Paviršiaus liestinės plokštuma. Geodezinės linijos, geodezinis kreivumas

Tam tikru momentu ir turi ištisinių dalinių išvestinių, iš kurių bent viena neišnyksta, tada šalia šio taško paviršius, apibrėžtas (1) lygtimi teisingas paviršius.

Be to, kas išdėstyta aukščiau numanomas patikslinimo būdas Paviršius gali būti apibrėžtas aišku, jei vienas iš kintamųjų, pavyzdžiui, z, gali būti išreikštas kitais:

Taip pat yra parametrinis paskyrimo būdas. Šiuo atveju paviršius nustatomas pagal lygčių sistemą:

Paprasto paviršiaus samprata

Tiksliau, paprastas paviršius vadinamas homeomorfinio žemėlapio vaizdu (tai yra vienas su vienu ir vienas su vienu nuolatinis ekranas) vidurius vieneto kvadratas. Šiam apibrėžimui galima suteikti analitinę išraišką.

Leiskite į lėktuvą su stačiakampė sistema koordinatės u ir v pateikiamos kvadratu, koordinatės vidinius taškus kurios tenkina nelygybes 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Pavyzdys paprastas paviršius yra pusrutulis. Visa sfera nėra paprastas paviršius. Dėl to reikia toliau apibendrinti paviršiaus sąvoką.

Erdvės poaibis, kurio kiekvienas taškas turi kaimynystę, kuri yra paprastas paviršius, paskambino teisingas paviršius .

Paviršius diferencialinėje geometrijoje

Helicoid

Katenoidas

Metrika vienareikšmiškai nenustato paviršiaus formos. Pavyzdžiui, spiralės ir katenoido metrika, atitinkamai parametrizuota, sutampa, tai yra, tarp jų sričių yra atitikimas, kuris išsaugo visus ilgius (izometrija). Savybės, kurios išsaugomos atliekant izometrines transformacijas, vadinamos vidinė geometrija paviršiai. Vidinė geometrija nepriklauso nuo paviršiaus padėties erdvėje ir nekinta jį lenkiant be įtempimo ar suspaudimo (pavyzdžiui, kai cilindras sulenktas į kūgį).

Metriniai koeficientai nustato ne tik visų kreivių ilgius, bet ir apskritai visų paviršiaus viduje atliekamų matavimų (kampų, plotų, kreivumo ir kt.) rezultatus. Todėl viskas, kas priklauso tik nuo metrikos, reiškia vidinę geometriją.

Normalus ir normalus skyrius

Normalieji vektoriai paviršiaus taškuose

Viena iš pagrindinių paviršiaus savybių yra jo normalus - vieneto vektorius, statmena liestinės plokštumai ties duotas taškas:

Normalo ženklas priklauso nuo koordinačių pasirinkimo.

Paviršiaus pjūvis plokštuma, kurioje yra normalioji (tam tikrame taške), sudaro tam tikrą paviršiaus kreivę, kuri vadinama normalus skyrius paviršiai. Pagrindinis normalios atkarpos normalus sutampa su normaliu paviršiui (iki ženklo).

Jei kreivė paviršiuje nėra normalioji pjūvis, tai jos pagrindinė normalioji sudaro tam tikrą kampą θ su paviršiaus normaliu. Tada kreivumas k kreivė, susijusi su kreivumu k n normalioji atkarpa (su ta pačia liestine) pagal Meunier formulę:

Normaliojo vieneto vektoriaus koordinatės Skirtingi keliai Paviršiaus užduotys pateiktos lentelėje:

	Normalios koordinatės paviršiaus taške
numanomas paskyrimas
aiškus pavedimas
parametrinė specifikacija

Kreivumas

Skirtingoms kryptims tam tikrame paviršiaus taške gaunamas skirtingas normaliosios pjūvio kreivumas, kuris vadinamas normalus kreivumas; jam priskiriamas pliuso ženklas, jei kreivės pagrindinė normalioji eina ta pačia kryptimi kaip ir paviršiaus normalioji, arba minuso ženklas, jei normaliųjų kryptys yra priešingos.

Paprastai tariant, kiekviename paviršiaus taške yra du statmenos kryptys e 1 ir e 2, kuriame normalus kreivumas trunka mažiausiai ir maksimali vertė; šios kryptys vadinamos pagrindinis. Išimtis yra atvejis, kai normalus kreivumas visomis kryptimis yra vienodas (pavyzdžiui, šalia sferos arba apsisukimo elipsoido pabaigoje), tada visos kryptys taške yra pagrindinės.

Paviršiai su neigiamu (kairėje), nuliniu (centru) ir teigiamu (dešinėje) kreivumu.

Įprasti kreiviai pagrindinėmis kryptimis vadinami pagrindiniai išlinkimai; pažymėkime juos κ 1 ir κ 2. Dydis:

paskambino Gauso kreivumas, pilnas kreivumas arba tiesiog kreivumas paviršiai. Taip pat yra terminas kreivumo skaliarinis, o tai reiškia kreivio tenzoriaus konvoliucijos rezultatą; šiuo atveju kreivumo skaliaras yra du kartus didesnis už Gauso kreivumą.

Gauso kreivumą galima apskaičiuoti naudojant metriką, todėl jis yra vidinės paviršių geometrijos objektas (atkreipkite dėmesį, kad pagrindiniai kreiviai nepriklauso vidinei geometrijai). Paviršiaus taškus galite klasifikuoti pagal kreivumo ženklą (žr. pav.). Plokštumos kreivumas lygus nuliui. R spindulio rutulio kreivumas visur yra vienodas. Taip pat yra nuolatinio neigiamo kreivumo paviršius – pseudosfera.

Geodezinės linijos, geodezinis kreivumas

Paviršiaus kreivė vadinama geodezinė linija, arba tiesiog geodezinis, jei visuose jo taškuose pagrindinė kreivės normalioji sutampa su paviršiaus normalia. Pavyzdys: plokštumoje geodezija bus tiesios linijos ir tiesių linijų atkarpos, sferoje – didieji apskritimai ir jų atkarpos.

Lygiavertis apibrėžimas: geodezinė linija turi savo pagrindinės normalės projekciją į svyravimo plokštumą nulinis vektorius. Jei kreivė nėra geodezinė, tai nurodyta projekcija yra nulis; jo ilgis vadinamas geodezinis kreivumas k g kreivė ant paviršiaus. Yra ryšys:

Kur k- tam tikros kreivės kreivumas, k n- jo normalios pjūvio kreivumas su ta pačia liestine.

Geodezinės linijos nurodo vidinę geometriją. Išvardinkime pagrindines jų savybes.

• Per šį tašką paviršiai tam tikra kryptimi yra vienas ir tik vienas geodezinis.
• Pakankamai mažame paviršiaus plote du taškus visada galima sujungti geodeziniu, be to, tik vienu. Paaiškinimas: sferoje yra sujungti priešingi poliai begalinis skaičius dienovidiniai, o du artimi taškai gali būti sujungti ne tik atkarpa puikus ratas, bet ir jo papildymas pilnas ratas, todėl išskirtinumas pastebimas tik mažame.
• Geodezinis kelias yra trumpiausias kelias. Griežčiau: ant nedidelio paviršiaus gabalėlio trumpiausias kelias tarp nurodytų taškų yra išilgai geodezinės linijos.

Kvadratas

Kitas svarbus paviršiaus atributas yra jo kvadratas, kuris apskaičiuojamas pagal formulę:

Koordinatėse gauname:

	aiškus pavedimas	parametrinė specifikacija
ploto išraiška

Turėkime paviršių pateikta lygtimi tipo

Supažindinkime sekantį apibrėžimą.

Apibrėžimas 1. Tiesi linija vadinama paviršiaus liestine tam tikru tašku, jei ji yra

bet kurios kreivės, esančios ant paviršiaus ir einančios per tašką, liestinė.

Kadangi per tašką P eina begalinis skaičius skirtingų kreivių, esančių paviršiuje, tada, paprastai tariant, bus begalinis paviršiaus liestinių, einančių per šį tašką, rinkinys.

Supažindinkime su vienaskaitos ir įprasto paviršiaus taškų samprata

Jei taške visos trys išvestinės yra lygios nuliui arba bent vienos iš šių išvestinių nėra, tai taškas M vadinamas singuliariuoju paviršiaus tašku. Jei taške egzistuoja ir yra tolydžios visos trys išvestinės, o bent viena iš jų skiriasi nuo nulio, tai taškas M vadinamas paprastu paviršiaus tašku.

Dabar galime suformuluoti tokią teoremą.

Teorema. Visos tam tikro paviršiaus (1) liestinės linijos, esančios jo įprastame taške P, yra toje pačioje plokštumoje.

Įrodymas. Panagrinėkime tam tikrą paviršiaus tiesę L (206 pav.), einančią per tam tikrą paviršiaus tašką P. Tegul nagrinėjama kreivė pateikiama parametrinėmis lygtimis

Kreivės liestinė bus paviršiaus liestinė. Šios liestinės lygtys turi formą

Jei išraiškos (2) pakeičiamos į (1) lygtį, ši lygtis pavirs tapatumu t atžvilgiu, nes kreivė (2) yra ant paviršiaus (1). Atskirdami jį gauname

Šio vektoriaus projekcijos priklauso nuo - taško P koordinačių; atkreipkite dėmesį, kad kadangi taškas P yra įprastas, šios projekcijos taške P neišnyksta vienu metu ir todėl

kreivės, einančios per tašką P ir gulinčios ant paviršiaus, liestinė. Šio vektoriaus projekcijos apskaičiuojamos remiantis lygtimis (2) esant parametro t reikšmei, atitinkančiam tašką P.

Paskaičiuokime skaliarinis produktas vektoriai N ir kuri yra lygi to paties pavadinimo projekcijų sandaugų sumai:

Remiantis lygybe (3), išraiška dešinėje yra lygi nuliui, todėl

Iš paskutinės lygybės išplaukia, kad vektorius LG ir kreivės (2) liestinės vektorius taške P yra statmeni. Aukščiau pateiktas samprotavimas galioja bet kuriai kreivei (2), kertančiai tašką P ir gulinčiam ant paviršiaus. Vadinasi, kiekviena paviršiaus liestinė taške P yra statmena tam pačiam vektoriui N, todėl visos šios liestinės yra toje pačioje plokštumoje, statmenoje vektoriui LG. Teorema įrodyta.

Apibrėžimas 2. Plokštuma, kurioje yra visos paviršiaus tiesių, einančių per duotąjį tašką P, liestinės, vadinama paviršiaus liestine taške P (207 pav.).

Atkreipkite dėmesį, kad atskiruose paviršiaus taškuose liestinės plokštumos gali nebūti. Tokiuose taškuose paviršiaus liestinės linijos gali būti ne vienoje plokštumoje. Pavyzdžiui, kūginio paviršiaus viršūnė yra vienaskaitos taškas.

Kūginio paviršiaus liestinės šiuo metu nėra toje pačioje plokštumoje (jos pačios susidaro kūginis paviršius).

Paviršiaus (1) liestinės plokštumos lygtį užrašykime įprastame taške. Kadangi ši plokštuma yra statmena vektoriui (4), jos lygtis turi formą

Jei paviršiaus lygtis pateikiama forma arba liestinės plokštumos lygtis šiuo atveju įgauna formą

komentuoti. Jei įdėsime formulę (6), tada ši formulė įgaus formą

ją dešinioji dalis atstovauja pilnas diferencialas funkcijas Vadinasi,. Taigi suminis dviejų kintamųjų funkcijos skirtumas taške, atitinkančiame nepriklausomų kintamųjų x ir y prieaugius, yra lygus atitinkamam liestinės plokštumos pritaikymo paviršiui prieaugiui, kuris yra šios funkcijos grafikas.

Apibrėžimas 3. Tiesi linija, nubrėžta per tašką paviršiuje (1), statmena liestinės plokštumai, vadinama paviršiaus normaliąja (207 pav.).

Liečiamosios plokštumos vaidina didelį vaidmenį geometrijoje. Liečiamųjų plokštumų konstrukcija praktiškai turi svarbu, nes jų buvimas leidžia nustatyti normalaus kryptį į paviršių sąlyčio taške. Ši užduotis plačiai naudojama inžinerinė praktika. Eskizams konstruoti taip pat naudojamos liestinės plokštumos. geometrines figūras, apribotas uždarais paviršiais. Teoriškai plokštumos, liečiančios paviršių, yra naudojamos diferencialinėje geometrijoje paviršiaus savybėms tirti sąlyčio taško srityje.

Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Paviršiaus liestinė turėtų būti laikoma ribine sekanto plokštumos padėtimi (pagal analogiją su kreivės liestine, kuri taip pat apibrėžiama kaip ribinė sekanto padėtis).

Plokštuminė paviršiaus liestinė tam tikrame paviršiaus taške yra visų tiesių – liestinių, nubrėžtų į paviršių per tam tikrą tašką, rinkinys.

Diferencialinėje geometrijoje įrodyta, kad visos įprastame taške nubrėžto paviršiaus liestinės yra lygiagrečios (priklausančios tai pačiai plokštumai).

Išsiaiškinkime, kaip nubrėžti tiesią liniją, liečiančią paviršių. Paviršiaus β liestinė t taške M, nurodytame paviršiuje (203 pav.), reiškia ribinę sekanto l j padėtį, kertančią paviršių dviejuose taškuose (MM 1, MM 2, ..., MM n), kai susikirtimo taškai sutampa (M ≡ M n , l n ≡ l M). Akivaizdu, kad (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, nes g ⊂ β. Iš to, kas išdėstyta pirmiau, pateikiamas toks apibrėžimas: Paviršiaus liestinė yra bet kurios paviršiui priklausančios kreivės liestinė.

Kadangi plokštumą apibrėžia dvi susikertančios tiesės, norint apibrėžti paviršiaus liestinę tam tikrame taške, pakanka per šį tašką nubrėžti dvi savavališkas paviršiui priklausančias linijas (geriausia paprastos formos) ir sudaryti liestinės kiekvienas iš jų šių linijų susikirtimo taške . Sudarytos liestinės vienareikšmiškai nustato liestinės plokštumą. Vaizdinis plokštumos α liestinės su paviršiumi β tam tikrame taške M vaizdas pateiktas Fig. 204. Šis paveikslas taip pat rodo normalųjį n paviršiui β.

Paviršiaus normalioji tam tikrame taške yra tiesi linija, statmena liestinės plokštumai ir einanti per liesties tašką.

Paviršiaus susikirtimo linija su plokštuma, einančia per normaliąją, vadinama normaliąja paviršiaus pjūviu. Priklausomai nuo paviršiaus tipo, liestinės plokštuma gali turėti vieną arba daug taškų (linijos) su paviršiumi. Lietimo linija tuo pat metu gali būti ir paviršiaus susikirtimo su plokštuma linija.

Taip pat pasitaiko atvejų, kai paviršiuje yra taškai, kuriuose neįmanoma nubrėžti paviršiaus liestinės; tokie taškai vadinami vienaskaita. Pavyzdžiui vienetiniai taškai galima nurodyti taškus, priklausančius liemens paviršiaus grįžtamajam kraštui, arba sukimosi paviršiaus dienovidinio susikirtimo tašką su jo ašimi, jei dienovidinis ir ašis nesusikerta stačiu kampu.

Prisilietimo tipai priklauso nuo paviršiaus kreivumo pobūdžio.

Paviršiaus kreivumas

Paviršiaus kreivumo problemos buvo ištirtos prancūzų matematikas F. Dupinas (1784-1873), pasiūlęs vizualinis būdas normalių paviršiaus pjūvių kreivumo pokyčių vaizdai.

Norėdami tai padaryti, plokštumoje, liečiančioje nagrinėjamą paviršių taške M (205, 206 pav.), abiejose šio taško pusėse ant normalių sekcijų liestinių klojami segmentai, lygus šaknimsšių sekcijų atitinkamų kreivio spindulių verčių kvadratas. Taškų rinkinys – atkarpų galai nusako kreivę, vadinamą Dupino indikatorius. Dupino rodiklio konstravimo algoritmą (205 pav.) galima parašyti:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

kur R yra kreivio spindulys.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) yra Dupino rodiklis.

Jei paviršiaus Dupino indikatorius yra elipsė, tada taškas M vadinamas elipsiniu, o paviršius vadinamas paviršiumi su elipsiniais taškais.(206 pav.). Šiuo atveju liestinės plokštuma turi tik vieną ryšį su paviršiumi bendras taškas, o visos tiesės, priklausančios paviršiui ir susikertančios nagrinėjamame taške, yra vienoje liestinės plokštumos pusėje. Paviršių su elipsiniais taškais pavyzdžiai yra: apsisukimo paraboloidas, apsisukimo elipsoidas, sfera (šiuo atveju Dupino indikatorius yra apskritimas ir kt.).

Nubrėžiant liemens plokštumą, plokštuma palies šį paviršių išilgai tiesios generatrix. Šios linijos taškai vadinami parabolinis, o paviršius yra paviršius su paraboliniais taškais. Dupino indikatorius šiuo atveju yra dvi lygiagrečios tiesės (207 pav.*).

Fig. 208 parodytas paviršius, susidedantis iš taškų, kuriuose

* Antros eilės kreivė – parabolė – tam tikromis sąlygomis gali suskilti į dvi realias lygiagrečias tieses, dvi įsivaizduojamas lygiagrečias linijas, dvi sutampančius tieses. Fig. 207 turime reikalą su dviem realiomis lygiagrečiomis tiesėmis.

Bet kuri liestinės plokštuma kerta paviršių. Toks paviršius vadinamas hiperbolinis, o jam priklausantys taškai yra hiperboliniai taškai. Dupino indikatorius tokiu atveju- hiperbolė.

Paviršius, kurio visi taškai yra hiperboliniai, turi balno formą (įstriža plokštuma, vieno lakšto hiperboloidas, įgaubti sukimosi paviršiai ir kt.).

Viename paviršiuje gali būti taškų skirtingi tipai, pavyzdžiui, prie liemens paviršiaus (209 pav.) taškas M yra elipsės formos; taškas N yra parabolinis; taškas K yra hiperbolinis.

Diferencialinės geometrijos metu įrodyta, kad normalios pjūviai, kurių kreivės vertės K j = 1/ R j (kur R j yra nagrinėjamos pjūvio kreivio spindulys), turi kraštutines vertes, yra dviejose viena kitai statmenos plokštumos.

Tokie kreivumai K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min vadinamos pagrindinėmis reikšmėmis, o vertės H = (K 1 + K 2)/2 ir K = K 1 K 2 yra atitinkamai vidutinis paviršiaus kreivumas ir bendras ( Gauso) paviršiaus kreivumą nagrinėjamame taške. Elipsiniams taškams K > 0, hiperboliniams taškams K

Paviršiaus liestinės plokštumos nurodymas Monge diagramoje

Žemiau, naudodami konkrečius pavyzdžius, parodysime plokštumos, liečiančios paviršių su elipsiniu (1 pavyzdys), paraboliniu (2 pavyzdys) ir hiperboliniu (3 pavyzdys) taškais, konstrukciją.

PAVYZDYS 1. Sukonstruokite plokštumą α, kurios liestinė β sukimosi paviršiui su elipsiniais taškais. Panagrinėkime du šios problemos sprendimo variantus: a) tašką M ∈ β ir b) tašką M ∉ β

Variantas a (210 pav.).

Liestinės plokštumą lemia dvi liestinės t 1 ir t 2, nubrėžtos taške M į paviršiaus β lygiagretę ir dienovidinį.

Paviršiaus β lygiagrečios h liestinės t 1 projekcijos bus t" 1 ⊥ (S"M") ir t" 1 || x ašis Paviršiaus β dienovidinio d, einančio per tašką M, liestinės t" 2 horizontali projekcija sutaps su dienovidinio horizontalia projekcija. Norint rasti liestinės t" 2 frontalią projekciją, dienovidinio plokštuma γ(γ ∋ M) perkeliama į padėtį γ, sukant aplink paviršiaus ašį β 1 , lygiagrečiai plokštumaiπ 2. Šiuo atveju taškas M → M 1 (M" 1, M" 1) liestinės t" 2 rarr; t" 2 1 projekcija nustatoma pagal (M" 1 S"). Jei dabar grąžinsime plokštumą γ 1 į pradinę padėtį, tai taškas S" liks savo vietoje (kaip priklausantis sukimosi ašiai), o M" 1 → M" ir liestinės t" 2 frontalioji projekcija išliks. būti nustatytas (M" S")

Dvi liestinės t 1 ir t 2, susikertančios taške M ∈ β, apibrėžia plokštumą α, liečiančią paviršių β.

Variantas b (211 pav.)

Norint sukurti paviršiaus, einančio per paviršiui nepriklausantį tašką, liestinę, reikia vadovautis šiais svarstymais: per tašką, esantį už paviršiaus, susidedantį iš elipsinių taškų, galima nubrėžti daug paviršiui liestinių plokštumų. Šių paviršių apvalkalas bus tam tikras kūgio formos paviršius. Todėl, jei nėra papildomų nurodymų, tada problema turi daug sprendimų ir šiuo atveju redukuojama iki kūginio paviršiaus γ liestinės tam tikro paviršiaus β.

Fig. 211 parodyta kūginio paviršiaus γ, liečiančio sferą β, konstrukcija. Bet kuri kūginio paviršiaus γ liestinė α bus paviršiaus β liestinė.

Norėdami sukurti paviršiaus γ projekcijas iš taškų M" ir M" nubrėžiame apskritimų h" ir f" liestinės – sferos projekcijas. Pažymėkite lietimo taškus 1 (1" ir 1"), 2 (2" ir 2"), 3 (3" ir 3") ir 4 (4" ir 4"). Horizontali apskritimo projekcija – kūginio paviršiaus ir rutulio liestinės linija projektuojama į [ 1"2"] Norėdami rasti elipsės taškus, į kuriuos projektuojamas šis apskritimas priekinė plokštuma projekcijas, naudosime sferos paraleles.

Fig. 211 apibrėžiami taip priekinės projekcijos taškai E ir F (E" ir F"). Turėdami kūginį paviršių γ, sukonstruojame jam liestinę α. Grafikos pobūdis ir seka

Konstrukcijos, kurias reikia atlikti tam, pateiktos toliau pateiktame pavyzdyje.

2 PAVYZDYS Sukurkite paviršiaus α liestinę su paraboliniais taškais

Kaip ir 1 pavyzdyje, nagrinėjame du sprendinius: a) taškas N ∈ β; b) taškas N ∉ β

Variantas a (212 pav.).

Kūginis paviršius reiškia paviršius su paraboliniais taškais (žr. 207 pav.) Plokštuma, liečianti kūginį paviršių, liečia jį išilgai tiesinės generatricos.

1) per nurodytą tašką N nubrėžkite generatorių SN (S"N" ir S"N");

2) kreiptuvu d pažymėkite generatoriaus (SN) susikirtimo tašką: (SN) ∩ d = A;

3) taip pat pūs į liestinę t į d taške A.

Generatorius (SA) ir jį kertanti liestinė t apibrėžia kūginio paviršiaus β liestinę α duotame taške N*.

Nubrėžti plokštumą α, liečiančią kūginį paviršių β ir einančią per tašką N, nepriklauso

* Kadangi paviršius β susideda iš parabolinių taškų (išskyrus viršūnę S), tai liestinės plokštumai α jam bus bendras ne vienas taškas N, o tiesė (SN).

pjaunant duoto paviršiaus, būtina:

1) per duotą tašką N ir kūginio paviršiaus β viršūnę S nubrėžkite tiesę a (a" ir a") ;

2) nustatyti šios tiesės H a horizontalųjį pėdsaką;

3) per H a nubrėžkite kreivės h 0β liestinės t" 1 ir t" 2 horizontalus pėdsakas kūginis paviršius;

4) sujunkite liestinės taškus A (A" ir A") ir B (B" ir B") su kūginio paviršiaus viršūne S (S" ir S").

Susikertančios tiesės t 1, (AS) ir t 2, (BS) nustato norimas liestinės plokštumas α 1 ir α 2

3 PAVYZDYS. Sukurkite paviršiaus β liestinę α su hiperboliniais taškais.

Taškas K (214 pav.) yra globoido paviršiuje ( vidinis paviršiusžiedai).

Norint nustatyti liestinės plokštumos α padėtį, būtina:

1) per tašką K nubrėžkite lygiagretę su paviršiumi β h(h", h");

2) per tašką K" nubrėžkite liestinę t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) norint nustatyti dienovidinio pjūvio liestinės projekcijų kryptis, per tašką K ir paviršiaus ašį reikia nubrėžti plokštumą γ, horizontali projekcija t" 2 sutaps su h 0γ; statyti liestinės t" 2 frontalią projekciją, pirmiausia perkeliame plokštumą γ, sukdami ją aplink sukimosi paviršiaus ašį į padėtį γ 1 || π 2. Šiuo atveju dienovidinio pjūvis plokštuma γ susilygins su kairiuoju priekinės projekcijos kontūro lanku - puslankiu g".

Taškas K (K, K"), priklausantis dienovidinio pjūvio kreivei, pasislinks į padėtį K 1 (K" 1, K" 1). Per K" 1 nubrėžiame frontalinę liestinės t" 2 1 projekciją, sujungtą su plokštuma γ 1 || π 2 padėtį ir pažymėkite jos susikirtimo tašką su priekine sukimosi ašies projekcija S" 1. Grąžiname plokštumą γ 1 į pradinę padėtį, taškas K" 1 → K" (taškas S" 1 ≡ S") Liestinės t" 2 frontalioji projekcija nustatoma taškais K" ir S".

Liestinės t 1 ir t 2 apibrėžia norimą liestinės plokštumą α, kuri kerta paviršių β išilgai kreivės l.

PAVYZDYS 4. Taške K pastatykite paviršiaus β liestinę α. Taškas K yra vieno lapo sukimosi hiperboloido paviršiuje (215 pav.).

Šią problemą galima išspręsti vadovaujantis ankstesniame pavyzdyje naudotu algoritmu, tačiau atsižvelgiant į tai, kad vieno lapo apsisukimo hiperboloido paviršius yra valdomas paviršius, kuriame yra dvi šeimos tiesiniai generatoriai, o kiekvienas iš vienos šeimos generatorių kerta visus kitos šeimos generatorius (žr. § 32, 138 pav.). Per kiekvieną šio paviršiaus tašką galima nubrėžti dvi susikertančias tiesias linijas – generatorius, kurios vienu metu bus liestinės su vieno lapo sukimosi hiperboloido paviršiumi.

Šios liestinės apibrėžia liestinės plokštumą, tai yra, plokštuma, liečianti vieno lapo sukimosi hiperboloido paviršių, kerta šį paviršių išilgai dviejų tiesių g 1 ir g 2. Norint sudaryti šių tiesių projekcijas, pakanka perkelti taško K horizontaliąją projekciją ir liestines t" 1 ir t" 2 į horizontalę.

apskritimo projekcija d" 2 - vienalapio sukimosi hiperboloido paviršiaus gerklė; nustatykite taškus 1" ir 2, kuriuose t" 1 ir t" 2 kerta vieną ir nukreipiamuosius paviršius d 1. Iš 1" ir 2" randame 1" ir 2", kurie kartu su K nustato reikalingų linijų frontalines projekcijas.

Paviršius apibrėžiamas kaip taškų, kurių koordinatės tenkina, rinkinys tam tikro tipo lygtys:

Jei funkcija F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) yra ištisinis tam tikru tašku ir jame turi ištisinių dalinių išvestinių, iš kurių bent viena neišnyksta, tada šio taško kaimynystėje bus lygties (1) nurodytas paviršius teisingas paviršius.

Be to, kas išdėstyta aukščiau numanomas patikslinimo būdas, paviršius gali būti apibrėžtas aišku, jei vienas iš kintamųjų, pavyzdžiui, z, gali būti išreikštas kitais:

Griežčiau paprastas paviršius vadinamas vienetinio kvadrato interjero homeomorfinio atvaizdavimo (tai yra vienas su vienu ir abipusiai nenutrūkstamu atvaizdu) vaizdu. Šiam apibrėžimui galima suteikti analitinę išraišką.

Plokštumoje su stačiakampe koordinačių sistema u ir v duotas kvadratas, kurios vidinių taškų koordinatės tenkina nelygybes 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Pavyzdys paprastas paviršius yra pusrutulis. Visa sfera nėra paprastas paviršius. Dėl to reikia toliau apibendrinti paviršiaus sąvoką.

Erdvės poaibis, kurio kiekvienas taškas turi kaimynystę, kuri yra paprastas paviršius, paskambino teisingas paviršius .

Paviršius diferencialinėje geometrijoje

Helicoid

Katenoidas

Metrika vienareikšmiškai nenustato paviršiaus formos. Pavyzdžiui, sraigto ir katenoido metrika, atitinkamai parametrizuota, sutampa, tai yra, tarp jų sričių yra atitikimas, kuris išsaugo visus ilgius (izometrija). Savybės, kurios išsaugomos atliekant izometrines transformacijas, vadinamos vidinė geometrija paviršiai. Vidinė geometrija nepriklauso nuo paviršiaus padėties erdvėje ir nekinta jį lenkiant be įtempimo ar suspaudimo (pavyzdžiui, kai cilindras sulenktas į kūgį).

Metriniai koeficientai E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) nustatyti ne tik visų kreivių ilgius, bet ir apskritai visų paviršiaus viduje atliktų matavimų (kampų, plotų, kreivumo ir kt.) rezultatus. Todėl viskas, kas priklauso tik nuo metrikos, reiškia vidinę geometriją.

Normalus ir normalus skyrius

Normalieji vektoriai paviršiaus taškuose

Viena iš pagrindinių paviršiaus savybių yra jo normalus- vieneto vektorius, statmenas liestinės plokštumai tam tikrame taške:

Normalo ženklas priklauso nuo koordinačių pasirinkimo.

Paviršiaus atkarpa plokštuma, kurioje yra paviršiaus normalioji tam tikrame taške, sudaro tam tikrą kreivę, vadinamą normalus skyrius paviršiai. Pagrindinis normalios atkarpos normalus sutampa su normaliu paviršiui (iki ženklo).

Jei kreivė ant paviršiaus nėra normali pjūvis, tada jos pagrindinė normalioji sudaro tam tikrą kampą su paviršiaus normaliu θ (\displaystyle \theta ). Tada kreivumas k (\displaystyle k) kreivė, susijusi su kreivumu k n (\displaystyle k_(n)) normalioji atkarpa (su ta pačia liestine) pagal Meunier formulę:

Normaliojo vieneto vektoriaus koordinatės įvairiems paviršiaus apibrėžimo metodams pateiktos lentelėje:

Čia D (y , z) D (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ pradžia(vmatrica)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Visos išvestinės imamos taške (x 0, y 0, z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Kreivumas

Skirtingoms kryptims tam tikrame paviršiaus taške gaunamas skirtingas normaliosios pjūvio kreivumas, kuris vadinamas normalus kreivumas; jam priskiriamas pliuso ženklas, jei kreivės pagrindinė normalioji eina ta pačia kryptimi kaip ir paviršiaus normalioji, arba minuso ženklas, jei normaliųjų kryptys yra priešingos.

Paprastai tariant, kiekviename paviršiaus taške yra dvi statmenos kryptys e 1 (\displaystyle e_(1)) Ir e 2 (\displaystyle e_(2)), kuriame normalus kreivumas įgauna minimalias ir didžiausias vertes; šios kryptys vadinamos pagrindinis. Išimtis yra atvejis, kai normalus kreivumas visomis kryptimis yra vienodas (pavyzdžiui, šalia sferos arba apsisukimo elipsoido pabaigoje), tada visos kryptys taške yra pagrindinės.

Paviršiai su neigiamu (kairėje), nuliniu (centru) ir teigiamu (dešinėje) kreivumu.

Įprasti kreiviai pagrindinėmis kryptimis vadinami pagrindiniai išlinkimai; paskirkime juos κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) Ir κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Dydis:

vadinamas Gauso kreivumu, visuminiu kreivumu arba tiesiog paviršiaus kreivumu. Taip pat yra terminas kreivumo skaliarinis, o tai reiškia kreivio tenzoriaus konvoliucijos rezultatą; šiuo atveju kreivumo skaliaras yra du kartus didesnis už Gauso kreivumą.

Gauso kreivumą galima apskaičiuoti naudojant metriką, todėl jis yra vidinės paviršių geometrijos objektas (atkreipkite dėmesį, kad pagrindiniai kreiviai nepriklauso vidinei geometrijai). Paviršiaus taškus galite klasifikuoti pagal kreivumo ženklą (žr. pav.). Plokštumos kreivumas lygus nuliui. R spindulio rutulio kreivumas visur yra vienodas 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Taip pat yra nuolatinio neigiamo kreivumo paviršius -

Būtent apie tai, ką matote pavadinime. Iš esmės tai yra „erdvinis analogas“ tangentinio radimo problemos Ir normalūsį vieno kintamojo funkcijos grafiką, todėl neturėtų kilti jokių sunkumų.

Pradėkime nuo pagrindinių klausimų: KAS YRA liestinės plokštuma ir KAS YRA normali? Daugelis žmonių šias sąvokas supranta intuicijos lygiu. Labiausiai paprastas modelisĮ galvą ateina rutulys, ant kurio guli plonas plokščias kartono gabalas. Kartonas yra kuo arčiau sferos ir paliečia jį vienu tašku. Be to, sąlyčio vietoje jis tvirtinamas adata, smeisiama tiesiai į viršų.

Teoriškai yra gana išradingas liestinės plokštumos apibrėžimas. Įsivaizduokite nemokamą paviršius ir jam priklausantis taškas. Akivaizdu, kad daug kas praeina per tašką erdvines linijas, kurie priklauso šiam paviršiui. Kas turi kokių asociacijų? =) ...asmeniškai aš įsivaizdavau aštuonkojį. Tarkime, kad kiekviena tokia eilutė turi erdvinė liestinė taške.

1 apibrėžimas: liestinės plokštumaį paviršių taške – tai yra lėktuvas, kuriame yra visų kreivių, priklausančių tam tikram paviršiui ir kertančių tašką, liestinės.

2 apibrėžimas: normalusį paviršių taške – tai yra tiesiai, einantis per duotąjį tašką statmenai liestinės plokštumai.

Paprasta ir elegantiška. Beje, kad nemirtumėte iš nuobodulio dėl medžiagos paprastumo, kiek vėliau pasidalinsiu su jumis viena elegantiška paslaptimi, leidžiančia pamiršti apie įvairių apibrėžimų prigrūdimą KARTĄ IR VISAM.

Su darbo formulėmis ir sprendimo algoritmu susipažinsime tiesiogiai adresu konkretus pavyzdys. Daugumoje problemų reikia sudaryti ir liestinės plokštumos lygtį, ir normaliąją lygtį:

1 pavyzdys

Sprendimas:jei paviršius pateikiamas lygtimi (t. y. netiesiogiai), tada tam tikro paviršiaus liestinės plokštumos taške galima rasti pagal tokią formulę:

Ypatingas dėmesys Atkreipiu dėmesį į neįprastus dalinius vedinius – jų nereikėtų susipainioti Su netiesiogiai nurodytos funkcijos dalinės išvestinės (nors paviršius nurodytas netiesiogiai). Ieškant šių išvestinių reikia vadovautis trijų kintamųjų funkcijos diferencijavimo taisyklės, tai yra, diferencijuojant bet kurį kintamąjį, kitos dvi raidės laikomos konstantomis:

Neišėję iš kasos aparato dalinę išvestinę randame taške:

Taip pat:

Tai buvo pats nemaloniausias sprendimo momentas, kai klaida, jei neleistina, tai nuolat atsiranda. Tačiau yra efektyvi technika patikrink, apie ką kalbėjau klasėje Krypties išvestinė ir gradientas.

Visi „ingredientai“ buvo rasti, o dabar reikia atidžiai juos pakeisti papildomais supaprastinimais:

– bendroji lygtis norima liestinės plokštuma.

Primygtinai rekomenduoju patikrinti ir šį sprendimo etapą. Pirmiausia turite įsitikinti, kad liestinės taško koordinatės tikrai atitinka rastą lygtį:

– tikra lygybė.

Dabar "pašaliname" koeficientus bendroji lygtis plokštumos ir patikrinkite jų sutapimą ar proporcingumą su atitinkamomis reikšmėmis. Šiuo atveju jie yra proporcingi. Kaip prisimenate iš analitinės geometrijos kursas, - Tai normalus vektorius liestinės plokštuma, ir jis taip pat yra kreipiamasis vektorius normali tiesi linija. Kurkime kanonines lygtis normaliosios vertės pagal tašką ir krypties vektorių:

Iš esmės vardiklius galima sumažinti dviem, tačiau tam nėra ypatingo poreikio

Atsakymas:

Nedraudžiama lygtis žymėti kai kuriomis raidėmis, bet vėlgi, kodėl? Čia jau labai aišku, kas yra kas.

Toliau pateikti du pavyzdžiai yra skirti savarankiškas sprendimas. Šiek tiek „matematinio liežuvio sukimo“:

2 pavyzdys

Raskite taško paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis.

Ir užduotis įdomi techniniu požiūriu:

3 pavyzdys

Parašykite lygtis liestinės plokštumos ir normaliosios paviršiaus taške

Taške.

Yra visos galimybės ne tik susipainioti, bet ir susidurti su sunkumais įrašant tiesės kanoninės lygtys. O normalios lygtys, kaip tikriausiai suprantate, dažniausiai rašomos tokia forma. Nors dėl užmaršumo ar kai kurių niuansų nežinojimo parametrinė forma yra daugiau nei priimtina.

Mėginių pavyzdžiai sprendimų užbaigimas pamokos pabaigoje.

Ar bet kuriame paviršiaus taške yra liestinės plokštuma? IN bendras atvejis, žinoma ne. Klasikinis pavyzdys- Tai kūginis paviršius ir taškas - liestinės šiame taške tiesiogiai sudaro kūginį paviršių ir, žinoma, nėra toje pačioje plokštumoje. Nesunku analitiškai patikrinti, ar kažkas negerai: .

Kitas problemų šaltinis yra faktas neegzistavimas bet kokia dalinė išvestinė taške. Tačiau tai nereiškia, kad tam tikrame taške nėra vienos liestinės plokštumos.

Bet tai buvo labiau populiarus mokslas nei praktinis reikšminga informacija ir grįžtame prie neatidėliotinų dalykų:

Kaip taške parašyti liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis,
jei paviršius nurodytas aiškiąja funkcija?

Netiesiogiai perrašykime:

Ir naudodamiesi tais pačiais principais randame dalinius išvestinius:

Taigi liestinės plokštumos formulė paverčiama į sekančią lygtį:

Ir atitinkamai, kanonines lygtis normalūs:

Kaip galite atspėti, - tai jau "tikra" dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės taške, kurį anksčiau žymėjome raide „z“ ir buvo rasta 100500 kartų.

Atkreipkite dėmesį, kad šiame straipsnyje pakanka prisiminti pačią pirmąją formulę, iš kurios, jei reikia, lengva išvesti visa kita (žinoma, turint Pagrindinis lygis Paruošimas). Toks požiūris turėtų būti naudojamas studijuojant tikslieji mokslai, t.y. iš minimalios informacijos turime stengtis „padaryti“ maksimalias išvadas ir pasekmes. „Pasvarstymas“ ir turimos žinios padės! Šis principas taip pat naudingas, nes didelė tikimybė sutaupys kritinė situacija kai žinai labai mažai.

Išsiaiškinkime „modifikuotas“ formules su keliais pavyzdžiais:

4 pavyzdys

Parašykite paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis taške.

Čia yra šiek tiek perdanga su užrašais - dabar raidė žymi tašką plokštumoje, bet ką tu padarysi - tokia populiari raidė...

Sprendimas: sudarykime norimos liestinės plokštumos lygtį naudodami formulę:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę taške:

Paskaičiuokime 1 eilės daliniai išvestiniaiŠiuo atveju:

Taigi:

atsargiai, neskubėkite:

Užrašykime normaliosios kanonines lygtis taške:

Atsakymas:

IR paskutinis pavyzdys nepriklausomam sprendimui:

5 pavyzdys

Užrašykite taško paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtis.

Galutinis – nes išaiškinau praktiškai visus techninius punktus ir nėra ką ypatingo pridurti. Net pačios šioje užduotyje siūlomos funkcijos yra nuobodžios ir monotoniškos – praktiškai beveik garantuotai susidursite su „polinomu“, ir šia prasme pavyzdys Nr. 2 su eksponentu atrodo kaip „juodoji avis“. Beje, daug didesnė tikimybė susidurti su lygtimi apibrėžtu paviršiumi, ir tai yra dar viena priežastis, kodėl funkcija buvo įtraukta į straipsnį kaip antras.

Ir pabaigai – pažadėta paslaptis: taigi, kaip išvengti apibrėžimų prigrūdimo? (Žinoma, neturiu galvoje situacijos, kai studentas karštligiškai kažką kimšo prieš egzaminą)

Bet kokios sąvokos/reiškinio/objekto apibrėžimas, visų pirma, duoda atsakymą Kitas klausimas: KAS TAI YRA? (kas/toks/toks/yra). Sąmoningai atsakydamas šį klausimą, turėtumėte pabandyti atspindėti reikšmingasženklai, būtinai identifikuojant tam tikrą sąvoką / reiškinį / objektą. Taip, iš pradžių pasirodo kiek liežuvis, netikslus ir perteklinis (dėstytojas tave pataisys =)), bet laikui bėgant susiformuoja visai padori mokslinė kalba.

Pavyzdžiui, praktikuokite abstrakčiausius objektus, atsakykite į klausimą: kas yra Čeburaška? Tai nėra taip paprasta ;-) Tai yra " pasakos personažas su didelėmis ausimis, akimis ir rudu kailiu"? Toli ir labai toli nuo apibrėžimo – niekada nežinai, kad yra tokių savybių turinčių veikėjų... Bet tai daug arčiau apibrėžimo: „Čeburaška yra 1966 m. rašytojo Eduardo Uspenskio sugalvotas personažas, kuris ... (pagrindinių skiriamieji bruožai)» . Atkreipkite dėmesį, kaip gerai tai prasidėjo