Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Жишээ.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Юу болов экспоненциал тэгшитгэл? Энэ бол үл мэдэгдэх (х) болон тэдгээртэй илэрхийлэгдэх тэгшитгэл юм үзүүлэлтүүдзарим градус. Зөвхөн тэнд! Энэ бол чухал.

Энд байна Экспоненциал тэгшитгэлийн жишээ:

3 x 2 x = 8 x+3

Анхаар! Зэрэглэлийн үндсэн дээр (доор) - зөвхөн тоо. IN үзүүлэлтүүдградус (дээр) - X тэмдэгтэй олон төрлийн илэрхийлэл. Хэрэв тэгшитгэлд заагчаас өөр газар гэнэт X гарч ирвэл, жишээлбэл:

энэ нь тэгшитгэл байх болно холимог төрөл. Ийм тэгшитгэлд тэдгээрийг шийдвэрлэх тодорхой дүрэм байдаггүй. Бид тэдгээрийг одоогоор авч үзэхгүй. Энд бид шийдвэрлэх болно экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэххамгийн цэвэр хэлбэрээр.

Үнэн хэрэгтээ цэвэр экспоненциал тэгшитгэлүүд хүртэл үргэлж тодорхой шийдэгддэггүй. Гэхдээ шийдвэрлэх боломжтой, шийдвэрлэх ёстой тодорхой төрлийн экспоненциал тэгшитгэлүүд байдаг. Эдгээр нь бидний авч үзэх төрлүүд юм.

Энгийн экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Эхлээд маш энгийн зүйлийг шийдье. Жишээ нь:

Ямар ч онолгүй ч гэсэн энгийн сонголтоор х = 2 гэдэг нь ойлгомжтой. Өөр юу ч биш, тийм ээ!? X-ийн өөр утга ажиллахгүй. Одоо энэ төвөгтэй экспоненциал тэгшитгэлийн шийдлийг харцгаая.

Бид юу хийсэн бэ? Бид үнэндээ ижил суурийг (гурвалсан) хаясан. Бүрэн хаягдсан. Сайн мэдээ гэвэл бид толгой дээрээ хадаас цохив!

Үнэн хэрэгтээ, экспоненциал тэгшитгэлд баруун, зүүн гэсэн хоёр байдаг адилханямар ч зэрэглэлд байгаа тоонууд, эдгээр тоонуудыг хасч, илтгэгчийг тэнцүүлж болно. Математик зөвшөөрдөг. Илүү энгийн тэгшитгэлийг шийдэх л үлдлээ. Гайхалтай, тийм үү?)

Гэсэн хэдий ч бид хатуу санаж байна: Та зөвхөн зүүн болон баруун талд байгаа үндсэн тоонууд дотор байгаа үед л суурийг устгаж болно гайхалтай тусгаарлалт! Ямар ч хөрш, коэффициентгүйгээр. Тэгшитгэлд дараахь зүйлийг хэлье.

2 x +2 x+1 = 2 3, эсвэл

хоёрыг арилгах боломжгүй!

За, бид хамгийн чухал зүйлийг эзэмшсэн. Муу экспоненциал илэрхийллээс энгийн тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжих вэ.

"Тэр бол цаг үе юм!" - чи хэлж байна. "Хэн шалгалт, шалгалтын талаар ийм энгийн хичээл заах вэ!?"

Би зөвшөөрөх ёстой. Хэн ч тэгэхгүй. Харин одоо та төвөгтэй жишээг шийдвэрлэхдээ хаашаа чиглэхээ мэддэг болсон. Үүнийг зүүн, баруун талд ижил үндсэн дугаартай хэлбэрт оруулах шаардлагатай. Дараа нь бүх зүйл илүү хялбар болно. Үнэндээ энэ бол математикийн сонгодог бүтээл юм. Үүнийг авч үзье анхны жишээмөн үүнийг хүссэн болгон хувиргана бидоюун ухаан. Мэдээжийн хэрэг математикийн дүрмийн дагуу.

Тэдгээрийг хамгийн энгийн болгон багасгахын тулд нэмэлт хүчин чармайлт шаарддаг жишээг авч үзье. Тэднийг дуудъя энгийн экспоненциал тэгшитгэл.

Экспоненциал тэгшитгэл. Мэдэгдэж байгаагаар - дотор Улсын нэгдсэн шалгалтын бүрэлдэхүүнорсон энгийн тэгшитгэлүүд. Бид аль хэдийн заримыг нь авч үзсэн - эдгээр нь логарифм, тригонометр, оновчтой. Экспоненциал тэгшитгэлүүд энд байна.

Саяхны нийтлэлд бид экспоненциал илэрхийлэлтэй ажилласан, энэ нь ашигтай байх болно. Тэгшитгэлүүд нь өөрөө энгийн бөгөөд хурдан шийдэгддэг. Та зөвхөн илтгэгчийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй ба ... Энэ тухайцааш.

Экспонентуудын шинж чанарыг жагсаацгаая:

Аливаа тооны тэг хүч нь нэгтэй тэнцүү байна.

Энэ өмчийн үр дүн:

Бага зэрэг онол.

Экспоненциал тэгшитгэл нь экспонент дахь хувьсагчийг агуулсан тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл энэ нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.

е(x) хувьсагч агуулсан илэрхийлэл

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

1. Өөрчлөлтийн үр дүнд тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулж болно.

Дараа нь бид өмчийг хэрэглэнэ:

2. Маягтын тэгшитгэлийг олж авсны дараа a f (x) = бЛогарифмын тодорхойлолтыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

3. Өөрчлөлтийн үр дүнд та дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч болно.

Логарифм ашигласан:

илэрхийлээд х-г ол.

Даалгавруудад Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтуудЭхний аргыг ашиглах нь хангалттай байх болно.

Өөрөөр хэлбэл, зүүн ба баруун талыг ижил суурьтай хүч хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь экспонентуудыг тэнцүүлж, ердийн шугаман тэгшитгэлийг шийднэ.

Тэгшитгэлийг авч үзье:

4 1–2x = 64 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Зүүн ба баруун тал нь ижил суурьтай экспоненциал илэрхийллийг агуулсан байх ёстой. Бид 64-ийг 4-ийг 3-ын зэрэглэлээр илэрхийлж болно. Бид дараахыг авна.

4 1–2х = 4 3

1 – 2х = 3

– 2х = 2

x = – 1

Шалгалт:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Хариулт: -1

3-р тэгшитгэлийн язгуурыг ол x–18 = 1/9.

Энэ нь мэдэгдэж байна

Тэгэхээр 3 x-18 = 3 -2

Суурь нь тэнцүү, бид үзүүлэлтүүдийг тэнцүүлж болно:

x – 18 = – 2

x = 16

Шалгалт:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Хариулт: 16

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол:

1/64 бутархайг дөрөвний нэгээс гурав дахь зэрэглэлээр илэрхийлье.

2х – 19 = 3

2х = 22

x = 11

Шалгалт:

Хариулт: 11

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол:

1/3-ийг 3 –1, 9-ийг 3-ын квадрат гэж төсөөлөөд үз дээ:

(3 –1) 8–2х = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2х = 3 2

Одоо бид үзүүлэлтүүдийг тэнцүүлж болно:

– 8+2x = 2

2х = 10

x = 5

Шалгалт:

Хариулт: 5

26654. Тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл:

Хариулт: 8.75

Үнэхээр ч бид ямар хэмжээнд хүртэл өсгөх нь хамаагүй эерэг тоо a, бид ямар ч байдлаар сөрөг тоог авч чадахгүй.

Тохиромжтой хувиргалт хийсний дараа аливаа экспоненциал тэгшитгэлийг нэг буюу хэд хэдэн энгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд бууруулна.Энэ хэсэгт бид мөн зарим тэгшитгэлийг шийдэхийг харах болно, бүү алдаарай!Ингээд л болоо. Танд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.

Лекц: "Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга."

1 . Экспоненциал тэгшитгэл.

Экспонентт үл мэдэгдэх тоо агуулсан тэгшитгэлийг экспоненциал тэгшитгэл гэнэ. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь ax = b тэгшитгэл бөгөөд a > 0, a ≠ 1 байна.

1) b-д< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 экспоненциал функц, шийдэл байхгүй.

2) b > 0-ийн хувьд функцийн монотон байдал ба язгуур теоремыг ашиглан тэгшитгэл нь өвөрмөц язгууртай байна. Үүнийг олохын тулд b-г b = aс, аx = bс ó x = c эсвэл x = logab хэлбэрээр илэрхийлэх ёстой.

Экспоненциал тэгшитгэлүүд алгебрийн хувиргалтхүргэж байна стандарт тэгшитгэлДараах аргуудыг ашиглан шийддэг.

1) нэг суурь болгон бууруулах арга;

2) үнэлгээний арга;

3) график арга;

4) шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга;

5) хүчин зүйлчлэлийн арга;

6) заагч - чадлын тэгшитгэл;

7) параметртэй харуулах.

2 . Нэг суурь болгон бууруулах арга.

Энэ арга нь дээр үндэслэсэн болно дараах өмчградус: хэрэв хоёр градус тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн суурь нь тэнцүү бол тэдгээрийн илтгэгчид тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл бид тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулахыг хичээх хэрэгтэй.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд:

1 . 3х = 81;

Төсөөлөөд үзье баруун талтэгшитгэлүүдийг 81 = 34 хэлбэрээр гаргаж, анхны 3 x = 34-тэй тэнцэх тэгшитгэлийг бичнэ; x = 4. Хариулт: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">болон 3x+1 = 3 – 5x; 8x = илтгэгчийн тэгшитгэл рүү шилжье. 4; x = 0.5 Хариулт: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" өргөн "105" өндөр "47">

0.2, 0.04, √5 ба 25 тоонууд нь 5-ын зэрэглэлийг илэрхийлж байгааг анхаарна уу. Үүний давуу талыг ашиглан анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар хувиргацгаая.

, үүнээс 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, үүнээс бид x = -1 шийдийг олно. Хариулт: -1.

5. 3х = 5. Логарифмын тодорхойлолтоор x = log35. Хариулт: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2х+8.

Тэгшитгэлийг 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, өөрөөр хэлбэл..png" width="181" height="49 src="> Иймээс x – 4 =0, x = 4" хэлбэрээр дахин бичье. Хариулт: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Чадлын шинж чанарыг ашиглан тэгшитгэлийг 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, дараа нь 3∙3x = 9, 3x+1 хэлбэрээр бичнэ. = 32, өөрөөр хэлбэл x+1 = 2, x =1. Хариулт: 1.

Асуудлын банк №1.

Тэгшитгэлийг шийд:

Туршилтын дугаар 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) үндэсгүй
	1) 7;1 2) үндэсгүй 3) -7;1 4) -1;-7
А5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Туршилтын дугаар 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
А2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) үндэсгүй 3) 0 4) -2;1
А4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
А5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Үнэлгээний арга.

Үндэс теорем: хэрэв f(x) функц I интервалд өсөх (багарах) бол a тоо нь энэ интервал дээр f-ийн авсан дурын утга бол f(x) = a тэгшитгэл I интервал дээр нэг язгууртай байна.

Тооцооллын аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ энэ теорем болон функцийн монотон шинж чанарыг ашигладаг.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийдэх: 1. 4x = 5 - x.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг 4x +x = 5 гэж дахин бичье.

1. хэрэв x = 1 бол 41+1 = 5, 5 = 5 нь үнэн бөгөөд 1 нь тэгшитгэлийн үндэс болно.

f(x) = 4x – функц R дээр өсөх ба g(x) = x – R дээр нэмэгдэнэ => h(x)= f(x)+g(x) R дээр нэмэгдэнэ, өсөн нэмэгдэж буй функцүүдийн нийлбэрээр, тэгвэл x = 1 нь 4x = 5 – x тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс болно. Хариулт: 1.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье .

1. хэрэв x = -1 байвал , 3 = 3 нь үнэн бөгөөд энэ нь x = -1 нь тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм.

2. тэр цорын ганц гэдгийг нотлох.

3. f(x) = - функц R дээр буурч, g(x) = - x – R дээр буурна => h(x) = f(x)+g(x) – нийлбэр нь R дээр буурна. буурах функцууд. Энэ нь язгуур теоремоор x = -1 нь тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс гэсэн үг юм. Хариулт: -1.

Асуудлын банк №2. Тэгшитгэлийг шийд

a) 4x + 1 =6 – x;

б)

в) 2х – 2 =1 – х;

4. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга.

Энэ аргыг 2.1-д тайлбарласан болно. Шинэ хувьсагчийг (орлуулах) нэвтрүүлэх нь ихэвчлэн тэгшитгэлийн нөхцөлийг хувиргасны (хялбаршуулсан) дараа хийгддэг. Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ. РТэгшитгэлийг шийд: 1. .

Тэгшитгэлийг өөрөөр дахин бичье: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e.png" width="210" height = "45">

Шийдэл. Тэгшитгэлийг өөрөөр дахин бичье:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57">-ыг зааж өгье - тохиромжгүй.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" өргөн "268" өндөр "51"> - иррационал тэгшитгэл. Бид үүнийг тэмдэглэж байна

Тэгшитгэлийн шийдэл нь x = 2.5 ≤ 4 бөгөөд энэ нь 2.5 нь тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм. Хариулт: 2.5.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичээд хоёр талыг 56x+6 ≠ 0-д хуваая. Тэгшитгэлийг гаргана.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" өргөн="118" өндөр="56">

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь t1 = 1 ба t2 байна<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье

мөн энэ нь хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэдгийг анхаарна уу.

Тэгшитгэлийг 42x-д хуваавал бид олж авна

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src=">-г орлуулъя.

Хариулт: 0; 0.5.

Асуудлын банк №3. Тэгшитгэлийг шийд

б)

Туршилтын дугаар 3 хариултын сонголттой. Хамгийн бага түвшин.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) үндэсгүй 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) үндэсгүй 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Туршилтын дугаар 4 хариултын сонголттой. Ерөнхий түвшин.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
А5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) үндэсгүй

5. Үржүүлгийн арга.

1. Тэгшитгэлийг шийд: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Шийдэл..png" width="169" height="69"> , хаанаас

2. 6х + 6х+1 = 2х + 2х+1 + 2х+2.

Шийдэл. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа хаалтанд 6х, баруун талд 2х гаргая. Бид 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x тэгшитгэлийг авна.

Бүх x-ийн хувьд 2х >0 байгаа тул бид шийдлийг алдахаас айхгүйгээр энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг 2x-т хувааж болно. Бид 3x = 1ó x = 0-ийг авна.

Шийдэл. Тэгшитгэлийг үржүүлэх аргыг ашиглан шийдье.

Хоёр гишүүний квадратыг сонгоцгооё

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" өргөн "500" өндөр "181">

x = -2 нь тэгшитгэлийн үндэс юм.

Тэгшитгэл x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Туршилтын дугаар 6 Ерөнхий түвшин.

A1 (22х-1)(24х+22х+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
А2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
А4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
А5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Экспоненциал – чадлын тэгшитгэл.

Экспоненциал тэгшитгэлүүдийн хажууд экспоненциал чадлын тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл (f(x))g(x) = (f(x))h(x) хэлбэрийн тэгшитгэлүүд байдаг.

Хэрэв f(x)>0 ба f(x) ≠ 1 гэдгийг мэдэж байвал экспоненциалын нэгэн адил тэгшитгэлийг g(x) = f(x) илтгэгчийг тэнцүүлэх замаар шийднэ.

Хэрэв нөхцөл нь f(x)=0 ба f(x)=1 байх боломжийг үгүйсгэхгүй бол экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ эдгээр тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй.

1..png" өргөн "182" өндөр "116 src=">

Шийдэл. x2 +2x-8 – дурын х-д утга учиртай, учир нь энэ нь олон гишүүнт бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь нийттэй тэнцүү гэсэн үг юм.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" өргөн "137" өндөр "35">

б)

7. Параметртэй экспоненциал тэгшитгэл.

1. 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) тэгшитгэл p параметрийн ямар утгыг агуулна. цорын ганц шийдэл?

Шийдэл. 2x = t, t > 0 орлуулалтыг танилцуулъя, тэгвэл (1) тэгшитгэл нь t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 хэлбэртэй болно. (2)

(2) тэгшитгэлийн дискриминант D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Тэгшитгэл (2) нь нэг эерэг язгууртай бол (1) тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна. Энэ нь дараах тохиолдолд боломжтой.

1. Хэрэв D = 0, өөрөөр хэлбэл p = 1 бол тэгшитгэл (2) нь t2 – 2t + 1 = 0 хэлбэртэй байх тул t = 1, иймээс (1) тэгшитгэл нь x = 0 өвөрмөц шийдэлтэй байна.

2. Хэрэв p1 бол 9(p – 1)2 > 0 бол (2) тэгшитгэл нь t1 = p, t2 = 4p – 3 гэсэн хоёр өөр язгууртай. Бодлогын нөхцөл нь олонлог системээр хангагдана.

Системд t1 ба t2-г орлуулснаар бидэнд байна

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Шийдэл. Болъё тэгвэл (3) тэгшитгэл нь t2 – 6t – a = 0 хэлбэртэй болно. (4)

Тэгшитгэлийн дор хаяж нэг язгуур (4) t > 0 нөхцөлийг хангасан a параметрийн утгыг олъё.

f(t) = t2 – 6t – a функцийг танилцуулъя. Дараах тохиолдлууд боломжтой.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} квадрат гурвалжин f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Тохиолдол 2. Тэгшитгэл (4) нь өвөрмөц эерэг шийдэлтэй байна

D = 0, хэрэв a = – 9 бол тэгшитгэл (4) нь (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 хэлбэртэй болно.

Тохиолдол 3. (4) тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй боловч тэдгээрийн нэг нь t > 0 тэгш бус байдлыг хангахгүй.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Ийнхүү a 0-ийн хувьд (4) тэгшитгэл нь нэг эерэг язгууртай байна . Дараа нь (3) тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байна

Хэзээ a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

хэрэв а< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
хэрэв a = – 9 бол x = – 1;

хэрэв a  0 бол

(1) ба (3) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг харьцуулцгаая. (1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дискриминант нь төгс квадрат болох квадрат тэгшитгэл болгон бууруулсан болохыг анхаарна уу; Тиймээс (2) тэгшитгэлийн язгуурыг квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглан нэн даруй тооцоолж, дараа нь эдгээр язгууруудын талаар дүгнэлт хийсэн. (3) тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл (4) болгон бууруулсан бөгөөд дискриминант нь төгс квадрат биш тул (3) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ квадрат гурвалсан язгуурын байршлын теоремуудыг ашиглахыг зөвлөж байна. болон график загвар. (4) тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болохыг анхаарна уу.

Илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүдийг шийдье.

Бодлого 3: Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. ODZ: x1, x2.

Орлуулахыг танилцуулъя. 2x = t, t > 0 гэж үзье, тэгвэл хувиргалтын үр дүнд тэгшитгэл нь t2 + 2t – 13 – a = 0 хэлбэртэй болно. (*) Ядаж нэг язгуур байх a-ийн утгыг олцгооё. (*) тэгшитгэл нь t > 0 нөхцөлийг хангана.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Хариулт: хэрэв a > – 13, a  11, a  5 бол a – 13 бол,

a = 11, a = 5, тэгвэл үндэс байхгүй болно.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт.

1. Гузеев боловсролын технологийн үндэс.

2. Гузеевын технологи: хүлээн авалтаас философи хүртэл.

1996 оны 4-р “Сургуулийн захирал” М

3. Гузеев ба зохион байгуулалтын хэлбэрүүдсургалт.

4. Гузеев ба боловсролын нэгдмэл технологийн практик.

М." Олон нийтийн боловсрол", 2001

5. Гузеев хичээлийн хэлбэрүүдээс - семинар.

2-р сургуулийн математик, 1987 он 9 – 11-р тал.

6. Seleuko боловсролын технологи.

М.“Төрийн боловсрол”, 1998 он

7. Епишева сургуулийн сурагчид математикийн чиглэлээр суралцах.

М."Гэгээрэл", 1990 он

8. Иванова хичээл бэлтгэх - семинар.

6-р сургуулийн математик, 1990 х. 37-40.

9. Смирновын математик заах загвар.

1-р сургуулийн математик, 1997 х. 32-36.

10. Тарасенко практик ажлыг зохион байгуулах арга замууд.

1-р сургуулийн математик, 1993 х. 27-28.

11. Ганцаарчилсан ажлын нэг төрлийн тухай.

2-р сургуулийн математик, 1994, 63 – 64-р тал.

12. Хазанкин бүтээлч байдалсургуулийн сурагчид.

2-р сургуулийн математик, 1989 х. 10.

13. Сканави. Нийтлэгч, 1997

14. болон бусад алгебр ба шинжилгээний эхлэл. Дидактик материалУчир нь

15. Математикийн Кривоноговын даалгавар.

М.“9-р сарын нэгэн”, 2002 он

16. Черкасов. Ахлах ангийн сурагчдад зориулсан гарын авлага болон

их дээд сургуульд элсэх. "A S T - хэвлэлийн сургууль", 2002 он

17. Их дээд сургуульд элсэн орох хүмүүст зориулсан Жевняк.

Минск ба ОХУ-ын "Тойм", 1996 он

18. Бичгээр D. Математикийн шалгалтанд бэлдэж байна. М.Ролф, 1999 он

19. гэх мэт тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдэж сурах.

M. "Оюун ухаан - Төв", 2003 он

20. гэх мэт Боловсролын – сургалтын материал EGE-д бэлтгэх.

M. "Тагнуул - Төв", 2003, 2004 он.

21 болон бусад CMM сонголтууд. ОХУ-ын Батлан хамгаалах яамны Туршилтын төв, 2002, 2003 он.

22. Голдбергийн тэгшитгэл. "Квант" №3, 1971 он

23. Волович М. Математикийг хэрхэн амжилттай заах вэ.

Математик, 1997 оны №3.

Хичээлдээ 24 Окунев, хүүхдүүд ээ! М.Боловсрол, 1988 он

25. Якиманская – чиглэсэн сургалтсургууль дээр.

26. Liimets ангидаа ажилладаг. М.Мэдлэг, 1975

Төгсгөлийн шалгалтанд бэлтгэх үе шатанд ахлах ангийн сурагчид "Экспоненциал тэгшитгэл" сэдвээр мэдлэгээ дээшлүүлэх шаардлагатай. Өнгөрсөн жилүүдийн туршлагаас харахад ийм даалгавар нь сургуулийн сурагчдад тодорхой бэрхшээл учруулдаг. Тиймээс ахлах ангийн сурагчид бэлтгэлийн түвшингээс үл хамааран онолыг сайтар эзэмшиж, томьёо санаж, ийм тэгшитгэлийг шийдэх зарчмыг ойлгох хэрэгтэй. Энэ төрлийн даалгаврыг даван туулж сурсан төгсөгчид найдах боломжтой болно өндөр онооматематикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхдөө.

Школковотой шалгалт өгөхөд бэлэн байгаарай!

Хичээсэн материалаа хянаж үзэхэд олон оюутнууд тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд шаардлагатай томъёог олох асуудалтай тулгардаг. Сургуулийн сурах бичигүргэлж гарт байдаггүй, сонголт шаардлагатай мэдээлэлИнтернет дэх сэдвийн талаар удаан хугацаа шаарддаг.

Школково боловсролын портал нь оюутнуудыг бидний мэдлэгийн санг ашиглахыг урьж байна. Бид бүрэн хэрэгжүүлдэг шинэ аргаэцсийн шалгалтанд бэлтгэх. Манай вэбсайтад суралцсанаар та мэдлэгийн цоорхойг олж илрүүлж, хамгийн их хүндрэл учруулж буй ажлуудад анхаарлаа хандуулах боломжтой болно.

Школково багш нар амжилтанд хүрэхэд шаардлагатай бүх зүйлийг цуглуулж, системчилж, танилцуулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнматериалыг хамгийн энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлбэрээр.

Үндсэн тодорхойлолт, томъёог "Онолын үндэслэл" хэсэгт үзүүлэв.

Материалыг илүү сайн ойлгохын тулд бид даалгавраа биелүүлэх дадлага хийхийг зөвлөж байна. Тооцооллын алгоритмыг ойлгохын тулд энэ хуудсанд үзүүлсэн шийдлүүд бүхий экспоненциал тэгшитгэлийн жишээг сайтар нягталж үзээрэй. Үүний дараа "Лавлах" хэсэгт даалгавруудыг гүйцэтгэнэ. Та хамгийн хялбар даалгавраас эхэлж эсвэл хэд хэдэн үл мэдэгдэх эсвэл нийлмэл экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд шууд очиж болно. Манай вэбсайт дээрх дасгалын мэдээллийн сан байнга нэмэгдэж, шинэчлэгдэж байдаг.

Танд хүндрэл учруулсан шалгуур үзүүлэлт бүхий жишээг "Дуртай" хэсэгт нэмж болно. Ингэснээр та тэдгээрийг хурдан олж, багштайгаа шийдлийн талаар ярилцах боломжтой.

Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгөхийн тулд өдөр бүр Школково портал дээр суралцаарай!

Элсэлтийн түвшин

Экспоненциал тэгшитгэл. Цогц гарын авлага (2019)

Сайн уу! Өнөөдөр бид тантай анхан шатны (мөн энэ өгүүллийг уншсаны дараа бараг бүгдээрээ танд тийм байх болно гэж найдаж байна) болон ихэвчлэн "бөглөхөд" өгдөг тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар ярилцах болно. Эцэст нь унтсан бололтой. Гэхдээ ийм төрлийн тэгшитгэлтэй тулгарах үед таныг асуудалд оруулахгүйн тулд би боломжтой бүхнийг хийхийг хичээх болно. Би дахиж бутны эргэн тойронд зодохгүй, гэхдээ би шууд нээх болно бяцхан нууц: өнөөдөр бид суралцах болно экспоненциал тэгшитгэл.

Тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замд дүн шинжилгээ хийхээс өмнө би энэ сэдвийг довтлох гэж яарахаасаа өмнө давтах ёстой хэд хэдэн асуултыг (нэлээд жижиг) нэн даруй тоймлох болно. Тиймээс, авах хамгийн сайн үр дүн, гуйя давтах:

Properties and
Шийдэл ба тэгшитгэл

Давтан уу? Гайхалтай! Дараа нь тэгшитгэлийн үндэс нь тоо гэдгийг анзаарахад хэцүү биш байх болно. Та намайг яг яаж хийснийг ойлгож байна уу? Энэ үнэн үү? Дараа нь үргэлжлүүлье. Одоо миний асуултад хариул, гуравдахь хүчинтэй тэнцүү юу вэ? Та туйлын зөв: . Хоёрын аль нь найм вэ? Энэ нь зөв - гурав дахь нь! Учир нь. За, одоо дараах асуудлыг шийдэж үзье: Би тоог өөрөө өөртөө нэг удаа үржүүлж үр дүнг гаргая. Асуулт бол би өөрөө хэдэн удаа үржүүлсэн бэ? Мэдээжийн хэрэг та үүнийг шууд шалгаж болно:

\эхлэх(зохицуулах) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( тэгшлэх)

Дараа нь би өөрөө үржүүлсэн гэж дүгнэж болно. Та үүнийг өөр яаж шалгах вэ? Үүнд: шууд зэрэглэлийн тодорхойлолтоор: . Гэхдээ та хүлээн зөвшөөрөх ёстой, хэрэв би хоёрыг өөрөө хэдэн удаа үржүүлэх шаардлагатайг асуувал: "Би өөрийгөө хуурч, нүүрээ хөхрөх хүртэл өөрөө үржихгүй" гэж хэлэх болно. Тэгээд тэр үнэхээр зөв байх болно. Яагаад гэвэл чи яаж чадах вэ бүх алхмуудыг товч бич(мөн товчлол бол авъяас чадварын эгч юм)

хаана - эдгээр нь адилхан "удаа", та өөрөө үржих үед.

Миний асуудал дараах хэлбэрээр бичигдэх болно гэдгийг та мэдэж байгаа гэж бодож байна (хэрэв та мэдэхгүй бол яаралтай, маш яаралтай зэрэгтэй давтана уу!)

Та үүнийг хэрхэн үндэслэлтэй дүгнэж чадах вэ:

Тиймээс би анзааралгүй хамгийн энгийнийг нь бичсэн экспоненциал тэгшитгэл:

Тэгээд ч би түүнийг олсон үндэс. Бүх зүйл шал дэмий хоосон гэж та бодохгүй байна уу? Би яг адилхан гэж бодож байна. Энд танд өөр нэг жишээ байна:

Гэхдээ яах вэ? Эцсийн эцэст үүнийг (боломжийн) тооны зэрэглэлээр бичиж болохгүй. Эдгээр тоо хоёулаа ижил тооны хүчээр төгс илэрхийлэгддэг гэдгийг цөхрөлгүй, тэмдэглэе. Аль нь вэ? Баруун: . Дараа нь анхны тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.

Хаана, та аль хэдийн ойлгосноор, . Цаашид хойшлуулалгүй бичье тодорхойлолт:

Манай тохиолдолд: .

Эдгээр тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулах замаар шийддэг.

Дараа нь тэгшитгэлийг шийднэ

Үнэн хэрэгтээ, өмнөх жишээн дээр бид үүнийг хийсэн: бид дараахь зүйлийг авсан. Тэгээд бид хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдсэн.

Энэ нь төвөгтэй зүйл биш юм шиг санагдаж байна, тийм ээ? Эхлээд хамгийн энгийн зүйл дээр дадлага хийцгээе жишээ:

Тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг нэг тооны зэрэглэлээр илэрхийлэх шаардлагатайг бид дахин харж байна. Үнэн, зүүн талд үүнийг аль хэдийн хийсэн, гэхдээ баруун талд нь тоо байна. Гэхдээ зүгээр, учир нь миний тэгшитгэл ийм байна гайхамшигтайгаарэнэ болгон хувиргах болно:

Би энд юу ашиглах ёстой байсан бэ? Ямар дүрэм вэ? "Зэрэг доторх зэрэг"-ийн дүрэмгэж уншина:

Хэрэв:

Энэ асуултад хариулахын өмнө дараах хүснэгтийг бөглөцгөөе.

Бага байх тусам бидний хувьд анзаарахад хялбар байдаг бага үнэ цэнэ, гэхдээ энэ бүх үнэт зүйлс тэгээс их. ТЭГЭЭД ҮРГЭЛЖ ИЙМ БАЙХ БОЛНО!!! Ижил өмч нь ямар ч ҮЗҮҮЛЭЛТТЭЙ ҮНДСЭН ҮНДЭСЛЭЛИЙН хувьд үнэн юм!! (ямар ч ба). Дараа нь бид тэгшитгэлийн талаар юу дүгнэж болох вэ? Энэ нь юу вэ: энэ үндэсгүй! Аливаа тэгшитгэлд үндэс байдаггүйтэй адил. Одоо дадлага хийцгээе Энгийн жишээнүүдийг шийдье:

Шалгацгаая:

1. Энд танаас градусын шинж чанаруудын талаархи мэдлэгээс өөр юу ч шаардагдахгүй (үүнийг дашрамд хэлэхэд би танаас давтахыг хүссэн!) Дүрмээр бол бүх зүйл хамгийн бага суурь руу хөтөлдөг: , . Дараа нь анхны тэгшитгэл нь дараахтай тэнцүү байх болно: Надад хэрэгтэй зүйл бол чадлын шинж чанарыг ашиглах явдал юм. Ижил суурьтай тоонуудыг үржүүлэхэд хүчийг нэмж, хуваахдаа хасна.Дараа нь би авах болно: За, одоо хамт цэвэр ухамсарБи экспоненциал тэгшитгэлээс шугаман тэгшитгэл рүү шилжих болно: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2х+1+2х+4-3х=5 \\
&x=0. \\
\төгсгөл(зохицуулах)

2. Хоёрдахь жишээн дээр бид илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй: асуудал нь зүүн талд бид ижил тоог хүч чадалтай илэрхийлэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд заримдаа ашигтай байдаг тоонуудыг өөр өөр суурьтай, гэхдээ ижил илтгэгчтэй зэрэглэлийн үржвэр болгон илэрхийлнэ.

Тэгшитгэлийн зүүн тал нь: Энэ нь бидэнд юу өгсөн бэ? Энд юу вэ: Өөр өөр суурьтай боловч ижил илтгэгчтэй тоонуудыг үржүүлж болно.Энэ тохиолдолд суурийг үржүүлсэн боловч үзүүлэлт өөрчлөгдөхгүй.

Миний нөхцөл байдалд энэ нь дараахь зүйлийг өгөх болно.

\эхлэх(зохицуулах)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\төгсгөл(зохицуулах)

Муу биш, тийм үү?

3. Шаардлагагүй тэгшитгэлийн нэг талд хоёр гишүүн, нөгөө талд нь байхгүй байхад би дургүй байдаг (заримдаа энэ нь зөвтгөгддөг, гэхдээ одоо тийм биш). Би хасах нэр томъёог баруун тийш шилжүүлнэ:

Одоо урьдын адил би бүгдийг гурвын зэрэглэлээр бичих болно.

Би зүүн талд байгаа градусуудыг нэмээд тэнцүү тэгшитгэлийг авна

Та түүний үндсийг хялбархан олох боломжтой:

4. Гурав дахь жишээний адил хасах нэр томъёо нь баруун талд байрлана!

Миний зүүн талд бараг бүх зүйл зүгээр, юунаас бусад нь? Тийм ээ, энэ хоёрын "буруу зэрэг" намайг зовоож байна. Гэхдээ би үүнийг бичих замаар амархан засаж чадна: . Эврика - зүүн талд бүх суурь нь өөр, гэхдээ бүх зэрэг нь ижил байна! Нэн даруй үржүүлцгээе!

Энд дахин бүх зүйл тодорхой байна: (хэрэв та яаж ойлгохгүй байгаа бол ид шидээрБи сүүлчийн тэгшитгэлийг авч, нэг минутын завсарлага аваад, амьсгаа аваад зэрэглэлийн шинж чанарыг дахин маш анхааралтай уншлаа. Чамайг эрдмийн зэрэг алгасаж болно гэж хэн хэлэв сөрөг үзүүлэлт? За, би үүнийг хэлж байна, хэн ч биш). Одоо би авах болно:

\эхлэх(зохицуулах)
& ((2)^(4\left((x) -9 \баруун)=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\төгсгөл(зохицуулах)

Энд танд дадлага хийх зарим асуудлууд байна, би зөвхөн хариултыг өгөх болно (гэхдээ "холимог" хэлбэрээр). Тэдгээрийг шийдэж, шалгаад та бид хоёр судалгаагаа үргэлжлүүлэх болно!

Бэлэн үү? Хариултуудиймэрхүү:

ямар ч тоо

За, за, би тоглож байсан! Энд зарим шийдлүүдийн тойм зураг байна (зарим нь маш товч!)

Зүүн талын нэг хэсэг нь нөгөө хэсэг нь "урвуу" байдаг нь тохиолдлын зүйл биш гэж та бодож байна уу? Үүнийг ашиглахгүй байх нь нүгэл болно:

Энэ дүрмийг экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг, үүнийг сайн санаарай!

Дараа нь анхны тэгшитгэл дараах байдалтай болно.

Үүнийг шийдсэн квадрат тэгшитгэл, та эдгээр үндэсийг авах болно:

2. Өөр нэг шийдэл: тэгшитгэлийн хоёр талыг зүүн (эсвэл баруун) талын илэрхийллээр хуваах. Баруун талд байгаа зүйлд хуваавал би дараахь зүйлийг авна.

Хаана (яагаад?!)

3. Би өөрийгөө давтахыг ч хүсэхгүй байна, бүх зүйл аль хэдийн маш их "зажилсан".

4. квадрат тэгшитгэлтэй тэнцэх язгуур

5. Та эхний бодлогод өгсөн томьёог ашиглах хэрэгтэй, тэгвэл та дараахийг авна.

Энэ тэгшитгэл нь хэнд ч үнэн байдаг өчүүхэн ижил төстэй зүйл болж хувирав. Дараа нь хариулт нь ямар ч бодит тоо юм.

За, одоо та шийдэх дадлага хийлээ энгийн экспоненциал тэгшитгэл.Одоо би танд цөөн хэдэн зүйлийг өгөхийг хүсч байна амьдралын жишээнүүд, энэ нь зарчмын хувьд яагаад хэрэгтэй байгааг ойлгоход тусална. Энд би хоёр жишээ хэлье. Тэдний нэг нь өдөр тутмынх боловч нөгөө нь практик гэхээсээ илүү шинжлэх ухааны сонирхолтой байх магадлалтай.

Жишээ 1 (худалдааны)Та рубльтэй байг, гэхдээ та үүнийг рубль болгохыг хүсч байна. Банк танд энэ мөнгийг сарын хүүг (сарын хуримтлал) тооцсон жилийн хүүгээр авахыг санал болгож байна. Асуулт бол шаардлагатай эцсийн хэмжээнд хүрэхийн тулд хэдэн сарын хугацаанд хадгаламж нээх шаардлагатай вэ? Маш энгийн ажил, тийм үү? Гэсэн хэдий ч түүний шийдэл нь харгалзах экспоненциал тэгшитгэлийг байгуулахтай холбоотой юм: Анхны нийлбэр байцгаая, - эцсийн дүн, - хугацааны хүү, - хугацааны тоо. Дараа нь:

Манай тохиолдолд (хэрэв ханш нь жилийнх бол сар бүр тооцно). Яагаад хуваагддаг вэ? Хэрэв та энэ асуултын хариултыг мэдэхгүй байгаа бол "" сэдвийг санаарай! Дараа нь бид энэ тэгшитгэлийг авна.

Энэ экспоненциал тэгшитгэлийг зөвхөн тооцоолуур (түүний гадаад төрхЭнэ талаар сануулж байгаа бөгөөд энэ нь логарифмын мэдлэгийг шаарддаг бөгөөд үүнийг бид дараа нь олж мэдэх болно), би үүнийг хийх болно: ... Тиймээс саяыг авахын тулд бид нэг сарын хугацаанд барьцаа хийх шаардлагатай болно ( тийм ч хурдан биш, тийм үү?).

Жишээ 2 (шинжлэх ухаан).Түүний тодорхой "тусгаарлагдсан" ч гэсэн би түүнд анхаарлаа хандуулахыг зөвлөж байна: тэр байнга "Улсын нэгдсэн шалгалтанд ордог!! (асуудлыг “бодит” хувилбараас авсан) Эвдрэлийн үед цацраг идэвхт изотоптүүний масс нь хуулийн дагуу буурдаг ба энд (мг) нь изотопын анхны масс, (мин.) нь эхний мөчөөс хойш өнгөрсөн хугацаа, (мин.) нь хагас задралын хугацаа юм. IN эхлэх мөчцаг хугацааны изотопын масс мг. Түүний хагас задралын хугацаа нь мин. Хэдэн минутын дараа изотопын масс мг-тай тэнцэх вэ? Зүгээр дээ: бид зүгээр л бүх өгөгдлийг авч, бидэнд санал болгож буй томъёонд орлуулна.

Зүүн талд нь шингэцтэй зүйл олж авах болно гэж "найдвартай" хоёр хэсгийг хоёуланг нь хувааж үзье.

За, бид маш азтай байна! Энэ нь зүүн талд байгаа бөгөөд дараа нь ижил тэгшитгэл рүү шилжье:

Мин хаана байна.

Таны харж байгаагаар экспоненциал тэгшитгэл нь практикт маш бодит хэрэглээтэй байдаг. Одоо би та нарт экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх өөр (энгийн) аргыг харуулахыг хүсч байна, энэ нь нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж, дараа нь нэр томъёог бүлэглэхэд үндэслэсэн болно. Миний үгнээс бүү ай, чи 7-р ангидаа олон гишүүнтийг судалж байхдаа энэ аргыг олж мэдсэн. Жишээлбэл, хэрэв та илэрхийллийг хүчин зүйл болгох шаардлагатай бол:

Бүлэглэцгээе: эхний ба гурав дахь нэр томъёо, түүнчлэн хоёр, дөрөв дэх. Эхний болон гурав дахь нь квадратуудын ялгаа болох нь тодорхой байна.

мөн хоёр, дөрөв дэх нь байна нийтлэг үржүүлэгчгурав:

Дараа нь анхны илэрхийлэл нь үүнтэй тэнцүү байна:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаанаас гаргах нь хэцүү байхаа больсон:

Тиймээс,

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид үүнийг ойролцоогоор хийх болно: нэр томьёо дотроос "нийтлэг" гэж хайж олоод хаалтанд оруулаад дараа нь - ямар ч байсан бид азтай байх болно гэж би итгэж байна =)) Жишээ нь:

Баруун талд нь долоон хүч байхаас хол байна (би шалгасан!) Харин зүүн талд - арай дээр, та мэдээжийн хэрэг, эхний үеэс эхлэн хоёр дахь a хүчин зүйлийг "хасаж" болно. Таны авсан зүйл, гэхдээ чамтай илүү болгоомжтой байцгаая. Би "сонгох" үед зайлшгүй үүсдэг бутархайтай харьцахыг хүсэхгүй байна, тиймээс би үүнийг арилгах хэрэгтэй гэж үү? Дараа нь би ямар ч бутархай байхгүй болно: тэдний хэлснээр чоно тэжээж, хонь аюулгүй байна.

Хаалтанд байгаа илэрхийллийг тооцоол. Ид шидтэй, ид шидтэй, энэ нь (гайхалтай нь, гэхдээ бид өөр юу хүлээх ёстой вэ?).

Дараа нь бид тэгшитгэлийн хоёр талыг энэ хүчин зүйлээр бууруулна. Бид: , -аас авна.

Энд илүү төвөгтэй жишээ байна (бага зэрэг, үнэхээр):

Ямар асуудал вэ! Манай энд нэг ч байхгүй нийтлэг үндэслэл! Одоо юу хийх нь тодорхойгүй байна. Бид чадах бүхнээ хийцгээе: эхлээд "дөрөв"-ийг нэг тал руу, "тав"-ыг нөгөө тал руу шилжүүлээрэй.

Одоо баруун, зүүн талд байгаа "генерал"-ыг гаргая:

Тэгэхээр одоо яах вэ? Ийм тэнэг бүлэглэл ямар ашигтай юм бэ? Эхлээд харахад энэ нь огт харагдахгүй байгаа ч илүү гүнзгий харцгаая:

За, одоо бид зүүн талд зөвхөн c илэрхийлэл, баруун талд нь бусад бүх зүйл байгаа эсэхийг шалгах болно. Үүнийг бид яаж хийх вэ? Үүнд: тэгшитгэлийн хоёр талыг эхлээд хуваана (ингэснээр бид баруун талд байгаа илтгэгчийг арилгана), дараа нь хоёр талыг нь хуваана (ингэснээр бид зүүн талын тоон хүчин зүйлийг арилгана). Эцэст нь бид:

Гайхалтай! Зүүн талд нь илэрхийлэл, баруун талд нь энгийн илэрхийлэл байдаг. Дараа нь бид нэн даруй дүгнэж байна

Танд бататгах өөр нэг жишээ энд байна:

Би түүнийг авчирна богино шийдэл(тайлбараар өөрийгөө зовоохгүйгээр) шийдлийн бүх "нарийн талыг" өөрөө ойлгохыг хичээ.

Одоо хамрагдсан материалын эцсийн нэгтгэлийн тухай. Дараах асуудлуудыг өөрөө шийдэж үзээрэй. Би зүгээр л өгье товч зөвлөмжүүдмөн тэдгээрийг шийдвэрлэх зөвлөмжүүд:

Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая: Үүнд:
Эхний илэрхийллийг дараах хэлбэрээр үзүүлье, хоёр талыг хувааж, үүнийг авна
, дараа нь анхны тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлнэ: За, одоо нэг зөвлөгөө - та бид хоёр энэ тэгшитгэлийг хаана шийдсэнийг хай!
Хэрхэн, яаж, аа, сайн, дараа нь хоёр талыг хуваахыг төсөөлөөд үз дээ, тэгвэл та хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэлийг гаргана.
Үүнийг хаалтнаас гаргаж ав.
Үүнийг хаалтнаас гаргаж ав.

ЭКСПОНЕНТАР ТЭГШИГЧИЛГЭЭ. ДУНД ТҮВШИН

Энэ тухай ярьсан эхний өгүүллийг уншсаны дараа гэж би бодож байна Экспоненциал тэгшитгэл гэж юу вэ, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ, та эзэмшсэн шаардлагатай доод хэмжэээнгийн жишээг шийдвэрлэхэд шаардлагатай мэдлэг.

Одоо би экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх өөр аргыг авч үзэх болно, энэ бол

"Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга" (эсвэл солих).Тэрээр экспоненциал тэгшитгэлийн сэдвээр хамгийн "хэцүү" асуудлыг шийддэг (зөвхөн тэгшитгэл биш). Энэ арга нь практикт хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг аргуудын нэг юм. Юуны өмнө би энэ сэдэвтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Нэрнээс нь ойлгосноор энэ аргын мөн чанар нь хувьсагчийн ийм өөрчлөлтийг нэвтрүүлэх явдал бөгөөд ингэснээр таны экспоненциал тэгшитгэл таны амархан шийдэж чадахуйц болж хувирах болно. Энэхүү "хялбаршуулсан тэгшитгэлийг" шийдсэний дараа танд үлдэх зүйл бол "урвуу орлуулалт" хийх явдал юм: өөрөөр хэлбэл солигдсоноос солигдсон руу буцах явдал юм. Саяын хэлсэн зүйлээ маш энгийн жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 1:

Энэ тэгшитгэлийг математикчид гутаан доромжилсон байдлаар "энгийн орлуулалт" ашиглан шийддэг. Үнэндээ энд орлуулах нь хамгийн тод харагдаж байна. Хүн үүнийг л харах хэрэгтэй

Дараа нь анхны тэгшитгэл дараах болж хувирна.

Хэрэв бид хэрхэн яаж хийхийг нэмж төсөөлвөл юу солих шаардлагатай нь тодорхой болно: мэдээжийн хэрэг, . Дараа нь юу анхны тэгшитгэл болох вэ? Энд юу вэ:

Та түүний үндсийг өөрөө амархан олох боломжтой: . Бид одоо яах ёстой вэ? Анхны хувьсагч руу буцах цаг болжээ. Би юу хэлэхээ мартсан бэ? Тухайлбал: тодорхой түвшинг шинэ хувьсагчаар солих үед (өөрөөр хэлбэл төрлийг солих үед) би сонирхох болно. зөвхөн эерэг үндэс! Яагаад гэдгийг та өөрөө амархан хариулж чадна. Тиймээс, та бид хоёр сонирхолгүй байгаа ч хоёр дахь үндэс нь бидэнд маш тохиромжтой.

Тэгээд хаанаас.

Хариулт:

Таны харж байгаагаар өмнөх жишээн дээр орлуулах хүн зүгээр л бидний гарыг гуйж байсан. Харамсалтай нь энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Гэсэн хэдий ч гунигтай зүйл рүү шууд орохгүй, харин нэлээд энгийн орлуулалттай өөр нэг жишээгээр дадлага хийцгээе.

Жишээ 2.

Бид солих шаардлагатай болох нь тодорхой байна (энэ нь бидний тэгшитгэлд багтсан хүчнүүдийн хамгийн бага нь юм), гэхдээ орлуулахаас өмнө бидний тэгшитгэлийг "бэлтгэх" хэрэгтэй, тухайлбал: , . Дараа нь та сольж болно, үр дүнд нь би дараах илэрхийлэлийг авна.

Өө аймшиг: куб тэгшитгэлтүүний шийдлийн туйлын аймшигтай томьёотой (за ерөнхий үзэл). Гэхдээ тэр дороо цөхрөлгүй, юу хийх ёстойгоо бодоцгооё. Би хууран мэхлэхийг санал болгож байна: "сайхан" хариулт авахын тулд бид үүнийг гурвын хүчний хэлбэрээр авах хэрэгтэй гэдгийг бид мэднэ (яагаад ийм байх ёстой гэж?). Тэгшитгэлийнхээ ядаж нэг язгуурыг таахыг хичээцгээе (би гурвын зэрэглэлээр тааж эхэлнэ).

Эхний таамаг. Үндэс биш. Өө бас...

.
Зүүн тал нь тэнцүү байна.
Баруун талд:!
Ид! Эхний үндсийг тааварлав. Одоо бүх зүйл илүү хялбар болно!

Та "булангийн" хуваах схемийн талаар мэдэх үү? Мэдээжийн хэрэг та үүнийг нэг тоог нөгөө тоонд хуваахдаа ашигладаг. Гэхдээ олон гишүүнттэй ижил зүйлийг хийж болно гэдгийг цөөхөн хүн мэддэг. Нэг гайхалтай теорем байдаг:

Миний нөхцөл байдалд энэ нь үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг гэдгийг хэлж байна. Хэрхэн хуваах вэ? Үүнд:

Би тодорхой болгохын тулд аль мономиалаар үржүүлэх ёстойгоо харвал:

Би үр дүнгийн илэрхийлэлийг хасаад дараахийг авна.

Одоо би юугаар үржүүлэх хэрэгтэй вэ? Дараа нь би авах нь тодорхой байна:

гарсан илэрхийлэлийг үлдсэн нэгээс дахин хасна:

Эцсийн алхам бол үлдсэн илэрхийллээс үржүүлж, хасах явдал юм.

Уучлаарай, хуваагдал дууслаа! Бид хувийн амьдралд юу хуримтлуулсан бэ? Мэдээжийн хэрэг: .

Дараа нь бид анхны олон гишүүнтийн дараах өргөтгөлийг авсан.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдье:

Энэ нь үндэстэй:

Дараа нь анхны тэгшитгэл:

гурван үндэстэй:

Мэдээжийн хэрэг, бид сүүлчийн үндсийг хаях болно тэгээс бага. Урвуу орлуулалтын дараах эхний хоёр нь бидэнд хоёр үндэс өгөх болно:

Хариулт: ..

Энэ жишээгээр би та нарыг айлгахыг огт хүсээгүй, харин бид хангалттай байсан гэдгийг харуулахыг зорьсон хялбар солих, гэсэн хэдий ч энэ нь нэлээд хүргэсэн нарийн төвөгтэй тэгшитгэл, үүний шийдэл нь биднээс тусгай ур чадвар шаарддаг. За, хэн ч үүнээс ангид байдаггүй. Харин орлуулах нь энэ тохиолдолднэлээд ойлгомжтой байсан.

Энд арай бага тодорхой орлуулалтын жишээ байна:

Бид юу хийх ёстой нь тодорхойгүй байна: асуудал бол бидний тэгшитгэлд хоёр байгаа явдал юм өөр өөр суурьмөн ямар нэгэн (боломжийн, жам ёсны) түвшинд өсгөх замаар нэг суурийг нөгөөгөөсөө олж авах боломжгүй. Гэсэн хэдий ч бид юу харж байна вэ? Хоёр суурь нь зөвхөн тэмдгээр ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн үржвэр нь нэгтэй тэнцүү квадратуудын зөрүү юм.

Тодорхойлолт:

Тиймээс бидний жишээн дэх суурь тоонууд нь нэгдэл юм.

Энэ тохиолдолд ухаалаг алхам хийх болно Тэгшитгэлийн хоёр талыг коньюгат тоогоор үржүүлнэ.

Жишээлбэл, дээр байвал тэгшитгэлийн зүүн тал нь баруун талтай тэнцүү болно. Хэрэв бид орлуулалт хийвэл бидний анхны тэгшитгэл дараах байдалтай болно.

Үүний үндэс, тэгээд үүнийг санаж, бид үүнийг олж авдаг.

Хариулт: , .

Дүрмээр бол орлуулах арга нь ихэнх "сургуулийн" экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Дараах даалгавруудыг Улсын нэгдсэн шалгалтаас авсан C1 ( түвшин нэмэгдсэннарийн төвөгтэй байдал). Та эдгээр жишээг бие даан шийдвэрлэх хангалттай бичиг үсэгтэй болсон. Би зөвхөн шаардлагатай орлуулалтыг өгөх болно.

Тэгшитгэлийг шийд:
Тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
Тэгшитгэлийг шийд: . Энэ тэгшитгэлийн сегментэд хамаарах бүх язгуурыг ол.

Одоо зарим товч тайлбар, хариултууд:

Энд бид үүнийг тэмдэглэхэд хангалттай ... Дараа нь анхны тэгшитгэл нь үүнтэй тэнцүү байх болно: Энэ тэгшитгэлсолих замаар шийднэ. Эцсийн эцэст, таны даалгавар нь энгийн тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд багасах болно (синус эсвэл косинусаас хамаарч). Шийдэл ижил төстэй жишээнүүдБид үүнийг бусад хэсгүүдэд авч үзэх болно.
Энд та орлуулалтгүйгээр хийж болно: зүгээр л хасахыг баруун тийш шилжүүлж, хоёр суурийг хоёрын хүчээр төлөөлнө: , дараа нь шууд квадрат тэгшитгэл рүү очно уу.
Гурав дахь тэгшитгэлийг бас нэлээд стандартаар шийддэг: яаж гэдгийг төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь орлуулснаар бид квадрат тэгшитгэлийг авна: тэгвэл,
Та логарифм гэж юу байдгийг аль хэдийн мэдсэн биз дээ? Үгүй юу? Дараа нь сэдвийг яаралтай уншаарай!

Эхний үндэс нь сегментэд хамаарахгүй нь ойлгомжтой, гэхдээ хоёр дахь нь тодорхойгүй байна! Гэхдээ бид удахгүй мэдэх болно! Тиймээс (энэ нь логарифмын шинж чанар юм!) Харьцуулъя:

Хоёр талаас нь хасаад бид дараахь зүйлийг авна.

Зүүн талдараах байдлаар төлөөлж болно.

хоёр талыг үржүүлнэ:

тэгвэл үржүүлж болно

Дараа нь харьцуул:

түүнээс хойш:

Дараа нь хоёр дахь үндэс нь шаардлагатай интервалд хамаарна

Хариулт:

Таны харж байгаагаар Экспоненциал тэгшитгэлийн үндсийг сонгох нь логарифмын шинж чанарын талаар нэлээд гүнзгий мэдлэг шаарддаг, тиймээс би танд экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэхдээ аль болох болгоомжтой байхыг зөвлөж байна. Таны ойлгож байгаагаар математикт бүх зүйл хоорондоо холбоотой байдаг! Математикийн багшийн хэлснээр: "Түүх шиг математикийг нэг л өдөр уншдаггүй."

Дүрмээр бол бүгд C1 асуудлыг шийдвэрлэхэд бэрхшээлтэй зүйл бол тэгшитгэлийн язгуурыг сонгох явдал юм.Өөр нэг жишээгээр дадлага хийцгээе:

Тэгшитгэл өөрөө маш энгийнээр шийдэгдсэн нь ойлгомжтой. Орлуулалт хийснээр бид анхны тэгшитгэлээ дараах болгож бууруулна.

Эхлээд эхний үндсийг харцгаая. Харьцуулъя ба: оноос хойш, тэр үед. (өмч логарифм функц, at). Тэгвэл эхний үндэс нь бидний интервалд хамаарахгүй нь тодорхой байна. Одоо хоёр дахь үндэс: . Энэ нь тодорхой байна (ат нь функц нэмэгдэж байгаа тул). Харьцуулахад л үлдлээ...

түүнээс хойш, тэр үед, тэр үед. Ингэснээр би болон хоёрын хооронд "хадуур" хийж чадна. Энэ бол тоо юм. Эхний илэрхийлэл нь бага, хоёр дахь нь их байна. Дараа нь хоёр дахь илэрхийлэл нь эхнийхээс их байх ба үндэс нь интервалд хамаарна.

Хариулт: .

Эцэст нь орлуулалт нь нэлээд стандарт бус тэгшитгэлийн өөр жишээг харцгаая.

Юу хийж болох, юуг нь зарчмын хувьд хийж болох талаар шууд эхэлцгээе, гэхдээ үүнийг хийхгүй байх нь дээр. Та гурав, хоёр, зургаагийн хүчээр бүх зүйлийг төсөөлж чадна. Энэ нь юунд хүргэх вэ? Энэ нь юунд ч хүргэхгүй: градусын төөрөгдөл, заримыг нь арилгахад маш хэцүү байх болно. Тэгвэл юу хэрэгтэй вэ? Энэ нь бидэнд юу өгөх вэ? Мөн бид шийдвэрээ багасгаж чадна гэсэн баримт энэ жишээЭнгийн экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэхэд хангалттай! Эхлээд тэгшитгэлээ дараах байдлаар дахин бичье.

Одоо үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваая.

Эврика! Одоо бид сольж болно, бид дараахыг авна.

За, одоо жагсаалын асуудлыг шийдэх ээлж танд ирсэн тул та андуурахгүйн тулд би тэдэнд товч тайлбар өгөх болно. зөв зам! Амжилт хүсье!

1. Хамгийн хэцүү нь! Энд орлуулах хүнийг харахад үнэхээр хэцүү байна! Гэсэн хэдий ч энэ жишээг ашиглан бүрэн шийдэж болно гадагшлуулах бүтэн дөрвөлжин . Үүнийг шийдэхийн тулд дараахь зүйлийг тэмдэглэхэд хангалттай.

Тэгвэл таны орлуулагч энд байна:

(Бид энд орлуулахдаа хаяж болохгүй гэдгийг анхаарна уу сөрөг үндэс!!! Та яагаад бодож байна вэ?)

Одоо жишээг шийдэхийн тулд зөвхөн хоёр тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

Эдгээрийг хоёуланг нь "стандарт солих" замаар шийдэж болно (гэхдээ хоёр дахь нь нэг жишээнд!)

2. Үүнийг анзаарч, солих.

3. Тоог анхны үржүүлэгчид болгон задалж, гарсан илэрхийллийг хялбарчил.

4. Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг (эсвэл хүсвэл) гэж хувааж, орлуулгыг эсвэл хийнэ.

5. Тоонууд ба нийлмэл болохыг анхаар.

ЭКСПОНЕНТАР ТЭГШИГЧИЛГЭЭ. АХИСАН ТҮВШИН

Үүнээс гадна өөр арга замыг харцгаая - логарифмын аргыг ашиглан экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Энэ аргыг ашиглан экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш алдартай гэж би хэлж чадахгүй, гэхдээ зарим тохиолдолд зөвхөн энэ нь биднийг ийм зүйлд хүргэдэг. зөв шийдвэрбидний тэгшитгэл. Энэ нь ялангуяа "гэж нэрлэгддэг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг. холимог тэгшитгэл ": өөрөөр хэлбэл өөр өөр төрлийн функцүүд тохиолддог.

Жишээлбэл, дараах хэлбэрийн тэгшитгэл:

В ерөнхий тохиолдолЗөвхөн хоёр талын логарифмыг (жишээ нь суурь руу) авах замаар л шийдэж болох бөгөөд энэ нь анхны тэгшитгэлийг дараах болгон хувиргах болно.

Дараах жишээг харцгаая.

Энэ нь ойлгомжтой ODZ логарифмфункцууд, бид зөвхөн сонирхдог. Гэсэн хэдий ч, энэ нь зөвхөн логарифмын ODZ-ээс биш, бас нэг шалтгааны улмаас үүсдэг. Аль нь болохыг таахад хэцүү биш байх гэж бодож байна.

Тэгшитгэлийнхээ хоёр талын логарифмыг суурь болгон авч үзье.

Таны харж байгаагаар манай логарифмыг авна анхны тэгшитгэлЭнэ нь биднийг зөв (мөн үзэсгэлэнтэй!) хариулт руу хурдан хүргэсэн. Өөр нэг жишээгээр дадлага хийцгээе:

Энд бас буруу зүйл байхгүй: тэгшитгэлийн хоёр талын логарифмыг суурь болгон авч үзье, тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

Орлуулах зүйл хийцгээе:

Гэсэн хэдий ч бид нэг зүйлийг алдсан! Та намайг хаана алдаа гаргасныг анзаарсан уу? Эцсийн эцэст, дараа нь:

Энэ нь шаардлагыг хангахгүй байна (хаанаас ирснийг бодоорой!)

Хариулт:

Доорх экспоненциал тэгшитгэлийн шийдийг бичиж үзээрэй.

Одоо шийдвэрээ үүнтэй харьцуул:

1. Дараахыг харгалзан хоёр талыг суурийн логарифм болгоё.

(хоёр дахь үндэс нь солигдсон тул бидэнд тохиромжгүй)

2. Суурийн логарифм:

Үүссэн илэрхийлэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлье.