Математик тэгшитгэлүүд нь зөвхөн ашигтай төдийгүй үзэсгэлэнтэй байж болно. Мөн олон эрдэмтэд ихэвчлэн хайртай гэдгээ хүлээн зөвшөөрдөг тодорхой томъёозөвхөн функциональ байдлаараа төдийгүй хэлбэр, тодорхой тусгай яруу найргийн хувьд. E = mc ^ 2 гэх мэт дэлхий даяар мэддэг тэгшитгэлүүд байдаг. Бусад нь тийм ч өргөн тархаагүй, гэхдээ тэгшитгэлийн гоо үзэсгэлэн нь түүний алдартай байдлаас хамаардаггүй.
Харьцангуйн ерөнхий онол
Дээр дурдсан тэгшитгэлийг 1915 онд Альберт Эйнштейн харьцангуйн ерөнхий онолынхоо нэг хэсэг болгон томъёолсон. Онол нь шинжлэх ухааны ертөнцөд үнэхээр хувьсгал хийсэн. Нэг тэгшитгэл нь орон зай, цаг хугацаа зэрэг эргэн тойронд байгаа бүх зүйлийг хэрхэн дүрсэлж чадах нь гайхалтай юм. Эйнштейний бүх жинхэнэ суут ухаан түүнд шингэсэн байдаг. Энэ их гоёмсог тэгшитгэл, энэ нь таны эргэн тойронд байгаа бүх зүйл хэрхэн холбогдож байгааг товч тайлбарладаг - жишээлбэл, галактикт нар байгаа нь орон зай, цаг хугацааг хэрхэн нугалж, дэлхий түүнийг тойрон эргэдэг.
Стандарт загвар
Стандарт загвар нь өөр нэг юм хамгийн чухал онолуудфизик, энэ нь бүх зүйлийг дүрсэлдэг энгийн бөөмс, үүнээс орчлон ертөнц бүтээгдсэн. Байдаг янз бүрийн тэгшитгэлүүд, энэ онолыг тайлбарлах чадвартай боловч 18-р зууны Францын математикч, одон орон судлаач Лагранжийн тэгшитгэлийг ихэвчлэн ашигладаг. Тэрээр таталцлын хүчийг эс тооцвол бүх бөөмс, тэдгээрт үйлчилдэг хүчийг амжилттай дүрсэлсэн. Үүнд саяхан нээсэн Хиггс бозон бас багтана. Энэ нь бүрэн нийцдэг квант механикТэгээд ерөнхий онолхарьцангуйн онол.
Математик анализ
Эхний хоёр тэгшитгэл нь орчлон ертөнцийн тодорхой талыг дүрсэлсэн боловч энэ тэгшитгэлийг бүх зүйлд ашиглаж болно болзошгүй нөхцөл байдал. Математик шинжилгээний үндсэн теорем нь үндэс суурийг бүрдүүлдэг математик аргаТооцоолол гэж нэрлэгддэг бөгөөд түүний үндсэн хоёр санаа болох интеграл ба дериватив ойлголтыг холбодог. Гарал үүсэлтэй математик шинжилгээЭрт дээр үед, гэхдээ бүх онолыг 17-р зуунд Исаак Ньютон нэгтгэсэн - тэр тэдгээрийг Нарны эргэн тойрон дахь гаригуудын хөдөлгөөнийг тооцоолж, дүрслэхдээ ашигласан.
Пифагорын теорем
Бүх сургуулийн сурагчдын геометрийн хичээлээр сурдаг Пифагорын алдарт теорем нь хүн бүрийн мэддэг хуучин сайн тэгшитгэлээр илэрхийлэгддэг. Энэ томьёо нь аливаа тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын уртын квадрат, бүх талуудын хамгийн урт нь (c), нийлбэртэй тэнцүү байнанөгөө хоёр талын квадратууд, хөл (a ба b). Үүний үр дүнд тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна: a^2 + b^2 = c^2. Энэ теорем олон математикч, физикчдийг дөнгөж сургуульд сурч байгаа боловч шинэ ертөнц тэдэнд юу хүлээж байгааг мэдэхгүй байгаа үед нь гайхшруулдаг.
1 = 0.999999999….
Энэхүү энгийн тэгшитгэл нь энэ тоо 0.999 сек байгааг харуулж байна хязгааргүй тооАравтын бутархайн дараах ес нь үнэндээ нэгтэй тэнцүү байна. Энэ тэгшитгэл нь маш энгийн, гайхалтай харагдахуйц боловч олон хүнийг гайхшруулж, гайхшруулж чаддаг тул гайхалтай юм. Зарим хүмүүс энэ үнэн гэдэгт итгэж чадахгүй байна. Түүнээс гадна тэгшитгэл нь өөрөө үзэсгэлэнтэй юм - түүний зүүн тал нь хамгийн энгийн үндэсматематик, зөв нь хязгааргүй байдлын нууц, нууцыг нуудаг.
