Kokiais metodais modeliuojami atsitiktiniai procesai. Baigtinių Markovo grandinių pavyzdžiai

Modeliavimas atsitiktiniai procesai- galingiausia šiuolaikinio matematinio modeliavimo kryptis.

Įvykis vadinamas atsitiktiniu, jei jis yra patikimai nenuspėjamas. Atsitiktinumai supa mūsų pasaulį ir dažniausiai atlieka neigiamą vaidmenį mūsų gyvenime. Tačiau yra aplinkybių, kai atsitiktinumas gali būti naudingas. Atliekant sudėtingus skaičiavimus, kai norimas rezultatas priklauso nuo daugelio veiksnių, modelių ir matavimų rezultatų, skaičiavimo kiekį galima sumažinti naudojant atsitiktines reikšmingų skaičių vertes.

Tikimybiniame modeliavime naudojami įvairūs metodai, leidžiantys spręsti problemas iš įvairiose srityse. Žemiau pateikiamos tikimybinių metodų taikymo sritys.

Statistinio modeliavimo metodas: matematinės fizikos ribinių reikšmių uždavinių sprendimas, tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas, matricų inversijos ir į jas redukuojantys tinklelio metodai diferencialinių lygčių sistemoms spręsti, dauginių integralų skaičiavimas, integralų lygčių, uždavinių sprendimas branduolinė fizika, dujų dinamika, filtravimas, šilumos inžinerija.

Modeliavimo metodas: sistemų modeliavimas eilėje, automatizuotų valdymo sistemų, automatizuotų valdymo sistemų ir procesų valdymo sistemų užduotys, informacijos saugumo problemos, sudėtingų žaidimo situacijų ir dinaminių sistemų modeliavimas.

Stochastinės aproksimacijos metodas: pasikartojantys statistinio įvertinimo uždavinių sprendimo algoritmai.

Atsitiktinės paieškos metodas: optimizavimo uždavinių sprendimas sistemoms, kurios priklauso nuo daugybės parametrų, didelio kintamųjų skaičiaus funkcijos ekstremalių radimas.

Kiti metodai: tikimybiniai modelio atpažinimo metodai, adaptacijos, mokymo ir savarankiško mokymosi modeliai.

Kompiuteriniame matematiniame atsitiktinių procesų modeliavime negalima apsieiti be vadinamųjų atsitiktinių skaičių aibių, kurios tenkina duotą pasiskirstymo dėsnį. Tiesą sakant, šiuos skaičius generuoja kompiuteris, naudodamas tam tikrą algoritmą, t.y. jie nėra visiškai atsitiktiniai, jau vien todėl, kad paleidus programą iš naujo su tais pačiais parametrais, seka kartosis; tokie skaičiai vadinami „pseudoatsitiktiniais“.

Ne per daug reikliam vartotojui dažniausiai pakanka daugumoje programavimo kalbų įmontuoto atsitiktinių skaičių jutiklio (generatoriaus) galimybių. Taigi Paskalio kalboje yra atsitiktinė funkcija, kurios reikšmės yra atsitiktiniai skaičiai iš diapazono. Prieš jo naudojimą dažniausiai taikoma atsitiktinio atrankos procedūra, kuri skirta iš pradžių „sustatyti“ jutiklį, t.y. gauti skirtingas atsitiktinių skaičių sekas kiekvienam iškvietimui į jutiklį. Problemoms, kurių sprendimas reikalauja labai ilgų nesusijusių sekų, problema tampa sudėtingesnė ir reikalauja nestandartinių

1. Gamybos sistemų imitacinio modeliavimo ypatumai

Norint išanalizuoti gamybos sistemas, kurios yra labai sudėtingos, įvairios, neturinčios išsamaus matematinio aprašymo, taip pat pereina daugybę projektavimo, įgyvendinimo ir tobulinimo etapų, neįmanoma sukurti tinkamų matematinių modelių, nesvarbu, ar jie būtų loginiai, ar skaitmeniniai. Natūralu, kad čia naudojami modeliavimo modeliavimo metodai.

Sistemą galima vienareikšmiškai apibūdinti kiekvienai konkrečiai būsenai būdingų gamybos parametrų verčių rinkiniu. Jei šios reikšmės įvedamos į kompiuterį, tada jų pasikeitimus skaičiavimo proceso metu galima interpretuoti kaip sistemos perėjimo iš vienos būsenos į kitą modeliavimą. Esant tokioms prielaidoms modeliavimas gali būti vertinamas kaip dinaminis sistemos atvaizdavimas, perkeliant ją iš vienos būsenos į kitą pagal jai būdingas veikimo taisykles.

Imituojant gamybos sistemas, jų būsenos pokyčiai vyksta atskirais laiko momentais. Pagrindinė sistemos modeliavimo koncepcija šiuo atveju yra parodyti jos būsenos pokyčius laikui bėgant. Taigi čia lemiamas veiksnys yra modeliuojamos sistemos būsenų identifikavimas ir nedviprasmiškas aprašymas.

Modeliavimo modeliai leidžia, nenaudojant jokių analitinių ar kitų funkcinių priklausomybių, rodyti sudėtingus objektus, susidedančius iš nevienalyčių elementų, tarp kurių yra įvairių ryšių. Į šiuos modelius galima įtraukti ir žmones.

Be esminių komplikacijų, tokie modeliai gali apimti ir deterministinius, ir stochastinius srautus (medžiagos ir informacijos). Naudodami modeliavimą galite parodyti ryšius tarp darbo vietų, medžiagų ir produktų srautų, transporto priemonių ir personalo.

Nepaisant tokių akivaizdžių pranašumų, visų pirma apimančių taikymo platumą ir universalumą, šis metodas praranda loginių ryšių egzistavimą, o tai atmeta galimybę visiškai optimizuoti sprendimus, gautus naudojant šį modelį. Garantuojama tik galimybė pasirinkti geriausią iš peržiūrėtų variantų.

Praktikoje imitacinis modeliavimas daugeliu realių atvejų yra vienintelis galimas tyrimo metodas. Sukūrus simuliacinį modelį, juo atliekami kompiuteriniai eksperimentai, leidžiantys daryti išvadas apie gamybos sistemos elgseną.

Kompiuterinio modeliavimo modeliavimo metodų atsiradimas ir plėtra tapo įmanoma ir sukūrus statistinio testavimo metodą, kuris leido imituoti atsitiktinius įvykius ir procesus, kurie užima didelę vietą realioje gamyboje.

Sudarant imitacinį modelį ir naudojant jį modeliuojant tiriamą objektą, reikia išspręsti keletą tarpusavyje susijusių problemų. Tai apima:

modeliuojamos sistemos analizė ir formalizuoto jos aprašymo parengimas, įskaitant sistemos informacijos ir loginės struktūros identifikavimą, jos komponentų identifikavimą, šių komponentų būklę apibūdinančių parametrų parinkimą, kūrimą kompiuterio modelis sistema, galinti atkurti jos elgesį, suplanuoti eksperimentą, siekiant atskleisti įvykius kompiuteriniame modelyje, kuris atspindi įvykius imituojamoje sistemoje;

kompiuterinių statistinių eksperimentų metodikos kūrimas, įskaitant atsitiktinių arba pseudoatsitiktinių skaičių generavimą, įvairių atsitiktinių įvykių modeliavimą, statistinių duomenų apdorojimą;

faktinio kompiuterinio eksperimento su modeliavimo modeliu atlikimas, įskaitant modelio parametrų ir kintamųjų valdymą jo tyrimo kompiuteriu metu.

Trumpa informacija

Atsitiktiniai procesai, tiriami taikant modeliavimo modeliavimą (Monte Karlo metodas), visų pirma apima procesus, susijusius su eilių formavimu ir aptarnavimu (vadinamieji procesai stovėjimas eilėje). Paprasčiausia užduotis šios klasėsštai kaip yra. Yra eilių sistema su vienu aptarnavimo centru (parduotuvė su vienu pardavėju, remonto zona automobilių parke, greitoji medicinos pagalba su vienu gydytoju, telefono stotis su vienu įėjimu, serveris su vienu įvesties kanalu ir kt.). Klientai sistemos paslaugų kreipiasi atsitiktinai (su suteikta funkcija laikotarpių pasiskirstymas tarp atvykimo). Jei sistema laisva, ji iš karto pradeda aptarnauti klientą, kitu atveju pastato jį į eilę. Paslaugos trukmė kiekvienam klientui yra atsitiktinis dydis su žinomu paskirstymo įstatymu.

Sprendžiant šią problemą, būtina atsakyti į tokius klausimus kaip „kokia yra kliento laukimo eilėje laiko pasiskirstymo funkcija? „Kokia sistemos prastovos laukia klientų?“, „jei pačias šias funkcijas sunku nustatyti, tai kokios jų labiausiai svarbias savybes(t. y. matematinis lūkestis, dispersija ir pan.)?

Šios užduoties pagrindas – atsitiktinis klientų patekimo į paslaugų sistemą procesas. Intervalai tarp bet kurios iš eilės klientų poros atvykimo yra nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai, paskirstyti pagal tam tikrą dėsnį. Tikrasis šio įstatymo pobūdis gali būti nustatytas tik atlikus daugybę stebėjimų; Kaip paprasčiausią modelio tikimybės tankio funkciją, galime paimti lygiavertį pasiskirstymą laiko intervale nuo 0 iki kai kurių T - maksimalus galimas intervalas tarp dviejų iš eilės klientų atvykimo. Esant tokiam paskirstymui, tikimybė, kad tarp dviejų klientų atvykimo praeis 1 minutė, 3 minutės arba 8 minutės, yra vienoda (jei T> 8 min).

Toks paskirstymas, žinoma, nerealus; Tiesą sakant, daugeliui eilės procesų paskirstymo funkcija auga iš t= 0, turi didžiausią vertę esant tam tikrai t = τ ir greitai mažėja t, tie. turi formą, parodytą fig. 7.6.

Žinoma, galite pasirinkti daug elementarios funkcijos, turintis kokybiškai tokią išvaizdą. Eilių teorijoje plačiai naudojama Puasono funkcijų šeima

Kur λ - kažkoks pastovus p - savavališkas sveikasis skaičius.

Funkcijos (35) turi maksimumą ties x = p/λ ir normalizavosi.

Antrasis atsitiktinis procesas šioje problemoje, niekaip nesusijęs su pirmuoju, yra nulemtas atsitiktinių įvykių sekos – kiekvieno kliento aptarnavimo trukmės. Tarnavimo trukmės tikimybių pasiskirstymas yra toks pat kokybiška išvaizda, kaip ir ankstesniu atveju.

Pavyzdžiui, stulpelyje esančioje lentelėje A stulpelyje įrašomi atsitiktiniai skaičiai – intervalai tarp klientų atvykimų (minutėmis). IN – atsitiktiniai skaičiai – paslaugos trukmė (minutėmis). Paimta siekiant apibrėžtumo maks= 10 ir bmax= 5.

Ryžiai. .6. Scheminis laiko pasiskirstymo tarp klientų pasirodymų eilių sistemoje tikimybės tankio vaizdavimas

Iš šios trumpos lentelės, žinoma, neįmanoma nustatyti, kokie paskirstymo dėsniai priimtini kiekiams A Ir IN. Likę stulpeliai pateikiami analizei palengvinti; į juos įtraukti skaičiai randami elementariu skaičiavimu. C stulpelis rodo sąlyginis laikas kliento atvykimas; D- tarnybos pradžios momentas; E - tarnybos pabaiga; F- laikas, kurį klientas praleido sistemoje kaip visumoje; G- laikas, praleistas eilėje laukiant paslaugos; N - laikas, kurį sistema praleidžia laukdama klientų (jei jų nėra). Lentelę patogu pildyti horizontaliai, judant iš eilutės į eilutę. Kadangi kito kliento aptarnavimo pradžia nustatoma arba pagal jo atvykimo laiką, jei sistema neužimta, arba pagal ankstesnio kliento išvykimo laiką, patogumui pateikiame atitinkamas formules(jose i= 1, 2, 3, ...):

c 1 = 0, c i+1 = c i + a i+1 ; d 1 = 0, d i+1 = max(c i+l, e i);(36a)

e 1 = b 1 e i = d i + b i ; f i = e i + c i ; g 1 = 0; g i+1 = f i+1 + b i+1 h 1 = 0; h i+1 = d i+1 - e i(36b)

Taigi, atsižvelgiant į atsitiktines skaičių aibes A ir B stulpeliuose, klientai turėjo stovėti eilėje (stulpelis G), ir sistema buvo neaktyvi, laukdama kliento (stulpelis N).

Modeliuojant tokio tipo sistemas pirmiausia kyla klausimas, kiek vidutiniškai tenka laukti eilėje? Atrodo, lengva atsakyti – tereikia rasti

(37)

kai kuriose bandymų serijose. Panašiai galite rasti vidutinę h reikšmę . Sunkiau atsakyti į klausimą apie gautų rezultatų patikimumą; Norėdami tai padaryti, turite atlikti keletą bandymų serijų ir naudoti standartiniai metodai matematinė statistika (dažnai tinkamas apdorojimas naudojant Studento skirstinį).

Daugiau sunkus klausimas- koks yra atsitiktinių dydžių pasiskirstymas G Ir N adresu duotus paskirstymus atsitiktiniai dydžiai A Ir IN? Galite pabandyti gauti kokybinį atsakymą, sudarydami atitinkamas histogramas pagal modeliavimo rezultatus. Tada iškeliama tam tikra hipotezė apie pasiskirstymo tipą ir vienas ar keli statistiniai kriterijai naudojami šios hipotezės patikimumui patikrinti.

Turint paskirstymo funkciją (kad ir empirinę, bet gana patikimą), galima atsakyti į bet kokį klausimą apie laukimo eilėje proceso pobūdį. Pavyzdžiui: kokia tikimybė laukti ilgiau T minučių? Atsakymą gausime, jei rasime ploto santykį lenkta trapecija, apribotas pagal tvarkaraštį pasiskirstymo tankis, tiesus x = t Ir y=0 visos figūros plotas.

Saugumo klausimai

1. Kas yra „atsitiktinis procesas“?

2. Kokie yra tolygiai paskirstytų atsitiktinių skaičių kompiuterinio generavimo principai?

3. Kaip galima gauti atsitiktinių skaičių seką taikant Puasono skirstinio dėsnį?

4. Kas yra „eilių sistema“? Pateikite pavyzdžių.

5. Koks yra Monte Karlo metodas plotams skaičiuoti plokščios figūros? kūnų tūriai?

6. Kokius atsitiktinių procesų pavyzdžius galite pateikti?

Temos rašiniams

1. Atsitiktinių skaičių sekų kompiuterinio generavimo principai ir statistinius kriterijus nustatant sekų savybes.

2. Metodai statistinis apdorojimas atsitiktinių procesų kompiuterinio modeliavimo rezultatai.

Tema seminarai

Atsitiktinių skaičių sekų gavimas pagal pateiktą skirstymo dėsnį.

Laboratoriniai darbai

1. Atliekant šį darbą reikia sugeneruoti ilgas pseudoatsitiktinių skaičių sekas su nurodytu tikimybių skirstinio dėsniu. Jis gali būti pagrįstas standartiniu tolygiai paskirstytų atsitiktinių skaičių jutikliu, įmontuotu taikomoje programavimo sistemoje, naudojant vieną iš procedūrų, skirtų šios sekos konvertavimui į seką su norimu paskirstymo dėsniu (pavyzdžiui, „pasirinkimo-atmetimo“ procedūra). .

2. Viena iš pagrindinių užduočių modeliuojant atsitiktinius procesus yra atsitiktinių dydžių charakteristikų, kurie yra modeliavimo objektas, paieška. Pagrindinė tokia charakteristika yra paskirstymo funkcija. Jo išvaizdą galima kokybiškai įvertinti iš modeliavimo metu sukonstruotos histogramos ir hipotezės apie funkcinė forma patikrinkite naudodami vieną iš standartinių kriterijų, naudojamų matematinė statistika(pvz., kriterijus % 2). Tačiau tai ne visada patartina, ypač jei problema reikalauja nustatyti tik kai kurias atsitiktinio dydžio charakteristikas – dažniausiai vidutinę reikšmę ir dispersiją. Juos galima rasti nemodeliuojant pačios paskirstymo funkcijos. Tuo pačiu metu statistinis įvertinimas rezultatų patikimumas yra privalomas.

3. Tikslinga modeliavimo rezultatus kompiuterio ekrane rodyti tokia forma: apskaičiuotos vertės reikšmių lentelių pavidalu (dažniausiai keliuose pavyzdžiuose), atsitiktinių dydžių pasiskirstymo histogramų pavidalu. sukonstruotas simuliacijos metu.

4. Patartina, kur įmanoma, imitacinį modeliavimą lydėti atitinkamo proceso vizualiu atvaizdavimu kompiuterio ekrane (eilės formavimo procesas, objektų gimimas ir išnykimas populiacijos modeliavimo uždaviniuose ir kt.).

Apytikslis užbaigimo laikas 16 valandų.

Priskyrimas laboratoriniai darbai

Atlikti nurodyto atsitiktinio proceso modeliavimą ir statistiniais kriterijais įvertinti gautų rezultatų patikimumą.

Užduočių parinktys

1 variantas

Imituokite eilę parduotuvėje su vienu pardavėju pagal pirmiau aprašytų atsitiktinių dydžių tolygiai tikėtinus pasiskirstymo dėsnius: klientų atvykimą ir aptarnavimo trukmę (tam tikram fiksuotam parametrų rinkiniui). Gaukite stabilias charakteristikas: vidutines pirkėjo laukimo eilėje vertes ir pardavėjo prastovos laiką laukiant pirkėjų atvykimo. Įvertinkite jų patikimumą. Įvertinkite dydžių pasiskirstymo funkcijos pobūdį g Ir h.

2 variantas

Atlikite tą patį modeliavimą su Puasono įvesties įvykių tikimybių pasiskirstymo dėsniais: klientų atvykimu ir aptarnavimo trukme (tam tikram fiksuotam parametrų rinkiniui).

3 variantas

Atlikite tą patį modeliavimą pagal įprastą įvesties įvykių tikimybių pasiskirstymo dėsnį: klientų atvykimą ir aptarnavimo trukmę (tam tikram fiksuotam parametrų rinkiniui).

4 variantas

Aukščiau aptartoje sistemoje gali susidaryti kritinė situacija, kai eilė laikui bėgant auga be apribojimų. Tiesą sakant, jei klientai į parduotuvę užeina labai dažnai (arba pardavėjas per lėtas), eilė pradeda augti, o šioje sistemoje su paskutinis laikas ateis paslaugų krizė.

Sukurkite ryšį tarp dydžių (maks. bmax), atspindinčios nurodytos ribą kritinė situacija, su vienodai tikėtinu įvesties įvykių pasiskirstymu.

5 variantas

Tarpmiestiniame telefono stotis du telefono operatoriai aptarnauja bendrą užsakymų eilę. Kitą užsakymą aptarnauja telefono operatorius, kuris buvo pirmasis. Jei užsakymo gavimo metu abu yra užimti, skambutis atšaukiamas ir reikia skambinti dar kartą. Modeliuokite procesą, laikydamiesi Puasono įvesties srautų.

6 variantas

Imituokite ankstesnėje versijoje aprašytą situaciją, tačiau manykite, kad jei bandant pateikti užsakymą abu telefono operatoriai yra užimti, susidaro eilė.

7 variantas

Tegul naudojama telefono stotis su vienu įėjimu įprastinė sistema: jei abonentas užimtas, eilė nesudaroma ir reikia skambinti dar kartą. Imituokite situaciją: trys abonentai bando paskambinti to paties numerio savininkui ir, jei pavyks, kurį laiką (atsitiktiškai trukme) su juo pasikalbėti. Kokia tikimybė, kad kas nors bandys paskambinti, negalės to padaryti tam tikrą laiką T?

8 variantas

Imituokite situaciją, aprašytą ankstesnėje versijoje, tačiau manykite, kad jei bandant susisiekti su abonento telefonas yra užimtas, susidaro eilė.

9 variantas

Greitosios pagalbos skyriuje dirba tik vienas gydytojas. Paciento gydymo trukmė ir laiko intervalai tarp pacientų priėmimo - atsitiktiniai dydžiai, platinami pagal Puasono dėsnį. Pagal sužalojimų sunkumą pacientai skirstomi į tris kategorijas, priimant bet kokios kategorijos pacientą; atsitiktinis įvykis su vienodu tikimybių pasiskirstymu. Gydytojas pirmiausia gydo pacientus, patyrusius sunkiausius sužalojimus (jų priėmimo tvarka), vėliau, jei jų nėra, vidutinio sunkumo sužalojimus patyrusius pacientus (pagal jų priėmimo tvarką), o tik po to – ligonius, patyrusius nesunkius sužalojimus. Modeliuokite procesą ir įvertinkite vidutinį laukimo laiką kiekvienos kategorijos pacientų eilėje.

10 variantas

Imituoti ankstesnėje versijoje aprašytą situaciją, jei greitosios pagalbos skyriuje dirba du gydytojai, o pacientai skirstomi į dvi kategorijas, o ne į tris.

11 variantas

Viena audėja aptarnauja staklių grupę, pagal poreikį atlieka trumpalaikes intervencijas, kurių trukmė yra atsitiktinis dydis. Kokia dviejų mašinų prastovų tikimybė vienu metu? Kiek vidutiniškai trunka vienos mašinos prastovos laikas?

