Šiuo vaizdo įrašu pradedu pamokų seriją, skirtą lygčių sistemoms. Šiandien kalbėsime apie tiesinių lygčių sistemų sprendimą papildymo būdas– tai vienas iš labiausiai paprastus būdus, bet kartu ir vienas efektyviausių.

Papildymo metodas susideda iš trys paprastižingsniai:

1. Pažvelkite į sistemą ir pasirinkite kintamąjį, kurio kiekvienoje lygtyje yra identiški (arba priešingi) koeficientai;
2. Vykdyti algebrinė atimtis(priešingiems skaičiams - sudėjimas) lygtis viena nuo kitos, tada pateikite panašius terminus;
3. Išspręskite naują lygtį, gautą po antrojo žingsnio.

Jei viskas bus padaryta teisingai, tada išvestyje gausime vieną lygtį su vienu kintamuoju- tai nebus sunku išspręsti. Tada belieka pakeisti rastą šaknį į pradinę sistemą ir gauti galutinį atsakymą.

Tačiau praktiškai viskas nėra taip paprasta. Tam yra keletas priežasčių:

• Sprendžiant lygtis sudėjimo metodu, visose eilutėse turi būti kintamieji su vienodais / priešingais koeficientais. Ką daryti, jei šis reikalavimas neįvykdytas?
• Ne visada, nurodytu būdu sudėjus/atėmus lygtis, gauname gražią, nesunkiai išsprendžiamą konstrukciją. Ar įmanoma kažkaip supaprastinti skaičiavimus ir pagreitinti skaičiavimus?

Norėdami gauti atsakymus į šiuos klausimus ir tuo pačiu suprasti keletą papildomų subtilybių, kurių daugelis mokinių nesugeba, žiūrėkite mano vaizdo pamoką:

Šia pamoka pradedame paskaitų ciklą, skirtą lygčių sistemoms. Ir mes pradėsime nuo paprasčiausių iš jų, būtent tų, kuriuose yra dvi lygtys ir du kintamieji. Kiekvienas iš jų bus linijinis.

Sistemos yra 7 klasės medžiaga, tačiau ši pamoka bus naudinga ir vyresniųjų klasių mokiniams, kurie nori pagyvinti savo žinias šia tema.

Apskritai yra du tokių sistemų sprendimo būdai:

1. Papildymo būdas;
2. Metodas išreikšti vieną kintamąjį kitu.

Šiandien nagrinėsime pirmąjį metodą – naudosime atimties ir sudėjimo metodą. Tačiau norėdami tai padaryti, turite suprasti šį faktą: kai turite dvi ar daugiau lygčių, galite paimti bet kurias dvi iš jų ir pridėti jas viena prie kitos. Jie pridedami po nariu, t.y. Prie "X" pridedami "X" ir pateikiami panašūs, "Y" su "Y" vėl panašūs, o kas yra dešinėje nuo lygybės ženklo, taip pat pridedama vienas prie kito, taip pat pateikiami panašūs. .

Tokių machinacijų rezultatai bus nauja lygtis, kuri, jei turi šaknis, tikrai bus tarp šaknų pradinė lygtis. Todėl mūsų užduotis yra atimti arba sudėti taip, kad išnyktų $x$ arba $y$.

Kaip tai pasiekti ir kokį įrankį tam naudoti - apie tai kalbėsime dabar.

Lengvų problemų sprendimas naudojant papildymo metodą

Taigi, mes mokomės naudoti pridėjimo metodą naudodami dviejų paprastų posakių pavyzdį.

Užduotis Nr.1

\[\left\( \begin(lygiuoti)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Atkreipkite dėmesį, kad $y$ pirmoje lygtyje yra $-4$, o antrojoje - $+4$. Jie yra tarpusavyje priešingi, todėl logiška manyti, kad jei juos sudėsime, tada gautoje sumoje „žaidimai“ bus sunaikinti. Pridėkite ir gaukite:

Išspręskime paprasčiausią konstrukciją:

Puiku, radome „x“. Ką turėtume su juo daryti dabar? Mes turime teisę jį pakeisti bet kuria lygtimi. Pakeiskime pirmąją:

\[-4y=12\left| :\kairė(-4 \dešinė) \dešinė.\]

Atsakymas: $\left(2;-3 \right)$.

2 problema

\[\left\( \begin (lygiuoti)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end (lygiuoti) \right.\]

Čia situacija visiškai panaši, tik su „X“. Sudėkime juos:

Turime paprasčiausią tiesinę lygtį, išspręskime ją:

Dabar suraskime $x$:

Atsakymas: $\left(-3;3 \right)$.

Svarbūs punktai

Taigi, mes ką tik išsprendėme dvi paprastas tiesinių lygčių sistemas, naudodami sudėjimo metodą. Vėlgi pagrindiniai punktai:

1. Jei vienam iš kintamųjų yra priešingi koeficientai, tuomet reikia pridėti visus lygties kintamuosius. Tokiu atveju vienas iš jų bus sunaikintas.
2. Rastą kintamąjį pakeičiame į bet kurią sistemos lygtį, kad rastume antrąją.
3. Galutinis atsakymo įrašas gali būti pateiktas įvairiais būdais. Pavyzdžiui, kaip šis - $x=...,y=...$, arba taškų koordinačių pavidalu - $\left(...;... \right)$. Pageidautina antrasis variantas. Svarbiausia atsiminti, kad pirmoji koordinatė yra $x$, o antroji yra $y$.
4. Atsakymo rašymo taško koordinačių forma taisyklė ne visada galioja. Pavyzdžiui, jo negalima naudoti, kai kintamieji yra ne $x$ ir $y$, o, pavyzdžiui, $a$ ir $b$.

Tolesniuose uždaviniuose nagrinėsime atimties techniką, kai koeficientai nėra priešingi.

Lengvų uždavinių sprendimas naudojant atimties metodą

Užduotis Nr.1

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Atkreipkite dėmesį, kad čia nėra priešingų koeficientų, tačiau yra identiškų. Todėl iš pirmosios lygties atimame antrąją:

Dabar mes pakeisime reikšmę $x$ į bet kurią sistemos lygtį. Eikime pirma:

Atsakymas: $\left(2;5\right)$.

2 problema

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end (lygiuoti) \right.\]

Pirmoje ir antroje lygtyse vėl matome tą patį $5$ koeficientą $x$. Todėl logiška manyti, kad iš pirmosios lygties reikia atimti antrąją:

Mes apskaičiavome vieną kintamąjį. Dabar suraskime antrąjį, pavyzdžiui, pakeisdami reikšmę $y$ į antrąją konstrukciją:

Atsakymas: $\left(-3;-2 \right)$.

Sprendimo niuansai

Taigi ką mes matome? Iš esmės schema niekuo nesiskiria nuo ankstesnių sistemų sprendimo. Skirtumas tik tas, kad lygtis nesudedame, o jas atimame. Mes atliekame algebrinę atimtį.

Kitaip tariant, kai tik pamatysite sistemą, susidedančią iš dviejų lygčių dviejuose nežinomuose, pirmiausia turite pažvelgti į koeficientus. Jei jos bet kur vienodos, lygtys atimamos, o jei priešingos, naudojamas sudėjimo metodas. Visada daroma taip, kad vienas iš jų išnyktų, o galutinėje lygtyje, kuri lieka atėmus, lieka tik vienas kintamasis.

Žinoma, tai dar ne viskas. Dabar apsvarstysime sistemas, kuriose lygtys paprastai yra nenuoseklios. Tie. Juose nėra kintamųjų, kurie būtų nei vienodi, nei priešingi. Šiuo atveju tokioms sistemoms išspręsti naudojame papildoma dozė, būtent kiekvieną lygtį padauginus iš specialaus koeficiento. Kaip tai rasti ir kaip apskritai išspręsti tokias sistemas, apie tai kalbėsime dabar.

Užduočių sprendimas dauginant iš koeficiento

1 pavyzdys

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Matome, kad nei $x$, nei $y$ koeficientai ne tik yra priešingi, bet ir niekaip nesusiję su kita lygtimi. Šie koeficientai niekaip neišnyks, net jei lygtis vieną iš kitos pridėsime ar atimsime. Todėl būtina taikyti dauginimą. Pabandykime atsikratyti $y$ kintamojo. Norėdami tai padaryti, pirmąją lygtį padauginame iš $y$ koeficiento iš antrosios lygties, o antrąją – iš $y$ koeficiento iš pirmosios lygties, neliesdami ženklo. Padauginame ir gauname naują sistemą:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Pažiūrėkime: ties $y$ koeficientai yra priešingi. Esant tokiai situacijai, būtina naudoti papildymo metodą. Pridurkime:

Dabar turime rasti $y$. Norėdami tai padaryti, pirmoje išraiškoje pakeiskite $x$:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Atsakymas: $\left(4;-2 \right)$.

2 pavyzdys

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Vėlgi, nė vieno kintamojo koeficientai nėra nuoseklūs. Padauginkime iš $y$ koeficientų:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(lygiuoti) \dešinė .\]

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Mūsų nauja sistema yra lygiavertis ankstesniam, tačiau $y$ koeficientai yra priešingi, todėl čia lengva pritaikyti pridėjimo metodą:

Dabar suraskime $y$ pirmoje lygtyje pakeisdami $x$:

Atsakymas: $\left(-2;1 \right)$.

