FOURIER INTEGRALAS
Continuum analogas Furjė serija. Funkcijai, apibrėžtai baigtiniame intervale tikroji ašis, svarbu turi Furjė serijos atvaizdą. Funkcijai f(x) . Pateikus visą ašį, panašų vaidmenį atlieka Furjė išplėtimas f:
Kur 
Išplėtimas (1) gali būti formaliai sudarytas pagal prielaidas, užtikrinančias rašytinių integralų egzistavimą. Tai tiesa, pavyzdžiui, sklandžiai baigtinei funkcijai f(x) . Yra puikūs ženklai, užtikrinanti lygybę (1) viena ar kita prasme. Pakeitus (2) į (1), gaunamas vadinamasis. integrali formulė Furjė
pjovimo pagrindimas lemia minėtas charakteristikas. Labai naudinga f(x) pavaizduoti paprastu Furjė integralu
kuri gaunama iš (3), jei išorinį integralą įrašysime kaip per intervalą (0, N) ir pakeisime integracijas. IN taikomieji mokslai reprezentacija (1) dažnai interpretuojama kaip harmoninė plėtra: jei
tada (1) įgauna tokią formą:
taigi f vaizduojama kaip harmonikų superpozicija, kurios dažniai nuolat užpildo tikrąją pusašį ir amplitudę D ir pradinė fazė priklauso nuo
Daugeliu atvejų (ypač sudėtingos reikšmės funkcijoms f) išplėtimą (1) patogiau pavaizduoti eksponentine forma:
Kur
Funkcija vadinama Furjė transformacija funkcijas f(taikomųjų mokslų srityje SU(l)
paskambino 
Su sąlyga, kad f (x) yra apibendrinamasis: funkcija yra ribota, tolygiai ištisinė ašyje ir ties taške
Funkcija gali būti nesumuojama, o integralioji (4) neegzistuoja. Tačiau lygybė (4) leidžia pagrįstai interpretuoti, jei naudojame integralų sumavimo metodus [šiuo atveju galime svarstyti ne tik taškinę konvergenciją, bet ir vidutinę konvergenciją]. Pavyzdžiui, sutrumpinto f ir aritmetiniai vidurkiai. suminė funkcija f(x) konverguoja į f(x) ir vidutiniškai at Esant papildomiems funkcijos f(x) apribojimams, gaunami konkretesni teiginiai. Pvz., Jei netoliese yra ribotas svyravimas X,
Tai
tiesa absoliučiai integruojamai funkcijai f(x), kuri yra sklandžiai kiekviename baigtiniame intervale, kur dešinėje esantis integralas suprantamas pagrindinės reikšmės (6) prasme. F. ir. taip pat tiriamas, darant prielaidą apie funkcijos f lokalų apibendrinimą ir pagal tam tikrus reikalavimus, kurie apriboja f elgseną Let, pavyzdžiui, tada
Kur riba suprantama konvergencijos prasme tvarkos vidurkio 
[tačiau (7) riba taip pat egzistuoja konvergencijos prasme beveik visur]. Paprasta formaįgyja šį rezultatą, kai p = 2 (žr. Plancherelio teorema).
Panašiai sukonstruojamos kelios funkcijos, kai mes kalbame apie apie funkcijos, apibrėžtos punkte, išplėtimą n matmenų erdvė. F. samprata ir. taip pat taikoma bendroms funkcijoms.
Lit.: Titchmarsh E., Furjė integralų teorijos įvadas, vert. anglų k., M.-L., 1948 m. Bochner S., Furjė integralų paskaitos, vert. iš anglų k., M., 1962; 3igmundas A., Trigonometrinė serija, vert. iš anglų k., 2 t., M., 1965 m.
P. I. Lizorkinas.
Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija.
I. M. Vinogradovas.
1977–1985 m. Pažiūrėkite, kas yra „FOURIER INTEGRAL“ kituose žodynuose:
Furjė integralas, Furjė integralas (bet: Furjė integralas) ... Rašybos žodynas-žinynas
- (Furjė integralas) funkcijos f(x), nurodytos visoje x ašyje arba pusiau ašyse, išskaidymas į harmonikų superpoziciją, kurios dažniai užpildo visą fl pusašį l, o tai suteikia ne skilimą. - periodinis. veikia harmoningai komponentai, kurių dažniai sudaro nuolatinį reikšmių rinkinį ... Didysis enciklopedinis politechnikos žodynas Problemos sprendimo būdas matematinė fizika
, remiantis kintamųjų atskyrimu. Šilumos laidumo teorijos uždaviniams spręsti pasiūlė J. Furjė ir visiškai bendrai suformulavo M. V. Ostrogradskis (žr. Ostrogradskis) 1828 m. Sprendimas... ... Didžioji sovietinė enciklopedija Viena iš neatsiejamų transformacijų, linijinis operatorius
F, veikiantis erdvėje, kurio elementai yra realiųjų kintamųjų funkcijos f(x). Minimali F apibrėžimo sritis laikoma be galo diferencijuojamų... ... linijinis operatorius
Kurzweil Henstock integralas, Riemano integralo apibendrinimas, leidžia visiškai išspręsti diferencijuojamos funkcijos atkūrimo iš jos išvestinės problemą. Nei Riemann integralas (įskaitant netinkamą), nei Lebesgue integralas nesuteikia... ... Vikipedija
Furjė integralas- - [L.G. Sumenko. Anglų-rusų informacinių technologijų žodynas. M.: Valstybės įmonė TsNIIS, 2003.] Temos informacinės technologijos apskritai EN Furjė integralas… Techninis vertėjo vadovas
Integralinė transformacija, veikianti n realiųjų kintamųjų funkcijų erdvėje: Funkcijoms Φ L1(Rn), sumuojamoms visoje Rn erdvėje, integralas (*) teisingai nustato tam tikrą funkciją F (x) = y(x) Funkcijos Furjė vaizdas j. Atvirkščiai...... Fizinė enciklopedija
Knygos
- Linksma matematika. Furjė analizė. Manga, Shibuya Mikio. Merginos Rika, Fumika ir Erina subūrė roko grupę ir nori pasirodyti festivalyje, tačiau vokalistės neranda. Ir tada yra matematikos testas, su kuriuo Fumika turi problemų. Protinga mergina...
Kurie jau gana nuobodūs. Ir jaučiu, kad atėjo momentas, kai laikas iš strateginių teorijos rezervų išgauti naujus konservus. Ar galima kaip nors kitaip išplėsti funkciją į seriją? Pavyzdžiui, išreikšti tiesios linijos atkarpą sinusais ir kosinusais? Atrodo neįtikėtina, bet tokios iš pažiūros nutolusios funkcijos gali būti
„susijungimas“. Be žinomų teorijos ir praktikos laipsnių, yra ir kitų būdų išplėsti funkciją į seriją.
Įjungta šią pamoką mes susitiksim trigonometrinės serijos Furjė, paliesime jo konvergencijos ir sumos klausimą ir, žinoma, išanalizuosime daugybę Furjė serijos funkcijų išplėtimo pavyzdžių. Straipsnį nuoširdžiai norėjau pavadinti „Fourier serija manekenams“, bet tai būtų neprotinga, nes norint išspręsti uždavinius, reikės žinių apie kitas matematinės analizės šakas ir šiek tiek praktinės patirties. Todėl preambulė bus panaši į astronautų mokymą =)
Pirma, turėtumėte pradėti studijuoti puikios formos puslapių medžiagą. Mieguistas, pailsėjęs ir blaivus. Be stiprios emocijos apie sulaužytą žiurkėno leteną ir įkyrios mintys apie gyvenimo sunkumus akvariumo žuvys. Tačiau Furjė seriją suprasti nėra sunku praktines užduotis jie tiesiog reikalauja padidėjusi koncentracija dėmesys – idealiu atveju turėtumėte visiškai atsiriboti nuo išorinių dirgiklių. Padėtį apsunkina tai, kad nėra lengvo būdo patikrinti sprendimą ir atsakyti. Taigi, jei jūsų sveikata yra žemesnė nei vidutinė, geriau daryti ką nors paprastesnio. Ar tai tiesa.
Antra, prieš skrisdami į kosmosą, turite ištirti prietaisų skydelį erdvėlaivis. Pradėkime nuo funkcijų, kurias reikia spustelėti mašinoje, verčių:
Dėl bet kokių gamtos vertybė :
1) . Iš tiesų, sinusoidas „susiuva“ x ašį per kiekvieną „pi“:
. Tuo atveju neigiamos reikšmės argumentas, rezultatas, žinoma, bus toks pat: .
2) . Tačiau ne visi tai žinojo. Kosinusas „pi“ yra „mirksėjimo“ atitikmuo:
Neigiamas argumentas reikalo nekeičia: 
.
Galbūt to užtenka.
Ir trečia, brangusis kosmonautų korpusas, jūs turite sugebėti... integruoti.
Ypač užtikrintai priskirti funkciją po diferencialiniu ženklu, integruoti dalimis ir būk taikoje su Niutono-Leibnizo formulė. Pradėkime svarbius pratimus prieš skrydį. Kategoriškai nerekomenduoju jo praleisti, kad vėliau nesusigraudinčiau nesvarumo būsenoje:
1 pavyzdys
Apskaičiuokite apibrėžtuosius integralus
kur paima gamtos vertybes.
Sprendimas: integracija vykdoma per kintamąjį „x“ ir šiame etape diskretusis kintamasis „en“ laikomas konstanta. Visuose integraluose funkciją padėkite po diferencialo ženklu:
Trumpa sprendimo versija, kurią būtų naudinga taikyti, atrodo taip:
Įpraskime:
Likę keturi taškai priklauso tik jums. Stenkitės sąžiningai atlikti užduotį ir trumpai parašyti integralus. Pamokos pabaigoje sprendimų pavyzdžiai.
Atlikę pratimus KOKYBĖJE apsivelkame skafandrus
ir ruošiamės pradėti!
Funkcijos išplėtimas į Furjė seriją intervale
Apsvarstykite kai kurias funkcijas pasiryžusi bent jau tam tikrą laiką (o galbūt ir ilgesnį laiką). Jei ši funkcija yra integruota į intervalą, ji gali būti išplėsta į trigonometrinę Furjė serija:
, kur yra vadinamieji Furjė koeficientai.
Tokiu atveju skambinama numeriu skilimo laikotarpis, o skaičius yra skilimo pusinės eliminacijos laikas.
Akivaizdu, kad į bendras atvejis Furjė seriją sudaro sinusai ir kosinusai: 
Iš tiesų, parašykime tai išsamiai:
Nulinis serijos terminas paprastai rašomas forma .
Furjė koeficientai apskaičiuojami naudojant šias formules:
Puikiai suprantu, kad pradedantiesiems nagrinėti temą vis dar neaišku dėl naujų terminų: skilimo laikotarpis, pusės ciklas, Furjė koeficientai ir tt Neišsigąskite, tai nepalyginama su jauduliu prieš išeinant atvira erdvė. Supraskime viską toliau pateiktame pavyzdyje, kurį logiška paklausti savęs prieš vykdydami praktiniais klausimais:
Ką reikia padaryti atliekant šias užduotis?
Išplėskite funkciją į Furjė seriją. Be to, dažnai reikia pavaizduoti funkcijos grafiką, serijų sumos grafiką, dalinė suma o įmantrių profesoriaus fantazijų atveju daryti ką nors kita.
Kaip išplėsti funkciją į Furjė seriją?
Iš esmės reikia rasti Furjė koeficientai, tai yra, sudarykite ir apskaičiuokite tris apibrėžtasis integralas.
Nukopijuokite bendrąją Furjė serijos formą ir tris darbo formules į savo bloknotą. Labai džiaugiuosi, kad kai kurie svetainės lankytojai man prieš akis įgyvendina savo vaikystės svajonę tapti astronautu =)
2 pavyzdys
Išplėskite funkciją į Furjė seriją intervale. Sukurkite grafiką, eilučių sumos ir dalinės sumos grafiką.
Sprendimas: Pirmoji užduoties dalis yra išplėsti funkciją į Furjė eilutę.
Pradžia yra standartinė, būtinai užsirašykite, kad:
Šioje užduotyje išsiplėtimo laikotarpis yra pusė periodo.
Išplėskime funkciją į Furjė seriją intervale: 
Naudojant atitinkamas formules, suraskime Furjė koeficientai. Dabar turime sudaryti ir apskaičiuoti tris apibrėžtasis integralas. Patogumui sunumeruosiu taškus:
1) Pirmasis integralas yra paprasčiausias, tačiau jam taip pat reikia akių obuolių: 
2) Naudokite antrą formulę:
Šis integralas yra gerai žinomas ir jis ima po gabalėlį: 
Naudotas radus funkcijos įtraukimo po diferencialiniu ženklu metodas.
Nagrinėjamoje užduotyje patogiau iš karto naudoti formulė integravimui dalimis į apibrėžtąjį integralą 
:
Pora techninių pastabų. Pirma, pritaikius formulę visa išraiška turi būti įterpta į didelius skliaustus, nes prieš pradinį integralą yra konstanta. Nepraraskime jos! Skliausteliuose galima išplėsti bet kurį kitą veiksmą. Tai padariau kaip paskutinę priemonę. Pirmame "gabale" 
Keičiant, kaip matote, rodome ypatingą dėmesį, konstanta nenaudojama, o integravimo ribos pakeičiamos į produktą. Šis veiksmas paryškinta laužtiniuose skliaustuose. Na, jūs esate susipažinę su antrojo formulės „gabalo“ integralu iš treniruočių užduoties;-)
O svarbiausia – ypatinga koncentracija!
3) Ieškome trečiojo Furjė koeficiento:
Gaunamas ankstesnio integralo giminaitis, kuris taip pat yra integruojasi dalimis:
Šis atvejis yra šiek tiek sudėtingesnis, žingsnis po žingsnio pakomentuosiu tolesnius veiksmus: 
(1) Išraiška yra visiškai uždaryta dideliuose skliaustuose. Nenorėjau atrodyti nuobodžiai, jie per dažnai praranda konstantą.
(2) V šiuo atveju Iš karto atidariau tuos didelius skliaustus. Ypatingas dėmesys
Atsiduodame pirmajam „gabalui“: nuolatinis rūko nuošalyje ir nedalyvauja integravimo (ir) į gaminį ribų pakeitime. Dėl įrašo netvarkos šį veiksmą vėlgi patartina paryškinti laužtiniais skliaustais. Su antruoju "gabalu" 
viskas paprasčiau: čia trupmena atsirado atidarius didelius skliaustus, o konstanta - dėl pažįstamo integralo integravimo;-)
(3) Transformacijas atliekame laužtiniuose skliaustuose, o dešiniajame integrale pakeičiame integravimo ribas.
(4) Ištraukite mirksinčią lemputę laužtiniuose skliaustuose: , po to atidarome vidinius skliaustus: .
(5) Panaikiname 1 ir –1 skliausteliuose ir padarome galutinius supaprastinimus.
Galiausiai randami visi trys Furjė koeficientai: 
Pakeiskime juos į formulę 
:
Tuo pačiu metu nepamirškite padalyti per pusę. Paskutiniame žingsnyje konstanta („minus du“), kuri nepriklauso nuo „en“, paimama už sumos ribų.
Taigi, mes gavome funkcijos išplėtimą į Furjė eilutę intervale: 
Panagrinėkime Furjė eilutės konvergencijos klausimą. Konkrečiai paaiškinsiu teoriją Dirichlet teorema, pažodžiui „ant pirštų“, taigi, jei jums reikia griežtų formuluočių, skaitykite vadovėlį matematinė analizė (pavyzdžiui, 2-asis Bohano tomas; arba 3-asis Fichtenholtzo tomas, bet tai yra sunkiau).
Antroje uždavinio dalyje reikia nubraižyti grafiką, serijos sumos grafiką ir dalinės sumos grafiką.
Funkcijos grafikas yra įprastas tiesi linija plokštumoje, kuris nubrėžtas juoda punktyrine linija: 
Išsiaiškinkime serijos sumą. Kaip žinote, funkcinė serija susilieti su funkcijomis. Mūsų atveju sukonstruota Furjė serija 
bet kuriai "x" reikšmei susijungs su funkcija, kuri rodoma raudonai. Ši funkcija ištveria 1-osios rūšies plyšimai taškuose, bet taip pat yra apibrėžtas juose (raudoni taškai brėžinyje)
Taigi: 
. Nesunku pastebėti, kad ji pastebimai skiriasi nuo pradinės funkcijos, todėl įraše 
Naudojama tildė, o ne lygybės ženklas.
Išstudijuokime algoritmą, kuris yra patogus serijos sumai sudaryti.
Centriniame intervale Furjė serija susilieja su pačia funkcija (centrinis raudonas segmentas sutampa su juoda punktyrine tiesinės funkcijos linija).
Dabar pakalbėkime šiek tiek apie nagrinėjamo trigonometrinio išplėtimo pobūdį. Furjė serija 
įtraukiamos tik periodinės funkcijos (konstanta, sinusai ir kosinusai), taigi eilutės suma 
taip pat atstovauja periodinė funkcija
.
Ką tai reiškia mūsų konkretus pavyzdys? Ir tai reiškia, kad serijos suma 
–būtinai periodiškai o raudonas intervalo segmentas turi būti be galo kartojamas kairėje ir dešinėje.
Manau, kad dabar pagaliau paaiškėjo frazės „skilimo laikotarpis“ reikšmė. Paprasčiau tariant, kiekvieną kartą situacija kartojasi vėl ir vėl.
Praktikoje dažniausiai pakanka pavaizduoti tris skilimo laikotarpius, kaip tai daroma brėžinyje. Na, ir kaimyninių laikotarpių „kelmai“ - kad būtų aišku, kad grafikas tęsiasi.
Ypatingas pomėgis atstovauti 1 tipo nenutrūkstamumo taškai. Tokiuose taškuose Furjė serija susilieja į izoliuotas reikšmes, kurios yra tiksliai pertraukos „šuolio“ viduryje (raudoni taškai brėžinyje). Kaip sužinoti šių taškų ordinates? Pirma, suraskime „viršutinio aukšto“ ordinates: norėdami tai padaryti, apskaičiuojame funkcijos reikšmę pačiame dešiniajame taške. centrinis laikotarpis skilimas: . Norint apskaičiuoti „apatinio aukšto“ ordinates, paprasčiausias būdas yra paimti to paties laikotarpio kairiausią reikšmę: 
. Vidurkio ordinatė yra vidurkis aritmetinė suma"viršuje ir apačioje": . Malonus faktas yra tai, kad konstruojant piešinį iš karto pamatysite, ar vidurys paskaičiuotas teisingai, ar neteisingai.
Sudarykime dalinę eilutės sumą ir tuo pačiu pakartokime termino „konvergencija“ reikšmę. Motyvas taip pat žinomas iš pamokos apie skaičių serijos suma. Leiskite mums išsamiai apibūdinti savo turtą:
Norėdami sudaryti dalinę sumą, turite parašyti nulį + dar du eilutės narius. tai yra
Brėžinyje pavaizduotas funkcijos grafikas žalias, ir, kaip matote, gana stipriai „apvynioja“ visą kiekį. Jei atsižvelgsime į dalinę penkių serijos narių sumą, tada šios funkcijos grafikas dar tiksliau apytiksliai apytiksliai apskaičiuos raudonas linijas, jei yra šimtas, tada „žalia gyvatė“ iš tikrųjų visiškai susilies su raudonais segmentais; ir tt Taigi Furjė eilutė suartėja su jos suma.
Įdomu pastebėti, kad bet kokia dalinė suma yra nuolatinė funkcija, tačiau bendra serijų suma vis dar nenutrūksta.
Praktikoje ne taip jau retai pavyksta sudaryti dalinės sumos grafiką. Kaip tai padaryti? Mūsų atveju būtina atsižvelgti į atkarpos funkciją, apskaičiuoti jos reikšmes atkarpos galuose ir tarpiniuose taškuose (kuo daugiau taškų atsižvelgsite, tuo tikslesnis bus grafikas). Tada turėtumėte pažymėti šiuos taškus brėžinyje ir atsargiai nubrėžti laikotarpio grafiką, o tada „atkartoti“ jį į gretimus intervalus. Kaip kitaip? Juk aproksimacija taip pat yra periodinė funkcija... ...tam tikra prasme jos grafikas man primena sklandų širdies ritmą medicinos prietaiso ekrane.
Žinoma, statyti nėra labai patogu, nes turite būti ypač atsargūs, išlaikyti ne mažesnį nei pusės milimetro tikslumą. Tačiau aš pamaloninsiu skaitytojus, kuriems nėra patogu piešti - esant „tikrai“ problemai, ne visada reikia piešti, maždaug 50% atvejų, kai reikia išplėsti funkciją į Furjė seriją, ir viskas .
Užbaigę piešinį, atliekame užduotį:
Atsakymas: 
Daugelyje užduočių nukenčia funkcija 1-osios rūšies plyšimas tiesiai skilimo laikotarpiu:
3 pavyzdys
Išplėskite intervale nurodytą funkciją į Furjė eilutę. Nubraižykite funkcijos ir visos eilučių sumos grafiką.
Siūloma funkcija nurodoma dalimis (ir, atkreipkite dėmesį, tik segmente) ir ištveria 1-osios rūšies plyšimas taške. Ar galima apskaičiuoti Furjė koeficientus? Jokių problemų. Tiek kairioji, tiek dešinė funkcijos pusės yra integruojamos savo intervalais, todėl kiekvienoje iš trijų formulių integralai turi būti pavaizduoti kaip dviejų integralų suma. Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kaip tai daroma nuliniam koeficientui:
Antrasis integralas pasirodė esąs lygus nuliui, dėl ko sumažėjo darbo, tačiau taip būna ne visada.
Kiti du Furjė koeficientai aprašomi panašiai.
Kaip parodyti serijos sumą? Kairiajame intervale nubrėžiame tiesios linijos atkarpą, o intervale - tiesios atkarpą (ašies atkarpą paryškiname paryškintu ir paryškintu). Tai yra, išplėtimo intervale serijų suma sutampa su funkcija visur, išskyrus tris „blogus“ taškus. Funkcijos nepertraukiamumo taške Furjė serija susilies į izoliuotą reikšmę, kuri yra tiksliai pertraukos „šuolio“ viduryje. Žodžiu pamatyti nesunku: kairės pusės riba: , dešinės pusės riba: 
ir, aišku, vidurio taško ordinatė yra 0,5.
Dėl sumos periodiškumo paveikslas turi būti „padaugintas“ į gretimus laikotarpius, ypač tas pats turi būti pavaizduotas intervaluose ir . Tuo pačiu metu Furjė eilutės taškuose susilygins su medianinėmis reikšmėmis.
Tiesą sakant, čia nieko naujo.
Pabandykite patys susidoroti su šia užduotimi. Apytikslis pavyzdys galutinis dizainas ir piešimas pamokos pabaigoje.
Funkcijos išplėtimas į Furjė eilutę per savavališką laikotarpį
Savavališkam skilimo laikotarpiui, kur „el“ yra bet koks teigiamas skaičius, Furjė eilutės ir Furjė koeficientų formulės skiriasi šiek tiek sudėtingu sinuso ir kosinuso argumentu:
Jei , tada gauname intervalų formules, su kuriomis pradėjome.
Problemos sprendimo algoritmas ir principai yra visiškai išsaugoti, tačiau techninis skaičiavimų sudėtingumas didėja:
4 pavyzdys
Išplėskite funkciją į Furjė eilutę ir nubraižykite sumą. 
Sprendimas: iš tikrųjų 3 pavyzdžio analogas su 1-osios rūšies plyšimas taške. Šioje užduotyje išsiplėtimo laikotarpis yra pusė periodo. Funkcija apibrėžiama tik pusės intervale, tačiau tai nekeičia reikalo – svarbu, kad abi funkcijos dalys būtų integruojamos.
Išplėskime funkciją į Furjė seriją:
Kadangi funkcija pradžioje yra nenutrūkstama, kiekvienas Furjė koeficientas turėtų būti parašytas kaip dviejų integralų suma:
1) Pirmąjį integralą parašysiu kuo išsamiau:
2) Atidžiai žiūrime į Mėnulio paviršių:
Antrasis integralas imk po gabalėlį:
Ko ieškoti atidus dėmesys, po to, kai atidarome sprendimo tęsinį su žvaigždute?
Pirma, mes neprarandame pirmojo integralo 
, kur iš karto vykdome pasirašydamas diferencialinį ženklą. Antra, nepamirškite nelemtos konstantos prieš didžiuosius skliaustus ir nesusipainiokite dėl ženklų naudojant formulę 
. Didelius laikiklius vis tiek patogiau atidaryti iškart kitame žingsnyje.
Likusi dalis – technikos reikalas, sunkumų gali kilti tik dėl nepakankamos integralų sprendimo patirties.
Taip, ne veltui žinomi kolegos prancūzų matematikas Furjė pasipiktino – kaip jis drįsta sutvarkyti funkcijas trigonometrinės serijos?! =) Beje, turbūt visus domina praktinė nagrinėjamos užduoties prasmė. Pats Furjė dirbo matematinis modelisšilumos laidumą, o vėliau jo vardu pavadinta serija pradėta naudoti tiriant daugybę periodinių procesų, kurie matomi ir nematomi aplinkiniame pasaulyje. Dabar, beje, pagavau save galvojant, kad neatsitiktinai antrojo pavyzdžio grafiką palyginau su periodiniu širdies ritmu. Norintieji gali susipažinti su praktinis pritaikymas Furjė transformacija trečiųjų šalių šaltiniuose. ...Nors geriau to nedaryti – tai bus prisiminta kaip Pirmoji meilė =)
3) Atsižvelgiant į ne kartą minėtus silpnosios grandys, pažvelkime į trečiąjį koeficientą:
Integruokime dalimis: 
Rastus Furjė koeficientus pakeiskime į formulę 
, nepamirštant nulinio koeficiento padalyti per pusę:
Nubraižykime serijos sumą. Trumpai pakartokime procedūrą: intervale statome tiesę, o intervale – tiesę. Jei „x“ reikšmė lygi nuliui, dedame tašką tarpo „šuolio“ viduryje ir „pakartojame“ gretimų laikotarpių grafiką: 
Periodų „susijungimo vietose“ suma taip pat bus lygi tarpo „šuolio“ vidurio taškams.
Paruošta. Leiskite jums priminti, kad pati funkcija yra sąlyga apibrėžta tik per pusę intervalo ir, aišku, sutampa su intervalų eilučių suma
Atsakymas:
Kartais dalimis funkcija vyksta ir yra nenutrūkstamas skilimo laikotarpiu. Paprasčiausias pavyzdys: 
. Sprendimas (žr. Bohano 2 tomą) tas pats kaip dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose: nepaisant funkcijos tęstinumas taške kiekvienas Furjė koeficientas išreiškiamas kaip dviejų integralų suma.
Dėl skilimo intervalo 1 tipo nenutrūkstamumo taškai ir (arba) gali būti daugiau grafiko „sankryžos“ taškų (du, trys ir paprastai bet kuris galutinis kiekis). Jei funkcija yra integruota kiekvienoje dalyje, ji taip pat gali būti išplečiama Furjė serijoje. Bet nuo praktinės patirties Nepamenu tokio žiaurumo. Tačiau yra ir sunkesnių užduočių nei ką tik aptartos, o straipsnio pabaigoje pateikiamos nuorodos į padidinto sudėtingumo Furjė serijas visiems.
Tuo tarpu atsipalaiduokime, atsiloškime ant kėdžių ir apmąstykime begalinį žvaigždėtos platybės:
5 pavyzdys
Išplėskite funkciją į Furjė eilutę intervale ir nubraižykite serijos sumą.
Šioje problemoje funkcija tęstinis dėl išsiplėtimo pusės intervalo, kuris supaprastina sprendimą. Viskas labai panašu į 2 pavyzdį. Nuo erdvėlaivio nepabėgsi – teks apsispręsti =) Apytikslis dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje, grafikas pridedamas.
Furjė serijos lyginių ir nelyginių funkcijų išplėtimas
Naudojant lygines ir nelygines funkcijas, problemos sprendimo procesas pastebimai supaprastinamas. Ir štai kodėl. Grįžkime prie Furjė serijos funkcijos išplėtimo su periodu „du pi“ 
ir savavališkas laikotarpis „du el“ 
.
Tarkime, kad mūsų funkcija yra lygi. Bendrame serijos termine, kaip matote, yra lyginiai kosinusai ir nelyginiai sinusai. O jei plečiame LYGinę funkciją, kam mums reikia nelyginių sinusų?! Iš naujo nustatykime nereikalingą koeficientą: .
Taigi, Lyginę funkciją Furjė serijoje galima išplėsti tik kosinusais:
Kadangi lyginių funkcijų integralai išilgai integracijos segmento, kuris yra simetriškas nulio atžvilgiu, galima padvigubinti, tada likę Furjė koeficientai supaprastinami.
Dėl tarpo: 
Savavališkam intervalui: 
Vadovėlių pavyzdžiai, kuriuos galima rasti beveik bet kuriame matematinės analizės vadovėlyje, apima lyginių funkcijų išplėtimus 
. Be to, su jais ne kartą teko susidurti mano asmeninėje praktikoje:
6 pavyzdys
Funkcija duota. Reikalinga:
1) išplėskite funkciją į Furjė eilutę su periodu , kur yra savavališkas teigiamas skaičius;
2) užrašykite intervalo išplėtimą, sukonstruokite funkciją ir nubraižykite bendrą eilučių sumą.
Sprendimas: pirmoje pastraipoje siūloma išspręsti problemą bendras vaizdas, ir tai labai patogu! Jei reikia, tiesiog pakeiskite savo vertę.
1) Šioje užduotyje išsiplėtimo laikotarpis yra pusės periodas. Per tolesni veiksmai, ypač integruojant, „el“ laikomas konstanta
Funkcija yra lygi, o tai reiškia, kad ją galima išplėsti į Furjė seriją tik kosinusais: 
.
Furjė koeficientų ieškome naudodami formules 
. Atkreipkite dėmesį į jų besąlyginius pranašumus. Pirma, integracija atliekama per teigiamą išplėtimo segmentą, o tai reiškia, kad mes saugiai atsikratome modulio 
, atsižvelgiant tik į „X“ iš dviejų dalių. Ir, antra, integracija pastebimai supaprastinta.
Du: 
Integruokime dalimis:
Taigi:
, o konstanta , kuri nepriklauso nuo „en“, paimama už sumos ribų.
Atsakymas: 
2) Parašykime išplėtimą ant intervalo, šiuo tikslu į bendroji formulė pakaitalas norimą vertę pusė ciklo:
Viena iš galingų matematinės fizikos problemų tyrimo priemonių yra integralinių transformacijų metodas. Tegul funkcija f(x) pateikiama intervale (a, 6), baigtiniame arba begaliniame. Funkcijos f(x) integralinė transformacija yra funkcija, kur K(x, w) yra funkcija, fiksuota tam tikrai transformacijai, vadinama transformacijos branduoliu (manoma, kad integralas (*) egzistuoja savo netinkama prasmė). §1. Furjė integralas Bet kuri funkcija f(x), kuri intervale [-f, I] tenkina išplėtimo į Furjė eilutę sąlygas, šiame intervale gali būti pavaizduota trigonometrine serija a* ir 6′ serijos (. 1) nustatomi pagal Eilerio-Furjė formules: Furjė transformacija Furjė integralas Sudėtinga forma integrali Furjė transformacija Kosinuso ir sinuso transformacija Amplitudė ir fazių spektrai Savybių programos Dešinėje lygybės (1) pusėje esančią seriją galima parašyti kitokia forma. Šiuo tikslu iš (2) formulių įvesime į jį koeficientų a" ir op reikšmes ir įtrauksime į integralų cos ^ x ir sin x ženklus (tai įmanoma, nes integracijos kintamasis yra m) O) ir naudokite skirtumo kosinuso formulę. Turėsime Jei funkcija /(g) iš pradžių buvo apibrėžta intervale skaičių ašis, didesnis nei atkarpa [-1,1] (pavyzdžiui, visoje ašyje), tada išplėtimas (3) atkurs šios funkcijos reikšmes tik atkarpoje [-1,1] ir tęsis per visą skaitinė ašis kaip periodinė funkcija su periodu 21 (1 pav.). Todėl, jei funkcija f(x) (paprastai kalbant, neperiodinė) apibrėžta visoje skaičių eilutėje, formulėje (3) galima bandyti pereiti prie ribos ties I +oo. Šiuo atveju natūralu reikalauti, kad būtų įvykdytos šios sąlygos: 1. f(x) atitinka Furjė serijos skaidomumo sąlygas bet kuriuo paskutinis segmentas ašis Ox\ 2. Funkcija f(x) yra absoliučiai integruojama visoje skaičių ašyje. Kai įvykdoma 2 sąlyga, pirmasis lygybės (3) narys linkęs į nulį kaip I -* +oo. Tiesą sakant, pabandykime nustatyti, į ką (3) dešinėje pusėje esanti suma virsta riboje ties I +oo. Tarkime, tada suma dešinėje (3) pusėje įgauna formą Dėl absoliuti konvergencija integralas, ši didelė I suma mažai skiriasi nuo kintamojo £, sudarytos iš pokyčio intervalo (0, +oo), integralios sumos. Todėl natūralu tikėtis, kad suma (5) bus eiti į integralą Kita vertus, iš formulės ( 3) gauname lygybę (7) formulės galiojimo pakankamą sąlygą išreiškia tokia teorema. 1 teorema. Jei funkcija f(x) yra absoliučiai integruojama visoje realioje tiesėje ir turi kartu su jos išvestine, galutinis skaičius pirmos rūšies nenutrūkstamumo taškai bet kuriame intervale [a, 6], tada lygybė yra teisinga bet kuriame taške xq, kuris yra pirmosios rūšies funkcijos /(x), integralo reikšmė. (7) dešinėje yra lygi formulei (7) vadinama Furjė integralo formule, o integralas dešinėje yra Furjė integralas. Jeigu naudosime skirtumo kosinuso formulę, tai (7) formulę galima parašyti forma Funkcijos a(ξ), b(ζ) yra 2m periodinės funkcijos atitinkamų Furjė koeficientų an ir bn analogai. , tačiau pastarieji yra apibrėžti diskrečiųjų vertybių n, o a(0> BUT yra apibrėžti nuolatinės vertės£ G (-oo, +oo). Sudėtinga Furjė integralo forma Darant prielaidą, kad /(x) yra absoliučiai integruota visoje Ox ašyje, apsvarstykite integralą Šis integralas tolygiai konverguoja, nes ir todėl reiškia ištisinę ir, be abejo, nelyginę funkciją Bet tada Kita vertus, integralas yra lygi funkcija kintamasis, todėl Furjė integralo formulę galima parašyti taip: Padauginkite lygybę iš įsivaizduojamas vienetas i ir pridėkite prie lygybės (10). Mes gauname iš kur, remiantis Eilerio formule, turėsime Tai sudėtinga Furjė integralo forma. Čia išorinė integracija virš £ suprantama Koši pagrindinės reikšmės prasme: §2. Furjė transformacija. Kosinuso ir sinuso Furjė transformacijos Tegul funkcija f(x) yra sklandžiai bet kuriame baigtiniame Ox ašies atkarpoje ir absoliučiai integruojama visoje ašyje. Apibrėžimas. Funkcija, iš kurios pagal Eilerio formulę turėsime, vadinama funkcijos /(r) Furjė transformacija (spektrinė funkcija). Tai yra funkcijos /(r) integrali transformacija intervale (-oo,+oo) naudojant Furjė integralo formulę. Tai yra vadinamoji atvirkštinė konversija Furjė, kuris suteikia perėjimą iš F(ξ) į f(x). Kartais tiesioginis konvertavimas Furjė transformacija apibrėžiama taip: Tada atvirkštinė Furjė transformacija nustatoma pagal formulę Funkcijos /(x) Furjė transformacija taip pat apibrėžiama taip: FUJR TRANSFORMAS Furjė integralas Integralo Furjė transformacijos kompleksinė forma kosinuso ir sinuso transformacijos Amplitudė ir fazių spektrai Savybės Taikymas Tada, savo ruožtu, Su šia padėtimi Koeficientas ^ yra gana savavališkas: jis gali būti įtrauktas į formulę (1") arba į formulę (2"). 1 pavyzdys. Raskite funkcijos Furjė transformaciją -4 Turime Ši lygybė leidžia diferencijuoti £ atžvilgiu po integralo ženklu (integralas, gautas diferencijavus, tolygiai konverguoja, kai ( priklauso bet kuriam baigtiniam segmentui): Integruodami dalimis, turėsime Neintegralinis terminas išnyksta, ir mes gauname iš kur (C yra integracijos konstanta (4), randame C = F(0). Yra žinoma, kad ypač dėl) gauname tą 2 pavyzdį (kodemetoriaus išleidimas per kopropileną). Panagrinėkime funkciją 4 Funkcijos F(ξ) spektrams gauname Vadinasi (2 pav.). Funkcijos f(x) absoliutaus integravimo visoje skaičių eilutėje sąlyga yra labai griežta. Tai neįtraukia, pavyzdžiui, tokių elementarios funkcijos, as) = cos x, f(x) = e1, kuriai Furjė transformacija (čia nagrinėjama klasikine forma) neegzistuoja. Furjė transformaciją turi tik tos funkcijos, kurios greitai pasiekia nulį kaip |x|. -+ +oo (kaip 1 ir 2 pavyzdžiuose). 2.1. Kosinuso ir sinuso Furjė transformacijos Naudodami kosinuso ir skirtumo formulę Furjė integralo formulę perrašome tokia forma: Tegul f(x) yra lyginė funkcija. Tada gauname lygybę (5). Nelyginio f(x) atveju gauname panašiai, jei f(x) pateikta tik (0, -foo), tada formulė (6) išplečia f(x) į visą. Jaučio ašis lyginiu būdu, o formulė (7) – nelyginė. (7) Apibrėžimas. Funkcija vadinama Furjė kosinuso transformacija f(x). Iš (6) matyti, kad lyginei funkcijai f(x) Tai reiškia, kad f(x), savo ruožtu, yra Fc(£) kosinuso transformacija. Kitaip tariant, funkcijos / ir Fc yra abipusės kosinuso transformacijos. Apibrėžimas. Funkcija vadinama f(x) Furjė sinuso transformacija. Iš (7) gauname, kad nelyginė funkcija f(x) t.y. f ir Fs yra abipusės sinusinės transformacijos. 3 pavyzdys (stačiakampis impulsas). Tegul f(t) yra lyginė funkcija, apibrėžta taip: (3 pav.). Gautu rezultatu apskaičiuokime integralą. Pagal formulę (9) gauname 3 pav. 0 0 Taške t = 0 funkcija f(t) yra tolydi ir lygi vienybei. Todėl iš (12") gauname 2.2. Furjė integralo amplitudės ir fazių spektrai Tegul periodinė funkcija /(x), kurios periodas yra 2m, bus išplėsta į Furjė eilutę. Šią lygybę galima parašyti tokia forma, kur yra svyravimo amplitudė su dažniu n, yra fazė Šiame kelyje mes pasiekiame periodinės funkcijos amplitudės ir fazės spektro sąvokas ), tam tikromis sąlygomis pasirodo, kad ją galima pavaizduoti Furjė integralu, kuris išplečia šią funkciją visais dažniais (išplėtimas per nuolatinį dažnių spektrą). Spektrinė funkcija , arba Furjė integralo, vadinama išraiška (tiesioginė funkcijos f Furjė transformacija vadinama amplitudės spektru, o funkcija Ф«) = -аggSfc) vadinama funkcijos f(«) fazių spektru. Amplitudės spektras A(ξ) yra dažnio ζ įtakos funkcijai f(x) matas. 4 pavyzdys. Raskite funkcijos 4 amplitudės ir fazės spektrus Raskite spektrinę funkciją Iš čia Šių funkcijų grafikai pavaizduoti pav. 4. §3. Furjė transformacijos savybės 1. Tiesiškumas. Jei ir G(0) yra atitinkamai funkcijų f(x) ir d(x) Furjė transformacijos, tai bet kuriai konstantai a ir p funkcijos a f(x) + p d(x) Furjė transformacija bus funkcija a Naudojant integralo tiesiškumo savybę, Furjė transformacija yra tiesinis operatorius visoje skaitinėje ašyje, tada F(()) yra ribojama visoje ašyje – funkcijos f(x) funkcija Furjė transformacijos apibrėžimas, parodykite, kad funkcija f(z) turi Furjė transformaciją F(0> h -). realus skaičius. Parodykite, kad 3. Furjė transformacijos ir diferenciacijos procesai. Tegul absoliučiai integruojama funkcija f(x) turi išvestinę f"(x), kuri taip pat yra absoliučiai integruojama visoje Ox ašyje, todėl f(x) linkusi į nulį kaip |x| -» +oo. Atsižvelgiant į f" (x) sklandi funkcija, rašome Integruojant dalimis, išeinantis integralo terminas išnyks (kadangi, ir gauname Taigi funkcijos f(x) diferenciacija atitinka jos Furjė vaizdo ^Π/] dauginimą iš koeficiento Jei funkcija f(x) turi sklandžius absoliučiai neapibrėžiamus išvestinius iki eilės m imtinai ir visos jos, kaip ir pati funkcija f(x), yra linkusios į nulį, tada, integruojant dalimis reikiamą skaičių kartų, gauname Furjė transformaciją yra labai naudingas būtent todėl, kad diferenciacijos operaciją pakeičia daugybos iš reikšmės operacija ir taip supaprastina tam tikrų tipų diferencialinių lygčių integravimo problemą, nes absoliučiai integruojamos funkcijos f^k\x) Furjė transformacija yra. ribota funkcija iš (2 savybė), tada iš santykio (2) gauname tokį įvertinimą: FURJ TRANSFORMAS Furjė integralas Sudėtinga integralo Furjė transformacijos forma Kosinuso ir sinuso transformacijos Amplitudės ir fazių spektrai Savybės Taikymas Iš šio įvertinimo seka: nei daugiau funkcijų f(x) turi absoliučiai integruojamas išvestines, tuo greičiau jos Furjė transformacija linkusi į nulį. komentuoti. Sąlyga yra gana natūrali, nes įprasta Furjė integralų teorija nagrinėja procesus, kurie viena ar kita prasme turi pradžią ir pabaigą, bet nesitęsia neribotą laiką maždaug tokiu pat intensyvumu. 4. Ryšys tarp funkcijos f(x) mažėjimo greičio kaip |z| -» -f oo ir jo ketverto transformacijos sklandumas. Tarkime, kad ne tik f(x), bet ir jo sandauga xf(x) yra absoliučiai integruojama funkcija visoje Ox ašyje. Tada Furjė transformacija) bus diferencijuojama funkcija. Iš tiesų, formali diferenciacija integrando parametro £ atžvilgiu veda į integralą, kuris yra absoliučiai ir tolygiai konverguojantis parametro atžvilgiu, todėl diferencijavimas yra įmanomas, t. argumentas x eina po Furjė transformacijos į operaciją t . Jei kartu su funkcija f(x) funkcijos yra absoliučiai integruojamos visoje Ox ašyje, tada diferenciacijos procesą galima tęsti. Gauname, kad funkcija turi išvestinių iki m eilės imtinai, ir Taigi kuo greičiau funkcija f(x) mažėja, tuo funkcija tampa sklandesnė 2 teorema (apie grąžtą). Tegu yra atitinkamai funkcijų f,(x) ir f2(x) Furjė transformacijos. Tada kur dvigubas integralas susilieja absoliučiai dešinėje pusėje. Įdėkime - x. Tada turėsime arba, keičiant integravimo tvarką, Funkcija vadinama funkcijų konvoliucija ir žymima simboliu Formulė (1) dabar gali būti užrašoma taip: Tai rodo, kad funkcijų f konvoliucijos Furjė transformacija \(x) ir f2(x) yra lygūs y/2x, padaugintam iš sujungiamųjų funkcijų Furjė transformacijų sandaugos. Lengva montuoti šias savybes konvoliucija: 1) tiesiškumas: 2) komutaciškumas: §4. Furjė transformacijos taikymai 1. Tegul P(^) yra tiesinė diferencialinis operatorius užsakyti m s pastovūs koeficientai, Naudodami funkcijos y(x) išvestinių Furjė transformacijos formulę, randame "Apsvarstykite diferencialinę lygtį, kur P yra diferencialinis operatorius, pateiktas aukščiau. Tarkime, kad norimas sprendinys y(x) turi Furjė transformaciją y (O. ir funkcija f(x) turi transformaciją /(£) Pritaikę Furjė transformaciją (1) lygčiai, gauname vietoj diferencialo algebrinė lygtis ašyje, palyginti su tuo, kur formaliai simbolis žymi atvirkštinę Furjė transformaciją. Pagrindinis šio metodo taikymo apribojimas yra dėl šio fakto. Įprastas sprendimas diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais yra eL*, eaz cos fix formos funkcijos, nuodėmė px. Jie nėra visiškai integruoti į -oo ašį< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о laisvos vibracijos begalinės vienalytės eilutės, kai nurodytas pradinis nuokrypis<р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и
I. Furjė transformacijos.
1 apibrėžimas. Funkcija
Skambino Furjė transformacija funkcijas
Integralas čia suprantamas pagrindinės vertės prasme
ir manoma, kad jis egzistuoja.
Jei yra absoliučiai integruojama funkcija ℝ, tada, kadangi 
esant , bet kuriai tokiai funkcijai Furjė transformacija (1) yra prasminga, o integralas (1) absoliučiai ir tolygiai konverguoja išilgai visos tiesės ℝ.
2 apibrėžimas. Jeigu 
– Funkcijos Furjė transformacija
, tada palyginamasis integralas
Suprantama pagrindinės reikšmės prasme, vadinama Funkcijos Furjė integralas .
1 pavyzdys. Raskite funkcijos Furjė transformaciją
Pateikta funkcija yra visiškai integruota į , iš tikrųjų,
3 apibrėžimas. Integralai suprantami pagrindinės vertės prasme
Atitinkamai pavadintas kosinusas- Ir funkcijos sinuso-Furier transformacijos .
Tikėdamas , 
, 
, gauname ryšį, kuris mums iš dalies jau pažįstamas iš Furjė serijos
Kaip matyti iš santykių (3), (4),
Formulės (5), (6) rodo, kad Furjė transformacijos yra visiškai apibrėžtos visoje eilutėje, jei jos žinomos tik dėl neneigiamų argumento verčių.
2 pavyzdys. Raskite funkcijų kosinusą ir sinusą Furjė transformacijas
Kaip parodyta 1 pavyzdyje, nurodyta funkcija yra visiškai integruota į .
Raskime jo kosinusą – Furjė transformaciją naudodami (3) formulę:
Panašiai nesunku rasti funkcijos sinusą – Furjė transformaciją f(x) pagal (4) formulę:
Naudojant 1 ir 2 pavyzdžius, lengva patikrinti tiesioginiu pakeitimu f(x) santykis (5) tenkinamas.
Jei funkcija yra realios vertės, tai iš formulių (5), (6) šiuo atveju tai išplaukia
Kadangi šiuo atveju ir yra realios funkcijos R, kaip matyti iš jų apibrėžimų (3), (4). Tačiau lygybė (7) numatyta 
taip pat gaunamas tiesiogiai iš Furjė transformacijos apibrėžimo (1), atsižvelgiant į tai, kad konjugacijos ženklą galima įvesti po integralo ženklu. Naujausias pastebėjimas leidžia daryti išvadą, kad bet kuriai funkcijai lygybė
Taip pat pravartu pažymėti, kad if yra reali ir lygi funkcija, t.y. , Tai
if yra tikroji ir nelyginė funkcija, t.y. , Tai
O jei tai grynai įsivaizduojama funkcija, t.y. . 
, Tai
Atkreipkite dėmesį, kad jei yra tikrosios vertės funkcija, Furjė integralas taip pat gali būti parašytas formoje
Kur 
3 pavyzdys. 
(skaičiuojant 
)
kadangi žinome Dirichlet integralo reikšmę
Pavyzdyje nagrinėjama funkcija nėra absoliučiai integruojama ir jos Furjė transformacija turi nutrūkimų. Iš to matyti, kad absoliučiai integruojamų funkcijų Furjė transformacija neturi jokių pertrūkių:
1 lema. Jei funkcija lokaliai integruotas ir visiškai integruotas , Tai
a) jos Furjė transformacija apibrėžta bet kuriai vertei
b) 
Prisiminkime, kad jei– tikrosios arba kompleksinės reikšmės funkcija, apibrėžta atviroje aibėje, tada funkcija paskambino integruotas lokaliai, jei yra taškas turi kaimynystę, kurioje funkciją galima integruoti. Visų pirma, jei , funkcijos lokalaus integravimo sąlyga akivaizdžiai lygiavertė faktui, kad 
bet kuriam segmentui.
4 pavyzdys. Raskime funkcijos Furjė transformaciją 
:
Atskirdami paskutinį integralą parametro atžvilgiu ir tada integruodami dalimis, tai randame
arba
Reiškia, 
, kur yra konstanta, kurią naudojant Eulerio-Puasono integralą randame iš santykio
Taigi, mes nustatėme, kad , ir tuo pačiu parodėme, kad ir 
.
4 apibrėžimas. Jie sako funkciją 
, apibrėžtas pradurtoje taško kaimynystėje, tenkina Dini sąlygas taške, jei
a) taške egzistuoja abi vienpusės ribos
b) abu integralai
Jie visiškai sutinka.
Absoliuti integralo konvergencija 
reiškia absoliučią integralo konvergenciją bent jau tam tikrai vertei.
Pakankamos sąlygos, kad funkcija būtų atvaizduojama Furjė integralu.
1 teorema.Jei visiškai integruota ir lokaliai dalimis nuolatinė funkcija tenkina taške Dini sąlygos, tada jo Furjė integralas suartėja šioje vietoje ir į vertę
lygi pusei kairiosios ir dešiniosios funkcijos reikšmių ribų sumos šiuo tašku.
1 išvada.Jei funkcija tęstinis, turi kiekviename taške baigtinės vienpusės išvestinės ir absoliučiai integruotos , tada ji pasirodo pagal Furjė integralą
Kur 
Funkcijos Furjė transformacija .
Funkcijos atvaizdavimą Furjė integralu galima perrašyti taip:
komentuoti. Sąlygos funkcijai, suformuluotos 1 teoremoje ir 1 išvadoje, yra pakankamos, bet nėra būtinos tokio vaizdavimo galimybei.
5 pavyzdys. Pavaizduokite funkciją kaip Furjė integralą, jei
Ši funkcija yra nelyginė ir ištisinė ℝ, išskyrus taškus , , .
Dėl to, kad funkcija yra nelyginė ir tikra, turime:
o iš (5) ir (10) lygybių išplaukia, kad
Funkcijos tęstinumo taškuose turime:
Bet funkcija yra keista, todėl
kadangi integralas skaičiuojamas pagrindinės reikšmės prasme.
Funkcija lygi, taigi
Jei,. Kai lygybė turi būti patenkinta
Darant prielaidą, iš čia mes randame
Jei įdėsime paskutinę išraišką , tada
Darant prielaidą, kad čia, mes rasime
Jei tikrosios vertės funkcija yra ištisinė bet kuriame tikrosios linijos atkarpoje, yra absoliučiai integruojama ir turi baigtines vienpuses išvestines kiekviename taške, tai tęstinumo taškuose funkcija vaizduojama kaip Furjė integralas.
o funkcijos nepertraukiamumo taškuose kairioji lygybės (1) pusė turėtų būti pakeista
Jei ištisinė, absoliučiai integruojama funkcija turi baigtines vienpuses išvestines kiekviename taške, tai tuo atveju, kai ši funkcija yra lygi, lygybė yra teisinga
o tuo atveju, kai yra nelyginė funkcija, lygybė
5 pavyzdys. Pateikite funkciją kaip Furjė integralą, jei:
Kadangi yra ištisinė lyginė funkcija, tada, naudodami (13.2), (13.2’) formules, turime
Simboliu pažymėkime integralą, suprantamą pagrindinės reikšmės prasme
2 išvada.Bet kuriai funkcijai , tenkinant 1 išvados sąlygas, egzistuoja visos transformacijos , , , ir lygybės vyksta
Turint omenyje šiuos santykius, transformacija (14) dažnai vadinama atvirkštinė Furjė transformacija ir vietoj to jie rašo , o pačios lygybės (15) vadinamos Furjė transformacijos invertavimo formulė.
6 pavyzdys. Tegul būna
Atkreipkite dėmesį, kad jei 
, tada bet kuriai funkcijai
Dabar paimkime funkciją. Tada
Jei imsime funkciją, kuri yra nelyginis funkcijos tęsinys 
, visoje skaitinėje ašyje, tada
Naudodami 1 teoremą gauname tai
Visi integralai čia suprantami pagrindinės vertės prasme,
Paskutiniuose dviejuose integraluose atskirdami tikrąją ir įsivaizduojamą dalis, randame Laplaso integralus
Apibrėžimas . Funkcija
vadinsime tai normalizuota Furjė transformacija.
Apibrėžimas . Jei yra funkcijos normalizuota Furjė transformacija, tada palyginamasis integralas
Funkciją vadinsime normalizuotu Furjė integralu.
Apsvarstysime normalizuotą Furjė transformaciją (16).
Patogumui pristatome tokį užrašą:
(tie. 
).
Palyginti su ankstesniu užrašu, tai tik renormalizacija: Tai reiškia, kad santykiai (15) leidžia daryti išvadą, kad
arba, trumpiau tariant,
5 apibrėžimas. Operatorių vadinsime normalizuota Furjė transformacija, o operatorius – atvirkštine normalizuota Furjė transformacija.
1 lemoje buvo pažymėta, kad bet kurios absoliučiai integruojamos funkcijos Furjė transformacija begalybėje linkusi į nulį. Kiti du teiginiai teigia, kad Furjė transformacija, kaip ir Furjė koeficientai, linkusi į nulį greičiau, kuo sklandesnė funkcija, iš kurios ji paimta (pirmame teiginyje); Susijęs faktas bus tas, kad kuo greičiau funkcija, iš kurios paimama Furjė transformacija, linkusi į nulį, tuo sklandesnė Furjė transformacija (antrasis teiginys).
1 teiginys(apie ryšį tarp funkcijos lygumo ir jos Furjė transformacijos mažėjimo greičio). Jeigu ir visos funkcijos 
visiškai integruotas , Tai:
A) bet kuriuo 
b) 
2 teiginys(apie ryšį tarp funkcijos mažėjimo greičio ir jos Furjė transformacijos lygumo). Jei lokaliai integruojama funkcija : yra tokia, kad funkcija absoliučiai integruota A , Tai:
A) Funkcijos Furjė transformacija priklauso klasei 
b) yra nelygybė
Pateiksime pagrindines Furjė transformacijos techninės įrangos savybes.
2 lema. Tegul funkcijoms yra Furjė transformacija (atitinkamai atvirkštinė Furjė transformacija), tada, kad ir kokie būtų skaičiai ir , funkcijai yra Furjė transformacija (atitinkamai atvirkštinė Furjė transformacija). 
, ir
(atitinkamai).
Ši savybė vadinama Furjė transformacijos tiesiškumu (atitinkamai atvirkštine Furjė transformacija).
Pasekmė. 
.
3 lema. Furjė transformacija, kaip ir atvirkštinė transformacija, yra transformacija vienas su vienu iš nuolatinių funkcijų, kurios yra absoliučiai integruojamos visoje ašyje ir turinčios vienpuses išvestines kiekviename taške, rinkinį.
Tai reiškia, kad if ir yra dvi nurodyto tipo funkcijos ir if 
(atitinkamai, jei 
), tada visoje ašyje.
Iš 1 lemos teiginio galime gauti tokią lemą.
4 lema. Jei absoliučiai integruojamų funkcijų seka 
ir absoliučiai integralios funkcijos yra tokios
tada seka tolygiai konverguoja visoje ašyje į funkciją .
Dabar panagrinėkime dviejų funkcijų Furjė konvoliucijos transformaciją. Kad būtų patogiau, pakeiskime konvoliucijos apibrėžimą pridėdami papildomą veiksnį
2 teorema. Tegul funkcijos yra ribotos, tolydžios ir absoliučiai integruojamos realioje ašyje
tie. dviejų funkcijų konvoliucijos Furjė transformacija yra lygi šių funkcijų Furjė transformacijų sandaugai.
Sudarykime normalizuotos Furjė transformacijos savybių suvestinę lentelę Nr. 1, naudingą sprendžiant toliau pateiktas problemas.
Lentelė Nr.1
| Funkcija | Normalizuota Furjė transformacija |
 |
|
 | |
 |
|
 |
|
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 | |
 | |
 |
Naudodami savybes 1-4 ir 6, gauname
7 pavyzdys. Raskite funkcijos normalizuotą Furjė transformaciją
4 pavyzdyje buvo parodyta, kad
nes jei
Taigi pagal 3 savybę turime:
Panašiai galite sukurti lentelę Nr. 2 normalizuotai atvirkštinei Furjė transformacijai:
Lentelė Nr.2
| Funkcija | Normalizuota atvirkštinė Furjė transformacija |
 |
|
| | |
 |
|
 |
|
| |  |
| |  |
| |  |
| | |
| | |
| | |
 |
Kaip ir anksčiau, naudodamiesi 1–4 ir 6 savybėmis, gauname tai
8 pavyzdys. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
Kaip matyti iš 6 pavyzdžio
Kai turime:
Atvaizduoja funkciją kaip
naudoti turtą 6, kai
Skaičiavimo ir grafinio darbo užduočių parinktys
1. Raskite funkcijos sinuso – Furjė transformaciją
2. Raskite funkcijos sinuso – Furjė transformaciją
3. Raskite funkcijos kosinusą – Furjė transformaciją
4. Raskite funkcijos kosinusą – Furjė transformaciją
5. Raskite funkcijos sinuso – Furjė transformaciją
6. Raskite funkcijos kosinusą - Furjė transformaciją
7. Raskite funkcijos sinuso - Furjė transformaciją
8. Rasti kosinusą – funkcijos Furjė transformacija
9. Rasti kosinusą – funkcijos Furjė transformacija
10. Raskite funkcijos sinuso – Furjė transformaciją
11. Raskite funkcijos sinuso – Furjė transformaciją
12. Rasti sinusą – funkcijos transformacija
13. Rasti sinusą – funkcijos transformacija
14. Rasti kosinusą – funkcijos transformavimas
15. Rasti kosinusą – funkcijos transformavimas
16. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:
17. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:
18. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:
19. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:
20. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:
21. Raskite funkcijos Furjė transformaciją, jei:
22. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
naudojant formulę
24. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
naudojant formulę
26. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
naudojant formulę
28. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
naudojant formulę
30. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
naudojant formulę
23. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
naudojant formulę
25. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
naudojant formulę
27. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
naudojant formulę
29. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
naudojant formulę
31. Raskite funkcijos normalizuotą atvirkštinę Furjė transformaciją
naudojant formulę
32. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
33. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
34. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
35. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
36. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
37. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
38. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
39. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
40. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
41. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
42. Atvaizduokite funkciją Furjė integralu
43. Pavaizduokite funkciją kaip Furjė integralą, keistu būdu pratęsdami jį iki intervalo, jei:
44. Pavaizduokite funkciją kaip Furjė integralą, keistu būdu pratęsdami jį iki intervalo, jei:
