Tüm yeni video derslerinden haberdar olmak için web sitemizin youtube kanalına gidin.

Öncelikle şunu hatırlayalım temel formüller dereceler ve özellikleri.

Bir sayının çarpımı A kendi kendine n defa meydana geliyorsa, bu ifadeyi a a … a=a n olarak yazabiliriz.

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (bir n) m = bir nm

5. a n b n = (ab) n

7. bir n / bir m = bir n - m

Güç veya üstel denklemler – bunlar, değişkenlerin kuvvet (veya üs) cinsinden olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemlerdir.

Üstel denklem örnekleri:

Bu örnekte 6 sayısı tabandır; her zaman en alttadır ve değişkendir. X derece veya gösterge.

Üstel denklemlere daha fazla örnek verelim.
2x*5=10
16 x - 4 x - 6=0

Şimdi üstel denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım?

Basit bir denklem ele alalım:

2 x = 2 3

Bu örnek kafanızda bile çözülebilir. x=3 olduğu görülmektedir. Sonuçta sol ve sağ tarafların eşit olması için x yerine 3 sayısını koymanız gerekiyor.
Şimdi bu kararın nasıl resmileştirileceğini görelim:

2 x = 2 3
x = 3

Böyle bir denklemi çözmek için kaldırdık aynı gerekçeler(yani ikili) ve kalanları yazdık, bunlar dereceler. Aradığımız cevabı bulduk.

Şimdi kararımızı özetleyelim.

Üstel denklemi çözmek için algoritma:
1. Kontrol etmeniz gerekiyor birebir aynı Denklemin sağda ve solda tabanları olup olmadığı. Sebepler aynı değilse çözüm ararız bu örnek.
2. Tabanlar aynı hale geldikten sonra, eşitlemek derece ve ortaya çıkan yeni denklemi çözün.

Şimdi birkaç örneğe bakalım:

Basit bir şeyle başlayalım.

Sol ve sağ taraftaki tabanlar 2 sayısına eşittir, yani tabanı atıp derecelerini eşitleyebiliriz.

x+2=4 En basit denklem elde edilir.
x=4 – 2
x=2
Cevap: x=2

İÇİNDE aşağıdaki örnek Bazların farklı olduğu görülebilir: 3 ve 9.

3 3x - 9x+8 = 0

İlk önce dokuzu sağ tarafa hareket ettirin, şunu elde ederiz:

Şimdi aynı temelleri yapmanız gerekiyor. 9=3 2 olduğunu biliyoruz. (a n) m = a nm güç formülünü kullanalım.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 elde ederiz

3 3x = 3 2x+16 şimdi bunu solda görebilirsiniz ve sağ taraf tabanlar aynı ve üçe eşit, bu da onları bir kenara atıp dereceleri eşitleyebileceğimiz anlamına geliyor.

3x=2x+16 en basit denklemi elde ederiz
3x - 2x=16
x=16
Cevap:x=16.

Aşağıdaki örneğe bakalım:

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

Öncelikle tabanlara, ikinci ve dördüncü tabanlara bakıyoruz. Ve onların aynı olmasına ihtiyacımız var. Dördünü (a n) m = a nm formülünü kullanarak dönüştürüyoruz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ayrıca a n a m = a n + m formülünü de kullanıyoruz:

2 2x+4 = 2 2x2 4

Denkleme ekleyin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Ama diğer 10 ve 24 sayıları bizi rahatsız ediyor, onlarla ne yapacağız? Yakından bakarsanız sol tarafta 2 2x'in tekrarlandığını görebilirsiniz, işte cevap: 2 2x'i parantezlerin dışına koyabiliriz:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayalım:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Denklemin tamamını 6'ya bölüyoruz:

4=2 2 olduğunu varsayalım:

2 2x = 2 2 tabanlar aynı, bunları atıp dereceleri eşitliyoruz.
2x = 2 en basit denklemdir. 2'ye böleriz ve elde ederiz
x = 1
Cevap: x = 1.

Denklemi çözelim:

9 x – 12*3 x +27= 0

Hadi dönüştürelim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Denklemi elde ederiz:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Tabanlarımız aynı, üçe eşit. Bu örnekte ilk üçün ikincinin (sadece x) iki katı (2x) dereceye sahip olduğunu görüyorsunuz. Bu durumda çözebilirsiniz değiştirme yöntemi. Sayıyı en küçük dereceyle değiştiriyoruz:

O zaman 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Denklemdeki tüm x kuvvetlerini t ile değiştiririz:

t2 - 12t+27 = 0
Aldık ikinci dereceden denklem. Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Değişkene geri dönelim X.

t 1'i alın:
t1 = 9 = 3x

Öyleyse,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:
t2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cevap: x 1 = 2; x 2 = 1.

Web sitesinde YARDIM KARAR bölümünde merak ettiğiniz soruları sorabilirsiniz, size mutlaka cevap vereceğiz.

Gruba katıl

Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Ne oldu üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x'ler) ve onlarla ifadelerin yer aldığı bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

Hadi bakalım üstel denklem örnekleri:

3 x 2 x = 8 x+3

Dikkat etmek! Derece bazında (aşağıda) - sadece sayılar. İÇİNDE göstergeler derece (yukarıda) - X'li çok çeşitli ifadeler. Aniden denklemde gösterge dışında bir yerde bir X belirirse, örneğin:

bu bir denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemleri çözme en saf haliyle.

Aslında saf üstel denklemler bile her zaman açık bir şekilde çözülmeyebilir. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli türde üstel denklemler vardır. Bunlar ele alacağımız türler.

Basit üstel denklemlerin çözümü.

Öncelikle çok basit bir şeyi çözelim. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Başka bir şey yok, değil mi? X'in başka hiçbir değeri işe yaramaz. Şimdi bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:

Ne yaptık? Aslında biz aynı üsleri (üçlüleri) attık. Tamamen dışarı atıldı. Ve iyi haber şu ki, çiviyi kafamıza vurduk!

Aslında üstel bir denklemde sol ve sağ varsa birebir aynı Herhangi bir kuvvetteki sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşitlenebilir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. Harika, değil mi?)

Ancak şunu kesin olarak hatırlayalım: Bazları ancak soldaki ve sağdaki baz numaraları aynı olduğunda kaldırabilirsiniz. muhteşem izolasyon! Komşular ve katsayılar olmadan. Denklemlerde şunu söyleyelim:

2 x +2 x+1 = 2 3 veya

ikili kaldırılamaz!

En önemli konuda ustalaştık. Kötülükten nasıl uzaklaşılır açıklayıcı ifadeler daha basit denklemlere.

"Bu zamanlar!" - diyorsun. “Testler ve sınavlarla ilgili bu kadar ilkel bir dersi kim verir ki!?”

Kabul etmeliyim. Kimse yapmayacak. Ancak artık zorlu örnekleri çözerken nereye nişan almanız gerektiğini biliyorsunuz. Sağda ve solda aynı taban numarasının olacağı forma getirilmesi gerekmektedir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında bu bir matematik klasiğidir. Orjinal örneği alıp istenilen şekle dönüştürüyoruz biz akıl. Elbette matematik kurallarına göre.

En basitine indirgemek için biraz daha çaba gerektiren örneklere bakalım. Onları arayalım basit üstel denklemler.

Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Ne oldu üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x'ler) ve onlarla ifadelerin yer aldığı bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

Hadi bakalım üstel denklem örnekleri:

3 x 2 x = 8 x+3

Dikkat etmek! Derece bazında (aşağıda) - sadece sayılar. İÇİNDE göstergeler derece (yukarıda) - X'li çok çeşitli ifadeler. Aniden denklemde gösterge dışında bir yerde bir X belirirse, örneğin:

bu zaten karma tipte bir denklem olacak. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemleri çözme en saf haliyle.

Aslında saf üstel denklemler bile her zaman açık bir şekilde çözülmeyebilir. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli türde üstel denklemler vardır. Bunlar ele alacağımız türler.

Basit üstel denklemlerin çözümü.

Öncelikle çok basit bir şeyi çözelim. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Başka bir şey yok, değil mi? X'in başka hiçbir değeri işe yaramaz. Şimdi bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:

Ne yaptık? Aslında biz aynı üsleri (üçlüleri) attık. Tamamen dışarı atıldı. Ve iyi haber şu ki, çiviyi kafamıza vurduk!

Aslında üstel bir denklemde sol ve sağ varsa birebir aynı Herhangi bir kuvvetteki sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşitlenebilir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. Harika, değil mi?)

Ancak şunu kesin olarak hatırlayalım: Bazları ancak soldaki ve sağdaki baz numaraları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Komşular ve katsayılar olmadan. Denklemlerde şunu söyleyelim:

2 x +2 x+1 = 2 3 veya

ikili kaldırılamaz!

En önemli konuda ustalaştık. Kötü üstel ifadelerden daha basit denklemlere nasıl geçilir?

"Bu zamanlar!" - diyorsun. “Testler ve sınavlarla ilgili bu kadar ilkel bir dersi kim verir ki!?”

Kabul etmeliyim. Kimse yapmayacak. Ancak artık zorlu örnekleri çözerken nereye nişan almanız gerektiğini biliyorsunuz. Sağda ve solda aynı taban numarasının olacağı forma getirilmesi gerekmektedir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında bu bir matematik klasiğidir. Orjinal örneği alıp istenilen şekle dönüştürüyoruz biz akıl. Elbette matematik kurallarına göre.

En basitine indirgemek için biraz daha çaba gerektiren örneklere bakalım. Onları arayalım basit üstel denklemler.

Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: dereceleri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.

Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve yaratıcılık eklenmelidir. Aynı taban sayılarına mı ihtiyacımız var? Bu yüzden bunları örnekte açık veya şifreli biçimde arıyoruz.

Bakalım bu pratikte nasıl yapılıyor?

Bir örnek verelim:

2 2x - 8x+1 = 0

İlk keskin bakış gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretinizi kırmak için henüz çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

İki ile sekiz derece bakımından akrabadır.) Şöyle yazmak pekala mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Formülü dereceli işlemlerden hatırlarsak:

(bir n) m = bir nm,

bu harika sonuç veriyor:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal örnekşöyle görünmeye başladı:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer ediyoruz 2 3 (x+1) sağda (hiç kimse matematiğin temel işlemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:

2 2x = 2 3(x+1)

Neredeyse hepsi bu. Bazların çıkarılması:

Bu canavarı çözeriz ve alırız

Bu doğru cevaptır.

Bu örnekte ikinin kuvvetlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde şifrelenmiş iki tane var. Bu teknik (ortak zeminlerin şifrelenmesi) farklı sayılar) üstel denklemlerde çok popüler bir tekniktir! Evet, logaritmalarda da. Sayılardaki diğer sayıların kuvvetlerini tanıyabilmeniz gerekir. Üstel denklemlerin çözümü için bu son derece önemlidir.

Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir kuvvete yükseltmek sorun değil. Kağıt üzerinde bile çoğaltın, hepsi bu. Örneğin herkes 3'ün beşinci kuvvetine ulaşabilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 işe yarayacaktır.) Ancak üstel denklemlerde çoğu zaman bir kuvvete ulaşmak gerekli değildir, tam tersi... Öğrenin hangi sayı ne dereceye kadar 243 veya 343 sayısının arkasında gizlidir... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olamaz.

Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekir değil mi... Hadi pratik yapalım mı?

Sayıların hangi güçlere ve hangi sayılara sahip olduğunu belirleyin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cevaplar (elbette bir karmaşa içinde!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Yakından bakarsanız görebilirsiniz garip gerçek. Görevlerden çok daha fazla cevap var! Öyle oluyor... Örneğin, 2 6, 4 3, 8 2 - hepsi 64.

Sayılarla ilgili bilgileri not aldığınızı varsayalım.) Üstel denklemleri çözmek için kullandığımızı da hatırlatayım. Tümü stoklamak matematik bilgisi. Orta ve alt sınıftan olanlar da dahil. Doğrudan liseye gitmedin, değil mi?)

Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantez dışında bırakmak çoğu zaman yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örneğe bakalım:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ve yine ilk bakış temellerde! Derecelerin tabanları farklıdır... Üç ve dokuz. Ama biz onların aynı olmasını istiyoruz. Peki, bu durumda arzu tamamen yerine getirildi!) Çünkü:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Derecelerle ilgilenirken aynı kuralları kullanmak:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Bu harika, yazabilirsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki sırada ne var? Üçlü atamazsın... Çıkmaz sokak mı?

Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlayın herkes matematik ödevleri:

Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız elinizden geleni yapın!

Bak, her şey yoluna girecek).

Bu üstel denklemde ne var? Olabilmek Yapmak? Evet, sol tarafta parantezlerin dışına çıkmak için yalvarıyor! 3 2x'lik genel çarpan bunu açıkça ima ediyor. Deneyelim, sonra göreceğiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Örnek giderek daha iyi hale geliyor!

Temelleri ortadan kaldırmak için herhangi bir katsayı olmaksızın saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:

Hata! Her şey daha iyi oldu!

Bu son cevaptır.

Ancak aynı temelde taksilemenin de sağlandığı ancak bunların ortadan kaldırılmasının mümkün olmadığı durumlar da vardır. Bu, diğer üstel denklem türlerinde de olur. Bu türe hakim olalım.

Üstel denklemlerin çözümünde bir değişkenin değiştirilmesi. Örnekler.

Denklemi çözelim:

4 x - 3 2 x +2 = 0

İlk olarak - her zamanki gibi. Bir üsse geçelim. Bir ikiliye.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Denklemi elde ederiz:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Ve burası da asıldığımız yer. Nasıl bakarsanız bakın, önceki teknikler işe yaramayacaktır. Başka bir güçlü almamız gerekecek ve evrensel yöntem. Buna denir değişken değiştirme.

Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Bir karmaşık simge yerine (bizim durumumuzda - 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin - t). Görünüşte anlamsız bir değişim harika sonuçlara yol açıyor!) Her şey netleşiyor ve anlaşılır hale geliyor!

Öyleyse izin ver

O zaman 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Denklemimizde tüm kuvvetleri x ve t ile değiştiriyoruz:

Peki, aklına geldi mi?) İkinci dereceden denklemleri henüz unuttun mu? Diskriminant yoluyla çözerek şunu elde ederiz:

Burada asıl önemli olan durmamak, olduğu gibi... Henüz cevap bu değil, bize t'ye değil x'e ihtiyacımız var. X'lere dönelim, yani. ters değiştirme yapıyoruz. İlk olarak t 1 için:

Öyleyse,

Bir kök bulundu. T 2'den ikincisini arıyoruz:

Hm... 2 x solda, 1 x sağda... Sorun mu var? Hiç de bile! Bir birimin (güçlü operasyonlardan, evet...) hatırlanması yeterlidir. herhangi sayının sıfır kuvveti. Herhangi. Ne gerekiyorsa onu yerleştireceğiz. İkiye ihtiyacımız var. Araç:

Artık bu kadar. 2 kökümüz var:

Cevap bu.

Şu tarihte: üstel denklemleri çözme sonunda bazen tuhaf bir ifadeyle karşılaşıyorsunuz. Tip:

Yediden ikiye kadar basit derece işe yaramıyor. Akraba değiller... Nasıl olabiliriz? Birisinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "Logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece idareli bir şekilde gülümsüyor ve kararlı bir el ile kesinlikle doğru cevabı yazıyor:

Birleşik Devlet Sınavında “B” görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Orada belirli bir sayı gerekiyor. Ancak “C” görevlerinde bu kolaydır.

Bu ders en yaygın üstel denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler sağlar. Ana noktaları vurgulayalım.

Pratik tavsiyeler:

1. Öncelikle şuna bakıyoruz: zemin derece. Bunları yapmanın mümkün olup olmadığını merak ediyoruz birebir aynı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. dereceleri olan eylemler. X'siz sayıların da üssüne dönüştürülebileceğini unutmayın!

2. Üstel denklemi solda ve sağda iken forma getirmeye çalışıyoruz. birebir aynı herhangi bir kuvvetteki sayılar. Kullanıyoruz dereceli eylemler Ve çarpanlara ayırma. Sayılarla sayılabilenleri sayarız.

3. İkinci ipucu işe yaramazsa değişken değiştirmeyi deneyin. Sonuç kolayca çözülebilecek bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kesirli, bu da kareye indirgenir.

4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için bazı sayıların kuvvetlerini görsel olarak bilmeniz gerekir.

Her zamanki gibi dersin sonunda biraz karar vermeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.

Üstel denklemleri çözün:

Daha zor:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Köklerin çarpımını bulun:

2 3'ler + 2 x = 9

İşe yaradı mı?

Peki o zaman en karmaşık örnek(Ancak, aklımda karar verdim...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Daha ilginç olan ne? O zaman işte sana kötü bir örnek. Oldukça çekici artan zorluk. Bu örnekte sizi kurtaracak şeyin yaratıcılık ve tüm matematik problemlerini çözmenin en evrensel kuralı olduğunu belirteyim.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Rahatlamak için daha basit bir örnek):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ve tatlı olarak. Denklemin köklerinin toplamını bulun:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Evet, evet! Bu karma tipte bir denklemdir! Bu derste bunu dikkate almadık. Neden bunları düşünelim, çözülmeleri gerekiyor!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Peki, yaratıcılığa ihtiyacın var... Ve yedinci sınıf sana yardım etsin (bu bir ipucu!).

Cevaplar (dağınık, noktalı virgülle ayrılmış):

1; 2; 3; 4; hiçbir çözüm yok; 2; -2; -5; 4; 0.

Her şey başarılı mı? Harika.

Herhangi bir sorun var mı? Soru yok! Özel Bölüm 555'te tüm bu üstel denklemler şu şekilde çözülür: detaylı açıklamalar. Ne, neden ve neden. Ve elbette her türlü üstel denklemle çalışmaya ilişkin değerli ek bilgiler de var. Sadece bunlar değil.)

Düşünülmesi gereken son eğlenceli soru. Bu dersimizde üstel denklemlerle çalıştık. Burada neden ODZ hakkında tek kelime etmedim? Denklemlerde bu çok önemli bir şey bu arada...

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Giriş seviyesi

Üstel denklemler. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Merhaba! Bugün sizinle temel olabilecek (ve bu makaleyi okuduktan sonra neredeyse hepsinin sizin için öyle olacağını umuyorum) ve genellikle "doldurmak için" verilen denklemleri nasıl çözeceğinizi tartışacağız. Görünüşe göre sonunda uykuya dalmak. Ancak artık bu tür denklemlerle karşılaştığınızda başınızın belaya girmemesi için mümkün olan her şeyi yapmaya çalışacağım. Artık ortalığı karıştırmayacağım ama hemen açacağım küçük sır: bugün ders çalışacağız üstel denklemler.

Bunları çözmenin yollarını analiz etmeye geçmeden önce, bu konuya saldırmadan önce tekrarlamanız gereken bir dizi soruyu (oldukça küçük) hemen size özetleyeceğim. Yani, almak için en iyi sonuç, Lütfen, tekrarlamak:

1. Özellikler ve
2. Çözüm ve denklemler

Tekrarlandı mı? İnanılmaz! O zaman denklemin kökünün bir sayı olduğunu fark etmeniz sizin için zor olmayacaktır. Bunu tam olarak nasıl yaptığımı anladın mı? Bu doğru mu? O zaman devam edelim. Şimdi soruma cevap verin, üçüncü kuvvete eşit olan nedir? Kesinlikle haklısın: . İkinin hangi kuvveti sekizdir? Bu doğru - üçüncüsü! Çünkü. O halde şimdi şu problemi çözmeye çalışalım: Sayıyı kendisiyle bir kere çarpıp sonucu elde edeyim. Soru şu ki, kendimle kaç kez çarptım? Elbette bunu doğrudan kontrol edebilirsiniz:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( hizala)

O zaman kendimle defalarca çarptığım sonucuna varabilirsiniz. Bunu başka nasıl kontrol edebilirsiniz? İşte nasıl: doğrudan derece tanımıyla: . Ama itiraf etmelisiniz ki, diyelim ki ikinin kendisiyle kaç kere çarpılması gerektiğini sorsam, bana şöyle derdiniz: Kendimi kandırmayacağım ve yüzüm mosmor olana kadar kendisiyle çarpmayacağım. Ve kesinlikle haklı olurdu. Çünkü nasıl tüm adımları kısaca yazın(ve kısalık yeteneğin kız kardeşidir)

nerede - bunlar aynı olanlar "kez", kendisiyle çarptığınızda.

Sanırım biliyorsunuz (ve bilmiyorsanız, acilen, çok acilen dereceleri tekrarlayın!) o zaman sorunum şu şekilde yazılacaktır:

Mantıklı olarak şu sonuca nasıl varabilirsiniz:

Bu yüzden fark edilmeden en basitini yazdım üstel denklem:

Ve hatta onu buldum kök. Her şeyin tamamen önemsiz olduğunu düşünmüyor musun? Tamamen aynısını düşünüyorum. İşte size başka bir örnek:

Peki ne yapmalı? Sonuçta (makul) bir sayının kuvveti olarak yazılamaz. Umutsuzluğa kapılmayalım ve bu sayıların her ikisinin de aynı sayının kuvvetiyle mükemmel bir şekilde ifade edildiğini not edelim. Hangisi? Sağ: . Daha sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür:

Nerede, zaten anladığınız gibi, . Daha fazla geciktirmeyelim ve yazalım. tanım:

Bizim durumumuzda: .

Bu denklemler aşağıdaki forma indirgenerek çözülür:

ardından denklemin çözümü

Aslında önceki örnekte tam da bunu yaptık: şunu elde ettik: Ve en basit denklemi çözdük.

Karmaşık bir şey yok gibi görünüyor, değil mi? Önce en basitleri üzerinde pratik yapalım örnekler:

Denklemin sağ ve sol taraflarının bir sayının kuvvetleri olarak temsil edilmesi gerektiğini bir kez daha görüyoruz. Doğru, solda bu zaten yapıldı, ancak sağda bir sayı var. Ama sorun değil çünkü benim denklemim mucizevi bir şekildeşuna dönüşecek:

Burada ne kullanmam gerekiyordu? Hangi kural? "Derece içinde derece" kuralışu şekilde okunur:

Farzedelim:

Bu soruyu yanıtlamadan önce aşağıdaki tabloyu dolduralım:

Ne kadar az olursa o kadar kolay olduğunu fark etmek bizim için kolaydır. daha az değer ama yine de tüm bu değerler sıfırdan büyük. VE HER ZAMAN da öyle olacak!!! Aynı özellik, HERHANGİ BİR GÖSTERGEYİ İÇEREN HERHANGİ BİR TEMEL İÇİN de geçerlidir! (herhangi bir ve için). O halde denklem hakkında ne sonuca varabiliriz? İşte ne olduğu: o kökleri yok! Tıpkı herhangi bir denklemin kökleri olmadığı gibi. Şimdi pratik yapalım ve Basit örnekleri çözelim:

Kontrol edelim:

1. Burada sizden derecelerin özellikleri hakkında bilgi sahibi olmak dışında hiçbir şey istenmeyecektir (bu arada sizden tekrarlamanızı istedim!) Kural olarak, her şey en küçük tabana götürür: , . O zaman orijinal denklem aşağıdakine eşdeğer olacaktır: Tek ihtiyacım olan kuvvetlerin özelliklerini kullanmak: Tabanları aynı olan sayıları çarparken üsleri toplanır, bölerken çıkarılır. O zaman şunu alacağım: Peki, şimdi temiz vicdanÜstel bir denklemden doğrusal bir denkleme geçeceğim: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(hizala)

2. İkinci örnekte, daha dikkatli olmamız gerekiyor: Sorun şu ki, sol tarafta aynı sayının kuvvetini muhtemelen temsil edemiyoruz. Bu durumda bazen yararlı olabilir sayıları kuvvetlerin bir ürünü olarak temsil eder farklı nedenlerden dolayı, Ancak aynı göstergeler:

Denklemin sol tarafı şöyle görünecektir: Bu bize ne verdi? İşte şu: Tabanları farklı fakat üsleri aynı olan sayılar çarpılabilir.Bu durumda bazlar çarpılır ancak gösterge değişmez:

Benim durumumda bu şunu verecektir:

\begin(hizala)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(hizala)

Fena değil, değil mi?

3. Denklemin bir tarafında gereksiz yere iki terimin olması, diğer tarafında ise hiç olmamasından hoşlanmıyorum (elbette bazen bu haklı olabilir, ancak şimdi durum böyle değil). Eksi terimini sağa taşıyacağım:

Şimdi, daha önce olduğu gibi, her şeyi üçün kuvvetleri cinsinden yazacağım:

Soldaki dereceleri topluyorum ve eşdeğer bir denklem elde ediyorum

Kökünü kolayca bulabilirsiniz:

4. Üçüncü örnekte olduğu gibi eksi terimin sağ tarafta yeri vardır!

Solumda neredeyse her şey yolunda, ne hariç? Evet ikisinin “yanlış derecesi” beni rahatsız ediyor. Ancak şunu yazarak bunu kolayca düzeltebilirim: . Eureka - solda tüm tabanlar farklı, ancak tüm dereceler aynı! Hemen çoğalalım!

Burada yine her şey açık: (nasıl olduğunu anlamıyorsanız) sihirli bir şekilde Son eşitliği yakaladım, bir dakika ara veriyorum, derin bir nefes alıyorum ve derecenin özelliklerini çok dikkatli bir şekilde tekrar okuyorum. Bir dereceyi atlayabileceğini kim söyledi? negatif gösterge? Ben de bunu söylüyorum, kimse yok). Şimdi şunu alacağım:

\begin(hizala)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(hizala)

İşte size pratik yapmanız için, yalnızca cevaplarını vereceğim (ancak "karışık" bir biçimde) bazı problemler. Onları çözün, kontrol edin, siz ve ben araştırmamıza devam edeceğiz!

Hazır? Cevaplar bunun gibi:

1. herhangi bir sayı

Tamam, tamam, şaka yapıyordum! İşte bazı çözüm taslakları (bazıları çok kısa!)

Soldaki kesirlerden birinin "tersine çevrilmiş" olması sizce de tesadüf değil mi? Bundan yararlanmamak günah olur:

Bu kural üstel denklemleri çözerken çok sık kullanılır, bunu iyi unutmayın!

O zaman orijinal denklem şu şekilde olacaktır:

Bu ikinci dereceden denklemi çözerek aşağıdaki kökleri elde edersiniz:

2. Başka bir çözüm: Denklemin her iki tarafını da soldaki (veya sağdaki) ifadeye bölmek. Sağdaki sayıya bölersem şunu elde ederim:

Nerede (neden?!)

3. Kendimi tekrarlamak bile istemiyorum, her şey çoktan "çiğnendi".

4. ikinci dereceden bir denklemin eşdeğeri, kökler

5. İlk problemde verilen formülü kullanmanız gerekir, o zaman şunu elde edeceksiniz:

Denklem herkes için geçerli olan önemsiz bir kimliğe dönüştü. O zaman cevap herhangi bir gerçek sayıdır.

Artık çözme pratiği yaptınız basit üstel denklemler.Şimdi size birkaç tane vermek istiyorum hayat örnekleri prensipte neden ihtiyaç duyulduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır. Burada iki örnek vereceğim. Bunlardan biri oldukça gündeliktir, ancak diğerinin pratikten çok bilimsel olması daha olasıdır.

Örnek 1 (ticari) Rubleniz olsun ama onu rubleye çevirmek istiyorsunuz. Banka size bu parayı aylık faiz aktifleştirmesi (aylık tahakkuk) ile yıllık oranda sizden almanızı teklif ediyor. Sorun şu ki, gerekli nihai tutara ulaşmak için kaç ayda bir depozito açmanız gerekiyor? Oldukça sıradan bir görev, değil mi? Bununla birlikte, çözümü karşılık gelen üstel denklemin oluşturulmasıyla ilişkilidir: Başlangıç ​​toplamı olsun, - nihai miktar, - döneme ait faiz oranı, - dönem sayısı. Daha sonra:

Bizim durumumuzda (oran yıllık ise aylık olarak hesaplanır). Neden bölünüyor? Bu sorunun cevabını bilmiyorsanız “” konusunu hatırlayın! O zaman şu denklemi elde ederiz:

Bu üstel denklem yalnızca bir hesap makinesi kullanılarak çözülebilir (onun dış görünüş buna dair ipuçları veriyor ve bu, biraz sonra tanışacağımız logaritma bilgisini gerektiriyor) ki bunu yapacağım: ... Bu nedenle, bir milyon alabilmek için bir ay boyunca para yatırmamız gerekecek ( çok hızlı değil, değil mi?).

Örnek 2 (oldukça bilimsel). Belli bir "izolasyona" rağmen, ona dikkat etmenizi öneririm: o düzenli olarak "Birleşik Devlet Sınavına giriyor!! (sorun “gerçek” versiyondan alınmıştır) Çürüme sırasında radyoaktif izotop kütlesi yasaya göre azalır, burada (mg) izotopun başlangıç ​​​​kütlesidir, (min.) ilk andan itibaren geçen süredir, (min.) yarı ömürdür. İÇİNDE başlangıç ​​anı zaman izotop kütlesi mg. Yarı ömrü min. Kaç dakika sonra izotopun kütlesi mg'a eşit olur? Sorun değil: tüm verileri alıp bize önerilen formüle yerleştiriyoruz:

Sol tarafta sindirilebilir bir şey elde etmemizi umarak her iki parçayı da bölelim:

Biz çok şanslıyız! Solda, o zaman eşdeğer denkleme geçelim:

Min nerede?

Gördüğünüz gibi üstel denklemlerin pratikte çok gerçek uygulamaları var. Şimdi size üstel denklemleri çözmenin başka (basit) bir yolunu göstermek istiyorum; bu yöntem, ortak çarpanı parantezlerden çıkarıp terimleri gruplandırmaya dayanır. Sözlerimden korkmayın, bu yöntemle zaten 7. sınıfta polinomları çalışırken tanışmıştınız. Örneğin, ifadeyi çarpanlarına ayırmanız gerekiyorsa:

Gruplandıralım: birinci ve üçüncü terimlerin yanı sıra ikinci ve dördüncü terimleri. Birinci ve üçüncünün kareler farkı olduğu açıktır:

ve ikinci ve dördüncüde ortak çarpanüç:

O zaman orijinal ifade şuna eşdeğerdir:

Ortak faktörün nereden türetileceği artık zor değil:

Buradan,

Üstel denklemleri çözerken kabaca yapacağımız şey budur: terimler arasında "ortaklık" arayın ve bunu parantezlerden çıkarın ve sonra - ne olursa olsun, şanslı olacağımıza inanıyorum =)) Örneğin:

Sağda yedinin kuvveti olmaktan çok uzak (kontrol ettim!) Ve solda - biraz daha iyi, elbette a faktörünü birinci terimden ikinciden "kesebilir" ve sonra dağıtabilirsiniz. sahip olduklarınla, ama sana karşı daha ihtiyatlı olalım. "Seçerken" kaçınılmaz olarak oluşan kesirlerle uğraşmak istemiyorum, yani onu çıkarmam gerekmez mi? O zaman hiçbir kesirim olmayacak: dedikleri gibi, kurtlar besleniyor ve koyunlar güvende:

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayın. Sihirli bir şekilde, sihirli bir şekilde, bu ortaya çıkıyor (şaşırtıcı bir şekilde, başka ne beklemeliyiz ki?).

Daha sonra denklemin her iki tarafını da bu faktör kadar azaltırız. Şunu alıyoruz: , from.

İşte daha karmaşık bir örnek (gerçekten biraz):

Ne sorun! Burada bir tane yok ortak zemin! Şimdi ne yapılacağı tam olarak belli değil. Elimizden geleni yapalım: Önce “dörtlüyü” bir tarafa, “beşliyi” diğer tarafa taşıyın:

Şimdi soldaki ve sağdaki "genel"i çıkaralım:

Peki şimdi ne olacak? Bu kadar aptal bir grubun ne faydası var? İlk bakışta hiç görünmüyor ama daha derine bakalım:

Şimdi solda yalnızca c ifadesinin ve sağda diğer her şeyin olduğundan emin olacağız. Bunu nasıl yaparız? Şöyle: Denklemin her iki tarafını da önce ikiye bölelim (böylece sağdaki üsden kurtuluruz), sonra da her iki tarafı da ikiye böleriz (böylece soldaki sayısal faktörden kurtuluruz). Sonunda şunu elde ederiz:

İnanılmaz! Solda bir ifademiz var, sağda ise basit bir ifademiz var. O zaman hemen şu sonuca varırız

İşte pekiştirmeniz için başka bir örnek:

onu getireceğim kısa çözüm(açıklamalarla kendinizi gerçekten rahatsız etmeden), çözümün tüm "inceliklerini" kendiniz anlamaya çalışın.

Şimdi kapsanan malzemenin son konsolidasyonuna geçelim. Aşağıdaki sorunları kendiniz çözmeye çalışın. sadece vereceğim kısa öneriler ve bunları çözmek için ipuçları:

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım: Nerede:
2. Şeklindeki ilk ifadeyi sunalım: , her iki tarafı da bölüp şunu elde edelim
3. , sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür: Şimdi bir ipucu - bu denklemi zaten nerede çözdüğümüze bakın!
4. Nasıl, nasıl, ah, sonra her iki tarafı da böldüğünüzü hayal edin, böylece en basit üstel denklemi elde edersiniz.
5. Parantezlerden çıkarın.
6. Parantezlerden çıkarın.

ÜSSEL DENKLEMLER. ORTA SEVİYE

Bahsedilen ilk makaleyi okuduktan sonra sanırım üstel denklemler nedir ve nasıl çözülür, ustalaştın gerekli minimum Basit örnekleri çözmek için gerekli bilgi.

Şimdi üstel denklemleri çözmek için başka bir yönteme bakacağım, bu

“yeni bir değişken ekleme yöntemi” (veya değiştirme).Üstel denklemler (sadece denklemler değil) konusundaki çoğu "zor" problemi çözer. Bu yöntem pratikte en sık kullanılan yöntemlerden biridir. Öncelikle konuyu iyice tanımanızı tavsiye ederim.

Adından da anlayacağınız gibi bu yöntemin özü, üstel denkleminizin mucizevi bir şekilde kolayca çözebileceğiniz bir denkleme dönüşmesini sağlayacak bir değişken değişikliği sağlamaktır. Bu çok "basitleştirilmiş denklemi" çözdükten sonra size geriye kalan tek şey "tersine değiştirme" yapmaktır: yani değiştirilenden değiştirilene dönüş. Çok basit bir örnekle az önce söylediklerimizi açıklayalım:

Örnek 1:

Bu denklem, matematikçilerin küçümseyici bir şekilde adlandırdığı gibi "basit bir ikame" kullanılarak çözülür. Aslında buradaki değişim en bariz olanıdır. Sadece şunu görmek lazım

Daha sonra orijinal denklem şuna dönüşecektir:

Ayrıca nasıl olduğunu hayal edersek, neyin değiştirilmesi gerektiği kesinlikle açıktır: elbette . O zaman orijinal denklem ne olur? İşte şu:

Köklerini kendi başınıza kolayca bulabilirsiniz: . Şimdi ne yapmalıyız? Orijinal değişkene dönme zamanı geldi. Neyden bahsetmeyi unuttum? Yani: belirli bir dereceyi yeni bir değişkenle değiştirirken (yani bir türü değiştirirken), ilgileneceğim sadece pozitif kökler! Nedenini kendiniz kolayca cevaplayabilirsiniz. Yani sen ve ben ilgilenmiyoruz ama ikinci kök bizim için oldukça uygun:

O zaman nereden.

Cevap:

Gördüğünüz gibi önceki örnekte, yerine geçecek kişi sadece bizden izin istiyordu. Ne yazık ki bu her zaman böyle değildir. Ancak, doğrudan üzücü şeylere gitmeyelim, yerine oldukça basit bir örnek daha verelim.

Örnek 2.

Büyük olasılıkla bir değişiklik yapmamız gerekeceği açıktır (bu, denklemimizde yer alan kuvvetlerin en küçüğüdür), ancak bir değişiklik yapmadan önce denklemimizin buna "hazırlanması" gerekir, yani: , . Sonra değiştirebilirsiniz, sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi elde ederim:

Ah korku: kübik denklemçözümü için kesinlikle berbat formüllerle (pekala, genel görünüm). Ama hemen umutsuzluğa kapılmayalım, ne yapmamız gerektiğini düşünelim. Hile yapmayı önereceğim: "Güzel" bir cevap almak için bunu üçün bir kuvveti şeklinde almamız gerektiğini biliyoruz (bu neden olsun ki, ha?). Denklemin en az bir kökünü tahmin etmeye çalışalım (tahmin etmeye üçün kuvvetleriyle başlayacağım).

İlk tahmin. Kök değil. Ne yazık ki ve ah...

.
Sol taraf eşittir.
Sağ taraf: !
Yemek yemek! İlk kökü tahmin ettim. Artık işler daha da kolaylaşacak!

“Köşe” bölme şemasını biliyor musunuz? Elbette öyle, bir sayıyı diğerine bölerken bunu kullanırsın. Ancak çok az kişi aynı şeyin polinomlarla yapılabileceğini biliyor. Harika bir teorem var:

Benim durumuma uygulanacak olursa, bu bana bunun kalansız bölünebileceğini söylüyor. Bölme nasıl yapılır? İşte nasıl:

Clearly'yi elde etmek için hangi monomial ile çarpmam gerektiğine bakıyorum, sonra:

Sonuçta ortaya çıkan ifadeyi çıkarırsam şunu elde ederim:

Şimdi, elde etmek için neyi çarpmam gerekiyor? Açıkça görülüyor ki, o zaman şunu alacağım:

ve elde edilen ifadeyi tekrar kalan ifadeden çıkarın:

Son adım, kalan ifadeyle çarpmak ve ondan çıkarmaktır:

Yaşasın, bölünme bitti! Özel olarak ne biriktirdik? Elbette: .

Daha sonra orijinal polinomun aşağıdaki açılımını elde ettik:

İkinci denklemi çözelim:

Kökleri vardır:

O halde orijinal denklem:

üç kökü vardır:

Elbette son kökü atacağız, çünkü o sıfırdan az. Ve ters değiştirmeden sonraki ilk ikisi bize iki kök verecektir:

Cevap: ..

Bu örnekle sizi hiç korkutmak istemedim, aslında oldukça başarılı olmamıza rağmen bunu göstermek için yola çıktım; kolay değiştirme yine de oldukça yol açtı karmaşık denklemçözümü bizden bazı özel beceriler gerektiriyordu. Hiç kimse bundan muaf değildir. Ama yerine koyma bu durumda oldukça açıktı.

İşte biraz daha az belirgin bir değişime sahip bir örnek:

Ne yapmamız gerektiği hiç de açık değil: Sorun şu ki, denklemimizde iki farklı taban var ve bir tabanın diğerinden herhangi bir (doğal olarak makul) güce yükseltilmesiyle elde edilememesi. Ancak ne görüyoruz? Her iki taban da yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir ve çarpımları bire eşit kareler farkıdır:

Tanım:

Dolayısıyla örneğimizde taban olan sayılar eşleniktir.

Bu durumda akıllı adım şu olacaktır: Denklemin her iki tarafını eşlenik sayıyla çarpın.

Örneğin, denklemin sol tarafı ve sağ tarafı eşit olacaktır. Eğer bir değişiklik yaparsak orijinal denklemimiz şu şekilde olacaktır:

öyleyse kökleri ve bunu hatırlayarak bunu anlıyoruz.

Cevap: , .

Kural olarak, değiştirme yöntemi çoğu "okul" üstel denklemini çözmek için yeterlidir. Aşağıdaki görevler Birleşik Devlet Sınavı C1'den alınmıştır ( artan seviye karmaşıklık). Zaten bu örnekleri kendi başınıza çözebilecek kadar okuryazarsınız. Sadece gerekli değişimi yapacağım.

1. Denklemi çözün:
2. Denklemin köklerini bulun:
3. Denklemi çözün: . Bu denklemin segmente ait tüm köklerini bulun:

Şimdi bazı kısa açıklamalar ve cevaplar:

1. Burada şunu belirtmemiz yeterli... O zaman orijinal denklem şuna eşdeğer olacaktır: Bu denklem değiştirmeyle çözüldü. Daha fazla hesaplamayı kendiniz yapın. Sonunda göreviniz basit trigonometrik problemleri çözmeye indirgenecek (sinüs veya kosinüse bağlı olarak). Çözüm benzer örnekler buna diğer bölümlerde bakacağız.
2. Burada değiştirme yapmadan da yapabilirsiniz: sadece çıkanı sağa hareket ettirin ve her iki tabanı da ikinin kuvvetleriyle temsil edin: ve ardından doğrudan ikinci dereceden denkleme gidin.
3. Üçüncü denklem de oldukça standart bir şekilde çözüldü: nasıl olduğunu hayal edelim. Sonra değiştirerek ikinci dereceden bir denklem elde ederiz: o zaman,

   Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyorsun, değil mi? HAYIR? O halde acilen konuyu okuyun!

   İlk kökün segmente ait olmadığı açık ama ikincisi belirsiz! Ama çok yakında öğreneceğiz! O zamandan beri (bu logaritmanın bir özelliğidir!) Şimdi karşılaştıralım:

   Her iki taraftan da çıkarırsak şunu elde ederiz:

   Sol tarafşu şekilde temsil edilebilir:

   her iki tarafı da şununla çarpın:

   ile çarpılabilir, o zaman

   Sonra karşılaştırın:

   o zamandan beri:

   O halde ikinci kök gerekli aralığa aittir

   Cevap:

Gördüğünüz gibi, Üstel denklemlerin köklerinin seçimi, logaritmanın özellikleri hakkında oldukça derin bir bilgi gerektirir bu yüzden üstel denklemleri çözerken mümkün olduğunca dikkatli olmanızı tavsiye ederim. Anladığınız gibi matematikte her şey birbirine bağlıdır! Matematik öğretmenimin dediği gibi: "Tarih gibi matematik de bir gecede okunamaz."

Kural olarak hepsi C1 problemlerini çözmenin zorluğu tam olarak denklemin köklerinin seçilmesidir. Bir örnekle daha pratik yapalım:

Denklemin kendisinin oldukça basit bir şekilde çözüldüğü açıktır. Bir değişiklik yaparak orijinal denklemimizi aşağıdakine indirgeyebiliriz:

İlk önce ilk köke bakalım. Hadi karşılaştıralım ve: o zamandan beri. (mülk logaritmik fonksiyon, en). O zaman ilk kökün bizim aralığımıza ait olmadığı açıktır. Şimdi ikinci kök: . Bu açıktır (çünkü at fonksiyonu artmaktadır). Karşılaştırmak için kalır ve ...

o zamandan beri aynı zamanda. Bu şekilde ve arasında "bir çivi çakabilirim". Bu çivi bir sayıdır. Birinci ifade küçüktür, ikincisi büyüktür. O halde ikinci ifade birinciden büyüktür ve kök aralığa aittir.

Cevap: .

Son olarak, ikamenin oldukça standart dışı olduğu başka bir denklem örneğine bakalım:

Hemen ne yapılabileceğiyle ve prensip olarak ne yapılabileceğiyle başlayalım, ancak bunu yapmamak daha iyidir. Her şeyi üçün, ikinin ve altının kuvvetleri aracılığıyla hayal edebilirsiniz. Bu neye yol açacak? Hiçbir şeye yol açmayacak: bazılarından kurtulması oldukça zor olacak bir karmakarışık dereceler. O zaman ne gerekiyor? Şunu not edelim: Peki bu bize ne verecek? Ve bu örneğin çözümünü oldukça basit bir üstel denklemin çözümüne indirgeyebileceğimiz gerçeği! Öncelikle denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Şimdi ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Evreka! Şimdi değiştirebiliriz, şunu elde ederiz:

Şimdi gösteri problemlerini çözme sırası sizde ve kafanızın karışmaması için onlara sadece kısa açıklamalarda bulunacağım. doğru yol! İyi şanlar!

1. En zoru! Burada bir yedek görmek çok zor! Ancak yine de bu örnek kullanılarak tamamen çözülebilir. deşarj tam kare . Bunu çözmek için şunu not etmek yeterlidir:

O zaman işte sizin yerinize:

(Burada değiştirme işlemimizde göz ardı edemeyeceğimizi unutmayın. negatif kök!!! Neden düşünüyorsun?)

Şimdi örneği çözmek için yalnızca iki denklemi çözmeniz gerekiyor:

Her ikisi de “standart değiştirme” ile çözülebilir (ancak bir örnekte ikincisi!)

2. Bunu fark edin ve değiştirin.

3. Sayıyı eş asal faktörlere ayırın ve elde edilen ifadeyi basitleştirin.

4. Kesrin payını ve paydasını (veya tercih ederseniz) ile bölün ve yerine veya koyun.

5. ve sayılarının eşlenik olduğuna dikkat edin.

ÜSSEL DENKLEMLER. İLERİ SEVİYE

Ayrıca başka bir yola bakalım - logaritma yöntemini kullanarak üstel denklemleri çözme. Üstel denklemleri bu yöntemle çözmenin çok popüler olduğunu söyleyemem ama sadece bazı durumlarda bizi sonuca götürebilir. doğru karar bizim denklemimiz. Özellikle “” denilen şeyi çözmek için sıklıkla kullanılır. karışık denklemler ": yani, farklı türdeki işlevlerin meydana geldiği yerler.

Örneğin, formun bir denklemi:

V genel durum yalnızca her iki tarafın logaritmasının (örneğin tabana göre) alınmasıyla çözülebilir; bu, orijinal denklemi aşağıdakine dönüştürecektir:

Aşağıdaki örneğe bakalım:

Açıktır ki ODZ logaritmik işlevlerle yalnızca ilgileniyoruz. Ancak bu sadece logaritmanın ODZ'sinden değil, bir nedenden daha kaynaklanmaktadır. Hangisi olduğunu tahmin etmenizin zor olmayacağını düşünüyorum.

Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım:

Gördüğünüz gibi logaritmasını aldığımızda orijinal denklem bizi oldukça hızlı bir şekilde doğru (ve güzel!) cevaba götürdü. Bir örnekle daha pratik yapalım:

Burada da yanlış bir şey yok: Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım, sonra şunu elde ederiz:

Bir değiştirme yapalım:

Ancak bir şeyi atladık! Nerede hata yaptığımı fark ettiniz mi? Sonuçta, o zaman:

bu gereksinimi karşılamıyor (nereden geldiğini düşünün!)

Cevap:

Aşağıdaki üstel denklemlerin çözümünü yazmaya çalışın:

Şimdi kararınızı şununla karşılaştırın:

1. Aşağıdakileri dikkate alarak her iki tarafı tabana göre logaritalım:

(İkinci kök değişim nedeniyle bize uygun değildir)

2. Tabana göre logaritma:

Ortaya çıkan ifadeyi aşağıdaki forma dönüştürelim:

ÜSSEL DENKLEMLER. KISA AÇIKLAMA VE TEMEL FORMÜLLER

Üstel denklem

Formun denklemi:

isminde en basit üstel denklem.

Derecelerin özellikleri

Çözüm yaklaşımları

• Yol açan aynı temel
• Aynı üsse azaltma
• Değişken değiştirme
• İfadeyi basitleştirmek ve yukarıdakilerden birini uygulamak.

Örnekler:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Üstel Denklemler Nasıl Çözülür?

Herhangi bir üstel denklemi çözerken, onu \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine getirmeye çalışırız ve ardından üslerin eşitliğine geçiş yaparız, yani:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Örneğin:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Önemli! Aynı mantıktan böyle bir geçiş için iki gereklilik ortaya çıkar:
- sayı sol ve sağ aynı olmalıdır;
- soldaki ve sağdaki dereceler “saf” olmalıdır yani çarpma, bölme vs. olmamalıdır.

Örneğin:

Denklemi \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine indirgemek için kullanılırlar.

Örnek . Üstel denklemi çözün \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3))))^(2x)\)
Çözüm: