Bir daire formülü etrafındaki kinetik enerji. Dönme hareketi sırasında kinetik enerji ve iş

Ana dinamik özellikler dönme hareketi- z dönme eksenine göre itme momenti:

ve kinetik enerji

İÇİNDE genel durum açısal hızla dönme sırasındaki enerji aşağıdaki formülle bulunur:

Termodinamikte

Aynen olaydakiyle aynı mantıkla ileri hareket Eşit dağılım şu anlama gelir: termal denge tek atomlu bir gazın her parçacığının ortalama dönme enerjisi: (3/2)k B T. Benzer şekilde, eşbölüm teoremi moleküllerin ortalama kare açısal hızının hesaplanmasına olanak tanır.

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Dönme hareketinin enerjisi”nin ne olduğunu görün:

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Enerji (anlamlar). Enerji, Boyut... Vikipedi HAREKETLER - HAREKETLER. İçindekiler: Geometri D.................452 Kinematik D.................456 Dinamik D. . ..................461 Motor mekanizmaları..................465 İnsan hareketini inceleme yöntemleri......471 İnsan D.. patolojisi 474… …

Büyük Tıp Ansiklopedisi Kinetik enerji enerji mekanik sistem

noktalarının hareket hızına bağlı olarak. Öteleme ve dönme hareketinin kinetik enerjisi sıklıkla açığa çıkar. Daha doğrusu, kinetik enerji toplam arasındaki farktır... ... Vikipedi α peptidin termal hareketi. Peptidi oluşturan atomların karmaşık, titreşen hareketi rastgeledir ve enerji bireysel atom

geniş bir aralıkta dalgalanır, ancak eşbölüm yasası kullanılarak her birinin ortalama kinetik enerjisi olarak hesaplanır... ... Vikipedi

α peptidin termal hareketi. Peptidi oluşturan atomların karmaşık titreme hareketi rastgeledir ve tek bir atomun enerjisi büyük ölçüde dalgalanır, ancak eşbölüm yasasını kullanarak her birinin ortalama kinetik enerjisi olarak hesaplanır ... ... Vikipedi - (Fransız kısrakları, Almanca Gezeiten, İngiliz gelgitleri) periyodik salınımlar Ay ve Güneş'in çekim kuvvetinden dolayı su seviyesi. Genel bilgi . P. en çok okyanus kıyılarında fark edilir. Gelgitin hemen ardından okyanus seviyesi başlar... ... Ansiklopedik Sözlük

Soğutmalı gemi Fildişi Tirupati'nin ilk stabilitesi negatiftir Stabilite yeteneği ... Wikipedia

Soğutmalı gemi Fildişi Tirupati'nin ilk stabilitesi negatiftir Stabilite, yüzen bir aracın, yuvarlanmasına veya kesilmesine neden olan dış kuvvetlere dayanma ve rahatsızlığın sona ermesinden sonra denge durumuna geri dönme yeteneğidir... ... Vikipedi

1. Vücudun kendi etrafında dönüşünü düşünün hareketsiz Z ekseni. Tüm vücudu m temel kütlelerine bölelim. Ben. Temel kütle m'nin doğrusal hızı Ben– v ben = wR Ben, burada R Ben– kütle mesafesi m Ben dönme ekseninden. Bu nedenle kinetik enerji Ben temel kütle şuna eşit olacaktır: . Vücudun toplam kinetik enerjisi: , burada vücudun dönme eksenine göre atalet momenti var.

Böylece sabit bir eksen etrafında dönen bir cismin kinetik enerjisi şuna eşittir:

2. Şimdi vücudun döner bir eksene ve kendisine göre eksen hareketleri giderek kendine paralel kalarak.

ÖRNEK: Kaymadan yuvarlanan bir top dönme hareketi yapar ve içinden dönme ekseninin geçtiği ağırlık merkezi ("O" noktası) öteleme hareketi yapar (Şekil 4.17).

Hız Ben-temel vücut kütlesi eşittir , vücudun bir “O” noktasının hızı nerede; – temel kütlenin “O” noktasına göre konumunu belirleyen yarıçap vektörü.

Temel bir kütlenin kinetik enerjisi şuna eşittir:

YORUM: vektör çarpımı vektör yönünde çakışır ve modülüne eşittir (Şekil 4.18).

Bu açıklamayı dikkate alarak şunu yazabiliriz. , kütlenin dönme ekseninden uzaklığı nerede. İkinci dönemde faktörlerin döngüsel olarak yeniden düzenlenmesini yaparız ve ardından şunu elde ederiz:

Vücudun toplam kinetik enerjisini elde etmek için bu ifadeyi tüm temel kütleler üzerinden toplarız. sabit faktörler toplam işareti için. Aldık

Temel kütlelerin toplamı cismin kütlesi “m”dir. İfade, cismin kütlesinin, cismin eylemsizlik merkezinin yarıçap vektörü ile çarpımına eşittir (eylemsizlik merkezinin tanımı gereği). Son olarak cismin “O” noktasından geçen eksene göre eylemsizlik momenti. Bu nedenle yazabiliriz

.

“C” cismin eylemsizlik merkezini “O” noktası olarak alırsak, yarıçap vektörü şu şekilde olacaktır: sıfıra eşit ve ikinci terim ortadan kalkacaktır. Daha sonra, atalet merkezinin hızını ve “C” noktasından geçen eksene göre cismin atalet momentini belirterek şunu elde ederiz:

(4.6)

Böylece düzlemsel hareket halindeki bir cismin kinetik enerjisi, hız ile öteleme hareketinin enerjisinden oluşur. eşit hız atalet merkezi ve cismin atalet merkezinden geçen bir eksen etrafındaki dönme enerjisi.

Katı bir cismin dönme hareketi sırasında dış kuvvetlerin çalışması.

Cisim sabit Z ekseni etrafında döndüğünde kuvvetlerin yaptığı işi bulalım.

Kütleye bir iç kuvvet ve bir dış kuvvet etki etsin (ortaya çıkan kuvvet, dönme eksenine dik bir düzlemde yer alır) (Şekil 4.19). Bu kuvvetler zamanında gerçekleşir dt iş:

İçinde gerçekleştirilen karma işler faktörlerin döngüsel permütasyonunu vektörler olarak buluruz:

burada , sırasıyla iç ve dış kuvvetlerin “O” noktasına göre momentleridir.

Tüm temel kütleleri topladığımızda şunu elde ederiz: temel çalışma zamanında vücuda uygulanan dt:

İç kuvvetlerin momentlerinin toplamı sıfırdır. Daha sonra dış kuvvetlerin toplam momentini ifade ederek şu ifadeye ulaşırız:

.

biliniyor ki skaler çarpım iki vektöre, vektörlerden birinin modülünün ikincinin birincinin yönüne izdüşümü ile çarpımına eşit bir skaler denir, bunu dikkate alarak (Z ekseninin yönleri çakışır), elde ederiz

,

ama w dt=D j, yani bir cismin zaman içinde döndüğü açı dt. Bu yüzden

.

İşin işareti Mz'nin işaretine bağlıdır, yani. vektörün izdüşümünün işaretinden vektörün yönüne.

Yani vücut döndüğünde iç kuvvetler hiçbir iş yapılmaz ve dış kuvvetlerin işi formülle belirlenir .

Sonlu bir zaman diliminde yapılan iş entegrasyonla bulunur

.

Ortaya çıkan dış kuvvetlerin momentinin yöne izdüşümünün sabit kalması durumunda, integral işaretinden çıkarılabilir:

yani .

Onlar. Bir cismin dönme hareketi sırasında bir dış kuvvetin yaptığı iş, dış kuvvetin momentinin dönme yönü ve açısı üzerindeki izdüşümünün çarpımına eşittir.

Öte yandan, bir cisme etki eden bir dış kuvvetin yaptığı iş, cismin kinetik enerjisini arttırır (veya dönen cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir). Bunu gösterelim:

;

Buradan,

. (4.7)

Kendi başına:

Elastik kuvvetler;

Hooke yasası.

Hidrodinamik

Mevcut hatlar ve tüpler.

Hidrodinamik sıvıların hareketini inceler ancak kanunları gazların hareketi için de geçerlidir. Sabit bir sıvı akışında, parçacıklarının uzaydaki her noktadaki hızı zamandan bağımsız bir niceliktir ve koordinatların bir fonksiyonudur. Sabit bir akışta, akışkan parçacıklarının yörüngeleri bir akım çizgisi oluşturur. Akım hatlarının birleşimi bir akım tüpü oluşturur (Şekil 5.1). Akışkanın sıkıştırılamaz olduğunu varsayalım, bu durumda kesitlerden akan akışkanın hacmi S 1 ve S 2'si aynı olacak. Bir saniyede bu bölümlerden eşit miktarda sıvı geçecektir.

, (5.1)

Bölümlerdeki akışkan hızları nerede ve nelerdir? S 1 ve S 2 ve vektörler ve olarak tanımlanır ve burada ve kesitlerin normalleridir S 1 ve S 2. Denklem (5.1) jet süreklilik denklemi olarak adlandırılır. Buradan sıvı hızının mevcut tüpün kesitiyle ters orantılı olduğu sonucu çıkar.

Bernoulli denklemi.

İç sürtünmenin (viskozite) olmadığı ideal sıkıştırılamaz bir sıvıyı ele alacağız. Durağan akan bir sıvı içinde kesitleri olan ince bir akım tüpü seçelim (Şekil 5.2). S1 Ve S2, akım çizgilerine dik. Kesitte 1 kısa sürede T parçacıklar bir mesafe hareket edecek ben 1 ve bölümde 2 - uzaktan ben 2. Zaman içinde her iki bölümden T eşit küçük hacimde sıvı geçecektir V= V1 = V2 ve çok fazla sıvı aktarın m=rV, Nerede R- sıvı yoğunluğu. Genel değişiklik mekanik enerji bölümler arasındaki akış tüpündeki tüm sıvının S1 Ve S2, zamanında oldu T, hacim enerjisi değiştirilerek değiştirilebilir V olay 1. bölümden 2. bölüme geçtiğinde meydana geldi. Böyle bir hareketle kinetik ve potansiyel enerji bu hacim ve enerjisindeki tam değişim

, (5.2)

nerede 1 ve v 2 - kesitlerdeki akışkan parçacıklarının hızları S1 Ve S2 sırasıyla; G- hızlanma yer çekimi; saat 1 Ve saat 2- bölümlerin merkezinin yüksekliği.

İdeal bir akışkanda sürtünme kaybı olmadığından enerji artışı Almanya tahsis edilen hacim üzerinde basınç kuvvetlerinin yaptığı işe eşit olmalıdır. Sürtünme kuvvetlerinin yokluğunda bu iş:

Eşitliklerin (5.2) ve (5.3) sağ taraflarını eşitleyerek ve aynı indekslere sahip terimleri eşitliğin bir tarafına aktararak şunu elde ederiz:

. (5.4)

Tüp bölümleri S1 Ve S2 keyfi olarak alınmıştır, bu nedenle mevcut tüpün herhangi bir bölümünde ifadenin geçerli olduğu iddia edilebilir.

. (5.5)

Denklem (5.5) Bernoulli denklemi olarak adlandırılır. İçin yatay çizgi akım H = yapı ve eşitlik (5.4) şu şekli alır

R /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

onlar. Hızın daha büyük olduğu noktalarda basınç daha azdır.

İç sürtünme kuvvetleri.

Gerçek sıvı doğal viskozite, sıvı ve gazın herhangi bir hareketinin, buna neden olan sebeplerin yokluğunda kendiliğinden durmasıyla kendini gösterir. Durağan bir yüzeyin üzerine bir sıvı tabakasının yerleştirildiği ve bunun üzerinde yüzey hızıyla hareket eden bir plakanın üzerinde yüzdüğü bir deneyi ele alalım. S(Şekil 5.3). Deneyimler gösteriyor ki bir plakayı hareket ettirmek sabit hız buna kuvvetle müdahale etmek gerekir. Plaka ivme almadığından, bu kuvvetin hareketinin, eşit büyüklükte ve zıt yönlü bir başka kuvvet olan sürtünme kuvveti ile dengelendiği anlamına gelir. . Newton sürtünme kuvvetinin olduğunu gösterdi

, (5.7)

Nerede D- sıvı katmanının kalınlığı, h - sıvının viskozite katsayısı veya sürtünme katsayısı, eksi işareti dikkate alınır farklı yön vektörler F tr Ve v O. Katmanın farklı yerlerindeki sıvı parçacıkların hızlarını incelersek, buna göre değiştiği ortaya çıkar. doğrusal yasa(Şekil 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Bu eşitliğin farklılığını alırsak, dv/dz= v 0 /D. Bunu akılda tutarak

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Nerede H- katsayı dinamik viskozite . Büyüklük dv/dz hız gradyanı denir. Hızın eksen yönünde ne kadar hızlı değiştiğini gösterir z. Şu tarihte: dv/dz= sabit hız gradyanı sayısal olarak hızdaki değişime eşittir v değiştirirken z birim başına. (5.8) formülünü sayısal olarak ifade edelim. dv/dz =-1 ve S= 1, şunu elde ederiz H = F. şöyle: fiziksel anlam H: sayısal olarak viskozite katsayısı kuvvete eşit hız gradyanı ile birim alanlı bir sıvı tabakasına etki eden, bire eşit. SI viskozite birimine pascal saniye adı verilir (Pa s ile gösterilir). Sistemde GHS ünitesi viskozite 1 poise (P), 1 Pa·s = 10P'dir.

Mekanik.

Soru No.1

Referans sistemi. Eylemsiz referans sistemleri. Galileo-Einstein'ın görelilik ilkesi.

Referans çerçevesi- bu, belirli bir cismin hareketinin ve onunla ilişkili koordinat sisteminin tanımlandığı bir dizi cisimdir.

Atalet referans sistemi (IRS) serbestçe hareket eden bir cismin dinlenme veya düzgün doğrusal hareket halinde olduğu bir sistemdir.

Galileo-Einstein görelilik ilkesi- Herhangi bir zamanda tüm doğal olaylar eylemsizlik sistemi sayımlar aynı şekilde gerçekleşir ve aynı matematiksel form. Başka bir deyişle, tüm ISO'lar eşittir.

2 numaralı soru

Hareket denklemi. Hareket türleri sağlam. Kinematiğin ana görevi.

Hareket denklemleri maddi nokta:

- kinematik hareket denklemi

Katı cisim hareketi türleri:

1) Öteleme hareketi - vücutta çizilen herhangi bir düz çizgi kendisine paralel hareket eder.

2) Dönme hareketi - vücudun herhangi bir noktası bir daire içinde hareket eder.

φ = φ(t)

Kinematiğin ana görevi- bu, maddi bir noktanın V = V(t) hızının ve koordinatlarının (veya yarıçap vektörü) r = r(t)'nin zamana bağımlılığının, a = a(t) ivmesinin zamana bilinen bağımlılığından elde edilmesidir. ve bilinen başlangıç ​​koşulları V 0 ve r 0.

7. Soru

Nabız (Hareket miktarı) - vektör fiziksel miktar, ölçüyü karakterize eden mekanik hareket bedenler. İÇİNDE klasik mekanik vücut dürtüsü ürüne eşit kitleler M hızına göre bu nokta v impulsun yönü hız vektörünün yönüyle çakışır:

İÇİNDE teorik mekanik genelleştirilmiş dürtü sistemin Lagrangianının kısmi türevidir genelleştirilmiş hız

Eğer sistemin Lagrangianı bazı faktörlere bağlı değilse genelleştirilmiş koordinatlar, o zaman nedeniyle Lagrange denklemleri .

İçin serbest parçacık Lagrange fonksiyonu şu şekildedir: , dolayısıyla:

Lagrangian'ın bağımsızlığı kapalı sistem uzaydaki konumundan mülkiyeti takip eder uzayın homojenliği: iyi için izole sistem davranışı onu uzayda nereye yerleştirdiğimize bağlı değildir. İle Noether'in teoremi Bu homojenlik, bazı fiziksel niceliklerin korunmasını takip eder. Bu miktara dürtü denir (sıradan, genelleştirilmemiş).

Klasik mekanikte tam dürtü maddi noktalar sistemine denir vektör miktarı, maddi noktaların kütlelerinin ve hızlarının çarpımlarının toplamına eşittir:

buna göre miktar, bir maddi noktanın momentumu olarak adlandırılır. Bu, parçacık hızıyla aynı yönde yönlendirilmiş bir vektör miktarıdır. İmpuls birimi Uluslararası sistem birimler (SI) kilogram-metre bölü saniye(kg m/sn)

Sonlu büyüklükte bir cisimle ilgileniyorsak, momentumunu belirlemek için cismi maddi noktalar olarak kabul edilebilecek ve bunların üzerinden toplanabilen küçük parçalara bölmek gerekir, sonuç olarak şunu elde ederiz:

Hiçbir şeyden etkilenmeyen bir sistemin darbesi dış kuvvetler(veya telafi edilirler) kaydedildi zamanla:

Bu durumda momentumun korunumu Newton'un ikinci ve üçüncü yasalarından kaynaklanır: Sistemi oluşturan maddi noktaların her biri için Newton'un ikinci yasasını yazarak ve sistemi oluşturan tüm maddi noktaları toplayarak, Newton'un üçüncü yasası sayesinde eşitlik elde ederiz (* ).

İÇİNDE göreceli mekanik etkileşmeyen maddi noktalardan oluşan bir sistemin üç boyutlu momentumu niceliktir

,

Nerede ben ben- ağırlık Ben maddi nokta.

Etkileşmeyen malzeme noktalarından oluşan kapalı bir sistem için bu değer korunur. Ancak üç boyutlu momentum, referans çerçevesine bağlı olduğundan göreceli olarak değişmez bir nicelik değildir. Daha anlamlı bir nicelik, bir maddi nokta için şu şekilde tanımlanan dört boyutlu momentum olacaktır:

Uygulamada, bir parçacığın kütlesi, momentumu ve enerjisi arasında aşağıdaki ilişkiler sıklıkla kullanılır:

Prensip olarak, birbiriyle etkileşmeyen maddi noktalardan oluşan bir sistem için bunların 4-momentleri toplanır. Ancak göreceli mekanikte etkileşen parçacıklar için sadece sistemi oluşturan parçacıkların momentumunu değil, aynı zamanda aralarındaki etkileşim alanının momentumunu da hesaba katmak gerekir. Bu nedenle, göreli mekanikte çok daha anlamlı bir nicelik, korunum yasalarını tam olarak karşılayan enerji-momentum tensörüdür.

Soru #8

Atalet momenti- skaler bir fiziksel nicelik, tıpkı bir cismin kütlesinin öteleme hareketindeki ataletinin bir ölçüsü olması gibi, bir eksen etrafında dönme hareketi yapan bir cismin ataletinin bir ölçüsüdür. Kütlelerin vücuttaki dağılımıyla karakterize edilir: eylemsizlik momenti toplamına eşit temel kütlelerin çarpımlarının uzaklıklarının karesine oranı baz seti

Eksenel atalet momenti

Bazı cisimlerin eksenel atalet momentleri.

Mekanik bir sistemin eylemsizlik momenti sabit bir eksene göre (“eksenel atalet momenti”) miktardır Ja tüm kütlelerin çarpımlarının toplamına eşit N sistemin maddi noktalarının eksene olan uzaklıklarının kareleri:

,

• ben ben- ağırlık Ben nokta,
• ben mi- mesafe Ben eksene işaret eder.

eksenel eylemsizlik momenti vücut Ja bir cismin kütlesinin öteleme hareketindeki ataletinin bir ölçüsü olması gibi, bir eksen etrafında dönme hareketi yapan bir cismin ataletinin bir ölçüsüdür.

,

• DM = ρ dV- vücut hacminin küçük bir elemanının kütlesi dV,
• ρ - yoğunluk,
• R- elemandan uzaklık dV a eksenine.

Eğer cisim homojen ise yani yoğunluğu her yerde aynı ise o zaman

Formülün türetilmesi

DM ve eylemsizlik momentleri DJ ben. Daha sonra

İnce duvarlı silindir (halka, kasnak)

Formülün türetilmesi

Bir cismin eylemsizlik momenti, onu oluşturan parçaların eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir. İnce duvarlı bir silindiri kütlesi olan elemanlara bölün DM ve eylemsizlik momentleri DJ ben. Daha sonra

İnce duvarlı bir silindirin tüm elemanları dönme ekseninden aynı uzaklıkta olduğundan formül (1) şu şekle dönüştürülür:

Steiner teoremi

Atalet momenti Katı bir cismin herhangi bir eksene göre konumu yalnızca cismin kütlesine, şekline ve boyutuna değil, aynı zamanda cismin bu eksene göre konumuna da bağlıdır. Steiner teoremine göre (Huygens-Steiner teoremi), eylemsizlik momenti vücut J keyfi bir eksene göre toplam eşittir eylemsizlik momenti bu vücut Jc söz konusu eksene paralel olarak cismin kütle merkezinden geçen bir eksene göre ve vücut kütlesinin çarpımı M mesafenin karesi başına D eksenler arasında:

Bir cismin kütle merkezinden geçen bir eksene göre atalet momenti ise, o zaman ondan belirli bir mesafede bulunan paralel bir eksene göre atalet momenti eşittir:

,

Nerede - Brüt ağırlık bedenler.

Örneğin, bir çubuğun ucundan geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti şuna eşittir:

Dönme enerjisi

Dönme hareketinin kinetik enerjisi- bir cismin dönüşüyle ​​ilişkili enerjisi.

Temel kinematik özellikler bir cismin dönme hareketi - açısal hızı (ω) ve açısal ivme. Dönme hareketinin ana dinamik özellikleri - z dönme eksenine göre açısal momentum:

Kz = Izω

ve kinetik enerji

burada ben z dönme eksenine göre vücudun atalet momentidir.

Benzer bir örnek, ana eylemsizlik eksenlerine sahip dönen bir molekül göz önüne alındığında bulunabilir. ben 1, ben 2 Ve ben 3. Böyle bir molekülün dönme enerjisi şu ifadeyle verilir:

Nerede ω 1, ω 2, Ve ω 3- açısal hızın ana bileşenleri.

Genel olarak açısal hızla dönme sırasındaki enerji aşağıdaki formülle bulunur:

, Nerede BEN- eylemsizlik tensörü.

9. Soru

Dürtü anı (açısal momentum, açısal momentum, yörünge momentumu, açısal momentum) dönme hareketinin miktarını karakterize eder. Ne kadar kütlenin döndüğüne, dönme eksenine göre nasıl dağıldığına ve dönmenin hangi hızda gerçekleştiğine bağlı bir miktar.

Burada rotasyonun şu şekilde anlaşıldığına dikkat edilmelidir: geniş anlamda, yalnızca bir eksen etrafında düzenli dönüş olarak değil. Örneğin, hatta düz hareket Hareket çizgisi üzerinde yer almayan rastgele bir hayali noktadan geçen cisim aynı zamanda açısal momentuma da sahiptir. Gerçek dönme hareketinin tanımlanmasında belki de en büyük rol açısal momentum tarafından oynanır. Bununla birlikte, çok daha geniş bir sorun sınıfı için son derece önemlidir (özellikle sorunun merkezi veya merkezi bir sorunu varsa). eksenel simetri ancak yalnızca bu durumlarda değil).

Açısal momentumun korunumu kanunu(açısal momentumun korunumu yasası) - Kapalı bir sistem için herhangi bir eksene göre tüm açısal momentumun vektör toplamı, sistemin denge durumunda sabit kalır. Buna göre, kapalı bir sistemin açısal momentumunun zamana göre türevi olmayan herhangi bir şeye göre açısal momentumu kuvvet momentidir:

Dolayısıyla sistemin kapalı olması şartı, dış kuvvetlerin ana (toplam) momentinin sıfıra eşit olması şartına göre zayıflatılabilir:

parçacık sistemine uygulanan kuvvetlerden birinin momenti nerede? (Fakat elbette dış güçler yoksa bu gereksinim de karşılanır).

Matematiksel olarak açısal momentumun korunumu yasası, uzayın izotropisinden, yani uzayın dönmeye göre değişmezliğinden kaynaklanır. keyfi açı. Rastgele sonsuz küçük bir açıyla dönerken, parçacığın sayı içeren yarıçap vektörü ve hızı - kadar değişecektir. Sistemin Lagrange fonksiyonu, uzayın izotropisinden dolayı böyle bir dönme ile değişmeyecektir. Bu yüzden

Dönen bir cismin kinetik enerjisinin ifadesi dikkate alınarak doğrusal hız Vücudu oluşturan rastgele bir maddi noktanın, dönme eksenine göre eşitliği şu şekle sahiptir:

cismin seçilen dönme eksenine göre atalet momenti, bu eksene göre açısal hızı ve cismin dönme eksenine göre açısal momentumu nerededir.

Eğer bir cisim ötelemeli dönme hareketine maruz kalıyorsa, kinetik enerjinin hesaplanması cismin hareketinin tanımlandığı kutbun seçimine bağlıdır. Nihai sonuç aynı olacak. Yani, yarıçapı R ve eylemsizlik katsayısı k olan, v hızıyla kaymadan yuvarlanan yuvarlak bir cisim için kutup, C noktasındaki CM noktasında alınırsa, eylemsizlik momenti ve eksen etrafındaki açısal dönme hızı olur. C'dir. O halde cismin kinetik enerjisi.

Kutup, gövde ile gövdenin anlık dönme ekseninin geçtiği yüzey arasındaki O temas noktasında alınırsa, O eksenine göre atalet momenti eşit olacaktır. . O zaman cismin kinetik enerjisi, cismin açısal dönüş hızlarının paralel eksenlere göre aynı olduğu ve cismin O ekseni etrafında saf dönüş gerçekleştirdiği dikkate alındığında . Sonuç aynı.

Performans gösteren bir cismin kinetik enerjisi hakkında teorem karmaşık hareket, öteleme hareketi ile aynı forma sahip olacaktır: .

Örnek 1. Yarıçapı R ve kütlesi M olan silindirik bir bloğun etrafına sarılmış bir ipliğin ucuna m kütleli bir cisim bağlanmıştır. Gövde h yüksekliğine kaldırılır ve serbest bırakılır (Şek. 65). İpliğin esnek olmayan bir sarsılmasından sonra gövde ve blok hemen birlikte hareket etmeye başlar. Sarsıntı sırasında ne kadar ısı açığa çıkacak? Sarsıntıdan sonra vücudun ivmesi ve ipliğin gerginliği ne olacak? İplik t süresinden sonra sarsıldıktan sonra cismin hızı ve kat ettiği mesafe ne olacaktır?

Verilen: M, R, m, h, g, t. Bulmak: S -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Çözüm: İplik sarsılmadan önceki vücut hızı. İpliğin bir sarsılmasından sonra, blok ve gövde, blok ekseni O'ya göre dönme hareketine girecek ve bu eksene göre atalet momentleri ve'ye eşit olan cisimler gibi davranacaktır. Onların genel an dönme eksenine göre eylemsizlik.

İpliğin sarsılması hızlı bir süreçtir ve bir sarsıntı sırasında, blok-gövde sisteminin açısal momentumunun korunumu yasası meydana gelir; bu, gövde ve bloğun sarsıntıdan hemen sonra birlikte hareket etmeye başlaması nedeniyle şu şekle sahiptir: : . Bloğun başlangıçtaki açısal dönme hızı nereden geliyor? ve cismin başlangıçtaki doğrusal hızı .

İpliğin sarsılmasından hemen sonra açısal momentumun korunmasından dolayı sistemin kinetik enerjisi eşittir. Enerjinin korunumu yasasına göre sarsıntı sırasında açığa çıkan ısı

İpliğin sarsılmasından sonra sistem gövdelerinin dinamik hareket denklemleri, başlangıç ​​hızlarına bağlı değildir. Bir blok için şu forma sahiptir: veya ve vücut için. Bu iki denklemi topladığımızda şunu elde ederiz: . Vücut hareketinin hızlanması nereden geliyor? İplik gerginliği

Bir sarsıntıdan sonra vücut hareketinin kinematik denklemleri şu şekilde olacaktır: tüm parametrelerin bilindiği yer.

Cevap: . .

Örnek 2. Tabanda yer alan atalet katsayılı (içi boş silindir) ve (top) iki yuvarlak gövde eğik düzlem eğim açısı ile α aynısını rapor et başlangıç ​​hızları, eğimli bir düzlem boyunca yukarıya doğru yönlendirilmiştir. Cesetler hangi yüksekliğe ve ne kadar zamanda bu yüksekliğe çıkacak? Yükselen cisimlerin ivmeleri nelerdir? Cisimlerin yükseklikleri, süreleri ve ivmeleri kaç kez farklılık gösterir? Cisimler eğik bir düzlemde kaymadan hareket ederler.

Verilen: . Bulmak:

Çözüm: Vücuda şunlar etki eder: yerçekimi m G eğik düzlem reaksiyonu N ve kavrama sürtünme kuvveti (Şek. 67). Eserler normal reaksiyon ve yapışma sürtünme kuvvetleri (cismin ve düzlemin yapışma noktasında kayma yoktur ve ısı açığa çıkmaz.) sıfıra eşittir: bu nedenle cisimlerin hareketini tanımlamak için enerjinin korunumu yasasını kullanmak mümkündür: . Nerede .

Kinematik denklemlerden vücut hareketinin zamanlarını ve ivmelerini buluyoruz . Nerede , . Kaldırıcı cisimlerin yüksekliklerinin, zamanlarının ve ivmelerinin oranı:

Cevap: , , , .

Örnek 3. Hızla uçan kütleli bir mermi, kütlesi m ve uzunluğu l olan, ikinci ucuyla O noktasında asılı duran bir çubuğun ucuna tutturulmuş, kütlesi M ve yarıçapı R olan bir topun merkezine çarpar ve topun dışına uçar. hızla (Şek. 68). Çarpmadan hemen sonra çubuk-top sisteminin açısal dönme hızını ve mermi çarpmasından sonra çubuğun sapma açısını bulun.

Verilen: . Bulmak:

Çözüm: Steiner teoremine göre çubuğun ve topun, çubuğun O askı noktasına göre atalet momentleri: ve . Çubuk-top sisteminin toplam eylemsizlik momenti . Bir merminin çarpması hızlı bir süreçtir ve mermi-çubuk-top sisteminin açısal momentumunun korunumu yasası gerçekleşir (çarpışmadan sonra cisimler dönme hareketine girer): . Çubuk-top sisteminin çarpışmadan hemen sonraki açısal hareket hızı nereden geliyor?

Çubuk-top sisteminin CM'sinin O askı noktasına göre konumu: . Bir çarpışmadan sonra sistemin CM'si için enerjinin korunumu yasası, çarpma anında sistemin açısal momentumunun korunumu yasasını dikkate alarak şu şekle sahiptir: . Bir çarpışma sonrasında sistemin CM yüksekliği nereden yükselir? . Çarpmadan sonra çubuğun sapma açısı duruma göre belirlenir .

Cevap: , , .

Örnek 4. Bir blok, kütlesi m ve yarıçapı R olan, eylemsizlik katsayısı k olan ve açısal hızla dönen yuvarlak bir gövdeye N kuvvetiyle bastırılıyor. Silindirin durması ne kadar sürer ve bu süre zarfında ped silindire sürtündüğünde ne kadar ısı açığa çıkar? Blok ile silindir arasındaki sürtünme katsayısı .

Verilen: Bulmak:

Çözüm: Kinetik enerji teoremine göre sürtünme kuvvetinin cisim durmadan önce yaptığı iş şuna eşittir: . Dönme sırasında açığa çıkan ısı .

Bir cismin dönme hareketinin denklemi şu şekildedir: Yavaş dönüşünün açısal ivmesi nereden geliyor? . Bir cismin durana kadar dönmesi için geçen süre.

Cevap: , .

Örnek 5. Kütlesi m ve yarıçapı R olan, eylemsizlik katsayısı k olan yuvarlak bir cisim saat yönünün tersine açısal hıza döndürülür ve dikey bir duvara bitişik yatay bir yüzeye yerleştirilir (Şekil 70). Vücudun durması ne kadar sürer ve durmadan önce kaç devir yapar? Bu süre zarfında vücut yüzeye sürtündüğünde açığa çıkan ısı miktarı ne olacaktır? Cismin yüzeydeki sürtünme katsayısı eşittir.

Verilen: . Bulmak:

Çözüm: Bir cismin durana kadar dönmesi sırasında açığa çıkan ısı, cismin kinetik enerjisi teoremi kullanılarak bulunabilen sürtünme kuvvetlerinin işine eşittir. Sahibiz.

Reaksiyon yatay düzlem. Yatay ve dikey yüzeylerden vücuda etki eden sürtünme kuvvetleri eşittir: ve .Bu iki denklem sisteminden ve elde ederiz.

Bu ilişkiler dikkate alındığında, bir cismin dönme hareketinin denklemi () şeklindedir. Buradan cismin dönme açısal ivmesi eşittir. Daha sonra cismin durmadan önceki dönme süresi ve yaptığı devir sayısı yapar.

Cevap: , , , .

Örnek 6. Atalet katsayısı k olan yuvarlak bir cisim, yatay bir yüzey üzerinde duran R yarıçaplı bir yarımkürenin tepesinden kaymadan aşağı doğru yuvarlanmaktadır (Şekil 71). Yarımküreden hangi yükseklikte ve hangi hızda kopacak ve yatay bir yüzeye hangi hızda düşecek?

Verilen: k, g, R. Bulmak:

Çözüm: Kuvvetler cisme etki eder . İş ve 0 (yarımküre ile topun yapışma noktasında kayma yoktur ve ısı açığa çıkmaz), dolayısıyla bir cismin hareketini tanımlamak için enerjinin korunumu yasasını kullanmak mümkündür. Newton'un bir cismin yarım küreden ayrıldığı noktadaki CM'si için ikinci yasası, bu noktada forma sahip olduğu dikkate alınarak, nereden . Enerjinin korunumu kanunu başlangıç ​​noktası ve gövdenin ayrılma noktası formuna sahiptir. Vücudun yarıküreden ayrılma yüksekliği ve hızı eşit olduğundan, .

Vücut yarım küreden ayrıldıktan sonra sadece translasyon kinetik enerjisi değişir, bu nedenle vücudun ayrılma ve yere düşme noktaları için enerjinin korunumu yasası şu şekildedir: Bunu hesaba katarak nereden alıyoruz? . Yarımkürenin yüzeyi boyunca sürtünme olmadan kayan bir cisim için k=0 ve , , .

Cevap: , , .

« Fizik - 10. sınıf"

Bir patenci neden açısal dönüş hızını arttırmak için dönme ekseni boyunca esniyor?
Bir helikopterin rotoru döndüğünde dönmesi de gerekir mi?

Sorulan sorular, eğer dış kuvvetler cismin üzerine etki etmezse veya bunların etkisi telafi edilirse ve cismin bir kısmı bir yönde dönmeye başlarsa, tıpkı yakıtın dışarıdan püskürtülmesinde olduğu gibi diğer kısmının diğer yöne dönmesi gerektiği yönündedir. Bir roket, roketin kendisi ters yönde hareket eder.

Dürtü anı.

Dönen bir diski ele alırsak, diskin toplam momentumunun sıfır olduğu açıkça ortaya çıkar, çünkü vücudun herhangi bir parçacığı eşit hızla hareket eden bir parçacığa karşılık gelir, ancak aynı hızda hareket eder. ters yön(Şekil 6.9).

Ancak disk hareket ediyor, tüm parçacıkların açısal dönme hızı aynı. Ancak bir parçacığın dönme ekseninden ne kadar uzaksa momentumunun da o kadar büyük olduğu açıktır. Sonuç olarak, dönme hareketi için dürtüye benzer başka bir özelliğin - açısal momentumun - tanıtılması gerekir.

Bir daire içinde hareket eden bir parçacığın açısal momentumu, parçacığın momentumunun ve ondan dönme eksenine olan mesafenin çarpımıdır (Şekil 6.10):

Doğrusal ve açısal hızlar v = ωr ilişkisiyle ilişkilidir, o zaman

Katı bir nesnenin tüm noktaları aynı açısal hızla sabit bir dönme eksenine göre hareket eder. Katı bir gövde, maddi noktaların bir koleksiyonu olarak temsil edilebilir.

Katı bir cismin açısal momentumu, eylemsizlik momenti ile açısal dönme hızının çarpımına eşittir:

Açısal momentum vektörel bir niceliktir; formül (6.3)'e göre açısal momentum, açısal hızla aynı yönde yönlendirilir.

Darbe formunda dönme hareketinin dinamiği için temel denklem.

Bir cismin açısal ivmesi, açısal hızdaki değişimin bu değişimin meydana geldiği zaman periyoduna bölünmesine eşittir: Bu ifadeyi dönme hareketi dinamiğinin temel denkleminde değiştirin dolayısıyla I(ω 2 - ω 1) = MΔt veya IΔω = MΔt.

Böylece,

ΔL = MΔt. (6.4)

Açısal momentumdaki değişim, bir cisme veya sisteme etki eden kuvvetlerin toplam momenti ile bu kuvvetlerin etki süresinin çarpımına eşittir.

Açısal momentumun korunumu yasası:

Bir cisme veya cisimler sistemine etki eden kuvvetlerin toplam momenti sabit eksen Dönme sıfır ise açısal momentumdaki değişim de sıfır olur, yani sistemin açısal momentumu sabit kalır.

ΔL = 0, L = sabit.

Sistemin momentumundaki değişim, sisteme etki eden kuvvetlerin toplam momentumuna eşittir.

Dönen bir patenci kollarını yanlara doğru açar, böylece açısal dönme hızını azaltmak için eylemsizlik momenti artar.

Açısal momentumun korunumu yasası, "Zhukovsky tezgah deneyi" adı verilen aşağıdaki deney kullanılarak gösterilebilir. Olan bir bankta dikey eksen Merkezinden geçen rotasyonla kişi ayağa kalkar. Bir adam elinde dambıl tutuyor. Tezgah dönecek şekilde yapılmışsa, kişi dambılları göğsüne bastırarak veya kolları indirip sonra kaldırarak dönüş hızını değiştirebilir. Kollarını açarak atalet momentini arttırır ve açısal dönme hızı azalır (Şekil 6.11, a), kollarını indirerek atalet momentini azaltır ve tezgahın açısal dönme hızı artar (Şekil 6.11, a). 6.11, b).

Bir kişi ayrıca kenarı boyunca yürüyerek bir bankın dönmesini sağlayabilir. Bu durumda, toplam açısal momentumun sıfıra eşit kalması gerektiğinden tezgah ters yönde dönecektir.

Jiroskop adı verilen cihazların çalışma prensibi açısal momentumun korunumu yasasına dayanmaktadır. Bir jiroskopun ana özelliği, dış kuvvetler bu eksene etki etmediği sürece dönme ekseninin yönünün korunmasıdır. 19. yüzyılda Jiroskoplar denizciler tarafından denizde yönlendirme için kullanıldı.

Dönen katı bir cismin kinetik enerjisi.

Dönen bir katı cismin kinetik enerjisi, tek tek parçacıklarının kinetik enerjilerinin toplamına eşittir. Vücudu her biri maddi bir nokta olarak kabul edilebilecek küçük öğelere ayıralım. O zaman vücudun kinetik enerjisi, onu oluşturan maddi noktaların kinetik enerjilerinin toplamına eşittir:

Açısal hız Vücudun tüm noktalarının dönüşü aynıdır, bu nedenle

Parantez içindeki değer zaten bildiğimiz gibi katı cismin eylemsizlik momentidir. Son olarak, sabit bir dönme eksenine sahip katı bir cismin kinetik enerjisinin formülü şu şekildedir:

Katı bir cismin genel hareketi durumunda, dönme ekseni serbest olduğunda kinetik enerjisi öteleme ve dönme hareketinin enerjilerinin toplamına eşittir. Böylece kütlesi jantta yoğunlaşan ve yol boyunca sabit hızla yuvarlanan bir tekerleğin kinetik enerjisi şuna eşittir:

Tablo, bir malzeme noktasının öteleme hareketinin mekaniği için formülleri, katı bir cismin dönme hareketi için benzer formüllerle karşılaştırmaktadır.