Sprendimo niuansai

Pagrindinė taisyklė čia yra tokia: mes visada dauginame tik iš teigiami skaičiai- tai išgelbės jus nuo kvailų ir įžeidžiančių klaidų, susijusių su ženklų keitimu. Apskritai sprendimo schema yra gana paprasta:

1. Mes žiūrime į sistemą ir analizuojame kiekvieną lygtį.
2. Jeigu matysime, kad nei $y$, nei $x$ koeficientai nėra nuoseklūs, t.y. jie nėra nei lygūs, nei priešingi, tada darome taip: pasirenkame kintamąjį, kurio turime atsikratyti, ir tada žiūrime į šių lygčių koeficientus. Jei pirmąją lygtį padauginsime iš koeficiento iš antrosios, o antrąją atitinkamai padauginsime iš koeficiento iš pirmosios, tada galų gale gausime sistemą, kuri yra visiškai lygiavertė ankstesnei, ir koeficientus $ y$ bus nuoseklus. Visi mūsų veiksmai ar transformacijos yra nukreiptos tik į vieną kintamąjį vienoje lygtyje.
3. Randame vieną kintamąjį.
4. Rastą kintamąjį pakeičiame viena iš dviejų sistemos lygčių ir randame antrąją.
5. Atsakymą rašome taškų koordinačių forma, jei turime kintamuosius $x$ ir $y$.

Tačiau net toks paprastas algoritmas turi savų subtilybių, pavyzdžiui, $x$ arba $y$ koeficientai gali būti trupmenos ir kiti „bjaurūs“ skaičiai. Šiuos atvejus dabar nagrinėsime atskirai, nes juose galite elgtis kiek kitaip nei pagal standartinį algoritmą.

Užduočių su trupmenomis sprendimas

1 pavyzdys

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Pirma, atkreipkite dėmesį, kad antroje lygtyje yra trupmenos. Tačiau atminkite, kad 4 USD galite padalyti iš 0,8 USD. Gausime 5 USD. Padauginkime antrąją lygtį iš $5$:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Vieną iš kitos atimame lygtis:

Radome $n$, dabar suskaičiuokime $m$:

Atsakymas: $n=-4;m=5$

2 pavyzdys

' teisingai.\]

Čia, kaip ir ankstesnėje sistemoje, yra trupmeniniai koeficientai tačiau nė vienam iš kintamieji koeficientai netelpa vienas į kitą sveikuoju skaičiumi kartų. Todėl mes naudojame standartinį algoritmą. Atsikratykite $p$:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Mes naudojame atimties metodą:

Raskime $p$ pakeisdami $k$ į antrąją konstrukciją:

Atsakymas: $p=-4;k=-2$.

Sprendimo niuansai

Tai viskas optimizavimas. Pirmoje lygtyje iš viso nedauginome iš nieko, o antrąją lygtį padauginome iš $5$. Dėl to mes gavome nuoseklią ir net identišką pirmojo kintamojo lygtį. Antroje sistemoje laikėmės standartinio algoritmo.

Bet kaip rasti skaičius, iš kurių padauginti lygtis? Juk padauginus iš trupmeniniai skaičiai, gausime naujas trupmenas. Todėl trupmenas reikia padauginti iš skaičiaus, kuris duotų naują sveikąjį skaičių, o po to kintamuosius reikia padauginti iš koeficientų, vadovaujantis standartiniu algoritmu.

Baigdamas norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į atsakymo įrašymo formatą. Kaip jau sakiau, kadangi čia turime ne $x$ ir $y$, o kitas reikšmes, naudojame nestandartinį formos žymėjimą:

Sudėtingų lygčių sistemų sprendimas

Kaip paskutinė pastaba apie šiandienos vaizdo įrašą, pažvelkime į keletą iš tikrųjų sudėtingos sistemos. Jų sudėtingumas bus tas, kad jie turės kintamuosius ir kairėje, ir dešinėje. Todėl norėdami juos išspręsti, turėsime taikyti išankstinį apdorojimą.

Sistema Nr.1

\[\left\(\begin(lygiuoti)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end (lygiuoti) \right.\]

Kiekviena lygtis turi tam tikrą sudėtingumą. Todėl kiekvieną išraišką traktuokime kaip su įprasta tiesine konstrukcija.

Iš viso gauname galutinę sistemą, kuri yra lygiavertė pradinei:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

Pažiūrėkime į $y$ koeficientus: $3$ du kartus telpa į $6$, todėl pirmąją lygtį padauginkime iš $2$:

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\]

$y$ koeficientai dabar yra lygūs, todėl iš pirmosios lygties atimame antrąją: $$

Dabar suraskime $y$:

Atsakymas: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema Nr.2

\[\left\( \begin (lygiuoti)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(lygiuoti) \right.\]

Paverskime pirmąją išraišką:

Panagrinėkime antrąjį:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Iš viso mūsų pradinė sistema bus tokia:

\[\left\( \begin(lygiuoti)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Žvelgdami į $a$ koeficientus matome, kad pirmąją lygtį reikia padauginti iš $2$:

\[\left\( \begin(lygiuoti)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(lygiuoti) \right.\]

Iš pirmosios konstrukcijos atimkite antrąją:

Dabar suraskime $a$:

Atsakymas: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Tai viskas. Tikiuosi, kad šis vaizdo įrašas padės suprasti šią sudėtingą temą, būtent paprastų tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Pamokų šia tema bus dar daug: pažiūrėsime daugiau sudėtingų pavyzdžių, kur bus daugiau kintamųjų, o pačios lygtys jau bus netiesinės. Iki pasimatymo!

Naudojant šį matematikos programa Galite išspręsti dviejų tiesinių lygčių sistemą dviem kintamaisiais, naudodami pakeitimo metodą ir sudėjimo metodą.

Programa ne tik duoda atsakymą į problemą, bet ir suteikia detalus sprendimas su sprendimo žingsnių paaiškinimais dviem būdais: pakeitimo metodu ir pridėjimo metodu.

Ši programa gali būti naudinga vidurinių mokyklų moksleiviams vidurines mokyklas ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai

matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais. jaunesni broliai ar seserys, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje kyla.

Lygčių įvedimo taisyklės

Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.

Įvedant lygtis galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju lygtys pirmiausia supaprastinamos.
Lygtys po supaprastinimų turi būti tiesinės, t.y. formos ax+by+c=0 elementų eilės tikslumu.

Pavyzdžiui: 6x+1 = 5(x+y)+2

Lygtyse galite naudoti ne tik sveikuosius skaičius, bet ir trupmenas po kablelio ir paprastosios trupmenos.
Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės. Visą ir trupmeninė dalis V po kablelio
galima atskirti tašku arba kableliu.

Pavyzdžiui: 2,1n + 3,5m = 55
Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.
Vardiklis negali būti neigiamas. Įeinant skaitinė trupmena /
Skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas padalijimo ženklu: Visa dalis &

atskirtas nuo trupmenos ampersandu:
Pavyzdžiai.
-1 ir 2/3 m + 5/3x = 55

Išspręskite lygčių sistemą
Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.

Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas. Palaukite

sek... Jeigu jūs sprendime pastebėjo klaidą
, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje. Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką.

įveskite laukelius

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas. Pakeitimo metodas
Veiksmų seka sprendžiant tiesinių lygčių sistemą pakeitimo metodu:
1) iš vienos sistemos lygties išreiškia vieną kintamąjį kita;

2) vietoj šio kintamojo gautą išraišką pakeisti kita sistemos lygtimi;

$$ \left\( \begin(masyvas)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(masyvas) \right. $$
Išreikškime y dydžiu x iš pirmosios lygties: y = 7-3x. Į antrąją lygtį vietoj y pakeitę išraišką 7-3x, gauname sistemą:

Nesunku parodyti, kad pirmosios ir antrosios sistemos turi tuos pačius sprendimus. Antroje sistemoje antroji lygtis turi tik vieną kintamąjį. Išspręskime šią lygtį:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \RightArrow -5x+14-6x=3 \RightArrow -11x=-11 \RightArrow x=1 $$

Lygybe y=7-3x vietoj x pakeitę 1, randame atitinkamą y reikšmę:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pora (1;4) – sistemos sprendimas

Vadinamos dviejų kintamųjų lygčių sistemos, turinčios tuos pačius sprendinius lygiavertis. Sistemos, kuriose nėra sprendimų, taip pat laikomos lygiavertėmis.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas sudėjus

Panagrinėkime kitą tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdą – sudėjimo metodą. Tokiu būdu spręsdami sistemas, taip pat sprendžiant pakeitimu, iš šios sistemos pereiname prie kitos, lygiavertės sistemos, kurioje vienoje iš lygčių yra tik vienas kintamasis.

Veiksmų seka sprendžiant tiesinių lygčių sistemą naudojant pridėjimo metodą:
1) padauginkite sistemos lygtis iš termino, pasirinkdami koeficientus taip, kad vieno iš kintamųjų koeficientai taptų priešingi skaičiai;
2) sudėkite kairę ir dešinę sistemos lygčių puses po termino;
3) išspręskite gautą lygtį vienu kintamuoju;
4) raskite atitinkamą antrojo kintamojo reikšmę.

Pavyzdys. Išspręskime lygčių sistemą:
$$ \left\( \begin(masyvas)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(masyvas) \right. $$

Šios sistemos lygtyse y koeficientai yra priešingi skaičiai. Sudėjus kairę ir dešinę lygčių puses po termino, gauname lygtį su vienu kintamuoju 3x=33. Vieną iš sistemos lygčių, pavyzdžiui, pirmąją, pakeiskime lygtimi 3x=33. Paimkime sistemą
$$ \left\( \begin(masyvas)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(masyvas) \right. $$

Iš lygties 3x=33 matome, kad x=11. Pakeitę šią x reikšmę į lygtį \(x-3y=38\) gauname lygtį su kintamuoju y: \(11-3y=38\). Išspręskime šią lygtį:
\(-3y=27 \Rightrow y=-9 \)

Taigi lygčių sistemos sprendimą radome sudėjus: \(x=11; y=-9\) arba \((11;-9)\)

Pasinaudoję tuo, kad sistemos lygtyse y koeficientai yra priešingi skaičiai, jos sprendinį redukavome iki ekvivalentinės sistemos sprendinio (sumuodami abi pradinės sistemos kiekvienos lygties puses), kurioje vienas lygčių yra tik vienas kintamasis.

1. Pakeitimo metodas: iš bet kurios sistemos lygties vieną nežinomąjį išreiškiame kita ir pakeičiame antrąja sistemos lygtimi.

Užduotis. Išspręskite lygčių sistemą:

Sprendimas. Iš pirmosios sistemos lygties išreiškiame adresu per X ir pakeiskite ją į antrąją sistemos lygtį. Paimkime sistemą lygiavertis originaliam.

Atnešus panašių narių sistema bus tokia:

Iš antrosios lygties randame: . Šios reikšmės pakeitimas į lygtį adresu = 2 - 2X, gauname adresu= 3. Todėl šios sistemos sprendimas yra skaičių pora.

2. Algebrinis sudėjimo metodas: Pridėjus dvi lygtis, gausite lygtį su vienu kintamuoju.

Užduotis. Išspręskite sistemos lygtį:

Sprendimas. Abi antrosios lygties puses padauginus iš 2, gauname sistemą lygiavertis originaliam. Sudėjus dvi šios sistemos lygtis, gauname sistemą

Įvedus panašias sąlygas, ši sistema įgis tokią formą: Iš antrosios lygties randame . Šios reikšmės pakeitimas į 3 lygtį X + 4adresu= 5, gauname , kur. Todėl šios sistemos sprendimas yra skaičių pora.

3. Naujų kintamųjų įvedimo metodas: sistemoje ieškome pasikartojančių išraiškų, kurias žymėsime naujais kintamaisiais, taip supaprastindami sistemos išvaizdą.

Užduotis. Išspręskite lygčių sistemą:

Sprendimas. Užsirašykime šią sistemą kitaip:

Leiskite x + y = u, xy = v. Tada gauname sistemą

Išspręskime tai pakeitimo metodu. Iš pirmosios sistemos lygties išreiškiame u per v ir pakeiskite ją į antrąją sistemos lygtį. Paimkime sistemą tie.

Iš antrosios sistemos lygties randame v 1 = 2, v 2 = 3.

Pakeičiant šias reikšmes į lygtį u = 5 - v, gauname u 1 = 3,
u 2 = 2. Tada turime dvi sistemas

Išspręsdami pirmąją sistemą, gauname dvi skaičių poras (1; 2), (2; 1). Antroji sistema neturi sprendimų.

Pratimai savarankiškam darbui

1. Išspręskite lygčių sistemas keitimo metodu.

Tiesinės lygtys dviejuose kintamuosiuose

Pietums mokykloje moksleivis turi 200 rublių. Pyragas kainuoja 25 rublius, o kavos puodelis – 10 rublių. Kiek pyragų ir kavos puodelių galite nusipirkti už 200 rublių?

Pažymėkime pyragų skaičių x, ir kavos puodelių skaičius y. Tada pyragų kaina bus pažymėta išraiška 25 x, o kavos puodelių kaina 10 y .

25x- kaina x pyragaičiai
10y - kaina y kavos puodeliai

Bendra suma turėtų būti 200 rublių. Tada gauname lygtį su dviem kintamaisiais x Ir y

25x+ 10y= 200

Kiek jis turi šaknų? duota lygtis?

Viskas priklauso nuo mokinio apetito. Jei jis perka 6 pyragus ir 5 puodelius kavos, tada lygties šaknys bus skaičiai 6 ir 5.

Teigiama, kad 6 ir 5 reikšmių pora yra 25 lygties šaknys x+ 10y= 200. Rašoma kaip (6; 5), o pirmasis skaičius yra kintamojo reikšmė x, o antrasis – kintamojo reikšmė y .

6 ir 5 nėra vienintelės šaknys, kurios apverčia 25 lygtį x+ 10y= 200 iki tapatybės. Jei pageidauja, už tuos pačius 200 rublių studentas gali nusipirkti 4 pyragus ir 10 puodelių kavos:

Šiuo atveju 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 yra reikšmių pora (4; 10).

Be to, moksleivis gali išvis nepirkti kavos, o nusipirkti pyragų už visus 200 rublių. Tada 25 lygties šaknys x+ 10y= 200 bus reikšmės 8 ir 0

Arba atvirkščiai, pirkite ne pyragus, o pirkite kavą už visus 200 rublių. Tada 25 lygties šaknys x+ 10y= 200, reikšmės bus 0 ir 20

Pabandykime išvardyti visas galimas 25 lygties šaknis x+ 10y= 200. Sutikime, kad vertybės x Ir y priklauso sveikųjų skaičių aibei. Ir tegul šios vertės yra didesnės arba lygios nuliui:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Tai bus patogu pačiam studentui. Patogiau pirkti sveikus pyragus nei, pavyzdžiui, kelis sveikus pyragus ir pusę torto. Taip pat patogiau gerti kavą visais puodeliais nei, pavyzdžiui, kelis sveikus puodelius ir pusę puodelio.

Atkreipkite dėmesį, kad keistai x jokiomis aplinkybėmis neįmanoma pasiekti lygybės y. Tada vertybės xšie skaičiai bus 0, 2, 4, 6, 8. Ir žinant x galima nesunkiai nustatyti y

Taigi, mes gavome šias verčių poras (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Šios poros yra 25 lygties sprendiniai arba šaknys x+ 10y= 200. Jie paverčia šią lygtį tapatybe.

Formos lygtis ax + by = c paskambino tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais. Šios lygties sprendinys arba šaknys yra reikšmių pora ( x; y), kuris paverčia jį tapatybe.

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais yra parašyta formoje ax + b y = c , tada jie sako, kad tai parašyta kanoninis(įprasta) forma.

Kai kurios dviejų kintamųjų tiesinės lygtys gali būti sumažintos iki kanoninės formos.

Pavyzdžiui, lygtis 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) galima atvesti į galvą ax + by = c. Atidarykime skliaustus abiejose šios lygties pusėse ir gaukime 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Terminus, kuriuose yra nežinomųjų, grupuojame kairėje lygties pusėje, o terminus be nežinomųjų – dešinėje. Tada gauname 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Pateikiame panašius terminus abiejose pusėse, gauname 16 lygtį x+ 8y= 32. Ši lygtis redukuojama į formą ax + by = c ir yra kanoninis.

Anksčiau aptarta 25 lygtis x+ 10y= 200 taip pat yra tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais kanoninė forma. Šioje lygtyje parametrai a , b Ir c yra lygios atitinkamai 25, 10 ir 200 reikšmėms.

Tiesą sakant, lygtis ax + by = c turi daugybę sprendimų. Lygties sprendimas 25x+ 10y= 200, jos šaknų ieškojome tik sveikųjų skaičių aibėje. Dėl to mes gavome keletą reikšmių porų, kurios pavertė šią lygtį tapatybe. Bet ant daugelio racionalūs skaičiai 25 lygtis x+ 10y= 200 turės be galo daug sprendinių.

Norėdami gauti naujas verčių poras, turite paimti savavališką for reikšmę x, tada išreikškite y. Pavyzdžiui, paimkime kintamąjį x reikšmė 7. Tada gauname lygtį su vienu kintamuoju 25×7 + 10y= 200 kuriais galima išreikšti y

Leiskite x= 15. Tada lygtis 25x+ 10y= 200 tampa 25 × 15 + 10y= 200. Iš čia mes tai randame y = −17,5

Leiskite x= –3 . Tada lygtis 25x+ 10y= 200 tampa 25 × (–3) + 10y= 200. Iš čia mes tai randame y = −27,5

Dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema

Dėl lygties ax + by = c galite pasirinkti savavališkas vertes tiek kartų, kiek norite x ir rasti vertes y. Paėmus atskirai, tokia lygtis turės daugybę sprendimų.

Tačiau taip pat atsitinka, kad kintamieji x Ir y sujungti ne viena, o dviem lygtimis. Šiuo atveju jie sudaro vadinamąjį dviejų kintamųjų tiesinių lygčių sistema. Tokia lygčių sistema gali turėti vieną reikšmių porą (arba kitaip: „vieną sprendimą“).

Taip pat gali atsitikti taip, kad sistema apskritai neturi sprendimų. Tiesinių lygčių sistema retais ir išskirtiniais atvejais gali turėti daugybę sprendimų.

Dvi tiesinės lygtys sudaro sistemą, kai reikšmės x Ir yĮveskite į kiekvieną iš šių lygčių.

Grįžkime prie pačios pirmosios 25 lygties x+ 10y= 200. Viena iš šios lygties reikšmių porų buvo pora (6; 5). Tai atvejis, kai už 200 rublių galėjai nusipirkti 6 pyragus ir 5 puodelius kavos.

Suformuluokime uždavinį taip, kad pora (6; 5) taptų vieninteliu 25 lygties sprendiniu x+ 10y= 200. Norėdami tai padaryti, sukurkime kitą lygtį, kuri sujungtų tą patį x pyragaičiai ir y puodeliai kavos.

