Geometrik şekil fraktal. Kaos ve düzen: fraktal dünya

Belediye bütçesi eğitim kurumu

"Siverskaya ortalaması ortaokul 3 numara"

Araştırma çalışması

matematikte.

işi yaptım

8-1.sınıf öğrencisi

Emelin Pavel

Bilimsel süpervizör

matematik öğretmeni

Tupitsyna Natalya Alekseevna

Siversky köyü

2014

Matematiğin tamamına güzellik ve uyum nüfuz etmiştir,

Bu güzelliği görmeniz yeterli.

B. Mandelbrot

Giriş__________________________________________3-4s.

Bölüm 1. Fraktalların ortaya çıkışının tarihi._______5-6pp.

Bölüm 2. Fraktalların sınıflandırılması ______6-10pp.

Geometrik fraktallar

Cebirsel fraktallar

Stokastik fraktallar

Bölüm 3. "Doğanın fraktal geometrisi"______11-13pp.

Bölüm 4. Fraktalların uygulanması_______________13-15pp.

Bölüm 5 Pratik çalışma_____________________16-24pp.

Sonuç____________________________________25.sayfa

Referansların ve İnternet kaynaklarının listesi_________26 sayfa.

giriiş

Matematik,

eğer doğru bakarsanız,

yalnızca gerçeği yansıtmaz,

ama aynı zamanda eşsiz bir güzellik.

Bertrand Russell

“Fraktal” kelimesi bugünlerde bilim adamlarından lise öğrencilerine kadar pek çok insanın konuştuğu bir kelime. Pek çok matematik kitabının kapağında yer alıyor. bilimsel dergiler ve bilgisayarlı kutular yazılım. Fraktalların renkli görüntüleri bugün her yerde bulunabilir: kartpostallardan tişörtlere, kişisel bilgisayarın masaüstündeki resimlere kadar. Peki etrafımızda gördüğümüz bu renkli şekiller neler?

Matematik – antik bilim. Çoğu insana doğadaki geometrinin bunlarla sınırlı olduğu görülüyordu. basit rakamlarÇizgi, daire, çokgen, küre vb. gibi. Anlaşıldığı üzere, birçok doğal sistemler o kadar karmaşıktır ki, onları modellemek için yalnızca sıradan geometriye sahip tanıdık nesnelerin kullanılması umutsuz görünmektedir. Örneğin, bir dağ silsilesinin veya bir ağaç tepesinin modelini geometri açısından nasıl inşa edebilirsiniz? Bu çeşitliliği nasıl tanımlayabiliriz? biyolojik çeşitlilik bitki ve hayvanların dünyasında gözlemlediğimiz? Birçok kılcal damar ve damardan oluşan ve her hücreye kan dağıtan dolaşım sisteminin karmaşıklığını nasıl hayal edebiliriz? insan vücudu? Dallı taçlı ağaçların yapısını anımsatan akciğerlerin ve böbreklerin yapısını hayal edin?

Fraktallar bu soruları araştırmak için uygun araçlardır. Çoğu zaman doğada gördüklerimiz, aynı modelin birkaç kez artırılıp azaltılarak sonsuz tekrarı ile ilgimizi çeker. Örneğin bir ağacın dalları vardır. Bu dallarda daha küçük dallar vb. vardır. Teorik olarak dallanma elemanı sonsuz sayıda tekrarlanarak küçülür ve küçülür. Fotoğrafa bakıldığında da aynı şey görülüyor. dağlık arazi. Sıradağlara biraz daha yakınlaşmaya çalışın; dağları tekrar göreceksiniz. Fraktalların kendine benzerlik özelliği bu şekilde kendini gösterir.

Fraktalların incelenmesi, hem sonsuz sayıda uygulamanın incelenmesinde hem de matematik alanında harika olasılıkların önünü açıyor. Fraktalların uygulamaları çok kapsamlıdır! Sonuçta, bu nesneler o kadar güzel ki tasarımcılar, sanatçılar tarafından kullanılıyor, onların yardımıyla grafiklerde birçok unsur çiziliyor: ağaçlar, bulutlar, dağlar vb. Ancak fraktallar birçok cep telefonunda anten olarak bile kullanılıyor.

Birçok kaolog (fraktallar ve kaos üzerine çalışan bilim insanları) için bu kolay değil yeni alan Matematik, teorik fizik, sanat ve bilgisayar teknolojisini birleştiren bilgi bir devrimdir. Bu, etrafımızdaki dünyayı tanımlayan ve sadece ders kitaplarında değil, doğada ve sınırsız evrenin her yerinde görülebilen yeni bir geometri türünün keşfidir..

Çalışmamda ben de güzellik dünyasına “dokunmaya” karar verdim ve kendim için kararlıyım...

İşin amacı: Görüntüleri doğal olanlara çok benzeyen nesneler yaratmak.

Araştırma yöntemleri: karşılaştırmalı analiz, sentez, modelleme.

Görevler:

B. Mandelbrot'un kavramı, kökeni tarihi ve araştırması ile tanışma,

G. Koch, V. Sierpinsky ve diğerleri;

çeşitli fraktal küme türlerine aşinalık;

Bu konuyla ilgili popüler bilimsel literatürü incelemek, bilgi sahibi olmak

bilimsel hipotezler;

çevredeki dünyanın fraktallık teorisinin onayını bulmak;

fraktalların diğer bilimlerde ve pratikte kullanımının incelenmesi;

kendi fraktal görüntülerinizi oluşturmak için bir deney yapmak.

Temel Soruçalışır:

Matematiğin kuru, ruhsuz bir konu olmadığını göstermek için, hem bireysel hem de toplumsal olarak insanın manevi dünyasını ifade edebilmektedir.

Araştırma konusu: Fraktal geometri.

Çalışmanın amacı: matematikte ve gerçek dünyada fraktallar.

Hipotez: Gerçek dünyada var olan her şey bir fraktaldır.

Araştırma yöntemleri: analitik, arama.

Alaka düzeyi Belirtilen konu öncelikle araştırma konusu olan fraktal geometri tarafından belirlenmektedir.

Beklenen sonuçlar:Çalışma sırasında matematik alanındaki bilgimi genişletebileceğim, fraktal geometrinin güzelliğini görebileceğim ve kendi fraktallarımı yaratmaya başlayabileceğim.

Çalışmanın sonucu yaratılış olacak bilgisayar sunumu, bülten ve kitapçık.

Bölüm 1. Tarih

B ne zaman Mandelbrot

Fraktal kavramı Benoit Mandelbrot tarafından icat edildi. Kelime Latince "kırılmış, kırılmış" anlamına gelen "fractus" kelimesinden gelmektedir.

Fraktal (enlem. fractus - ezilmiş, kırılmış, kırılmış), kendine benzerlik özelliğine sahip, yani her biri şeklin tamamına benzeyen birkaç parçadan oluşan karmaşık bir geometrik şekil anlamına gelen bir terimdir.

Bahsettiği matematiksel nesneler son derece ilginç özelliklerle karakterize edilir. Sıradan geometride bir çizginin bir boyutu, bir yüzeyin iki boyutu ve uzaysal bir şeklin üç boyutu vardır. Fraktallar çizgiler ya da yüzeyler değil, eğer hayal edebiliyorsanız aradaki bir şeydir. Boyut arttıkça fraktalın hacmi de artar, ancak boyutu (üs) tam bir değer değil, kesirli bir değerdir ve bu nedenle fraktal şeklin sınırı bir çizgi değildir: yüksek büyütmede şunu açıkça ortaya çıkar: bulanıktır ve şeklin düşük büyütme ölçeğinde tekrarlanan spiraller ve buklelerden oluşur. Bu geometrik düzenliliğe ölçek değişmezliği veya kendine benzerlik denir. Fraktal rakamların kesirli boyutunu belirleyen şey budur.

Fraktal geometrinin ortaya çıkmasından önce bilim, üç uzamsal boyuttaki sistemlerle ilgileniyordu. Einstein sayesinde üç boyutlu uzayın gerçekliğin kendisi değil, yalnızca gerçekliğin bir modeli olduğu ortaya çıktı. Aslında dünyamız dört boyutlu bir uzay-zaman sürekliliğinde yer almaktadır.
Mandelbrot sayesinde, dört boyutlu uzayın mecazi anlamda Kaos'un fraktal yüzünün neye benzediği netleşti. Benoit Mandelbrot, dördüncü boyutun yalnızca ilk üç boyutu değil, aynı zamanda (bu çok önemli!) aralarındaki aralıkları da içerdiğini keşfetti.

Özyinelemeli (veya fraktal) geometri, Öklid geometrisinin yerini alıyor. Yeni bilim tanımlayabilir gerçek doğa bedenler ve fenomenler. Öklid geometrisi yalnızca üç boyuta ait yapay, hayali nesnelerle ilgileniyordu. Yalnızca dördüncü boyut bunları gerçeğe dönüştürebilir.

Sıvı, gaz, sağlam- üç tanıdık fiziksel durumüç boyutlu dünyada var olan madde. Peki türbülanslı hava hareketi tarafından sürekli olarak aşındırılan bir duman bulutunun, bir bulutun, daha doğrusu sınırlarının boyutu nedir?

Temel olarak fraktallar üç gruba ayrılır:

Cebirsel fraktallar

Stokastik fraktallar

Geometrik fraktallar

Her birine daha yakından bakalım.

Bölüm 2. Fraktalların sınıflandırılması

Geometrik fraktallar

Benoit Mandelbrot, halihazırda klasik hale gelen ve sıklıkla hem tipik bir fraktal örneğini göstermek hem de araştırmacıları, sanatçıları ve sadece ilgilenen insanları da cezbeden fraktalların güzelliğini göstermek için kullanılan bir fraktal modeli önerdi.

Fraktalların tarihi burada başladı. Bu tür fraktal basit geometrik yapılarla elde edilir. Genellikle, bu fraktalları oluştururken şunu yaparlar: Fraktalın inşa edileceği temel alınarak bir "tohum" - bir aksiyom - bir dizi bölüm alırlar. Daha sonra bu “tohum”a, onu bir tür geometrik şekle dönüştüren bir dizi kural uygulanır. Daha sonra bu şeklin her bir parçasına aynı kurallar dizisi tekrar uygulanır. Her adımda şekil daha da karmaşık hale gelecektir ve eğer bunu gerçekleştirirsek (en azından zihnimizde) sonsuz sayı dönüşümler - geometrik bir fraktal elde ederiz.

Bu sınıfın fraktalları en görsel olanlardır çünkü kendi benzerlikleri herhangi bir gözlem ölçeğinde anında görülebilir. İki boyutlu durumda, bu tür fraktallar, jeneratör adı verilen bazı kesikli çizgilerin belirtilmesiyle elde edilebilir. Algoritmanın bir adımında sürekli çizgiyi oluşturan bölümlerin her biri, uygun ölçekte bir jeneratör sürekli çizgisiyle değiştirilir. Bu prosedürün sonsuz tekrarı sonucunda (veya daha doğrusu sınıra giderken) bir fraktal eğri elde edilir. Ortaya çıkan eğrinin görünürdeki karmaşıklığına rağmen, genel görünümü yalnızca jeneratörün şekliyle belirlenir. Bu tür eğrilerin örnekleri şunlardır: Koch eğrisi (Şekil 7), Peano eğrisi (Şekil 8), Minkowski eğrisi.

Yirminci yüzyılın başında matematikçiler hiçbir noktada teğeti olmayan eğriler arıyorlardı. Bu, eğrinin aniden yönünü değiştirdiği ve dahası devasa bir eğimle değiştiği anlamına geliyordu. yüksek hız(türev sonsuza eşittir). Bu eğrilerin araştırılması sadece matematikçilerin boş ilgisinden kaynaklanmıyordu. Gerçek şu ki, yirminci yüzyılın başında çok hızlı bir gelişme yaşandı. kuantum mekaniği. Araştırmacı M. Brown, sudaki asılı parçacıkların yörüngesini çizdi ve bu olguyu şu şekilde açıkladı: Rastgele hareket eden sıvı atomları, asılı parçacıklara çarparak onları harekete geçirdi. Bu açıklamanın ardından Brown hareketi Bilim insanları bunu sağlayacak bir eğri bulma göreviyle karşı karşıyaydı. mümkün olan en iyi şekilde Brown parçacıklarının hareketini gösterdi. Bunu yapmak için eğrinin şu özellikleri karşılaması gerekiyordu: hiçbir noktada teğetinin olmaması. Matematikçi Koch böyle bir eğri önerdi.

İLE Koch eğrisi tipik bir geometrik fraktaldır. Yapım süreci aşağıdaki gibidir: almak birim segmentiüç eşit parçaya bölün ve yerine koyun ortalama aralık bu segmenti olmayan bir eşkenar üçgen. Sonuç olarak, 1/3 uzunluğunda dört bağlantıdan oluşan kesikli bir çizgi oluşur. Bir sonraki adımda, elde edilen dört bağlantının her biri için işlemi tekrarlıyoruz, vb.

Limit eğrisi Koch eğrisi.

Kar tanesi Koch. Eşkenar üçgenin kenarlarında da benzer bir dönüşüm gerçekleştirerek Koch kar tanesinin fraktal görüntüsünü elde edebilirsiniz.

T
Geometrik fraktalın bir başka basit temsilcisi Sierpinski meydanı. Oldukça basit bir şekilde inşa edilmiştir: Kare, kenarlarına paralel düz çizgilerle 9 eşit kareye bölünmüştür. Merkez meydan meydandan kaldırılıyor. Sonuç, kalan 8 "birinci derece" kareden oluşan bir settir. Birinci sıradaki karelerin her biri için aynısını yaparak ikinci sıradaki 64 kareden oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi süresiz olarak sürdürerek sonsuz bir dizi veya Sierpinski karesi elde ederiz.

Cebirsel fraktallar

Bu en çok büyük grup fraktallar. Cebirsel fraktallar basit yöntemlerle oluşturuldukları için isimlerini alırlar. cebirsel formüller.

Doğrusal olmayan süreçler kullanılarak elde edilirler. N boyutlu uzaylar. Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin birçok kararlı duruma sahip olduğu bilinmektedir. Belirli sayıda yinelemeden sonra dinamik sistemin kendini bulduğu durum, başlangıç ​​durumuna bağlıdır. Bu nedenle, her kararlı durum (veya dedikleri gibi çekici), sistemin mutlaka söz konusu son durumlara düşeceği belirli bir başlangıç ​​durumları bölgesine sahiptir. Böylece, faz uzayı sistem ikiye bölünmüştür cazibe alanlarıçekiciler. Faz uzayı iki boyutlu ise çekim alanları farklı renklerle renklendirilerek elde edilebilir. renkli faz portre bu sistem (yinelemeli süreç). Renk seçim algoritmasını değiştirerek tuhaf çok renkli desenlere sahip karmaşık fraktal desenler elde edebilirsiniz. Matematikçiler için sürpriz olan şey, ilkel algoritmalar kullanarak çok karmaşık yapılar üretebilme yeteneğiydi.

Örnek olarak Mandelbrot kümesini ele alalım. Bunu karmaşık sayıları kullanarak inşa ediyorlar.

Mandelbrot kümesinin sınırının 200 kez büyütülmüş bir bölümü.

Mandelbrot kümesi şu noktaları içerir:sonsuz yinelemelerin sayısı sonsuza gitmez (siyah noktalar). Kümenin sınırına ait noktalar(karmaşık yapıların ortaya çıktığı yer burasıdır) sınırlı sayıda yinelemede sonsuza gider ve kümenin dışında kalan noktalar birkaç yinelemeden sonra (beyaz arka plan) sonsuza gider.

P



Başka bir cebirsel fraktalın örneği Julia kümesidir. Bu fraktalın 2 çeşidi vardır.Şaşırtıcı bir şekilde Julia kümeleri Mandelbrot kümesiyle aynı formüle göre oluşturulmuştur. Julia kümesi, Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından icat edildi ve kümeye adı verildi.

VE
ilginç gerçek Bazı cebirsel fraktallar, hayvanların, bitkilerin ve diğer biyolojik nesnelerin görüntülerine çarpıcı bir şekilde benzemektedir ve bunun sonucunda bunlara biyomorf adı verilmektedir.

Stokastik fraktallar

Fraktalların iyi bilinen bir başka sınıfı da stokastik fraktallardır; bunlar, bazı parametrelerinin yinelemeli bir süreçte rastgele değiştirilmesi durumunda elde edilir. Bu durumda, ortaya çıkan nesneler doğal olanlara çok benzer - asimetrik ağaçlar, engebeli kıyı şeritleri vb.

Bu fraktal grubunun tipik bir temsilcisi “plazma”dır.

D
Bunu oluşturmak için bir dikdörtgen alın ve her köşesine bir renk atayın. Daha sonra dikdörtgenin merkez noktası bulunur ve dikdörtgenin köşelerindeki renklerin aritmetik ortalaması artı bir miktar rastgele sayıya eşit bir renkle boyanır. Rastgele sayı ne kadar büyük olursa çizim o kadar "düzensiz" olacaktır. Noktanın renginin deniz seviyesinden yüksekliği olduğunu varsayarsak plazma yerine dağ sırası elde ederiz. Çoğu programda dağlar bu prensibe göre modellenmiştir. Plazmaya benzer bir algoritma kullanılarak bir yükseklik haritası oluşturulur, ona çeşitli filtreler uygulanır, bir doku uygulanır ve fotogerçekçi dağlar hazır olur

e
Bu fraktale kesit olarak bakarsak, bu fraktalın hacimsel olduğunu ve bir "pürüzlülüğe" sahip olduğunu görürüz, tam da bu "pürüzlülük" nedeniyle bu fraktalın çok önemli bir uygulaması vardır.

Diyelim ki bir dağın şeklini tanımlamanız gerekiyor. Öklid geometrisinden alınan sıradan rakamlar burada yardımcı olmayacaktır çünkü yüzey topoğrafyasını hesaba katmazlar. Ancak geleneksel geometriyi fraktal geometriyle birleştirdiğinizde bir dağın "pürüzlülüğünü" elde edebilirsiniz. Plazmayı normal bir koniye uygulamamız gerekiyor ve bir dağın rahatlamasını elde edeceğiz. Bu tür işlemler doğadaki birçok başka nesneyle de yapılabiliyor; stokastik fraktallar sayesinde doğanın kendisi de tanımlanabiliyor.

Şimdi geometrik fraktallardan bahsedelim.

.

Bölüm 3 "Doğanın fraktal geometrisi"

" Geometri neden sıklıkla "soğuk" ve "kuru" olarak adlandırılır? Bunun bir nedeni, bir bulutun, dağın, kıyı şeridinin veya ağacın şeklini tanımlayamamasıdır. Bulutlar küre değildir, dağlar koni değildir, kıyı şeritleri daire değildir, ağaç kabuğu değildir Daha genel olarak, Doğadaki birçok nesnenin o kadar düzensiz ve parçalı olduğunu, yani Öklid'le (bu çalışmada tüm standart geometri anlamına gelen bir terim) karşılaştırıldığında Doğanın yalnızca daha karmaşık olmadığını savunuyorum. , ancak tamamen farklı bir düzeyde karmaşıklık. Doğal nesnelerin farklı uzunluk ölçeklerinin sayısı, tüm pratik amaçlar açısından sonsuzdur."

(Benoit Mandelbrot "Doğanın fraktal geometrisi" ).

İLE Fraktalların güzelliği iki yönlüdür: dünyayı dolaşan fraktal görüntülerin sergilenmesiyle kanıtlandığı gibi, göze hoş gelir. bir grup tarafından organize edilen Peitgen ve Richter önderliğinde Bremenli matematikçiler. Daha sonra bu görkemli serginin sergileri, aynı yazarların "Fraktalların Güzelliği" adlı kitabının illüstrasyonlarında ele alındı. Ancak fraktalların güzelliğinin, R. Feynman'a göre yalnızca bir teorisyenin zihinsel bakışına açık olan daha soyut veya yüce bir yönü daha vardır, bu anlamda fraktallar zor bir güzelliğe sahiptir; matematik problemi. Benoit Mandelbrot, çağdaşlarına (ve muhtemelen onun soyundan gelenlere) Öklid'in Elementleri'ndeki sinir bozucu bir boşluğa dikkat çekti; bu boşluk sayesinde, neredeyse iki bin yıllık insanoğlu, ihmali fark etmeden, kendisini çevreleyen dünyanın geometrisini anladı ve sunumun matematiksel kesinliğini öğrendi. Elbette, fraktalların güzelliğinin her iki yönü de birbiriyle yakından ilişkilidir ve her biri kendi kendine yeterli olmasına rağmen birbirini dışlamaz, tamamlar.

Mandelbrot'a göre doğanın fraktal geometrisi, F. Klein'ın Erlangen Programında önerdiği geometri tanımını karşılayan gerçek bir geometridir. Gerçek şu ki, Öklid dışı geometrinin ortaya çıkmasından önce N.I. Lobaçevski - L. Bolyai, yalnızca bir geometri vardı - "İlkeler" de belirtilen geometri ve geometrinin ne olduğu ve geometrilerden hangisinin gerçek dünyanın geometrisi olduğu sorusu ortaya çıkmadı ve çıkamadı. kalkmak. Ancak başka bir geometrinin ortaya çıkışıyla birlikte genel olarak geometrinin ne olduğu ve birçok geometriden hangisinin gerçek dünyaya karşılık geldiği sorusu ortaya çıktı. F. Klein'a göre geometri, dönüşümler altında değişmez olan nesnelerin bu tür özelliklerinin incelenmesiyle ilgilidir: Öklid - hareket grubunun değişmezleri (herhangi bir iki nokta arasındaki mesafeyi değiştirmeyen, yani bir süperpozisyon temsil eden dönüşümler) paralel transferler ve yönelimde değişiklik olan veya olmayan rotasyonlar), Lobachevsky-Bolyai geometrisi - Lorentz grubunun değişmezleri. Fraktal geometri, kendine afin dönüşümler grubunun değişmezlerinin incelenmesiyle ilgilenir; Güç yasalarıyla ifade edilen özellikler.

Gerçek dünyaya uygunluğuna gelince, fraktal geometri çok geniş bir doğal süreç ve fenomen sınıfını tanımlar ve bu nedenle B. Mandelbrot'u takip ederek doğanın fraktal geometrisinden haklı olarak bahsedebiliriz. Yeni - fraktal nesnelerin olağandışı özellikleri var. Bazı fraktalların uzunlukları, alanları ve hacimleri sıfır olurken bazılarınınki ise sonsuza döner.

Doğa çoğu zaman ideal geometri ve öyle bir uyumla şaşırtıcı ve güzel fraktallar yaratır ki hayranlıkla donup kalırsınız. Ve işte onların örnekleri:

Deniz kabukları

Yıldırım güzelliklerine hayran kalırlar. Yıldırımın yarattığı fraktallar rastgele veya düzenli değildir

Fraktal şekil karnabaharın alt türleri(Brassica cauliflora). Bu özel türözellikle simetrik bir fraktaldır.

P eğrelti otu aynı zamanda iyi örnek flora arasında fraktal.

Tavus kuşları Herkes katı fraktalların saklandığı rengarenk tüyleriyle tanınır.

Buz, ayaz desenler pencerelerde bunlar da fraktallardır

HAKKINDA
t büyütülmüş resim yaprak, kadar ağaç dalları- her şeyde fraktallar bulabilirsiniz

Fraktallar çevremizdeki doğanın her yerinde ve her yerindedir. Tüm Evren, matematiksel hassasiyetle inanılmaz derecede uyumlu yasalara göre inşa edilmiştir. Bundan sonra gezegenimizin rastgele bir parçacık dizilimi olduğunu düşünmek mümkün mü? Zorlu.

Bölüm 4. Fraktalların uygulanması

Fraktallar giderek daha fazlasını buluyor daha fazla uygulama bilimde. Bunun temel nedeni, açıklamalarıdır. gerçek dünya bazen geleneksel fizik veya matematikten bile daha iyidir. İşte bazı örnekler:

HAKKINDA
Fraktalların en güçlü uygulamalarının olduğu günler bilgisayar grafikleri . Bu fraktal görüntü sıkıştırmadır. Modern fizik ve mekanik, fraktal nesnelerin davranışını incelemeye yeni başlıyor.

Fraktal görüntü sıkıştırma algoritmalarının avantajları, paketlenmiş dosyanın çok küçük boyutu ve kısa görüntü kurtarma süresidir. Fraktal paketlenmiş görüntüler, pikselleşme (düşük görüntü kalitesi - büyük kareler) ortaya çıkmadan ölçeklenebilir. Ancak sıkıştırma işlemi uzun zaman alır ve bazen saatlerce sürer. Fraktal kayıplı paketleme algoritması, jpeg formatına benzer şekilde sıkıştırma düzeyini ayarlamanıza olanak tanır. Algoritma, bir görüntünün bazı küçük parçalara benzeyen büyük parçalarını aramaya dayanmaktadır. Ve çıktı dosyasına yalnızca hangi parçanın benzer olduğu yazılır. Sıkıştırırken genellikle kare bir ızgara kullanılır (parçalar karedir), bu da görüntüyü geri yüklerken hafif bir açısallığa yol açar; altıgen bir ızgaranın bu dezavantajı yoktur.

Iterated, fraktal ve "dalga" (jpeg gibi) kayıpsız sıkıştırmayı birleştiren yeni bir görüntü formatı olan "Sting" geliştirdi. Yeni format, daha sonra yüksek kaliteli ölçeklendirme olanağı sunan görüntüler oluşturmanıza olanak tanır ve grafik dosyalarının hacmi, sıkıştırılmamış görüntülerin hacminin% 15-20'sidir.

Mekanik ve fizikte Fraktallar, birçok doğal nesnenin ana hatlarını tekrarlayan benzersiz özelliklerinden dolayı kullanılır. Fraktallar, segment veya çokgen kümelerini (aynı miktarda depolanan veriyle) kullanan yaklaşımlardan daha yüksek doğrulukla ağaçlara, dağ yüzeylerine ve çatlaklara yaklaşık olarak yaklaşmanıza olanak tanır. Fraktal modellerin de doğal nesneler gibi bir “pürüzlülüğü” vardır ve modelin büyütülmesi ne kadar büyük olursa olsun bu özellik korunur. Fraktallar üzerinde tekdüze bir ölçümün varlığı, entegrasyonun, potansiyel teorinin uygulanmasına ve önceden çalışılmış denklemlerde standart nesneler yerine bunların kullanılmasına olanak tanır.

T
Fraktal geometri ayrıca şu amaçlarla da kullanılır: anten cihazları tasarlama. Bu ilk olarak, daha sonra binalara harici anten kurulumunun yasak olduğu Boston'un merkezinde yaşayan Amerikalı mühendis Nathan Cohen tarafından kullanıldı. Cohen, alüminyum folyodan bir Koch eğrisi şekli kesip bunu bir kağıt parçasına yapıştırdı ve ardından alıcıya yapıştırdı. Böyle bir antenin normalden daha kötü çalışmadığı ortaya çıktı. Ve buna rağmen fiziksel prensipler Bu tür antenler henüz incelenmedi; bu, Cohen'in kendi şirketini kurmasını ve seri üretimine başlamasını engellemedi. Şu anda Amerikan şirketi “Fractal Antenna System” yeni bir anten türü geliştirdi. Artık cep telefonlarında çıkıntılı harici antenleri kullanmayı bırakabilirsiniz. Fraktal anten olarak adlandırılan anten, doğrudan cihazın içindeki ana kartta bulunur.

Fraktalların kullanımıyla ilgili birçok hipotez de vardır - örneğin lenfatik ve dolaşım sistemleri, akciğerler ve çok daha fazlası da fraktal özelliklere sahiptir.

Bölüm 5. Pratik çalışma.

Öncelikle “Kolye”, “Zafer” ve “Kare” fraktallarına bakalım.

Birinci - "Kolye"(Şekil 7). Bu fraktalın başlatıcısı bir dairedir. Bu daire belirli sayıda aynı daireden oluşur, ancak daha küçük boyutlardadır ve kendisi de aynı, ancak daha büyük boyutlardaki birkaç daireden biridir. Yani eğitim süreci sonsuzdur ve hem tek hem de tek seferde gerçekleştirilebilir. ters taraf. Onlar. şekil sadece bir küçük yay alınarak büyütülebilir veya daha küçük olanlardan yapısı dikkate alınarak küçültülebilir.

pirinç. 7.

Fraktal “Kolye”

İkinci fraktal ise "Zafer"(Şekil 8). Latince “V” harfine, yani “zafer”e benzediği için bu ismi almıştır. Bu fraktal, büyük bir "V" oluşturan belirli sayıda küçük "vs"den ve sol yarıda küçüklerin, sol yarıları tek bir düz çizgi oluşturacak şekilde yerleştirildiği sol yarıdan oluşur. sağ taraf aynı şekilde inşa edilmiştir. Bu “v”lerin her biri aynı şekilde inşa edilmiş ve bu sonsuza kadar devam etmektedir.

Şekil 8. Fraktal "Zafer"

Üçüncü fraktal ise "Kare" (Şek. 9). Kenarlarının her biri, kare şeklinde bir sıra hücreden oluşur; bu hücrelerin kenarları da hücre sıralarını vb. temsil eder.

Şekil 9. Fraktal “Kare”

Fraktal, bu çiçeğe dışsal benzerliğinden dolayı “Gül” (Şekil 10) olarak adlandırılmıştır. Bir fraktalın inşası, yarıçapı belirli bir orana göre değişen bir dizi eşmerkezli dairenin inşasını içerir ( bu durumda Rm / Rb = ¾ = 0,75.). Bundan sonra, her daireye, kenarı etrafında açıklanan dairenin yarıçapına eşit olan normal bir altıgen yazılır.

Pirinç. 11. Fraktal “Gül *”

Sonra köşegenlerini çizdiğimiz normal bir beşgene dönelim. Daha sonra ortaya çıkan beşgende karşılık gelen bölümlerin kesişiminde yine köşegenler çiziyoruz. Devam edelim bu süreç sonsuza kadar gider ve “Pentagram” fraktalını elde ederiz (Şekil 12).

Bir yaratıcılık unsuru ekleyelim ve fraktalımız daha görsel bir nesne biçimini alacaktır (Şekil 13).

R
öyle. 12. Fraktal “Pentagram”.

Pirinç. 13. Fraktal “Pentagram *”

Pirinç. 14 fraktal “Kara delik”

Deney No. 1 “Ağaç”

Artık fraktalın ne olduğunu ve nasıl oluşturulacağını anladığım için kendi fraktal görüntülerimi oluşturmaya çalıştım. Adobe Photoshop'ta küçük bir alt program veya eylem oluşturdum, bu eylemin özelliği benim yaptığım eylemleri tekrarlamasıdır ve bu şekilde bir fraktal elde ederim.

Başlangıç ​​olarak, gelecekteki fraktalımız için 600'e 600 çözünürlükte bir arka plan oluşturdum. Daha sonra bu arka plan üzerine gelecekteki fraktalımızın temeli olan 3 çizgi çizdim.

İLE Bir sonraki adım senaryoyu yazmaktır.

katmanı çoğaltın ( katman > kopyala) ve karıştırma türünü " olarak değiştirin Ekran" .

Onu arayalım" fr1". Bu katmanı kopyalayın (" fr1") 2 kez daha.

Şimdi son katmana geçmemiz gerekiyor (fr3) ve öncekiyle iki kez birleştirin ( Ctrl+E). Katman parlaklığını azaltın ( Görüntü > Ayarlamalar > Parlaklık/Kontrast , parlaklık ayarı 50% ). Tekrar önceki katmanla birleştirin ve görünmez parçaları kaldırmak için tüm çizimin kenarlarını kesin.

Son adım, bu görüntüyü kopyalayıp daha küçük ve döndürülmüş olarak yapıştırmaktı. İşte bu oldu nihai sonuç.

Çözüm

Bu çalışma fraktalların dünyasına bir giriş niteliğindedir. Fraktalların ne olduğu ve hangi ilkelere göre oluşturulduklarının yalnızca en küçük kısmını ele aldık.

Fraktal grafikler yalnızca kendini tekrarlayan bir dizi görüntü değil, mevcut herhangi bir şeyin yapısının ve ilkesinin bir modelidir. Tüm hayatımız fraktallarla temsil edilir. Çevremizdeki tüm doğa onlardan oluşuyor. Arazi kabartmalarının genellikle karmaşık kümelerin üç boyutlu modellerine dayanan fraktal görüntüler olduğu bilgisayar oyunlarında fraktalların yaygın kullanımını not etmemek imkansızdır. Fraktallar, fraktalların yardımıyla bilgisayar grafiklerinin çizilmesini büyük ölçüde kolaylaştırır, birçok özel efekt, çeşitli muhteşem ve inanılmaz resimler vb. Ayrıca ağaçlar, bulutlar, kıyılar ve diğer tüm doğa fraktal geometri kullanılarak çizilmektedir. Fraktal grafiklere her yerde ihtiyaç duyulmaktadır ve “fraktal teknolojilerin” geliştirilmesi günümüzün önemli görevlerinden biridir.

Gelecekte karmaşık sayıları daha detaylı inceledikten sonra cebirsel fraktalların nasıl oluşturulacağını öğrenmeyi planlıyorum. Ayrıca döngüleri kullanarak Pascal programlama dilinde kendi fraktal görüntülerimi oluşturmaya çalışmak istiyorum.

Fraktalların kullanımına dikkat edilmelidir. bilgisayar teknolojileri, bilgisayar ekranında güzel görüntüler oluşturmanın ötesinde. Bilgisayar teknolojisinde fraktallar aşağıdaki alanlarda kullanılmaktadır:

1. Görüntüleri ve bilgileri sıkıştırmak

2. Görüntüdeki, sesteki bilgileri gizlemek…

3. Fraktal algoritmalar kullanarak veri şifreleme

4. Fraktal müzik yapmak

5. Sistem modelleme

Çalışmamızın tüm alanları kapsanmamaktadır. insan bilgisi Fraktal teorisinin uygulamasını bulduğu yer. Sadece teorinin ortaya çıkışından bu yana üçte birinden fazla bir zaman geçmediğini söylemek istiyoruz, ancak bu süre zarfında birçok araştırmacı için fraktallar gecenin karanlığında ani parlak bir ışık haline geldi ve belirli veri alanlarındaki şimdiye kadar bilinmeyen gerçekleri ve modelleri aydınlattı. . Fraktal teorisinin yardımıyla galaksilerin evrimini ve hücrelerin gelişimini, dağların ortaya çıkışını ve bulutların oluşumunu, borsadaki fiyatların hareketini, toplum ve ailenin gelişimini açıklamaya başladılar. Belki de ilk başta fraktallara olan tutku çok yoğundu ve her şeyi fraktal teorisini kullanarak açıklama çabaları yersizdi. Ancak hiç şüphesiz bu teorinin var olma hakkı vardır ve bundan üzüntü duyuyoruz. son zamanlarda bir şekilde unutuldu ve seçilmiş azınlığın elinde kaldı. Bu çalışmayı hazırlarken TEORİ'nin PRATİK'teki uygulamalarını bulmak bizim için çok ilginçti. Çünkü çoğu zaman öyle bir his var ki teorik bilgi hayatın gerçeklerinden uzak durun.

Böylece fraktal kavramı yalnızca “saf” bilimin bir parçası olmakla kalmıyor, aynı zamanda evrensel insan kültürünün bir unsuru haline geliyor. Fraktal bilimi hala çok genç ve önünde büyük bir gelecek var. Fraktalların güzelliği tükenmekten çok uzak ve bize hala birçok başyapıt verecek - hem göze hoş gelen hem de zihne gerçek zevk verenler.

10. Referanslar

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktallar ve multifraktallar. Sağdan direksiyonlu 2001 .

Vitolin D. Fraktalların uygulanması makine grafikleri. // Computerworld-Rusya.-1995

Mandelbrot B. Kendine afin fraktal kümeler, “Fizikte Fraktallar.” M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Doğanın fraktal geometrisi. - M .: "Bilgisayar Araştırma Enstitüsü", 2002.

Morozov M.S. Fraktal teorisine giriş. N. Novgorod: Nizhny Novgorod yayınevi. Üniversite 1999

Peitgen H.-O., Richter P.H. Fraktalların güzelliği. - M .: “Mir”, 1993.

İnternet kaynakları

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Bu fraktali, bir nehrin yüzeyindeki dalgaların girişimine bakarken keşfettim. Dalga kıyıya doğru hareket eder, yansır ve kendi üzerine bindirilir. Dalgaların yarattığı desenlerde düzen var mı? Onu bulmaya çalışalım. Dalganın tamamını değil, yalnızca hareketinin vektörünü ele alalım. Deneyi basitleştirmek için "kıyıları" pürüzsüz hale getirelim.

Deney, okul not defterindeki normal bir kağıt parçası üzerinde gerçekleştirilebilir.

Veya algoritmanın JavaScript uygulamasını kullanarak.

Kenarları q ve p olan bir dikdörtgen alın. Bir köşeden köşeye bir ışın (vektör) gönderelim. Işın dikdörtgenin bir tarafına hareket eder, yansıtılır ve bir sonraki tarafa doğru hareket etmeye devam eder. Bu, ışın kalan köşelerden birine çarpana kadar devam eder. Eğer q ve p kenar boyutları eş asal sayılar ise, o zaman bir model elde edilir (daha sonra göreceğimiz gibi bir fraktal).

Resimde bu algoritmanın nasıl çalıştığını açıkça görebiliyoruz.

Gif animasyonu:

En şaşırtıcı şey, dikdörtgenin farklı kenarlarıyla farklı desenler elde etmemizdir.

Neden bu kalıplara fraktallar diyorum? Bildiğiniz gibi “fraktal” kendine benzerlik özelliği taşıyan geometrik bir şekildir. Resmin bir kısmı resmin tamamını tekrarlıyor. Q ve P kenarlarının boyutlarını önemli ölçüde artırırsanız, bu desenlerin kendine benzerlik özelliklerine sahip olduğu açıktır.

Bunu artırmaya çalışalım. Bunu kurnazca artıracağız. Örnek olarak 17x29 modelini ele alalım. Aşağıdaki desenler şöyle olacaktır: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Bir taraf: F(n);
İkinci taraf: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Fibonacci sayıları gibi, dizinin yalnızca birinci ve ikinci üyeleri farklı: F(0)=17, F(1)=29.

Büyük taraf eşitse sonuç aşağıdaki modeldir:

Kısa kenar çift ise:

Her iki taraf da tek ise simetrik bir model elde ederiz:

Işının nasıl başladığına bağlı olarak:

veya

Bu dikdörtgenlerde neler olduğunu açıklamaya çalışacağım.

Kareyi dikdörtgenden ayıralım ve kenarda ne olacağını görelim.

Işın girdiği noktadan aynı yerden çıkar.

Aynı zamanda ışının içinden geçtiği karelerin sayısı da her zaman çift sayıdır.

Bu nedenle, bir dikdörtgenden bir kareyi keserseniz, fraktalın değişmeyen bir kısmı kalacaktır.

Kareleri fraktaldan olabildiğince çok ayırırsanız fraktalın "başlangıcına" ulaşabilirsiniz.

Fibonacci spiraline benziyor mu?

Fraktallar Fibonacci sayılarından da elde edilebilir.

Matematikte Fibonacci sayıları (Fibonacci serisi, Fibonacci dizisi) şu sayılardır:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Tanım gereği, Fibonacci dizisindeki ilk iki rakam 0 ve 1'dir ve sonraki her sayı, önceki iki sayının toplamına eşittir.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Hadi gidelim:

Görüldüğü gibi en-boy oranı altın orana yaklaştıkça fraktalın detayı da artıyor.

Bu durumda fraktal, fraktalın bir kısmını tekrarlayarak artar.

Fibonacci sayıları yerine irrasyonel kenar boyutlarını kullanabilirsiniz:

Aynı fraktalı elde ediyoruz.

Işını farklı bir açıyla çekerseniz aynı fraktallar bir karede elde edilebilir:

Sonuç olarak ne söyleyebilirsiniz?
Kaos aynı zamanda düzendir. Kendi kanunlarıyla. Bu düzen henüz incelenmemiştir, ancak çalışmaya oldukça uygundur. Ve bilimin tüm arzusu bu kalıpları keşfetmektir. Ve sonuçta büyük resmi görmek için yapbozun parçalarını birleştirin.
Nehrin yüzeyine bakalım. Ona taş atarsan dalgalar gelir. Çalışmaya oldukça uygun çevreler. Hız, periyot, dalga boyu – bunların hepsi hesaplanabilir. Ancak dalga kıyıya ulaşana kadar yansımaz ve kendi üzerine binmeye başlar. Zaten incelenmesi zor olan kaos (müdahale) elde ediyoruz.
Peki ya ters yönden hareket edersek? Dalganın davranışını mümkün olduğu kadar basitleştirin. Basitleştirin, bir model bulun ve ardından onu tanımlamaya çalışın tam resim neler oluyor?
Neler basitleştirilebilir? Açıkçası, yansıtıcı yüzeyi bükülmeden düz yapın. Daha sonra dalganın kendisi yerine yalnızca dalga hareket vektörünü kullanın. Prensip olarak bu, basit bir algoritma oluşturmak ve süreci bilgisayarda simüle etmek için yeterlidir. Ve sıradan bir kareli kağıt parçası üzerinde dalga davranışının bir "modelini" oluşturmak bile oldukça yeterlidir.
Sonuç olarak elimizde ne var? Sonuç olarak şunu görüyoruz. dalga süreçleri(nehrin yüzeyindeki aynı dalgalanmalar) elimizde kaos değil, üst üste binmiş fraktallar (kendine benzer yapılar) var.

Başka bir dalga türünü ele alalım. Bilindiği üzere elektromanyetik dalgaüç vektörden oluşur: dalga vektörü ve elektrik ve gerilim vektörü manyetik alan. Görebildiğimiz gibi, eğer böyle bir dalgayı "yakalarsanız" kapalı alan– bu vektörlerin kesiştiği yerde oldukça net kapalı yapılar elde ederiz. Belki temel parçacıklar– bunlar aynı fraktallar mı?

1'den 80'e kadar dikdörtgenlerdeki tüm fraktallar (6723x6723 piksel):

Fraktallarda kapalı alanlar (6723x6723 piksel):

Sadece güzel bir fraktal (4078x2518 piksel):

Herkese merhaba! benim adım Ribenek Valeria, Ulyanovsk ve bugün bilimsel makalelerimin birçoğunu LCI web sitesinde yayınlayacağım.

Bu blogdaki ilk bilimsel makalem şu konuya ayrılacak: fraktallar. Makalelerimin hemen hemen her kitleye yönelik tasarlandığını hemen söyleyeceğim. Onlar. Umarım hem okul çocukları hem de öğrenciler için ilgi çekici olurlar.

Son zamanlarda çok ilginç nesneler öğrendim matematik dünyası fraktallar gibi. Ancak bunlar yalnızca matematikte mevcut değildir. Her yerde etrafımızı sarıyorlar. Fraktallar doğaldır. Bu yazımda fraktalların ne olduğundan, fraktal türlerinden, bu nesnelerin örneklerinden ve uygulamalarından bahsedeceğim. Başlangıç ​​olarak size fraktalın ne olduğunu kısaca anlatacağım.

Fraktal(Latince fractus - ezilmiş, kırılmış, kırılmış), kendine benzerlik özelliğine sahip, yani her biri şeklin tamamına benzeyen birkaç parçadan oluşan karmaşık bir geometrik şekildir. Daha fazla geniş anlamda Fraktallar, Öklid uzayında kesirli bir metrik boyuta (Minkowski veya Hausdorff anlamında) veya topolojik olandan farklı bir metrik boyuta sahip nokta kümeleri olarak anlaşılır. Örnek olarak dört farklı fraktalı gösteren bir resim ekleyeceğim.

Size fraktalların tarihçesinden biraz bahsedeceğim. 70'li yılların sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'li yılların ortalarından itibaren matematikçiler ve programcılar arasında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. "Fraktal" kelimesi, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından ilgilendiği düzensiz fakat kendine benzeyen yapılara atıfta bulunmak için icat edildi. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle Mandelbrot'un 1977'de Doğanın Fraktal Geometrisi kitabının yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Eserlerinde 1875-1925 yılları arasında aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) bilimsel sonuçlarından yararlanılmıştır. Ancak çalışmalarını tek bir sistemde birleştirmek ancak bizim zamanımızda mümkün oldu.

Fraktalların pek çok örneği var çünkü dediğim gibi bizi her yerde kuşatıyorlar. Benim düşünceme göre, Evrenimizin tamamı bile devasa bir fraktaldır. Sonuçta atomun yapısından Evrenin yapısına kadar içindeki her şey birbirini tam olarak tekrarlıyor. Ancak elbette farklı alanlardan daha spesifik fraktal örnekleri de var. Örneğin fraktallar karmaşık dinamiklerde mevcuttur. Orada doğal olarak doğrusal olmayan çalışmalarda ortaya çıkıyorlar dinamik sistemler. En çok çalışılan durum, dinamik sistemin yinelemelerle belirlendiği durumdur. polinom veya holomorfik değişkenler kompleksinin fonksiyonu bir uçakta. Bu türden en ünlü fraktallardan bazıları Julia seti, Mandelbrot seti ve Newton havuzlarıdır. Aşağıdaki resimler, yukarıdaki fraktalların her birini sırayla göstermektedir.

Fraktalların bir başka örneği de fraktal eğrilerdir. Fraktal eğriler örneğini kullanarak bir fraktalın nasıl oluşturulacağını açıklamak en iyisidir. Bu eğrilerden biri Koch Kar Tanesi olarak adlandırılan eğridir. Bir düzlemde fraktal eğriler elde etmek için basit bir prosedür vardır. Keyfi olarak kesikli bir çizgi tanımlayalım. sonlu sayı bağlantılara jeneratör adı verilir. Daha sonra, içindeki her segmenti bir jeneratörle (daha doğrusu jeneratöre benzer kesikli bir çizgi) değiştiriyoruz. Ortaya çıkan kırık çizgide yine her segmenti bir jeneratörle değiştiriyoruz. Sonsuza kadar devam edersek limitte fraktal bir eğri elde ederiz. Aşağıda Koch Kar Tanesi (veya Eğrisi) bulunmaktadır.

Ayrıca çok çeşitli fraktal eğriler vardır. Bunlardan en ünlüleri, daha önce bahsedilen Koch Kar Tanesi'nin yanı sıra Levy eğrisi, Minkowski eğrisi, Dragon'un kırık çizgisi, Piyano eğrisi ve Pisagor ağacıdır. İsterseniz bu fraktalların ve geçmişlerinin görselini Wikipedia'da kolaylıkla bulabileceğinizi düşünüyorum.

Üçüncü örnek veya fraktal türü stokastik fraktallardır. Bu tür fraktallar, Brownian hareketinin bir düzlemde ve uzayda yörüngesini, Schramm-Löwner evrimini, çeşitli rastgele fraktal türlerini, yani her adımda rastgele bir parametrenin dahil edildiği yinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktalları içerir.

Ayrıca tamamen matematiksel fraktallar da vardır. Bunlar, örneğin Cantor kümesi, Menger süngeri, Sierpinski Üçgeni ve diğerleridir.

Ama belki de en ilginç fraktallar doğal olanlardır. Doğal fraktallar- bunlar doğadaki fraktal özelliklere sahip nesnelerdir. Ve burada liste zaten büyük. Her şeyi listelemeyeceğim çünkü hepsini listelemek muhtemelen imkansızdır, ancak size bazılarını anlatacağım. Örneğin canlı doğada bu tür fraktallar bizim dolaşım sistemi ve akciğerler. Ve ayrıca ağaçların taçları ve yaprakları. Buna deniz yıldızları, deniz kestaneleri, mercanlar, deniz kabukları ve lahana veya brokoli gibi bazı bitkiler de dahildir. Canlı doğadan elde edilen bu tür doğal fraktalların birçoğu aşağıda açıkça gösterilmektedir.

Cansız doğayı düşünürsek, o zaman ilginç örnekler gerçek hayatta olduğundan çok daha fazlası. Şimşekler, kar taneleri, bulutlar, soğuk günlerde pencerelerde görülen tanıdık desenler, kristaller, Dağ sıraları- bunların hepsi cansız doğadan gelen doğal fraktalların örnekleridir.

Fraktal örneklerine ve türlerine baktık. Fraktalların kullanımına gelince, bunlar çeşitli bilgi alanlarında kullanılmaktadır. Fizikte fraktallar, türbülanslı sıvı akışı, karmaşık difüzyon-adsorpsiyon süreçleri, alevler, bulutlar vb. gibi doğrusal olmayan süreçleri modellerken doğal olarak ortaya çıkar. Fraktallar, örneğin petrokimyada gözenekli malzemeleri modellerken kullanılır. Biyolojide popülasyonları modellemek ve iç organ sistemlerini (kan damarı sistemi) tanımlamak için kullanılırlar. Koch eğrisinin oluşturulmasından sonra kıyı şeridinin uzunluğunun hesaplanmasında kullanılması önerildi. Fraktallar ayrıca radyo mühendisliği, bilgi bilimi ve bilgisayar teknolojisi, telekomünikasyon ve hatta ekonomi alanlarında da aktif olarak kullanılmaktadır. Ve elbette fraktal görüş modern sanat ve mimaride aktif olarak kullanılıyor. İşte fraktal desenlere bir örnek:

Ve böylece, fraktal gibi sıra dışı bir matematik fenomeni hakkındaki hikayemi bununla tamamlamayı düşünüyorum. Bugün fraktalın ne olduğunu, nasıl ortaya çıktığını, fraktal türlerini ve örneklerini öğrendik. Ayrıca kullanımlarından bahsettim ve bazı fraktalları görsel olarak gösterdim. Umarım şaşırtıcı ve büyüleyici fraktal nesnelerin dünyasına yaptığımız bu küçük geziden keyif almışsınızdır.

Sıklıkla parlak keşifler Bilimde mükemmelleştirilmiş, hayatımızı kökten değiştirebilir. Örneğin aşının icadı birçok insanı kurtarabilir ama yeni silahların yaratılması cinayete yol açar. Kelimenin tam anlamıyla dün (tarih ölçeğinde) insan elektriği "evcilleştirdi" ve bugün artık onsuz hayatını hayal edemiyor. Ancak hayatımız üzerinde şu ya da bu etkiye sahip olmasına rağmen, dedikleri gibi gölgede kalan keşifler de var. Bu keşiflerden biri de fraktaldı. Çoğu insan bu kavramı hiç duymamıştır ve anlamını açıklayamayacaktır. Bu yazıda fraktalın ne olduğu sorusunu anlamaya çalışacağız ve bu terimin anlamını bilim ve doğa perspektifinden ele alacağız.

Kaos içinde düzen

Fraktalın ne olduğunu anlamak için, bilgilendirmeye matematiğin konumundan başlamalıyız, ancak onu derinlemesine incelemeden önce biraz felsefe yapacağız. Her insanın öğrendiği doğal bir merakı vardır. etrafımızdaki dünya. Çoğu zaman bilgi arayışında kararlarında mantığı kullanmaya çalışır. Böylece çevresinde meydana gelen süreçleri analiz ederek ilişkileri hesaplamaya ve belirli kalıplar çıkarmaya çalışır. Gezegendeki en büyük beyinler bu sorunları çözmekle meşgul. Kabaca söylemek gerekirse, bilim adamlarımız hiçbir şeyin olmadığı ve olmaması gereken kalıplar arıyorlar. Ancak kaosta bile belirli olaylar arasında bir bağlantı vardır. Bu bağlantı fraktalın ta kendisidir. Örnek olarak yol üzerinde duran kırık bir dalı düşünün. Yakından baktığımızda tüm dalları ve ince dallarıyla kendisinin bir ağaca benzediğini görürüz. Ayrı bir parçanın tek bir bütünle bu benzerliği, özyinelemeli kendine benzerlik ilkesi olarak adlandırılan ilkeyi gösterir. Fraktallar doğada her yerde bulunabilir, çünkü birçok inorganik ve organik form benzer şekilde oluşur. Bunlar bulutlar, deniz kabukları, salyangoz kabukları, ağaç taçları ve hatta dolaşım sistemidir. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Tüm bu rastgele şekiller fraktal bir algoritmayla kolaylıkla tanımlanabilir. Şimdi kesin bilimler açısından fraktalın ne olduğunu düşünmeye geldik.

Bazı kuru gerçekler

"Fraktal" kelimesinin kendisi Latince'den "kısmi", "bölünmüş", "parçalanmış" olarak çevrilmiştir ve bu terimin içeriğine gelince, böyle bir formülasyon yoktur. Genellikle mikro düzeyde kendi yapısını tekrar eden, kendine benzeyen bir küme, bütünün bir parçası olarak yorumlanır. Bu terim yirminci yüzyılın yetmişli yıllarında baba olarak tanınan Benoit Mandelbrot tarafından icat edildi. Bugün fraktal kavramı, belirli bir yapının, büyütüldüğünde kendisine benzer olacak grafik görüntüsü anlamına gelir. Ancak bu teorinin yaratılmasının matematiksel temeli Mandelbrot'un doğumundan önce atılmıştı, ancak elektronik bilgisayarlar ortaya çıkana kadar gelişemedi.

Tarihsel arka plan veya Her şey nasıl başladı?

19. ve 20. yüzyılların başında fraktalların doğasına ilişkin çalışmalar düzensizdi. Bu, matematikçilerin temel alınarak çalışılabilecek nesneleri çalışmayı tercih etmesiyle açıklanmaktadır. genel teoriler ve yöntemler. 1872'de Alman matematikçi K. Weierstrass, hiçbir yerde türevi alınamayan sürekli bir fonksiyonun bir örneğini oluşturdu. Ancak bu yapının tamamen soyut ve algılanması zor olduğu ortaya çıktı. Daha sonra, 1904'te hiçbir yerde teğeti olmayan sürekli bir eğri oluşturan İsveçli Helge von Koch geldi. Çizilmesi oldukça kolaydır ve fraktal özelliklere sahip olduğu ortaya çıkar. Bu eğrinin varyantlarından birine yazarının adı verilmiştir: “Koch kar tanesi”. Ayrıca, figürlerin kendi kendine benzerliği fikri, B. Mandelbrot'un gelecekteki akıl hocası Fransız Paul Levy tarafından geliştirildi. 1938'de "Bütüne benzer parçalardan oluşan düzlem ve uzaysal eğriler ve yüzeyler" makalesini yayınladı. İçinde anlattı yeni görünüm- Levi'nin C eğrisi. Yukarıdaki şekillerin tümü geleneksel olarak geometrik fraktallar olarak sınıflandırılır.

Dinamik veya cebirsel fraktallar

Mandelbrot kümesi bu sınıfa aittir. Bu yöndeki ilk araştırmacılar Fransız matematikçiler Pierre Fatou ve Gaston Julia'ydı. 1918'de Julia, rasyonel teorilerin yinelemeleri üzerine yapılan çalışmaya dayanan bir makale yayınladı. karmaşık işlevler. Burada Mandelbrot kümesiyle yakından ilişkili bir fraktal ailesini tanımladı. Buna rağmen bu iş Yazarı matematikçiler arasında yüceltti, hızla unutuldu. Ve sadece yarım yüzyıl sonra, bilgisayarlar sayesinde Julia'nın çalışmaları ikinci bir hayata kavuştu. Bilgisayarlar, matematikçilerin “görebildiği” fraktallar dünyasının güzelliğini ve zenginliğini, fonksiyonlar aracılığıyla görüntüleyerek her insana görünür kılmayı mümkün kıldı. Mandelbrot, bu rakamların görüntüsünü oluşturmayı mümkün kılan hesaplamaları (böyle bir hacim manuel olarak yapılamaz) gerçekleştirmek için bilgisayar kullanan ilk kişiydi.

Uzaysal hayal gücüne sahip bir kişi

Mandelbrot başladı bilimsel kariyer IBM Araştırma Merkezi'nde. Veri aktarımı olanaklarını araştırmak uzun mesafeler bilim adamları, gürültü girişimi nedeniyle ortaya çıkan büyük kayıplarla karşı karşıya kaldılar. Benoit bu sorunu çözmenin yollarını arıyordu. Ölçüm sonuçlarına bakarken garip bir model fark etti: gürültü grafikleri farklı zaman ölçeklerinde aynı görünüyordu.

Hem bir gün hem de yedi gün veya bir saat boyunca benzer bir tablo gözlendi. Benoit Mandelbrot'un kendisi de formüllerle çalışmadığını, resimlerle oynadığını sık sık tekrarladı. Bu bilim adamı farklıydı yaratıcı düşünme, herhangi bir cebirsel problemi, doğru cevabın açık olduğu geometrik bölgeye çevirdi. Dolayısıyla zenginliğiyle öne çıkması ve fraktal geometrinin babası olması şaşırtıcı değil. Sonuçta bu figürün farkındalığı ancak çizimleri incelediğinizde ve deseni oluşturan bu tuhaf girdapların anlamını düşündüğünüzde ortaya çıkabilir. Fraktal desenler aynı öğelere sahip değildir ancak her ölçekte benzerdirler.

Julia-Mandelbrot

Bu figürün ilk çizimlerinden biri, Gaston Julia'nın çalışmasından doğan ve Mandelbrot tarafından daha da geliştirilen setin grafik yorumuydu. Gaston, bir döngü boyunca yinelenen basit bir formül temelinde oluşturulmuş bir kümenin neye benzediğini hayal etmeye çalıştı. geri bildirim. İnsan dilinde, tabiri caizse parmaklarda söylenenleri açıklamaya çalışalım. Belirli bir şey için sayısal değer formülü kullanarak yeni değeri buluyoruz. Formülde yerine koyarsak aşağıdakini buluruz. Sonuç büyüktür. Böyle bir kümeyi temsil etmek için bu işlemi gerçekleştirmeniz gerekir. büyük miktar kez: yüzlerce, binlerce, milyonlarca. Benoit'in yaptığı da buydu. Sırayı işleyip sonuçları aktardı. grafik formu. Daha sonra ortaya çıkan şekli renklendirdi (her renk belirli sayıda yinelemeye karşılık gelir). Bu grafik görüntüye “Mandelbrot fraktal” adı verildi.

L. Carpenter: doğanın yarattığı sanat

Fraktal teori hızla bulundu pratik uygulama. Kendine benzeyen görüntülerin görselleştirilmesiyle çok yakından ilgili olduğundan, bu alışılmadık formların oluşturulmasına yönelik ilke ve algoritmaları ilk benimseyen sanatçılar oldu. Bunlardan ilki Pixar'ın gelecekteki kurucusu Lauren Carpenter'dı. Uçak prototiplerinin sunumu üzerinde çalışırken, dağların görüntüsünü arka plan olarak kullanma fikri ortaya çıktı. Günümüzde hemen hemen her bilgisayar kullanıcısı bu tür bir görevin üstesinden gelebilmektedir ancak geçtiğimiz yüzyılın yetmişli yıllarında bilgisayarlar bu tür işlemleri gerçekleştiremiyordu çünkü o dönemde grafik editörleri veya üç boyutlu grafiklere yönelik uygulamalar yoktu. Ve sonra Loren, Mandelbrot'un "Fraktallar: Form, Rastgelelik ve Boyut" kitabıyla karşılaştı. Benoit bu kitapta fraktalların doğada (fyva) var olduğunu gösteren birçok örnek vermiş, onların çeşitli şekillerini tanımlamış ve matematiksel ifadelerle kolayca tanımlanabileceklerini kanıtlamıştır. Matematikçi, bu benzetmeyi meslektaşlarından gelen eleştiri yağmuruna yanıt olarak geliştirdiği teorinin kullanışlılığına dair bir argüman olarak gösterdi. Bir fraktalın sadece olduğunu savundular güzel resim Hiçbir değeri olmayan, emeğin yan ürünü olan elektronik makineler. Carpenter bu yöntemi pratikte denemeye karar verdi. Kitabı dikkatlice inceledikten sonra, geleceğin animatörü fraktal geometriyi bilgisayar grafiklerinde uygulamanın bir yolunu aramaya başladı. Dağ manzarasının tamamen gerçekçi bir görüntüsünü bilgisayarında oluşturması yalnızca üç gününü aldı. Ve bugün bu prensip yaygın olarak kullanılmaktadır. Görünüşe göre fraktallar oluşturmak fazla zaman ve çaba gerektirmiyor.

Carpenter'ın çözümü

Lauren'ın kullandığı prensip basitti. Büyük olanları küçük öğelere, benzer olanları da daha küçük öğelere vb. bölmekten oluşur. Marangoz, büyük üçgenler kullanarak bunları 4 küçük üçgene böldü ve gerçekçi bir dağ manzarası elde edene kadar bu şekilde devam etti. Böylece gerekli görüntüyü oluşturmak için bilgisayar grafiklerinde fraktal algoritmayı kullanan ilk sanatçı oldu. Günümüzde bu prensip çeşitli gerçekçi doğal formların taklit edilmesinde kullanılmaktadır.

Fraktal algoritma kullanan ilk 3 boyutlu görselleştirme

Lauren birkaç yıl içinde gelişmelerini uygulamaya koydu. büyük ölçekli proje- 1980'de Siggraph'ta gösterilen animasyonlu video Vol Libre. Bu video birçok kişiyi şok etti ve yaratıcısı Lucasfilm'de çalışmaya davet edildi. Burada animatör tam potansiyelini gerçekleştirmeyi başardı; "Star Trek" adlı uzun metrajlı film için üç boyutlu manzaralar (tüm bir gezegen) yarattı. Herhangi bir modern program (“Fraktallar”) veya 3D grafikler oluşturmaya yönelik uygulamalar (Terragen, Vue, Bryce), dokuları ve yüzeyleri modellemek için aynı algoritmayı kullanır.

Tom Beddard

Eskiden lazer fizikçisi, şimdi ise dijital sanatçı ve sanatçı olan Beddard, Fabergé fraktalları adını verdiği çok sayıda ilgi çekici geometrik şekil yarattı. Dıştan bakıldığında, bir Rus kuyumcunun dekoratif yumurtalarına benziyorlar; aynı parlak, karmaşık desene sahipler. Beddard, modellerin dijital görüntülerini oluşturmak için bir şablon yöntemi kullandı. Ortaya çıkan ürünler güzellikleriyle hayrete düşürüyor. Birçoğu ürünü karşılaştırmayı reddetse de kendi emeğiyleİle bilgisayar programı Ancak ortaya çıkan formların son derece güzel olduğunu kabul etmek gerekir. Önemli olan, herkesin WebGL yazılım kütüphanesini kullanarak böyle bir fraktal oluşturabilmesidir. Çeşitli fraktal yapıları gerçek zamanlı olarak keşfetmenizi sağlar.

Doğadaki fraktallar

Çok az insan dikkat ediyor ama bunlar inanılmaz rakamlar her yerde mevcuttur. Doğa kendisinden yaratılmıştır benzer rakamlar ama biz bunu fark etmiyoruz. Büyüteçle derimize veya bir ağacın yaprağına bakmamız yeterli, fraktalları göreceğiz. Veya örneğin bir ananas veya hatta bir tavus kuşunun kuyruğunu alın - benzer figürlerden oluşurlar. Ve Romanescu brokoli çeşidi genel olarak görünümüyle dikkat çekicidir, çünkü ona gerçekten bir doğa mucizesi denilebilir.

Müzik molası

Fraktalların sadece geometrik şekiller olmadığı, aynı zamanda ses de olabileceği ortaya çıktı. Böylece müzisyen Jonathan Colton fraktal algoritmalar kullanarak müzik yazıyor. Doğal uyuma karşılık geldiğini iddia ediyor. Besteci, tüm eserlerini, eserlerin ücretsiz olarak dağıtılmasına, kopyalanmasına ve başkalarına aktarılmasına olanak tanıyan CreativeCommons Atıf-Ticari Olmayan lisansı altında yayınlamaktadır.

Fraktal gösterge

Bu teknik çok beklenmedik bir uygulama buldu. Temelinde borsa piyasasını analiz etmek için bir araç oluşturuldu ve sonuç olarak Forex piyasasında kullanılmaya başlandı. Günümüzde fraktal gösterge tüm ticaret platformlarında bulunmakta ve fiyat kırma adı verilen bir ticaret tekniğinde kullanılmaktadır. Bu teknik Bill Williams tarafından geliştirilmiştir. Yazarın buluşu hakkında yorum yaptığı gibi, bu algoritma merkezi olanın maksimum veya tersine minimum uç noktayı yansıttığı birkaç "mum" un birleşimidir.

Sonuç olarak

Fraktalın ne olduğuna baktık. Görünüşe göre bizi çevreleyen kaosun içinde gerçekten de var mükemmel şekiller. Doğa en iyi mimar, ideal inşaatçı ve mühendistir. Çok mantıklı bir şekilde düzenlenmiştir ve eğer bir model bulamazsak, bu onun var olmadığı anlamına gelmez. Belki farklı bir ölçekte bakmamız gerekiyor. Fraktalların hâlâ keşfetmediğimiz pek çok sır barındırdığını rahatlıkla söyleyebiliriz.

Bir ağacın, bir deniz kıyısının, bir bulutun veya elimizdeki damarların ortak noktası nedir? İlk bakışta tüm bu nesnelerin ortak hiçbir yanı yokmuş gibi görünebilir. Ancak aslında, listelenen tüm nesnelerin doğasında bulunan bir yapı özelliği vardır: bunlar kendilerine benzerdir. Bir daldan, bir ağaç gövdesinden olduğu gibi, daha küçük sürgünler uzanır, onlardan daha da küçük olanlar vb. Yani dal, bütün ağaca benzer. Dolaşım sistemi de benzer şekilde yapılandırılmıştır: arteriyoller arterlerden ayrılır ve onlardan oksijenin organlara ve dokulara girdiği en küçük kılcal damarlar ayrılır. Hadi bakalım uzay görselleri deniz kıyısı: koyları ve yarımadaları göreceğiz; Hadi bakalım ama kuşbakışı: koyları, burunları göreceğiz; Şimdi kumsalda durduğumuzu ve ayaklarımıza baktığımızı hayal edin: her zaman suya diğerlerinden daha fazla çıkıntı yapan çakıl taşları olacaktır. Yani kıyı şeridi yakınlaştırıldığında kendine benzer kalıyor. Amerikalı matematikçi (Fransa'da büyümüş olmasına rağmen) Benoit Mandelbrot, nesnelerin bu özelliğine fraktallık adını verdi ve bu tür nesnelerin kendilerine de fraktallar (Latince fraktus'tan - kırık) adını verdi.

Bu kavramın kesin bir tanımı yoktur. Bu nedenle "fraktal" kelimesi değil matematik terimi. Tipik olarak bir fraktal, aşağıdaki özelliklerden bir veya daha fazlasını karşılayan geometrik bir şekildir: Ölçekte herhangi bir artışla karmaşık bir yapıya sahiptir (örneğin, herhangi bir kısmı en basit geometrik şekil olan bir düz çizgiden farklı olarak - bir parça) . (Yaklaşık olarak) kendine benzer. Topolojik boyuttan daha büyük olan kesirli bir Hausdorff (fraktal) boyuta sahiptir. Özyinelemeli prosedürler kullanılarak oluşturulabilir.

Geometri ve cebir

19. ve 20. yüzyılın başında fraktalların incelenmesi sistematik olmaktan çok epizodikti, çünkü daha önce matematikçiler genel olarak genel yöntemler ve teoriler kullanılarak incelenebilecek "iyi" nesneler üzerinde çalışıyordu. 1872'de Alman matematikçi Karl Weierstrass, hiçbir yerde türevi alınamayan sürekli bir fonksiyonun örneğini oluşturdu. Ancak yapısı tamamen soyuttu ve anlaşılması zordu. Bu nedenle 1904 yılında İsveçli Helge von Koch, hiçbir yerde teğeti olmayan ve çizilmesi oldukça kolay olan sürekli bir eğri buldu. Bir fraktalın özelliklerine sahip olduğu ortaya çıktı. Bu eğrinin bir çeşidine “Koch kar tanesi” denir.

Figürlerin kendine benzerliği fikri, Benoit Mandelbrot'un gelecekteki akıl hocası Fransız Paul Pierre Levy tarafından benimsendi. 1938'de, başka bir fraktal olan Levy C eğrisini tanımlayan “Düzlemsel ve uzaysal eğriler ve bütüne benzer parçalardan oluşan yüzeyler” adlı makalesi yayınlandı. Yukarıda listelenen bu fraktalların tümü, koşullu olarak bir sınıf yapıcı (geometrik) fraktallar olarak sınıflandırılabilir.

Başka bir sınıf, Mandelbrot kümesini içeren dinamik (cebirsel) fraktallardır. Bu yöndeki ilk araştırmalar 20. yüzyılın başında başlamış ve isimlerle ilişkilendirilmiştir. Fransız matematikçiler Gaston Julia ve Pierre Fatu. 1918'de Julia'nın karmaşık olayların tekrarlarına adanan neredeyse iki yüz sayfalık anı kitabı yayımlandı. rasyonel fonksiyonlar Mandelbrot kümesiyle yakından ilişkili bütün bir fraktal ailesi olan Julia kümelerini tanımlar. Bu çalışma ödüle layık görüldü Fransız Akademisi ancak tek bir resim içermediğinden açık nesnelerin güzelliğini takdir etmek imkansızdı. Bu çalışma Julia'yı o zamanın matematikçileri arasında ünlü kılsa da hızla unutuldu. Sadece yarım yüzyıl sonra bilgisayarların ortaya çıkışıyla dikkatler yeniden bu konuya yöneldi: Fraktallar dünyasının zenginliğini ve güzelliğini görünür kılan onlardı.

Fraktal boyutlar

Bildiğiniz gibi geometrik bir şeklin boyutu (boyut sayısı), bu şeklin üzerinde bulunan bir noktanın konumunu belirlemek için gerekli koordinat sayısıdır.
Örneğin, bir eğri üzerindeki bir noktanın konumu bir koordinatla, bir yüzey üzerinde (düzlem olması gerekmez) iki koordinatla, üç boyutlu uzayda üç koordinatla belirlenir.
Daha genel bir açıdan matematiksel nokta Topolojik bir bakış açısından, boyut şu şekilde tanımlanabilir: tek boyutlu (topolojik bir bakış açısından) nesneler (bölüm) için doğrusal boyutlarda, örneğin iki kat bir artış, bir artışa yol açar boyutta (uzunluk) iki kat, iki boyutlu olanlar için (kare), doğrusal boyutlardaki aynı artış, boyutta (alanda) 4 kat, üç boyutlu (küp) için - 8 kat artışa yol açar . Yani, "gerçek" (Hausdorff olarak adlandırılan) boyut, bir nesnenin "boyutundaki" artışın logaritmasının, doğrusal boyutundaki artışın logaritmasına oranı olarak hesaplanabilir. Yani, D=log (2)/log (2)=1 parçası için, D=log (4)/log (2)=2 düzlemi için, D=log (8)/log (2) hacmi için )=3.
Şimdi bir birim parçanın üç eşit parçaya bölündüğü ve orta aralığın bu parça olmadan bir eşkenar üçgenle değiştirildiği Koch eğrisinin boyutunu hesaplayalım. Minimum parçanın doğrusal boyutları üç kat arttığında Koch eğrisinin uzunluğu log (4)/log (3) ~ 1,26 kadar artar. Yani Koch eğrisinin boyutu kesirlidir!

Bilim ve sanat

1982 yılında, yazarın o dönemde fraktallar hakkında mevcut olan hemen hemen tüm bilgileri toplayıp sistematik hale getirdiği ve bunları kolay ve erişilebilir bir şekilde sunduğu Mandelbrot'un “Doğanın Fraktal Geometrisi” kitabı yayınlandı. Mandelbrot sunumunda esas vurguyu ağır formüller ve matematiksel yapılara değil, okuyucuların geometrik sezgilerine yaptı. Yazarın monografın bilimsel bileşenini ustaca sulandırdığı bilgisayar kullanılarak elde edilen resimler ve tarihi hikayeler sayesinde kitap en çok satanlar arasına girdi ve fraktallar halk tarafından tanındı. Matematikçi olmayanlar arasındaki başarıları büyük ölçüde, çok yardımıyla basit tasarımlar ve bir lise öğrencisinin bile anlayabileceği formüller sayesinde ortaya çıkan görüntüler karmaşıklık ve güzellik açısından şaşırtıcıdır. Kişisel bilgisayarlar yeterince güçlü hale geldiğinde, sanatta bütün bir yön bile ortaya çıktı - fraktal resim ve neredeyse her bilgisayar sahibi bunu yapabilirdi. Artık internette bu konuya ayrılmış birçok siteyi kolayca bulabilirsiniz.

Koch eğrisini elde etme şeması

Savaş ve Barış

Yukarıda belirtildiği gibi fraktal özelliklere sahip doğal nesnelerden biri de kıyı şerididir. Bununla bağlantılı, daha doğrusu uzunluğunu ölçme girişimiyle ilgili ilginç bir hikaye var ki bu hikayenin temelini oluşturdu. bilimsel makale Mandelbrot ve aynı zamanda “Doğanın Fraktal Geometrisi” adlı kitabında da anlatılmıştır. yaklaşıkÇok yetenekli ve eksantrik bir matematikçi, fizikçi ve meteorolog olan Lewis Richardson'ın gerçekleştirdiği bir deney hakkında. Araştırmasının yönlerinden biri, iki ülke arasındaki silahlı çatışmanın nedenleri ve olasılığının matematiksel bir tanımını bulma girişimiydi. Dikkate aldığı parametreler arasında savaşan iki ülkenin ortak sınırının uzunluğu da vardı. Sayısal deneyler için veri topladığında şunu keşfetti: farklı kaynaklarİspanya ve Portekiz'in ortak sınırına ilişkin veriler büyük farklılıklar gösteriyor. Bu onu şu keşfe götürdü: Bir ülkenin sınırlarının uzunluğu, onları ölçtüğümüz hükümdara bağlıdır. Ölçek ne kadar küçük olursa kenarlık o kadar uzun olur. Bunun nedeni, daha fazla büyütmeyle, daha önce ölçümlerin kabalığı nedeniyle göz ardı edilen kıyıdaki yeni kıvrımların giderek daha fazla hesaba katılmasının mümkün hale gelmesidir. Ve eğer ölçekteki her artışla birlikte, daha önce hesaba katılmayan çizgilerin kıvrımları ortaya çıkarsa, o zaman sınırların uzunluğunun sonsuz olduğu ortaya çıkar! Doğru, bu aslında olmuyor; ölçümlerimizin doğruluğunun sınırlı bir sınırı var. Bu paradoksa Richardson etkisi denir.

Yapıcı (geometrik) fraktallar

Yapıcı bir fraktal oluşturmak için algoritma genel durum işte böyle. Öncelikle iki uygun geometrik şekle ihtiyacımız var, bunlara taban ve parça diyelim. İlk aşamada gelecekteki fraktalın temeli tasvir edilir. Daha sonra bazı parçaları uygun ölçekte alınan bir parçayla değiştirilir - bu, yapının ilk yinelemesidir. Daha sonra ortaya çıkan şekil yine bazı parçaları parçaya benzer şekillere dönüştürür, vb. Bu işleme sonsuza kadar devam edersek, o zaman limitte bir fraktal elde ederiz.

Örnek olarak Koch eğrisini kullanarak bu sürece bakalım (önceki sayfadaki kenar çubuğuna bakın). Koch eğrisinin temeli olarak herhangi bir eğri alınabilir (“Koch kar tanesi” için bu bir üçgendir). Ancak kendimizi en basit durumla - bir segmentle - sınırlayacağız. Parça, şeklin üst kısmında gösterilen kesikli bir çizgidir. Algoritmanın ilk yinelemesinden sonra, bu durumda orijinal bölüm parça ile çakışacak, daha sonra onu oluşturan bölümlerin her biri parçaya benzer bir kesikli çizgi ile değiştirilecektir, vb. Şekil bunun ilk dört adımını göstermektedir. işlem.

Matematik dilinde: dinamik (cebirsel) fraktallar

Bu tür fraktallar, doğrusal olmayan dinamik sistemler (dolayısıyla adı) incelenirken ortaya çıkar. Böyle bir sistemin davranışı karmaşık doğrusal olmayan bir fonksiyon (polinom) f(z) ile tanımlanabilir. Üzerinde z0 başlangıç ​​noktasını alalım karmaşık düzlem(kenar çubuğuna bakın). Şimdi karmaşık düzlemde, her bir sonraki rakamı bir öncekinden elde edilen böyle sonsuz bir sayı dizisini düşünün: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn) ). Başlangıç ​​noktası z0'a bağlı olarak böyle bir dizi farklı davranabilir: n -> ∞ gibi sonsuza eğilim gösterir; bazılarına yakınlaşmak bitiş noktası; döngüsel olarak bir dizi sabit değer alır; Daha karmaşık seçenekler de mümkündür.

Karmaşık sayılar

Karmaşık sayı, iki bölümden oluşan bir sayıdır - gerçek ve sanal, yani x + iy'nin biçimsel toplamı (burada x ve y - gerçek sayılar). ben sözde sanal birim, yani denklemi karşılayan bir sayı ben^ 2 = -1. Karmaşık sayılarla ilgili temel matematiksel işlemler tanımlanmıştır: toplama, çarpma, bölme, çıkarma (yalnızca karşılaştırma işlemi tanımlanmamıştır). Karmaşık sayıları görüntülemek için genellikle geometrik bir gösterim kullanılır - düzlemde (buna karmaşık denir), gerçek kısım apsis ekseni boyunca çizilir ve hayali kısım ordinat ekseni boyunca çizilir ve ile nokta şuna karşılık gelir: karmaşık sayı Kartezyen koordinatlar x ve y.

Böylece, karmaşık düzlemin herhangi bir z noktası, f(z) fonksiyonunun yinelemeleri sırasında kendi davranışına sahip olur ve tüm düzlem parçalara bölünür. Dahası, bu parçaların sınırlarında yer alan noktalar şu özelliğe sahiptir: keyfi olarak küçük bir yer değiştirmeyle davranışlarının doğası keskin bir şekilde değişir (bu tür noktalara çatallanma noktaları denir). Böylece, belirli bir davranış türüne sahip nokta kümelerinin yanı sıra çatallanma noktaları kümelerinin de sıklıkla fraktal özelliklere sahip olduğu ortaya çıktı. Bunlar f(z) fonksiyonu için Julia kümeleridir.

Ejderha ailesi

Tabanı ve parçayı değiştirerek çarpıcı çeşitlilikte yapıcı fraktallar elde edebilirsiniz.
Ayrıca benzer işlemler şu adreslerde de yapılabilir: üç boyutlu uzay. Hacimsel fraktalların örnekleri arasında "Menger süngeri", "Sierpinski piramidi" ve diğerleri yer alır.
Ejderha ailesi aynı zamanda yapıcı bir fraktal olarak kabul edilir. Bazen onları keşfedenlerin adıyla "Heavey-Harter ejderhaları" olarak anılırlar (şekil olarak Çin ejderhalarına benzerler). Bu eğriyi oluşturmanın birkaç yolu vardır. Bunlardan en basiti ve en görsel olanı şudur: Oldukça uzun bir kağıt şeridi alıp (kağıt ne kadar ince olursa o kadar iyi) ve onu ikiye bükmeniz gerekir. Daha sonra ilk seferkiyle aynı yönde tekrar ikiye bükün. Birkaç tekrardan sonra (genellikle beş veya altı kattan sonra şerit daha fazla bükülemeyecek kadar kalın hale gelir), şeridi geriye doğru bükmeniz ve kat yerlerinde 90˚ açı oluşturmaya çalışmanız gerekir. Daha sonra profilde bir ejderhanın eğrisini elde edeceksiniz. Elbette bu, fraktal nesneleri tasvir etmeye yönelik tüm girişimlerimiz gibi yalnızca bir yaklaşım olacaktır. Bilgisayar bu sürecin çok daha fazla adımının tasvir edilmesine olanak tanır ve sonuç çok güzel bir figürdür.

Mandelbrot kümesi biraz farklı şekilde oluşturulmuştur. c'nin karmaşık bir sayı olduğu fc (z) = z 2 +c fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun z0=0 şeklinde bir dizisini oluşturalım; c parametresine bağlı olarak sonsuza kadar ıraksayabilir veya sınırlı kalabilir. Üstelik bu dizinin sınırlı olduğu c'nin tüm değerleri Mandelbrot kümesini oluşturur. Bu kümenin birçok ilginç özelliğini keşfeden Mandelbrot ve diğer matematikçiler tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir.

Julia ve Mandelbrot kümelerinin tanımlarının birbirine benzer olduğu görülmektedir. Aslında bu iki grup birbiriyle yakından ilişkilidir. Yani, Mandelbrot kümesi, Julia kümesi fc (z)'nin bağlı olduğu karmaşık c parametresinin tüm değerleridir (bazı ek koşullarla birlikte iki ayrı parçaya bölünemiyorsa bir kümeye bağlı denir).

Fraktallar ve hayat

Günümüzde fraktal teorisi yaygın olarak kullanılmaktadır. çeşitli alanlar insan faaliyeti. Araştırma için tamamen bilimsel bir nesneye ve daha önce bahsedilen fraktal resme ek olarak, fraktallar bilgi teorisinde grafik verileri sıkıştırmak için kullanılır (fraktalların kendine benzerlik özelliği esas olarak burada kullanılır - sonuçta, bir resmin küçük bir parçasını hatırlamak için) ve geri kalan parçaları elde edebileceğiniz dönüşümler, tüm dosyanın saklanmasından çok daha az hafıza gerektirir). Bir fraktal tanımlayan formüllere rastgele bozulmalar ekleyerek, bazı gerçek nesneleri (kabartma elemanları, rezervuarların yüzeyi, bazı bitkiler) çok makul bir şekilde aktaran stokastik fraktallar elde edebilirsiniz; bu, fizikte, coğrafyada ve bilgisayar grafiklerinde başarıyla kullanılır. Simüle edilen nesnelerin gerçek nesnelerle benzerliği. Radyo elektroniğinde son on yılda fraktal şekilli antenler üretilmeye başlandı. Az yer kaplayarak yüksek kaliteli sinyal alımı sağlarlar. İktisatçılar döviz dalgalanma eğrilerini tanımlamak için fraktalları kullanırlar (bu özellik Mandelbrot tarafından 30 yıldan fazla bir süre önce keşfedilmiştir). Fraktalların inanılmaz derecede güzel ve çeşitli dünyasına yaptığımız bu kısa gezi böylece sona eriyor.