મેનેજમેન્ટમાં ઓછામાં ઓછી કાર્યવાહીનો સિદ્ધાંત. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને સૌથી નાની ક્રિયાનો એકીડો

આઇકિડો - ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના સિદ્ધાંતનું મૂર્ત સ્વરૂપ આપણું મનોવિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજી મોટાભાગે ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના વિચારની ખૂબ નજીકના ખ્યાલ દ્વારા સંચાલિત છે. અમે અમારા જીવનને સરળ બનાવવા માટે સતત પ્રયાસ કરી રહ્યા છીએ. આજના કમ્પ્યુટર્સ પૂરતા ઝડપી નથી; તેઓ છે

જ્યારે હું શાળામાં હતો, ત્યારે અમારા ભૌતિકશાસ્ત્રના શિક્ષક, બડર નામના, એક વખત મને વર્ગ પછી બોલાવ્યા અને કહ્યું: “તમે એવું લાગો છો કે જાણે તમે દરેક વસ્તુથી ખૂબ જ કંટાળી ગયા છો; એક રસપ્રદ વાત સાંભળો." અને તેણે મને કંઈક કહ્યું જે મને લાગ્યું કે તે ખરેખર આકર્ષક હતું. અત્યારે પણ, ત્યારથી ઘણો સમય વીતી ગયો હોવા છતાં, તે મને સતત આકર્ષિત કરે છે. અને જ્યારે પણ મને યાદ છે કે મેં શું કહ્યું છે, હું કામ પર પાછો ફરું છું. અને આ વખતે, લેક્ચરની તૈયારી કરતી વખતે, મેં મારી જાતને ફરીથી એ જ વસ્તુઓનું વિશ્લેષણ કર્યું. અને, પ્રવચનની તૈયારી કરવાને બદલે, મેં નિર્ણય લીધો નવું કાર્ય. હું જે વિષય વિશે વાત કરી રહ્યો છું તે ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો સિદ્ધાંત છે.

મારા શિક્ષક બાદરે મને આ પછી કહ્યું: “ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તમારી પાસે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં એક કણ છે; આ કણ, ક્યાંકથી બહાર આવીને, મુક્તપણે બીજે ક્યાંક બીજા બિંદુ તરફ જાય છે. તમે તેને ફેંકી દીધું, કહો, ઉપર, અને તે ઉડી ગયું અને પછી પડી ગયું.

તેને શરૂઆતના સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન સુધી મુસાફરી કરવામાં થોડો સમય લાગ્યો. હવે કોઈ બીજી હિલચાલનો પ્રયાસ કરો. તેણીને હવે પહેલાની જેમ "અહીંથી અહીં" જવા દો, પરંતુ આની જેમ:

પરંતુ હું હજી પણ મારી જાતને પહેલાની જેમ તે જ સમયે યોગ્ય સ્થાને જોઉં છું.”

"અને તેથી," શિક્ષકે ચાલુ રાખ્યું, "જો તમે કણના માર્ગ સાથે સમયની દરેક ક્ષણે ગતિ ઊર્જાની ગણતરી કરો છો, તો તેમાંથી સંભવિત ઊર્જાને બાદ કરો અને જ્યારે હિલચાલ થઈ ત્યારે સમગ્ર સમય દરમિયાન તફાવતને એકીકૃત કરો, તો તમે જોશો. કે તમને મળેલી સંખ્યા કણની સાચી ગતિ કરતા વધારે હશે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ન્યૂટનના નિયમો ફોર્મમાં નહીં, પરંતુ નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: સરેરાશ ગતિ ઊર્જા બાદ સરેરાશ સંભવિત ઊર્જા તેના સૌથી નીચા મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે તેની સાથે વાસ્તવમાં કોઈ વસ્તુ એક જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ જાય છે.

હું તમને આને થોડી વધુ સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

જો આપણે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર લઈએ અને કણના માર્ગને સૂચવીએ, તો જમીનથી ઉપરની ઊંચાઈ ક્યાં છે (આપણે હમણાં માટે એક પરિમાણ સાથે મેળવીશું; બોલને ફક્ત ઉપર અને નીચે ચાલવા દો, અને બાજુઓ તરફ નહીં), તો ગતિ ઊર્જા હશે, અને સમયની મનસ્વી ક્ષણે સંભવિત ઊર્જા સમાન હશે.

હવે, પ્રક્ષેપણની અમુક ક્ષણો માટે, હું ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત લઉં છું અને શરૂઆતથી અંત સુધીના સમગ્ર સમયને એકીકૃત કરું છું. ચળવળને સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે ચોક્કસ ઊંચાઈએ શરૂ થવા દો અને બીજી ચોક્કસ ઊંચાઈએ સમાપ્ત થવા દો.

પછી અભિન્ન સમાન છે

.

સાચી ગતિ ચોક્કસ વળાંક સાથે થાય છે (સમયના કાર્ય તરીકે તે પેરાબોલા છે) અને ચોક્કસ અભિન્ન મૂલ્ય તરફ દોરી જાય છે. પરંતુ તમે કોઈ અન્ય હિલચાલની કલ્પના કરી શકો છો: પ્રથમ તીવ્ર વધારો, અને પછી કેટલાક વિચિત્ર વધઘટ.

ચાલો તેને તપાસીએ. પ્રથમ, ચાલો આ કેસ જોઈએ: મુક્ત કણમાં કોઈ સંભવિત ઊર્જા હોતી નથી. પછી નિયમ કહે છે કે જ્યારે એક બિંદુથી બીજા સ્થાને ખસેડવું ઉલ્લેખિત સમયગતિ ઊર્જાનો અભિન્ન ભાગ સૌથી નાનો હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે કણ એકસરખી રીતે આગળ વધવું જોઈએ. (અને આ સાચું છે, તમે અને હું જાણીએ છીએ કે આવી ચળવળની ગતિ સતત હોય છે.) શા માટે સમાન રીતે? ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. જો તે અન્યથા હોત, તો કેટલીકવાર કણની ગતિ સરેરાશ કરતાં વધી જશે, અને કેટલીકવાર તે તેનાથી નીચે હશે, અને સરેરાશ ગતિ સમાન હશે, કારણ કે કણને "અહીંથી અહીં સુધી" પહોંચવું પડશે. સમય પર સંમત થયા. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમારે તમારી કારમાં ઘરેથી શાળાએ જવાની જરૂર હોય ચોક્કસ સમય, તો પછી તમે આ વિવિધ રીતે કરી શકો છો: તમે પહેલા પાગલની જેમ વાહન ચલાવી શકો છો, અને પછી અંતે ધીમી કરી શકો છો, અથવા તે જ ઝડપે વાહન ચલાવી શકો છો, અથવા પહેલા તમે પણ જઈ શકો છો વિપરીત બાજુ, અને માત્ર ત્યારે જ શાળા તરફ વળો, વગેરે. બધા કિસ્સાઓમાં, સરેરાશ ઝડપ, અલબત્ત, સમાન હોવી જોઈએ - સમય દ્વારા વિભાજિત ઘરથી શાળા સુધીના અંતરનો ભાગ. પરંતુ આ સાથે પણ સામન્ય ગતિક્યારેક તમે ખૂબ ઝડપથી અને ક્યારેક ખૂબ ધીમા ખસેડો છો. અને સરેરાશથી વિચલિત થતી કોઈ વસ્તુનો સરેરાશ ચોરસ, જેમ કે જાણીતું છે, તે હંમેશા સરેરાશના ચોરસ કરતા વધારે હોય છે; આનો અર્થ એ છે કે ગતિની ગતિમાં વધઘટ દરમિયાન ગતિ ઊર્જાનો અભિન્ન ભાગ હંમેશા ગતિશીલતા કરતા વધારે હશે. સતત ગતિ. તમે જોશો કે જ્યારે ગતિ સતત હોય ત્યારે (દળોની ગેરહાજરીમાં) અભિન્ન ન્યૂનતમ સુધી પહોંચશે. સાચો રસ્તોતે કેવી રીતે છે.

ગુરુત્વાકર્ષણના ક્ષેત્રમાં ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલ પદાર્થ પહેલા ઝડપથી વધે છે, અને પછી વધુ અને વધુ ધીમે ધીમે. આવું થાય છે કારણ કે તેમાં સંભવિત ઊર્જા પણ હોય છે, અને ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચવો જોઈએ. જેમ જેમ તમે વધશો તેમ સંભવિત ઉર્જા વધતી જતી હોવાથી, જો તમે શક્ય તેટલી ઝડપથી જ્યાં સંભવિત ઉર્જા ઊંચી હોય તે ઊંચાઈએ પહોંચશો તો એક નાનો તફાવત પ્રાપ્ત થશે. પછી, ગતિ ઊર્જામાંથી આ ઉચ્ચ સંભાવનાને બાદ કરીને, આપણે સરેરાશમાં ઘટાડો હાંસલ કરીએ છીએ. તેથી જે માર્ગ ઉપર જાય છે અને સંભવિત ઊર્જાનો સારો નકારાત્મક ભાગ પૂરો પાડે છે તે વધુ નફાકારક છે.

પરંતુ બીજી બાજુ, તમે ખૂબ ઝડપથી આગળ વધી શકતા નથી અથવા ખૂબ ઊંચાઈએ જઈ શકતા નથી, કારણ કે તે માટે ખૂબ ગતિ ઊર્જાની જરૂર પડશે. તમારે તમારા માટે ઉપલબ્ધ સમયની અંદર ઉપર અને નીચે જવા માટે પૂરતી ઝડપથી આગળ વધવું પડશે. તેથી તમારે ખૂબ ઊંચે ઉડવાની કોશિશ ન કરવી જોઈએ, પરંતુ અમુક વાજબી સ્તર સુધી પહોંચવું જોઈએ. પરિણામે, તે તારણ આપે છે કે ઉકેલ એ શક્ય તેટલી સંભવિત ઊર્જા મેળવવાની ઇચ્છા અને શક્ય તેટલી ગતિશીલ ઊર્જાની માત્રા ઘટાડવાની ઇચ્છા વચ્ચેનું સંતુલન છે - આ મહત્તમ ઘટાડો પ્રાપ્ત કરવાની ઇચ્છા છે. ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા વચ્ચેના તફાવતમાં."

મારા શિક્ષકે મને એટલું જ કહ્યું, કારણ કે તે ખૂબ જ હતો સારા શિક્ષકઅને જાણતા હતા કે ક્યારે રોકવાનો સમય હતો. હું પોતે, અરે, એવો નથી. મારા માટે સમયસર રોકાવું મુશ્કેલ છે. અને તેથી, મારી વાર્તા સાથે તમારી રુચિ જગાડવાને બદલે, હું તમને ડરાવવા માંગુ છું, હું ઇચ્છું છું કે તમે જીવનની જટિલતાથી બીમાર થાઓ - હું તમને જે કહ્યું તે સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરીશ. આપણે જે ગાણિતિક સમસ્યા હલ કરીશું તે ખૂબ જ મુશ્કેલ અને અનોખી છે. ક્રિયા તરીકે ઓળખાતી ચોક્કસ માત્રા છે. તે સમય સાથે સંકલિત ગતિ ઊર્જા બાદ સંભવિત ઊર્જા સમાન છે:

.

ભૂલશો નહીં કે p.e. અને k.e. - સમયના બંને કાર્યો. કોઈપણ નવા કલ્પી શકાય તેવા પાથ માટે, આ ક્રિયા તેનો ચોક્કસ અર્થ લે છે. ગાણિતિક સમસ્યા એ નક્કી કરવાની છે કે કયા વળાંકમાં આ સંખ્યા અન્ય કરતા ઓછી છે.

તમે કહેશો, "ઓહ, તે સરળ છે સામાન્ય ઉદાહરણમહત્તમ અને લઘુત્તમ સુધી. આપણે ક્રિયાની ગણતરી કરવાની, તેને અલગ પાડવાની અને ન્યૂનતમ શોધવાની જરૂર છે.

પરંતુ રાહ જુઓ. સામાન્ય રીતે આપણી પાસે અમુક વેરીએબલનું ફંક્શન હોય છે અને આપણે વેરીએબલની કિંમત શોધવાની જરૂર છે કે જેના પર ફંક્શન સૌથી નાનું કે સૌથી મોટું બને છે. ચાલો કહીએ કે મધ્યમાં એક સળિયો ગરમ છે. તેના પર ગરમી ફેલાય છે અને સળિયાના દરેક બિંદુ પર તેનું પોતાનું તાપમાન સ્થાપિત થાય છે. તમારે તે બિંદુ શોધવાની જરૂર છે જ્યાં તે સૌથી વધુ છે. પરંતુ અમારી પાસે છે અમે વાત કરી રહ્યા છીએકંઈક સંપૂર્ણપણે અલગ - અવકાશમાં દરેક પાથની પોતાની સંખ્યા હોય છે, અને તે પાથ શોધવાનું માનવામાં આવે છે જેના માટે આ સંખ્યા ન્યૂનતમ છે. આ ગણિતનું સાવ અલગ ક્ષેત્ર છે. આ સામાન્ય કેલ્ક્યુલસ નથી, પરંતુ વેરીએશનલ કેલ્ક્યુલસ છે (જેમ કે તેને કહેવામાં આવે છે).

ગણિતના આ ક્ષેત્રની પોતાની ઘણી સમસ્યાઓ છે. ચાલો કહીએ કે વર્તુળ સામાન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે લોકસબિંદુઓ કે જેના આપેલ બિંદુથી અંતર સમાન હોય છે, પરંતુ વર્તુળને અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે: તે આપેલ લંબાઈના વળાંકોમાંથી એક છે જે મર્યાદિત કરે છે સૌથી મોટો વિસ્તાર. સમાન પરિમિતિનો કોઈપણ અન્ય વળાંક વર્તુળ કરતા નાના વિસ્તારને ઘેરી લે છે. તેથી જો તમે કાર્ય સેટ કરો છો: વળાંક શોધો આપેલ પરિમિતિ, સૌથી મોટા વિસ્તારને સીમિત કરીએ છીએ, તો અમને વિવિધતાના કલનથી સમસ્યા થશે, અને તમે ટેવાયેલા છો તે કલનથી નહીં.

તેથી, અમે શરીર દ્વારા મુસાફરી કરેલા માર્ગ પર અભિન્ન ભાગ લેવા માંગીએ છીએ. ચાલો આ રીતે કરીએ. આખો મુદ્દો એ કલ્પના કરવાનો છે કે એક સાચો માર્ગ છે અને અન્ય કોઈપણ વળાંક જે આપણે દોરીએ છીએ તે વાસ્તવિક માર્ગ નથી, જેથી જો આપણે તેના માટેની ક્રિયાની ગણતરી કરીએ, તો આપણને અનુરૂપ ક્રિયા માટે જે મળે છે તેના કરતા વધુ સંખ્યા મળશે. વાસ્તવિક માર્ગ.

તેથી, કાર્ય સાચો માર્ગ શોધવાનું છે. તે ક્યાં જૂઠું બોલે છે? એક રીત, અલબત્ત, લાખો અને લાખો પાથ માટે ક્રિયાની ગણતરી કરવી અને પછી જુઓ કે કયા પાથમાં સૌથી નાની ક્રિયા છે. આ તે માર્ગ છે જેમાં ક્રિયા ન્યૂનતમ છે અને વાસ્તવિક હશે.

આ પદ્ધતિ તદ્દન શક્ય છે. જો કે, તે સરળ રીતે કરી શકાય છે. જો ત્યાં લઘુત્તમ (સામાન્ય કાર્યોથી, કહો, તાપમાન) હોય, તો લઘુત્તમ ગુણધર્મોમાંની એક એ છે કે જ્યારે લઘુતાના પ્રથમ ક્રમના અંતરથી તેનાથી દૂર જાય છે, ત્યારે કાર્ય તેના લઘુત્તમથી વિચલિત થાય છે. માત્ર બીજા ક્રમના મૂલ્ય દ્વારા મૂલ્ય. અને વળાંક પર અન્ય કોઈપણ જગ્યાએ, નાના અંતર દ્વારા એક શિફ્ટ ફંક્શનના મૂલ્યમાં પણ નાનાતાના પ્રથમ ક્રમના મૂલ્ય દ્વારા બદલાય છે. પરંતુ ઓછામાં ઓછા, બાજુમાં સહેજ વિચલનો પ્રથમ અંદાજ તરીકે કાર્યમાં ફેરફાર તરફ દોરી જતા નથી.

તે આ ગુણધર્મ છે જેનો આપણે વાસ્તવિક માર્ગની ગણતરી કરવા માટે ઉપયોગ કરવા જઈ રહ્યા છીએ.

જો પાથ સાચો છે, તો તેના કરતા થોડો અલગ વળાંક, પ્રથમ અંદાજ તરીકે, ક્રિયાની તીવ્રતામાં ફેરફાર તરફ દોરી જશે નહીં. બધા ફેરફારો, જો આ ખરેખર ન્યૂનતમ હતા, તો માત્ર બીજા અંદાજમાં જ દેખાશે.

આ સાબિત કરવું સરળ છે. જો, વળાંકમાંથી કોઈપણ વિચલન સાથે, ફેરફારો પ્રથમ ક્રમમાં થાય છે, તો પછી ક્રિયામાં આ ફેરફારો વિચલનના પ્રમાણસર છે. તેઓ અસરમાં વધારો કરે તેવી શક્યતા છે; અન્યથા તે ન્યૂનતમ ન હોત. પરંતુ ફેરફારો વિચલનના પ્રમાણસર હોવાથી, વિચલનની નિશાની બદલવાથી અસર ઘટશે. તે તારણ આપે છે કે જ્યારે એક દિશામાં વિચલિત થાય છે, ત્યારે અસર વધે છે, અને જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં વિચલિત થાય છે, ત્યારે તે ઘટે છે. આ માટે ખરેખર ન્યૂનતમ થવાનો એકમાત્ર રસ્તો એ છે કે જો, પ્રથમ અંદાજમાં, કોઈ ફેરફાર ન થાય અને ફેરફારો વાસ્તવિક પાથથી વિચલનના વર્ગના પ્રમાણસર હોય.

તેથી, અમે નીચેના પાથને અનુસરીશું: અમે સાચો માર્ગ (નીચેની એક લીટી સાથે) દર્શાવીશું - જે આપણે શોધવા માંગીએ છીએ. ચાલો અમુક ટ્રાયલ પાથ લઈએ, જે ઇચ્છિત કરતા નાની રકમથી અલગ પડે છે, જેને આપણે સૂચવીએ છીએ.

વિચાર એ છે કે જો આપણે પાથ પરની ક્રિયાની ગણતરી કરીએ, તો આ અને ક્રિયા વચ્ચેનો તફાવત જે આપણે પાથ માટે ગણ્યો છે (સરળતા માટે તે સૂચિત કરવામાં આવશે), અથવા અને વચ્ચેનો તફાવત, પ્રથમ અંદાજ સુધી હોવો જોઈએ, શૂન્ય તેઓ બીજા ક્રમમાં ભિન્ન હોઈ શકે છે, પરંતુ પ્રથમમાં તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ.

અને આ દરેક માટે અવલોકન કરવું આવશ્યક છે. જો કે, દરેક માટે તદ્દન નથી. પદ્ધતિમાં ફક્ત તે જ પાથને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે જે તમામ બિંદુઓની સમાન જોડીથી શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે, એટલે કે, દરેક પાથ સમયે ચોક્કસ બિંદુએ શરૂ થવું જોઈએ અને સમયે અન્ય ચોક્કસ બિંદુએ સમાપ્ત થવું જોઈએ. આ બિંદુઓ અને ક્ષણો રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે. તેથી આપણું કાર્ય (વિચલન) બંને છેડે શૂન્ય હોવું જોઈએ: અને . આ સ્થિતિમાં, આપણી ગાણિતિક સમસ્યા સંપૂર્ણ રીતે વ્યાખ્યાયિત થઈ જાય છે.

જો તમને ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસ ખબર ન હોય, તો તમે ન્યૂનતમ સામાન્ય ફંક્શન શોધવા માટે તે જ કરી શકો છો. જો તમે નાનું મૂલ્ય લીધું અને ઉમેરશો તો શું થશે તે વિશે તમે વિચારશો, અને દલીલ કરશો કે પ્રથમ ક્રમમાં કરેક્શન ઓછામાં ઓછું શૂન્ય જેટલું હોવું જોઈએ. તમે તેના બદલે અવેજી કરશો અને પ્રથમ ડિગ્રી સુધી વિસ્તૃત થશો, એક શબ્દમાં, તમે તે દરેક વસ્તુનું પુનરાવર્તન કરશો જે અમે કરવા માગીએ છીએ.

તેથી, અમારો વિચાર એ છે કે અમે અવેજી કરીએ છીએ ક્રિયા માટેના સૂત્રમાં

,

જ્યાં સંભવિત ઊર્જા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. વ્યુત્પન્ન, અલબત્ત, વત્તા નું વ્યુત્પન્ન છે, તેથી ક્રિયા માટે મને આ અભિવ્યક્તિ મળે છે:

.

હવે આને વધુ વિગતવાર વર્ણવવાની જરૂર છે. ચતુર્ભુજ શબ્દ માટે મને મળે છે

.

પણ એક મિનિટ રાહ જુઓ! છેવટે, મારે પહેલા કરતાં વધુ ઓર્ડર વિશે ચિંતા કરવાની જરૂર નથી. હું તમામ શરતોને દૂર કરી શકું છું જેમાં અને ઉચ્ચ ડિગ્રીઓ, અને તેમને “બીજા અને” નામના બોક્સમાં મૂકો ઉચ્ચ ઓર્ડર" આ અભિવ્યક્તિથી ત્યાં માત્ર એક સેકન્ડ ડિગ્રી મળશે, પરંતુ અન્ય કંઈકથી ઉચ્ચ લોકો પણ પ્રવેશી શકે છે. તેથી ગતિ ઊર્જા સાથે સંબંધિત ભાગ છે:

આગળ આપણે પોઈન્ટ પર સંભવિતની જરૂર છે. હું તેને નાનું માનું છું અને તેને ટેલર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકું છું. લગભગ તે હશે; આગલા અંદાજમાં (અહીં સામાન્ય ડેરિવેટિવ્ઝ છે તે હકીકતને કારણે), કરેક્શન સમાન છે, આ સંદર્ભમાં ફેરફારના દર દ્વારા ગુણાકાર, વગેરે:

.

જગ્યા બચાવવા માટે, મેં તેને સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને સૂચિત કર્યું. સી શબ્દ અને તેની પાછળની દરેક વસ્તુ "બીજા અને ઉચ્ચ ક્રમ" શ્રેણીમાં આવે છે. અને હવે તેમના વિશે ચિંતા કરવાની જરૂર નથી. ચાલો બાકી રહેલી દરેક વસ્તુને જોડીએ:

જો આપણે હવે આને નજીકથી જોઈશું, તો આપણે જોઈશું કે અહીં લખેલ પ્રથમ બે શબ્દો તે ક્રિયાને અનુરૂપ છે જે હું ઇચ્છિત માટે લખીશ. સાચો માર્ગ. હું તમારું ધ્યાન પરિવર્તન પર કેન્દ્રિત કરવા માંગુ છું, એટલે કે સાચા માર્ગ માટે શું થયું હશે અને તે વચ્ચેના તફાવત પર. આપણે આ તફાવતને લખીશું અને તેને ભિન્નતા કહીશું. "બીજા અને ઉચ્ચ ઓર્ડર" ને છોડી દેવાથી, અમે તેના માટે મેળવીએ છીએ

.

હવે કાર્ય આના જેવું લાગે છે. અહીં મારી સામે કેટલાક અભિન્ન છે. મને હજી સુધી ખબર નથી કે તે શું છે, પરંતુ હું નિશ્ચિતપણે જાણું છું કે, ભલે હું જે પણ લઉં, આ અભિન્ન હોવું જ જોઈએ શૂન્ય બરાબર. "સારું," તમે વિચારી શકો, "આ માટે એકમાત્ર શક્યતા એ છે કે ગુણક શૂન્યની બરાબર છે." પરંતુ પ્રથમ પદ વિશે શું, ક્યાં છે? તમે કહેશો: “જો તે કંઈપણમાં ફેરવાઈ જાય, તો તેનું વ્યુત્પન્ન સમાન કંઈ નથી; આનો અર્થ એ છે કે પરનો ગુણાંક પણ શૂન્ય હોવો જોઈએ.” ઠીક છે, તે સંપૂર્ણપણે સાચું નથી. આ સંપૂર્ણપણે સાચું નથી કારણ કે વિચલન અને તેના વ્યુત્પન્ન વચ્ચે જોડાણ છે; તેઓ સંપૂર્ણપણે સ્વતંત્ર નથી, કારણ કે તે પર અને પર શૂન્ય હોવું જોઈએ.

ભિન્નતાના કેલ્ક્યુલસની બધી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, સમાન સામાન્ય સિદ્ધાંતનો હંમેશા ઉપયોગ થાય છે. તમે જે ફેરફાર કરવા માંગો છો તે તમે સહેજ બદલો છો (અમે ઉમેરીને શું કર્યું છે તેના જેવું જ), પ્રથમ-ક્રમની શરતો પર નજર નાખો, પછી બધું ગોઠવો જેથી કરીને તમને ફોર્મમાં અભિન્નતા મળે: "તમે જે મેળવો છો તે સમય બદલો," પરંતુ તેથી તેમાં (કોઈપણ) નું કોઈ વ્યુત્પન્ન નહોતું. દરેક વસ્તુને રૂપાંતરિત કરવા માટે તે એકદમ જરૂરી છે જેથી "કંઈક" નો ગુણાકાર બાકી રહે. હવે તમે સમજી શકશો કે આ શા માટે આટલું મહત્વપૂર્ણ છે. (એવા સૂત્રો છે જે તમને જણાવશે કે કેટલાક કિસ્સાઓમાં તમે કોઈપણ ગણતરી વિના આ કેવી રીતે કરી શકો છો; પરંતુ તે એટલા સામાન્ય નથી કે તેઓ યાદ રાખવા યોગ્ય છે; અમે જે રીતે કરીએ છીએ તે રીતે ગણતરીઓ કરવી શ્રેષ્ઠ છે.)

હું કેવી રીતે શિશ્નને ફરીથી બનાવી શકું જેથી તે દેખાય? હું ટુકડે ટુકડે એકીકૃત કરીને આ હાંસલ કરી શકું છું. તે તારણ આપે છે કે વિવિધતાઓની ગણતરીમાં આખી યુક્તિ એ છે કે વિવિધતાને લખી અને પછી ભાગો દ્વારા સંકલિત કરો જેથી કરીને તેમાંથી ડેરિવેટિવ્સ અદૃશ્ય થઈ જાય. બધી સમસ્યાઓ જેમાં ડેરિવેટિવ્ઝ દેખાય છે, તે જ યુક્તિ કરવામાં આવે છે.

ભાગો દ્વારા એકીકરણના સામાન્ય સિદ્ધાંતને યાદ કરો. જો તમારી પાસે મનસ્વી ફંક્શન વડે ગુણાકાર અને સંકલિત હોય, તો તમે આનું વ્યુત્પન્ન લખો છો:

.

ઇન્ટિગ્રલ માં તમને રસ છે ત્યાં માત્ર છેલ્લી મુદત છે, તેથી

.

ફંક્શન માટેના અમારા સૂત્રમાં નું ઉત્પાદન માનવામાં આવે છે; તેથી હું અભિવ્યક્તિ માટે વિચાર કરું છું

એકીકરણની મર્યાદાઓ અને પ્રથમ ટર્મમાં અવેજી કરવી આવશ્યક છે. પછી ઇન્ટિગ્રલ હેઠળ હું ભાગો દ્વારા એકીકરણમાંથી શબ્દ પ્રાપ્ત કરીશ અને છેલ્લી મુદત જે પરિવર્તન દરમિયાન યથાવત રહેશે.

અને હવે જે હંમેશા થાય છે તે થઈ રહ્યું છે - સંકલિત ભાગ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. (અને જો તે અદૃશ્ય થઈ જતું નથી, તો તમારે સિદ્ધાંતમાં સુધારો કરવાની જરૂર છે, આવી અદ્રશ્યતાને સુનિશ્ચિત કરતી શરતો ઉમેરીને!) અમે પહેલેથી જ કહ્યું છે કે પાથના છેડે તે શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ. છેવટે, આપણો સિદ્ધાંત શું છે? મુદ્દો એ છે કે ક્રિયા ન્યૂનતમ છે જો કે વૈવિધ્યસભર વળાંક પસંદ કરેલા બિંદુઓ પર શરૂ થાય અને સમાપ્ત થાય. આનો અર્થ એ છે કે અને. તેથી, સંકલિત શબ્દ શૂન્ય બહાર વળે છે. અમે બાકીના સભ્યોને ભેગા કરીને લખીએ છીએ

.

ભિન્નતાએ હવે તે સ્વરૂપ પ્રાપ્ત કર્યું છે જે અમે તેને આપવા માંગતા હતા: કંઈક કૌંસમાં છે (ચાલો તેને સૂચિત કરીએ), અને આ બધું માંથી ગુણાકાર અને સંકલિત છે.

તે બહાર આવ્યું છે કે અમુક અભિવ્યક્તિનો અભિન્ન ગુણાંક હંમેશા શૂન્યની બરાબર છે:

.

માંથી કેટલાક કાર્ય છે; હું તેનો ગુણાકાર કરું છું અને તેને શરૂઆતથી અંત સુધી એકીકૃત કરું છું. અને ગમે તે હોય, મને શૂન્ય મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય શૂન્યની બરાબર છે. સામાન્ય રીતે, આ સ્પષ્ટ છે, પરંતુ માત્ર કિસ્સામાં, હું તમને તે સાબિત કરવાની એક રીત બતાવીશ.

ચાલો હું એવું કંઈક પસંદ કરું જે દરેક જગ્યાએ શૂન્ય સમાન હોય, એક સિવાયના બધા માટે પૂર્વ-પસંદ કરેલ મૂલ્ય. જ્યાં સુધી હું તેની પાસે ન પહોંચું ત્યાં સુધી તે શૂન્ય રહે છે, પછી તે એક ક્ષણ માટે કૂદકો મારે છે અને તરત જ પાછળ પડી જાય છે. જો તમે આને અમુક ફંક્શન વડે ગુણાકાર કરીને ઇન્ટિગ્રલ લો છો, તો તમને એક માત્ર એવી જગ્યા મળશે જ્યાં તે કૂદી ગયું હોય; અને તમને આ સ્થાને અવિભાજ્ય ઓવર ધ જમ્પ માટે મૂલ્ય મળશે. જમ્પ ઇન્ટિગ્રલ પોતે શૂન્ય નથી, પરંતુ જ્યારે તેનો ગુણાકાર કરવામાં આવે ત્યારે શૂન્ય આપવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે જ્યાં કૂદકો હતો ત્યાંનું કાર્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ. પણ છલાંગ તો ગમે ત્યાં કરી શકાઈ હોત; જેનો અર્થ છે કે તે દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોવું જોઈએ.

આપણે જોઈએ છીએ કે જો આપણું અવિભાજ્ય કોઈપણ માટે શૂન્ય સમાન હોય, તો પરનો ગુણાંક શૂન્ય થવો જોઈએ. ક્રિયા અભિન્ન પાથ સાથે લઘુત્તમ સુધી પહોંચે છે જે આવા જટિલ વિભેદક સમીકરણને સંતોષશે:

.

તે વાસ્તવમાં એટલું જટિલ નથી; તમે તેને પહેલા મળ્યા છો. તે સરળ છે. પ્રથમ શબ્દ માસ વખત પ્રવેગક છે; બીજું સંભવિત ઊર્જાનું વ્યુત્પન્ન છે, એટલે કે બળ.

તેથી અમે (ઓછામાં ઓછું રૂઢિચુસ્ત પ્રણાલી માટે) બતાવ્યું છે કે ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો સિદ્ધાંત સાચા જવાબ તરફ દોરી જાય છે; તે જણાવે છે કે ન્યૂનતમ ક્રિયા ધરાવતો રસ્તો ન્યૂટનના નિયમને સંતોષે છે.

એક વધુ ટીકા કરવાની જરૂર છે. મેં સાબિત કર્યું નથી કે આ ન્યૂનતમ છે. કદાચ આ મહત્તમ છે. હકીકતમાં, આ ન્યૂનતમ હોવું જરૂરી નથી. અહીં બધું "ટૂંકા સમયના સિદ્ધાંત" જેવું જ છે, જેની આપણે ઓપ્ટિક્સનો અભ્યાસ કરતી વખતે ચર્ચા કરી હતી. ત્યાં પણ, અમે પ્રથમ "ટૂંકા" સમય વિશે વાત કરી. જો કે, તે બહાર આવ્યું છે કે એવી પરિસ્થિતિઓ છે જેમાં આ સમય "સૌથી ટૂંકો" હોવો જરૂરી નથી. મૂળભૂત સિદ્ધાંત એ છે કે કોઈપણ પ્રથમ ક્રમના વિચલનો માટે ઓપ્ટિકલ પાથસમય જતાં ફેરફારો શૂન્ય હશે; અહીં પણ એ જ વાર્તા છે. "લઘુત્તમ" દ્વારા અમારો વાસ્તવમાં અર્થ એ છે કે, નાનાતાના પ્રથમ ક્રમમાં, પાથમાંથી વિચલનોને કારણે જથ્થામાં થતા ફેરફારો શૂન્ય સમાન હોવા જોઈએ. અને આ "લઘુત્તમ" જરૂરી નથી.

હવે હું કેટલાક સામાન્યીકરણો તરફ આગળ વધવા માંગુ છું. સૌ પ્રથમ, આ આખી વાર્તા ત્રણ પરિમાણમાં કરી શકાય છે. એક સરળને બદલે, મારી પાસે , બંને કાર્યો તરીકે, અને ક્રિયા વધુ જટિલ દેખાશે. 3D ગતિમાં તમારે કુલ ગતિ ઊર્જાનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે: , કુલ વેગના વર્ગના ગણા. બીજા શબ્દો માં,

.

વધુમાં, સંભવિત ઊર્જા હવે , અને નું કાર્ય છે. તમે માર્ગ વિશે શું કહી શકો? પાથ એ અવકાશમાં ચોક્કસ સામાન્ય વળાંક છે; તે દોરવું એટલું સરળ નથી, પરંતુ વિચાર એ જ રહે છે. પરિસ્થિતિ વિશે શું? સારું, તેમાં ત્રણ ઘટકો છે. પાથ સાથે , અને સાથે , અને સાથે , અથવા ત્રણેય દિશામાં એક સાથે ખસેડી શકાય છે. તો હવે તે વેક્ટર છે. આનાથી કોઈ મોટી ગૂંચવણો ઊભી થતી નથી. માત્ર પ્રથમ-ક્રમની વિવિધતાઓ શૂન્યની બરાબર હોવી આવશ્યક હોવાથી, ગણતરી ત્રણ પાળી સાથે ક્રમિક રીતે કરી શકાય છે. પ્રથમ, તમે ફક્ત દિશામાં જ જઈ શકો છો અને કહી શકો છો કે ગુણાંક શૂન્ય પર જવો જોઈએ. તમને એક સમીકરણ મળે છે. પછી અમે દિશામાં આગળ વધીશું અને બીજું મેળવીશું. પછી આપણે તેને દિશામાં ખસેડીએ છીએ અને આપણને ત્રીજો એક મળે છે. જો તમને ગમે, તો તમે અલગ ક્રમમાં બધું કરી શકો છો. તે ગમે તે હોય, સમીકરણોની ત્રિપુટી ઊભી થાય છે. પરંતુ ન્યૂટનનો નિયમ પણ ત્રણ પરિમાણમાં ત્રણ સમીકરણો છે, દરેક ઘટક માટે એક. તમારે તમારા માટે જોવાનું બાકી છે કે આ બધું ત્રણ પરિમાણોમાં કામ કરે છે (અહીં વધુ કામ નથી). માર્ગ દ્વારા, તમે કોઈપણ સંકલન પ્રણાલી, ધ્રુવીય, કોઈપણ, લઈ શકો છો અને આ સિસ્ટમના સંબંધમાં ન્યૂટનના નિયમોને તરત જ મેળવી શકો છો, જ્યારે ત્રિજ્યા સાથે અથવા કોણ સાથે પાળી થાય છે, વગેરેને ધ્યાનમાં રાખીને શું થાય છે.

પદ્ધતિને સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે મનસ્વી સંખ્યાકણો જો, કહો, તમારી પાસે બે કણો છે અને તેમની વચ્ચે કેટલાક દળો કાર્ય કરે છે અને પરસ્પર સંભવિત ઊર્જા છે, તો તમે ફક્ત તેમની ગતિ ઊર્જા ઉમેરો અને સરવાળામાંથી ક્રિયાપ્રતિક્રિયા સંભવિત ઊર્જાને બાદ કરો. તમે શું બદલો છો? બંને કણોનો માર્ગ. પછી ત્રણ પરિમાણમાં ફરતા બે કણો માટે, છ સમીકરણો ઊભા થાય છે. તમે દિશામાં, દિશામાં અને દિશામાં કણ 1 ની સ્થિતિ બદલી શકો છો, અને તે જ કણ 2 સાથે કરી શકો છો, તેથી છ સમીકરણો છે. અને તે કેવી રીતે હોવું જોઈએ. ત્રણ સમીકરણો તેના પર કામ કરતા બળને કારણે કણ 1 નું પ્રવેગ નક્કી કરે છે, અને અન્ય ત્રણ તેના પર કાર્ય કરતા બળને કારણે કણ 2 નું પ્રવેગ નક્કી કરે છે. હંમેશા રમતના સમાન નિયમોનું પાલન કરો અને તમને કણોની મનસ્વી સંખ્યા માટે ન્યૂટનનો નિયમ મળશે.

મેં કહ્યું કે આપણે ન્યુટનનો નિયમ મેળવીશું. આ સંપૂર્ણ રીતે સાચું નથી, કારણ કે ન્યૂટનના નિયમમાં ઘર્ષણ જેવા બિન-રૂઢિચુસ્ત દળોનો પણ સમાવેશ થાય છે. ન્યૂટને દલીલ કરી હતી કે તે દરેક માટે સમાન છે. ઓછામાં ઓછી કાર્યવાહીનો સિદ્ધાંત માત્ર રૂઢિચુસ્ત પ્રણાલીઓ માટે જ માન્ય છે, જ્યાંથી તમામ દળો મેળવી શકાય છે સંભવિત કાર્ય. પરંતુ તમે જાણો છો કે માઇક્રોસ્કોપિક સ્તરે, એટલે કે, સૌથી ઊંડા ભૌતિક સ્તરે, બિન-રૂઢિચુસ્ત દળો અસ્તિત્વમાં નથી. બિન-રૂઢિચુસ્ત દળો (જેમ કે ઘર્ષણ) ફક્ત એટલા માટે જ ઉદ્ભવે છે કારણ કે આપણે માઇક્રોસ્કોપિક જટિલ અસરોની અવગણના કરીએ છીએ: વિશ્લેષણ કરવા માટે ફક્ત ઘણા બધા કણો છે. મૂળભૂત કાયદાઓ ઓછામાં ઓછી કાર્યવાહીના સિદ્ધાંતના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે.

મને વધુ સામાન્યીકરણો પર જવા દો. ધારો કે જ્યારે કણ સાપેક્ષ રીતે આગળ વધે ત્યારે શું થશે તેમાં અમને રસ છે. અત્યાર સુધી આપણે ગતિનું સાચું સાપેક્ષ સમીકરણ પ્રાપ્ત કર્યું નથી; માત્ર બિન-સાપેક્ષ ગતિમાં સાચું. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું રિલેટિવિસ્ટિક કેસમાં ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના અનુરૂપ સિદ્ધાંત છે? હા, તે અસ્તિત્વમાં છે. રિલેટિવિસ્ટિક કેસમાં સૂત્ર છે:

ક્રિયાના અભિન્ન ભાગનો પ્રથમ ભાગ એ બાકીના સમૂહનું ઉત્પાદન અને વેગ ફંક્શનનો અભિન્ન ભાગ છે. પછી, સંભવિત ઉર્જા બાદબાકી કરવાને બદલે, આપણી પાસે સ્કેલર પોટેન્શિયલ અને વેક્ટર પોટેન્શિયલ ટાઈમ્સના અભિન્ન ભાગો છે. અલબત્ત, અહીં ફક્ત ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક દળોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. તમામ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો અને ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત થાય છે. આ ક્રિયા કાર્ય સાપેક્ષ ગતિનો સંપૂર્ણ સિદ્ધાંત આપે છે વ્યક્તિગત કણઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રમાં.

અલબત્ત, તમારે સમજવું જોઈએ કે જ્યાં પણ મેં લખ્યું છે, ગણતરીઓ કરતા પહેલા, તમારે અવેજી કરવી જોઈએ, વગેરે. વધુમાં, જ્યાં મેં ખાલી લખ્યું છે, , , તમારે આ ક્ષણે બિંદુઓની કલ્પના કરવી જોઈએ: , , . વાસ્તવમાં, આવા અવેજી અને રિપ્લેસમેન્ટ પછી જ તમને સાપેક્ષ કણની ક્રિયા માટેનું સૂત્ર મળશે. તમારામાંના સૌથી કુશળ લોકોને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કરવા દો કે ક્રિયા માટેનું આ સૂત્ર ખરેખર સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત માટે ગતિના સાચા સમીકરણો આપે છે. હું તમને હમણાં જ ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિના કરવાનું છોડીને શરૂ કરવાની સલાહ આપું છું. પછી તમારે ગતિના સમીકરણના ઘટકો મેળવવા પડશે, જ્યાં તમને કદાચ યાદ હશે, .

વિચારણામાં સામેલ કરો વેક્ટર સંભવિતવધુ મુશ્કેલ. ભિન્નતા પછી અજોડ રીતે વધુ જટિલ બની જાય છે. પરંતુ અંતે બળ તે જે હોવું જોઈએ તેના બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું છે: . પરંતુ તેની સાથે થોડી મજા કરો.

હું તેના પર ભાર મૂકવા માંગુ છું સામાન્ય કેસ(ઉદાહરણ તરીકે, સાપેક્ષતાવાદી સૂત્રમાં) ક્રિયામાં અભિન્ન હવે ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા વચ્ચેના તફાવતનો સમાવેશ કરતું નથી. આ માત્ર બિન-સાપેક્ષવાદી અંદાજમાં જ યોગ્ય હતું. ઉદાહરણ તરીકે, સભ્ય - આ તે નથી જેને ગતિ ઊર્જા કહેવાય છે. કોઈ ચોક્કસ કેસ માટે કાર્યવાહી શું હોવી જોઈએ તે પ્રશ્ન અમુક અજમાયશ અને ભૂલ પછી નક્કી કરી શકાય છે. ગતિના સમીકરણો કેવા હોવા જોઈએ તે નિર્ધારિત કરવામાં આ સમાન પ્રકારની સમસ્યા છે. તમારે ફક્ત તમે જાણતા હોય તેવા સમીકરણો સાથે રમવાનું છે અને તે જોવાનું છે કે શું તેઓ ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના સિદ્ધાંત તરીકે લખી શકાય છે.

પરિભાષા વિશે વધુ એક નોંધ. ક્રિયા મેળવવા માટે સમયાંતરે એકીકૃત થયેલ કાર્યને લેગ્રેન્જિયન કહેવામાં આવે છે. આ એક કાર્ય છે જે ફક્ત કણોના વેગ અને સ્થિતિ પર આધારિત છે. તેથી ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો સિદ્ધાંત પણ ફોર્મમાં લખાયેલો છે

,

કોઓર્ડિનેટ્સ અને વેગના તમામ ઘટકો ક્યાં અને અર્થ છે. જો તમે ક્યારેય કોઈને "લેગ્રાંગિયન" વિશે વાત કરતા સાંભળો છો, તો તે મેળવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા કાર્ય વિશે વાત કરી રહ્યા છે. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્રમાં સાપેક્ષ ગતિ માટે

.

વધુમાં, મારે એ નોંધવું જોઈએ કે સૌથી વધુ ઝીણવટભરી અને પેડન્ટિક લોકોક્રિયા કહેવાય નહીં. તેને "હેમિલ્ટનનું પ્રથમ મુખ્ય કાર્ય" કહેવામાં આવે છે. પરંતુ "ઓછામાં ઓછા-પ્રથમ સિદ્ધાંત" પર પ્રવચન આપતાં મુખ્ય કાર્યહેમિલ્ટન" મારી શક્તિની બહાર હતું. મેં તેને "ક્રિયા" કહ્યું. અને વધુમાં, વધુને વધુ લોકો તેને "ક્રિયા" કહે છે. તમે જુઓ, ઐતિહાસિક રીતે ક્રિયાને કંઈક બીજું કહેવામાં આવે છે જે વિજ્ઞાન માટે ઉપયોગી નથી, પરંતુ મને લાગે છે કે તે વ્યાખ્યા બદલવા માટે વધુ અર્થપૂર્ણ છે. હવે તમે પણ નામ લેવા લાગશો નવી સુવિધાક્રિયા, અને ટૂંક સમયમાં દરેક તેને આ સરળ નામથી બોલાવવાનું શરૂ કરશે.

હવે હું તમને અમારા વિષય વિશે કંઈક કહેવા માંગુ છું જે સૌથી ઓછા સમયના સિદ્ધાંત વિશે મારી પાસેના તર્ક જેવું જ છે. કાયદાના સારમાં તફાવત છે જે કહે છે કે એક બિંદુથી બીજા સ્થાને લેવામાં આવેલા કેટલાક અભિન્ન ઘટકોમાં ન્યૂનતમ હોય છે - કાયદો જે આપણને એક જ સમયે સમગ્ર માર્ગ વિશે કંઈક કહે છે, અને કાયદો જે કહે છે કે જ્યારે તમે ખસેડો છો, ત્યારે , આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં એક બળ છે જે પ્રવેગક તરફ દોરી જાય છે. બીજો અભિગમ તમને તમારા દરેક પગલા વિશે જાણ કરે છે, તે તમારા પાથને ઇંચ ઇંચ દ્વારા શોધી કાઢે છે, અને પ્રથમ તરત જ પ્રવાસ કરેલા સમગ્ર પાથ વિશે સામાન્ય નિવેદન આપે છે. પ્રકાશ વિશે વાત કરતી વખતે, અમે આ બે અભિગમો વચ્ચેના જોડાણ વિશે વાત કરી. હવે હું તમને સમજાવવા માંગુ છું કે જો આવા સિદ્ધાંત હોય તો શા માટે વિભેદક કાયદાઓ અસ્તિત્વમાં હોવા જોઈએ - ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો સિદ્ધાંત. કારણ આ છે: ચાલો આપણે ખરેખર અવકાશ અને સમયમાં મુસાફરી કરેલ પાથને ધ્યાનમાં લઈએ. પહેલાની જેમ, અમે એક માપ સાથે કરીશું, જેથી આપણે તેના પર નિર્ભરતાનો ગ્રાફ દોરી શકીએ. સાચા માર્ગ સાથે તે ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે. ચાલો માની લઈએ કે આપણી પાસે આ રસ્તો છે અને તે અવકાશ અને સમયના ચોક્કસ બિંદુમાંથી અને અન્ય પડોશી બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

હવે, જો થી થી સુધીનું સંપૂર્ણ અવિભાજ્ય ન્યૂનતમ સુધી પહોંચી ગયું હોય, તો તે જરૂરી છે કે નાના વિભાગ સાથેનો પૂર્ણાંક પણ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ. એવું ન હોઈ શકે કે માંથી ભાગ લઘુત્તમથી થોડો પણ વધી જાય. નહિંતર, તમે આ વિભાગમાં વળાંકને આગળ-પાછળ ખસેડી શકો છો અને સમગ્ર ઇન્ટિગ્રલનું મૂલ્ય થોડું ઘટાડી શકો છો.

આનો અર્થ એ છે કે પાથના કોઈપણ ભાગમાં ન્યૂનતમ પ્રદાન કરવું જોઈએ. અને આ પાથના કોઈપણ નાના ભાગો માટે સાચું છે. તેથી, સમગ્ર પાથને લઘુત્તમ આપવો જોઈએ તે સિદ્ધાંતને એમ કહીને ઘડી શકાય છે કે પાથનો અનંત ભાગ પણ એક વળાંક છે જેના પર ક્રિયા ન્યૂનતમ છે. અને જો આપણે પાથનો એકદમ ટૂંકો ભાગ લઈએ - બિંદુઓ વચ્ચે અને એકબીજાની ખૂબ નજીક - તો પછી આ સ્થાનથી દૂર બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી સંભવિત ફેરફારો કેવી રીતે થાય છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, કારણ કે, તમારા સંપૂર્ણ ટૂંકા સેગમેન્ટમાંથી પસાર થતાં, તમે લગભગ સ્થળ ક્યારેય છોડશો નહીં. એકમાત્ર વસ્તુ જે તમારે ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે તે સંભવિતમાં પ્રથમ ક્રમમાં નાનામાં ફેરફાર છે. જવાબ માત્ર સંભવિતના વ્યુત્પન્ન પર આધાર રાખે છે, અને અન્ય જગ્યાએ સંભવિત પર નહીં. આમ, સમગ્ર પાથની મિલકત વિશેનું નિવેદન, પાથના ટૂંકા વિભાગ પર શું થાય છે તે વિશેનું નિવેદન બની જાય છે, એટલે કે, એક વિભેદક નિવેદન. અને આ વિભેદક રચનામાં સંભવિતના ડેરિવેટિવ્ઝનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે આપેલ બિંદુ પરનું બળ. આ સમગ્ર કાયદા અને વિભેદક કાયદા વચ્ચેના જોડાણનું ગુણાત્મક સમજૂતી છે.

જ્યારે આપણે પ્રકાશ વિશે વાત કરી, ત્યારે આપણે આ પ્રશ્નની પણ ચર્ચા કરી: કણ સાચો માર્ગ કેવી રીતે શોધે છે? સાથે વિભેદક બિંદુઆ દૃષ્ટિકોણથી સમજવું સરળ છે. દરેક ક્ષણે કણ પ્રવેગકતા અનુભવે છે અને તે માત્ર તે જ ક્ષણે શું કરવાનું છે તે જાણે છે. પરંતુ તમારી બધી કારણ અને અસરની વૃત્તિ જ્યારે તમે સાંભળો છો કે એક કણ "નિર્ણય કરે છે" કે કયો રસ્તો લેવો છે, તે ઓછામાં ઓછી ક્રિયા માટે પ્રયત્નશીલ હોય છે. શું તેણી પડોશી પાથને "સુંઘતી" નથી, તે શોધી રહી છે કે તેઓ શું તરફ દોરી જશે - વધુ કે ઓછા પગલા તરફ? જ્યારે અમે પ્રકાશના માર્ગમાં સ્ક્રીન મૂકી જેથી ફોટોન તમામ પાથ અજમાવી ન શકે, ત્યારે અમને જાણવા મળ્યું કે તેઓ કયો રસ્તો લેવો તે નક્કી કરી શકતા નથી, અને અમને વિવર્તનની ઘટના મળી.

પરંતુ શું આ મિકેનિક્સ માટે પણ સાચું છે? શું તે સાચું છે કે કણ માત્ર "સાચા માર્ગે જતું નથી", પરંતુ અન્ય તમામ કલ્પનાશીલ માર્ગો પર પુનર્વિચાર કરે છે? અને જો, તેના માર્ગમાં અવરોધો મૂકીને, આપણે તેને આગળ જોવાની મંજૂરી ન આપીએ, તો પછી આપણને વિવર્તનની ઘટનાનું કોઈ પ્રકારનું અનુરૂપ મળશે? આ બધા વિશે સૌથી અદ્ભુત બાબત એ છે કે બધું ખરેખર આના જેવું છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના નિયમો આ જ કહે છે. તેથી ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો આપણો સિદ્ધાંત સંપૂર્ણ રીતે ઘડાયેલો નથી. તે એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ નથી કે કણ ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો માર્ગ પસંદ કરે છે, પરંતુ હકીકત એ છે કે તે બધા પડોશી પાથને "સેન્સ" કરે છે અને તે પસંદ કરે છે કે જેની સાથે ક્રિયા ન્યૂનતમ હોય, અને આ પસંદગીની પદ્ધતિ સમાન છે. જે રીતે પ્રકાશ પસંદ કરવામાં આવે છે સૌથી ટૂંકો સમય. તમને યાદ છે કે જે રીતે પ્રકાશ સૌથી ઓછો સમય લે છે તે આ છે: જો પ્રકાશ એવા માર્ગ પર જાય છે જેને અલગ સમયની જરૂર હોય, તો તે એક અલગ તબક્કા સાથે આવશે. અને અમુક બિંદુએ કુલ કંપનવિસ્તાર એ તમામ માર્ગો માટેના કંપનવિસ્તાર યોગદાનનો સરવાળો છે જેનાથી પ્રકાશ તે સુધી પહોંચી શકે છે. તે બધા પાથ કે જેના તબક્કાઓ તીવ્ર રીતે અલગ પડે છે તે ઉમેર્યા પછી કંઈપણ પ્રાપ્ત કરતા નથી. પરંતુ જો તમે પાથનો સંપૂર્ણ ક્રમ શોધવામાં વ્યવસ્થાપિત છો, જેના તબક્કાઓ લગભગ સમાન છે, તો પછી નાના યોગદાન ઉમેરાશે, અને આગમન બિંદુએ કુલ કંપનવિસ્તાર નોંધપાત્ર મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરશે. સૌથી મહત્વપૂર્ણ રીતેએક બની જાય છે જેની નજીક એક જ તબક્કો આપતા ઘણા નજીકના રસ્તાઓ છે.

બરાબર એ જ વસ્તુ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સમાં થાય છે. સંપૂર્ણ ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ (અનુસંબંધિત અને ઇલેક્ટ્રોનના સ્પિનને અવગણવું) આ રીતે કાર્ય કરે છે: એક કણ, સમયે બિંદુ 1 છોડીને, સમયે બિંદુ 2 સુધી પહોંચે તેવી સંભાવના, સંભાવના કંપનવિસ્તારના વર્ગની બરાબર છે. કુલ કંપનવિસ્તાર બધા માટેના કંપનવિસ્તારના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે શક્ય માર્ગો- આગમનના કોઈપણ માર્ગ માટે. કોઈપણ માટે, જે કોઈપણ કલ્પનાશીલ કાલ્પનિક માર્ગ માટે થઈ શકે છે, કંપનવિસ્તારની ગણતરી કરવી આવશ્યક છે. પછી તે બધાને ફોલ્ડ કરવાની જરૂર છે. ચોક્કસ પાથના સંભવિત કંપનવિસ્તાર તરીકે આપણે શું લઈએ છીએ? અમારી ક્રિયા અભિન્નતા અમને જણાવે છે કે વ્યક્તિગત માર્ગનું કંપનવિસ્તાર શું હોવું જોઈએ. કંપનવિસ્તાર પ્રમાણસર છે, આ પાથ સાથેની ક્રિયા ક્યાં છે. આનો અર્થ એ છે કે જો આપણે ફોર્મમાં કંપનવિસ્તાર તબક્કાનું પ્રતિનિધિત્વ કરીએ છીએ જટિલ સંખ્યા, પછી તબક્કો કોણ બરાબર હશે. ક્રિયામાં સમયાંતરે ઊર્જાનું પરિમાણ હોય છે, અને પ્લાન્કના સ્થિરાંકનું પરિમાણ સમાન હોય છે. આ તે સ્થિરાંક છે જે નક્કી કરે છે કે ક્યારે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સની જરૂર છે.

અને તે રીતે તે બધું કાર્ય કરે છે. સંખ્યાની તુલનામાં તમામ પાથ માટે ક્રિયા ખૂબ મોટી થવા દો. અમુક પાથને ચોક્કસ કંપનવિસ્તાર મૂલ્ય તરફ દોરી જવા દો. નજીકના પાથનો તબક્કો સંપૂર્ણપણે અલગ હશે, કારણ કે એક વિશાળ સાથે, નાના ફેરફારો પણ નાટકીય રીતે તબક્કામાં ફેરફાર કરે છે (છેવટે, તે અત્યંત નાનું છે). આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે ઉમેરવામાં આવે ત્યારે અડીને આવેલા પાથ સામાન્ય રીતે તેમના યોગદાનને ઓલવી નાખે છે. અને ફક્ત એક જ ક્ષેત્રમાં આ સાચું નથી - એક જ્યાં પાથ અને તેના પાડોશી બંને - બંને, પ્રથમ અંદાજ સુધી, સમાન તબક્કો ધરાવે છે (અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, લગભગ સમાન ક્રિયા, અંદર બદલાતી). ફક્ત આવા માર્ગો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. અને મર્યાદિત કિસ્સામાં જ્યાં પ્લાન્કનો સ્થિરાંક શૂન્ય પર જાય છે, સાચા ક્વોન્ટમ યાંત્રિક નિયમોને એમ કહીને સારાંશ આપી શકાય છે: “આ તમામ સંભવિતતા કંપનવિસ્તારો વિશે ભૂલી જાઓ. કણ ખરેખર સાથે ફરે છે ખાસ રીત- ચોક્કસપણે જે મુજબ, પ્રથમ અંદાજમાં, તે બદલાતું નથી." આ લઘુત્તમ ક્રિયાના સિદ્ધાંત અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ વચ્ચેનું જોડાણ છે. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ આ રીતે ઘડવામાં આવે છે તે હકીકત 1942 માં તે જ શિક્ષક શ્રી બડરના વિદ્યાર્થી દ્વારા મળી હતી, જેના વિશે મેં તમને કહ્યું હતું. [ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ મૂળરૂપે ઉપયોગ કરીને ઘડવામાં આવ્યું હતું વિભેદક સમીકરણકંપનવિસ્તાર માટે (શ્રોડિન્જર), અને કેટલાક મેટ્રિક્સ ગણિત (હેઈઝનબર્ગ) નો ઉપયોગ કરીને પણ.]

હવે હું ભૌતિકશાસ્ત્રના લઘુત્તમ સિદ્ધાંતો વિશે વાત કરવા માંગુ છું. આ પ્રકારના ઘણા રસપ્રદ સિદ્ધાંતો છે. હું તે બધાને સૂચિબદ્ધ કરીશ નહીં, પરંતુ હું ફક્ત એકનું નામ આપીશ. પાછળથી, જ્યારે આપણે એક ભૌતિક ઘટના પર પહોંચીશું જેના માટે એક ઉત્તમ લઘુત્તમ સિદ્ધાંત છે, ત્યારે હું તમને તેના વિશે કહીશ. હવે હું બતાવવા માંગુ છું કે ક્ષેત્ર માટે વિભેદક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સનું વર્ણન કરવું જરૂરી નથી; તેના બદલે અમુક અભિન્નતા મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ હોવી જરૂરી છે. શરૂ કરવા માટે, ચાલો કેસ લઈએ જ્યારે ચાર્જ ઘનતા દરેક જગ્યાએ જાણીતી હોય, પરંતુ આપણે અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ સંભવિતતા શોધવાની જરૂર છે. તમે પહેલાથી જ જાણો છો કે જવાબ આવો જોઈએ:

સમાન વસ્તુ કહેવાની બીજી રીત એ છે કે અભિન્નનું મૂલ્યાંકન કરવું

;

આ એક વોલ્યુમ ઇન્ટિગ્રલ છે. તે સમગ્ર જગ્યામાં લેવામાં આવે છે. યોગ્ય સંભવિત વિતરણ સાથે, આ અભિવ્યક્તિ ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે.

અમે બતાવી શકીએ છીએ કે ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સ સંબંધિત આ બંને નિવેદનો સમાન છે. ચાલો ધારીએ કે આપણે મનસ્વી કાર્ય પસંદ કર્યું છે. અમે બતાવવા માંગીએ છીએ કે જ્યારે આપણે સંભવિતનું સાચું મૂલ્ય વત્તા નાના વિચલનને ગુણવત્તા તરીકે લઈએ છીએ, ત્યારે નાનાતાના પ્રથમ ક્રમમાં ફેરફાર શૂન્ય સમાન હશે. તેથી અમે લખીએ છીએ

અમે જે શોધી રહ્યા છીએ તે અહીં છે; પરંતુ ભિન્નતા નાનાતાના પ્રથમ ક્રમમાં હોય તે માટે તે શું હોવું જોઈએ તે જોવા માટે આપણે અલગ અલગ હોઈશું. પ્રથમ ટર્મમાં આપણે લખવાની જરૂર છે

માત્ર પ્રથમ ઓર્ડર શબ્દ જે બદલાશે તે છે:

બીજી ટર્મમાં, ઇન્ટિગ્રેન્ડ ફોર્મ લેશે

બદલાતા ભાગ અહીં છે. માત્ર બદલાતી શરતોને છોડીને, આપણે અભિન્નતા મેળવીએ છીએ

.

આને વધુ અને વધુ એકીકૃત કરવાની જરૂર છે. અને અહીં તે જ યુક્તિ પોતાને સૂચવે છે: છુટકારો મેળવવા માટે, અમે ભાગો દ્વારા એકીકૃત કરીએ છીએ. આના સંદર્ભમાં વધારાના તફાવત તરફ દોરી જશે. આ એ જ મૂળભૂત વિચાર છે જેનો ઉપયોગ આપણે સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝથી છુટકારો મેળવવા માટે કર્યો હતો. અમે સમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

.

એકીકૃત શબ્દ શૂન્યની બરાબર છે, કારણ કે આપણે અનંત પર શૂન્યને સમાન ગણીએ છીએ. (આ પર અને અદ્રશ્ય થવાને અનુરૂપ છે. તેથી અમારો સિદ્ધાંત નીચે પ્રમાણે વધુ ચોક્કસ રીતે ઘડવામાં આવ્યો છે: સાચા માટે તે અનંતમાં સમાન મૂલ્યો ધરાવતા અન્ય કોઈપણ કરતાં ઓછું છે.) પછી આપણે સાથે અને સાથે તે જ કરીશું. આપણું અભિન્ન માં ફેરવાય છે

.

આ ભિન્નતા કોઈપણ મનસ્વી માટે શૂન્યની બરાબર હોય તે માટે, પરનો ગુણાંક શૂન્યની બરાબર હોવો જોઈએ. અર્થ,

અમે અમારા જૂના સમીકરણ પર પાછા ફર્યા છીએ. આનો અર્થ એ છે કે અમારી "ન્યૂનતમ" દરખાસ્ત સાચી છે. જો ગણતરીમાં થોડો ફેરફાર કરવામાં આવે તો તેને સામાન્ય બનાવી શકાય છે. ચાલો પાછા જઈએ અને ભાગો દ્વારા એકીકૃત કરીએ, પરંતુ ઘટકો દ્વારા દરેક વસ્તુનું વર્ણન કરીએ. ચાલો નીચેની સમાનતા લખીને શરૂઆત કરીએ:

ડાબી બાજુને અલગ કરીને, હું બતાવી શકું છું કે તે જમણી બાજુ બરાબર છે. આ સમીકરણ ભાગો દ્વારા એકીકરણ કરવા માટે યોગ્ય છે. અમારા અભિન્નમાં અમે દ્વારા બદલો અને પછી તેને વોલ્યુમ પર એકીકૃત કરો. વોલ્યુમ પર એકીકરણ પછી વિચલન સાથેનો શબ્દ સપાટી પરના અભિન્ન દ્વારા બદલવામાં આવે છે:

અને કારણ કે આપણે સમગ્ર જગ્યા પર એકીકૃત થઈએ છીએ, આ અભિન્ન સપાટી અનંત પર રહે છે. આનો અર્થ છે, અને આપણને સમાન પરિણામ મળે છે.

માત્ર હવે આપણે એવી સમસ્યાઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે સમજવાનું શરૂ કર્યું છે જેમાં આપણે જાણતા નથી કે તમામ શુલ્ક ક્યાં સ્થિત છે. ચાલો આપણે એવા કંડક્ટરો ધરાવીએ કે જેના પર કોઈક રીતે ચાર્જ વહેંચવામાં આવે છે. જો તમામ વાહક પરની સંભવિતતાઓ નિશ્ચિત છે, તો અમારો લઘુત્તમ સિદ્ધાંત હજુ પણ લાગુ થવાની મંજૂરી છે. અમે તમામ કંડક્ટરની બહાર આવેલા પ્રદેશમાં જ એકીકરણ હાથ ધરીશું. પરંતુ કારણ કે આપણે કંડક્ટર પર, પછી તેમની સપાટી પર, અને સપાટીના અભિન્ન પર બદલી શકતા નથી

શૂન્ય પણ છે. બાકીનું વોલ્યુમ એકીકરણ

માત્ર કંડક્ટર વચ્ચેની જગ્યામાં જ કરવાની જરૂર છે. અને આપણે, અલબત્ત, ફરીથી પોઈસન સમીકરણ મેળવીએ છીએ

તેથી, અમે બતાવ્યું છે કે જ્યારે કંડક્ટર વચ્ચેની જગ્યામાં ગણતરી કરવામાં આવે ત્યારે પણ આપણું પ્રારંભિક અભિન્ન ન્યૂનતમ પહોંચે છે, જેમાંથી દરેક એક નિશ્ચિત સંભવિત પર છે [આનો અર્થ એ છે કે દરેક પરીક્ષણ કાર્ય વાહકની આપેલ સંભવિતતાની સમાન હોવું જોઈએ, જ્યારે - કંડક્ટરની સપાટી પરના બિંદુઓ].

એક રસપ્રદ છે ખાસ કેસ, જ્યારે શુલ્ક માત્ર કંડક્ટર પર સ્થિત હોય છે. પછી

અને અમારો લઘુત્તમ સિદ્ધાંત અમને જણાવે છે કે દરેક વાહકની પોતાની પૂર્વનિર્ધારિત સંભવિતતા હોય તેવા કિસ્સામાં, તેમની વચ્ચેની જગ્યાઓમાં સંભવિતોને સમાયોજિત કરવામાં આવે છે જેથી અવિભાજ્ય શક્ય તેટલું નાનું હોય. આ કયા પ્રકારનું અભિન્ન છે? સભ્ય એ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર છે. આનો અર્થ એ છે કે અભિન્ન એ ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક ઊર્જા છે. યોગ્ય ક્ષેત્ર એકમાત્ર એવું છે કે જે સંભવિત ઢાળ તરીકે મેળવેલા તમામ ક્ષેત્રોમાંથી, સૌથી ઓછી કુલ ઊર્જા ધરાવે છે.

હું આ પરિણામનો ઉપયોગ અમુક ચોક્કસ સમસ્યાને ઉકેલવા અને તમને બતાવવા ઈચ્છું છું કે આ બધી બાબતોનું વાસ્તવિક વ્યવહારિક મહત્વ છે. ધારો કે હું નળાકાર કેપેસિટરના રૂપમાં બે વાહક લઉં છું.

આંતરિક વાહકની સંભવિતતા, કહો, , અને બાહ્ય વાહકની સંભાવના શૂન્ય છે. આંતરિક વાહકની ત્રિજ્યા , અને બાહ્ય વાહકની - સમાન થવા દો. હવે આપણે એમ માની શકીએ કે તેમની વચ્ચે સંભવિતતાનું વિતરણ મનસ્વી છે. પરંતુ જો આપણે સાચી કિંમત લઈએ અને ગણતરી કરીએ , પછી સિસ્ટમની ઊર્જા હોવી જોઈએ. તેથી, અમારા સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, તમે ક્ષમતાની ગણતરી પણ કરી શકો છો. જો આપણે અયોગ્ય સંભવિત વિતરણ લઈશું અને આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને કેપેસિટરની ક્ષમતાનો અંદાજ કાઢવાનો પ્રયાસ કરીશું, તો આપણે ઘણું બધું મેળવીશું. મહાન મહત્વનિયત પર ક્ષમતા. કોઈપણ અંદાજિત સંભવિત કે જે તેના સાચા મૂલ્ય સાથે બરાબર મેળ ખાતી નથી તે પણ અયોગ્ય મૂલ્ય તરફ દોરી જશે જે જરૂરી કરતાં વધુ છે. પરંતુ જો ખોટી રીતે પસંદ કરેલ સંભવિત હજુ પણ રફ અંદાજ છે, તો કેપેસીટન્સ સારી ચોકસાઈ સાથે મેળવવામાં આવશે, કારણ કે માંની ભૂલ એ ભૂલની સરખામણીમાં બીજા ઓર્ડરની માત્રા છે.

ચાલો ધારીએ કે મને નળાકાર કેપેસિટરની કેપેસીટન્સ ખબર નથી. પછી, તેણીને ઓળખવા માટે, હું આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી શકું છું. જ્યાં સુધી હું સૌથી નીચું મૂલ્ય પ્રાપ્ત ન કરું ત્યાં સુધી હું સંભવિત તરીકે વિવિધ કાર્યોનું પરીક્ષણ કરીશ. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો કહીએ કે મેં એક સંભવિત પસંદ કર્યું છે જે સતત ક્ષેત્રને અનુરૂપ છે. (તમે જાણો છો, અલબત્ત, અહીં ક્ષેત્ર વાસ્તવમાં સ્થિર નથી; તે ની જેમ બદલાય છે.) જો ક્ષેત્ર સ્થિર છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે સંભવિત અંતર પર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે. કંડક્ટર પર વોલ્ટેજ જરૂરી હોય તે માટે, ફંક્શનમાં ફોર્મ હોવું આવશ્યક છે

જ્યારે પણ (અને આ પહેલેથી જ સતત અને રેખીય ક્ષેત્રો વચ્ચે ખૂબ મોટા તફાવત તરફ દોરી જાય છે), ત્યારે પણ મને એકદમ પસાર કરી શકાય તેવું અંદાજ મળે છે. જવાબ, અલબત્ત, અપેક્ષા મુજબ, થોડો વધારે છે. પરંતુ જો મોટા સિલિન્ડરની અંદર પાતળો વાયર મૂકવામાં આવે, તો બધું વધુ ખરાબ લાગે છે. પછી ક્ષેત્ર ખૂબ જ મજબૂત રીતે બદલાય છે અને તેને બદલીને સતત ક્ષેત્રકંઈપણ સારી તરફ દોરી જતું નથી. જ્યારે આપણે જવાબને લગભગ બે વાર વધારે પડતો અંદાજ આપીએ છીએ. નાના લોકો માટે પરિસ્થિતિ વધુ સારી લાગે છે. વિપરીત મર્યાદામાં, જ્યારે વાહક વચ્ચેનું અંતર ખૂબ પહોળું ન હોય (કહો, પર), એક સ્થિર ક્ષેત્ર ખૂબ જ સારો અંદાજો હોવાનું બહાર આવે છે, તે ટકાના દસમા ભાગનું મૂલ્ય ચોક્કસ આપે છે.

હવે હું તમને કહીશ કે આ ગણતરી કેવી રીતે સુધારવી. (અલબત્ત, તમે સિલિન્ડરનો જવાબ જાણો છો, પરંતુ તે જ પદ્ધતિ કેટલાક અન્ય અસામાન્ય કેપેસિટર આકારો માટે કામ કરે છે જેના માટે તમે સાચો જવાબ જાણતા નથી.) આગળનું પગલું એ સાચી સંભવિતતા માટે વધુ સારું અંદાજ શોધવાનું છે જે આપણે કરીએ છીએ. નથી ખબર. ચાલો કહીએ કે તમે સતત વત્તા ઘાતાંક વગેરેનું પરીક્ષણ કરી શકો છો. પરંતુ જો તમે સાચું ન જાણતા હોવ તો તમને શ્રેષ્ઠ અંદાજ મળ્યો છે તે કેવી રીતે જાણી શકાય? જવાબ: ગણતરી કરો; તે જેટલું ઓછું છે, સત્યની નજીક છે. ચાલો આ વિચારનું પરીક્ષણ કરીએ. સંભવિતને રેખીય ન હોવા દો, પરંતુ, કહો, માં ચતુર્ભુજ, અને ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર સ્થિર નહીં, પરંતુ રેખીય છે. સૌથી સામાન્ય ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ, જે તરફ વળે છે. હું મારા ન્યૂનતમ પર પહોંચીશ. સામાન્ય તરફ વળવું વિભેદક કલન, હું ખાતરી કરું છું કે ન્યૂનતમ

1.1 જવાબ અપેક્ષિત 10.492070 ને બદલે 10.492065 નીકળે છે. જ્યાં તમે સારા જવાબની અપેક્ષા રાખશો, તે ખૂબ, ખૂબ જ સારું બહાર વળે છે.

મેં આ બધા ઉદાહરણો આપ્યા છે, સૌ પ્રથમ, લઘુત્તમ ક્રિયાના સિદ્ધાંતના સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યને દર્શાવવા અને સામાન્ય રીતે લઘુત્તમના તમામ સિદ્ધાંતોને દર્શાવવા, અને બીજું, તમને તેમની વ્યવહારિક ઉપયોગિતા બતાવવા માટે, અને ક્ષમતાની ગણતરી કરવા માટે બિલકુલ નહીં. જે આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ. અન્ય કોઈપણ આકાર માટે, તમે કેટલાક અજાણ્યા પરિમાણો (જેમ કે ) સાથે અંદાજિત ફીલ્ડ અજમાવી શકો છો અને તેમને ન્યૂનતમમાં સમાયોજિત કરી શકો છો. તમને ઉત્તમ પ્રાપ્ત થશે સંખ્યાત્મક પરિણામોસમસ્યાઓ કે જે અન્ય કોઈ રીતે ઉકેલી શકાતી નથી.

કુટુંબમાં ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો સિદ્ધાંત સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે; તે આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રની મુખ્ય જોગવાઈઓમાંની એક છે.

સિદ્ધાંતની પ્રથમ રચના 1744માં આપવામાં આવી હતી (P. Maupertuis (ફ્રેન્ચ)) અહીંથી તેમણે પ્રકાશના પ્રતિબિંબ અને રીફ્રેક્શનના નિયમો મેળવ્યા હતા.

ક્લાસિકલ મિકેનિક્સમાં ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો સિદ્ધાંત

ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ, એક સાથે ભૌતિક સિસ્ટમના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને યાદ કરીએ કે આપણે અહીં જેની વાત કરી રહ્યા છીએ તે છે, એટલે કે, એક નિયમ જે દરેક ફંક્શન x(t) સાથે ચોક્કસ સંખ્યાને સાંકળે છે. ક્રિયા આના જેવી લાગે છે: S[x] = \int \mathcal(L)(x(t),\dot(x)(t),t) dt, ક્યાં \mathcal(L)(x(t),\dot(x)(t),t)એવી પ્રણાલીઓ છે જે પ્રક્ષેપણ પર આધાર રાખે છે (એટલે ​​​​કે કોઓર્ડિનેટ્સ, જે બદલામાં સમય પર આધાર રાખે છે), તે સમયની પ્રથમ, અને સ્પષ્ટપણે તેના પર પણ નિર્ભર કરી શકે છે.

ક્રિયાની ગણતરી સંપૂર્ણપણે મનસ્વી માર્ગ માટે કરી શકાય છે, પછી ભલે તે "જંગલી" અને "અકુદરતી" હોય. જો કે, સંભવિત માર્ગોના સમગ્ર સમૂહમાં, ત્યાં માત્ર એક જ છે જેની સાથે શરીર ખરેખર જશે. ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો સિદ્ધાંત એ પ્રશ્નનો ચોક્કસ જવાબ આપે છે કે શરીર ખરેખર કેવી રીતે આગળ વધશે:

આનો અર્થ એ છે કે જો સિસ્ટમનું લેગ્રેન્જિયન આપવામાં આવે છે, તો પછી આપણે તેનો ઉપયોગ બરાબર સ્થાપિત કરવા માટે કરી શકીએ છીએ કે શરીર કેવી રીતે આગળ વધશે.

નોંધ કરો કે જો ગતિનો નિયમ સૈદ્ધાંતિક રીતે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી શોધી શકાય છે, તો તેનો આપમેળે અર્થ થાય છે કે સાચી ગતિ માટે આત્યંતિક મૂલ્ય લેતી કાર્યાત્મક રચના કરવી શક્ય છે.

અમે સંક્ષિપ્તમાં સૌથી નોંધપાત્ર એક જોવામાં ભૌતિક સિદ્ધાંતો- ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો સિદ્ધાંત, અને એક ઉદાહરણ પર સ્થાયી થયા જે તેનો વિરોધાભાસી લાગતું હતું. આ લેખમાં આપણે આ સિદ્ધાંતને થોડી વધુ વિગતમાં જોઈશું અને જોઈશું કે શું થાય છે આ ઉદાહરણમાં.

આ વખતે આપણે થોડી જરૂર પડશે વધુ ગણિત. જો કે, હું ફરીથી લેખનો મુખ્ય ભાગ રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરીશ પ્રાથમિક સ્તર. સહેજ વધુ કડક અને મુશ્કેલ ક્ષણોહું તેમને રંગમાં પ્રકાશિત કરીશ; તમે લેખની મૂળભૂત સમજ સાથે સમાધાન કર્યા વિના તેમને છોડી શકો છો.

સરહદની સ્થિતિ
અમે સૌથી સરળ ઑબ્જેક્ટથી શરૂઆત કરીશું - એક બોલ અવકાશમાં મુક્તપણે ફરે છે, જેના પર કોઈ દળો કાર્ય કરતું નથી. આવો બોલ, જેમ કે જાણીતો છે, એકસરખી અને રેક્ટીલીનરી રીતે આગળ વધે છે. સરળતા માટે, ચાલો ધારીએ કે તે ધરી સાથે આગળ વધે છે

તેની હિલચાલનું ચોક્કસ વર્ણન કરવા માટે, એક નિયમ તરીકે, પ્રારંભિક શરતોનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તે સ્પષ્ટ થયેલ છે કે સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે

બોલ બિંદુ પર હતો

સંકલન સાથે

અને ઝડપ હતી

આ ફોર્મમાં પ્રારંભિક શરતોનો ઉલ્લેખ કર્યા પછી, અમે વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરીએ છીએ વધુ ચળવળબોલ - તે સતત ગતિએ આગળ વધશે, અને સમયની ક્ષણે તેની સ્થિતિ

પ્રારંભિક સ્થિતિ વત્તા વીતેલા સમય દ્વારા ગુણાકારની ઝડપ જેટલી હશે:

સેટિંગની આ રીત પ્રારંભિક શરતોખૂબ જ કુદરતી અને સાહજિક. અમે સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે બોલની ગતિ વિશેની તમામ જરૂરી માહિતીનો ઉલ્લેખ કર્યો છે, અને પછી તેની ગતિ ન્યૂટનના નિયમો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

જો કે આ નથી એકમાત્ર રસ્તોબોલની હિલચાલ સ્પષ્ટ કરે છે. બીજો વિકલ્પ એ છે કે બોલની સ્થિતિ બે અલગ અલગ સમયે સેટ કરવી

તે. તે પૂછો:
1) સમયની ક્ષણે

બોલ બિંદુ પર હતો

(સંકલન સાથે

);
2) સમયની ક્ષણે

બોલ બિંદુ પર હતો

(સંકલન સાથે

અભિવ્યક્તિ "એક બિંદુ પર હતી"

"એનો અર્થ એ નથી કે બોલ પોઈન્ટ પર આરામમાં હતો

સમયની એક ક્ષણે

તે બિંદુ દ્વારા ઉડી શકે છે

આનો અર્થ એ છે કે સમયની ક્ષણે તેની સ્થિતિ

બિંદુ સાથે સુસંગત

આ જ મુદ્દાને લાગુ પડે છે

આ બે સ્થિતિઓ પણ અનોખી રીતે બોલની ગતિ નક્કી કરે છે. તેની હિલચાલની ગણતરી કરવી સરળ છે. બંને શરતોને સંતોષવા માટે, બોલની ઝડપ દેખીતી રીતે હોવી જોઈએ

સમયની ક્ષણે બોલની સ્થિતિ

ફરીથી પ્રારંભિક સ્થિતિ વત્તા વીતેલા સમય દ્વારા ગુણાકારની ઝડપની સમાન હશે:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે કાર્યની પરિસ્થિતિઓમાં અમારે સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર નથી પ્રારંભિક ઝડપ. તે શરતો 1) અને 2) થી વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું.

બીજી રીતે શરતો સેટ કરવી અસામાન્ય લાગે છે. તે અસ્પષ્ટ હોઈ શકે છે કે આ ફોર્મમાં તેમને પૂછવું શા માટે જરૂરી છે. જો કે, ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના સિદ્ધાંતમાં, 1) અને 2) ના સ્વરૂપમાં શરતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, અને કાર્યના સ્વરૂપમાં નહીં. પ્રારંભિક સ્થિતિઅને પ્રારંભિક ગતિ.

ઓછામાં ઓછી ક્રિયા સાથેનો માર્ગ.
હવે વાસ્તવિકતામાંથી થોડો વિરામ લઈએ મફત ચળવળબોલ અને નીચેની સંપૂર્ણ ગાણિતિક સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો. ચાલો આપણે કહીએ કે અમારી પાસે એક બોલ છે જે અમે મેન્યુઅલી અમને ગમે તે રીતે ખસેડી શકીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, આપણે શરતો 1) અને 2) પૂર્ણ કરવાની જરૂર છે. તે. વચ્ચેના સમયમાં

આપણે તેને બિંદુ પરથી ખસેડવું પડશે

આ સંપૂર્ણપણે કરી શકાય છે અલગ રસ્તાઓ. અમે આવી દરેક પદ્ધતિને બોલની હિલચાલનો માર્ગ કહીશું અને તે સમય વિરુદ્ધ બોલની સ્થિતિના કાર્ય દ્વારા વર્ણવી શકાય છે.

ચાલો સમય વિરૂદ્ધ બોલની સ્થિતિના ગ્રાફ પર આમાંના કેટલાક માર્ગને કાવતરું કરીએ:

ઉદાહરણ તરીકે, આપણે સમાન ઝડપે બોલને ખસેડી શકીએ છીએ

(લીલો માર્ગ). અથવા આપણે તેને અડધો સમય પોઈન્ટ પર રાખી શકીએ છીએ

અને પછી ડબલ ઝડપે બિંદુ પર જાઓ

(વાદળી માર્ગ). તમે પહેલા તેને વિરુદ્ધ દિશામાં ખસેડી શકો છો

બાજુ, અને પછી તેને ખસેડો

(બ્રાઉન બોલ). તમે તેને આગળ અને પાછળ ખસેડી શકો છો (લાલ પાથ). સામાન્ય રીતે, જ્યાં સુધી શરતો 1) અને 2) પૂરી થાય ત્યાં સુધી તમે તેને ગમે તે રીતે ખસેડી શકો છો.

આવા દરેક માર્ગ માટે આપણે સંખ્યાને સાંકળી શકીએ છીએ. અમારા ઉદાહરણમાં, એટલે કે. બોલ પર કામ કરતા કોઈપણ દળોની ગેરહાજરીમાં, આ સંખ્યા વચ્ચેના સમયગાળામાં તેની હિલચાલના સમગ્ર સમય માટે કુલ સંચિત ગતિ ઊર્જા જેટલી છે.

અને ક્રિયા કહેવાય છે.

IN આ બાબતે"સંચિત" ગતિ ઊર્જા શબ્દનો અર્થ ખૂબ સચોટ રીતે દર્શાવતો નથી. વાસ્તવમાં, ગતિ ઊર્જા ક્યાંય સંચિત થતી નથી; ગણિતમાં આવા સંચય માટે ખૂબ જ સારો ખ્યાલ છે - અભિન્ન:

ક્રિયા સામાન્ય રીતે પત્ર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

ગતિ ઊર્જાનો અર્થ થાય છે. આ અવિભાજ્યનો અર્થ એ છે કે ક્રિયા એ સમયના સમયગાળા દરમિયાન બોલની સંચિત ગતિ ઊર્જા જેટલી છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 1 કિલો વજનનો દડો લઈએ, કેટલીક સીમાની શરતો સેટ કરીએ અને બે અલગ-અલગ ટ્રેજેકટ્રીઝ માટે ક્રિયાની ગણતરી કરીએ. બિંદુ દો

બિંદુથી 1 મીટરના અંતરે છે

સમય થી દૂર

1 સેકન્ડ માટે. તે. આપણે બોલને ખસેડવો જોઈએ, જે સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે બિંદુ પર હતો

ધરી સાથે 1 મીટરના અંતરે એક સેકન્ડમાં

પ્રથમ ઉદાહરણમાં (લીલા માર્ગ) અમે બોલને એકસરખી રીતે ખસેડ્યો, એટલે કે. સમાન ઝડપે, જે દેખીતી રીતે સમાન હોવી જોઈએ:

m/s સમયની દરેક ક્ષણે બોલની ગતિ ઊર્જા સમાન છે:

1/2 J. એક સેકન્ડમાં, 1/2 J એકઠા થશે

ગતિ ઊર્જા સાથે. તે. આવા માર્ગ માટે ક્રિયા સમાન છે:

હવે ચાલો તરત જ બોલને બિંદુ પરથી ખસેડીએ નહીં

અને ચાલો તેને પોઈન્ટ પર અડધી સેકન્ડ માટે પકડી રાખીએ

અને પછી, બાકીના સમયમાં, અમે તેને સમાનરૂપે બિંદુ પર ખસેડીશું

પ્રથમ હાફ સેકન્ડમાં, બોલ આરામ પર હોય છે અને તેની ગતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે. તેથી, માર્ગના આ ભાગની ક્રિયામાં ફાળો પણ શૂન્ય છે. બીજા અડધા સેકન્ડમાં આપણે બોલને ડબલ ગતિએ ખસેડીએ છીએ:

m/s ગતિ ઊર્જા સમાન હશે

2 J. ક્રિયા માટેના આ સમયગાળાનું યોગદાન અડધી સેકન્ડના 2 J ગણા જેટલું હશે, એટલે કે. 1 જે

સાથે. એ કારણે સામાન્ય ક્રિયાઆવા માર્ગ માટે તે બહાર વળે છે

એ જ રીતે, અમારા દ્વારા આપવામાં આવેલ સીમાની શરતો 1) અને 2) સાથેનો કોઈપણ અન્ય માર્ગ આ બોલની ક્રિયાની બરાબર ચોક્કસ સંખ્યાને અનુરૂપ છે. આવા તમામ માર્ગો વચ્ચે, એક એવો માર્ગ છે જે ઓછામાં ઓછી ક્રિયા ધરાવે છે. તે સાબિત કરી શકાય છે કે આ માર્ગ લીલા માર્ગ છે, એટલે કે. બોલની એકસમાન હિલચાલ. કોઈપણ અન્ય માર્ગ માટે, તે ગમે તેટલું મુશ્કેલ હોય, ક્રિયા 1/2 કરતાં વધુ હશે.

ગણિતમાં, દરેક કાર્ય માટે આવા મેપિંગ ચોક્કસ સંખ્યાકાર્યાત્મક કહેવાય છે. ઘણી વાર ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતમાં આપણા જેવી સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે, એટલે કે. ફંક્શન શોધવા માટે કે જેના માટે ચોક્કસ ફંક્શનલનું મૂલ્ય ન્યૂનતમ હોય. ઉદાહરણ તરીકે, એક મોટી હતી કે કાર્યો ઐતિહાસિક અર્થગણિતના વિકાસ માટે એક કાર્ય છે બેચીસ્ટોક્રોન. તે. વળાંક શોધવો કે જેની સાથે બોલ સૌથી ઝડપથી ફરે છે. ફરીથી, દરેક વળાંક ફંક્શન h(x) દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, અને દરેક ફંકશન સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે, આ કિસ્સામાં બોલને રોલ કરવાનો સમય. ફરીથી, સમસ્યા એવા ફંક્શનને શોધવામાં આવે છે કે જેના માટે ફંક્શનલનું મૂલ્ય ન્યૂનતમ હોય. ગણિતની શાખા જે આવી સમસ્યાઓનો સામનો કરે છે તેને ભિન્નતાઓની કલન કહેવામાં આવે છે.

ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો સિદ્ધાંત.
ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણોમાં, અમારી પાસે બે અલગ અલગ રીતે મેળવવામાં આવેલ બે વિશેષ માર્ગો છે.

પ્રથમ માર્ગ ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમોમાંથી મેળવવામાં આવે છે અને તે મુક્ત બોલના વાસ્તવિક માર્ગને અનુરૂપ છે, જેના પર કોઈ દળો કાર્ય કરતા નથી અને જેના માટે સીમાની સ્થિતિ 1) અને 2) સ્વરૂપમાં નિર્દિષ્ટ છે.

બીજા માર્ગ પરથી મેળવવામાં આવે છે ગાણિતિક સમસ્યાઆપેલ બાઉન્ડ્રી શરતો 1) અને 2) સાથે બોલ શોધવી), જેના માટે ક્રિયા ન્યૂનતમ છે.

ન્યૂનતમ ક્રિયાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે આ બે માર્ગો એકરૂપ હોવા જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તે જાણીતું છે કે બોલ એવી રીતે આગળ વધ્યો છે કે બાઉન્ડ્રી શરતો 1) અને 2) સંતુષ્ટ છે, તો તે આવશ્યકપણે તે જ બાઉન્ડ્રી સાથેના અન્ય બોલની તુલનામાં ન્યૂનતમ હોય તેવા માર્ગ સાથે આગળ વધે છે. શરતો

કોઈ આને માત્ર સંયોગ ગણી શકે. એવી ઘણી સમસ્યાઓ છે જેમાં એકસમાન માર્ગ અને સીધી રેખાઓ દેખાય છે. જો કે, લઘુત્તમ ક્રિયાનો સિદ્ધાંત ખૂબ જ સામાન્ય સિદ્ધાંત તરીકે બહાર આવે છે, જે અન્ય પરિસ્થિતિઓમાં માન્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં બોલની ગતિ માટે. આ કરવા માટે, તમારે માત્ર ગતિ ઊર્જાને ગતિ અને સંભવિત ઊર્જા વચ્ચેના તફાવત સાથે બદલવાની જરૂર છે. આ તફાવતને લેગ્રાંગિયન અથવા લેગ્રેન્જિયન ફંક્શન કહેવામાં આવે છે અને ક્રિયા હવે કુલ સંચિત લેગ્રેંગિયનની સમાન બની જાય છે. વાસ્તવમાં, લેગ્રેન્જ ફંક્શનમાં સિસ્ટમના ગતિશીલ ગુણધર્મો વિશેની તમામ જરૂરી માહિતી શામેલ છે.

જો આપણે એક સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં બોલને એવી રીતે લોન્ચ કરીએ કે તે બિંદુને પસાર કરે

એક સમયે

અને પોઈન્ટ પર પહોંચ્યા

એક સમયે

પછી, ન્યુટનના નિયમો અનુસાર, તે પેરાબોલામાં ઉડશે. તે આ પેરાબોલા છે જે ગતિ સાથે સુસંગત હશે જેના માટે ક્રિયા ન્યૂનતમ હશે.

આમ, સંભવિત ક્ષેત્રમાં ફરતા શરીર માટે, ઉદાહરણ તરીકે, પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં, લેગ્રેન્જ ફંક્શન સમાન છે:

ગતિ ઊર્જા

શરીરની ગતિ પર આધાર રાખે છે, અને સંભવિત તેની સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે, એટલે કે. સંકલન

IN વિશ્લેષણાત્મક મિકેનિક્સકોઓર્ડિનેટ્સનો સંપૂર્ણ સમૂહ જે સિસ્ટમની સ્થિતિ નક્કી કરે છે તે સામાન્ય રીતે એક અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં મુક્તપણે ફરતા બોલ માટે,

કોઓર્ડિનેટ્સનો અર્થ થાય છે

કોઈપણ જથ્થાના ફેરફારનો દર દર્શાવવા માટે, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઘણી વાર તેઓ આ જથ્થા પર ફક્ત એક બિંદુ મૂકે છે. દાખ્લા તરીકે,

કોઓર્ડિનેટ્સના ફેરફારનો દર દર્શાવે છે

અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દિશામાં શરીરની ગતિ

આ સંમેલનોનો ઉપયોગ કરીને, વિશ્લેષણાત્મક મિકેનિક્સમાં આપણા બોલની ગતિ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે

વેગ ઘટકોનો અર્થ થાય છે

કારણ કે લેગ્રેન્જ ફંક્શન ઝડપ અને કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધાર રાખે છે, અને તે સ્પષ્ટપણે સમય પર પણ નિર્ભર કરી શકે છે (સમય પર સ્પષ્ટપણે નિર્ભર હોવાનો અર્થ છે કે મૂલ્ય

સમયની વિવિધ ક્ષણો પર, સમાન ગતિ અને બોલની સ્થિતિ પર), પછી ક્રિયા સામાન્ય રીતે આ રીતે લખવામાં આવે છે

હંમેશા ન્યૂનતમ નથી
જો કે, પાછલા ભાગના અંતે અમે એક ઉદાહરણ જોયું જ્યાં ઓછામાં ઓછી ક્રિયાનો સિદ્ધાંત સ્પષ્ટ રીતે કામ કરતું નથી. આ કરવા માટે, અમે ફરીથી એક મફત બોલ લીધો, જેના પર કોઈ દળો કાર્ય કરતું નથી, અને તેની બાજુમાં વસંત દિવાલ મૂકી.

અમે સીમાની સ્થિતિ એવી રીતે સેટ કરીએ છીએ કે પોઈન્ટ

મેળ ખાય છે. તે. અને આ ક્ષણે

અને આ ક્ષણે

બોલ એ જ બિંદુએ સમાપ્ત થવો જોઈએ

સંભવિત માર્ગોમાંથી એક બોલ સ્થિર રહે છે. તે. વચ્ચેનો સમગ્ર સમયગાળો

તે બિંદુ પર ઊભા રહેશે

આ કિસ્સામાં ગતિ અને સંભવિત ઉર્જા શૂન્યની બરાબર હશે, તેથી આવા માર્ગની ક્રિયા પણ શૂન્યની બરાબર હશે.

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, સંભવિત ઊર્જાને શૂન્યની નહીં, પરંતુ કોઈપણ સંખ્યાની બરાબર લઈ શકાય છે, કારણ કે સંભવિત ઊર્જામાં તફાવત વિવિધ બિંદુઓજગ્યા જો કે, સંભવિત ઉર્જા મૂલ્યમાં ફેરફાર ન્યૂનતમ ક્રિયા સાથેના માર્ગની શોધને અસર કરતું નથી. તે માત્ર એટલું જ છે કે તમામ માર્ગો માટે ક્રિયા મૂલ્ય સમાન સંખ્યામાં બદલાશે, અને લઘુત્તમ ક્રિયા સાથેનો માર્ગ લઘુત્તમ ક્રિયા સાથેનો માર્ગ રહેશે. સગવડ માટે, આપણા બોલ માટે આપણે શૂન્યની બરાબર સંભવિત ઉર્જા પસંદ કરીશું.

સમાન બાઉન્ડ્રી શરતો સાથેનો અન્ય સંભવિત ભૌતિક માર્ગ એ માર્ગ હશે જેમાં બોલ પ્રથમ બિંદુને પસાર કરીને જમણી તરફ ઉડે છે.

એક સમયે

પછી તે સ્પ્રિંગ સાથે અથડાય છે, તેને સંકુચિત કરે છે, સ્પ્રિંગ, સીધું, બોલને પાછળ ધકેલી દે છે, અને તે ફરીથી બિંદુ પરથી ઉડી જાય છે.

તમે બોલની ગતિ પસંદ કરી શકો છો જેથી કરીને તે દિવાલ પરથી ઉછળે અને બિંદુ પસાર કરે

સાચા સમય પર

આવા માર્ગ પરની ક્રિયા આવશ્યકપણે બિંદુ વચ્ચેની ઉડાન દરમિયાન સંચિત ગતિ ઊર્જા જેટલી જ હશે.

અને દિવાલ અને પાછળ. અમુક સમય એવો આવશે કે જ્યારે બોલ સ્પ્રિંગને સંકુચિત કરશે અને તેની સંભવિત ઉર્જા વધશે અને આ સમયગાળા દરમિયાન સંભવિત ઊર્જા ક્રિયામાં નકારાત્મક યોગદાન આપશે. પરંતુ આવા સમયગાળો ખૂબ લાંબો રહેશે નહીં અને અસરને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડશે નહીં.

આકૃતિ બોલની ગતિના બંને ભૌતિક રીતે સંભવિત માર્ગો દર્શાવે છે. લીલો માર્ગ બાકીના બોલને અનુલક્ષે છે, જ્યારે વાદળી માર્ગ વસંતની દિવાલથી ઉછળતા બોલને અનુરૂપ છે.

જો કે, તેમાંથી ફક્ત એક જ ન્યૂનતમ અસર ધરાવે છે, એટલે કે પ્રથમ! બીજા માર્ગમાં વધુ ક્રિયા છે. તે તારણ આપે છે કે આ સમસ્યામાં શારીરિક રીતે બે સંભવિત માર્ગો છે અને માત્ર એક ન્યૂનતમ ક્રિયા સાથે. તે. આ કિસ્સામાં, ઓછામાં ઓછી કાર્યવાહીનો સિદ્ધાંત કામ કરતું નથી.

સ્થિર બિંદુઓ.
અહીં શું ચાલી રહ્યું છે તે સમજવા માટે, ચાલો અત્યારે ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના સિદ્ધાંતને અવગણીએ અને સામાન્ય કાર્યો પર આગળ વધીએ. ચાલો થોડું ફંક્શન લઈએ

અને તેનો ગ્રાફ દોરો:

મેં ગ્રાફ પર ચિહ્નિત કર્યું લીલાચાર વિશેષ બિંદુઓ. આ મુદ્દાઓમાં શું સામ્ય છે? ચાલો કલ્પના કરીએ કે ફંક્શનનો ગ્રાફ એ એક વાસ્તવિક સ્લાઇડ છે જેની સાથે બોલ રોલ કરી શકે છે. ચાર નિયુક્ત બિંદુઓ ખાસ છે કે જો તમે આ બિંદુએ બોલને બરાબર મૂકો છો, તો તે ક્યાંય દૂર નહીં થાય. અન્ય તમામ બિંદુઓ પર, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ E, તે સ્થિર થઈ શકશે નહીં અને નીચે સરકવાનું શરૂ કરશે. આવા બિંદુઓને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. આવા બિંદુઓ શોધવાનું છે ઉપયોગી કાર્ય, કારણ કે કોઈપણ મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ કાર્ય, જો તેમાં તીવ્ર વિરામ ન હોય, તો તે આવશ્યકપણે સ્થિર બિંદુ હોવું આવશ્યક છે.

જો આપણે આ બિંદુઓને વધુ સચોટ રીતે વર્ગીકૃત કરીએ, તો બિંદુ A એ કાર્યનો સંપૂર્ણ લઘુત્તમ છે, એટલે કે. તેનું મૂલ્ય અન્ય કોઈપણ કાર્ય મૂલ્ય કરતાં ઓછું છે. બિંદુ B એ મહત્તમ કે લઘુત્તમ નથી અને તેને સેડલ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે. બિંદુ C ને સ્થાનિક મહત્તમ કહેવામાં આવે છે, એટલે કે. તેમાંનું મૂલ્ય ફંક્શનના પડોશી બિંદુઓ કરતા વધારે છે. અને બિંદુ ડી - સ્થાનિક લઘુત્તમ, એટલે કે તેમાંનું મૂલ્ય ફંક્શનના પડોશી બિંદુઓ કરતાં ઓછું છે.

આવા મુદ્દાઓની શોધ ગણિતની એક શાખા દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે જેને ગણિત વિશ્લેષણ કહેવાય છે. નહિંતર, તેને કેટલીકવાર અમર્યાદિત વિશ્લેષણ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તે અનંત જથ્થા સાથે કામ કરી શકે છે. દૃષ્ટિકોણથી ગાણિતિક વિશ્લેષણસ્થિર બિંદુઓમાં એક વિશેષ ગુણધર્મ હોય છે, જેના કારણે તેઓ મળી આવે છે. આ ગુણધર્મ શું છે તે સમજવા માટે, આપણે આ બિંદુઓથી ખૂબ જ નાના અંતરે કાર્ય કેવું દેખાય છે તે સમજવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અમે માઇક્રોસ્કોપ લઈશું અને તેના દ્વારા અમારા બિંદુઓ પર જોઈશું. આકૃતિ દર્શાવે છે કે વિવિધ વિસ્તરણ પર વિવિધ બિંદુઓની નજીકમાં કાર્ય કેવું દેખાય છે.

તે જોઈ શકાય છે કે ખૂબ ઊંચા વિસ્તરણ પર (એટલે ​​​​કે ખૂબ જ નાના વિચલનો x માટે) સ્થિર બિંદુઓ બરાબર સમાન દેખાય છે અને બિન-સ્થિર બિંદુથી ખૂબ જ અલગ છે. આ તફાવત શું છે તે સમજવું સરળ છે - જ્યારે સ્થિર બિંદુ પર કાર્યનો ગ્રાફ વધે ત્યારે સખત આડી રેખા બની જાય છે, અને બિન-સ્થિર બિંદુ પર તે વલણવાળી રેખા બની જાય છે. તેથી જ સ્થિર બિંદુ પર સ્થાપિત બોલ નીચે રોલ કરશે નહીં.

સ્થિર બિંદુ પર ફંક્શનની હોરિઝોન્ટાલિટી અલગ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે: સ્થિર બિંદુ પરનું કાર્ય તેની દલીલમાં ખૂબ જ નાના ફેરફાર સાથે વ્યવહારીક રીતે બદલાતું નથી.

પણ દલીલ પોતે ફેરફાર સાથે સરખામણી. નાના ફેરફાર સાથે બિન-સ્થિર બિંદુ પર કાર્ય

ફેરફારના પ્રમાણમાં બદલાય છે

અને ફંક્શનનો ઢોળાવ જેટલો વધારે છે, બદલાતી વખતે ફંક્શન વધુ બદલાય છે

વાસ્તવમાં, જેમ જેમ કાર્ય વધે છે, તેમ તેમ તે પ્રશ્નના બિંદુ પરના ગ્રાફના સ્પર્શક જેવું બને છે.

કડક પર ગાણિતિક ભાષાઅભિવ્યક્તિ "બિંદુ પર કાર્ય વ્યવહારીક રીતે બદલાતું નથી

બહુ ઓછા ફેરફાર સાથે

" મતલબ કે ફંક્શન બદલવા અને તેની દલીલ બદલવા વચ્ચેનો સંબંધ

જ્યારે 0 તરફ વલણ ધરાવે છે

0 તરફ વલણ:

$$display$$lim_(∆x to 0) frac (∆y(x_0))(∆x) = lim_(x થી 0) frac (y(x_0+∆x)-y(x_0))(∆x) = 0$$ડિસ્પ્લે$$

બિન-સ્થિર બિંદુ માટે, આ ગુણોત્તર બિન-શૂન્ય સંખ્યા તરફ વલણ ધરાવે છે, જે આ બિંદુ પર કાર્યની ઢાળની સ્પર્શક સમાન છે. આ સમાન સંખ્યાને આપેલ બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન કહેવામાં આવે છે. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન બતાવે છે કે જ્યારે આપેલ બિંદુની આસપાસ ફંક્શન કેટલી ઝડપથી બદલાય છે નાનો ફેરફારતેણીની દલીલ

આમ, સ્થિર બિંદુઓ એવા બિંદુઓ છે કે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન 0 બરાબર છે.

સ્થિર માર્ગો.
સ્થિર બિંદુઓ સાથે સામ્યતા દ્વારા, અમે સ્થિર માર્ગની વિભાવના રજૂ કરી શકીએ છીએ. ચાલો યાદ રાખીએ કે દરેક માર્ગ ચોક્કસ ક્રિયા મૂલ્યને અનુરૂપ છે, એટલે કે. અમુક સંખ્યા. પછી ત્યાં એક માર્ગ હોઈ શકે છે જેમ કે સમાન સીમાની પરિસ્થિતિઓ સાથે તેની નજીકના માર્ગો માટે, અનુરૂપ ક્રિયા મૂલ્યો સ્થિર માર્ગની ક્રિયાથી વ્યવહારીક રીતે અલગ નહીં હોય. આવા માર્ગને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સ્થિરની નજીકના કોઈપણ માર્ગમાં ક્રિયા મૂલ્ય હશે જે આ સ્થિર માર્ગની ક્રિયાથી ખૂબ જ ઓછું અલગ હશે.

ફરીથી, ગાણિતિક ભાષામાં, "થોડો અલગ" નીચેના ધરાવે છે ચોક્કસ અર્થ. ચાલો ધારીએ કે આપણી પાસે આપેલ કાર્યક્ષમતા છે

જરૂરી સીમા શરતો સાથેના કાર્યો માટે 1) અને 2), એટલે કે.

ચાલો ધારીએ કે માર્ગ

- સ્થિર.

આપણે કોઈપણ અન્ય કાર્ય લઈ શકીએ છીએ

જેમ કે છેડે તે શૂન્ય મૂલ્યો લે છે, એટલે કે.

0. ચાલો ચલ પણ લઈએ

જે આપણે ઓછા અને ઓછા કરીશું. આ બે કાર્યો અને એક ચલ

આપણે ત્રીજું કાર્ય કંપોઝ કરી શકીએ છીએ

જે સીમાની શરતોને પણ સંતોષશે

જ્યારે ઘટે છે

માર્ગ અનુરૂપ કાર્ય

માર્ગની નજીક અને નજીક મળશે

તદુપરાંત, નાના પર સ્થિર માર્ગ માટે

પ્રક્ષેપણ માટે કાર્યાત્મક મૂલ્ય

માટે ફંક્શનલના મૂલ્યથી બહુ ઓછું અલગ હશે

ની સરખામણીમાં પણ

$$display$$lim_(ε થી 0) frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=lim_(ε થી 0) frac (S(x(t)+εg(t) ))-S(x(t)))ε = 0$$ડિસ્પ્લે$$

તદુપરાંત, આ કોઈપણ માર્ગ માટે સાચું હોવું જોઈએ

સીમાની શરતો સંતોષવી

ફંક્શનમાં નાના ફેરફાર સાથે ફંક્શનલમાં ફેરફાર (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ફંક્શનલમાં ફેરફારનો રેખીય ભાગ, ફંક્શનમાં ફેરફારના પ્રમાણસર)ને ફંક્શનલની ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે.

નામ "વિવિધતાઓનું કેલ્ક્યુલસ" શબ્દ "વિવિધતા" પરથી આવે છે.

સ્થિર માર્ગ માટે, કાર્યાત્મકની વિવિધતા

સ્થિર કાર્યો શોધવા માટેની પદ્ધતિ (માત્ર ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના સિદ્ધાંત માટે જ નહીં, પણ અન્ય ઘણી સમસ્યાઓ માટે પણ) બે ગણિતશાસ્ત્રીઓ - યુલર અને લેગ્રેન્જ દ્વારા મળી. તે તારણ આપે છે કે સ્થિર કાર્ય, જેનું કાર્યાત્મક અભિન્ન ક્રિયા અભિન્ન સમાન અભિન્ન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તેણે ચોક્કસ સમીકરણને સંતોષવું આવશ્યક છે, જેને હવે યુલર-લેગ્રેંજ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

સ્થિર ક્રિયાનો સિદ્ધાંત.
ટ્રેજેકટ્રીઝ માટે ન્યૂનતમ ક્રિયા સાથેની પરિસ્થિતિ ફંક્શન માટે ન્યૂનતમ સાથેની પરિસ્થિતિ જેવી જ છે. ઓછામાં ઓછી અસર થાય તે માટે, તે સ્થિર માર્ગ હોવો આવશ્યક છે. જો કે, તમામ સ્થિર માર્ગો ન્યૂનતમ ક્રિયાના માર્ગો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સ્થિર માર્ગની સ્થાનિક રીતે ન્યૂનતમ અસર થઈ શકે છે. તે. તેની ક્રિયા અન્ય પડોશી માર્ગ કરતા ઓછી હશે. જો કે, ક્યાંક દૂર અન્ય માર્ગો હોઈ શકે છે જેના માટે ક્રિયા પણ ઓછી હશે.

તે તારણ આપે છે કે વાસ્તવિક સંસ્થાઓ ઓછામાં ઓછી ક્રિયા સાથે માર્ગ સાથે આગળ વધે તે જરૂરી નથી. તેઓ સ્પેશિયલ ટ્રેજેકટ્રીઝના વિશાળ સમૂહ સાથે આગળ વધી શકે છે, એટલે કે સ્થિર માર્ગ. તે. શરીરનો વાસ્તવિક માર્ગ હંમેશા સ્થિર રહેશે. તેથી, ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના સિદ્ધાંતને વધુ યોગ્ય રીતે સ્થિર ક્રિયાનો સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે. જો કે, સ્થાપિત પરંપરા અનુસાર, તેને ઘણીવાર લઘુત્તમ ક્રિયાનો સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે, જે ફક્ત લઘુત્તમતા જ નહીં, પણ ગતિની સ્થિરતા પણ સૂચવે છે.

હવે આપણે ગાણિતિક ભાષામાં સ્થિર ક્રિયાના સિદ્ધાંતને લખી શકીએ છીએ, કારણ કે તે સામાન્ય રીતે પાઠ્યપુસ્તકોમાં લખવામાં આવે છે:

આ સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ છે, એટલે કે. સંખ્યાઓનો સમૂહ જે સિસ્ટમની સ્થિતિને વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સના ફેરફારના દર.

લેગ્રેન્જ ફંક્શન કે જે સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સ, તેમના વેગ અને સંભવતઃ સમય પર આધાર રાખે છે.

એક ક્રિયા જે સિસ્ટમના ચોક્કસ માર્ગ પર આધાર રાખે છે (દા.ત.

સિસ્ટમના વાસ્તવિક માર્ગો સ્થિર છે, એટલે કે. તેમના માટે ક્રિયાની વિવિધતા

જો આપણે બોલ અને સ્થિતિસ્થાપક દિવાલ સાથેના ઉદાહરણ પર પાછા આવીએ, તો હવે આ પરિસ્થિતિની સમજૂતી ખૂબ જ સરળ બની જાય છે. માટે આપેલ છે બંધારણીય શરતો, સીમાંકિત નિયમોકે બોલ જોઈએ અને દરમિયાન

અને દરમિયાન

બિંદુ પર રહો

બે સ્થિર માર્ગો છે. અને બોલ વાસ્તવમાં આમાંના કોઈપણ માર્ગ સાથે આગળ વધી શકે છે. સ્પષ્ટ રીતે બોલમાંથી એકને પસંદ કરવા માટે, તમે બોલની હિલચાલ પર લાદી શકો છો વધારાની સ્થિતિ. ઉદાહરણ તરીકે, કહો કે બોલ દિવાલથી ઉછળવો જોઈએ. પછી માર્ગ અસ્પષ્ટપણે નક્કી કરવામાં આવશે.

કેટલાક નોંધપાત્ર પરિણામો ઓછામાં ઓછા (વધુ ચોક્કસ રીતે સ્થિર) ક્રિયાના સિદ્ધાંતને અનુસરે છે, જેની આપણે આગળના ભાગમાં ચર્ચા કરીશું.