Тохиромжтой, энгийн онлайн тооцоолуурнарийвчилсан шийдэл бүхий бутархайМагадгүй:

• Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах бутархай онлайн,
• Хүлээн авах бэлэн шийдэлзурагтай бутархай бөгөөд үүнийг шилжүүлэхэд тохиромжтой.

Бутархайг шийдсэний үр дүн энд байх болно...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Бутархай тэмдэг "/" + - *:
_arase Clear
Манай онлайн бутархай тооцоолуур хурдан оруулах боломжтой. Жишээлбэл, бутархайг шийдэхийн тулд зүгээр л бичнэ үү 1/2+2/7 Тооны машин руу ороод " Бутархайг шийдэх". Тооны машин танд бичих болно бутархайн нарийвчилсан шийдэлмөн гаргах болно хуулж авахад хялбар зураг.

Тооны машинд бичихэд ашигладаг тэмдэг

Онлайн бутархай тооцоологчийн онцлог

Хэрэв та сөрөг бутархайг шийдэх шаардлагатай бол хасахын шинж чанарыг ашигла. Үржүүлэх, хуваах үед сөрөг бутархайхоёр сөрөг нь эерэг болгодог. Өөрөөр хэлбэл сөрөг бутархайн үржвэр ба хуваагдал нь ижил эерэг хэсгүүдийн үржвэр ба хуваагдалтай тэнцүү байна. Хэрэв үржүүлэх эсвэл хуваах үед нэг бутархай сөрөг байвал зүгээр л хасахыг хасаад хариултанд нэмнэ. Сөрөг бутархайг нэмэхэд үр дүн нь та нэмсэнтэй ижил байх болно эерэг бутархай. Хэрэв та нэг сөрөг бутархайг нэмбэл энэ нь ижил эерэг нэгийг хасахтай ижил байна.
Сөрөг бутархайг хасах үед үр дүн нь тэдгээрийг сольж эерэг болгосонтой ижил байх болно. Энэ нь хасах, хасах гэсэн үг юм энэ тохиолдолднэмэхийг өгдөг боловч нөхцөлийг дахин тохируулах нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй. Бутархайг хасахдаа бид ижил дүрмийг ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь сөрөг байна.

Шийдэхийн тулд холимог бутархай(бутархай хэсгүүд бүхэл хэсэг) зүгээр л бүхэл хэсгийг бутархай болгох. Үүнийг хийхийн тулд бүхэл хэсгийг хуваагчаар үржүүлж, тоологч дээр нэмнэ.

Хэрэв та 3 ба түүнээс дээш тооны бутархайг онлайнаар шийдэх шаардлагатай бол тэдгээрийг нэг нэгээр нь шийдэх хэрэгтэй. Эхлээд эхний 2 бутархайг тоолж, дараа нь авсан хариултаараа дараагийн бутархайг шийднэ гэх мэт. Үйлдлүүдийг нэг нэгээр нь 2 бутархайгаар хийснээр эцэст нь та зөв хариултыг авах болно.

Шууд утга илэрхийлэл (эсвэл хувьсагчтай илэрхийлэл) нь математик илэрхийлэл, тоо, үсэг, тэмдгээс бүрддэг математик үйлдлүүд. Жишээлбэл, дараах илэрхийлэл нь шууд утгаараа байна:

a+b+4

Цагаан толгойн үсгийн илэрхийлэл ашиглан та хууль, томъёо, тэгшитгэл, функц бичиж болно. Үсгийн илэрхийллийг удирдах чадвар нь гол зүйл юм сайн мэдлэгалгебр ба дээд математик.

Математикийн аливаа ноцтой асуудал нь тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд шууд утгаар нь ажиллах чадвартай байх хэрэгтэй.

Шууд үг хэллэгтэй ажиллахын тулд та үндсэн арифметикийн мэдлэгтэй байх хэрэгтэй: нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, математикийн үндсэн хуулиуд, бутархай, бутархайтай үйлдэл, пропорц. Зөвхөн судлах биш, харин сайтар ойлгох хэрэгтэй.

Хувьсагч

Шууд үг хэллэгт орсон үсгүүдийг дуудна хувьсагч. Жишээлбэл, илэрхийлэлд a+b+ 4 хувьсагч нь үсэг юм аТэгээд б. Хэрэв бид эдгээр хувьсагчийн оронд ямар нэг тоог орлуулж байвал шууд утга илэрхийлэл болно a+b+ 4 нь утгыг нь олох боломжтой тоон илэрхийлэл болж хувирна.

Хувьсагчийн оронд орлуулсан тоонуудыг дуудна хувьсагчийн утгууд. Жишээлбэл, хувьсагчдын утгыг өөрчилье аТэгээд б. Тэнцүү тэмдгийг утгыг өөрчлөхөд ашигладаг

a = 2, b = 3

Бид хувьсагчдын утгыг өөрчилсөн аТэгээд б. Хувьсагч аутгыг өгсөн 2 , хувьсагч бутгыг өгсөн 3 . Үүний үр дүнд шууд утга илэрхийлэл a+b+4тогтмол тоон илэрхийлэл болж хувирдаг 2+3+4 үнэ цэнийг нь олох боломжтой:

Хувьсагчдыг үржүүлэхэд тэдгээрийг хамт бичнэ. Жишээлбэл, бичлэг хийх abоруулгатай адилхан гэсэн үг a×b. Хэрэв бид хувьсагчдыг орлуулах юм бол аТэгээд бтоо 2 Тэгээд 3 , тэгвэл бид 6-г авна

Та мөн тоог хаалтанд илэрхийлэлээр үржүүлэхийг хамт бичиж болно. Жишээлбэл, оронд нь a×(b + c)бичиж болно a(b + c). Үржүүлэх тархалтын хуулийг ашигласнаар бид олж авна a(b + c)=ab+ac.

Магадлал

Шууд илэрхийлэлд та тоо болон хувьсагчийг хамт бичсэн тэмдэглэгээг ихэвчлэн олж болно, жишээлбэл 3а. Энэ нь үнэндээ 3-ын тоог хувьсагчаар үржүүлэх товчлол юм. амөн энэ оруулга иймэрхүү харагдаж байна 3×a .

Өөрөөр хэлбэл илэрхийлэл 3а 3 ба хувьсагчийн үржвэр юм а. Тоо 3 энэ ажилд тэд дууддаг коэффициент. Энэ коэффициент нь хувьсагч хэд дахин нэмэгдэхийг харуулдаг а. Энэ илэрхийллийг "гэж уншиж болно. агурван удаа" эсвэл "гурван удаа А", эсвэл "хувьсагчийн утгыг нэмэгдүүлэх агурван удаа", гэхдээ ихэнхдээ "гурван" гэж уншдаг а«

Жишээлбэл, хэрэв хувьсагч бол атэнцүү байна 5 , дараа нь илэрхийллийн утга 3а 15-тай тэнцүү байх болно.

3 × 5 = 15

Ярьж байна энгийн хэлээр, коэффициент нь үсгийн өмнө (хувьсагчийн өмнө) ирэх тоо юм.

Жишээлбэл, хэд хэдэн үсэг байж болно 5abc. Энд коэффициент нь тоо юм 5 . Энэ коэффициентхувьсагчдын бүтээгдэхүүн болохыг харуулж байна abcтав дахин нэмэгддэг. Энэ илэрхийллийг "гэж уншиж болно. abcтав дахин" эсвэл "илэрхийллийн утгыг нэмэгдүүлэх abcтаван удаа" эсвэл "тав abc«.

Хэрэв хувьсагчийн оронд бол abc 2, 3, 4-ийн тоог, дараа нь илэрхийллийн утгыг орлуулна 5abcтэнцүү байх болно 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Эхлээд 2, 3, 4-ийн тоог хэрхэн үржүүлж, үр дүнгийн утга нь тав дахин нэмэгдсэнийг та оюун ухаанаараа төсөөлж болно.

Коэффициентийн тэмдэг нь зөвхөн коэффициентийг илэрхийлдэг бөгөөд хувьсагчид хамаарахгүй.

Илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй −6б. Коэффициентийн өмнөх хасах 6 , зөвхөн коэффициентэд хамаарна 6 , мөн хувьсагчид хамаарахгүй б. Энэ баримтыг ойлгох нь ирээдүйд тэмдгүүдээр алдаа гаргахгүй байх боломжийг танд олгоно.

Илэрхийллийн утгыг олъё −6бцагт b = 3.

−6б −6×b. Тодорхой болгохын тулд илэрхийллийг бичье −6бөргөтгөсөн хэлбэрээр болон хувьсагчийн утгыг орлуулах б

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол −6бцагт b = −5

Илэрхийлэлийг бичье −6бөргөтгөсөн хэлбэрээр

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол −5a+bцагт a = 3Тэгээд b = 2

−5a+bЭнэ бол богино хэлбэр юм −5 × a + b, тиймээс тодорхой болгохын тулд бид илэрхийллийг бичнэ −5×a+bөргөтгөсөн хэлбэрээр, хувьсагчийн утгыг орлуулах аТэгээд б

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Заримдаа үсгийг коэффициентгүйгээр бичдэг, жишээлбэл аэсвэл ab. Энэ тохиолдолд коэффициент нь нэгдмэл байна:

гэхдээ уламжлал ёсоор нэгжийг бичдэггүй тул тэд зүгээр л бичдэг аэсвэл ab

Хэрэв үсгийн өмнө хасах тэмдэг байгаа бол коэффициент нь тоо юм −1 . Жишээлбэл, илэрхийлэл −aүнэндээ харагдаж байна −1a. Энэ нь хасах нэг ба хувьсагчийн үржвэр юм а.Энэ нь дараах байдалтай болсон.

−1 × a = −1a

Энд бага зэрэг барьц бий. Илэрхийлэлээр −aхувьсагчийн өмнө хасах тэмдэг аүнэндээ хувьсагч гэхээсээ илүү "үл үзэгдэх нэгж"-ийг хэлдэг а. Тиймээс асуудлыг шийдэхдээ болгоомжтой байх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, илэрхийлэл өгсөн бол −aгэсэн утгыг олохыг биднээс хүссэн a = 2, дараа нь сургуульд бид хувьсагчийн оронд хоёрыг орлуулсан амөн хариулт авсан −2 , энэ нь хэрхэн болсон талаар хэт их анхаарал хандуулалгүйгээр. Үнэн хэрэгтээ нэгийг хасах эерэг тоо 2-оор үржүүлсэн

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Хэрэв илэрхийлэл өгсөн бол −aмөн та түүний үнэ цэнийг олох хэрэгтэй a = −2, дараа нь бид орлуулна −2 хувьсагчийн оронд а

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Алдаа гаргахгүйн тулд эхлээд үл үзэгдэх нэгжүүдийг тодорхой бичиж болно.

Жишээ 4.Илэрхийллийн утгыг ол abcцагт a=2 , b=3Тэгээд c=4

Илэрхийлэл abc 1×a×b×c.Тодорхой болгохын тулд илэрхийллийг бичье abc а, бТэгээд в

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Жишээ 5.Илэрхийллийн утгыг ол abcцагт a=−2 , b=−3Тэгээд c=−4

Илэрхийлэлийг бичье abcөргөтгөсөн хэлбэрээр, хувьсагчийн утгыг орлуулах а, бТэгээд в

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Жишээ 6.Илэрхийллийн утгыг ол − abcцагт a=3 , b=5 ба c=7

Илэрхийлэл − abcЭнэ бол богино хэлбэр юм −1×a×b×c.Тодорхой болгохын тулд илэрхийллийг бичье − abcөргөтгөсөн хэлбэрээр, хувьсагчийн утгыг орлуулах а, бТэгээд в

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Жишээ 7.Илэрхийллийн утгыг ол − abcцагт a=−2 , b=−4 ба c=−3

Илэрхийлэлийг бичье − abcөргөтгөсөн хэлбэрээр:

−abc = −1 × a × b × c

Хувьсагчдын утгыг орлуулж үзье а , бТэгээд в

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Коэффицентийг хэрхэн тодорхойлох вэ

Заримдаа та илэрхийллийн коэффициентийг тодорхойлох шаардлагатай асуудлыг шийдэх хэрэгтэй. Зарчмын хувьд, энэ даалгавармаш энгийн. Тоонуудыг зөв үржүүлж чаддаг байхад л хангалттай.

Илэрхийлэл дэх коэффициентийг тодорхойлохын тулд та энэ илэрхийлэлд орсон тоонуудыг тусад нь үржүүлж, үсгүүдийг тусад нь үржүүлэх хэрэгтэй. Үр дүнгийн тоон хүчин зүйл нь коэффициент байх болно.

Жишээ 1. 7м×5a×(−3)×n

Илэрхийлэл нь хэд хэдэн хүчин зүйлээс бүрдэнэ. Хэрэв та илэрхийллийг өргөтгөсөн хэлбэрээр бичвэл энэ нь тодорхой харагдаж болно. Энэ бол бүтээлүүд 7мТэгээд 5ахэлбэрээр бичнэ үү 7×мТэгээд 5×a

7 × м × 5 × a × (−3) × n

Хүчин зүйлийг дурын дарааллаар үржүүлэх боломжийг олгодог үржүүлэх ассоциатив хуулийг хэрэглэцгээе. Тухайлбал, бид тоонуудыг тусад нь үржүүлж, үсгүүдийг (хувьсагчдыг) тусад нь үржүүлнэ.

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105ман

Коэффициент нь −105 . Дууссаны дараа үсгийн хэсгийг цагаан толгойн дарааллаар байрлуулахыг зөвлөж байна.

-105 цаг

Жишээ 2.Илэрхийлэл дэх коэффициентийг тодорхойлно уу: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коэффицент нь 6 байна.

Жишээ 3.Илэрхийлэл дэх коэффициентийг тодорхойлно уу:

Тоо, үсгийг тусад нь үржүүлье:

Коэффицент нь -1. Коэффицент 1-ийг бичихгүй байх заншилтай тул нэгжийг бичээгүй болохыг анхаарна уу.

Хамгийн энгийн мэт санагдах эдгээр даалгавар нь биднийг маш хэрцгий хошигнол болгож чадна. Коэффициентийн тэмдгийг буруу тохируулсан нь ихэвчлэн тохиолддог: хасах нь алга эсвэл эсрэгээрээ дэмий хоосон байсан. Эдгээр ядаргаатай алдаанаас зайлсхийхийн тулд үүнийг сайн түвшинд судлах ёстой.

Үг хэллэгээр нэмдэг

Хэд хэдэн тоог нэмэхэд эдгээр тоонуудын нийлбэрийг олж авна. Нэмдэг тоонуудыг нэмэгдэл гэж нэрлэдэг. Хэд хэдэн нэр томъёо байж болно, жишээлбэл:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Илэрхийлэл нь нэр томъёоноос бүрдэх үед нэмэх нь хасахаас илүү хялбар байдаг тул үнэлэхэд илүү хялбар байдаг. Гэхдээ илэрхийлэл нь зөвхөн нэмэх төдийгүй хасахыг агуулж болно, жишээлбэл:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Энэ илэрхийлэлд 3 ба 5-ын тоо нь нэмэлт биш харин хасах утгатай байна. Гэхдээ хасахыг нэмэхээр солиход юу ч саад болохгүй. Дараа нь бид дахин нэр томъёоноос бүрдсэн илэрхийлэлийг авна.

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Одоо −3 ба −5 тоонууд хасах тэмдэгтэй байх нь хамаагүй. Хамгийн гол нь энэ илэрхийлэл дэх бүх тоонууд нь нэмэх тэмдгээр холбогдсон, өөрөөр хэлбэл илэрхийлэл нь нийлбэр юм.

Хоёр илэрхийлэл 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Тэгээд 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) ижил утгатай тэнцүү - хасах нэг

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Тиймээс, хэрэв бид хаа нэгтээ хасах үйлдлийг нэмэхээр сольсон тохиолдолд илэрхийллийн утга алдагдахгүй.

Мөн та шууд утга илэрхийлэлд хасахыг нэмэхээр сольж болно. Жишээлбэл, дараах илэрхийллийг авч үзье.

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Хувьсагчийн аливаа утгын хувьд а, б, в, гТэгээд силэрхийллүүд 7a + 6b - 3c + 2d - 4s Тэгээд 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) ижил утгатай тэнцүү байх болно.

Сургуулийн багш эсвэл дээд сургуулийн багш нэмэгдэл биш тэгш тоонуудыг (эсвэл хувьсагч) дуудаж болзошгүй тул та бэлтгэлтэй байх ёстой.

Жишээлбэл, хэрэв зөрүүг самбар дээр бичсэн бол a−b, тэгвэл багш тэгж хэлэхгүй ань minuend, ба б- хасах боломжтой. Тэр хоёр хувьсагчийг нэг гэж нэрлэх болно ерөнхий утгаараа — нөхцөл. Мөн бүх хэлбэр нь илэрхийлэл учраас a−bматематикч нийлбэр хэрхэн байгааг хардаг a+(−b). Энэ тохиолдолд илэрхийлэл нь нийлбэр болж, хувьсагч болно аТэгээд (−b)нөхцөл болно.

Үүнтэй төстэй нэр томъёо

Үүнтэй төстэй нэр томъёо- эдгээр нь ижил үсгийн хэсэгтэй нэр томъёо юм. Жишээлбэл, илэрхийлэлийг авч үзье 7a + 6b + 2a. Бүрэлдэхүүн хэсгүүд 7аТэгээд 2аижил үсэгтэй хэсэг - хувьсагч а. Тиймээс нөхцөлүүд 7аТэгээд 2атөстэй.

Ихэвчлэн ижил төстэй нэр томъёоилэрхийллийг хялбарчлах эсвэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд нэмэх. Энэ үйлдлийг гэж нэрлэдэг ижил төстэй нэр томъёо авчирч байна.

Ижил нэр томъёог авчрахын тулд та эдгээр нэр томъёоны коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгээр үржүүлэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, ижил төстэй нэр томъёог илэрхийлэлд оруулъя 3a + 4a + 5a. Энэ тохиолдолд бүх нэр томъёо ижил төстэй байна. Тэдний коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгийн хэсэг - хувьсагчаар үржүүлье а

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Үүнтэй төстэй нэр томъёог ихэвчлэн санаанд оруулдаг бөгөөд үр дүнг нь нэн даруй бичдэг.

3a + 4a + 5a = 12a

Мөн дараахь үндэслэлийг гаргаж болно.

3 a хувьсагч байсан ба 4 a хувьсагч, 5 a хувьсагч нэмж оруулсан. Үүний үр дүнд бид 12 хувьсагчтай болсон a

Ижил төстэй нэр томъёог авчрах хэд хэдэн жишээг авч үзье. Үүнийг харгалзан үзвэл энэ сэдэвмаш чухал, эхлээд бид жижиг нарийн ширийн зүйлийг нарийвчлан бичих болно. Энд бүх зүйл маш энгийн байдаг ч ихэнх хүмүүс олон алдаа гаргадаг. Голдуу мунхаглалаас биш анхаарал болгоомжгүйгээс болдог.

Жишээ 1. 3a + 2a + 6a + 8а

Энэ илэрхийлэл дэх коэффициентүүдийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгийн хэсэгээр үржүүлье.

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

дизайн (3 + 2 + 6 + 8)×aТа үүнийг бичих шаардлагагүй тул бид хариултыг даруй бичих болно

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Жишээ 2.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 2а+а

Хоёр дахь хугацаа акоэффициентгүй бичигдсэн ч үнэндээ урд нь коэффициент байдаг 1 , энэ нь бүртгэгдээгүй тул бид олж харахгүй байна. Тиймээс илэрхийлэл нь дараах байдалтай байна.

2a + 1a

Одоо ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя. Өөрөөр хэлбэл, бид коэффициентүүдийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгээр үржүүлнэ.

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Шийдлийн талаар товч бичье:

2a + a = 3a

2а+а, та өөрөөр бодож болно:

Жишээ 3.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 2a−a

Хасалтыг нэмэхээр орлуулъя:

2a + (−a)

Хоёр дахь хугацаа (−a)коэффициентгүйгээр бичсэн боловч бодит байдал дээр ийм харагдаж байна (−1a).Коэффицент −1 бүртгэгдээгүйн улмаас дахин үл үзэгдэх болсон. Тиймээс илэрхийлэл нь дараах байдалтай байна.

2a + (−1a)

Одоо ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя. Коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгийн хэсэгт үржүүлье.

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Ихэвчлэн богино бичдэг:

2a − a = a

Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёо өгөх 2a−aТа өөрөөр бодож болно:

2 хувьсагч a байсан, нэг хувьсагч a-г хасаад үр дүнд нь ганц л a хувьсагч үлдлээ.

Жишээ 4.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Одоо ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя. Коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийт үсгийн хэсэгт үржүүлье

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Шийдлийн талаар товч бичье:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Хэд хэдэн агуулсан илэрхийлэл байдаг янз бүрийн бүлгүүдижил төстэй нэр томъёо. Жишээ нь, 3a + 3b + 7a + 2b. Ийм илэрхийллийн хувьд бусадтай ижил дүрмийг баримтална, тухайлбал коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгээр үржүүлнэ. Гэхдээ алдаа гаргахгүйн тулд энэ нь тохиромжтой өөр өөр бүлгүүдНэр томьёог өөр өөр шугамаар тодруулсан.

Жишээлбэл, илэрхийлэлд 3a + 3b + 7a + 2bхувьсагч агуулсан нэр томъёо а, нэг мөр, хувьсагч агуулсан нэр томъёоны доогуур зурж болно б, хоёр мөрөөр онцлон тэмдэглэж болно:

Одоо бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, коэффициентүүдийг нэмж, үр дүнг нийт үсгийн хэсэгт үржүүлнэ. Үүнийг хоёр бүлэг нэр томьёоны хувьд хийх ёстой: хувьсагч агуулсан нэр томъёоны хувьд ахувьсагч агуулсан нэр томъёоны хувьд б.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Дахин хэлэхэд бид давтан хэлье, илэрхийлэл нь энгийн бөгөөд ижил төстэй нэр томъёог санаж болно:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Жишээ 5.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 5a − 6a −7b + b

Боломжтой бол хасахыг нэмэхээр сольж үзье:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Ижил төстэй нэр томъёоны доогуур зураасыг өөр шугамаар зурцгаая. Хувьсагч агуулсан нэр томъёо абид нэг мөрөөр доогуур зурдаг бөгөөд нэр томъёо нь хувьсагчийн агуулга юм б, хоёр мөрөөр доогуур зур:

Одоо бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, коэффициентүүдийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгээр үржүүлнэ.

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Хэрэв илэрхийлэл агуулж байвал ердийн тоонуудүсгийн хүчин зүйлгүйгээр тэдгээрийг тусад нь нэмнэ.

Жишээ 6.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Боломжтой бол хасахыг нэмэхээр сольж үзье:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Үүнтэй төстэй нэр томъёог танилцуулъя. Тоонууд −5 Тэгээд 7 үсгийн хүчин зүйл байхгүй, гэхдээ тэдгээр нь ижил төстэй нэр томъёо - тэдгээрийг нэмэх шаардлагатай. Мөн нэр томъёо 2бЭнэ илэрхийлэлд зөвхөн үсгийн хүчин зүйл байгаа тул өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно б,мөн үүнийг нэмэх зүйл алга:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Шийдлийн талаар товч бичье:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Нэр томьёог ижил үсэгтэй хэсэгтэй нэр томъёог илэрхийллийн нэг хэсэгт байрлуулахаар эрэмбэлж болно.

Жишээ 7.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 5т+2х+3х+5т+х

Илэрхийлэл нь хэд хэдэн нэр томьёоны нийлбэр тул үүнийг ямар ч дарааллаар үнэлэх боломжийг бидэнд олгодог. Тиймээс хувьсагчийг агуулсан нэр томъёо т, илэрхийллийн эхэнд, хувьсагчийг агуулсан нэр томъёог бичиж болно xилэрхийллийн төгсгөлд:

5т + 5т + 2х + 3х + х

Одоо бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж болно:

5т + 5т + 2х + 3х + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10т + 6х

Шийдлийн талаар товч бичье:

5т + 2х + 3х + 5т + х = 10т + 6х

нийлбэр эсрэг тоотэгтэй тэнцүү. Энэ дүрэм нь үг хэллэгт мөн ажилладаг. Хэрэв илэрхийлэл нь ижил нэр томъёог агуулж байгаа бол хамт эсрэг шинж тэмдэг, дараа нь та ижил төстэй нэр томъёог багасгах үе шатанд тэднээс салж болно. Өөрөөр хэлбэл, нийлбэр нь тэг тул тэдгээрийг илэрхийллээс хас.

Жишээ 8.Илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёог өг 3т - 4т - 3т + 2т

Боломжтой бол хасахыг нэмэхээр сольж үзье:

3т − 4т − 3т + 2т = 3т + (−4т) + (−3т) + 2т

Бүрэлдэхүүн хэсгүүд 3тТэгээд (−3т)эсрэг байдаг. Эсрэг нөхцлийн нийлбэр нь тэг байна. Хэрэв бид илэрхийллээс энэ тэгийг хасвал илэрхийллийн утга өөрчлөгдөхгүй тул бид үүнийг арилгах болно. Тэгээд бид зүгээр л нөхцлүүдийг нь хасаад л устгана 3тТэгээд (−3т)

Үүний үр дүнд бид илэрхийлэлтэй үлдэх болно (−4тн) + 2тн. Энэ илэрхийлэлд та ижил төстэй нэр томъёог нэмж, эцсийн хариултыг авах боломжтой.

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Шийдлийн талаар товч бичье:

Илэрхийллийг хялбарчлах

"илэрхийлэлийг хялбарчлах" мөн доор нь хялбарчлах шаардлагатай илэрхийлэл юм. Илэрхийлэлийг хялбарчлахэнгийн, богино болгох гэсэн үг.

Үнэн хэрэгтээ бид бутархайг багасгахдаа илэрхийлэлийг аль хэдийн хялбарчилж байсан. Багасгасны дараа бутархай нь богино болж, ойлгоход хялбар болсон.

Ингээд авч үзье дараагийн жишээ. Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Энэ даалгаврыг шууд утгаараа дараах байдлаар ойлгож болно. "Энэ илэрхийлэлд ямар нэгэн хүчинтэй үйлдлийг хэрэглээрэй, гэхдээ илүү хялбар болго." .

Энэ тохиолдолд та бутархайг багасгаж болно, тухайлбал бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 2-оор хувааж болно.

Та өөр юу хийж чадах вэ? Та үр дүнгийн бутархайг тооцоолж болно. Дараа нь бид аравтын бутархай 0.5-ыг авна

Үүний үр дүнд бутархайг 0.5 болгон хялбаршуулсан.

Шийдвэр гаргахдаа өөрөөсөө асуух ёстой хамгийн эхний асуулт ижил төстэй даалгаварууд, байх ёстой "Юу хийж болох вэ?" . Учир нь хийж болох үйлдлүүд ч бий, хийх боломжгүй үйлдэл ч бий.

Өөр чухал цэгСанах ёстой зүйл бол илэрхийлэлийг хялбаршуулсаны дараа илэрхийллийн утга өөрчлөгдөх ёсгүй. Илэрхийлэл рүү буцъя. Энэ илэрхийлэл нь гүйцэтгэх боломжтой хуваагдлыг илэрхийлдэг. Энэ хуваалтыг гүйцэтгэсний дараа бид энэ илэрхийллийн утгыг авдаг бөгөөд энэ нь 0.5-тай тэнцүү байна

Гэхдээ бид илэрхийллийг хялбаршуулж, шинэ хялбаршуулсан илэрхийлэлтэй болсон. Шинэ хялбаршуулсан илэрхийллийн утга 0.5 хэвээр байна

Гэхдээ бид үүнийг тооцоолох замаар илэрхийллийг хялбарчлахыг хичээсэн. Үүний үр дүнд бид 0.5 гэсэн эцсийн хариултыг авсан.

Тиймээс бид илэрхийллийг хэрхэн хялбарчлахаас үл хамааран үүссэн илэрхийллийн утга 0.5-тай тэнцүү хэвээр байна. Энэ нь хялбаршуулах ажлыг үе шат бүрт зөв хийсэн гэсэн үг юм. Илэрхийлэлийг хялбарчлахдаа бид яг үүнийг хичээх ёстой - илэрхийллийн утга нь бидний үйлдлээс болж зовох ёсгүй.

Ихэнхдээ үг хэллэгийг хялбарчлах шаардлагатай байдаг. Тоон илэрхийллийн адил хялбаршуулах дүрмүүд тэдэнд хамаарна. Илэрхийллийн утга өөрчлөгдөхгүй л бол та ямар ч хүчинтэй үйлдлийг хийж болно.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 1.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 5.21s × t × 2.5

Хялбаршуулахын тулд энэ илэрхийлэл, та тоог тусад нь үржүүлж, үсгийг тусад нь үржүүлж болно. Энэ даалгавар нь коэффициентийг тодорхойлж сурахад бидний харж байсан ажилтай маш төстэй юм.

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

Тиймээс илэрхийлэл 5.21s × t × 2.5хялбаршуулсан 13,025 дахь.

Жишээ 2.Илэрхийлэлийг хялбарчлах −0,4 × (−6,3б) × 2

Хоёр дахь хэсэг (−6.3б)бидэнд ойлгомжтой хэлбэрээр орчуулж болно, тухайлбал маягтаар бичсэн ( −6,3)×b ,дараа нь тоонуудыг тусад нь үржүүлж, үсгүүдийг тусад нь үржүүлнэ.

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

Тиймээс илэрхийлэл −0,4 × (−6,3б) × 2 хялбаршуулсан 5.04б

Жишээ 3.Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Тоонууд хаана, үсэг хаана байгааг тодорхой харахын тулд энэ илэрхийлэлийг илүү дэлгэрэнгүй бичье.

Одоо тоонуудыг тусад нь үржүүлж, үсгүүдийг тусад нь үржүүлье.

Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан −abc.Энэ шийдлийг товчоор бичиж болно:

Илэрхийллийг хялбарчлахдаа бидэнтэй адил төгсгөлд нь биш харин шийдлийн явцад бутархайг багасгаж болно. энгийн бутархай. Жишээлбэл, шийдвэрлэх явцад бид хэлбэрийн илэрхийлэлтэй тулгарвал тоологч ба хуваагчийг тооцоолох шаардлагагүй бөгөөд иймэрхүү зүйлийг хийх шаардлагагүй болно.

Бутархайг тоологч болон хуваагч дахь хүчин зүйлийг сонгож, эдгээр хүчин зүйлсийг хамгийн томоор нь багасгах замаар багасгаж болно. нийтлэг хуваагч. Өөрөөр хэлбэл, тоологч ба хуваагчийг юунд хуваасныг бид нарийвчлан тайлбарлаагүй ашиглах.

Жишээлбэл, тоологчийн хүчин зүйл нь 12, хуваарийн хувьд 4-ийн хүчин зүйл нь 4-ээр буурч болно. Бид дөрвийг оюун ухаандаа хадгалж, 12 ба 4-ийг энэ дөрөвт хуваахад бид эдгээр тоонуудын хажууд хариултуудыг бичнэ. эхлээд тэдгээрийг хассан

Одоо та үүссэн жижиг хүчин зүйлсийг үржүүлж болно. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн цөөхөн нь байдаг бөгөөд та тэдгээрийг оюун ухаандаа үржүүлж болно.

Цаг хугацаа өнгөрөхөд та тодорхой асуудлыг шийдэхдээ хэллэгүүд "таргалж" эхэлдэг тул хурдан тооцоололд дасахыг зөвлөж байна. Оюун ухаанд тооцоолж болох зүйлийг оюун ухаанд тооцох ёстой. Хурдан багасгаж болох зүйлийг хурдан бууруулах ёстой.

Жишээ 4.Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан

Жишээ 5.Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Тоонуудыг тусад нь, үсгүүдийг тусад нь үржүүлье.

Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан mn.

Жишээ 6.Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Тоонууд хаана, үсэг хаана байгааг тодорхой харахын тулд энэ илэрхийлэлийг илүү дэлгэрэнгүй бичье.

Одоо тоонуудыг тусад нь, үсгүүдийг тусад нь үржүүлье. Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс аравтын бутархай −6.4 ба холимог тооэнгийн бутархай болгон хувиргаж болно:

Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан

Энэ жишээний шийдлийг илүү богино хугацаанд бичиж болно. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Жишээ 7.Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Тоо тусад нь, үсгийг тус тусад нь үржүүлье. Тооцоолоход хялбар болгохын тулд холимог тоо ба аравтын бутархай 0.1 ба 0.6-г энгийн бутархай болгон хувиргаж болно.

Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан abcd. Хэрэв та нарийвчилсан мэдээллийг алгасвал энэ шийдвэрилүү богино бичиж болно:

Бутархай хэсэг хэрхэн багассаныг анхаарч үзээрэй. Өмнөх хүчин зүйлсийг бууруулсны үр дүнд олж авсан шинэ хүчин зүйлсийг багасгахыг зөвшөөрдөг.

Одоо юу хийх ёсгүй талаар ярилцъя. Илэрхийллийг хялбарчлахдаа хэрэв илэрхийлэл нь үржвэр биш харин нийлбэр байвал тоо, үсгийг үржүүлэхийг хатуу хориглоно.

Жишээлбэл, хэрэв та илэрхийллийг хялбарчлахыг хүсвэл 5a+4b, тэгвэл та үүнийг ингэж бичиж болохгүй:

Энэ нь биднээс хоёр тоог нэмэхийг хүсэхэд бид тэдгээрийг нэмэхийн оронд үржүүлсэнтэй адил юм.

Аливаа хувьсагчийн утгыг орлуулах үед аТэгээд билэрхийлэл 5a +4bэнгийн тоон илэрхийлэл болж хувирдаг. хувьсагч гэж үзье аТэгээд бдараах утгатай байна:

a = 2, b = 3

Дараа нь илэрхийллийн утга 22-той тэнцүү болно

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Эхлээд үржүүлэх ажлыг хийж, дараа нь үр дүнг нэмнэ. Хэрэв бид тоо, үсгийг үржүүлэх замаар энэ илэрхийллийг хялбарчлахыг оролдвол дараахь зүйлийг авах болно.

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Энэ нь илэрхийллийн огт өөр утгатай болж хувирдаг. Эхний тохиолдолд энэ нь ажилласан 22 , хоёр дахь тохиолдолд 120 . Энэ нь илэрхийллийг хялбарчлах гэсэн үг юм 5a+4bбуруу гүйцэтгэсэн.

Илэрхийллийг хялбаршуулсаны дараа түүний утга нь хувьсагчийн ижил утгатай өөрчлөгдөх ёсгүй. Хэрэв ямар нэгэн хувьсагчийн утгыг анхны илэрхийлэлд орлуулахдаа нэг утгыг олж авбал илэрхийллийг хялбаршуулсаны дараа хялбаршуулахаас өмнөхтэй ижил утгыг авах ёстой.

Илэрхийлэлээр 5a+4bүнэхээр чамд хийж чадах зүйл байхгүй. Энэ нь үүнийг хялбаршуулдаггүй.

Хэрэв илэрхийлэлд ижил төстэй нэр томъёо байгаа бол бидний зорилго илэрхийллийг хялбарчлах зорилготой бол тэдгээрийг нэмж болно.

Жишээ 8.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 0.3a−0.4a+a

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

эсвэл богино: 0.3a - 0.4a + a = 0.9a

Тиймээс илэрхийлэл 0.3a−0.4a+aхялбаршуулсан 0.9a

Жишээ 9.Илэрхийлэлийг хялбарчлах −7.5a − 2.5b + 4a

Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид ижил төстэй нэр томъёог нэмж болно:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

эсвэл богино −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

Хугацаа (−2.5б)Өөрчлөгдөх зүйл байхгүй тул өөрчлөгдөөгүй.

Жишээ 10.Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид ижил төстэй нэр томъёог нэмж болно:

Коэффициент нь тооцоолоход хялбар байсан.

Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан

Жишээ 11.Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид ижил төстэй нэр томъёог нэмж болно:

Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан.

IN энэ жишээндЭхлээд эхний болон сүүлчийн коэффициентийг нэмэх нь илүү тохиромжтой байх болно. Энэ тохиолдолд бид товч шийдэлтэй байх болно. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

Жишээ 12.Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид ижил төстэй нэр томъёог нэмж болно:

Тиймээс илэрхийлэл хялбаршуулсан .

Нэмэх зүйл байхгүй тул энэ нэр томъёо өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Энэ шийдлийг илүү богино хугацаанд бичиж болно. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

IN богино шийдэлхасах үйлдлийг нэмэх багаар солих үе шатууд дэлгэрэнгүй оруулгабутархайг хэрхэн багасгасан нийтлэг хуваагч.

Өөр нэг ялгаа нь дотор нарийвчилсан шийдэлхариулт нь харагдаж байна , гэхдээ товчхондоо . Үнэндээ тэд ижил илэрхийлэл юм. Үүний ялгаа нь эхний тохиолдолд хасах үйлдлийг нэмэх замаар сольдог, учир нь бид шийдлийг бичихдээ эхэндээ дэлгэрэнгүй, бид аль болох хасах үйлдлийг нэмэхээр сольсон бөгөөд хариултын хувьд энэ орлуулалт хадгалагдлаа.

Баримтлал. Адилхан тэнцүү илэрхийллүүд

Бид аливаа илэрхийллийг хялбаршуулсаны дараа энэ нь илүү энгийн бөгөөд богино болно. Хялбаршуулсан илэрхийлэл зөв эсэхийг шалгахын тулд аливаа хувьсагчийн утгыг эхлээд хялбарчлах шаардлагатай өмнөх илэрхийлэлд, дараа нь хялбаршуулсан шинэ илэрхийлэлд орлуулахад хангалттай. Хэрэв хоёр илэрхийллийн утга ижил байвал хялбаршуулсан илэрхийлэл үнэн болно.

Ингээд авч үзье хамгийн энгийн жишээ. Илэрхийлэлийг хялбарчлах шаардлагатай байг 2a×7b. Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд та тоо, үсгийг тусад нь үржүүлж болно.

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Бид илэрхийллийг зөв хялбарчилсан эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийн дурын утгыг орлъё аТэгээд бэхлээд хялбаршуулах шаардлагатай эхний илэрхийлэлд, дараа нь хялбаршуулсан хоёрдугаарт.

Хувьсагчдын утгыг оруулъя а , бдараах байдалтай байх болно.

a = 4, b = 5

Тэдгээрийг эхний илэрхийлэлд орлуулъя 2a×7b

Одоо хялбаршуулсаны үр дүнд үүссэн илэрхийлэлд ижил хувьсагчийн утгыг орлъё 2a×7b, тухайлбал илэрхийлэлд 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Үүнийг бид хэзээ харж байна a=4Тэгээд b=5эхний илэрхийллийн утга 2a×7bболон хоёр дахь илэрхийллийн утга 14abтэнцүү

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Бусад үнэт зүйлсийн хувьд мөн адил зүйл тохиолдох болно. Жишээлбэл, үзье a=1Тэгээд b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Тиймээс аливаа үнэт зүйлсийн хувьд илэрхийлэл хувьсагч 2a×7bТэгээд 14abижил утгатай тэнцүү байна. Ийм илэрхийлэл гэж нэрлэдэг адилхан тэнцүү.

Бид илэрхийллүүдийн хооронд гэж дүгнэж байна 2a×7bТэгээд 14abижил утгатай тэнцүү тул та тэнцүү тэмдэг тавьж болно.

2a × 7b = 14ab

Тэгш байдал гэдэг нь тэнцүү тэмдгээр (=) холбогдсон аливаа илэрхийлэл юм.

Мөн хэлбэрийн тэгш байдал 2a×7b = 14abдуудсан таних тэмдэг.

Identity гэдэг нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн байх тэгш байдал юм.

Баримт бичгийн бусад жишээнүүд:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Тийм ээ, бидний судалж байсан математикийн хуулиуд бол ижил төстэй байдал юм.

Жинхэнэ тоон тэгшитгэл нь мөн адил юм. Жишээ нь:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Шийдвэрлэж байна хэцүү даалгавартооцоог хялбар болгохын тулд нарийн төвөгтэй илэрхийлэлөмнөхтэй ижил энгийн илэрхийллээр сольсон. Үүнийг солих гэж нэрлэдэг илэрхийллийн ижил хувиргалтэсвэл зүгээр л илэрхийллийг хувиргах.

Жишээлбэл, бид илэрхийллийг хялбаршуулсан 2a×7b, мөн илүү энгийн илэрхийлэлтэй болсон 14ab. Энэхүү хялбаршлыг таних хувирал гэж нэрлэж болно.

Та ийм даалгаварыг ихэвчлэн олж болно "Тэгш байдал нь ижил төстэй байдал гэдгийг батлах" дараа нь нотлох шаардлагатай тэгш байдлыг өгнө. Ихэвчлэн энэ тэгш байдал нь тэгш байдлын зүүн ба баруун гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Бидний даалгавар бол тэгш байдлын аль нэг хэсэгтэй ижил төстэй хувиргалтыг хийж, нөгөө хэсгийг нь авах явдал юм. Эсвэл тэгш байдлын хоёр тал дээр ижил төстэй хувиргалтыг хийж, тэгш байдлын хоёр тал ижил илэрхийллийг агуулж байгаа эсэхийг шалгаарай.

Жишээлбэл, тэгш байдал гэдгийг баталъя 0.5a × 5b = 2.5abтаних тэмдэг юм.

Энэ тэгш байдлын зүүн талыг хялбаршуулж үзье. Үүнийг хийхийн тулд тоо, үсгийг тусад нь үржүүлнэ.

0.5 × 5 × a × b = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

Бие даасан байдлын жижиг өөрчлөлтийн үр дүнд зүүн талтэгш эрх тэгш байдлын баруун талтай тэнцүү болсон. Тиймээс бид тэгш эрхтэй гэдгийг нотолсон 0.5a × 5b = 2.5abтаних тэмдэг юм.

-аас таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдБид тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, бутархайг багасгах, адил гишүүнийг нэмэх, мөн зарим илэрхийллийг хялбарчилж сурсан.

Гэхдээ эдгээр нь математикт байдаг ижил өөрчлөлтүүд биш юм. Өөр олон ижил төстэй өөрчлөлтүүд байдаг. Үүнийг бид ирээдүйд нэгээс олон удаа харах болно.

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Хичээл таалагдсан уу?
Манайд нэгдээрэй шинэ бүлэг VKontakte болон шинэ хичээлүүдийн талаар мэдэгдэл хүлээн авч эхлээрэй

дунд янз бүрийн илэрхийлэлалгебрт авч үздэг , чухал газармономиалуудын нийлбэрийг эзэлнэ. Ийм илэрхийллийн жишээ энд байна:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Мономитуудын нийлбэрийг олон гишүүнт гэж нэрлэдэг. Олон гишүүнт доторх нэр томъёог олон гишүүнт гишүүн гэж нэрлэдэг. Мономитийг нэг гишүүнээс бүрдсэн олон гишүүнт гэж үзээд нэг гишүүнтийг мөн олон гишүүнт гэж ангилдаг.

Жишээлбэл, олон гишүүнт
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
хялбарчилж болно.

Бүх нэр томьёог мономиал хэлбэрээр илэрхийлье стандарт харагдах байдал:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Үүссэн олон гишүүнтэд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Үр дүн нь олон гишүүнт бөгөөд бүх нэр томъёо нь стандарт хэлбэрийн мономиалууд бөгөөд тэдгээрийн дотор ижил төстэй зүйл байдаггүй. Ийм олон гишүүнтийг нэрлэдэг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт.

Учир нь олон гишүүнтийн зэрэгжишиг хэлбэрийн хувьд гишүүдийнхээ бүрэн эрхийг дээд зэргээр авдаг. Тиймээс \(12a^2b - 7b\) хоёр гишүүн гурав дахь зэрэгтэй, гурвалсан \(2b^2 -7b + 6\) хоёр дахь зэрэгтэй байна.

Ихэвчлэн нэг хувьсагч агуулсан олон гишүүнтийн стандарт хэлбэрийн нөхцлүүдийг илтгэгчийн буурах дарааллаар байрлуулдаг. Жишээ нь:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Хэд хэдэн олон гишүүнтийн нийлбэрийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргаж (хялбаршуулж) болно.

Заримдаа олон гишүүнтийн гишүүдийг бүлэг болгон хувааж, бүлэг бүрийг хаалтанд оруулах шаардлагатай болдог. Хаалтанд хаалт хийх нь нээх хаалтны урвуу хувирал учраас томъёолход хялбар байдаг. хаалт нээх дүрэм:

Хэрэв хаалтны өмнө "+" тэмдэг тавьсан бол хаалтанд орсон нэр томъёог ижил тэмдгээр бичнэ.

Хэрэв хаалтны өмнө "-" тэмдэг тавьсан бол хаалтанд орсон нэр томъёог эсрэг тэмдгээр бичнэ.

Мономиаль ба олон гишүүнтийн үржвэрийг хувиргах (хялбарчлах).

Ашиглах замаар хуваарилах өмчүржүүлгийг олон гишүүнт, мономиал ба олон гишүүнтийн үржвэр болгон хувиргаж (хялбаршуулж) болно. Жишээ нь:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Нэг гишүүнт ба олон гишүүнтийн үржвэр нь энэ мономиал ба олон гишүүнтийн гишүүн бүрийн үржвэрүүдийн нийлбэртэй ижил тэнцүү байна.

Энэ үр дүнг ихэвчлэн дүрмээр томъёолдог.

Нэг гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг гишүүнийг олон гишүүнтийн гишүүн бүрээр үржүүлэх ёстой.

Бид энэ дүрмийг нийлбэрээр үржүүлэхийн тулд хэд хэдэн удаа ашигласан.

Олон гишүүнтийн бүтээгдэхүүн. Хоёр олон гишүүнтийн үржвэрийг хувиргах (хялбарчлах).

Ерөнхийдөө хоёр олон гишүүнтийн үржвэр нь нэг олон гишүүнт гишүүн, нөгөө гишүүний гишүүн бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй ижил тэнцүү байна.

Ихэвчлэн дараах дүрмийг ашигладаг.

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө гишүүнийх нь гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх шаардлагатай.

Үржүүлэх товчилсон томъёо. Нийлбэрийн квадратууд, квадратуудын ялгаа ба ялгаа

Зарим илэрхийлэлтэй алгебрийн хувиргалтбусдаас илүү олон удаа тулгардаг. Магадгүй хамгийн нийтлэг илэрхийлэл нь \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ба \(a^2 - b^2 \), өөрөөр хэлбэл нийлбэрийн квадрат, нийлбэрийн квадрат квадратуудын ялгаа ба ялгаа. Нэрсийг та анзаарсан уу тодорхойлсон илэрхийллүүддуусаагүй мэт жишээ нь \((a + b)^2 \) нь мэдээжийн хэрэг зөвхөн нийлбэрийн квадрат биш, харин a, b-ийн нийлбэрийн квадрат юм. Гэсэн хэдий ч, a ба b-ийн нийлбэрийн квадрат нь дүрмээр бол a, b үсэгний оронд янз бүрийн, заримдаа нэлээд төвөгтэй илэрхийллийг агуулдаг;

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) хэллэгийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргах (хялбаршуулах) боломжтой, үнэндээ та олон гишүүнтийг үржүүлэхэд ийм даалгавартай тулгарсан; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Үүссэн таних тэмдгийг санаж, завсрын тооцоололгүйгээр хэрэглэх нь ашигтай байдаг. Товч үг хэллэг нь үүнд тусална.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - нийлбэрийн квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнаквадрат болон бүтээгдэхүүнийг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - зөрүүний квадрат нь давхар үржвэргүй квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - квадратуудын зөрүү нь зөрүү ба нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Эдгээр гурван ижилсэл нь өөрчлөлтийн үед зүүн хэсгийг баруун тийш, харин эсрэгээр баруун хэсгийг зүүн хэсгүүдээр солих боломжийг олгодог. Хамгийн хэцүү зүйл бол харгалзах илэрхийллийг харж, тэдгээрт a, b хувьсагчдыг хэрхэн сольж байгааг ойлгох явдал юм. Үржүүлэхийн товчилсон томъёог ашиглах хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Илэрхийлэл, илэрхийлэл хувиргалт

Хүч чадлын илэрхийлэл (хүчтэй илэрхийлэл) ба тэдгээрийн хувирал

Энэ өгүүлэлд бид илэрхийллийг хүч чадалтай хөрвүүлэх талаар ярих болно. Нэгдүгээрт, бид хаалт нээх, ижил төстэй нэр томьёо авчрах зэрэг хүч чадлын илэрхийлэл зэрэг ямар ч төрлийн илэрхийллээр хийгддэг хувиргалтуудад анхаарлаа хандуулах болно. Дараа нь бид градус бүхий илэрхийлэлд хамаарах өөрчлөлтүүдийг шинжлэх болно: суурь ба экспоненттай ажиллах, градусын шинж чанарыг ашиглах гэх мэт.

Хуудасны навигаци.

Хүч чадлын илэрхийлэл гэж юу вэ?

"Эрх мэдлийн илэрхийлэл" гэсэн нэр томъёог бараг ашигладаггүй сургуулийн сурах бичигматематик, гэхдээ энэ нь асуудлын цуглуулгад, ялангуяа улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд зориулагдсан асуудлуудад ихэвчлэн гарч ирдэг. Хүч чадлын илэрхийлэл бүхий аливаа үйлдлийг гүйцэтгэх шаардлагатай ажлуудад дүн шинжилгээ хийсний дараа хүч чадлын илэрхийлэл нь тэдгээрийн оруулгад хүчийг агуулсан илэрхийлэл гэж ойлгогддог нь тодорхой болно. Тиймээс та дараах тодорхойлолтыг өөртөө хүлээн зөвшөөрч болно.

Тодорхойлолт.

Хүч чадлын илэрхийлэлзэрэг агуулсан илэрхийллүүд юм.

өгье хүч чадлын илэрхийллийн жишээ. Түүгээр ч зогсохгүй бид эдгээрийг зэрэглэлээс зэрэг рүү чиглэсэн үзэл бодлын хөгжил хэрхэн явагддагийн дагуу танилцуулах болно. байгалийн үзүүлэлтбодит илтгэгчтэй зэрэг болно.

Мэдэгдэж байгаагаар эхлээд энэ үе шатанд натурал илтгэгчтэй тооны хүчин чадалтай танилцаж, 3 төрлийн 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) зэрэглэлийн анхны хамгийн энгийн хүчний илэрхийллүүд; 4, 3 a 2 гарч ирнэ −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 гэх мэт.

Хэсэг хугацааны дараа бүхэл тоон үзүүлэлттэй тооны хүчийг судалж байгаа нь бүхэл тоо бүхий хүч чадлын илэрхийлэл гарч ирэхэд хүргэдэг. сөрөг хүчнүүд, дараахтай адил: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Ахлах сургуульд тэд зэрэгтэй буцаж ирдэг. Тэнд зэрэглэлийг танилцуулж байна оновчтой үзүүлэлт, энэ нь харгалзах чадлын илэрхийлэлд хүргэдэг: , , гэх мэт. Эцэст нь иррациональ илтгэгчтэй зэрэг ба тэдгээрийг агуулсан илэрхийлэлүүдийг авч үзнэ: , .

Энэ асуудал нь жагсаасан чадлын илэрхийллүүдээр хязгаарлагдахгүй: цаашлаад хувьсагч нь экспонент руу нэвтэрч, жишээлбэл, дараах илэрхийллүүд гарч ирнэ: 2 x 2 +1 эсвэл . Мөн -тэй танилцсаны дараа зэрэглэл, логарифм бүхий илэрхийллүүд гарч эхэлдэг, жишээлбэл, x 2·lgx −5·x lgx.

Тиймээс бид хүч чадлын илэрхийлэл юуг илэрхийлдэг вэ гэсэн асуултыг авч үзсэн. Дараа нь бид тэдгээрийг хөрвүүлж сурах болно.

Хүч чадлын илэрхийлэлийн хувиргалтын үндсэн төрлүүд

Хүчтэй илэрхийллүүдийн тусламжтайгаар та илэрхийллийн үндсэн таних хувиргалтыг хийж болно. Жишээлбэл, та хаалтыг өргөжүүлж, сольж болно тоон илэрхийллүүдтэдгээрийн үнэ цэнэ, ижил төстэй нэр томъёо өгөх гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд үйлдэл хийхдээ хүлээн зөвшөөрөгдсөн журмыг дагаж мөрдөх шаардлагатай. Жишээ хэлье.

Жишээ.

Хүчтэй илэрхийллийн утгыг тооцоол 2 3 ·(4 2 −12) .

Шийдэл.

Үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллын дагуу эхлээд хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ. Тэнд, нэгдүгээрт, бид 4 2 хүчийг 16 гэсэн утгатай (шаардлагатай бол үзнэ үү) сольж, хоёрдугаарт 16−12=4 гэсэн зөрүүг тооцоолно. Бидэнд байна 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Үүссэн илэрхийлэлд бид 2 3 хүчийг 8 гэсэн утгатай сольж, үүний дараа 8·4=32 үржвэрийг тооцоолно. Энэ бол хүссэн үнэ цэнэ юм.

Тэгэхээр, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Хариулт:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Жишээ.

Хүчтэй илэрхийллийг хялбарчлах 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Шийдэл.

Мэдээжийн хэрэг, энэ илэрхийлэл нь 3·a 4 ·b −7 ба 2·a 4 ·b −7 гэсэн ижил төстэй нэр томъёог агуулсан бөгөөд бид тэдгээрийг танилцуулж болно: .

Хариулт:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Жишээ.

Хүчтэй илэрхийллийг бүтээгдэхүүн болгон илэрхийл.

Шийдэл.

Та 9-ийн тоог 3 2-ын хүчээр төлөөлж, дараа нь товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан даалгаврыг даван туулж чадна - квадратуудын зөрүү.

Хариулт:

Мөн хүч чадлын илэрхийлэлд тусгайлан хамаарах хэд хэдэн ижил төстэй өөрчлөлтүүд байдаг. Бид тэдгээрийг цаашид шинжлэх болно.

Суурь ба илтгэгчтэй ажиллах

Суурь ба/эсвэл илтгэгч нь зөвхөн тоо эсвэл хувьсагч биш, харин зарим илэрхийлэл байдаг хүчнүүд байдаг. Жишээ болгон бид (2+0.3·7) 5−3.7 ба (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) оруулгуудыг өгч байна.

Ижил төстэй илэрхийлэлтэй ажиллахдаа зэрэглэлийн суурь дахь илэрхийлэл болон экспонент дахь илэрхийлэл хоёрыг адилхан сольж болно. тэнцүү илэрхийлэлтүүний хувьсагчдын ODZ дээр. Өөрөөр хэлбэл, бидэнд мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу бид градусын суурийг тусад нь, илтгэгчийг тусад нь хувиргаж болно. Энэхүү хувиргалтын үр дүнд анхныхтай яг адилхан илэрхийлэл гарч ирэх нь тодорхой байна.

Ийм өөрчлөлтүүд нь бидэнд эрх мэдэл бүхий илэрхийлэлийг хялбарчлах эсвэл шаардлагатай бусад зорилгод хүрэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, дээр дурдсан чадлын илэрхийлэлд (2+0,3 7) 5−3,7 суурь болон илтгэгч дэх тоонуудтай үйлдлүүдийг хийж болох бөгөөд энэ нь 4.1 1.3 зэрэгт шилжих боломжийг олгоно. Мөн хаалт нээж, ижил төстэй нэр томьёо (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) зэрэглэлийн суурь дээр авсны дараа бид илүү хүч чадлын илэрхийлэл гарна. энгийн төрөл a 2·(x+1) .

Degree Properties ашиглах

Хүчтэй илэрхийллийг өөрчлөх гол хэрэгслүүдийн нэг бол тусгах тэгш байдал юм. Голыг нь эргэн санацгаая. Аливаа эерэг тоонуудын хувьд a, b болон дурын бодит тоо r ба s нь шударга дараах шинж чанаруудзэрэг:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Натурал, бүхэл тоо, эерэг илтгэгчийн хувьд a, b тоонуудын хязгаарлалт тийм ч хатуу биш байж болохыг анхаарна уу. Жишээлбэл, m ба n натурал тоонуудын хувьд a m ·a n =a m+n тэгшитгэл нь зөвхөн эерэг а биш харин сөрөг a, мөн a=0 хувьд үнэн байна.

Сургуульд хүч чадлын илэрхийлэлийг хувиргахдаа тохирох өмчийг сонгох, зөв ​​хэрэглэх чадварт гол анхаарлаа хандуулдаг. Энэ тохиолдолд градусын суурь нь ихэвчлэн эерэг байдаг бөгөөд энэ нь градусын шинж чанарыг хязгаарлалтгүйгээр ашиглах боломжийг олгодог. Хүчин чадлын суурь - талбар дахь хувьсагчдыг агуулсан илэрхийллийг хувиргахад мөн адил хамаарна хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудхувьсагч нь ихэвчлэн түүн дээрх суурь нь зөвхөн хүлээн зөвшөөрдөг эерэг утгууд, энэ нь градусын шинж чанарыг чөлөөтэй ашиглах боломжийг олгодог. Ерөнхийдөө, та энэ тохиолдолд ямар нэгэн зэрэглэлийн өмчийг ашиглах боломжтой эсэхийг өөрөөсөө байнга асууж байх хэрэгтэй, учир нь шинж чанарыг буруу ашиглах нь боловсролын үнэ цэнийг багасгах болон бусад бэрхшээлд хүргэж болзошгүй юм. Эдгээр цэгүүдийг хүчин чадлын шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэл хувиргах тухай өгүүлэлд нарийвчлан авч үзсэн болно. Энд бид хэд хэдэн энгийн жишээг авч үзэхээр хязгаарлагдах болно.

Жишээ.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 илэрхийллийг a суурьтай зэрэглэлээр илэрхийл.

Шийдэл.

Эхлээд бид хоёр дахь хүчин зүйлийг (a 2) −3-ийг хүчийг хүчирхэг болгон өсгөх шинж чанарыг ашиглан хувиргана. (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Анхны чадлын илэрхийлэл нь 2.5 ·a −6:a −5.5 хэлбэртэй байна. Мэдээжийн хэрэг, ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх, хуваах шинж чанаруудыг ашиглах хэвээр байна.
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Хариулт:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Хүч чадлын илэрхийлэлийг хувиргахдаа хүч чадлын шинж чанарыг зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш хоёуланг нь ашигладаг.

Жишээ.

Хүч чадлын илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл.

Баруунаас зүүн тийш хэрэглэсэн (a·b) r =a r ·b r тэгш байдал нь анхны илэрхийллээс хэлбэрийн үржвэр рүү шилжих боломжийг олгодог. Мөн хүчийг үржүүлэх үед ижил үндэслэлээрүзүүлэлтүүд нэмэгдэнэ: .

Анхны илэрхийлэлийг өөр аргаар өөрчлөх боломжтой байсан:

Хариулт:

.

Жишээ.

a 1.5 −a 0.5 −6 чадлын илэрхийлэл өгөгдсөн бол t=a 0.5 шинэ хувьсагч оруулна.

Шийдэл.

a 1.5 хүчийг 0.5·3 гэж дүрсэлж, дараа нь баруунаас зүүн тийш хэрэглэсэн (a r) s =a r·s зэрэглэлийн шинж чанарт үндэслэн (a 0.5) 3 хэлбэрт шилжүүлнэ. . Тиймээс, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Одоо t=a 0.5 гэсэн шинэ хувьсагчийг оруулахад амархан, бид t 3 −t−6 болно.

Хариулт:

t 3 −t−6 .

Хүч агуулсан бутархайг хөрвүүлэх

Хүчин чадлын илэрхийлэл нь эрх бүхий бутархайг агуулж эсвэл төлөөлж болно. Ямар ч төрлийн бутархайд байдаг бутархайн үндсэн хувиргалтын аль нэг нь ийм бутархайд бүрэн хамаатай. Өөрөөр хэлбэл, хүчийг агуулсан бутархайг багасгаж, шинэ хуваагч болгон бууруулж, тоологчтой нь тусад нь, хуваагчтай нь тусад нь ажиллах гэх мэт. Эдгээр үгсийг тайлбарлахын тулд хэд хэдэн жишээн дээр шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

Хүч чадлын илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Энэхүү чадлын илэрхийлэл нь бутархай юм. Түүний тоо, хуваагчтай ажиллацгаая. Тоолуур дээр бид хаалтуудыг нээж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглан хялбаршуулж, хуваагч дээр бид ижил төстэй нэр томъёог өгдөг.

Мөн бутархайн өмнө хасах тэмдэг тавьж хувагчийн тэмдгийг өөрчилье. .

Хариулт:

.

Эрх бүхий бутархайг шинэ хуваагч руу багасгах нь оновчтой бутархайг шинэ хуваагч руу багасгахтай адил хийгдэнэ. Энэ тохиолдолд нэмэлт хүчин зүйл олдож, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг түүгээр үржүүлнэ. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ шинэ хуваагч болгон бууруулснаар VA-ийг нарийсгаж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Үүнээс урьдчилан сэргийлэхийн тулд анхны илэрхийлэлд зориулсан ODZ хувьсагчдын хувьсагчийн ямар ч утгыг нэмэлт хүчин зүйл нь тэглэхгүй байх шаардлагатай.

Жишээ.

Бутархайг шинэ хуваагч болгон бууруул: a) хуваагч a, b) хуваагч руу.

Шийдэл.

a) Энэ тохиолдолд ямар нэмэлт үржүүлэгч нь хүссэн үр дүнд хүрэхэд тусалдаг болохыг тодорхойлоход хялбар байдаг. 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a тул энэ нь 0.3-ын үржүүлэгч юм. a хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээнд (энэ нь бүх эерэг бодит тоонуудын багц) 0.3-ын хүч алга болохгүй тул бид тоологч ба хуваагчийг үржүүлэх эрхтэй болохыг анхаарна уу. өгөгдсөн бутархайЭнэ нэмэлт үржүүлэгчээр:

б) Хусагчийг сайтар ажиглавал та үүнийг олох болно

мөн энэ илэрхийллийг үржүүлбэл шоо ба нийлбэр гарна. Энэ бол анхны бутархайг багасгах шаардлагатай шинэ хуваагч юм.

Ингэж бид нэмэлт хүчин зүйлийг олсон. X ба y хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгын мужид илэрхийлэл алга болохгүй тул бид бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлж болно.

Хариулт:

A) , б) .

Хүчин чадал агуулсан бутархайг багасгахад шинэ зүйл байхгүй: хүртэгч ба хуваагчийг хэд хэдэн хүчин зүйлээр төлөөлдөг бөгөөд хуваагч ба хуваагчийн ижил хүчин зүйлүүд буурч байна.

Жишээ.

Бутархайг багасгах: a) , б) .

Шийдэл.

a) Нэгдүгээрт, тоологч ба хуваагчийг 30 ба 45 тоогоор багасгаж болох бөгөөд энэ нь 15-тай тэнцүү байна. Мөн x 0.5 +1-ээр бууруулж болох нь ойлгомжтой . Бидэнд байгаа зүйл энд байна:

б) Энэ тохиолдолд тоологч ба хуваагч дахь ижил хүчин зүйлүүд шууд харагдахгүй. Тэдгээрийг олж авахын тулд та урьдчилсан өөрчлөлтийг хийх хэрэгтэй болно. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь квадратын зөрүүг ашиглан хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваахаас бүрдэнэ.

Хариулт:

A)

б) .

Бутархайг шинэ хуваарьт хөрвүүлэх, бутархайг багасгах үйлдлийг бутархайтай зүйл хийхэд голчлон ашигладаг. Үйлдлүүд нь мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу хийгддэг. Бутархайг нэмэх (хасах) үед тэдгээрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, дараа нь тоог нэмэх (хасах) боловч хуваагч нь ижил хэвээр байна. Үр дүн нь хуваагч нь хуваагчийн үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр болох бутархай юм. Бутархайд хуваах нь урвуугаар үржүүлэх явдал юм.

Жишээ.

Алхам алхмуудыг дагана уу .

Шийдэл.

Эхлээд бид хаалтанд байгаа бутархайг хасна. Үүнийг хийхийн тулд бид тэдгээрийг нийтлэг зүйлд хүргэдэг, энэ нь , үүний дараа бид тоологчдыг хасна:

Одоо бид бутархайг үржүүлж байна:

Мэдээжийн хэрэг, үүнийг х 1/2-ийн хүчээр багасгах боломжтой бөгөөд үүний дараа бид байна .

Та мөн квадратын зөрүүний томъёог ашиглан хуваагч дахь хүчийг илэрхийлэхийг хялбарчилж болно. .

Хариулт:

Жишээ.

Эрчим хүчний илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Мэдээжийн хэрэг, өгөгдсөн бутархай(x 2.7 +1) 2-оор багасгаж болно, энэ нь бутархайг өгнө . Х-ийн эрх мэдлээр өөр зүйл хийх шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой. Үүнийг хийхийн тулд бид үүссэн фракцыг бүтээгдэхүүн болгон хувиргадаг. Энэ нь бидэнд эрх мэдлийг ижил үндэслэлээр хуваах боломжийг ашиглах боломжийг олгодог. . Мөн үйл явцын төгсгөлд бид шилжинэ сүүлчийн ажилхэсэг рүү.

Хариулт:

.

Мөн үржүүлэгчийг ашиглах боломжтой бөгөөд олон тохиолдолд ашиглах нь зүйтэй гэдгийг нэмж хэлье сөрөг үзүүлэлтүүдзэрэглэлийг тоологчоос хуваагч руу эсвэл хуваагчаас хүртэгч рүү шилжүүлж, илтгэгчийн тэмдгийг өөрчилнө. Ийм өөрчлөлтүүд нь ихэвчлэн хялбаршуулдаг цаашдын арга хэмжээ. Жишээлбэл, хүч чадлын илэрхийллийг -ээр сольж болно.

Үндэс ба хүч бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэх

Ихэнхдээ эрх мэдлийн хамт зарим өөрчлөлт хийх шаардлагатай илэрхийлэлд бутархай үзүүлэлтүүдүндэс бас байдаг. Ийм илэрхийллийг хөрвүүлэхийн тулд зөв төрөл, ихэнх тохиолдолд зөвхөн үндэс эсвэл зөвхөн эрх мэдэл рүү очиход хангалттай. Гэхдээ эрх мэдэлтэй ажиллах нь илүү тохиромжтой байдаг тул тэд ихэвчлэн үндэснээс эрх мэдэл рүү шилждэг. Гэсэн хэдий ч анхны илэрхийлэлд зориулсан хувьсагчдын ODZ нь модульд хандах эсвэл ODZ-ийг хэд хэдэн интервалд хуваах шаардлагагүйгээр үндсийг хүчээр солих боломжийг олгодог бол ийм шилжилтийг хийхийг зөвлөж байна (бид үүнийг нарийвчлан авч үзсэн болно. язгуураас хүч болон буцах өгүүллийн шилжилт Рационал илтгэгчтэй зэрэгтэй танилцсаны дараа дурын бодит илтгэгчтэй зэрэглэлийн тухай ярих боломжийг олгодог судлах. экспоненциал функц , суурь нь тоо, илтгэгч нь хувьсагч гэсэн үндэслэлээр аналитик байдлаар өгөгдсөн. Тиймээс бид хүч чадлын суурьт тоо, илтгэгч хэсэгт - хувьсагчтай илэрхийллүүдтэй тулгардаг бөгөөд мэдээжийн хэрэг ийм илэрхийлэлийг хувиргах хэрэгцээ гарч ирдэг.

Энэ нь хувиргах илэрхийлэл гэж хэлэх ёстой заасан төрөлшийдвэрлэх үед ихэвчлэн хийх ёстой экспоненциал тэгшитгэлТэгээд экспоненциал тэгш бус байдал , мөн эдгээр хөрвүүлэлтүүд нь маш энгийн. Ихэнх тохиолдолд тэдгээр нь зэрэглэлийн шинж чанарт суурилдаг бөгөөд ихэнх тохиолдолд ирээдүйд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэхэд чиглэгддэг. Тэгшитгэл нь бидэнд тэдгээрийг харуулах боломжийг олгоно 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Нэгдүгээрт, тодорхой хувьсагч (эсвэл хувьсагчтай илэрхийлэл) ба тооны нийлбэр болох илтгэгч хүчийг үржвэрээр солино. Энэ нь зүүн талд байгаа илэрхийллийн эхний ба сүүлчийн нөхцөлүүдэд хамаарна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Дараа нь тэгш байдлын хоёр талыг 7 2 x илэрхийллээр хуваадаг бөгөөд энэ нь x хувьсагчийн ODZ-д хуваагдана. анхны тэгшитгэлЗөвхөн эерэг утгыг авдаг (энэ нь ийм төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх стандарт арга юм, бид одоо энэ тухай ярихгүй байгаа тул хүчирхэг илэрхийллийн дараагийн хувиргалтанд анхаарлаа хандуулаарай):

Одоо бид хүч чадал бүхий бутархайг цуцалж болно, энэ нь өгдөг .

Эцэст нь эрх мэдлийн харьцаа ижил үзүүлэлтүүднь харилцааны эрх мэдлээр солигдож, тэгшитгэлд хүргэдэг , энэ нь тэнцүү байна . Хийсэн өөрчлөлтүүд нь шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь шийдлийг эх хувь руу нь бууруулдаг экспоненциал тэгшитгэлквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Хүчтэй илэрхийлэлийг хувиргах сэдвийг авч үзье, гэхдээ эхлээд ямар ч илэрхийлэл, түүний дотор хүч чадлаар хийж болох хэд хэдэн өөрчлөлтийг авч үзье. Бид хаалт нээх, ижил төстэй нэр томьёо нэмэх, суурь, илтгэгчтэй ажиллах, зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглах аргад суралцана.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Хүч чадлын илэрхийлэл гэж юу вэ?

IN сургуулийн курсЦөөхөн хүн "хүчирхэг илэрхийлэл" гэсэн хэллэгийг ашигладаг боловч энэ нэр томъёог Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх цуглуулгад байнга олдог. Ихэнх тохиолдолд өгүүлбэр нь тэдгээрийн оруулгад зэрэг агуулсан хэллэгийг илэрхийлдэг. Үүнийг бид тодорхойлолтдоо тусгах болно.

Тодорхойлолт 1

Хүч чадлын илэрхийлэлэрх мэдлийг агуулсан илэрхийлэл юм.

Байгалийн илтгэгчтэй чадлаас эхлээд бодит илтгэгчтэй чадлаар төгсгөх хүчийг илэрхийлэх хэд хэдэн жишээг өгье.

Хамгийн энгийн чадлын илэрхийллүүдийг байгалийн илтгэгчтэй тооны зэрэглэл гэж үзэж болно: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Мөн тэг илтгэгчтэй зэрэглэлүүд: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Мөн сөрөг бүхэл тоон зэрэглэлүүд: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Оновчтой, зэрэгтэй зэрэгтэй ажиллах нь арай хэцүү үндэслэлгүй үзүүлэлтүүд: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Заагч нь 3 x - 54 - 7 3 x - 58 хувьсагч эсвэл логарифм байж болно. x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Бид хүч чадлын илэрхийлэл гэж юу вэ гэсэн асуултыг авч үзсэн. Одоо тэдгээрийг хөрвүүлж эхэлцгээе.

Хүч чадлын илэрхийлэлийн хувиргалтын үндсэн төрлүүд

Юуны өмнө бид хүч чадлын илэрхийллээр гүйцэтгэж болох илэрхийллийн үндсэн хувиргалтыг авч үзэх болно.

Жишээ 1

Хүч чадлын илэрхийллийн утгыг тооцоол 2 3 (4 2 − 12).

Шийдэл

Бид үйл ажиллагааны дарааллын дагуу бүх өөрчлөлтийг хийх болно. Энэ тохиолдолд бид хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг хийж эхлэх болно: зэрэглэлийг солино дижитал үнэ цэнэмөн хоёр тооны зөрүүг тооцоол. Бидэнд байна 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Бидний хийх ёстой зүйл бол эрдмийн зэрэг солих явдал юм 2 3 түүний утга 8 мөн бүтээгдэхүүнийг тооцоолох 8 4 = 32. Энд бидний хариулт байна.

Хариулт: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Жишээ 2

Хүчтэй илэрхийллийг хялбарчлах 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Шийдэл

Асуудлын мэдэгдэлд бидэнд өгсөн илэрхийлэл нь бидний өгч болох ижил төстэй нэр томъёог агуулдаг: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Хариулт: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1.

Жишээ 3

9 - b 3 · π - 1 2 зэрэгтэй илэрхийллийг үржвэрээр илэрхийл.

Шийдэл

9-ийн тоог хүч гэж төсөөлье 3 2 мөн товчилсон үржүүлэх томъёог хэрэглэнэ:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Хариулт: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1.

Одоо хүч чадлын илэрхийлэлд тусгайлан хэрэглэж болох таних тэмдгийн хувиргалтын шинжилгээнд шилжье.

Суурь ба илтгэгчтэй ажиллах

Суурь эсвэл экспонент дахь зэрэг нь тоо, хувьсагч болон зарим илэрхийлэлтэй байж болно. Жишээ нь, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7Тэгээд . Ийм бичлэгтэй ажиллахад хэцүү байдаг. Зэрэглэлийн суурь дахь илэрхийлэл эсвэл экспонент дахь илэрхийлэлийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих нь илүү хялбар байдаг.

Зэрэг ба экспонентийн хувиргалтыг бие биенээсээ тусад нь бидэнд мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг. Хамгийн чухал зүйл бол хувиргах үр дүнд анхныхтай ижил илэрхийлэл гарч ирдэг.

Өөрчлөлтийн зорилго нь анхны илэрхийлэлийг хялбарчлах эсвэл асуудлын шийдлийг олж авах явдал юм. Жишээлбэл, бидний дээр дурдсан жишээн дээр (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 зэрэгт шилжих алхамуудыг дагаж болно. 4 , 1 1 , 3 . Хашилтыг нээснээр бид чадлын суурьтай ижил төстэй нэр томъёог гаргаж болно (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)ба энгийн хэлбэрийн чадлын илэрхийлэлийг олж авна a 2 (x + 1).

Degree Properties ашиглах

Эрх тэгш байдлын хэлбэрээр бичигдсэн эрх мэдлийн шинж чанарууд нь эрх мэдлийн илэрхийлэлийг өөрчлөх гол хэрэгслүүдийн нэг юм. Үүнийг харгалзан бид гол зүйлийг энд толилуулж байна аТэгээд б- Эдгээр нь ямар ч байна эерэг тоонууд, А rТэгээд с- дурын бодит тоо:

Тодорхойлолт 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Бид натурал, бүхэл тоо, эерэг илтгэгчтэй харьцаж байгаа тохиолдолд a ба b тоонуудын хязгаарлалт нь хамаагүй бага хатуу байж болно. Жишээлбэл, бид тэгш байдлыг харгалзан үзвэл a m · a n = a m + n, Хаана мТэгээд n – натурал тоонууд, тэгвэл энэ нь эерэг ба сөрөг аль алиных нь аль ч утгын хувьд үнэн байх болно a = 0.

Эрх мэдлийн үндэс нь эерэг эсвэл зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь зөвхөн эерэг утгыг авдаг хувьсагчдыг агуулсан тохиолдолд эрх мэдлийн шинж чанарыг хязгаарлалтгүйгээр ашиглаж болно. Үнэндээ бол дотроо сургуулийн сургалтын хөтөлбөрМатематикийн хувьд оюутны даалгавар бол тохирох шинж чанарыг сонгох, түүнийг зөв хэрэглэх явдал юм.

Их, дээд сургуульд элсэн орохоор бэлтгэж байх үед та өмч хөрөнгийг буруу ашиглах нь DL-ийг нарийсгах болон шийдвэрлэхэд бусад хүндрэл учруулах асуудалтай тулгарч магадгүй юм. IN энэ хэсэгБид ийм хоёр л хэргийг шалгах болно. Дэлгэрэнгүй мэдээлэлАсуултыг "Эрх мэдлийн шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийг хөрвүүлэх" сэдвээр олж болно.

Жишээ 4

Илэрхийлэлийг төсөөлөөд үз дээ a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5суурьтай хүч хэлбэрээр а.

Шийдэл

Нэгдүгээрт, бид экспонентацын шинж чанарыг ашиглаж, хоёр дахь хүчин зүйлийг ашиглан хувиргадаг (a 2) − 3. Дараа нь бид ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх, хуваах шинж чанаруудыг ашигладаг.

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2.

Хариулт: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Эрх мэдлийн шинж чанарын дагуу эрх мэдлийн илэрхийлэлийг хувиргах нь зүүнээс баруун тийш болон эсрэг чиглэлд аль алиныг нь хийж болно.

Жишээ 5

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 чадлын илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл

Хэрэв бид тэгш байдлыг хэрэгжүүлбэл (a · b) r = a r · b r, баруунаас зүүн тийш бид 3 · 7 1 3 · 21 2 3, дараа нь 21 1 3 · 21 2 3 хэлбэрийн үржвэрийг авна. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхдээ илтгэгчийг нэмье: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Өөрчлөлтийг хийх өөр нэг арга бий:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Хариулт: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Жишээ 6

Хүч чадлын илэрхийлэл өгсөн a 1, 5 − a 0, 5 − 6, шинэ хувьсагч оруулна уу t = a 0.5.

Шийдэл

Зэрэглэлийг төсөөлөөд үз дээ a 1, 5Яаж 0.5 3. Зэрэг ба градусын шинж чанарыг ашиглах (a r) s = a r · sбаруунаас зүүн тийш, бид (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 болно. Та үүссэн илэрхийлэлд шинэ хувьсагчийг хялбархан оруулж болно t = a 0.5: бид авдаг t 3 − t − 6.

Хариулт: t 3 − t − 6 .

Хүч агуулсан бутархайг хөрвүүлэх

Бид ихэвчлэн бутархайтай хүч чадлын илэрхийллийн хоёр хувилбарыг авч үздэг: илэрхийлэл нь зэрэгтэй бутархайг илэрхийлдэг эсвэл ийм бутархайг агуулдаг. Бутархайн бүх үндсэн хувиргалтыг ийм илэрхийлэлд ямар ч хязгаарлалтгүйгээр хэрэглэж болно. Тэдгээрийг багасгаж, шинэ хуваагч руу авчирч эсвэл тоологч болон хуваагчтай тусад нь ажиллах боломжтой. Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 7

3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 гэсэн чадлын илэрхийллийг хялбарчлах.

Шийдэл

Бид бутархайтай харьцаж байгаа тул тоо болон хуваагчийн аль алинд нь хувиргалт хийх болно.

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Бутархайн тэмдэгийг өөрчлөхийн тулд бутархайн өмнө хасах тэмдэг тавина: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Хариулт: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Эрх бүхий бутархайг ижил аргаар шинэ хуваагч болгон бууруулна рационал бутархай. Үүнийг хийхийн тулд та нэмэлт хүчин зүйлийг олж, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй. Анхны илэрхийлэлд зориулсан ODZ хувьсагчдаас хувьсагчийн ямар ч утгын хувьд тэг рүү орохгүй байхаар нэмэлт хүчин зүйлийг сонгох шаардлагатай.

Жишээ 8

Бутархайг шинэ хуваагч болгон бууруул: a) a + 1 a 0, 7 хуваагч руу а, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 хуваарьт x + 8 · y 1 2 .

Шийдэл

a) Шинэ хуваагч болгон бууруулах боломжийг олгох хүчин зүйлийг сонгоцгооё. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,Тиймээс бид нэмэлт хүчин зүйл болгон авах болно a 0, 3. a хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын мужид бүх эерэг бодит тоонуудын багц орно. Энэ чиглэлээр зэрэгтэй a 0, 3тэг рүү орохгүй.

Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлье a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

б) Хугацааг анхаарч үзье:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Энэ илэрхийллийг x 1 3 + 2 · y 1 6-аар үржүүлье, бид x 1 3 ба 2 · y 1 6 кубуудын нийлбэрийг авна, өөрөөр хэлбэл. x + 8 · y 1 2 . Энэ бол бидний анхны бутархайг багасгах шаардлагатай шинэ хуваагч юм.

Бид x 1 3 + 2 · y 1 6 нэмэлт хүчин зүйлийг ингэж олсон. Хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээнд xТэгээд y x 1 3 + 2 y 1 6 илэрхийлэл алга болохгүй тул бид бутархайн хуваагч ба хуваагчийг түүгээр үржүүлж болно.
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Хариулт: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Жишээ 9

Бутархайг багасгах: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Шийдэл

a) Бид хамгийн их нийтлэг хуваагчийг (GCD) ашигладаг бөгөөд үүгээр бид тоологч болон хуваагчийг багасгаж болно. 30 ба 45 тоонуудын хувьд 15 байна. Бид бас бууруулж болно x0.5+1мөн x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 дээр.

Бид авах:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

б) Энд ижил хүчин зүйл байгаа нь тодорхойгүй байна. Тоолуур ба хуваарьт ижил хүчин зүйлийг авахын тулд та зарим өөрчлөлтийг хийх хэрэгтэй болно. Үүнийг хийхийн тулд квадратуудын зөрүүг томъёог ашиглан хуваагчийг өргөжүүлнэ.

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Хариулт: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x) 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Бутархайтай үндсэн үйлдлүүд нь бутархайг шинэ хуваагч болгон хувиргах, бутархайг багасгах зэрэг орно. Энэ хоёр үйлдлийг хэд хэдэн дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг. Бутархайг нэмэх, хасах үед эхлээд бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, дараа нь тоологчтой үйлдлүүдийг (нэмэх, хасах) гүйцэтгэдэг. Хуваагч нь ижил хэвээр байна. Бидний үйлдлүүдийн үр дүн нь шинэ бутархай, хуваагч нь тоологчдын үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр юм.

Жишээ 10

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 алхмуудыг хий.

Шийдэл

Эхлээд хаалтанд байгаа бутархайг хасаад эхэлцгээе. Тэднийг нийтлэг хуваагч руу аваачъя:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Тоолуурыг хасъя:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Одоо бид бутархайг үржүүлж байна:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Хүчээр бууруулъя x 1 2, бид 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1-ийг авна.

Нэмж дурдахад та хуваагч дахь хүч чадлын илэрхийллийг квадратуудын зөрүүг томъёогоор хялбарчилж болно: квадратууд: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Хариулт: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Жишээ 11

Х 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 гэсэн хүчний хуулийн илэрхийллийг хялбарчил.
Шийдэл

Бид бутархайг багасгаж болно (x 2 , 7 + 1) 2. Бид x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 бутархайг авна.

x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 -ийн хүчийг үргэлжлүүлэн хувиргацгаая. Одоо та ижил суурьтай хүчийг хуваах шинж чанарыг ашиглаж болно: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Бид сүүлчийн бүтээгдэхүүнээс x 1 3 8 x 2, 7 + 1 бутархай руу шилждэг.

Хариулт: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Ихэнх тохиолдолд сөрөг илтгэгчтэй хүчин зүйлийг тоологчоос хуваагч руу шилжүүлж, илтгэгчийн тэмдгийг өөрчлөх нь илүү тохиромжтой байдаг. Энэ үйлдэл нь цаашдын шийдвэрийг хялбарчлах боломжийг танд олгоно. Нэг жишээ өгье: хүч чадлын илэрхийлэл (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1-ийг x 3 · (x + 1) 0, 2 гэж сольж болно.

Үндэс ба хүч бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэх

Бодлогод зөвхөн бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлүүд төдийгүй үндсийг агуулсан чадлын илэрхийллүүд байдаг. Ийм хэллэгийг зөвхөн үндэс эсвэл зөвхөн эрх мэдэлд багасгахыг зөвлөж байна. Тэдэнтэй ажиллахад хялбар байдаг тул зэрэг авах нь илүү дээр юм. Анхны илэрхийлэлд зориулсан хувьсагчийн ODZ нь модульд хандах эсвэл ODZ-ийг хэд хэдэн интервалд хуваах шаардлагагүйгээр язгуурыг хүчээр солих боломжийг олгодог бол энэ шилжилтийг илүү тохиромжтой.

Жишээ 12

x 1 9 · x · x 3 6 илэрхийллийг зэрэглэлээр илэрхийл.

Шийдэл

Зөвшөөрөгдөх хувьсах утгуудын хүрээ xхоёр тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог x ≥ 0ба олонлогийг тодорхойлох x x 3 ≥ 0 [ 0 , + ∞) .

Энэ багц дээр бид үндэснээс эрх мэдэл рүү шилжих эрхтэй:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Хүч чадлын шинж чанарыг ашиглан бид үүссэн хүчийг илэрхийллийг хялбаршуулдаг.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Хариулт: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Экспонент дахь хувьсагчтай хүчийг хөрвүүлэх

Хэрэв та зэрэглэлийн шинж чанарыг зөв ашиглавал эдгээр хувиргалтыг хийхэд маш хялбар байдаг. Жишээ нь, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Бид илтгэгч нь зарим хувьсагч ба тооны нийлбэр болох чадлын үржвэрээр сольж болно. Зүүн талд үүнийг илэрхийллийн зүүн талын эхний ба сүүлчийн нөхцлөөр хийж болно:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0.

Одоо тэгш байдлын хоёр талыг хувааж үзье 7 2 х. Энэ x хувьсагчийн илэрхийлэл нь зөвхөн эерэг утгыг авна:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Бутархайг зэрэглэлээр бууруулъя: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Эцэст нь ижил илтгэгчтэй чадлын харьцааг харьцааны зэрэглэлээр сольсноор 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 тэгшитгэл гарч ирэх бөгөөд энэ нь 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-тэй тэнцэнэ. - 2 = 0.

Анхны экспоненциал тэгшитгэлийн шийдийг шийдэлд багасгадаг t = 5 7 x шинэ хувьсагчийг оруулъя. квадрат тэгшитгэл 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Хүчин чадал ба логарифм бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэх

Эрх мэдэл, логарифм агуулсан илэрхийллүүд нь бодлогод бас байдаг. Ийм илэрхийллийн жишээ нь: 1 4 1 - 5 · log 2 3 эсвэл log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Хөрвүүлэлт ижил төстэй илэрхийллүүдЭнэ нь дээр дурдсан логарифмын арга барил, шинж чанарыг ашиглан хийгддэг бөгөөд үүнийг бид "Логарифмын илэрхийллийг өөрчлөх" сэдвээр дэлгэрэнгүй авч үзсэн.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу