Tanım. y = f(x) fonksiyonu x0 noktasında ve onun bazı komşuluklarında tanımlı olsun. y = f(x) fonksiyonu çağrılır x0 noktasında sürekli, Eğer:
1. var
2. bu sınır değere eşit x0 noktasındaki fonksiyonlar: 
Limit tanımlanırken f(x)'in x0 noktasında tanımlanamayacağı, bu noktada tanımlı olması durumunda f(x0) değerinin limitin belirlenmesine hiçbir şekilde katılmayacağı vurgulandı. Sürekliliği belirlerken f(x0)'ın var olması esastır ve bu değerin lim f(x)'e eşit olması gerekir.
Tanım. y = f(x) fonksiyonu x0 noktasında ve onun bazı komşuluklarında tanımlı olsun. Eğer tüm ε>0 için pozitif bir δ sayısı varsa, öyle ki tüm x'ler için x0 noktasının δ-komşuluğunda (yani |x-x0|) bir f(x) fonksiyonuna x0 noktasında sürekli denir.
Burada limitin değerinin f(x0)'a eşit olması gerektiği dikkate alınır, bu nedenle limitin tanımıyla karşılaştırıldığında δ-komşusu 0'ın delinme durumu ortadan kaldırılır.
Artışlar açısından (bir öncekine eşdeğer) bir tanım daha verelim. Δх = x - x0 olarak gösterelim; bu değere argümanın artışı adını vereceğiz. x->x0 olduğundan Δx->0 olur, yani Δx - b.m. (sonsuz) miktar. Δу = f(x)-f(x0) olarak gösterelim, |Δу| olduğundan bu değere fonksiyonun artışı adını vereceğiz. (yeterince küçük |Δх| için) keyfi bir ε>0 sayısından küçük olmalıdır, bu durumda Δу- aynı zamanda b.m'dir. bu nedenle değer
Tanım. y = f(x) fonksiyonu x0 noktasında ve onun bazı komşuluklarında tanımlı olsun. f(x) fonksiyonu çağrılır x0 noktasında sürekli, eğer argümandaki sonsuz küçük bir artış, fonksiyondaki sonsuz küçük bir artışa karşılık geliyorsa.
Tanım. x0 noktasında sürekli olmayan f(x) fonksiyonu, süreksiz denir Bu noktada.
Tanım. Bir f(x) fonksiyonu, bir X kümesinin her noktasında sürekli ise, bu küme üzerinde sürekli olarak adlandırılır.
Bir toplamın, çarpımın ve bölümün sürekliliği üzerine teorem 
Sürekli bir fonksiyonun işareti altında limite geçiş teoremi 
Süperpozisyon süreklilik teoremi sürekli fonksiyonlar
f(x) fonksiyonu bir aralıkta tanımlı olsun ve bu aralıkta monoton olsun. O halde f(x) bu doğru parçası üzerinde yalnızca birinci türden süreksizlik noktalarına sahip olabilir.
Ara değer teoremi. f(x) fonksiyonu bir doğru parçası üzerinde sürekliyse ve a ve b iki noktasında (a, b'den küçüktür) eşit olmayan değerler alıyorsa A = f(a) ≠ B = f(b), o zaman herhangi bir C sayısı için A ve B arasında fonksiyonun değerinin C'ye eşit olduğu bir c ∈ noktası vardır: f(c) = C.
Sürekli bir fonksiyonun bir aralıkta sınırlılığı üzerine teorem. Bir f(x) fonksiyonu bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta sınırlıdır.
Minimum ve maksimum değerlere ulaşma teoremi. f(x) fonksiyonu bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta alt ve üst sınırlarına ulaşır.
Süreklilik teoremi ters fonksiyon. y=f(x) fonksiyonu sürekli ve [a,b] aralığında kesin olarak artan (azalan) olsun. Daha sonra parça üzerinde, yine monoton olarak artan (azalan) ve sürekli olan bir ters fonksiyon x = g(y) vardır.
Bir noktadaki süreklilik için bir fonksiyonun incelenmesi, kontrollerden oluşan önceden oluşturulmuş rutin bir şemaya göre gerçekleştirilir. üç koşul süreklilik:
örnek 1
Süreklilik açısından fonksiyonu inceleyin. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.
Çözüm:
1) Kapsam içindeki tek nokta, fonksiyonun tanımlanmadığı yerdir.
Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir.
Böylece fonksiyon bu noktada çıkarılabilir bir süreksizlikle karşı karşıya kalır.
Bu fonksiyonun grafiği neye benziyor?
basitleştirmek isterim 
ve sıradan bir parabol elde edilmiş gibi görünüyor. ANCAK orijinal fonksiyon noktasında tanımlanmadığından aşağıdaki cümle gereklidir:
Çizimi yapalım: 
Cevap: Fonksiyon, çıkarılabilir bir süreksizliğin olduğu nokta dışında tüm sayı doğrusunda süreklidir.
Fonksiyon iyi veya çok iyi olmayan bir şekilde daha ayrıntılı olarak tanımlanabilir, ancak duruma göre bu gerekli değildir.
Bunun çok uç bir örnek olduğunu mu söylüyorsunuz? Hiç de bile. Bu, pratikte onlarca kez yaşandı. Sitenin görevlerinin neredeyse tamamı gerçek bağımsız çalışma ve testlerden gelmektedir.
Favori modüllerimizden kurtulalım:
Örnek 2
İşlevi keşfedin 
süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizimi yürütün.
Çözüm: Bazı nedenlerden dolayı öğrenciler, karmaşık bir yanı olmamasına rağmen modül içeren işlevlerden korkuyorlar ve hoşlanmıyorlar. Zaten derste bu tür konulara biraz değinmiştik. Geometrik dönüşümler grafikler. Modül negatif olmadığından aşağıdaki şekilde genişletilir: 
, burada "alfa" bir ifadedir. İÇİNDE bu durumda ve fonksiyonumuz parçalı olarak yazılmalıdır: 
Ancak her iki parçanın kesirlerinin de azaltılması gerekir. Azaltma, önceki örnekte olduğu gibi, sonuçsuz gerçekleşmeyecektir. Payda sıfıra gittiği için orijinal fonksiyon bu noktada tanımlı değildir. Bu nedenle sistem ek olarak koşulu belirtmeli ve ilk eşitsizliği katı yapmalıdır: 
Şimdi ÇOK hakkında FAYDALI resepsiyonçözümler: Taslak üzerinde işi bitirmeden önce (şartlar gerektirsin veya gerektirmesin) çizim yapmak avantajlıdır. Bu, öncelikle süreklilik ve süreksizlik noktalarını anında görmenize yardımcı olacak ve ikinci olarak, tek taraflı limitleri bulurken sizi hatalardan %100 koruyacaktır.
