MASKAVOS ENERGETIKOS INSTITUTAS

(technikos universitetas)

ELEKTRONIKOS INŽINERIJOS FAKULTETAS

SANTRAUKA TEMA

KAM INETINĖ LYGTYBĖ B OLTZMANAS.

UŽBAIGTA:

Korkin S.V.

MOKYTOJAS

Šerkunovas Yu.B.

Antroji darbo pusė gana sausakimša sudėtinga matematika . Autorius ( [apsaugotas el. paštas], [apsaugotas el. paštas])nelaiko šio kursinio darbo idealu, jis gali būti tik atskaitos taškas tobulesniam (ir suprantamesniam) darbui. Tekstas nėra knygos kopija. Pabaigoje rasite pagalbinę literatūrą.

Kursinis darbas priimtas įvertinimu „Puikiai“. (Galutinė kūrinio versija šiek tiek pamesta. Siūlau naudoti priešpaskutinę „versiją“).

Įvadas………………………………………………………………………………3

Simboliai………………………………………………………………………………. 4

§1 Paskirstymo funkcija.

§2 Dalelių susidūrimas.

§3 Susidūrimo integralo formos nustatymas

ir Boltzmanno lygtis.

§4. Kinetinė lygtis silpnai nehomogeninėms dujoms.

Dujų šilumos laidumas.

Kai kurie simboliai:

n - dalelių koncentracija;

d – vidutinis atstumas tarp dalelių;

V – tam tikras sistemos tūris;

P – kokio nors įvykio tikimybė;

f - pasiskirstymo funkcija;

Įvadas.

Fizikos termodinamikos skyriai, statistinė fizika o fizikinė kinetika užsiima fizinių procesų, vykstančių makroskopinėse sistemose – kūnų, susidedančių iš daugybės mikrodalelių, tyrimu. Priklausomai nuo sistemos tipo, tokios mikrodalelės gali būti atomai, molekulės, jonai, elektronai, fotonai ar kitos dalelės. Šiandien yra du pagrindiniai makroskopinių sistemų būsenų tyrimo metodai – termodinaminis, apibūdinantis sistemos būseną per makroskopiškai lengvai išmatuojamus parametrus (pavyzdžiui, slėgį, tūrį, temperatūrą, molių skaičių ar medžiagos koncentraciją) ir, iš tikrųjų neatsižvelgia atominė-molekulinė struktūra medžiagos, ir statistinis metodas, pagrįstas nagrinėjamos sistemos atominiu-molekuliniu modeliu. Termodinaminis metodas šiame darbe nebus aptariamas. Remiantis žinomais sistemos dalelių elgesio dėsniais, statistinis metodas leidžia nustatyti visos makrosistemos kaip visumos elgesio dėsnius. Siekiant supaprastinti sprendžiamą problemą, statistinis metodas daro daugybę prielaidų (prielaidų) apie mikrodalelių elgesį, todėl statistiniu metodu gauti rezultatai galioja tik padarytų prielaidų ribose. Statistinis metodas naudoja tikimybinį problemų sprendimo būdą, kad naudotų šį metodą, sistemoje turi būti pakankamai didelis skaičius dalelės. Viena iš statistiniu metodu sprendžiamų problemų yra makroskopinės sistemos būsenos lygties išvedimas. Sistemos būsena gali būti pastovi laikui bėgant (pusiausvyros sistema) arba gali keistis laikui bėgant (nepusiausvyrinė sistema). Fizinė kinetika yra nepusiausvyrinių sistemų būsenų ir jose vykstančių procesų tyrimas.

Laikui bėgant besivystančios sistemos būsenos lygtis yra kinetinė lygtis, kurios sprendimas bet kuriuo metu lemia sistemos būseną. Susidomėjimas kinetinėmis lygtimis yra susijęs su galimybe jas pritaikyti įvairiose srityse fizika: in kinetinė teorija dujose, astrofizikoje, plazmos fizikoje, skysčių mechanikoje. Šiame darbe nagrinėjama vieno iš statistinės fizikos ir fizikinės kinetikos įkūrėjų, austrų fiziko Ludwigo Boltzmanno 1872 m. ir jo vardu gauta kinetinė lygtis.

§1 Paskirstymo funkcija.

Dujų dalelės nesiskiria (identiškos);

Dalelės susiduria tik poromis (neatsižvelgiame į trijų ar daugiau dalelių susidūrimą vienu metu);

Prieš pat susidūrimą dalelės viena tiesia linija juda viena kitos link;

Molekulių susidūrimas yra tiesioginis centrinis elastinis smūgis;

Ir. Pažymėkime pagal

Klasikinės dalelės transliacinis judėjimas apibūdinamas koordinatėmis

Medžiaga iš Vikipedijos – laisvosios enciklopedijos

Boltzmanno lygtis (Boltzmanno kinetinė lygtis) yra lygtis, pavadinta Ludwigo Boltzmanno, kuris pirmą kartą ją svarstė, vardu ir apibūdina statistinį dalelių pasiskirstymą dujose arba skystyje. Yra vienas iš labiausiai svarbias lygtis fizikinė kinetika (statistinės fizikos sritis, apibūdinanti sistemas, esančias toli nuo termodinaminės pusiausvyros, pavyzdžiui, esant temperatūros gradientams ir elektriniams laukams). Boltzmanno lygtis naudojama tiriant šilumos ir elektros krūvio pernešimą skysčiuose ir dujose, o iš jos išvedamos tokios pernešimo savybės kaip elektros laidumas, Holo efektas, klampumas ir šilumos laidumas. Lygtis taikoma retesnėms sistemoms, kuriose dalelių sąveikos laikas yra trumpas (molekulinio chaoso hipotezė).

Formulė

Boltzmanno lygtis apibūdina evoliuciją laikui bėgant ( t) tankio pasiskirstymo funkcijos f(x, p, t) vienos dalelės fazės erdvėje, kur x Ir p- atitinkamai koordinatės ir impulsas. Paskirstymas apibrėžiamas taip

$f(\backslash mathbf(x),\backslash mathbf(p),t)\backslash ,d^3x\backslash ,d^3p$

proporcingas dalelių skaičiui fazės tūryje d³x d³p tam tikru momentu t. Boltzmanno lygtis

\frac(\partial f)(\partial t) + \frac(\partial f)(\partial \mathbf(x)) \cdot \frac(\mathbf(p))(m) + \frac(\partial f) )(\partial \mathbf(p)) \cdot \mathbf(F) = \left. \frac(d f)(d t) \right|_(\mathrm(coll)).Čia F(x, t) yra jėgų, veikiančių skysčio ar dujų daleles, laukas ir m- dalelių masė. Dešinėje lygties pusėje esantis terminas pridedamas siekiant atsižvelgti į dalelių susidūrimus ir vadinamas susidūrimo integralu. Jei jis lygus nuliui, tai dalelės visiškai nesusiduria. Šis atvejis dažnai vadinamas vienos dalelės Liouville lygtimi. Jei jėgų laukas F(x, t) pakeiskite tinkamu savaime nuosekliu lauku, atsižvelgiant į paskirstymo funkciją $f$, tada gauname Vlasovo lygtį, kuri apibūdina įkrautų plazmos dalelių dinamiką savaime nuosekliame lauke. Klasikinė Boltzmanno lygtis naudojama plazmos fizikoje, taip pat puslaidininkių ir metalų fizikoje (apibūdinti kinetiniai reiškiniai, tai yra įkrovimas arba šilumos perdavimas, e-skystyje).

$\backslash hat(\backslash mathbf(L))\_\backslash mathrm(GR)=\backslash sum\_\backslash alpha\; p^\backslash alpha\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x^\backslash alpha)-\backslash sum\_(\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma)\backslash \; Gama^(\backslash alpha)()\_(\backslash beta\backslash gamma)p^\backslash beta\; p^\backslash gamma\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; p^\backslash alpha),$

Susidūrimo integralas

Dalelių susidūrimai lemia jų greičio pokyčius. Jeigu $W(\backslash mathbf(v),\backslash mathbf(v)^\backslash prime)d^3v^\backslash prime\; dt$ nurodo dalelės sklaidos iš būsenos su greičiu tikimybę $\backslash mathbf(v)$į būseną su greičiu $\backslash mathbf(v)^\backslash prime$, tada klasikinių dalelių susidūrimo integralas užrašomas forma

$\backslash left.\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; t)\backslash right|\_(coll)=\backslash int\_(\backslash mathbf(v)^\backslash prime)\; d^3v^\backslash prime$.

Tuo atveju kvantinė gamta dalelių statistiką, šią išraišką apsunkina tai, kad dvi dalelės negali būti toje pačioje būsenoje kvantiniai skaičiai, todėl būtina atsižvelgti į tai, kad neįmanoma išsibarstyti į okupuotas valstybes.

Artėja atsipalaidavimo metas

Boltzmanno lygtys yra sudėtingos integrodiferencialinės dalinės diferencialinės lygtys. Be to, susidūrimo integralas priklauso nuo konkrečios sistemos, nuo dalelių sąveikos tipo ir kitų veiksnių. Suradimas bendrosios charakteristikos nepusiausvyros procesai nėra lengvas dalykas. Tačiau žinoma, kad termodinaminės pusiausvyros būsenoje susidūrimo integralas lygus nuliui. Iš tiesų, esant pusiausvyros būsenai vienalytė sistema jei nėra išorinių laukų, visos Boltzmanno lygties kairėje pusėje esančios išvestinės yra lygios nuliui, todėl susidūrimo integralas taip pat turi būti lygus nuliui. Esant nedideliems nukrypimams nuo pusiausvyros, pasiskirstymo funkcija gali būti pavaizduota kaip

$f\; =\; f\_0\; +\; f\_1$,

Kur $f\_0(\backslash mathbf(v))$- pusiausvyros pasiskirstymo funkcija, priklauso tik nuo dalelių greičių ir yra žinoma iš termodinamikos, ir $f\_1$- nedidelis nukrypimas.

Šiuo atveju mes galime išplėsti susidūrimo integralą į Taylor seriją funkcijos atžvilgiu $f\_1$, ir parašykite jį tokia forma:

$-\; \backslash frac(f\_1)(\backslash tau)\; =\; -\; \backslash frac(f-f\_0)(\backslash tau)$,

Taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Boltzmanno kinetinė lygtis"

Pastabos

Nuorodos

Literatūra

• Chercignani K. Boltzmanno lygties teorija ir taikymas. - M.: Mir, 1978. - 495 p.

Ištrauka, apibūdinanti Boltzmanno kinetinę lygtį

Dvylikos Europos kalbų pajėgos įsiveržė į Rusiją. Rusijos kariuomenė ir gyventojai, išvengdami susidūrimo, traukiasi į Smolenską ir iš Smolensko į Borodiną. prancūzų kariuomenė su vis didesne greitumo jėga jis veržiasi link Maskvos, savo judėjimo tikslo link. Jo greitumo stiprumas, artėjant prie tikslo, didėja, kaip ir krentančio kūno greitis artėjant prie žemės. Už tūkstančio mylių – alkana, priešiška šalis; Priekyje yra dešimtys mylių, skiriančių mus nuo tikslo. Kiekvienas karys tai jaučia Napoleono armija, o invazija artėja savaime, vien tik greitumo jėga.
Rusijos kariuomenėje besitraukiant vis labiau įsiliepsnoja kartėlio prieš priešą dvasia: traukdamasi atgal, ji telkiasi ir auga. Prie Borodino vyksta susirėmimas. Nei armija nesuyra, bet Rusijos kariuomenė iš karto po susidūrimo jis atsitraukia taip pat būtinai, kaip ir kamuolys būtinai nurieda, kai susiduria su kitu didesniu greičiu į jį besiveržiančiu kamuoliu; ir lygiai taip pat neišvengiamai (nors ir praradęs visas jėgas susidūrimo metu) sparčiai besisklaidantis invazijos kamuolys nurieda dar šiek tiek erdvės.

MASKAVOS ENERGETIKOS INSTITUTAS

(technikos universitetas)

ELEKTRONIKOS INŽINERIJOS FAKULTETAS

SANTRAUKA TEMA

KAM INETINĖ LYGTYBĖ B OLTZMANAS.

UŽBAIGTA:

Korkin S.V.

MOKYTOJAS

Šerkunovas Yu.B.

Antroji darbo pusė užpildyta gana sudėtinga matematika. Autorius ( [apsaugotas el. paštas], [apsaugotas el. paštas])nelaiko šio kursinio darbo idealu, jis gali būti tik atskaitos taškas tobulesniam (ir suprantamesniam) darbui. Tekstas nėra knygos kopija. Pabaigoje rasite pagalbinę literatūrą.

Kursinis darbas priimtas įvertinimu „Puikiai“. (Galutinė kūrinio versija šiek tiek pamesta. Siūlau naudoti priešpaskutinę „versiją“).

Įvadas………………………………………………………………………………3

Simboliai………………………………………………………………………………. 4

§1 Paskirstymo funkcija.

§2 Dalelių susidūrimas.

§3 Susidūrimo integralo formos nustatymas

ir Boltzmanno lygtis.

§4. Silpnai nevienalyčių dujų kinetinė lygtis.

Dujų šilumos laidumas.

Kai kurios konvencijos:

n - dalelių koncentracija;

d – vidutinis atstumas tarp dalelių;

V – tam tikras sistemos tūris;

P – kokio nors įvykio tikimybė;

f - pasiskirstymo funkcija;

Įvadas.

Fizikos termodinamikos, statistinės fizikos ir fizikinės kinetikos šakos tiria fizikinius procesus, vykstančius makroskopinėse sistemose – kūnuose, susidedančiuose iš daugybės mikrodalelių. Priklausomai nuo sistemos tipo, tokios mikrodalelės gali būti atomai, molekulės, jonai, elektronai, fotonai ar kitos dalelės. Šiandien yra du pagrindiniai makroskopinių sistemų būsenų tyrimo metodai – termodinaminis, apibūdinantis sistemos būseną per makroskopiškai lengvai išmatuojamus parametrus (pavyzdžiui, slėgį, tūrį, temperatūrą, molių skaičių ar medžiagos koncentraciją) ir, iš tikrųjų neatsižvelgiama į medžiagos atominę-molekulinę struktūrą ir statistinį metodą, pagrįstą nagrinėjamos sistemos atominiu-molekuliniu modeliu. Termodinaminis metodas šiame darbe nebus aptariamas. Remiantis žinomais sistemos dalelių elgesio dėsniais, statistinis metodas leidžia nustatyti visos makrosistemos kaip visumos elgesio dėsnius. Siekiant supaprastinti sprendžiamą problemą, statistinis metodas daro daugybę prielaidų (prielaidų) apie mikrodalelių elgesį, todėl statistiniu metodu gauti rezultatai galioja tik padarytų prielaidų ribose. Statistinis metodas naudoja tikimybinį problemų sprendimo būdą, kad būtų galima naudoti šį metodą, sistemoje turi būti pakankamai daug dalelių. Viena iš statistiniu metodu sprendžiamų problemų yra makroskopinės sistemos būsenos lygties išvedimas. Sistemos būsena gali būti pastovi laikui bėgant (pusiausvyros sistema) arba gali keistis laikui bėgant (nepusiausvyrinė sistema). Fizinė kinetika tiria nepusiausvyrines sistemų būsenas ir jose vykstančius procesus.

Laikui bėgant besivystančios sistemos būsenos lygtis yra kinetinė lygtis, kurios sprendimas bet kuriuo metu lemia sistemos būseną. Domėjimasis kinetinėmis lygtimis siejamas su galimybe jas pritaikyti įvairiose fizikos srityse: dujų kinetinėje teorijoje, astrofizikoje, plazmos fizikoje ir skysčių mechanikoje. Šiame darbe nagrinėjama vieno iš statistinės fizikos ir fizikinės kinetikos įkūrėjų, austrų fiziko Ludwigo Boltzmanno 1872 m. ir jo vardu gauta kinetinė lygtis.

§1 Paskirstymo funkcija.

Norėdami išvesti Boltzmanno kinetinę lygtį, apsvarstykite monatomines idealias dujas, t.y. gana retos dujos, susidedančios iš elektra neutralių atomų ar molekulių. Vienintelis idealių dujų dalelių sąveikos tipas yra molekulių susidūrimai, kurie įvyksta taip retai, kad kiekviena molekulė beveik visą laiką juda taip, lyg būtų laisva. Atsižvelgiant į dujų daleles kaip į klasikines, galima teigti, kad yra dalelės tūris. Dalelių skaičius tūrio vienete yra koncentracija. Tai reiškia, kad tarp dalelių yra vidutinis atstumas (manoma, kad jis gana didelis, palyginti su tarpmolekulinių jėgų veikimo spinduliu d). Išvesdami Boltzmanno lygtį, darysime tokias prielaidas:

Dujų dalelės nesiskiria (identiškos);

Dalelės susiduria tik poromis (neatsižvelgiame į trijų ar daugiau dalelių susidūrimą vienu metu);

Prieš pat susidūrimą dalelės viena tiesia linija juda viena kitos link;

Molekulių susidūrimas yra tiesioginis centrinis elastinis smūgis;

Statistinį dujų aprašą atlieka tikimybių pasiskirstymo funkcija (arba tikimybės tankis), o pasiskirstymo funkcija nekinta dalelių susidūrimo srities eilės atstumais. Tikimybių tankis nustato tikimybę, kad koks nors atsitiktinis kintamasis x turi reikšmę mažame intervale dx, kaip nurodyta toliau. Tikimybę rasti x baigtiniame intervale lemia integravimas.

Dujų molekulių pasiskirstymo funkcija pateikta jų fazinėje erdvėje.

yra visų molekulių apibendrintų koordinačių rinkinys; - apibendrintų molekulinių impulsų rinkinys. Atitinkamai

Ir. Pažymėkime pagal

molekulės fazinės erdvės tūrinis elementas. Tam tikrame fazinės erdvės elemente yra (vidutiniškai) dalelių skaičius lygus (t.y. laikomos molekulės, kurių q ​​ir p reikšmės yra pasirinktuose intervaluose dq ir dp). Dujų molekulių pasiskirstymo funkcija buvo apibrėžta aukščiau fazinėje erdvėje, tačiau ji gali būti išreikšta kitais kintamaisiais, išskyrus dalelės apibendrintas koordinates ir momentus. Pasirinkime funkcijos f argumentus.

Atsižvelgdami į nepusiausvyrinį sistemos būsenos keitimo procesą, vykstantį laikui bėgant, akivaizdu, kad turime daryti prielaidą, kad pasiskirstymo funkcija priklauso nuo laiko. Aptariamos dujos yra dalelių rinkinys, kurį sutarėme laikyti klasikinėmis.

Klasikinės dalelės transliacinis judėjimas apibūdinamas koordinatėmis

dalelės svorio centras ir greičio vektorius arba impulso vektorius (, kur m – dalelės masė). Monatominėms dujoms transliacinis judėjimas yra vienintelis dalelių judėjimo tipas; laisvės laipsnių skaičius yra trys. Jei dalelė yra poliatominė molekulė, tada atsiranda papildomų laisvės laipsnių, susijusių su molekulės sukimu erdvėje ir atomų vibracija molekulėje. Kvantinės mechanikos taikymo sąlygos – maža dalelių masė ir didelė koncentracija, taip pat žema temperatūra. Neatsižvelgiant į plotą žemos temperatūros, sukamąjį dujų molekulių judėjimą laikysime klasikiniu. Visų pirma aprašomas bet koks klasikinis sukimosi judėjimas, sukimo momentas kūną veikiančios jėgos. Akimirkos įtakoje dviatomė molekulė sukasi plokštumoje, statmenai vektoriui akimirka. Be to, molekulės padėtis apibūdinama molekulės ašies sukimosi kampu sukimosi plokštumoje.

Panagrinėkime vandenilio molekulę (ar bet kurią kitą dviatomę molekulę), kai T = 300 K. Pagal pusiausvyros dėsnį, kiekvienas laisvės laipsnis (transliacijos, sukimosi ar vibracijos) vidutiniškai turi vienodą kinetinę energiją, lygią.

Tegu I yra molekulės inercijos momentas, m masė, d vidutinis atstumas tarp molekulėje esančių atomų.

Per vieną sekundę molekulė padaro (ty apytiksliai) pilnos revoliucijos. Ašies sukimosi kampo pasikeitimo greitis dviatomė molekulė yra didelis ir visos galimos molekulės orientacijos sukimosi plokštumoje bus vienodai tikėtinos. Tada, svarstant realias fizines problemas, pasiskirstymo funkcija gali būti laikoma nepriklausoma nuo molekulės orientacijos. Lygybės dėsnis galioja ir poliatominėms molekulėms, o tai reiškia, kad prielaida apie pasiskirstymo funkcijos nepriklausomumą nuo dujų molekulių orientacijos erdvėje gali būti laikoma tinkama ir poliatominėms dujoms.

Svyruojantis judėjimas molekulės viduje esantys atomai beveik visada yra kvantuojami, o molekulės būsena yra tokia kvantinė sistema turi būti nustatomas pagal kvantinius parametrus. Įprastomis sąlygomis (ne per aukšta temperatūra) dujų molekulės yra nesužadintos būsenos, atitinkančios žemės (nulinį) virpesių lygį. Štai kodėl kvantiniai efektai V tikros dujosįprastomis sąlygomis gali būti nepaisoma. Vadinasi, klasikinių idealių dujų pasiskirstymo funkcija nepusiausvyros būsenoje priklauso ne tik nuo laiko, bet ir nuo dalelių koordinačių.

Simboliu Г pažymėkime visų kintamųjų, nuo kurių priklauso pasiskirstymo funkcija, aibę, išskyrus molekulės ir laiko koordinates. Fazinio tūrio elemente pasirenkame elementarų tūrį trimatė erdvė, o likusi dalis bus pažymėta simboliu dG. Dydžiai dG yra judėjimo integralai, kurie jo metu išlieka pastovūs bet kuriai molekulei laisvas judėjimas tarp dviejų iš eilės susidūrimų. Laisvas molekulės judėjimas vyksta be išorinio poveikio iš jokių išorinių kūnų ar laukų. Dėl molekulių sąveikos tarpusavyje (susidūrimo atveju) arba veikiant laukui

šios vertės gali pasikeisti. Laisvo judėjimo metu keičiasi visos molekulės koordinatės.

Dujų dalelių erdvinio pasiskirstymo koncentracija arba tankis gali būti išreikštas integralu, o vidutinį dalelių skaičių tūrio elemente lemia sandauga. Tūrio elementu turime omenyje fiziškai mažą tūrį, t.y. erdvės plotas, kurio matmenys yra maži, palyginti su problemoje aptartais matmenimis. Tuo pačiu metu mažo tūrio matmenys yra dideli, palyginti su molekulių matmenimis. Teiginys apie molekulės vietą tam tikrame tūrio elemente lemia molekulės padėtį geriausiu atveju tik iki atstumų, viršijančių pačios molekulės matmenis. Tai leidžia tiksliai nustatyti dviejų klasikinių dalelių koordinates tikslus apibrėžimas jų trajektorijos prieš ir po susidūrimo, jei toks įvyko. Tikslumo neapibrėžtumas abipusę poziciją dalelės leidžia taikyti tikimybinį požiūrį sprendžiant jų susidūrimo problemą. Klasikinių dujų svarstymas reiškia, kad tankis

yra makroskopinis dydis. Makroskopiškumas atsiranda tik tuo atveju, kai elementariame tūryje yra pakankamai didelis skaičius dalelės (tik tada dalelių skaičiaus pokytis elementariame tūryje nagrinėjamo proceso metu yra nedidelis); šiuo atveju dujų užimamos srities linijiniai matmenys turi būti žymiai didesni už vidutinį tarpmolekulinį atstumą.

§2 Dalelių susidūrimas.

Panagrinėkime molekulių susidūrimą, kai kurių reikšmės yra Γ tam tikrame intervale, o kitos - intervale. Dėl susidūrimo molekulės įgyja Γ reikšmes intervalais ir atitinkamai. Toliau, siekiant trumpumo, kalbėsime apie molekulių susidūrimą ir perėjimą

Molekulių skaičiaus tūrio vienete sandauga su tikimybe, kad kiekviena molekulė patirs susidūrimą su nurodytu perėjimu, duos bendrą tokių susidūrimų skaičių tūrio vienete per laiko vienetą. Tokio įvykio tikimybė (ją žymime per tam tikrą funkciją) yra proporcinga molekulių skaičiui tūrio vienete ir kiekvienos molekulės verčių intervalams po susidūrimo. Taigi darysime prielaidą, kad susidūrimų su perėjimu skaičius tūrio vienetui per laiko vienetą įgis tokią formą

(brūkšnelis nurodo galutines būsenas, be pradinio ženklo pradines būsenas). Susidūrimo tikimybė turi svarbią savybę, kuri išplaukia iš mechanikos dėsnių, susijusių su laiko ženklo apsisukimu. Jei viršutiniu indeksu T pažymėsime visų dydžių, gautų apverčiant laiko ženklą, reikšmes, tada įvyks lygybė

Laiko apvertimas perskirsto būsenas „prieš“ ir „po“, o tai reiškia, kad reikia pertvarkyti tikimybių funkcijos argumentus. Visų pirma ši lygybė galioja sistemos pusiausvyros atveju, t.y. galima teigti, kad pusiausvyros sąlygomis susidūrimų su perėjimu skaičius yra lygus susidūrimų su perėjimu skaičiui (*). Pažymėkime pusiausvyros pasiskirstymo funkcija ir parašykime

Diferencialų sandauga yra fazinės erdvės elementas, kuris nekinta, kai laikas apverčiamas (diferencialų abiejose lygybės pusėse galima praleisti). Nekeičia to paties potenciali energija molekulių, taigi ir pusiausvyros (Boltzmanno) pasiskirstymo funkcija, kuri priklauso tik nuo energijos:

(2)

V yra makroskopinis visų dujų judėjimo greitis. Dėl energijos tvermės dėsnio, kai susiduria dvi molekulės. Todėl galime parašyti (3)

Atkreipkime dėmesį ir į tai, kad pati tikimybės funkcija iš esmės gali būti nustatyta tik išsprendus mechaninę dalelių susidūrimo problemą. Aukščiau pateiktos lygybės (1), (2) ir (3) bus pateiktos po santrumpos (1)

Turi būti patvirtinta (*)

Integruodami paskutinę lygybę (tolimesniam naudojimui) gauname ryšį:

§3 Kinetinės lygties išvedimas.

Panagrinėkime laiko pasiskirstymo funkcijos išvestinę:

Kai dujų molekulės juda nesant išorinis laukas dydžiai Г, kaip judėjimo integralai, nesikeičia.

Išvestinės išraiška bus tokia: (6)

Tegul dabar dujos yra išoriniame potencialo lauke, veikiančiame molekulių svorio centro koordinates (pavyzdžiui, gravitaciniame lauke). Ir tegul F yra jėga, veikianti iš lauko dalelę.

Dešinę lygybės pusę (6) žymime. Simbolis reiškia

pasiskirstymo funkcijos kitimo greitis dėl susidūrimų ir dydis

yra pokytis per laiko vienetą dėl fazės tūrio molekulių skaičiaus susidūrimų. Visiškas paskirstymo funkcijos pasikeitimas duotas taškas fazės erdvė bus parašyta taip:

(8)

Dydis vadinamas susidūrimo integralu, o formos (8) lygtis vadinama kinetine lygtimi. Kinetinė lygtis (8) įgis tikrąją reikšmę tik nustačius susidūrimo integralo formą.

§3 Susidūrimo integralo formos ir Boltzmanno lygties nustatymas.

Molekulių susidūrimo metu pasikeičia dydžiai, nuo kurių priklauso pasiskirstymo funkcija. Atsižvelgiant į tai, kad sistemos būsenos stebėjimo laikas ir dalelių koordinatės kinta, nepriklausomai nuo to, ar dalelių susidūrimas įvyko, ar ne (tai turi įtakos tik koordinačių pasikeitimo pobūdžiui), galima teigti. kad keičiasi susidūrusių molekulių G reikšmės. Atsižvelgdami į pakankamai mažą intervalą, pastebime, kad susidūrus molekulėms jos iš šio intervalo pašalinamos, t.y. vyksta „viliojimo“ veiksmai. Tegul dvi susidūrusios molekulės, kaip ir anksčiau, atitinka vertes prieš susidūrimą ir po susidūrimo (dėl trumpumo mes kalbame apie perėjimą).

Visas numeris susidūrimų per minėtą perėjimą su visais galimas vertes

Tam tikram įvykiui, įvykusiam per laiko vienetą tūryje, nustatomas integralas

Tuo pačiu metu įvyksta kitokio pobūdžio susidūrimai (vadinami „atvykimu“), dėl kurių molekulės, kurios prieš susidūrimą turėjo vertes už nurodyto intervalo ribų, patenka į šį intervalą. Tokie perėjimai gali būti pažymėti taip: (su visomis įmanomomis reikšmėmis). Panašiai kaip ir pirmojo tipo perėjimas, bendras tokių susidūrimų skaičius per laiko vienetą tūryje yra lygus:

Dėl visų susidūrimų molekulių skaičiaus pokytis per laiko vienetą elementariame tūryje nustatomas pagal skirtumą tarp išvykimo ir atvykimo aktų skaičiaus:

(9), kur

Susidūrimo integralas gali būti apibrėžtas taip:

(dalelių skaičiaus pokytis per laiko vienetą fazės tūryje dVdГ)

Iš (8) ir (9) santykių gauname susidūrimo integralo formą

Atkreipkite dėmesį, kad antrajame integrando termine integracija per turi

susiję tik su funkcija. Daugikliai ir nepriklauso nuo kintamųjų. Transformuodami šią integralo dalį naudodami ryšį (4), gauname galutinę susidūrimo integralo formą

ir kinetinė lygtis

Gauta integralinė-diferencialinė lygtis vadinama Boltzmanno lygtimi.

Panagrinėkime nuo laiko nepriklausomą pasiskirstymą pusiausvyros sistemos būsenoje, kai nėra išorinių poveikių. Šis skirstinys yra stacionarus (nepriklauso nuo laiko) ir vienalytis (nesikeičia sistemos užimamoje erdvės srityje). Iškeltos sąlygos iš naujo nustato skirstinio funkcijos išvestinę laiko ir trijų koordinačių atžvilgiu; kairė kinetinės lygties pusė išnyksta. Integrand išnyksta dėl lygybės (3). Vadinasi, pusiausvyros pasiskirstymas, kai nėra išorinių laukų, identiškai tenkina kinetinę lygtį. Jei dujos yra pusiausvyros būsenoje, veikiamos išorinio potencialo (pavyzdžiui, gravitacinio) lauko, tada pasiskirstymo funkcija šiuo atveju tenkina kinetinę lygtį. Iš tiesų, pusiausvyros pasiskirstymas išreiškiamas per judėjimo integralą – pilna energija molekules. Kairioji kinetinės lygties pusė yra visuminė išvestinė, kuri yra lygi nuliui kaip funkcijos, kuri priklauso tik nuo judėjimo integralų, išvestinė. Dešinė lygties pusė, kaip jau buvo nurodyta, yra lygi nuliui. Taigi, pusiausvyros dujų pasiskirstymo funkcija išoriniame potencialo lauke taip pat tenkina kinetinę lygtį.

Prie „Įvade“ nurodytų prielaidų pridėsime dar vieną: molekulių susidūrimai laikomi momentiniais veiksmais, vykstančiais viename erdvės „taške“. Kinetinė lygtis apibūdina procesą, kuris vyksta per laiko intervalą, daug ilgesnį nei susidūrimų trukmė. Tuo pačiu metu nagrinėjamos sistemos sritis turi gerokai viršyti dalelių susidūrimo sritį, kurios matmenys atitinka molekulinių jėgų veikimo spindulį d. Susidūrimo laikas pagal dydį gali būti apibrėžtas kaip (- vidutinis greitis molekulių judėjimas dujose). Gautos reikšmės atspindi apatinę atstumo ir laiko ribą, kai svarstoma, kurią kinetinę lygtį galima naudoti. Tikras fizines užduotis nereikalaukite tiek daug išsamus aprašymas procesas; Sistemos dydis ir stebėjimo laikas gerokai viršija reikalaujamą minimumą.

Kokybiškai išnagrinėti dujose vykstančius kinetinius reiškinius, naudojami apytiksliai susidūrimo integralo įverčiai pagal du parametrus: vidutinį laisvą kelią ir laisvos kelionės laiką. Tegul molekulė juda per ilgio vienetą, susidurdama su tūryje esančiomis molekulėmis tiesus cilindras vieneto ilgio ir pagrindo ploto (yra efektyvusis molekulės skerspjūvis). Šiame tūryje yra molekulių.

- vidutinis atstumas tarp molekulių;

Vertė yra laisvo veikimo laikas. Norėdami apytiksliai įvertinti susidūrimo integralą, galite naudoti:

Skirtumas, parašytas skaitiklyje, atsižvelgia į tai, kad pusiausvyros pasiskirstymo funkcijai kolizijos integralas išnyksta, o minuso ženklas rodo, kad susidūrimai yra statistinės pusiausvyros nustatymo mechanizmas, t.y. stengtis sumažinti pasiskirstymo funkcijos nuokrypį nuo pusiausvyros (kitaip tariant, bet kuri sistema, pašalinta iš pusiausvyros būsenos, atitinkančios minimumą vidinė energija sistema ir palikta savieigai, linkusi prie jos grįžti pusiausvyros būsena).

§3 Perėjimas prie makroskopinių lygčių. Hidrodinaminio tęstinumo lygtis.

Boltzmanno kinetinė lygtis pateikia mikroskopinį dujų būsenos raidos aprašymą. Tačiau praktikoje dažnai nebūtina taip detaliai aprašyti procesų, todėl svarstant hidrodinamikos problemas, procesų atsiradimo nehomogeninėse arba labai retose dujose problemas, šilumos laidumo ir dujų difuzijos problemas ir daugelį kitų. , prasminga pereiti prie mažiau detalių (taigi ir paprastesnių) makroskopinių lygčių. Šis aprašymas taikomas dujoms, jei jų makroskopinės savybės (temperatūra, tankis, dalelių koncentracija, slėgis ir kt.) kinta pakankamai lėtai bet kuria savavališkai pasirinkta dujų kryptimi. Atstumai, kuriais įvyksta reikšmingas makroskopinių parametrų pokytis, turi gerokai viršyti laisvą molekulių kelią.

Kaip pavyzdį apsvarstykite hidrodinaminės lygties gavimo metodą.

Išraiška lemia dujų molekulių pasiskirstymo erdvėje tankį (dujų molekulių koncentraciją). Vienos molekulės masės sandauga (manoma, kad dujos susideda iš identiškų dalelių) pagal molekulių pasiskirstymo tankį suteikia dujų masės tankį: . Pažymėkime makroskopiniu dujų judėjimo greičiu kaip visuma ir mikroskopiniu molekulių greičiu. Makroskopinį greitį (masės centro judėjimo greitį) galima apibrėžti kaip vidutinė vertė nuo mikroskopinio molekulių greičio

Susidūrimai nepakeičia nei susidūrusių dalelių skaičiaus, nei jų bendros energijos ar impulso (molekulių susidūrimai laikomi absoliučiais elastingas poveikis). Pasiskirstymo funkcijos pokyčio susidūrimo dalis negali lemti dujų tankio, vidinės energijos, greičio ir bet kokių kitų makroskopinių parametrų pokyčių kiekviename iš jų tūrio elementų. Iš tiesų, bendro molekulių skaičiaus, tenkančio dujų tūrio vienetui, pokyčio susidūrimo dalis pateikiama integralu, lygiu nuliui:

Šios lygybės pagrįstumą patikrinkime tokiu būdu:

Integravimas atliekamas per kiekvieną kintamąjį, o tai reiškia, kad nekeičiant integralo galima perskirti kintamuosius, pavyzdžiui, antrajame integrale:

Paskutinė išraiška akivaizdžiai lygi nuliui, todėl galioja lygybė (14).

Parašykime kinetinę lygtį ir, prieš tai padauginę abi jos dalis iš dalelės m masės, integruokime pagal:

Iš čia iš karto gauname hidrodinaminio tęstinumo lygtį:

Paklausęs šiuo diferencialinė lygtis keičiant skysčio tankį ir laikant skystį nesuspaudžiamu, galima gauti vektorinį greičio krypčių lauką bet kuriame skysčio taške.

§4. Šiek tiek nehomogeniškos dujos. Dujų šilumos laidumas.

Visi tikri fiziniai procesai būtinai atsiranda su tam tikrais energijos nuostoliais (t. y. atsiranda energijos išsklaidymo - tvarkingo judėjimo energijos perėjimas į chaotiško judėjimo energiją, pavyzdžiui, į dujų molekulių šiluminį judėjimą). Norint atsižvelgti į išsisklaidymo procesus (šiluminį laidumą arba klampumą) silpnai nevienalytėse dujose, reikia naudoti tokį aproksimaciją: pasiskirstymo funkcija mažame dujų regione turėtų būti laikoma ne lokali pusiausvyra, kaip homogeninių dujų atveju. , bet skiriasi nuo pusiausvyros tam tikra pakankamai maža (kadangi dujos silpnai nevienalytės) reikšme. Paskirstymo funkcija įgaus formą, o pati pataisa bus įrašyta formoje. Funkcija turi atitikti tam tikras sąlygas. Jeigu duotus tankius dalelių skaičius, dujų energija ir impulsas

tie. integralai atitinka pusiausvyros funkciją, tada nepusiausvyros funkcija turi lemti tas pačias šių dydžių vertes (integralai su ir turi sutapti), o tai įvyksta tik tada, kai

Transformuokime susidūrimo integralą kinetinėje lygtyje (13): pasiskirstymo funkcijos išraiškų pakeitimas ir pataisymai, susidūrimo integralų, turinčių pusiausvyros pasiskirstymo funkciją, nulinimas, terminų, kuriuose nėra mažos pataisos, sumažinimas. Pirmo užsakymo sąlygos duos. Simbolis buvo įvestas linijiniam integraliniam operatoriui žymėti

Parašykime (be išvedimo) silpnai nevienalyčių dujų kinetinę lygtį, šilumos laidumo problemai nagrinėti pasilikdami kairėje lygties pusėje tik vieną terminą su temperatūros gradientu.

*************************************************

§4. Monatominių dujų šilumos laidumo koeficiento apskaičiavimas

Norint apskaičiuoti dujų šilumos laidumo koeficientą, reikia išspręsti aukščiau parašytą lygtį su temperatūros gradientu.

Leisti būti tik kiekių vektorine funkcija. Tada formoje ieškosime () lygties sprendimo. Pakeisdami šį sprendimą į lygtį (), gauname koeficientą. Lygtis () galioja visiškai savavališkoms temperatūros gradiento vektoriaus reikšmėms, tada koeficientai abiejose lygybės pusėse turi būti lygūs. Dėl to gauname lygtį

Lygtyje nėra temperatūros gradiento, todėl ji neturi aiškios priklausomybės nuo koordinačių. Funkcija turi atitikti anksčiau nurodytas sąlygas (). Akivaizdžiai tenkinamos pirmosios dvi sąlygos (() lygtyje nėra jokių vektorinių parametrų, pagal kuriuos būtų galima nukreipti konstantas vektoriniai integralai

IR). Trečiasis integralas yra papildoma sąlyga funkcionuoti g. Jei išspręsta kinetinė lygtis ir funkcija

apibrėžta, tuomet galima nustatyti šilumos laidumo koeficientą skaičiuojant energijos srautą, tiksliau – jo išsklaidymo dalį, nesusijusią su konvekciniu energijos perdavimu (šią energijos srauto dalį žymime ). Jei dujose nėra makroskopinio judesio, Q sutampa su visu srautu energijos Q, kuri gali būti išreikšta integralu

Jei sistema yra pusiausvyroje, tai šis integralas yra lygus nuliui dėl integracijos visomis įmanomomis dujų kryptimis. Pakeitus () lieka

Komponentuose

Dėl pusiausvyros dujų terpės izotropijos bet koks pasirinktos paskirties vietos jame nėra, o tenzorius gali būti išreikštas tik vienetiniu tenzoriumi, t.y. sumažina iki skaliarinio

Taigi energijos srautas išreiškiamas kaip, kur dydis yra skaliarinis šilumos laidumo koeficientas

Srautas Q turi būti nukreiptas priešinga temperatūros gradientui kryptimi, o vertė atitinkamai turi būti teigiama, kurią automatiškai pateikia kinetinė lygtis (). Monatominėse dujose greitis v yra vienintelis vektorius, nuo kurio priklauso funkcija g (daugiaatominėse dujose g priklauso ne tik nuo greičio v, bet ir nuo sukimo momento M). Monatominėms dujoms funkcija g turi tokią formą:

.

§5.Kinetinės lygties sprendimo pavyzdys

Dujų molekulės sąveikauja pagal gana sudėtingus dėsnius. Tai ypač pasakytina apie tikras daugiaatomes dujas. Prielaidos, padarytos dėl dujų molekulių elgsenos pobūdžio, leidžia supaprastinti samprotavimus (ar net iš esmės tai padaryti), tačiau šiek tiek atitolina mus nuo realybės. Sudėtingi molekulinės sąveikos dėsniai, lemiantys susidūrimo integralo funkciją, net neleidžia mums parašyti Boltzmanno lygties konkrečioms dujoms tiksli forma. Net ir supaprastinus charakterį molekulinė sąveika matematinė kinetinės lygties struktūra išlieka gana sudėtinga ir randama jos sprendimas analitinė forma sunku. Kinetinėje dujų teorijoje naudojamos specialios, kurios yra efektyvesnės nei bandant analitinis sprendimas, Boltzmanno lygties apytikslio sprendimo metodai. Kaip pavyzdį apsvarstykite monoatomines dujas ir šilumos laidumo problemą.

o pusiausvyros pasiskirstymo funkcija įgaus formą

Efektyvus metodas apytikslis () lygties sprendimas yra pagrįstas norimų funkcijų išplėtimu pilnoje sistemoje tarpusavyje stačiakampės funkcijos. Kaip tokias funkcijas apsvarstykite Sonino polinomus, apibrėžtus formomis:

Šioje formulėje r yra savavališkas, o s yra sveikas skaičius teigiamas skaičius arba nulis. Sąžiningai

Šių polinomų ortogonalumo savybė tam tikram indeksui r ir skirtingiems indeksams s atrodo taip:

Mes ieškome lygties sprendimo tokio išplėtimo forma

Išplėtime praleidžiant terminą su s=0, gauname patenkinančią išraišką () (integralas nustatomas į nulį dėl daugianario su skirtingu s stačiakampio). Išraiška skliausteliuose kairėje pusėje ()

Yra. Lygtis () įgauna formą

Paskutinei išraiškai buvo įvestas žymėjimas

Lygties su l=0 nėra, nes dėl impulso išsaugojimo

Šilumos laidumo koeficientas apskaičiuojamas pakeičiant išraišką () integralu (). Atsižvelgiant į sąlygą (), integralas (c) gali būti pavaizduotas formoje

Dėl to randame.

Apie efektyvumą skaitmeninis metodas Naudojant Sonono daugianario plėtinį, galima spręsti pagal dešinės pusės () ir galutinės išraiškos () paprastumą. Sprendimo metu gauta begalinė tiesinių algebrinių lygčių sistema išsprendžiama po dirbtinio sutrumpinimo.

Išvada.

Nagrinėjamas Boltzmanno kinetinės lygties išvedimo metodas yra gana patenkinamas fizinis taškas regėjimas. Tačiau kinetinę lygtį galima gauti ir iš matematinio aparato, naudojamo dujų dalelių judėjimui apibūdinti. 1946 metais tokią išvadą, vadinamą dinamine, pateikė N. N. Bogolyubovas. Bogolyubovo metodas leidžia gauti ne tik Boltzmanno lygtį, bet ir jos pataisas, t.y. mažų dujų kiekio parametre šių užsakymų sąlygos. Pavyzdžiui, aukščiau pateiktame darinyje atsižvelgiama į tik dviejų molekulių susidūrimą vienu metu ir daroma prielaida, kad susidūrimai įvyksta viename taške, t.y. yra vietiniai, ir nėra daugiau ar mažiau akivaizdaus recepto, kaip atsižvelgti į trijų, keturių ir grupių susidūrimus daugiau dalelės. Tuo tarpu akivaizdu, kad atsižvelgti į tokius susidūrimus iš esmės svarbu, kai kalbama apie tankias dujas. Šiuo atžvilgiu patartina imtis griežtesnio požiūrio į kinetinės lygties išvedimą ir galimus jos apibendrinimus. Bogolyubovo metodas leidžia atsižvelgti į

Susidūrimo „nelokalumas“ ir daugiau nei dviejų dalelių susidūrimas naudojant tam tikrus pataisos terminus, atsirandančius išvedimo metu. Neatsižvelgiant į taisymus, kinetinė lygtis sudaro formą, gautą paprasčiausiu atveju.

Nuorodos.

1. E.M.Lifshits, L.P.Pitajevskis. Fizinė kinetika. Nauka, M., 1979 m

2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. Termodinamika, statistinė fizika ir kinetika.

Statistinis dujų aprašymas atliekamas pagal dujų molekulių pasiskirstymo funkciją jų fazių erdvėje, kur yra molekulės apibendrintų koordinačių aibė, yra koordinates atitinkančių apibendrintų impulsų rinkinys, yra laikas (paskirstymo funkcija priklauso laiku nestacionarioje būsenoje). Gana dažnai simbolis Г žymi visų kintamųjų, nuo kurių priklauso pasiskirstymo funkcija, aibę, išskyrus molekulės ir laiko koordinates. Kiekiai turi svarbią savybę: tai judesiai, kurie išlieka pastovūs kiekvienai molekulei jos laisvo judėjimo metu.

Taigi, vienatominių dujų kiekiai yra trys atomo komponentai. Dviatominei molekulei tai apima impulsą ir sukimo momentą.

Pagrindinė kinetinė lygtis

Pagrindinė dujų kinetinės teorijos (arba kinetinės lygties) lygtis yra pasiskirstymo funkciją apibrėžianti lygtis.

Lygtis:

kur yra susidūrimo integralas, (1) lygtis vadinama kinetine lygtimi. Simbolis reiškia pasiskirstymo funkcijos kitimo greitį dėl molekulių susidūrimo. Kinetinė lygtis tampa tikroji prasmė tik nustačius susidūrimo integralą. Tada kinetinė lygtis įgauna formą (2). Ši integro-diferencialinė lygtis taip pat vadinama Boltzmanno lygtimi:

Būtina paaiškinti, kas yra (2) lygties dešinioji pusė.

Kai susiduria dvi molekulės, jų reikšmės pasikeičia. Todėl kiekvienas susidūrimas, kurį patiria molekulė, pašalina ją iš nurodyto intervalo d. Bendras susidūrimų su perėjimais skaičius su visomis galimomis tam tikro G reikšmėmis, atsirandančiomis per laiko vienetą tūryje dV, yra lygi integralui:

(išeinančios dalelės)

Kai kurios molekulės dėl susidūrimų patenka į dG intervalą (susidūrimai su perėjimais ). Bendras tokių susidūrimų skaičius (per laiko vienetą tūrio dV) yra lygus:

(įeinančios dalelės).

Jei iš atvykimo aktų skaičiaus atimsime išvykimo aktų skaičių, aišku, kad dėl visų susidūrimų atitinkamų molekulių skaičius padidėja 1c

Kokybiniam kinetinių reiškinių dujose įvertinimui naudojamas apytikslis susidūrimo integralo įvertinimas, naudojant vidutinio laisvojo kelio l (tam tikras vidutinis atstumas, kurį molekulė nuvažiuoja tarp dviejų nuoseklių susidūrimų) sąvoką. Santykis vadinamas laisvo veikimo laiku. Norint apytiksliai įvertinti susidūrimo integralą, daroma prielaida:

Skirtumas skaitiklyje (3) atsižvelgia į tai, kad susidūrimo integralas pusiausvyros pasiskirstymo funkcijai virsta 0. Minuso ženklas išreiškia faktą, kad susidūrimai yra statistinės pusiausvyros nustatymo mechanizmas.

Boltzmanno kinetinė lygtis

Boltzmanno kinetinė lygtis pateikia mikroskopinį mažų dujų būsenos raidos aprašymą. Kinetinė lygtis yra pirmos eilės lygtis laike ji apibūdina negrįžtamą sistemos perėjimą iš kokios nors pradinės nepusiausvyros būsenos su pasiskirstymo funkcija į galutinę pusiausvyros būseną su labiausiai tikėtinu pasiskirstymo funkcija.

Išspręsti kinetinę lygtį yra labai sunku matematinis taškas regėjimas. Sunkumai ją sprendžiant kyla dėl funkcijos daugiamatiškumo, kuris priklauso nuo septynių skaliarinių kintamųjų ir sudėtinga išvaizda dešinėje lygties pusėje.

Jei pasiskirstymo funkcija priklauso tik nuo x koordinatės ir greičio komponento, Boltzmanno kinetinė lygtis yra tokia:

kur ir yra molekulių pasiskirstymo funkcijos prieš ir po susidūrimo; – molekulių greitis; yra diferencinis efektyvusis sklaidos skerspjūvis, tenkantis erdviniam kampui dW, priklausomai nuo molekulių sąveikos. — pasiskirstymo funkcijos pasikeitimas dėl susidūrimų. - dalelių skaičiaus tankio pokytis. yra jėga, veikianti dalelę.

Jei dujos susideda iš to paties tipo dalelių, kinetinę lygtį galima parašyti taip:

Kur – vidutinis dalelių skaičius fazės tūrio elemente šalia taško (- dalelių skaičiaus tankio pokytis šalia taško ( laiko t per laiko vienetą.

Boltzmanno lygtis galioja, jei:

Jei sistema yra statistinės pusiausvyros būsenoje, tada susidūrimo integralas išnyksta ir Boltzmanno lygties sprendimas yra skirstinys. Išsprendę Boltzmanno lygtį atitinkamoms sąlygoms, galime apskaičiuoti kinetikos koeficientus ir gauti makroskopines lygtis įvairūs procesai pernešimas ( , klampumas, ). Žemės gravitaciniame lauke Boltzmanno lygties sprendimas yra gerai žinoma barometrinė formulė.

Remiantis Boltzmanno lygties sprendiniais, paaiškinama dujų makroskopinė elgsena, klampumo ir šilumos laidumo koeficientų skaičiavimas.

Kinematinė lygtis yra pagrindinė išretintų dujų dinamikos lygtis ir naudojama aerodinaminiams skaičiavimams. lėktuvasįjungta dideli aukščiai skrydis.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

1 PAVYZDYS

Boltzmanno lygtis

Ludwig Boltzmann, austrų fizikas teorinis, Austrijos mokslų akademijos narys, vienas iš klasikinės kinetinės teorijos pradininkų.

Atsižvelkime į tai, kad dvi skirtingai šildomos dujos, kurių temperatūra T 1 ir T 2, susilietus elgiasi panašiai. > T 1 . Vienas iš jų įšyla, kitas atvėsta ir po kurio laiko jų temperatūra tampa vienoda (T). Dujos patenka į būseną šiluminė pusiausvyra ir šilumos mainai sustoja. Pavaizduokime tai diagrama.

Taigi, W Ir T elgiasi lygiai taip pat: kai dujos liečiasi, abi šios charakteristikos keičiasi vienodai ir tada lyginamos, o tai atitinka energijos arba šiluminės pusiausvyros būsenas. Kaip rodo griežti skaičiavimai, šios charakteristikos yra tarpusavyje susijusios proporcinga priklausomybė: T ~ W.

Netgi būtų įmanoma išmatuoti dujų temperatūrą pagal jų molekulių kinetinę energiją. Tačiau tai būtų nepatogu, nes tada tektų matuoti temperatūrą džauliais, o tai, pirma, neįprasta ir, antra, temperatūrą išreikštų labai mažais skaičiais. Pavyzdžiui, ledo lydymosi temperatūra, lygi 273 K, būtų išreikšta kaip 5,7 10–21 L. Norėdami palaikyti įprastą Kelvino temperatūrą (arba °C), patogiausia priimti

kur matmenų koeficientas k ([k] - J/K) pateikia temperatūros matavimą K vienetais, ir skaitinis koeficientas 2/3 yra įvesta, nes ji yra ties W į Clausiaus lygtyje. Tokiu būdu išmatuota temperatūra bus pažymėta T ir paskambink termodinaminė temperatūra:

Iš paskutinės išraiškos išplaukia Boltzmanno lygtis:

Kur k = 1,38 10 -23 J/K - Boltzmanno konstanta(ji skaitinė reikšmė vėliau teoriškai gausime). Iš Boltzmanno lygties išplaukia fizinę reikšmę nulinė termodinaminė temperatūra (0 K): esant T= 0 bus W k = 0, tie. esant nuliui Kelvino, molekulių judėjimas sustoja (t. y. terminis judėjimas).