RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI

DEVLET EĞİTİM KURUMU

YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM

"USSURI DEVLET PEDAGOJİ ENSTİTÜSÜ"

Fizik ve Matematik Fakültesi

Matematiksel analizde ders çalışması

Konu: “Sürekli fakat türevlenemeyen fonksiyonlar”

Tamamlayan: Plyasheshnik Ksenia

131. grubun öğrencisi

Başkan: Delyukova Y.V.

Ussuriysk - 2011

Giriiş................................................. ....... ................................................... 3

Tarihsel referans.................................................. ...................... 4

Temel tanımlar ve teoremler.................................................. ................................... ....... 5

Türevi olmayan sürekli bir fonksiyon örneği.................................................. 10

Alıştırmaların çözümü................................................................ ...................................... 13

Çözüm................................................. ................................................... 21

Kaynakça.................................................. . ................................. 22

giriiş

Ders çalışması, süreklilik ile tek değişkenli bir fonksiyonun türevinin varlığı arasındaki bağlantının incelenmesine ayrılmıştır. Hedefe göre aşağıdaki görevler belirlendi:

1. Eğitim literatürünü inceleyin;

2. Van der Waerden tarafından oluşturulan, herhangi bir noktada türevi olmayan sürekli bir fonksiyon örneğini inceleyin;

3. Egzersiz sistemine karar verin.

Tarihsel referans

Bartel Leendert van der Waerden (Hollandalı Bartel Leendert van der Waerden, 2 Şubat 1903, Amsterdam, Hollanda - 12 Ocak 1996, Zürih, İsviçre) - Hollandalı matematikçi.

Önce Amsterdam Üniversitesi'nde, ardından Emmy Noether'in üzerinde büyük etkisi olduğu Göttingen Üniversitesi'nde okudu.

Cebir, cebirsel geometri alanında (Andre Weil ve O. Zariski ile birlikte) titizlik düzeyini yükselttiği önemli çalışmalar ve matematiksel fizik grup teorisinin sorulara uygulanması üzerinde çalıştı Kuantum mekaniği(Hermann Weyl ve Yu. Wigner ile birlikte). Klasik kitabı Modern Cebir (1930), soyut cebir üzerine daha sonraki ders kitaplarına model oldu ve birçok baskıdan geçti.

Van der Waerden matematik ve astronomi tarihinin önde gelen uzmanlarından biridir. Antik Dünya. Uyanış Bilimi (Ontwakende wetenschap 1950, Rusça çevirisi 1959) matematik ve astronomi tarihinin kapsamlı bir açıklamasını verir. Antik Mısır, Babil ve Yunanistan. Bu kitabın Rusça çevirisinin ekinde, Pisagor'un müzikal uyum hakkındaki görüşlerinin temel bir sunumu olan “Pisagor Uyum Doktrini” (1943) makalesi bulunmaktadır.

Temel tanımlar ve teoremler

Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti. Sol ve sağ sınırlar

Tanım (Cauchy limiti, Sayı dilinde bir fonksiyonun bir noktadaki limiti olarak adlandırılır.

Tanım (komşuluk dilinde) Eğer sayının herhangi bir -komşuluğu için noktanın bir -komşuluğu mevcutsa, sayıya bir fonksiyonun bir noktadaki limiti denir.

Tanım (Heine'ye göre) Herhangi bir dizi için yakınsaksa (yani, karşılık gelen fonksiyon değerleri dizisi sayıya yakınsa), sayıya bir fonksiyonun bir noktadaki limiti denir.

Tanım: Bir sayıya, bir fonksiyonun bir noktadaki sol limiti denir.

Tanım: Bir sayıya, bir fonksiyonun bir noktadaki sağ limiti denir.

Teorem (bir limitin varlığı için gerekli ve yeterli koşul)

Bir fonksiyonun bir noktada limitinin var olabilmesi için sol ve sağ limitlerinin birbirine eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Türev kavramı. Tek taraflı türevler.

Kümede tanımlanmış bir işlevi düşünün

1. Artışı alalım. Noktaya bir artış verelim.

2. Fonksiyonun değerini noktalarda hesaplayalım. Ve

3. .

4. .

ve argümanın artışı pozitif ya da negatif olabilir, bu durumda bu limite bir noktadaki türev denir ve ile gösterilir. Aynı zamanda sonsuz da olabilir.

fonksiyonun noktadaki sol (sol taraflı) türevi ve eğer

sınırlı bir sınır var o zaman buna fonksiyonun noktadaki sağdan türevi denir.

Bir fonksiyonun bir noktada olması ancak ve ancak sol ve sağ türevlerinin o noktada çakışması durumunda mümkündür:

( ( .

İşlevi düşünün noktasında tek taraflı türevleri bulalım.

Buradan, ( =-1; ( =1 Ve ( ( , yani fonksiyonun bir noktada türevi yoktur.

Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin çeşitli tanımları.

Tanım 1 (ana) Bir fonksiyonun limiti şu noktada sürekli ise, fonksiyona o noktada sürekli denir. değere eşit bu noktada görev yapıyor.

Tanım 2 (A dilinde, eğer ε, δ>0 ise, bir noktada sürekli olarak adlandırılır; öyle ki .

Tanım 3 (Heine'ye göre, dizi dilinde) Bir noktaya yakınsayan herhangi bir dizi için karşılık gelen fonksiyon değerleri dizisi yakınsıyorsa, bir fonksiyona bir noktada sürekli denir.

Tanım 4 (artışlar dilinde) Eğer argümanın sonsuz küçük bir artışı, fonksiyonun sonsuz küçük bir artışına karşılık geliyorsa, fonksiyona o noktada sürekli denir.

Türevlenebilir fonksiyon kavramı

Tanım 1 Bir küme üzerinde tanımlanan bir fonksiyon (bir noktada türevlenebilir olarak adlandırılır, eğer bu noktadaki artışı (*) ile temsil edilebiliyorsa, burada A sabittir, 'den bağımsızdır ve sonsuz küçüktür.

Tanım 2 Kümenin herhangi bir noktasında türevi alınabilen bir fonksiyona kümede türevlenebilir denir.

Türevlenebilirlik ve süreklilik arasındaki ilişki

Teorem. Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada süreklidir.

Kanıt.

Bir fonksiyon verilsin, fonksiyon şu noktada türevlenebilir olsun.

Converse teoremi. Bir fonksiyon sürekli ise türevlenebilirdir.

Tersi teorem doğru değil.

B sürekli olmasına rağmen türevlenebilir değildir.

Kırılma noktalarının sınıflandırılması

Tanım Bir noktada sürekli olmayan bir fonksiyon o noktada süreksizdir ve bu noktaya süreksizlik noktası adı verilir.

Kırılma noktalarının iki sınıflandırması vardır: tip I ve tip II.

Tanım Bir noktada birbirine eşit olmayan sonlu tek taraflı limitler varsa, bu noktaya birinci türden süreksizlik noktası denir.

Tanım: Bir noktaya çıkarılabilir aralığın noktası denir. yva, if , ancak fonksiyonun o noktadaki değerine eşit değiller.

Tanım Bir noktaya, eğer bu noktada tek taraflı limitler eşitse veya tek taraflı limitlerden biri sonsuzsa veya noktada limit yoksa, bu noktaya ikinci tür süreksizlik noktası denir.

· – sonsuz;

· – sonsuz veya – sonsuz;

İşaretler düzgün yakınsama yanında V

Weierstrasse işareti.

Eğer üyeler işlevsel aralık(1) alandaki eşitsizlikleri karşılayın bazı yakınsakların terimi nerede sayı serisi bu durumda (1) serisi düzgün yakınsar.

Teorem 1 Fonksiyonlar bir aralıkta tanımlanır ve hepsi bu aralığın bir noktasında süreklidir. Eğer (1) serisi aralıkta düzgün yakınsaksa, o noktadaki serilerin toplamı da sürekli olacaktır.

Türevi olmayan sürekli fonksiyon örneği

Bu türün ilk örneği Weierstrass tarafından yapılmıştır; işlevi şu şekilde tanımlanır:

nerede 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π). Bu seri, yakınsak bir ilerleme ile büyükleştirilir, dolayısıyla (serinin düzgün yakınsaklığının işaretleri), düzgün bir şekilde yakınsar ve toplamı, x'in her yerde sürekli bir fonksiyonudur. Özenli araştırmalar sonucunda Weierstrass, yine de bunun herhangi bir noktada sonlu bir türevinin olmadığını göstermeyi başardı.

Burada van der Waerden'in esas olarak aynı fikir üzerine inşa ettiği daha basit bir örneği ele alacağız; yalnızca y = cosωχ salınım eğrilerinin yerini salınımlı kesikli çizgiler almıştır.

Yani şununla belirtelim mutlak değerχ sayısı ile en yakın tam sayı arasındaki fark. Bu fonksiyon formun her aralığında doğrusal olacaktır; burada s bir tam sayıdır; süreklidir ve periyodu 1'dir. Grafiği kesikli çizgidir, Şekil 1'de gösterilmiştir; kesikli çizginin bireysel bağlantılarının açısal katsayısı ±1'dir.

O halde k=1,2,3,… için varsayalım:

Bu fonksiyon formun aralıklarında doğrusal olacaktır; aynı zamanda süreklidir ve bir periyodu vardır. Grafiği de bozuk ama dişleri daha küçük; Örneğin Şekil 1(b) fonksiyonunun bir grafiğini göstermektedir. Her durumda yamaçlar kesikli çizginin bireysel bağlantıları ve burada ±1'e eşittir.

Şimdi x'in tüm gerçek değerleri için f(x) fonksiyonunu eşitlikle tanımlayalım.

Açıkça 0≤ (k =0,1,2,...) olduğundan, seri yakınsak ilerlemeyle büyükleştirilir, o zaman (Weierstrass fonksiyonunda olduğu gibi) seri düzgün yakınsar ve fonksiyon her yerde süreklidir.

Herhangi bir değerde duralım. Eksiklik ve fazlalığa göre (burada n =0,1,2,...) içeride hesaplayarak, onu aşağıdaki formdaki sayıların arasına yerleştireceğiz:

≤ , burada bir tam sayıdır.

(n =0,1,2,…).

Kapalı aralıkların iç içe geçtiği açıktır. Her birinde, noktadan uzaklığı aralığın uzunluğunun yarısına eşit olacak bir nokta vardır.

N arttıkça seçeneklerin arttığı açıktır.

Şimdi artışların oranını oluşturalım

Ancak k > n olduğunda, sayı fonksiyonun periyotlarının tamsayı katı olduğunda serinin karşılık gelen terimleri 0'a döner ve ihmal edilebilir. Eğer k ≤ n ise, aralıkta doğrusal olan bir fonksiyon, içerdiği aralıkta da doğrusal olacaktır ve

(k=0,1,…,n).

Böylece nihayet elimizde diğer bir deyişle bu oran, n tek olduğunda çift tam sayıya, n çift olduğunda tek sayıya eşittir. Buradan, artışların herhangi bir değere oranı olduğunda açıktır. sonlu sınır eğilimi olamaz, dolayısıyla fonksiyonumuzun sonlu türevi yoktur.

Egzersizlerin çözümü

Alıştırma 1 (, No. 909)

Fonksiyon şu şekilde tanımlanır: . Sürekliliği keşfedin ve varoluşu keşfedin

Na bir polinom olarak süreklidir;

Açık (0;1) bir polinom olarak süreklidir;

On (1;2) bir polinom olarak süreklidir;

On (2; temel fonksiyon olarak süreklidir.

Yırtılma açısından şüpheli noktalar

Sol limit sağ limite ve fonksiyonun noktadaki değerine eşit olduğundan fonksiyon o noktada süreklidir.

Sol limit fonksiyonun noktadaki değerine eşit olduğundan fonksiyon bu noktada süreksizdir.

1 yol. Fonksiyonun bir noktada sonlu türevi yoktur. Aslında tam tersini varsayalım. Fonksiyonun bir noktada sonlu bir türevi olsun bir noktada süreklidir (Teorem 1'e göre: Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse, o zaman süreklidir.

Yöntem 2. Fonksiyonun x =0 noktasındaki tek taraflı limitlerini bulalım.

Alıştırma 2 (, №991)

Bu işlevi göster süreksiz bir türevi vardır.

Fonksiyonun türevini bulalım.

Limit noktasında süreksizlik yoktur

Çünkü - sonsuz küçük fonksiyon, - sınırlı.

Fonksiyonun olduğunu kanıtlayalım noktada bir sınırı yoktur.

Bunu kanıtlamak için, 0'a yakınsayan ancak yakınsamayan iki argüman değeri dizisinin olduğunu göstermek yeterlidir.

Çıkış: işlev noktada bir sınırı yoktur.

Alıştırma 3 (, No. 995)

Fonksiyonun sürekli bir fonksiyon olduğunu ve bu noktada türevinin olmadığını gösterin. Tek taraflı türevler neye eşittir?

Tek taraflı limitler eşit değildir; fonksiyonun bu noktada türevi yoktur.

Alıştırma 4 (, No. 996)

Verilen noktalarda türev fonksiyonu olmayan sürekli bir fonksiyonun örneğini oluşturun:

Fonksiyonu noktalarda düşünün

Tek taraflı limitleri bulalım

Tek taraflı limitler eşit değildir; fonksiyonun bu noktada türevi yoktur. Benzer şekilde fonksiyonun diğer noktalarda türevi yoktur

Alıştırma 5 (, No. 125)

Fonksiyonun bu noktada türevinin olmadığını gösterin.

Fonksiyonun o noktadaki artışını bulalım.

Bir fonksiyonun bir noktadaki artışının argümanın artışına oranını oluşturalım

Hadi sınıra gidelim

Alıştırma 6 (, №128)

Bu işlevi göster noktada türevi yoktur.

Artışı alalım Noktaya bir artış verelim Elde edeceğiz

Fonksiyonun değerini noktalarda bulalım ve

Fonksiyonun o noktadaki artışını bulalım.

Bir fonksiyonun bir noktadaki artışının argümanın artışına oranını oluşturalım

Hadi sınıra gidelim

Sonuç: noktada sonlu bir türevi yoktur.

Egzersiz 7 (, №131)

Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin

– yırtılma açısından şüpheli nokta

Sol limit fonksiyonun bir noktadaki değerine eşit olduğundan fonksiyon o noktada süreklidir ve birinci türden bir süreksizlik vardır.

Çözüm

Ders çalışması “Sürekli fakat türevlenemeyen fonksiyonlar” kavramı ile ilgili materyaller sunmakta, bu çalışmanın hedeflerine ulaşılmış, problemler çözülmüştür.

Kaynakça

1. B. P. Demidovich, / Ders için problemlerin toplanması matematiksel analiz. öğretici Fizik ve Matematik Fakültesi öğrencileri için pedagojik enstitüler. – M.: Eğitim, 1990 –624 s.

2. G. N. Berman, / Matematiksel analiz dersi için problemlerin toplanması. – M.: Nauka, 1977 – 416 s.

3. G. M. Fikhtengolts, / Diferansiyel ve Integral hesabı Cilt II. - M., Bilim, 1970-800'ler.

4. I.A. Vinogradova, /Matematiksel analizde görevler ve alıştırmalar, bölüm 1. – M.: Bustard, 2001 – 725 s.

5. İnternet kaynağı \ http://ru.wikipedia.org/wiki.

6. İnternet kaynağı \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.

Karmaşık Weierstrass fonksiyonu şu şekildedir:

nerede - bazıları gerçek Numara, ancak olarak veya olarak yazılır. Fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarına sırasıyla kosinüs ve Weierstrass sinüzoidleri denir.

Fonksiyon süreklidir ancak hiçbir yerde türevi alınamaz. Ancak duruma resmi genellemesi hem sürekli hem de türevlenebilirdir.

Bu bölümde işlevin kendisine ek olarak bazı seçenekler de tartışılmaktadır; bunların sunumuna duyulan ihtiyaç, fraktallar teorisinin Weierstrass fonksiyonuna kazandırdığı yeni anlamdan kaynaklanmaktadır.

Bir fonksiyonun frekans spektrumu. Bana göre “spektrum” terimi aşırı anlamlarla dolu. Frekans spektrumu seti ifade eder kabul edilebilir değerler karşılık gelen bileşenlerin genlikleri dikkate alınmaksızın frekanslar.

Periyodik bir fonksiyonun frekans spektrumu pozitif tamsayılardan oluşan bir dizidir. Brownian fonksiyonunun frekans spektrumu. Weierstrass fonksiyonunun frekans spektrumu, 'den 'ye kadar ayrı bir dizidir.

Bir fonksiyonun enerji spektrumu. Alt enerji spektrumu, karşılık gelen bileşenlerin enerji değerleriyle (karelenmiş genlikler) birlikte izin verilen frekans değerleri kümesi olarak anlaşılmaktadır. Fonksiyondaki formun her frekans değeri için formun bir spektral enerji çizgisi vardır. . Sonuç olarak, frekanslardaki toplam enerji değeri yakınsar ve orantılıdır. .

Kesirli Brown hareketi ile karşılaştırma. Toplam enerji, daha önce ele aldığımız diğer bazı durumlarda orantılıdır: izin verilen frekanslar şu şekilde olan kesirli periyodik rastgele Fourier-Brown-Wiener fonksiyonları ve karşılık gelen Fourier katsayıları eşittir; rastgele süreçler ile orantılı sürekli bir spektral popülasyon yoğunluğu ile. En son süreçler Bölüm 27'de açıklanan kesirli Brownian fonksiyonlarından başka bir şey değildir. Örneğin, sıradan Brownian hareketinde Weierstrass fonksiyonunun kümülatif spektrumu tespit edilebilir; bunun spektral yoğunluğu ile orantılıdır. Önemli bir fark: Brownian spektrumu kesinlikle süreklidir, Fourier-Brown-Wiener ve Weierstrass fonksiyonlarının spektrumları ise ayrıktır.

Farklılaştırılamazlık. Bir fonksiyonun herhangi bir değer için sonlu bir türevinin olmadığını kanıtlamak için Weierstrass'ın iki aşağıdaki koşullar: tek bir tamsayıdır, bunun sonucunda fonksiyon bir Fourier serisi olur ve . Gerekli ve yeterli koşullar( ve ) tarafımızdan Hardy'nin makalesinden alınmıştır.

Enerji tüketimi. Spektrumlara alışkın bir fizikçi için Hardy'nin koşulları açık görünüyor. Fizikçi, bir fonksiyonun türevinin Fourier katsayısı ile çarpılmasıyla hesaplandığı ampirik kuralını uygulayarak, fonksiyonun biçimsel türevi için Fourier katsayısı c'nin kare genliğinin şuna eşit olduğunu bulur: . θ'dan büyük frekanslarda toplam enerji sonsuz olduğundan, türevin belirlenemeyeceği fizikçiler için açık hale gelir.

Riemann'ın diferansiyellenemezliğe bir örnek ararken şu fonksiyonu ortaya çıkardığını belirtmek ilginçtir: , daha yüksek frekanslarda spektral enerjisi , ile orantılıdır . Böylece, aynı sezgisel akıl yürütme kullanılarak türevin türevlenemediği varsayılabilir. Bu sonuç yalnızca kısmen doğrudur, çünkü belirli değerlerde türev hala mevcuttur (bkz.).

Ultraviyole sapma/felaket."Felaket" terimi fizikte yirminci yüzyılın ilk on yılında Rayleigh ve Jeans'in bağımsız olarak kara cisim radyasyonu teorisini geliştirmesiyle ortaya çıktı; buna göre frekansın yakınındaki genişlik frekans aralığının enerjisi orantılıdır. Bu, spektrumun toplam enerjisinin olduğu anlamına gelir. yüksek frekanslar sonsuz - ki bu teori için çok felakettir. Sorunun kaynağı spektrumun ultraviyole kısmının ötesindeki frekanslardan geldiğinden, bu olaya ultraviyole (UV) felaketi adı verilir.

Herkes Planck'ın kendi inşa ettiğini biliyor kuantum teorisi UV felaketinin radyasyon teorisini dönüştürdüğü harabelerin üzerinde.

Tarihi geri çekilme. Hem eski fiziğin hem de eski matematiğin ölüm nedeninin aynı olduğunu belirtelim (her ne kadar bunu daha önce kimsenin yapmadığını tam olarak anlamasam da; her halükarda, elimdeki kaynaklarda buna benzer bir şey bulamadım). onların inancını baltalayan farklılık sürekli fonksiyonlar basitçe türevlenebilir olmalıdır. Fizikçiler tepki gösterdi basit değişiklik Oyunun kurallarına göre matematikçiler türevlenemeyen fonksiyonlar ve bunların formal türevleriyle yaşamayı öğrenmek zorundaydı. (İkincisi, fizikte sıklıkla kullanılan genelleştirilmiş Schwarz fonksiyonunun tek örneğidir.)

Ölçekle değişmeyen ayrık spektrum arayışı içinde. Kızılötesi sapma. Rağmen Frekans spektrumu Brownian fonksiyonu süreklidir, ölçek değişmez ve 'de bulunur, Weierstrass fonksiyonunun aynı değere karşılık gelen frekans spektrumu kesiklidir ve aşağıdan değeri ile sınırlıdır. Alt sınırın varlığı yalnızca Weierstrass sayısının başlangıçta tam sayı olması ve fonksiyonun periyodik olmasından kaynaklanmaktadır. Bu durumu ortadan kaldırmak için kesinlikle 'den herhangi bir değer almasına izin verilmelidir. Enerji spektrumunun ölçekten bağımsız olabilmesi için her frekans bileşenini bir genlikle ilişkilendirmek yeterlidir.

Ne yazık ki, ortaya çıkan seri birbirinden ayrılıyor ve bunun sorumlusu düşük frekanslı bileşenler. Bu kusura kızılötesi (IR) sapma (veya “felaket”) denir. Ne olursa olsun, bu farklılığa katlanmak zorundayız, çünkü aksi takdirde alt sınır, enerji spektrumunun doğasında var olan öz benzerlikle çatışır.

Odak zamanına göre kendine özgü, değiştirilmiş Weierstrass işlevi. Weierstrass fonksiyonunun frekans spektrumunu bir değere kadar sürdürmenize ve yıkıcı sonuçlardan kaçınmanıza olanak tanıyan en basit prosedür iki aşamadan oluşur: ilk önce ifadeyi elde ederiz. ve ancak o zaman 'dan 'a kadar herhangi bir değer almasına izin verin. Değerlere karşılık gelen ek terimler yakınsar ve bunların toplamı sürekli ve türevlenebilirdir. Bu şekilde değiştirilen fonksiyon

hala süreklidir ancak hiçbir yerde türevlenebilir değildir.

Ek olarak, şu anlamda ölçek açısından değişmezdir:

Yani fonksiyon bağlı değildir. Farklı da söyleyebiliriz: Fonksiyonlu bağlı değildir. Yani, fonksiyon , gerçek ve sanal kısımları, form ve odak zamanı değerlerine göre kendine bağlıdır.

Gaussian rastgele işlevler genelleştirilmiş Weierstrass spektrumu ile. Gerçekçiliğe ve geniş uygulanabilirliğe doğru bir sonraki adım, genelleştirilmiş Weierstrass fonksiyonunun rastgeleleştirilmesidir. En basit ve en doğal yöntem Fourier katsayılarının bağımsız karmaşık Gaussian ile çarpılmasından oluşur rastgele değişkenler sıfır matematiksel beklenti ve birim varyans ile. Ortaya çıkan fonksiyonun gerçek ve sanal kısımlarına haklı olarak Weierstrass-Gauss (değiştirilmiş) fonksiyonlar denilebilir. Bazı açılardan bu fonksiyonlar yaklaşık kesirli Brown fonksiyonları olarak kabul edilebilir. Değerler çakıştığında spektrumları, bu spektrumlardan birinin sürekli, diğerinin ayrık olmasına izin verecek kadar benzerdir. Üstelik, Orey ve Marcus'un sonuçları (bkz. s. 490) Weierstrass-Gauss fonksiyonlarına uygulanabilir ve bunların düzey kümelerinin fraktal boyutları, kesirli Brownian fonksiyonlarının düzey kümelerinin fraktal boyutlarıyla örtüşür.

Kesirli sayının temsil ettiği emsal göz önüne alındığında Brown hareketi Weierstrass-Rademacher fonksiyonunun sıfır kümelerinin boyutunun eşit olacağını varsayabiliriz. Bu varsayım ancak tamsayılar için doğrulanmıştır.

Singh, Weierstrass fonksiyonunun diğer birçok varyasyonundan bahsediyor. Bazılarının kümelerinin sıfır boyutunu tahmin etmek kolaydır. Genel olarak, bu konu, modern teorik düşüncenin başarıları dikkate alınarak, daha ayrıntılı bir çalışmayı açıkça hak etmektedir.

Tanım 1. Fonksiyon çağrılır türevlenebilir noktada , eğer bu noktadaki artışı şu şekilde temsil edilebilirse

, (2.1)

Nerede
ve bağımlı değil
, A
en
.

Teorem 1. İşlev
noktada türevlenebilir ancak ve ancak bu noktada sonlu bir türevi varsa
.

Kanıt.gereklilik. Fonksiyona izin ver
noktada diferansiyellenebilir yani eşitlik (2.1) geçerlidir. Onu bölmek
, alıyoruz
. Sınıra kadar gidiyor
, bunu görüyoruz
yani sağ tarafın limiti mevcut ve eşittir A yani sol tarafta da bir limit var demektir.
, Ve
.

Yeterlilik. Var olmasına izin ver
. Daha sonra Bölüm 1, § 16, Teorem 1 ile
, Nerede sonsuz küçük bir fonksiyondur
. Dolayısıyla, yani. fonksiyon bu noktada diferansiyellenebilir .

Teorem kanıtlandı.

Yorum. Teorem 1'den sonlu türevi olan bir fonksiyon ile türevlenebilir bir fonksiyon kavramlarının eşdeğer olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle sonlu türevi olan bir fonksiyona türevlenebilir denilebilir, ki bazı ders kitaplarının yazarları da bunu yapar.

Fonksiyonların süreklilik ve türevlenebilirlik özellikleri birbiriyle nasıl ilişkilidir? Meydana gelmek

Teorem 2. Eğer fonksiyon
noktada diferansiyellenebilir ise bu noktada süreklidir.

Kanıt. Çünkü o noktada
, elimizde, bu da fonksiyonun noktadaki sürekliliği anlamına geliyor .

Teorem kanıtlandı.

Bunun tersi doğru değildir, yani diferansiyellenemeyen sürekli fonksiyonlar vardır.

Örnek 1. Fonksiyonun olduğunu gösterelim.
sürekli fakat bir noktada türevlenebilir değil
.

Çözüm. Fonksiyonun o noktadaki artışını bulalım.
, artışa karşılık gelen
argüman. Sahibiz. Bu yüzden
yani fonksiyon
bir noktada sürekli
. Diğer tarafta,,

yani noktadaki tek taraflı türevler
eşit değildir, bu nedenle bu fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.

Matematiksel analizde sayı doğrusu üzerindeki her noktada sürekli olan ancak türevi alınamayan fonksiyon örnekleri vardır. Karmaşık bir tasarıma sahiptirler.

Teorem 3. Fonksiyona izin verin
şu noktada var türev
, işlev
karşılık gelen noktada var
türev
. Daha sonra karmaşık fonksiyon
şu noktada var türev

veya kısaca,
.

Kanıt. Değer verelim artış
. Sonra karşılık gelen artışı elde ederiz
işlevler
ve artırma
işlevler
. Teorem 1'e göre elimizde

, Nerede
en
.

şunu unutmayın:
, Daha sonra
Teorem 2'ye göre, bu nedenle
. Buradan,.

Eşitliğin sağ tarafında bir limit olduğundan sol tarafta da bir limit vardır ve

Teorem kanıtlandı.

Yorum. Teorem 3 karmaşık fonksiyonun olduğu durum için kanıtlanmıştır.
bir ara değişkeni vardır
. Birkaç ara değişken varsa türev benzer şekilde hesaplanır. Örneğin, eğer
,
,
, O.

§ 3. Farklılaşma kuralları. Temel temel fonksiyonların türevleri

Teorem 1. Fonksiyonun
, sürekli, segmentte kesinlikle monoton
ve iç noktada türevlenebilir bu bölüm ve
. O zaman ters fonksiyon
noktada diferansiyellenebilir
, Ve
.

Kanıt. Teoremin koşulları altında ters fonksiyonun olduğuna dikkat edin.
aralıkta sürekli ve kesinlikle monotondur
Bölüm 1, § 19'daki teorem sayesinde.

Hadi ona bir anlam verelim artış
. Daha sonra
bir artış alacak

(işlevden beri
kesinlikle monoton). Bu nedenle yazabiliriz
. Ne zamandan beri
ters fonksiyonun sürekliliği nedeniyle ve
ve varsayım gereği var
, sahibiz
. Bu, varlığı ima eder ve eşitlik
. Teorem kanıtlandı.

Örnek 1. Fonksiyonların türevlerini bulun arksin X,Arcco'lar X,arktg X,arkctg X/

Çözüm. Teorem 1'e göre elimizde (çünkü
, sahibiz
ve artı işaretiyle kökü alın).

Aynı şekilde,

Teorem 2. Eğer işlevler
Ve
noktada türevleri var , o zaman bu noktada türevleri ve fonksiyonları var
(Eğer
) ve formüller geçerlidir

A)
;B)
;V)
.

Kanıt.A) İzin vermek
. Hadi verelim artış
. Daha sonra işlevler sen,v,sen artışlar alacak
, Ve

. Buradan
ve eşitlik A) kanıtlanmış.

B) İzin vermek
. Nokta ile aynı A) sahibiz

,
, yani formül geçerli B).

V) İzin vermek
. Sahibiz
,
,
yani formül geçerli V).

Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar. 1) Eğer
, O
.

2) Formül A) herhangi biri için geçerlidir sonlu sayışartlar.

Kanıt. 1) Çünkü
, sahibiz.

İÇİNDE Genel dava 2) ve 3) numaralı sonuçlar matematiksel tümevarım yöntemiyle kanıtlanmıştır.

Üstel fonksiyonu düşünün
, Nerede sen Ve v– bazı işlevler X. Fonksiyonun türevini bulalım en Fonksiyonların türevlenebildiği noktada sen Ve v.Bunu yapmak için işlevi hayal edin en gibi
.Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyel kuralına göre, Teorem 2 ve § 1'deki Örnek 1'e dayanarak şunu elde ederiz:

Böylece,

Ortaya çıkan formülde ilk terimin farklılaşmanın sonucu olduğuna dikkat edin. Nasıl üstel fonksiyon ve ikincisi – şu şekilde güç fonksiyonu. Kullanılan farklılaştırma tekniğine denir logaritmik farklılaşma . Farklılaştırılan fonksiyonun çeşitli faktörlerin ürünü olduğu durumlarda da kullanılması uygun olabilir.

Şimdi fonksiyonların parametrik özelliklerine geçelim. İşlev bağımlılığı ise en tartışmadan X doğrudan ayarlanmaz, ancak üçüncü bir değişken kullanılır T, adı verilen parametre, formüller

, (3.1)

sonra fonksiyonun olduğunu söylüyorlar en itibaren X parametrik olarak belirtilir.

Eğer X Ve en Düzlemdeki bir noktanın dikdörtgen koordinatları olarak kabul edilirse, denklemler (3.1) her değerle ilişkilendirilir.
nokta
yüzeyde. Değişim ile T nokta
düzlemdeki bazı eğrileri tanımlar. Denklemlere (3.1) bu eğrinin parametrik denklemleri adı verilir. Örneğin, denklemler

(3.2)

yarı eksenli bir elipsin parametrik denklemleridir A Ve B.

(3.1) denkleminde ise
nispeten izin verilir T,
, O parametrik spesifikasyon işlevler açıkça azaltılabilir:

Türevini bulalım Parametrik olarak belirtilen fonksiyon. Bunu yapmak için, işlevlerin olduğunu varsayalım.
Ve
türevlenebilir ve
belirli aralıklarla ve işlev için
ters bir fonksiyon var
, sonlu bir türevi olan
. Daha sonra karmaşık ve farklılaşma kuralına göre ters fonksiyonlar bulduk:
. Böylece,

. (3.3)

Örneğin türev Denklemler (3.2) ile tanımlanan fonksiyon şu şekildedir:

Bir noktada parametrik olarak tanımlanan bir eğriye teğet denklemi
parametre değerine karşılık gelen , yerine ise denklem (1.4)'ten elde edilir
yerine geçmek :

buradan itibaren
sahibiz

. (3.4)

Benzer şekilde denklem (1.5)'ten normal denklemi elde ederiz:

veya. (3.5)

Şimdi temel denklemin türevlerinin özet tablolarını yazalım. temel işlevler ve daha önce elde edilen türev alma kuralları.

Farklılaşma kuralları

1.
. 2.
. 3.
. 4.
.

5. Eğer
, O
. 6. Eğer
O
.

7. Eğer
ters fonksiyondur, o zaman
. 8..

Temel temel fonksiyonların türevleri tablosu

1.
, Nerede
. 2.
, özellikle,

3.
. 4.
.
.

5.
. 6.
.

7.
. 8.
.

9.
. 10.
.

11.
, özellikle,
. 12.
, özellikle,
.

Uçakta ilginç bir set oluşturalım İÇİNDEşu şekilde: böl, düz çizgilerle karele
9'a kadar eşit kareler ve bunlardan beşini orijinal karenin köşelerine bitişik olmayan şekilde açık olarak atın. Daha sonra kalan karelerin her birini de 9 parçaya bölüyoruz ve beşini atıyoruz, vb. Sayılabilir sayıda adımdan sonra kalan küme şu şekilde gösterilir: B ve hadi arayalım Sierpinski Mezarlığı. Atılan karelerin alanını hesaplayalım:

Sierpinski mezarlığı mükemmel ve hiçbir yerde değil yoğun set.

Kümenin fraktal yapısına dikkat edelim.

2.2 Cantor'un tarağı

Hadi arayalım Kantor tarağı bir demet D yüzeyde Oksi tüm noktalardan oluşan
Koordinatları aşağıdaki koşulları karşılayan:
, Nerede
- Eksen üzerinde ayarlanan cantor Oy. Bir Cantor tarağı, uçakta hiçbir yerde yoğun olmayan mükemmel bir settir. Bir demet D tüm noktalardan oluşur
orijinal birim kare apsisleri keyfi olan
ve koordinatlar, üçlü işaretleri arasında bir birim içermeyen üçlü kesir olarak yazılabilir.

ayarlamak mümkün mü B(Sierpinski Mezarlığı) ve D(Cantor tarağı) Cantor seti aracılığıyla eksprese edilir
Segmentin tamamlayıcısı ve Kartezyen çarpımının operasyonlarını mı kullanıyorsunuz? Belli ki setler B Ve D basitçe ifade edildi:

B=
X

D= x

3 Cantor işlevi

Bir parçanın hiçbir yerinde yoğun olmayan bir kümeyi bu parçanın üzerine sürekli olarak haritalamak mümkün müdür?

Evet hiçbir yerde yoğun olmayan Cantor kümesini ele alalım. Yapımın ilk adımında, birinci türden bitişik aralığın noktalarında fonksiyonun değerini 0,5'e eşitliyoruz. İkinci adımda, ikinci türden her bir bitişik aralık için sırasıyla 0,25 ve 0,75 fonksiyon değerini atarız. Onlar. her parçayı bir eksene bölmüş gibiyiz Oy yarısında ( sen Ben) ve karşılık gelen bitişik aralıkta fonksiyonun değerini şu değere eşit olarak ayarlayın: evet.

Sonuç olarak, segment üzerinde tanımlanmış ve setteki her noktanın belirli bir mahallesinde sabit olan, azalmayan bir fonksiyon aldık (“Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinde kanıtlanmıştır) \
. Yapılandırılmış işlev
isminde Cantor işlevi(Cantor fonksiyonu) ve aşağıdaki grafiği ""şeytanın merdivenleri"".

Fonksiyonun fraktal yapısına dikkat edin:

İşlev
aşağıdaki eşitsizliği karşılar:

Cantor fonksiyonu aralıkta süreklidir. Azalmaz ve değerleri kümesi tüm segmenti oluşturur. Bu nedenle fonksiyon
hiçbir sıçraması yok. Ve çünkü monotonik bir fonksiyonun sıçramalar dışında süreksizlik noktaları olamaz (bkz. süreklilik kriteri) monoton fonksiyonlar), o zaman süreklidir.

İlginç bir gözlem, sürekli Cantor fonksiyonunun grafiğinin olmasıdır.
"Kalemi kağıttan kaldırmadan" çizim yapmak imkansızdır.

Her yerde sürekli olan fakat hiçbir yerde türevi alınamayan fonksiyon

Yardımcı fonksiyon oluşturalım
bir segmentte adım adım. Sıfır adımında iki nokta belirleyeceğiz:

Ve
.

Daha sonra parametreyi düzeltiyoruz . İlk ve sonraki adımlarda noktaları şu şekilde ayarlayacağız: sonraki kural: x ekseni boyunca bitişik önceden oluşturulmuş her iki nokta için Ve iki yeni nokta inşa edeceğiz Ve noktalarla tanımlanan dikdörtgenin merkezine göre merkezi olarak simetrik Ve katsayılı k. Yani ilk adımda iki yeni nokta belirlenir:

Ve
, vesaire.

Açık (m+1)- apsisli önceden oluşturulmuş noktalara ek olarak om adım

Önceden inşa edilmiş bitişik noktalar arasındaki apsis boyunca tüm boşluklara iki nokta inşa edilir. Bu inşaat şu şekilde gerçekleştirilir: apsis ekseni boyunca bitişik noktalar arasındaki boşluklar (kenarları olan dikdörtgenler) A Ve B) her biri 3 eşit parçaya bölünür. Daha sonra aşağıdaki şemalardan birine göre iki yeni nokta inşa edilir:

Komşu noktalardan hangisine bağlı olarak veya yukarıda sol veya sağ şemayı kullanın. İlk adımda yukarıda gösterildiği gibi kabul ediyoruz. a = b = 1.

m = 1, 2, 3, … için inşayı sayılabilir sayıda tekrarlıyoruz. Sonuç olarak, her şeritte bulunan herhangi bir parçanın bazı afin dönüşümlerine (gerilme, sıkıştırma, döndürme) kadar benzer olacak bir fraktal elde edeceğiz:

;

Fraktalı oluşturmanın bir sonucu olarak, fonksiyonu elde ederiz.
bir dizi nokta üzerinde tanımlanmış

,
;
(*)

segmentin her yerinde yoğundur.

Oluşturulan fonksiyon hangi özelliklere sahiptir?

Formun (*) her noktasında ya kesin bir maksimum ya da kesin bir minimum vardır; işlev G(X) hiçbir yerde monoton değildir ve segment üzerinde yoğun ekstremum noktaları vardır;

g(x) fonksiyonu süreklidir ve hatta (*) noktaları kümesi üzerinde düzgün biçimde süreklidir;

segment üzerinde sürekli oluşturulan fonksiyonun herhangi bir noktası yoktur bu segmentin tek taraflı türevler bile;

Yukarıdaki özellikler “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinde kanıtlanmıştır.

Ele alınan örnekte parametreyi varsaydık. . Bu parametrenin değerini değiştirerek kendine has özelliklere sahip fonksiyon aileleri elde edebilirsiniz.

Bir parça üzerinde adım adım bir yardımcı fonksiyon oluşturalım. Sıfır adımında iki nokta belirleyeceğiz:

Ve .

Daha sonra parametreyi düzeltiyoruz. İlk ve sonraki adımlarda, aşağıdaki kurala göre noktaları belirleyeceğiz: apsis ekseni boyunca bitişik önceden oluşturulmuş her iki nokta için, iki yeni nokta oluşturacağız ve bu noktalarla tanımlanan dikdörtgenin merkezine göre merkezi olarak simetrik olarak ve bir katsayı ile k. Yani ilk adımda iki yeni nokta belirlenir:

Ve , vesaire.

Açık (m+1)- apsisli önceden oluşturulmuş noktalara ek olarak om adım

Komşu noktalardan hangisinin daha yüksek veya daha yüksek olduğuna bağlı olarak sol veya sağ şemayı kullanırız. İlk adımda yukarıda gösterildiği gibi kabul ediyoruz. a = b = 1.

m = 1, 2, 3, … için inşayı sayılabilir sayıda tekrarlıyoruz. Sonuç olarak, belirli bir dereceye kadar benzer olacak bir fraktal elde edeceğiz. afin dönüşüm Her şeritte bulunan parçalardan herhangi birinin (gerilmesi, sıkıştırılması, döndürülmesi):

;

Fraktal oluşturmanın bir sonucu olarak, bir dizi nokta üzerinde tanımlanan bir fonksiyon elde ederiz.

segmentin her yerinde yoğundur.

Oluşturulan fonksiyon hangi özelliklere sahiptir?

· formun (*) her noktasında ya kesin bir maksimum ya da kesin bir minimum vardır; işlev g(x) hiçbir yerde monoton değildir ve segment üzerinde yoğun ekstremum noktaları vardır;

· g(x) fonksiyonu süreklidir ve hatta (*) noktaları kümesinde düzgün biçimde süreklidir;

· bir parça üzerinde sürekli oluşturulan fonksiyonun bu parçanın herhangi bir noktasında tek taraflı türevleri bile yoktur;

Yukarıdaki özellikler “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinde kanıtlanmıştır.

Ele alınan örnekte parametreyi varsaydık. Bu parametrenin değerini değiştirerek kendine has özelliklere sahip fonksiyon aileleri elde edebilirsiniz.

· . Bu işlevler süreklidir ve kesinlikle monoton bir şekilde artmaktadır. Parçanın her yerinde yoğun olan nokta kümeleri üzerinde sıfır ve sonsuz türevleri (sırasıyla bükülme noktaları) vardır.

· . Kabul edilmiş doğrusal fonksiyon y = x

· . Fonksiyon ailesinin özellikleri, birinci aralıktaki k değerleriyle aynıdır.

· . Daha önce detaylı olarak incelediğimiz Cantor fonksiyonunu elde ettik.

· . Bu fonksiyonlar süreklidir, hiçbir yerde monoton değildir, kesin minimum ve maksimumlara sahiptir, parçanın her yerinde yoğun olan nokta kümeleri üzerinde sıfır ve sonsuz (her iki işaretin) tek taraflı türevleri vardır.

· . Bu işlev yukarıda tarafımızdan incelenmiştir.

· . Bu aralıktaki işlevler, konumundaki işlevle aynı özelliklere sahiptir.

Çözüm.

Çalışmamda “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersinden bazı örnekleri uyguladım. İÇİNDE bu iş Görselleştirdiğim programların ekran görüntüleri eklendi. Aslında hepsi etkileşimlidir; öğrenci işlevin görünümünü görebilir; özel adım, bunları yinelemeli olarak kendiniz oluşturun ve ölçeği yaklaştırın. İnşaat algoritmaları ve bazı kütüphane fonksiyonları İskelet için özel olarak seçildi ve geliştirildi bu tip problemler (çoğunlukla fraktallar dikkate alındı).

Bu materyal şüphesiz öğretmenler ve öğrenciler için faydalı olacaktır ve “Matematiksel Analizin Seçilmiş Bölümleri” dersindeki derslere iyi bir eşlik edecektir. Bu görselleştirmelerin etkileşimli olması, oluşturulan setlerin doğasını daha iyi anlamaya yardımcı olur ve materyalin öğrenciler tarafından algılanma sürecini kolaylaştırır.

Açıklanan programlar, www.visualmath.ru projesinin görsel modülleri kütüphanesine dahil edilmiştir, örneğin, burada daha önce ele aldığımız Cantor işlevi verilmiştir:

Gelecekte görselleştirilmiş görevler listesinin genişletilmesi ve daha fazlası için inşaat algoritmalarının iyileştirilmesi planlanıyor. verimli çalışma programlar. Www.visualmath.ru projesinde çalışmak şüphesiz pek çok fayda ve deneyim, ekip çalışması becerileri, eğitim materyallerini mümkün olduğunca net bir şekilde değerlendirme ve sunma yeteneği getirdi.

Edebiyat.

1. B. Gelbaum, J. Olmsted, Analizdeki karşı örnekler. M.: Mir.1967.

2. B.M. Makarov ve ark. Gerçek analizde seçilmiş problemler. Nevsky lehçesi, 2004.

3. B. Mandelbrot. Doğanın fraktal geometrisi. Bilgisayar Çalışmaları Enstitüsü, 2002.

4. Yu.S. Ochan, TFDP'de problem ve teoremlerin toplanması. M.: Aydınlanma. 1963.

5.V.M. Shibinsky Matematiksel analiz sürecinde örnekler ve karşı örnekler. M.: Yüksek Lisans, 2007.

6. R.M. Kronover, Fraktallar ve kaos dinamik sistemler, M .: Postmarket, 2000.

7. A. A. Nikitin, Matematiksel analizin seçilmiş bölümleri // Moskova Devlet Üniversitesi Hesaplamalı Matematik ve Matematik Fakültesi'nin genç bilim adamlarının makalelerinin toplanması, 2011 / ed. S. A. Lozhkin. M .: Moskova Devlet Üniversitesi Hesaplamalı Matematik ve Matematik Fakültesi Yayıncılık bölümü. M.V. Lomonosova, 2011. s. 71-73.

8. R.M. Kronover, Dinamik sistemlerde Fraktallar ve kaos, M.: Postmarket, 2000.

9. Fraktal ve her yerde sürekli olan ancak hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyonun oluşturulması // XVI Uluslararası Lomonosov Okumaları: Koleksiyon bilimsel çalışmalar. – Arkhangelsk: Pomeranya Devlet Üniversitesi, 2004. S.266-273.

Sayılabilir sayıda açık kümenin (bitişik aralıklar) birleşimi açıktır ve açık bir kümenin tamamlayıcısı kapalıdır.

Bir noktanın herhangi bir mahallesi A Cantor kümesinden farklı en az bir nokta var A.

Kapalı ve içermiyor yalıtılmış noktalar(her nokta bir limittir).

En fazla her yerde yoğun olan sayılabilir bir küme vardır.

Bir A kümesi, eğer varsa, R uzayının hiçbir yerinde yoğun değildir açık set Bu uzayın bir kısmı A kümesinin noktalarından tamamen bağımsız başka bir açık küme içerir.

Herhangi bir komşuluğu, belirli bir kümenin sayılamayan nokta kümesini içeren bir nokta.

Düzlemdeki bir kümenin hiçbir yerde yoğun olmadığını söyleyeceğiz. metrik uzay R, eğer bu uzayın herhangi bir açık çemberi bu kümenin noktalarından tamamen bağımsız başka bir açık çember içeriyorsa.