Nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder S = t4 +2t (S - metre cinsinden, T- saniyeler içinde). Momentler arasındaki aralıktaki ortalama ivmesini bulun t 1 = 5 sn, t 2 = 7 sn ve şu andaki gerçek ivmesi T 3 = 6 sn.

Çözüm.

1. S yolunun zamana göre türevi olarak noktanın hızını bulun T, onlar.

2. t yerine t 1 = 5 s ve t 2 = 7 s değerlerini değiştirerek hızları buluruz:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/sn; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/sn.

3. Δt = 7 - 5 =2 s süresi için hız artışını ΔV belirleyin:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/sn.

4. Böylece noktanın ortalama ivmesi şuna eşit olacaktır:

5. Belirlemek gerçek anlam Bir noktanın ivmesi için hızın zamana göre türevini alırız:

6. Yerine başkasını koymak T t 3 = 6 s değeri, zamanın bu noktasında ivmeyi elde ederiz

a av =12-6 3 =432 m/s2 .

Eğrisel hareket.Şu tarihte: eğrisel hareket Bir noktanın hızının büyüklüğü ve yönü değişir.

Bir noktayı hayal edelim M,Δt zamanı boyunca, bir miktar hareket ederek eğrisel yörünge, konuma taşındı M1(Şekil 6).

Hız artışı (değişim) vektörü ΔV irade

İçin ΔV vektörünü bulmak için V 1 vektörünü noktaya taşıyın M ve bir hız üçgeni oluşturun. Ortalama ivmenin vektörünü belirleyelim:

Vektör Çarşamba vektörü böldüğü için ΔV vektörüne paraleldir. skaler miktar vektörün yönü değişmez. Gerçek ivme vektörü, hız vektörünün karşılık gelen Δt zaman aralığına oranının sıfıra yöneldiği sınırdır;

Bu limite vektör türevi denir.

Böylece, Eğrisel hareket sırasında bir noktanın gerçek ivmesi, hıza göre vektör türevine eşittir.

Şek. 6 şurası açık ki eğrisel hareket sırasında ivme vektörü her zaman yörüngenin içbükeyliğine doğru yönlendirilir.

Hesaplamaların kolaylığı için, ivme, hareket yörüngesine göre iki bileşene ayrıştırılır: teğetsel (teğetsel) ivme adı verilen bir teğet boyunca. A ve normal boyunca normal ivme denir a n (Şekil 7).

Bu durumda toplam ivme şuna eşit olacaktır:

Teğetsel ivme noktanın hızıyla aynı doğrultuda veya ona zıttır. Hızdaki değişimi karakterize eder ve buna göre formülle belirlenir.

Normal ivme noktanın hızının yönüne diktir ve Sayısal değer formülle belirlenir

nerede - dikkate alınan noktada yörüngenin eğrilik yarıçapı.

Teğetsel ve normal ivmeler karşılıklı olarak dik olduğundan, bu nedenle değer tam hızlanma formülle belirlenir

ve yönü

Eğer teğetsel ivme ve hız vektörleri tek yöne yönlendirilir ve hareket hızlanır.

Eğer teğetsel ivme vektörü, hız vektörünün tersi yönde yönlendirilir ve hareket yavaş olur.

Normal ivme vektörü her zaman eğriliğin merkezine doğru yönlendirilir, bu yüzden buna merkezcil denir.

Fiziksel anlam türev. İÇİNDE Birleşik Devlet Sınavının bileşimi matematikte türevin fiziksel anlamının anlaşılmasını ve bilgi sahibi olmayı gerektiren, çözülmesi gereken bir grup problemi içerir. Özellikle belirli bir noktanın (nesnenin) hareket yasasının verildiği problemler vardır, denklemle ifade edilir ve hareketin belirli bir anında hızını veya nesnenin belirli bir hıza ulaşacağı süreyi bulmanız gerekir.Görevler çok basit, tek bir eylemle çözülebilir. Bu yüzden:

Hareket kanunu verilsin maddi nokta x(t) boyunca koordinat ekseni Burada x, hareket eden noktanın koordinatıdır, t ise zamandır.