Pateikiame problemos tekstą taip:

„Studentas už 200 rublių nusipirko kelis pyragus ir kelis puodelius kavos. Pyragas kainuoja 25 rublius, o kavos puodelis – 10 rublių. Kiek pyragų ir kavos puodelių mokinys nupirko, jei žinoma, kad pyragų skaičius vienete daugiau kiekio puodeliai kavos?

Pirmąją lygtį jau turime. Tai yra 25 lygtis x+ 10y= 200. Dabar sukurkime sąlygos lygtį „Pyragų skaičius yra vienu vienetu didesnis už kavos puodelių skaičių“ .

Tortų skaičius yra x, o kavos puodelių skaičius yra y. Šią frazę galite parašyti naudodami lygtį x−y= 1. Ši lygtis reikš, kad skirtumas tarp pyragų ir kavos yra 1.

x = y+1. Ši lygtis reiškia, kad pyragų skaičius yra vienu daugiau nei kavos puodelių. Todėl, norint gauti lygybę, prie kavos puodelių skaičiaus pridedamas vienas. Tai galima lengvai suprasti, jei naudosime svarstyklių modelį, kurį atsižvelgėme tirdami paprasčiausias problemas:

Gavome dvi lygtis: 25 x+ 10y= 200 ir x = y+ 1. Kadangi reikšmės x Ir y, būtent 6 ir 5 yra įtrauktos į kiekvieną iš šių lygčių, tada jos kartu sudaro sistemą. Užrašykime šią sistemą. Jei lygtys sudaro sistemą, tada jos įrėmintos sistemos ženklu. Sistemos simbolis yra garbanotas skliaustas:

Išspręskime šią sistemą. Tai leis mums pamatyti, kaip gauname 6 ir 5 reikšmes. Tokių sistemų sprendimo būdų yra daug. Pažvelkime į populiariausius iš jų.

Pakeitimo metodas

Šio metodo pavadinimas kalba pats už save. Jo esmė yra pakeisti vieną lygtį kita, prieš tai išreiškus vieną iš kintamųjų.

Mūsų sistemoje nieko nereikia išreikšti. Antroje lygtyje x = y+ 1 kintamasis x jau išreikštas. Šis kintamasis yra lygus išraiškai y+1. Tada galite pakeisti šią išraišką į pirmąją lygtį, o ne į kintamąjį x

Pakeitus išraišką y Vietoj to + 1 į pirmąją lygtį x, gauname lygtį 25(y+ 1) + 10y= 200 . Tai tiesinė lygtis su vienu kintamuoju. Šią lygtį gana lengva išspręsti:

Mes radome kintamojo reikšmę y. Dabar pakeiskime šią reikšmę viena iš lygčių ir raskime reikšmę x. Tam patogu naudoti antrąją lygtį x = y+1. Pakeiskime į jį vertę y

Tai reiškia, kad pora (6; 5) yra lygčių sistemos sprendimas, kaip ir norėjome. Mes patikriname ir įsitikiname, kad pora (6; 5) atitinka sistemą:

2 pavyzdys

Pakeiskime pirmąją lygtį x= 2 + yį antrąją lygtį 3 x− 2y= 9. Pirmoje lygtyje kintamasis x lygus išraiškai 2 + y. Vietoj to, pakeiskime šią išraišką į antrąją lygtį x

Dabar suraskime vertę x. Norėdami tai padaryti, pakeiskime vertę yį pirmąją lygtį x= 2 + y

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra poros reikšmė (5; 3)

3 pavyzdys. Išspręskite pakeičiant šią sistemą lygtys:

Čia, skirtingai nei ankstesniuose pavyzdžiuose, vienas iš kintamųjų nėra aiškiai išreikštas.

Norėdami pakeisti vieną lygtį kita, pirmiausia turite .

Patartina išreikšti kintamąjį, kurio koeficientas yra vienas. Kintamojo koeficientas yra vienas x, kuris yra pirmoje lygtyje x+ 2y= 11. Išreikškime šį kintamąjį.

Po kintamos išraiškos x, mūsų sistema bus tokios formos:

Dabar pakeiskime pirmąją lygtį antrąja ir raskime reikšmę y

Pakeiskime y x

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (3; 4)

Žinoma, galite išreikšti ir kintamąjį y. Tai nepakeis šaknų. Bet jei išreiškiate y, Rezultatas nėra labai paprasta lygtis, kuriai išspręsti prireiks daugiau laiko. Tai atrodys taip:

Mes tai matome šiame pavyzdyje išreikšti x daug patogiau nei išreikšti y .

4 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Išreikškime pirmąja lygtimi x. Tada sistema įgis tokią formą:

y

Pakeiskime yį pirmąją lygtį ir raskite x. Galite naudoti pradinę 7 lygtį x+ 9y= 8, arba naudokite lygtį, kurioje išreiškiamas kintamasis x. Mes naudosime šią lygtį, nes tai patogu:

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (5; −3)

Papildymo būdas

Sudėjimo metodas susideda iš lygčių, įtrauktų į sistemą, pridėjimo po termino. Dėl šio papildymo gaunama nauja lygtis su vienu kintamuoju. Ir išspręsti tokią lygtį yra gana paprasta.

Išspręskime šią lygčių sistemą:

Pridėkime pirmosios lygties kairę pusę su antrosios lygties kairiąja. Ir pirmosios lygties dešinėje pusėje su dešinėje pusėje antroji lygtis. Gauname tokią lygybę:

Pažvelkime į panašius terminus:

Dėl to gavome paprasčiausią lygtį 3 x= 27, kurio šaknis yra 9. Žinant reikšmę x galite rasti vertę y. Pakeiskime vertę xį antrą lygtį x−y= 3. Gauname 9 − y= 3. Iš čia y= 6 .

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (9; 6)

2 pavyzdys

Pridėkime pirmosios lygties kairę pusę su antrosios lygties kairiąja. Ir pirmosios lygties dešinė pusė su antrosios lygties dešine puse. Gautoje lygybėje pateikiame panašius terminus:

Dėl to gavome paprasčiausią 5 lygtį x= 20, kurios šaknis yra 4. Žinant reikšmę x galite rasti vertę y. Pakeiskime vertę xį pirmąją 2 lygtį x+y= 11. Gaukime 8+ y= 11. Iš čia y= 3 .

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas yra reikšmių pora (4;3)

Papildymo procesas nėra išsamiai aprašytas. Tai turi būti padaryta psichiškai. Sudedant abi lygtys turi būti sumažintos iki kanoninės formos. Tai yra, beje ac + by = c .

Iš nagrinėjamų pavyzdžių aišku, kad pagrindinis lygčių pridėjimo tikslas yra atsikratyti vieno iš kintamųjų. Tačiau ne visada įmanoma iš karto išspręsti lygčių sistemą naudojant sudėjimo metodą. Dažniausiai sistema pirmiausia įvedama į formą, kurioje būtų galima pridėti į šią sistemą įtrauktas lygtis.

Pavyzdžiui, sistema galima nedelsiant išspręsti pridedant. Sudėjus abi lygtis, terminai y Ir −y išnyks, nes jų suma lygi nuliui. Dėl to susidaro paprasčiausia 11 lygtis x= 22, kurios šaknis yra 2. Tada bus galima nustatyti y lygus 5.

Ir lygčių sistema Sudėjimo metodas negali būti išspręstas iš karto, nes dėl to vienas iš kintamųjų neišnyks. Sudėjus bus gauta 8 lygtis x+ y= 28, kuris turi begalinį sprendinių skaičių.

Jei abi lygties pusės yra padaugintos arba padalytos iš to paties skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausite lygtį, lygiavertę duotajai. Ši taisyklė galioja ir tiesinių lygčių sistemai su dviem kintamaisiais. Vieną iš lygčių (arba abi lygtis) galima padauginti iš bet kurio skaičiaus. Rezultatas bus lygiavertė sistema, kurios šaknys sutaps su ankstesne.

Grįžkime prie pačios pirmosios sistemos, kurioje buvo aprašyta, kiek pyragų ir kavos puodelių nusipirko moksleivis. Šios sistemos sprendimas buvo reikšmių pora (6; 5).

Padauginkime abi į šią sistemą įtrauktas lygtis iš kai kurių skaičių. Tarkime, kad pirmąją lygtį padauginame iš 2, o antrąją – iš 3

Dėl to gavome sistemą
Šios sistemos sprendimas vis dar yra reikšmių pora (6; 5)

Tai reiškia, kad į sistemą įtrauktos lygtys gali būti sumažintos iki formos, tinkamos taikyti sudėjimo metodą.

Grįžkime prie sistemos , kurio negalėjome išspręsti naudodami papildymo metodą.

Pirmąją lygtį padauginkite iš 6, o antrąją iš –2

Tada gauname tokią sistemą:

Sudėkime į šią sistemą įtrauktas lygtis. Komponentų pridėjimas 12 x ir –12 x bus 0, pridėjus 18 y ir 4 y duos 22 y, o sudėjus 108 ir −20 gauname 88. Tada gauname lygtį 22 y= 88, iš čia y = 4 .

Jei iš pradžių sunku galvoje sudėti lygtis, galite užsirašyti, kaip jos susideda kairėje pusėje pirmosios lygties kairioji antrosios lygties pusė, o pirmosios lygties dešinė pusė su antrosios lygties dešine puse:

Žinant, kad kintamojo reikšmė y lygus 4, galite rasti vertę x. Pakeiskime yį vieną iš lygčių, pavyzdžiui, į pirmąją 2 lygtį x+ 3y= 18. Tada gauname lygtį su vienu kintamuoju 2 x+ 12 = 18. Perkelkime 12 į dešinę pusę, pakeisdami ženklą, gausime 2 x= 6, iš čia x = 3 .

4 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Antrąją lygtį padauginkime iš −1. Tada sistema bus tokios formos:

Sudėkime abi lygtis. Komponentų pridėjimas x Ir −x bus 0, pridėjus 5 y ir 3 y duos 8 y, o sudėjus 7 ir 1 gauname 8. Rezultatas yra 8 lygtis y= 8, kurio šaknis yra 1. Žinant, kad reikšmė y lygus 1, galite rasti vertę x .

Pakeiskime yį pirmąją lygtį, gauname x+ 5 = 7, vadinasi x= 2

5 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Pageidautina, kad terminai, turintys tuos pačius kintamuosius, būtų išdėstyti vienas po kito. Todėl antroje lygtyje terminai 5 y ir −2 x Pasikeiskime vietomis. Dėl to sistema bus tokia:

Antrąją lygtį padauginkime iš 3. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus gauname 8 lygtį y= 16, kurios šaknis yra 2.

Pakeiskime yĮ pirmąją lygtį gauname 6 x– 14 = 40. Perkelkime terminą −14 į dešinę, pakeisdami ženklą ir gausime 6 x= 54 . Iš čia x= 9.

6 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Atsikratykime trupmenų. Pirmąją lygtį padauginkite iš 36, o antrąją iš 12

Gautoje sistemoje Pirmąją lygtį galima padauginti iš –5, o antrąją – iš 8

Sudėkime lygtis gautoje sistemoje. Tada gauname paprasčiausią lygtį −13 y= –156 . Iš čia y= 12. Pakeiskime yį pirmąją lygtį ir raskite x

7 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Sumažinkime abi lygtis į normaliai atrodantis. Čia patogu taikyti proporcingumo taisyklę abiejose lygtyse. Jei pirmoje lygtyje dešinė pusė pavaizduota kaip , o antrosios lygties dešinė pusė kaip , tada sistema įgis tokią formą:

Mes turime proporciją. Padauginkime jo kraštutinius ir vidurinius terminus. Tada sistema įgis tokią formą:

Padauginkime pirmąją lygtį iš −3, o antroje atidarykite skliaustus:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus šias lygtis, gauname lygybę su nuliu iš abiejų pusių:

Pasirodo, sistema turi begalę sprendimų.

Bet mes negalime tiesiog paimti savavališkų vertybių iš dangaus x Ir y. Mes galime nurodyti vieną iš reikšmių, o kita bus nustatyta priklausomai nuo mūsų nurodytos reikšmės. Pavyzdžiui, tegul x= 2. Pakeiskime šią reikšmę sistemoje:

Išsprendus vieną iš lygčių, reikšmė for y, kuris tenkins abi lygtis:

Gauta reikšmių pora (2; -2) patenkins sistemą:

Suraskime kitą vertybių porą. Leiskite x= 4. Pakeiskime šią reikšmę sistemoje:

Galite pasakyti iš akies, kad vertė y lygus nuliui. Tada gauname reikšmių porą (4; 0), kuri atitinka mūsų sistemą:

8 pavyzdys. Sudėties metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Pirmąją lygtį padauginkite iš 6, o antrąją iš 12

Perrašykime tai, kas liko:

Padauginkime pirmąją lygtį iš −1. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar pridėkime abi lygtis. Sudėjus susidaro 6 lygtis b= 48, kurio šaknis yra 8. Pakaitalas bį pirmąją lygtį ir raskite a

Tiesinių lygčių sistema su trimis kintamaisiais

Linijinė lygtis su trimis kintamaisiais apima tris kintamuosius su koeficientais, taip pat pertraukos terminą. Kanonine forma jis gali būti parašytas taip:

ax + by + cz = d

Ši lygtis turi daugybę sprendimų. Pateikiame du kintamuosius skirtingos reikšmės, galima rasti trečią reikšmę. Sprendimas šiuo atveju yra trigubas reikšmes ( x; y; z), kuri lygtį paverčia tapatybe.

Jei kintamieji x, y, z yra tarpusavyje sujungtos trimis lygtimis, tada susidaro trijų tiesinių lygčių su trimis kintamaisiais sistema. Norėdami išspręsti tokią sistemą, galite naudoti tuos pačius metodus, kurie taikomi tiesinėms lygtims su dviem kintamaisiais: pakeitimo metodu ir pridėjimo metodu.

1 pavyzdys. Pakeitimo metodu išspręskite šią lygčių sistemą:

Išreikškime trečiąja lygtimi x. Tada sistema įgis tokią formą:

Dabar atlikime pakeitimą. Kintamasis x yra lygus išraiškai 3 − 2y − 2z . Pakeiskime šią išraišką į pirmąją ir antrąją lygtis:

Atidarykime skliaustus abiejose lygtyse ir pateiksime panašius terminus:

Priėjome tiesinių lygčių sistemą su dviem kintamaisiais. IN šiuo atveju Patogu naudoti papildymo metodą. Dėl to kintamasis y išnyks ir galėsime rasti kintamojo reikšmę z

Dabar suraskime vertę y. Norėdami tai padaryti, patogu naudoti lygtį − y+ z= 4. Pakeiskite reikšmę z

Dabar suraskime vertę x. Norėdami tai padaryti, patogu naudoti lygtį x= 3 − 2y − 2z . Pakeiskime į jį reikšmes y Ir z

Taigi, reikšmių trigubas (3; -2; 2) yra mūsų sistemos sprendimas. Patikrindami įsitikiname, kad šios reikšmės atitinka sistemą:

2 pavyzdys. Išspręskite sistemą naudodami papildymo metodą

Sudėkime pirmąją lygtį su antrąja, padaugintą iš −2.

Jei antroji lygtis padauginama iš –2, ji įgauna formą −6x+ 6y − 4z = −4 . Dabar pridėkime jį prie pirmosios lygties:

Mes tai matome kaip rezultatą elementarios transformacijos, nustatoma kintamojo reikšmė x. Jis lygus vienam.

Grįžkime prie pagrindinė sistema. Sudėkime antrą lygtį su trečiąja, padauginta iš −1. Jei trečioji lygtis padauginama iš −1, ji įgauna formą −4x + 5y − 2z = −1 . Dabar pridėkime jį prie antrosios lygties:

Gavome lygtį x− 2y= -1 . Į jį pakeiskime vertę x kurį radome anksčiau. Tada galime nustatyti vertę y

Dabar mes žinome reikšmes x Ir y. Tai leidžia nustatyti vertę z. Naudokime vieną iš lygčių, įtrauktų į sistemą:

Taigi, reikšmių trigubas (1; 1; 1) yra mūsų sistemos sprendimas. Patikrindami įsitikiname, kad šios reikšmės atitinka sistemą:

Tiesinių lygčių sistemų sudarymo uždaviniai

Lygčių sistemų sudarymo uždavinys sprendžiamas įvedant kelis kintamuosius. Toliau lygtys sudaromos remiantis uždavinio sąlygomis. Iš sudarytų lygčių jie sudaro sistemą ir ją išsprendžia. Išsprendus sistemą, reikia patikrinti, ar jos sprendimas atitinka problemos sąlygas.

1 problema. Iš miesto į kolūkį išvažiavo automobilis „Volga“. Ji grįžo atgal kitu keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis. Iš viso automobilis į abi puses nukeliavo 35 km. Kiek kilometrų yra kiekvieno kelio ilgis?

Sprendimas

Leiskite x- pirmojo kelio ilgis, y- antrojo ilgis. Jei automobilis nuvažiavo 35 km pirmyn ir atgal, tada pirmąją lygtį galima parašyti kaip x+ y= 35. Ši lygtis apibūdina abiejų kelių ilgių sumą.

Teigiama, kad automobilis grįžo 5 km trumpesniu keliu nei pirmasis. Tada antrą lygtį galima parašyti kaip x− y= 5. Ši lygtis rodo, kad skirtumas tarp kelių ilgių yra 5 km.

Arba antroji lygtis gali būti parašyta kaip x= y+ 5. Mes naudosime šią lygtį.

Kadangi kintamieji x Ir y abiejose lygtyse žymi tą patį skaičių, tada iš jų galime sudaryti sistemą:

Išspręskime šią sistemą naudodami kai kuriuos anksčiau tyrinėtus metodus. Šiuo atveju patogu naudoti pakeitimo metodą, nes antroje lygtyje kintamasis x jau išreikštas.

Pakeiskite antrąją lygtį pirmąja ir raskite y

Pakeiskime rastą vertę y antroje lygtyje x= y+ 5 ir rasime x

Pirmojo kelio ilgis buvo nurodytas per kintamąjį x. Dabar mes atradome jo prasmę. Kintamasis x yra lygus 20. Tai reiškia, kad pirmojo kelio ilgis yra 20 km.

O antrojo kelio ilgį nurodė y. Šio kintamojo reikšmė yra 15. Tai reiškia, kad antrojo kelio ilgis yra 15 km.

Patikrinkim. Pirmiausia įsitikinkime, kad sistema išspręsta teisingai:

Dabar patikrinkime, ar sprendimas (20; 15) atitinka problemos sąlygas.

Teigiama, kad automobilis į abi puses iš viso nuvažiavo 35 km. Sudedame abiejų kelių ilgius ir įsitikiname, kad sprendimas (20; 15) tenkina ši sąlyga: 20 km + 15 km = 35 km

Ši sąlyga: automobilis grįžo atgal kitu keliu, kuris buvo 5 km trumpesnis nei pirmasis . Matome, kad sprendimas (20; 15) taip pat tenkina šią sąlygą, nes 15 km yra trumpesnis nei 20 km 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Sudarant sistemą svarbu, kad kintamieji reikštų tuos pačius skaičius visose į šią sistemą įtrauktose lygtyse.

Taigi mūsų sistemoje yra dvi lygtys. Šios lygtys savo ruožtu turi kintamuosius x Ir y, kurie reiškia tuos pačius skaičius abiejose lygtyse, ty 20 km ir 15 km kelio ilgius.

2 problema. Ant platformos buvo pakrauti ąžuoliniai ir pušiniai pabėgiai, iš viso 300 pabėgių. Yra žinoma, kad visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei visi pušiniai pabėgiai. Nustatykite, kiek ąžuolinių ir pušinių pabėgių buvo atskirai, jei kiekvienas ąžuolinis pabėgis svėrė 46 kg, o kiekvienas pušinis pabėgis 28 kg.

Sprendimas

Leiskite xąžuolas ir y ant platformos buvo pakrauti pušiniai pabėgiai. Jei iš viso buvo 300 miegamųjų, tada pirmąją lygtį galima parašyti kaip x+y = 300 .

Visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 46 x kg, o pušinės svėrė 28 y kg. Kadangi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei pušiniai pabėgiai, antrą lygtį galima parašyti kaip 28y − 46x= 1000 . Ši lygtis rodo, kad ąžuolinių ir pušinių pabėgių masės skirtumas yra 1000 kg.

Tonos buvo perskaičiuotos į kilogramus, nes ąžuolinių ir pušinių pabėgių masė buvo matuojama kilogramais.

Dėl to gauname dvi lygtis, kurios sudaro sistemą

Išspręskime šią sistemą. Išreikškime pirmąja lygtimi x. Tada sistema įgis tokią formą:

Pirmąją lygtį pakeiskite antrąja ir raskite y

Pakeiskime yį lygtį x= 300 − y ir sužinok, kas tai yra x

Tai reiškia, kad ant platformos buvo pakrauta 100 ąžuolinių ir 200 pušinių pabėgių.

Patikrinkime, ar sprendimas (100; 200) atitinka uždavinio sąlygas. Pirmiausia įsitikinkime, kad sistema išspręsta teisingai:

Teigta, kad iš viso buvo 300 miegamųjų. Sumuojame ąžuolinių ir pušinių pabėgių skaičių ir įsitikiname, kad tirpalas (100; 200) tenkina šią sąlygą: 100 + 200 = 300.

Ši sąlyga: visi ąžuoliniai pabėgiai svėrė 1 tona mažiau nei visi pušiniai pabėgiai . Matome, kad sprendimas (100; 200) taip pat tenkina šią sąlygą, nes ąžuoliniai pabėgiai 46 × 100 kg yra lengvesni nei 28 × 200 kg pušiniai pabėgiai: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

3 problema. Mes paėmėme tris vario ir nikelio lydinio gabalus santykiu 2: 1, 3: 1 ir 5: 1 pagal svorį. Iš jų buvo išlydytas 12 kg sveriantis gabalas, kurio vario ir nikelio santykis buvo 4:1. Raskite kiekvieno originalaus gabalo masę, jei pirmosios masė padvigubėja daugiau masės antra.

Linijinių sistemų sprendimas algebrines lygtis(SLAU) yra neabejotinai svarbiausia kurso tema tiesinė algebra. Didžiulis skaičius visų matematikos šakų uždaviniai redukuojami iki tiesinių lygčių sistemų sprendimo. Šie veiksniai paaiškina šio straipsnio priežastis. Straipsnio medžiaga parinkta ir susisteminta taip, kad jos pagalba galėtumėte

• pasiimti optimalus metodas jūsų tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimai,
• studijuoti pasirinkto metodo teoriją,
• Išspręskite savo tiesinių lygčių sistemą peržiūrėdami išsamius sprendimus tipiniai pavyzdžiai ir užduotis.

Trumpas straipsnio medžiagos aprašymas.

Pirmiausia atiduokime viską būtini apibrėžimai, sąvokas ir įvesti žymėjimus.

Toliau apžvelgsime linijinių algebrinių lygčių sistemų, kuriose lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir kurios turi, sprendimo būdus. vienintelis sprendimas. Pirma, sutelksime dėmesį į Cramerio metodą, antra, parodysime matricos metodą tokioms lygčių sistemoms spręsti, trečia, analizuosime Gauso metodą (nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo metodą). Siekdami įtvirtinti teoriją, tikrai įvairiais būdais išspręsime keletą SLAE.

Po to pereisime prie tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo bendras vaizdas, kurioje lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi arba pagrindinė sistemos matrica yra vienaskaita. Suformuluokime Kronecker-Capelli teoremą, kuri leidžia nustatyti SLAE suderinamumą. Išanalizuokime sistemų (jei jos yra suderinamos) sprendimą naudodamiesi matricos bazinio minoro sąvoka. Taip pat apsvarstysime Gauso metodą ir išsamiai apibūdinsime pavyzdžių sprendimus.

Neabejotinai apsistosime ties homogeninio ir bendro sprendimo sandara nevienalytės sistemos tiesinės algebrinės lygtys. Pateiksime pagrindinės sprendimų sistemos sampratą ir parodykime, kaip rašyti bendras sprendimas SLAE naudojant pagrindinio sprendimo sistemos vektorius. Norėdami geriau suprasti, pažvelkime į keletą pavyzdžių.

Apibendrinant, mes apsvarstysime lygčių sistemas, kurias galima redukuoti į tiesines, taip pat įvairios užduotys, kurią sprendžiant atsiranda SLAE.

Puslapio naršymas.

Apibrėžimai, sąvokos, pavadinimai.

Nagrinėsime p tiesinių algebrinių lygčių sistemas su n nežinomų kintamųjų (p gali būti lygus n) formos

Nežinomi kintamieji – koeficientai (kai kurie realūs arba kompleksiniai skaičiai), - laisvieji terminai (taip pat realieji arba kompleksiniai skaičiai).

Ši SLAE įrašymo forma vadinama koordinuoti.

IN matricos forma rašant šią lygčių sistemą yra tokia forma,
Kur - pagrindinė sistemos matrica, - nežinomų kintamųjų stulpelių matrica, - stulpelių matrica nemokami nariai.

Jei prie matricos A kaip (n+1) stulpelį pridėsime laisvųjų terminų matricą-stulpelį, gausime vadinamąjį. išplėstinė matrica tiesinių lygčių sistemos. Paprastai išplėstinė matrica žymima raide T, o laisvųjų terminų stulpelis yra atskirtas vertikali linija iš likusių stulpelių, ty

Tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas vadinamas nežinomų kintamųjų reikšmių rinkiniu, kuris visas sistemos lygtis paverčia tapatybėmis. Matricinė lygtis nurodytoms nežinomų kintamųjų reikšmėms taip pat tampa tapatybe.

Jei lygčių sistema turi bent vieną sprendinį, tada ji vadinama jungtis.

Jei lygčių sistema neturi sprendinių, tada ji vadinama ne sąnarių.

Jei SLAE turi unikalų sprendimą, tada jis vadinamas tam tikras; jei yra daugiau nei vienas sprendimas, tada – neapibrėžtas.

Jei visų sistemos lygčių laisvieji nariai lygūs nuliui , tada sistema iškviečiama vienalytis, kitaip - nevienalytis.

Elementariųjų tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

Jei sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir jos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui, tada tokius SLAE vadinsime elementarus. Tokios lygčių sistemos turi unikalų sprendimą, o vienalytės sistemos atveju visi nežinomi kintamieji yra lygūs nuliui.

Mes pradėjome studijuoti tokius SLAE m vidurinę mokyklą. Jas spręsdami paėmėme vieną lygtį, vieną nežinomą kintamąjį išreiškėme kitomis ir pakeitėme į likusias lygtis, tada paėmėme sekančią lygtį, išreiškė kitą nežinomą kintamąjį ir pakeitė jį į kitas lygtis ir pan. Arba jie naudojo pridėjimo metodą, ty pridėjo dvi ar daugiau lygčių, kad pašalintų kai kuriuos nežinomus kintamuosius. Mes nenagrinėsime šių metodų išsamiai, nes jie iš esmės yra Gauso metodo modifikacijos.

Pagrindiniai elementariųjų tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai yra Cramerio metodas, matricinis metodas ir Gauso metodas. Sutvarkykime juos.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Kramerio metodu.

Tarkime, kad turime išspręsti tiesinių algebrinių lygčių sistemą

kurioje lygčių skaičius lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, o sistemos pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio, tai yra, .

Leisti būti pagrindinės sistemos matricos determinantas ir - determinantai matricų, kurios gaunamos iš A pakeičiant 1, 2, …, n stulpelyje atitinkamai į laisvųjų narių stulpelį:

Naudojant šį žymėjimą, nežinomi kintamieji apskaičiuojami naudojant Cramerio metodo formules as . Taip Kramerio metodu randamas tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas.

Pavyzdys.

Cramerio metodas .

Sprendimas.

Pagrindinė sistemos matrica turi formą . Apskaičiuokime jo determinantą (jei reikia, žr. straipsnį):

Kadangi sistemos pagrindinės matricos determinantas nėra nulis, sistema turi unikalų sprendimą, kurį galima rasti Cramerio metodu.

Sudėkime ir apskaičiuokime reikiamus determinantus (determinantą gauname pakeitę pirmąjį A matricos stulpelį laisvųjų terminų stulpeliu, determinantą pakeitę antrąjį stulpelį laisvųjų terminų stulpeliu, o trečiąjį A matricos stulpelį pakeitę laisvųjų terminų stulpeliu) :

Nežinomų kintamųjų paieška naudojant formules :

Atsakymas:

Pagrindinis Cramerio metodo trūkumas (jei jį galima pavadinti trūkumu) yra determinantų skaičiavimo sudėtingumas, kai lygčių skaičius sistemoje yra didesnis nei trys.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas matricos metodu (naudojant atvirkštinę matricą).

Tegul tiesinių algebrinių lygčių sistema pateikiama matricos pavidalu, kur matricos A matmenys yra n x n, o jos determinantas nėra lygus nuliui.

Kadangi , matrica A yra apverčiama, tai yra, yra atvirkštinė matrica. Jei padauginsime abi lygybės puses iš kairės, gausime formulę, kaip rasti nežinomų kintamųjų matricą-stulpelį. Taip gavome tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą matricos metodas.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą matricos metodas.

Sprendimas.

Perrašykime lygčių sistemą matricine forma:

Nes

tada SLAE galima išspręsti naudojant matricos metodą. Naudojant atvirkštinė matricašios sistemos sprendimą galima rasti kaip .

Sukurkime atvirkštinę matricą naudodami matricą iš algebriniai priedai A matricos elementai (jei reikia, žr. straipsnį):

Belieka apskaičiuoti nežinomų kintamųjų matricą padauginus atvirkštinę matricą į laisvų narių matricą-stulpelį (jei reikia, žr. straipsnį):

Atsakymas:

arba kitu žymėjimu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Pagrindinė problema ieškant sprendimų tiesinių algebrinių lygčių sistemoms naudojant matricos metodą yra atvirkštinės matricos paieškos sudėtingumas, ypač kvadratinės matricos tvarka didesnis nei trečdalis.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu.

Tarkime, kad turime rasti n tiesinių lygčių su n nežinomų kintamųjų sistemos sprendimą
kurios pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio.

Gauso metodo esmė susideda iš nuoseklaus nežinomų kintamųjų pašalinimo: pirmas x 1 pašalinamas iš visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios, tada x 2 pašalinamas iš visų lygčių, pradedant nuo trečiosios ir tt, kol lieka tik nežinomas kintamasis x n. paskutinė lygtis. Šis sistemos lygčių transformavimo procesas, siekiant nuosekliai pašalinti nežinomus kintamuosius, vadinamas naudojant tiesioginį Gauso metodą. Atlikus Gauso metodo eigą į priekį, iš paskutinės lygties randamas x n, naudojant šią reikšmę iš priešpaskutinės lygties, apskaičiuojamas x n-1 ir taip toliau, iš pirmosios lygties randamas x 1. Nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas, pereinant nuo paskutinės sistemos lygties prie pirmosios, vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Trumpai apibūdinkime nežinomų kintamųjų pašalinimo algoritmą.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Pašalinkime nežinomą kintamąjį x 1 iš visų sistemos lygčių, pradėdami nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, prie antrosios sistemos lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , prie trečiosios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir .

Mes būtume gavę tą patį rezultatą, jei pirmoje sistemos lygtyje būtume išreiškę x 1 kitais nežinomais kintamaisiais ir gautą išraišką pakeitę visomis kitomis lygtimis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su dalimi gautos sistemos, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , prie ketvirtoji lygtis pridėkime antrąjį, padaugintą iš , ir taip toliau, prie n-osios lygties pridedame antrąjį, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiosios.

Tada pereiname prie nežinomo x 3 pašalinimo ir panašiai elgiamės su paveiksle pažymėta sistemos dalimi

Taigi mes tęsiame tiesioginį Gauso metodo progresą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinį Gauso metodą: apskaičiuojame x n iš paskutinės lygties kaip , naudodamiesi gauta x n reikšmę randame x n-1 iš priešpaskutinės lygties ir tt randame x 1 iš pirmosios lygties .

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodas.

Sprendimas.

Nežinomą kintamąjį x 1 išskirkime iš antrosios ir trečiosios sistemos lygčių. Norėdami tai padaryti, prie abiejų antrosios ir trečiosios lygčių pusių pridedame atitinkamas pirmosios lygties dalis, padaugintas atitinkamai iš ir iš:

Dabar pašaliname x 2 iš trečiosios lygties, prie jos kairės ir dešinės pusės pridėdami kairę ir dešinę antrosios lygties puses, padaugintą iš:

Tai užbaigia Gauso metodo eigą į priekį;

Iš gautos lygčių sistemos paskutinės lygties randame x 3:

Iš antrosios lygties gauname .

Iš pirmosios lygties randame likusį nežinomą kintamąjį ir taip užbaigiame Gauso metodo atvirkštinį variantą.

Atsakymas:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas.

IN bendras atvejis sistemos p lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičiumi n:

Tokie SLAE gali neturėti sprendimų, turėti vieną sprendimą arba turėti be galo daug sprendimų. Šis teiginys taip pat taikomas lygčių sistemoms, kurių pagrindinė matrica yra kvadratinė ir vienaskaita.

Kronecker-Capelli teorema.

Prieš randant tiesinių lygčių sistemos sprendimą, būtina nustatyti jos suderinamumą. Atsakymą į klausimą, kada SLAE yra suderinamas, o kada nenuoseklus, pateikia Kronecker-Capelli teorema:
Kad p lygčių sistema su n nežinomųjų (p gali būti lygi n) būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad sistemos pagrindinės matricos rangas būtų lygus išplėstinės matricos rangui, t.y. , Reitingas(A)=Reitingas(T).

Panagrinėkime, kaip pavyzdį, Kronecker-Capelli teoremos taikymą tiesinių lygčių sistemos suderinamumui nustatyti.

Pavyzdys.

Sužinokite, ar tiesinių lygčių sistema turi sprendimus.

Sprendimas.

. Naudokime nepilnamečių ribojimo metodą. Antrosios eilės nepilnametis skiriasi nuo nulio. Pažvelkime į trečiosios eilės nepilnamečius, besiribojančius su juo:

Kadangi visi besiribojantys trečiosios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, pagrindinės matricos rangas yra lygus dviem.

Savo ruožtu išplėstinės matricos rangas yra lygus trims, nes nepilnametis yra trečios eilės

skiriasi nuo nulio.

Taigi, Diapazonas (A), todėl, naudodamiesi Kronecker-Capelli teorema, galime daryti išvadą, kad pradinė tiesinių lygčių sistema yra nenuosekli.

Atsakymas:

Sistema neturi sprendimų.

Taigi, mes išmokome nustatyti sistemos nenuoseklumą naudodami Kronecker-Capelli teoremą.

Bet kaip rasti SLAE sprendimą, jei nustatytas jo suderinamumas?

Norėdami tai padaryti, mums reikia matricos pagrindinės mažosios sąvokos ir teoremos apie matricos rangą.

Nepilnametis aukščiausia tvarka vadinama matrica A, kuri skiriasi nuo nulio pagrindinis.

Iš bazinio minoro apibrėžimo išplaukia, kad jo eilė lygi matricos rangui. Nenulinei matricai A gali būti keli pagrindiniai minorai;

Pavyzdžiui, apsvarstykite matricą .

Visi šios matricos trečiosios eilės minoriniai yra lygūs nuliui, nes šios matricos trečiosios eilės elementai yra atitinkamų pirmosios ir antrosios eilučių elementų suma.

Šie antros eilės nepilnamečiai yra pagrindiniai, nes jie nėra nuliniai

Nepilnamečiai nėra pagrindiniai, nes jie lygūs nuliui.

Matricos rango teorema.

Jei matricos, kurios eilės p pagal n, rangas yra lygus r, tai visi matricos eilutės (ir stulpelio) elementai, kurie nesudaro pasirinkto pagrindo minor, yra tiesiškai išreiškiami atitinkamų eilutės (ir stulpelio) elementų forma. pagrindas nepilnametis.

Ką mums sako matricos rango teorema?

Jei pagal Kronecker-Capelli teoremą nustatėme sistemos suderinamumą, tada pasirenkame bet kurią pagrindinės sistemos matricos bazinę mažąją (jo eilė lygi r) ir iš sistemos pašaliname visas lygtis, kurios nesudaro pasirinkto pagrindo nepilnamečio. Tokiu būdu gautas SLAE bus lygiavertis pradiniam, nes išmestos lygtys vis dar yra perteklinės (pagal matricos rango teoremą, tai yra tiesinis likusių lygčių derinys).

Dėl to, atmetus nereikalingas sistemos lygtis, galimi du atvejai.

Jei lygčių skaičius r gautoje sistemoje yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, tada jis bus apibrėžtas ir vienintelis sprendimas gali būti rastas Cramerio metodu, matricos metodu arba Gauso metodu.

Pavyzdys.

.

Sprendimas.

Sistemos pagrindinės matricos rangas yra lygus dviem, nes nepilnametis yra antros eilės skiriasi nuo nulio. Išplėstas matricos reitingas taip pat yra lygus dviem, nes tik trečiosios eilės nepilnametis yra nulis

o pirmiau aptartas antros eilės nepilnametis skiriasi nuo nulio. Remdamiesi Kronecker-Capelli teorema, galime teigti pirminės tiesinių lygčių sistemos suderinamumą, nes Rank(A)=Rank(T)=2.

Kaip pagrindą priimame nepilnametį . Jį sudaro pirmosios ir antrosios lygčių koeficientai:


Trečioji sistemos lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį mažąjį, todėl ją ištraukiame iš sistemos pagal teoremą apie matricos rangą:


Taip gavome elementarią tiesinių algebrinių lygčių sistemą. Išspręskime tai naudodami Cramerio metodą:


Atsakymas:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jei lygčių skaičius r gautoje SLAE mažesnis skaičius nežinomus kintamuosius n, tada kairėse lygčių pusėse paliekame pagrindą sudarančius narius mažuosius, o likusius narius perkeliame į dešiniąsias sistemos lygčių puses su priešingu ženklu.

Nežinomi kintamieji (r iš jų), likę kairėje lygčių pusėje, vadinami pagrindinis.

Nežinomi kintamieji (yra n - r gabalų), kurie yra dešinėje pusėje, yra vadinami nemokamai.

Dabar manome, kad laisvi nežinomi kintamieji gali turėti savavališkas reikšmes, o r pagrindiniai nežinomi kintamieji bus išreikšti laisvaisiais nežinomais kintamaisiais unikaliu būdu. Jų išraišką galima rasti sprendžiant gautą SLAE naudojant Cramer metodą, matricos metodą arba Gauso metodą.

Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių algebrinių lygčių sistemą .

Sprendimas.

Raskime pagrindinės sistemos matricos rangą nepilnamečių ribojimo būdu. Paimkime 1 1 = 1 kaip pirmos eilės mažąjį nulį. Pradėkime ieškoti antros eilės minorinio, kuris skiriasi nuo nulio, besiribojančio su šia minora:


Taip suradome antrojo laipsnio minorą be nulio. Pradėkime ieškoti ne nulio besiribojančio trečios eilės nepilnamečio:


Taigi pagrindinės matricos rangas yra trys. Išplėstinės matricos rangas taip pat lygus trims, tai yra, sistema yra nuosekli.

Pagrindiniu imame rastą ne nulį trečios eilės minorą.

Aiškumo dėlei parodome elementus, kurie sudaro pagrindinį mažąjį:


Terminus, susijusius su baziniu minoru, paliekame kairėje sistemos lygčių pusėje, o likusius perkeliame iš priešingi ženklaiį dešines puses:


Suteikime laisviesiems nežinomiems kintamiesiems x 2 ir x 5 savavališkas reikšmes, tai yra, priimame , kur - savavališki skaičiai. Tokiu atveju SLAE įgaus formą


Išspręskime gautą elementarią tiesinių algebrinių lygčių sistemą naudodami Cramerio metodą:


Vadinasi,.

Savo atsakyme nepamirškite nurodyti laisvų nežinomų kintamųjų.

Atsakymas:

Kur yra savavališki skaičiai.

Apibendrinkime.

Norėdami išspręsti bendrųjų tiesinių algebrinių lygčių sistemą, pirmiausia nustatome jos suderinamumą naudodami Kronecker-Capelli teoremą. Jei pagrindinės matricos rangas nėra lygus išplėstinės matricos rangui, tada darome išvadą, kad sistema nesuderinama.

Jei pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui, tada pasirenkame bazinį mažąjį ir atmetame sistemos lygtis, kurios nedalyvauja formuojant pasirinktą bazinį mažąjį.

Jeigu įsakymas pagrindo nepilnametis lygus skaičiui nežinomų kintamųjų, tada SLAE turi unikalų sprendimą, kurį randame bet kokiu mums žinomu metodu.

Jei pagrindinės mažosios eilės tvarka yra mažesnė už nežinomų kintamųjų skaičių, tada kairėje sistemos lygčių pusėje paliekame terminus su pagrindiniais nežinomais kintamaisiais, likusius terminus perkeliame į dešines puses ir suteikiame savavališkas reikšmes. laisvieji nežinomi kintamieji. Iš gautos tiesinių lygčių sistemos randame pagrindinius nežinomuosius kintamieji pagal metodą Kramerio, matricos metodas arba Gauso metodas.

Gauso metodas bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemoms spręsti.

Gauso metodas gali būti naudojamas sprendžiant bet kokios rūšies tiesinių algebrinių lygčių sistemas, prieš tai nepatikrinus jų suderinamumo. Nežinomų kintamųjų nuoseklaus pašalinimo procesas leidžia padaryti išvadą tiek apie SLAE suderinamumą, tiek nesuderinamumą, o jei sprendimas yra, jį galima rasti.

Skaičiavimo požiūriu pirmenybė teikiama Gauso metodui.

Stebėkite tai išsamus aprašymas ir straipsnyje išanalizavo Gauso metodo bendrosios formos tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo pavyzdžius.

Bendrojo vienarūšių ir nehomogeninių tiesinių algebrinių sistemų sprendinio rašymas, naudojant pamatinės sprendinių sistemos vektorius.

Šiame skyriuje kalbėsime apie vienalaikes vienarūšes ir nehomogenines tiesinių algebrinių lygčių sistemas, turinčias begalinis rinkinys sprendimus.

Pirmiausia panagrinėkime vienarūšes sistemas.

Fundamentali sprendimų sistema vienalytė p tiesinių algebrinių lygčių sistema su n nežinomų kintamųjų yra (n – r) tiesiškai nepriklausomų šios sistemos sprendinių rinkinys, kur r yra pagrindinės sistemos matricos bazinio minoro tvarka.

Jei žymėsime tiesiškai nepriklausomi sprendimai vienalytės SLAE kaip X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) yra stulpelių matricos, kurių matmenys n x 1 ), tada bendras sprendimas šiai vienalytei sistemai vaizduojama kaip linijinis pagrindinės sprendinių sistemos vektorių derinys su savavališkais pastovūs koeficientai C 1, C 2, ..., C (n-r), tai yra, .

Ką reiškia terminas bendras homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas (oroslau)?

Reikšmė paprasta: viską nustato formulė galimi sprendimai pradinis SLAE, kitaip tariant, imant bet kokią savavališkų konstantų C 1, C 2, ..., C (n-r) reikšmių rinkinį, naudodamiesi formule gausime vieną iš pradinio vienalyčio SLAE sprendinių.

Taigi, jei rasime pagrindinę sprendinių sistemą, visus šio vienalyčio SLAE sprendimus galime apibrėžti kaip .

Parodykime pagrindinės vienalytės SLAE sprendimų sistemos konstravimo procesą.

Parenkame pradinės tiesinių lygčių sistemos bazinį minorą, visas kitas lygtis ištraukiame iš sistemos ir visus narius, kuriuose yra laisvųjų nežinomų kintamųjų, perkeliame į priešingų ženklų sistemos lygčių dešines puses. Duokime nemokamų nežinomųjų kintamos reikšmės 1,0,0,…,0 ir apskaičiuokite pagrindinius nežinomuosius, bet kokiu būdu išspręsdami gautą elementariąją tiesinių lygčių sistemą, pavyzdžiui, Cramerio metodu. Taip bus X (1) – pirmasis pagrindinės sistemos sprendimas. Jei laisviesiems nežinomiesiems duosime reikšmes 0,1,0,0,…,0 ir apskaičiuosime pagrindinius nežinomuosius, gausime X (2) . Ir taip toliau. Jei laisviesiems nežinomiems kintamiesiems priskiriame reikšmes 0,0,…,0,1 ir apskaičiuojame pagrindinius nežinomuosius, gauname X (n-r) . Tokiu būdu bus sukurta pagrindinė vienalytės SLAE sprendimų sistema ir jos bendras sprendimas gali būti parašytas forma .

Nehomogeninėms tiesinių algebrinių lygčių sistemoms bendrasis sprendimas pateikiamas forma , kur yra atitinkamos vienalytės sistemos bendras sprendinys ir originalios sistemos konkretus sprendimas nevienalytis SLAE, kurią gauname laisviesiems nežinomiesiems suteikdami reikšmes 0,0,...,0 ir apskaičiuodami pagrindinių nežinomųjų reikšmes.

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite pagrindinę sprendinių sistemą ir bendrą homogeninės tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą .

Sprendimas.

Vienarūšių tiesinių lygčių sistemų pagrindinės matricos rangas visada yra lygus išplėstinės matricos rangui. Raskime pagrindinės matricos rangą ribojimo su nepilnamečiais metodu. Kaip pirmos eilės mažąjį nulį, imame pagrindinės sistemos matricos elementą a 1 1 = 9. Raskime antros eilės besiribojantį ne nulį mažą:

Rastas antros eilės nepilnametis, kitoks nei nulis. Pereikime per trečios eilės nepilnamečius, besiribojančius su juo, ieškodami nulinio vieneto:

Visi trečiosios eilės besiribojantys nepilnamečiai yra lygūs nuliui, todėl pagrindinės ir išplėstinės matricos rangas yra lygus dviem. Paimkim. Aiškumo dėlei atkreipkime dėmesį į ją sudarančius sistemos elementus:

Trečioji pradinio SLAE lygtis nedalyvauja formuojant pagrindinį mažąjį, todėl ją galima atmesti:

Sąvokas, kuriose yra pagrindiniai nežinomieji, paliekame dešiniosiose lygčių pusėse, o terminus su laisvaisiais nežinomaisiais perkeliame į dešinę:

Sukurkime pagrindinę pirminės homogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistemą. Fundamentali sistemaŠio SLAE sprendimai susideda iš dviejų sprendinių, nes pradiniame SLAE yra keturi nežinomi kintamieji, o jo bazinio minoro tvarka yra lygi dviem. Norėdami rasti X (1), laisviesiems nežinomiems kintamiesiems suteikiame reikšmes x 2 = 1, x 4 = 0, tada randame pagrindinius nežinomus iš lygčių sistemos
.