Тэгшитгэлийн системийг эдийн засгийн салбарт өргөнөөр ашиглаж ирсэн математик загварчлал янз бүрийн процессууд. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн менежмент, төлөвлөлтийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ логистикийн маршрут ( тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмж байрлуулах.

Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Систем шугаман тэгшитгэлнийтлэг шийдлийг олох шаардлагатай хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэлийг нэрлэнэ үү. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.

Шугаман тэгшитгэл

ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэнэ. x, y тэмдэглэгээ нь утгыг нь олох ёстой үл мэдэгдэх зүйлс, b, a нь хувьсагчдын коэффициент, в нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Тэгшитгэлийг зурах замаар шийдэх нь бүх цэгүүд нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам шиг харагдана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд

Хамгийн энгийн жишээ бол X ба Y гэсэн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм.

F1(x, y) = 0 ба F2(x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгуудыг (x, y) олох эсвэл x ба y-ийн тохирох утгууд байхгүй болохыг тогтооно гэсэн үг юм.

Цэгийн координат хэлбэрээр бичигдсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системүүд нь баруун тал нь тэгтэй тэнцүү систем юм. Хэрэв тэнцүү тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь гетероген байна.

Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.

Системтэй тулгарах үед сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчаас хамаардаггүй;

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд

Ийм системийг шийдвэрлэх ерөнхий аналитик арга байхгүй; тоон шийдлүүд. IN сургуулийн курсматематик, орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах зэрэг аргууд, түүнчлэн график болон матрицын арга, Гауссын аргаар шийдэл.

Шийдлийн аргуудыг заах гол ажил бол системд хэрхэн зөв дүн шинжилгээ хийх, жишээ тус бүрийн оновчтой шийдлийн алгоритмыг олоход сургах явдал юм. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг ашиглах зарчмуудыг ойлгох явдал юм.

Ерөнхий боловсролын 7-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх нь маш энгийн бөгөөд нарийвчлан тайлбарласан болно. Аливаа математикийн сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээг дээд боловсролын эхний жилүүдэд илүү нарийвчлан судалдаг.

Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсагчаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийлэлийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсагчтай хэлбэрт буулгана. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана

Орлуулах аргыг ашиглан 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдлийг өгье.

Жишээнээс харахад х хувьсагчийг F(X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь X-ийн оронд системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Шийдэл энэ жишээхүндрэл учруулахгүй бөгөөд Y утгыг олж авах боломжийг олгодог хамгийн сүүлийн алхам бол олж авсан утгыг шалгах явдал юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх байдлаар илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байвал орлуулах замаар шийдвэрлэх нь бас тохиромжгүй.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдэл:

Алгебрийн нэмэлтийг ашиглан шийдэл

Нэмэх аргыг ашиглан системийн шийдлүүдийг хайхдаа тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмэх, үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг. өөр өөр тоо. Эцсийн зорилгоМатематик үйлдлүүд нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Хэрэглээний хувьд энэ аргададлага, ажиглалт шаардлагатай. 3 ба түүнээс дээш хувьсагчтай үед шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тэгшитгэл нь бутархай ба аравтын бутархайг агуулсан үед алгебрийн нэмэлтийг ашиглахад тохиромжтой.

Шийдлийн алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлнэ. Үүний үр дүнд арифметик үйлдэлхувьсагчийн коэффициентүүдийн аль нэг нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
2. Үүссэн илэрхийллийн гишүүнийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх нэгийг ол.
3. Үүссэн утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулж, үлдсэн хувьсагчийг ол.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдвэрлэх арга

Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олохыг шаарддаг бол үл мэдэгдэх тоо хоёроос илүүгүй байх шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг оруулж болно.

Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Шинэ тэгшитгэлийг танилцуулсан үл мэдэгдэх зүйлийг шийдэж, үр дүнгийн утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.

t шинэ хувьсагчийг оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт болгон бууруулах боломжтой байсныг жишээ харуулж байна. квадрат гурвалжин. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.

-ээр ялгах утгыг олох шаардлагатай сайн мэддэг томъёо: D = b2 - 4*a*c, энд D нь хүссэн дискриминант, b, a, c олон гишүүнтийн хүчин зүйлүүд юм. IN жишээ өгсөн a=1, b=16, c=39, тиймээс D=100. Хэрэв ялгаварлагч бол тэгээс их, тэгвэл хоёр шийдэл байна: t = -b±√D / 2*a, хэрэв ялгаварлагч бол тэгээс бага, тэгвэл ганцхан шийдэл байна: x= -b / 2*a.

Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.

Системийг шийдвэрлэх харааны арга

3 тэгшитгэлийн системд тохиромжтой. Арга нь дээр тулгуурлах явдал юм координатын тэнхлэгсистемд орсон тэгшитгэл бүрийн график. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд мөн байх болно ерөнхий шийдвэрсистемүүд.

График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээнээс харахад мөр бүрт хоёр цэгийг байгуулж, x хувьсагчийн утгыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов: 3 ба 0. График дээр (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг тэмдэглэж, шугамаар холбосон.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.

IN дараах жишээолох хэрэгтэй график шийдэлшугаман тэгшитгэлийн систем: 0.5x-y+2=0 ба 0.5x-y-1=0.

Графикууд нь параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул жишээнээс харахад системд шийдэл байхгүй.

2 ба 3-р жишээн дээрх системүүд нь ижил төстэй боловч бүтээгдсэн үед тэдгээрийн шийдэл нь өөр болох нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэхийг үргэлж хэлэх боломжгүй гэдгийг санах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь үргэлж график байгуулах шаардлагатай байдаг.

Матриц ба түүний сортууд

Матрицуудыг ашигладаг богино тэмдэглэлшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Матриц бол хүснэгт юм тусгай төрөлтоогоор дүүргэсэн. n*m нь n - мөр, m - баганатай.

Матриц нь багана, мөрийн тоо тэнцүү байх үед квадрат болно. Матриц-вектор нь хязгааргүй нэг баганын матриц юм боломжит тоошугамууд. Нэг диагональ ба бусад дагуух нэгж бүхий матриц тэг элементнэгж гэж нэрлэдэг.

Урвуу матриц нь үржүүлбэл анхны матриц нь нэгж матриц болж хувирдаг матриц нь зөвхөн анхны квадратын хувьд л байдаг.

Тэгшитгэлийн системийг матриц руу хөрвүүлэх дүрэм

Тэгшитгэлийн системтэй холбоотойгоор коэффициент ба чөлөөт гишүүдтэгшитгэл, нэг тэгшитгэл - матрицын нэг эгнээ.

Хэрэв мөрийн дор хаяж нэг элемент байхгүй бол матрицын мөрийг тэг биш гэж үзнэ. тэгтэй тэнцүү. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг оруулах шаардлагатай.

Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг тохирч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх у-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг тоогоор дараалан үржүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох сонголтууд

Урвуу матрицыг олох томъёо нь маш энгийн: K -1 = 1 / |K|, энд K -1 - урвуу матриц, болон |K| матрицын тодорхойлогч юм. |K| тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тэгвэл систем шийдэлтэй болно.

Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог, та диагональ элементүүдийг бие биенээр нь үржүүлэхэд л хангалттай. “Гурав гурваар” гэсэн хувилбарын хувьд |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 томъёо байна. + a 3 b 2 c 1 . Та томьёог ашиглаж болно, эсвэл ажил дээр багана, мөрийн элементийн тоо давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх

Шийдэл олох матрицын арга нь системийг шийдвэрлэх үед төвөгтэй оруулгуудыг багасгах боломжийг олгодог их тоохувьсагч ба тэгшитгэл.

Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор x n хувьсагч, b n нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

IN дээд математикГауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын шийдлийн арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олоход ашигладаг хувьсах системүүдолон тооны шугаман тэгшитгэлтэй.

Гауссын арга нь орлуулалтыг ашигладаг шийдэлтэй маш төстэй бөгөөд алгебрийн нэмэлт, гэхдээ илүү системтэй. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын аргын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. By алгебрийн хувиргалтба орлуулалт, нэг хувьсагчийн утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олно. Хоёр дахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх илэрхийлэл бөгөөд 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай байна.

Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.

IN сургуулийн сурах бичиг 7-р ангийн хувьд Гауссын аргын шийдлийн жишээг дараах байдлаар тайлбарлав.

Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 =11 ба 3х 3 +2х 4 =7 гэсэн хоёр тэгшитгэл гарсан. Аливаа тэгшитгэлийг шийдэх нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг олгоно.

Бичвэрт дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү байх болно гэж заасан.

Гауссын аргыг оюутнууд ойлгоход хэцүү байдаг ахлах сургууль, гэхдээ математик, физикийн ангиудад гүнзгийрүүлсэн сургалтын хөтөлбөрт хамрагдаж буй хүүхдүүдийн оюун ухааныг хөгжүүлэх хамгийн сонирхолтой арга замуудын нэг юм.

Бичлэг хийхэд хялбар байх үүднээс тооцооллыг ихэвчлэн дараах байдлаар хийдэг.

Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичсэн бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд тохирч байна. тэгшитгэлийн зүүн талыг баруун талаас нь тусгаарлана. Ромын тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог заана.

Эхлээд ажиллах матрицыг бичээд дараа нь аль нэг мөрийг ашиглан хийсэн бүх үйлдлийг бичнэ үү. Үүссэн матрицыг "сум" тэмдгийн дараа бичиж, шаардлагатай ажлыг үргэлжлүүлнэ алгебрийн үйлдлүүдүр дүнд хүрэх хүртэл.

Үр дүн нь диагональуудын аль нэг нь 1, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэгж хэлбэрээр бууруулна. Бид тэгшитгэлийн хоёр талд тоогоор тооцоо хийхээ мартаж болохгүй.

Энэхүү бичлэг хийх арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд олон тооны үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.

Аливаа шийдлийн аргыг үнэ төлбөргүй ашиглах нь анхаарал халамж, зарим туршлага шаарддаг. Бүх аргууд нь хэрэглээний шинж чанартай байдаггүй. Шийдэл олох зарим аргууд нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны тодорхой салбарт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь боловсролын зорилгоор байдаг.

Үүнийг ашиглаж байна математикийн програмТа хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг хоёроор шийдэж болно хувьсах аргаорлуулах, нэмэх арга.

Хөтөлбөр нь зөвхөн асуудлын хариултыг өгдөг төдийгүй бас өгдөг нарийвчилсан шийдэлОрлуулах арга ба нэмэх арга гэсэн хоёр аргаар шийдлийн алхамуудын тайлбартай.

Энэ програмахлах ангийн сурагчдад хэрэгтэй байж болох юм дунд сургуулиуд-д бэлтгэж байна туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу?гэрийн даалгавар

Математик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно. Ингэснээр та өөрийн сургалт болон/эсвэл сургалтаа явуулах боломжтой.дүү нар

эсвэл эгч нар, харин шийдэж байгаа асуудлын талбарт боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Тэгшитгэл оруулах дүрэм
Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.

Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт. Тэгшитгэл оруулах үедта хаалт ашиглаж болно
. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийг эхлээд хялбаршуулсан болно.

Хялбаршуулсаны дараах тэгшитгэл нь шугаман байх ёстой, i.e. ax+by+c=0 хэлбэрийн элементүүдийн эрэмбийн нарийвчлалтай. Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2Та тэгшитгэлд зөвхөн бүхэл тоог ашиглахаас гадна бас ашиглаж болно

бутархай тоо
аравтын бутархай ба энгийн бутархай хэлбэрээр. Аравтын бутархай оруулах дүрэм.Бүхэл ба бутархай хэсэгВ
аравтын бутархай

цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээ нь: 2.1н + 3.5м = 55
Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна. Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.Орохдоо /
тоон бутархайТоолуурыг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. &

Бүхэл бүтэн хэсэг
бутархайгаас амперсандаар тусгаарлагдсан:
Жишээ.

Жишээ нь: 3x-4y = 5
Жишээ нь: 6x+1 = 5(x+y)+2
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв та шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Бүү март ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх. Орлуулах арга

Орлуулах аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн зарим тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх;
2) гарсан илэрхийллийг энэ хувьсагчийн оронд системийн өөр тэгшитгэлд орлуулах;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний тэгшитгэлээс у-г х-ээр илэрхийлье: y = 7-3x. Хоёр дахь тэгшитгэлд y-ийн оронд 7-3x илэрхийлэлийг орлуулснаар бид дараах системийг олж авна.
$$ \left\( \begin(массив)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(массив) \баруун. $$

Эхний болон хоёр дахь систем нь ижил шийдэлтэй гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Хоёр дахь системд хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна. Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Баруун сум -5x+14-6x=3 \Баруун сум -11x=-11 \Баруун сум x=1 $$

y=7-3x тэгшитгэлд x-ийн оронд 1-ийг орлуулснаар y-ийн харгалзах утгыг олно.
$$ y=7-3 \cdot 1 \Баруун сум y=4 $$

Хос (1;4) - системийн шийдэл

Ижил шийдэлтэй хоёр хувьсагчийн тэгшитгэлийн системийг гэнэ тэнцүү. Шийдэлгүй системийг мөн адил тэнцүү гэж үзнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх замаар шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх өөр нэг арга - нэмэх аргыг авч үзье. Системийг ийм байдлаар шийдвэрлэх, мөн орлуулах замаар шийдвэрлэх үед бид энэ системээс өөр, ижил төстэй системд шилждэг бөгөөд тэгшитгэлийн аль нэг нь зөвхөн нэг хувьсагчтай байдаг.

Нэмэх аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед хийх үйлдлийн дараалал:
1) системийн нэр томъёоны тэгшитгэлийг гишүүнээр үржүүлж, аль нэг хувьсагчийн коэффициент болохын тулд хүчин зүйлийг сонгоно. эсрэг тоо;
2) системийн тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмэх;
3) үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийдэх;
4) хоёр дахь хувьсагчийн харгалзах утгыг ол.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг шийдье:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

Энэ системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд юм. Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нэмбэл 3х=33 гэсэн нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна. Системийн нэг тэгшитгэлийг жишээ нь эхнийх нь 3x=33 тэгшитгэлээр сольъё. Системийг нь авч үзье
$$ \left\( \begin(массив)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(массив) \баруун. $$

3x=33 тэгшитгэлээс бид x=11 болохыг олж мэднэ. Энэ x утгыг \(x-3y=38\) тэгшитгэлд орлуулснаар y хувьсагчтай тэгшитгэл гарч ирнэ: \(11-3y=38\). Энэ тэгшитгэлийг шийдье:
\(-3y=27 \Баруун сум у=-9 \)

Тиймээс бид тэгшитгэлийн системийн шийдийг нэмэх замаар олсон: \(x=11; y=-9\) эсвэл \((11;-9)\)

Системийн тэгшитгэлд y-ийн коэффициентүүд нь эсрэг тоонууд байдгийг ашиглан бид түүний шийдлийг эквивалент системийн шийдэл болгон (эхний системийн тэгшитгэл бүрийн хоёр талыг нэгтгэн) багасгасан. тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулна.

Шугаман тэгшитгэлийн систем нь хэд хэдэн шугаман тэгшитгэлийн багц юм.

Систем нь хэдэн ч үл мэдэгдэх тоотой ямар ч тооны тэгшитгэлтэй байж болно.

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь системийн бүх тэгшитгэлийг хангадаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг үл мэдэгдэх утгуудын багц юм.

Шийдэлтэй системийг тууштай гэж нэрлэдэг, эс бөгөөс үүнийг үл нийцэх гэж нэрлэдэг.

Системийг шийдвэрлэхийн тулд янз бүрийн аргыг ашигладаг.

Болъё
(тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү).

Крамер арга

Үүний шийдлийг авч үзье гурван системГурван үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл:

(7)

Үл мэдэгдэх зүйлийг олохын тулд
Крамерын томъёог хэрэгжүүлье:

(8)

Хаана - системийн тодорхойлогч, түүний элементүүд нь үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм.

.

тодорхойлогчийн эхний баганыг орлуулах замаар олж авна чөлөөт гишүүдийн багана:

.

Үүний нэгэн адил:

;
.

Жишээ 1.Крамерын томъёог ашиглан системийг шийднэ үү.

.

Шийдэл: (8) томъёог ашиглая:

;

;

;

;

Хариулт:
.

Аливаа системийн хувьд шугаман тэгшитгэлүүд үл мэдэгдэх зүйлсийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Матрицын шийдэл

Гурван үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг (7) матрицын аргаар шийдвэрлэхийг авч үзье.

Матрицыг үржүүлэх дүрмийг ашиглан энэ тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар бичиж болно.
, Хаана

.

Матрицыг үзье доройтдоггүй, i.e.
. Зүүн талд байгаа матрицын тэгшитгэлийн хоёр талыг матрицаар үржүүлэх
, матрицын урвуу , бид авах:
.

Үүнийг харгалзан үзвэл
, бидэнд байна

(9)

Жишээ 2.Матрицын аргыг ашиглан системийг шийд:

.

Шийдэл: Матрицуудыг танилцуулъя:

- үл мэдэгдэх коэффициентуудаас;

- чөлөөт гишүүдийн багана.

Дараа нь системийг матрицын тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно.
.

(9) томъёог ашиглая. Урвуу матрицыг олъё
(6) томъёоны дагуу:

;

.

Тиймээс,

Хүлээн авсан:

.

Хариулт:
.

Үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга (Гауссын арга)

Ашигласан аргын гол санаа нь үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах явдал юм. Систем дээрх энэ аргын утгыг тайлбарлая гурван тэгшитгэлгурван үл мэдэгдэх зүйлтэй:

.

Ингэж бодъё
(Хэрэв
, дараа нь бид тэгшитгэлийн дарааллыг өөрчилж, эхний тэгшитгэл болох коэффициентийг сонгоно. тэгтэй тэнцүү биш).

Эхний алхам: a) тэгшитгэлийг хуваа
дээр
; б) үүссэн тэгшитгэлийг үржүүлнэ
-аас хасах
; в) дараа нь үр дүнг үржүүлнэ
-аас хасах
. Эхний алхамын үр дүнд бид системтэй болно:

,

Хоёр дахь алхам: бид тэгшитгэлийг авч үздэг
Тэгээд
тэгшитгэлтэй яг адилхан
.

Үүний үр дүнд анхны систем нь шаталсан хэлбэрт шилждэг.

Өөрчлөгдсөн системээс бүх үл мэдэгдэх зүйлсийг хүндрэлгүйгээр дараалан тодорхойлдог.

Сэтгэгдэл. Практикт тэгшитгэлийн системийг өөрөө биш, харин коэффициент, үл мэдэгдэх, чөлөөт нэр томъёоны матрицыг үе шаттайгаар бууруулах нь илүү тохиромжтой.

Жишээ 3.Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд.

.

Бид нэг матрицаас нөгөөд шилжих шилжилтийг ~ эквивалент тэмдгийг ашиглан бичнэ.

~
~
~
~

~
.

Үүссэн матрицыг ашиглан бид өөрчлөгдсөн системийг бичнэ.

.

Хариулт:
.

Тайлбар: Хэрэв системд байгаа бол цорын ганц шийдэл, дараа нь алхамын системийг гурвалжин болгон бууруулж, өөрөөр хэлбэл сүүлчийн тэгшитгэл нь нэг үл мэдэгдэх нэгийг агуулсан байх болно. Тодорхой бус системийн хувьд, өөрөөр хэлбэл үл мэдэгдэх тоо байдаг систем илүү тооШугаман бие даасан тэгшитгэлийн хувьд гурвалжин систем байхгүй, учир нь сүүлчийн тэгшитгэл нь нэгээс олон үл мэдэгдэх (систем нь хязгааргүй олон шийдтэй) агуулсан байх болно. Хэрэв систем нь нийцэхгүй байвал түүнийг шат дараалсан хэлбэрт оруулсны дараа дор хаяж нэгийг агуулна. маягтын үнэ цэнэ
, өөрөөр хэлбэл бүх үл мэдэгдэх нь тэг коэффициенттэй, баруун тал нь тэгээс ялгаатай (системд шийдэл байхгүй) тэгшитгэл юм. Гауссын аргыг хэрэглэх боломжтой дурын системшугаман тэгшитгэл (ямар ч
Тэгээд ).

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийн оршихуйн теорем

Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ энэ систем нийцтэй эсвэл нийцэхгүй байна уу гэсэн асуултын хариултыг зөвхөн тооцооллын төгсгөлд өгч болно. Гэсэн хэдий ч, тэгшитгэлийн системийн нийцтэй эсэх, үл нийцэх асуудлыг шийдэх нь ихэвчлэн чухал байдаг. Энэ асуултын хариултыг дараах Кронекер-Капелли теоремоор өгсөн болно.

Системийг нь өгье
шугаман тэгшитгэлүүд үл мэдэгдэх:

(10)

Систем (10) тогтвортой байхын тулд системийн матрицын зэрэглэл шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

.

түүний өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байв

.

Түүнээс гадна, хэрэв
, дараа нь систем (10) өвөрмөц шийдэлтэй байна; хэрэв
, тэгвэл систем нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй болно.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг (бүх чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү) авч үзье.

.

Энэ систем нь 0 шийдэлтэй тул үргэлж тогтвортой байдаг.

Дараах теорем нь системд тэгээс өөр шийдэлтэй байх нөхцөлүүдийг өгдөг.

Терема. тулд нэгэн төрлийн системШугамын тэгшитгэл нь тэг шийдэлтэй тул тодорхойлогч байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм тэгтэй тэнцүү байсан:

.

Тиймээс, хэрэв
, тэгвэл шийдэл нь цорын ганц юм. Хэрэв
, тэгвэл бусад тэгээс бусад шийдлүүд хязгааргүй олон байна. Тохиолдолд гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдийг олох аргуудын нэгийг зааж өгье.
.

Хэрэв энэ нь нотлогдож болно
, мөн эхний ба хоёр дахь тэгшитгэл нь пропорциональ бус (шугаман бие даасан), дараа нь гурав дахь тэгшитгэл нь эхний хоёрын үр дагавар юм. Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдийг гурван үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн шийдэл болгон бууруулна. Үнэгүй үл мэдэгдэх зүйл гарч ирэх бөгөөд үүнд дурын утгыг оноож болно.

Жишээ 4.Системийн бүх шийдлийг олох:

.

Шийдэл. Энэ системийн тодорхойлогч

.

Тиймээс систем нь 0 шийдэлтэй байдаг. Жишээлбэл, эхний хоёр тэгшитгэл нь пропорциональ биш тул шугаман хамааралгүй гэдгийг та анзаарч болно. Гурав дахь нь эхний хоёрын үр дагавар юм (хэрэв та эхний тэгшитгэлд хоёр дахь удаагаа нэмбэл энэ нь гарч ирнэ). Үүнийг үгүйсгэж, бид гурван үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна.

.

Жишээлбэл,
, бид авдаг

.

Хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ бид илэрхийлнэ Тэгээд дамжуулан :
. Тиймээс системийн шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
, Хаана - дурын тоо.

Жишээ 5.Системийн бүх шийдлийг олох:

.

Шийдэл. Энэ системд зөвхөн нэг бие даасан тэгшитгэл (нөгөө хоёр нь үүнтэй пропорциональ) байгааг харахад хялбар байдаг. Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг гурван үл мэдэгдэх нэг тэгшитгэл болгон буурууллаа. Хоёр үнэгүй үл мэдэгдэх зүйл гарч ирнэ. Жишээлбэл, эхний тэгшитгэлээс олох
дур зоргоороо Тэгээд , бид энэ системийн шийдлүүдийг олж авдаг. Уусмалын ерөнхий хэлбэрийг хаана бичиж болно Тэгээд - дурын тоо.

Өөрийгөө шалгах асуултууд

Системийг шийдвэрлэх Крамерын дүрмийг томъёол шугаман тэгшитгэлүүд үл мэдэгдэх.

Системийг шийдвэрлэх матрицын аргын мөн чанар юу вэ?

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга юу вэ?

Кронекер-Капелли теоремыг хэл.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн тэгээс өөр шийдэл байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлийг томъёол.

Өөрийгөө шийдэх жишээ

Системийн бүх шийдлийг олох:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Ямар үнэ цэнийг тодорхойлох Тэгээд тэгшитгэлийн систем

a) өвөрмөц шийдэлтэй;

б) шийдэл байхгүй;

в) хязгааргүй олон шийдэлтэй.

16.
; 17.
;

Дараах нэгэн төрлийн системийн бүх шийдлийг ол.

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Жишээнүүдийн хариулт

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- дурын тоо.

6.
, Хаана - дурын тоо.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, Хаана - дурын тоо.

12. , хаана Тэгээд - дурын тоо.

13.
; 14.
Хаана Тэгээд - дурын тоо.

15. Ǿ; 16. а)
; б)
; V)
.

17. а)
; б)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., хаана - дурын тоо.

21. , хаана - дурын тоо.

22. , хаана - дурын тоо.

23. , хаана Тэгээд - дурын тоо.

Видео заавар 2:Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Лекц: Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн хамгийн энгийн систем

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэл

Энэ сэдвээр бид хоёр үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Ихэнхдээ ийм төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид үл мэдэгдэх олон тэгшитгэлтэй байх шаардлагатай болдог.

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

а, б, в, г- Эдгээр нь тоо юм ойролцоо зогсож байнахувьсагчид (х, у).

Системийн тэгшитгэлийг шийд- энэ нь хоёр тэгшитгэлийг зөв тэгш байдалд хүргэх хувьсагчдын утгыг олох гэсэн үг юм.

Тэгшитгэл бүр олон хариулттай байж болох ч тэгшитгэлийн системийн хариулт нь хоёр тэгшитгэлд тохирсон хос тоо байх болно.

Тэгшитгэлийн системийн шийдлийг аналитик байдлаар тайлбарлаж болно, заримыг нь бид дараа авч үзэх болно, мөн графикаар.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх график арга

Тус бүрийн хувьд өгөгдсөн тэгшитгэлүүдТа өөрийн графикийг хавтгай дээр барьж болно - энэ нь аль ч байж болно алдартай графикуудфункцууд. Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь графикуудын огтлолцох цэг байх болно. Энэ цэгөөрийн гэсэн координаттай байх ба энэ нь ординат ба абсцисстай тохирч, шийдэл болно.

Графикаас хэд хэдэн төрлийн шийдлийг авч болно.

1. Маш олон шийдэл. Жишээлбэл, нэг тэгшитгэлийг төлөөлөх юм бол тригонометрийн функц, мөн хоёр дахь нь шулуун шугам, жишээлбэл, OX тэнхлэгтэй параллель, дараа нь энэ шулуун шугам нь хоёр дахь функцийн графикийг тодорхой үечилсэн олон цэг дээр огтолно.

2. Нэг шийдэл. Энэ тохиолдолд функцүүдийн графикууд нэг цэгт огтлолцоно. Ихэвчлэн тэгшитгэлийн графикууд шулуун шугамтай бол энэ зураг ажиглагддаг.

3. Хоёр шийдэл. Өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн графикууд хоёр цэг дээр огтлолцоно. Энэ нь ихэвчлэн аль нэг функцийн график нь парабол байх үед ажиглагддаг.

4. Шийдэл байхгүй. Зарим функцийн график огт огтлолцохгүй байж болох бөгөөд энэ тохиолдолд системд шийдэл байхгүй болно.

Аналитик шийдлийн үндсэн аргууд

Функцуудын огтлолцлын цэг нь координатын эх үүсвэрээс нэлээд хол байх эсвэл бутархай координаттай байх тул график ашиглан шийдвэрлэх нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Системийн шийдлийг хамгийн зөв олохын тулд үүнийг ашиглах нь дээр аналитик аргуудшийдлүүд.

1. Орлуулах

Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн аль нэгэнд үл мэдэгдэх нэгийг илэрхийлж, хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй.

x = (c – by) / a

d (c – by) / a + ey = f

Ингэж орлуулсны дараа тэгшитгэлийн аль нэг нь үл мэдэгдэх нэгтэй байх ба үүний дараа тэгшитгэл шийдэгдэнэ мэдэгдэж байгаа арга замаар. Хувьсагчийн аль нэг нь олдвол түүний утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулж, хоёр дахь хувьсагчийг олно.

2. Тэгшитгэлийг нэмэх, хасах арга

Энэ арга нь үл мэдэгдэх зүйлсийн аль нэгийг арилгах боломжийг олгодог. Тэгэхээр та "x" хувьсагчаас салмаар байна гэж төсөөлье. руу энэ аргаболсон бол та эхний тэгшитгэлийг гишүүнээр нь d-ээр, хоёр дахь тэгшитгэлийг а-аар үржүүлэх хэрэгтэй. Үүний дараа та "x" хувьсагчийн хувьд ижил коэффициентүүдийг авах болно. Хэрэв та нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасвал үл мэдэгдэх нэг тэгшитгэлээс салах боломжтой болно. Цаашилбал, тэгшитгэлийг мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан гүйцэтгэдэг.

7-р ангийн математикийн хичээл дээр бид анх удаа уулзаж байна хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл, гэхдээ тэдгээрийг зөвхөн хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийн хүрээнд судалдаг. Тийм ч учраас тэдгээрийг хязгаарлаж буй тэгшитгэлийн коэффициентүүд дээр тодорхой нөхцөлүүдийг нэвтрүүлсэн бүхэл бүтэн цуврал асуудлууд харагдахгүй байна. Нэмж дурдахад "Натурал эсвэл бүхэл тоогоор тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" гэх мэт асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг үл тоомсорлодог. Улсын нэгдсэн шалгалтын материалгэх мэт элсэлтийн шалгалтуудЭнэ төрлийн асуудал улам бүр түгээмэл болж байна.

Аль тэгшитгэлийг хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл гэж нэрлэх вэ?

Жишээлбэл, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, эсвэл xy = 12 тэгшитгэлүүд нь хоёр хувьсагчийн тэгшитгэл юм.

2x – y = 1 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь x = 2 ба у = 3 үед үнэн болох тул хувьсагчийн энэ хос утга нь тухайн тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Ийнхүү хоёр хувьсагчтай аливаа тэгшитгэлийн шийдэл нь энэ тэгшитгэлийг жинхэнэ тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг хувьсагчдын утгууд (x; y) гэсэн дараалсан хосуудын багц юм.

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэл нь:

A) нэг шийдэл байна.Жишээлбэл, x 2 + 5y 2 = 0 тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй (0; 0);

б) олон шийдэлтэй.Жишээлбэл, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 нь 4 шийдэлтэй байна: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) шийдэл байхгүй.Жишээлбэл, x 2 + y 2 + 1 = 0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй;

G) хязгааргүй олон шийдэлтэй.Жишээ нь x + y = 3. Энэ тэгшитгэлийн шийд нь нийлбэр нь 3-тай тэнцүү тоонууд байх болно. Шийдлийн багц өгөгдсөн тэгшитгэл(k; 3 – k) хэлбэрээр бичиж болно, энд k нь дурын байна бодит тоо.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь хүчин зүйлийн илэрхийлэл, бүтэн квадратыг тусгаарлах, шинж чанарыг ашиглахад үндэслэсэн аргууд юм. квадрат тэгшитгэл, илэрхийллийн хязгаарлалт, үнэлгээний арга. Тэгшитгэлийг ихэвчлэн үл мэдэгдэхийг олох системийг олж авах хэлбэр болгон хувиргадаг.

Факторжуулалт

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийг шийд: xy – 2 = 2x – y.

Шийдэл.

Хүчин зүйлд хуваах зорилгоор бид нэр томъёог бүлэглэдэг:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Хаалт бүрээс нийтлэг хүчин зүйлийг гаргана:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Бидэнд:

y = 2, x – дурын бодит тоо эсвэл x = -1, y – дурын бодит тоо.

Тиймээс, Хариулт нь (x; 2), x € R ба (-1; y), y € R хэлбэрийн бүх хосууд юм.

Тэгтэй тэнцүү биш сөрөг тоонууд

Жишээ 2.

Тэгшитгэлийг шийд: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Шийдэл.

Бүлэглэх:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Одоо хаалт бүрийг квадратын зөрүүний томъёог ашиглан нугалж болно.

(3х – 2) 2 + (2у – 3) 2 = 0.

Хоёр сөрөг бус илэрхийллийн нийлбэр нь зөвхөн 3x – 2 = 0, 2y – 3 = 0 үед л тэг болно.

Энэ нь x = 2/3, y = 3/2 гэсэн үг юм.

Хариулт: (2/3; 3/2).

Тооцооллын арга

Жишээ 3.

Тэгшитгэлийг шийд: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Шийдэл.

Хаалт бүрт бид бүрэн дөрвөлжин тэмдэглэнэ:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Тооцоолъё хаалтанд байгаа илэрхийллийн утга.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ба (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 бол тэгшитгэлийн зүүн тал үргэлж хамгийн багадаа 2 байна. Дараах тохиолдолд тэгш байдал боломжтой болно.

(x + 1) 2 + 1 = 1 ба (y – 2) 2 + 2 = 2 бөгөөд энэ нь x = -1, y = 2 гэсэн үг юм.

Хариулт: (-1; 2).

Хоёртой тэгшитгэлийг шийдэх өөр аргатай танилцацгаая хувьсагч хоёрдугаартградус. Энэ арга нь тэгшитгэлийг дараах байдлаар авч үзэхээс бүрдэнэ зарим нэг хувьсагчийн хувьд квадрат.

Жишээ 4.

Тэгшитгэлийг шийд: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг х-ийн квадрат тэгшитгэл болгон шийдье. Ялгаварлагчийг олцгооё:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Тэгшитгэл нь зөвхөн D = 0 үед, өөрөөр хэлбэл y = 4 үед л шийдтэй байх болно. y-ийн утгыг орлуул. анхны тэгшитгэлмөн бид x = 3 гэдгийг олж мэднэ.

Хариулт: (3; 4).

Ихэнхдээ хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлд тэдгээрийг заадаг хувьсагчийн хязгаарлалт.

Жишээ 5.

Тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийд: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг x 2 = -5y 2 + 20x + 2 гэж дахин бичье. Баруун тал 5-д хуваагдах үед үүссэн тэгшитгэл нь 2-ын үлдэгдэлийг өгнө. Тиймээс x 2 нь 5-д хуваагддаггүй. Харин 5-д хуваагддаггүй тооны квадрат нь 1 эсвэл 4-ийн үлдэгдлийг өгдөг. Тиймээс тэгшитгэл нь боломжгүй бөгөөд ямар ч ялгаа байхгүй. шийдлүүд.

Хариулт: үндэс байхгүй.

Жишээ 6.

Тэгшитгэлийг шийд: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Шийдэл.

Онцолж хэлье төгс квадратуудхаалт бүрт:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Зүүн талтэгшитгэл нь үргэлж 3-аас их буюу тэнцүү байна. |x| нөхцөлийн дагуу тэгшитгэл боломжтой – 2 = 0 ба у + 3 = 0. Тиймээс x = ± 2, у = -3.

Хариулт: (2; -3) ба (-2; -3).

Жишээ 7.

Тэгшитгэлийг хангадаг сөрөг бүхэл тоо (x;y) бүрийн хувьд
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, нийлбэрийг (x + y) тооцоол. Хариултдаа хамгийн бага дүнг бичнэ үү.

Шийдэл.

Бүрэн квадратуудыг сонгоцгооё:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Х ба у нь бүхэл тоо тул квадратууд нь мөн бүхэл тоо болно. 1 + 36-г нэмбэл бид хоёр бүхэл тооны квадратуудын нийлбэрийг 37-той тэнцүү авна. Тиймээс:

(x – y) 2 = 36 ба (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ба (y + 2) 2 = 36.

Эдгээр системийг шийдэж, x ба y нь сөрөг байгааг харгалзан бид шийдлүүдийг олдог: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Хариулт: -17.

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүндрэлтэй байгаа бол цөхрөл бүү зов. Бага зэрэг дасгал хийснээр та ямар ч тэгшитгэлийг даван туулж чадна.

Асуулт хэвээр байна уу? Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.