Atsitiktinių dydžių konvergencijos tikimybių pavyzdžiai. Atsitiktinių dydžių konvergencija

Sekos atsitiktiniai dydžiai X 1, X 2 , . . ., X n, . . ., apibrėžtas tam tikroje atsitiktinio dydžio tikimybių erdvėje X, apibrėžiamas taip: jei dėl kokių nors
Matematikoje Analizuojant ši konvergencija vadinama matų konvergencija. Nuo N iki E. išteka paskirstymo konvergencija.
V. I. Bityutskovas.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija.

I. M. Vinogradovas.

1977–1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra „KONVERGENCIJA TIKIMYBĖJE“ kituose žodynuose: - ... Vikipedija

Konvergencija su viena tikimybe, atsitiktinių dydžių sekos konvergencija X1, X2, . . ., X p. . ., apibrėžta tam tikroje tikimybių erdvėje atsitiktiniam dydžiui X, apibrėžtam taip: (arba a.s.), jei B matematinė... ...

Matematinė enciklopedija Tikimybių teorijoje atsitiktinių dydžių konvergencijos tipas. Turinys 1 Apibrėžimas 2 Pastabos ... Vikipedija Matematikoje konvergencija reiškia, kad begalinė seka arba begalinės serijos suma arba

netinkamas integralas

turėti ribą. Sąvokos yra prasmingos savavališkoms sekoms, serijoms ir integralams: sekos riba... ... Vikipedija Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Konvergencija. Funkcijų seka beveik visur susilieja į ribinę funkciją, jei taškų, kuriems nėra konvergencijos, matas yra nulis. Turinys 1 Apibrėžimas 1.1 Terminas ... VikipedijaŠis terminas turi kitas reikšmes, žr. Konvergencija. Funkcinės analizės konvergencija, tikimybių teorija ir

susijusios disciplinos

išmatuojamų funkcijų arba atsitiktinių dydžių konvergencijos tipas. Apibrėžimas Leisti erdvę su... ... Vikipedija - (pagal tikimybę) funkcinėje analizėje, tikimybių teorijoje ir susijusiose disciplinose – tai išmatuojamų funkcijų (atsitiktinių kintamųjų), apibrėžtų erdvėje su matu (tikimybių erdvė), konvergencijos tipas. Apibrėžimas: Tegul tarpas turi matą... ... Vikipedija Matematinė sąvoka, reiškianti, kad kai kurie kintamas kiekis

Tas pats kaip tikimybės konvergencija... - ... Vikipedija

Bendras principas toks bendras veiksmas atsitiktiniai veiksniai lemia kai kuriuos labai bendrosios sąlygos iki rezultato, beveik nepriklausomo nuo atsitiktinumo. Susiliejimo dažnis atsitiktinis įvykis su jo tikimybe skaičiui didėjant.... - ... Vikipedija

Knygos

• Tikimybių teorija ir matematinė statistika uždaviniuose Daugiau nei 360 uždavinių ir pratimų, Borzykh D.. Siūlomame vadove yra uždavinių įvairių lygių sudėtingumo. Tačiau pagrindinis dėmesys skiriamas vidutinio sudėtingumo užduotims. Tai daroma sąmoningai siekiant paskatinti mokinius...
• Tikimybių teorija ir matematinė statistika uždaviniuose. Daugiau nei 360 užduočių ir pratimų, Borzykh D.A.. Siūlomame vadove pateikiamos įvairaus sudėtingumo užduotys. Tačiau pagrindinis dėmesys skiriamas vidutinio sudėtingumo užduotims. Tai daroma sąmoningai siekiant paskatinti mokinius...

Nuorašas

1 S.Ya. Shatskikh Paskaitos apie tikimybių teoriją Atsitiktinių dydžių sekų konvergencijos tipai Tikimybių konvergencijos projektas. Darysime prielaidą, kad visi mus dominantys atsitiktiniai dydžiai yra apibrėžti vienoje tikimybių erdvėje Ω, A, ). Prisiminkime atsitiktinių dydžių tikimybės konvergencijos apibrėžimą, su kuriuo susidūrėme studijuodami dėsnį dideli skaičiai P. L. pavidalu. Čebyševa. Apibrėžimas 1. Sakoma, kad atsitiktinių dydžių seka X n (ω)) susilieja su atsitiktiniu dydžiu X(ω) tikimybe, jei bet kuriam ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, n. Pavadinimas: X n (ω) X(ω). Tikimybių konvergencija yra pilnas matavimo konvergencijos analogas, apie kurį kalbama funkcinės analizės ir „Lebesgue integralo“ kursuose. Teorema. Jei n X n (ω) X(ω), X n (ω) Y (ω), tai ω : X(ω) = Y (ω)) = 1 (ribos unikalumas beveik tikras). Teorema. Jei n X n (ω) X(ω), Y n (ω) Y (ω), tada 1 ax n (ω) + b Y n (ω) 2 X n (ω) Y n (ω) ax( ω) + b Y (ω) 3 X n (ω) X(ω) Y (ω), X(ω). (a, b const), teorema. Atsitiktinių dydžių X(ω), Y (ω) funkcinis ) X(ω) Y (ω) d(x(ω), Y (ω)) = M 1 + X(ω) Y (ω) 1

2 nurodo metriką atsitiktinių dydžių erdvėje 1. Konvergencija šioje metrikoje yra lygiavertė tikimybės konvergencijai. Įrodymas. Pirmiausia įrodome konvergencijų lygiavertiškumą. Apsvarstykite galimybę padidinti pusiau ašį; A = B() - atkarpos Borelio σ algebra; Lebesgue matas. Nustatykime [ k 1 Xn(ω) k:= 1 A k n (ω), kur A k n = n, k ], k = 1, n. n Panagrinėkime atsitiktinių dydžių seką X 1 1(ω), X 1 2(ω), X 2 2(ω), X 1 3(ω), X 2 3(ω), X 3 3(ω),. .. (6) Aišku, kad bet kuriai ω sudaryta seka yra begalinių nulių ir vienetų sekų sąjunga. Todėl bet kuriame taške ω ši seka neturi ribų ir jos konvergencijos rinkinys yra tuščias. Kita vertus, esant bet kuriam ε (0, 1) ω : Xn(ω) k > ε) = 1, k = 1, n, n, todėl seka (6) konverguoja pagal tikimybę (identiškai) nuliui. Nors tikimybės konvergencija nereiškia beveik tam tikro konvergencijos, ši teorema vis dėlto galioja. 4 teorema (F. Riesz). Jei n X n (ω) X(ω), tai yra tokia poseka n k ), kad k X nk (ω) a.s. X(ω). 7

8 Įrodymas 3. Pirmiausia sukonstruojame reikiamą poseką n k ). Nustatykime n 0 = 1 ir tada, kai k N, indukcija n k apibrėžkime kaip mažiausią natūralusis skaičius, kurioms tenkinamos nelygybės: n k > n k 1, ω : X nk (ω) X(ω) 1 )< 1 k 2 k Такое число существует в силу сходимости по вероятности ω : X n (ω) X(ω) 1 } 0, (n). k Теперь установим сходимость X nk (ω) п.н. X(ω), (k). Ввиду соотношения (9) (см. доказательство теоремы 2) } ω : sup X nk (ω) X(ω) >ε k m = k=m ω : X nk (ω) X(ω) > ε ). Todėl ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m ω : X nk (ω) X(ω) > ε ). k=m () Bet kuriam ε > 0 yra natūralus M ε, todėl, jei m > M ε 1 m< ε. m >M ε pasirinkimu n k ω : X nk (ω) X(ω) > ε ) k=m k=m ω : X nk (ω) X(ω) > 1 k ) k=m 1 2 k. Taigi, atsižvelgę ​​į (), turėsime ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m k=m 1 2 k. Perėjimas prie ribos šioje nelygybėje kaip m, dėl sumos baigtinumo geometrinė progresija, gauname ) lim ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε = 0. m k m Mūsų teoremai įrodyti belieka taikyti beveik tam tikrą konvergencijos kriterijų (žr. 2 teoremą). 3 Ši teorema aptariama funkcinės analizės kurse. 8

9 Konvergencijos matavimo klausimas yra beveik tikras. Beveik neabejotinai panagrinėkime konvergencijos matavimo klausimą. Kaip matysime, paprastai kalbant, atsakymas į šį klausimą yra neigiamas: skirtingai nei tikimybės konvergencija, konvergencija beveik neabejotinai yra nematuojama. Tačiau čia reikia pateikti keletą pastabų. Yra tikimybių erdvių, kurių tikimybės konvergencija yra lygi beveik tam tikrai konvergencijai, pavyzdžių. Tokiose erdvėse kiekviena atsitiktinių dydžių seka, kurios tikimybė konverguoja, beveik neabejotinai yra konverguojanti. Esant tokiai situacijai, konvergencija beveik neabejotinai yra matuojama dėl tikimybės konvergencijos matavimo (žr. teoremą?). Tačiau kitaip, kaip rodo ši teorema, konvergencijos matavimas beveik neabejotinai neįmanomas. 5 teorema. Jei tam tikroje tikimybių erdvėje apibrėžtoje atsitiktinių dydžių aibėje konvergencijos su tikimybe viena ir konvergencijos tikimybe sąvokos nesutampa, tai tokiai atsitiktinių dydžių aibei nėra metrikos, kurioje konvergencija būtų lygiavertė beveik tam tikra konvergencija. Įrodymas. Tarkime priešingai, t.y. atsitiktinių dydžių aibėje yra metrika ρ (,), atitinkanti beveik tam tikrą konvergenciją: n X n (ω) a.s. X(ω) ρ (X n (ω), X(ω)) 0. Panagrinėkime atsitiktinių dydžių seką X n (ω)), kuri konverguoja į atsitiktinį X(ω) tikimybę, bet beveik neabejotinai 4 Tada, viena vertus, kai kuriai δ > 0 egzistuoja poseka n k , kurios visiems nariams galioja nelygybė ρ (X nk (ω), X(ω)) > δ. () Kita vertus, tikimybės konvergencija išsaugoma: X nk (ω) X(ω), k. Tačiau remiantis 4 teorema, galima teigti, kad poseka n k ) turi „poseką“ n km ), kuriai m Todėl X nkm (ω) a.s. X(ω). lim m ρ (X nkm (ω), X(ω)) = 0, o tai prieštarauja (). Teorema įrodyta. Dabar pateikiame tikimybių erdvių, kurių tikimybės konvergencija yra lygiavertė beveik tam tikrai konvergencijai, pavyzdžius. Pirmiausia prisiminkime atominės tikimybių erdvės 5 apibrėžimą (žr. TV ir MS enciklopediją, redagavo Yu.V. Prokhorov, Neveu J. "MOTV"). 4 Tokios sekos pavyzdys buvo aptartas aukščiau. 5 Grubiai tariant, atominę tikimybių erdvę sudaro baigtinė arba suskaičiuojama taškų rinkinys, kurių kiekvienas turi teigiamą tikimybę. Baigtinės atominės erdvės pavyzdys yra Bernulio schema. 9

10 Apibrėžimas. Tikimybių erdvėΩ, A, ) vadinama atomine, jei yra baigtinis arba skaičiuojamas Ω padalijimas į atomus A i A: 1 Ω = A i, A i A j =, (i j), I indeksų aibė yra baigtinė arba skaičiuojama. i I 2 A i ) > 0, bet kuriam i I; 3 bet kurio B A atveju kiekvienas atomas A i turi vieną iš dviejų savybių: arba B A i) = 0, arba B A i) = A i); ) 4 A i = A i ) = 1. i I i I 6 teorema. Atominei tikimybių erdvei konvergencija su tikimybe viena yra lygi tikimybės konvergencijai. Įrodymas. Atominėje tikimybių erdvėje tikimybės konvergencija reiškia kiekvieno atomo konvergenciją. Iš tiesų, jei kiekvienam ε > 0, n ω : X n (ω) X(ω) ε) 0, tai bet kuriam i I Todėl konvergencijos aibė ω A i: X n (ω) X(ω) ε ) 0 ω : X n (ω) X(ω)) turi visus atomus ir todėl jo tikimybė lygi vienetui. Iš čia, naudodami 3 teoremą, gauname savo teoremos įrodymą. komentuoti. Taip pat teisingas ir atvirkštinis 6 teiginys: jei tam tikroje tikimybių erdvėje konvergencijos su tikimybe viena ir konvergencijos tikimybių sąvokos sutampa, tai tokia tikimybių erdvė yra atominė (žr. Neveu „MOTV p. 37; Prokhorov A.V., Ushakov V.G., Ushakov N.G. „Užduočių rinkinys televizijoje 5.25, p. 107.). Vidurkio konvergencija Apibrėžimas 4. Sakoma, kad atsitiktinių dydžių seka X n (ω)) konverguoja eilės p > 0 vidurkiu į atsitiktinį dydį X(ω), jei n M X n (ω) X(ω) p ) 0. Jei p = 2, reiškia konvergenciją vidutiniame kvadrate. Žinoma, kalbėdami apie konvergenciją eilės p vidurkiu, darome prielaidą matematinių lūkesčių baigtinumą M X n (ω) p )<, M X(ω) p } <. В следующей теореме мы установим, что сходимость по вероятности является необходимым условием сходимости в среднем порядка p >0. 6 Mūsų pradiniam tikimybių teorijos kursui šio teiginio įrodymas yra per daug techninis. 10

11 teorema. Jei kai kuriems p > 0 n M X n (ω) X(ω) p ) 0. tai X n (ω) X(ω). Įrodymas. Čebyševas Ir atkreipkite dėmesį, kad P. L. nelygybėje pakanka pereiti iki ribos ties n. X n (ω) X(ω) p > ε)< M X n(ω) X(ω) p } ε 2. X n (ω) X(ω) p >ε) = X n (ω) X(ω) > ε 1/p). Šis paprastas pavyzdys rodo, kad tikimybės konvergencija negali būti pakankama sąlyga vidurkio konvergencijai. Pavyzdys. Laikysime, kad Ω = , A = B(), ) = λ ) yra Lebesgue matas intervale . Tada bet kuriam ε > 0, Tačiau, kai p 1 X(ω) 1, X n (ω), = n, kai ω [ 0, 1/n ], 1, kai ω (1/n, 1 ]. X n () ω) X(ω) > ε) = λ[ 0, 1/n ]) = 1/n 0, n. M X n (ω) X(ω) p ) = n p 1 n = np 1 1 visiems n N. Vidutinis konvergencijos trūkumas šiame pavyzdyje yra dėl to, kad sritis „eina į begalybę“. Kitoje teoremoje svarbus vaidmuo vaidina integruojamųjų atsitiktinių dydžių vienodo ribojimo sąlygą, kuri neleidžia tokiam „nukrypimui“. Teorema. Jei atsitiktinių dydžių sekai X n (ω)) yra tikrasis skaičius 0< C < + такое, что ω : X n (ω) C} = 1, для любого n N, и при n имеет место сходимость по вероятности X n (ω) X(ω), то M X(ω) } C и lim M X n (ω) X(ω) } = 0. Доказательство. Вначале покажем, что из условия равномерной ограниченности случайных величин X n (ω)} с вероятностью единица следует ограниченность предельной случайной величины с вероятностью единица: ω : X(ω) C} = 1. 11

12 Iš tiesų, tikimybės konvergencija reiškia konvergenciją a.s. kai kuriai poseikai Todėl pagal ribų savybes, jei Todėl ir ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1, m. ω ω : X n(m) (ω) X(ω)), tada X(ω) C. ω : X n(m) (ω) X(ω)) ω : X(ω) C) ω : X (ω) C) = 1. Iš čia gauname atsitiktinio dydžio X(ω) M X(ω) ) C matematinio lūkesčio egzistavimą ir ribojimą. Dabar nesunku patikrinti nelygybės ω : X n pagrįstumą. (ω) X(ω) 2C) = 1. Be to, pagal matematinių lūkesčių savybes, MX n (ω)) MX(ω)) M X n (ω) X(ω) ) X n (ω) X( ω) d + X n (ω) X(ω) d ω : X n(ω) X(ω) ε) ω: X n(ω) X(ω) > ε) ε + 2C ω : X n (ω ) X(ω) > ε). Pereinant prie ribos kaip n, dėl ε savavališkumo gauname savo teoremos įrodymą. Kitoje teoremoje vietoj tolygios konstantos ribos sąlygos nagrinėsime silpnesnę (neneigiamo) integruojamo atsitiktinio dydžio vienodo ribos sąlygą. Lebesgue'o teorema apie dominuojančią konvergenciją. Jei atsitiktinių dydžių sekai X n (ω)) yra tokie atsitiktiniai dydžiai X(ω) ir Y (ω), kad 1 X n (ω) X(ω), n, tai n 2 visiems n X n ( ω) Y (ω), – beveik neabejotinai, 3 MY (ω))<, M X(ω) } MY (ω)} < M X n (ω) X(ω) } 0. 12

13 Įrodymas 7. Pirmiausia nustatome nelygybes X(ω) Y (ω), – beveik neabejotinai. Iš atsitiktinių dydžių sekos tikimybių konvergencijos išplaukia, kad konvergencija yra beveik tikra tam tikrai poseei: X n(m) (ω) a.s. X(ω), m. Kitaip tariant, konvergencijos aibės tikimybė lygi vienai ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1. Todėl pereinant prie ribos (m) nelygybėje X n(m) ( ω) Y (ω), bet kuriam ω ω : X n(m) (ω) X(ω)) turėsime Taigi lim X n(m)(ω) = X(ω) Y (ω), m X (ω) Y (ω), Iš to gauname MX(ω)) egzistavimą ir įvertį (beveik tikrai). M X(ω) ) MY (ω)). Todėl ir Įvertinkime dydį = X n (ω) X(ω) 2Y (ω), (beveik tikrai) M X n (ω) X(ω) ) 2MY (ω)). M X n (ω) X(ω) ) = X n (ω) X(ω) d + X n (ω) X(ω) d ω: X n(ω) X(ω) ε) ε + 2 ω: X n(ω) X(ω) > ε) Y (ω) d. () ω: X n(ω) X(ω) > ε) Pagal teoremos 1 sąlygą (tikimybės konvergencija), bet kuriam ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, ( n) . Todėl, naudojant mažos tikimybės aibės integralo lemą, galime teigti, kad lim Y (ω) d = 0. ω: X n(ω) X(ω) > ε) 7 Kaip pažymėjo W. Felleris, „Konvergencijos teorema nurodo vienintelę vietą Lebesgue’o integracijos teorijoje, kur naivūs formalūs veiksmai gali lemti neteisingą rezultatą“. Žr. Feller, t. 2, p.

14 Pereinant į ribą nelygybėje () turėsime 0 lim M X n (ω) X(ω) ) ε. Iš čia, atsižvelgiant į ε > 0 savavališkumą, gauname teoremos įrodymą. komentuoti. Šios teoremos įrodymas detaliai pateiktas kurse „Lebesgue integralas“. Kiek kitokią įrodymo versiją galima rasti knygoje [Širiajevo „Tikimybė“]. Pateiksime be įrodymų dar du klasikinius (realios analizės) rezultatus, kurie dažnai naudojami konvergencijos analizei vidutiniškai. Monotoninės konvergencijos teorema. Jei nemažėjanti neneigiamų atsitiktinių dydžių seka X n (ω)) X n (ω) X n+1 (ω), n = 1, beveik neabejotinai suartėja su atsitiktiniu dydžiu X(ω), tai n MX n (ω)) MX (ω)). komentuoti. Jei matematinis lūkestis MX(ω)) yra baigtinis, tai (dėl monotoniškumo) visų atsitiktinių dydžių MX n (ω)) matematiniai lūkesčiai yra baigtiniai. Mes turime konvergenciją monotoniška sekaĮ baigtinė riba MX n (ω)) MX(ω)). Jei matematinis lūkestis MX(ω)) yra begalinis, tai, darant prielaidą, kad atsitiktinių dydžių MX n (ω) baigtiniai matematiniai lūkesčiai, gauname monotoninės sekos konvergenciją į iki begalinės ribos MX n (ω)) +. Fatou lema. Bet kuriai neneigiamų atsitiktinių dydžių sekai X n (ω)) galioja ši nelygybė: lim MX n (ω)) Mlim X n (ω)). komentuoti. Fatou lemos teiginys rodo, kad nelygybė 2 = lim MX n (ω)) M lim X n (ω)) = 1, kuri įvyko aukščiau pateiktame pavyzdyje, yra pasireiškimas bendras modelis. Užduotis. Jei n M X n (ω) X(ω) p ) 0, tai M X n (ω) p ) M X(ω) p ). Sprendimas. Naudodami G. Minkowskio nelygybę galime užrašyti (M X n (ω) p )) 1/p = (M X n (ω) X(ω) + X(ω) p )) 1/p 14

15 (M X n (ω) X(ω) p )) 1/p + (M X(ω) p )) 1/p. Pereinant prie viršutinė riba, n gauname lim (M X n (ω) p )) 1/p (M X(ω) p )) 1/p. Taigi, naudojant tęstinumą ir monotoniškumą galios funkcija, turėsime lim M X n (ω) p ) M X(ω) p ). () Kita vertus, panašiai samprotaujant, iš nelygybės (M X(ω) p )) 1/p (M X(ω) X n (ω) p )) 1/p + (M X n (ω) p )) 1/ p. gauname M X(ω) p ) lim M X n (ω) p ). Sujungę nelygybes () ir (), gauname savo problemos sprendimą. Teorema. Jei ties n(). M X n (ω) X(ω) p ) 0, tada bet kuriam q (0, p) M X n (ω) X(ω) q ) 0. Įrodymas. A. M. nelygybėje pakanka pereiti prie ribos ties n. Lyapunova (žr. [Širiajevas A.N. Tikimybė.]) (M X n (ω) X(ω) q )) 1/q (M X n (ω) X(ω) p )) 1/p, esant 0< q p. При p = 2 и q = 1 доказательство теоремы можно получить с помощью следующего варианта неравенства Коши-Буняковского M X n (ω) X(ω) } = M X n (ω) X(ω) 1} (M X n (ω) X(ω) 2}) 1/2 (M 1 2 }) 1/2 = (M Xn (ω) X(ω) 2}) 1/2. Пространство L p Ω, A, } Рассмотрим пространство L p Ω, A, } - т.е. множество всех случайных величин X(ω), определенных на Ω, измеримых относительно σ алгебры A и таких, что M X n (ω) p } = X n (ω) p d <. Ω Это пространство вполне аналогично известному из курса функционального анализа линейному пространству L p [ 0,1], которое состоит из всех функций y = f(x) определенных на отрезке [ 0, 1], измеримых по Лебегу и интегрируемых с показателем p по мере Лебега 1 0 f(x) p dx <. 15

16 Nepateikdami išsamių įrodymų, suformuluojame keletą teiginių, susijusių su erdve L p Ω, A, ), kurie yra panašūs į atitinkamus teiginius apie erdvę L p . Funkcija X(ω) p:= (M X(ω) p )) 1/p nurodo normą atsitiktinių dydžių erdvėje 8 L p Ω, A, ) : 1 X(ω) p 0, 2 c X( ω) p = c X(ω) p, c = const, 3 X(ω) + Y (ω) p X(ω) p + Y (ω) p, (Minkovskio nelygybė). Atkreipkite dėmesį, kad aibės L p Ω, A, ) tiesiškumas iš karto išplaukia iš normos savybių. Be to, atsižvelgiant į normos 9 X n (ω) X(ω) p 0 konvergenciją, erdvė L p Ω, A, ) yra baigta. Mūsų atveju išsamumo apibrėžimas yra toks: jei atsitiktinių dydžių seka yra pagrindinė normoje X n (ω)) L p Ω, A, ) X n (ω) X m (ω) p 0, n, m, tada yra toks atsitiktinis dydis X (ω) L p Ω, A, ), kad X n (ω) X(ω) p 0, kai n. Taigi, L p Ω, A, ) yra pilnoji tiesinė normuota erdvė, t.y. Banacho erdvė. Jei p = 2, erdvė L 2 Ω, A, ) yra Hilbertas su skaliarine sandauga 10: X(ω), Y (ω) := MX n (ω)y (ω)) = X n (ω)y ( ω) d. Nes taip įėjo taškinis produktas realiosios vertės atsitiktinių dydžių, G. Minkovskio nelygybė X(ω), Y (ω) X(ω) 2 + Y (ω) 2 Konvergencija pasiskirstyme ir silpna konvergencija 8 Tiksliau, lygiavertiškumo klasių erdvėje atsitiktiniai dydžiai beveik neabejotinai sutampa, nes pagal normos apibrėžimą X(ω) p = 0 X(ω) 0. 9 T.y. konvergencija vidutiniškai su eksponentu p. 10 Mes susiduriame su realios vertės atsitiktiniais dydžiais, todėl antrojo veiksnio kompleksinės konjugacijos ženklo galima praleisti. Ω 16

17 Įveskime atsitiktinių dydžių X n (ω) ir X(ω) pasiskirstymo funkcijų žymėjimą: Be to, per C F F (x) : F n (x) = ω : X n (ω) x), F ( x) = ω : X(ω) x). pažymėsime funkcijos C F:= x R tęstinumo taškų aibę: lim x x F (x) = F (x)). 4 apibrėžimas. Sakoma, kad atsitiktinių dydžių seka X n (ω)) pasiskirstydama konverguoja į atsitiktinį dydį X(ω), jei n F n (x) F (x), kiekviename taške x C F. (11) ) d Pavadinimas: X n (ω) X(ω). 5 apibrėžimas. Jei n F n (x) F (x), kiekviename taške x C F, (12), tada sakome, kad pasiskirstymo funkcijų seka F n (x)) silpnai konverguoja 11 į pasiskirstymo funkciją F (x) ). w Pavadinimas: F n (x) F (x). komentuoti. Jei skirstymo funkcija F (x) yra tolydi visoje realiojoje ašyje (C F = (,)), tai santykiuose (11) ir (12) kalbame apie taškinę konvergenciją. Be to, galima parodyti 12, kad šiuo atveju F n (x) F (x) konvergencija yra vienoda visoje realioje ašyje. w Pastaba. Jei F n (x) F (x), tada x / C F galioja šios nelygybės: 13 F (x) lim F n (x)< lim F n (x) F (x). Пример. Рассмотрим последовательность функций распределения 0, когда x (, 1/n); n F n (x) = x + 1, когда x [ 1/n, 1/n]; 2 2 1, когда x (1/n,), графики которых имеют вид F n (x) 1 1/2 1/n 0 1/n 11 Иногда слабую сходимость называют "сходимостью в основном". 12 См. задачу См. задачу 5. x 17

18 Nesunku pastebėti, kad bet kuriai x (,) lim F n(x) = F (x) = Funkcijos F (x) grafikas atrodo kaip F (x) 0, kai x (, 0); 1/2, kai x = 0; 1, kai x(0,). 1 1/2 0 Kadangi ribinė funkcija F(x) nėra tolydi, ji negali būti skirstymo funkcija. Tačiau kadangi 5 silpnosios konvergencijos apibrėžimas susijęs su pasiskirstymo funkcijų konvergencija, šiame pavyzdyje negalime teigti, kad F n (x) F (x). Tačiau šiek tiek pakeitus ribinę funkciją F (x), galima gauti pasiskirstymo funkciją F (x), prie kurios funkcijos F n (x) silpnai suartės. Iš tiesų, apsvarstykite atsitiktinio dydžio X(ω) pasiskirstymo funkciją 0: 0, kai x (, 0); F(x) = 1, kai x ; A = B() - atkarpos Borelio σ algebra; Lebesgue matas. Pažymime Φ 1 () funkciją, atvirkštinę standartinio Gauso skirstinio funkcijai. Tada Φ(x) = 1 2π x exp) (u2 du. 2 X 2k (ω) = Φ 1 (ω), X 2k 1 (ω) = Φ 1 (ω), ω ; k = 1, 2,.... ω : X n (ω) x) Φ(x), visiems natūraliems n. Todėl seka X n ) (trivialiai) suartėja skirstinyje. Tačiau nesunku pastebėti, kad tikimybės konvergencijos nėra. Iš tiesų, kadangi X 2k (ω) X 2m 1 (ω) 2 Φ 1 (ω), bet kuriam k, m. tada ω : X 2k (ω) X 2m 1 (ω) > ε) ω : Φ 1 (ω) > ε ) [ (ε = 2 1 Φ. 2 2)] Dabar apsvarstysime teiginį, kuris iš tikrųjų yra antroji apibrėžimo versija silpna konvergencija. Ši parinktis geriau tinka silpnai daugiamačių paskirstymo funkcijų konvergencijai nustatyti ir net 20

21 silpna skirstinių konvergencija sudėtingesnėse begalinių matmenų metrinėse erdvėse. 6 teorema. Kad pasiskirstymo funkcijų seka F n (x)) silpnai konverguotų į pasiskirstymo funkciją F (x), būtina ir pakanka tenkinti lygybę lim ϕ(x) df n (x) = ϕ (x) df (x) (15) bet kuriai ištisinei funkcijai ϕ(x), apribotai tikrosios ašies R. Įrodymas. Pirma, parodome, kad silpna konvergencija (12) reiškia lygybę 14 (15). Bet kurio ε > 0 atveju yra teigiamas A(ε) C F, kad pagal pasiskirstymo funkcijos savybes 15 x: x > A(ε)) ​​df (x) = 1 A(ε) A(ε ) df (x) = 1< ε, (16) и, кроме того, найдется натуральное N(ε, A(ε)) такое, что при всех n >N(ε, A(ε)) ​​F n (A(ε)) ​​F (A(ε))< ε, F n (A(ε)) F (A(ε)) < ε. Тогда при всех n >N(ε, A(ε)) ​​x: x > A(ε)) ​​df n (x)< 3ε. (17) Пусть ϕ(x) - непрерывная и ограниченная на вещественной оси R функция. Будем считать, что для всех действительных x ϕ(x) C = const. В силу существования интеграла Римана - Стилтьеса от nuolatinė funkcija iš integruojančios skirstymo funkcijos, taip pat iš šio integralo apibrėžimo kaip integralų sumų 16 ribos, išplaukia, kad bet kuriam ε > 0 yra δ > 0, kad bet kuriai atkarpos daliai [ A(ε), A(ε)], kurio skersmuo yra mažesnis δ > 0, tenkinamos šios nelygybės: A(ε) A(ε) ϕ(x) df (x) S n (δ)< ε, A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) S(δ) < ε. (18) где k 1 k 1 S n (δ) = ϕ(t i) i F n (x), S(δ) = ϕ(t i) i F (x). i=0 i=0 14 Импликация (12) = (15) носит название теоремы Хелли-Брея. 15 Множество точек непрерывности функции распределения всюду плотно на вещественной оси. 16 см. Рудин У. "Основы математического анализа стр

22 Paimkite atkarpos skaidinį [ A(ε), A(ε)] [ A(ε), A(ε)] = A(ε) = x 0< x 1 <... < x k = A(ε)}, считая что все точки деления x i C F, а диаметр разбиения меньше δ. Кроме того, для ε >0 pasirinktam k (atskyrimo taškų skaičius), laikysime anksčiau pasirinktą skaičių N(ε, A(ε)) ​​tokiu dideliu, kad visiems n > N(ε, A(ε)) F n (x i) F (x i)< ε, i = 0, k. k Тогда Поэтому i F n (x i) i F (x i) = F n (x i+1) F n (x i) F (x i+1) + F (x i) F n (x i+1) F (x i+1) + F n (x i) F (x i) < 2 ε, i = 0, k. k S n (δ) S(δ) k 1 ϕ(t i) i F n (x i) i F (x i) C k 2 ε k i=0 = 2 Cε. (19) Тогда из неравенств (18) и (19) получим A(ε) ϕ(x) df (x) A(ε) A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) < 2 ε + 2 C ε. (20) В свою очередь из неравенства (16) и (17) будем иметь ϕ(x) df (x) ϕ(x) df n (x) x: x >A(ε)) x: x > A(ε))< 4 C ε. (21) Собирая вместе неравенства (20) и (21), можно утверждать, что для любого ε >0 yra natūralusis skaičius N(ε, A(ε)), kad visiems n > N(ε, A(ε)) ​​galiotų ši nelygybė: ϕ(x) df (x) ϕ(x) ) df n (x)< 6 C ε + 2 ε. Равенство (15) доказано. Покажем теперь, что из равенства (15) следует слабая сходимость (12). Возьмем x 0 C F и рассмотрим две вспомогательные функции. Функция f ε (1) (x) непрерывна на всей skaičių ašis, yra lygus vienetui ties x x 0 ε, nuliui ties x x 0 ir tiesinis atkarpoje . Funkcija f ε (2) (x) := f ε (1) (x ε). Šių funkcijų grafikai parodyti pav.? 22

23 1 0 f (1) ε f ε (2) x 0 ε x 0 x 0 + ε pav.? x Nesunku pastebėti, kad F n (x 0) = x 0 f ε (2) (x) df n (x) Naudodami sąlygą (15), pereiname prie ribos ties n, f ε (2) (x) ) df n (x). lim F n (x 0) f (2) ε (x) df (x) = x 0 + ε f (2) ε (x) df (x) + x 0 + ε f ε (2) (x) df (x) x 0 +ε 1 df (x) + 0 = F (x 0 + ε). Panašiai samprotaujant, turėsime F n (x 0) = Vadinasi, jei n = x 0 ε x 0 1 df n (x) x 0 lim F n (x 0) f (1) ε (x) df (x) + x 0 ε x 0 x 0 ε f (1) ε (x) df n (x) = f (1) ε (x) df (x) = f ε (1) (x) df n (x). f ε (1) (x) df (x) + f ε (1) (x) df (x) x 0 1 df (x) + 0 = F (x 0 ε). Taigi, gauname nelygybę F (x 0 ε) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0 + ε). 23

24 Perėjimas prie ribos šioje nelygybėje ties ε 0, atsižvelgiant į tai, kad x 0 C F F (x 0) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0). Taigi bet kuriam x 0 C F lim F n(x 0) = F (x 0). Įrodyta lygybė (12), o kartu ir teorema. Pastaba apie Riemann-Stieltjes ir Lebesgue-Stieltjes integralus. Atkreipkite dėmesį, kad Riemann-Stieltjes integralas I (, x0 ](x) df n (x) = lim N L, N L I (, x0 ](x) df n (x) neegzistuoja, jei skirstinio funkcija F n (x) turi nutrūkimas taške x 0. Standartinis šio fakto įrodymas yra toks, atsižvelgiant į Riemano-Stieltjeso sumą integralui N L I (, x0 ](x), x 0 (L, N) (), tai lengva padaryti. gaukite lygybę S = n 1 I (, x0 ](ξ i) = I (, x0 ](ξ i0), i=0 kur taškai x 0, ξ i0 vidinius taškus 17 dalinė atkarpa: Tada Kadangi S = x 0, ξ i0 (x i0, x i0 +1). Fn (x i0 +1) F n (x i0), renkantis ξ i0< x 0, 0, при выборе ξ i0 >x 0. F n (x i0 +1) F n (x i0) > 0, tada tokios integralinės sumos negali turėti ribos, nes pertvaros skersmuo linkęs į nulį. Todėl integralas () neegzistuoja Riemann-Stieltjes prasme ir, griežtai tariant, nelygybė (21) negali būti gaunama integruojant (pagal Riemann-Stieltjes) nelygybę (20). Nepaisant to, nelygybę (21) taip pat galima gauti naudojant Riemann-Stieltjes integralą. Tiesą sakant, dėl funkcijos f ε (1) (x) tęstinumo yra Riemann-Stieltjes integralas f ε (1) (x) df n (x), 17 atkarpos, turinčios šią savybę, pertvaros gali turėti savavališkai mažas skersmuo. 24

25 ir f (1) ε (x) df n (x) = Kadangi visiems x (, x 0 ], tada x 0 f ε (1) (x) df n (x) x 0 x 0 Tačiau, atsižvelgiant į tai , kad f (1) ε (x) = 0, jei x x 0 Panašiai, f (2) ε (x) df n (x) = x 0 f ε (1) (x) df n (x) + f ε ( 1) (x) df n (x 0 f (1) ε (x) 1, 1 df n (x) = F n (x 0) F n () = F n (x 0). 1) (x) df n (x) = 0. x 0 f (2) ε (x) df n (x) + x 0 +ε Nesunku pastebėti, kad iš funkcijos f ε (2) savybių (x) x 0 Todėl f (2) ε (x) df n (x) = F n (x 0 ) df n (x) 0 f (2) ε (x) df n (x); F n (x 0) yra paprasta funkcija, pagal Lebesgue-Stieltjes integralo apibrėžimą turėsime N I (, x0 ](x) df n (x) = 1 (F n (x 0)). F n (L)). Todėl L I ( , x0 ](x) df n (x) = F n (x 0). nauja formuluotė 6 teorema. Norėdami tai padaryti, pažymėkime C(R) funkcijų, kurios yra ištisinės ir apribotos realiąja ašimi, erdvę. Toliau, naudodami savavališką skirstymo funkciją G(x), erdvėje C(R) apibrėžiame tiesinę funkcinę funkciją G(ϕ) := ϕ(x) dg(x), 25 ϕ(x) C(R)

26 Naudojant naują žymėjimą, 6 teoremą galima performuluoti taip. w teorema 6. Silpnoji konvergencija F n (x) F (x) lygi tiesinių funkcinių funkcijų F n (ϕ) F (ϕ) konvergencijai erdvėje C(R). Silpnos konvergencijos matavimas. P. Levy metrika. Savavališko pasiskirstymo funkcijų porai F (x) ir G(x) skaičių tiesėje apsvarstykite funkcinę L(F, G) = inf h > 0: F (x h) h G(x) F (x + h) ) + h), () kuris vadinamas P. Levy atstumu tarp skirstinių F ir G. 7 teorema. Funkcija L(,) apibrėžia metriką pasiskirstymo funkcijų aibėje skaičių tiesėje. Konvergencija šioje metrikoje yra lygi silpnai konvergencijai w F n (x) F (x) L(F n, F) 0, (n). Įrodymas. Teorema įrodyta. d 1 uždavinys. Jei X n X c = const, tai X n Sprendimas. Konstantos c X pasiskirstymo funkcija. F (x) = ω : X(ω) x) = 1 x c, 0 x< c непрерывна во всех точках вещественной оси, кроме точки x = c. Поэтому в этой задаче слабая сходимость означает следующее 1 для x >c, lim F n(x) = 0 x< c. Для любого ε >0 ω : X n (ω) c > ε) = ω : X n (ω)< c ε} + ω : X n (ω) >c + ε). Naudodami akivaizdžius ryšius gauname nelygybę ω : X n (ω)< c ε} ω : X n (ω) c ε} = F n (c ε), ω : X n (ω) >c + ε) = 1 ω : X n (ω) c + ε) = 1 F n (c + ε), ω : X n (ω) c > ε) F n (c ε) + 1 F n (c) + ε). Pereinant prie šios nelygybės ribos, n gauname problemos sprendimą. d d 2 uždavinys. Jei X n (ω) X(ω), o Y n (ω) 0, tai X n (ω) + Y n (ω) X(ω). 26

27 Sprendimas. Tegu F (x) := ω : X(ω) x). Pasirinkus ε > 0, kad x, x ε, x+ε C F būtų nesunku nustatyti inkliuzus ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) ω : Y n ( ω) > ε), Tada ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : Y n (ω) > ε). ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) + ω : Y n (ω) > ε), ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) + ω : Y n (ω) > ε). Todėl, žymėdami F n (x) := ω : X n (ω) x), turėsime F n (x ε) ω : Y n (ω) > ε) ω : X n (ω)+y n (ω). ) x) F n (x+ε)+ω : Y n (ω) > ε). Šioje nelygybėje pereidami prie ribos ties n, atsižvelgdami į tai, kad x ε, x+ε C F, gauname ryšį F (x ε) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x + ε). Dabar pereikime prie ribos, nukreipdami ε 0: F (x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x) ). Todėl lim ω : X n(ω) + Y n (ω) x) = F (x). 3 uždavinys. Jei pasiskirstymo funkcijų seka F n (x)) silpnai konverguoja į pasiskirstymo funkciją F (x) ištisinę visoje realioje ašyje, tai ši konvergencija yra vienoda visoje realiojoje ašyje: F n (x) w F (x), ir F (x) C (,) F n (x) F (x) ant R. Tirpalas. Jei ε > 0, imame natūralią m > 1/ε. Dėl funkcijos F (x) tęstinumo yra taškai x 1<... < x m 1 такие, что F (x i) = i, i = 1,..., m 1. (!) m Ввиду слабой сходимости, в этих точках для всех n, начиная с некоторого, будут выполнены неравенства F n (x i) F (x i) < ε, i = 1,..., m 1. (!!) В силу неубывания функций распределения, а также свойств (!!) и (!) получаем следующие неравенства: при x [ x i, x i+1 ], (i = 1,..., m 2) F n (x) F (x) F n (x i+1) F (x i) F (x i+1) + ε F (x i) = 1 m + ε < 2ε. Аналогично, при x (, x 1 ] F n (x) F (x) F n (x 1) F (x 1) + ε = 1 m + ε < 2ε, 27

28 ir x [ x 1, x 2 ]... [ x m 2, x m 1 ] = F (x 0) F (x 0 1/m). lim X n = x 0 ) lim = 0. m Užduotis 7. Jei pasiskirstymo funkcijų seka F n (x)) susilieja su skirstymo funkcija F (x) visiems x iš kokios nors tankios aibės tikrosioje tiesėje, tai w F n (x)F(x). Sprendimas. Norėdami išspręsti šią problemą, turime įrodyti, kad lim F n(x) = F (x) visiems x C F. () Tegul x C F, tada bet kuriam ε > 0 yra δ 1 (ε) > 0, kad kai tik x S(x, δ 1 (ε)) x: x x< δ 1 (ε)}, то F (x) F (x) < ε. () Рассмотрим всюду плотное на вещественной прямой множество A такое, что lim F n(x) = F (x) для всех x A. () Tогда существует пара точек x, x A таких, что x δ 1 (ε) < x < x, x < x < x + δ 1 (ε). Так как для точек x, x выполняется свойство (), то для любого ε >0 yra N ε N toks, kad kai tik n > N ε, tada F n (x) F (x)< ε и F n (x) F (x) < ε. Следовательно, ввиду (), как только n >N ε, tada F n (x) F (x)< 2ε и F n (x) F (x) < 2ε. 31

32 Taigi, atsižvelgiant į funkcijos F n (x) monotoniškumą visiems n > N ε, gauname nelygybę F n (x) F n (x) F n (x), F n (x) F (x) )< 2ε. Cходимость () доказана. Замечание. Так как множество точек разрыва функции распределения (ввиду монотонности) является не более чем счетным, то множество её точек непрерывности является всюду плотным на вещественной оси. 32

3A PASKAITA (4) Radono Nikodemo teorema Ši pamoka bus skirta Radono Nikodemo teoremos įrodymui. Jo mums prireiks norint įrodyti erdvių L p (Ω) ir (L q (Ω)) * izomorfizmą, kur

5 LABORATORINIS DARBAS PERĖJIMAS IKI RIBOS PO LEBESGO INTEGRALO ŽENKLIU I. Pagrindinės sąvokos ir teoremos Tegul X yra aibė, aibės X poaibių -algebra ir baigtas -addityvas

E.M. RŪDOS MATEMATINĖ ANALIZĖ. SKAIČIUS IR FUNKCINĖS SERIJOS NOVOSIBIRSKAS 200 2 RUSIJOS GOU ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA VPO "NOVOSIBIRSKO VALSTYBINIS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS" E.M. Rudoy MATEMATINĖ ANALIZĖ.

1 paskaita LEBESGO MATO TEORIJA IŠ R 2. 1. Būtinybė plėsti integralo sampratą. Pirmiausia aptarsime Riemano integralo konstrukciją. Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta savo intervale. Apibrėžkime skaidinį

5. Mato teorija, 5 paskaita: išmatuojamos funkcijos Matas ir integralas yra labai artimos sąvokos. Aibės matas yra jos integralas būdinga funkcija. Atvirkščiai, jei erdvėje matuojamas, galima sakyti

Tinkama analizė. 4 paskaita. 2009 m. vasario 25 d. 1 Reali analizė. IV semestras. 2009 m Lektorius Skvorcovas V. A. Rašykite apie klaidas adresu [apsaugotas el. paštas] 4 paskaita 2009 m. vasario 25 d. Lebesgue apibrėžta klasė

Paskutinį kartą atnaujinta: 2008 m. kovo 16 d. Apibrėžčių sąrašas: 1.1 Nepersidengiantys segmentai................................... ................. 2 1.2 Nepersidengiančių segmentų sistema........................ .........

V.V. Žukas, A.M. Kamačkinas 1 Galios serija. Konvergencijos spindulys ir konvergencijos intervalas. Konvergencijos pobūdis. Integracija ir diferenciacija. 1.1 Konvergencijos spindulys ir konvergencijos intervalas. Funkcinis diapazonas

4A PASKAITA Metrinės erdvės 1. Paprasčiausios (ir svarbiausios) metrinių erdvių savybės 1) Atstumo tęstinumas. Nesunku pastebėti, kad „atstumo“ funkcija ρ(x, y) yra ištisinė kiekviename jos argumente.

RUSIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA Federalinis valstybės biudžetas ugdymo įstaiga aukštesnė profesinį išsilavinimą„Novosibirsko nacionalinė tyrimų valstybė

1 paskaita Atsitiktinio proceso samprata ir baigtinių jo skirstinių teorija atsitiktiniai procesai yra tikimybių teorijos dalis. Atsitiktinių procesų teorijos specifika yra ta, kad ji mano

Funkcinės analizės uždavinių sąrašas Tegul tai yra tiesinė normuota erdvė Įrodykite, kad bet kokiems elementams galioja nelygybė iš normos aksiomų:, tada: Ar įmanoma erdvėje

6 paskaita 9 Susitraukimų atvaizdavimo principas Teoremos apie fiksuotas taškas Tegul D yra netiesinis operatorius, paprastai veikiantis iš Banacho erdvės B. Apibrėžimo operatorius D veikia iš Banacho erdvės

2 tema Išsamumas, kompaktiškumas, vidinė metrika. 2.1. Konvergencija ir išsamumas Apibrėžimas 2.1. Metrinės erdvės taškų x 1, x 2,... seka (X, d) vadinama pagrindine, jei kuriai nors.

PASKAITA A Riemann Stieltjes integralas 1. Tegu f n (x) C[; b], g(x) BV[; b], f n (x) f(x) ant [; b]. Tada Iš tiesų, pagal įvertį f n (x) dg (x) f (x) dg (x). F (x)dg(x) F C[;b]V b (g) (1) ir tiesiškumo savybės

Papildoma paskaita 1 METRINĖS TARPES. PRIEDAS 1. Paprasčiausios metrinių erdvių savybės Savybė 1. Atstumo tęstinumas. Nesunku pastebėti, kad „atstumo“ funkcija ρ(x, y) yra ištisinė

G. N. Jakovlevas Funkcijų tarpai UDC 517 Ya47 Vadove yra trumpas įvadasį metrinių, normuotų ir euklido erdvių teoriją, taip pat į teoriją bendrosios funkcijos, ir yra galutinis

1 skyrius. Ribos ir tęstinumas 1. Skaičių rinkiniai 1 0. Realūs skaičiai Iš mokyklinė matematika Jūs žinote natūraliuosius skaičius N sveikuosius skaičius Z racionalius Q ir realiuosius skaičius R natūraliuosius ir sveikuosius skaičius

Ribos ir tęstinumas. Funkcijos riba Tegul funkcija = f) yra apibrėžta kurioje nors taško = a kaimynystėje. Be to, pačiame taške a funkcija nebūtinai yra apibrėžta. Apibrėžimas. Skaičius b vadinamas riba

Paskaita 1. Tikimybių erdvės įvadas (B. Pascal, P. Fermat, H. Huygens, J. Bernoulli, K. Gaussas, P-S. Laplasas, S. Poisson, P. L. Čebyševas, A. N. Kolmogorovas ir kiti šviesuoliai). Atsitiktiniai eksperimentai. Erdvė

8 Kompleksinių skaičių serija Apsvarstykite skaičių eilutę su kompleksiniai skaičiai formos k a, (46), kur (a k) yra duotoji skaičių seka su kompleksiniais terminais k Serija (46) vadinama konvergentine, jei

Maskva Valstybinis universitetas pavadintas M. V. Lomonosovo Skaičiavimo matematikos ir kibernetikos fakulteto katedra Bendroji matematika Funkcinės analizės problemos (V semestras) dėstytojas docentas N. Yu.

A. Yu Pirkovskis Funkcinė analizė 4 paskaita 4.1. Banacho erdvės Prisiminkite, kad seka (x n) metrinėje erdvėje (, ρ) vadinama pagrindine (arba Cauchy seka),

PASKAITOS 8 9 Hille Yosidos teorema S 3. Apibrėžimas ir elementarios savybės maksimalūs monotoniniai operatoriai Šiose dviejose paskaitose simbolis H žymi Hilberto erdvę su skaliru

V.V. Žukas, A.M. Kamachkin 5 Funkcinės sekos ir serijos. Vienoda konvergencija, galimybė pertvarkyti ribinius praėjimus, integruoti ir diferencijuoti serijas ir sekas.

28 skyrius BENDROSIOS FUNKCIJOS 28.1. Pagrindinių ir apibendrintų funkcijų erdvės D, D Apibendrintos funkcijos samprata apibendrina klasikinė koncepcija funkcijas ir leidžia jas išreikšti matematinė forma tokie

21. Kompaktiškumas Kompaktiškumas yra nepaprastai svarbus techninė koncepcija topologija ir analizė. Pradėkime nuo apibrėžimo. Apibrėžimas 21.1. Topologinė erdvė X vadinama kompaktiška, jei ji turi

Federalinė agentūrašvietime Federalinė valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga PIETŲ FEDERALINIS UNIVERSITETAS R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya metodinė

1. Riemann integralo apibrėžimas ir pagrindinės savybės Pertvaros apibrėžimas Atkarpos [, b] skaidinys yra taškų aibė = x 1< x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

LABORATORINIS DARBAS 7 IŠSAGUMAS IR KOMPAKTUMAS METRINĖSE ERDVĖSE. PAGRINDINĖS SĄVOKOS IR TEOROS Apibrėžimas. Leiskite X. Žemėlapis: X X R, kuriame kiekviena pora (x y) X X įdedama

Seminaro paskaita 3 VISIŠKAI NUOLATINĖS FUNKCIJOS 1. Apibrėžimai ir savybės Prisiminkime paskaitoje pateiktą apibrėžimą. Apibrėžimas 1. Funkcija f(x) vadinama absoliučiai tęstine intervale [; b], jei už

Mato teorija, 4 paskaita: Lebesgue matas Misha Verbitsky 2015 m. kovo 14 d. NMU 1 Būlio žiedai (peržiūra) APIBRĖŽIMAS: Būlio žiedas yra žiedas, kurio visi elementai yra idempotentiški. PASTABA: Būlio žiede

SKYRIUS LININIŲ SISTEMŲ STABILUMAS Šiame skyriuje nagrinėjamas stabilumas paprasta klasė diferencialinės sistemos tiesinės sistemos Visų pirma nustatyta, kad tiesinėms sistemoms su konstantomis

V TEMA FOURIER SERIJOS 6 PASKAITA 6 Dekompozicija periodinė funkcija Furjė serijoje Daugelis gamtoje ir technologijoje vykstančių procesų turi savybių kartotis tam tikrais laiko intervalais

Funkcijos yra tolydžios intervale (Bolzano-Cauchy, Weierstrass, Cantor teoremos). Funkcionalai yra ištisiniai kompaktiškoje aibėje Teorema apie tarpines reikšmes. (Bolzano-Cauchy) Tegul funkcija f yra tolydi

TIKRAS INTEGRALAS. Integralinės sumos ir apibrėžtasis integralas Tegu duota funkcija y = f(), apibrėžta intervale [, b], kur< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Maskvos valstybinis universitetas pavadintas MVLomonosovo Chemijos fakultetas Pasirengimo egzaminui vadovas matematinė analizė bendrojo lavinimo studentams Trečiasis semestras Skaičių serija Diferencialinis

4A PASKAITA Metrinės erdvės 1 1. Pavyzdžiai ir priešingi pavyzdžiai Pradėsime nuo pavyzdžių, parodančių, kad sprendžiant klausimus, susijusius su metrinėmis erdvėmis, reikia atidžiai naudotis intuicija.

5 paskaita TOPOLOGINĖS ERDVĖS. 1. Topologinės erdvės apibrėžimas Apibrėžimas 1. Savavališka aibė X su išskirta aibės X poaibių sistema τ vadinama topologine erdve

A. Yu Pirkovskis Funkcinė analizė 23 paskaita 23.1. Kompaktiniai operatoriai Hilbert erdvėse Apie kompaktinius operatorius Banach erdvėse jau žinome gana daug (žr. 18 paskaitas

2. Laipsnis c racionalus rodiklis; eksponentinis Be to, kas buvo pasakyta ankstesnėje paskaitoje, taip pat nurodysime, kaip ribos sąvoką galima redukuoti iki tęstinumo sąvokos. Būtent, galioja šie akivaizdūs dalykai

V.V. Žukas, A.M. Kamachkin 7 Hilbert erdvė. Apibrėžimas. Paprasčiausios skaliarinės sandaugos savybės. Pagrindinė teorema. Furjė serija Hilberto erdvėje. 7.1 Hilberto erdvės apibrėžimas.

PRATARMĖ Vadovas yra tęsinys. Jis pagrįstas gerai žinomais mokymo priemonės apie matematinę analizę [6]. Jis pagrįstas V. V. Žuko paskaitomis, kurios buvo skaitomos kelis kartus

13. Rodiklis ir logaritmas Kad užbaigtume 12.8 teiginio įrodymą, tereikia pateikti vieną apibrėžimą ir įrodyti vieną teiginį. Apibrėžimas 13.1. Sakoma, kad serija a i yra absoliučiai konvergentiška, jei

N PASKAITA Begalinio mažumo ir begalybės savybės puikios funkcijos Nuostabios ribos Funkcijų tęstinumas Be galo mažo ypatybės Ribos egzistavimo požymiai 3 Be galo didelių savybių 4Pirmoji

S. S. Platonovas Harmoninės analizės elementai I dalis. Furjė serija f(x) = n= c n e inx Petrozavodskas 2010 m. Federalinė švietimo agentūra Valstybinė aukštojo mokslo įstaiga

Kolodiy A.M., Kolodiy N.A. Tikimybių teorijos paskaitos specialybės „Matematinė pagalba ir administravimas“ studentams informacines sistemas» 4. Ribinės teoremos 4.. Didžiųjų skaičių dėsnis.

PAPILDOMI TIKIMUMU TEORIJOS SKYRIAI E. A. Baklanov PMF NSU, 2012 1 SKYRIUS Tikimybinės nelygybės 1. Eksponentinės nelygybės. Visur šiame skyriuje X 1,..., X n yra nepriklausomi atsitiktiniai

MATEMATINĖS ANALIZĖS ĮVADAS Tema: Funkcijos riba ir tęstinumas 7 paskaita Funkcijos riba TURINYS: Funkcijos riba taške Funkcijos riba begalybėje Pagrindinės teoremos apie begalinės funkcijų ribas

Įrodo už įvairios sąlygos daugelio stebėjimų rezultatų vidutinių verčių tikimybės konvergencija prie kai kurių pastovių verčių.  

Taigi seka /t(/ m)> n 1 yra pagrindinė tikimybė, todėl pagal Cauchy tikimybių konvergencijos kriterijų egzistuoja atsitiktinis kintamasis, žymimas / (/), toks, kad  

Čebyševo nelygybė. Tikimybių konvergencija ir jos savybės. Didžiųjų skaičių dėsnis Čebyševo forma.  

Pasiskirstymo konvergencija ir jo savybės. Ryšys su tikimybės konvergencija. Tęstinumo teorema. Būdingos funkcijos.  

komentuoti. Tikimybių konvergencija - u(Qv) y (P0), kai N -> oo neišplaukia iš  

Norėdami suprasti, kodėl taip yra, tarkime, kad palyginate plieno įmones naudodami kainos ir pelno kartotinius, o viena iš grupės įmonių neseniai paskelbė labai mažą pelną dėl praėjusių metų streiko. Jei nenormalizuosite pajamų, įmonė atrodys pervertinta, palyginti su sektoriumi, nes rinkos kaina greičiausiai bus pagrįsta lūkesčiais, kad darbo sunkumai, nors ir brangūs, yra praeitis. Jei naudosite kartotinį, pvz., kainą / pardavimą, ir palyginsite jį su pramonės vidurkiu, kad padarytumėte lyginamuosius vertinimo sprendimus, tada manote, kad anksčiau ar vėliau įmonės pelno marža susilygins su pramonės vidurkiu.  

Gana dažnai neoklasikinio augimo modelio konvergencijos hipotezė tikrinama vienos šalies regionų pavyzdžiu. Nors tarp regionų gali būti skirtumų technologijų išsivystymo, pirmenybių ir pan. požiūriu, šie skirtumai bus žymiai mažiau reikšmingi nei skirtumai tarp šalių. Todėl absoliučios konvergencijos tarp regionų tikimybė yra žymiai didesnė nei tarp šalių. Tačiau naudojant regionus hipotezei patikrinti absoliuti konvergencija pažeidžiama svarbi neoklasikinio augimo modelio prielaida – uždara ekonomika. Akivaizdu, kad vienos šalies regionų grupei kultūrinės, kalbinės, institucinės ir formalios kliūtys veiksnių judėjimui pasirodo ne tokios reikšmingos. Tačiau įrodyta, kad net ir esant faktorių mobilumui, taigi ir pažeidžiant pirminio modelio prielaidas, uždaros ekonomikos ir ekonomikos su laisva  

Srautas su ribotu pasekmiu Palmos srautas k-os eilės Erlango srautas k-osios eilės Erlango pasiskirstymo dėsnis su I parametru normalizuotas k-osios eilės Erlango srautas centrinės ribos teorema identiškai pasiskirstytų atsitiktinių dydžių terminų konvergencijai tikimybių poefekto konvergencijai matuoti normalųjį pasiskirstymą kreivė Gauso kreivė Gausas K.F. Čebyševas P.L.  

Čia plim yra tikimybės riba, esanti paskutinėje sąlygoje, reiškia pasiskirstymo konvergenciją.) Jei šios sąlygos yra įvykdytos, n -> co, kaip ir D situacijoje,  

Iš Fatou lemos išplaukia, kad šis procesas yra (ne neigiamas) supermartingalas, todėl pagal Doob konvergencijos teoremą (žr. 3b, III skyrius) su tikimybe egzistuoja vienas ir lim Zt(- Zoo) yra baigtinis.  

Ypatingas pomėgis reiškia vieną iš jų, būtent tankio aproksimacijos savybę. Pages (1993) parodė, kad RNS algoritmas, kuris baigiasi visiškas nebuvimas laimėjusio neurono kaimynai treniruotės pabaigoje suartėja, o tai atitinka konvergenciją klasikinis metodas ginoparametrinis kvantavimas arba, kitaip tariant, varžybinis mokymas. Šio darbo autorius parodo, kad po kvantavimo neuronai yra gėris diskretiškas rėmelis atkurti pradinį tankį, darant prielaidą, kad kiekvienas neuronas yra pasvertas pagal tikimybę, apskaičiuotą pagal jo Voronojaus domeno dažnį. Jei neuronai yra tinkamai pasverti, rezultatas rodo, kad pradinius duomenis galima atkurti, o pats rezultatas yra tikslus, jei neuronų skaičius linkęs į begalybę.  

Ateityje turėsime plačiai operuoti su atsitiktinių procesų išvestinėmis ir integralais. Abi operacijos – diferencijavimas ir integravimas – daro prielaidą, kaip žinoma, tam tikros dydžių sekos konvergenciją iki ribos. Tačiau atsitiktiniams dydžiams, kurie apibrėžiami ne deterministiškai, o tikimybių skirstiniais, konvergencijos prie ribos sąvoka (taigi ir tęstinumo, diferencijavimo, integralumo sąvokos atsitiktinės funkcijos) negali turėti tos pačios reikšmės, kuri į ją investuojama atliekant analizę. Atsitiktinių dydžių sekai galimas tik tikimybinis konvergencijos prie ribos apibrėžimas, kuris, beje, atveria įvairesnes galimybes renkantis patį apibrėžimą. Tikimybinė konvergencija taip pat yra būtina norint atsižvelgti į vadinamąsias ergodines atsitiktinių funkcijų savybes, kurias aptarsime kitame skyriuje.

Paprastumo dėlei pradėkime nuo svarstymo įvairių tipų atsitiktinių dydžių sekos konvergencija į (neatsitiktinį) skaičių a.

Viena iš tikimybinės konvergencijos rūšių yra konvergencija vidutiniame kvadrate (vidutinis kvadratinis vidurkis), o tai reiškia, kad vidurkis eina į nulį kvadratinis nuokrypis nuo numerio a at

kuri parašyta formoje

Pavadinimas 1. i. m. sudarytas iš pradines raides Angliškas pavadinimasši riba (riba vidutiniame kvadrate). Šio tipo konvergencijos naudojimas yra tinkamiausias tais atvejais, kai tenka susidurti su kvadratinėmis (ypač tais, kurios energetinė prasmė) atsitiktinių dydžių deriniai.

Lygybė (19.1) akivaizdžiai prisiima baigtiniausio baigtinumą ir vidutinę reikšmę nuo . Atimdami ir pridėję skliausteliuose (19.1), šią lygybę perrašome kitaip:

Bet dviejų neneigiamų dydžių sumos riba gali būti lygus nuliui, tik tuo atveju, jei abiejų narių ribos lygios nuliui, t.y.

Taigi, vidurkių sekos riba ir dispersijos riba yra lygi nuliui.

Kitas tikimybinės konvergencijos su a tipas – tikimybės konvergencija (ver.) – apibrėžiamas taip:

kur, kaip įprasta, yra bet koks savavališkai mažas teigiamas skaičius. Šiuo atveju jie rašo

Lygybė (19.2) reiškia, kad tikimybė pataikyti kur nors už savavališkai siauro intervalo ribų tampa lygi nuliui. Dėl savavališko mažumo tai savo ruožtu reiškia, kad atsitiktinio dydžio tikimybės tankis viršija . Tačiau iš to visiškai neišplaukia, kad a yra sekos riba, o D linkęs į nulį. Be to, jie gali augti neribotai didėjant N arba net būti begaliniai bet kuriam N. Pavyzdžiui, tegul būna neneigiami ir pasiskirsto pagal Koši dėsnį:

Bet kuriai riba yra lygi nuliui, o riba neegzistuoja. Tuo pačiu metu normalizavimo sąlyga visada tenkinama:

taip linksta prie . Tačiau nesunku patikrinti, ar bet kuriam N ir yra begaliniai.

Tikimybių konvergencija dažnai vadinama konvergencija didelių skaičių dėsnio prasme. Sakoma, kad atsitiktiniai dydžiai yra itin pastovūs, jei yra tokia konstantų seka, kad

Jei visi yra vienodi (lygūs a), tai ši lygybė patenka į (19.2), t.y., tai reiškia, kad ji tikimybe konverguoja į a arba skirtumą - a tikimybe suartėja į nulį.

Tikimybių konvergencija turėtų būti aiškiai atskirta nuo įprastos konvergencijos

Iš tiesų, nieko negalima įrodyti matematiškai dėl empirinių skaičių – reikšmių – elgesio. Tik teiginiai, susiję su teorinės sąvokos, įskaitant tikimybės sąvoką, apibrėžtą pradinėse aksiomose. Tikimybių konvergencijoje kalbame ne apie tai, kad a for , o apie tai, kad įvykio tikimybė linkusi į vienybę. Šio teiginio ryšys su patirtimi yra pateiktas „matavimo aksiomoje“, pagal kurią tikimybė matuojama santykiniu dažniu

aptariamo atsitiktinio įvykio atsiradimas pakankamai ilgoje bandymų serijoje, pakankamai dideliame sistemų ansamblyje ir pan.

Norėdami geriau suprasti šį esminį klausimo aspektą, apsistokime ties kai kuriomis tikimybių teorijos ribinėmis teoremomis, sujungtomis bendras vardas didelių skaičių dėsnis, būtent teoremos, susijusios su atveju, kai (19.2) yra N atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis

Atliekame N testų seriją, paimame jų rezultatus ir apskaičiuojame vidurkį (19,3). Tada žiūrime, ar yra koks nors įvykis (vadinkime jį BN įvykiu).

Norėdami išmatuoti BN įvykio tikimybę, turime atlikti labai daug M serijų N testų ir turėti tokių serijų grupę. Didžiųjų skaičių dėsnis (19.2) teigia, kad kuo ilgesnė serija, sudaranti kolektyvą (kuo didesnis N), tuo arčiau vienybės, t. y. pagal „matavimo aksiomą“ daugiau serija atitiks BN pradžią (riboje - beveik visos):

Taigi tai yra visiškai prasmingas teiginys, tačiau toks tampa tik aiškiai palyginus matematinė sąvoka tikimybė su empirine santykinio dažnio samprata. Be to, didelių skaičių dėsnis lieka tam tikra teorema, logiškai išplaukiančia iš tam tikros aksiomų sistemos reikšmės P, kuri apibrėžiama kaip visiškai adityvinė, neneigiama ir normalizuota iki vieneto srities funkcija.

Dažnai šis klausimas, kurį jau palietėme 1 dalyje, yra pateikiamas mokomoji literatūra gana klaidinančiai, be aiškios nuorodos, kad „matavimo aksiomos“, siejančios tikimybių teorijos sąvokas su realiais reiškiniais, su eksperimentu ir praktika, nėra. matematinė teorija kaip tokia. Galima susidurti su teiginiais, kad pagrindą tikimybių teorijos taikymo sėkmei įvairiose gamtos mokslų ir technikos problemose padeda būtent didelių skaičių dėsnis. Jei taip būtų, tai reikštų

praktinės sėkmės pagrindas yra tam tikrų abstrakčių aksiomų loginė pasekmė ir kad šios matematinės aksiomos pačios nusako, kaip turėtų elgtis empiriniai dydžiai.

Iš principo būtų galima pradėti nuo kitų aksiomų ir sukurti kitą tikimybių teoriją, kurios išvados skiriasi nuo pateiktų. esama teorija, būtų logiškai nepriekaištinga ir tokia pat nereikalinga tikri reiškiniai. Situacija čia tokia pati kaip ir su įvairiomis galimomis geometrijomis. Tačiau kai tik matematinė teorija yra papildyta tam tikrais dydžių, kuriais ji veikia, matavimo metodais ir taip tampa fizikine teorija, situacija pasikeičia. Teorijos teisingumas ar neteisingumas tada nustoja būti tik jos loginio nuoseklumo klausimu, bet tampa jos atitikimo realiems daiktams ir reiškiniams klausimu. Klausimas apie pačių aksiomų teisingumą įgauna turinį, nes dabar tai gali būti atlikta eksperimentiniu ir apskritai praktiniu patikrinimu.

Tačiau dar prieš tokį patikrinimą būtinas vidinis abiejų fizikinės teorijos dalių atitikimas: nustatyti dydžių matavimo metodai neturėtų prieštarauti lygtims, kurioms matematinė teorijos dalis pajungia šiuos dydžius. Pavyzdžiui, Niutono judesio lygtys daro prielaidą, kad jėga yra vektorius, todėl jos nesuderinamos su jėgos matavimo būdu, kuris ją apibūdintų tik absoliuti vertė. Galbūt iš tikrųjų jėga yra ne vektorius, o, tarkime, tenzorius, bet čia jau kitas klausimas, kaip gerai ji atspindi objektyvią tikrovę duota fizinė teorija apskritai. Dabar kalbame tik apie tai, kad prieštaravimas tarp fizinės teorijos matematinės ir matavimo dalių daro ją nepateisinamą net prieš atliekant bet kokį jos pasekmių patikrinimą eksperimentiniu būdu.

Šiuo požiūriu didelių skaičių dėsnis nuo kitų – logiškai lygiaverčių – tikimybių teorijos teoremų skiriasi tik tuo, kad, kaip bus matyti iš to, ypač aiškiai ir aiškiai parodo suderinamumą. matematinis apibrėžimas tikimybė ir jos matavimo dažnio metodas. Jis parodo, kad dažnio „matavimo aksioma“ neprieštarauja matematinei teorijai, tačiau pastaroji, žinoma, šios „aksiomos“ nepakeičia ir negali pakeisti.

Įvairių teoremų įrodymui didelių skaičių dėsnio forma dažniausiai naudojama Čebyševo nelygybė, įrodyta jo disertacijoje 1846 m. ​​Tegul atsitiktinis kintamasis turi baigtinę dispersiją Čebyševo nelygybė

teigia, kad

Jei ypač , tada nelygybė (19.4) įgauna formą

Nors nelygybės (19.4) ir (19.5) duoda tik labai apytikslį P įvertį (tikslesnį įvertį galima gauti, jei yra žinomas pasiskirstymo dėsnis), jos yra labai naudingos ir svarbios teorinėms konstrukcijoms.

Tuo atveju, kai Čebyševo nelygybėje yra N atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis (19.3), nelygybė (19.5) leidžia įrodyti Čebyševo teoremą, kuri yra gana bendra išraiška didelių skaičių dėsnis. Būtent, jei yra porų nepriklausomų atsitiktinių dydžių, turinčių vienodai ribojamą dispersiją (D C), seka, tada

tikrai,

Pagal Čebyševo nelygybę

iš kur seka teorema (19.6) priešingo įvykio tikimybei, ty tikimybės konvergencijai

Ypatingas Čebyševo teoremos atvejis yra Puasono teorema. Leisti būti atsitiktiniais dydžiais, kurie nustato testo rezultatą arba 0 pagal įvykio A įvykį arba neįvykimą bandymo metu, kuriame . Tada

o Čebyševo teorema suteikia

Tai Puasono teorema. Dar daugiau ypatingas atvejis-Kada. Tada prieiname prie Bernulio teoremos, vienos iš pirmųjų didelių skaičių dėsnio formuluočių:

Sustokime ties tuo paprasčiausia formaįstatymas. Teorema (19.8) rodo, kad didėjant bandymų skaičiui N santykinis dažnisįvykis A, t.y., empirinis dydis konverguoja į tikimybę k – įvykio A tikimybę. Jei taip nebūtų, būtų netikslinga matuoti tikimybę naudojant santykinį dažnį. Tačiau kadangi taip yra, dažnio metodas, skirtas matuoti tikimybes (remiantis santykiniu įvykio A pasireiškimo dažnumu N testų serijoje), ir P (remiantis santykiniu įvykio pasireiškimo grupėje dažnumu M serijos testų) gali būti priimtas kaip matematinės teorijos papildymas, nes ji jai neprieštarauja. Po to jau galima klausti ir eksperimentiškai patikrinti, ar gauta fizikinė teorija atspindi tikrus statistinius dėsnius.