Zamanın belirli bir noktasındaki hız, koordinatın zamana göre türevidir. Bu nedir mekanik anlamda türev.

Benzer şekilde ivme de hızın zamana göre türevidir:

Dolayısıyla türevin fiziksel anlamı hızdır. Bu, hareket hızı, bir sürecin değişim hızı (örneğin bakterilerin büyümesi), yapılan işin hızı (vb.) olabilir. uygulamalı problemler bir demet).

Ayrıca türev tablosunu (tıpkı çarpım tablosu gibi bilmeniz gerekir) ve türev alma kurallarını da bilmeniz gerekir. Spesifik olarak, belirtilen problemleri çözmek için ilk altı türevin bilgisi gereklidir (tabloya bakınız):

Görevleri ele alalım:

x (t) = t 2 – 7t – 20

burada x t, hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süredir. t = 5 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Türevin fiziksel anlamı hızdır (hareket hızı, sürecin değişim hızı, işin hızı vb.)

Hız değişimi yasasını bulalım: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

T = 5'te elimizde:

Cevap: 3

Kendin için karar ver:

Maddi nokta x (t) = 6t 2 – 48t + 17 yasasına göre doğrusal olarak hareket eder, burada X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. t = 9 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Maddi nokta x (t) = 0,5t yasasına göre doğrusal olarak hareket eder 3 – 3t 2 + 2t, burada XT- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. t = 6 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Nerede X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe,T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. t = 3 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

burada x metre cinsinden referans noktasına olan mesafedir, t ise hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süredir. Zamanın hangi noktasında (saniye cinsinden) hızı 6 m/s'ye eşitti?

Hız değişimi yasasını bulalım:

Zamanın hangi noktasında olduğunu bulmak içinThız 3 m/s olduğundan denklemi çözmek gerekir:

Cevap: 3

Kendin için karar ver:

Maddi nokta x (t) = t 2 – 13t + 23 yasasına göre doğrusal olarak hareket eder, burada X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. Zamanın hangi noktasında (saniye cinsinden) hızı 3 m/s'ye eşitti?

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Nerede X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. Zamanın hangi noktasında (saniye cinsinden) hızı 2 m/s'ye eşitti?

Birleşik Devlet Sınavında yalnızca bu tür görevlere odaklanmamanız gerektiğini belirtmek isterim. Tamamen beklenmedik bir şekilde, sunulanların tam tersi sorunları ortaya çıkarabilirler. Hızın değişimi kanunu verildiğinde soru hareket kanununun bulunmasıyla ilgili olacaktır.

İpucu: Bu durumda hız fonksiyonunun integralini bulmanız gerekir (bu da tek adımlı bir görevdir). Zamanın belirli bir noktasında kat edilen mesafeyi bulmanız gerekiyorsa, ortaya çıkan denklemde zamanı koyup mesafeyi hesaplamanız gerekir. Ancak bu tür sorunları da analiz edeceğiz, kaçırmayın!Sana başarılar diliyorum!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

P.S: Site hakkında bilgi verirseniz sevinirim. sosyal ağlarda.

− Öğretmen Dumbadze V.A.
St. Petersburg'un Kirov bölgesinin 162 numaralı okulundan.

VKontakte grubumuz
Mobil uygulamalar:

(Nerede X T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre). Anlık hızını (m/s cinsinden) bulun T= 9 sn.

Şu tarihte: T= 9 saniye elimizde:

Orijinal denklemde neden 17 sayısını çıkarıyoruz?

Orijinal fonksiyonun türevini bulun.

türevde 17 sayısı yoktur

Türevi neden bulmalı?

Hız, bir koordinatın zamana göre türevidir.

Sorun sizden hızı bulmanızı istiyor

X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre). Anlık hızını (m/s) cinsinden bulun T= 6 sn.

Hız değişimi yasasını bulalım:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, 20 değil

prosedürü hatırla

Ne zamandan beri toplama, çıkarmaya tercih ediliyor?

Çarpma, toplama ve çıkarmaya göre önceliklidir. Çocukları hatırla okul örneği: 2 + 2 · 2. Burada bazılarının düşündüğü gibi 8 değil 6 çıktığını hatırlatmama izin verin.

Konuğun cevabını anlamadınız.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Yani her şey doğru, matematiği kendiniz yapın.

2) çarpma/bölme (denklemdeki sıraya göre değişir; önce gelen çözülür);

3) toplama/çıkarma (benzer şekilde örnekteki sıraya bağlıdır).

Çarpma = bölme, toplama = çıkarma =>

54 - (36+2) değil, 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Öncelikle sizin için - Sergei Batkovich. İkincisi, ne söylemek istediğinizi ve kime söylemek istediğinizi anladınız mı? Seni anlamadım.

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder (burada x, metre cinsinden referans noktasına olan mesafedir, t ise hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süredir). s anındaki hızını (m/s) cinsinden bulun.

Hız değişimi yasasını bulalım: m/s. Sahip olduğumuzda:

Konuyla ilgili ders: “Farklılaşma kuralları”, 11. sınıf

Bölümler: Matematik

Ders türü: bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi.

Dersin Hedefleri:

eğitici:
- türevi bulma konusundaki materyali genelleştirmek ve sistematikleştirmek;
- farklılaşma kurallarını pekiştirmek;
- öğrencilere politeknik açmak, uygulanan değer Konular;
gelişmekte:
- bilgi ve becerilerin kazanılması üzerinde kontrol uygulamak;
- bilgiyi değişen bir durumda uygulama yeteneğini geliştirmek ve geliştirmek;
- bir konuşma kültürü ve sonuç çıkarma ve genelleme yeteneği geliştirmek;
eğitici:
- bilişsel süreci geliştirmek;
- Öğrencilere tasarım ve kararlılıkta doğruluğu aşılamak.

Teçhizat:

tepegöz, ekran;
kartlar;
bilgisayarlar;
masa;
multimedya sunumları şeklinde farklılaştırılmış görevler.

I. Ödevleri kontrol etmek.

1. Türevlerin kullanım örneklerine ilişkin öğrenci raporlarını dinleyin.

2. Öğrenciler tarafından önerilen fizik, kimya, mühendislik ve diğer alanlarda türevlerin kullanımına ilişkin örnekleri düşünün.

II. Bilginin güncellenmesi.

Öğretmen:

Bir fonksiyonun türevini tanımlayın.
Hangi işleme farklılaşma denir?
Türev hesaplanırken hangi türev alma kuralları kullanılır? (İstenen öğrenciler kurula davet edilir.).
- toplamın türevi;
- işin türevi;
- sabit faktör içeren türev;
- bölümün türevi;
- karmaşık bir fonksiyonun türevi;
Türev kavramına yol açan uygulamalı problemlere örnekler verin.

Bir takım özel problemler Çeşitli bölgeler Bilim.

Görev No.1. Cisim x(t) kanununa göre düz bir çizgide hareket etmektedir. Bir cismin t anında hızını ve ivmesini bulma formülünü yazın.

Görev No.2. R çemberinin yarıçapı R = 4 + 2t 2 yasasına göre değişir. Alanının değişme hızını belirleyin V moment t = 2 sn. Bir dairenin yarıçapı santimetre cinsinden ölçülür. Cevap: 603 cm2/s.

Görev No.3. Kütlesi 5 kg olan bir maddesel nokta kanuna göre doğrusal olarak hareket etmektedir.

S(t) = 2t+ , nerede S- metre cinsinden mesafe, T– saniye cinsinden süre. Şu anda noktaya etki eden kuvveti bulun t = 4 sn.

Cevap: N.

Görev No.4. Fren tarafından tutulan volan arkaya döner bu 3t - 0,1t2 (rad) açıyla. Bulmak:

a) t anında volanın açısal dönüş hızı = 7 İle;
b) volanın hangi noktada duracağı.

Cevap: a) 2,86; b) 150 sn.

Türev kullanma örnekleri aynı zamanda aşağıdakileri bulma problemlerini de içerebilir: spesifik ısı kapasitesi Belirli bir cismin maddesi, cismin doğrusal yoğunluğu ve kinetik enerjisi vb.

III. Farklılaştırılmış görevlerin yerine getirilmesi.

“A” seviyesi görevleri tamamlamak isteyenler bilgisayar başına oturup programlı cevaplı bir testi tamamlıyorlar. ( Başvuru. )

1. Fonksiyonun x 0 = 3 noktasındaki türevinin değerini bulun.

2. y = xe x fonksiyonunun x 0 = 1 noktasındaki türevinin değerini bulun.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1) ise f / (x) = 0 denklemini çözün.

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x) ise f/(1)'i hesaplayın.

5. f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) fonksiyonunun t0 = 1 noktasında türevinin değerini bulun.

6. Nokta şu yasaya göre doğrusal olarak hareket eder: S(t) = t 3 – 3t 2. Bu noktanın t zamanındaki hareket hızını belirten bir formül seçin.

1) t 2 – 2 t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6 t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Türevlerin fizik, teknoloji, biyoloji ve yaşamdaki uygulamaları

Ders için sunum

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgini çektiyse bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Ders türü: Birleşik.

Dersin amacı: Türevlerin fizik, kimya ve biyolojinin çeşitli alanlarındaki uygulamalarının bazı yönlerini incelemek.

Görevler: kişinin ufkunu genişletmek ve bilişsel aktiviteöğrenciler, gelişim mantıksal düşünme ve bilgilerini uygulama becerisi.

Teknik Destek: interaktif tahta; bilgisayar ve disk.

BEN. Zamanı organize etmek

II. Ders hedefi belirleme

– Dersi Alexey Nikolaevich Krylov'un sloganı altında yürütmek istiyorum Sovyet matematikçi ve gemi yapımcısı: "Uygulamasız teori ölü veya işe yaramaz, teorisiz uygulama ise imkansız veya felakettir."

– Temel kavramları gözden geçirelim ve soruları cevaplayalım:

– Bana türevin temel tanımını söyler misiniz?
– Türev (özellikler, teoremler) hakkında ne biliyorsunuz?
– Fizik, matematik ve biyolojide türevlerin kullanıldığı problem örneklerini biliyor musunuz?

Bir türevin temel tanımının ve mantığının dikkate alınması (ilk sorunun cevabı):

Türev - biri temel kavramlar matematik. Türev kullanarak problem çözme becerisi gerektirir iyi bilgi teorik materyal, çeşitli durumlarda araştırma yapma yeteneği.

Bu nedenle, bugün derste edinilen bilgileri pekiştirip sistematik hale getireceğiz, her grubun çalışmasını ele alıp değerlendireceğiz ve bazı problemlerin örneğini kullanarak diğer problemlerin türev ve denklemi kullanarak nasıl çözüleceğini göstereceğiz. standart dışı görevler türevlerini kullanıyor.

III. Yeni malzemenin açıklaması

1. Anlık güç, işin zamana göre türevidir:

W = lim ΔA/Δt ΔA – iş değişikliği.

2. Bir cisim bir eksen etrafında dönüyorsa, dönme açısı zamanın bir fonksiyonudur T
Daha sonra açısal hız eşittir:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ T → 0

3. Mevcut güç bir türevdir Ι = lim Δg/Δt = g', Nerede G– zaman içinde bir iletkenin kesiti boyunca aktarılan pozitif elektrik yükü Δt.

4. İzin ver ΔQ– sıcaklığı değiştirmek için gereken ısı miktarı Δt o zaman zaman lim ΔQ/Δt = Q′ = C –özısı.

5. Kimyasal reaksiyonun hızıyla ilgili problem

m(t) – m(t0) – zamanla reaksiyona giren madde miktarı t0önce T

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. m kütle olsun radyoaktif madde. Hız radyoaktif bozunma: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

İÇİNDE farklılaşmış biçim radyoaktif bozunma yasası şu şekildedir: dN/dt = – λN, Nerede N– zamanla bozulmamış çekirdeklerin sayısı T.

Bu ifadenin integralini alırsak şunu elde ederiz: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = sabit en t = 0 sayı radyoaktif çekirdekler N = Hayır0, buradan elimizde: ln N0 = sabit, buradan

n N = – λt + ln N0.

Bu ifadeyi kuvvetlendirerek şunu elde ederiz:

– radyoaktif bozunma yasası, burada Hayır– aynı anda çekirdek sayısı t0 = 0, N– zaman içinde bozulmayan çekirdeklerin sayısı T.

7. Newton'un ısı transfer denklemine göre ısı akış hızı dQ/dt pencere alanı S ve iç ve dış cam arasındaki sıcaklık farkı ΔT ile doğru orantılı ve kalınlığı d ile ters orantılıdır:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Difüzyon olgusu bir denge dağılımı oluşturma sürecidir

Konsantrasyon aşamaları içinde. Difüzyon, konsantrasyonları eşitleyerek yana doğru gider.

m = DΔc/Δxc – konsantrasyon
m = D c׳x x – koordinat, D - difüzyon katsayısı

9. Elektrik alanının ya uyardığı biliniyordu elektrik ücretleri veya tek bir kaynağa sahip olan bir manyetik alan - elektrik akımı. James Clark Maxwell, kendisinden önce keşfedilen elektromanyetizma yasalarında bir değişiklik yaptı: Elektrik alanı değiştiğinde manyetik alan da ortaya çıkıyor. Görünüşte küçük bir değişikliğin çok büyük sonuçları oldu: tamamen yeni bir fiziksel nesne – elektromanyetik dalga. Maxwell, varlığının mümkün olduğunu düşünen Faraday'ın aksine, elektrik alanı denklemini ustalıkla türetmiştir:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = sabit t

Elektrik alanındaki bir değişiklik görünüme neden olur manyetik alan Yani uzayın herhangi bir noktasındaki elektrik alanın değişim hızı, manyetik alanın büyüklüğünü belirler. Büyüklüğün altında Elektrik şoku– daha büyük manyetik alan.

IV. Öğrenilenlerin pekiştirilmesi

– Sen ve ben türevi ve özelliklerini inceledik. okumak isterim felsefi ifade Gilbert: “Her insanın belirli bir bakış açısı vardır. Bu ufuk sonsuz derecede daraldığında bir noktaya dönüşür. Sonra kişi bunun kendi bakış açısı olduğunu söylüyor.”
Türevin uygulanmasına ilişkin bakış açısını ölçmeye çalışalım!

"Yaprak" ın konusu(biyoloji, fizik, yaşamda türevin kullanımı)

Sonbaharı şöyle düşünün düzensiz hareket zamana bağlı.

Bu yüzden: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Teorik araştırma: türevin mekanik anlamı).

1. Problem çözme

Sorunları kendiniz çözün.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Porton II yasasını yazalım ve türevin mekanik anlamını da hesaba katarak onu şu şekilde yeniden yazalım: F = mV' F = mS'

"Kurtlar, Sincaplar" filminin konusu

Denklemlere dönelim: Üstel büyüme ve azalmanın diferansiyel denklemlerini düşünün: F = ma F = mV’ F = mS"
Fizik, teknik biyoloji ve diğer alanlardaki birçok problemi çözmek sosyal Bilimler fonksiyon bulma problemine indirgenir f"(x) = kf(x), diferansiyel denklemin karşılanması, burada k = sabit .

İnsan Formülü

Adam pek çok kez bir atomdan daha fazlası, yıldızdan kaç kat daha küçüktür:

Şunu takip ediyor
İnsanın evrendeki yerini belirleyen formül budur. Buna göre insanın büyüklüğü, bir yıldız ile bir atomun ortalama orantılılığını temsil etmektedir.

Dersi Lobaçevski'nin sözleriyle bitirmek istiyorum: "Ne kadar soyut olursa olsun, bir gün gerçek dünyanın fenomenlerine uygulanamayacak tek bir matematik alanı yoktur."

V. Koleksiyondaki sayıların çözümü:

Tahtada bağımsız problem çözme, problem çözümlerinin kolektif analizi:

№ 1 Noktanın hareketi s = t^2 –11t + 30 denklemiyle veriliyorsa, maddi bir noktanın 3. saniye sonundaki hareket hızını bulun.

№ 2 Nokta s = 6t – t^2 yasasına göre doğrusal olarak hareket eder. Hızı ne zaman olacak sıfıra eşit?

№ 3 İki cisim doğrusal olarak hareket eder: biri s = t^3 – t^2 – 27t kanununa göre, diğeri s = t^2 + 1 kanununa göre. Bu cisimlerin hızlarının eşit olduğu anı belirleyin .

№ 4 30 m/s hızla hareket eden bir araba için fren mesafesi s(t) = 30t-16t^2 formülüyle belirlenir; burada s(t) metre cinsinden mesafe, t saniye cinsinden frenleme süresidir. . Araba tamamen durana kadar fren yapmak ne kadar sürer? Hangi mesafe kat edilecek araba frene bastığı andan tamamen durana kadar?

№5 Kütlesi 8 kg olan bir cisim s = 2t^2+ 3t – 1 yasasına göre doğrusal olarak hareket etmektedir. kinetik enerji vücut (mv^2/2) hareketin başlamasından 3 saniye sonra.

Çözüm: Vücudun herhangi bir andaki hareket hızını bulalım:
V = ds / dt = 4t + 3
t = 3 anındaki cismin hızını hesaplayalım:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
t = 3 anındaki cismin kinetik enerjisini belirleyelim:
mv2/2 = 8 – 15^2/2 = 900 (J).

№6 Kütlesi 25 kg ise ve hareket kanunu s = 3t^2- 1 şeklindeyse, hareketin başlamasından 4 s sonra cismin kinetik enerjisini bulun.

№7 Kütlesi 30 kg olan bir cisim s = 4t^2 + t kanununa göre doğrusal olarak hareket etmektedir. Bir cismin hareketinin bir kuvvetin etkisi altında gerçekleştiğini kanıtlayın sabit kuvvet.
Çözüm: Elimizde s' = 8t + 1, s" = 8 var. Dolayısıyla a(t) = 8 (m/s^2), yani bu hareket kanunu ile cisim şu şekilde hareket eder: Sabit hızlanma 8 m/s^2. Ayrıca cismin kütlesi sabit olduğundan (30 kg), Newton'un ikinci yasasına göre ona etki eden kuvvet F = ma = 30 * 8 = 240 (H) da sabit bir değerdir.

№8 Ağırlığı 3 kg olan bir cisim s(t) = t^3 – 3t^2 + 2 yasasına göre doğrusal olarak hareket etmektedir. t = 4s anında cisme etki eden kuvveti bulunuz.

№9 Maddi bir nokta s = 2t^3 – 6t^2 + 4t yasasına göre hareket eder. 3. saniyenin sonundaki ivmesini bulun.

VI. Türevin matematikte uygulanması:

Matematikte türev gösterir sayısal ifade aynı noktada bulunan bir miktarın farklı koşulların etkisi altında değişim derecesi.

Türev formülü 15. yüzyıla kadar uzanmaktadır. Büyük İtalyan matematikçi Tartagli, bir merminin uçuş menzilinin silahın eğimine ne kadar bağlı olduğu sorusunu düşünüp geliştirerek bunu eserlerinde uyguluyor.

Türev formülü sıklıkla eserlerde bulunur. ünlü matematikçiler 17. yüzyıl. Newton ve Leibniz tarafından kullanılmıştır.

Ünlü bilim adamı Galileo Galilei, türevlerin matematikteki rolü üzerine bir incelemenin tamamını ayırdı. Daha sonra bunun türevi ve uygulamasıyla birlikte çeşitli sunumları Descartes'ın eserlerinde de bulunmaya başlandı. Fransız matematikçi Roberval ve İngiliz Gregory. Türev çalışmalarına büyük katkılar L'Hopital, Bernoulli, Langrange ve diğerleri gibi beyinler tarafından yapılmıştır.

