Patogu ir paprasta internetinis skaičiuotuvas trupmenos su detaliais sprendimais Galbūt:

• Sudėkite, atimkite, padauginkite ir padalykite trupmenos internete,
• Gauti paruoštas sprendimas trupmenas su paveiksliuku ir patogu jį perkelti.

Trupmenų sprendimo rezultatas bus čia...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Trupmenos ženklas "/" + - * :
_erase Išvalyti
Mūsų internetinis trupmenų skaičiuotuvas turi greitą įvestį. Pavyzdžiui, norėdami išspręsti trupmenas, tiesiog parašykite 1/2+2/7 į skaičiuotuvą ir paspauskite " Išspręskite trupmenas“. Skaičiuoklė jums parašys detalus trupmenų sprendimas ir išduos lengvai nukopijuojamas vaizdas.

Ženklai, naudojami rašymui skaičiuotuvu

Internetinio trupmenų skaičiuoklės ypatybės

Jei reikia išspręsti neigiamas trupmenas, tiesiog naudokite minuso savybes. Dauginant ir dalijant neigiamos trupmenos du neigiami teiginiai. Tai yra, neigiamų trupmenų sandauga ir padalijimas yra lygus tų pačių teigiamų dalių sandaugai ir padalijimui. Jei viena trupmena yra neigiama dauginant ar dalinant, tada tiesiog pašalinkite minusą ir pridėkite jį prie atsakymo. Pridedant neigiamas trupmenas, rezultatas bus toks pat, kaip ir pridėjus tą patį teigiamos trupmenos. Jei pridėsite vieną neigiamą trupmeną, tai yra tas pats, kas atimti tą pačią teigiamą trupmeną.
Atimant neigiamas trupmenas, rezultatas bus toks pat, lyg jas sukeistų ir padarytų teigiamą. Tai yra, minusas po minuso šiuo atveju duoda pliusą, bet terminų pertvarkymas sumos nekeičia. Atimdami trupmenas, kurių viena yra neigiama, naudojame tas pačias taisykles.

Norėdami išspręsti mišrios frakcijos( trupmenos, kuriose visa dalis) tiesiog padarykite visą dalį į trupmeną. Norėdami tai padaryti, padauginkite visą dalį iš vardiklio ir pridėkite prie skaitiklio.

Jei jums reikia išspręsti 3 ar daugiau trupmenų internete, turėtumėte jas išspręsti po vieną. Pirma, suskaičiuokite pirmąsias 2 trupmenas, tada išspręskite kitą trupmeną su gautu atsakymu ir pan. Atlikite veiksmus po vieną, po 2 trupmenas ir galiausiai gausite teisingą atsakymą.

Pažodinė išraiška (arba išraiška su kintamaisiais) yra matematinė išraiška, kurį sudaro skaičiai, raidės ir ženklai matematines operacijas. Pavyzdžiui, ši išraiška yra pažodinė:

a+b+4

Naudodami abėcėlės išraiškas galite rašyti dėsnius, formules, lygtis ir funkcijas. Gebėjimas manipuliuoti raidžių išraiškomis yra raktas geros žinios algebra ir aukštoji matematika.

Bet kokia rimta matematikos problema kyla sprendžiant lygtis. O tam, kad galėtum spręsti lygtis, reikia mokėti dirbti su pažodinėmis išraiškomis.

Norėdami dirbti su pažodinėmis išraiškomis, turite gerai išmanyti pagrindinę aritmetiką: sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, pagrindinius matematikos dėsnius, trupmenas, operacijas su trupmenomis, proporcijas. Ir ne tik mokytis, bet ir gerai suprasti.

Kintamieji

Raidės, esančios pažodinėse išraiškose, vadinamos kintamieji. Pavyzdžiui, išraiškoje a+b+ 4 kintamieji yra raidės a Ir b. Jei vietoj šių kintamųjų pakeisime bet kokius skaičius, tada pažodinė išraiška a+b+ 4 pavirs skaitine išraiška, kurios reikšmę galima rasti.

Skaičiai, kurie yra pakeisti kintamaisiais, vadinami kintamųjų reikšmės. Pavyzdžiui, pakeiskime kintamųjų reikšmes a Ir b. Lygybės ženklas naudojamas reikšmėms keisti

a = 2, b = 3

Mes pakeitėme kintamųjų reikšmes a Ir b. Kintamasis a priskirta vertė 2 , kintamasis b priskirta vertė 3 . Dėl to pažodinė išraiška a+b+4 virsta įprasta skaitine išraiška 2+3+4 kurio vertę galima rasti:

Kai kintamieji dauginami, jie rašomi kartu. Pavyzdžiui, įrašyti ab reiškia tą patį, ką ir įrašas a × b. Jei pakeisime kintamuosius a Ir b numeriai 2 Ir 3 , tada gauname 6

Taip pat skliausteliuose galite parašyti skaičiaus dauginimą iš išraiškos. Pavyzdžiui, vietoj a × (b + c) galima užsirašyti a(b + c). Taikydami daugybos pasiskirstymo dėsnį, gauname a(b + c)=ab+ac.

Šansai

Pažodinėse išraiškose dažnai galite rasti užrašą, kuriame, pavyzdžiui, skaičius ir kintamasis rašomi kartu 3a. Tai iš tikrųjų yra santrumpa, skirta skaičių 3 padauginti iš kintamojo. a ir šis įrašas atrodo taip 3×a .

Kitaip tariant, išraiška 3a yra skaičiaus 3 ir kintamojo sandauga a. Skaičius 3 šiame darbe jie vadina koeficientas. Šis koeficientas parodo, kiek kartų kintamasis bus padidintas a. Ši išraiška gali būti perskaityta kaip " a tris kartus“ arba „tris kartus A“ arba „padidinti kintamojo vertę a tris kartus“, bet dažniausiai skaitomas kaip „trys a«

Pavyzdžiui, jei kintamasis a lygus 5 , tada išraiškos reikšmė 3a bus lygus 15.

3 × 5 = 15

Kalbėdamas paprasta kalba, koeficientas yra skaičius, esantis prieš raidę (prieš kintamąjį).

Pavyzdžiui, gali būti kelios raidės 5abc. Čia koeficientas yra skaičius 5 . Šis koeficientas rodo, kad kintamųjų sandauga abc padidėja penkis kartus. Ši išraiška gali būti perskaityta kaip " abc penkis kartus“ arba „padidinkite išraiškos vertę abc penkis kartus“ arba „penkis abc«.

Jei vietoj kintamųjų abc pakeiskite skaičius 2, 3 ir 4, tada išraiškos reikšmę 5abc bus lygus 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Galite mintyse įsivaizduoti, kaip pirmą kartą buvo padauginti skaičiai 2, 3 ir 4, o gauta vertė padidėjo penkis kartus:

Koeficiento ženklas nurodo tik koeficientą ir netaikomas kintamiesiems.

Apsvarstykite išraišką −6b. Minusas prieš koeficientą 6 , taikomas tik koeficientui 6 , ir nepriklauso kintamajam b. Šio fakto supratimas leis ateityje nedaryti klaidų su ženklais.

Raskime išraiškos reikšmę −6b adresu b = 3.

−6b –6 × b. Aiškumo dėlei parašykime išraišką −6b išplėstine forma ir pakeisti kintamojo reikšmę b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę −6b adresu b = −5

Užrašykime išraišką −6b išplėstine forma

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę −5a+b adresu a = 3 Ir b = 2

−5a+b tai trumpa forma −5 × a + b, todėl aiškumo dėlei rašome išraišką −5×a+b išplėstine forma ir pakeisti kintamųjų reikšmes a Ir b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Kartais raidės rašomos, pavyzdžiui, be koeficiento a arba ab. Šiuo atveju koeficientas yra vienetas:

bet tradiciškai vienetas nenurašomas, todėl tiesiog rašo a arba ab

Jei prieš raidę yra minusas, tada koeficientas yra skaičius −1 . Pavyzdžiui, išraiška −a iš tikrųjų atrodo −1a. Tai yra minus vieno ir kintamojo sandauga a. Tai pasirodė taip:

−1 × a = −1a

Čia yra mažas laimikis. Išraiškoje −a minuso ženklas prieš kintamąjį a iš tikrųjų reiškia „nematomą vienetą“, o ne kintamąjį a. Todėl spręsdami problemas turėtumėte būti atsargūs.

Pavyzdžiui, jei pateikiama išraiška −a ir mūsų prašoma rasti jo vertę a = 2, tada mokykloje vietoj kintamojo pakeitėme du a ir gavo atsakymą −2 , per daug nesikreipiant į tai, kaip tai pasirodė. Tiesą sakant, minus vienas buvo padaugintas iš teigiamo skaičiaus 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Jei pateikiama išraiška −a ir jūs turite rasti jo vertę a = −2, tada pakeičiame −2 vietoj kintamojo a

−a = −1 × a

–1 × a = –1 × (–2) = 2

Norint išvengti klaidų, iš pradžių galima aiškiai užrašyti nematomus vienetus.

4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę abc adresu a=2 , b=3 Ir c=4

Išraiška abc 1×a×b×c. Aiškumo dėlei parašykime išraišką abc a, b Ir c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

5 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę abc adresu a=−2 , b=−3 Ir c=−4

Užrašykime išraišką abc išplėstine forma ir pakeisti kintamųjų reikšmes a, b Ir c

1 × a × b × c = 1 × (–2) × (–3) × (–4) = –24

6 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę − abc adresu a = 3, b = 5 ir c = 7

Išraiška − abc tai trumpa forma −1×a×b×c. Aiškumo dėlei parašykime išraišką − abc išplėstine forma ir pakeisti kintamųjų reikšmes a, b Ir c

−abc = −1 × a × b × c = –1 × 3 × 5 × 7 = –105

7 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę − abc adresu a=−2 , b=−4 ir c=−3

Užrašykime išraišką − abc išplėstine forma:

−abc = −1 × a × b × c

Pakeiskime kintamųjų reikšmes a , b Ir c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kaip nustatyti koeficientą

Kartais reikia išspręsti problemą, kurioje reikia nustatyti išraiškos koeficientą. Iš principo šią užduotį labai paprasta. Pakanka mokėti teisingai padauginti skaičius.

Norint nustatyti išraiškos koeficientą, reikia atskirai padauginti į šią išraišką įtrauktus skaičius ir atskirai padauginti raides. Gautas skaitinis koeficientas bus koeficientas.

1 pavyzdys. 7m×5a×(−3)×n

Išraiška susideda iš kelių veiksnių. Tai galima aiškiai matyti, jei išraišką rašote išplėstine forma. Tai yra, darbai 7 m Ir 5a parašykite jį formoje 7×m Ir 5×a

7 × m × 5 × a × (–3) × n

Taikykime asociatyvinį daugybos dėsnį, leidžiantį dauginti koeficientus bet kokia tvarka. Būtent, atskirai padauginsime skaičius ir atskirai padauginsime raides (kintamuosius):

–3 × 7 × 5 × m × a × n = –105 žmogus

Koeficientas yra −105 . Baigę raidės dalį patartina išdėstyti abėcėlės tvarka:

–105 val

2 pavyzdys. Nustatykite koeficientą išraiškoje: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficientas yra 6.

3 pavyzdys. Nustatykite koeficientą išraiškoje:

Padauginkime skaičius ir raides atskirai:

Koeficientas yra –1. Atkreipkite dėmesį, kad vienetas nenurašomas, nes įprasta koeficiento 1 nerašyti.

Šios iš pažiūros paprasčiausios užduotys gali mums labai žiauriai pajuokauti. Dažnai paaiškėja, kad koeficiento ženklas nustatytas neteisingai: arba trūksta minuso, arba, priešingai, jis nustatytas veltui. Norint išvengti šių erzinančių klaidų, jis turi būti gerai išstudijuotas.

Prideda pažodinėse išraiškose

Sudėjus kelis skaičius, gaunama šių skaičių suma. Skaičiai, kurie pridedami, vadinami papildymais. Gali būti keli terminai, pavyzdžiui:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kai išraiška susideda iš terminų, ją daug lengviau įvertinti, nes sudėti lengviau nei atimti. Tačiau išraiškoje gali būti ne tik pridėjimo, bet ir atimties, pavyzdžiui:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Šioje išraiškoje skaičiai 3 ir 5 yra sudedamosios dalys, o ne priedai. Tačiau niekas netrukdo mums atimties pakeisti pridėjimu. Tada vėl gauname išraišką, kurią sudaro terminai:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nesvarbu, kad skaičiai −3 ir −5 dabar turi minuso ženklą. Svarbiausia, kad visi šios išraiškos skaičiai būtų sujungti sudėjimo ženklu, tai yra, išraiška yra suma.

Abi išraiškos 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Ir 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) lygi tai pačiai reikšmei – atėmus vieną

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Taigi, posakio prasmė nenukentės, jei kur nors atimtį pakeisime pridėjimu.

Taip pat pažodinėse išraiškose atimtį galite pakeisti pridėjimu. Pavyzdžiui, apsvarstykite šią išraišką:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)

Bet kurioms kintamųjų reikšmėms a, b, c, d Ir s posakius 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Ir 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) bus lygi tai pačiai vertei.

Turite būti pasiruošę, kad mokytojas mokykloje ar instituto mokytojas gali skambinti lyginiais skaičiais (arba kintamaisiais), kurie nėra priedai.

Pavyzdžiui, jei skirtumas užrašytas lentoje a–b, tada mokytojas to nesakys a yra smulkmena ir b- atimamas. Abu kintamuosius jis vadins vienu bendrais bruožais — terminai. Ir viskas dėl formos išraiškos a–b matematikas mato, kaip suma a+(-b). Šiuo atveju išraiška tampa suma, o kintamieji a Ir (-b) tapti terminais.

Panašūs terminai

Panašūs terminai- tai terminai, turintys tą pačią raidės dalį. Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką 7a + 6b + 2a. Komponentai 7a Ir 2a turėti tą pačią raidės dalį – kintamąjį a. Taigi sąlygos 7a Ir 2a yra panašūs.

Paprastai panašius terminus pridėti, kad supaprastintumėte išraišką arba išspręstumėte lygtį. Ši operacija vadinama atneša panašias sąlygas.

Norėdami gauti panašius terminus, turite pridėti šių terminų koeficientus ir gautą rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies.

Pavyzdžiui, išraiškoje pateiksime panašius terminus 3a + 4a + 5a. Šiuo atveju visi terminai yra panašūs. Sudėkime jų koeficientus ir gautą rezultatą padauginkime iš bendrosios raidės dalies – iš kintamojo a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) ×a = 12a

Panašūs terminai paprastai iškeliami galvoje, o rezultatas iškart užrašomas:

3a + 4a + 5a = 12a

Taip pat galima motyvuoti taip:

Buvo 3 a kintamieji, prie jų buvo pridėti dar 4 a kintamieji ir dar 5 a kintamieji. Dėl to gavome 12 kintamųjų a

Pažvelkime į kelis panašių terminų pateikimo pavyzdžius. Atsižvelgiant į tai ši tema yra labai svarbu, iš pradžių smulkiai surašysime kiekvieną smulkmeną. Nepaisant to, kad čia viskas labai paprasta, dauguma žmonių daro daug klaidų. Daugiausia dėl neatidumo, o ne nežinojimo.

1 pavyzdys. 3a + 2a + 6a + 8 a

Sudėkime šios išraiškos koeficientus ir gautą rezultatą padauginkime iš bendrosios raidės dalies:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

dizainas (3 + 2 + 6 + 8) ×a Jums nereikia jo užsirašyti, todėl atsakymą parašysime iš karto

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

2 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 2a+a

Antra kadencija a parašytas be koeficiento, bet iš tikrųjų prieš jį yra koeficientas 1 , kurio nematome, nes neįrašyta. Taigi išraiška atrodo taip:

2a + 1a

Dabar pateiksime panašius terminus. Tai yra, sudedame koeficientus ir padauginame rezultatą iš bendrosios raidės dalies:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Trumpai užrašykite sprendimą:

2a + a = 3a

2a+a, galite galvoti kitaip:

3 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 2a-a

Atimtį pakeiskime pridėjimu:

2a + (-a)

Antra kadencija (-a) parašyta be koeficiento, bet realiai atrodo (−1a). Koeficientas −1 vėl nematomas dėl to, kad neįrašyta. Taigi išraiška atrodo taip:

2a + (-1a)

Dabar pateiksime panašius terminus. Sudėkime koeficientus ir padauginkime rezultatą iš bendrosios raidės dalies:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Paprastai rašoma trumpiau:

2a − a = a

Panašių terminų suteikimas išraiškoje 2a-a Galite galvoti kitaip:

Buvo 2 kintamieji a, atimkite vieną kintamąjį a, galų gale liko tik vienas kintamasis a

4 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Dabar pateiksime panašius terminus. Sudėkime koeficientus ir gautą rezultatą padauginkime iš visos raidės dalies

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Trumpai užrašykite sprendimą:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Yra posakių, kuriuose yra keletas įvairios grupės panašius terminus. Pavyzdžiui, 3a + 3b + 7a + 2b. Tokioms išraiškoms galioja tos pačios taisyklės kaip ir kitoms, ty koeficientų pridėjimas ir rezultato dauginimas iš bendrosios raidės dalies. Tačiau norint išvengti klaidų, tai patogu skirtingos grupės Terminai paryškinti skirtingomis eilutėmis.

Pavyzdžiui, išraiškoje 3a + 3b + 7a + 2b tie terminai, kuriuose yra kintamasis a, galima pabraukti viena eilute, ir tuos terminus, kuriuose yra kintamasis b, galima pabrėžti dviem eilutėmis:

Dabar galime pateikti panašius terminus. Tai yra, pridėkite koeficientus ir gautą rezultatą padauginkite iš visos raidžių dalies. Tai turi būti padaryta abiem terminų grupėms: terminams, kuriuose yra kintamasis a ir terminams, kuriuose yra kintamasis b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3 + 7) × a + (3 + 2) × b = 10a + 5b

Dar kartą kartojame, kad posakis yra paprastas ir galima turėti omenyje panašius terminus:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

5 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 5a − 6a −7b + b

Jei įmanoma, atimtį pakeiskime pridėjimu:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Pabrėžkime panašius terminus skirtingomis eilutėmis. Terminai, kuriuose yra kintamųjų a pabraukiame viena eilute, o terminai yra kintamųjų turinys b, pabraukite dviem eilutėmis:

Dabar galime pateikti panašius terminus. Tai yra, pridėkite koeficientus ir gautą rezultatą padauginkite iš bendrosios raidės dalies:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1) × b = −a + (−6b)

Jei išraiškoje yra įprasti skaičiai be raidžių faktorių, jie pridedami atskirai.

6 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 4a + 3a – 5 + 2b + 7

Jei įmanoma, atimtį pakeiskime pridėjimu:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Pateiksime panašius terminus. Skaičiai −5 Ir 7 neturi raidžių faktorių, bet jie yra panašūs terminai – juos tereikia pridėti. Ir terminas 2b išliks nepakitęs, nes jis vienintelis šioje išraiškoje turi raidžių koeficientą b, ir nėra ko pridurti:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3) × a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Trumpai užrašykite sprendimą:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Terminus galima rūšiuoti taip, kad tie terminai, turintys tą pačią raidžių dalį, būtų toje pačioje išraiškos dalyje.

7 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 5t+2x+3x+5t+x

Kadangi išraiška yra kelių terminų suma, tai leidžia įvertinti ją bet kokia tvarka. Todėl terminai, kuriuose yra kintamasis t, galima įrašyti reiškinio pradžioje, o terminai, kuriuose yra kintamasis x posakio pabaigoje:

5 t + 5 t + 2x + 3x + x

Dabar galime pateikti panašius terminus:

5 t + 5 t + 2x + 3x + x = (5 + 5) × t + (2 + 3 + 1) × x = 10 t + 6x

Trumpai užrašykite sprendimą:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Suma priešingi skaičiai lygus nuliui. Ši taisyklė taip pat tinka pažodinėms išraiškoms. Jei išraiškoje yra identiškų terminų, bet su priešingi ženklai, tuomet galėsite jų atsikratyti panašių terminų mažinimo etape. Kitaip tariant, tiesiog pašalinkite juos iš išraiškos, nes jų suma lygi nuliui.

8 pavyzdys. Išraiškoje pateikite panašius terminus 3t − 4t − 3t + 2t

Jei įmanoma, atimtį pakeiskime pridėjimu:

3t – 4t – 3t + 2t = 3t + (-4t) + (-3t) + 2t

Komponentai 3t Ir (-3t) yra priešingi. Priešingų terminų suma lygi nuliui. Jei iš išraiškos pašalinsime šį nulį, išraiškos reikšmė nepasikeis, todėl ją pašalinsime. Ir mes jį pašalinsime tiesiog perbraukdami terminus 3t Ir (-3t)

Dėl to mums liks išraiška (−4t) + 2t. Šioje išraiškoje galite pridėti panašių terminų ir gauti galutinį atsakymą:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Trumpai užrašykite sprendimą:

Išraiškų supaprastinimas

"supaprastinti posakį" o žemiau yra išraiška, kurią reikia supaprastinti. Supaprastinkite išraišką reiškia padaryti jį paprastesnį ir trumpesnį.

Tiesą sakant, mes jau supaprastinome išraiškas, kai sumažinome trupmenas. Po sumažinimo frakcija tapo trumpesnė ir lengviau suprantama.

Pasvarstykime sekantis pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.

Šią užduotį pažodžiui galima suprasti taip: "Taikykite bet kokius tinkamus veiksmus šiai išraiškai, bet supaprastinkite." .

Tokiu atveju galite sumažinti trupmeną, ty padalyti trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 2:

Ką dar galite padaryti? Galite apskaičiuoti gautą trupmeną. Tada gauname dešimtainę trupmeną 0,5

Dėl to trupmena buvo supaprastinta iki 0,5.

Pirmas klausimas, kurį turite užduoti sau priimant sprendimą panašias užduotis, turi būti "Ką galima padaryti?" . Nes yra veiksmų, kuriuos galite padaryti, ir yra veiksmų, kurių negalite padaryti.

Kitas svarbus punktas Reikia atsiminti, kad išraiškos reikšmė neturėtų pasikeisti supaprastinus išraišką. Grįžkime prie išraiškos. Ši išraiška reiškia padalijimą, kurį galima atlikti. Atlikę šį padalijimą, gauname šios išraiškos reikšmę, kuri lygi 0,5

Tačiau mes supaprastinome išraišką ir gavome naują supaprastintą išraišką. Naujos supaprastintos išraiškos reikšmė vis dar yra 0,5

Bet mes taip pat bandėme supaprastinti išraišką ją apskaičiuodami. Dėl to gavome galutinį atsakymą – 0,5.

Taigi, kad ir kaip supaprastintume išraišką, gautų išraiškų reikšmė vis tiek yra lygi 0,5. Tai reiškia, kad supaprastinimas buvo atliktas teisingai kiekviename etape. Kaip tik to turėtume siekti supaprastindami posakius – posakio prasmė neturėtų nukentėti nuo mūsų veiksmų.

Dažnai reikia supaprastinti pažodinius posakius. Joms taikomos tos pačios supaprastinimo taisyklės kaip ir skaitinėms išraiškoms. Galite atlikti bet kokius galiojančius veiksmus, jei išraiškos reikšmė nesikeičia.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 5,21 s × t × 2,5

Norėdami supaprastinti ši išraiška, galite padauginti skaičius atskirai ir padauginti raides atskirai. Ši užduotis labai panaši į tą, kurią žiūrėjome, kai išmokome nustatyti koeficientą:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Taigi išraiška 5,21 s × t × 2,5 supaprastinta iki 13 025 g.

2 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką –0,4 × (–6,3b) × 2

Antras gabalas (−6,3b) gali būti išverstas į mums suprantamą formą, būtent parašyta forma ( −6,3) × b , tada padauginkite skaičius atskirai ir padauginkite raides atskirai:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Taigi išraiška –0,4 × (–6,3b) × 2 supaprastinta iki 5.04b

3 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Parašykime šią išraišką išsamiau, kad aiškiai matytume, kur yra skaičiai, o kur raidės:

Dabar padauginkime skaičius atskirai ir padauginkime raides atskirai:

Taigi išraiška supaprastinta iki −abc.Šį sprendimą galima parašyti trumpai:

Supaprastinant išraiškas, trupmenas galima sumažinti sprendimo proceso metu, o ne pačioje pabaigoje, kaip tai padarėme paprastosios trupmenos. Pavyzdžiui, jei spręsdami susiduriame su formos išraiška , tada visai nebūtina skaičiuoti skaitiklio ir vardiklio ir daryti kažką panašaus:

Trupmeną galima sumažinti pasirinkus koeficientą skaitiklyje ir vardiklyje ir sumažinant šiuos veiksnius didžiausiu bendras daliklis. Kitaip tariant, naudojimas, kuriame mes išsamiai neaprašome, į ką buvo padalintas skaitiklis ir vardiklis.

Pavyzdžiui, skaitiklyje koeficientas yra 12, o vardiklyje koeficientas 4 gali būti sumažintas 4. Mintyse laikomės keturių, o 12 ir 4 padalijus iš šio ketverto, šalia šių skaičių užrašome atsakymus, iš pradžių juos perbraukęs

Dabar galite padauginti gautus mažus veiksnius. Šiuo atveju jų yra nedaug ir mintyse galite juos padauginti:

Laikui bėgant galite pastebėti, kad sprendžiant tam tikrą problemą išsireiškimai pradeda „storėti“, todėl patartina priprasti prie greitų skaičiavimų. Tai, ką galima apskaičiuoti protu, turi būti apskaičiuota protu. Tai, ką galima greitai sumažinti, reikia greitai sumažinti.

4 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Taigi išraiška supaprastinta iki

5 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Padauginkime skaičius atskirai ir raides atskirai:

Taigi išraiška supaprastinta iki mn.

6 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Parašykime šią išraišką išsamiau, kad aiškiai matytume, kur yra skaičiai, o kur raidės:

Dabar padauginkime skaičius atskirai ir raides atskirai. Kad būtų lengviau apskaičiuoti, dešimtainė trupmena −6,4 ir mišrus skaičius galima konvertuoti į paprastąsias trupmenas:

Taigi išraiška supaprastinta iki

Šio pavyzdžio sprendimą galima parašyti daug trumpiau. Tai atrodys taip:

7 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Padauginkime skaičius atskirai ir raides atskirai. Kad būtų lengviau apskaičiuoti, mišrus skaičius ir po kablelio 0,1 ir 0,6 galima paversti paprastosiomis trupmenomis:

Taigi išraiška supaprastinta iki abcd. Jei praleisite detales, tada šį sprendimą galima parašyti daug trumpiau:

Atkreipkite dėmesį, kaip trupmena buvo sumažinta. Taip pat leidžiama sumažinti naujus veiksnius, kurie gaunami sumažinus ankstesnius veiksnius.

Dabar pakalbėkime apie tai, ko nedaryti. Supaprastinant išraiškas griežtai draudžiama dauginti skaičius ir raides, jei išraiška yra suma, o ne sandauga.

Pavyzdžiui, jei norite supaprastinti išraišką 5a+4b, tada negalite rašyti taip:

Tai tas pats, jei mūsų paprašytų pridėti du skaičius ir mes juos padaugintume, o ne pridėtume.

Keičiant bet kokias kintamąsias reikšmes a Ir b išraiška 5a + 4b virsta įprasta skaitine išraiška. Tarkime, kad kintamieji a Ir b turi šias reikšmes:

a = 2, b = 3

Tada išraiškos reikšmė bus lygi 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Pirmiausia atliekamas dauginimas, o tada rezultatai pridedami. Ir jei pabandytume supaprastinti šią išraišką padaugindami skaičius ir raides, gautume:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Pasirodo, visiškai kitokia išraiškos reikšmė. Pirmuoju atveju pavyko 22 , antruoju atveju 120 . Tai reiškia, kad supaprastinama išraiška 5a+4b buvo atliktas neteisingai.

Supaprastinus išraišką, jos reikšmė neturėtų keistis esant toms pačioms kintamųjų reikšmėms. Jei pakeičiant bet kokias kintamųjų reikšmes į pradinę išraišką, gaunama viena reikšmė, tada supaprastinus išraišką, reikia gauti tą pačią reikšmę kaip ir prieš supaprastinimą.

Su išraiška 5a+4b tikrai nieko negali padaryti. Tai nesupaprastina.

Jei išraiškoje yra panašių terminų, juos galima pridėti, jei mūsų tikslas yra supaprastinti išraišką.

8 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką 0,3a–0,4a+a

0,3a - 0,4a + a = 0,3a + (-0,4a) + a = (0,3 + (-0,4) + 1) ×a ​​= 0,9a

arba trumpiau: 0,3a – 0,4a + a = 0,9a

Taigi išraiška 0,3a–0,4a+a supaprastinta iki 0,9a

9 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką −7,5a − 2,5b + 4a

Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

arba trumpesnis −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Terminas (−2,5b) liko nepakitęs, nes nebuvo su kuo dėti.

10 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:

Koeficientas buvo skirtas skaičiavimo patogumui.

Taigi išraiška supaprastinta iki

11 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:

Taigi išraiška supaprastinta iki .

IN šiame pavyzdyje Tikslingiau būtų pirmiausia pridėti pirmąjį ir paskutinįjį koeficientus. Tokiu atveju turėtume trumpą sprendimą. Tai atrodytų taip:

12 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką

Norėdami supaprastinti šią išraišką, galime pridėti panašių terminų:

Taigi išraiška supaprastinta iki .

Terminas liko nepakitęs, nes nebuvo prie ko jo pridėti.

Šį sprendimą galima parašyti daug trumpiau. Tai atrodys taip:

IN trumpas sprendimas atimties pakeitimo sudėjimu ir žingsnius išsamus įrašas kaip trupmenos buvo sumažintos iki bendras vardiklis.

Kitas skirtumas yra tas, kad detalus sprendimas atsakymas atrodo taip , bet trumpai kaip . Tiesą sakant, jie yra ta pati išraiška. Skirtumas tas, kad pirmuoju atveju atimtis pakeičiama pridėjimu, nes pradžioje, kai rašėme sprendimą detaliai, kur įmanoma, atimtį pakeitėme pridėjimu, ir šis pakeitimas buvo išsaugotas atsakymui.

Tapatybės. Identiškai vienodos išraiškos

Supaprastinus bet kurią išraišką, ji tampa paprastesnė ir trumpesnė. Norėdami patikrinti, ar supaprastinta išraiška yra teisinga, pakanka bet kokias kintamųjų reikšmes pirmiausia pakeisti ankstesne išraiška, kurią reikėjo supaprastinti, o po to į naują, kuri buvo supaprastinta. Jei abiejų išraiškų reikšmė yra tokia pati, tada supaprastinta išraiška yra teisinga.

Pasvarstykime paprasčiausias pavyzdys. Tegul reikia supaprastinti išraišką 2a × 7b. Norėdami supaprastinti šią išraišką, galite padauginti skaičius ir raides atskirai:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Patikrinkime, ar teisingai supaprastinome išraišką. Norėdami tai padaryti, pakeiskime bet kokias kintamųjų reikšmes a Ir b pirmiausia į pirmąją išraišką, kurią reikėjo supaprastinti, o paskui į antrąją, kuri buvo supaprastinta.

Tegul kintamųjų reikšmės a , b bus taip:

a = 4, b = 5

Pakeiskime juos pirmąja išraiška 2a × 7b

Dabar pakeiskime tas pačias kintamųjų reikšmes į išraišką, kuri atsirado dėl supaprastinimo 2a × 7b, būtent išraiškoje 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Tai matome, kai a=4 Ir b = 5 pirmosios išraiškos vertė 2a × 7b o antrojo posakio prasmė 14ab lygus

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Tas pats nutiks ir bet kurioms kitoms vertybėms. Pavyzdžiui, tegul a=1 Ir b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Taigi bet kokioms vertybėms išraiškos kintamieji 2a × 7b Ir 14ab yra lygūs tai pačiai vertei. Tokios išraiškos vadinamos identiškai lygus.

Darome išvadą, kad tarp posakių 2a × 7b Ir 14ab galite įdėti lygybės ženklą, nes jie yra vienodi.

2a × 7b = 14ab

Lygybė yra bet kokia išraiška, sujungta lygybės ženklu (=).

Ir formos lygybė 2a × 7b = 14ab paskambino tapatybę.

Tapatybė yra lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms.

Kiti tapatybių pavyzdžiai:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Taip, matematikos dėsniai, kuriuos studijavome, yra tapatybės.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat yra tapatybės. Pavyzdžiui:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Sprendžiant sunki užduotis kad būtų lengviau apskaičiuoti, sudėtinga išraiška pakeistas paprastesne išraiška, identiška ankstesnei. Šis pakeitimas vadinamas identiška išraiškos transformacija arba tiesiog transformuojant išraišką.

Pavyzdžiui, mes supaprastinome išraišką 2a × 7b, ir gavo paprastesnę išraišką 14ab. Šis supaprastinimas gali būti vadinamas tapatybės transformacija.

Dažnai galite rasti užduotį, kuri sako „įrodyti, kad lygybė yra tapatybė“ ir tada pateikiama lygybė, kurią reikia įrodyti. Paprastai ši lygybė susideda iš dviejų dalių: kairės ir dešinės lygybės dalių. Mūsų užduotis yra atlikti tapatybės transformacijas su viena iš lygybės dalių ir gauti kitą dalį. Arba atlikite identiškas transformacijas abiejose lygybės pusėse ir įsitikinkite, kad abiejose lygybės pusėse yra tos pačios išraiškos.

Pavyzdžiui, įrodykime, kad lygybė 0,5a × 5b = 2,5ab yra tapatybė.

Supaprastinkime kairiąją šios lygybės pusę. Norėdami tai padaryti, padauginkite skaičius ir raides atskirai:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Dėl nedidelės tapatybės transformacijos kairėje pusėje lygybė tapo lygia dešiniajai lygybės pusei. Taigi mes įrodėme, kad lygybė 0,5a × 5b = 2,5ab yra tapatybė.

Iš tapatybės transformacijos Išmokome sudėti, atimti, dauginti ir dalyti skaičius, mažinti trupmenas, sudėti panašius terminus, taip pat supaprastinti kai kurias išraiškas.

Tačiau tai ne visos identiškos transformacijos, kurios egzistuoja matematikoje. Yra daug daugiau identiškų transformacijų. Ateityje tai pamatysime dar ne kartą.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Ar patiko pamoka?
Prisijunk prie mūsų nauja grupė„VKontakte“ ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas

Tarp įvairios išraiškos, kurie nagrinėjami algebroje, svarbi vieta užimti monomijų sumas. Štai tokių posakių pavyzdžiai:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Vienanarių suma vadinama daugianario. Dauginamo terminai vadinami daugianario nariais. Monomai taip pat priskiriami daugianariams, nes mononomas yra daugianomas, susidedantis iš vieno nario.

Pavyzdžiui, daugianario
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
galima supaprastinti.

Pavaizduokime visus terminus monomijų forma standartinis vaizdas:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Pateikiame panašius terminus gautame polinome:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Gaunamas daugianaris, kurio visi nariai yra standartinės formos mononomai, o tarp jų nėra panašių. Tokie daugianariai vadinami standartinės formos daugianariai.

Už daugianario laipsnis standartinės formos turi didžiausią iš jos narių galių. Taigi dvinaris \(12a^2b - 7b\) turi trečiąjį laipsnį, o trinaris \(2b^2 -7b + 6\) – antrąjį.

Paprastai standartinės formos polinomų, turinčių vieną kintamąjį, terminai yra išdėstyti mažėjančia laipsnio tvarka. Pavyzdžiui:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Kelių daugianarių suma gali būti paversta (supaprastinta) į standartinės formos daugianarį.

Kartais daugianario terminus reikia suskirstyti į grupes, kiekvieną grupę įrašant skliausteliuose. Kadangi įtraukiamieji skliaustai yra atvirkštinė atidaromų skliaustų transformacija, tai lengva suformuluoti skliaustų atidarymo taisyklės:

Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „+“, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi tais pačiais ženklais.

Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „-“, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi priešingais ženklais.

Vienanario ir daugianaro sandaugos transformacija (supaprastinimas).

Naudojant paskirstymo nuosavybė daugybas galima paversti (supaprastinti) į daugianarį, mononario ir daugianario sandaugą. Pavyzdžiui:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \ctaškas 7a^2 + 9a^2b \ctaškas (-5ab) + 9a^2b \ctaškas (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Vienanario ir daugianario sandauga yra identiškai lygi šio vienanalio sandaugų ir kiekvieno daugianalio nario sandaugų sumai.

Šis rezultatas paprastai formuluojamas kaip taisyklė.

Norėdami padauginti vienanarį iš daugianario, turite padauginti tą vienanarį iš kiekvieno daugianario nario.

Šią taisyklę jau kelis kartus naudojome padaugindami iš sumos.

Daugiavardžių sandauga. Dviejų daugianario sandaugos transformacija (supaprastinimas).

Apskritai dviejų daugianario sandauga yra identiškai lygi vieno daugianario kiekvieno nario sandaugos ir kiekvieno kito daugianalio sandaugos sumai.

Paprastai naudojama ši taisyklė.

Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito nario ir pridėti gautas sandaugas.

Sutrumpintos daugybos formulės. Sumos kvadratai, kvadratų skirtumai ir skirtumas

Su kai kuriais posakiais algebrinės transformacijos tenka susidurti dažniau nei kitiems. Bene dažniausios išraiškos yra \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ir \(a^2 - b^2 \), t.y. sumos kvadratas, kvadratas kvadratų skirtumas ir skirtumas. Ar pastebėjote, kad vardai nurodytas išraiškas tarsi neužbaigtas, pavyzdžiui, \((a + b)^2 \), žinoma, yra ne tik sumos kvadratas, bet ir a ir b sumos kvadratas. Tačiau a ir b sumos kvadratas dažniausiai pasitaiko nedažnai, vietoj raidžių a ir b jame yra įvairių, kartais gana sudėtingų išraiškų.

Išraiškos \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) gali būti lengvai konvertuojamos (supaprastintos) į standartinės formos polinomus :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Naudinga atsiminti gautas tapatybes ir jas taikyti be tarpinių skaičiavimų. Tam padeda trumpos žodinės formuluotės.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) – sumos kvadratas lygi sumai kvadratų ir padvigubinkite gaminį.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - skirtumo kvadratas yra lygus kvadratų sumai be dvigubos sandaugos.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kvadratų skirtumas lygus skirtumo ir sumos sandaugai.

Šios trys tapatybės leidžia transformacijose pakeisti kairiąsias dalis dešiniosiomis ir atvirkščiai – dešiniąsias dalis kairiosiomis. Sunkiausia pamatyti atitinkamas išraiškas ir suprasti, kaip jose pakeičiami kintamieji a ir b. Pažvelkime į kelis sutrumpintų daugybos formulių naudojimo pavyzdžius.

Išraiškos, išraiškų konvertavimas

Galios išraiškos (išraiškos su galiomis) ir jų transformacija

Šiame straipsnyje kalbėsime apie išraiškų konvertavimą su galiomis. Pirmiausia sutelksime dėmesį į transformacijas, kurios atliekamos naudojant bet kokios rūšies išraiškas, įskaitant galios išraiškas, tokias kaip skliaustų atidarymas ir panašių terminų įtraukimas. Tada mes analizuosime transformacijas, būdingas konkrečiai išraiškoms su laipsniais: dirbant su baze ir eksponentu, naudojant laipsnių savybes ir kt.

Puslapio naršymas.

Kas yra galios išraiškos?

Terminas „galios išraiškos“ beveik niekada nevartojamas mokykliniai vadovėliai matematikos, tačiau ji gana dažnai pasirodo uždavinių rinkiniuose, ypač skirtuose, pavyzdžiui, ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui. Išanalizavus užduotis, kuriose reikia atlikti bet kokius veiksmus su galios išraiškomis, paaiškėja, kad galios išraiškos suprantamos kaip išraiškos, kurių įrašuose yra galių. Todėl jūs galite priimti šį apibrėžimą sau:

Apibrėžimas.

Galios išraiškos yra išraiškos, turinčios galių.

Duokim galios išraiškų pavyzdžiai. Be to, mes juos pateiksime pagal tai, kaip vyksta požiūrių raida nuo laipsnio iki laipsnio. natūralus rodiklis iki tam tikro laipsnio su realiu eksponentu.

Kaip žinoma, šiame etape pirmiausia susipažįstama su skaičiaus su natūraliuoju laipsniu, pirmomis paprasčiausiomis laipsnio išraiškomis tipo 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1); 4, 3 a 2 pasirodo −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ir tt.

Šiek tiek vėliau tiriama skaičiaus su sveikuoju rodikliu galia, dėl kurios atsiranda galios išraiškos su sveikaisiais skaičiais neigiamų galių, pavyzdžiui: 3–2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Vidurinėje mokykloje jie grįžta į laipsnius. Ten įvedamas laipsnis racionalus rodiklis, dėl kurio atsiranda atitinkamos galios išraiškos: , , ir tt Galiausiai nagrinėjami laipsniai su neracionaliais rodikliais ir juos turinčios išraiškos: , .

Reikalas neapsiriboja išvardytomis galios išraiškomis: toliau kintamasis prasiskverbia į eksponentą ir, pavyzdžiui, atsiranda šios išraiškos: 2 x 2 +1 arba . O susipažinus su , pradeda atsirasti išraiškos su laipsniais ir logaritmais, pavyzdžiui, x 2·lgx −5·x lgx.

Taigi, mes sprendėme klausimą, ką reiškia galios išraiškos. Toliau mes išmoksime juos transformuoti.

Pagrindiniai galios išraiškų transformacijų tipai

Naudodami galios išraiškas galite atlikti bet kurią iš pagrindinių išraiškų tapatybės transformacijų. Pavyzdžiui, galite išplėsti skliaustus, pakeisti skaitinės išraiškos jų vertybes, pateikti panašius terminus ir pan. Natūralu, kad tokiu atveju būtina laikytis priimtos veiksmų atlikimo tvarkos. Pateikime pavyzdžių.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite laipsnio išraiškos reikšmę 2 3 ·(4 2 −12) .

Sprendimas.

Pagal veiksmų atlikimo tvarką pirmiausia atlikite veiksmus skliausteliuose. Ten, pirma, pakeičiame laipsnį 4 2 jo reikšme 16 (jei reikia žr.), o antra – skaičiuojame skirtumą 16−12=4. Turime 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4.

Gautoje išraiškoje laipsnį 2 3 pakeičiame jo reikšme 8, po to apskaičiuojame sandaugą 8·4=32. Tai yra norima vertė.

Taigi, 2 3 · (4 2 −12) = 2 3 · (16−12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Atsakymas:

2 3 · (4 2 −12)=32.

Pavyzdys.

Supaprastinkite išraiškas naudodami galias 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Sprendimas.

Akivaizdu, kad šioje išraiškoje yra panašūs terminai 3·a 4 ·b −7 ir 2·a 4 ·b −7 , ir galime juos pateikti: .

Atsakymas:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Pavyzdys.

Išreikškite išraišką galiomis kaip produktą.

Sprendimas.

Su užduotimi galite susidoroti pateikdami skaičių 9 kaip laipsnį 3 2 ir tada naudodami sutrumpinto daugybos formulę - kvadratų skirtumą:

Atsakymas:

Taip pat yra keletas identiškų transformacijų, būdingų konkrečiai galios išraiškoms. Mes juos analizuosime toliau.

Darbas su baze ir eksponentu

Yra laipsnių, kurių bazė ir (arba) rodiklis yra ne tik skaičiai ar kintamieji, bet ir kai kurios išraiškos. Kaip pavyzdį pateikiame įrašus (2+0.3·7) 5−3.7 ir (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Dirbdami su panašiomis išraiškomis galite vienodai pakeisti ir laipsnio bazėje, ir laipsnio išraišką lygiavertė išraiška jo kintamųjų ODZ. Kitaip tariant, pagal mums žinomas taisykles galime atskirai transformuoti laipsnio bazę ir atskirai laipsnį. Akivaizdu, kad dėl šios transformacijos bus gauta išraiška, kuri yra identiška pradinei.

