Hareketin genel özellikleri. Hareketlerin temel teoremi

Giriiş.

Geometrik dönüşümler matematiğin oldukça geç bir dalıdır. İlk geometrik dönüşümler 17. yüzyılda dikkate alınmaya başlandı ve projektif dönüşümler yalnızca XIX'in başı yüzyıl.

Cebir kapakları çeşitli işlevler. f fonksiyonu, fonksiyonun tanım alanındaki her x sayısına belirli bir f(x) sayısını - f fonksiyonunun x noktasındaki değerini - atar. Geometride, farklı tanım alanlarına ve değer kümelerine sahip fonksiyonlar dikkate alınır. Her noktaya bir nokta atarlar. Bu fonksiyonlara geometrik dönüşümler denir.

Geometrik dönüşümler büyük önem geometride. Geometrik dönüşümleri kullanarak bu kadar önemli geometrik kavramlarŞekillerin eşitliği ve benzerliği olarak. Sayesinde geometrik dönüşümler Geometrinin birçok farklı gerçeği tutarlı bir teoriye uyuyor.

Özet ağırlıklı olarak mekan dönüşümlerine odaklanacaktır. Uzayın tüm hareketleri, benzerlikleri, dairesel ve afin dönüşümleri ile düzlemin afin ve projektif dönüşümleri dikkate alınacaktır. Her dönüşümün özellikleri ve geometrik problemlerin çözümüne yönelik uygulama örnekleri dikkate alınacaktır.

Öncelikle dönüşümlerle çalışmak için ihtiyaç duyacağımız bazı temel kavramlara bakalım. İki terime odaklanalım: mesafe ve dönüşüm. Peki bu sözlerle ne demek istiyoruz:

Tanım. Mesafe iki nokta arasında uçları bu noktalarda olan parçanın uzunluğu diyeceğiz.

Tanım. dönüşüm set'e bu setin kendi üzerine birebir eşlemesini diyeceğiz.

Şimdi değerlendirmeye geçelim bireysel türler geometrik dönüşümler.

Bölüm I. Uzayın hareketleri.

Hareketlerin genel özellikleri.

Tanım. Uzayın dönüşümü denir hareket noktalar arasındaki mesafeleri koruyorsa.

Hareketlerin özellikleri.

1. Hareketin tersi olan dönüşüm ise harekettir.
2. Hareketlerin bileşimi - hareket.
3. Hareket ederken, düz bir çizgi düz bir çizgiye, bir ışın bir ışına, bir doğru parçası bir parçaya, bir düzlem bir düzleme, bir yarım düzlem bir yarım düzleme dönüşür.
4. Hareket halindeki bir düzlem açının görüntüsü aynı büyüklükte bir düzlem açıdır.
5. Hareket, düz çizgiler arasındaki, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki, düzlemler arasındaki açının büyüklüğünü korur.
6. Hareket, düz çizgiler, düz bir çizgi ve bir düzlemin paralelliğini korur.

Özelliklerin kanıtları.

1 ve 2. Hareketin tanımını takip edin.

1. A, X ve B noktaları aynı doğru üzerinde olsun ve X noktası A ile B arasında olsun. Bu durumda AX + XB = AB. A', X', B' noktaları hareket sırasındaki A, X, B noktalarının görüntüleri olsun. O halde А´Х´+Х´В´=А´В´ (hareketin tanımından). Ve bundan A', X', B' noktalarının aynı düz çizgi üzerinde olduğu ve X'in A' ile B' arasında olduğu sonucu çıkar.
   Kanıtlanmış ifadeden, hareket ederken düz bir çizginin düz bir çizgiye, bir ışının bir ışına ve bir parçanın bir parçaya dönüştüğü hemen anlaşılmaktadır.

Bir düzlem için ispat aşağıdaki gibi yapılabilir. a, b, α düzlemimizin kesişen iki düz çizgisi, a', b' görüntüleri olsun. Açıkçası, a' ve b' kesişiyor. a', b' doğrularını içeren düzlem α' olsun. α'nın α düzleminin görüntüsü olduğunu kanıtlayalım. M olsun – keyfi nokta a ve b çizgileri üzerinde olmayan α düzlemi. a ve b doğrularını farklı noktalarda kesen c'den m'ye bir çizgi çizelim. Bu doğrunun görüntüsü a', b' doğrularını çeşitli noktalarda kesen c' doğrusudur. Bu, M noktasının görüntüsü olan M''nin α' düzleminde olduğu anlamına gelir. Yani α düzlemindeki herhangi bir noktanın görüntüsü α' düzleminde yer alır. Benzer şekilde, α' düzlemindeki herhangi bir noktanın ters görüntüsünün α düzleminde olduğu da kanıtlanmıştır. Dolayısıyla α', α düzleminin görüntüsüdür.

Artık yarım düzlem ifadesini kanıtlamak zor değil. Yarım düzlemi bir düzlemle tamamlamanız, yarım düzlemi sınırlayan düz çizgiyi ve onun a' görüntüsünü dikkate almanız ve ardından yarım düzlemin herhangi iki noktasının görüntülerinin yalan olduğunu çelişki yoluyla kanıtlamanız yeterlidir. a'nın aynı tarafında.

1. Mülk 3'ten takip eder.
2. Bu, özellik 4'ten ve uzaydaki düz çizgiler (düz bir çizgi ve bir düzlem, iki düzlem) arasındaki açının tanımından kaynaklanır.
3. Tam tersini varsayalım, yani. Paralel çizgilerimizin görüntülerinin (bir doğru ve bir düzlem, düzlemler) kesişmesine izin verin (paralel çizgiler durumunda, görüntülerinin kesişen çizgiler olamayacağını göstermek gerekir, ancak bu hemen aşağıdakileri içeren düzlemin olduğu gerçeğinden kaynaklanır: bu çizgiler bir düzleme dönüşecektir). Daha sonra ortak noktalarını düşünün. Dönüşümün tanımı gereği imkansız olan iki prototipi olacak.

Tanım. F şekline denir eşittirФ'yi Ф''e dönüştüren bir hareket varsa Ф' şekli.

Hareket türleri.

3.1. Aynı dönüşüm.

Tanım. Özdeş dönüşüm E uzayı, uzaydaki her noktanın kendine dönüştüğü dönüşüme denir.

Açıkça, kimlik dönüşümü bir harekettir.

3.2. Paralel aktarım.

Tanım. Uzayda bir vektör verilsin. Paralel aktarım Bir vektör üzerindeki uzay, her M noktasının bir M' noktasına eşlendiği bir dönüşümdür;

Teorem 3.2. Paralel aktarım - hareket.

Kanıt. A', B', vektöre paralel olarak aktarıldığında A, B noktalarının görüntüleri olsun. Eşitlikten çıkan AB = A'B' olduğunu göstermek yeterlidir:

Mülk transferi. Paralel öteleme, bir düz çizgiyi (düzlem) kendi içine veya ona paralel bir düz çizgiye (düzlem) aktarır.

Kanıt. Teorem 3.2'nin ispatında paralel transferin vektörleri koruduğunu ispatladık. Bu, düz çizgilerin yönlendirici vektörlerinin ve düzlemlerin normal vektörlerinin korunduğu anlamına gelir. Açıklamamızın devamı burasıdır.

Merkezi simetri.

Tanım. Simetri O noktasına göre ( merkezi simetri ), bir O noktasını kendi üzerine eşleyen ve diğer herhangi bir M noktasını bir M' noktası üzerine, O noktası MM' doğru parçasının orta noktası olacak şekilde eşleyen bir uzay dönüşümüdür. O noktasına denir simetri merkezi.

Teorem 3.4. Merkezi simetri harekettir.

Kanıt.

A, B – iki rastgele nokta, A', B' – bunların görüntüleri, O – simetri merkezi olsun. Daha sonra .

Merkezi simetrinin özelliği. Merkezi simetri, bir düz çizgiyi (düzlem) kendisine veya ona paralel bir düz çizgiye (düzlem) dönüştürür.

Kanıt. Teorem 3.4'ün ispatında paralel transfer sırasında vektörlerin tersine döndüğünü ispatladık. Bu, düz çizgilerin yön vektörlerinin ve merkezi simetriye sahip düzlemlerin normal vektörlerinin yalnızca yön değiştirdiği anlamına gelir. Açıklamamızın devamı burasıdır.

Hareketin belirtilmesine ilişkin teorem.

Teorem 5.1. (hareketin belirtilmesiyle ilgili teorem) Sırasıyla iki dörtyüzlü ABCD ve A'B'C'D' verilirse eşit kenarlar ise, uzayda yalnızca bir hareket vardır; A, B, C, D noktaları sırasıyla A', B', C', D' noktalarına eşlenir.

Kanıt.

BEN. Varoluş. A, A' ile, B - B' ile, C - C' ile, D - D' ile çakışırsa, basit bir kimlik dönüşümü verilir. Değilse, kesin olarak A'nın A' ile çakışmadığını varsayalım. A ve A' noktalarının simetri düzlemi α'yı ele alalım. S α simetrisinin ABCD tetrahedronunu A'B 1 C 1 D 1 tetrahedronuna dönüştürmesine izin verin.

Şimdi eğer B 1 B' ile, C 1 - C' ile, D 1 - D' ile çakışıyorsa ispat tamamlanır. Değilse, genelliği kaybetmeden B' ve B1 noktalarının çakışmadığını varsayabiliriz. B 1 ve B' noktalarının β simetri düzlemini ele alalım. A' noktası B 1 ve B' noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan β düzleminde yer alır. S β simetrisinin A'B 1 C 1 D 1 tetrahedronunu A'B'C 2 D 2 tetrahedronuna dönüştürmesine izin verin.

Şimdi, eğer C2, C' ile çakışıyorsa ve D2, D' ile çakışıyorsa ispat tamamlanmıştır. Değilse, genelliği kaybetmeden C' ve C2 noktalarının çakışmadığını varsayabiliriz. C2 ve C' noktalarının γ simetri düzlemini ele alalım. A', B' noktaları C 2 ve C' noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan γ düzleminde yer alırlar. Simetri S y'nin A'B'C 2 D 2 tetrahedronunu A'B'C'D 3 tetrahedronuna dönüştürdüğünü varsayalım.

Şimdi eğer D3, D' ile çakışıyorsa ispat tamamlanmıştır. Değilse, D 3 ve D' noktalarının δ simetri düzlemini düşünün. A', B', C' noktaları D3 ve D' noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan δ düzleminde yer alırlar. Bu, S δ simetrisinin A'B'C'D 3 tetrahedronunu A'B'C'D' tetrahedronuna dönüştürdüğü anlamına gelir.

Böylece, gerekli sayıda azaltılmış ayna simetrisinin bileşimi ABCD tetrahedronunu A'B'C'D' tetrahedrona dönüştürür. Ve bu dönüşüm bir harekettir (2 hareketin özelliği).

II. Benzersizlik. A'yı A'ya, B'yi B'ye, C'yi C'ye, D'yi D'ye aktaran 2 f ve g hareketi olsun. O halde hareket özdeş bir dönüşümdür, çünkü A, B, C, D noktalarını hareketsiz bırakır. Yani f=g.

Teorem 5.1 (varlık) kanıtlanırken aslında kanıtlandı

Teorem 5.2. Uzayın herhangi bir hareketi, en fazla dört ayna simetrisinin birleşimidir.

Uzayın homojenliği.

Önce önemli olanları ele alalım özel durum benzerlik - homojenlik.

Tanım. Homotetiklik O merkezi ve katsayısı ile her X noktasının görüntüsünün bir X' noktası olduğu bir uzay dönüşümüdür.

Homoteliğin özellikleri.

Özelliklerin kanıtları.

1 ve 2. Homoteliğin tanımını takip edin.

3. Düzlemde karşılık gelen teoreme benzer şekilde kanıtlanmıştır. Aslında uzayda keyfi bir X noktası düşünürsek, (AHB) düzlemi için teoremimizi kanıtlamamız yeterli olacaktır.

4. Çelişkiyle kanıtlanmıştır.

1. Mülk 1'den takip edilir.

Benzerliğin özellikleri.

Teorem 2.1. Uzayın benzerliği homotelik ve hareket f bileşimiyle temsil edilebilir:

Kanıt.İsteğe bağlı bir noktada merkezle bir homotelik yapalım. Öyle bir f dönüşümü düşünün (böyle bir dönüşümün varlığı, dönüşümün tanımından kaynaklanır). F dönüşümü, hareketin tanımı gereği hareket olacaktır.

F için hareketi seçerek benzerliğimizin bu formdaki bir temsilini elde edebileceğimizi unutmayın.

Benzerliğin özellikleri.

Özelliklerin kanıtları.

1 ve 2. Teorem 2.1'den Sonuçlar.

3. Benzerliğin tanımından çıkar.

4. Bir küp için teoremin kesinlikle doğru olduğu açıktır. Tabii ki küplerden oluşan bir gövde için de.

Kübik bir kafesin üzerine rastgele bir çokyüzlü M yerleştirilebilir. Bu kafesi taşlayacağız. Kafesimizin bir küpünün bir tarafı sıfıra yaklaştığında, iki cismin hacimleri ortaya çıkar: tamamen M'nin içinde yer alan küplerden oluşan I cismi ve M'nin içinde yer alan küplerden oluşan S cismi. ortak noktalar M ile - çokyüzlü M'nin hacmine eğilim gösterir (bu, çokyüzlümüz M'nin her yüzü için, bu yüzle kesişen küplerin hacminin sıfıra yöneleceği gerçeğinden kaynaklanır). Üstelik, M' çokyüzlüsünün M' görüntüsü için, benzerliğimizle, I', S' cisimlerinin hacimleri (I, S cisimlerinin görüntüleri), M' çokyüzlüsünün hacmine yönelir. Teoremimiz I ve S cisimleri için doğrudur, bu da aynı zamanda çokyüzlü M için de doğru olduğu anlamına gelir.

Hacim keyfi organ karşılık gelen çokyüzlülerin hacimleri aracılığıyla belirlenir, dolayısıyla teorem rastgele bir cisim için de geçerlidir.

Teorem 2.2. (uzay benzerliğinin belirtilmesi hakkında)İki dörtyüzlü ABCD ve A'B'C'D' şu şekilde verilirse: O halde A→A', B→B´, C→C´, D→D´ olan uzayın tam olarak bir benzerliği vardır.

Kanıt. Böyle bir benzerliğin var olduğu gerçeği Teorem 2.1'den ve uzayın hareketinin belirlenmesine ilişkin teoremden (Bölüm I, Teorem 5.1) kaynaklanmaktadır. Böyle iki dönüşüm olsun: P ve Р'. O halde dönüşüm, sabit A, B, C, D noktalarına sahip bir harekettir; f – kimlik dönüşümü. Dolayısıyla P=P'.

Görev 1.

M, N, P noktaları AB, BC, AC kenarlarında bulunur ABC üçgeni. M', N', P' noktaları M, N, P noktalarına AB, BC, AC kenarlarına göre simetriktir. MNP ve M'N'P' üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.

İçin düzgün üçgen ifade açıktır.

Aynı şekilde, herhangi bir yamuk, afin bir dönüşümle ikizkenar yamuğa dönüştürülebilir, yani. için herhangi bir benzer ifadeyi kanıtlamak yeterlidir ikizkenar yamuk.

Görev 2.

Tabanları AD ve BC olan ABCD yamuğunda B noktasından geçen bir doğru çiziliyor, kenara paralel CD ve AC köşegenini P noktasında kesen ve C noktasından AB kenarına paralel ve BD köşegenini Q noktasında kesen bir çizgi. PQ çizgisinin yamuğun tabanlarına paralel olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.

Bir ikizkenar yamuk için ifade açıktır.

Düz bir çizgiye sıkıştırma.

Tanım. Düz bir çizgiye sıkıştırılarak k () katsayılı ℓ, keyfi bir M noktasını bir M' noktasına götüren bir dönüşümdür, öyle ki ve .

Teorem 2.1. Düz bir çizgiye sıkıştırma afin bir dönüşümdür.

Kanıt. Doğrudan doğrulamayla düz çizginin düz bir çizgiye dönüştüğüne ikna oluruz. Düz bir çizgiye sıkıştırmanın özel bir durum olduğunu bile fark edebilirsiniz paralel tasarım(tasarım yönü düzlemlerin kesişme çizgisine dik olduğunda).

Teorem 2.2. Herkes için afin dönüşüm Bu dönüşüm altında dikdörtgen bir kafese dönüşen kare bir kafes vardır.

Kanıt. Rastgele bir kare kafes alalım ve onun karelerinden birini OABC olarak ele alalım. Dönüşümümüz sırasında O'A'B'C' paralelkenarına dönüşecek. Eğer О´А´В´С´ bir dikdörtgen ise o zaman ispatımız tamamlanmıştır. Aksi halde, kesin olarak А'О'В' açısının dar olduğunu varsayalım. OABC karesini ve tüm kafesimizi O noktası etrafında döndüreceğiz. OABC karesi döndüğünde (böylece A noktası B noktasına hareket edecek), A' noktası B' noktasına ve B' paralelkenarın tepe noktasına hareket edecektir. O'A' В'С''nin bitişiğindedir. Onlar. А'О'В' açısı geniş olacaktır. Süreklilik ilkesine göre bir noktada düzdü. Şu anda, OABC karesi bir dikdörtgene dönüştü ve kafesimiz dikdörtgen bir kafese dönüştü, vb.

Teorem 2.3. Bir afin dönüşüm, düz bir çizgiye sıkıştırma ve benzerlik bileşimi olarak temsil edilebilir.

Kanıt. Teorem 2.2'den devam edilir.

Teorem 2.4. Belirli bir daireyi daireye dönüştüren afin dönüşüm bir benzerliktir.

Kanıt.Çemberimizin etrafında bir kare çizelim ve onu dönüşüm sırasında dikdörtgene dönüşecek şekilde döndürelim (Teorem 2.2.). Çemberimiz bu dikdörtgenin içine yazılan dairenin içine girecektir, dolayısıyla bu dikdörtgen bir karedir. Artık dönüşümümüz sırasında kare kafese dönüşen kare kafesi belirtebiliriz. Açıkçası, dönüşümümüz benzerliktir.

3. Uzayın afin dönüşümleri.

Tanım. afin Uzay dönüşümü, her düzlemi bir düzleme dönüştüren bir uzay dönüşümüdür.

Özellikler.

1. Afin dönüşümde düz çizgiler düz çizgilere dönüşür.
2. Uzayın afin dönüşümü, her düzlemin kendi görüntüsü üzerinde afin haritalanmasına neden olur.
3. Afin dönüşüm altında paralel düzlemler(düz çizgiler) paralel düzlemlere (düz çizgiler) dönüşür.

Özelliklerin kanıtları.

1. Düz bir çizginin iki düzlemin kesişimi olduğu gerçeğinden ve afin dönüşümün tanımından çıkar.
2. Afin dönüşüm ve özellik 1'in tanımından çıkar.
3. Düzlemler için bu çelişkiyle, çizgiler için ise özellik 2 ve bir düzlemin afin dönüşüm özelliği yoluyla kanıtlanır.

Teorem 3.1. (uzayın afin dönüşümünü belirtme hakkında) Herhangi bir ABCD ve A'B'C'D' dörtyüzlü için, A'yı A'ya, B'den B'ye, C'den C'ye, D'den D'ye götüren benzersiz bir afin dönüşüm vardır.

Kanıt. Kanıt Teorem 1.1'e benzer. (paralel borulu kafesler inşa edilmiştir).

Teorem 3.1'in kanıtından şu sonuç çıkıyor: Eğer elimizde W eğik bir koordinat sistemi varsa ve W' onun afin dönüşüm altındaki görüntüsü ise, o zaman W koordinat sistemindeki uzayda rastgele bir noktanın koordinatları onun koordinatlarına eşittir. W' koordinat sistemindeki görüntü.

Bazıları bunu hemen takip ediyor özellikler afin dönüşümü.

1. Afin dönüşümün tersi afindir.
2. Afin dönüşümler paralel parçaların uzunluklarının oranını korur.

Şimdi uzayda bir koordinat sistemi (O, , , ) verilsin ve f afin dönüşümü sırasıyla O'yu O''ya ve temel vektörleri vektörlere dönüştürsün. M(x,y,z) noktasının M´(x´,y´,z´) görüntüsünün x´, y´, z´ koordinatlarını f dönüşümü altında bulalım.

Koordinat sistemindeki (O, , , ) M noktasının, koordinat sistemindeki (O´, , , ) M´ noktasıyla aynı koordinatlara sahip olduğunu varsayacağız. Buradan

Bu nedenle eşitliklerimiz var (*):

Şunu da belirtmekte fayda var , Çünkü , , vektörleri doğrusal olarak bağımsızdır.

Bu determinant denir afin dönüşümün determinantı.

Teorem 3.2. Eşitliklerin (*) verdiği dönüşüm afindir.

Kanıt. Dönüşümün (*) ters dönüşümünün afin (özellik 4) olduğunu kontrol etmek yeterlidir. A, B, C'nin aynı anda sıfıra eşit olmadığı rastgele bir Ax'+By'+Cz'+D=0 düzlemini alalım. Değişiklikleri (*) gerçekleştirerek ters görüntüsünün denklemini elde ederiz:

Geriye kalan tek şey, ortaya çıkan denklemde x, y, z'nin katsayılarının aynı anda sıfıra eşit olmadığını kontrol etmektir. Bu doğru, çünkü... aksi halde sistem

sıfır olmayan bir determinantın yalnızca sıfır çözümü olacaktır: A=B=C=0, bu yanlıştır.

Teorem 3.3. Cisimlerin afin dönüşümüne karşılık gelen V ve V' hacimleri için bağımlılık meydana gelir.

Kanıt. Eş düzlemli olmayan vektörlerin oluşmasına izin verin vektör temeli uzayda vektörler verilsin , Ve . Bu vektörlerin karma çarpımını hesapladıktan sonra şunu elde ederiz:

.

Kenarlar gibi vektörler üzerine inşa edilmiş yönlendirilmiş bir paralel yüzün hacminin şuna eşit olduğu gerçeğinden yararlanalım: karma çalışma bu vektörler:

,

burada V 0, temel vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralelyüzün hacmidir.

Bir afin dönüşüm, karşılık gelen tabanlardaki karşılık gelen vektörlerin koordinatlarını değiştirmez. Bu nedenle, V hacmindeki paralel yüzlü bir görüntünün V' hacmi için elimizde:

,

kenarlarda olduğu gibi vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralel yüzün hacmi nerede?

Buradan şunu anlıyoruz: . Daha öte , dolayısıyla yönlendirilmemiş hacimler için elimizde . Bu eşitlik, 4 benzerliğin özelliğinin ispatına benzer şekilde tüm cisimlere genişletilebilir (Bölüm II, §2).

Görev.

Paralel borunun tepe noktası, onu içermeyen üç yüzün merkezlerine bağlanır. Ortaya çıkan tetrahedronun hacminin verilen paralelyüzün hacmine oranını bulun.

Çözüm.

Haydi matematik yapalım bu tutum bir küp için ve küpü afin dönüşümle paralel yüzeye dönüştürdüğümüzde, afin dönüşümün hacim oranını koruduğu gerçeğinden yararlanırız. Bir küp için oranı hesaplamak kolaydır. 1:12'ye eşittir.

Cevap: 1:12.

Uzayın akrabalığı.

Tanım. Düzlemi olan uzayın afin dönüşümü sabit noktalar, isminde ilgili dönüşüm ρ (akrabalık) ve sabit noktalarının düzlemine denir akrabalık düzlemi. Akrabalığa karşılık gelen unsurlara denir ilgili.

Tanım.İlgili noktaları birleştiren doğruların yönüne denir ilişkinin yönü.

Akrabalığın özellikleri.

1. İlgili çizgiler (düzlemler) ilişki düzleminde kesişir veya ona paraleldir.
2. (İlişkinin yönünü belirlemenin doğruluğu) Her biri ilgili iki noktayı birleştiren düz çizgiler paraleldir.
3. Akrabalık yönü bu akrabalık düzlemine paralel değilse, ilgili iki noktayı birleştiren her bir parça, akrabalık düzlemine aynı oranda bölünür.
4. Akrabalık yönüne paralel olan herhangi bir düzlem bu akrabalıkta hareketsizdir. İçinde, düzlemin afinitesi indüklenir (afinite ekseni olarak adlandırılan düz bir sabit nokta çizgisine sahip bir afin dönüşüm), ekseni, verilen uzay afinitesinin düzlemi ile kesiştiği düz çizgidir.

Özelliklerin kanıtları.

1. İspat, mülkiyetin ispatına benzer ayna simetrisi(Bölüm I, §3.5).

2. A, B iki farklı nokta olsun; A', B' onların akrabalık görüntüleridir, α ise akrabalık düzlemidir. İzin vermek . O zaman (afine dönüşümün özelliği), yani. AA'||BB', vb.

3 ve 4. Mülkiyet kanıtını takip edin 2.

Tanım. Denklemin temsil ettiği yüzey , isminde elipsoid. Elipsoidin özel bir durumu küredir.

Kanıtlayamayacağımız bir gerçek var ancak aşağıdaki teoremleri ispatlarken buna ihtiyacımız olacak:

Teorem 4.1. Afin dönüşüm, bir elipsoidi bir elipsoide dönüştürür.

Teorem 4.2. Mekanın keyfi bir afin dönüşümü, benzerlik ve akrabalığın bir bileşimi ile temsil edilebilir.

Kanıt. Afin dönüşüm f'nin bir σ küresini bir elipsoid σ' üzerine eşlemesine izin verin. Teorem 3.1'den f'nin bu rakamlarla tanımlanabileceği sonucu çıkar. Elipsoidin merkezini içeren ve onu belirli bir ω' çemberi boyunca kesen α' düzlemini ele alalım (böyle bir düzlemin varlığını süreklilik hususlarından kanıtlamak kolaydır). α, α''nın ters görüntüsü olsun, ω''nin ters görüntüsü olsun, β, çapı daire olarak ω' çemberine sahip olan küre olsun. β'yı σ''ya eşleyen bir ρ akrabalığı vardır ve σ'yu β'ya eşleyen bir P benzerliği vardır. Sonra – gerekli temsil.

Önceki teoremin ispatından Teorem 4.3 hemen şunu takip eder:

Teorem 4.3. Bir küreyi koruyan afin dönüşüm bir benzerliktir.

Bölüm IV. Projektif dönüşümler.

1. Düzlemin projektif dönüşümleri.

Tanım. Projektif düzlem– sonsuzdaki noktalar ve sonsuzdaki düz bir çizgi ile desteklenen sıradan (Öklid) bir düzleme aynı zamanda denir uygun olmayan unsurlar. Bu durumda, her düz çizgi bir uygunsuz noktayla tamamlanır, tüm düzlem bir uygunsuz çizgiyle tamamlanır; paralel çizgiler ortak uygunsuz bir noktayla tamamlanır, paralel olmayan çizgiler farklı noktalarla tamamlanır; Düzlemin tüm olası düz çizgilerini tamamlayan uygunsuz noktalar uygunsuz doğruya aittir.

Tanım. Herhangi bir doğruyu düz bir çizgiye dönüştüren projektif düzlemin dönüşümüne denir. projektif.

Sonuçlar.Çizgiyi sonsuza kadar koruyan yansıtmalı bir dönüşüm afindir; herhangi bir afin dönüşüm projektiftir ve çizgiyi sonsuzda korur.

Tanım. Merkezi tasarımα düzleminin merkezi O noktasında olan ve bu düzlemlerin üzerinde yer almayan β düzlemi üzerine yerleştirilmesine, α düzleminin herhangi bir A noktasını, OA düz çizgisinin β düzlemi ile kesiştiği A' noktasıyla ilişkilendiren eşleme denir.

Ayrıca, eğer α ve β düzlemleri paralel değilse, o zaman α düzleminde, O noktasından geçen düzlem ve ℓ doğrusu β düzlemine paralel olacak şekilde bir ℓ doğrusu vardır. Projeksiyonumuz sırasında ℓ'nin β düzleminin sonsuz uzaklıktaki çizgisine gittiğini varsayacağız (bu durumda, ℓ düz çizgisinin her B noktası, OB'ye paralel çizgileri tamamlayan sonsuz uzaklıktaki çizginin o noktasına gider). β düzleminde, O noktasından geçen düzlem ve ℓ' doğrusu α düzlemine paralel olacak şekilde bir ℓ' doğrusu vardır. ℓ''yi α düz çizgisinin sonsuzdaki görüntüsü olarak ele alacağız. Düz çizgilere ℓ ve ℓ' diyeceğiz vurgulanmış.

Projektif düzlemin basit bir dönüşümünün verildiğini söyleyebiliriz (eğer α ve β düzlemlerini birleştirirsek).

Tanımdan hemen şu çıkıyor özellikler merkezi projeksiyon :

1. Merkezi tasarım – projektif dönüşüm.
2. Merkezi tasarıma ters dönüşüm, aynı merkeze sahip merkezi tasarımdır.
3. Seçilen çizgilere paralel çizgiler paralel hale gelir.

Tanım. A, B, C, D noktaları aynı doğru üzerinde olsun. Çifte tutum Bu noktaların (AB;CD) değeri denir. Noktalardan biri sonsuz uzaklıkta ise sonu bu nokta olan doğru parçalarının uzunlukları azaltılabilir.

Teorem 1.1. Merkezi projeksiyon ikili ilişkiyi korur.

Kanıt. O tasarım merkezi olsun, A, B, C, D aynı düz çizgi üzerinde yer alan dört nokta olsun, A', B', C', D' bunların görüntüleri olsun.

Aynı şekilde .

Bir eşitliği diğerine bölerek şunu elde ederiz: .

Benzer şekilde, D noktası dikkate alındığında C noktası yerine şunu elde ederiz: .

Buradan yani .

İspatı tamamlamak için tüm parçaların, alanların ve açıların yönlendirilmiş olarak kabul edilebileceğini belirtmek gerekir.

Teorem 1.2.π düzleminde aynı doğru üzerinde yer almayan dört A, B, C, D noktası ve π düzleminde aynı doğru üzerinde yer almayan dört M, N, P, Q noktası olsun. Sonra A'yı M'ye, B'yi N'ye, C'yi P'ye, D'yi Q'ya götüren merkezi (paralel) projeksiyon ve benzerlik bileşimi vardır.

Kanıt.

Kolaylık sağlamak için ABCD ve MNPQ'nun dörtgen olduğunu söyleyeceğiz, ancak aslında bu gerekli değildir (örneğin, AB ve CD segmentleri kesişebilir). İspattan, A, B, C, D ve M, N, P, Q noktalarını hiçbir yerde kullanmadığımız açıkça görülecektir. belirtilen sırayla dörtgenler oluşturur.

Şimdi A, B, C, D noktalarından X 1 X 2'ye paralel (K, L DC üzerinde; G, F - AB üzerinde) ve N, M noktalarından geçen AK, BL, CF, DG çizgilerini çizelim. - NT , MS çizgileri Y 1 Y 2'ye paraleldir (T, S PQ üzerinde yer alır). Merkezi (paralel) projeksiyon f'yi kullanarak, yamuk ABLK'yi, yamuk MNTS'ye benzer şekilde π' düzleminin A'B'L'K' yamukuna dönüştürürüz (bu, kanıtımızın I. Kısmına göre mümkündür). Bu durumda, X 1, X 2 noktalarının seçiminden, X 1 X 2 çizgisinin π' düzleminin seçilmiş bir düz çizgisi olduğu sonucu çıkar. ABCD yamuğu A'B'C'D' yamuğuna benzer olacak şekilde L'K' doğrusu üzerinde C', D' noktalarını işaretleyelim. B'L' düz çizgisine paralel (F', G' А'В' üzerinde yer alır) C'F', D'G' düz çizgileri çizelim ve А'В' düz çizgisi üzerinde bir Y 1 ´ noktasını işaretleyelim. öyle ki , . C'D' düz çizgisi üzerinde Y 1 'Y 2 '||A'K' olacak şekilde bir Y 2 ´ noktasını işaretliyoruz (şekle bakın). Y1' ve Y2' noktalarının seçiminden, Y1'Y2' düz çizgisinin π' düzleminin seçilmiş bir düz çizgisi olduğu sonucu çıkar. F'yi dönüştürürken E noktası, A'B' ve L'K' doğrularının kesiştiği E' noktasına gider. C noktası C'D' düz çizgisinin C 0' noktasına gidiyor.

C0'ın C' ile çakıştığını kanıtlayalım. F'yi dönüştürürken X 2'nin sonsuza gitmesi gerçeğinden uzak nokta düz çizgi C'D' ve Y 2' - görüntü sonsuzdur uzak nokta doğrudan CD ve merkezi yansıtma ikili ilişkileri sürdürür, bundan şu sonuç çıkar: , Neresi . Şimdi g dönüşümünü, merkezi projeksiyonun bileşimini ve yamuk CDGF'yi yamuk C'D'G'F'ye dönüştüren benzerliği düşünün. g dönüşümü için benzer şekilde şunu gösterebiliriz: . Buradan C0 ve C' noktalarının çakıştığı anlaşılacaktır. Benzer şekilde, D 0'ın - f dönüşümü altındaki D noktasının görüntüsü - D' ile çakıştığı gösterilebilir. Dolayısıyla, f dönüşümü ABCD dörtgenini, gerekli olan MNPQ dörtgenine benzer şekilde bir A'B'C'D' dörtgenine dönüştürür.

Teorem 1.3.Üçü aynı doğru üzerinde olmayan dört nokta verilsin: A, B, C, D ve A', B', C', D'. Daha sonra A'yı A'ya, B'den B'ye, C'den C'ye, D'den D'ye götüren benzersiz bir yansıtmalı dönüşüm vardır.

Varoluş Bu dönüşüm Teorem 1.1'den kaynaklanmaktadır.

benzersizlik afin dönüşümün benzersizliğiyle aynı şekilde kanıtlanabilir (Teorem 1.1, bölüm III): kare bir kafes düşünün, görüntüsünü oluşturun ve sonra onu iyileştirin. Karşılaştığımız zorlukları aşmak için

Ders 10 . Hareket Özellikleri Genel görünüm. Hareketlerin temel teoremi. Eşitlik geometrik şekiller.

Edebiyat. § 41.

Teorem 1. Düzlemin hareketleri bir grup dönüşüm oluşturur.

Kanıt.Herhangi iki hareketin çarpımının bir hareket olup olmadığını kontrol etmek bizim için yeterlidir. ters dönüşüm hareket aynı zamanda uçağın hareketini de temsil eder. İki gönüllü hareketi düşünün g ve h . Daha sonra herhangi iki nokta için A ve B düzlemde aşağıdaki ilişkiler geçerlidir: ve. ve olduğundan, ürün noktalar arasındaki mesafeyi korur, yani. bir harekettir.

F olsun - uçağın keyfi hareketi. İki noktayı düşünün A ve B ve şununla belirtmek A ve B" ters dönüşüm altındaki görüntüleri: Sonra. Çünkü F uçağın hareketi, o zaman: . Bu yüzden. Hareketin tersi olan dönüşüm de harekettir. Teorem kanıtlandı.

Paralel öteleme ve döndürme belirli hareket türleridir. Kanıtlanabilir kitüm paralel ötelemelerin kümeleri ve sabit merkezli tüm dönmelerin kümesi, düzlem hareketler grubunda alt gruplar oluşturur. Bir figürü çeviren tüm hareketlerin kümesinin olduğunu göstermek zor değil F kendi içinde hareket grubu içinde bir alt grup oluşturur. Böyle bir hareket aynı hareketten farklı ise buna denir.F şeklinin simetrisive belirtilen alt grupsimetrilerinin grubu. Bu ifadeleri kendiniz kanıtlayın.

Hareket sırasında hangi kümelerin düz çizgilerin, parçaların, ışınların, açıların ve dairelerin görüntüleri olarak hizmet ettiğini bulalım.

Mülk 1. Düzlemin hareketi f olsun, A", B" ve C", f'nin hareketi sırasında A, B ve C noktalarının görüntüleridir. O halde A", B" ve C" noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alır. ve sadece eğer A, B noktaları ve C eşdoğrusaldır.

Kanıt.Bir okul geometri dersinden bildiğiniz gibi üç nokta A, B ve C ancak ve ancak bunlardan biri için aynı düz çizgi üzerinde uzanın, örneğin B , koşul karşılandı: . Bu durumda asıl nokta B, A ile C arasında yer alır (Şekil 130, a). Öyleymiş gibi yapalım, A, B ve C aynı doğru üzerindedir ve B, A ile C arasında yer alır . Hareket sırasında noktalar arasındaki mesafeler korunduğuna göre:

". Bu nedenle A", B" ve C" noktaları aynı doğru üzerindedir.

A, B ve C noktaları olsun aynı düz çizgide uzanmayın. Daha sonra üçgenin köşelerinde bulunurlar (Şekil 130, b). Bu nedenle aralarındaki mesafeler eşitsizlikleri karşılar:. Çünkü f noktalar arasındaki mesafeleri korur, ardından: . Bu nedenle noktalar A", B" ve C" ayrıca üçgenin köşelerinde bulunur. Böylece, eğer noktalar A", B" ve C" eşdoğrusal ise, ters görüntüleri üçgenin köşelerinde bulunamaz. Özelliği kanıtlanmıştır.

Hareket ederken, eşdoğrusal noktalar aynı doğru üzerinde olmayan noktalara dönüştürülür ve aynı çizgi üzerinde yer almayan noktalar aynı doğru üzerinde yer almayan noktalara dönüştürülür.

Mülk 2. Hareket ederken düz bir çizginin görüntüsü düz bir çizgidir.

Kanıt . I düz bir çizgi olsun, A ve B keyfi noktalarından ikisi, bir miktar hareket, . ile belirtelim ben" düz A" B" . Özellik 1 uyarınca doğruya ait noktalar AB , bir çizgi üzerinde yer alan noktalara dönüştürülür Bir "B" . Bu yüzden. Herhangi bir noktanın ters görüntüsünün olduğunu gösterelim. C" düz çizgi l" düz çizgi l üzerinde yer alır . Bu şunu kanıtlayacaktır. İzin vermek. Teorem 1'i ispatlarken dönüşümün de bir hareket olduğunu kontrol ettik. Çünkü bir puan A", B" ve C" - eşdoğrusal, o zaman A, B ve C da aynı düz çizgi üzerinde uzanır. Özelliği kanıtlanmıştır.

Hareket sırasında doğru parçalarının, ışınların ve açıların görüntülerini bulmak için özellikleri kullanmalıyız. basit ilişki düz bir çizginin noktaları. Bu kavramı hatırlayalım.A, B ve C aynı doğruya ait farklı noktalar olsun. Sayı bunların basit oranı denir ( = (AB,C))), eğer. Aynı zamanda A ve B noktaları temel denir, bir nokta Bölenle. C noktası ancak ve ancak segmentte yer alıyorsa AB, ne zaman. C noktası ancak ve ancak ışın çizgisi üzerinde yer alıyorsa AB bir noktadan başlayarak B A içermiyor , Ne zaman. Ve son olarak asıl noktaİLE düz bir ışın üzerinde yatıyor AB bir noktadan başlayarak A , bir nokta içermeyenİÇİNDE , ancak ve ancak şu durumda (Şek. 131).

Mülk 3. Hareket ederken basit bir nokta ilişkisi korunur.

Kanıt.C noktasının doğru parçasına ait olmasına izin verin AB . Daha sonra. Tanımı gereği, vektörlerin ilişkisi ile basit bir ilişki verildiğinden ve o zaman bu durumda bölümlerin uzunluklarının oranına eşittir: . Keyfi bir hareket düşünün F , şununla belirtmek A, B ve C noktalarının A", B" ve C" görüntüleri bu hareketle. NoktaİLE segmente ait AB dolayısıyla bu noktalar arasında yer alır. Hareket noktalar arasındaki mesafeleri koruduğuna göre o zaman. Bu C noktasını takip eder A  ve B  arasında yer alır ve

Şimdi şunu varsayalım ki mesele B, A ile C arasında yer alır (bkz. şekil 131). O zaman ve, basit bir ilişkinin tanımından aşağıdaki gibi, . Çünkü F - hareket, . Bu nedenle nokta B", A" ile C" arasında yer alır ve İncelenen dava için mülkiyet kanıtlanmıştır. Puanların ispatı da benzer şekilde gerçekleştirilir A, B ve C şu şartla ki, nokta A, C ile B arasında yer alır . Kanıtı kendiniz gerçekleştirin.

Mülk 4. Hareket ederken bir segment eşit bir segmente dönüştürülür.

Kanıt.Rastgele bir bölüm düşünelim. İzin vermek F biraz hareket... NoktaİLE ancak ve ancak bu noktaların eşdoğrusal olması durumunda segmente aittir ve. ile belirtelim C" hareketi sırasında C noktasının görüntüsü f . Özellikler 1 ve 3'ten, ve noktalarının eşdoğrusal olduğu ve. Bu nedenle noktaİLE" segmentine aittir. Böylece, . Herhangi bir noktanın prototipinin olduğunu görmek kolaydır. C" kesim de aittir. Aslında ters dönüşüm de bir harekettir, dolayısıyla doğru parçası üzerinde olduğu sonucu çıkar. Bu yüzden. Hareket esnasında noktalar arasındaki mesafeler korunduğu için ve parçaları birbirine eşittir. Özelliği kanıtlanmıştır.

Mülk 5. Hareket ederken ışın ışına dönüştürülür.

Kanıt.Bu özelliğin kanıtı öncekine benzer. Işını düşünün ben bir noktadan başlayarak A . ile belirtelim A'dan farklı bir l ışın noktasına. F olsun - Gönüllü hareket, . Orijini belirli bir noktadan gelen ışının geçmesine izin verin. EğerİLE ışının bir noktası ben , o zaman ya segmentte ya da onun devamında yer alır. Özellik 4'e uygun olarak görüntüsü segment üzerinde yer alıyorsa. İzin vermekİLE segmentin devamına aittir. Daha sonra. Hareket sırasında noktaların basit ilişkisi korunduğu için. Bundan şu sonuç çıkıyor: C" ışın parçasının devamına aittir. Böylece, . İfadeyi kanıtlamak için herhangi bir noktanın ters görüntüsünün olup olmadığını kontrol etmek kalır. C" kiriş l" ışına ait ben . Ters dönüşümün de bir hareket olduğu gerçeğinden yararlanarak muhakemeyi kendiniz yapın.

Okul geometri dersinden bilindiği üzere açı, iki ışının birbirine eşit olması anlamına gelir. genel başlangıç.

Mülk 6. Hareket ederken, bir açı ona eşit bir açıya dönüştürülür.

Kanıt.Işınları ele alalım m ve n ortak bir kökene sahip olan A. f'yi hareket ettirirken ışınlara dönüştürülürler m" ve n" bir noktadan başlıyoruz. Bu nedenle açı açıya dönüştürülür. Hadi ışınları seçelim m ve n B ve C noktaları : . ile belirtelim B" ve C" hareket ederken görüntüleri F . Sonra (Şek. 131). Çünkü bu bir üçgen ABC bir üçgene eşit A"B"C". Bu nedenle  ABC =  A"B"C" . Özelliği kanıtlanmıştır.

Hareket ederken bir daire görüntüsünün neyi temsil ettiğini bulalım.

Mülk 7. Merkezi O noktasında olan r yarıçaplı bir daire verilsin. Daha sonra hareket ederken, merkezi O merkezinin görüntüsüyle çakışan bir noktada olacak şekilde aynı yarıçaplı bir daireye dönüştürülür.

Kanıt. F olsun gönüllü hareket, merkezin görüntüsü HAKKINDA bu dairesel hareket sırasında yarıçapı eşit olan. ile belirtelim "noktada merkezi olan daire r yarıçaplı O". 'ye ait C noktasını alın. . İzin vermek. O zamandan beri nokta C" çevreye ait ". Tam tersi, C olsun" - çember üzerinde isteğe bağlı nokta ", hareket sırasındaki prototipi. Ters dönüşüm hareket olduğundan, yani noktaİLE çevreye ait . Böylece “. Özelliği kanıtlanmış olur.

İhtiyacımız olan kıyaslama kavramını tanıtıyoruz.

Tanım 2. Bir düzlemin afin çerçevesi ile aynı doğrultuda olmayan noktaların sıralı üçlüsünü kastediyoruz.

Aşağıda afin çerçeve R'yi şu şekilde göstereceğiz; burada ve sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü noktalarıdır. Çerçeveyi afin bir çerçeve olarak anladığımız için "afine" kelimesini sıklıkla atlayacağız. Referans noktaları şu koşulu karşılıyorsa ve açı düz bir çizgi ise, referans noktası çağrılacaktır.ortonormal.

Her referans noktasıyla bir afin koordinat sistemi ilişkilendiririz. Bize bir referans noktası verilirse, onu sistemle ilişkilendireceğiz: , burada (Şekil 133, a). Ve tam tersi, her biri afin sistemi koordinatları referans noktasıyla eşleştireceğiz, tatmin edici belirtilen koşullar. Açıkçası, bir ortonormal çerçeve, dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemine karşılık gelir (Şekil 133, b) ve bir ortonormal çerçeve, dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemine karşılık gelir. Gelecekte, altındanoktanın referans noktasına göre koordinatlarıkarşılık gelen koordinat sistemindeki koordinatlarını anlayacağız.

Hareketin bir özelliğinin daha doğru olduğunu görmek kolaydır.

Mülk 7. Hareket ederken referans noktası bir referans noktasına dönüştürülür ve ortonormal referans noktası bir ortonormal referans noktasına dönüştürülür.

Bu ifade doğrudan hareketin 4. ve 6. özelliklerinden kaynaklanmaktadır.

Aşağıdaki temel özellik doğrudur ve bundan herhangi bir hareketin tamamen iki ortonormal çerçeve tarafından belirlendiği sonucu çıkar.

Teorem 2 (hareketlerin ana özelliği).Ortonormal çerçeveler ve düzlemde verilsin. Sonra var tek hareket g, R çerçevesini R"ye dönüştürmek: .

Kanıt.Böyle bir hareketin var olduğunu gösterelim. İki dikdörtgen düşünün Kartezyen sistemler bu ortonormal referans noktalarına karşılık gelen koordinatlar. İlk sistem bir nokta ve vektörlerden oluşur: ve ikincisi. Geometri dersinin ilk bölümünde geleneksel olduğu gibi, bu sistemlerdeki noktaların koordinatlarını 1 ve 2 indeksleriyle sağlayacağız: . Her noktaya atayalım M koordinatları olan uçaklar x ve y ilk sistem noktasına göre M" aynı koordinatlarla x ve y ikinci koordinat sistemine göre. Uyumun ne olduğu belli G düzlemin kendi üzerine birebir eşlenmesidir. g'nin düzlem üzerindeki noktaların hareketi olduğunu gösterelim. Rastgele noktaları göz önünde bulundurun M ve N , birinci sistemdeki koordinatları şuna eşit olan: , . Koordinat sistemi dikdörtgen Kartezyen olduğundan bu noktalar arasındaki mesafe şu formülle hesaplanır: If M ve N'nin M "ve N" görüntüleri dönüştürürken G , o zaman bu noktalar ikinci sisteme göre aynı koordinatlara sahiptir: , . İkinci koordinat sistemi de dikdörtgen Kartezyendir. Bu nedenle, böylece, G Düzlem noktalarının hareketi. Bu dönüşüm noktaların koordinatlarını koruduğu için ( Ben =1,2,3). Referansı çeviren bir hareketin varlığı R'nin R" olduğu kanıtlanmıştır.

Benzersizliğini kanıtlayalım. Diyelim ki iki hareket var f ve g , kriterin çevrilmesi R'den R'ye ": , öyle ki bir süreliğine M uçak. Çünkü F o zaman uçağın hareketi. Diğer tarafta, G aynı zamanda hareket, dolayısıyla: . Sonuç olarak, nokta noktalardan eşit uzaklıkta ve yani. ait dik açıortay itibaren

kesme (Şek. 134). Benzer şekilde ve'nin de bu dik üzerinde olduğu gösterilmiştir. Bir çelişkiye ulaştık, çünkü Tanım 2'den noktalar ve referans noktaları çıkıyor R" aynı satıra ait olamaz. İki varlığın varsayımı çeşitli hareketler, kriterin çevrilmesi R'den R'ye" , - YANLIŞ. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar. Eğer f düzlemin hareketi ise: R ortonormal çerçevesinin R" ortonormal çerçevesine dönüştürülmesi durumunda, R çerçevesine göre x ve y koordinatlarına sahip düzlemin her M noktası bir M"= f(M) noktasına karşılık gelir. R" çerçevesine göre aynı x ve y koordinatları.

Aslında Teorem 1'in ispatında belirtilen özelliği sağlayan bir g hareketi oluşturduk. R çerçevesini R"ye aktaran tek bir hareket olduğu için hareketler f ve g eşleştir. Aşağıdaki tanımı tanıtalım.

Tanım 3. Düzlem bayrağı ile bir noktayı, bu noktada başlangıcı olan bir ışını ve sınırı bu ışını içeren bir yarım düzlemi kastediyoruz.

Bayrağı şu şekilde göstereceğiz: , burada M noktası, l ışın, a bayrağın yarım düzlemidir. Her bayrak benzersiz bir şekilde ortonormal bir çerçeveye karşılık gelir; M - Bayrağın bir noktası, ışınının üzerinde yer alır, a bayrağın yarım düzlemine aittir (Şekil 135). Belirlenen kurala göre, her bayrağın ortonormal bir çerçeveye karşılık geldiği ve bunun tersinin de geçerli olduğu açıktır, bu tür çerçevelerin her biri benzersiz bir şekilde bir bayrağa karşılık gelir.

Teorem 3. İki bayrak verilsin. Daha sonra F bayrağını F" bayrağına dönüştüren benzersiz bir g hareketi vardır.

Kanıt.Ortonormal çerçeveleri düşünün R ve R" bayraklara karşılık gelen F ve F". M noktasının x ve y koordinatları, l ışın noktaları ve yarım düzlemleri işaretle R çerçevesindeki F sırasıyla şu koşulları karşılayın: , ve. Noktanın koordinatları aynı koşullara tabidir M ", ışın noktaları l" ve yarım düzlem "bayrağı R referansında F" . Teorem 2 ve onun sonucundan, benzersiz bir hareketin olduğu sonucu çıkar. g, R'yi R'ye almak ", bu referans noktalarına göre noktaların koordinatlarının korunduğu. Bundan, bayrağı çeviren tek bir hareketin olduğu sonucu çıkar. F, F'yi işaretlemek için" . Teorem kanıtlandı.

Aşağıdaki tanımı gerçekleştiriyoruz.

Tanım 4. Düzlemin birinci şekli ikinciye aktaran bir hareketi varsa, bir düzlemin iki şekline geometrik olarak eşit (veya basitçe eşit) diyoruz.

Açık ki eşit rakamlar hareket grubundan dönüşümler altında değişmeyen (değişmez) özelliklere sahiptir. Sunulan tanım, çoğu standartta ortaya konan geometrik şekillerin eşitliği kavramıyla tamamen tutarlıdır. okul kursları geometri.

Yorum. Genellikle geometrik olarak eşit şekillere denir uyumlu

Temel geometride temel önemİspatta işaretleri kullanılan üçgenlerin eşitliği kavramı vardır. çok sayıda planimetrik ve stereometrik teoremler. Hareketlerin temel özelliğini uygulayarak, iki üçgenin eşit olduğunu ancak ve ancak üçgenlerin eşitliğine ilişkin ilk kriterin karşılanması durumunda göstereceğiz.

Teorem 4. İki üçgen ancak ve ancak karşılık gelen kenarları ve aralarındaki açılar eşitse eştir.

Kanıt. Geometrik şekillerin eşitliğinin tanımından, iki eşit üçgenin düzlemdeki noktaların bir miktar hareketi ile birbirine çevrildiği hemen anlaşılmaktadır. Aynı hareket üçgenlerin karşılık gelen tüm elemanlarını birbirine dönüştürür. Bu nedenle eşit üçgenlerin karşılık gelen kenarları ve açıları birbirine eşittir.

Geri. İki üçgen verilsin ABC ve A"B"C" , kenarları ve açıları şu koşulu karşılayan: , . Böyle bir hareketin var olduğunu kanıtlayalım G uçak: . Üçgene ekle ABC Bayrağın noktası tepe noktasıyla çakışacak şekilde bayrak A, kiriş l üst kısmı içeriyordu B, bir köşe C yarım düzleme aitti. Benzer şekilde bayrağı üçgene ekleyin A"B"C" (Şek. 136). R ve R" olsun - bayraklara karşılık gelen ortonormal kriterler F ve F" . Daha sonra ilk üçgenin köşelerinin referans noktasına göre koordinatları R şu forma sahip: , burada yönlendirilmiş açıdır BAC üçgeniABC . Koşula göre ve sonra çerçevede R  A", B" ve C" köşeleri ikinci üçgen aynı koordinatlara sahiptir. Teorem 3'ten hareketin olduğu sonucu çıkar G , kriterin çevrilmesi R'den R'ye" Teorem 2'nin sonucu olarak aşağıdaki gibi noktaların koordinatları korunur. Bu yüzden. Teorem kanıtlandı.

Ayrıca herhangi iki tanesi için de gösterilebilir. eşit çokgenler aşağıdaki ifade doğrudur:iki çokgen ancak ve ancak karşılık gelen kenarları ve açıları eşitse eşittir.

Bu video dersinin konusu hareketin özellikleri ve paralel öteleme olacaktır. Dersin başında hareket kavramını, ana türlerini - eksenel ve merkezi simetriyi bir kez daha tekrarlayacağız. Bundan sonra hareketin tüm özelliklerini ele alacağız. Şimdi “paralel aktarım” kavramına, ne için kullanıldığına bakalım ve özelliklerine isim verelim.

Konu: Hareket

Ders: Hareket. Hareket Özellikleri

Teoremi kanıtlayalım: hareket ederken segment bir segmente dönüşür.

Teoremin formülasyonunu Şekil 2'yi kullanarak çözelim. 1. Hareket sırasında belirli bir MN segmentinin uçları sırasıyla M 1 ve N 1 noktalarına eşlenirse, MN segmentinin herhangi bir P noktası mutlaka M 1 N 1 segmentinin bir P 1 noktasına gidecektir ve tam tersi, M1N1 bölümünün her Q1 noktasına, MN bölümünün belirli bir Q noktasının mutlaka görüntülenmesi gerekecektir.

Kanıt.

Şekilden de görülebileceği gibi MN = MP + PN.

P noktasının düzlemin bir P 1 "noktasına gitmesine izin verin. Hareket tanımından, bölümlerin uzunluklarının MN = M 1 N 1, MP = M 1 P 1 ", PN = P 1 "N'ye eşit olduğu anlaşılmaktadır. 1. Bu eşitliklerden M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, yani Р 1 "noktası M 1 segmentine aittir. N 1 ve P 1 noktasıyla çakışıyor, aksi takdirde yukarıdaki eşitlik yerine M 1 P 1 "+ P 1 "N 1 > M 1 N 1 üçgeninin eşitsizliğinin doğru olacağını kanıtlamış olduk. MN parçasının herhangi bir P noktası zorunlu olarak M 1 parçasının bir P 1 noktasına gidecektir. N 1. Teoremin ikinci kısmı (Q 1 noktasıyla ilgili) tamamen aynı şekilde kanıtlanmıştır.

Kanıtlanmış teorem her hareket için geçerlidir!

Teorem: Hareket ederken bir açı kendisine eşit bir açıya dönüşür.

RAOB verilsin (Şekil 2). Ve РО tepe noktasının O 1 noktasına ve A ve B noktalarına sırasıyla A 1 ve B 1 noktalarına gittiği bir hareket verilmesine izin verin.

AOB ve A 1 O 1 B 1 üçgenlerini düşünün. Teoremin şartlarına göre A, O ve B noktaları sırasıyla A 1, O 1 ve B 1 noktalarına hareket ederken hareket eder. Sonuç olarak, AO = A 1 O 1, OB = O 1 B 1 ve AB = A 1 B 1 uzunluklarının eşitliği vardır. Böylece, üç tarafta AOB = A 1 O 1 B 1 olur. Üçgenlerin eşitliğinden karşılık gelen O ve O 1 açılarının eşit olduğu sonucu çıkar.

Yani her hareket açıları korur.

Hareketin temel özelliklerinden, özellikle de herhangi bir şeklin hareket halindeyken eşit bir şekil üzerine eşlenmesinden pek çok sonuç çıkar.

Başka bir hareket türünü ele alalım - paralel transfer.

Paralel aktarım bazı verilen vektör Buna, düzlemin her bir M noktasının aynı düzlemdeki bir M1 noktasına gittiği, yani (Şekil 3) düzlemin kendi üzerine haritalanması denir.

Hadi bunu kanıtlayalım paralel çeviri bir harekettir.

Kanıt.

Rastgele bir MN segmentini ele alalım (Şekil 4). Paralel aktarım sırasında M noktasının M 1 noktasına ve N noktasının N 1 noktasına hareket etmesine izin verin. Bu durumda paralel aktarım koşulları karşılanır: ve . Bir dörtgen düşünün

MM 1 N 1 N. Paralel aktarım koşullarının gerektirdiği gibi, iki karşı tarafı (MM 1 ve NN 1) eşit ve paraleldir. Sonuç olarak, bu dörtgen, ikincisinin özelliklerinden birine göre bir paralelkenardır. Paralelkenarın diğer iki tarafının (MN ve M 1 N 1) eşit uzunluklar Kanıtlanması gereken şey buydu.

Dolayısıyla paralel çeviri aslında bir harekettir.

Özetleyelim. Zaten üç tür harekete aşinayız: eksenel simetri, merkezi simetri ve paralel aktarım. Hareket ederken bir parçanın bir parçaya, bir açının da ona eşit bir açıya girdiğini kanıtladık. Ayrıca hareket halindeyken düz bir çizginin düz bir çizgiye, bir dairenin de aynı yarıçaptaki bir daireye dönüştüğü gösterilebilir.

1. Atanasyan L. S. ve ark. Geometri notları 7-9. için öğretici Eğitim Kurumları. - M.: Eğitim, 2010.

2. Farkov A.V. Geometri testleri: 9. sınıf. L. S. Atanasyan ve diğerlerinin ders kitabına - M.: Sınav, 2010.

3. Pogorelov A.V. Geometri, ders kitabı. 7-11 sınıflar için. Genel Eğitim kuruluş - M.: Eğitim, 1995.

1. Rusça genel eğitim portalı ().

2. Festival pedagojik fikirler « Herkese açık ders» ().

1. Atanasyan (referans listesine bakınız), s. 293, § 1, paragraf 114.

Hareketler mesafeleri korur ve dolayısıyla şekillerin tüm geometrik özelliklerini korur, çünkü şekiller mesafelerle belirlenir. Bu noktada en fazla faydayı sağlayacağız Genel Özellikler bariz olmadığı durumlarda delil sağlayan hareketler.

Özellik 1. Hareket ederken, aynı doğru üzerinde bulunan üç nokta, aynı doğru üzerinde bulunan üç noktaya, aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktaya dönüşür.

Hareket sırasıyla noktaları noktalara dönüştürsün. Sonra eşitlikler sağlanır.

A, B, C noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alıyorsa, bunlardan biri, örneğin B noktası, diğer ikisinin arasında yer alır. Bu durumda eşitliklerden (1) şu sonuç çıkar. Bu eşitlik de B noktasının A ve C noktaları arasında olduğu anlamına gelir. İlk ifade kanıtlanmıştır. İkincisi, birinciden ve hareketin tersine çevrilebilirliğinden (tersine çevrilme yoluyla) kaynaklanır.

Özellik 2. Bir doğru parçası hareket yoluyla bir doğru parçasına dönüştürülür.

F hareketinin A ve B noktalarını AB doğru parçasının uçlarıyla ilişkilendirmesine izin verin. AB doğru parçasının herhangi bir X noktasını alın. Daha sonra, özellik 1'in kanıtında olduğu gibi, onun görüntüsünün - AB segmentinde A ve B noktaları arasındaki bir nokta olduğunu tespit edebiliriz. Ayrıca, her nokta

A B parçasının Y'si, AB parçasının bir Y noktasının görüntüsüdür. Yani, A noktasından A Y kadar uzaklaşan Y noktası. Sonuç olarak, AB segmenti, hareket yoluyla AB segmentine aktarılır.

Özellik 3. Hareket ederken bir ışın ışına, düz bir çizgi düz bir çizgiye dönüşür.

Bu ifadeleri kendiniz kanıtlayın. Özellik 4. Bir üçgen hareketle üçgene, yarım düzlem yarım düzleme, düzlem düzleme, paralel düzlemler paralel düzlemlere dönüştürülür.

ABC üçgeni A köşesini X noktalarına bağlayan doğru parçalarıyla doludur ters taraf BC (Şekil 26.1). Hareket, bir BC doğru parçasını belirli bir B C doğru parçasıyla ve bir A noktasını, BC düz çizgisi üzerinde yer almayan bir A noktasıyla ilişkilendirecektir. Bu hareket, her bir AX segmentine, X noktasının BC üzerinde bulunduğu bir AX segmentini ilişkilendirecektir. Tüm bu AX parçaları ABC üçgenini dolduracaktır.

Üçgen onun içine giriyor

Yarım düzlem, bir tarafı yarım düzlemin sınırında bulunan, sonsuz genişleyen üçgenlerin birleşimi olarak temsil edilebilir.

(Şekil 26.2). Bu nedenle yarım düzlem, hareket ederken yarım düzleme dönüşecektir.

Benzer şekilde, bir düzlem sonsuz genişleyen üçgenlerin birleşimi olarak temsil edilebilir (Şekil 26.3). Bu nedenle hareket ederken düzlem düzlemin üzerine eşlenir.

Hareket mesafeleri koruduğu için figürler arasındaki mesafeler hareket halinde değişmez. Özellikle hareketler sırasında paralel düzlemlerin paralel düzlemlere dönüşeceği sonucu çıkar.

Özellik 5. Hareket ederken, bir tetrahedronun görüntüsü bir tetrahedrondur, yarım uzayın görüntüsü yarım uzaydır, bir uzayın görüntüsü tamamen uzaydır.

ABCD tetrahedron, D noktasını tüm olası X noktalarına bağlayan parçaların birleşimidir. ABC üçgeni(Şekil 26.4). Hareket ederken bölümler bölümlere eşlenir ve bu nedenle tetrahedron bir tetrahedrona dönüşecektir.

Yarı-uzay, tabanları yarı-uzayın sınır düzleminde yer alan genişleyen dörtyüzlülerin bir birleşimi olarak temsil edilebilir. Bu nedenle hareket ederken yarım uzayın görüntüsü yarım uzay olacaktır.

Uzay sonsuzca genişleyen dörtyüzlülerin birleşimi olarak hayal edilebilir. Bu nedenle hareket ederken uzay tüm uzaya haritalanır.

Özellik 6. Hareket ederken açılar korunur, yani her açı aynı türde ve aynı büyüklükte bir açıya eşlenir. Aynı durum dihedral açılar için de geçerlidir.

Hareket ederken yarım düzlem, yarım düzlem üzerine eşlenir. Çünkü dışbükey açı iki yarım düzlemin kesişimidir ve dışbükey olmayan bir açı ve bir dihedral açı, yarım düzlemlerin birleşimidir, daha sonra hareket ederken, bir dışbükey açı dışbükey bir açıya ve dışbükey olmayan bir açıya dönüşür

sırasıyla açı ve dihedral açı - dışbükey olmayan ve dihedral açıya.

O noktasından çıkan a ve b ışınlarının, O noktasından çıkan a ve b ışınlarıyla eşleştirilmesine izin verin. A köşeleri a ışınında ve B köşeleri b ışınında olan bir OAB üçgeni alın (Şekil 26.5). Şu tarihte görünecek: eşit üçgen A ışınının üzerinde A ve b ışınının üzerinde B köşeleri bulunan OAB. Bu, a, b ve a, b ışınları arasındaki açıların eşit olduğu anlamına gelir. Bu nedenle hareket ederken açı değerleri korunur.

Sonuç olarak, düz çizgilerin dikliği ve dolayısıyla düz çizgi ve düzlem korunur. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açının ve büyüklüğünün tanımlarını hatırlamak Dihedral açı, bu açıların değerlerinin korunduğunu görüyoruz.

Özellik 7. Hareketler cisimlerin yüzey alanlarını ve hacimlerini korur.

Aslında, hareket dikliği koruduğu için, yüksekliklerin hareketi (üçgenler, tetrahedronlar, prizmalar vb.) yüksekliklere (bu üçgenlerin, tetrahedronların, prizmaların vb. görüntüleri) dönüşür. Bu durumda bu yüksekliklerin uzunlukları korunacaktır. Bu nedenle hareketler sırasında üçgenlerin alanları ve dörtyüzlülerin hacimleri korunur. Bu, hem çokgenlerin alanlarının hem de çokyüzlülerin hacimlerinin korunacağı anlamına gelir. Kavisli yüzeylerin alanları ve bu tür yüzeyler tarafından sınırlanan cisimlerin hacimleri, çok yüzlü yüzeylerin alanlarından ve çok yüzlü cisimlerin hacimlerinden geçişlerin sınırlandırılmasıyla elde edilir. Bu nedenle hareketler sırasında korunurlar.

Özellik 1. Düzlem üzerindeki noktaların hareketi f olsun; A", B" ve C", f'nin hareketi sırasında A, B ve C noktalarının görüntüleridir. O halde A", B" ve C" noktaları düzlem üzerinde yer alır. aynı düz çizgi ancak ve ancak A, B ve C noktalarının eşdoğrusal olması durumunda.

Özellik 4. Hareket ederken kendisine eşit bir parçaya dönüşür. Özellik 5. Hareket ederken ışın ışına dönüşür.

Özellik 7. Merkezi O noktasında olan r yarıçaplı bir daire verilsin. Daha sonra, hareket ettirildiğinde, merkezi O merkezinin görüntüsüyle çakışan bir noktada olan aynı yarıçaplı bir daireye dönüştürülür.

Bir düzlemin afin çerçevesi ile aynı doğrultuda olmayan noktaların sıralı üçlüsünü kastediyoruz. Özellik 7. Hareket ederken, çerçeve bir çerçeveye dönüştürülür ve ortonormal bir çerçeve, ortonormal bir çerçeveye dönüştürülür.

Teorem (Hareketlerin temel teoremi). Ortonormal çerçeveler ve düzlemde verilsin. Daha sonra R çerçevesini R"ye dönüştüren benzersiz bir g hareketi vardır: .

Sonuçlar. Eğer f düzlemin hareketi ise: R ortonormal çerçevesinin R" ortonormal çerçevesine dönüştürülmesi durumunda, R'ye göre x ve y koordinatlarına sahip düzlemin her M noktası, aynı değere sahip bir M"= f(M) noktasına karşılık gelir. x ve y'nin R'ye göre koordinatları".