Sunulan biletler sözlü amaçlıdır teorik yıllık geçiş sınavı planimetri ile 9. sınıf öğrencileri ortaokul Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için 10. ve 11. sınıfların yanı sıra. Önerilen materyaller matematik programı ve programla tamamen tutarlıdır. uzmanlık eğitimi.

Biletler geometri dersinin ana yönlerini yansıtan on sorudan oluşmaktadır.

Sorular ustalığı test etmek için tasarlanmıştır kavramsal aygıt konu ve önemli konuların bilgi düzeyinin belirlenmesi teorik gerçekler. Bazıları, sunulan materyalin temel bilgilerle ilgili bilgiyi gösteren kanıtını gerektirir. teorik hükümler elbette ve onları haklı çıkarma yeteneği.

Bu sorular kılavuzlardan alınmıştır:

Geometri. Kanıt sorunları. Smirnov V.A., Smirnova I.M.

Geometri. 7-9. sınıflar için ders kitabı. Atanasyan, Butuzov, Kadomtsev ve diğerleri.

Geometri. 7-11. sınıflar için ders kitabı A.V.

ÖĞRENCİLERİN CEVAPLARINI DEĞERLENDİRME KRİTERLERİ

Öğrenci yanıtlarını değerlendirirken aşağıdaki kriterleri kullanabilirsiniz.

Biletteki tüm soruların tam ve doğru cevabına “5” puan verilmektedir. “3” notu almak için biletteki sekiz soruyu yanıtlamak yeterli.

Diğer tüm durumlarda puan “4”tür.

Planimetride test

Seçenek 1

Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri.

Mülk orta hatüçgen.

Bir üçgenin yüksekliğini belirleme.

Bir dik üçgende yazılı ve çevrelenmiş dairelerin yarıçapları nedir?

Benzer şekillerin özellikleri.

Merkez açı nasıl ölçülür?

Bir dairenin akorlarının özelliği.

Bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi.

Dar açısı 30 derece olan dik üçgenin özelliği.

Dik açıortayı tanımlayın.

Seçenek 2

Eşitlik işaretleri dik üçgenler.

Bir üçgenin medyanının belirlenmesi.

Pisagor teoremi.

Paralelkenardaki köşegenlerin karelerinin toplamı nedir?

Düzenli bir üçgenin alanı için formül.

Bir yamuğun alanı.

Yazılı açıların özelliği.

Sınırlandırılmış bir dörtgenin özelliği.

Yay uzunluğu.

Sinüs, kosinüs, 30 derecelik bir açının tanjantı.

Seçenek 3

Bir üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teorem.

Bir üçgenin kenarortaylarının özellikleri.

Bir üçgenin açıortayının belirlenmesi.

Kosinüs teoremi.

Bir üçgenin açıortay formülü.

Paralelkenarın alanı (3).

Çemberin dışında kesişen iki kesen arasındaki açı nedir?

Yazılı bir dörtgenin özelliği.

Çevre.

Akorların temel özellikleri.

Seçenek 4

Özellikler ikizkenar üçgen.

Dik açıortayların özelliği.

Bir üçgenin medyanları için formül.

Sinüs teoremi.

içindeki elementler nelerdir eşkenar üçgen(yükseklik, yarıçap, alan)?

Özellikler ikizkenar yamuk.

Aynı noktadan çıkan teğet ve kesen çizgilerin özelliği.

Kesişen akorlar arasındaki açı nedir?

Sinüs, kosinüs, 60 derecelik bir açının tanjantı.

Bir üçgende yazılı dairenin merkezi nerededir?

Seçenek 5

Üçgen eşitsizliği.

Bir üçgenin yükseklikleri ile ilgili teorem.

Kareler benzer üçgenler.

Üçgenin alanları için formüller (6).

Paralelkenarın işaretleri.

Yamuğun orta çizgisine ilişkin teorem.

Heron'un dörtgen formülü.

Teğet ile teğet noktasından çizilen kiriş arasındaki açı nedir?

Sektör alanı.

Sinüs, kosinüs, 45 derecelik bir açının tanjantı.

Seçenek 6

Bir üçgenin orta çizgisinin belirlenmesi.

Üçgen açıortay teoremi.

Üçgenlerin benzerlik işaretleri.

Kosinüs teoremi.

Heron'un formülü.

Paralelkenarın özellikleri.

Bir eşkenar dörtgenin alanı.

Bir üçgende yazılı ve çevrelenmiş dairenin merkezi.

Bir dik üçgenin dar açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını tanımlayın

Orta seviye

Planimetrinin temel aksiyomları. Kapsamlı rehber (2019)

1. Planimetrinin temel kavramları

Neden her şey resimlerde ve kelimeler olmadan? Kelimelere ihtiyaç var mı? Bana öyle geliyor ki ilk başta pek gerekli değiller. Aslında matematikçiler elbette her şeyi kelimelerle anlatmayı biliyorlar ve bu tür açıklamaları teorinin ilerleyen aşamalarında da bulabilirsiniz ama şimdi resimlerle devam edelim.

Başka ne? Ah evet, parçaları ve açıları nasıl ölçeceğimizi öğrenmemiz gerekiyor.

Her bölümün bir uzunluğu vardır; bu bölüme atanan bir sayı (bazı nedenlerden dolayı...). Uzunluk genellikle bir cetvelle ölçülür, elbette santimetre, milimetre, metre ve hatta kilometre cinsinden.

Şimdi de açıları ölçüyorum. Bazı nedenlerden dolayı açılar genellikle derece cinsinden ölçülür. Neden? Bunun için bir şey var tarihsel nedenler ama şu anda tarihle uğraşmıyoruz. Bu nedenle, aşağıdaki anlaşmayı olduğu gibi kabul etmemiz gerekecek.

Gelişmiş bir derece açısında.

Kısa olması için şunu yazıyorlar: . Bu durumda, elbette, diğer tüm açıların büyüklüğü, açılmış açının hangi kısmının belirli bir açı olduğunu bularak bulunabilir. Açıları ölçmek için kullanılan araca iletki denir. Sanırım onu hayatında birden fazla kez gördün.

2. Açılarla İlgili İki Temel Gerçek

I. Komşu açılar toplanır.

Bu tamamen doğal, değil mi? Sonuçta, bitişik açılar birlikte bir ters açı oluşturur!

II. Dikey açılar eşittir.

Neden? Ve bakın:

Şimdi ne olacak? Tabii ki, bunu takip ediyor. (Örneğin ikinciyi birinci eşitlikten çıkarmak yeterlidir. Ama aslında sadece resme bakabilirsiniz).

Dik açının boyutu nedir?

Tabii ki! Nihayet.

4. Dar ve geniş açı.

Başlamak için bilmeniz gereken tek şey bu. Aksiyomlar hakkında neden tek kelime etmedik?

Aksiyomlar, planimetrinin temel nesnelerine ilişkin eylem kurallarıdır; noktalar ve çizgilerle ilgili ilk ifadelerdir. Bu ifadeler esas alınmıştır, kanıtlanmış değildir.

Neden hâlâ bunları formüle edip tartışmıyoruz? Görüyorsunuz, planimetri aksiyomları bir bakıma sezgisel olarak açık ilişkileri oldukça uzun bir zaman diliminde tanımlıyor. matematik dili. Aksiyomatiklerin net bir şekilde anlaşılması, biraz sonra alıştığınızda gereklidir. geometrik kavramlar sağduyu düzeyinde. O zaman - hoş geldiniz - orada aksiyomlarla ilgili oldukça ayrıntılı bir tartışma var. Bu arada, Öklid zamanından önceki çok eski Yunanlılar gibi davranmaya çalışın; sadece sorunları kullanarak çözün. sağduyu. Sizi temin ederim ki birçok görev sizin için mümkün olacak!

ORTA SEVİYE

Kendinizi birdenbire başka bir gezegende ya da bir bilgisayar oyununun içinde bulduğunuzu hayal edin.

Önünüzde bilinmeyen ürünlerden oluşan bir set var ve göreviniz bu setten mümkün olduğunca çok sayıda lezzetli yemek hazırlamak. Neye ihtiyacın olacak? Elbette kurallar, talimatlar - belirli ürünlerle neler yapılabilir. Peki ya aniden sadece çiğ olarak yenen bir şeyi pişirirseniz ya da tam tersine, mutlaka haşlanması ya da kızartılması gereken bir şeyi salataya koyarsanız? Yani talimat olmadan - hiçbir yerde!

Tamam ama neden böyle bir giriş? Geometrinin bununla ne alakası var? Görüyorsunuz, geometrideki her türlü figürle ilgili pek çok ifade, pişirmeyi öğrenmemiz gereken birçok “yemek”tir. Ama neyden? Geometrinin temel nesnelerinden! Ancak bunların “kullanımına” ilişkin talimatlara denir akıllı sözlerle "aksiyomlar sistemi".

Öyleyse dikkat edin!

Planimetrinin temel nesneleri ve aksiyomları.

Nokta ve çizgi

Bunlar planimetrinin en önemli kavramlarıdır. Matematikçiler bunların “tanımlanamaz kavramlar” olduğunu söylüyor. Nasıl yani? Ancak bu durumda bir yerden başlamak gerekiyor.

Şimdi noktaları ve çizgileri işlemenin ilk kuralları. Bu matematik kurallarına denir "aksiyomlar"- Temel olarak alınan ve bundan sonra temel olan her şeyin çıkarılacağı ifadeler (geometriyi "pişirmek" gibi büyük bir mutfak misyonumuz olduğunu hatırlıyor musunuz?). Yani ilk aksiyom dizisine denir

I. Aidiyet aksiyomları.

Lütfen bu aksiyomun şu şekilde çizim yapmanıza izin verdiğini unutmayın:

Şöyle: iki nokta vardı:

Ve sonra düz bir çizgi bulundu:

Ama diğeri öyle değil!

Bütün bunlar size çok açık görünüyorsa, başka bir gezegende olduğunuzu ve şimdiye kadar nesnelerle ne yapacağınıza dair hiçbir fikrinizin olmadığını unutmayın. "nokta" Ve "dümdüz".

Işın, segment, açı.

Artık çizgilere noktalar koymayı ve noktalardan çizgiler çizmeyi öğrendik, böylece ilk basit "yemekleri" hazırlayabiliriz -, bölüm,köşe.

1) KİRİŞ

İşte o

2) KESME

Şimdi işleri düzene koyalım. Bir sonraki aksiyom dizisinin adı:

II. Düzen aksiyomları.

Şimdi - bir sonraki seviye. Şununla ilgili talimatlara ihtiyacımız var: ölçüm segmentler ve açılar. Bu aksiyomlara denir

III. Parçalar ve açılar için ölçü aksiyomları.

Ve şimdi tamamen tuhaf.

IV. Belirli bir üçgene eşit bir üçgenin varlığına ilişkin aksiyomlar.

Bu aksiyomun iki sonucu daha açıktır:

Sonuncusu efsane paralel aksiyom!

Ama önce tanım:

V. Paralellik aksiyomu.

Neyse bitti planimetri aksiyomları! Çok fazla var mı? Ama düşünün, hepsine ihtiyaç var. Her biri için kurnazca, kurnazca bir akıl yürütme var; bu aksiyom kaldırılırsa geometrinin tüm yapısının parçalanacağını gösteriyor! Peki, yoksa alıştığımızdan tamamen farklı bir şey kalacak.

Şimdi açılarla ilgili iki temel gerçek!

Bitişik ve dikey açılar.

Bir açıyı oluşturan ışınlara açının kenarları denir ve bunların genel başlangıç- tepe

Bu tamamen basit teorem, Gerçek?

Nihayet ortak taraf bitişik köşeler basitçe düz bir açıyı iki açıya böler ve bu nedenle (DİKKAT: Aksiyom 3.2 çalışır!) yani bitişik açıların toplamı açılmış olanın boyutuna eşittir.

Çizmek tarif etmekten daha kolaydır; resme bakın.

Bu aynı zamanda kolay bir teoremdir. Emin olmak:

Dar ve geniş açı.

KISA AÇIKLAMA VE TEMEL FORMÜLLER

Aidiyet aksiyomları:

Aksiyom 1. Doğru ne olursa olsun, bu doğruya ait olan noktalar ve ona ait olmayan noktalar vardır.
Aksiyom 2. Herhangi iki noktadan düz bir çizgi çizebilirsiniz, hem de yalnızca bir tane.

Düzen aksiyomları:

Aksiyom 3. Bir doğru üzerindeki üç noktadan biri ve yalnızca biri diğer ikisinin arasında yer alır.
Aksiyom 4. Bir düzlemde uzanan düz bir çizgi, bu düzlemi iki yarım düzleme böler. Bir doğru parçasının uçları aynı yarım düzlemdeyse o parça doğruyu kesmez. Bir parçanın uçları farklı yarım düzlemlere aitse parça bir doğruyla kesişir.

Segmentler ve açılar için ölçü aksiyomları:

Aksiyom 5. Her parçanın sıfırdan büyük belirli bir uzunluğu vardır. Bir parçanın uzunluğu, herhangi bir noktasına bölündüğü parçaların uzunluklarının toplamına eşittir.
Aksiyom 6. Her açının belirli bir derece ölçüsü vardır, sıfırdan büyük. Doğru açı eşittir. Bir açının derece ölçüsü, kenarları arasından geçen herhangi bir ışın tarafından bölündüğü açıların derece ölçülerinin toplamına eşittir.

Belirli bir üçgenin varlığına ilişkin aksiyomlar:

Paralel Aksiyom:

Aksiyom 8. Bir düzlemde, belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel en fazla bir düz çizgi çizebilirsiniz.

Açılarla ilgili temel gerçekler:

Teorem. Komşu açıların toplamı eşittir.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

İçin başarılı tamamlama Birleşik Devlet Sınavı, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 999 ovmak.

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

İkinci durumda sana vereceğiz simülatör "Her konu için, tüm karmaşıklık seviyelerinde çözümleri ve cevapları olan 6000 problem." Herhangi bir konudaki problemlerin çözümüne el atmanız kesinlikle yeterli olacaktır.

Aslında bu bir simülatörden çok daha fazlasıdır; tam bir eğitim programıdır. Gerektiğinde ÜCRETSİZ olarak da kullanabilirsiniz.

Tüm metinlere ve programlara erişim, sitenin TÜM varlığı boyunca sağlanmaktadır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Önce birkaç temel özelliği belirtelim çeşitli türler açılar:

Bitişik açıların toplamı 180 dereceye kadar çıkar.
Düşey açılar birbirine eşittir.

Şimdi üçgenin özelliklerine geçelim. Keyfi bir üçgen olsun:

Daha sonra, üçgen açıların toplamı:

şunu da hatırla Bir üçgenin herhangi iki kenarının toplamı her zaman üçüncü kenardan büyüktür. İki kenar tarafından ölçülen üçgenin alanı ve aralarındaki açı:

Bir üçgenin bir kenardan geçen alanı ve üzerine düşen yükseklik:

Bir üçgenin yarı çevresi aşağıdaki formülle bulunur:

Heron'un formülü bir üçgenin alanı için:

Çevresel açıdan bir üçgenin alanı:

Medyan formülü (medyan, bir üçgenin bazı köşelerinden ve karşı tarafın ortasından geçen bir çizgidir):

Medyanların özellikleri:

Üç kenarortay da bir noktada kesişiyor.
Medyanlar bir üçgeni eşit alanlı altı üçgene böler.
Kesişme noktasında medyanlar, köşelerden itibaren sayılarak 2:1 oranında bölünür.

Bir açıortayın özelliği (bir açıortay, belirli bir açıyı iki eşit açıya, yani ikiye bölen bir çizgidir):

Bilmeniz gerekenler: Bir üçgenin içine yazılan dairenin merkezi, açıortayların kesişiminde bulunur(üç açıortay da bu noktada kesişir). Açıortay formülleri:

Bir üçgenin yüksekliklerinin ana özelliği (bir üçgendeki yükseklik, üçgenin bazı köşelerinden karşı tarafa dik olarak geçen bir çizgidir):

Bir üçgende her üç yükseklik de bir noktada kesişir. Kesişme noktasının konumu üçgenin türüne göre belirlenir:

Üçgen dar açılı ise yüksekliklerin kesişme noktası üçgenin içindedir.
Dik üçgende yükseklikler dik açının tepe noktasında kesişir.
Üçgen genişse, yüksekliklerin kesişme noktası üçgenin dışındadır.

Bir şey daha kullanışlı özelliküçgen yükseklikleri:

Kosinüs teoremi:

Sinüs teoremi:

Bir üçgenin çevrelenmiş dairesinin merkezi, dik açıortayların kesişme noktasında bulunur. Dik açıortayların üçü de bu noktada kesişiyor. Dik açıortay, bir üçgenin kendisine dik olan bir kenarının ortasından geçen bir çizgidir.

Düzenli bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı:

Eşkenar üçgen etrafında çevrelenen dairenin yarıçapı:

Düzenli bir üçgenin alanı:

Pisagor teoremi bir dik üçgen için ( C- hipotenüs, A Ve B- bacaklar):

Dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı:

Bir dik üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı:

Dik üçgenin alanı ( H- yükseklik hipotenüse indirildi):

Bir dik üçgenin hipotenüsüne indirilen yüksekliğin özellikleri:

Benzer üçgenler- açıları sırasıyla eşit olan ve birinin kenarları diğerinin benzer kenarlarıyla orantılı olan üçgenler. Benzer üçgenlerde karşılık gelen çizgiler (yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar vb.) orantılıdır. benzerlikler benzer üçgenler - karşılıklı uzanan kenarlar eşit açılar. Benzerlik katsayısı- sayı k, orana eşit benzer üçgenlerin benzer kenarları. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik katsayısına eşittir. Ortaortayların, kenarortayların, yüksekliklerin ve dikortayların uzunluklarının oranı benzerlik katsayısına eşittir. Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik katsayısının karesine eşittir. Üçgenlerin benzerlik belirtileri:

İki köşede. Bir üçgenin iki açısı sırasıyla diğerinin iki açısına eşitse bu üçgenler benzerdir.
İki tarafta ve aralarındaki açı. Bir üçgenin iki kenarı diğerinin iki kenarıyla orantılıysa ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse bu üçgenler benzerdir.
Üç tarafta. Bir üçgenin üç kenarı diğerinin üç benzer kenarıyla orantılıysa bu üçgenler benzerdir.

Yamuk

Yamuk- tam olarak bir çift karşıt kenarı paralel olan bir dörtgen. Yamuk orta hat uzunluğu:

Yamuk alanı:

Yamukların bazı özellikleri:

Yamuğun orta çizgisi tabanlara paraleldir.
Bir yamuğun köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçası tabanlar farkının yarısına eşittir.
Bir yamukta tabanların orta noktaları, köşegenlerin kesişme noktası ve yan kenarların uzantılarının kesişme noktası aynı düz çizgi üzerindedir.
Bir yamuğun köşegenleri onu dört üçgene böler. Kenarları taban olan üçgenler ve kenarları taban olan üçgenler benzerdir. taraflar- eşit büyüklükte.
Bir yamuğun herhangi bir tabanındaki açıların toplamı 90 derece ise, tabanların orta noktalarını birleştiren doğru parçası tabanlar farkının yarısına eşittir.
Bir ikizkenar yamuk herhangi bir tabanda eşit açılara sahiptir.
İkizkenar yamuk eşit köşegenlere sahiptir.
İkizkenar yamukta yükseklik tepe noktasından aşağıya doğru düşer. daha büyük taban, biri tabanların toplamının yarısına, diğeri tabanların farkının yarısına eşit olan iki parçaya böler.

Paralelkenar

Paralelkenar karşıt kenarları çiftler halinde paralel olan, yani paralel çizgiler üzerinde uzanan bir dörtgendir. Paralelkenarın bir kenardan geçen alanı ve üzerine indirilen yükseklik:

Paralelkenarın iki kenardan geçen alanı ve aralarındaki açı:

Paralelkenarın bazı özellikleri:

Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir.
Paralelkenarın karşılıklı açıları eşittir.
Paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür.
Bir tarafa bitişik açıların toplamı 180 derecedir.
Paralelkenarın tüm açılarının toplamı 360 derecedir.
Paralelkenarın köşegenlerinin kareleri toplamı, kenarlarının kareleri toplamının iki katına eşittir.

Kare

Kare-tüm kenarları eşit ve tüm açıları 90 dereceye eşit olan bir dörtgen. Bir karenin bir kenarının uzunluğuna göre alanı:

Köşegen uzunluğuna göre karenin alanı:

Bir karenin özellikleri- bunların hepsi aynı anda paralelkenarın, eşkenar dörtgenin ve dikdörtgenin özellikleridir.

Elmas ve dikdörtgen

Eşkenar dörtgen tüm kenarların eşit olduğu bir paralelkenardır. Eşkenar dörtgenin alanı (ilk formül iki köşegenden geçer, ikincisi kenar uzunluğu ve kenarlar arasındaki açıdır):

Bir eşkenar dörtgenin özellikleri:

Eşkenar dörtgen bir paralelkenardır. Karşıt kenarları çiftler halinde paraleldir.
Eşkenar dörtgenin köşegenleri dik açılarla kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür.
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri, açılarının ortaortaylarıdır.

Dikdörtgen tüm açıları dik açı olan (90 dereceye eşit) bir paralelkenardır. İki bitişik kenar boyunca bir dikdörtgenin alanı:

Dikdörtgenin özellikleri:

Dikdörtgenin köşegenleri eşittir.
Dikdörtgen bir paralelkenardır; karşıt kenarları paraleldir.
Dikdörtgenin kenarları aynı zamanda yükseklikleridir.
Bir dikdörtgenin köşegeninin karesini almak toplamına eşit onun iki karesi yok zıt taraflar(Pisagor teoremine göre).
Herhangi bir dikdörtgenin çevresine bir daire çizilebilir ve dikdörtgenin köşegeni, çevrelenen dairenin çapına eşittir.

“A Alın” video kursu başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte 60-65 puan. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematikte. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Tüm gerekli teori. Hızlı yollarçözümler, tuzaklar ve Birleşik Devlet Sınavının sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs 5 içerir büyük konular, her biri 2,5 saat. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Kelime problemleri ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Görsel açıklama karmaşık kavramlar. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Çözümün temeli karmaşık görevler Birleşik Devlet Sınavının 2 bölümü.

Daha sonra öğrenciden üçgenin iç açılarının toplamının 180° olduğunu kanıtlaması istendi. Öğrenci paralel doğruların özelliklerini anlattı. Ancak paralel çizgilerin özelliklerini paralel çizgilerin işaretlerine dayanarak kanıtlamaya başladı. Çember kapalı. Bu nedenle teoriyi tekrarlarken tutarlı ve dikkatli olun. Teoremin ispatını okurken özel ilgi Teoremin koşullarının ispatta nerede kullanıldığına ve daha önce kanıtlanmış teoremlerin hangilerinin kullanıldığına dikkat edin.
Bu bölümde teoremlerin formülasyonları A. V. Pogorelov'un “Geometri” ders kitabına göre verilmektedir. 7-9. sınıflar."

Planimetrinin temel teoremleri ve bunların sonuçları

1. Doğrularla ilgili teoremler (düzlemde paralellik ve diklik)

İki paralel çizgi üçüncü bir çizgiyle kesişirse, iç çapraz açılar eşittir ve iç tek taraflı açıların toplamı 180°'dir (Şekil 58).
a||b ? ? = ?
? +? = 180°.

Paralel çizgilerin işaretleri.
İki düz çizgi üçüncüyü kestiğinde, kesişen iç açılar eşitse, düz çizgiler paraleldir (Şekil 59):
Birbirine bakan iç açılar eşit mi? a||b.

İki düz çizgi üçüncüsünü kestiğinde, ortaya çıkan tek taraflı iç açıların toplamı 180° ise, düz çizgiler paraleldir (Şekil 60):
a||b.

İki düz çizgi üçüncüsüyle kesiştiğinde ortaya çıkan sonuç karşılık gelen açılar eşitse çizgiler paraleldir (Şek. 61):
a||b.

Bir doğruya dik olanın varlığı ve tekliği ile ilgili teoremler. Bir çizginin her noktasından ona dik bir çizgi çizebilirsiniz, yalnızca bir tane (Şekil 62).

Belirli bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, bu çizgiye dik bir çizgiyi ve yalnızca bir tanesini indirebilirsiniz (Şekil 63).

B doğrusu, A noktasından a noktasına dik olarak geçen tek doğrudur.

Paralellik ve diklik arasındaki ilişki.
Üçüncüye dik olan iki çizgi paraleldir (Şekil 64).
(a?c, b?c) ? a||b.

Bir çizgi paralel çizgilerden birine dikse diğerine de diktir (Şekil 65):
(a? b, b||c) ? A? İle.

Pirinç. 65.

2 Açılarla ilgili teoremler. Üçgendeki açılar. Bir daire içine yazılan açılar

dikey açılar

İkizkenar üçgenin açılarının özellikleri. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Ters teorem de doğrudur: Bir üçgendeki iki açı eşitse bu üçgen ikizkenardır (Şekil 67):
AB = BC? ?A = ?C.

Bir üçgende açıların toplamı ile ilgili teorem.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir (Şek. 68):
? +? +? = 180°.

Dışbükey bir n-gon'da açıların toplamına ilişkin teorem.
Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 180°?(n – 2)'dir (Şekil 69).

Örnek: ?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.

Üçgenin dış açısına ilişkin teorem.
Bir üçgenin dış açısı, kendisine bitişik olmayan iki iç açının toplamına eşittir (Şekil 70):
? = ? + ?.

Bir daire içine yazılan açının boyutuna ilişkin teorem.
Bir daire içinde yazılı açı yarıya eşit karşılık gelen q merkez açı(Şekil 71):

Pirinç. 71.

3. Üçgenlerle ilgili temel teoremler

ABC = ?A1B1C1 çünkü AB = A1B1, AC = A1C1 ve?A = ?A1.
Bir üçgenin yan ve bitişik açıları sırasıyla başka bir üçgenin yan ve bitişik açılarına eşitse, bu üçgenler uyumludur (Şekil 73).

ABC = ?A1B1C1 çünkü AC = A1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.

Bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eştir (Şekil 74).

ABC = ?A1B1C1 çünkü AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri.
Bir üçgenin hipotenüsü ve kenarı sırasıyla başka bir üçgenin hipotenüsüne ve kenarına eşitse, bu üçgenler eştir (Şekil 75).

ABC = ?A1B1C1 çünkü ?A = ?A1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1.
Bir üçgenin hipotenüsü ve dar açısı sırasıyla hipotenüse eşitse ve keskin köşe başka bir üçgen, o zaman bu üçgenler eşittir (Şekil 76).

ABC = ?A1B1C1, çünkü AB = A1B1, ?A = ?A1 a ?C = ?C1 = 90°.

Bir ikizkenar üçgenin medyanının özelliği.
İkizkenar üçgende tabana çizilen ortanca açıortay ve yüksekliktir (Şekil 77).

(AB = BC, AM = MS) ? (?AVM = ?MVS, ?AMV = ?BMC = 90°).

Bir üçgenin orta çizgisinin özelliği.
Bu iki kenarın orta noktalarını birleştiren üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir (Şek. 78).

EF||AC, EF = 1/2AC, çünkü AE = EB ve BF = FC.

Sinüs teoremi.
Üçgenin kenarları karşıt açıların sinüsleriyle orantılıdır (Şekil 79).

Pirinç. 79.

A2= b2+ c2– 2bc çünkü?.
Pisagor teoremi ( özel durum kosinüs teoremi).
Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir (Şekil 81).

C2= a2+ b2.

4. Düzlemde orantısallık ve benzerlik

eşit parçalar

(AB = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q ve р – bir açı oluşturan ışınlar?
a, b, c – açının kenarlarını kesen düz çizgiler.

Hakkında teorem orantılı bölümler(Thales teoreminin genelleştirilmesi).
Bir açının kenarlarını kesen paralel düz çizgiler, açının kenarlarından orantılı parçaları keser (Şekil 83).

Pirinç. 83.

Veya

Eğer? = ? öyleyse

Veya

ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzerdir çünkü ? = ?1 ve? = ?1.
Bir üçgenin iki kenarı diğer üçgenin iki kenarıyla orantılıysa ve bu kenarların oluşturduğu açılar eşitse üçgenler benzerdir (Şekil 86).

ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzerdir çünkü

VE? = ?1.
Bir üçgenin kenarları başka bir üçgenin kenarlarıyla orantılıysa, bu üçgenler benzerdir (Şekil 87).

ABC ve A1B1C1 üçgenleri benzerdir çünkü

5. Temel geometrik eşitsizlikler

eşit projeksiyonlar

Üçgen eşitsizliği.
Üç nokta ne olursa olsun, bu noktalardan herhangi ikisi arasındaki uzaklık, onlardan üçüncü noktaya olan uzaklıkların toplamından büyük değildir. Bundan, herhangi bir üçgende her bir kenarın diğer iki kenarın toplamından daha az olduğu sonucu çıkar (Şekil 89):
klima< АВ + ВС.

Bir üçgende kenarların boyutları ile açıların boyutları arasındaki ilişki.
Karşı bir üçgende daha büyük açı yalanlar büyük taraf, büyük açı büyük tarafın karşısında yer alır (Şek. 90).
(M.Ö.< AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).

Pirinç. 90.

6. Düzlemdeki noktaların temel geometrik konumları

Geometrik yer

verilen açı

AK = AT, burada A açıortay üzerindeki herhangi bir noktadır.
Verilen iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, bu noktaları birleştiren ve ortasından geçen doğru parçasına dik olan düz bir çizgi olacaktır (Şekil 92).

MA = MB, burada M – keyfi nokta AB segmentinin dik açıortayında.
Düzlemdeki birbirine eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri verilen nokta, bu noktada merkezi olan bir daire olacaktır (Şek. 93).

O noktası çemberin noktalarına eşit uzaklıktadır.

Üçgenin çevrel çemberinin merkezinin konumu.
Bir üçgenin çevresine çizilen bir dairenin merkezi, üçgenin kenarlarına bu kenarların orta noktalarından çizilen diklerin kesişme noktasıdır (Şekil 94).

A, B, C dairenin üzerinde bulunan üçgenin köşeleridir.
AM = MV ve AK = KS.
M ve K noktaları sırasıyla AB ve AC kenarlarına dik olanların tabanlarıdır.

Bir üçgenin içine yazılan dairenin merkezinin konumu.
Bir üçgenin içine yazılan bir dairenin merkezi, açıortaylarının kesişme noktasıdır (Şekil 95).

ABC'de AT ve SC doğru parçaları ortaydır.

7. Dörtgenlerle ilgili teoremler

AB = CD, BC = AD, ?BAD = ?BCD, ?ABC = ?ADC, AO = OC, BO = OD.

Paralelkenarın işaretleri.
Bir dörtgenin iki kenarı paralel ve eşitse, bu bir paralelkenardır (Şekil 97).

BC||AD, BC = MS ? ABCD bir paralelkenardır.

Bir dörtgenin köşegenleri kesişiyorsa ve kesişme noktasına göre ikiye bölünmüşse, bu dörtgen bir paralelkenardır (Şekil 98).

AO = İşletim Sistemi, VO = OD? ABCD bir paralelkenardır.

Dikdörtgenin özellikleri.
Bir dikdörtgen, bir paralelkenarın tüm özelliklerine sahiptir (bir dikdörtgenin zıt kenarları eşittir; bir dikdörtgenin zıt açıları eşittir (90°); bir dikdörtgenin köşegenleri kesişir ve kesişme noktası tarafından ikiye bölünür).
Dikdörtgenin köşegenleri eşittir (Şekil 99):
AC = BD.

Dikdörtgen işareti.
Paralelkenarın tüm açıları eşitse bu bir dikdörtgendir.

Eşkenar dörtgenin özellikleri.
Bir eşkenar dörtgen, bir paralelkenarın tüm özellikleriyle karakterize edilir (bir eşkenar dörtgen zıt kenarlara sahiptir - genel olarak, tüm kenarlar tanım gereği eşittir; bir eşkenar dörtgen zıt açılara eşittir; bir eşkenar dörtgen köşegenleri kesişir ve kesişme noktası tarafından ikiye bölünür) nokta).
Eşkenar dörtgenin köşegenleri dik açıyla kesişir.
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri, açılarının ortaortaylarıdır (Şekil 100).

Klima mı? BD, ?ABD = ?DBC = ?CDB = ?BDA, ?BAC = ?CAD = ?BCA = ?DCA.

Elmas işareti.
Bir paralelkenarın dik köşegenleri varsa, bu bir eşkenar dörtgendir.

Bir karenin özellikleri.
Kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin özelliklerine sahiptir.

Kare işareti.
Bir dikdörtgenin köşegenleri dik açıyla kesişiyorsa bu bir karedir.

Bir yamuğun orta çizgisinin özelliği.
Yamuğun orta çizgisi tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir (Şekil 101).

Pirinç. 101.

Yazılı ve çevrelenmiş dörtgenler için kriterler.
Eğer bir daire bir dörtgenin etrafında tanımlanabiliyorsa, bunun toplamları zıt köşeler 180°'ye eşittir (Şek. 102).
?A + ?C = ?B + ?D = 180°.

Bir daire bir dörtgene yazılabilirse, karşıt kenarlarının toplamı eşittir (Şekil 103).
AB + CD = AD + BC.

Pirinç. 103.

8. Çember teoremleri

S noktasından, daireyi sırasıyla A, B ve C, D noktalarında kesen bir daireye iki kesen çizilirse, AS ? BS = CS? DS (Şek. 105).

Sayı?.
Bir dairenin çevresinin çapına oranı dairenin yarıçapına bağlı değildir, yani herhangi iki daire için aynıdır. Bu sayı eşit mi? (Şekil 106).

Pirinç. 106.

9. Vektörler

tekil sayılar

Vektörlerin skaler çarpımı üzerine teorem.
Vektörlerin skaler çarpımı, mutlak q değerlerinin (uzunlukları) aralarındaki açının kosinüsüne göre çarpımına eşittir (Şekil 108).
OA mi? OB = OA? O.B.? çünkü?

Pirinç. 108.

Temel planimetri formülleri

Pirinç. 109.

Burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır;
?, ?, ? – onlara zıt açılar;
r ve R, yazılı ve çevreli dairelerin yarıçaplarıdır;
ha, ma, la – a kenarına çizilmiş yükseklik, ortanca ve açıortay;
S – üçgenin alanı;

– bir üçgenin yarı çevresi.
Bir üçgendeki kenarortaylar, tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında kesişme noktasına bölünür (Şekil 110).

Pirinç. 110.

Dörtgenler için:

Burada a, b tabanların uzunluklarıdır;
h – yamuğun yüksekliği.

Kenarları a, b ve açısı olan bir paralelkenarın alanı? aralarındaki oran S = abs sin? formülüyle hesaplanır. Ayrıca şu formülü de kullanabilirsiniz:

Nerede d1, d2 köşegenlerin uzunluklarıdır? – aralarındaki açı (veya S = aha, burada ha yüksekliktir).
Keyfi için dışbükey dörtgen(Şekil 111):

Normal bir n-gon için:

(R ve r, çevrelenmiş ve yazılı dairelerin yarıçaplarıdır ve аn, düzgün bir n-gon'un kenarının uzunluğudur).
Bir daire ve bir daire için (Şek. 112):

Pirinç. 112.

Ve 1\2R2?, eğer? radyan cinsinden ifade edilir.
Segment = Ssektör – Üçgen.

Analitik planimetri formülleri

AB çizgisinin denklemi:

Kolayca ax + by + c = 0 biçimine indirgenebilir; burada n = (a, b) vektörü çizgiye diktir.
A(x1; y1) noktasından ax + x + c = 0 düz çizgisine olan mesafe

ax + by + c1 = 0 ve ax + by + c2 = 0 paralel çizgileri arasındaki mesafe

a1x + BLу + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0 düz çizgileri arasındaki açı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Merkezi O(x0, y0) noktasında ve yarıçapı R:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2 olan bir çemberin denklemi.

3.2. Kendi kendine test soruları

1. a) Düşey açıların hangi özelliğini biliyorsunuz? (1)
2. a) İki kenar boyunca üçgenlerin eşitliği ve aralarındaki açı için bir kriter formüle edin. (1)
3. a) Üçgenlerin bir kenarı ve iki açısının eşitliği için bir kriter oluşturun. (1)
b) Kanıtla bu işaret. (1)
4. a) İkizkenar üçgenin temel özelliklerini listeleyiniz. (1)
c) İkizkenar üçgen testini kanıtlayın. (1)
5. a) Üç kenardaki üçgenlerin eşitliği için bir kriter oluşturun. (1)
b) Bu işareti kanıtlayın. (1)
6. Üçüncüye paralel iki doğrunun paralel olduğunu kanıtlayın. (2)
7. a) Doğruların paralellik işaretlerini formüle edin. (1)
c) Ters teoremleri kanıtlayın. (1)
8. Bir üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teoremi kanıtlayın. (1)
9. Bunu kanıtlayın dış köşe Bir üçgenin uzunluğu, ona bitişik olmayan iki iç üçgenin toplamına eşittir. (1)
10. a) Dik üçgenlerin eşitliği kriterlerini formüle edin. (1)
b) Dik üçgenlerin hipotenüs ve kenar boyunca eşitliğine ilişkin kriterleri kanıtlayın; hipotenüs ve dar açı boyunca. (1)
11. a) Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan bu doğru üzerine tek bir dikmenin bırakılabileceğini kanıtlayın. (1)
b) Verilen bir doğru üzerindeki bir noktadan, verilen doğruya dik olan tek bir doğru çizmenin mümkün olduğunu kanıtlayın. (1)
12. a) Üçgenin çevrel çemberinin merkezi nerededir? (1)
13. a) Üçgenin içindeki yazılı dairenin merkezi nerededir? (1)
b) İlgili teoremi kanıtlayın. (1)
14. Bir daireye teğet olma özelliğini kanıtlayın. (1)
15. a) Paralelkenarın hangi özelliklerini biliyorsunuz? (1)
b) Bu özellikleri kanıtlayın. (1)
16. a) Paralelkenarın hangi işaretlerini biliyorsunuz? (1)
b) Bu işaretleri kanıtlayın. (1)
17. a) Dikdörtgenin hangi özelliklerini ve karakteristiklerini biliyorsunuz? (1)
18. a) Eşkenar dörtgenin hangi özelliklerini ve işaretlerini biliyorsunuz? (1)
b) Bu özellikleri ve işaretleri ispatlayınız. (1)
19. a) Bir karenin hangi özelliklerini ve işaretlerini biliyorsunuz? (1)
b) Bu özellikleri ve işaretleri ispatlayınız. (1)
20. a) Durum Thales teoremi. (1)
b) Bu teoremi kanıtlayın. (1)
21. a) Genelleştirilmiş Thales teoremini (orantılı bölümler teoremi) formüle edin. (1)
b) Bu teoremi kanıtlayın. (2)
22. a) Bir üçgenin orta çizgisinin hangi özelliklerini biliyorsunuz? (1)
b) Bu özellikleri kanıtlayın. (1)
23. a) Yamuğun orta çizgisinin hangi özelliklerini biliyorsunuz? (1)
b) Bu özellikleri kanıtlayın. (1)
24. a) Pisagor teoremini belirtin. (1)
b) Pisagor teoremini kanıtlayın. (1)
c) Formüle edin ve kanıtlayın ters teoremi. (2)
25. Herhangi bir eğik çizginin dikeyden daha büyük olduğunu ve iki eğik çizgiden çıkıntısı daha büyük olanın daha büyük olduğunu kanıtlayın. (1)
26. a) Üçgen eşitsizliğini belirtiniz. (1)
b) Üçgen eşitsizliğini kanıtlayın. (2)
27. A(x1; y1) ve B(x2; y2) noktalarının koordinatları verilmiştir.
a) AB doğru parçasının uzunluğunu hesaplamak için hangi formül kullanılır? (1)
b) Bu formülü türetin. (1)
28. Merkezi A(x0; y0) noktasında ve yarıçapı R olan bir dairenin denklemini türetin. (1)
29. Herhangi bir satırın olduğunu kanıtlayın Kartezyen koordinatlar x, y'nin denklemi ax + by + c = 0 şeklindedir. (2)
30. A(x1; y1) ve B(x2; y2) noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini yazın. Cevap: haklı çıkarın. (2)
31. Bir doğru y = kx + b denkleminde k sayısının, doğrunun eğim açısının x ekseninin pozitif yönüne tanjantı olduğunu kanıtlayın. (2)
32. a) Hareketlerin hangi temel özelliklerini biliyorsunuz? (2)
b) Bu özellikleri kanıtlayın. (3)
33. Şunu kanıtlayın:
a) simetrinin bir noktaya göre dönüşümü bir harekettir; (3)
b) simetrinin düz bir çizgiye göre dönüşümü bir harekettir; (3)
c) paralel öteleme harekettir. (3)
34. Varlık ve teklik teoremini kanıtlayın paralel aktarım. (3)
35. Bunu kanıtlayın mutlak değer ka vektörü |k|'ya eşittir ? |a|, ka vektörünün yönü a'da? O, k > 0 ise a vektörünün yönü ile çakışır ve k ise a vektörünün yönünün tersidir.< 0. (1)
36. Herhangi bir a vektörünün b ve c vektörlerine genişletilebileceğini kanıtlayın (üç vektörün tümü aynı düzlemde yer alır). (1)
37. Verilen a = (a1; a2) ve b = (BL; b2) vektörleri. Bunu kanıtla

Nerede? – vektörler arasındaki açı.
38. a) Hangi özellikleri biliyorsunuz? nokta çarpım vektörler? (1)
b) Bu özellikleri kanıtlayın. (2)
39. Homoteliğin bir benzerlik dönüşümü olduğunu kanıtlayın. (1)
40. a) Benzerlik dönüşümünün hangi özelliklerini biliyorsunuz? (1)
b) Benzerlik dönüşümünün ışınlar arasındaki açıları koruduğunu kanıtlayın. (2)
41. a) Üçgenlerin iki açıdaki benzerliği için bir test formüle edin. (1)
42. a) İki kenara ve aralarındaki açıya göre üçgenlerin benzerliği için bir kriter oluşturun. (1)
b) Bu işareti kanıtlayın. (1)
43. a) Üçgenlerin benzerliği için bir kriter oluşturun. (1)
b) Bu işareti kanıtlayın. (2)
44. a) Üçgenin açıortayının özelliğini belirtiniz. (1)
b) Bir üçgenin açıortayının karşı kenarı diğer iki kenara orantılı parçalara böldüğünü kanıtlayın. (1)
45. a) Bir daire içine yazılan açının özelliğini belirtin. (1)
b) Bu özelliği kanıtlayın. (1)
46. a) Bir çemberin AB ve CD kirişleri S noktasında kesişirse AS olur mu? BS = CS? D.S. (1)
b) S noktasından çemberi sırasıyla A, B ve C, D noktalarında kesen iki kesen çizilirse AS ? BS = CS? D.S. (1)
47. a) Bir üçgen için kosinüs teoremini belirtin. (1)
b) Bu teoremi kanıtlayın. (1)
48. a) Sinüs teoremini belirtin. (1)
b) Bu teoremi kanıtlayın. (1)
c) Sinüs teoreminde üç bağıntıdan her birinin:

2R'ye eşittir; burada R, üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapıdır. (1)
49. Bir üçgende büyük açının büyük kenarın karşısında olduğunu ve büyük kenarın da büyük açının karşısında olduğunu kanıtlayın. (2)
50. a) Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı nedir? (1)
b) Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamına ilişkin formülü türetin. (1)
51. a) Bir dairenin düzgün bir çokgen içine yazılabileceğini kanıtlayın. (1)
b) Bunu kanıtlayın düzenli çokgen bir daireyi tanımlayabilir. (1)
52. Kenarı a olan bir düzgün n-gon veriliyor. Formülleri türetin:
a) yazılı ve çevrelenmiş dairelerin yarıçapları; (1)
b) n-gon'un alanı; (1)
c) tepe açısı. (1)
53. Bir dairenin çevresinin çapına oranının dairenin boyutuna bağlı olmadığını kanıtlayın. (3)
54. Açılar nasıl dönüştürülür? derece ölçüsü radyana ve tersi? (1)
55. Bir dikdörtgenin alanının dikdörtgenin uzunluğu ile genişliğinin çarpımına eşit olduğunu kanıtlayın. (3)
56. a) Paralelkenarın alanını hesaplamak için hangi formül kullanılır? (1)
b) Bu formülü türetin. (1)
57. a) Üçgenin alanını hesaplamak için hangi formül kullanılır? (taban ve yükseklik boyunca). (1)
b) Bu formülü türetin. (1)
c) Heron formülünü türetin. (1)
58. a) Yamuğun alanını hesaplamak için hangi formül kullanılır? (1)
b) Bu formülü türetin. (1)
59. Formülleri türetin:

Burada a, b, c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır;
S – alanı;
R ve r, çevrelenmiş ve yazılı dairelerin yarıçaplarıdır. (1)
60. F1 ve F2 iki olsun benzer rakamlar benzerlik katsayısı k ile. Bu rakamların alanları nasıl ilişkilidir? Cevap: haklı çıkarın. (1)
61. a) Bir dairenin alanını hesaplamak için hangi formül kullanılır? (1)
b) Bu formülü türetin. (3)
62. Alan formülünü türetin dairesel sektör. (2)
63. Dairesel bir parçanın alanı için formülü türetin. (2)
64. a) Bir üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın. (2)
b) Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın. (2)
c) Üçgenin yüksekliklerinin (veya uzantılarının) bir noktada kesiştiğini kanıtlayın. (2)
d) Bunu kanıtla dik açıortaylarÜçgenin kenarları bir noktada kesişiyor. (1)
65. Bir üçgenin alanının, iki kenarının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşit olduğunu kanıtlayın. (1)
66. a) Durum Ceva teoremi. (3)
b) Bu teoremi kanıtlayın. (3)
67. a) Durum Menlay teoremi. (3)
b) Bu teoremi kanıtlayın. (3)
c) Ters teoremi formüle edin ve kanıtlayın. (3)
68. a) Bir açının kenarları diğer açının kenarlarına paralel ise bu açıların eşit veya 180° olduğunu kanıtlayın. (2)