1. Bir grafik çizin ve fonksiyonu inceleyin:

Bu sorunun çözümü:

Bir anlık rahatlama

VII. Türevin fizikte uygulanması:

Belirli süreçleri ve olayları incelerken, bu süreçlerin hızını belirleme görevi sıklıkla ortaya çıkar. Çözümü ana kavram olan türev kavramına yol açmaktadır. diferansiyel hesap.

Diferansiyel hesaplama yöntemi 17. ve 18. yüzyıllarda oluşturuldu. Bu yöntemin ortaya çıkışıyla iki büyük matematikçinin isimleri I. Newton ve G.V. Leibniz.

Newton, maddesel bir noktanın hareket hızıyla ilgili problemleri çözerken diferansiyel hesabı keşfetti. şu an zaman (anlık hız).

Fizikte türev esas olarak en büyük veya en büyük değeri hesaplamak için kullanılır. en düşük değerler herhangi bir miktar.

№1 Potansiyel enerji senİçinde bir tane daha bulunan bir parçacığın alanı, tam olarak aynı parçacık şu şekildedir: U = a/r 2 – b/r, Nerede A Ve B- pozitif sabitler, R- parçacıklar arasındaki mesafe. Bul: a) değer r0 uygun denge konumu parçacıklar; b) bu durumun istikrarlı olup olmadığını öğrenmek; V) Fmaksçekim kuvvetinin değeri; d) yaklaşık bağımlılık grafiklerini çizmek U(r) Ve Fr).

Bu sorunun çözümü: Belirlemek r0 incelediğimiz parçacığın denge konumuna karşılık gelir f = U(r) aşırıya.

Arasındaki bağlantıyı kullanma potansiyel enerji alanlar

sen Ve F, Daha sonra F = – dU/dr, alıyoruz F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; burada r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Sürdürülebilir veya kararsız denge ikinci türevin işaretiyle belirleriz:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Dolu bir platformdan kumun döküldüğü durumu düşünün.
Kısa bir süre içinde momentumdaki değişim:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ sen) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ T
Terim Δ µtuΔ süresi boyunca platformdan dökülen kum miktarının itici gücüdür T. Daha sonra:
Δ p = MΔ u – µtΔ sen – Δ µtΔ sen = FΔ T
Δ'ya böl T ve Δ limitine doğru ilerleyin T → 0
(M – µt)du/dt = F
Veya a1= du/dt= F/(M – µt)

Cevap: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Bağımsız iş:

Fonksiyonların türevlerini bulun:

y = 2x düz çizgisi şu fonksiyona teğettir: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Teğet noktasının apsisini bulun.

IX. Dersi özetlemek:

– Ders hangi sorulara adandı?
– Derste ne öğrendin?
- Hangi teorik gerçekler sınıfta özetlendi mi?
– Hangi görevlerin en zor olduğu ortaya çıktı? Neden?

Kaynakça:

Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Matematiksel modeller ve diferansiyel denklemler. – Minsk: Yüksek Lisans, 1982. – 272 s.
Amelkin V.V. Uygulamalarda diferansiyel denklemler. M.: Bilim. Fiziksel ve matematiksel literatürün ana yazı işleri ofisi, 1987. – 160 s.
Erugin N.P. Okunacak kitap genel kurs diferansiyel denklemler. – Minsk: Bilim ve Teknoloji, 1979. – 744 s.
.Dergi "Potansiyel" Kasım 2007 Sayı 11
“Cebir ve analiz ilkeleri” 11. sınıf S.M. Nikolsky, M.K. Potapov ve diğerleri.
“Cebir ve matematiksel analiz” N.Ya. Vilenkin ve ark.
"Matematik" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Türevin fiziksel anlamı. Görevler!

Türevin fiziksel anlamı. Matematikteki Birleşik Devlet Sınavı, türevin fiziksel anlamı hakkında bilgi ve anlayış gerektiren, çözülmesi gereken bir grup problemi içerir. Özellikle, belirli bir noktanın (nesnenin) hareket yasasının verildiği, bir denklemle ifade edildiği ve hareket anında veya nesnenin hareket ettiği zamanın belirli bir anında hızının bulunmasının gerektiği problemler vardır. belirli bir hız elde edecektir. Görevler çok basit, tek bir eylemle çözülebilir. Bu yüzden:

X (t) maddi noktasının koordinat ekseni boyunca hareket kanunu verilsin; burada x, hareket eden noktanın koordinatıdır, t ise zamandır.

Zamanın belirli bir anında hız, koordinatın zamana göre türevidir. Türevin mekanik anlamı budur.

Benzer şekilde ivme de hızın zamana göre türevidir:

Dolayısıyla türevin fiziksel anlamı hızdır. Bu, hareketin hızı, bir sürecin değişim hızı (örneğin, bakterilerin büyümesi), işin hızı (ve benzeri birçok uygulamalı problem vardır) olabilir.

x (t) = t 2 – 7t – 20

burada x metre cinsinden referans noktasına olan mesafedir, t ise hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süredir. t = 5 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Türevin fiziksel anlamı hızdır (hareket hızı, sürecin değişim hızı, işin hızı vb.)

Hız değişimi yasasını bulalım: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Maddi nokta x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t yasasına göre doğrusal olarak hareket eder, burada X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. t = 6 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Nerede X- metre cinsinden referans noktasına olan mesafe, T- hareketin başlangıcından itibaren ölçülen saniye cinsinden süre. t = 3 s anındaki hızını (saniyede metre cinsinden) bulun.

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

Hız değişimi yasasını bulalım:

Zamanın hangi noktasında olduğunu bulmak için T hız 3 m/s olduğundan denklemi çözmek gerekir:

Maddi bir nokta yasaya göre doğrusal olarak hareket eder

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

matematikalegko.ru

Cebir ve başlangıçlar matematiksel analiz, 11. sınıf (S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin) 2009

Sayfa No. 094.

Ders Kitabı:

Ders kitabındaki sayfanın OCR versiyonu (yukarıda bulunan sayfanın metni):

Bu paragrafın başında ele alınan sorunlardan aşağıdaki ifadeler doğrudur:

1. Eğer düz hareket bir noktanın kat ettiği yol t süresinin bir fonksiyonudur, yani s = f(t), bu durumda noktanın hızı yolun zamana göre türevidir, yani v(t) =

Bu gerçek türevin mekanik anlamını ifade eder.

2. Eğer x 0 noktasında y = f (jc) fonksiyonunun grafiğine bir teğet çizilirse, o zaman f"(xo) sayısı bu teğet ile Ox ekseninin pozitif yönü arasındaki a açısının tanjantıdır. , yani /"(x 0) =

Tga. Bu açıya teğet açı denir.

Bu gerçeği ifade eder geometrik anlamı türev.

ÖRNEK 3. y = 0.5jc 2 - 2x + 4 fonksiyonunun grafiğine apsis x = 0 olan noktada teğetin eğim açısının teğetini bulalım.

Eşitlik (2)'yi kullanarak herhangi bir x noktasında f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 fonksiyonunun türevini bulalım:

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Bu türevin değerini x = 0 noktasında hesaplayalım:

Bu nedenle tga = -2. y = /(jc) fonksiyonunun x grafiği ve grafiğinin apsis jc = 0 olduğu noktadaki teğeti Şekil 95'te gösterilmektedir.

4.1 Noktanın s = t 2 yasasına göre doğrusal olarak hareket etmesine izin verin. Bulmak:

a) t x = 1'den £ 2 - 2'ye kadar olan zaman aralığı boyunca D£ zaman artışı;

b) As yolunun tx = 1'den t2 = 2'ye kadar olan süre boyunca artması;

V) ortalama sürat t x = 1'den t 2 = 2'ye kadar olan zaman aralığı boyunca.

4.2 Görev 4.1'de şunu bulun:

b) t'den t + At'ye kadar olan zaman aralığı boyunca ortalama hız;

V) anlık hız t zamanında;

d) t = 1 anındaki anlık hız.

4.3 Noktanın yasaya göre doğrusal olarak hareket etmesine izin verin:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) As yolunun t'den t + At'ye kadar olan zaman periyodundaki artışı;

Ders Kitabı: Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 11. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - 8. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 464 s.: hasta.