12 variantas

Imituokite ankstesniame variante aprašytą situaciją, jei staklių grupę kartu aptarnauja dvi audėjos.

13 variantas

IN Miesto automobilių parkas turi dvi remonto zonas. Vienas – aptarnauja trumpų ir vidutinė trukmė, kitas - vidutinės trukmės ir ilgalaikės (t.y. vidutinės trukmės remontą gali atlikti kiekviena iš zonų). Atsiradus gedimams, transporto priemonės pristatomos į parką; laiko intervalas tarp pristatymų – atsitiktinis Puasono vertė. Remonto trukmė yra atsitiktinis dydis su normalaus pasiskirstymo dėsniu. Sumodeliuokite aprašytą sistemą. Koks yra vidutinis trumpalaikio, vidutinio ir ilgalaikio remonto reikalaujančių transporto priemonių laukimo laikas?

14 variantas

Įgyvendinti statistinio modeliavimo simuliacinį modelį Buffono problemai išspręsti (XVIII a.). Autorius analitiškai nustatė, kad jei lauke, pavaizduotame lygiagrečiomis linijomis, atstumas tarp jų L, atsitiktinai meta adatą l, tada tikimybė, kad adata kirs bent vieną tiesę, nustatoma pagal formulę .

Ši problema suteikė galimybę imituoti skaičiaus nustatymą p. Tikrai, jei L = 2l, kad . Modeliavimo metu atlikite šį skaičiavimą.

15 variantas

Sukurkite vienmatį atsitiktinio ėjimo modelį ("girtuoklio" modelį). Ėjimas nustatomas pagal taisyklę: jei atsitiktinis skaičius iš atkarpos yra mažesnis nei 0,5, tada žingsnis žengiamas atstumu į dešinę. h, kitaip - paliko. Laikoma, kad atsitiktinių skaičių pasiskirstymas yra vienodai tikėtinas.

Išspręskite užduotį: kokia tikimybė, kad toks pasivaikščiojimas nutols nuo pradžios taško nžingsniai?

16 variantas

IN problemos sąlygas iš ankstesnės versijos, gaukite atsakymą į klausimą: kokia tikimybė, kad „girtuoklis“ grįš po nįžengia pradžios taškas?

17 variantas

Taškas atsitiktinai klaidžioja plokštumoje išilgai kvadratinio tinklelio mazgų su galimybe daryti lygia tikimybežingsniai kairėn-dešinėn-aukštyn-žemyn fiksuotu (vienu judesiu) žingsniu. Judėjimas vyksta uždarame stačiakampio tūrio, o susilietus su siena atsiranda veidrodinis vaizdas nuo jos.

Modeliavimo metu atsakykite į klausimą: kaip kiekvieno mazgo lankymosi dažnumas yra susijęs su atstumu nuo jo iki mazgo, nuo kurio prasideda judėjimas.

18 variantas

Sumodeliuokite tą pačią situaciją kaip ir 17 varianto užduotyje, su sąlyga, kad klajonių plotas yra neribotas, ir atsakykite į užduotą klausimą.

19 variantas

Imituokite bitės skrydį. Plokštumoje (kliringo) medingieji augalai auga atsitiktinai su tam tikra koncentracija (1 m2). Centre yra avilys, iš kurio išskrenda bitė. Bitė gali skristi nuo vieno augalo prie bet kurio kito augalo, tačiau pasirinkimo tikimybė monotoniškai mažėja didėjant atstumui tarp augalų (pagal kažkokį dėsnį). Kokia tikimybė, kad per tam tikrą elementarių skrydžių skaičių bitė aplankys konkretų augalą?

20 variantas

Įdiekite plokščią modelį Brauno judesys n dalelės stačiakampyje. Laikykite, kad dalelės yra baigtinio dydžio rutuliukai. Dalelių poveikis viena kitai ir sienoms turi būti modeliuojamas kaip absoliučiai elastingas. Šiame modelyje nustatykite dujų slėgio ant sienelių priklausomybę nuo dalelių skaičiaus.

21 variantas

Išsamiai sukurti ir įgyvendinti dujų maišymo (difuzijos) uždarame inde modelį. IN pradžios momentas laiko, kiekvienos dujos užima pusę indo. Naudodami šį modelį ištirkite difuzijos greičio priklausomybę nuo įvairių įvesties parametrų.

22 variantas

Įdiekite „plėšrūno-grobio“ sistemos modeliavimo modelį pagal šią schemą.

20x20 "saloje" gyvena laukiniai triušiai, vilkai ir vilkai. Yra keletas kiekvienos rūšies atstovų. Triušiai kiekvienu laiko momentu su ta pačia 1/9 tikimybe pereina į vieną iš aštuonių gretimų kvadratų (išskyrus ribotas sritis pakrantės linija) arba tiesiog sėdėti nejudėdamas. Kiekvienas triušis turi 0,2 tikimybę pavirsti dviem triušiais. Kiekviena vilkė atsitiktinai juda, kol jos medžiojamas triušis atsiduria viename iš aštuonių gretimų laukelių. Jei vilkas ir triušis yra vienoje aikštėje, vilkas suėda triušį ir gauna vieną tašką. Priešingu atveju ji praranda 0,1 taško.

Vilkai ir vilkai, turintys nulį taškų, miršta. Pradiniu laiko momentu visi vilkai ir vilkai turi 1 tašką. Vilkas elgiasi kaip vilkas, kol kaimyniniuose aikštėse išnyksta visi triušiai; tada, jei vilkė yra vienoje iš aštuonių netoliese esančių aikščių, vilkas ją persekioja.

Jei vilkas ir vilkė yra toje pačioje aikštėje ir nėra triušio, kuris galėtų valgyti, jie susilauks atsitiktinės lyties palikuonių.

Stebėkite gyventojų skaičiaus pokyčius per tam tikrą laikotarpį. Stebėti, kaip modelio parametrų pokyčiai veikia populiacijų evoliuciją.

23 variantas

Modeliuoti grybelinės infekcijos plitimo per tokio dydžio odos plotą procesą n x p(p- nelyginės) ląstelės.

Daroma prielaida, kad pradinė užkrėsta odos ląstelė yra centrinė. Kiekvienu laiko intervalu užkrėsta ląstelė gali užkrėsti bet kurią šalia esančią sveiką ląstelę su 0,5 tikimybe. Po šešių laiko vienetų užkrėsta ląstelė tampa atspari infekcijai, susidaręs imunitetas išlieka kitus keturis laiko vienetus, tada ląstelė pasirodo esanti sveika. Aprašyto proceso modeliavimo metu išvestis dabartinė būklė imituojamas odos plotas kiekvienu laiko intervalu, pažymint užkrėstas, atsparias infekcijai ir sveikas ląsteles.

Stebėkite, kaip lauko dydžio pokyčiai ir užsikrėtimo tikimybė veikia modeliavimo rezultatus.

24 variantas

Išsamiai parengti ir įgyvendinti teršalų pasiskirstymo modelį aplinką gamyklos kamino į atmosferą išmetamos medžiagos dalelės (pavyzdžiui, pelenai, susidarantys deginant anglį elektrinėje). Apsvarstykite, kad dalelės judėjimas susideda iš dviejų komponentų: in horizontali plokštuma- veikiant atsitiktiniams vėjo gūsiams, vertikaliai - veikiant gravitacijai.

Tolesnis skaitymas

1. Bailey N. Statistiniai biologijos metodai: vert. iš anglų kalbos - M.: IL, 1962 m.

2. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N.Įvadas į eilių teoriją. - M.: Nauka, 1966 m.

3. Saati T. Eilių teorijos elementai ir jos pritaikymai: Vertimas. iš anglų kalbos - M.: Sov. radijas, 1991 m.

4. Shannon R. Imitacinis sistemų modeliavimas – menas ir mokslas: Vert. iš anglų kalbos - M.: Mir, 1978 m.

7 skyriaus testai

Panagrinėkime stacionarių normaliųjų ir Markovo atsitiktinių procesų modeliavimo algoritmus. Šie procesai plačiai naudojami kaip matematiniai modeliaiįvairių rūšių realūs procesai, vykstantys sudėtingose ​​techninėse sistemose. Žemiau pateikiame keletą esminių apibrėžimų ir sąvokų, priimtų koreliacijos ir spektrines teorijas atsitiktinės funkcijos.

Atsitiktinė funkcija vadinama neatsitiktinio argumento t funkcija, kuri kiekvienai fiksuotai argumento reikšmei yra atsitiktinis kintamasis. Atsitiktinė funkcija laiko paskambino atsitiktinis procesas. Atsitiktinė funkcija koordinates taškai erdvėje vadinami atsitiktinis laukas. Konkretus vaizdas, priimtas atsitiktinio proceso kaip patirties rezultatas, vadinamas atsitiktinio proceso realizacija (trajektorija). Visos gautos atsitiktinio proceso realizacijos sudaro realizacijų ansamblį. Realizacijų vertės tam tikru laiku (laiko atkarpos) vadinamos momentinėmis atsitiktinio proceso reikšmėmis.

Įveskime tokį žymėjimą: X(t) - atsitiktinis procesas; x i (t) - i-tas proceso X(t) įgyvendinimas; x i (t j) - momentinė proceso X(t) reikšmė, atitinkanti i-ąjį įgyvendinimą j-uoju laiko momentu. Momentinių verčių rinkinys, atitinkantis skirtingų realizacijų reikšmes tuo pačiu laiko momentu t j, bus vadinamas j-ąja proceso X(t) seka ir žymimas x(t j). Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad atsitiktinio proceso argumentai gali būti laikas ir įgyvendinimo skaičius. Šiuo atžvilgiu pagrįsti du būdai tirti atsitiktinio proceso savybes: pirmasis pagrįstas įgyvendinimų rinkinio analize, antrasis veikia su sekų rinkiniu – laiko atkarpomis. Atsitiktinio proceso tikimybinių charakteristikų verčių priklausomybės nuo laiko arba įgyvendinimo skaičiaus buvimas ar nebuvimas lemia tai. pagrindinės savybės stacionarumas ir ergodiškumas. Stacionarus procesas vadinamas tikimybinės charakteristikos kuri nepriklauso nuo laiko. Ergodiškas yra procesas, kurio tikimybinės charakteristikos nepriklauso nuo įgyvendinimo skaičiaus.

Atsitiktinis procesas vadinamas normalus(arba Gauso) procesas, jei vienmatis ir dvimačiai dėsniai bet kurios jos atkarpos skirstiniai yra normalūs. Išsamios normalaus atsitiktinio proceso charakteristikos yra jo matematinė lūkesčių ir koreliacijos funkcija. Stacionariam normaliam atsitiktiniam procesui MOF yra pastovus, o koreliacijos funkcija priklauso tik nuo skirtumo tarp laiko momentų, kuriems paimtos atsitiktinio proceso ordinatės ( =t 2 -t 1). Stacionariam atsitiktiniam procesui, jei atsitiktinio proceso X(t 2) ordinatės nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio m x momentu t 2 yra pakankamai didelis, jis tampa praktiškai nepriklausomas nuo šio nuokrypio reikšmės momentu t 1. Šiuo atveju koreliacijos funkcija K(t), kuri suteikia jungties tarp X(t 2) ir X(t 1) momento reikšmę, bus linkusi į nulį. Todėl K() gali mažėti monotoniškai, kaip parodyta 2.2 pav., arba turėti formą, parodytą 2.3 pav. Formos funkcija (2.2 pav.), kaip taisyklė, aproksimuojama išraiškomis:

(2.38)

ir formos funkcija (2.3 pav.) - su išraiškomis:

2.2 pav. 2.3 pav.

Stacionaraus atsitiktinio proceso stabilumas laike leidžia pakeisti argumentą – laiką – kokiu nors pagalbiniu kintamuoju, kuris daugelyje programų turi dažnio matmenį. Šis pakeitimas leidžia žymiai supaprastinti skaičiavimus ir pasiekti didesnį rezultatų aiškumą. Gauta funkcija (S()) vadinama stacionaraus atsitiktinio proceso spektriniu tankiu ir yra tarpusavyje susijusi su koreliacijos funkcija atvirkštinės transformacijos Furjė:

(2.42)

(2.43)

Yra ir kitų spektrinio tankio normalizacijų, pavyzdžiui:

(2.44)

Remiantis Furjė transformacijomis, nesunku gauti, pavyzdžiui, atsitiktiniam procesui, kurio K(t) formos (2.38):

(2.45)

Stacionarus atsitiktinis procesas, kurio spektrinis tankis yra pastovus (S(w)=S=const), vadinamas stacionariu baltas triukšmas. Stacionaraus baltojo triukšmo koreliacinė funkcija yra lygi nuliui visiems, o tai reiškia, kad bet kurios dvi jo dalys yra nekoreliuojamos.

Stacionaraus normalaus atsitiktinio proceso (SNSP) modeliavimo problemą galima suformuluoti kaip algoritmo, leidžiančio gauti diskrečius šio proceso įgyvendinimus kompiuteryje, suradimo problemą. Procesas X(t) tam tikru tikslumu pakeičiamas atitinkamu procesu X(nDt), kurio diskretinis laikas t n = nDt (Dt yra proceso atrankos žingsnis, n yra sveikasis skaičius). Dėl to atsitiktinis procesas x(t) bus susietas su atsitiktinėmis sekomis:

x k [n] = x k (nDt), (2,46)

kur k yra įgyvendinimo numeris.

Akivaizdu, kad atsitiktinis atsitiktinės sekos x(nDt) narys gali būti laikomas atsitiktine jo skaičiaus funkcija, t.y. sveikasis argumentas n ir tokiu būdu neįtraukti į Dt, į kurį atsižvelgiama rašant (2.46). Be to, norint atskirti sveikąjį skaičių nuo nuolat kintančio argumento, jis pateikiamas laužtiniuose skliaustuose.

Atsitiktinės sekos dažnai vadinamos diskrečiais atsitiktiniais procesais arba laiko eilutėmis.

Yra žinoma, kad neatsitiktinio kintamojo pridėjimas prie atsitiktinės funkcijos koreliacijos funkcijos reikšmės nekeičia. Todėl praktikoje labai dažnai modeliuojami centruoti atsitiktiniai procesai (MOR lygus nuliui), iš kurių visada galima pereiti prie tikrojo, pridėjus MOR prie atsitiktinės sekos narių, imituojančių atsitiktinį procesą.

Atsitiktinių sekų atveju koreliacijos funkcija ir spektrinis tankis apskaičiuojami iš priklausomybių:

(2.47)

(2.48)

Atsitiktinio proceso redukavimas į atsitiktinę seką iš esmės reiškia jo pakeitimą daugiamačiu vektoriumi. Todėl svarstomas atsitiktinių vektorių modeliavimo būdas, paprastai kalbant, tinka atsitiktiniams procesams, nurodytiems per baigtinį laiko intervalą, modeliuoti. Tačiau stacionarių normalių atsitiktinių procesų yra daugiau veiksmingi metodai modeliavimo algoritmų konstravimas. Panagrinėkime du praktikoje plačiausiai naudojamus metodus.

Atsitiktinių procesų ir laukų modeliavimo metodai. Statistinio modeliavimo metodas (Monte Karlo metodas), taikomas atsitiktinių procesų ir laukų kompiuteriniam modeliavimui, yra skirtas išspręsti diskrečių sekų, imituojančių nuolatines, atkūrimo problemą. atsitiktinės funkcijos su nurodytomis tikimybinėmis charakteristikomis.

Apsiribokime apsvarstydami dažniausiai naudojamus stacionarių Gauso skaliarinių procesų ir laukų modeliavimo algoritmus. Visus nagrinėjamus procesus ir sritis laikysime centruotais.

Yra dviejų tipų algoritmai, kurių pagalba kompiuteryje galima sugeneruoti atskirus atsitiktinio proceso įgyvendinimus. Pirmojo tipo algoritmai apima diskrečios reikšmių sekos, t. iš anksto pasirinktų laiko momentų rinkinys Diskretizacijos žingsnis paprastai laikomas pastoviu: tada iš proceso stacionarumo seka sekos stacionarumas.

Šio tipo algoritmai yra pagrįsti stacionarios nepriklausomų Gauso skaičių sekos su parametrais tiesine transformacija į seką, koreliuojamą pagal tam tikrą dėsnį.

kur yra modeliuojamo proceso koreliacinė funkcija. Šiuo atveju atitinkamo operatorius tiesinė transformacija parašytas arba kaip slankioji suma su svoriu

arba pasikartojančios lygties forma, pvz

Atsitiktinio proceso koreliacinės funkcijos tipas, atkuriamas naudojant ryšius (49), (50), lemia koeficientų reikšmių aibę.

Antrasis tipas apima algoritmus, pagrįstus modeliuojamų procesų vaizdavimu išplėtimo forma

kur yra kokia nors deterministinių funkcijų sistema; atsitiktinis vektorius. Šiuo atveju atsitiktinio proceso modeliavimas sumažinamas iki vektorių realizacijų atkūrimo ir vėlesnio verčių skaičiavimo pagal

formulė (51). Atsitiktinių vektorių modeliavimo algoritmus koreliacijos teorijos rėmuose galima rasti, pavyzdžiui, .

Atsitiktinių laukų statistinio modeliavimo tikslas yra atkurti lauko reikšmių realizacijų rinkinį atskiruose taškuose.

Toliau mes nedarysime formalaus skirtumo tarp erdvinių koordinačių ir laiko ir apsiribosime vienarūšių atsitiktinių laukų atveju. Atsitiktinių laukų modeliavimo algoritmai, kaip taisyklė, yra atitinkamų atsitiktinių procesų modeliavimo algoritmų apibendrinimas kintamųjų atveju.

Gauso baltojo triukšmo modeliavimas. At statistinis modeliavimas atsitiktinius procesus ir laukus, atsiranda poreikis modeliuoti stacionarų delta koreliacinį Gauso procesą (intensyvumo baltasis triukšmas arba jo daugiamatis analogas. Kompiuteryje tik sutrumpintas baltas triukšmas su baigtine dispersija, kurios spektrinis tankis ir koreliacinė funkcija pateikti lentelėje. 1 Modeliavimo parametras parenkamas taip, kad seka būtų nekoreliuojama. Ši sąlyga bus įvykdyta, jei pasirinksite mėginių ėmimo etapą. Modeliavimo algoritmas turi formą

Judančio sumavimo metodas atsitiktiniams procesams modeliuoti. Algoritmas (49) leidžia atkurti sekas kompiuteryje, kaip norite ilgas ilgis, kurios nuo pat pradžių turi stacionarumo savybę. Galima apskaičiuoti svorio koeficientus įvairiais būdais. Veiksmingas metodas yra pagrįstas Furjė serijos modeliuojamo proceso spektrinio tankio išplėtimu. Transformacija (49) paimama formoje

ir koeficientus

Atrankos žingsnis ir serijos terminų skaičius pasirenkamas iš sąlygos

kur yra leistina paklaida;

Stacionarių atsitiktinių procesų su trupmeniniu-racionaliu spektriniu tankiu modeliavimas. Imituoti atsitiktinius procesus su trupmeniniu-racionaliu spektriniu tankiu (žr. 1 lentelę, procesai Nr. 3, 4, 7, 8) formos

kur polinomai yra santykiniai su tvarka, todėl (50) tipo algoritmas yra veiksmingas. Spektrinis tankis sekos

gali būti sumažintas iki formos

Koeficientai naudojami pasikartojimo lygtyse (50). Ryšiai (50) leidžia gauti diskrečius savavališkai didelio ilgio atsitiktinių procesų įgyvendinimus. Pradinės sąlygos(50), skaičiuodami pirmąsias sekos reikšmes, galite pasirinkti savavališkas (pavyzdžiui, nulį). Dėl to vyksta pereinamasis procesas, kurio metu pradinė dalis sukurtas įgyvendinimas bus iškraipytas. Šios prekybos zonos dydis priklauso nuo koreliacinės savybės imituojamas procesas.

Atsitiktinių procesų modeliavimas naudojant kanoninę plėtrą. Stacionariems Gauso atsitiktiniams procesams galioja plėtra, panaši į (19):

kur yra nepriklausomos ir stochastiškai ortogonalios atsitiktinės funkcijos. Darant prielaidą, kad už ir pakeičiant integralą galutinė suma, gauname

Čia yra Gauso atsitiktiniai dydžiai su tokiomis tikimybinėmis charakteristikomis:

Iš sąlygos parenkamas serijos terminų skaičius (58).

Kartu su (58) galima naudoti išplėtimą

Realizacijos, gautos naudojant (58), (59) išraiškas, yra periodinės, todėl neturi ergodiškumo savybės. Bendras orumas išplėtimai (58) ir (59) – modeliavimo algoritmo paprastumas, o trūkumas yra būtinybė atsižvelgti į didelis skaičius serialo nariai.

Išplėtimus (58) ir (59) patogu naudoti norint gauti atskirus atsitiktinių procesų įgyvendinimus nevienodu atstumu išdėstytuose taškuose.

Kiti atsitiktinių procesų modeliavimo metodai. Daugeliu atvejų modeliavimo metodas, pagrįstas dekompozicijos naudojimu, yra veiksmingas

Čia yra atsitiktiniai kintamieji su sąnario tankis tikimybės

Pagal centrinę ribinę teoremą realizacijų pasiskirstymas (60) at linkęs į Gauso. Be to, įgyvendinus jie bus asimptotiškai ergodiški matematinis lūkestis ir koreliacijos funkcija.

Kartu su (60) galima naudoti išplėtimą

Čia atsitiktiniai dydžiai su jungties tikimybės tankiu

Be to, galima daryti prielaidą, kad dydžių pasiskirstymo dėsnis yra vienodas intervale (0,1), o jų įgyvendinimai modeliuojami naudojant ryšius

Čia pateikiami atsitiktiniai skaičiai, tolygiai paskirstyti per intervalą (0,1), kurie generuojami kompiuteryje naudojant programinės įrangos jutiklius. Įgyvendinimų modeliavimas atliekamas naudojant vieną iš atsitiktinių reikšmių modeliavimo metodų su nurodytu paskirstymo įstatymu. Atitinkamus algoritmus galima rasti, pavyzdžiui, in.

Lentelėje 2 lentelėje pateikiami dažniausiai pasitaikantys stacionarių atsitiktinių procesų koreliacijos funkcijų tipai ir atitinkami modeliavimo algoritmai.

Judantys sumavimo metodai atsitiktinių laukų modeliavimui.Šio tipo algoritmai yra susiję su vienalyčio delta koreliuojamo lauko transformavimu į lauką su tam tikru koreliacijos funkcijaŠi transformacija turi formą

Greeno funkcija randama iš lygties

(žr. nuskaitymą)

Diskretūs lauko įgyvendinimai atkuriami naudojant slankiąją sumavimo formulę

Čia yra konstanta, kurią lemia atrankos žingsnio pasirinkimas; - diskrečiųjų vertybių kurių įgyvendinimo laukai atkuriami naudojant tokią formulę kaip (52).

Kiti imitavimo būdai

mėgdžioti- reiškia suartėti tikrus objektus su konkrečiais (realiais) elgesio dėsniais, pridedant procesui atsitiktinumo.

Diferencialinės lygtys viskas pilnai suvidurkinta. Diferencialinės lygtys iš esmės yra deterministinės. Jie yra labai geri, nes suteikia vientisą charakteristiką (kaip visuma).

Tačiau tai tik pirmas žingsnis realių sistemų tyrimo link. Realioje sistemoje tyrėją domina detalės.

1-as būdas. Perėjimas prie skirtumų lygčių(šis metodas buvo aktyviai naudojamas kuriant skaitmeniniai metodai DU sprendimai). Metodas vadinamas proceso diskretizavimu.

Turime nuotolinio valdymo sistemą

.

Mes pakeičiame

be galo mažas intervalas į mažą.

Skaičiuojame kiekvieną kitą vertę per ankstesnes.

Čia turime turėti omenyje, kad koeficientai jau turi skirtingą dimensiją (ir reikšmę) ir priklauso nuo laiko intervalo, per kurį vertės perskaičiuojamos, dydžio.

Diskretaus proceso įgyvendinimas MVS aplinkoje – naudojant mazgą su tuščiu elgesiu ir cikliniais perėjimo lankais.

Ryžiai. 1. Diskretaus proceso įgyvendinimas

Diskretaus proceso laiko diagrama turi gabalų pastovios funkcijos formą su šuoliais (nutrūkimais) taškuose t i verčių perskaičiavimas.

Taigi mes pakeitėme tęstinis modelis diskretiškas su dalimis nuolatinė funkcija, kuris rodo skaičių šuolius tam tikrais intervalais.

2-as būdas. Aprašymas vietinius įstatymus elgesį

Padalinkime produkto kiekio kitimo dėsnį į du elgsenos būdus: produkto praradimo dėsnį, produkto augimo dėsnį.

Panašiai ir dėl išteklių

Ryžiai. 2. Struktūrinis modelis su vietiniais įstatymais

3-ias būdas. Atsitiktinumo pridėjimas

Norėdami įvesti atsitiktinumą, kiekvienoje iteracijoje apskaičiuosime naujas koeficientų reikšmes kaip kai kurie atsitiktiniai skaičiai, paskirstyti pirmuoju aproksimavimu normalus įstatymas su duotu vidurkiu (laukimu) ir dispersija.

O jei dar atsižvelgsime vietinis elgesys nuosmukį ir augimą, tuomet galite nustatyti perėjimų tikimybes pagal vieną ar kitą dėsnį.

Ir dėl tikimybių šį modelį galėsime derinti ir ištirti.

Taigi pagrindiniai būdai priartinti modelį prie realios sistemos yra šie:

• detalizuoti sistemos struktūrą;
• perėjimas prie atskirų procesų;
• detalus elgesys;
• perėjimas prie atsitiktinių procesų.

Visų šių metodų derinys yra imitacinis modeliavimas (tikrasis).

Dabar jie naudoja ką nors kita modernus pavadinimas – agentu pagrįstas modeliavimas . Tai iš tikrųjų yra klasikinis statistinis modeliavimas.

Yra du modeliavimo būdai.

Pirma: nuo objekto iki modelio (mes nustatome būseną tikroji sistema pradiniu laiko momentu ir imituoti, kas bus toliau).

Gali būti ir priešinga situacija: nuo modelio iki objekto (kuriame modelį, studijuojame, kokiomis tikimybėmis ir pradines vertes vaizdas bus stabilus arba nestabilus, ir mes pateikiame rekomendacijas)

Taip vyksta ciklas Duomenų modelio naujų duomenų apdorojimas.

Detalizuodami sistemą nustatome ne matematinius dėsnius, o konkrečius (elgesio) arba, kitaip tariant, lokalią sistemos dalių sąveiką tarpusavyje.

Ant 1-osios priemonės yra inicialas atsitiktinis pasiskirstymas tikimybę, kad elementas bus tam tikroje būsenoje.

Procedūrą kartojame cikliškai. Tai vadinama agentų pagrindu arba modeliavimu.

Tokiu atveju gauname diskrečiąsias (pakopinė konstanta) funkcijas.

Atsitiktinių procesų modeliavimas

Markovo procesai

Funkcija X(t) paskambino atsitiktinis , jei jo reikšmė bet kuriam argumentui yra atsitiktinis kintamasis.

Atsitiktinė funkcija X(t), kurio argumentas yra laikas, vadinamas atsitiktinis procesas .

Atsitiktinis procesas, vykstantis sistemoje S, paskambino Markovas (arba procesas be pasekmių), jei taip yra toliau nurodyta nuosavybė: bet kuriuo momentu t 0, bet kokios sistemos būsenos tikimybė ateityje (su t > t 0) priklauso tik nuo jo būsenos dabartyje (su t = t 0) ir nepriklauso nuo to, kada ir kaip sistema S atėjo į šią būseną.

Markovo procesai yra ypatinga atsitiktinių procesų rūšis. Ypatinga vieta Markovo procesai be kitų atsitiktinių procesų klasių, yra dėl šių aplinkybių:

• Markovo procesams gerai išvystytas matematinis aparatas leidžia išspręsti daugelį praktines problemas;
• Markovo procesų pagalba galima apibūdinti (tiksliai arba apytiksliai) gana sudėtingų sistemų elgesį.

Markovo procesų klasifikacija

Markovo atsitiktinių procesų klasifikacija atliekama atsižvelgiant į funkcijų reikšmių rinkinio tęstinumą arba diskretiškumą. X(t) ir parametras t.

Yra šie pagrindiniai Markovo atsitiktinių procesų tipai:

• su diskrečiomis būsenomis ir diskrečiu laiku (Markov grandinė);
• su nuolatinėmis būsenomis ir diskrečiu laiku (Markovo sekos);
• su atskiromis būsenomis ir nuolatinis laikas(ištisinė Markovo grandinė);
• Su nuolatinė būsena ir nuolatinis laikas.

Tirsime procesus su diskrečiomis būsenomis, kurios labiausiai tinka ekonominiams procesams modeliuoti.

Būsenos grafikas

Markovo procesai su diskrečiomis būsenomis patogiai iliustruojami naudojant vadinamąjį būsenų grafiką, kur būsenos žymimos apskritimais S i sistemos S, o rodyklės rodo galimus perėjimus iš būsenos į būseną. Grafikas žymi tik tiesioginius perėjimus, o ne perėjimus per kitas būsenas. Galimi ankstesnės būsenos vėlavimai vaizduojami kaip „kilpa“, t. y. rodyklė, nukreipta iš šios valstybėsį jį.

Ryžiai. 3. Būsenos grafikas

Būsenų gali būti baigtinis skaičius arba begalinis, bet suskaičiuojamas skaičius.

Vadinamas Markovo atsitiktinis procesas su diskrečiomis būsenomis ir diskrečiu laiku Markovo grandinė . Tokiam procesui akimirkos t 1, t 2,…. kai sistema S gali pakeisti savo būseną, ji laikoma nuoseklūs žingsniai procesas, o argumentas, nuo kurio priklauso procesas, yra ne laikas t, o žingsnio numeris 1, 2,..., k,... Atsitiktinis procesas šiuo atveju pasižymi būsenų seka S(0), S(1), S(2),..., S(k),..., kur S(0) yra pradinė sistemos būsena (prieš pirmą žingsnį); S(1)– sistemos būsena po pirmojo žingsnio; S(k)– sistemos būsena po k-to žingsnio...

Būsenų seka S(1), S(2),..., S(k) galima žiūrėti kaip atsitiktinių įvykių seką.

Pažymėkime tikimybę būti po kžingsnis S k būsenoje. Tada

Praktiškai domina sistemos su baigtinis skaičius teigia S i (i = 1,…, n).

Baigtinių Markovo grandinių pavyzdžiai

1 pavyzdys. 4 modelis „Garažas“

Automobiliai garaže gali būti dviejų būsenų: darbinio (1) ir remonto (2).

Reguliariai stebėsime automobilių būklę. Pavyzdžiui, kartą per dieną (ryte, prieš pradedant darbą) nustatoma kiekvienos transporto priemonės būklė. Galimos šios situacijos:

• automobilis buvo tvarkingas ir išliko tvarkingas;
• automobilis buvo sugedęs ir pradėjo eksploatuoti;
• automobilis buvo tvarkingas ir sugedo;
• automobilis buvo sugedęs ir liko sugedęs.

Nubraižykime šios sistemos būsenų ir perėjimų grafiką

Ryžiai. 4

p 11 , p 12 , p 21 , p 22 , yra perėjimų iš būsenos į būseną tikimybės.

Jei automobilių tipas yra vienodas, tada visos tikimybės bus vienodos visiems automobiliams.

Tikimybes pavaizduokime matricos pavidalu

Skambino pereinamoji matrica .

Pereinamosios matricos savybės

1. Kiekviena eilutė apibūdina pasirinktą sistemos būseną, o jos elementai – visų galimų perėjimų tikimybes vienu žingsniu iš pasirinktos (nuo i th) būsena, įskaitant perėjimą į save.
2. Stulpelių elementai rodo visų galimų sistemos perėjimų vienu žingsniu tikimybes į duotą ( j-f) būsena (kitaip tariant, eilutė apibūdina sistemos perėjimo iš būsenos tikimybę, stulpelis - į būseną).
3. Kiekvienos eilutės tikimybių suma yra lygi vienetui, nes susidaro perėjimai pilna grupė nesuderinami įvykiai.
4. Išilgai pagrindinės perėjimo tikimybių matricos įstrižainės yra tikimybės Pii kad sistema neišeis iš valstybės i, bet jame išliks.

Pristatome vektorių – k=0,1,2,3...funkcija, apskaičiuojanti tikimybę kiekviename žingsnyje (cikle) likti vienoje iš dviejų būsenų.

Kiekvienos mašinos pradinės būsenos tikimybių vektorius. Pavyzdžiui, galime daryti prielaidą, kad pradinėje būsenoje mašina yra patikimai eksploatuojama, tada .

Apibūdinkime šį procesą medžio pavidalu

Be to, pirmame žingsnyje pridedama (nustatyta) pradinės būsenos tikimybė.

Jei pataisysi k=const, tada žinome visus galutinius sistemos rezultatus. Jei tikimybės p ij=const, tada šis procesas yra Markovo grandinė. Šis modelis įgyvendina begalinį procesą. Ilgai veikiant sistemai gali paaiškėti, kad būsenų tikimybės linkusios į tam tikrą skaičių. Šios ribines tikimybes paskambino pastovaus proceso tikimybės . Modeliuojant begalinius procesus, įdomu apskaičiuoti pastovaus proceso tikimybes.

2 pavyzdys. 5 modelis „Kubas ir monetos“

Yra dvi monetos A ir B bei kubas K. Viena turi herbą ir galvutes, o kita – abi galvutes.

Žaidimas: atsitiktinai pasirinkite monetą ir meskite ją. Jei iškyla herbas, metame kauliuką, jei iškyla galvos, vėl metame tą pačią monetą.

Nubraižykime žaidimo būsenų grafiką

Rezultatų erdvė yra ribota. Visos tikimybės yra fiksuotos. Tai Markovo grandinė. Šiame modelyje matyti, kad procesas anksčiau ar vėliau baigiasi atsitiktinai pasirinkus monetą A. Jei buvo pasirinkta moneta B, tai procesas yra begalinis.

Paskyrimas savarankiškam darbui

Sukurkite šios sistemos perėjimo matricą.

3 pavyzdys. 6 modelis „Žaidimas“

Yra 5 valstybės. Tam tikru momentu dalelė (rutulys) yra vienoje iš būsenų S i. Kiekviename žingsnyje dalelė gali pereiti tik į kaimyninę būseną: in S i-1 su tikimybe p, V S i+1 su tikimybe q. Tuo pačiu metu (kaip žinoma) p +q=1. Jei dalelė pasiekia galutinę būseną, ji ten lieka amžinai. Tikimybės yra fiksuotos. Valstijose S i, i=2,3,4 dalelė negali likti.

Sukurkime matricą P, kuris apibūdina dalelės perėjimo iš būsenos tikimybes S i valstybėje S j.

Šis modelis rodo, kad procesas anksčiau ar vėliau baigsis. Taigi šis modelis vaizduoja baigtinę Markovo grandinę. Modeliuojant galutinius procesus, įdomu apskaičiuoti proceso pabaigos tikimybes konkrečiame mazge, taip pat vidutinę proceso trukmę.

4 pavyzdys. 7 modelis „Universitetinis išsilavinimas“

Studijų universitete procesas – 4 studijų metai (bakalauro laipsnis). Pabrėžkime šias būsenas