Pascal üçgeninin binom katsayılarının Newton'un binom özellikleri. Faktöriyel gösterimi kullanan Newton binom

Açıkçası, bir sistem için N doğrusal denklemlerİle N bilinmeyenler için boyut katsayılarından oluşan bir matris elde ederiz:

Determinant kavramını tanıtalım N-inci sipariş.

Tanım 4.1:

Belirleyici N-inci sıra şuna eşit bir sayıdır

Miktar N! terimler;

Her terim bir üründür N her satır ve her sütundan birer tane alınan matris elemanları;

Birinci indekslerin doğal bir sayı dizisi oluşturması koşuluyla her terim, ikinci indekslerin permütasyonu çift ise “+” işaretiyle, ikinci indekslerin permütasyonu tek ise “-” işaretiyle alınır.

O.

Burada å, 1,2,…, sayılarından oluşan tüm olası permütasyonları devralmaktadır. N.

5. Determinantların temel özellikleri.

Basitlik açısından 2. dereceden bir determinant kullanarak göstereceğimiz determinantların temel özelliklerini belirleyelim.

1. Satırları karşılık gelen sütunlarla değiştirirken (buna aktarma) determinant değişmeden kalır. Gerçekten mi:

Buradan, Kanıtlanması gereken şey buydu.

Not: Yukarıda elde edilen sonuç bize, bundan sonra satırlar olarak anılacak olan determinantın satır ve sütunlarının eşit olduğunu iddia etme hakkını vermektedir.

2. İki satır yeniden düzenlendiğinde determinantın işareti ters yönde değişir.

Gerçekten mi, Doğruları yer değiştirelim ve determinantı hesaplayalım

Q.E.D.

3. Determinanttaki iki paralel seri aynı ise sıfıra eşit. Aslında iki özdeş çizginin yerini değiştirelim. O zaman determinantın değeri değişmeyecek, ancak özellik 2'den dolayı işaret değişecektir. Tekil, işareti değiştiğinde değişmez - sıfır.

4. Toplam çarpan Herhangi bir serinin üyeleri determinant işaretinin dışına çıkarılabilir.

Q.E.D.

5. Herhangi bir serinin tüm elemanları toplam ise aynı numara terimler, o zaman determinant toplamına eşit dikkate alınan serinin elemanlarının bireysel terimler olduğu belirleyiciler.

Q.E.D.

6. Bir paralel serinin karşılık gelen elemanları herhangi bir serinin elemanlarına eklenir ve belirli bir sayı ile çarpılırsa determinant değişmeyecektir.

İkinci satırı çarpın ve ilk satıra ekleyin:

Gerçekten de 3,4,5 özelliklerinden dolayı

=

Q.E.D.

6. Küçükler ve cebirsel eklemeler belirleyicinin unsurları.

Belirleyiciyi düşünün N-inci sıra:

.

Determinantta vurgulayalım Bençizgi ve J sütun. Bu satırların kesişiminde bir eleman var

Eğer determinantta üzerini çizersek Ben- ayarlama ve J-th sütununda sıra determinantını elde ederiz N-1 (yani orijinal determinanttan bir daha küçük bir mertebeye sahip), denir küçük eleman belirleyici biz belirteceğiz küçük eleman sembol.

Tanım 6.1. Acebirsel tamamlayıcı eleman Belirleyiciye küçük denir, işaretiyle alınır ve simgesiyle gösterilir. Tanıma göre şunu elde ederiz:

.

Örnek 6.1. Determinantın küçük ve cebirsel tümleyenini bulun

ortogonal üniter matrisçoklu doğrusal

2. ve 3. dereceden determinantların hesaplanması.

İkinci ve üçüncü dereceden determinantları hesaplamak için formüller elde ediyoruz. Tanım gereği, ne zaman

İlk satırın ve bir sütunun üzerini çizdiğimizde, bir eleman içeren bir matris elde ederiz, yani

Bu değerleri sağ tarafa değiştirerek ikinci dereceden determinantı hesaplamak için formülü elde ederiz.

İkinci dereceden determinant farka eşit ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ve ikincil köşegen üzerindeki elemanların çarpımı (Şekil 2.1).

Üçüncü dereceden determinant için elimizde

İlk satırı ve bir sütunu silerek ikinci dereceden kare matrislerin determinantlarını elde ederiz:

Bu ikinci dereceden determinantları formül (2.2) kullanarak yazıyoruz ve üçüncü dereceden determinantı hesaplamak için formülü elde ediyoruz.

Determinant (2.3), her biri determinantın farklı satır ve sütunlarda yer alan üç elemanının çarpımı olan altı terimin toplamıdır. Ayrıca, üç terim artı işaretiyle, diğer üç terim ise eksi işaretiyle alınır.

Formül (2.3)'ü hatırlamak için, üçgen kuralı kullanılır: ana köşegen üzerinde ve ana köşegene paralel bir kenara sahip iki üçgenin köşelerinde duran üç öğenin üç çarpımını eklemeniz gerekir (Şekil 2.2a), ve yan köşegenlerde ve yan köşegenlere paralel bir kenara sahip iki üçgenin köşelerinde duran elemanların üç çarpımını çıkarın (Şekil 2.2,6).

Şekil 2'de gösterilen hesaplama şemasını da kullanabilirsiniz. 2.3 (Sarrus kuralı): birinci ve ikinci sütunları matrisin sağına ekleyin, belirtilen altı çizginin her birindeki elemanların çarpımını hesaplayın ve ardından bu çarpımların cebirsel toplamını bulun; paralel çizgiler üzerindeki elemanların çarpımı ise ana köşegen artı işaretiyle alınır ve yan köşegenlere paralel düz çizgiler üzerindeki elemanların çarpımı eksi işaretiyle alınır (Şekil 2.3'teki gösterime göre).

N>3 mertebesindeki determinantların hesaplanması.

Böylece ikinci ve üçüncü dereceden determinantları hesaplamak için formüller elde ettik. Formül (2.1)'i kullanarak hesaplamalara devam edebilir ve dördüncü, beşinci vb. belirleyicileri hesaplamak için formüller elde edebilirsiniz. büyüklük sıraları. Sonuç olarak, tümevarımsal belirleme herhangi bir mertebenin determinantını hesaplamaya izin verir. Diğer bir husus ise formüllerin hantal olması ve pratik hesaplamalar açısından sakıncalı olmasıdır. Bu nedenle belirleyiciler yüksek sipariş(dördüncü veya daha fazla), kural olarak, belirleyicilerin özelliklerine göre hesaplanır.

Örnek 2.1. Hesaplama belirleyicileri

Çözüm. (2.2) ve (2.3) formüllerini kullanarak şunu buluruz;

Belirleyiciyi satır (sütun) öğelerine ayırma formülü

Mertebeden bir kare matris verilsin.

Bir elemanın ek bir küçük değeri, bir matristen silinerek elde edilen bir sıra matrisinin determinantıdır. i'inci çizgi ve j'inci sütun.

Bir matris elemanının cebirsel tamamlayıcısı, bu elemanın ek küçük kısmının çarpımıdır

Teorem 2.1 Belirleyiciyi bir satırın (sütun) elemanlarına ayırmak için formül. Matrisin determinantı, rastgele bir sıranın (sütun) elemanlarının ve bunların cebirsel tamamlayıcılarının çarpımlarının toplamına eşittir:

(i'inci sıra boyunca ayrışma);

(j'inci sütundaki genişleme).

Notlar 2.1.

1. Formülün ispatı matematiksel tümevarım yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir.

2. Tümevarımsal tanımda (2.1), aslında determinantı ilk satırın elemanlarına ayırma formülü kullanıldı.

Örnek 2.2. Matrisin determinantını bulun

Çözüm. Determinantı 3. doğru boyunca genişletelim:

Şimdi son sütundaki üçüncü dereceden determinantı genişletelim:

İkinci dereceden determinant, formül (2.2) kullanılarak hesaplanır:

Matris determinantı görünüşte üçgen

Üst üçgen matrisin determinantını bulmak için ayrıştırma formülünü uygulayalım

Determinantı son çizgi (n'inci çizgi) boyunca genişletelim:

ek bir küçük unsur nerede. Haydi belirtelim Daha sonra. Determinantın son satırının ve son sütununun üzerini çizdiğimizde, (n-1)'inci dereceden fakat aynı türden üst üçgen matrisin determinantını elde ettiğimizi unutmayın. Determinantı son satır ((n-1)'inci satır) boyunca genişletirsek, şunu elde ederiz: Benzer şekilde devam edersek ve bunu dikkate alarak formül.e'ye ulaşıyoruz. bir üst üçgen matrisin determinantı ürüne eşit ana diyagonaldeki elemanlar.

Notlar 2.2

1. Alt üçgen matrisin determinantı, ana köşegendeki elemanların çarpımına eşittir.

2. Kimlik matrisinin determinantı 1'dir.

3. Üçgensel formdaki bir matrisin determinantına üçgensel formun determinantı adı verilecektir. Yukarıda gösterildiği gibi, bir üçgen matrisin determinantı (üst veya alt üçgen matrisin, özellikle köşegen matrisin determinantı), ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir.

Belirleyicilerin temel özellikleri (belirleyiciler)

1. Herkes için kare matris yani Transpoze edildiğinde determinant değişmez. Bu özellikten, determinantın sütun ve satırlarının "eşit" olduğu sonucu çıkar: Sütunlar için doğru olan herhangi bir özellik, satırlar için de doğru olacaktır.

2. Determinantta sütunlardan biri sıfırsa (sütundaki tüm öğeler sıfıra eşittir), o zaman determinant sıfıra eşittir:.

3. İki sütunu yeniden düzenlerken determinantın işareti ters yönde değişir (antisimetri özelliği):

4. Determinantın iki özdeş sütunu varsa sıfıra eşittir:

5. Determinantın iki orantılı sütunu varsa sıfıra eşittir:

6. Determinantın bir sütununun tüm elemanları bir sayıyla çarpıldığında determinant bu sayıyla çarpılır:

7. Eğer j'inci sütun determinant iki sütunun toplamı olarak temsil edilirse determinant, j'inci sütunları sırasıyla ve olan iki determinantın toplamına eşit olur ve geri kalan sütunlar aynıdır:

8. Determinant herhangi bir sütunda doğrusaldır:

9. Başka bir sütunun karşılık gelen elemanları bir sütunun elemanlarına eklenirse ve aynı sayıyla çarpılırsa determinant değişmeyecektir:

10. Belirleyicinin herhangi bir sütununun elemanlarının, başka bir sütunun karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamı sıfıra eşittir:

Notlar 2.3

1. Determinantın ilk özelliği tümevarımla kanıtlanmıştır. Diğer özelliklerin kanıtları, determinantı sütun elemanlarına ayırma formülü kullanılarak gerçekleştirilir. Örneğin, ikinci özelliği kanıtlamak için determinantı sıfır sütununun elemanlarına genişletmek yeterlidir (j'inci sütunun sıfır olduğunu varsayalım, yani):

Özellik 10'u kanıtlamak için, determinantı sağdan sola ayrıştırma formülünü okumanız gerekir; yani, i'inci sütunun elemanlarının çarpımlarının, j'inci sütunun elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile toplamı: determinantın j'inci sütununda bir genişleme olarak temsil edilir

j-ro sütununun elemanlarının yerine i-inci sütunun karşılık gelen elemanlarıdır. Dördüncü özelliğe göre böyle bir determinant sıfıra eşittir.

2. İlk özellikten, determinantın sütunları için formüle edilen 2-10 arasındaki tüm özelliklerin satırları için de geçerli olacağı sonucu çıkar.

3. Belirleyiciyi bir satırın (sütun) ve özellik 10'un öğelerine ayırmak için formülleri kullanarak şu sonuca varırız:

4. Bir kare matris olsun. Aynı dereceden bir kare matrisin, elemanlarından her biri, matrisin bir elemanının cebirsel tamamlayıcısına eşit olması durumunda, buna birleşik olduğu söylenir. Başka bir deyişle, ek matrisi bulmak için şunları yapmalısınız:

a) matrisin her elemanını cebirsel tamamlayıcısıyla değiştirirsek bir matris elde ederiz;

b) Matrisin yerini değiştirerek eş matrisi bulun.

Formül (2.4)'ten, birim matrisin aynı mertebeden olduğu sonucu çıkar.

Örnek 2.5. Keyfi bir kare matris olan, birim matris olan ve karşılık gelen mertebeden bir sıfır matris olan blok köşegen matrisin determinantını bulun.

Çözüm. Determinantı son sütuna genişletelim. Bu sütundaki tüm elemanlar sıfır olduğundan, 1'e eşit olan sonuncusu hariç, orijinaliyle aynı formda, ancak daha düşük mertebeden bir determinant elde ederiz. Ortaya çıkan determinantı son sütun boyunca genişleterek sırasını azaltırız. Aynı şekilde devam ederek matrisin determinantını elde ediyoruz. Buradan,

N'inci dereceden determinantların hesaplanmasına yönelik yöntemler.

Sıralı bir set verilsin N unsurlar. Herhangi bir düzenleme N içindeki elementler belli bir sırayla isminde yeniden düzenleme bu unsurlardan.

Her element numarasına göre belirlendiğinden, şunu söyleyeceğiz: N doğal sayılar.

Farklı permütasyonların sayısı N sayılar n'ye eşittir!

Bazı permütasyonlarda ise N sayılar numarası Ben maliyetler daha erken J, Ancak Ben > J yani daha büyük sayı küçük olanın önünde duruyor, sonra çiftin Ben, Jşuna eşittir: ters çevirme.

Örnek 1. Permütasyondaki ters çevirme sayısını belirleyin (1, 5, 4, 3, 2)

Çözüm.

5 ve 4, 5 ve 3, 5 ve 2, 4 ve 3, 4 ve 2, 3 ve 2 sayıları ters çevrilmeleri oluşturur. Bu permütasyondaki toplam ters çevirme sayısı 6'dır.

Permütasyon denir eşit, Eğer toplam sayı ters çevrilmeleri çifttir, aksi halde buna denir garip. Yukarıda tartışılan örnekte eşit bir permütasyon verilmiştir.

Biraz permütasyon verilsin..., Ben, …, J, … (*) . Hangi sayılarda dönüşüm Ben Ve J yer değiştirip geri kalanların yerinde kalmasına denir. aktarma. Numara aktarımından sonra Ben Ve J permütasyonda (*) yeniden düzenleme yapılacak... J, …, Ben, ..., hariç tüm öğeler Ben Ve J, yerlerinde kaldı.

Herhangi bir permütasyondan N sayılar, birkaç transpozisyon kullanarak bu sayıların başka herhangi bir permütasyonuna gidebilirsiniz.

Her transpozisyon permütasyonun paritesini değiştirir.

Şu tarihte: N ≥ 2 çift ​​ve tek permütasyonların sayısı N sayılar aynı ve eşittir.

İzin vermek M– sipariş edilen set N unsurlar. Bir kümenin herhangi bir bijektif dönüşümü M isminde ikameNderece.

Değişiklikler şu şekilde yazılır: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> ve hepsi bu pek farklılar.

Oyuncu değişikliği isminde eşit, eğer her iki satırı (permütasyon) aynı pariteye sahipse, yani her ikisi de çift veya her ikisi de tekse. Aksi takdirde ikame isminde garip.

Şu tarihte: N ≥ 2 çift ​​ve tek oyuncu değişikliği sayısı Nbu dereceleri aynı ve eşittir.

İkinci dereceden A= kare matrisinin determinantı şuna eşit olan sayıdır: a11a22–a12a21.

Bir matrisin determinantına aynı zamanda denir belirleyici. A matrisinin determinantı için şu gösterim kullanılır: det A, ΔA.

Belirleyici kare matrisler bir= üçüncü derece│A│='a eşit olan sayıyı arayın a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32-a13a22a31-a21a12a33-a32a23a11

Her dönem cebirsel toplam son formülün sağ tarafında her sütundan ve her satırdan birer tane alınan matris elemanlarının çarpımı bulunmaktadır. Ürünün işaretini belirlemek için, Şekil 1'de şematik olarak gösterilen kuralı (buna üçgen kuralı denir) bilmek faydalıdır:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" genişlik = "73" yükseklik = "75 src = ">.

Çözüm.

A, karmaşık elemanlara sahip n'inci dereceden bir matris olsun:

A=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width = "112" height = "27 src = "> (1) ..gif" genişlik = "111" yükseklik = "51"> (2) .

n'inci derecenin determinantı veya n>1 için A=(aij) kare matrisinin determinantı, formun tüm olası çarpımlarının cebirsel toplamıdır. (1) ve iş (1) karşılık gelen değişiklik ise “+” işaretiyle alınır (2) çift ​​ve eğer değişiklik tek ise “-” işaretiyle.

Küçük Mben eleman aij determinant, orijinalden silinerek elde edilen bir determinanttır Bençizgi ve J- sütun.

Cebirsel tamamlayıcı Aben eleman aij determinantına sayı denir Aben=(–1) Ben+ JMben, Nerede Mben – küçük öğe aij.

Belirleyicilerin özellikleri

1. Tüm satırları karşılık gelen sütunlarla değiştirirken determinant değişmez (değiştirirken determinant değişmez).

2. İki satırı (sütunları) yeniden düzenlerken determinantın işareti değişir.

3. İki özdeş (orantılı) satıra (sütuna) sahip bir determinant sıfıra eşittir.

4. Bir satırın (sütun) tüm elemanları için ortak olan faktör, determinantın işaretinin ötesine alınabilir.

5. Başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanları, belirli bir satırın (sütun) elemanlarına sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa eklenirse determinant değişmeyecektir.

6. Bir determinantın belirli bir satırının (sütununun) tüm elemanları sıfıra eşitse, sıfıra eşittir.

7. Belirleyici, herhangi bir sıranın (sütun) elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları ile çarpımlarının toplamına eşittir (determinantı bir satırda (sütun) ayrıştırma özelliği).

Bazılarına bakalım sıra belirleyicilerini hesaplama yöntemleri N .

1. Eğer n'inci dereceden bir determinantta en az bir satır (veya sütun) sıfırlardan oluşuyorsa determinant sıfıra eşittir.

2. N'inci dereceden determinanttaki bazı satırların sıfırdan farklı öğeler içermesine izin verin. Bu durumda n'inci dereceden determinantın hesaplanması, n-1 dereceli determinantın hesaplanmasına indirgenebilir. Aslında, determinantın özelliklerini kullanarak, bir satırın bir hariç tüm öğelerini sıfır yapabilir ve ardından determinantı belirtilen satır boyunca genişletebilirsiniz. Örneğin, determinantın satırlarını ve sütunlarını, yerinde olacak şekilde yeniden düzenleyelim. a11 sıfırdan farklı bir unsur vardı.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" genişlik = "32 yükseklik=37" yükseklik = "37">.gif" genişlik = "307" yükseklik = "101 src = ">

Satırları (veya sütunları) yeniden düzenlemenin gerekli olmadığını unutmayın. Determinantın herhangi bir satırında (veya sütununda) sıfır alabilirsiniz.

n. dereceden determinantları hesaplamak için, determinantı hesaplamak dışında genel bir yöntem yoktur. verilen emir doğrudan tanım gereği. Şunun ya da bunun belirleyicisine özel tip uygula çeşitli yöntemler Daha basit belirleyicilere yol açan hesaplamalar.

3. Üçgen formuna getirelim. Determinantın özelliklerini kullanarak, onu ana köşegenin bir tarafında duran tüm elemanların sıfıra eşit olduğu üçgen formuna indirgeyebiliriz. Ortaya çıkan üçgen determinantı ana köşegendeki elemanların çarpımına eşittir. İkincil köşegenin bir tarafında sıfır almak daha uygunsa, https://pandia.ru/text/78/456/ işaretiyle alınan ikincil köşegen elemanlarının çarpımına eşit olacaktır. resimler/image022_48.gif" width="49" height= "37">.

Örnek 3. Satır genişletmeye göre determinantı hesaplayın

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Örnek 4. Dördüncü dereceden determinantı hesaplayın

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width = "373" height = "96 src = ">.

2. yöntem(determinantın çizgi boyunca genişletilerek hesaplanması):

Bu determinantı, bazı satırlarda biri hariç tüm elemanların sıfır olacağı şekilde önceden dönüştürerek satır genişletme yoluyla hesaplayalım. Bunu yapmak için determinantın ilk satırını üçüncüye ekleyin. Daha sonra üçüncü sütunu (-5) ile çarpın ve dördüncü sütuna ekleyin. Dönüştürülen determinantı üçüncü çizgi boyunca genişletiyoruz. Üçüncü dereceden minörü ana köşegene göre üçgen forma indirgedik.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" genişlik = "202" yükseklik = "121 src = ">

Çözüm.

İkinciyi ilk satırdan, üçüncüyü ikinciden vb. çıkaralım ve son olarak sondan bir önceki satırdan sonuncuyu çıkaralım (son satır değişmeden kalır).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width = "445" height = "126 src = ">

Toplamdaki ilk determinant ana köşegene göre üçgen olduğundan köşegen elemanların çarpımına yani (n–1)n'ye eşittir. Toplamdaki ikinci determinantı ekleyerek dönüştürüyoruz son satır determinantın önceki tüm satırlarına. Bu dönüşümden elde edilen determinant ana köşegene göre üçgen olacağından köşegen elemanların çarpımına eşit olacaktır, yani nn-1:

=(n–1)n+ (n–1)n + nn-1.

4. Laplace teoremini kullanarak determinantın hesaplanması. Determinantta k satır (veya sütun) seçersek (1 £ k £ n-1), o zaman determinant, seçilen k satırda (veya sütunda) bulunan k'inci dereceden tüm küçüklerin çarpımlarının toplamına eşittir. ve bunların cebirsel tamamlayıcıları.

Örnek 6. Hesaplama belirleyicisi

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" genişlik = "538" yükseklik = "209 src = ">

BİREYSEL GÖREV No. 2

“N'İNCİ DERECE BELİRTİCİLERİNİN HESAPLANMASI”

Seçenek 1

Hesaplama belirleyicileri

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width = "114" height = "94 src = ">

cebirsel formül, Newton'un keşfettiği, herhangi bir binom derecesini ifade eder, yani:

(x + a) n = x n + n/1(ax n-1) + (a 2 x n-2) + …(a n x n-m) + …

veya kompakt formda n! = 1.2.3…n:

(x + a) n = ∑ m (!x n-m a m

Bu formül ilk kez 1676'da Newton tarafından kanıtsız olarak verildi. Londra'daki Westminster Abbey'de Newton'un mezarının üzerine oyulmuştur, ancak bunlardan biri olarak kabul edilemez. en önemli keşifler Newton.

B.'nin tamsayı üssü formülünün kanıtı kolaydır, çünkü özel durum daha fazlasından genel formül, çalışmayı ifade eden herhangi bir sayı binomlar. n = 2 veya n = 3 durumu için formülün geçerli olduğunu doğrudan çarpma yoluyla doğrulamak kolaydır:

(x + a 1)(x + a 2)…(x + a n) = x n + S n 1 x n-l + S n 2 x n-2 + … + S n n

burada S n 1 bu a 1 , a 2 miktarlarının toplamıdır. . . ve n, S n 2, ürünlerinin iki katının toplamıdır, - S n n, tüm bu miktarların ürünüdür. Ve eğer bu n için doğruysa, n+1 faktör için de doğru olduğunu kanıtlayabilirsiniz. Çünkü bir x + a n+1 çarpanını topladığımızda doğrudan çarpmayla elde ederiz

(x + a 1)(x + a 2)…(x + a n-1) = x n-1 + (S n 1 + a n+1)x n + (S n 2 + S n 1 a n- 1)x n-1 + … + S n na n

ve aynı zamanda açıktır ki

S n 1 + a n+1 + 1 = S 1 n+1

S n 2 + S n 1 a n+1 = S 2 n+1

vb. yani sağ taraf son eşitlik

x n+1 + S 1 n+1 x n + S 2 n+1 x n-1 + … + (S n+1) n+1

vb. Şimdi her şeyin olmasına izin ver A birbirine eşit ve eşit, örneğin, A, Daha sonra:

S 2 = a 2 ...

ve şunu elde ederiz: (x + a) n = x n + nax n-1 + (a 2 x n-2) + ...

Böylece Newton'un n formülünün geçerliliği pozitif bir tam sayıdır ve kanıtlanmış olur. Ancak Newton'un kendisi bunun hem kesirli hem de negatif için doğru olduğunu zaten gösterdi. Herhangi bir n için Euler kanıtını verelim. Şu ifadeyi düşünün:

1+nx + + x 3 + …

n tamsayı için (1 + x) n'ye eşittir. Her n için genel olarak f(n) olsun. Aynı şekilde, n'nin m ile değiştirildiği benzer bir ifadenin f(m) olmasına izin verin. Çarpma yaparak, bir yandan f(n)f(m), diğer yandan katsayı bileşim yasasını n, m tamsayılar durumundan bildiğimiz bir ifade buluruz:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m - 1)/1,2]x 2 + [(n + m)(n + m - 1)(n + m - 2)/1.2.3]x 3 + …

ve bu açıkça f(n+m)'dir. Böylece f(n)f(m) = f(n + m); aynı şekilde, rastgele sayıda f(n 1)f(n 2) çarpanı için... f(n μ) = f(n 1 +n 2 +…+n μ); n 1 = n 2 =…= n μ = λ/μ koyarsak, şunu elde ederiz:

f(n)f(–n) = f(0) = 1, yani f(–n) = 1/f(n) veya

f(–n) = (1 + x) –l = nx + x 2 - x 3 + … vb.

• - binom, iki cebirin toplamı veya farkı. örneğin B.'nin üyeleri olarak adlandırılan ifadeler. , vb. B.'nin kuvvetleri hakkında, yani ifadeler hakkında evet, bkz. Newton binom...

  Matematik Ansiklopedisi

• - iki miktarın toplamından veya farkından oluşan cebirsel bir ifade, örneğin axm +...
• - Newton tarafından keşfedilen ve herhangi bir binom derecesini ifade eden cebirsel bir formül, yani: n = xn + n/1 + + … + … veya kompakt formda, n! = 1,2...

  Ansiklopedik Sözlük Brockhaus ve Euphron

• - ve en geç. isim - isim) binom, denklem terimleri adı verilen iki cebirsel ifadenin toplamı veya farkı; örneğin a + b vb. B.'nin kuvvetleri, yani n formundaki ifadeler hakkında bkz. Newton'un binom...
• - herhangi bir tamsayıyı ifade eden formülün adı pozitif derece iki terimin bu terimlerin derecelerine göre toplamı, yani: burada n bir tam sayıdır pozitif sayı, a ve b - her neyse...

  Büyük Sovyet Ansiklopedisi

• - keyfi dereceden iki terimin cebirsel toplamının ayrıştırılmasını yazmanıza izin veren bir formülün adı...

  Collier Ansiklopedisi

• - binom ile aynı. N biçimindeki bir binom için bkz. Newton binom...
• - iki terimin toplamının pozitif tamsayı kuvvetini bu terimlerin kuvvetleri aracılığıyla ifade eden bir formül (katsayılarına binom katsayıları denir...)

  Büyük ansiklopedik sözlük

• - Borçlanma. 19. yüzyılın ilk yarısında. Fransızca'dan lang., burada binôme lat'ın eklenmesidir. biseksüel ve Yunanca nomē “böl, paylaş”. Çar. bu kelimenin türetilmiş formülü binomdur...

  Etimolojik sözlük Rus dili

• - Mikhail Afanasyevich Bulgakov'un "Usta ve Margarita" romanından. Koroviev-Fagot'un Woland ile barmen Andrei Fokich Sokov arasındaki diyaloğu yorumlayan sözleri...

  Sözlük kanatlı kelimeler ve ifadeler

• - ; pl. bino/biz, R....

  Yazım sözlüğü Rus dili

• - koca. binomi kadın harfi harfine gösterimle: sayısal ifade iki üyeden oluşan; binom, binom niceliği...

  Sözlük Dahl

• - BİNOM, kocam. Matematikte: binom...

  Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü

• - binom m. Cebirsel ifade iki tek terimlinin toplamını veya farkını temsil eden; binom...

  Efremova'nın Açıklayıcı Sözlüğü

• - Konuşmak. Şaka yapıyorum. Hakkında karmaşık, kafa karıştırıcı. Elistratov, 41...

  Büyük sözlük Rusça sözler

• - BİNOM, -a, m. Ütü. hakkında görünüşte karmaşık ve kafa karıştırıcı. Mümkün. M. Bulgakov'un “Usta ile Margarita” romanının etkisiyle yayıldı...

  Rus argot sözlüğü

Kitaplarda "Newton binom"u

Kepler'den Newton'a