахад хялбар тасралтгүй муруйг гаргаж ирэв. Энэ нь фрактал шинж чанартай болох нь тогтоогдсон. Энэ муруйн нэг хувилбарыг "Кох цасан ширхгүүд" гэж нэрлэдэг.
Бие биетэйгээ ижил төстэй дүр төрхийг бий болгох санааг Бенуа Манделбротын ирээдүйн зөвлөгч Франц Пол Пьер Леви гаргасан. 1938 онд түүний "Хавтгай ба орон зайн муруй ба бүхэл хэсгүүдээс бүрдэх гадаргуу" нийтлэл хэвлэгдсэн бөгөөд энэ нь өөр нэг фрактал болох Леви С муруйг дүрсэлсэн юм. Дээр дурдсан бүх фракталуудыг конструктив (геометрийн) фракталуудын нэг анги гэж нөхцөлт байдлаар ангилж болно.
Өөр нэг анги бол динамик (алгебрийн) фракталууд бөгөөд үүнд Mandelbrot олонлог багтдаг. Энэ чиглэлийн анхны судалгаа 20-р зууны эхэн үеэс эхэлсэн бөгөөд нэрстэй холбоотой юм Францын математикчидГастон Жулиа, Пьер Фату нар. 1918 онд Жулиагийн цогцолборын давталтуудад зориулагдсан бараг хоёр зуун хуудас дурсамж ном хэвлэгджээ. оновчтой функцуудМанделбротын багцтай нягт холбоотой фракталуудын бүхэл бүтэн гэр бүл болох Жулиа багцуудыг дүрсэлсэн. Энэ бүтээл нь шагнал хүртсэн Францын академи, гэхдээ энэ нь нэг ч дүрслэл агуулаагүй тул задгай объектуудын гоо үзэсгэлэнг үнэлэх боломжгүй байв. Энэ ажил нь Жулияг тухайн үеийн математикчдын дунд алдаршуулсан ч хурдан мартагдсан. Хагас зуун жилийн дараа компьютер гарч ирснээр дахин анхаарал хандуулав: тэд л фракталуудын ертөнцийн баялаг, гоо үзэсгэлэнг харуулсан хүмүүс юм.
Фрактал хэмжээсүүд
Таны мэдэж байгаагаар геометрийн дүрсийн хэмжээс (хэмжээний тоо) нь энэ зураг дээр байрлах цэгийн байрлалыг тодорхойлоход шаардлагатай координатын тоо юм.
Жишээлбэл, муруй дээрх цэгийн байрлалыг нэг координатаар, гадаргуу дээр (хавтгай байх албагүй) хоёр координатаар, гурван хэмжээст орон зайд гурван координатаар тодорхойлогддог.
Илүү ерөнхий зүйлээс математикийн цэгТопологийн үүднээс авч үзвэл хэмжээсийг ийм байдлаар тодорхойлж болно: нэг хэмжээст (топологийн үүднээс) объектын (сегмент) шугаман хэмжээсийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх нь нэмэгдэхэд хүргэдэг. хэмжээ (урт) хоёр дахин, хоёр хэмжээст (дөрвөлжин) хувьд шугаман хэмжээсийн ижил өсөлт нь хэмжээ (талбай) 4 дахин, гурван хэмжээст (шоо) - 8 дахин нэмэгдэхэд хүргэдэг. . Өөрөөр хэлбэл, "бодит" (Хаусдорф гэж нэрлэгддэг) хэмжигдэхүүнийг объектын "хэмжээ" -ийн өсөлтийн логарифмыг шугаман хэмжээсийн өсөлтийн логарифмын харьцаагаар тооцоолж болно. Өөрөөр хэлбэл, сегментийн хувьд D=log (2)/лог (2)=1, хавтгайд D=log (4)/лог (2)=2, эзлэхүүний хувьд D=log (8)/лог (2) )=3.
Нэгж сегментийг гурван тэнцүү хэсэгт хувааж, дундын интервалыг энэ сегментгүйгээр тэгш талт гурвалжингаар солихын тулд Кох муруйны хэмжээг тооцоолъё. Хамгийн бага сегментийн шугаман хэмжээсүүд 3 дахин ихсэх үед Кох муруйны урт log (4)/log (3) ~ 1.26-аар нэмэгдэнэ. Энэ нь Кох муруйн хэмжээс нь бутархай юм!
Шинжлэх ухаан, урлаг
1982 онд Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдэн гарсан бөгөөд энэ номонд зохиолч тухайн үед байсан фракталуудын тухай бараг бүх мэдээллийг цуглуулж, системчилж, хялбар, хүртээмжтэй байдлаар танилцуулсан. Манделброт илтгэлдээ хүнд томьёо, математикийн бүтцэд бус харин уншигчдын геометрийн зөн совин дээр гол анхаарлаа хандуулсан. Зохиогч монографийн шинжлэх ухааны бүрэлдэхүүн хэсгийг чадварлаг шингэлсэн компьютер, түүхийн түүхийг ашиглан олж авсан зургуудын ачаар ном бестселлер болж, фракталууд олон нийтэд танигдах болжээ. Математикч бус хүмүүсийн дунд тэдний амжилт нь маш их тусламжтайгаар маш их холбоотой байдаг энгийн загваруудахлах сургуулийн сурагч хүртэл ойлгохуйц томьёо, үр дүнд бий болсон зургууд нь нарийн төвөгтэй байдал, гоо үзэсгэлэнгээрээ гайхалтай юм. Хувийн компьютер хангалттай хүчирхэг болоход урлагийн бүхэл бүтэн чиглэл гарч ирэв - фрактал зураг, бараг бүх компьютер эзэмшигч үүнийг хийж чадна. Одоо Интернет дээр та энэ сэдэвт зориулагдсан олон сайтыг хялбархан олох боломжтой.
Кохын муруйг олж авах схем
Дайн ба энх тайван
Дээр дурдсанчлан фрактал шинж чанартай байгалийн объектуудын нэг бол далайн эрэг юм. Үүнтэй холбоотой сонирхолтой түүх бий, бүр тодруулбал түүний уртыг хэмжих оролдлого нь үндэс болсон. шинжлэх ухааны нийтлэлМанделброт, мөн "Байгалийн фрактал геометр" номондоо тайлбарласан байдаг. тухай юмМаш авъяаслаг, хачирхалтай математикч, физикч, цаг уурч Льюис Ричардсоны хийсэн туршилтын тухай. Түүний судалгааны нэг чиглэл бол хоёр улсын хооронд зэвсэгт мөргөлдөөн гарах шалтгаан, магадлалын математик тайлбарыг олох оролдлого байв. Түүний анхааралдаа авсан параметрүүдийн нэг нь дайтаж буй хоёр улсын нийтлэг хилийн урт байв. Тэрээр тоон туршилтын мэдээлэл цуглуулахдаа үүнийг олж мэдсэн өөр өөр эх сурвалжИспани, Португалийн нийтлэг хилийн талаархи мэдээлэл ихээхэн ялгаатай байна. Энэ нь түүнийг дараах нээлтэд хүргэсэн: улс орны хилийн урт нь бидний хэмжиж буй захирагчаас хамаардаг. Хэмжээ бага байх тусмаа хил хязгаар урт болно. Энэ нь хэмжилтийн бүдүүлэг байдлаас болж өмнө нь үл тоомсорлож байсан эрэг орчмын улам олон шинэ гулзайлтыг харгалзан үзэх боломжтой болж байгаатай холбоотой юм. Хэрэв масштаб нэмэгдэх тусам урьд өмнө тооцоогүй гулзайлтын шугамууд илрэх юм бол хилийн урт нь хязгааргүй болох нь харагдаж байна! Үнэн бол энэ нь үнэндээ тохиолддоггүй - бидний хэмжилтийн нарийвчлал нь хязгаарлагдмал хязгаартай байдаг. Энэ парадоксыг Ричардсон эффект гэж нэрлэдэг.
Конструктив (геометрийн) фракталууд
Конструктив фрактал байгуулах алгоритм ерөнхий тохиолдолийм л байна. Юуны өмнө бидэнд хоёр тохиромжтой геометрийн хэлбэр хэрэгтэй, тэдгээрийг суурь ба хэлтэрхий гэж нэрлэе. Эхний шатанд ирээдүйн фракталын үндсийг дүрсэлсэн болно. Дараа нь түүний зарим хэсгийг тохирох хэмжээгээр авсан фрагментээр сольсон - энэ бол барилгын анхны давталт юм. Дараа нь үүссэн дүрс нь зарим хэсгийг дахин фрагменттэй төстэй дүрс болгон өөрчилнө гэх мэт. Хэрэв бид энэ үйл явцыг хязгааргүй үргэлжлүүлбэл хязгаарт бид фрактал авах болно.
Энэ процессыг жишээ болгон Кох муруйг ашиглан харцгаая (өмнөх хуудасны хажуугийн самбарыг үзнэ үү). Та ямар ч муруйг Кохын муруйн үндэс болгон авч болно ("Кох цасан ширхгийн" хувьд энэ нь гурвалжин юм). Гэхдээ бид өөрсдийгөө хамгийн энгийн тохиолдол болох сегментээр хязгаарлах болно. Фрагмент нь тасархай шугам бөгөөд зургийн дээд талд харуулав. Алгоритмыг эхний давталт хийсний дараа энэ тохиолдолд анхны сегмент нь фрагменттэй давхцах бөгөөд дараа нь түүний бүрдүүлэгч сегмент бүр нь фрагменттэй төстэй тасархай шугамаар солигдох болно. Зурагт үүний эхний дөрвөн алхамыг харуулав. үйл явц.
Математикийн хэлээр: динамик (алгебрийн) фракталууд
Энэ төрлийн фракталууд нь шугаман бус динамик системийг судлах үед үүсдэг (иймээс нэр). Ийм системийн зан төлөвийг нарийн төвөгтэй шугаман бус функц (олон гишүүн) f (z) -аар тодорхойлж болно. Анхны z0 цэгийг авч үзье нарийн төвөгтэй хавтгай(хажуугийн самбарыг үзнэ үү). Одоо нийлмэл хавтгай дээрх ийм хязгааргүй тооны дарааллыг авч үзье, дараагийн тоо бүр нь өмнөхөөсөө гарна: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn). ). Анхны z0 цэгээс хамааран ийм дараалал өөр өөр байж болно: n -> ∞ байдлаар хязгааргүйд хандах; заримтай нь нийлэх төгсгөлийн цэг; тогтмол утгуудын цувралыг циклээр авах; Илүү төвөгтэй сонголтууд бас боломжтой.
Нарийн төвөгтэй тоо
Нарийн төвөгтэй тоо нь бодит ба төсөөлөл гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэх тоо, өөрөөр хэлбэл албан ёсны нийлбэр x + iy (энд x ба y -) бодит тоо). би гэж нэрлэгддэг төсөөллийн нэгж, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг хангасан тоо би ^ 2 = -1. Нарийн төвөгтэй тоон дээрх математикийн үндсэн үйлдлүүдийг тодорхойлсон: нэмэх, үржүүлэх, хуваах, хасах (зөвхөн харьцуулах үйлдлийг тодорхойлоогүй). Нарийн төвөгтэй тоонуудыг харуулахын тулд геометрийн дүрслэлийг ихэвчлэн ашигладаг - хавтгай дээр (үүнийг нарийн төвөгтэй гэж нэрлэдэг), бодит хэсгийг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, төсөөлж буй хэсгийг ординатын тэнхлэгийн дагуу зурдаг бөгөөд цэг нь тохирох болно. цогцолбор тоо Декарт координат x ба y.
Иймд нийлмэл хавтгайн ямар ч z цэг нь f (z) функцийн давталтын үед өөрийн гэсэн зан төлөвтэй байдаг бөгөөд бүх хавтгай нь хэсгүүдэд хуваагддаг. Түүнээс гадна эдгээр хэсгүүдийн хил дээр байрлах цэгүүд нь дараахь шинж чанартай байдаг: дур зоргоороо бага нүүлгэн шилжүүлэлт хийснээр тэдний зан төлөвийн шинж чанар эрс өөрчлөгддөг (ийм цэгүүдийг салаалсан цэг гэж нэрлэдэг). Тиймээс, нэг төрлийн зан төлөвтэй цэгүүдийн багц, түүнчлэн салаалсан цэгүүдийн багц нь ихэвчлэн фрактал шинж чанартай байдаг. Эдгээр нь f (z) функцийн Жулиа олонлогууд юм.
Луугийн гэр бүл
Суурь болон фрагментийг өөрчилснөөр та гайхалтай олон төрлийн бүтэцтэй фракталуудыг авах боломжтой.
Үүнээс гадна ижил төстэй үйлдлүүдийг хийж болно гурван хэмжээст орон зай. Эзлэхүүн фракталуудын жишээнд "Менгер хөвөн", "Сиерпинскийн пирамид" болон бусад зүйлс орно.
Луугийн гэр бүлийг мөн бүтээлч фрактал гэж үздэг. Заримдаа тэднийг нээсэн хүмүүсийн нэрээр "Хиви-Хартер луу" гэж нэрлэдэг (хэлбэрийн хувьд тэд Хятад луутай төстэй). Энэ муруйг бий болгох хэд хэдэн арга байдаг. Тэдгээрийн хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн үзэмжтэй нь энэ юм: та нэлээд урт цаасан тууз (цаасан нимгэн байх тусмаа сайн) аваад талыг нь нугалах хэрэгтэй. Дараа нь эхнийхтэй ижил чиглэлд дахин хагасаар нугалав. Хэд хэдэн давталтын дараа (ихэвчлэн тав, зургаан нугалаа хийсний дараа тууз нь хэтэрхий зузаан болж, зөөлөн нугалж болохгүй) туузыг буцааж нугалж, нугалахад 90˚ өнцөг үүсгэхийг хичээх хэрэгтэй. Дараа нь профайл дээр та луугийн муруйг авах болно. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь фрактал объектуудыг дүрслэх бидний бүх оролдлоготой адил зөвхөн ойролцоогоор байх болно. Компьютер нь энэ үйл явцын олон үе шатыг дүрслэх боломжийг олгодог бөгөөд үр дүн нь маш үзэсгэлэнтэй дүр юм.
Mandelbrot багц нь арай өөрөөр бүтээгдсэн. fc (z) = z 2 +c функцийг авч үзье, энд c нь комплекс тоо юм. Энэ функцийн дарааллыг z0=0 гэж байгуулъя c параметрээс хамааран энэ нь хязгааргүй хүртэл зөрөх эсвэл хязгаарлагдмал хэвээр үлдэнэ. Түүнчлэн, энэ дараалал хязгаарлагдмал c-ийн бүх утгууд нь Манделбротын багцаас бүрдэнэ. Үүнийг Манделброт өөрөө болон бусад математикчид нарийвчлан судалж, энэ багцын олон сонирхолтой шинж чанарыг олж илрүүлсэн.
Жулиа, Манделбротын багцын тодорхойлолтууд хоорондоо төстэй байгааг харж болно. Үнэндээ эдгээр хоёр багц нь хоорондоо нягт холбоотой. Тухайлбал, Mandelbrot багц нь Julia олонлог fc (z) холбогдсон c цогц параметрийн бүх утгууд юм (зарим нэмэлт нөхцлөөр хоёр салангид хэсэгт хуваагдах боломжгүй бол үүнийг холбогдсон гэж нэрлэдэг).
Фрактал ба амьдрал
Өнөө үед фракталуудын онолыг өргөнөөр ашиглаж байна янз бүрийн бүс нутагхүний үйл ажиллагаа. Судалгааны цэвэр шинжлэх ухааны объект, аль хэдийн дурдсан фрактал будгаас гадна фракталуудыг мэдээллийн онолд график өгөгдлийг шахахад ашигладаг (фракталуудын ижил төстэй шинж чанарыг энд голчлон ашигладаг - эцэст нь зургийн жижиг хэсгийг санахад ашигладаг. Үлдсэн хэсгүүдийг олж авах боломжтой өөрчлөлтүүд нь файлыг бүхэлд нь хадгалахаас хамаагүй бага санах ой шаарддаг). Фракталыг тодорхойлсон томьёонд санамсаргүй эвдрэлийг нэмснээр та зарим бодит объектуудыг - рельефийн элементүүд, усан сангийн гадаргуу, зарим ургамлыг маш үнэмшилтэйгээр дамжуулдаг стохастик фракталуудыг олж авах боломжтой бөгөөд үүнийг физик, газарзүй, компьютер графикт амжилттай ашигладаг. загварчилсан объектуудын бодиттой ижил төстэй байдал. Радио электроникийн хувьд сүүлийн арван жилд фрактал хэлбэртэй антен үйлдвэрлэж эхэлсэн. Бага зай эзэлдэг тул өндөр чанартай дохио хүлээн авдаг. Эдийн засагчид валютын хэлбэлзлийн муруйг тодорхойлохдоо фракталуудыг ашигладаг (энэ өмчийг Манделброт 30 гаруй жилийн өмнө нээсэн). Үүгээр фракталуудын гайхалтай үзэсгэлэнтэй, олон янзын ертөнцөд хийсэн энэхүү богино аялал өндөрлөж байна.
