Vaizdinis Pitagoro teoremos įrodymas. Metodai Pitagoro teoremai įrodyti

Šapovalova L.A. (Egorlykskaya stotis, MBOU ESOSH Nr. 11)

1. Glazer G.I. Matematikos istorija in VII mokykla – VIII klasės, vadovas mokytojams, - M: Švietimas, 1982 m.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „Už matematikos vadovėlio puslapių“ Vadovas 5-6 klasių mokiniams. – M.: Išsilavinimas, 1989 m.

3. Zenkevičius I.G. „Matematikos pamokos estetika“. – M.: Išsilavinimas, 1981 m.

4. Litzmanas V. Pitagoro teorema. – M., 1960 m.

5. Vološinovas A.V. "Pitagoras". – M., 1993 m.

6. Pichurin L.F. „Už algebros vadovėlio puslapių“. – M., 1990 m.

7. Zemliakovas A.N. „Geometrija 10 klasėje“. – M., 1986 m.

8. Laikraštis “Matematika” 1996/17.

9. Laikraštis “Matematika” 3/1997.

10. Antonovas N.P., Vygodskis M.Ya., Nikitinas V.V., Sankinas A.I. „Problemų rinkimas elementarioji matematika“ – M., 1963 m.

11. Dorofejevas G.V., Potapovas M.K., Rozovas N.Kh. „Matematikos vadovas“. – M., 1973 m.

12. Ščetnikovas A.I. "Pitagoro doktrina apie skaičių ir dydį". – Novosibirskas, 1997 m.

13." Realūs skaičiai. Neracionalios išraiškos» 8 klasė. Leidykla Tomsko universitetas. – Tomskas, 1997 m.

14. Atanasyanas M.S. „Geometrija“ 7-9 kl. – M.: Išsilavinimas, 1991 m.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Šiame mokslo metus sutikau įdomi teorema, žinomas, kaip paaiškėja, nuo seniausių laikų:

„Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzės, yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, sumai.

Šio teiginio atradimas dažniausiai priskiriamas senovės graikų filosofui ir matematikui Pitagorui (VI a. pr. Kr.). Tačiau senovinių rankraščių tyrimas parodė, kad šis teiginys buvo žinomas dar ilgai prieš Pitagoro gimimą.

Pagalvojau, kodėl šiuo atveju jis siejamas su Pitagoro vardu.

Temos aktualumas: Pitagoro teorema turi didelę reikšmę: naudojamas geometrijoje pažodžiui kiekviename žingsnyje. Tikiu, kad Pitagoro darbai tebėra aktualūs, nes kur bežiūrėtume, visur galime pamatyti jo puikių idėjų vaisius, įkūnytus įvairios pramonės šakosšiuolaikinis gyvenimas.

Mano tyrimo tikslas buvo išsiaiškinti, kas yra Pitagoras ir ką jis turi bendro su šia teorema.

Studijuodamas teoremos istoriją nusprendžiau išsiaiškinti:

Ar yra kitų šios teoremos įrodymų?

Kokia šios teoremos reikšmė žmonių gyvenimui?

Kokį vaidmenį Pitagoras atliko matematikos raidoje?

Iš Pitagoro biografijos

Pitagoras iš Samoso yra puikus graikų mokslininkas. Jo šlovė kyla iš jo pavadinimo Pitagoro teorema. Nors dabar žinome, kad ši teorema buvo žinoma m senovės Babilonas 1200 metų prieš Pitagorą ir 2000 metų prieš jį Egipte buvo žinomas stačiakampis trikampis su 3, 4, 5 kraštinėmis, iki šiol jį vadiname šio senovės mokslininko vardu.

Apie Pitagoro gyvenimą patikimai beveik nieko nežinoma, tačiau su jo vardu siejama daugybė legendų.

Pitagoras gimė 570 m. pr. Kr. Samos saloje.

Pitagoras buvo gražios išvaizdos, nešiojo ilgą barzdą ir auksinę diademą ant galvos. Pitagoras yra ne vardas, o slapyvardis, kurį filosofas gavo todėl, kad jis visada kalbėjo taisyklingai ir įtikinamai, kaip graikų orakulas. (Pitagoras - „įtikinti kalba“).

550 m. pr. Kr. Pitagoras priima sprendimą ir išvyksta į Egiptą. Taigi, prieš Pitagorą jis atsidaro nežinoma šalis ir nežinoma kultūra. Pitagoras šioje šalyje labai nustebino ir nustebino, o šiek tiek stebėjęs egiptiečių gyvenimą, Pitagoras suprato, kad kelias į žinias, saugomas kunigų luomo, eina per religiją.

Po vienuolikos studijų metų Egipte Pitagoras išvyksta į tėvynę, kur pakeliui patenka į Babilono nelaisvę. Ten jis susipažįsta su Babilono mokslu, kuris buvo labiau išvystytas nei Egipto. Babiloniečiai mokėjo spręsti linijinius, kvadratinius ir kai kuriuos tipus kubines lygtis. Pabėgęs iš nelaisvės, dėl ten tvyrojusios smurto ir tironijos atmosferos negalėjo ilgai išbūti tėvynėje. Jis nusprendė persikelti į Krotoną (graikų koloniją šiaurės Italijoje).

Būtent Krotone prasidėjo šlovingiausias Pitagoro gyvenimo laikotarpis. Ten jis įsteigė kažką panašaus į religinę-etinę broliją ar paslaptį vienuolinis ordinas, kurios nariai buvo įpareigoti vadovautis vadinamuoju pitagorietišku gyvenimo būdu.

Pitagoras ir pitagoriečiai

Pitagoras organizavo m Graikijos kolonija Apeninų pusiasalio pietuose – religinė ir etinė brolija, pavyzdžiui, vienuolijų ordinas, vėliau pavadintas Pitagoro sąjunga. Sąjungos nariai turėjo laikytis tam tikrų principų: pirma, siekti to, kas gražu ir šlovinga, antra, būti naudingais, trečia – siekti didelio malonumo.

Moralės ir etikos taisyklių sistema, kurią Pitagoras paliko savo mokiniams, buvo sudaryta į savitą pitagoriečių moralinį kodeksą „Aukso eilėraščiai“, kurie buvo labai populiarūs Antikos, viduramžių ir Renesanso epochoje.

Pitagoro klasių sistemą sudarė trys skyriai:

Mokymas apie skaičius - aritmetika,

Pamokos apie figūras – geometrija,

Doktrinos apie Visatos sandarą – astronomija.

Pitagoro įkurta švietimo sistema gyvavo ilgus šimtmečius.

Pitagoro mokykla daug nuveikė, kad geometrijai būtų suteiktas mokslo pobūdis. Pagrindinis Pitagoro metodo bruožas buvo geometrijos derinimas su aritmetika.

Pitagoras daug nagrinėjo proporcijas ir progresijas ir, ko gero, figūrų panašumą, nes jam priskiriamas šios problemos sprendimas: „Atsižvelgiant į dvi figūras, sukurkite trečią, kurios dydis yra lygus vienam iš duomenų ir panašus į antrąjį. “

Pitagoras ir jo mokiniai pristatė daugiakampių, draugiškų, tobulų skaičių sampratą ir tyrinėjo jų savybes. Pitagoras nesidomėjo aritmetika kaip skaičiavimo praktika ir išdidžiai pareiškė, kad „aritmetiką iškelia aukščiau už pirklio interesus“.

Pitagoro sąjungos nariai buvo daugelio Graikijos miestų gyventojai.

Pitagoriečiai taip pat priėmė moteris į savo visuomenę. Profesinė sąjunga klestėjo daugiau nei dvidešimt metų, tada prasidėjo jos narių persekiojimas, daugelis studentų buvo nužudyti.

Apie paties Pitagoro mirtį sklandė daug įvairių legendų. Tačiau Pitagoro ir jo mokinių mokymai gyvavo.

Iš Pitagoro teoremos sukūrimo istorijos

Dabar žinoma, kad šią teoremą atrado ne Pitagoras. Tačiau kai kurie mano, kad Pitagoras pirmasis pateikė visapusišką įrodymą, o kiti neigia jo nuopelnus. Kai kas priskiria Pitagorui įrodymą, kurį Euklidas pateikia pirmoje savo elementų knygoje. Kita vertus, Proklas teigia, kad įrodymas elementuose priklauso pačiam Euklidui. Kaip matome, matematikos istorijoje beveik nėra išlikę patikimų konkrečių duomenų apie Pitagoro gyvenimą ir jo matematinę veiklą.

Istorinę Pitagoro teoremos apžvalgą pradedame nuo senovės Kinija. Čia ypatingas dėmesys traukia matematikos knyga Chu-pei. Šiame rašinyje kalbama apie Pitagoro trikampis su 3, 4 ir 5 pusėmis:

"Jei stačiakampis yra padalintas į jo sudedamąsias dalis, tada linija, jungianti jo kraštų galus, bus 5, kai pagrindas yra 3, o aukštis - 4."

Labai lengva atkartoti jų konstravimo būdą. Paimkime 12 m ilgio virvę ir 3 m atstumu pririškime prie jos spalvotą juostelę. iš vieno galo ir 4 metrai nuo kito. Tiesus kampas bus uždarytas tarp 3 ir 4 metrų ilgio kraštų.

Induistų geometrija buvo glaudžiai susijusi su kultu. Labai tikėtina, kad hipotenuzės teoremos kvadratas jau buvo žinomas Indijoje maždaug VIII amžiuje prieš Kristų. Greta grynai ritualinių nurodymų yra ir geometrinio teologinio pobūdžio kūrinių. Šiuose raštuose, datuojamuose IV ar V amžiuje prieš Kristų, susiduriame su statyba stačiu kampu naudojant trikampį, kurio kraštinės yra 15, 36, 39.

Viduramžiais Pitagoro teorema nustatė ribą, jei ne didžiausią įmanomą, tai bent jau gėrio ribą. matematines žinias. Būdingas Pitagoro teoremos piešinys, kurį dabar moksleiviai kartais paverčia, pavyzdžiui, į chalatą apsirengusį profesorių ar vyrą cilindrą, tais laikais dažnai buvo naudojamas kaip matematikos simbolis.

Pabaigoje pateikiame įvairias Pitagoro teoremos formuluotes, išverstas iš graikų, lotynų ir vokiečių kalbų.

Euklido teorema teigia (pažodinis vertimas):

„Stačiame trikampyje kraštinės kvadratas ištemptas per stačią kampą lygus kvadratui esu šonuose, kuriuose yra stačiu kampu.

Kaip matome, in skirtingos šalys Ir skirtingomis kalbomis Yra įvairių žinomos teoremos formulavimo versijų. Sukurta m skirtingi laikai o skirtingomis kalbomis jie atspindi vieno matematinio dėsnio esmę, kurio įrodymas taip pat turi keletą galimybių.

Penki būdai įrodyti Pitagoro teoremą

Senovės Kinijos įrodymai

Senovės kinų piešinyje pavaizduoti keturi lygūs stačiakampis trikampis su kojomis a, b ir hipotenuze c išdėstytos taip, kad jų išorinis kontūras sudarytų kvadratą, kurio kraštinė a + b, o vidinis kontūras sudarytų kvadratą su kraštine c, pastatytą ant hipotenuzės

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Hardfieldo įrodymas (1882)

Sustatykime du vienodus stačiuosius trikampius taip, kad vieno iš jų kojelė būtų kito tęsinys.

Nagrinėjamos trapecijos plotas randamas kaip pusės pagrindų sumos ir aukščio sandauga

Kita vertus, trapecijos plotas yra lygus gautų trikampių plotų sumai:

Sulyginę šias išraiškas, gauname:

Įrodymas paprastas

Šis įrodymas gaunamas paprasčiausiu lygiašonio stačiojo trikampio atveju.

Tikriausiai čia ir prasidėjo teorema.

Tiesą sakant, pakanka tik pažvelgti į lygiašonių stačiakampių trikampių mozaiką, kad įsitikintumėte teoremos pagrįstumu.

Pavyzdžiui, trikampiui ABC: ant hipotenuzės AC pastatytame kvadrate yra 4 originalūs trikampiai, o kvadratuose, pastatytuose iš šonų, yra du. Teorema įrodyta.

Senovės induistų įrodymas

Kvadratas su kraštine (a + b) gali būti padalintas į dalis, kaip parodyta Fig. 12.a arba kaip pav. 12, gim. Akivaizdu, kad 1, 2, 3, 4 dalys abiejose nuotraukose yra vienodos. O jei iš lygių (plotų) atimsite lygius, tai jie ir liks lygūs, t.y. c2 = a2 + b2.

Euklido įrodymas

Du tūkstantmečius plačiausiai naudojamas Pitagoro teoremos įrodymas buvo Euklido įrodymas. Jis įtrauktas į garsiąją jo knygą „Principai“.

Euklidas nuleido aukštį BN nuo stačiojo kampo viršūnės į hipotenuzą ir įrodė, kad jo tęsinys padalija ant hipotenuzos užpildytą kvadratą į du stačiakampius, kurių plotai lygūs atitinkamų kvadratų, pastatytų iš šonų, plotams.

Šiai teoremai įrodyti naudojamas piešinys juokais vadinamas „Pitagoro kelnėmis“. Ilgą laiką jis buvo laikomas vienu iš matematinio mokslo simbolių.

Pitagoro teoremos taikymas

Pitagoro teoremos reikšmė yra ta, kad iš jos arba jos pagalba galima išvesti daugumą geometrijos teoremų ir išspręsti daugybę problemų. Be to, praktinę reikšmę Pitagoro teorema ir jos atvirkštinė teorema yra ta, kad jų pagalba galite rasti atkarpų ilgius nematuodami pačių atkarpų. Tai tarsi atveria kelią iš tiesios linijos į plokštumą, iš plokštumos į tūrinę erdvę ir toliau. Būtent dėl ​​šios priežasties Pitagoro teorema yra tokia svarbi žmonijai, kuri stengiasi viską atrasti. daugiau matmenų ir kurti šių dimensijų technologijas.

Išvada

Pitagoro teorema yra tokia garsi, kad sunku įsivaizduoti žmogų, kuris apie tai negirdėjo. Sužinojau, kad yra keletas būdų įrodyti Pitagoro teoremą. Išstudijavau daugybę istorinių ir matematinių šaltinių, įskaitant informaciją internete, ir supratau, kad Pitagoro teorema įdomi ne tik savo istorija, bet ir tuo, ką ji užima. svarbi vieta gyvenime ir moksle. Tai liudija įvairios šios teoremos teksto interpretacijos ir mano šiame darbe pateikti jos įrodinėjimo būdai.

Taigi, Pitagoro teorema yra viena pagrindinių ir, galima sakyti, labiausiai pagrindinė teorema geometrija. Jo reikšmė slypi tame, kad iš jos arba jos pagalba galima išvesti daugumą geometrijos teoremų. Pitagoro teorema taip pat yra nuostabi, nes pati savaime ji nėra visiškai akivaizdi. Pavyzdžiui, savybės lygiašonis trikampis galima pamatyti tiesiai ant brėžinio. Bet kad ir kiek žiūrėtumėte į stačiakampį trikampį, niekada nepastebėsite, kad tarp jo kraštinių yra paprastas ryšys: c2 = a2 + b2. Todėl tam įrodyti dažnai pasitelkiama vizualizacija. Pitagoro nuopelnas buvo tas, kad jis pateikė išsamų šios teoremos mokslinį įrodymą. Įdomi pati mokslininko asmenybė, kurios atminimą neatsitiktinai išsaugo ši teorema. Pitagoras – nuostabus kalbėtojas, mokytojas ir auklėtojas, savo mokyklos organizatorius, orientuotas į muzikos ir skaičių harmoniją, gėrį ir teisingumą, žinias ir sveikas vaizdas gyvenimą. Jis gali būti pavyzdys mums, tolimiems palikuonims.

Bibliografinė nuoroda

PITAGORO TEOREMOS ĮRODYMAS

Įrodymai, pagrįsti vienodo dydžio figūrų sąvokos vartojimu.

Šiuo atveju galime laikyti įrodymus, kad kvadratas, pastatytas ant nurodyto stačiojo trikampio hipotenuzės, yra „sudarytas“ iš tų pačių figūrų, kaip ir kvadratai, pastatyti iš šonų. Taip pat galime apsvarstyti įrodymus, kuriuose naudojami figūrų suminių pertvarkymai ir atsižvelgiama į daugybę naujų idėjų.

Fig. 2 pavaizduoti du vienodi kvadratai. Kiekvieno kvadrato kraštinių ilgis yra a + b. Kiekvienas kvadratas yra padalintas į dalis, sudarytas iš kvadratų ir stačiųjų trikampių. Akivaizdu, kad jei iš kvadrato ploto atimamas stačiakampio trikampio su kojelėmis a, b keturkampis plotas, tada išliks vienodi plotai, ty c 2 = a 2 + b 2 . Tačiau senovės induistai, kuriems šis samprotavimas priklauso, dažniausiai tai neužsirašydavo, o

piešinį palydėjo tik vienu žodžiu: „žiūrėk! Visai įmanoma, kad Pitagoras pateikė tą patį įrodymą.

Papildomi įrodymai.

Šie įrodymai yra pagrįsti kvadratų, pastatytų ant kojų, išskaidymu į figūras, iš kurių galima pridėti kvadratą, pastatytą ant hipotenuzės.

Einšteino įrodymas (3 pav.) paremtas kvadrato, pastatyto ant hipotenuzės, išskaidymu į 8 trikampius.

Čia: ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C; CÎMN; CK^MN; PO||MN; EF||MN.

Nepriklausomai įrodykite trikampių porinę lygybę, gautą padalinus kvadratus, pastatytus ant kojų ir hipotenuzės.

Fig. 4 parodytas Pitagoro teoremos įrodymas, naudojant al-Nayriziyah, viduramžių Bagdado Euklido elementų komentatoriaus, skaidinį. Šioje pertvaroje ant hipotenuzos pastatytas kvadratas yra padalintas į 3 trikampius ir 2 keturkampius. Čia: ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C; DE = BF.

Įrodykite teoremą naudodami šią skaidinį.

· Remiantis al-Nayriziyah įrodymu, buvo atliktas dar vienas kvadratų išskaidymas į poras vienodi skaičiai(5 pav., čia ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C).

· Kitas įrodymas, naudojant kvadratų skaidymo į lygias dalis metodą, vadinamas „ratu su ašmenimis“, parodytas pav. 6. Čia: ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C; O yra kvadrato, pastatyto iš didelės kraštinės, centras; punktyrinės linijos, einančios per tašką O, yra statmenos arba lygiagrečios hipotenusei.

· Šis kvadratų skaidymas yra įdomus, nes jo poromis lygūs keturkampiai gali būti susieti vienas su kitu lygiagrečiuoju vertimu. Daugelį kitų Pitagoro teoremos įrodymų galima pasiūlyti naudojant kvadratų skaidymą į figūras.

Įrodymai statybos būdu.

Šio metodo esmė yra ta, kad į kvadratus, pastatytus ant kojų, ir į kvadratą, pastatytą ant hipotenuzės, pridedamos lygios figūros taip, kad būtų gautos vienodos figūros.

· Pav. 7 paveiksle pavaizduota įprasta Pitagoro figūra – stačiakampis trikampis ABC su kvadratais, pastatytais jo šonuose. Prie šios figūros pritvirtinti trikampiai 1 ir 2, lygūs pradiniam stačiakampiui.

Pitagoro teoremos galiojimas išplaukia iš vienodo šešiakampių AEDFPB ir ACBNMQ dydžio. Čia CÎEP, tiesė EP padalija šešiakampį AEDFPB į du vienodo dydžio keturkampius, linija CM padalija šešiakampį ACBNMQ į du vienodo dydžio keturkampius; Pasukus plokštumą 90° aplink centrą A, keturkampis AEPB susiejamas su keturkampiu ACMQ.

· Pav. 8 Pitagoro figūra baigtas iki stačiakampio, kurio kraštinės lygiagrečios su atitinkamomis ant kojų pastatytų kvadratų kraštinėmis. Padalinkime šį stačiakampį į trikampius ir stačiakampius. Iš gauto stačiakampio pirmiausia atimame visus daugiakampius 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, palikdami ant hipotenuzos pastatytą kvadratą. Tada iš to paties stačiakampio atimame stačiakampius 5, 6, 7 ir nuspalvintus stačiakampius, gauname kvadratus, pastatytus ant kojų.

Dabar įrodykime, kad skaičiai, atimti pirmuoju atveju, yra lygūs skaičiams, atimtiems antruoju atveju.

· Ryžiai. 9 iliustruoja Nassir-ed-Din (1594) pateiktą įrodymą. Čia: PCL – tiesi linija;

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;

taigi c 2 = a 2 + b 2 .

Ryžiai. 11 paveiksle parodytas kitas originalesnis Hoffmanno pasiūlytas įrodymas.

Čia: trikampis ABC su stačiu kampu C; atkarpa BF statmena CB ir jai lygi, atkarpa BE statmena AB ir lygi jai, atkarpa AD statmena AC ir lygi jai; taškai F, C, D priklauso tai pačiai tiesei; keturkampiai ADFB ir ACBE yra vienodo dydžio, nes ABF=ECB; trikampiai ADF ir ACE yra vienodo dydžio; iš abiejų lygių keturkampių atimame bendrąjį trikampį ABC, gauname

Algebrinis įrodinėjimo būdas.

· Ryžiai. 12 iliustruoja didžiojo indų matematiko Bhaskari (garsaus Lilavati autoriaus, XII a.) įrodymą. Piešinį lydėjo tik vienas žodis: PAŽIŪRĖK! Tarp Pitagoro teoremos įrodymų algebrinis metodas Pirmąją vietą (galbūt seniausią) užima įrodymas naudojant panašumą.

· Pateiksime šiuolaikiniame pristatyme vieną iš šių Pitagorui priklausančių įrodymų.

Fig. 13 ABC – stačiakampis, C – stačiakampis, CM^AB, b1 – kojos b projekcija į hipotenuzę, a1 – kojos a projekcija į hipotenuzę, h – trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, aukštis.

Iš to, kad DABC yra panašus į DACM, išplaukia

b2 = cb1; (1)

Iš to, kad DABC yra panašus į DBCM, išplaukia

a 2 = maždaug 1. (2)

Sudėjus (1) ir (2) lygybes po dėmens, gauname a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Jei Pitagoras tikrai pasiūlė tokį įrodymą, jis taip pat buvo susipažinęs su daugybe svarbių geometrinių teoremų, šiuolaikiniai istorikai matematikai dažniausiai tai priskiria Euklidui.

Moehlmanno įrodymas (14 pav.).

Viena vertus, nurodyto stačiojo trikampio plotas yra lygus kitai, kur p yra trikampio pusiau perimetras, r yra į jį įrašyto apskritimo spindulys.

iš kur išplaukia, kad c2=a2+b2.

Garfieldo įrodymas.

15 paveiksle trys stačiakampiai trikampiai sudaro trapeciją. Todėl šios figūros plotą galima rasti naudojant ploto formulę stačiakampė trapecija, arba kaip trijų trikampių plotų suma. Pirmuoju atveju šis plotas lygus

antrajame

Sulyginę šias išraiškas, gauname Pitagoro teoremą.

Yra daug Pitagoro teoremos įrodymų, kurie atliekami kiekvienu iš aprašytų metodų arba naudojant įvairių metodų derinį. Baigdami įvairių įrodymų pavyzdžių apžvalgą, pateikiame daugiau brėžinių, iliustruojančių aštuonis metodus, kurie nurodyti Euklido elementuose (16 - 23 pav.). Šiuose brėžiniuose Pitagoro figūra vaizduojama ištisine linija, o papildomos konstrukcijos – punktyrine linija.

Kaip minėta aukščiau, senovės egiptiečiai prieš daugiau nei 2000 metų praktiškai naudojo trikampio, kurio kraštinės yra 3, 4, 5, savybes, kad sukurtų stačią kampą, t.y. jie iš tikrųjų naudojo teoremą, atvirkštinę Pitagoro teoremai. Pateiksime šios teoremos įrodymą, pagrįstą trikampių lygybės kriterijumi (t. y. tokį, kurį galima įdiegti labai anksti mokykloje). Taigi tegul vakarėliai trikampis ABC(24 pav.) yra susiję ryšiu

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Įrodykime, kad šis trikampis yra stačiakampis.

Išilgai dviejų kojelių pastatykime statųjį trikampį A1B1C1, kurio ilgiai lygūs kojų a ir b ilgiams duotas trikampis(25 pav.).

Tegu sudaryto trikampio hipotenuzės ilgis lygus c1. Kadangi sudarytas trikampis yra stačiakampis, tai pagal Pitagoro teoremą gauname: c 1 2 = a 2 + b 2. (4)

Palyginę (3) ir (4) ryšius, gauname, kad

c 1 2 = c 2 arba c 1 = c.

Taigi trikampiai - pateikti ir sudaryti - yra lygūs, nes jie turi atitinkamai tris lygios pusės. Kampas C1 yra teisingas, taigi ir šio trikampio kampas C yra teisingas.

Įrodymas skilimo metodu

Yra nemažai Pitagoro teoremos įrodymų, kuriuose kvadratai, pastatyti ant kojelių ir ant hipotenuzos, iškirpti taip, kad kiekviena kvadrato dalis, pastatyta ant hipotenuzos, atitiktų vieno iš kvadratų, pastatytų ant kojų, dalį. Visais šiais atvejais pakanka vieno žvilgsnio į brėžinį, kad suprastum įrodymą; samprotavimas čia gali apsiriboti vienu žodžiu: „Žiūrėk!“, kaip buvo daroma senovės indų matematikų raštuose. Tačiau reikia pažymėti, kad iš tikrųjų įrodymas negali būti laikomas baigtu, kol neįrodėme visų atitinkamų dalių lygybės. Tai padaryti beveik visada gana lengva, bet galima (ypač jei dideli kiekiai dalys) reikalauja gana daug darbo.

Epsteino įrodymas

Pradėkime nuo Epšteino įrodymo (1 pav.); jo privalumas tas, kad čia kaip komponentai skilimas apima tik trikampius. Norėdami suprasti brėžinį, atkreipkite dėmesį, kad tiesi linija CD nubrėžta statmenai tiesei EF.

Išskaidymas į trikampius gali būti vizualesnis nei paveikslėlyje.

Nielseno įrodymas.

Paveiksle pagalbinės linijos buvo pakeistos pagal Nielseno pasiūlymą.

Boettcherio įrodymas.

Paveikslėlyje parodytas labai aiškus Bötcherio skilimas.

Perigalo įrodymas.

Vadovėliuose dažnai sutinkamas paveiksle nurodytas skaidymas (vadinamasis „ratas su ašmenimis“; šį įrodymą rado Perigalas). Per kvadrato, pastatyto ant didesnės kojos, centrą O brėžiame tiesias linijas, lygiagrečias ir statmenas hipotenusei. Figūros dalių atitikimas aiškiai matomas iš brėžinio.

Gutheilo įrodymas.

Paveiksle parodytas skilimas yra dėl Gutheil; jam būdingas aiškus išdėstymas atskiros dalys, kuri leidžia iš karto pamatyti, kokių supaprastinimų turės lygiašonis stačiakampis trikampis.

Įrodymai iš 9 mūsų eros amžiaus

Anksčiau buvo pateikti tik tokie įrodymai, kuriuose, viena vertus, ant hipotenuzos pastatytas kvadratas, o iš kitos – ant kojų pastatytos aikštės buvo sudarytos iš lygių dalių. Tokie įrodymai vadinami įrodymais pridedant ("addityviniai įrodymai") ​​arba, dažniau, įrodymais skaidant. Iki šiol mes laikėmės įprasto kvadratų, pastatytų atitinkamose trikampio pusėse, tai yra už trikampio ribų, išdėstymo. Tačiau daugeliu atvejų kitoks kvadratų išdėstymas yra naudingesnis.

Paveiksle ant kojų pastatyti kvadratai išdėstyti pakopomis, vienas šalia kito. Šis skaičius, kuris rodomas ne vėliau kaip IX mūsų eros amžiuje. e., induistai jį vadino „nuotakos kėde“. Kvadrato su kraštine konstravimo būdas lygus hipotenuzei, aišku iš brėžinio. Bendroji dalis du kvadratai pastatyti ant kojelių ir kvadratas pastatytas ant hipotenuzės - netaisyklingo atspalvio penkiakampis 5. Prie jo pritvirtinus trikampius 1 ir 2, gauname abu ant kojelių pastatytus kvadratus; jei trikampius 1 ir 2 pakeisime lygiais trikampiais 3 ir 4, gausime kvadratą, pastatytą ant hipotenuzės. Žemiau esančiose nuotraukose pavaizduoti du skirtingose ​​vietose artimas nurodytam pirmame paveikslėlyje.

Įrodymai papildymu

Įrodymas vienas.

Kartu su įrodymais, naudojant sudėties metodą, galite pateikti įrodymų, naudojančių atimtį, pavyzdžių, dar vadinamų įrodymais sudėjimo metodu. Bendra tokių įrodymų idėja yra tokia.

Iš dviejų lygių plotų reikia atimti lygias dalis, kad vienu atveju liktų du kvadratai, pastatyti ant kojų, o kitu - kvadratas, pastatytas ant hipotenuzės. Juk jei lygybėse

B-A=C ir B 1-A 1 =C 1

A dalis yra lygi daliai A 1, o dalis B yra lygi B 1 dydžiui, tada dalys C ir C 1 taip pat yra vienodo dydžio.

Paaiškinkime šį metodą pavyzdžiu. Fig. prie įprastos Pitagoro figūros viršuje ir apačioje yra pritvirtinti 2 ir 3 trikampiai, lygūs pradiniam trikampiui 1. Tiesi linija DG tikrai eis per C. Dabar pažymime (tai įrodysime vėliau), kad šešiakampiai DABGFE ir CAJKHB yra vienodo dydžio. Jei iš pirmojo iš jų atimsime trikampius 1 ir 2, tai liksime su kvadratais, pastatytais iš šonų, o jei atimsime iš antrojo šešiakampio vienodi trikampiai 1 ir 3, tada ant hipotenuzos bus pastatytas kvadratas. Iš to išplaukia, kad ant hipotenuzos pastatytas kvadratas yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, sumai.

Belieka įrodyti, kad mūsų šešiakampiai yra vienodo dydžio. Atkreipkite dėmesį, kad linija DG padalija viršutinį šešiakampį į lygias dalis; tą patį galima pasakyti apie tiesę CK ir apatinį šešiakampį. Pasukime keturkampį DABG, kuris yra šešiakampio DABGFE pusė, aplink tašką A pagal laikrodžio rodyklę 90 kampu; tada jis sutaps su keturkampiu CAJK, kuris yra šešiakampio CAJKHB pusė. Todėl šešiakampiai DABGFE ir CAJKHB yra vienodo dydžio.

Kitas įrodymas naudojant atimties metodą.

Pažvelkime į kitą įrodymą, naudojant atimties metodą. Pažįstamą Pitagoro teoremos brėžinį įterpkime į stačiakampį rėmelį, kurio kraštinių kryptys sutampa su trikampio kojų kryptimis. Tęskime kai kuriuos figūros segmentus, kaip parodyta paveikslėlyje, o stačiakampis suskaidomas į kelis trikampius, stačiakampius ir kvadratus. Pirmiausia išimkime iš stačiakampio kelias dalis, kad liktų tik ant hipotenuzos pastatytas kvadratas. Šios dalys yra tokios:

1. trikampiai 1, 2, 3, 4;

2. stačiakampis 5;

3. stačiakampis 6 ir kvadratas 8;

4. stačiakampis 7 ir kvadratas 9;

Tada išmetame dalis iš stačiakampio, kad liktų tik ant katatų pastatyti kvadratai. Šios dalys bus:

1. stačiakampiai 6 ir 7;

2. stačiakampis 5;

3. stačiakampis 1 (tamsuotas);

4. stačiakampis 2 (tamsuotas);

Tereikia parodyti, kad paimtos dalys yra vienodo dydžio. Tai nesunku pastebėti dėl figūrų išdėstymo. Iš paveikslo aišku, kad:

1. stačiakampis 5 yra lygus sau pačiam dydžiu;

2. keturi trikampiai 1,2,3,4 yra lygūs dviem stačiakampiams 6 ir 7;

3. 6 stačiakampis ir 8 kvadratas kartu yra lygūs 1 stačiakampiui (tamsuotas);

4. stačiakampis 7 kartu su kvadratu 9 yra lygus stačiakampiui 2 (tamsuotas);

Įrodymas baigtas.

Kiti įrodymai

Euklido įrodymas

Šį įrodymą pateikė Euklidas savo Elementuose. Pasak Proklo (Bizantija), jį išrado pats Euklidas. Euklido įrodymas pateiktas pirmosios Elementų knygos 47 sakinyje.

Atitinkami kvadratai sukonstruoti ant stačiojo trikampio ABC hipotenuzės ir kojelių ir įrodyta, kad stačiakampis BJLD yra lygus kvadratui ABFH, o stačiakampis ICEL – kvadratui ACCC. Tada kvadratų suma ant kojų bus lygi kvadratui ant hipotenuzės.

Tiesą sakant, trikampiai ABD ir BFC yra lygūs iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų:

FB = AB, BC = BD

PFBC = d + PABC = PABD

SABD = 1/2 S BJLD,

nes trikampis ABD ir stačiakampis BJLD bendras pagrindas BD ir bendras aukštis LD. Taip pat

(BF-bendras pagrindas, AB-bendras aukštis). Vadinasi, atsižvelgiant į tai

Panašiai, naudojant trikampių VSK ir ACE lygybę, įrodyta, kad

SABFH + SACKG = SBJLD + SJCEL = SBCED,

Q.E.D.

Hawkinso įrodymas.

Pateiksime dar vieną įrodymą, kuris yra skaičiavimo pobūdžio, bet labai skiriasi nuo visų ankstesnių. Ją 1909 m. išleido anglas Hawkinsas; ar buvo žinoma anksčiau, sunku pasakyti.

Pasukite stačiąjį trikampį ABC stačiu kampu C 90°, kad jis užimtų padėtį A"CB". Išplėskime hipotenuzę A"B" už taško A", kol ji susikerta su tiese AB taške D. Atkarpa B"D bus trikampio B"AB aukštis. Dabar panagrinėkime nuspalvintą keturkampį A"AB"B Jį galima išskaidyti į du lygiašonius trikampius CAA" ir SVV" (arba į du trikampius A"B"A ir A"B"B).

Pitagoras paaukojo 100 jaučių. Karikatūras Įrodymas teoremos Pitagoras... hipotenuzė lygi sumai kojų kvadratai ( Teorema Pitagoras).Įrodymas:1. Įrodykime, kad stačiakampis BJLD yra lygus...

Žvelgiant į istoriją, nors Pitagoro teorema pavadinta Pitagoru, ją atrado ne jis. Nes ypatingos savybės stačiakampis stačiakampis mokslininkai pradėjo mokytis daug anksčiau už jį. Tačiau yra du teiginiai. Pirmasis sako, kad Pitagoras įrodė teoremą. Antra, atitinkamai, tai ne jis. Šiuo metu neįmanoma patikrinti, kuri iš šių nuomonių yra teisinga, bet, deja, jei buvo Pitagoro įrodymas, jis iki mūsų laikų neišliko. Taip pat yra nuomonė, kad Euklido pateiktą įrodymą pateikė Pitagoras, o Euklidas jį paviešino.
Neabejotinai Egipte faraonų valdymo laikais iškilo klausimų su stačiu trikampiu. Jis taip pat dalyvavo Babilono istorijoje. Iš ko galime daryti išvadą ši teorema, kėlė susidomėjimą nuo seniausių laikų. Iki šiol yra 367 skirtingi įrodymai. Tai, kuo negali pasigirti jokia kita teorema.

Pastaba: Jei ieškote laboratorinių baldų arba tiesiog norite įsigyti gartraukį (http://www.labmet.ru/shkafy-vytyazhnye.html). Sekite šią nuorodą ir įsigykite viską, ko jums reikia. Kokybė garantuota!

Pažvelkime į pagrindinius įrodymus.

1 Pitagoro teoremos įrodymas.

Manoma, kad šis lengvas būdas. Tam naudojami įprasti trikampiai.

jei imtume lygiašonį stačiakampį trikampis ABC, iš hipotenuzės AC galime sukurti kvadratą, kuriame yra 4 panašūs trikampiai. Naudojant kojas AB ir BC, sudaromi kvadratai, kuriuose yra dar du tokie pat trikampiai.

2 Pitagoro teoremos įrodymas.

Jis sujungia algebrą ir geometriją. Nubrėžkite statųjį trikampį abc. Ir 2 kvadratai lygūs dviem kojų ilgiams a+b. Tada padarysime konstrukciją, kaip parodyta 2, 3 paveiksluose. Rezultate gauname du kvadratus su kraštinėmis a ir b. Antrajame kvadrate yra 4 trikampiai, todėl susidaro kvadratas, lygus hipotenuzei c. Įdomu ką bendro ploto kvadratai pav. 2, 3 yra lygūs vienas kitam.
Apibendrinant viską į formulę gauname. a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 4 * 1/2 * a * b. Atidarę skliaustus gauname a 2 +b 2 = a 2 +b 2. 3 pav. plotas apskaičiuojamas kaip S = c 2 arba a 2 + b 2 = c 2 .h.t.d.


3 Pitagoro teoremos įrodymas.

Įrodymai, rasti XII amžiuje, senovės Indijoje.

Pastatykime kvadrate 4 trikampius (stačiakampius). Hipotenuzė bus c kraštinė, trikampio kojos yra a ir b. Apskaičiuojame didelių kvadratų plotą - S=c 2, ir vidinių
(a-b) 2 2 +4 * 1/2 * a * b. Iš to darome išvadą, kad c 2 = (a-b) 2 2+ 4 * 1/2 * a * b, taigi, c 2 = a 2 + b 2.

4 Pitagoro teoremos įrodymas.

Remiantis geometrija, jis vadinamas Garfieldo metodu. Sukonstruodami statųjį trikampį ABC, rasime įrodymą, kad BC2 = AC2 + AB2 Tęskime atkarpą AC, sukurdami tiesę CD, lygią kojai AB. Sujungę tiesę ir kampą E statmenai AD gauname ED. Tiesioginės linijos AC ir ED yra lygios viena kitai.

Už įrodymą šio veiksmo, taip pat naudosime du metodus, sulygindami šias išraiškas.
Raskite daugiakampio ABED plotą. Kadangi AB=CD, AC=ED, BC=CE, tada S ABED = 2*1/2 (AB*AC)+ 1/2 BC 2.
Matome, kad ABCD yra trapecija. Tai reiškia, kad S ABCD = (DE+AB)*1/2AD.
Įsivaizduokime šiuos metodus kartu ir sulyginkime:
AB*AC+ 1/2 BC 2 = (DE+AB)*1/2(AC+CD).
Supaprastinkime AB*AC +1/2ВС 2 = 1/2(AB+AC) 2.
Atidarę skliaustus gauname: AB*AC+1/2ВС 2 =1/2AC+2*1/2(AB*AC)+1/2АВ 2.
Rezultatas: BC 2 = AC 2 + AB 2. ir tt

Tai ne visi būdai įrodyti Pitagoro teoremą, tačiau pagrindiniai yra.

Aplink ir aplink

Visų pirma, dėl išsamumo, norėčiau čia pateikti Pitagoro teoremos įrodymą, kuris, mano nuomone, yra elegantiškiausias ir akivaizdžiausias. Viršuje esančiame paveikslėlyje pavaizduoti du identiški kvadratai: kairėje ir dešinėje. Iš paveikslo matyti, kad kairėje ir dešinėje nuspalvintų figūrų plotai yra lygūs, nes kiekviename iš didžiųjų kvadratų yra 4 vienodi stačiakampiai nuspalvinti trikampiai. Tai reiškia, kad neužtemdytos (baltos) sritys kairėje ir dešinėje taip pat yra lygios. Atkreipiame dėmesį, kad pirmuoju atveju neužtamsintos figūros plotas yra lygus , o antruoju atveju neužtamsintos srities plotas yra lygus . Taigi,. Teorema įrodyta!

Kaip paskambinti šiais numeriais? Negalite jų vadinti trikampiais, nes keturi skaičiai negali sudaryti trikampio. Ir čia! Kaip žaibas iš giedro dangaus

Kadangi yra tokie skaičių keturgubai, tai reiškia, kad turi būti geometrinis objektas, kurio savybės atsispindi šiuose skaičiuose!

Dabar belieka šiai nuosavybei pasirinkti kokį nors geometrinį objektą ir viskas atsistos į savo vietas! Žinoma, ši prielaida buvo grynai hipotetinė ir neturėjo jokio pagrindo. Bet kas, jei taip yra!

Prasidėjo objektų atranka. Žvaigždės, daugiakampiai, taisyklingi, netaisyklingi, stačiu kampu ir t. t. ir pan. Vėlgi niekas netinka. Ką daryti? Ir šiuo metu Šerlokas gauna antrąjį pranašumą.

Turime padidinti dydį! Kadangi trys atitinka trikampį plokštumoje, tai keturi atitinka kažką trimačio!

O ne! Vėl per daug variantų! Ir trijose dimensijose yra daug, daug daugiau rūšių geometriniai kūnai. Pabandykite juos visus pereiti! Bet ne viskas blogai. Taip pat yra stačiu kampu ir kitų įkalčių! Ką mes turime? Egipto skaičių ketvertukai (net jei jie yra egiptietiški, juos reikia kažkaip vadinti), stačiu kampu (arba kampais) ir tam tikru trimatis objektas. Išskaitymas suveikė! Ir... Tikiu, kad išprusę skaitytojai tai jau suprato mes kalbame apie apie piramides, kurių vienoje iš viršūnių visi trys kampai yra tiesūs. Jūs netgi galite jiems paskambinti stačiakampės piramidės panašus į stačiakampį trikampį.

Nauja teorema

Nuotraukoje pavaizduota piramidė su viršūne pradžioje stačiakampės koordinatės(atrodo, kad piramidė guli ant šono). Piramidė sudaryta iš trijų viena kitai statmenų vektorių, nubrėžtų nuo pradžios išilgai koordinačių ašys. Tai yra, kiekvienas šoninis kraštas Piramidė yra stačiakampis trikampis, kurio pradžioje yra stačiu kampu. Vektorių galai apibrėžia pjovimo plokštumą ir sudaro piramidės pagrindą.

Teorema

Tebūnie stačiakampė piramidė, sudarytas iš trijų viena kitai statmenų vektorių, kuriuose kojų paviršių plotai lygūs - , o hipotenuzės veido plotas - . Tada

Alternatyvi formuluotė: Tetraedrinei piramidei, kurios vienoje iš viršūnių visi plokštumos kampai yra tiesūs, šoninių paviršių plotų kvadratų suma yra lygi pagrindo ploto kvadratui.

Žinoma, jei įprasta Pitagoro teorema suformuluota trikampių kraštinių ilgiams, tai mūsų teorema formuluojama piramidės kraštinių plotams. Įrodyti šią teoremą trimis matmenimis labai lengva, jei žinai šiek tiek vektorinės algebros.

Įrodymas

Išreikškime plotus vektorių ilgiais.

Kur.

Įsivaizduokime plotą kaip pusę lygiagretainio ploto, pastatyto ant vektorių ir

Kaip žinoma, vektorinis produktas du vektoriai yra vektorius, kurio ilgis yra skaitiniu būdu lygus lygiagretainio, sudaryto iš šių vektorių, plotui.
Štai kodėl

Taigi,

Q.E.D!

Žinoma, kaip profesionaliai moksliniais tyrimais užsiimančiam žmogui, mano gyvenime taip jau yra nutikę, ne kartą. Tačiau ši akimirka buvo ryškiausia ir įsimintiniausia. Patyriau visą spektrą atradėjo jausmų, emocijų ir išgyvenimų. Nuo minties gimimo, idėjos išsikristalizavimo, įrodymų atradimo – iki visiško nesusipratimo ir net atmetimo, su kuriuo mano idėjos susitiko tarp mano draugų, pažįstamų ir, kaip man tada atrodė, visame pasaulyje. Tai buvo unikalu! Jaučiausi kaip Galilėjaus, Koperniko, Niutono, Šriodingerio, Boro, Einšteino ir daugelio kitų atradėjų kailyje.

Pokalbis

Gyvenime viskas pasirodė daug paprasčiau ir proziškiau. Pavėlavau... Bet kiek! Tik 18 metų! „Google“ man pripažino, kad ši teorema buvo paskelbta 1996 m., siaubingai ilgai kankindama ir ne pirmą kartą!

Straipsnį paskelbė „Texas Press“. technikos universitetas. Autoriai, profesionalūs matematikai, įvedė terminologiją (kuri, beje, didžiąja dalimi sutapo su mano), taip pat įrodė apibendrintą teoremą, kuri galioja bet kokio dydžio erdvei, didesnei už vieną. Kas nutinka didesniems nei 3 matmenims? Viskas labai paprasta: vietoj veidų ir sričių bus hiperpaviršiai ir daugiamačiai tūriai. Ir teiginys, žinoma, išliks tas pats: šoninių paviršių tūrių kvadratų suma yra lygi pagrindo tūrio kvadratui - tiesiog veidų skaičius bus didesnis, o kiekvieno tūris iš jų bus lygus pusei generuojančių vektorių sandaugos. Tai beveik neįmanoma įsivaizduoti! Galima tik mąstyti, kaip sako filosofai!

Keista, bet kai sužinojau, kad tokia teorema jau žinoma, nė kiek nenusiminiau. Kažkur sielos gelmėse įtariau, kad visai gali būti, kad nesu pirmas, ir supratau, kad reikia visada tam būti pasiruošusiam. Tačiau ta emocinė patirtis, kurią gavau, įžiebė manyje tyrinėtojo kibirkštį, kuri, esu tikras, dabar niekada neišblės!

P.S.

Eruduotas skaitytojas komentaruose atsiuntė nuorodą
De Gois teorema

Ištrauka iš Vikipedijos

1783 m. teorema buvo pristatyta Paryžiaus mokslų akademijai prancūzų matematikas J.-P. de Goisas, bet anksčiau jį žinojo René Descartes, o prieš jį Johanas Fulgaberis, kuris bene pirmasis jį atrado 1622 m. Daugiau bendras vaizdas teoremą suformulavo Charlesas Tinsault (prancūzas) pranešime Paryžiaus mokslų akademijai 1774 m.

Taigi pavėlavau ne 18 metų, o bent porą šimtmečių!

Šaltiniai

Skaitytojai komentaruose nurodė keletą naudingos nuorodos. Štai šios ir kai kurios kitos nuorodos:

Galite būti šimtu procentų tikri, kad bet kuris suaugęs žmogus, paklaustas, koks yra hipotenuzės kvadratas, drąsiai atsakys: „Kojų kvadratų suma“. Ši teorema yra tvirtai įsišaknijusi kiekvieno galvose. išsilavinęs žmogus, bet tereikia paprašyti, kad kas nors tai įrodytų, ir gali kilti sunkumų. Taigi prisiminkime ir apsvarstykime skirtingais būdais Pitagoro teoremos įrodymas.

Trumpa biografija

Pitagoro teorema yra žinoma beveik visiems, tačiau kažkodėl ją atnešusio žmogaus biografija nėra tokia populiari. Tai gali būti ištaisyta. Todėl prieš tyrinėdami įvairius Pitagoro teoremos įrodymo būdus, turite trumpai susipažinti su jo asmenybe.

Pitagoras - filosofas, matematikas, mąstytojas, kilęs iš Šiandien, labai sunku atskirti jo biografiją nuo legendų, susiformavusių šio puikaus žmogaus atminimui. Tačiau, kaip matyti iš jo pasekėjų darbų, Pitagoras iš Samos gimė Samos saloje. Jo tėvas buvo paprastas akmenų kalėjas, o mama kilusi iš kilmingos šeimos.

Sprendžiant iš legendos, Pitagoro gimimą išpranašavo moteris, vardu Pythia, kurios garbei berniukas buvo pavadintas. Jos spėjimu, gimęs berniukas turėjo atnešti žmonijai daug naudos ir gero. Būtent tai jis ir padarė.

Teoremos gimimas

Jaunystėje Pitagoras persikėlė į Egiptą, kad susitiktų su garsiais Egipto išminčiais. Po susitikimo su jais jam buvo leista studijuoti, kur išmoko visus didžiuosius Egipto filosofijos, matematikos ir medicinos pasiekimus.

Tikriausiai Egipte Pitagoras buvo įkvėptas piramidžių didybės ir grožio ir sukūrė savo didžioji teorija. Tai gali šokiruoti skaitytojus, tačiau šiuolaikiniai istorikai mano, kad Pitagoras neįrodė savo teorijos. Tačiau savo žinias jis perdavė tik savo pasekėjams, kurie vėliau atliko visus reikiamus matematinius skaičiavimus.

Kad ir kaip būtų, šiandien žinomas ne vienas šios teoremos įrodinėjimo būdas, o keli iš karto. Šiandien galime tik spėlioti, kaip tiksliai savo skaičiavimus atliko senovės graikai, todėl čia apžvelgsime įvairius Pitagoro teoremos įrodymo būdus.

Pitagoro teorema

Prieš pradėdami bet kokius skaičiavimus, turite išsiaiškinti, kokią teoriją norite įrodyti. Pitagoro teorema skamba taip: „Trikampyje, kurio vienas iš kampų yra 90°, kojų kvadratų suma yra lygi hipotenuzės kvadratui“.

Yra 15 skirtingų būdų įrodyti Pitagoro teoremą. Užteks didelis skaičius, todėl atkreipkime dėmesį į populiariausius iš jų.

Pirmasis metodas

Pirma, apibrėžkime, kas mums buvo duota. Šie duomenys bus taikomi ir kitiems Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdams, todėl verta iš karto prisiminti visus turimus užrašus.

Tarkime, kad mums duotas stačiakampis trikampis, kurio kojos a, b ir hipotenuzė lygi c. Pirmasis įrodinėjimo būdas pagrįstas tuo, kad reikia nubrėžti kvadratą iš stačiojo trikampio.

Norėdami tai padaryti, prie kojos ilgio a turite pridėti segmentą, lygų kojai b, ir atvirkščiai. Taip turėtų susidaryti dvi vienodos kvadrato pusės. Belieka nubrėžti dvi lygiagrečias linijas, ir kvadratas yra paruoštas.

Gautos figūros viduje reikia nupiešti kitą kvadratą, kurio kraštinė lygi pradinio trikampio hipotenusei. Norėdami tai padaryti, iš viršūnių ас ir св reikia nubrėžti dvi lygiagrečiai segmentui lygus Taigi gauname tris kvadrato kraštines, iš kurių viena yra pradinio stačiojo trikampio hipotenuzė. Belieka nubrėžti ketvirtą segmentą.

Remdamiesi gautu paveikslu, galime daryti išvadą, kad išorinio kvadrato plotas yra (a + b) 2. Jei pažvelgsite į figūros vidų, pamatysite, kad be vidinio kvadrato yra keturi stačiakampiai trikampiai. Kiekvieno plotas yra 0,5 av.

Todėl plotas lygus: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Taigi (a + b) 2 = 2ab + c 2

Ir todėl c 2 =a 2 + b 2

Teorema įrodyta.

Antras būdas: panašūs trikampiai

Ši Pitagoro teoremos įrodymo formulė buvo gauta remiantis teiginiu iš geometrijos skyriaus apie panašūs trikampiai. Jame teigiama, kad stačiojo trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas jo hipotenuzei ir iš 90° kampo viršūnės kylančiai hipotenuzės atkarpai.

Pradiniai duomenys išlieka tie patys, todėl iš karto pradėkime nuo įrodymo. Vykdykime statmenai šonui AB segmento CD. Remiantis aukščiau pateiktu teiginiu, trikampių kraštinės yra lygios:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Norint atsakyti į klausimą, kaip įrodyti Pitagoro teoremą, įrodymas turi būti baigtas padalijus abi nelygybes kvadratu.

AC 2 = AB * AD ir CB 2 = AB * DV

Dabar reikia pridėti gautas nelygybes.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), kur AD + DV = AB

Pasirodo, kad:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

Ir todėl:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Pitagoro teoremos įrodymas ir įvairių būdų jos sprendimai reikalauja daugialypio požiūrio į šią problemą. Tačiau ši parinktis yra viena iš paprasčiausių.

Kitas skaičiavimo būdas

Įvairių Pitagoro teoremos įrodinėjimo metodų aprašymai gali nieko nereikšti, kol nepradėsite praktikuoti savarankiškai. Daugelis metodų apima ne tik matematiniai skaičiavimai, bet ir naujų figūrų konstravimas iš pirminio trikampio.

IN šiuo atveju Būtina užbaigti dar vieną statųjį trikampį VSD iš kraštinės BC. Taigi dabar yra du trikampiai su bendra kojele BC.

Žinant, kad sritis panašių skaičių turi santykį kaip jų panašių tiesinių matmenų kvadratai, tada:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs * (nuo 2 iki 2) = a 2 * (S avd -S vsd)

nuo 2 iki 2 =a 2

c 2 =a 2 + b 2

Kadangi iš įvairių Pitagoro teoremos 8 klasei įrodinėjimo būdų ši parinktis vargu ar tinkama, galite naudoti šį metodą.

Lengviausias būdas įrodyti Pitagoro teoremą. Atsiliepimai

Pasak istorikų, šis metodas pirmą kartą buvo panaudotas teoremai įrodyti senovės Graikija. Tai pats paprasčiausias, nes nereikalauja absoliučiai jokių skaičiavimų. Jei piešiate paveikslėlį teisingai, bus aiškiai matomas teiginio, kad a 2 + b 2 = c 2, įrodymas.

Sąlygos, skirtos šis metodasšiek tiek skirsis nuo ankstesnio. Norėdami įrodyti teoremą, tarkime, kad stačiakampis trikampis ABC yra lygiašonis.

Kvadrato kraštinę imame hipotenuzą AC ir nubrėžiame tris jos kraštines. Be to, gautame kvadrate reikia nubrėžti dvi įstrižas linijas. Taip, kad jo viduje gausite keturis lygiašonius trikampius.

Taip pat reikia nubrėžti kvadratą prie kojų AB ir CB ir kiekvienoje iš jų nubrėžti po vieną įstrižainę tiesią liniją. Pirmąją liniją brėžiame iš viršūnės A, antrąją – iš C.

Dabar reikia atidžiai pažvelgti į gautą piešinį. Kadangi hipotenuzėje AC yra keturi trikampiai, lygūs pradiniam, o šonuose - du, tai rodo šios teoremos teisingumą.

Beje, šio Pitagoro teoremos įrodinėjimo metodo dėka, garsioji frazė: « Pitagoro kelnės vienodas visomis kryptimis“.

J. Garfieldo įrodymas

Jamesas Garfieldas yra dvidešimtasis Jungtinių Amerikos Valstijų prezidentas. Jis ne tik paliko savo pėdsaką istorijoje kaip JAV valdovas, bet ir buvo gabus autodidaktas.

Savo karjeros pradžioje jis buvo nuolatinis mokytojas valstybine mokykla, bet netrukus tapo vienos aukščiausių direktoriumi švietimo įstaigų. Noras tobulėti leido jam pasiūlyti nauja teorija Pitagoro teoremos įrodymas. Teorema ir jos sprendimo pavyzdys yra tokie.

Pirmiausia ant popieriaus lapo reikia nupiešti du stačiuosius trikampius, kad vieno iš jų kojelė būtų antrojo tęsinys. Šių trikampių viršūnės turi būti sujungtos, kad galiausiai susidarytų trapecija.

Kaip žinote, trapecijos plotas yra lygus pusės jos pagrindų ir aukščio sandaugai.

S=a+b/2 * (a+b)

Jei gautą trapeciją laikysime figūra, susidedančia iš trijų trikampių, tada jos plotą galima rasti taip:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Dabar turime išlyginti dvi pradines išraiškas

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 + b 2

Apie Pitagoro teoremą ir jos įrodinėjimo būdus būtų galima parašyti ne vieną tomą. mokymo priemonė. Bet ar yra prasmės, kai šios žinios negali būti pritaikytos praktikoje?

Praktinis Pitagoro teoremos taikymas

Deja, šiuolaikiškai mokyklos programosŠi teorema skirta naudoti tik geometrinės problemos. Absolventai netrukus paliks mokyklą nežinodami, kaip savo žinias ir įgūdžius galės pritaikyti praktikoje.

Tiesą sakant, naudokite Pitagoro teoremą kasdienybė visi gali. Ir ne tik viduje profesinę veiklą, bet ir atliekant įprastus namų ruošos darbus. Panagrinėkime kelis atvejus, kai Pitagoro teorema ir jos įrodinėjimo metodai gali būti itin reikalingi.

Teoremos ir astronomijos ryšys

Atrodytų, kaip galima sujungti žvaigždes ir trikampius ant popieriaus. Tiesą sakant, astronomija yra mokslo sritis, kuriame plačiai naudojama Pitagoro teorema.

Pavyzdžiui, apsvarstykite judėjimą šviesos spindulys erdvėje. Yra žinoma, kad šviesa juda į abi puses vienodu greičiu. Trajektoriją AB, kuria juda šviesos spindulys, pavadinkime l. Ir vadinkime pusę laiko, kurio reikia šviesai patekti iš taško A į tašką B t. Ir spindulio greitis - c. Pasirodo, kad: c*t=l

Jei pažvelgsite į tą patį spindulį iš kitos plokštumos, pavyzdžiui, iš erdvės lainerio, kuris juda greičiu v, tai tokiu būdu stebint kūnus, jų greitis pasikeis. Tokiu atveju net stacionarūs elementai pradės judėti greičiu v priešinga kryptimi.

Tarkime, komiškas laineris plaukia į dešinę. Tada taškai A ir B, tarp kurių veržiasi spindulys, pradės judėti į kairę. Be to, kai spindulys juda iš taško A į tašką B, taškas A turi laiko judėti ir atitinkamai šviesa jau pasieks naujas taškas C. Norėdami rasti pusę atstumo, kuriuo pasislinko taškas A, įdėklo greitį reikia padauginti iš pusės pluošto kelionės trukmės (t").

O norėdami sužinoti, kiek toli šviesos spindulys gali nukeliauti per šį laiką, pusę kelio reikia pažymėti nauja raide s ir gauti tokią išraišką:

Jei įsivaizduosime, kad šviesos taškai C ir B, taip pat erdvės linijinė linija yra lygiašonio trikampio viršūnės, tai atkarpa nuo taško A iki linijinės linijos jį padalins į du stačiuosius trikampius. Todėl Pitagoro teoremos dėka galite rasti atstumą, kurį galėtų nukeliauti šviesos spindulys.

Šis pavyzdys, žinoma, nėra pats sėkmingiausias, nes tik nedaugeliui pasiseks jį išbandyti praktiškai. Todėl panagrinėkime žemiškesnius šios teoremos pritaikymus.

Mobiliojo signalo perdavimo diapazonas

Šiuolaikinis gyvenimas nebeįsivaizduojamas be išmaniųjų telefonų. Bet ar jie būtų labai naudingi, jei negalėtų prijungti abonentų per mobiliojo ryšio?!

Mobiliojo ryšio kokybė tiesiogiai priklauso nuo to, kokiame aukštyje yra mobiliojo ryšio operatoriaus antena. Norėdami apskaičiuoti, kokiu atstumu nuo mobiliojo ryšio bokšto telefonas gali priimti signalą, galite pritaikyti Pitagoro teoremą.

Tarkime, reikia rasti apytikslį nejudančio bokšto aukštį, kad jis galėtų paskirstyti signalą 200 kilometrų spinduliu.

AB (bokšto aukštis) = x;

BC (signalo perdavimo spindulys) = 200 km;

OS (spindulys gaublys) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Taikydami Pitagoro teoremą sužinome, kad minimalus aukštis bokštas turėtų būti 2,3 kilometro ilgio.

Pitagoro teorema kasdieniame gyvenime

Kaip bebūtų keista, Pitagoro teorema gali būti naudinga net kasdieniuose reikaluose, pavyzdžiui, nustatant spintos aukštį. Iš pirmo žvilgsnio tokių naudoti nereikia sudėtingi skaičiavimai, nes galite tiesiog atlikti matavimus naudodami matavimo juostą. Tačiau daugelis žmonių stebisi, kodėl surinkimo proceso metu kyla tam tikrų problemų, jei visi matavimai buvo atlikti daugiau nei tiksliai.

Faktas yra tas, kad drabužių spinta yra sumontuota horizontali padėtis ir tik tada jis pakeliamas ir montuojamas prie sienos. Todėl konstrukcijos kėlimo metu spintos šonas turi laisvai judėti tiek išilgai kambario aukščio, tiek įstrižai.

Tarkime, kad yra 800 mm gylio spinta. Atstumas nuo grindų iki lubų - 2600 mm. Patyręs baldininkas pasakys, kad spintelės aukštis turi būti 126 mm mažesnis už patalpos aukštį. Bet kodėl būtent 126 mm? Pažiūrėkime į pavyzdį.

Turėdami idealius spintelės matmenis, patikrinkime Pitagoro teoremos veikimą:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - viskas tinka.

Tarkime, spintelės aukštis ne 2474 mm, o 2505 mm. Tada:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Todėl ši spinta netinka montuoti šioje patalpoje. Kadangi pakėlus jį į vertikalią padėtį, gali būti pažeistas jo kūnas.

Galbūt, įvertinę skirtingus Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdus skirtingų mokslininkų, galime daryti išvadą, kad tai daugiau nei tiesa. Dabar gauta informacija galite naudotis kasdieniame gyvenime ir būti visiškai tikri, kad visi skaičiavimai bus ne tik naudingi, bet ir teisingi.