Харьцангуйн тусгай онол
Альберт Эйнштейн энэ удаад дахин жагсаалтыг тэргүүлж байна тусгай онолхарьцангуйн онол нь цаг хугацаа, орон зай ямар байдгийг тодорхойлдог үнэмлэхүй ойлголтууд, мөн харьцангуй - үзэгчийн хурдтай. Энэ тэгшитгэл нь цаг хугацаа хэрхэн "тэлж" байгааг харуулж байгаа бөгөөд хурдан хөдлөх тусам удааширдаг. Үнэн хэрэгтээ тэгшитгэл нь тийм ч төвөгтэй, энгийн дериватив биш юм. шугаман алгебр. Гэсэн хэдий ч энэ нь юуг илэрхийлдэг вэ гэвэл туйлын юм шинэ аргаертөнцийг хар.
Эйлерийн тэгшитгэл
Энэ энгийн томъёобөмбөрцөгүүдийн мөн чанарын талаархи үндсэн мэдлэгийг багтаасан болно. Хэрэв та бөмбөрцөг хайчилж, нүүр, ирмэг, оройг олж авбал F-ийг нүүрний тоогоор, E-ийг ирмэгийн тоогоор, V-ийг оройн тоогоор авбал үргэлж ижил зүйлийг авах болно гэжээ. : V - E + F = 2. Энэ тэгшитгэл яг ийм харагдаж байна. Гайхалтай нь та ямар ч бөмбөрцөг хэлбэртэй байна - энэ нь тетраэдр, пирамид эсвэл бусад нүүр, ирмэг, оройн хослол бай хамаагүй та үргэлж ижил үр дүнд хүрэх болно. Энэхүү комбинаторик нь хүмүүст бөмбөрцөг хэлбэрийн талаар үндсэн зүйлийг хэлдэг.
Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэл ба Ноетерийн теорем
Эдгээр ойлголтууд нь нэлээд хийсвэр боловч маш хүчтэй байдаг. Хамгийн сонирхолтой нь физикийн талаарх энэхүү шинэ сэтгэлгээ нь энэ шинжлэх ухаанд нээлт гэх мэт хэд хэдэн хувьсгалыг даван туулж чадсан юм. квант механик, харьцангуйн онол гэх мэт. Энд L нь энергийн хэмжүүр болох Лагранжийн тэгшитгэлийг илэрхийлнэ физик систем. Мөн энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь яаж гэдгийг танд хэлэх болно тодорхой системцаг хугацааны явцад хөгжинө. Лагранжийн тэгшитгэлийн нэг хувилбар нь физикийн суурь ба тэгш хэмийн үүрэг болох Ноетерийн теорем юм. Теоремын мөн чанар нь хэрэв таны систем тэгш хэмтэй байвал холбогдох хамгааллын хууль үйлчилнэ. Үнэн хэрэгтээ, гол санааЭнэ теорем нь физикийн хуулиуд хаа сайгүй үйлчилдэг.
Дахин хэвийн болгох бүлгийн тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэлийг бүтээгчдийн нэрээр Каллан-Симанчикийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ бол 1970 онд бичигдсэн амин чухал суурь тэгшитгэл юм. Энэ нь гэнэн хүлээлт хэрхэн бүтэлгүйтдэгийг харуулах зорилготой юм квант ертөнц. Уг тэгшитгэл нь атомын цөмийг бүрдүүлдэг протон ба нейтроны масс, хэмжээг тооцоолох олон хэрэглээтэй.
Хамгийн бага гадаргуугийн тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэл нь утсанд дүрэх үед үүсэх савангийн үзэсгэлэнтэй хальсыг гайхалтай тооцоолж, кодчилдог. савантай ус. Гэхдээ энэ тэгшитгэл нь нэг талбарын ердийн шугаман тэгшитгэлээс эрс ялгаатай, жишээлбэл, дулааны тэгшитгэл, долгион үүсэх гэх мэт. Энэ тэгшитгэл нь шугаман бус бөгөөд энэ нь гадны хүч ба дериватив бүтээгдэхүүний нөлөөг агуулдаг.
Эйлерийн шугам
Дурын гурвалжинг аваад гурвалжинг багтааж болох хамгийн жижиг тойргийг зураад төвийг нь ол. Гурвалжны массын төвийг олоорой - гурвалжинг тэнцвэржүүлэх цэгийг, жишээлбэл, цаасан дээрээс хайчилж авах боломжтой бол харандааны цэг дээр. Энэ гурвалжны гурван өндрийг (тэдгээрийг зурсан гурвалжны талуудтай перпендикуляр шугамууд) зурж, тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг ол. Теоремын мөн чанар нь гурван цэг бүгд ижил шулуун дээр байх бөгөөд энэ нь Эйлерийн шулуун шугамтай яг адилхан юм. Теорем нь математикийн бүхий л гоо үзэсгэлэн, хүч чадлыг агуулсан бөгөөд хамгийн энгийн зүйлд гайхалтай хэв маягийг илчилдэг.
Тэгшитгэл нь математик илэрхийлэл, энэ нь үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэл юм. Хэрэв тэгш байдал нь түүнд багтсан үл мэдэгдэх бүх зөвшөөрөгдөх утгын хувьд үнэн бол түүнийг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг; жишээ нь: (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) хэлбэрийн хамаарал нь x-ийн бүх утгуудад тохирно.
Хэрэв үл мэдэгдэх x-г агуулсан тэгшитгэл нь таних тэмдэгтэй адил x-ийн бүх утгуудад биш харин зөвхөн тодорхой х утгуудад тохирч байвал x-ийн утгыг тодорхойлох нь ашигтай байж болох юм. тэгшитгэл хүчинтэй байна. Ийм x утгыг тэгшитгэлийн үндэс буюу шийд гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, 5-ын тоо нь 2x + 7= 17 тэгшитгэлийн үндэс юм.
Тэгшитгэлийн онол гэж нэрлэгддэг математикийн салбарт судалгааны гол сэдэв нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд юм. IN сургуулийн курсАлгебрийн тэгшитгэлүүд маш их анхаарал хандуулдаг.
Тэгшитгэлийг судлах түүх олон зууны тэртээгээс эхэлдэг. Хамгийн их алдартай математикчидТэгшитгэлийн онолыг хөгжүүлэхэд хувь нэмрээ оруулсан хүмүүс:
Архимед (МЭӨ 287-212 он) бол эртний Грекийн эрдэмтэн, математикч, механикч юм. Нэг асуудлыг судлахад энэ нь буурдаг куб тэгшитгэл, Архимед шинж чанарын үүргийг нээсэн бөгөөд хожим нь ялгаварлагч гэж нэрлэв.
Франсуа Вьет 16-р зуунд амьдарч байжээ. Тэрээр математикийн янз бүрийн асуудлыг судлахад асар их хувь нэмэр оруулсан. Тэр дундаа танилцуулав үсгийн тэмдэглэгээтэгшитгэлийн коэффициентүүд ба квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын хоорондын холбоог тогтоосон.
Леонхард Эйлер (1707 - 1783) - математикч, механикч, физикч, одон орон судлаач. Зохиогч St. Математик шинжилгээний 800 бүтээл, дифференциал тэгшитгэл, геометр, тооны онол, ойролцоо тооцоолол, селестиел механик, математик, оптик, баллистик, хөлөг онгоцны үйлдвэрлэл, хөгжмийн онол гэх мэт шинжлэх ухааны хөгжилд ихээхэн нөлөө үзүүлсэн. Тэрээр томъёог (Эйлерийн томъёо) гаргаж авсан тригонометрийн функцуудхувьсагч х нь экспоненциал функцээр дамжуулан.
Лагранж Жозеф Луис (1736 - 1813), Францын математикчба механик. Тэрээр алгебрийн судалгаа (тэгшитгэлийн язгуурын тэгш хэмийн функц, дифференциал тэгшитгэлийн (онол)) зэрэг гайхалтай судалгаа хийсэн. тусгай шийдлүүд, тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга).
Ж.Лагранж, А.Вандермонд нар бол Францын математикч юм. 1771 онд тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргыг (орлуулах арга) анх ашигласан.
Гаусс Карл Фридрих (1777 -1855) - Германы математикч. Тэрээр тойрог хуваах тэгшитгэлийн онолыг (өөрөөр хэлбэл xn - 1 = 0 тэгшитгэл) тодорхойлсон ном бичсэн бөгөөд энэ нь олон талаараа Галуагийн онолын үлгэр жишээ болсон юм. Түүнээс гадна нийтлэг аргуудЭдгээр тэгшитгэлийн шийдлүүд нь тэдгээрийн хоорондын холбоог бий болгосон ердийн олон өнцөгтүүд. Эртний Грекийн эрдэмтдээс хойш анх удаа тэрээр энэ асуудалд чухал алхам хийсэн, тухайлбал тэрээр луужин болон захирагчийн тусламжтайгаар ердийн n-гоныг барьж болох n-ийн бүх утгыг олсон. Би нэмэх аргыг судалсан. Тэгшитгэлийн системийг нэмэх, хуваах, үржүүлэх боломжтой гэж би дүгнэсэн.
О.И.Сомов - математикийн янз бүрийн хэсгүүдийг чухал, олон тооны бүтээлээр баяжуулсан бөгөөд үүнд зарим онол багтжээ. алгебрийн тэгшитгэл илүү өндөр зэрэгтэй.
Галуа Эваристе (1811-1832) - Францын математикч. Түүний гол гавьяа бол Ж.Лагранж, Н.Абель болон бусад хүмүүсийн эхлүүлсэн алгебрийн тэгшитгэлийн шийдлийн талаарх судалгааг үргэлжлүүлж, дээд түвшний алгебрийн тэгшитгэлийн онолыг бий болгосонтой холбогдуулан олдсон санааны багцыг томъёолсон явдал юм. нэг үл мэдэгдэх зэрэгтэй.
A. V. Погорелов (1919 – 1981) - Түүний ажил холбоотой геометрийн аргууд-тай аналитик аргуудхэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн онол. Түүний бүтээлүүд нь шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийн онолд чухал нөлөө үзүүлсэн.
П.Руффини - Италийн математикч. Тэрээр орлуулалтын багцын хаалттай байдлыг системтэйгээр ашиглан 5-р зэргийн тэгшитгэлийн шийдэгдэхгүй байдлыг нотлохын тулд хэд хэдэн бүтээлээ зориулжээ.
Эрдэмтэд тэгшитгэлийг удаан хугацаанд судалж байгаа хэдий ч шинжлэх ухаан хүмүүс тэгшитгэлийг хэрхэн, хэзээ ашиглах шаардлагатайг мэдэхгүй байна. Хүмүүс хүн болсон цагаасаа хойш хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг асуудлыг шийдэж ирсэн нь мэдэгдэж байна. Өөр нэг МЭӨ 3-4 мянган жилийн дараа. д. Египетчүүд, Вавилончууд тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэддэг байсан. Эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй давхцаж байгаа боловч тэдгээр нь яаж ирсэн нь тодорхойгүй байна.
IN Эртний Египетболон Вавилон, худал байр суурь аргыг ашигласан. Нэг үл мэдэгдэх 1-р зэргийн тэгшитгэлийг үргэлж ax + b = c хэлбэрт буулгаж болно, үүнд a, b, c бүхэл тоонууд байна. Дүрэм журмын дагуу арифметик үйлдлүүд ax = c - b,
Хэрэв b > c бол c b нь сөрөг тоо болно. Сөрөг тоонууд нь египетчүүд болон бусад олон хожмын ард түмэнд мэдэгддэггүй байв (хамт эерэг тоонуудТэд зөвхөн XVII зуунд математикт ашиглагдаж эхэлсэн). Бидний одоо нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр шийдэж байгаа асуудлыг шийдэхийн тулд худал байрлалын аргыг зохион бүтээжээ. Ахмес папируст 15 асуудлыг ийм аргаар шийддэг. Египетчүүдэд байсан тусгай тэмдэгзааж өгөх тодорхойгүй огноо, энэ нь ойрын үеийг хүртэл "яаж" гэж уншиж, "овоолох" ("овоолох" эсвэл "үл мэдэгдэх тоо" нэгж) гэсэн үгээр орчуулагдсан байв. Одоо тэд арай бага алдаатай уншдаг: "тийм ээ." Ахмесийн ашигласан шийдлийн аргыг нэг худал байрлалын арга гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг ашиглан ax = b хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийддэг. Энэ арга нь тэгшитгэлийн тал бүрийг а-д хуваахыг хэлнэ. Үүнийг египетчүүд болон вавилончууд хоёуланг нь ашигладаг байсан. У өөр өөр үндэстэнХоёр худлаа байрлалын аргыг ашигласан. Арабууд энэ аргыг механикжуулж, сурах бичигт шилжүүлсэн хэлбэрийг олж авсан Европын ард түмэнМагнитскийн арифметик гэх мэт. Магнитский уг шийдлийг "хуурамч дүрэм" гэж нэрлээд, энэ аргыг тодорхойлсон номынхоо хэсэгт бичжээ.
Энэ хэсэг нь маш зальтай, учир нь та түүнтэй хамт бүх зүйлийг хийж болно. Зөвхөн иргэншилд байгаа зүйл биш, бас дээд шинжлэх ухаанСансар огторгуйд, Тэд тэнгэрийн бөмбөрцөгт тоологдсон ч гэсэн, Ухаантай хүмүүст хэрэгцээтэй байдаг.
Магнитскийн шүлгийн агуулгыг дараах байдлаар товч дүгнэж болно: арифметикийн энэ хэсэг нь маш төвөгтэй юм. Түүний тусламжтайгаар та өдөр тутмын практикт шаардлагатай зүйлийг тооцоолж зогсохгүй "ухаантай" тулгардаг "дээд" асуултуудыг шийдэж чадна. Магнитский "хуурамч дүрмийг" арабчуудын өгсөн хэлбэрээр ашигладаг бөгөөд үүнийг "хоёр алдааны арифметик" эсвэл "масштабын арга" гэж нэрлэдэг. Энэтхэгийн математикчид ихэвчлэн шүлгээр бодлого гаргадаг. Бадамлянхуа асуудал:
Нам гүм нуурын дээгүүр, уснаас хагас хэмжүүр өндөрт бадамлянхуа цэцгийн өнгө харагдана. Тэр ганцаараа өссөн бөгөөд салхи долгион шиг түүнийг хажуу тийш нь бөхийлгөж, цаашид больжээ
Усан дээгүүр цэцэглэдэг. Загасчны нүд түүнийг өссөн газраасаа хоёр метрийн зайд олжээ. Эндхийн нуурын ус хэр гүн байдаг вэ? Би чамаас асуулт асууя.
Тэгшитгэлийн төрлүүд
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм: ax + b = 0, энд a ба b нь зарим тогтмолууд юм. Хэрэв a нь тэгтэй тэнцүү биш бол тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).
Жишээ нь: шугаман тэгшитгэлийг шийд: 4x + 12 = 0.
Шийдэл: a = 4, b = 12 тул x = - 12: 4; x = - 3.
Шалгах: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
0 = 0 тул -3 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.
Хариулах. x = -3
Хэрэв а нь тэгтэй, b нь тэгтэй тэнцүү бол ax + b = 0 тэгшитгэлийн үндэс нь дурын тоо юм.
Жишээ нь:
0 = 0. 0 нь 0-тэй тэнцүү тул 0x + 0 = 0 тэгшитгэлийн үндэс нь дурын тоо болно.
Хэрэв а нь тэгтэй тэнцүү, b нь тэгтэй тэнцүү биш бол ax + b = 0 тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.
Жишээ нь:
0 = 6. 0 нь 6-тай тэнцүү биш тул 0x – 6 = 0 нь үндэсгүй болно.
Шугаман тэгшитгэлийн системүүд.
Шугаман тэгшитгэлийн систем нь бүх тэгшитгэлүүд нь шугаман байдаг систем юм.
Системийг шийдэх нь түүний бүх шийдлийг олох гэсэн үг юм.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн өмнө та түүний шийдлийн тоог тодорхойлж болно.
Тэгшитгэлийн системийг өгье: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2).
Хэрэв a1-ийг a2-т хуваасан нь b1-ийг b2-т хуваасантай тэнцүү биш бол систем нэг өвөрмөц шийдэлтэй байна.
Хэрэв a1-ийг a2-т хуваасан нь b1-ийг b2-т хуваасан, харин c1-ийг c2-д хуваасантай тэнцүү бол системд шийдэл байхгүй болно.
Хэрэв a1-ийг a2-т хуваасан нь b1-ийг b2-д хуваасан, c1-ийг c2-д хуваасантай тэнцүү бол систем нь хязгааргүй олон шийдтэй байна.
Дор хаяж нэг шийдэлтэй тэгшитгэлийн системийг нэгэн зэрэг гэж нэрлэдэг.
Хэрэв байгаа бол хамтарсан системийг тодорхой гэж нэрлэдэг эцсийн тоошийдлүүд, хэрэв түүний шийдлийн олонлог хязгааргүй бол тодорхойгүй.
Нэг шийдэлгүй системийг үл нийцэх буюу зөрчилтэй гэж нэрлэдэг.
Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
Шугаман тэгшитгэлийг шийдэх хэд хэдэн арга байдаг.
1) Сонгох арга. Энэ бол хамгийн их хамгийн энгийн арга. Энэ нь бүгд сонгогдсонд оршино хүчинтэй утгуудтооллогоор үл мэдэгдэх.
Жишээ нь:
Тэгшитгэлийг шийд.
x = 1. Дараа нь
4 = 6. 4 нь 6-тай тэнцүү биш тул x = 1 гэсэн бидний таамаглал буруу байсан.
x = 2 гэж үзье.
6 = 6. 6 нь 6-тай тэнцүү тул x = 2 гэсэн бидний таамаглал зөв байсан.
Хариулт: x = 2.
2) Хялбаршуулах арга
Энэ арга нь үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан бүх нэр томъёог шилжүүлэхээс бүрдэнэ зүүн тал, баруун талд нь мэдэгдэж байгаа эсрэг тэмдэг, ижил төстэйг өгч, тэгшитгэлийн хоёр талыг үл мэдэгдэх коэффициентээр хуваа.
Жишээ нь:
Тэгшитгэлийг шийд.
5х – 4 = 11 + 2х;
5х – 2х = 11 + 4;
3х = 15; : (3) x = 5.
Хариулах. x = 5.
3) График арга.
Энэ нь функцүүдийн графикийг бүтээхээс бүрдэнэ өгөгдсөн тэгшитгэл. Т. орох шугаман тэгшитгэл y = 0, тэгвэл график нь у тэнхлэгтэй параллель байх болно. Графикийн х тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл болно.
Жишээ нь:
Тэгшитгэлийг шийд.
y = 7. Дараа нь y = 2x + 3 болно.
Хоёр тэгшитгэлийн функцийг зуръя:
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга
Долдугаар ангид тэд тэгшитгэлийн системийг шийдэх гурван аргыг судалдаг.
1) Орлуулах арга.
Энэ арга нь тэгшитгэлийн аль нэгэнд үл мэдэгдэх нэгийг нөгөөгөөр илэрхийлэхэд оршино. Үүссэн илэрхийлэл нь өөр тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл болж хувирч, дараа нь шийдэгдэнэ. Энэхүү үл мэдэгдэхийн үр дүнгийн утгыг анхны системийн дурын тэгшитгэлд орлуулж, хоёр дахь үл мэдэгдэх утгыг олно.
Жишээ нь.
Тэгшитгэлийн системийг шийд.
5x - 2y - 2 = 1.
3x + y = 4; y = 4 - 3x.
Үр дүнгийн илэрхийлэлийг өөр тэгшитгэлд орлъё:
5х – 2(4 – 3х) -2 = 1;
5x – 8 + 6x = 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Гарсан утгыг 3x + y = 4 тэгшитгэлд орлъё.
3 1 + y = 4;
3 + y = 4; y = 4 – 3; y = 1.
Шалгалт.
/3 1 + 1 = 4,
\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;
Хариулт: x = 1; y = 1.
2) Нэмэх арга.
Энэ арга нь хэрэв энэ системЭнэ нь томьёог гишүүнээр нэмээд нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл үүсгэдэг тэгшитгэлээс бүрддэг бөгөөд энэ тэгшитгэлийг шийдснээр бид үл мэдэгдэхүүдийн аль нэгийн утгыг олж авдаг. Энэхүү үл мэдэгдэхийн үр дүнгийн утгыг анхны системийн дурын тэгшитгэлд орлуулж, хоёр дахь үл мэдэгдэх утгыг олно.
Жишээ нь:
Тэгшитгэлийн системийг шийд.
/3у – 2х = 5,
\5x – 3y = 4.
Үүссэн тэгшитгэлийг шийдье.
3х = 9; : (3) x = 3.
Гарсан утгыг 3y – 2x = 5 тэгшитгэлд орлъё.
3у – 2 3 = 5;
3у = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.
Тэгэхээр x = 3; y = 3 2/3.
Шалгалт.
/3 11/3 – 2 3 = 5,
\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;
Хариулах. x = 3; y = 3 2/3
3) График арга.
Энэ арга нь тэгшитгэлийг нэг координатын системд зурахад суурилдаг. Хэрэв тэгшитгэлийн графикууд огтлолцдог бол огтлолцлын цэгийн координатууд нь энэ системийн шийдэл болно. Хэрэв тэгшитгэлийн графикууд нь зэрэгцээ шугамууд байвал энэ системд шийдэл байхгүй болно. Хэрэв тэгшитгэлийн графикууд нэг шулуун шугамд нийлбэл систем хязгааргүй олон шийдтэй байна.
Жишээ нь.
Тэгшитгэлийн системийг шийд.
18x + 3y - 1 = 8.
2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;
Y = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
y = 2x - 5, y = 3 - 6x функцуудын графикийг ижил координатын систем дээр байгуулъя.
y = 2x - 5 ба y = 3 - 6x функцуудын графикууд А цэг дээр огтлолцоно (1; -3).
Иймд энэ тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь x = 1, y = -3 болно.
Шалгалт.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Хариулах. x = 1; y = -3.
Дүгнэлт
Дээр дурдсан бүх зүйл дээр үндэслэн тэгшитгэл зайлшгүй шаардлагатай гэж дүгнэж болно орчин үеийн ертөнцзөвхөн шийдвэрлэхийн тулд биш практик асуудлууд, гэхдээ бас шинжлэх ухааны хэрэгсэл болгон ашиглаж байна. Тийм ч учраас олон эрдэмтэд энэ асуудлыг судалж, үргэлжлүүлэн судалж байна.
Хөндлөн огтлол нь уртааш тэнхлэгт зөв өнцгөөр үүсдэг. Түүнээс гадна янз бүрийн геометрийн хэлбэрийн хөндлөн огтлолыг дүрсэлж болно янз бүрийн хэлбэрүүд. Жишээлбэл, параллелограмм нь хөндлөн огтлолтой гадаад төрхтэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин хэлбэртэй, цилиндр нь тэгш өнцөгт эсвэл тойрогтой төстэй гэх мэт.
Танд хэрэгтэй болно
- - тооцоолуур;
- - анхны өгөгдөл.
Заавар
Параллелограммын хөндлөн огтлолыг олохын тулд түүний суурь ба өндрийн утгыг мэдэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, зөвхөн суурийн урт ба өргөнийг мэддэг бол Пифагорын теоремыг ашиглан диагональыг олоорой (тэгш өнцөгт гурвалжин дахь гипотенузын уртын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү: a2). + b2 = c2). Үүнийг харгалзан c = sqrt (a2 + b2).
Диагоналын утгыг олсны дараа үүнийг S= c*h томъёонд орлуулж, h нь параллелограммын өндөр юм. Хүлээн авсан үр дүн нь талбай байх болно хөндлөн огтлолпараллелограмм.
Хэрвээ хэсэг нь хоёр суурийн дагуу явбал түүний талбайг S=a*b томъёогоор тооцоол.
Суурьтай перпендикуляр ажиллаж байгаа цилиндрийн тэнхлэгийн хөндлөн огтлолын талбайг тооцоолохын тулд (энэ тэгш өнцөгтийн нэг тал нь суурийн радиус, нөгөө тал нь цилиндрийн өндөртэй тэнцүү байх тохиолдолд) S томъёог ашиглана. = 2R*h, үүнд R нь тойргийн радиусын утга (суурь), S нь хөндлөн огтлолын талбай, h нь цилиндрийн өндөр юм.
Хэрэв асуудлын нөхцлийн дагуу хэсэг нь цилиндрийн эргэлтийн тэнхлэгээр дамжихгүй, харин суурийнх нь дагуу параллель байвал тэгш өнцөгтийн тал нь суурийн тойргийн диаметртэй тэнцүү биш байх болно.
Цилиндрийн суурийн тойргийг барьж, тэгш өнцөгтийн хажуугаас тойрог руу перпендикуляр зурж, хөвчний хэмжээг тооцоолж (Пифагорын теоремыг ашиглан) үл мэдэгдэх талыг өөрөө тооцоол. Үүний дараа үүссэн утгыг S = 2a*h (2a нь хөвчний утга) гэж орлуулж, хөндлөн огтлолын талбайг тооцоолно.
Бөмбөгний хөндлөн огтлолын талбайг S = R2 томъёогоор тодорхойлно. Төвөөс зайтай бол анхаарна уу геометрийн дүрсонгоцтой давхцах болно, тэгвэл хөндлөн огтлолын талбай тэг болно, учир нь бөмбөг онгоцонд зөвхөн нэг цэг дээр хүрдэг.
Анхаарна уу
Үр дүнг хоёр удаа дахин тооцоол: ингэснээр та тооцоололд алдаа гаргахгүй.
Анхаар, зөвхөн ӨНӨӨДӨР!
Бүх зүйл сонирхолтой
Призм бол хоёр талт олон өнцөгт юм зэрэгцээ суурьба хажуугийн нүүр нь параллелограмм хэлбэртэй, тоо хэмжээгээр, тоотой тэнцүү байнасуурийн олон өнцөгтийн талууд. Заавар 1B дурын призм хажуугийн хавиргахавтгайн өнцөгт байрладаг ...
Эргэх үед зөв гурвалжинТүүний нэг хөлний эргэн тойронд конус гэж нэрлэгддэг эргэлтийн дүрс үүсдэг. Конус бол нэг оройтой, дугуй суурьтай геометрийн бие юм. Заавар 1 Зургийн дөрвөлжинг байрлуулж,...
Цилиндр нь хоёр сууриндаа перпендикуляр өндөртэй байдаг. Түүний уртыг тодорхойлох арга нь оролтын өгөгдлийн багцаас хамаарна. Эдгээр нь ялангуяа диаметр, талбай, хөндлөн огтлолын диагональ байж болно. Заавар 1 Аливаа хэлбэрийн хувьд...
Призм бол суурь нь олон өнцөгт юм тэнцүү олон өнцөгтүүд, хажуугийн нүүрнүүд нь параллелограммууд юм. Призмийн хөндлөн огтлолын талбайг олохын тулд даалгаварт аль хөндлөн огтлолыг авч үзэхийг мэдэх хэрэгтэй. Перпендикуляр ба...
Цилиндр нь орон зайн дүрс бөгөөд хоёр хэсгээс бүрдэнэ тэгш үндэслэл, энэ нь тойрог болон суурийг зааглах шугамыг холбосон хажуугийн гадаргууг илэрхийлдэг. Цилиндрийн талбайг тооцоолохын тулд түүний бүх талбайг олоорой ...
Цилиндр хэлбэртэй геометрийн хэлбэравтомашины хөдөлгүүр, бусад техникийн болон гэр ахуйн төхөөрөмж гэх мэт үйлдвэрлэлд ашигладаг. Цилиндрийн талбайг тодорхойлохын тулд та үүнийг олох хэрэгтэй бүрэн гадаргуу. Заавар 1-ийн дагуу...
Хэрэв тодорхой хавтгайн хоёр талд хамаарах цэгүүд байгаа бол эзэлхүүнтэй дүрс(жишээ нь, олон талт), энэ онгоцыг таслагч онгоц гэж нэрлэж болно. Хоёр хэмжээст дүрс үүссэн нийтлэг цэгүүдхавтгай ба олон талт, энэ тохиолдолд ... гэж нэрлэдэг.
Цилиндр бол хязгаарлагдмал бие юм цилиндр гадаргуудугуй хэлбэртэй суурьтай. Энэ дүрс нь тэгш өнцөгтийг тэнхлэгээ тойрон эргүүлэх замаар үүсдэг. Тэнхлэгийн хэсэг нь цилиндр тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хэсэг бөгөөд энэ нь ...
Геометрийн асуудлыг шийдэхдээ дүрсүүдийн талбай, эзлэхүүнийг тооцоолох хэрэгтэй. Хэрэв та ямар нэгэн зураг дээр хэсэг хийсэн бол тухайн зургийн параметрийн талаархи мэдээлэлтэй бол энэ хэсгийн талбайг олох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд та тусгай томьёо мэдэж,...
Геометрийн олон асуудал нь геометрийн биеийн хөндлөн огтлолын талбайг тодорхойлоход суурилдаг. Хамгийн нийтлэг нэг геометрийн биетүүднь бөмбөрцөг бөгөөд түүний хөндлөн огтлолын талбайг тодорхойлох нь таныг янз бүрийн түвшний асуудлыг шийдвэрлэхэд бэлтгэж чадна ...
"A авах" видео хичээл нь амжилтанд хүрэхэд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнматематикийн хичээлээр 60-65 оноо авсан. 1-13 бүх асуудлыг бүрэн гүйцэд Профайл Улсын нэгдсэн шалгалтматематикт. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!
10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.
Бүгд шаардлагатай онол. Түргэн арга замуудшийдэл, бэрхшээл ба Улсын нэгдсэн шалгалтын нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.
Сургалтанд 5 орно том сэдвүүд, тус бүр 2.5 цаг. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.
Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн асуудалба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. онол, лавлах материал, Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Визуал тайлбар нарийн төвөгтэй ойлголтууд. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Шийдлийн үндэс нарийн төвөгтэй даалгаварУлсын нэгдсэн шалгалтын 2 хэсэг.
Параллелограммталууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгт юм.
Энэ зураг дээр эсрэг талуудба өнцгүүд нь хоорондоо тэнцүү байна. Параллелограммын диагональууд нэг цэгт огтолж, хоёр хэсэгт хуваагдана. Параллелограммын талбайн томъёо нь талууд, өндөр, диагональуудын утгыг олох боломжийг танд олгоно. Мөн онцгой тохиолдолд параллелограммыг үзүүлж болно. Тэдгээрийг тэгш өнцөгт, дөрвөлжин, ромбус гэж үздэг.
Нэгдүгээрт, параллелограммын талбайг өндрөөр болон түүнийг доошлуулсан талыг тооцоолох жишээг харцгаая.
Энэ хэргийг сонгодог гэж үздэг бөгөөд нэмэлт мөрдөн байцаалт шаарддаггүй. Хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тооцоолох томъёог авч үзэх нь дээр. Үүнтэй ижил аргыг тооцоололд ашигладаг. Хэрэв талууд ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөгдсөн бол талбайг дараах байдлаар тооцоолно. 
Бид a = 4 см, b = 6 см талуудтай параллелограммыг өгсөн гэж бодъё. Талбайг олцгооё: 
Диагональ дундуур параллелограммын талбай
Диагональ ашиглан параллелограммын талбайн томъёо нь утгыг хурдан олох боломжийг олгодог.
Тооцооллын хувьд диагональуудын хооронд байрлах өнцгийн хэмжээ хэрэгтэй болно.
Диагональ ашиглан параллелограммын талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. D = 7 см, d = 5 см диагональ бүхий параллелограммыг α = 30 ° гэж үзье. Өгөгдлийг томъёонд орлуулъя: 
Диагональ дундуур параллелограммын талбайг тооцоолох жишээг бидэнд өгсөн гайхалтай үр дүн – 8,75.
Диагональ дундуур параллелограммын талбайн томъёог мэдэж, олонлогийг шийдэж чадна сонирхолтой даалгавар. Тэдний нэгийг харцгаая.
Даалгавар: 92 квадрат метр талбайтай параллелограммыг өгсөн. F цэг нь түүний BC талын дунд байрладаг. Болъё талбайг олъётрапецын ADFB, энэ нь бидний параллелограмм дээр байх болно. Эхлээд нөхцөлийн дагуу хүлээн авсан бүх зүйлийг зуръя.
Шийдэл рүүгээ орцгооё: 
Бидний нөхцлийн дагуу ah =92, үүний дагуу трапецын талбай нь тэнцүү байх болно. 