Tokios transformacijos leidžia supaprastinti posakius su galiomis arba pasiekti kitų mums reikalingų tikslų. Pavyzdžiui, aukščiau paminėtoje laipsnio išraiškoje (2+0,3 7) 5−3,7 galima atlikti operacijas su skaičiais bazėje ir laipsnyje, kurie leis pereiti prie laipsnio 4,1 1,3. O atplėšę skliaustus ir privedę panašius terminus į laipsnio pagrindą (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) gauname galios išraišką daugiau paprastas tipas a 2·(x+1) .

Laipsnio savybių naudojimas

Viena iš pagrindinių priemonių transformuojant išraiškas galiomis yra lygybės, kurios atspindi . Prisiminkime pagrindinius. Bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b ir savavališkai realūs skaičiai r ir s yra teisingi šias savybes laipsniai:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a · b) r =a r · b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Atminkite, kad natūraliųjų, sveikųjų ir teigiamų rodiklių apribojimai skaičių a ir b gali būti ne tokie griežti. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių m ir n lygybė a m ·a n =a m+n galioja ne tik teigiamam a, bet ir neigiamam a, o a=0.

Mokykloje pagrindinis dėmesys transformuojant galios išraiškas skiriamas gebėjimui pasirinkti tinkamą savybę ir ją teisingai pritaikyti. Šiuo atveju laipsnių pagrindai dažniausiai būna teigiami, o tai leidžia be apribojimų naudoti laipsnių savybes. Tas pats pasakytina ir apie išraiškų, turinčių kintamuosius, transformaciją galių bazėse - srityje priimtinos vertės kintamieji paprastai yra tokie, kad jų pagrindas tik priimamas teigiamas vertes, kuri leidžia laisvai naudotis laipsnių savybėmis. Apskritai reikia nuolat savęs klausti, ar galima šiuo atveju panaudoti kokią nors laipsnių savybę, nes netikslus savybių panaudojimas gali lemti edukacinės vertės susiaurėjimą ir kitų bėdų. Šie punktai išsamiai ir su pavyzdžiais aptariami straipsnyje išraiškų transformacija naudojant laipsnių savybes. Čia apsiribosime keletu paprastų pavyzdžių.

Pavyzdys.

Išreikškite išraišką a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kaip laipsnį su baze a.

Sprendimas.

Pirma, mes transformuojame antrąjį koeficientą (a 2) −3, naudodami laipsnio pakėlimo į laipsnį savybę: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Pradinė galios išraiška bus a 2.5 ·a −6:a −5.5. Akivaizdu, kad belieka naudoti galių dauginimo ir padalijimo savybes su ta pačia baze, kurią turime
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Atsakymas:

a 2,5 · (a 2) -3:a -5,5 =a 2.

Galių savybės transformuojant galios išraiškas naudojamos tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę.

Pavyzdys.

Raskite galios išraiškos reikšmę.

Sprendimas.

Lygybė (a·b) r =a r ·b r, taikoma iš dešinės į kairę, leidžia pereiti nuo pradinės išraiškos prie formos sandaugos ir toliau. O kai dauginant galias su tuo pačiu pagrindu rodikliai susideda iš: .

Pradinę išraišką buvo galima pakeisti kitu būdu:

Atsakymas:

.

Pavyzdys.

Atsižvelgiant į galios išraišką a 1,5 −a 0,5 −6, įveskite naują kintamąjį t=a 0,5.

Sprendimas.

Galia a 1,5 gali būti pavaizduota kaip 0,5·3, o tada, remiantis laipsnio savybe galiai (a r) s =a r·s, taikoma iš dešinės į kairę, transformuoti ją į formą (a 0,5) 3 . Taigi, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Dabar lengva įvesti naują kintamąjį t=a 0,5, gauname t 3 −t−6.

Atsakymas:

t 3 −t−6 .

Trupmenų, turinčių laipsnius, konvertavimas

Galios išraiškose gali būti arba atvaizduoti trupmenas su galiomis. Bet kurios pagrindinės trupmenų transformacijos, būdingos bet kokios rūšies trupmenoms, yra visiškai taikomos tokioms trupmenoms. Tai yra, trupmenas, kuriose yra laipsniai, galima sumažinti, sumažinti iki naujo vardiklio, dirbti atskirai su jų skaitikliu ir atskirai su vardikliu ir pan. Norėdami iliustruoti šiuos žodžius, apsvarstykite kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraišką .

Sprendimas.

Ši galios išraiška yra trupmena. Dirbkime su jo skaitikliu ir vardikliu. Skaitiklyje atidarome skliaustus ir supaprastiname gautą išraišką naudodami galių savybes, o vardiklyje pateikiame panašius terminus:

Taip pat pakeiskime vardiklio ženklą, prieš trupmeną padėdami minusą: .

Atsakymas:

.

Trupmenų, turinčių laipsnius, sumažinimas iki naujo vardiklio atliekamas panašiai kaip racionalių trupmenų sumažinimas iki naujo vardiklio. Šiuo atveju taip pat randamas papildomas koeficientas ir iš jo padauginamas trupmenos skaitiklis ir vardiklis. Atliekant šį veiksmą, verta atsiminti, kad sumažinimas iki naujo vardiklio gali lemti VA susiaurėjimą. Kad taip neatsitiktų, būtina, kad jokioms kintamųjų reikšmėms iš pradinės išraiškos ODZ kintamųjų papildomas koeficientas nebūtų lygus nuliui.

Pavyzdys.

Sumažinkite trupmenas iki naujo vardiklio: a) iki vardiklio a, b) į vardiklį.

Sprendimas.

a) Šiuo atveju gana nesunku išsiaiškinti, kuris papildomas daugiklis padeda pasiekti norimą rezultatą. Tai yra 0,3 daugiklis, nes 0,7 ·a 0,3 =a 0,7 + 0,3 =a. Atkreipkite dėmesį, kad kintamojo a leistinų reikšmių diapazone (tai yra visų teigiamų realiųjų skaičių aibė) 0,3 laipsnis neišnyksta, todėl turime teisę padauginti skaitiklį ir vardiklį duota trupmena pagal šį papildomą daugiklį:

b) Atidžiau pažvelgę ​​į vardiklį, galite tai rasti

ir padauginus šią išraišką iš gausite kubelių sumą ir , Tai yra, . Ir tai yra naujas vardiklis, iki kurio turime sumažinti pradinę trupmeną.

Taip radome papildomą veiksnį. Kintamųjų x ir y leistinų reikšmių diapazone išraiška neišnyksta, todėl iš jos galime padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį:

Atsakymas:

A) , b) .

Taip pat nėra nieko naujo mažinant trupmenas, kuriose yra laipsniai: skaitiklis ir vardiklis vaizduojami kaip daugybė veiksnių, o tie patys skaitiklio ir vardiklio veiksniai yra sumažinami.

Pavyzdys.

Sumažinkite trupmeną: a) , b) .

Sprendimas.

a) Pirma, skaitiklį ir vardiklį galima sumažinti skaičiais 30 ir 45, kurie yra lygūs 15. Taip pat akivaizdu, kad galima sumažinti x 0,5 +1 ir . Štai ką mes turime:

b) Šiuo atveju identiški veiksniai skaitiklyje ir vardiklyje nėra matomi iš karto. Norėdami juos gauti, turėsite atlikti išankstines transformacijas. Šiuo atveju jie susideda iš vardiklio faktoringo naudojant kvadratų skirtumo formulę:

Atsakymas:

A)

b) .

Trupmenų konvertavimas į naują vardiklį ir trupmenų mažinimas dažniausiai naudojami trupmenoms atlikti. Veiksmai atliekami pagal žinomas taisykles. Sudedant (atimant) trupmenas, jos sumažinamos iki bendro vardiklio, po to pridedami (atimami) skaitikliai, tačiau vardiklis lieka toks pat. Rezultatas yra trupmena, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis yra vardiklių sandauga. Dalyba iš trupmenos yra daugyba iš atvirkštinės.

Pavyzdys.

Atlikite veiksmus .

Sprendimas.

Pirmiausia atimame skliausteliuose esančias trupmenas. Norėdami tai padaryti, mes juos sujungiame į bendrą vardiklį, kuris yra , po kurio atimame skaitiklius:

Dabar padauginame trupmenas:

Akivaizdu, kad galima sumažinti x 1/2 laipsniu, po kurio turime .

Taip pat galite supaprastinti galios išraišką vardiklyje naudodami kvadratų skirtumo formulę: .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraišką .

Sprendimas.

Akivaizdu, duota trupmena gali būti sumažintas (x 2,7 +1) 2, taip gaunama trupmena . Aišku, kad su X galiomis reikia daryti ką nors kita. Norėdami tai padaryti, gautą frakciją paverčiame produktu. Tai suteikia mums galimybę pasinaudoti galių padalijimo savybe tais pačiais pagrindais: . Ir proceso pabaigoje pereiname nuo paskutinis darbas iki trupmenos.

Atsakymas:

.

Ir dar pridurkime, kad galima ir daugeliu atvejų pageidautina naudoti daugiklius su neigiami rodikliai laipsniai perkeliami iš skaitiklio į vardiklį arba iš vardiklio į skaitiklį, keičiant rodiklio ženklą. Tokios transformacijos dažnai supaprastėja tolesni veiksmai. Pavyzdžiui, galios išraišką galima pakeisti .

Posakių konvertavimas su šaknimis ir galiomis

Dažnai posakiuose, kuriuose reikia kai kurių transformacijų, kartu su galiomis su trupmeniniai rodikliai taip pat yra šaknų. Norėdami konvertuoti tokią išraišką į tinkamas tipas, daugeliu atvejų pakanka eiti tik prie šaknų arba tik prie galių. Bet kadangi su galiomis dirbti patogiau, jos dažniausiai pereina nuo šaknų prie galių. Tačiau patartina atlikti tokį perėjimą, kai pradinės išraiškos kintamųjų ODZ leidžia pakeisti šaknis galiomis, nereikia kreiptis į modulį arba padalinti ODZ į kelis intervalus (tai išsamiai aptarėme Straipsnio perėjimas nuo šaknų prie galių ir atgal Susipažinus su laipsniu su racionaliuoju laipsniu, įvedamas laipsnis su neracionaliuoju laipsniu, kuris leidžia kalbėti apie laipsnį su savavališku realiuoju laipsniu Šiame etape mokykla pradeda studijuoti. eksponentinė funkcija , kuris analitiškai pateikiamas laipsniu, kurio pagrindas yra skaičius, o rodiklis yra kintamasis. Taigi susiduriame su galios išraiškomis, kurių laipsnio bazėje yra skaičiai, o laipsnyje - išraiškos su kintamaisiais, ir natūraliai atsiranda poreikis atlikti tokių išraiškų transformacijas.

Reikėtų pasakyti, kad transformuojant išraiškas nurodytas tipas dažniausiai turi būti daroma sprendžiant eksponentinės lygtys Ir eksponentinės nelygybės , ir šios konversijos yra gana paprastos. Daugeliu atvejų jie yra pagrįsti laipsnių savybėmis ir dažniausiai yra skirti įvesti naują kintamąjį ateityje. Lygtis leis mums juos parodyti 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pirma, laipsniai, kurių eksponentuose yra tam tikro kintamojo (arba išraiškos su kintamaisiais) ir skaičiaus suma, pakeičiami sandaugomis. Tai taikoma pirmajai ir paskutinei išraiškos kairėje pusėje:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tada abi lygybės pusės padalijamos iš išraiškos 7 2 x , kuri yra iš kintamojo x ODZ pradinė lygtis ima tik teigiamas reikšmes (tai yra standartinė tokio tipo lygčių sprendimo technika, dabar apie tai nekalbame, todėl sutelkite dėmesį į vėlesnes išraiškų transformacijas su galiomis):

Dabar galime atšaukti trupmenas su galiomis, kurios suteikia .

Galiausiai, galių santykis su tie patys rodikliai pakeičiamas santykių galiomis, vedančiomis į lygtį , kuris yra lygiavertis . Atliktos transformacijos leidžia įvesti naują kintamąjį, kuris sumažina sprendimą iki pradinio eksponentinė lygtis kvadratinei lygčiai išspręsti

Panagrinėkime išraiškų transformavimo galiomis temą, bet pirmiausia apsistokime ties keletu transformacijų, kurias galima atlikti bet kokiomis išraiškomis, įskaitant galias. Išmoksime atidaryti skliaustus, pridėti panašių terminų, dirbti su bazėmis ir rodikliais, naudoti galių savybes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas yra galios išraiškos?

IN mokyklos kursas Nedaug žmonių vartoja frazę „galingi posakiai“, tačiau šis terminas nuolat randamas kolekcijose, skirtose pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui. Daugeliu atvejų frazė žymi išraiškas, kurių įrašuose yra laipsnių. Tai mes atspindėsime savo apibrėžime.

1 apibrėžimas

Galios išraiška yra išraiška, kurioje yra galių.

Pateiksime keletą galios išraiškų pavyzdžių, pradedant laipsniu su natūraliuoju laipsniu ir baigiant laipsniu su tikruoju laipsniu.

Paprasčiausias laipsnio išraiškas galima laikyti laipsniais skaičiaus su natūraliuoju rodikliu: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1, (a 2) 3 . Taip pat laipsniai su nuliniu rodikliu: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Ir laipsniai su neigiamais sveikųjų skaičių laipsniais: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Šiek tiek sunkiau dirbti su laipsniu, kuris turi racionalų ir neracionalūs rodikliai: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 – π, 2 3 3 + 5.

Rodiklis gali būti kintamasis 3 x - 54 - 7 3 x - 58 arba logaritmas x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Mes sprendėme klausimą, kas yra galios išraiškos. Dabar pradėkime juos konvertuoti.

Pagrindiniai galios išraiškų transformacijų tipai

Pirmiausia apžvelgsime pagrindines išraiškų tapatumo transformacijas, kurias galima atlikti galios išraiškomis.

1 pavyzdys

Apskaičiuokite galios išraiškos reikšmę 2 3 (4 2–12).

Sprendimas

Visas pertvarkas atliksime laikydamiesi veiksmų eilės. Šiuo atveju pradėsime atlikdami veiksmus skliausteliuose: laipsnį pakeiskite į skaitmeninė vertė ir apskaičiuokite dviejų skaičių skirtumą. Turime 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Viskas, ką turime padaryti, tai pakeisti laipsnį 2 3 jo prasmė 8 ir apskaičiuokite produktą 8 4 = 32. Štai mūsų atsakymas.

Atsakymas: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

2 pavyzdys

Supaprastinkite išraišką galiomis 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Sprendimas

Problemos teiginyje mums pateiktoje išraiškoje yra panašių terminų, kuriuos galime pateikti: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Atsakymas: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

3 pavyzdys

Išreikškite išraišką laipsniais 9 - b 3 · π - 1 2 kaip sandaugą.

Sprendimas

Įsivaizduokime skaičių 9 kaip galią 3 2 ir pritaikykite sutrumpintą daugybos formulę:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Atsakymas: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Dabar pereikime prie tapatybės transformacijų, kurios gali būti taikomos konkrečiai galios išraiškoms, analizės.

Darbas su baze ir eksponentu

Pagrindo arba laipsnio laipsnis gali turėti skaičius, kintamuosius ir kai kurias išraiškas. Pavyzdžiui, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 Ir . Su tokiais įrašais dirbti sunku. Daug lengviau laipsnio bazėje esančią išraišką arba laipsnio išraišką pakeisti identiška išraiška.

Laipsnio ir laipsnio transformacijos atliekamos pagal mums žinomas taisykles atskirai viena nuo kitos. Svarbiausia, kad transformacijos rezultatas būtų identiškas pradinei išraiškai.

Transformacijų tikslas – supaprastinti pradinę išraišką arba gauti problemos sprendimą. Pavyzdžiui, aukščiau pateiktame pavyzdyje (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 galite atlikti veiksmus, kad pasiektumėte laipsnį 4 , 1 1 , 3 . Atidarę skliaustus galime pateikti panašius terminus galios pagrindui (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) ir gauti paprastesnės formos galios išraišką a 2 (x + 1).

Laipsnio savybių naudojimas

Galių savybės, parašytos lygybių forma, yra viena iš pagrindinių priemonių transformuoti išraiškas galiomis. Čia pateikiame pagrindinius, atsižvelgdami į tai a Ir b- tai bet kokie teigiami skaičiai, A r Ir s- savavališki realieji skaičiai:

2 apibrėžimas

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Tais atvejais, kai kalbame su natūraliaisiais, sveikaisiais, teigiamais eksponentais, skaičių a ir b apribojimai gali būti daug ne tokie griežti. Taigi, pavyzdžiui, jei svarstysime lygybę a m · a n = a m + n, Kur m Ir n – natūraliuosius skaičius, tada tai bus teisinga bet kurioms a reikšmėms, tiek teigiamoms, tiek neigiamoms, taip pat a = 0.

Galių savybės gali būti naudojamos be apribojimų tais atvejais, kai galių bazės yra teigiamos arba jose yra kintamųjų, kurių leistinų reikšmių diapazonas yra toks, kad bazės turi tik teigiamas reikšmes. Tiesą sakant, viduje mokyklos mokymo programa matematikoje mokinio užduotis – pasirinkti tinkamą savybę ir teisingai ją pritaikyti.

Ruošiantis stoti į universitetus galite susidurti su problemomis, kurias sprendžiant dėl ​​netikslaus savybių taikymo susiaurės DL ir kiti sunkumai. IN šį skyrių Išnagrinėsime tik du tokius atvejus. Daugiau informacijos klausimą galima rasti temoje „Išraiškų konvertavimas naudojant galių savybes“.

4 pavyzdys

Įsivaizduokite išraišką a 2 , 5 (a 2) – 3: a – 5, 5 galios su pagrindu pavidalu a.

Sprendimas

Pirma, mes naudojame eksponencijos savybę ir transformuojame antrąjį veiksnį naudodami jį (a 2) – 3. Tada mes naudojame laipsnių daugybos ir padalijimo savybes su ta pačia baze:

a 2 , 5 · a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5) = a 2 .

Atsakymas: a 2, 5 · (a 2) - 3: a - 5, 5 = a 2.

Galios išraiškų transformacija pagal galių savybę gali būti atliekama tiek iš kairės į dešinę, tiek į priešingą pusę.

5 pavyzdys

Raskite galios išraiškos 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 reikšmę.

Sprendimas

Jei taikysime lygybę (a · b) r = a r · b r, iš dešinės į kairę, gauname 3 · 7 1 3 · 21 2 3 ir tada 21 1 3 · 21 2 3 formos sandaugą. Sudėkime eksponentus, kai laipsnius dauginame su tomis pačiomis bazėmis: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Yra dar vienas transformacijos būdas:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Atsakymas: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

6 pavyzdys

Pateikta galios išraiška a 1, 5 - a 0, 5 - 6, įveskite naują kintamąjį t = a 0,5.

Sprendimas

Įsivaizduokime laipsnį 1, 5 Kaip 0,5 3. Naudojant laipsnio ir laipsnių savybę (a r) s = a r · s iš dešinės į kairę ir gauname (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Galite lengvai įvesti naują kintamąjį į gautą išraišką t = a 0,5: gauname t 3 − t − 6.

Atsakymas: t 3 − t − 6 .

Trupmenų, turinčių laipsnius, konvertavimas

Paprastai susiduriame su dviem galios išraiškų su trupmenomis versijomis: išraiška reiškia trupmeną su laipsniu arba apima tokią trupmeną. Tokioms išraiškoms be apribojimų taikomos visos pagrindinės trupmenų transformacijos. Jie gali būti sumažinti, perkelti į naują vardiklį arba apdoroti atskirai su skaitikliu ir vardikliu. Iliustruojame tai pavyzdžiais.

7 pavyzdys

Supaprastinkite galios išraišką 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Sprendimas

Mes susiduriame su trupmena, todėl atliksime transformacijas ir skaitiklyje, ir vardikliuose:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Norėdami pakeisti vardiklio ženklą, prieš trupmeną įdėkite minuso ženklą: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Atsakymas: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Trupmenos, turinčios laipsnius, sumažinamos iki naujo vardiklio taip pat kaip racionalios trupmenos. Norėdami tai padaryti, turite rasti papildomą koeficientą ir iš jo padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Būtina pasirinkti papildomą veiksnį taip, kad jokioms kintamųjų reikšmėms iš pradinės išraiškos ODZ kintamųjų jis nepatektų į nulį.

8 pavyzdys

Sumažinkite trupmenas iki naujo vardiklio: a) a + 1 a 0, 7 iki vardiklio a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 iki vardiklio x + 8 · y 1 2 .

Sprendimas

a) Parinkime koeficientą, kuris leis redukuoti iki naujo vardiklio. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, todėl kaip papildomą veiksnį imsime a 0, 3. Kintamojo a leistinų verčių diapazonas apima visų teigiamų realiųjų skaičių rinkinį. Laipsnis šioje srityje a 0, 3 nenueina iki nulio.

Padauginkime trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Atkreipkite dėmesį į vardiklį:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Padauginkime šią išraišką iš x 1 3 + 2 · y 1 6, gausime kubelių x 1 3 ir 2 · y 1 6 sumą, t.y. x + 8 · y 1 2 . Tai mūsų naujas vardiklis, iki kurio turime sumažinti pradinę trupmeną.

Taip radome papildomą koeficientą x 1 3 + 2 · y 1 6 . Apie leistinų kintamųjų verčių diapazoną x Ir y išraiška x 1 3 + 2 y 1 6 neišnyksta, todėl iš jos galime padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Atsakymas: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

9 pavyzdys

Sumažinkite trupmeną: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Sprendimas

a) Naudojame didžiausią bendrą vardiklį (GCD), kuriuo galime sumažinti skaitiklį ir vardiklį. Skaičiams 30 ir 45 yra 15. Taip pat galime sumažinti iki x0,5+1 ir ant x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Mes gauname:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Čia identiškų veiksnių buvimas nėra akivaizdus. Turėsite atlikti kai kurias transformacijas, kad gautumėte tuos pačius skaitiklio ir vardiklio veiksnius. Norėdami tai padaryti, išplečiame vardiklį naudodami kvadratų skirtumo formulę:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Atsakymas: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Pagrindinės operacijos su trupmenomis apima trupmenų konvertavimą į naują vardiklį ir trupmenų mažinimą. Abu veiksmai atliekami laikantis tam tikrų taisyklių. Sudedant ir atimant trupmenas, pirmiausia trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio, po to atliekamos operacijos (sudėti arba atimti) su skaitikliais. Vardiklis išlieka tas pats. Mūsų veiksmų rezultatas – nauja trupmena, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis – vardklių sandauga.

10 pavyzdys

Atlikite veiksmus x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Sprendimas

Pradėkime atimdami skliausteliuose esančias trupmenas. Suveskime juos prie bendro vardiklio:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Atimkime skaitiklius:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Dabar padauginame trupmenas:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Sumažinkime galia x 1 2, gauname 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Be to, jūs galite supaprastinti galios išraišką vardiklyje, naudodami kvadratų skirtumo formulę: kvadratai: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Atsakymas: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

11 pavyzdys

Supaprastinkite laipsnio dėsnio išraišką x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Sprendimas

Mes galime sumažinti trupmeną (x 2, 7 + 1) 2. Gauname trupmeną x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Tęskime x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 laipsnių transformaciją. Dabar galite naudoti dalijimo laipsnius su tais pačiais pagrindais savybę: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Nuo paskutinio produkto pereiname prie trupmenos x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Atsakymas: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Daugeliu atvejų patogiau perkelti veiksnius su neigiamais rodikliais iš skaitiklio į vardiklį ir atgal, keičiant rodiklio ženklą. Šis veiksmas leidžia supaprastinti tolesnį sprendimą. Pateikiame pavyzdį: laipsnio išraišką (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 galima pakeisti x 3 · (x + 1) 0, 2.

Posakių konvertavimas su šaknimis ir galiomis

Problemose yra galios išraiškos, kuriose yra ne tik laipsniai su trupmeniniais rodikliais, bet ir šaknys. Patartina tokius posakius redukuoti tik į šaknis arba tik į galias. Pageidautina siekti laipsnių, nes su jais lengviau dirbti. Šis perėjimas yra ypač pageidautinas, kai pradinės išraiškos kintamųjų ODZ leidžia pakeisti šaknis galiomis, nereikia pasiekti modulio arba padalyti ODZ į kelis intervalus.

12 pavyzdys

Išreikškite išraišką x 1 9 · x · x 3 6 kaip laipsnį.

Sprendimas

Leidžiamų kintamųjų verčių diapazonas x apibrėžiamas dviem nelygybėmis x ≥ 0 ir x x 3 ≥ 0, kurie apibrėžia aibę [ 0 , + ∞) .

Šiame rinkinyje mes turime teisę pereiti nuo šaknų prie galių:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Naudodamiesi galių savybėmis, supaprastiname gautą galios išraišką.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Atsakymas: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Laipsnių konvertavimas su kintamaisiais eksponente

Šias transformacijas gana lengva atlikti, jei teisingai panaudojate laipsnio savybes. Pavyzdžiui, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Galime pakeisti laipsnių sandauga, kurios rodikliai yra kokio nors kintamojo ir skaičiaus suma. Kairėje pusėje tai galima padaryti su pirmąja ir paskutine kairiosios išraiškos pusės dalimis:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

Dabar padalinkime abi lygybės puses iš 7 2 x. Ši kintamojo x išraiška turi tik teigiamas reikšmes:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Sumažinkime trupmenas laipsniais, gausime: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Galiausiai laipsnių santykis su tais pačiais rodikliais pakeičiamas koeficientų laipsniais, todėl gaunama lygtis 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, kuri yra lygi 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0.

Įveskime naują kintamąjį t = 5 7 x, kuris sumažina pradinės eksponentinės lygties sprendinį iki sprendinio kvadratinė lygtis 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Išraiškų konvertavimas laipsniais ir logaritmais

Išraiškos, turinčios laipsnius ir logaritmus, taip pat randamos uždaviniuose. Tokių posakių pavyzdys yra: 1 4 1 - 5 · log 2 3 arba log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Konversija panašias išraiškas yra atliekamas naudojant aukščiau aptartus logaritmų metodus ir savybes, kuriuos išsamiai aptarėme temoje „Logaritminių išraiškų transformavimas“.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter