Uncyclopedia'dan materyal

İntegral hesabı bir bölümdür matematiksel analizİntegrallerin, özelliklerinin, hesaplama yöntemlerinin ve uygulamalarının incelendiği. Birlikte diferansiyel hesap matematiksel analiz aygıtının temelini oluşturur.

İntegral hesabı dikkate alınarak ortaya çıktı büyük sayı Doğa bilimleri ve matematik problemleri. Bunlardan en önemlisi, bu derste neyin kapsandığını belirlemeye yönelik fiziksel görevdir. verilen zaman Bilinen fakat muhtemelen değişken bir hareket hızı ve çok daha eski bir problem olan alan ve hacim hesaplaması boyunca yollar geometrik şekiller(santimetre. Geometrik problemler aşırı derecede).

İntegral hesabının merkezinde, sırasıyla belirsiz ve belirli integral kavramlarına yol açan iki farklı yoruma sahip olan integral kavramı vardır.

Diferansiyel hesapta fonksiyonların türevlenmesi işlemi tanıtıldı. İntegral hesapta ele alındığında, farklılaşmanın tersi matematiksel işlem buna entegrasyon veya daha doğrusu belirsiz entegrasyon denir.

Bu nedir ters işlem ve belirsizliği nedir?

Farklılaşma işlemi karşılaştırır Verilen fonksiyon F(x) türevi F"(x)=f(x). Verilen bir f(x) fonksiyonuna dayanarak, türevi bu fonksiyon olan bir F(x) fonksiyonu bulmak istediğimizi varsayalım. f(x), t e.f(x) = F"(x). Bu fonksiyon denir antiderivatif fonksiyon f(x).

Bu, farklılaşmanın ters işleminin olduğu anlamına gelir belirsiz entegrasyon- belirli bir fonksiyonun antitürevini bulmayı içerir.

f(x) fonksiyonunun ters türevi olan F(x) fonksiyonunun yanı sıra, F(x)'ten a kadar farklı olan herhangi bir ℱ(x) = F(x) + C fonksiyonunun da bulunacağına dikkat edin. sabit terim C; çünkü ℱ"(x) = F(x) = f(x).

Bu nedenle, bir fonksiyonu başka bir tek fonksiyonla karşılaştıran farklılaşmanın aksine - birincinin türevi, belirsiz entegrasyon belirli bir fonksiyona değil, bütün bir fonksiyonlar setine yol açar ve bu onun belirsizliğidir.

Ancak bu belirsizliğin derecesi o kadar da büyük değil. Belirli bir fonksiyonun türevinin bir aralığın tüm noktalarında sıfıra eşit olması durumunda, bu, söz konusu aralıkta (değişkenin değişim hızının her yerde sıfıra eşit olduğu aralıklarda) sabit olan bir fonksiyon olduğunu hatırlayın. değişmez). Bu şu anlama gelir: eğer ℱ"(x) = F(x) herhangi bir a aralığında<х

Yani aynı fonksiyonun iki antiderivatifi bir aralıkta yalnızca sabit bir terim kadar farklılık gösterebilir.

Antiderivatif fonksiyonlar f(x) sembolüyle gösterilir

∫ işareti şunu okur: integral. Bu sözde belirsiz integraldir. Kanıtlanmış olana göre, belirsiz integral söz konusu aralıkta belirli bir fonksiyonu değil, formdaki herhangi bir fonksiyonu temsil eder.

∫ f(x) dx = F(x) + C, (1)

burada F(x), belirli bir aralıkta f(x) fonksiyonunun bir türevidir ve C keyfi bir sabittir.

Örneğin sayı doğrusunda

∫ 2x dx = x 2 + C; ∫ çünkü dy = sin y + C; ∫ sin z dz = -cos z + C.

Burada antiderivatifin argümanını belirtmek için kullanılan harfin seçiminden bir fonksiyon olarak bağımsızlığına dikkat çekmek için özellikle integrandların argümanlarını farklı sembollerle gösterdik: x, y, z.

Yazılı eşitliklerin doğrulanması, sağ tarafların basit farklılaşmasıyla gerçekleştirilir, bunun sonucunda sırasıyla 2x, cos y, sin z fonksiyonları sol tarafta integral işaretinin altında görünür.

Ayrıca antitürev, türev, diferansiyel tanımlarından ve belirsiz integral için (1) ilişkisinden doğrudan çıkan aşağıdaki açık ilişkileri akılda tutmakta fayda vardır:

(∫f(x)dx)" = f(x),

d(∫f(x)dx) = f(x)dx,

∫F"(x)dx = F(x) + C,

∫dF(x) = F(x) + C.

Ters türevin bulunması genellikle belirsiz integralin bazı genel özellikleriyle kolaylaştırılır:

∫сf(х)dx = с∫f(х)dx (sabit bir faktörün yerine);

∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx (toplam integrali);

∫f(x)dx = F(x) + C, o zaman

∫f(φ(t))φ"(t)dt = F(φ(t)) + C (değişken değişimi).

Bu ilişkiler aynı zamanda uygun farklılaşma kuralları kullanılarak doğrudan doğrulanır.

Boşluğa serbestçe düşen bir cismin hareket yasasını, havanın yokluğunda, Dünya yüzeyine yakın serbest düşüşün g ivmesinin sabit olduğu ve düşen cismin özelliklerine bağlı olmadığı gerçeğine dayanarak bulalım. . Dikey koordinat eksenini sabitleyin; Eksen üzerinde Dünya'ya doğru yönü seçiyoruz. Vücudumuzun t anındaki koordinatı s(t)~ olsun. Dolayısıyla s"(t)=g olduğunu ve g'nin bir sabit olduğunu biliyoruz. s(t) fonksiyonunu -hareket yasasını- bulmamız gerekiyor.

v(t) = s"(t) olmak üzere g = v"(t) olduğundan, art arda integral alarak şunu buluruz:

v(t) = ∫gdt = ∫1 dt = g t + C 1 (2)

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(g t + C 1)dt = ∫g tdt + ∫C 1 dt = g∫tdt + C 1 ∫1 dt = gt 2 /2 + C 1 t + C 2.

Yani bunu bulduk

s(t) = gt 2 /2 + C 1 t + C 2 , (3)

burada C1 ve C2 bazı sabitlerdir. Ancak düşen bir cisim hala herhangi bir keyfiliğin olmadığı belirli bir hareket yasasına uymaktadır. Demek ki henüz kullanmadığımız başka koşullar da var; tüm “rekabet eden” kanunlar (3) arasından belirli bir harekete karşılık gelen kanunun seçilmesine izin verirler. C 1 ve C 2 sabitlerinin fiziksel anlamını anlarsanız, bu koşulları belirtmek kolaydır. İlişkinin ekstrem terimlerini (2) t = 0'da karşılaştırırsak, C 1 = v(0) olduğu ve t = 0'da (3)'ten C 2 = s(0) olduğu ortaya çıkar. Böylece matematiğin kendisi bize istenen hareket yasasının

s(t) = gt 2 /2 + v 0 t + s 0

Cismin başlangıç konumunu s 0 = s(0) ve başlangıç hızını v 0 = v(0) belirtirsek tamamen belirlenecektir. Özellikle d 0 = 0 ve s 0 = 0 ise s(t) = gt 2/2 elde ederiz.

Şimdi bir türev bulma işlemi (diferansiyel) ile ters türev bulma işlemi (belirsiz integral) arasında, yukarıdakilere ek olarak bir takım temel farklılıkların bulunduğunu belirtelim. Özellikle, eğer temel fonksiyonların herhangi bir kombinasyonunun türevinin kendisi temel fonksiyonlarla ifade ediliyorsa, yani bir temel fonksiyon ise, o zaman bir temel fonksiyonun antitürevinin artık her zaman bir temel fonksiyon olmadığı akılda tutulmalıdır. Örneğin, antiderivatif

∫((sin x)/x)dx

temel fonksiyon (sin x)/x (integral sinüs olarak adlandırılır ve özel sembol si(x) ile gösterilir), kanıtlanabileceği gibi, şu şekilde ifade edilmez: temel işlevler. Dolayısıyla, belirli bir fonksiyonun bir antitürevinin varlığına ilişkin temel matematik sorusu, bu antitürevi temel fonksiyonlar arasında bulmanın her zaman çözülemeyen problemi ile karıştırılmamalıdır. Entegrasyon genellikle, temel işlevler listesine dahil edilmeseler de, x 2 veya sin x gibi "okul" işlevlerinden daha kötü çalışılmayan önemli ve yaygın olarak kullanılan özel işlevlerin tanıtılmasının kaynağıdır.

Son olarak, bir antiderivatif bulmanın, temel fonksiyonlarla ifade edildiğinde bile, farklılaşma algoritması gibi kanonik bir hesaplamalı algoritmadan çok bir sanata benzediğini not ediyoruz. Bu nedenle en sık karşılaşılan fonksiyonların bulunan antitürevleri belirsiz integrallerin arama tabloları şeklinde toplanır. Bu türden aşağıdaki mikro tablo, açıkça karşılık gelen temel temel fonksiyonların türevlerinin bir mikro tablosuna eşdeğerdir:

n ≠ -1 için ∫x n dx = 1/(n+1) x n+1 + C;

∫cos x dx = -sin x + C;

∫sin x dx = -cos x + C;

∫ dx/cos 2 x = tan x + C;

∫dx/sin 2 x = -ctg x + C.

Türev alma işleminin tersine çevrilmesinden bahsederken bu bağlamda antitürev ve belirsiz integral kavramlarına geldik ve bu kavramların ilk tanımlarını verdik.

Şimdi integral hesabının ana başlangıç kaynağı olarak hizmet eden ve kelimenin tam anlamıyla belirli bir integral veya integral kavramına yol açan, integrale farklı, çok daha eski bir yaklaşımdan bahsedeceğiz. Bu yaklaşım, antik Yunan matematikçisi ve gökbilimcisi Knidoslu Eudoxus'ta (yaklaşık MÖ 408-355) ve Arşimet'te, yani M.Ö. diferansiyel hesabın ve diferansiyel işleminin ortaya çıkmasından çok önce ortaya çıktı.

Eudoxus ve Arşimet'in, çözümünde integral kavramını öngören bir "tükenme yöntemi" yaratarak ele aldıkları soru, eğrisel bir şeklin alanının hesaplanması sorunudur. Aşağıda bu soruyu ele alacağız, ancak şimdilik I. Newton'u takip ederek aşağıdaki problemi ortaya koyacağız: a≤t≤b zaman aralığından herhangi bir t anında bilinen cismin v(t) hızını kullanarak, Bu süre zarfında vücudun hareket miktarı.

Hareket kanunu biliniyorsa, yani. Eğer cismin koordinatları zamana bağlıysa, cevap açıkça s(b) - s(a) farkıyla ifade edilecektir. Üstelik, v(t) fonksiyonunun [a;b] aralığında herhangi bir s̃(0) terstürevini biliyorsak, o zaman, C'nin bir sabit olduğu s̃(t) = s(t) + C olduğundan, şunu yapabiliriz: s(b) - s(i) farkına denk gelen s̃(b) - s(a) farkı formunda gerekli yer değiştirme değerini bulun. Bu çok yararlı bir gözlemdir, ancak belirli bir v(t) fonksiyonunun terstürevini belirtmek mümkün değilse, o zaman tamamen farklı davranmamız gerekir.

Aşağıdaki gibi mantık yürüteceğiz.

Eğer [a;b] aralığı ayrı momentler ise t 0, t 1, ..., t n, öyle ki a = t 0< t 1 < ... < t n = b, разбить на очень мелкие временные промежутки , i = 1, 2, ..., n, то на каждом из этих коротких промежутков скорость v(t) тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент τ i ∈ , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью v(τ i). В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени получаем приближенное значение v(τ i) ∆t i , где ∆t i = t i - t i-1 . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

v(τ 1) ∆t 1 + v(τ 2) ∆t 2 + ... + v(τ n) ∆t n (4)

aralıktaki tüm hareketler için.

Bulunan yaklaşık değer ne kadar doğru olursa aralığın bölünmesi o kadar iyi olur, yani. aralığın bölündüğü aralıkların en büyüğünün ∆ değeri ne kadar küçük olursa.

Bu, aradığımız yer değiştirme miktarının sınır olduğu anlamına gelir

lim ∆→0 ∑ n i=1 v(τ ben) ∆t ben (5)

∆ değeri sıfıra yaklaştığında (4) formunun toplamları.

Özel bir formun (4) toplamlarına, aralıktaki v(t) fonksiyonu için integral toplamları denir ve bunların bölümlerinin sınırsız ince ayarıyla elde edilen limitine (5), integral (veya belirli integral) denir. aralıktaki v(t) fonksiyonu. İntegral sembolü ile gösterilir

burada a, b sayılarına integralin sınırları denir; a alt sınırdır ve b ise üst sınır entegrasyon; ∫ integral işaretinin altındaki v(t) fonksiyonuna integral denir; v(t)dt - integral; T- entegrasyon değişkeni.

Yani tanım gereği,

∫ a b v(t)dt = lim ∆→0 ∑ n ben=1 v(τ i) ∆t ben . (6)

Bu, vücudun bilinen bir v(t) hareket hızında bir zaman aralığı boyunca arzu edilen hareket miktarının, aralık boyunca v(t) fonksiyonunun integrali (6) ile ifade edildiği anlamına gelir.

Bu sonucu, bu örneğin ele alınmasının başında ters türev dilinde belirtilen sonuçla karşılaştırarak, ünlü ilişkiye ulaşıyoruz:

∫ a b v(t)dt = s(b)-s(a), (7)

v(t) = s"(t) ise. Eşitliğe (7) Newton-Leibniz formülü denir. Sol tarafta limit (6) olarak anlaşılan bir integral, sağ tarafta ise fark vardır. değerler (integrasyon aralığının b ve a uçlarında) fonksiyonu s(t), integral fonksiyonunun ters türevi v(t). Böylece Newton-Leibniz formülü integral (6) ile ters türevi birbirine bağlar. Dolayısıyla formül iki zıt yönde kullanılabilir: ters türevi bularak integrali hesaplamak veya (6) ilişkisinden integrali alarak bir artış elde etmek için. Newton-Leibniz formülü çok önemlidir.

İntegral (6) ve formül (7) prensipte örneğimizde ortaya çıkan sorunu çözer. Yani, eğer v(t) = gt ise (durgunluk durumundan başlayan serbest düşüş durumunda olduğu gibi, yani v(0) = 0 ile), o zaman s(t) = gt 2 terstürevini bulduktan sonra /2 + Formül (7)'ye göre v(t) = g t fonksiyonundan değeri elde ederiz

∫ a b gt dt = gb 2 /2 - ga 2 /2

a anından b anına kadar geçen süre içindeki hareket.

Bizi integrale ve Newton-Leibniz formülüne götüren az önce analiz ettiğimiz fiziksel probleme dayanarak, yapılan gözlemleri genelleştirerek artık şunu söyleyebiliriz: eğer belirli bir a ≤ x ≤ b aralığında f(x) fonksiyonu veriliyorsa, daha sonra, [a; b] aralığını bölme a = x 0< x 1 < ... < х n = b, составляя интегральные суммы

f(ξ 1) ∆x 1 + f(ξ 2) ∆x 2 + ... + f(ξ n) ∆x n , (4")

burada ξ ben ∈, ∆x ben = x ben - x i-1 ve ∆→0'daki limite geçerek, burada ∆ = maksimum (∆x 1, ∆x 2, ..., ∆x n), tanım gereği elde ederiz integral

∫ a b f(x) dx = lim ∆→0 ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i (6")

aralık boyunca f(x) fonksiyonundan. Bu durumda F"(x)=f(x) açıksa, yani F(x), aralıkta f(x) fonksiyonunun ters türevi ise, o zaman Newton-Leibniz formülü geçerlidir:

∫ a b F(x) dx = F(b) - F(a). (7")

Böylece integral hesabının en önemli kavramları tanımlanmış ve integral ile farklılaşmayı birbirine bağlayan Newton-Leibniz formülü elde edilmiştir.

Tıpkı diferansiyel hesapta türev kavramının yalnızca anlık hareket hızını belirleme problemiyle değil, aynı zamanda bir teğet çizme problemiyle de yönlendirildiği gibi, integral hesapta da integral kavramı yalnızca Belirli bir hareket hızında kat edilen mesafeyi belirlemeye ilişkin fiziksel problemin yanı sıra başka birçok problem de vardır ve bunların arasında alan ve hacim hesaplamasıyla ilgili eski geometrik problemler de vardır.

Şekil 2'de gösterilen S alanını bulmamız gereksin. aABb şeklinin 1'i (eğrisel yamuk olarak adlandırılır), üst "tarafı" AB, segmentte belirtilen y = f (x) fonksiyonunun grafiğidir. a = x 0 noktaları< х 1 < ... < х n = b разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку ξ i ∈ . Площадь узкой kavisli yamuk, parçanın üzerinde uzanarak, karşılık gelen dikdörtgenin yaklaşık f(ξ i)(x i-1 - x i) = f(ξ i)∆x i alanını taban ve yükseklik f(ξ i) ile değiştiririz. Bu durumda, tüm aABb şeklinin S alanının yaklaşık değeri, bilinen integral toplamı ∑ n i=1 f(ξ i) ∆x i tarafından verilecek ve istenen S alanının tam değeri şu şekilde elde edilecektir: bölümün en büyük bölümünün uzunluğu ∆ sıfıra yaklaştığında bu tür toplamların sınırı. Böylece şunu elde ederiz:

∫ a b f(x) dx. (8)

Şimdi Arşimed'i takip ederek, y = x 2 parabolünün Şekil 2'de gösterilen alanı hangi oranda böldüğünü bulmaya çalışalım. 2 birim kare. Bunu yapmak için, formül (8)'e dayanarak alt parabolik üçgenin S alanını hesaplıyoruz. Bizim durumumuzda = ve f(x) = x 2. f(x) = x 2 fonksiyonunun ters türevi F(x) = x 3/3'ü biliyoruz, bu da Newton-Leibniz formülünü (7") kullanıp kolaylıkla elde edebileceğimiz anlamına gelir.

S = ∫ 0 1 x 2 dx = 1/3 1 3 - 1/3 0 3 = 1/3.

Bu nedenle parabol, karenin alanını 2:1 oranında böler.

İntegrallerle uğraşırken özellikle Newton-Leibniz formülünü kullanarak yazının başında adı geçen belirsiz integralin genel özelliklerinden yararlanabilirsiniz. Özellikle, belirsiz integraldeki bir değişkeni değiştirme kuralı, Newton-Leibniz formülünü dikkate alarak a = φ(α), b = φ(β) koşuluyla, şu sonuca varmamızı sağlar:

∫ a b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(φ(β)) - F(φ(α)) = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt,

ve böylece belirli bir integraldeki değişkeni değiştirmek için çok kullanışlı bir formül elde edilir:

∫ a b f(x) dx = ∫ α β f(φ(t))φ"(t) dt (9)

Cisimlerin hacimleri de integraller kullanılarak hesaplanır. Şek. 1 eğrisel yamuk aABb'yi Ox ekseni etrafında döndürdüğünüzde, karşılık gelen dikdörtgenlerin döndürülmesiyle elde edilen, yaklaşık olarak dar silindirlerden oluştuğu düşünülebilecek (Şekil 3) bir dönüş gövdesi elde edeceksiniz. Aynı gösterimi koruyarak, bu silindirlerin her birinin hacmini πf 2 ξ i ∆x i (tabanın πf 2 ξ i alanı ile ∆x i yüksekliğinin çarpımı) formunda yazıyoruz. πf 2 ξ 1 ∆x 1 + πf 2 ξ 2 ∆x 2 + ... + πf 2 ξ n ∆x n toplamı, dikkate alınan dönme gövdesinin V hacminin yaklaşık bir değerini verir. V'nin tam değeri bu tür toplamların ∆→0'daki limiti olarak elde edilecektir. Araç,

V = π∫ a b f 2 (x) dx. (10)

Özellikle, Şekil 2'de gösterilen hacmi hesaplamak için. 4 koni, (10) formülüne a = 0, b = h ve f(x) = kx koymak yeterlidir; burada k, döndürülen düz çizginin açısal katsayısıdır. f 2 (x) = k 2 x 2 fonksiyonunun ters türevi k 2 x 3 /3'ü bulduktan ve Newton-Leibniz formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

V = π∫ 0 h k 2 x 2 dx = π(k 2 h 3/3 - k 2 0 3/3)

= π(kh) 2 h/3 = Sh/3,

burada S = π(kh) 2, koninin tabanında yer alan dairenin alanıdır.

İncelenen örneklerde geometrik şekli alanları veya hacimleri hesaplanabilecek rakamlarla tükettik ve ardından sınıra geçiş yaptık. Eudoxus'tan gelen ve Arşimet tarafından geliştirilen bu tekniğe tükenme yöntemi adı verilmektedir. Bu, integralin çoğu uygulamasında en yaygın akıl yürütme yöntemidir.

Başka bir örnek olarak çok spesifik bir “uzay” meselesini ele alalım.

Cismin (roketin) hızlandırılması gereken V hızını hesaplamak istiyoruz, böylece o, yarıçap boyunca gezegenden ataletle uzaklaşırken, gezegenin yerçekimi tarafından asla geri döndürülmeyecektir. Bu hıza, gezegenin yüzeyine yakın yörüngeye giren bir uydunun sahip olması gereken birinci kozmik hızın aksine, ikinci kozmik hız adı verilir.

M cismin kütlesi, M gezegenin kütlesi olsun. Gezegenin çekim alanından kaçabilmesi için cismin sahip olması gereken kinetik enerji mv 2/2, çekim kuvvetine karşı iş yapmaya yeterli olmalıdır. Newton'un keşfettiği evrensel çekim yasasına göre, gezegenin merkezinden r uzaklıktaki bu kuvvetin büyüklüğü şuna eşittir:

burada G yer çekimi sabitidir. Dolayısıyla bu kuvvet gezegenden uzaklaştıkça değişir ve zayıflar.

R 0 yüksekliğinde (gezegenin merkezinden sayılarak) bulunan bir cismin R yüksekliğine çıkarılması için yapılması gereken A R R 0 işini hesaplayalım.

Eğer kuvvet sabit olsaydı, o zaman kuvvetin büyüklüğünü etki yönü boyunca kat edilen yolun uzunluğu R - R 0 ile çarpardık ve mükemmel işi bulurduk. Ancak kuvvet değiştiği için tüm aralığı R 0 = r 0 noktalarına böleceğiz.< 1 < ... < r n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

G mM/r ben 2 (r ben - r ben-1) = G mM/r ben 2 ∆r ben

aralıkların her birinde; temel işleri bir araya getirmek

G mM/r 1 2 ∆r 1 + G mM/r 2 2 ∆r 2 + ... + G mM/r n 2 ∆r n

aralıkta istenen A R R 0 işinin yaklaşık değerini elde ederiz veya daha kesin olarak A R R 0'ın değeri aşağıdaki integralle ifade edilir:

Bir R R 0 = ∫ R R 0 G mM/r 2 dr

burada entegrasyon değişkeninin rolü r tarafından oynanır. G, m, M miktarları sabittir ve r-2 fonksiyonunun bir antiderivatifi -r-1 vardır; bunu Newton-Leibniz formülünü kullanarak bulduğumuzu biliyoruz.

A R R 0 = GmM (1/R 0 - 1/R).

R süresiz olarak arttırılırsa, yani dedikleri gibi, cisim sonsuza kadar kaldırılırsa, o zaman R → ∞ olarak sınıra geçerek şunu elde ederiz:

A ∞ R 0 = GmM/R 0,

burada ∞ "sonsuzluk" olarak okunan semboldür. Son formülde R 0'ın gezegenin yarıçapı olduğunu varsayarsak, o zaman cismin gezegen yüzeyinden sonsuza gitmesi için yerçekimi kuvvetlerine karşı yapılması gereken iş A ∞ R 0 olacaktır.

A ∞ R 0 için elde edilen ifade, F kuvveti ile m kütleli bir cismin bunun neden olduğu ivme a arasında ilişki kuran başka bir Newton yasasını hatırlarsak basitleştirilebilir: F = ma. Yüzeyine yakın bir gezegene serbestçe düşen bir cisim, yerçekimi kuvvetinin neden olduğu a = g ivmesine sahiptir.

burada R 0 gezegenin yarıçapıdır. Araç,

GmM/R 0 2 = mg, bunun anlamı şudur:

GmM/R 0 2 = g ve dolayısıyla A ∞ R 0 = mGR 0.

Bu, gezegenin çekim alanından kaçmak için gereken işi hesaplamanın formülüdür. Atalet yoluyla gezegenden "ayrılmak" için, vücudun kinetik enerjisi mv 2/2'nin gezegenin yerçekiminin üstesinden gelmek için harcanan işten daha az veya en azından ona eşit olmadığı dikey bir v hızına sahip olmanız gerekir.

Böylece mv 2/2 = mgR 0 eşitliğinden elde edilen ikinci kaçış hızı şu şekilde ifade edilir:

Özellikle, Dünya için g ≈ 10 m/s 2 , R 0 ≈ 6.400.000 m, dolayısıyla v ≈ 8000 √2 m/s veya v ≈ 11,2 km/s.

Şu ana kadar incelenen tüm örneklerde, bizi ilgilendiren integrali hesaplamak için Newton Leibniz'in formülünü (7") kullandık. Ancak aynı Newton-Leibniz formülü, antiderivatifi bulmak için veya en azından bunu yapmak için integralin kendisini kullanmayı önerir. Bu konuya antitürev ve belirsiz integrale ayrılan bölümde zaten değinmiştik. Şimdi buna biraz daha dikkatli bakacağız.

Grafiği Şekil 2'de AB çizgisiyle gösterilen parça üzerinde bir f fonksiyonu verilsin. 5. Tüm eğrisel yamuk aABb'nin alanının integral (8) ile ifade edildiğini biliyoruz. [a;x] bölümünün üzerinde kalan kısmının alanını ℱ(x) ile gösterelim.

ℱ(x)=∫ a x f(x)dt. (11)

Burada entegrasyon değişkenini, bizim durumumuzda entegrasyonun üst sınırı olan x ile karıştırmamak için t ile gösterdik.

ℱ(x) değeri açıkça x∈ noktasına bağlıdır.

ℱ(x)'in f(x) fonksiyonunun segmentindeki ters türevi olduğunu gösterelim; x∈ için ℱ"(x)=f(x). Aslında Şekil 5'ten görülebileceği gibi,

ℱ(x+h) - ℱ(x) ≈ f(x)h,

yaklaşık eşitliğe eşdeğerdir

(ℱ(x+h) - ℱ(x))/h ≈ f(x)

h değeri azaldıkça bu ilişkinin doğruluğu artar, dolayısıyla

lim h→0 (ℱ(x+h) - ℱ(x))/h = f(x)

ve bu nedenle,

Böylece değişken üst limiti x olan integral (11) bize f(x) fonksiyonunun terstürevini verir. f(x) fonksiyonunun parça üzerindeki diğer tüm ters türevleri arasında, bu ters türev bariz ℱ(a) = 0 koşuluyla ayırt edilir. İntegral, tanımına (6") göre, önceden belirlenmiş herhangi bir doğrulukla hesaplanabildiğinden, O zaman herhangi bir x∈ noktasında ters türev (11) fonksiyonları f(x)'in ℱ(x) değeri, ℱ(x)'in analitik gösterimiyle veya sorusuyla ilgilenmeden bile istendiği kadar doğru bir şekilde bulunabilir. ℱ(x)'in temel bir fonksiyon olup olmadığı.

Basit ve çok etkili sayısal entegrasyon yöntemleri vardır - bunlar sözde karesel formüllerdir. Elektronik bilgisayarların belirli integrallerin değerlerini saniyeden çok daha kısa sürede elde etmesini sağlarlar. Bu durum formül (11)'i bir antiderivatif bulma aracı haline getirir. Örneğin modern denizaltılar bazen aylarca çok derinlerde kalarak çok uzun mesafeler katedebilirler; Dış dünyayla hiçbir bağlantısı olmamasına rağmen kesin olarak tanımlanmış bir kareye girerler. Bir teknenin koordinatlarını istediğiniz zaman belirlemenizi sağlayan navigasyon ekipmanı, formül (11)'in teknik uygulamasıdır ve bu fiziksel prensibe dayanmaktadır. Kapalı bir hareket odasında (iyi ses geçirmez yumuşak bir vagon, uçak vb.) Bulunduğumuzda, hareket hızını hissetmiyoruz, ancak hız-ivmede kesinlikle bir değişiklik hissediyoruz. Hız arttığında, kütle sizi uçak koltuğuna bastırdığında pozitiftir ve emniyet kemerine bile ihtiyaç duyabileceğiniz frenleme sırasında negatiftir. m kütlesinin a ivmesi ile F = ma'ya neden olan F kuvveti arasında doğru orantılı bir ilişki olduğundan, a köklenmesinin büyüklüğü m kütlesinin yay boyunca yer alan bir yayın serbest ucuna sabitlenmesiyle objektif olarak ölçülebilir. hareket yönüne sahiptir ve ikinci ucunu örneğin hareketli bir odanın arka duvarına sağlam bir şekilde bağlar. Bir yayın gerilmesi ve sıkıştırılması ona etki eden kuvvetle orantılıysa, m kütlesinin denge konumundan sapmasının büyüklüğü ile belirli bir yönde meydana gelen ivmenin büyüklüğü a(t) belirlenebilir. herhangi bir zamanda t.

Hareket sıfır başlangıç hızıyla başladıysa, o zaman a(t)'yi bilerek, önce (11) formülünü kullanarak hareketin hızını v(t) bulabiliriz ve v(t)'yi bilerek, s(t) yer değiştirmesini bulabiliriz. şu anda ve o zamandan bu yana bu yönde

v(t) = ∫ 0 t a(u) du, a s(t) = ∫ 0 t v(u) du.

Cihaz okumalarının işlenmesi ve bu integrallerin hesaplanması elektronik bir bilgisayar tarafından gerçekleştirilir. Karşılıklı olarak üç dik yönde tutulan (örneğin jiroskoplar tarafından) üç ivme sensörü varsa, o zaman istediğiniz zaman bu yönlerin her birindeki hareketinizi öğrenebilir ve böylece üç koordinatınızın tamamını bir koordinat sisteminde, yani hareketin kökenini belirleyebilirsiniz. başlangıç noktası burası; üs, havaalanı, kozmodrom.

giriiş

İntegral sembolü 1675'te tanıtıldı ve integral hesabının soruları 1696'dan beri araştırılıyor. İntegral esas olarak matematikçiler tarafından çalışılsa da, fizikçiler de bu bilime katkıda bulunmuşlardır. Neredeyse hiçbir fizik formülü diferansiyel ve integral hesabı olmadan yapamaz. Bu nedenle integrali ve uygulamasını araştırmaya karar verdim.

İntegral hesabının tarihi

İntegral kavramının tarihi, karesel bulma problemleriyle yakından bağlantılıdır. Matematikte bir veya başka bir düzlemsel figürün karelenmesiyle ilgili problemler Antik Yunanistan ve Roma, alanların hesaplanmasıyla ilgili sorunları çağırdı. Latince quadratura kelimesi "kareye" anlamına gelir. Özel bir terime duyulan ihtiyaç, eski zamanlarda (ve daha sonra 18. yüzyıla kadar) gerçek sayılarla ilgili fikirlerin henüz yeterince gelişmemiş olmasıyla açıklanmaktadır. Matematikçiler geometrik benzerleriyle veya çarpılamayan skaler niceliklerle çalıştılar. Bu nedenle alan bulma problemlerinin örneğin şu şekilde formüle edilmesi gerekiyordu: "Verilen daireye eşit büyüklükte bir kare çizin." (Bu klasik “çemberin karesi sorunu” bilindiği gibi pergel ve cetvel kullanılarak çözülemez.)

T sembolü Leibniz (1675) tarafından tanıtıldı. Bu işaret, Latince S harfinin (summ a kelimesinin ilk harfi) değiştirilmiş halidir. İntegral kelimesinin kendisi J. Bernoulli (1690) tarafından icat edilmiştir. Muhtemelen bir önceki duruma getirme, onarma anlamına gelen Latince integro sözcüğünden gelmektedir. (Aslında integral alma işlemi, hangi integralin elde edildiğini farklılaştırarak işlevi "geri yükler".) Belki de integral teriminin kökeni farklıdır: Tamsayı kelimesi bütün anlamına gelir.

Yazışma sırasında I. Bernoulli ve G. Leibniz, J. Bernoulli'nin önerisini kabul etti. Aynı zamanda, 1696'da, I. Bernoulli tarafından tanıtılan yeni bir matematik dalının adı ortaya çıktı - integral hesabı (integral hesabı).

İntegral hesabıyla ilgili diğer iyi bilinen terimler çok daha sonra ortaya çıktı. Şu anda kullanımda olan "ilkel işlev" adı, Lagrange (1797) tarafından ortaya atılan daha önceki "ilkel işlev"in yerini almıştır. Latince primitivus kelimesi "başlangıç" olarak çevrilir: F(x) = m f(x)dx - f(x)'in başlangıç noktası (veya orijinal veya ters türevi), F(x)'ten türev yoluyla elde edilir.

Modern literatürde f(x) fonksiyonunun tüm antitürevleri kümesine belirsiz integral de denir. Bu kavram, tüm antiderivatif fonksiyonların belirli bir integral olarak adlandırılan keyfi bir b sabiti ile farklılık gösterdiğini fark eden Leibniz tarafından vurgulanmıştır (tanımlama C. Fourier (1768-1830) tarafından yapılmıştır, ancak Euler zaten entegrasyonun sınırlarını belirtmiştir).

Antik Yunan matematikçilerinin düzlemsel figürlerin karelerini (yani alanları hesaplamak) ve cisimlerin küplerini (hacimlerini hesaplamak) bulma problemlerini çözmedeki birçok önemli başarısı, Cniduslu Eudoxus (c) tarafından önerilen tükenme yönteminin kullanımıyla ilişkilidir. 408 - c.355 M.Ö.). Bu yöntemi kullanarak Eudoxus, örneğin iki dairenin alanlarının çaplarının kareleri ile ilişkili olduğunu ve bir koninin hacminin, aynı taban ve yüksekliğe sahip bir silindirin hacminin 1/3'üne eşit olduğunu kanıtladı.

Eudoxus'un yöntemi Arşimed tarafından geliştirildi. Arşimet yöntemini karakterize eden ana aşamalar: 1) bir dairenin alanının, çevresinde tanımlanan herhangi bir normal çokgenin alanından daha az olduğu, ancak herhangi bir yazılı alanın alanından daha büyük olduğu kanıtlanmıştır; 2) kenar sayısının sınırsız ikiye katlanmasıyla bu çokgenlerin alanlarındaki farkın sıfıra yöneldiği kanıtlanmıştır; 3) bir dairenin alanını hesaplamak için, kenar sayısı sınırsız bir şekilde iki katına çıktığında normal bir çokgenin alan oranının eğiliminde olduğu değeri bulmak kalır.

Arşimet, tükenme yöntemini ve diğer bazı ustaca düşünceleri (mekanik modellerin kullanımı dahil) kullanarak birçok sorunu çözdü. P sayısına ilişkin bir tahmin verdi (3.10/71

Arşimet integral hesabına ilişkin fikirlerin çoğunu önceden tahmin etmişti. (Sınırlarla ilgili ilk teoremlerin kendisi tarafından pratikte kanıtlandığını da ekliyoruz.) Ancak bu fikirlerin açık bir ifade bulması ve hesap düzeyine getirilmesi bir buçuk bin yıldan fazla zaman aldı.

Pek çok yeni sonuç elde eden 17. yüzyılın matematikçileri Arşimet'in çalışmalarından ders aldılar. Başka bir yöntem de aktif olarak kullanıldı - yine Antik Yunanistan'da ortaya çıkan bölünmezler yöntemi (öncelikle Demokritos'un atomistik görüşleriyle ilişkilidir). Örneğin, eğrisel bir yamuğun (Şekil 1, a) f(x) uzunluğundaki dikey parçalardan oluştuğunu hayal ettiler, ancak bunlara sonsuz küçük f(x)dx değerine eşit bir alan atadılar. Bu anlayışa uygun olarak gerekli alan toplamlara eşit kabul edildi.

sonsuz sayıda sonsuz küçük alan. Bazen bu toplamdaki tek tek terimlerin sıfır olduğu, ancak sonsuz bir sayıya eklendiğinde iyi tanımlanmış bir pozitif toplam veren özel türden sıfırlar olduğu bile vurgulandı.

J. Kepler (1571-1630) şu anda en azından şüpheli görünen bir temele dayanarak "Yeni Astronomi" yazılarında.

1609 ve “Şarap fıçılarının stereometrisi” (1615), bir dizi alanı (örneğin, bir elips ile sınırlanan bir şeklin alanı) ve hacimleri (gövde 6 son derece ince plakaya kesilmiş) doğru bir şekilde hesapladı. Bu çalışmalar İtalyan matematikçiler B. Cavalieri (1598-1647) ve E. Torricelli (1608-1647) tarafından sürdürülmüştür. B. Cavalieri'nin formüle ettiği ve bazı ek varsayımlarla ortaya koyduğu prensip, günümüzde de önemini korumaktadır.

Şekil 1, b'de gösterilen şeklin alanını bulmak gerekli olsun, burada şekli yukarıdan ve aşağıdan sınırlayan eğriler denklemlere sahiptir

y = f(x) ve y=f(x)+c.

Cavalieri'nin terminolojisine göre "bölünmez", sonsuz incelikte sütunlardan oluşan bir şekil hayal ettiğimizde, hepsinin toplam uzunluğunun c olduğunu fark ederiz. Bunları dikey yönde hareket ettirerek tabanı b-a ve yüksekliği c olan bir dikdörtgen haline getirebiliriz. Bu nedenle gerekli alan, ortaya çıkan dikdörtgenin alanına eşittir, yani.

S = S1 = c(b - a).

Cavalieri'nin düzlemsel şekillerin alanları için genel ilkesi şu şekilde formüle edilmiştir: Belirli bir paralel kalemin çizgilerinin, Ф1 ve Ф2 şekillerini eşit uzunlukta bölümler boyunca kesmesine izin verin (Şekil 1, c). O halde F1 ve F2 şekillerinin alanları eşittir.

Benzer bir prensip stereometride de işler ve hacimlerin bulunmasında faydalıdır.

17. yüzyılda İntegral hesabıyla ilgili birçok keşif yapıldı. Böylece, P. Fermat 1629'da n'nin bir tamsayı olduğu herhangi bir y = xn eğrisinin kareselliği problemini çözmüştür (yani esasen m xndx = (1/n+1)xn+1 formülünü türetmiştir) ve bu temelde ağırlık merkezlerinin bulunmasına yönelik bir dizi sorunu çözdü. I. Kepler, ünlü gezegen hareketi yasalarını çıkarırken aslında yaklaşık entegrasyon fikrine dayanıyordu. Newton'un öğretmeni I. Barrow (1630-1677), entegrasyon ve farklılaşma arasındaki bağlantıyı anlamaya yaklaştı. Fonksiyonların kuvvet serileri şeklinde gösterilmesine yönelik çalışmalar büyük önem taşıyordu.

Bununla birlikte, 17. yüzyılın son derece yaratıcı birçok matematikçisinin elde ettiği sonuçların önemine rağmen, matematik henüz mevcut değildi. Pek çok özel problemin çözümünün altında yatan genel fikirlerin vurgulanmasının yanı sıra, oldukça genel bir algoritma veren türev alma ve entegrasyon işlemleri arasında bir bağlantı kurulması da gerekliydi. Bu, Newton-Leibniz formülü olarak bilinen bir gerçeği bağımsız olarak keşfeden Newton ve Leibniz tarafından yapıldı. Böylece nihayet genel yöntem oluşturuldu. Hâlâ birçok fonksiyonun ters türevlerini nasıl bulacağını, yeni mantıksal hesaplamaları nasıl yapacağını vb. öğrenmesi gerekiyordu. Ancak asıl önemli olan zaten yapıldı: diferansiyel ve integral hesabı oluşturuldu.

Gelecek yüzyılda aktif olarak geliştirilen matematiksel analiz yöntemleri (her şeyden önce, temel fonksiyonların entegrasyonuna ilişkin sistematik bir çalışmayı tamamlayan L. Euler ve I. Bernoulli'nin isimlerinden bahsetmek gerekir). Rus matematikçiler M.V. İntegral hesabının geliştirilmesinde yer aldı. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Çebyşev (1821-1894). Temel fonksiyonlarla ifade edilemeyen integrallerin varlığını kanıtlayan Chebyshev'in sonuçları özellikle önemliydi.

İntegral teorisinin titiz bir sunumu ancak geçen yüzyılda ortaya çıktı. Bu problemin çözümü, en büyük matematikçilerden O. Cauchy, Alman bilim adamı B. Riemann (1826-1866) ve Fransız matematikçi G. Darboux (1842-1917) isimleriyle ilişkilendirilmektedir.

Şekillerin alan ve hacimleri ile ilgili birçok sorunun cevabı C. Jordan'ın (1838-1922) ölçü teorisini oluşturmasıyla elde edilmiştir.

İntegral kavramının çeşitli genellemeleri, yüzyılın başında Fransız matematikçiler A. Lebesgue (1875-1941) ve A. Denjoy (188 4-1974), Sovyet matematikçi A.Ya. Khinchinchin (1894-1959).

Planı

Bir fonksiyonun terstürevi ve belirsiz integral. Belirsiz integralin temel özellikleri. Temel belirsiz integraller tablosu. Temel entegrasyon yöntemleri: doğrudan entegrasyon, ikame yöntemi, parçalara göre entegrasyon.

Rasyonel kesirler. Basit rasyonel kesirlerin integrali. Rasyonel kesirlerin integrali.

Trigonometrik fonksiyonların integrali. Bazı irrasyonel fonksiyonların integrali. Temel fonksiyonlarla ifade edilemeyen integraller.

Belirli integral. Belirli bir integralin temel özellikleri. Değişken üst limitli integral. Newton-Leibniz formülü. Belirli bir integralin hesaplanmasına yönelik temel yöntemler (değişken değişimi, parçalara göre integral alma).

Belirli integralin geometrik uygulamaları. Belirli integralin ekonomideki bazı uygulamaları.

Uygun olmayan integraller (sonsuz integral limitli integraller, sınırsız fonksiyonların integralleri).

Bir fonksiyonun ters türevi ve belirsiz integral

İntegral hesabında asıl görev fonksiyonu bulmaktır. sen=F(X) bilinen türevi ile.

Tanım 1.İşlev F(X) denir antiderivatif işlevler F(X) aralığında ( a, b), eğer varsa eşitlik geçerlidir: veya .

Teorem 1. Aralıktaki herhangi bir sürekli çizgi [ A, B] işlev F(X) bu segmentte bir antiderivatife sahiptir F(X).

Aşağıda bir aralıkta sürekli olan fonksiyonları ele alacağız.

Teorem 2. Eğer fonksiyon F(X) fonksiyonun ters türevidir F(X) aralığında ( a, b), o zaman tüm antiderivatiflerin seti formülle verilir F(X)+İLE, Nerede İLE - sabit sayı.

Kanıt.

İşlev F(X)+İLE fonksiyonun ters türevidir F(X), Çünkü .

İzin vermek F(X) – başka, farklı F(X) antiderivatif fonksiyon F(X), yani. . Daha sonra sahibiz

bu şu anlama geliyor

Nerede İLE– sabit sayı. Buradan,

Tanım 2. Tüm antiderivatif fonksiyonların kümesi F(X)+İLE fonksiyon için F(X) denir belirsiz integral fonksiyondan F(X) ve sembolüyle gösterilir .

Dolayısıyla tanım gereği

(1)

Formül (1)'de F(X) denir integral fonksiyonu, F(X)dx – integrand, X– entegrasyon değişkeni, belirsiz integralin işareti.

Bir fonksiyonun belirsiz integralini bulma işlemine ne ad verilir? entegrasyon bu fonksiyon.

Geometrik olarak belirsiz bir integral, bir eğri ailesidir (her sayısal değer İLE ailenin belirli bir eğrisine karşılık gelir). Her bir antiderivatifin (eğri) grafiğine denir integral eğrisi. Birbirleriyle kesişmezler veya birbirlerine dokunmazlar. Düzlemin her noktasından yalnızca bir integral eğri geçer. Tüm integral eğriler birbirlerinden eksen boyunca paralel ötelemeyle elde edilir Ah.

Belirsiz integralin temel özellikleri

Belirsiz integralin tanımından çıkan özelliklerini ele alalım.

1. Belirsiz integralin türevi integrale eşittir, belirsiz integralin diferansiyeli ise integrale eşittir:

Kanıt.

İzin vermek Daha sonra

2. Belirli bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyonun ve keyfi bir sabitin toplamına eşittir:

Kanıt.

Gerçekten mi, .

3. Sabit faktör a() belirsiz integralin işareti olarak çıkarılabilir:

4. Sonlu sayıda fonksiyonun cebirsel toplamının belirsiz integrali, bu fonksiyonların integrallerinin cebirsel toplamına eşittir:

5. Eğer F(X) – terstürev fonksiyonu f(X), O

Kanıt.

Gerçekten mi,

6 (entegrasyon formüllerinin değişmezliği). Herhangi bir entegrasyon formülü, entegrasyon değişkeni bu değişkenin herhangi bir türevlenebilir fonksiyonuyla değiştirilirse formunu korur.:

neredesin– türevlenebilir fonksiyon.

Temel belirsiz integraller tablosu

Entegrasyon farklılaşmanın ters etkisi olduğundan, verilen formüllerin çoğu ters çevrilerek elde edilebilir. karşılık gelen formüller farklılaşma. Yani temel integral formülleri tablosu, temel fonksiyonların türevleri tablosundan geriye doğru (sağdan sola) okunduğunda elde edilir.

İşte ana belirsiz integrallerin bir tablosu. (Burada diferansiyel hesapta olduğu gibi harfin sen hem bağımsız değişken anlamına gelebilir ( sen=X) ve bağımsız değişkenin bir fonksiyonu ( sen=sen(X)).)

1-12 arasındaki integrallere denir tablo şeklinde.

Türev tablosunda analoğu bulunmayan integral tablosundaki yukarıdaki formüllerden bazıları, sağ taraflarının farklılığı alınarak doğrulanır.

İntegral hesabı

İntegral hesaplamanın özelliklerini, yöntemlerini ve uygulamalarını inceleyen bir matematik dalı. ben ve. diferansiyel hesapla yakından ilgilidir (bkz. Diferansiyel hesap) ve onunla birlikte matematiksel analizin (veya sonsuz küçük analizin) ana parçalarından birini oluşturur. Merkezi kavramlar ben ve. kavramlardır belirli integral Ve belirsiz integral Bir gerçek değişkenin fonksiyonları.

Belirli integral. Diyelim ki alanı hesaplamamız gerekiyor S“eğrisel yamuk” - rakamlar ABCD(santimetre. pirinç. ), denklemi olan sürekli bir çizginin yayı ile sınırlanmıştır en = F(X), bölüm AB x ekseni ve iki koordinat Reklam Ve M.Ö. Alanı hesaplamak için S bu kavisli yamuğun tabanı AB(bölüm [ A, B]) bölünmüştür N noktalı bölümler (eşit olması gerekmez) A = X 0 x 1 x n-1 x n = B, bu bölümlerin uzunluklarını belirten Δ X 1, Δ X 2 , ..., Δ X N; bu tür sitelerin her birinde yüksekliği olan dikdörtgenler inşa edilir F(ξ 1), F(ξ 2), ..., F(ξ N) nerede ξ k- segmentten bir nokta [ x k - 1 , x k] (Açık pirinç. üzerine inşa edilmiş gölgeli bir dikdörtgen k-inci bölüm bölümler; f (ξ k) - yüksekliği). Toplam Sn oluşturulan dikdörtgenlerin alanları alana yaklaşık olarak kabul edilir S kavisli yamuk:

S≈Sn = F(ξ 1) Δ X 1 + F(ξ 2) Δ X 2 + F(ξ N) Δ xn

veya toplam sembolünü kullanarak Σ ( yunan mektubu"sigma"):

Belirtilen ifade eğrisel bir yamuk alanı için, uzunluk Δ ne kadar küçükse, o kadar doğru olur x k bölme alanları. Bulmak için kesin değer alan S Toplam Limiti bulmamız gerekiyor Sn bölme noktalarının sayısının süresiz olarak arttığı ve uzunlukların en büyüğü Δ olduğu varsayımı altında x k sıfıra eğilimlidir.

Ele alınan problemin geometrik içeriğinden soyutlanarak, fonksiyonun belirli bir integrali kavramına ulaşıyoruz. F(X), aralıkta sürekli [ a, b], integral toplamların limitine göre Sn aynı sınırda. Bu integral gösterilir

∫ sembolü (genişletilmiş S- Summa kelimesinin ilk harfine) integral işareti denir, F(X) - integral fonksiyonu, sayılar A Ve B belirli integralin alt ve üst limitleri denir. Eğer A = B o zaman tanım gereği şunu varsayıyorlar:

Belirli integralin özellikleri:

(k- devamlı). Şu da açık ki

Belirli integrallerin hesaplanması, eğrilerle sınırlanan alanların ölçülmesi ("karelemeleri bulma sorunları"), eğri yaylarının uzunlukları ("doğrultma eğrileri"), cisimlerin yüzey alanları, cisimlerin hacimleri ("küpleri bulma") problemlerini, ağırlık merkezlerinin koordinatlarını, eylemsizlik momentlerini, bir cismin bilinen bir hareket hızı boyunca izlediği yolu, bir kuvvetin ürettiği işi ve doğa bilimleri ve teknolojisinin diğer birçok problemini belirleme sorunlarının yanı sıra. Örneğin bir düzlem eğrinin yay uzunluğu, denklem tarafından verilen en = F(X) segmentte [ A, B], integral ile ifade edilir

vücut hacmi, rotasyonla oluşturulan eksen etrafındaki bu yay Öküz, - integral

Belirli integrallerin gerçek hesaplaması yapılır çeşitli şekillerde. İÇİNDE bazı durumlarda belirli bir integral, karşılık gelen integral toplamının limiti doğrudan hesaplanarak bulunabilir. Fakat çoğunlukla sınıra böyle bir geçiş zordur. Bazı belirli integraller, önce belirsiz integrallerin bulunmasıyla hesaplanabilir (aşağıya bakın). Kural olarak, çeşitli Karesel formüller (örneğin, yamuk formülü (bkz. Yamuk formülü), Simpson formülü (bkz. Simpson formülü) kullanılarak belirli integrallerin yaklaşık bir hesaplamasına başvurmak gerekir. Böyle yaklaşık bir hesaplama bir bilgisayarda yapılabilir. mutlak hata verilen herhangi bir küçük değeri aşmamak üzere pozitif sayı. Büyük doğruluk gerektirmeyen durumlarda, belirli integrallerin yaklaşık hesaplaması için şunu kullanın: grafiksel yöntemler(Bkz. Grafiksel hesaplamalar).

Belirli bir integral kavramı, sınırsız bir entegrasyon aralığının yanı sıra bazı sınırsız fonksiyon sınıflarını da kapsar. Bu tür genellemelere denir uygunsuz integraller(Bkz. Uygun olmayan integraller).

Formun ifadeleri

fonksiyon nerede F(X, α) süreklidir X parametreye bağlı integraller denir. Birçok özel fonksiyonu öğrenmenin birincil yolu olarak hizmet ederler (bkz. Özel Fonksiyonlar) (örneğin bkz. Gama fonksiyonu).

Belirsiz integral. Belirsiz integralleri veya integrali bulmak, türev almanın ters işlemidir. Belirli bir fonksiyonun türevini alırken türevi aranır. İntegral alırken ise tam tersine, türevi verilen fonksiyona eşit olan bir fonksiyon olan antiderivatif (veya ilkel) bir fonksiyon aranır. Yani fonksiyon F(X) bu fonksiyonun ters türevidir F(X), Eğer F"(X) = F(X) veya aynı olan şey, dF(X) = F(X) dx. Bu işlev F(X) farklı antiderivatiflere sahip olabilir, ancak hepsi birbirinden yalnızca sabit terimler açısından farklılık gösterir. Bu nedenle tüm antiderivatifler F(X) ifadede bulunur F(X) + İLE fonksiyonun belirsiz integrali denir F(X) ve yazın

İntegral üst sınırının bir fonksiyonu olarak belirli integral

İntegral ve farklılaşma işlemlerinin karşılıklı ters doğası eşitliklerle ifade edilir.

Bu, formüllerden ve türev alma kurallarından ilgili entegrasyon formüllerini ve kurallarını elde etme olasılığını ima eder (tabloya bakınız). C, M, A, k- kalıcı ve M≠ -1, A > 0).

Temel integraller ve entegrasyon kuralları tablosu

Zorluk I. ve. Diferansiyel hesapla karşılaştırıldığında, temel fonksiyonların integralleri her zaman temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmez; dedikleri gibi "son formda" ifade edilemeyebilirler. ben ve. son biçiminde yalnızca ayrı entegrasyon yöntemleri vardır ve her birinin kapsamı sınırlıdır (integrasyon yöntemleri matematiksel analiz ders kitaplarında sunulmaktadır: birçok referans kitabında kapsamlı integral tabloları verilmektedir).

İntegralleri her zaman temel fonksiyonlarla ifade edilen fonksiyonlar sınıfı, tüm rasyonel fonksiyonlar kümesini içerir.

Nerede P(X) Ve Q(X) polinomlardır. Rasyonel olmayan birçok fonksiyon da son formda bütünleşir; örneğin rasyonel olarak aşağıdakilere bağlı olan fonksiyonlar:

veya itibaren X Ve rasyonel güçler kesirler

Son formda birçok aşkın fonksiyon da entegre edilmiştir, örneğin rasyonel fonksiyonlar sinüs ve kosinüs. Son haliyle alınmayan belirsiz integrallerle temsil edilen fonksiyonlar, yeni aşkın fonksiyonları temsil eder. Birçoğu iyi incelenmiştir (örneğin bkz. İntegral logaritma, İntegral sinüs ve integral kosinüs, İntegral üstel fonksiyon).

Tarihsel bilgi. I. ve. alanların ve hacimlerin bulunmasıyla ilişkilidir. Bu türden bir dizi problem Antik Yunan matematikçileri tarafından çözüldü. Antik matematik I. ve. önemli ölçüde daha büyük ölçüde diferansiyel hesaptan daha. Bu tür sorunların çözümünde önemli bir rol, Cnidus'lu Eudoxus tarafından oluşturulan ve Arşimet tarafından yaygın olarak kullanılan Tükenme yöntemi tarafından oynandı. Ancak Arşimed bunu öne çıkarmadı genel içerikİntegral teknikleri ve integral kavramı ve dahası I. ve için bir algoritma oluşturmadı. 9.-15. yüzyıllarda Orta ve Yakın Doğu bilim adamları. Arşimet'in eserlerini incelediler ve kendi topluluklarında halka açık bir şeye çevirdiler Arapça ancak I. ve.'de önemli ölçüde yeni sonuçlar var. onu almadılar. Avrupalı bilim adamlarının o dönemdeki faaliyetleri daha da mütevazıydı. Sadece 16. ve 17. yüzyıllarda. gelişim doğa bilimleri Avrupa matematiği için bir takım yeni problemler ortaya çıkardı, özellikle de karelemeleri, küpleri bulma ve ağırlık merkezlerini belirleme problemi. Arşimet'in ilk kez 1544'te yayınlanan eserleri (Latince ve Yunan dilleri), yaygın ilgi görmeye başladı ve çalışmaları en önemli çalışmalardan biriydi. başlangıç noktaları I. ve.'nin daha da geliştirilmesi. Antik “bölünmez” yöntem (Bkz. Bölünmez yöntem) J. Kepler tarafından yeniden canlandırıldı. Daha fazla genel form bu yöntemin fikirleri B. Cavalieri, E. Torricelli, J. Wallis, B. Pascal tarafından geliştirilmiştir (Bkz. Pascal). Bir takım geometrik ve mekanik problemler “bölünmez” yöntem kullanılarak çözüldü. Aynı anda yayınlandı daha sonra iş P. Parabollerin karesini almak için kafes kiriş N derece ve ardından - H. Huygens'in eserleri eğrileri düzleştirerek.

Bu çalışmaların bir sonucu olarak, belirli bir integralin geometrik eşdeğeri olarak karelere indirgenmiş, görünüşte birbirine benzemeyen geometri ve mekanik problemlerini çözerken entegrasyon tekniklerinin ortak bir yanı ortaya çıktı. Bu dönemin keşifler zincirinin son halkası karşılıklı geri bildirim Teğet ve karesel problemler arasında, yani farklılaşma ve entegrasyon arasında. I. ve.'nin temel kavramları ve algoritması. I. Newton ve G. Leibniz tarafından birbirinden bağımsız olarak yaratılmıştır. İkincisi “integral hesap” terimine ve integral ∫ gösterimine aittir. ydx.

Dahası, Newton'un çalışmalarında belirsiz integral kavramı ana rolü oynadı (akıcılar, bkz. Fluxian hesabı), Leibniz ise belirli integral kavramından yola çıktı. Daha fazla gelişme ben ve. 18. yüzyılda I. Bernoulli ve özellikle L. Euler isimleriyle ilişkilendirilir . 19. yüzyılın başında. ben ve. diferansiyel hesapla birlikte O. Cauchy tarafından limitler teorisi temel alınarak yeniden inşa edildi. I. ve. 19. yüzyılda Rus matematikçiler M. V. Ostrogradsky, V. Ya. Ya. P. L. Chebyshev katıldı. 19. yüzyılın sonu - 20. yüzyılın başı. Küme teorisinin ve gerçek değişkenli fonksiyonlar teorisinin gelişimi, bilgi ve teorinin temel kavramlarının derinleşmesine ve genelleştirilmesine yol açtı. (B. Riemann, A. Lebesgue, vb.).

Yandı:Hikaye. Van der Waerden B.L., Uyanış Bilimi, çev. Hollanda'dan, M., 1959; Willeitner G., Descartes'tan 19. yüzyılın ortalarına kadar matematik tarihi, çev. Almanca'dan, 2. baskı, M., 1966; Stroek D.Ya., Kısa makale matematik tarihi, çev. Almanca'dan, 2. baskı, M., 1969; Cantor M.. Vorleslingen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

I. ve.'nin kurucularının ve klasiklerinin eserleri. Newton I., Matematiksel çalışmalar, çev. Latince'den, M.-L., 1937; Leibniz G., Matematiksel çalışmalardan seçilmiş alıntılar, çev. İle. Latince "Başarılar" matematik bilimleri", 1948, cilt 3, v. 1; Euler L., İntegral hesabı, çev. Latince'den, cilt. 1-3, M., 1956-58; Koshy O. L., Özet diferansiyel ve integral hesap dersleri, çev. Fransız'dan, St. Petersburg, 1831; onun, Cebirsel analiz, çev. Fransız'dan, Leipzig, 1864.

Ders kitapları ve öğretim yardımcıları I. ve. Khinchin D.Ya., Kısa kurs Matematiksel Analiz, 3. baskı, 1957; Smirnov V.I., Kurs yüksek matematik 22. baskı, cilt 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Course of diferansiyel ve integral hesabı, 7. baskı, cilt 2, M., 1969; Ilyin V., Poznyak E.G., Matematiksel analizin temelleri, 3. baskı, bölüm 1, M., 1971; Kurant R., Diferansiyel ve İntegral Hesabın Dersleri, çev. onunla. ve İngilizce, 4. baskı, cilt 1, M., 1967; Dwight G.-B., İntegral tabloları ve diğerleri matematiksel formüller, çev. İngilizceden, M., 1964.

Akademisyen A. N. Kolmogorov tarafından düzenlenmiştir.

Büyük Sovyet Ansiklopedisi. - M.: Sovyet ansiklopedisi . 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde “İntegral hesap” ın ne olduğuna bakın:

İntegral hesabı- İntegral hesabı. Belirli bir integralin hesaplanması için integral toplamlarının oluşturulması sürekli fonksiyon Grafiği MN eğrisi olan f(x). İNTEGRAL HESABI, matematik özelliklerinin ve hesaplama yöntemlerinin incelendiği bir dalıdır... ... Resimli Ansiklopedik Sözlük

İntegral hesaplamanın özelliklerini ve yöntemlerini ve bunların çeşitli matematiksel, fiziksel ve diğer problemlerin çözümünde uygulanmasını inceleyen bir matematik dalı. İntegral hesabı 17. yüzyılda sistematik bir biçimde önerildi. I. Newton ve G... Büyük Ansiklopedik Sözlük

Yüksek matematik bölümü, diferansiyel hesaplamaya zıt eylemler doktrini, yani belirli bir değişken için çeşitli değişken miktarlar arasındaki ilişkinin belirlenmesi diferansiyel denklem onlardan. Böylece... ... Sözlük yabancı kelimeler Rus dili

İNTEGRAL HESABI, bkz. HESAP... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

İntegral hesabı,İntegral hesaplamanın özelliklerini, yöntemlerini ve uygulamalarını inceleyen bir matematik dalı. ben ve. yakından ilişkili diferansiyel hesap ve onunla birlikte matematiksel analizin (veya sonsuz küçük analizin) ana parçalarından birini oluşturur. I. ve.'nin temel kavramları. belirli bir integral ve bir gerçek değişkenli fonksiyonların belirsiz bir integrali kavramlarıdır.

Belirli integral. Diyelim ki alanı hesaplamamız gerekiyor S“eğrisel yamuk” - rakamlar ABCD(santimetre. pirinç. ), denklemi olan sürekli bir çizginin yayı ile sınırlanmıştır en = F(X), bölüm AB x ekseni ve iki koordinat Reklam Ve M.Ö. Alanı hesaplamak için S bu kavisli yamuğun tabanı AB(bölüm [ A, B]) bölünmüştür N noktalı bölümler (eşit olması gerekmez) A = X 0 < X 1 < ... < X n-1< < X N = B, bu bölümlerin uzunluklarını gösteren D X 1,D X 2, ..., D X N; bu tür sitelerin her birinde yüksekliği olan dikdörtgenler inşa edilir F(x1), F(x2), ..., F(X N) nerede x k- segmentten bir nokta [ x k - 1 , x k] (Açık pirinç. bölmenin k'inci bölümünde oluşturulan dikdörtgen gölgelidir; f (x k) - yüksekliği). Toplam Sn oluşturulan dikdörtgenlerin alanları alana yaklaşık olarak kabul edilir S kavisli yamuk:

S» Sn = F(x1)D X 1 + F(x2)D X 2 + F(X N) D xn

veya gösterimi kısaltmak için S toplam sembolünü (Yunanca sigma harfi) kullanarak:

Eğrisel bir yamuğun alanı için belirtilen ifade daha doğrudur, D uzunluğu ne kadar küçükse x k bölme alanları. Tam alan değerini bulmak için S bulmam gerek sınır miktarlar Sn bölme noktalarının sayısının süresiz olarak arttığı ve uzunlukların en büyüğü D olduğu varsayımı altında x k sıfıra eğilimlidir.

ò sembolü (genişletilmiş S- Summa kelimesinin ilk harfine) integral işareti denir, F(X) - integral fonksiyonu, sayılar A Ve B belirli integralin alt ve üst limitleri denir. Eğer A = B o zaman tanım gereği şunu varsayıyorlar:

Ayrıca,

Belirli integralin özellikleri:

(k- devamlı). Şu da açık ki

(sayısal değer Belirli integral, entegrasyon değişkeni için gösterim seçimine bağlı değildir).

Belirli integrallerin hesaplanması, eğrilerle sınırlanan alanların ölçülmesi ("karelemeleri bulma sorunları"), eğri yaylarının uzunlukları ("doğrultma eğrileri"), cisimlerin yüzey alanları, cisimlerin hacimleri ("küpleri bulma") problemlerini, ağırlık merkezlerinin koordinatlarını, eylemsizlik momentlerini, bir cismin bilinen bir hareket hızı boyunca izlediği yolu, bir kuvvetin ürettiği işi ve doğa bilimleri ve teknolojisinin diğer birçok problemini belirleme sorunlarının yanı sıra. Örneğin, denklemle verilen bir düzlem eğrinin yay uzunluğu en = F(X) segmentte [ A, B], integral ile ifade edilir

bu yayın bir eksen etrafında dönmesiyle oluşan vücut hacmi Öküz, - integral

bu cismin yüzeyi - integrale göre

Belirli integrallerin gerçek hesaplaması çeşitli şekillerde yapılır. Bazı durumlarda belirli bir integral, karşılık gelen integral toplamının limiti doğrudan hesaplanarak bulunabilir. Ancak çoğunlukla sınıra böyle bir geçiş zordur. Bazı belirli integraller, önce belirsiz integrallerin bulunmasıyla hesaplanabilir (aşağıya bakın). Kural olarak, belirli integrallerin çeşitli hesaplamalar kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanmasına başvurulması gerekir. karesel formüller (Örneğin, yamuk formülü , Simpson formülü ). Böyle yaklaşık bir hesaplama, herhangi bir küçük pozitif sayıyı aşmayan mutlak bir hatayla bir bilgisayarda gerçekleştirilebilir. Büyük doğruluk gerektirmeyen durumlarda, belirli integrallerin yaklaşık hesaplaması için grafiksel yöntemler kullanılır (bkz. Grafik Hesaplama ).

Belirli bir integral kavramı, sınırsız bir entegrasyon aralığının yanı sıra bazı sınırsız fonksiyon sınıflarını da kapsar. Bu tür genellemelere denir uygunsuz integraller .

Formun ifadeleri

fonksiyon nerede F(X, a) süreklidir X parametreye bağlı integraller denir. Pek çok şeyi çalışmanın ana aracı olarak hizmet ediyorlar özel fonksiyonlar (bkz. örneğin, Gama işlevi ).

İntegral üst sınırının bir fonksiyonu olarak belirli integral

(“değişken üst limitli integral”) integral fonksiyonunun ters türevlerinden biridir. Bu, ayarlamanıza olanak tanır temel formül ben ve. (Newton-Leibniz formülü):

belirli bir integralin sayısal değerini, bazı antiderivatif integral fonksiyonlarının entegrasyonun üst ve alt limitlerindeki değerleri arasındaki fark şeklinde ifade etme.

İntegral ve farklılaşma işlemlerinin karşılıklı ters doğası eşitliklerle ifade edilir.

Bu, formüllerden ve türev alma kurallarından ilgili entegrasyon formüllerini ve kurallarını elde etme olasılığını ima eder (tabloya bakınız). C, M, A, k- kalıcı ve M¹ -1, A > 0).

Temel integraller ve entegrasyon kuralları tablosu

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

İntegralleri her zaman temel fonksiyonlarla ifade edilen fonksiyonlar sınıfı, tüm rasyonel fonksiyonlar kümesini içerir.

Nerede P(X) Ve Q(X) polinomlardır. Rasyonel olmayan birçok fonksiyon da son formda bütünleşir; örneğin rasyonel olarak aşağıdakilere bağlı olan fonksiyonlar:

veya itibaren X ve kesrin rasyonel kuvvetleri

Son formda, sinüs ve kosinüsün rasyonel fonksiyonları gibi birçok aşkın fonksiyon da entegre edilmiştir. Son haliyle alınmayan belirsiz integrallerle temsil edilen fonksiyonlar, yeni aşkın fonksiyonları temsil eder. Birçoğu iyi incelenmiştir (örneğin bkz. İntegral logaritma , İntegral sinüs ve integral kosinüs , İntegral üstel fonksiyon ).

İntegral kavramı birçok gerçek değişkenli fonksiyonlara kadar uzanır (bkz. Çoklu integral , Eğrisel integral , Yüzey integrali ) ve ayrıca karmaşık bir değişkenin fonksiyonları (bkz. Analitik işlevler ) ve vektör fonksiyonları (bkz. Vektör hesabı ).

İntegral kavramının genişletilmesi ve genelleştirilmesi için bkz. İntegral.

Tarihsel bilgi. I. ve. alanların ve hacimlerin bulunmasıyla ilişkilidir. Bu türden bir dizi problem Antik Yunan matematikçileri tarafından çözüldü. Antik matematik I. ve. diferansiyel hesaplamadan çok daha büyük ölçüde. Bu tür sorunların çözümünde önemli rol oynadı tükenme yöntemi , oluşturuldu Knidoslu Eudoxus ve yaygın olarak kullanılan Arşimed. Ancak Arşimet, entegrasyon tekniklerinin genel içeriğini ve integral kavramını tanımlamadı ve hatta yapay zeka için bir algoritma oluşturmadı. 9.-15. yüzyıllarda Orta ve Yakın Doğu bilim adamları. Arşimet'in eserlerini inceledi ve kendi çevrelerinde genel olarak mevcut bir dil olan Arapça'ya çevirdi, ancak I. ve. onu almadılar. Avrupalı bilim adamlarının o dönemdeki faaliyetleri daha da mütevazıydı. Sadece 16. ve 17. yüzyıllarda. Doğa bilimlerinin gelişimi, Avrupa matematiği için bir dizi yeni görev ortaya çıkardı; özellikle karelemeleri, küpleri bulma ve ağırlık merkezlerini belirleme görevi. Arşimet'in ilk kez 1544'te (Latince ve Yunanca) yayınlanan eserleri geniş ilgi görmeye başladı ve bunların incelenmesi tarihin daha da gelişmesi için en önemli başlangıç noktalarından biri oldu. Antika "bölünmez" yöntem yeniden canlandırıldım. Kepler. Daha genel bir biçimde, bu yöntemin fikirleri B. Cavalieri , E. Torricelli , J. Wallis , B. Pascal'ın. Bir takım geometrik ve mekanik problemler “bölünmez” yöntem kullanılarak çözüldü. P.'nin daha sonra yayınlanan eserleri aynı zamana kadar uzanıyor. Çiftlik parabollerin karesini alarak N derece ve sonra - X'in çalışması. Huygens eğrileri düzleştirerek.

Bu çalışmaların bir sonucu olarak, belirli bir integralin geometrik eşdeğeri olarak karelere indirgenmiş, görünüşte birbirine benzemeyen geometri ve mekanik problemlerini çözerken entegrasyon tekniklerinin ortak bir yanı ortaya çıktı. Bu dönemin keşifler zincirinin son halkası, teğet ve kareleme problemleri arasında, yani farklılaşma ve entegrasyon arasında karşılıklı geri bildirimin kurulmasıydı. I. ve.'nin temel kavramları ve algoritması. birbirinden bağımsız olarak oluşturulmuştur. Newton ve G. Leibniz. İkincisi “integral hesap” terimine ve ò integralinin gösterimine aittir. ydx.

Dahası, Newton'un çalışmalarında belirsiz integral kavramı ana rolü oynadı (akıcılar, bkz. Akı hesabı ), Leibniz ise belirli bir integral kavramından yola çıktı. I. ve.'nin daha da geliştirilmesi. 18. yüzyılda I. isimlerle ilişkilidir. Bernoulli ve özellikle L. Euler. 19. yüzyılın başında. ben ve. O. diferansiyel hesapla birlikte yeniden inşa edildi. Cauchy limitler teorisine dayanmaktadır. I. ve. 19. yüzyılda Rus matematikçiler M.V. Ostrogradsky , V. Ya. Bunyakovski , P.L. Çebişev . 19. yüzyılın sonu - 20. yüzyılın başı. Küme teorisinin ve gerçek değişkenli fonksiyonlar teorisinin gelişimi, bilgi ve teorinin temel kavramlarının derinleşmesine ve genelleştirilmesine yol açtı. (B. Riemann , A. Lebesgue vesaire.).

Yandı: Hikaye. Van der Waerden B.L., Uyanış Bilimi, çev. Hollanda'dan, M., 1959; Willeitner G., Descartes'tan 19. yüzyılın ortalarına kadar matematik tarihi, çev. Almanca'dan, 2. baskı, M., 1966; Stroek D. Ya., Matematik tarihinin kısa taslağı, çev. Almanca'dan, 2. baskı, M., 1969; Cantor M.. Vorleslingen ü ber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.

I. ve.'nin kurucularının ve klasiklerinin eserleri. Newton I., Matematiksel çalışmalar, çev. Latince'den, M.-L., 1937; Leibniz G., Matematiksel çalışmalardan seçilmiş alıntılar, çev. İle. Latince., “Matematiksel Bilimlerdeki Gelişmeler”, 1948, cilt 3, yüzyıl. 1; Euler L., İntegral hesabı, çev. Latince'den, cilt. 1-3, M., 1956-58; Koshy O. L., Diferansiyel ve integral hesapla ilgili derslerin özeti, çev. Fransız'dan, St. Petersburg, 1831; onun, Cebirsel analiz, çev. Fransız'dan, Leipzig, 1864.

I. ve. ile ilgili ders kitapları ve öğretim yardımcıları. Khinchin D. Ya., Matematiksel analizde kısa kurs, 3. baskı, 1957; Smirnov V.I., Yüksek Matematik Kursu, 22. baskı, cilt 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Course of diferansiyel ve integral hesabı, 7. baskı, cilt 2, M., 1969; Ilyin V., Poznyak E.G., Matematiksel analizin temelleri, 3. baskı, bölüm 1, M., 1971; Kurant R., Diferansiyel ve İntegral Hesabın Dersleri, çev. onunla. ve İngilizce, 4. baskı, cilt 1, M., 1967; Dwight G.-B., İntegral tabloları ve diğer matematiksel formüller, çev. İngilizceden, M., 1964.

Akademisyen A. N. Kolmogorov tarafından düzenlenmiştir.

Büyük Sovyet Ansiklopedisi M.: "Sovyet Ansiklopedisi", 1969-1978