Atsitiktinių procesų charakteristikų modeliavimas ir tyrimas. būdas

6.1. STOCHASTINIS MODELIAVIMO TECHNIKA

„Atsitiktinio“ sąvoka yra viena iš svarbiausių tiek matematikoje, tiek kasdienybė. Modeliavimas atsitiktiniai procesai- galingiausia šiuolaikinio kryptis matematinis modeliavimas.

Įvykis vadinamas atsitiktiniu, jei jis yra patikimai nenuspėjamas. Atsitiktinumai supa mūsų pasaulį ir dažniausiai vaidina neigiamas vaidmuo mūsų gyvenimuose. Tačiau yra aplinkybių, kai atsitiktinumas gali būti naudingas.

IN sudėtingi skaičiavimai, kai norimas rezultatas priklauso nuo daugelio faktorių, modelių ir matavimų rezultatų, skaičiavimų kiekį galima sumažinti atsitiktinės reikšmės reikšmingi skaičiai. Iš evoliucijos teorijos išplaukia, kad atsitiktinumas pasireiškia kaip konstruktyvus, teigiamas veiksnys. Visų pirma, natūrali atrankaįgyvendina savotišką bandymų ir klaidų metodą, vystymosi procese atrenkant tinkamiausias organizmo savybes turinčius asmenis. Be to, atsitiktinumas pasireiškia jo rezultatų įvairove, suteikiančiu lankstumo gyventojų reagavimui į išorinės aplinkos pokyčius.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, tikslinga atsitiktinumą remtis metodais, kaip gauti sprendimą naudojant bandymus ir klaidas, atliekant atsitiktinę paiešką.

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau, pateikę modeliavimo modeliavimo pavyzdį - žaidimą „Gyvenimas“, mes jau iš esmės stochastinis modelis. Šiame skyriuje plačiau aptarsime tokio modeliavimo metodiką.

Taigi, kai kurių įvesties parametrų reikšmės funkciniame modelyje turi būti apibrėžtos tik tikimybine prasme. Tokiu atveju labai pasikeičia darbo su modeliu stilius.

Rimtai apsvarsčius, žodžiai „tikimybių pasiskirstymas“, „patikimumas“, „ statistinė imtis“, „atsitiktinis procesas“ ir kt.

Kompiuteriniame matematiniame atsitiktinių procesų modeliavime neapsieinama be aibių vadinamųjų atsitiktiniai skaičiai, atitinkantis pateiktą paskirstymo įstatymą. Tiesą sakant, šiuos skaičius generuoja kompiuteris konkretus algoritmas, t.y. jie nėra visiškai atsitiktiniai, jau vien todėl, kad paleidus programą iš naujo su tais pačiais parametrais seka kartosis; tokie skaičiai vadinami „pseudoatsitiktiniais“.

Pirmiausia panagrinėkime skaičių generavimą, vienodai paskirstytą tam tikram segmentui. Dauguma atsitiktinių skaičių generavimo programų sukuria seką, kurioje ankstesnis skaičius naudojamas norint rasti kitą. Pirmasis yra pradinė vertė. Visi atsitiktinių skaičių generatoriai sukuria sekas, kurios kartojasi po tam tikro terminų skaičiaus, vadinamo tašku, kuris yra susijęs su baigtiniu mašinos žodžio ilgiu. Paprasčiausias ir labiausiai paplitęs metodas yra likučių metodas arba tiesinis kongruentinis metodas, kai sekantis atsitiktinis skaičius xn apibrėžiamas "kartojimas"

Kur a, Su, m - natūraliuosius skaičius, mod – vadinamoji modulo padalijimo funkcija (vieno skaičiaus dalijimo iš kito modulo likutis). Didžiausias galimas jutiklio periodas (7.69) lygus T; tačiau tai priklauso nuo A Ir Su. Aišku, kas ilgesnis laikotarpis, tuo geriau; tačiau tikrai didžiausias m ribojamas kompiuterio bitų tinklelio. Bet kokiu atveju naudojamas konkreti užduotis atsitiktinių skaičių imtis turi būti trumpesnė už periodą, kitaip problema bus išspręsta neteisingai. Atminkite, kad generatoriai paprastai sukuria ryšį DIV_ADBLOCK304">

Atsitiktinumo klausimas baigtinė seka skaičiai yra daug sudėtingesni, nei atrodo iš pirmo žvilgsnio. Yra keli statistiniai atsitiktinumo kriterijai, tačiau jie visi nepateikia išsamaus atsakymo. Taigi, nuosekliai generuojami pseudoatsitiktiniai skaičiai gali pasirodyti ne visiškai vienodai, bet linkę sudaryti grupes (t. y. koreliuoti) Vienas iš vienodumo testų yra padalinti segmentą iš M lygiomis dalimis – „krepšeliai“, o kiekvieną naują atsitiktinį skaičių įdedant į atitinkamą „krepšelį“. Gaunama histograma, kurioje kiekvieno stulpelio aukštis yra proporcingas atsitiktinių skaičių „krepšelyje“ skaičiui (7.54 pav.).

Ryžiai. 7.54. Skaičių, tolygiai paskirstytų segmente su pakankamai didele imtimi, histogramos vaizdas

Akivaizdu, kad atliekant daugybę bandymų, kolonų aukščiai turėtų būti beveik vienodi. Tačiau šis kriterijus yra būtinas, bet nepakankamas; Pavyzdžiui, „nepastebi“ net ir labai trumpų periodiškumų. Taigi, PASCAL yra atsitiktinė funkcija, kurios reikšmės yra atsitiktiniai skaičiai iš diapazono, nesunku gauti skaičius iš savavališko intervalo [ a, b].

X = a + (b - a)∙r.

Daugiau sudėtingi paskirstymai dažnai sukonstruoti naudojant vienodą paskirstymą. Čia paminėsime tik vieną gana universalų Neumano metodą (dažnai dar vadinamą atrankos-atmetimo metodu), kuris paremtas paprastu geometriniu svarstymu. Tarkime, kad reikia generuoti atsitiktinius skaičius su kokia nors normalizuoto skirstinio funkcija f(x) intervale [ a, b]. Įveskime teigiamą specifinė funkcija palyginimai w(x) toks kad w(x)= const ir w(x) >f(x) ant [ a, b] (paprastai w(x) lygus maksimali vertė f(x) ant [ a, b]). Kadangi plotas po kreive f(x) lygus intervalui [ x, x + dx] pataikymo tikimybė X Per šį intervalą galima atlikti bandymų ir klaidų procedūrą. Sugeneruojame du atsitiktinius skaičius, kurie nustato vienodai tikėtinas koordinates stačiakampyje ABCD naudojant tolygiai paskirstytą atsitiktinių skaičių jutiklį:

x = a + (b - a)∙r, y = w∙r

o jei taškas M(x, y) nepatenka po kreive f(x), išmetame, o jei pataiko, paliekame (7.55 pav.). Šiuo atveju koordinačių rinkinys X iš likusių taškų pasiskirsto pagal tikimybių tankį f(x).

Ryžiai. 7.55. Atrankos-atsisakymo metodas. Funkcija w(x) = f maks

Šis metodas nėra pats efektyviausias daugeliui paskirstymų, tačiau yra universalus, paprastas ir suprantamas. Tai veiksminga, kai palyginimo funkcija w(x) arti f(x). Atkreipkite dėmesį, kad niekas neverčia mūsų imtis w(x)= const per visą intervalą [ a, b]. Jeigu f(x) turi greitai krentančius „sparnus“, tuomet protingiau imti w(x) kaip žingsninė funkcija.

6.2. ATSITIKTINIŲ PROCESŲ MODELIAVIMAS EILIŲ SISTEMOSE

Kas nestovėjo eilėje ir nekantriai svarstė, ar per jam skirtą laiką pavyks nusipirkti (ar susimokėti nuomą, pasivažinėti karusele ir pan.)? Arba bandydamas paskambinti pagalbos telefonu ir kelis kartus atsitrenkdamas į trumpus pyptelėjimus, susinervini ir įvertini, galiu susitvarkyti ar ne? Iš tokių „paprastų“ problemų XX amžiaus pradžioje labai sunkus mokslas- teorija eilėje, naudojant tikimybių teorijos ir matematinės statistikos aparatą, diferencialines lygtis ir skaitmeniniai metodai. Jos įkūrėjas buvo danų mokslininkas, tyrinėjęs telefono stočių veikimo problemas.

Vėliau paaiškėjo, kad naujas mokslas turi daug išeičių į ekonomiką ir karinius reikalus. gamybos organizavimas, biologija ir ekologija; Ant jo parašyta dešimtys knygų ir tūkstančiai žurnalų straipsnių.

Kompiuterinis modeliavimas sprendžiant eilių problemas. įdiegtas statistinių testų metodo forma (Monte Karlo metodas), nors jis nėra pagrindinis eilių teorijoje, bet vaidina joje tam tikrą vaidmenį svarbus vaidmuo. Pagrindinė jos kryptis – analitinių rezultatų gavimas, t.y. pateikiami formulėmis. Tačiau galimybės analizės metodai yra labai riboti, o statistinio testavimo metodas yra universalus ir labai paprastas suprasti (bent jau taip atrodo).

Tipiška užduotis: eilė pas vieną „pardavėją“. Panagrinėkime vieną iš paprasčiausių problemų šios klasės. Yra parduotuvė su vienu pardavėju, į kurią atsitiktinai patenka pirkėjai. Jei pardavėjas laisvas, jis pradeda aptarnauti pirkėją iš karto, jei pirkėjų yra keli, susidaro eilė.

Čia yra panašios užduotys:

Remonto zona motorinių transporto priemonių parke ir autobusuose, kurie paliko liniją dėl gedimo;

Priėmimo palata ir pacientai, atvykę į susitikimą dėl traumos (t. y. be priėmimo sistemos);

Telefono stotis su vienu įėjimu (arba vienu telefono operatoriumi) ir abonentais, kurie statomi į eilę, kai įėjimas užimtas (tokia sistema kartais praktikuojama);

Serveris vietinis tinklas ir asmeniniai kompiuteriai darbo vietoje, kurie siunčia pranešimą į serverį, galintį priimti ir apdoroti ne daugiau kaip vieną pranešimą vienu metu.

Aiškumo dėlei pakalbėsime apie parduotuvę, klientus ir pardavėją. Panagrinėkime čia kylančias problemas, kurių verta matematiniai tyrimai ir, kaip paaiškėja, labai rimta.

Taigi, šios problemos indėlis yra atsitiktinis klientų atėjimo į parduotuvę procesas. Tai yra „Markovo“, t. y. intervalai tarp bet kurios iš eilės pirkėjų poros atvykimo yra nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai, paskirstyti pagal tam tikrą dėsnį. Tikrasis šio įstatymo pobūdis gali būti nustatytas tik atlikus daugybę stebėjimų; Kaip paprasčiausią modelio tikimybės tankio funkciją, galime paimti lygiavertį pasiskirstymą laiko intervale nuo 0 iki kai kurių T - maksimalus galimas intervalas tarp dviejų iš eilės klientų atvykimo. Esant tokiam pasiskirstymui, tikimybė, kad tarp dviejų klientų atvykimo praeis 1 minutė, 3 minutės arba 8 minutės, yra vienoda (jei T > 8).

Panagrinėkime stacionarių normaliųjų ir Markovo atsitiktinių procesų modeliavimo algoritmus. Šie procesai plačiai naudojami kaip matematiniai modeliaiįvairūs realūs procesai, vykstantys komplekse technines sistemas. Žemiau pateikiame keletą esminių apibrėžimų ir sąvokų, priimtų koreliacijos ir spektrines teorijas atsitiktinės funkcijos.

Atsitiktinė funkcija vadinama neatsitiktinio argumento t funkcija, kuri kiekvienai fiksuotai argumento reikšmei yra atsitiktinis kintamasis. Atsitiktinė funkcija laiko paskambino atsitiktinis procesas. Atsitiktinė funkcija koordinates taškai erdvėje vadinami atsitiktinis laukas. Konkretus vaizdas, priimtas atsitiktinio proceso kaip patirties rezultatas, vadinamas atsitiktinio proceso realizacija (trajektorija). Visos gautos atsitiktinio proceso realizacijos sudaro realizacijų ansamblį. Realizacijų vertės tam tikru laiku (laiko atkarpos) vadinamos momentinėmis atsitiktinio proceso reikšmėmis.

Įveskime tokį žymėjimą: X(t) - atsitiktinis procesas; x i (t) - i-tas proceso X(t) įgyvendinimas; x i (t j) - momentinė proceso X(t) reikšmė, atitinkanti i-ąjį įgyvendinimą j-uoju laiko momentu. Momentinių verčių rinkinys, atitinkantis skirtingų realizacijų reikšmes tuo pačiu laiko momentu t j, bus vadinamas j-ąja proceso X(t) seka ir žymimas x(t j). Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad atsitiktinio proceso argumentai gali būti laikas ir įgyvendinimo skaičius. Šiuo atžvilgiu pagrįsti du būdai tirti atsitiktinio proceso savybes: pirmasis pagrįstas įgyvendinimų rinkinio analize, antrasis veikia su sekų rinkiniu – laiko atkarpomis. Atsitiktinio proceso tikimybinių charakteristikų verčių priklausomybės nuo laiko arba įgyvendinimo skaičiaus buvimas ar nebuvimas lemia tai. pagrindinės savybės stacionarumas ir ergodiškumas. Stacionarus procesas vadinamas tikimybinės charakteristikos kuri nepriklauso nuo laiko. Ergodiškas yra procesas, kurio tikimybinės charakteristikos nepriklauso nuo įgyvendinimo skaičiaus.

Atsitiktinis procesas vadinamas normalus(arba Gauso) procesas, jei vienmatis ir dvimačiai dėsniai bet kurios jos atkarpos skirstiniai yra normalūs. Išsamios įprasto atsitiktinio proceso charakteristikos yra jos matematinis lūkestis ir koreliacijos funkcija. Stacionariam normaliam atsitiktiniam procesui MOF yra pastovus, o koreliacijos funkcija priklauso tik nuo skirtumo tarp laiko momentų, kuriems paimtos atsitiktinio proceso ordinatės ( =t 2 -t 1). Stacionariam atsitiktiniam procesui, jeigu atsitiktinio proceso X(t 2) ordinatės nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio m x momentu t 2 yra pakankamai didelis, jis tampa praktiškai nepriklausomas nuo šio nuokrypio reikšmės momentu t 1. Šiuo atveju koreliacinė funkcija K(t), kuri suteikia jungties tarp X(t 2) ir X(t 1) momento reikšmę, bus linkusi į nulį. Todėl K() gali mažėti monotoniškai, kaip parodyta 2.2 pav., arba turėti formą, parodytą 2.3 pav. Formos funkcija (2.2 pav.), kaip taisyklė, aproksimuojama išraiškomis:

(2.38)

ir formos funkcija (2.3 pav.) - su išraiškomis:

2.2 pav. 2.3 pav.

Stacionaraus atsitiktinio proceso stabilumas laike leidžia pakeisti argumentą – laiką – kokiu nors pagalbiniu kintamuoju, kuris daugelyje programų turi dažnio matmenį. Šis pakeitimas leidžia žymiai supaprastinti skaičiavimus ir pasiekti didesnį rezultatų aiškumą. Iškviečiama gauta funkcija (S()). spektrinis tankis stacionarus atsitiktinis procesas ir yra tarpusavyje susijęs su koreliacijos funkcija atvirkštinės transformacijos Furjė:

(2.42)

(2.43)

Yra ir kitų spektrinio tankio normalizacijų, pavyzdžiui:

(2.44)

Remiantis Furjė transformacijomis, nesunku gauti, pavyzdžiui, atsitiktiniam procesui, kurio K(t) formos (2.38):

(2.45)

Stacionarus atsitiktinis procesas, kurio spektrinis tankis yra pastovus (S(w)=S=const), vadinamas stacionariu baltas triukšmas. Stacionaraus baltojo triukšmo koreliacinė funkcija yra lygi nuliui visiems, o tai reiškia, kad bet kurios dvi jo dalys yra nekoreliuojamos.

Stacionaraus normalaus atsitiktinio proceso (SNSP) modeliavimo problemą galima suformuluoti kaip algoritmo, leidžiančio gauti diskrečius šio proceso įgyvendinimus kompiuteryje, suradimo problemą. Procesas X(t) tam tikru tikslumu pakeičiamas atitinkamu procesu X(nDt), kurio diskretinis laikas t n = nDt (Dt yra proceso atrankos žingsnis, n yra sveikasis skaičius). Dėl to atsitiktinis procesas x(t) bus susietas su atsitiktinėmis sekomis:

x k [n] = x k (nDt), (2,46)

kur k yra įgyvendinimo numeris.

Akivaizdu, kad atsitiktinis atsitiktinės sekos x(nDt) narys gali būti laikomas atsitiktine jo skaičiaus funkcija, t.y. sveikasis argumentas n ir tokiu būdu neįtraukti Dt, į kurį atsižvelgiama rašant (2.46). Be to, norint atskirti sveikąjį skaičių nuo nuolat kintančio argumento, jis pateikiamas laužtiniuose skliaustuose.

Atsitiktinės sekos dažnai vadinamos diskrečiais atsitiktiniais procesais arba laiko eilutėmis.

Yra žinoma, kad pridedant prie atsitiktinė funkcija neatsitiktinis kintamasis nekeičia koreliacijos funkcijos reikšmės. Todėl praktikoje labai dažnai modeliuojami centruoti atsitiktiniai procesai (MOR lygus nuliui), iš kurių visada galima pereiti prie tikrojo, pridėjus MOR prie atsitiktinės sekos narių, imituojančių atsitiktinį procesą.

Atsitiktinių sekų atveju koreliacijos funkcija ir spektrinis tankis apskaičiuojami iš priklausomybių:

(2.47)

(2.48)

Atsitiktinio proceso redukavimas į atsitiktinę seką iš esmės reiškia jo pakeitimą daugiamačiu vektoriumi. Todėl svarstomas atsitiktinių vektorių modeliavimo būdas, paprastai kalbant, tinka atsitiktiniams procesams, nurodytiems per baigtinį laiko intervalą, modeliuoti. Tačiau stacionarių normalių atsitiktinių procesų yra daugiau veiksmingi metodai modeliavimo algoritmų konstravimas. Apsvarstykite du metodus, kurie dažniausiai naudojami praktikoje.

Atsitiktinių procesų modeliavimas yra galingiausia šiuolaikinio matematinio modeliavimo kryptis.

Įvykis vadinamas atsitiktiniu, jei jis yra patikimai nenuspėjamas. Atsitiktinumai supa mūsų pasaulį ir dažniausiai atlieka neigiamą vaidmenį mūsų gyvenime. Tačiau yra aplinkybių, kai atsitiktinumas gali būti naudingas. Atliekant sudėtingus skaičiavimus, kai norimas rezultatas priklauso nuo daugelio veiksnių, modelių ir matavimų rezultatų, skaičiavimo kiekį galima sumažinti naudojant atsitiktines reikšmingų skaičių vertes.

Tikimybiniame modeliavime naudojami įvairūs metodai, leidžiantys spręsti problemas iš įvairiose srityse. Žemiau pateikiamos tikimybinių metodų taikymo sritys.

Statistinio modeliavimo metodas: matematinės fizikos ribinių reikšmių uždavinių sprendimas, tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas, matricų inversijos ir tinklelio metodai sprendžiant į jas redukuojančias sistemas diferencialines lygtis, kelių integralų skaičiavimas, integralų lygčių sprendimas, uždaviniai branduolinė fizika, dujų dinamika, filtravimas, šilumos inžinerija.

Imitacinio modeliavimo metodas: eilių sistemų modeliavimas, automatizuotų valdymo sistemų, automatinio valdymo sistemų ir procesų valdymo sistemų užduotys, informacijos saugumo problemos, sudėtingų žaidimo situacijų ir dinaminių sistemų modeliavimas.

Stochastinės aproksimacijos metodas: pasikartojantys statistinio įvertinimo uždavinių sprendimo algoritmai.

Atsitiktinės paieškos metodas: sistemų optimizavimo problemų sprendimas priklausomai nuo didelis skaičius parametrus, surandant daugelio kintamųjų funkcijos ekstremumus.

Kiti metodai: tikimybiniai modelio atpažinimo metodai, adaptacijos, mokymo ir savarankiško mokymosi modeliai.

Kompiuteriniame matematiniame atsitiktinių procesų modeliavime negalima apsieiti be vadinamųjų atsitiktinių skaičių aibių, tenkinančių duotą pasiskirstymo dėsnį. Tiesą sakant, šiuos skaičius generuoja kompiuteris, naudodamas tam tikrą algoritmą, t.y. jie nėra visiškai atsitiktiniai, jau vien todėl, kad paleidus programą iš naujo su tais pačiais parametrais, seka kartosis; tokie skaičiai vadinami „pseudoatsitiktiniais“.

Ne per daug reikliam vartotojui dažniausiai pakanka daugumoje programavimo kalbų įmontuoto atsitiktinių skaičių jutiklio (generatoriaus) galimybių. Taigi Paskalio kalboje yra atsitiktinė funkcija, kurios reikšmės yra atsitiktiniai skaičiai iš diapazono. Prieš jo naudojimą dažniausiai taikoma atsitiktinio atrankos procedūra, kuri skirta iš pradžių „sustatyti“ jutiklį, t.y. gauti skirtingas atsitiktinių skaičių sekas kiekvienam iškvietimui į jutiklį. Problemoms, kurių sprendimas reikalauja labai ilgų nesusijusių sekų, problema tampa sudėtingesnė ir reikalauja nestandartinių

1. Gamybos sistemų imitacinio modeliavimo ypatumai

Norint išanalizuoti gamybos sistemas, kurios yra labai sudėtingos, įvairios, neturinčios išsamaus matematinio aprašymo, taip pat pereina daugybę projektavimo, įgyvendinimo ir tobulinimo etapų, neįmanoma sukurti tinkamų matematinių modelių, nesvarbu, ar jie būtų loginiai, ar skaitmeniniai. Natūralu, kad čia naudojami modeliavimo modeliavimo metodai.

Sistemą galima vienareikšmiškai apibūdinti kiekvienai konkrečiai būsenai būdingų gamybos parametrų verčių rinkiniu. Jei šios reikšmės įvedamos į kompiuterį, tada jų pasikeitimus skaičiavimo proceso metu galima interpretuoti kaip sistemos perėjimo iš vienos būsenos į kitą modeliavimą. Esant tokioms prielaidoms modeliavimas gali būti traktuojamas kaip dinaminis sistemos atvaizdavimas, perkeliant ją iš vienos būsenos į kitą pagal jai būdingas veikimo taisykles.

Imituojant gamybos sistemas, jų būsenos pokyčiai vyksta atskirais laiko momentais. Pagrindinė sistemos modeliavimo koncepcija šiuo atveju yra parodyti jos būsenos pokyčius laikui bėgant. Taigi čia lemiamas veiksnys yra modeliuojamos sistemos būsenų identifikavimas ir nedviprasmiškas aprašymas.

Modeliavimo modeliai leidžia, nenaudojant jokių analitinių ar kitų funkcinių priklausomybių, parodyti sudėtingus objektus, susidedančius iš nevienalyčių elementų, tarp kurių yra įvairių ryšių. Į šiuos modelius galima įtraukti ir žmones.

Be esminių komplikacijų, tokie modeliai gali apimti ir deterministinius, ir stochastinius srautus (medžiagos ir informacijos). Naudodami modeliavimą galite parodyti ryšius tarp darbo vietų, medžiagų ir produktų srautų, transporto priemonių ir personalo.

Nepaisant tokių akivaizdžių pranašumų, visų pirma apimančių taikymo platumą ir universalumą, šis metodas praranda loginių ryšių egzistavimą, o tai atmeta galimybę visiškai optimizuoti sprendimus, gautus naudojant šį modelį. Garantuojama tik galimybė pasirinkti geriausią iš peržiūrėtų variantų.

Praktikoje imitacinis modeliavimas daugeliu realių atvejų yra vienintelis galimas tyrimo metodas. Sukūrus simuliacinį modelį, juo atliekami kompiuteriniai eksperimentai, leidžiantys daryti išvadas apie gamybos sistemos elgseną.

Kompiuterinio modeliavimo metodų atsiradimas ir plėtra tapo įmanoma ir sukūrus statistinio testavimo metodą, kuris leido imituoti atsitiktinius įvykius ir procesus, kurie užima didelę vietą realioje gamyboje.

Sudarant imitacinį modelį ir naudojant jį modeliuojant tiriamą objektą, reikia išspręsti keletą tarpusavyje susijusių problemų. Tai apima:

modeliuojamos sistemos analizė ir formalizuoto jos aprašymo parengimas, įskaitant sistemos informacijos ir loginės struktūros identifikavimą, jos komponentų identifikavimą, šių komponentų būklę apibūdinančių parametrų parinkimą, kūrimą kompiuterio modelis sistema, galinti atkurti jos elgesį, suplanuoti eksperimentą, siekiant atskleisti įvykius kompiuteriniame modelyje, kuris atspindi įvykius imituojamoje sistemoje;

kompiuterinių statistinių eksperimentų metodikos kūrimas, įskaitant atsitiktinių arba pseudoatsitiktinių skaičių generavimą, įvairių atsitiktinių įvykių modeliavimą, statistinių duomenų apdorojimą;

atlikti tikrąjį kompiuterinį eksperimentą su modeliavimo modeliu, įskaitant modelio parametrų ir kintamųjų valdymą jo tyrimo metu.

Buvo aprašyti aukščiau įvairių metodų atsitiktinių procesų modeliavimas, kur daugiausia buvo nagrinėjama esminė klausimo pusė. Šiame skyriuje pateikiami šių metodų naudojimo rezultatai modeliuojant stacionarius normalius procesus su įprastomis koreliacijos funkcijomis. Tuo pačiu buvo padaryta viskas, ko reikia parengiamieji darbai ir gauti paprasti modeliavimo algoritmai, tinkami tiesioginiam naudojimui. Be to, pateikiami pavyzdžiai praktinis įgyvendinimas modeliavimo algoritmai.

Lentelėje 2.2. pateikti modeliuojamų procesų koreliacinių funkcijų tipai ir energijos spektrai bei atitinkami algoritmai. Toliau pateikiami būtini paaiškinimai.

2.2 lentelė.

2.2 lentelės tęsinys.

2.2 lentelės tęsinys.

2.2 lentelės tęsinys.

Duotas stacionarus normalus nenutrūkstamas atsitiktinis procesas su koreliacijos funkcija yra pavaizduotas skaitmeniniame kompiuteryje kaip atskira jo reikšmių, susijusių su laiku, seka, kur yra atrankos žingsnis ir sveikasis argumentas. Visi čia aptarti algoritmai yra sukurti tam, kad skaitmeniniame kompiuteryje būtų galima atskirti, neribotą laiką imituojamo atsitiktinio proceso įgyvendinimą. Visi šie algoritmai yra pagrįsti nepriklausomų normaliai paskirstytų atsitiktinių skaičių sekos transformavimo principu su parametrais (0, 1) (diskreti baltas triukšmas) į seką, koreliuojamą pagal dėsnį

Atsitiktiniai procesai su koreliacinėmis funkcijomis, pateikti lentelėje Nr. 1-5, priklauso atsitiktinių procesų su racionaliu spektriniu tankiu klasei. Tokiems procesams modeliuoti patogiausia naudoti skirtumų lygtis (§ 2.3), dėl to atsiranda algoritmai, neturintys metodinių klaidų ir redukuojami į paprastus pasikartojimo ryšius. 1-5 algoritmai gaunami naudojant šį metodą.

1 ir 2 procesų modeliavimo algoritmai su eksponentinės ir eksponentinės-kosinuso koreliacijos funkcijomis jau buvo aptarti § 2.3 ir jiems nereikia paaiškinimo.

Algoritmai Nr. 2-5 yra vienodi ir skiriasi tik parametrų reikšmėmis, kurių nustatymas kiekvienu konkrečiu atveju priklauso nuo skaičiavimų naudojant lentelėje pateiktas formules. 2.2. Išvedant išraiškas pasikartojančių formulių parametrams skaičiuoti algoritmuose Nr. 3-5, naudotos 2.3 punkte aptartos transformacijos, naudojant eksponentinės-kosinusinės koreliacijos funkcijos pavyzdį: kiekvieno tipo koreliacijos funkcijos sekos spektrinis tankis. parašyta pagal (2.51), atitinkamų begalinių eilučių sumavimas abiem kryptimis atliktas pagal vienpuses lenteles diskrečiosios transformacijos Laplasas ir gautos trupmeninės racionalios skaitiklių faktorinavimas spektrines funkcijas buvo atliktas faktorinuojant daugianarius (polinomų eilės tvarka buvo ne didesnė kaip antroji), o vėliau naudojant daugianario šaknis pagal (2.61) ir (2.62) išraiškas. Spektrinių funkcijų vardikliai buvo automatiškai suskirstyti į faktorius.

Modeliuojant atsitiktinius procesus Nr. 6-8, kurie nepriklauso procesų su racionaliu spektriniu tankiu klasei, slydimo sumavimo metodas buvo naudojamas kaip efektyviausias. šiuo atveju.

Pagal algoritmus Nr.6-8 seka gaunama slankiojančios sekos sumavimo su svoriu metodu. Svorio koeficientų išraiškos gautos integruojant procesų energijos spektrus pagal (2.12) formulę. Buvo daroma prielaida, kad atsitiktinio proceso Nr. 6 [procesas, kurio spektras yra vienodas juostoje] diskretizavimo dažnis yra didesnis arba lygus ir . Kalbant apie procesus Nr. 7, 8, buvo daroma prielaida, kad mėginių ėmimo dažnis yra pakankamai didelis, todėl viršutinė riba integralas (2.12) gali būti lygus begalybei. Todėl koeficientų išraiškos algoritmuose Nr. 7, 8 turėtų būti naudojamos, kai . Baigtinės ribos pakeitimas begaline leido šiuo atveju (2.12) tipo integralus redukuoti į lentelinius.

Algoritmai Nr. 6-8 yra apytiksliai, tačiau padidinus parametrą metodinė klaida gali būti nereikšminga. Su pasirinktomis reikšmėmis ir metodo paklaida lengvai įvertinama sujungiant svorio koeficientus. Koeficientų apskaičiavimo ir metodo paklaidos skaičiavimo pavyzdys atsitiktiniam procesui su koreliacijos funkcija Nr. 8 buvo pateiktas anksčiau § 2.2. Toje pačioje pastraipoje aprašomas atsitiktinio proceso Nr.9 modeliavimo algoritmas [žr. algoritmas (2.48)].

Lentelėje pateikti algoritmai. 2.2 buvo išbandyti praktiškai. Tikrinimas buvo atliktas skaitmeniniame kompiuteryje sukuriant modeliuojamų atsitiktinių procesų įgyvendinimą, kurio ilgis yra 1000 mėginių. duotomis vertybėmis parametrai ir . Iš šių realizacijų buvo apskaičiuotos imties koreliacinės funkcijos ir palygintos su pateiktomis koreliacinėmis funkcijomis. Pradiniai nepriklausomi atsitiktiniai skaičiai buvo sugeneruoti pagal standartinę skaitmeninio kompiuterio M-20 atsitiktinių skaičių jutiklio programą.

Gamybos metu pradines vertes atsitiktinių procesų įgyvendinimai Nr. 1-5 as paimtos nepriklausomų normaliųjų atsitiktinių skaičių imtinės reikšmės su parametrais (0, 1).

Fig. 2.5 parodyta pradiniai skyriai diegimai, kurių ilgis yra 400 kai kurių atsitiktinių procesų pavyzdžių iš lentelės. 2,2; Kad būtų lengviau įgyvendinti, jie rodomi kaip ištisinė linija. Šalia realizacijų pavaizduotos pateiktos koreliacijos funkcijos (ištisinė linija) kartu su koreliacijos funkcijomis, apskaičiuotomis skaitmeniniame kompiuteryje naudojant šias realizacijas (punktyrinė linija). Grafikai pažymėti tais pačiais skaičiais kaip ir koreliacijos funkcijos lentelėje. 2.2. Parametrų reikšmės ir . parinkti taip, kad visų modeliuojamų procesų koreliacijos intervalai būtų maždaug vienodi. Paveikslėlyje parodytas geras sutapimas tarp nurodytos ir imties koreliacijos funkcijų.

Atsitiktinis procesas su koreliacijos funkcija Nr. 2 yra nediferencijuojamas, todėl jo įgyvendinimas nėra toks sklandus kaip kitų keturių diferencijuojamų atsitiktinių procesų realizacijų.

Tarp realizacijų Nr. 2 ir 3, taip pat tarp realizacijų Nr. 6, 7 galima pastebėti tam tikrą panašumą, kuris paaiškinamas tuo, kad įgyvendinimai buvo suformuoti skaitmeniniame kompiuteryje transformuojant tą patį diskretišką baltojo triukšmo įgyvendinimą. .

2, 3 diegimų pradžioje matomi gana dideli neigiami išmetimai. Šie išskirtiniai rodikliai atsiranda dėl pradinių modeliuojamų procesų dalių iškraipymo dėl pereinamojo proceso. tikrai, pradines sąlygas parenkami taip, kad tik atsitiktiniai procesai Nr.1 ​​ir Nr.5-9 būtų stacionarūs nuo pat pradžių.

Norint atsikratyti pereinamojo proceso modeliuojant atsitiktinius procesus Nr. 2-4, skaičiuojant jų pradines reikšmes, vietoj nepriklausomų atsitiktinių skaičių, kaip buvo priimta aukščiau, reikia paimti keturmatį atsitiktinių vektorių su koreliacija matrica

Apibendrinant, atkreipiame dėmesį į kai kuriuos metodus, leidžiančius išplėsti modeliuojamų stacionarių normalių atsitiktinių procesų klasę naudojant paprastas aukščiau aptartų algoritmų transformacijas.

Pavyzdžiui, žinoma, kad susumavus kelis nepriklausomus stacionarius normalius atsitiktinius procesus, susidaro stacionarus normalus atsitiktinis procesas, kurio koreliacinė funkcija lygi dėmenų koreliacijos funkcijų sumai. Taigi, jei proceso koreliacijos funkcija yra dviejų ar daugiau koreliacijos funkcijų iš lentelės suma. 2.2, tada atskiri šio proceso įgyvendinimai gali būti suformuoti susumavus du ar daugiau nepriklausomų realizacijų, gautų naudojant aukščiau nurodytus algoritmus. Jei, pavyzdžiui, modeliuojamo proceso koreliacijos funkcija turi formą

tada jo diskrečiųjų realizacijų generavimo algoritmas bus parašytas formoje

Tai atsitiktinis procesas

kur , transformuoti įgyvendinimus ir į atsitiktinio proceso su koreliacijos funkcija (2.83) įgyvendinimą.

Skaičiuoti diskretiškai trigonometrinės funkcijos ir patartina naudoti pasikartojantį algoritmą (1.3), tada algoritmas (2.84) bus parašytas forma

Trumpa informacija

Atsitiktiniai procesai, tiriami imitaciniu modeliavimu (Monte Karlo metodas), visų pirma apima procesus, susijusius su eilių formavimu ir aptarnavimu (vadinamieji procesai stovėjimas eilėje). Paprasčiausia šios klasės užduotis yra tokia. Yra eilių sistema su vienu aptarnavimo centru (parduotuvė su vienu pardavėju, remonto zona autoparke, greitoji medicinos pagalba su vienu gydytoju, telefono stotis su vienu įėjimu, serveris su vienu įvesties kanalu ir kt.). Klientai sistemos paslaugų kreipiasi atsitiktinai (su suteikta funkcija laikotarpių pasiskirstymas tarp atvykimo). Jei sistema laisva, ji iš karto pradeda aptarnauti klientą, kitu atveju pastato jį į eilę. Paslaugos trukmė kiekvienam klientui - atsitiktinis kintamasis su žinomu paskirstymo įstatymu.

Sprendžiant šią problemą, būtina atsakyti į tokius klausimus kaip „kokia yra kliento laukimo eilėje laiko pasiskirstymo funkcija? „Kokia sistemos prastovos laukia klientų?“, „jei pačias šias funkcijas sunku nustatyti, tai kokios jų labiausiai svarbias savybes(t. y. matematinis lūkestis, dispersija ir pan.)?

Šios užduoties pagrindas – atsitiktinis klientų patekimo į paslaugų sistemą procesas. Intervalai tarp bet kurios iš eilės klientų poros atvykimo yra nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai, paskirstyti pagal tam tikrą dėsnį. Tikrasis šio įstatymo pobūdis gali būti nustatytas tik atlikus daugybę stebėjimų; Kaip paprasčiausią modelio tikimybės tankio funkciją, galime paimti lygiavertį pasiskirstymą laiko intervale nuo 0 iki kai kurių T - maksimalus galimas intervalas tarp dviejų iš eilės klientų atvykimo. Esant tokiam pasiskirstymui, tikimybė, kad tarp dviejų klientų atvykimo praeis 1 minutė, 3 minutės arba 8 minutės, yra vienoda (jei T> 8 min).

Toks paskirstymas, žinoma, nerealus; Tiesą sakant, daugeliui eilės procesų paskirstymo funkcija auga iš t= 0, turi didžiausią vertę esant tam tikrai t = τ ir greitai mažėja t, tie. turi formą, parodytą fig. 7.6.

Žinoma, galite pasirinkti daug elementarios funkcijos, turintis kokybiškai tokią išvaizdą. Eilių teorijoje plačiai naudojama Puasono funkcijų šeima

Kur λ - kažkoks pastovus p - savavališkas sveikasis skaičius.

Funkcijos (35) turi maksimumą ties x = p/λ ir normalizavosi.

Antrasis atsitiktinis procesas šioje problemoje, niekaip nesusijęs su pirmuoju, yra nulemtas atsitiktinių įvykių sekos – kiekvieno kliento aptarnavimo trukmės. Tarnavimo trukmės tikimybių pasiskirstymas yra toks pat kokybiška išvaizda, kaip ir ankstesniu atveju.

Pavyzdžiui, stulpelyje esančioje lentelėje A stulpelyje įrašomi atsitiktiniai skaičiai – intervalai tarp klientų atvykimų (minutėmis). IN – atsitiktiniai skaičiai – paslaugos trukmė (minutėmis). Paimta dėl apibrėžtumo maks= 10 ir b maks= 5.

Ryžiai. .6. Scheminis laiko pasiskirstymo tarp klientų pasirodymų eilių sistemoje tikimybės tankio vaizdavimas

Iš šios trumpos lentelės, žinoma, neįmanoma nustatyti, kokie paskirstymo dėsniai priimtini kiekiams A Ir IN. Likę stulpeliai pateikiami analizei palengvinti; į juos įtraukti skaičiai randami elementariu skaičiavimu. C stulpelis rodo sąlyginis laikas kliento atvykimas; D- tarnybos pradžios momentas; E - tarnybos pabaiga; F- laikas, kurį klientas praleido sistemoje kaip visumoje; G- laikas, praleistas eilėje laukiant paslaugos; N - laikas, kurį sistema praleidžia laukdama klientų (jei jų nėra). Lentelę patogu pildyti horizontaliai, judant iš eilutės į eilutę. Kadangi kito kliento aptarnavimo pradžia nustatoma arba pagal jo atvykimo laiką, jei sistema neužimta, arba pagal ankstesnio kliento išvykimo laiką, patogumui pateikiame atitinkamas formules(jose i= 1, 2, 3, ...):

c 1 = 0, c i+1 = c i + a i+1 ; d 1 = 0, d i+1 = max(c i+l, e i);(36a)

e 1 = b 1 e i = d i + b i ; f i = e i + c i ; g 1 = 0; g i+1 = f i+1 + b i+1 h 1 = 0; h i+1 = d i+1 - e i(36b)

Taigi, atsižvelgiant į atsitiktines skaičių aibes A ir B stulpeliuose, klientai turėjo stovėti eilėje (stulpelis G), ir sistema buvo neaktyvi, laukdama kliento (stulpelis N).

Modeliuojant tokio tipo sistemas pirmiausia iškyla klausimas, kiek vidutiniškai tenka laukti eilėje? Atrodo, lengva atsakyti – tereikia rasti

(37)

kai kuriose bandymų serijose. Panašiai galite rasti vidutinę h reikšmę . Sunkiau atsakyti į klausimą apie gautų rezultatų patikimumą; Norėdami tai padaryti, turite atlikti keletą bandymų serijų ir naudoti standartiniai metodai matematinė statistika (dažnai tinkamas apdorojimas naudojant Studento skirstinį).

Daugiau sunkus klausimas- koks yra atsitiktinių dydžių pasiskirstymas G Ir N tam tikriems atsitiktinių dydžių skirstiniams A Ir IN? Galite pabandyti gauti kokybinį atsakymą, remdamiesi modeliavimo rezultatais, sudarydami atitinkamas histogramas. Tada iškeliama tam tikra hipotezė apie pasiskirstymo tipą ir vienas ar keli statistiniai kriterijai naudojami šios hipotezės patikimumui patikrinti.

Turint paskirstymo funkciją (net empirinę, bet gana patikimą), galima atsakyti į bet kokį klausimą apie laukimo eilėje proceso pobūdį. Pavyzdžiui: kokia tikimybė laukti ilgiau T minučių? Atsakymą gausime, jei rasime ploto santykį lenkta trapecija, apribotas pagal tvarkaraštį pasiskirstymo tankis, tiesus x = t Ir y=0 visos figūros plotas.

Saugumo klausimai

1. Kas yra „atsitiktinis procesas“?

2. Kokie yra tolygiai paskirstytų atsitiktinių skaičių kompiuterinio generavimo principai?

3. Kaip galima gauti atsitiktinių skaičių seką taikant Puasono skirstinio dėsnį?

4. Kas yra „eilių sistema“? Pateikite pavyzdžių.

5. Koks yra Monte Karlo metodas plotams skaičiuoti plokščios figūros? kūnų tūriai?

6. Kokius atsitiktinių procesų pavyzdžius galite pateikti?

Temos rašiniams

1. Atsitiktinių skaičių sekų kompiuterinio generavimo principai ir statistinius kriterijus nustatant sekų savybes.

2. Atsitiktinių procesų kompiuterinio modeliavimo rezultatų statistinio apdorojimo metodai.

Tema seminarai

Atsitiktinių skaičių sekų gavimas su duota įstatymo paskirstymus.

Laboratoriniai darbai

1. Atliekant šį darbą reikia sugeneruoti ilgas pseudoatsitiktinių skaičių sekas su nurodytu tikimybių skirstinio dėsniu. Jis gali būti pagrįstas standartiniu tolygiai paskirstytų atsitiktinių skaičių jutikliu, įmontuotu taikomojoje programavimo sistemoje, naudojant vieną iš procedūrų, skirtų šios sekos konvertavimui į seką su norimu paskirstymo dėsniu (pavyzdžiui, „pasirinkimo-gedimo“ procedūra). .

2. Viena iš pagrindinių užduočių modeliuojant atsitiktinius procesus yra atsitiktinių dydžių charakteristikų, kurie yra modeliavimo objektas, paieška. Pagrindinė tokia charakteristika yra paskirstymo funkcija. Jo išvaizdą galima kokybiškai įvertinti iš modeliavimo metu sukonstruotos histogramos ir hipotezės apie funkcinė forma patikrinkite naudodami vieną iš standartinių kriterijų, naudojamų matematinė statistika(pvz., kriterijus % 2). Tačiau tai ne visada patartina, ypač jei problema reikalauja nustatyti tik kai kurias atsitiktinio dydžio charakteristikas – dažniausiai vidutinę reikšmę ir dispersiją. Juos galima rasti nemodeliuojant pačios paskirstymo funkcijos. Tuo pačiu metu statistinis įvertinimas rezultatų patikimumas yra privalomas.

3. Tikslinga modeliavimo rezultatus kompiuterio ekrane rodyti tokia forma: apskaičiuotos vertės reikšmių lentelių pavidalu (dažniausiai keliuose pavyzdžiuose), atsitiktinių dydžių pasiskirstymo histogramų pavidalu. sukonstruotas simuliacijos metu.

4. Patartina, kur įmanoma, imitacinį modeliavimą lydėti atitinkamo proceso vizualiu atvaizdavimu kompiuterio ekrane (eilės formavimo procesas, objektų gimimas ir išnykimas populiacijos modeliavimo uždaviniuose ir kt.).

Apytikslis užbaigimo laikas 16 valandų.

Priskyrimas laboratoriniai darbai

Atlikti nurodyto atsitiktinio proceso modeliavimą ir statistiniais kriterijais įvertinti gautų rezultatų patikimumą.

Užduočių parinktys

1 variantas

Imituokite eilę parduotuvėje su vienu pardavėju pagal pirmiau aprašytų atsitiktinių dydžių tolygiai tikėtinus pasiskirstymo dėsnius: klientų atvykimą ir aptarnavimo trukmę (tam tikram fiksuotam parametrų rinkiniui). Gaukite stabilias charakteristikas: vidutines pirkėjo laukimo eilėje vertes ir pardavėjo prastovos laiką laukiant pirkėjų atvykimo. Įvertinkite jų patikimumą. Įvertinkite dydžių pasiskirstymo funkcijos pobūdį g Ir h.

2 variantas

Atlikite tą patį modeliavimą su Puasono įvesties įvykių tikimybių pasiskirstymo dėsniais: klientų atvykimu ir aptarnavimo trukme (tam tikram fiksuotam parametrų rinkiniui).

3 variantas

Atlikite tą patį modeliavimą pagal įprastą įvesties įvykių tikimybių pasiskirstymo dėsnį: klientų atvykimą ir aptarnavimo trukmę (tam tikram fiksuotam parametrų rinkiniui).

4 variantas

Aukščiau aptartoje sistemoje gali susidaryti kritinė situacija, kai eilė laikui bėgant auga be apribojimų. Tiesą sakant, jei klientai į parduotuvę užeina labai dažnai (arba pardavėjas per lėtas), eilė pradeda augti, o šioje sistemoje su paskutinis laikas ateis paslaugų krizė.

Sukurkite ryšį tarp dydžių (maks. b max), atspindinčios nurodytos ribą kritinė situacija, su vienodai tikėtinu įvesties įvykių pasiskirstymu.

5 variantas

Tarpmiestiniame telefono stotelė du telefono operatoriai aptarnauja bendrą užsakymų eilę. Kitą užsakymą aptarnauja telefono operatorius, kuris buvo pirmasis. Jei užsakymo gavimo metu abu yra užimti, skambutis atšaukiamas ir reikia skambinti dar kartą. Modeliuokite procesą, atsižvelgdami į įvesties srautus kaip Puasono.

6 variantas

Imituokite ankstesnėje versijoje aprašytą situaciją, tačiau manykite, kad jei bandant pateikti užsakymą abu telefono operatoriai yra užimti, susidaro eilė.

7 variantas

Tegul naudojama telefono stotis su vienu įėjimu įprastinė sistema: jei abonentas užimtas, eilė nesudaroma ir reikia skambinti dar kartą. Imituokite situaciją: trys abonentai bando paskambinti to paties numerio savininkui ir, jei pavyks, kurį laiką (atsitiktinės trukmės) su juo kalbėtis. Kokia tikimybė, kad kas nors bandys paskambinti, negalės to padaryti tam tikrą laiką T?

8 variantas

Imituokite ankstesnėje versijoje aprašytą situaciją, tačiau manykite, kad jei bandant susisiekti su abonento telefonas yra užimtas, susidaro eilė.

9 variantas

Greitosios pagalbos skyriuje dirba tik vienas gydytojas. Paciento gydymo trukmė ir laiko intervalai tarp pacientų priėmimo yra atsitiktiniai dydžiai, paskirstyti pagal Puasono dėsnį. Pagal sužalojimų sunkumą pacientai skirstomi į tris kategorijas, priimant bet kokios kategorijos pacientą; atsitiktinis įvykis su vienodu tikimybių pasiskirstymu. Gydytojas pirmiausia gydo pacientus, patyrusius sunkiausius sužalojimus (jų priėmimo tvarka), vėliau, jei jų nėra, vidutinio sunkumo sužalojimus patyrusius pacientus (pagal jų priėmimo tvarką), o tik po to – ligonius, patyrusius nesunkius sužalojimus. Modeliuokite procesą ir įvertinkite vidutinį laukimo laiką kiekvienos kategorijos pacientų eilėje.

10 variantas

Imituoti ankstesnėje versijoje aprašytą situaciją, jei greitosios pagalbos skyriuje dirba du gydytojai, o pacientai skirstomi į dvi kategorijas, o ne į tris.

11 variantas

Viena audėja aptarnauja staklių grupę, pagal poreikį atlieka trumpalaikes intervencijas, kurių trukmė yra atsitiktinis dydis. Kokia dviejų mašinų prastovų tikimybė vienu metu? Kiek vidutiniškai trunka vienos mašinos prastovos laikas?

12 variantas

Imituokite ankstesniame variante aprašytą situaciją, jei staklių grupę kartu aptarnauja dvi audėjos.

13 variantas

IN Miesto automobilių parkas turi dvi remonto zonas. Vienas – aptarnauja trumpų ir vidutinė trukmė, kitas - vidutinės trukmės ir ilgalaikės (t.y. vidutinės trukmės remontą gali atlikti kiekviena iš zonų). Atsiradus gedimams, transporto priemonės pristatomos į parką; laiko intervalas tarp pristatymų – atsitiktinis Puasono vertė. Remonto trukmė yra atsitiktinis dydis su normalus įstatymas paskirstymus. Sumodeliuokite aprašytą sistemą. Koks yra vidutinis trumpalaikio, vidutinio ir ilgalaikio remonto reikalaujančių transporto priemonių laukimo laikas?

14 variantas

Įdiekite modeliavimo modelį statistinis modeliavimas išspręsti Buffono problemą (XVIII a.). Autorius analitiškai nustatė, kad jei lauke, pavaizduotame lygiagrečiomis linijomis, atstumas tarp jų L, atsitiktinai meta adatą l, tada tikimybė, kad adata kirs bent vieną tiesę, nustatoma pagal formulę .

Ši problema suteikė galimybę imituoti skaičiaus nustatymą p. Tikrai, jei L = 2l, kad . Modeliavimo metu atlikite šį skaičiavimą.

15 variantas

Sukurkite vienmatį atsitiktinio ėjimo modelį ("girtuoklio" modelį). Ėjimas nustatomas pagal taisyklę: jei atsitiktinis skaičius iš atkarpos yra mažesnis nei 0,5, tada žingsnis į dešinę žengiamas atstumu. h, kitaip - paliko. Laikoma, kad atsitiktinių skaičių pasiskirstymas yra vienodai tikėtinas.

Išspręskite užduotį: kokia tikimybė, kad toks ėjimas nutols nuo pradžios taško nžingsniai?

16 variantas

IN problemos sąlygas iš ankstesnės versijos, gaukite atsakymą į klausimą: kokia tikimybė, kad „girtuoklis“ grįš po nįžengia pradžios taškas?

17 variantas

Taškas atsitiktinai klaidžioja plokštumoje išilgai kvadratinio tinklelio mazgų su galimybe daryti lygia tikimybežingsniai kairėn-dešinėn-aukštyn-žemyn fiksuotu (vienu judesiu) žingsniu. Judėjimas vyksta uždarame stačiakampio tūrio, o susilietus su siena atsiranda veidrodinis vaizdas nuo jos.

Modeliavimo metu atsakykite į klausimą: kaip kiekvieno mazgo lankymosi dažnumas yra susijęs su atstumu nuo jo iki mazgo, nuo kurio prasideda judėjimas.

18 variantas

Sumodeliuokite tą pačią situaciją kaip ir 17 varianto užduotyje, su sąlyga, kad klajonių plotas yra neribotas, ir atsakykite į užduotą klausimą.

19 variantas

Imituokite bitės skrydį. Plokštumoje (kliringo) medingieji augalai auga atsitiktinai su tam tikra koncentracija (1 m2). Centre yra avilys, iš kurio išskrenda bitė. Bitė gali skristi nuo vieno augalo prie bet kurio kito augalo, tačiau pasirinkimo tikimybė monotoniškai mažėja didėjant atstumui tarp augalų (pagal kažkokį dėsnį). Kokia tikimybė, kad per tam tikrą elementarių skrydžių skaičių bitė aplankys konkretų augalą?

20 variantas

Įdiekite plokščią modelį Brauno judesys n dalelės stačiakampyje. Laikykite, kad dalelės yra baigtinio dydžio rutuliukai. Dalelių poveikis viena kitai ir sienoms turi būti modeliuojamas kaip absoliučiai elastingas. Šiame modelyje nustatykite dujų slėgio ant sienelių priklausomybę nuo dalelių skaičiaus.

21 variantas

Išsamiai sukurti ir įgyvendinti dujų maišymo (difuzijos) uždarame inde modelį. IN pradžios momentas laiko, kiekvienos dujos užima pusę indo. Naudodami šį modelį ištirkite difuzijos greičio priklausomybę nuo įvairių įvesties parametrų.

22 variantas

Įdiekite „plėšrūno-grobio“ sistemos modeliavimo modelį pagal šią schemą.

20x20 "saloje" gyvena laukiniai triušiai, vilkai ir vilkai. Yra keletas kiekvienos rūšies atstovų. Triušiai kiekvienu laiko momentu su ta pačia 1/9 tikimybe pereina į vieną iš aštuonių gretimų kvadratų (išskyrus ribotas sritis pakrantės linija) arba tiesiog sėdėti nejudėdamas. Kiekvienas triušis turi 0,2 tikimybę pavirsti dviem triušiais. Kiekviena vilkė atsitiktinai juda, kol jos medžiojamas triušis atsiduria viename iš aštuonių gretimų laukelių. Jei vilkas ir triušis yra vienoje aikštėje, vilkas suėda triušį ir gauna vieną tašką. Priešingu atveju ji praranda 0,1 taško.

Vilkai ir vilkai, turintys nulį taškų, miršta. Pradiniu laiko momentu visi vilkai ir vilkai turi 1 tašką. Vilkas elgiasi kaip vilkas, kol kaimyniniuose aikštėse išnyksta visi triušiai; tada, jei vilkė yra vienoje iš aštuonių netoliese esančių aikščių, vilkas ją persekioja.

Jei vilkas ir vilkė yra toje pačioje aikštėje ir nėra triušio, kuris galėtų valgyti, jie susilauks atsitiktinės lyties palikuonių.

Stebėkite gyventojų skaičiaus pokyčius per tam tikrą laikotarpį. Stebėti, kaip modelio parametrų pokyčiai veikia populiacijų evoliuciją.

23 variantas

Modeliuoti grybelinės infekcijos plitimo per tokio dydžio odos plotą procesą n x p(p- nelyginės) ląstelės.

Daroma prielaida, kad pradinė užkrėsta odos ląstelė yra centrinė. Kiekvienu laiko intervalu užkrėsta ląstelė gali užkrėsti bet kurią šalia esančią sveiką ląstelę su 0,5 tikimybe. Po šešių laiko vienetų užkrėsta ląstelė tampa atspari infekcijai, susidaręs imunitetas išlieka kitus keturis laiko vienetus, tada ląstelė pasirodo esanti sveika. Aprašyto proceso modeliavimo metu išvestis dabartinė būklė imituojamas odos plotas kiekvienu laiko intervalu, pažymint užkrėstas, atsparias infekcijai ir sveikas ląsteles.

Stebėkite, kaip lauko dydžio pokyčiai ir užsikrėtimo tikimybė veikia modeliavimo rezultatus.

24 variantas

Išsamiai parengti ir įgyvendinti teršalų pasiskirstymo modelį aplinką gamyklos kamino į atmosferą išmetamos medžiagos dalelės (pavyzdžiui, pelenai, susidarantys deginant anglį elektrinėje). Apsvarstykite, kad dalelės judėjimas susideda iš dviejų komponentų: in horizontali plokštuma- veikiant atsitiktiniams vėjo gūsiams, vertikaliai - veikiant gravitacijai.

Tolesnis skaitymas

1. Bailey N. Statistiniai biologijos metodai: vert. iš anglų kalbos - M.: IL, 1962 m.

2. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N.Įvadas į eilių teoriją. - M.: Nauka, 1966 m.

3. Saati T. Eilių teorijos elementai ir jos pritaikymai: Trans. iš anglų kalbos - M.: Sov. radijas, 1991 m.

4. Shannon R. Imitacinis sistemų modeliavimas – menas ir mokslas: Vert. iš anglų kalbos - M.: Mir, 1978 m.

7 skyriaus testai