Įdomu, kad norint įvykdyti teoremą (19.8) bet kurioms reikšmėms, t.y. tikimybės konvergencijai

pakanka reikalauti, kad ši konvergencija vyktų tik (santykinis mažos tikimybės įvykių dažnis turi būti mažas).

Dabar užrašykime Čebyševo teoremą tuo atveju, kai viskas yra a. Tada

o teorema įgauna formą

kuri yra matavimų aritmetinio vidurkio taisyklės pagrindas. Asmenys gali labai nukrypti nuo a, bet su tikimybe mes turime už Taip nutinka todėl, kad skaičiuojant vidutinę vertę atsitiktiniai nukrypimai atskiri terminai yra kompensuojami ir didžiąja dauguma atvejų nuokrypis pasirodo labai mažas.

Nukrypimai nuo gali būti atsitiktinių klaidų matavimai. Bet jei pats skaitymo tikslumas matavimo metu nėra mažesnis, t.y sisteminė klaida, siejamas su skalės padalijimo kaina, tada tikslumas yra ne mažesnis bet kuriam N, todėl beprasmiška, apeliuojant į didelių skaičių dėsnį, siekti, kad šiuo atveju gautų a reikšmė su paklaida, mažesne nei , dėl iki Gana plačiai paplitusi klaidinga nuomonė, kad aritmetinis vidurkis leidžia viršyti iš apačios ribojamą matavimo tikslumą ir gauti, tarkime, naudojant skydo ampermetrą, mikroamperų tikslumą.

Galima ir kita situacija: pats išmatuotas dydis gali būti atsitiktinis (triukšmo srovė ir pan.). Tada galime būti tikri, kad kai , t.y., aritmetinis vidurkis linkęs matematinis lūkestis atsitiktinis kintamasis.

Atsitiktinio dydžio matavimo rezultatų abipusio nepriklausomumo sąlyga reikalauja, paprastai tariant, jo matavimus atlikti pakankamai dideliais laiko intervalais. Tačiau norint, kad didelių skaičių dėsnis galiotų, pati ši nepriklausomumo sąlyga nėra būtina, nes Čebyševo nelygybė reikalauja tik . Mes nesustosime daugiau bendrosios teoremos ir būtinomis ir pakankamomis sąlygomis, kurioms esant aritmetiniam vidurkiui galioja didelių skaičių dėsnis, nes šios sąlygos yra susijusios su pačiu dydžiu ir todėl praktikoje yra mažiau įdomios nei siauresnės sąlygos, bet susijusios su atskirais terminais.

1909 m. E. Borelis (tada vėliau bendra forma- F. P. Cantelli, paskui A. N. Kolmogorovas) buvo įrodytas tvirtesnis teiginys nei didelių skaičių dėsnis. Pagal Bernulio teoremą

Pagal Borelį (sustiprintas didelių skaičių įstatymas)

tai yra, užtikrintai arba, kaip sakoma, „beveik tikrai“, santykinis dažnis turi ribinę tikimybę. Tai yra dar tvirtesnis pagrindas tikimybei matuoti pagal santykinį dažnį.

Remdamiesi (19.9), galime įvesti kitą tikimybinės konvergencijos tipą – konvergenciją stipraus didelių skaičių dėsnio prasme, kuri dar vadinama konvergencija su tikimybe arba beveik neabejotina konvergencija:

(19.10)

Trumpai tai galima parašyti kaip

Kartais dėl apibrėžimo (19.10) kyla painiavos dėl to, kad ji apima įprastą atsitiktinių dydžių sekos ribą. Atrodo, kad čia atsitraukiame nuo aukščiau pateikto teiginio, kad atsitiktinių dydžių konvergencija gali turėti tik tikimybinę reikšmę. Bet kaip tik apie tai ir kalbama mes kalbame apie ir viduje šiuo atveju. Tarp įvairių sekos realizacijų yra ir galimų realizacijų, kurios suartėja į a įprastine prasme. Galima parodyti, kad tokių realizacijų rinkinys turi tam tikrą tikimybę P. Konvergencija beveik neabejotinai reiškia, kad ši tikimybė, tai yra atsitiktinio įvykio tikimybė, yra lygi vienetui. Kitaip tariant, realizacijos, konverguojančios į a įprastine prasme, „beveik išsemia“ visų galimų sekos realizacijų aibę. Taigi (19.10) mes niekur nenukrypstame nuo tikimybinio konvergencijos apibrėžimo, nors dabar ir neturime. turėkite omenyje tikimybės ribą (kaip tikimybių konvergencijos atveju), o tikimybė yra riba.

Pateikime dvi konvergencijos sąlygas beveik neabejotinai. Vienas iš jų yra būtinas ir pakankamas

Tačiau praktiškai šios sąlygos niekada negalima patikrinti. Kita – stipresnė pakankama sąlyga – yra ta

kad bet kuriai serija turi suartėti

Kita pakankamai sąlygų ir apskritai, išsamią matematinę diskusiją su tikimybine konvergencija susijusiais klausimais galima rasti knygose (3 skyrius) ir (1 skyrius).

Vidutinio kvadrato konvergencija reiškia (dėl Čebyševo nelygybės) tikimybės konvergenciją, ir jei visi beveik neabejotinai yra vienodai apriboti absoliučia verte, tada, atvirkščiai, tikimybės konvergencija reiškia vidutinio kvadrato konvergenciją. Beveik neabejotinai konvergencija taip pat reiškia tikimybės konvergenciją, bet ne vidutinio kvadrato konvergenciją; tuo pat metu konvergencija vidutiniame kvadrate beveik neabejotinai reiškia konvergenciją.

Tai atsitiktinių dydžių X 1, X 2, sekos konvergencija. . ., X n, . . ., apibrėžtas tam tikroje atsitiktinio dydžio X tikimybių erdvėje, apibrėžtoje taip:

jei kam

5.4 Didžiųjų skaičių dėsnis Čebyševo forma

Tegu seka X 1, X 2, . . ., X n, . . Atsitiktiniai dydžiai atitinka didelių skaičių dėsnį, jei toks yra

Kitaip tariant, didelių skaičių dėsnio įvykdymas atspindi ekstremalų aritmetinių vidutinių atsitiktinių dydžių stabilumą: kai didelis skaičius testų, jie praktiškai nustoja būti atsitiktiniais ir sutampa su jų vidutinėmis reikšmėmis.

Seka X 1, X 2, . . ., X n, . . tenkina didelių skaičių dėsnį tada ir tik tada, kai atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis X 1 -m 1 X 2 -m 2 , . . ., X n -m n tikimybe konverguoja į nulį ties

5.5 Bernulio formos didelių skaičių dėsnis (Bernoulio schema)

Tegul atliekama nepriklausomų bandymų seka, dėl kurių kiekvieno įvykio A gali įvykti arba neįvykti, o šio įvykio tikimybė kiekvienam bandymui yra vienoda ir lygi p. Jei įvykis A iš tikrųjų įvyko m kartų per n bandymų, tai santykis m/n vadinamas, kaip žinome, įvykio A pasikartojimo dažniu. Dažnis yra atsitiktinis dydis, o tikimybė, kad dažnis įgaus reikšmę m/n išreiškiama Bernulio formule

Didžiųjų skaičių dėsnis Bernulio formoje yra toks: esant tikimybei, savavališkai artimai vienetui, galima teigti, kad esant pakankamai dideliam eksperimentų skaičiui, įvykio A pasireiškimo dažnis skiriasi tiek, kiek norima, nuo jo tikimybės, t.y. kitaip tariant, neribotai padidėjus eksperimentų n skaičiui, įvykio A dažnis m/n pagal tikimybę suartėja į P(A).

5.6 Centrinės ribos teorema (formuluotė, taikymo pavyzdys uždaviniams spręsti)

Artėja nepriklausomų atsitiktinių dydžių Xi (i =1,2,…, n) sumos pasiskirstymo dėsnis normalus įstatymas pasiskirstymai su neribotu n padidėjimu, jei tenkinamos šios sąlygos:

1) visi dydžiai turi baigtinius matematinius lūkesčius ir dispersijas:

2) nė viena iš vertybių labai nesiskiria nuo kitų:

5.7 Centrinės ribos teorema Bernulio schemos atveju (Moivre-Laplace teorema).

Jei įvykio A atsiradimo tikimybė p kiekviename bandyme

yra pastovus ir skiriasi nuo nulio ir vieno bei nepriklausomų bandymų skaičiaus

yra pakankamai didelis, tada tikimybę galima apskaičiuoti naudojant apytikslę

(kuo tikslesnis, tuo didesnis n)

1 skyrius. Atsitiktiniai įvykiai

1. Atsitiktiniai įvykiai: elementarūs, patikimi, neįmanomi, nesuderinami, suderinami, vienodai galimi. Poros nesuderinamos, sudaro pilną grupę. Elementarių įvykių erdvė. Vyksta.

2. Suma, sandauga, skirtumas, neigimas. Aibių teorinis aiškinimas. Eulerio-Venno diagramos. Įvykių algebra. Sigmos algebros samprata.

3. Renginių dažnumas. Statistinio stabilumo savybė. Statistinis tikimybės apibrėžimas.

4. Klasikinis įvykio tikimybės apibrėžimas. Tiesioginis tikimybių skaičiavimas.

5. Kombinatorika: daugybos ir sudėjimo taisyklė. Pagrindinės schemos: su grąžinimu, be grąžinimo. Įdėjimo, derinimo, permutacijos sąvokos.

6. Geometrinis tikimybės apibrėžimas.

7. Aksiominis tikimybės apibrėžimas. Tikimybių savybės.

8. Tikimybių erdvė.

9. Sąlyginė tikimybė.

10. Įvykių įvykimo tikimybė.

11. Įvykių nepriklausomumas.

12. Įvykių sumos tikimybė.

13. Bendrosios tikimybės formulė.

14. Bayes formulė.

15. Paprastos vienalytės Markovo grandinės samprata.

16. Nepriklausomi testai. Bernulli schema. Bernulio formulė. Tikimybių skirstinio daugiakampis.

17. Ribinės teoremos Bernulli schemoje: Puasono formulė, Moivre-Laplace'o lokalios ir integralinės teoremos.

18. Bernulio schema. Labiausiai tikėtinas skaičius.