Çizimi yapalım. Hesaplamalarımıza göre noktanın soluna bir parabol parçası çizmek gerekiyor ( Mavi renk) ve sağda bir parabolün parçası (kırmızı) bulunurken, fonksiyon noktanın kendisinde tanımlanmamıştır: 
Şüpheniz varsa birkaç x değeri alın ve bunları fonksiyona ekleyin 
(modülün olası eksi işaretini yok ettiğini unutmayın) ve grafiği kontrol edin.
Süreklilik fonksiyonunu analitik olarak inceleyelim:
1) Fonksiyon bu noktada tanımlı olmadığı için bu noktada sürekli olmadığını hemen söyleyebiliriz.
2) Süreksizliğin doğasını belirleyelim; bunun için tek taraflı limitleri hesaplayalım: 
Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir. Kesme noktasındaki fonksiyonun tanımlı olup olmamasının önemli olmadığını unutmayın.
Şimdi geriye kalan tek şey çizimi taslaktan aktarmak (sanki araştırma yardımıyla yapılmış gibi ;-)) ve görevi tamamlamak:
Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizliğe maruz kaldığı nokta dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.
Bazen süreksizlik sıçramasının ek göstergesine ihtiyaç duyarlar. Basitçe hesaplanır - sağ limitten sol limiti çıkarmanız gerekir: yani kırılma noktasında fonksiyonumuz 2 birim aşağıya sıçradı (eksi işaretinin bize söylediği gibi).
Örnek 3
İşlevi keşfedin 
süreklilik için. Varsa fonksiyon süreksizliklerinin doğasını belirleyin. Çizim yapmak.
Bu bir örnektir bağımsız karar, yaklaşık örnekÇözümler dersin sonunda.
İşlev üç bölümden oluştuğunda görevin en popüler ve yaygın versiyonuna geçelim:
Örnek 4
Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve fonksiyonun grafiğini çizin
.
Çözüm: Fonksiyonun üç bölümünün de karşılık gelen aralıklarda sürekli olduğu açıktır, bu nedenle parçalar arasındaki yalnızca iki "birleşim" noktasını kontrol etmek kalır. Öncelikle bir taslak çizim yapalım; yazımın ilk bölümünde yapım tekniğini yeterince detaylı bir şekilde anlattım. Tek şey, tekil noktalarımızı dikkatlice takip etmemiz gerektiğidir: eşitsizlikten dolayı değer düz çizgiye aittir ( yeşil Nokta) ve eşitsizlik nedeniyle değer parabole (kırmızı nokta) aittir: 
Prensip olarak her şey açık =) Geriye kalan tek şey kararı resmileştirmek. İki "birleşme" noktasının her biri için standart olarak 3 süreklilik koşulunu kontrol ederiz:
BEN)
1) 
Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktasındaki bir sıçramayla 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir.
Süreksizlik sıçramasını sağ ve sol limitler arasındaki fark olarak hesaplayalım:
yani grafik bir birim yukarı sarsıldı.
II) Süreklilik noktasını inceliyoruz
1) 
- fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.
2) Tek taraflı limitleri bulun:
- Tek taraflı limitler sonlu ve eşittir, yani genel bir limit vardır.
3) 
Son aşamada çizimi son versiyona aktarıyoruz, ardından son akoru koyuyoruz:
Cevap: fonksiyon, bir sıçrama ile birinci türden bir süreksizliğe maruz kaldığı nokta hariç, tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.
Örnek 5
Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve grafiğini oluşturun 
.
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. kısa çözüm ve dersin sonunda görevin yaklaşık bir örneği.
Bir noktada fonksiyonun sürekli olması gerektiği, diğer noktada ise süreksizliğin olması gerektiği izlenimine kapılabilirsiniz. Uygulamada bu her zaman böyle değildir. Kalan örnekleri ihmal etmemeye çalışın; birkaç ilginç ve önemli özellik olacaktır:
Örnek 6
Bir fonksiyon verildiğinde 
. Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Bir grafik oluşturun.
Çözüm: ve tekrar taslaktaki çizimi hemen yürütün: 
tuhaflık bu programın o zaman mı bölümlü işlevi x ekseni denklemi ile verilir. Bu alan buraya çizilir yeşil ve bir not defterinde genellikle basit bir kalemle kalın harflerle vurgulanır. Ve tabii ki koçlarımızı da unutmayın: değer teğet dalına (kırmızı nokta) ve değer de düz çizgiye aittir.
Çizimde her şey açıktır - fonksiyon tüm sayı doğrusu boyunca süreklidir, geriye kalan tek şey, 3-4 benzer örnekten sonra kelimenin tam anlamıyla tam otomasyona getirilen çözümü resmileştirmektir:
BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz
2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:
yani genel bir limit var.
Burada küçük komik bir şey oldu. Gerçek şu ki, pek çok materyal yarattım bir fonksiyonun sınırları hakkında ve birkaç kez istedim ama birkaç kez birini unuttum basit soru. Ve böylece, inanılmaz bir irade çabasıyla, kendimi düşüncemi kaybetmemeye zorladım =) Büyük olasılıkla, bazı "aptal" okuyucular şüphe ediyor: Neden eşit limit sabitler? Bir sabitin limiti sabitin kendisine eşittir. Bu durumda sıfırın limiti sıfırın kendisine eşittir (sol limit).
3) 
- Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.
Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.
II) Süreklilik noktasını inceliyoruz
1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır.
2) Tek taraflı limitleri bulun:
Ve burada, sağdaki limitte, birliğin sınırı birliğin kendisine eşittir.
- genel bir sınır vardır.
3) 
- Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.
Dolayısıyla bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin tanımına göre bir fonksiyon bir noktada süreklidir.
Her zamanki gibi araştırma sonrasında çizimimizi son versiyona aktarıyoruz.
Cevap: Fonksiyon noktalarda süreklidir.
Lütfen, bu durumda bize süreklilik için tüm fonksiyonun incelenmesi hakkında hiçbir şey sorulmadığını ve formüle etmenin iyi bir matematiksel form olarak kabul edildiğini unutmayın. kesin ve net sorulan sorunun cevabı. Bu arada, koşullar bir grafik oluşturmanızı gerektirmiyorsa, o zaman onu oluşturmama hakkına sahipsiniz (ancak daha sonra öğretmen sizi bunu yapmaya zorlayabilir).
Sorunu kendi başınıza çözmek için küçük bir matematiksel "tekleme":
Örnek 7
Bir fonksiyon verildiğinde 
.
Fonksiyonu noktalardaki süreklilik açısından inceleyin. Varsa kesme noktalarını sınıflandırın. Çizimi yürütün.
Tüm "kelimeleri" doğru "telaffuz etmeye" çalışın =) Ve grafiği daha kesin, doğru çizin, her yerde gereksiz olmayacak;-)
Hatırlayacağınız gibi çizimi taslak olarak hemen tamamlamanızı önermiştim ancak zaman zaman grafiğin neye benzediğini hemen anlayamadığınız örneklerle karşılaşıyorsunuz. Bu nedenle, bazı durumlarda önce tek taraflı limitleri bulmak ve ancak daha sonra çalışmaya dayalı olarak dalları tasvir etmek avantajlıdır. İkiye son örnekler Ek olarak, bazı tek taraflı limitleri hesaplama tekniğinde de ustalaşacağız:
Örnek 8
Fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin ve şematik grafiğini oluşturun.
Çözüm: kötü noktalar açıktır: (üssün paydasını sıfıra indirir) ve (tüm kesrin paydasını sıfıra indirir). Bu fonksiyonun grafiğinin neye benzediği belli değil, bu da ilk önce biraz araştırma yapmanın daha iyi olduğu anlamına geliyor:
BEN) Süreklilik noktasını inceliyoruz
2) Tek taraflı limitleri bulun:
dikkat et tek taraflı limiti hesaplamak için tipik yöntem: "x" yerine . Paydada suç yoktur: “toplama” “eksi sıfır” rol oynamaz ve sonuç “dört” olur. Ancak payda küçük bir gerilim yaşanıyor: önce göstergenin paydasında -1 ve 1'i öldürüyoruz, sonuçta . Birim bölünmüş , “eksi sonsuz”a eşittir, dolayısıyla: . Ve son olarak “iki” sonsuz büyüklükte negatif derece
sıfıra eşit: . Veya daha spesifik olmak gerekirse: 
.
Sağdan limiti hesaplayalım:
Ve burada "X" yerine . Paydada “katkı maddesi” yine bir rol oynamaz: . Payda önceki sınıra benzer eylemler gerçekleştirilir: yok ederiz zıt sayılar ve birer birer bölün : 
Sağdan limit sonsuzdur, bu da fonksiyonun noktasında 2. türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir.
II) Süreklilik noktasını inceliyoruz
1) Fonksiyon bu noktada tanımlanmamıştır.
2) Sol taraftaki limiti hesaplayalım:
Yöntem aynıdır: Fonksiyonun yerine "X" koyarız. Payda ilginç bir şey yok - sonlu bir pozitif sayı olduğu ortaya çıkıyor. Ve paydada parantezleri açıyoruz, "üçleri" kaldırıyoruz ve Belirleyici rol"ekleyici" oyunlar.
Sonuç olarak, son pozitif sayı bölünür sonsuz küçük pozitif sayı, “artı sonsuzluğu” verir: .
Sağdaki limit, paydada görünmesi dışında ikiz kardeş gibidir. sonsuz küçük negatif sayı:
Tek taraflı limitler sonsuzdur, bu da fonksiyonun noktasında 2. türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir.
Böylece grafiğin iki kırılma noktası ve tabii ki üç dalı var. Her şube için yapılması tavsiye edilir. noktasal yapı, yani birkaç “x” değeri alın ve bunları yerine koyun. Durumun şematik bir çizimin oluşturulmasına izin verdiğini ve bu tür bir rahatlamanın doğal olduğunu unutmayın. kendi emeğiyle. Bir program kullanarak grafikler oluşturuyorum, bu yüzden bu kadar zorluk çekmiyorum, işte oldukça doğru bir resim:
Doğrudan dikey asimtotlar Bu fonksiyonun grafiği için.
Cevap: Fonksiyon, 2. tür süreksizliklere maruz kaldığı noktalar dışında tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir.
Daha basit fonksiyon bağımsız çözüm için:
Örnek 9
Fonksiyonun sürekliliğini inceleyin ve şematik bir çizim yapın.
Sonunda fark edilmeden ortaya çıkan yaklaşık bir örnek çözüm.
Yakında görüşürüz!
Çözümler ve cevaplar:
Örnek 3:Çözüm
: fonksiyonu dönüştürün: 
. Modül açıklama kuralı dikkate alındığında 
ve gerçeği fonksiyonu parçalı biçimde yeniden yazıyoruz:
Fonksiyonun sürekliliğini inceleyelim.
1) Fonksiyon bu noktada tanımlı değil .
Tek taraflı limitler sonlu ve farklıdır; bu, fonksiyonun noktada bir sıçrama ile 1. türden bir süreksizliğe maruz kaldığı anlamına gelir. . Çizimi yapalım:
Cevap: fonksiyon nokta dışında tüm sayı doğrusunda süreklidir burada bir sıçramayla birinci türden bir süreksizlik yaşanıyor. Atlama Boşluğu: (iki birim yukarı).
Örnek 5:Çözüm
: her biri Üç parça fonksiyonu kendi aralığında süreklidir.
BEN)
1)
2) Tek taraflı limitleri hesaplayalım:
yani genel bir limit var.
3)
- Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine eşittir.
Yani fonksiyon bir noktada sürekli Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini tanımlayarak.
II)
Süreklilik noktasını inceliyoruz
1) - fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır. fonksiyon bu noktada 2. türden bir süreksizliğe maruz kalır
Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur?
Çözüm örnekleri
Bir yerde bir şeyler eksikse bir yerlerde bir şeyler var demektir
“Fonksiyonlar ve Grafikler” bölümünde çalışmalarımıza devam ediyoruz ve yolculuğumuzun bir sonraki istasyonu İşlev Etki Alanı. Aktif tartışma bu kavram ilk derste başladım fonksiyon grafikleri hakkında nerede inceledim temel işlevler ve özellikle de tanım alanları. Bu nedenle bazı temel noktalar üzerinde tekrar durmayacağım için kuklaların konunun temellerinden başlamasını tavsiye ederim.
Okuyucunun ana fonksiyonların tanım alanlarını bildiği varsayılmaktadır: doğrusal, ikinci dereceden, kübik fonksiyon, polinomlar, üs, logaritma, sinüs, kosinüs. Üzerinde tanımlanırlar. Teğetler, yaylar için öyle olsun, sizi affediyorum =) Daha nadir grafikler hemen hatırlanmaz.
Tanımın kapsamı basit gibi görünüyor ve mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: Makale ne hakkında olacak? Açık bu ders Bir fonksiyonun tanım tanım kümesini bulmayla ilgili yaygın problemleri ele alacağım. Üstelik tekrar edeceğiz tek değişkenli eşitsizlikler diğer görevlerde çözüm becerileri gerekli olacak yüksek Matematik. Bu arada materyalin tamamı okul materyali olduğundan sadece öğrenciler için değil öğrenciler için de faydalı olacaktır. Bilgiler elbette ansiklopedik gibi görünmüyor, ancak burada abartılı "ölü" örnekler değil, gerçek pratik çalışmalardan alınan kavrulmuş kestaneler var.
Konuya hızlı bir giriş yaparak başlayalım. Kısaca asıl konuya değinelim: Tek değişkenli bir fonksiyondan bahsediyoruz. Onun tanım alanı "x"in birçok anlamı, hangisi için var olmak"Oyuncular"ın anlamları. Hadi düşünelim koşullu örnek:
Bu fonksiyonun tanım alanı aralıkların birleşimidir:
(unutanlar için: - birleştirme simgesi). Başka bir deyişle, aralıktan veya aralığından herhangi bir "x" değeri alırsanız, bu tür her "x" için bir "y" değeri olacaktır.
Kabaca söylemek gerekirse, tanımın tanım kümesinin olduğu yerde, fonksiyonun bir grafiği vardır. Ancak yarı aralık ve “tse” noktası tanım alanına dahil edilmediğinden orada grafik yoktur.
Evet, bu arada, ilk paragrafların terminolojisinde ve/veya içeriğinde anlaşılmayan bir şey varsa yazıya geri dönmek daha iyi olur. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri.
Tanım
Fonksiyon f (X) isminde x noktasında sürekli 0
bu noktanın komşuluğu ve eğer x'in limiti x'e doğru gidiyorsa 0
x'teki fonksiyon değerine eşit 0
:
.
Bir fonksiyonun limitinin Cauchy ve Heine tanımlarını kullanarak şunu verebiliriz: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğine ilişkin genişletilmiş tanımlar .
Süreklilik kavramını şu şekilde formüle edebiliriz: artışlar açısından. Bunu yapmak için, x değişkeninin o noktadaki artışı adı verilen yeni bir değişken tanıtıyoruz. O halde fonksiyon şu noktada süreklidir:
.
Yeni bir fonksiyon tanıtalım:
.
Onu aradılar fonksiyon artışı noktada .
.
O halde fonksiyon şu noktada süreklidir:
Fonksiyon f (X) isminde Sağda sürekliliğin tanımı (solda) 0
sağda (solda) x noktasında sürekli 0
x'teki fonksiyon değerine eşit 0
:
.
, eğer bu noktanın sağ taraftaki (sol taraftaki) bir komşuluğunda tanımlanmışsa ve x noktasındaki sağ (sol) limit ise
Sürekli bir fonksiyonun sınırlılığı üzerine teorem (X) f fonksiyonu olsun 0
x noktasında süreklidir . Sonra bir mahalle U var(x0)
, işlevin sınırlı olduğu.
Sürekli bir fonksiyonun işaretinin korunmasına ilişkin teorem
.
Fonksiyon bir noktada sürekli olsun. Ve bu noktada pozitif (negatif) bir değere sahip olsun:
Daha sonra fonksiyonun pozitif (negatif) bir değere sahip olduğu noktanın bir komşuluğu vardır:
. Aritmetik özellikler
sürekli fonksiyonlar
Fonksiyonlar ve noktasında sürekli olsun.
O halde fonksiyonlar, ve noktasında süreklidir.
Eğer ise fonksiyon o noktada süreklidir.
Sol-sağ süreklilik özelliği
Bir fonksiyon bir noktada süreklidir ancak ve ancak sağda ve solda süreklidir.
Özelliklerin ispatları “Bir noktada sürekli olan fonksiyonların özellikleri” sayfasında verilmiştir.
Süreklilik teoremi Karmaşık bir fonksiyonun sürekliliği
karmaşık fonksiyon
Fonksiyon bir noktada sürekli olsun. Fonksiyonun bu noktada sürekli olmasına izin verin.
O halde karmaşık fonksiyon bu noktada süreklidir.
Karmaşık bir fonksiyonun limiti
Bir fonksiyonun sürekli fonksiyonunun limiti üzerine teorem
.
Fonksiyonun 'da bir limiti olsun ve bu şuna eşit olsun: 0
İşte t noktası
sonlu veya sonsuz uzaklıkta olabilir: .
Fonksiyonun bu noktada sürekli olmasına izin verin.
.
O zaman karmaşık bir fonksiyonun bir limiti vardır ve şuna eşittir:
Karmaşık bir fonksiyonun sınırına ilişkin teorem
Fonksiyonun bir limiti olsun ve bir noktanın delinmiş komşuluğunu bir noktanın delinmiş komşuluğuna eşleyin. Fonksiyon bu komşuluk üzerinde tanımlansın ve üzerinde bir limit olsun. Burada - sonlu veya sonsuz uzak noktalar
: . Mahalleler ve onlara karşılık gelen sınırlar iki taraflı veya tek taraflı olabilir.
.
O halde karmaşık bir fonksiyonun bir limiti vardır ve bu şuna eşittir:
Kırılma noktaları
Fonksiyonun noktanın bazı delinmiş komşuluklarında tanımlandığını varsayalım. Nokta denir fonksiyon kırılma noktası iki koşuldan biri karşılanırsa:
1) 'de tanımlanmamış;
2) 'da tanımlıdır, ancak bu noktada değildir.
1. tür süreksizlik noktasının belirlenmesi
Nokta denir Birinci türden süreksizlik noktası if bir kırılma noktasıdır ve solda ve sağda sonlu tek taraflı limitler vardır:
.
Fonksiyon atlamanın tanımı
Atlama Δ işlevi bir noktada sağdaki ve soldaki sınırlar arasındaki farktır
.
Kırılma noktasının belirlenmesi
Nokta denir çıkarılabilir kırılma noktası eğer bir sınır varsa
,
ancak noktadaki fonksiyon ya tanımlı değil ya da sınır değerine eşit değil: .
Böylece çıkarılabilir süreksizlik noktası, fonksiyonun sıçramasının gerçekleştiği 1. türden süreksizlik noktasıdır. sıfıra eşit.
2. tür süreksizlik noktasının belirlenmesi
Nokta denir ikinci türün süreksizlik noktası 1. türden bir süreksizlik noktası değilse. Yani, en az bir tek taraflı limit yoksa veya bir noktada en az bir tek taraflı limit sonsuza eşittir.
Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri
Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun tanımı
Bir fonksiyon, açık aralığın (at) tüm noktalarında ve sırasıyla a ve b noktalarında sürekli ise, bir (at) aralığında sürekli olarak adlandırılır.
Weierstrass'ın bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun sınırlılığına ilişkin ilk teoremi
Bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise bu aralıkta sınırlıdır.
Maksimumun (minimum) ulaşılabilirliğinin belirlenmesi
Bir fonksiyon, eğer bir argüman varsa, kümedeki maksimum (minimum) değerine ulaşır.
hepsi için .
Üst (alt) yüzün ulaşılabilirliğinin belirlenmesi
Bir fonksiyon, eğer bir argüman varsa, kümedeki üst (alt) sınırına ulaşır.
.
Weierstrass'ın sürekli bir fonksiyonun maksimum ve minimumuna ilişkin ikinci teoremi
Bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyon üst ve üst limitlerine ulaşır. alt kenarlar veya aynı şey olan aralıkta maksimum ve minimum değerine ulaşır.
Bolzano-Cauchy ara değer teoremi
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin. Ve C olsun Rasgele sayı, segmentin uçlarındaki fonksiyon değerleri arasında bulunur: ve . O zaman bir nokta var
.
Sonuç 1
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin. Ve segmentin uçlarındaki fonksiyon değerlerinin farklı işaretler: veya . Sonra fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu bir nokta vardır:
.
Sonuç 2
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli olmasına izin verin. Bırak gitsin . Daha sonra fonksiyon, tüm değerlerin aralığını ve yalnızca bu değerlerden alır:
Daha sonra fonksiyonun pozitif (negatif) bir değere sahip olduğu noktanın bir komşuluğu vardır:
Ters fonksiyonlar
Ters fonksiyonun tanımı
Bir fonksiyonun X tanım alanına ve Y değerlerine sahip olmasına izin verin. Ve şu özelliğe sahip olmasına izin verin:
hepsi için .
O zaman Y kümesindeki herhangi bir öğe için X kümesinin yalnızca bir öğesi ilişkilendirilebilir. Bu yazışma, adı verilen bir işlevi tanımlar. ters fonksiyonİle . Ters fonksiyon şu şekilde gösterilir:
.
Tanımdan şu sonuç çıkıyor
;
hepsi için ;
hepsi için .
Doğrudan ve ters fonksiyonların karşılıklı monotonluğuna ilişkin Lemma
Eğer bir fonksiyon kesin olarak artıyorsa (azalansa), o zaman yine kesin olarak artan (azalan) bir ters fonksiyon vardır.
Doğrudan ve ters fonksiyonların grafiklerinin simetrisinin özelliği
Doğrudan ve ters fonksiyonların grafikleri düz çizgiye göre simetriktir.
Bir aralıkta ters fonksiyonun varlığı ve sürekliliğine ilişkin teorem
Fonksiyonun segment üzerinde sürekli ve kesinlikle artan (azalan) olmasına izin verin. Daha sonra ters fonksiyon tanımlanır ve kesinlikle artan (azalan) segment üzerinde süreklidir.
Artan bir fonksiyon için. Azaltmak için - .
Bir aralıkta ters fonksiyonun varlığı ve sürekliliğine ilişkin teorem
Fonksiyonun açık sonlu veya sonsuz bir aralıkta sürekli ve kesinlikle artan (azalan) olmasına izin verin. Daha sonra ters fonksiyon tanımlanır ve aralıkta süreklidir, bu kesinlikle artar (azalır).
Artan bir fonksiyon için.
Azaltmak için: .
Benzer şekilde ters fonksiyonun yarı aralıkta varlığı ve sürekliliğine ilişkin teoremi de formüle edebiliriz.
Temel fonksiyonların özellikleri ve sürekliliği
Temel fonksiyonlar ve bunların tersi, tanım alanlarında süreklidir. Aşağıda karşılık gelen teoremlerin formülasyonlarını sunuyoruz ve kanıtlarına bağlantılar sağlıyoruz.
Üstel fonksiyon
Üstel fonksiyon f (x) = balta, a tabanlı > 0
dizinin limiti
,
keyfi bir sıranın olduğu yer rasyonel sayılar, x'e yöneliyor:
.
Teorem. Özellikler üstel fonksiyon
Üstel fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(S.0) tanımlanmış, için, herkes için;
(S.1) bir ≠ için 1
birçok anlamı vardır;
(S.2) kesinlikle artar, kesinlikle azalır, sabittir;
(S.3) ;
(S.3*) ;
(S.4) ;
(S.5) ;
(S.6) ;
(S.7) ;
(S.8) herkes için sürekli;
(S.9);
Daha sonra fonksiyonun pozitif (negatif) bir değere sahip olduğu noktanın bir komşuluğu vardır:
Logaritma
Logaritmik fonksiyon, veya logaritma, y = log a x, a tabanlı a tabanlı üstel fonksiyonun tersidir.
Teorem. Logaritmanın özellikleri
a tabanlı logaritmik fonksiyon, y = x'i günlüğe kaydet, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(L.1) tanımlanmış ve sürekli, için ve , için pozitif değerler argüman;
(L.2) birçok anlamı vardır;
(L.3) kesinlikle artar, kesinlikle azalır;
(L.4);
;
(L.5) ;
(L.6);
(L.7);
(L.8);
(L.9) Daha sonra fonksiyonun pozitif (negatif) bir değere sahip olduğu noktanın bir komşuluğu vardır:
Üs ve doğal logaritma
Üstel fonksiyon ve logaritmanın tanımlarında kuvvetin tabanı veya logaritmanın tabanı olarak adlandırılan bir sabit ortaya çıkar. Matematiksel analizde, vakaların büyük çoğunluğunda, daha fazlası basit hesaplamalar, e sayısını taban olarak kullanırsanız:
.
e tabanına sahip bir üstel fonksiyona üs: denir ve e tabanına sahip bir logaritmaya doğal logaritma: denir.
Üssün özellikleri ve doğal logaritmanın özellikleri sayfalarda sunulmaktadır.
"Üs, e üzeri x'in kuvveti",
"Doğal logaritma, ln x fonksiyonu"
Güç fonksiyonu
Güç fonksiyonuüslü p ile f fonksiyonu (x) = xp x noktasındaki değeri, p noktasındaki x tabanlı üstel fonksiyonun değerine eşittir.
Ayrıca, f (0) = 0 p = 0 p için > 0
.
Burada argümanın negatif olmayan değerleri için y = x p kuvvet fonksiyonunun özelliklerini ele alacağız. Rasyonel m için tek m için kuvvet fonksiyonu negatif x için de tanımlanır. Bu durumda özellikleri çift veya tek kullanılarak elde edilebilir.
Bu durumlar “Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafikleri” sayfasında ayrıntılı olarak tartışılmış ve gösterilmiştir.
Teorem. Güç fonksiyonunun özellikleri (x ≥ 0)
p üssüne sahip bir kuvvet fonksiyonu, y = x p, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(C.1) sette tanımlanmış ve sürekli
,
"de.
Trigonometrik fonksiyonlar
Trigonometrik fonksiyonların sürekliliği üzerine teorem
Trigonometrik fonksiyonlar: sinüs ( günah x), kosinüs ( çünkü x), teğet ( tg x) ve kotanjant ( ctg x
Ters trigonometrik fonksiyonların sürekliliğine ilişkin teorem
Ters trigonometrik fonksiyonlar: arksinüs ( ark sin x), ark kosinüs ( arkcos x), arktanjant ( arktan x) ve ark teğet ( arkctg x), tanım alanlarında süreklidir.
Referanslar:
O.I. Besov. Matematiksel analiz üzerine dersler. Bölüm 1. Moskova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Kuyu matematiksel analiz. Cilt 1. Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.
Sürekli fonksiyonlar, matematiksel analizin birlikte çalıştığı fonksiyonların ana sınıfını oluşturur. Grafiğinin sürekli olduğu söylenerek sürekli bir fonksiyon fikri elde edilebilir, yani. kalemi kağıttan kaldırmadan çizilebilir.
Sürekli bir fonksiyon, pratikte sıklıkla karşılaştığımız bir özelliği matematiksel olarak ifade eder; yani bağımsız değişkendeki küçük bir artışın, bağımlı değişkendeki (fonksiyon) küçük bir artışa karşılık gelmesi. Mükemmel örnekler sürekli fonksiyon hizmet edebilir çeşitli kanunlar cisimlerin \(s=f(t)\) hareketleri, cismin \(s\) zamanına \(t\) kat ettiği yolun bağımlılığını ifade eder. Zaman ve uzay süreklidir, vücut hareketinin bir veya başka yasası \(s=f(t)\), aralarında küçük bir zaman artışının küçük bir yol artışına karşılık gelmesiyle karakterize edilen belirli bir sürekli bağlantı kurar.
İnsan, sözde olanı gözlemleyerek süreklilik soyutlamasına ulaştı. süreklilikler- katı, sıvı veya gaz halinde, örneğin metaller, su, hava. Aslında, artık çok iyi bilindiği gibi, her fiziki çevre bir kümedir çok sayıda hareketli parçacıklar birbirinden ayrılır. Ancak bu parçacıklar ve aralarındaki mesafeler, makroskobik açıdan ele almamız gereken ortam hacimleriyle karşılaştırıldığında çok küçüktür. fiziksel olaylarİncelenen ortamın kütlesinin herhangi bir boşluk olmadan, işgal ettiği alanda sürekli olarak dağıldığını düşünürsek, bu tür birçok fenomen oldukça iyi bir şekilde incelenebilir. Birçok kişi bu varsayıma dayanmaktadır. fiziksel disiplinlerörneğin hidrodinamik, aerodinamik, esneklik teorisi. Matematiksel kavram Süreklilik doğal olarak diğer pek çok disiplinde olduğu gibi bu disiplinlerde de büyük bir rol oynar.
Bazı \(y=f(x)\) fonksiyonlarını ve bağımsız değişken \(x_0\)'in iyi tanımlanmış bir değerini ele alalım. Eğer fonksiyonumuz bazılarını yansıtıyorsa sürekli süreç o zaman \(x\)'in \(x_0\)'dan çok az farklı olan değerleri, \(f(x_0) değerinden çok az farklı olan \(f(x)\) fonksiyonunun değerlerine karşılık gelmelidir )\) \(x_0\) noktasında. Dolayısıyla, bağımsız değişkenin artışı \(x-x_0\) küçükse, o zaman fonksiyonun karşılık gelen artışı \(f(x)-f(x_0)\) da küçük olmalıdır. Başka bir deyişle, bağımsız değişken \(x-x_0\)'in artışı sıfıra yaklaşıyorsa, o zaman fonksiyonun artışı \(f(x)-f(x_0)\) da sıfıra yönelmelidir, aşağıdaki gibi yazılabilir:
\(\lim_(x-x_0\to0)\Bigl=0.\)
Bu ilişki bir fonksiyonun \(x_0\) noktasındaki sürekliliğinin matematiksel tanımıdır.
Eğer eşitlik (1) sağlanıyorsa, \(f(x)\) fonksiyonuna \(x_0\) noktasında sürekli denir.
Başka bir tanım verelim:
Fonksiyona ait tüm değerler için sürekli olduğu söylenir. bu bölüm, eğer bu parçanın her noktasında (x_0\) sürekli ise, yani bu tür her noktada eşitlik (1) sağlanır.
Böylece giriş yapabilmek için matematiksel tanım Grafiğinin sürekli (bu terimin genel anlayışında) bir eğri olması gerçeğinden oluşan bir fonksiyonun özelliği, ilk önce sürekliliğin yerel, yerel özelliğini (\(x_0\ noktasındaki süreklilik) belirlemek gerekli hale geldi. ) ve daha sonra bu temelde fonksiyonun tüm segmentteki sürekliliğini belirleyin.
İlk kez geçen yüzyılın başında Cauchy tarafından belirtilen yukarıdaki tanım, modern matematiksel analizde genel olarak kabul edilmektedir. Çok sayıda kontrol ediliyor spesifik örnekler Bu tanımın, sürekli bir fonksiyona ilişkin mevcut pratik fikrimize, örneğin sürekli bir grafik fikrine iyi karşılık geldiğini gösterdi.
Sürekli fonksiyonlara örnek olarak iyi bilinenler verilebilir. okul matematik temel fonksiyonlar \(x^n,\) \(\sin(x),\) \(\cos(x),\) \(a^x,\) \(\lg(x),\) \( \arcsin(x),\) \(\arccos(x)\) . Tüm listelenen işlevler tanımlandıkları \(x\) değişim aralıklarında süreklidirler.
Sürekli fonksiyonlar toplanırsa, çıkarılırsa, çarpılır ve bölünürse (paydası sıfıra eşit değilse), o zaman sonuç olarak tekrar sürekli bir fonksiyona ulaşacağız. Bununla birlikte, bölme sırasında paydadaki fonksiyonun sıfıra gittiği \(x_0\) değerleri için süreklilik genellikle bozulur. Bölmenin sonucu o zaman \(x_0\) noktasında süreksiz olan bir fonksiyonu temsil eder.
\(y=\frac(1)(x)\) fonksiyonu, \(y=0\) noktasında süreksiz olan bir fonksiyona örnek olarak hizmet edebilir. Bir dizi başka örnek süreksiz fonksiyonlarŞekil 2'de gösterilen grafikleri verin. 1.
Bu grafikleri dikkatle incelemenizi öneririz. Fonksiyonların süreksizliklerinin farklı olduğuna dikkat edin: Bazen \(x\), fonksiyonun süreksizliğe maruz kaldığı \(x_0\) noktasına yaklaşırken, \(f(x)\) limiti mevcuttur, ancak \(f'den farklıdır) (x_0)\ ) ve bazen Şekil 2'deki gibi. 1c'de bu sınır basitçe mevcut değildir. Aynı zamanda, bir taraftan \(x\) \(x_0\)'a yaklaşırken \(f(x)-f(x_0)\to0\) 'a yaklaşırken ve diğer taraftan \(x\to x_0\)'a yaklaşırsa olur. diğer taraftan, o zaman \(f(x)-f(x_0)\) artık sıfıra yönelmez. Bu durumda tabi ki fonksiyonda bir süreksizlik var ama bu noktada “bir tarafta sürekli” diyebiliriz. Tüm bu durumlar verilen grafiklerde izlenebilmektedir.
Bir fonksiyonun sürekliliğinin tanımı
1. Sol ve sağdaki limitler fonksiyonun bu noktadaki değerine eşit ve eşitse, \(y=f(x)\) fonksiyonu \(x=a\) noktasında süreklidir;
\(\lim_(x\to a-0)f(x)=\lim_(x\to a+0)f(x)=f(a).\)
2. \(y=f(x)\) fonksiyonu, eğer bu noktada tanımlanmışsa ve argümandaki sonsuz küçük bir artış, fonksiyondaki sonsuz küçük bir artışa karşılık geliyorsa, \(x=a\) noktasında süreklidir, yani. \(\lim_(\Delta x\to 0)\Delta y=0\)\(a\) noktasına yakın.
Sonlu sayıda sürekli fonksiyonun toplamı, farkı ve çarpımı sürekli bir fonksiyondur.
\(\) aralığında sürekli olan bir fonksiyon, en küçük \(m\) ve en büyük \(M\) değeri arasındaki herhangi bir ara değeri alır; yani \(m\leqslant f(x)\leqslant M\) tümü için \(x\in\) . Buradan, eğer \(\) parçasının sınır noktalarında fonksiyon farklı işaretlere sahipse, o zaman parçanın içinde fonksiyonun sıfır olduğu en az bir değer \(x=c\) vardır. Fonksiyonların sürekliliğinin bu özelliği, polinomların yaklaşık köklerinin bulunmasını sağlar.
Fonksiyon kırılma noktaları
Süreklilik koşullarını sağlamayan argüman değerlerine denir fonksiyon kırılma noktaları. Bu durumda iki tip fonksiyon süreksizlik noktası ayırt edilir.
Soldaki \(x\to a\) için fonksiyonda son sınır\(k_1\) ve sağdaki \(x\to a\) için fonksiyonun sonlu bir limiti var \(k_2\) ve \(k_1\ne k_2\) , o zaman \(x için fonksiyonun) olduğunu söylüyorlar =a\) vardır birinci türden kopma. \(|k_1-k_2|\) farkı, fonksiyonun \(x=a\) noktasındaki atlamasını belirler. Fonksiyonun \(x=a\) konumundaki değeri herhangi bir \(k_3\) sayısına eşit olabilir.
Eğer bir fonksiyonun \(x=a\) noktasındaki değeri \(k_1\)'e eşitse, bu durumda fonksiyonun sürekli bırakıldığı söylenir; if \(k_2\) ise fonksiyonun sağ sürekli olduğunu söylerler.
Eğer \(k_1=k_2\ne k_3\) ise fonksiyonun \(a\) noktasında olduğunu söylerler. onarılabilir boşluk.
Sağda veya solda \(x\to a\) için, fonksiyonun limiti mevcut değildir veya sonsuza eşitse, yani \(\lim_(x\to a)f(x)=\infty \), sonra \ (x=a\) fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar ikinci tür süreksizlik.
Örnek 1. \(y=x^3-2x\) fonksiyonunun sürekli olduğu \(x\) değer kümesini bulun.
Çözüm. Fonksiyonun artışını bulalım
\(\Delta y=(x+\Delta x)^3-2(x+\Delta x)-(x^3-2x)=\Delta x\,(\Delta x^2+3x\Delta x+3x^ 2-2).\)
\(x\) değişkeninin herhangi bir değeri için, \(\Delta x\to0\) olmadığı sürece artış \(\Delta y\to0\) olur, bu nedenle fonksiyon herkes için süreklidir gerçek değerler değişken \(x\) .
Örnek 2. \(y=\frac(1)(x-1)\) fonksiyonunun \(x=3\) noktasında sürekliliğini kanıtlayın.
Çözüm. Bunu kanıtlamak için, argümanın değeri \(x=3\)'den \(x=3+\Delta x\)'e hareket ettiğinde \(y\) fonksiyonunun artışını bulalım.
\(\Delta y=\frac(1)(3+\Delta x-1)-\frac(1)(3-1)=\frac(1)(2+\Delta x)-\frac(1) (2)=\frac(2-2-\Delta x)(2(2+\Delta x))=\frac(-\Delta x)(2(2+\Delta x)).\)
\(\Delta x\to0\)'daki fonksiyon artışının limitini bulalım.
\(\lim_(\Delta x\to0)\Delta y=-\lim_(\Delta x\to0)\frac(\Delta x)(2(2+\Delta x))=-\frac(0)( 2(2+0))=0.\)
Fonksiyonun \(\Delta x\to0\) noktasındaki artış limiti sıfıra eşit olduğundan, \(x\to3\) noktasındaki fonksiyon süreklidir.
Örnek 3. Fonksiyonların süreksizliğinin doğasını belirleyin ve grafikleri oluşturun:
\(\mathrm(a))~y=\frac(1)(x-1)~\text(if)~x=1;\qquad\mathrm(b))~y=\frac(x)(| x|)~\text(if)~x=0;\qquad\mathrm(c))~y=\begin(cases)2x,&\text(if)~x\ne2,\\1,&\text (if)~x=2;\end(cases)\qquad\mathrm(d))~y=a^(1/x)~(a>1);\qquad\mathrm(e))~y=\ operatöradı(arctg)\frac(1)(x).\)
Çözüm.
a) \(x=1\) fonksiyonu tanımlı olmadığında bu noktada tek taraflı limitler buluruz:
\(\lim_(x\to1-0)\frac(1)(x-1)=-\infty;\quad\lim_(x\to1+0)\frac(1)(x-1)=+\ sonsuz.\)
Sonuç olarak, \(x=1\) noktasında fonksiyon ikinci türden bir süreksizliğe sahiptir.
b) \(x için)<0\) предел функции равен \(\lim_(0-0)\frac(x)(|x|)=-1=k_1\). \(x>0\) olduğunda limit şuna eşittir: \(\lim_(0+0)\frac(x)(|x|)=1=k_2\). Sonuç olarak, \(x=1\) noktasında \(y\) fonksiyonu birinci türden bir süreksizliğe sahiptir ve fonksiyonun atlaması \(|k_1-k_2|=|-1-1|='ye eşittir) 2\) .
c) Fonksiyon baştan sona tanımlanmıştır sayı ekseni, temel değildir, çünkü \(x=2\) noktasından beri analitik ifade işlevler değişir. Fonksiyonun \(x=2\) noktasındaki sürekliliğini inceleyelim:
\(\lim_(x\to2-0)=4,\quad\lim_(x\to2+0)2x=4,\quad y(2)=1,\quad k_1=k_2\ne k_3.\)
\(x=2\) noktasında fonksiyonun çıkarılabilir bir süreksizliği olduğu açıktır.
d) \(x=0\) noktasında fonksiyonun sol ve sağ limitlerini bulun:
\(y(+0)=\lim_(x\to+0)a^(1/x)=+\infty,\quad y(-0)=\lim_(x\to-0)a^(1 /x)=0.\)
Yani, \(x=0\) noktasında fonksiyonun sağda ikinci türden bir süreksizliği, solunda ise sürekliliği vardır.
e) \(x=0\) noktasında fonksiyonun tek taraflı limitlerini bulun:
\(y(+0)=\lim_(x\to+0)\operatöradı(arctg)\frac(1)(x)=\frac(\pi)(2),\quad y(-0)=\ lim_(x\to-0)\operatöradı(arctg)\frac(1)(x)=-\frac(\pi)(2).\)
Yani fonksiyonun her iki tarafındaki \(x=0\) noktasında \(y=\operatöradı(arctg)\frac(1)(x)\) at yarışı
Tarayıcınızda Javascript devre dışı.Hesaplamaları gerçekleştirmek için ActiveX kontrollerini etkinleştirmelisiniz!
Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğini belirleme
Fonksiyon f (X) isminde x noktasında sürekli 0
mahalle U . Sonra bir mahalle U var bu noktada ve eğer x'in limiti x'e doğru gidiyorsa 0
vardır ve fonksiyonun x noktasındaki değerine eşittir 0
:
.
Bu şu anlama gelir: x 0 - Bu bitiş noktası. İçindeki fonksiyon değeri yalnızca sonlu sayı.
O halde fonksiyon şu noktada süreklidir:
Fonksiyon f (X) isminde Sağda sürekliliğin tanımı (solda) 0
sağda (solda) x noktasında sürekli 0
x'teki fonksiyon değerine eşit 0
:
.
Örnekler
örnek 1
Heine ve Cauchy tanımlarını kullanarak fonksiyonun her x için sürekli olduğunu kanıtlayın.
Rastgele bir sayı olsun. Hadi bunu kanıtlayalım verilen fonksiyon noktada süreklidir. Fonksiyon tüm x için tanımlanmıştır. Dolayısıyla bir noktada ve onun herhangi bir mahallesinde tanımlanır.
Heine'nin tanımını kullanıyoruz
Kullanalım. :'a yakınsayan keyfi bir dizi olsun. Elimizdeki dizilerin çarpımının limiti özelliğini uygulayarak:
.
'ye yakınsayan keyfi bir dizi olduğundan, o zaman
.
Süreklilik kanıtlanmıştır.
Cauchy tanımını kullanıyoruz
Kullanalım.
Olayı ele alalım. Noktanın herhangi bir mahallesindeki işlevi dikkate alma hakkımız var. Bu nedenle şunu varsayacağız:
(A1.1) .
Formülü uygulayalım:
.
(A1.1) dikkate alınarak aşağıdaki tahminde bulunulur:
;
(A1.2) .
(A1.2)'yi uygulayarak, tahmin ediyoruz mutlak değer farklılıklar:
;
(A1.3) .
.
Eşitsizliklerin özelliklerine göre (A1.3) sağlanırsa, if ve if , o zaman .
.
Şimdi asıl noktaya bakalım. Bu durumda
.
.
.
Bu, fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olduğu anlamına gelir.
Benzer şekilde, fonksiyonun n - olduğu kanıtlanabilir. doğal sayı, sürekli gerçek eksen.
Örnek 2
Kullanarak fonksiyonun herkes için sürekli olduğunu kanıtlayın.
Verilen fonksiyon adresinde tanımlanmıştır. noktasında sürekli olduğunu kanıtlayalım.
Olayı ele alalım.
Noktanın herhangi bir mahallesindeki işlevi dikkate alma hakkımız var. Bu nedenle şunu varsayacağız:
(A2.1) .
Formülü uygulayalım:
(A2.2) .
Hadi koyalım. Daha sonra
.
(A2.1) dikkate alınarak aşağıdaki tahminde bulunulur:
.
Bu yüzden,
.
Bu eşitsizliği uygulayarak ve (A2.2)'yi kullanarak farkı tahmin ediyoruz:
.
Bu yüzden,
(A2.3) .
Girmek pozitif sayılar ve bunları ilişkilere bağlayarak:
.
Eşitsizliklerin özelliklerine göre (A2.3) sağlanırsa, if ve if , o zaman .
Bu, herhangi bir pozitif için her zaman bir olduğu anlamına gelir. Daha sonra eşitsizliği sağlayan tüm x'ler için aşağıdaki eşitsizlik otomatik olarak sağlanır:
.
Bu, fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olduğu anlamına gelir.
Şimdi asıl noktaya bakalım. Verilen fonksiyonun sağdaki bu noktada sürekli olduğunu göstermemiz gerekiyor. Bu durumda
.
Pozitif sayıları girin ve:
.
Bu, herhangi bir pozitif için her zaman var olduğunu gösterir. O halde tüm x'ler için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
.
Bu demektir . Yani fonksiyon sağ tarafta süreklidir.
Benzer şekilde, n'nin bir doğal sayı olduğu fonksiyonun için sürekli olduğu kanıtlanabilir.
Referanslar:
O.I. Besov. Matematiksel analiz üzerine dersler. Bölüm 1. Moskova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolsky. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 1983.
