ТРИГОНОМЕТРИ– (Грек хэлнээс trigwnon – гурвалжин, метр – хэмжүүр) – гурвалжны өнцөг ба талуудын хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн шинжлэх ухаан. тригонометрийн функцууд.
"Тригонометр" гэсэн нэр томъёог 1595 онд Германы математикч, теологич, тригонометр, тригонометрийн хүснэгтийн сурах бичгийн зохиогч Бартоломью Питискус хэрэглэж эхэлсэн. 16-р зууны эцэс гэхэд. Ихэнх тригонометрийн функцууд аль хэдийн мэдэгдэж байсан боловч энэ ойлголт өөрөө хараахан байхгүй байсан.
Тригонометрийн хувьд гурван төрлийн хамаарал байдаг: 1) тригонометрийн функцүүдийн хооронд; 2) хавтгай гурвалжны элементүүдийн хооронд (хавтгай дээрх тригонометр); 3) бөмбөрцөг гурвалжны элементүүдийн хооронд, өөрөөр хэлбэл. Бөмбөрцөг дээр төвийг нь дайран өнгөрөх гурван хавтгайгаар сийлсэн дүрс. Тригонометр нь хамгийн төвөгтэй, бөмбөрцөг хэлбэртэй хэсгээс яг эхэлсэн. Энэ нь юуны түрүүнд практик хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй. Эртний хүмүүс хөдөлгөөнийг ажиглаж байв тэнгэрийн биетүүд. Эрдэмтэд календарь хөтөлж, тариалалт, ургац хураалт эхлэх цаг, шашны баяруудын өдрийг зөв тодорхойлохын тулд хэмжилтийн өгөгдлийг боловсруулжээ. Оддыг далайд хөлөг онгоцны байрлал эсвэл цөлд явж буй карваны хөдөлгөөний чиглэлийг тооцоолоход ашигласан. Ажиглалтууд дээр одтой тэнгэрЭрт дээр үеэс зурхайчид бас удирдаж ирсэн.
Мэдээжийн хэрэг, тэнгэр дэх гэрэлтүүлгийн байршилтай холбоотой бүх хэмжилтүүд нь шууд бус хэмжилтүүд юм. Шулуун шугамыг зөвхөн дэлхийн гадаргуу дээр зурах боломжтой байсан ч энд ч гэсэн зарим цэгийн хоорондох зайг шууд тодорхойлох боломжгүй байсан бөгөөд дараа нь тэд дахин чиглэв. шууд бус хэмжилт. Тухайлбал, өндөр нь мэдэгдэж байсан зарим нэг шонгийн сүүдрийн урттай харьцуулж модны өндрийг тооцоолжээ. Тэнгис дэх арлын хэмжээг ижил төстэй байдлаар тооцоолсон. Үүнтэй төстэй даалгаваруудТүүний зарим элементүүдийг бусдаар нь илэрхийлсэн гурвалжны шинжилгээнд хүрнэ үү. Үүнийг тригонометр хийдэг. Эртний хүмүүс одод, гаригуудыг тэнгэрийн бөмбөрцөг дээрх цэгүүд гэж үздэг байсан тул анх бөмбөрцөг хэлбэрийн тригонометр хөгжиж эхэлсэн. Энэ нь одон орон судлалын салбар гэж тооцогддог байв.
Мөн энэ бүхэн маш удаан хугацааны өмнө эхэлсэн. Тригонометрийн талаархи анхны хэсэгчилсэн мэдээлэл нь дөрвөлжин хэлбэртэй шахмал дээр хадгалагдан үлджээ Эртний Вавилон. Месопотамийн одон орон судлаачид Дэлхий ба Нарны байрлалыг урьдчилан таамаглаж сурсан бөгөөд Вавилончууд жижиг тооллын системийг ашигладаг байсан тул өнцгийг градус, минут, секундээр хэмжих систем бидэнд ирсэн юм.
Гэсэн хэдий ч анхны жинхэнэ чухал ололт нь эртний Грекийн эрдэмтдэд хамаарах байв. Жишээлбэл, хоёрдугаар номын 12, 13-р теоремууд ЭхэлсэнЕвклид (МЭӨ 4-3-р зууны сүүлч) косинусын теоремыг үндсэндээ илэрхийлдэг. 2-р зуунд. МЭӨ Никеагийн одон орон судлаач Гиппарх (МЭӨ 180-125) гурвалжингийн элементүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлох хүснэгтийг эмхэтгэсэн. Тригонометрийн функцуудын утгыг арифметик үйлдлүүдийг ашиглан аргументуудаас нь тооцоолох боломжгүй тул ийм хүснэгт хэрэгтэй. Тригонометрийн функцийг урьдчилан тооцоолж, хүснэгтэд хадгалах шаардлагатай байв. Гиппарх тойрог дотор тоолсон өгөгдсөн радиус 0-ээс 180° хүртэлх бүх өнцөгт тохирох хөвчний урт, 7.5°-ын үржвэр. Үндсэндээ энэ бол синусын хүснэгт юм. Гиппархын бүтээлүүд бидэнд хүрч ирээгүй боловч тэдгээрийн олон мэдээллийг багтаасан болно Алмагест(II зуун) - Грекийн одон орон судлаач, математикч Клаудиус Птолемей (МЭ 160 орчим нас барсан) 13 номонд багтсан алдартай бүтээл. Эртний Грекчүүд эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн хүснэгтийн оронд синус, косинус, шүргэгчийг мэддэггүй байсан бөгөөд тэдгээр нь нумын дагуух тойргийн хөвчийг олох боломжтой хүснэгтүүдийг ашигладаг байв. IN АлмагестЗохиогч нь 60 нэгжийн радиустай тойргийн хөвчүүдийн уртын хүснэгтийг нэг нэгжийн 1/3600 нарийвчлалтайгаар 0.5°-аар тооцоолж, энэ хүснэгтийг хэрхэн эмхэтгэсэн талаар тайлбарлав. Птолемейгийн бүтээл нь хэдэн зууны турш одон орон судлаачдад тригонометрийн танилцуулга болж байв.
Эртний эрдэмтэд хэрхэн эмхэтгэсэн болохыг ойлгохын тулд тригонометрийн хүснэгтүүд, та Птолемейгийн аргатай танилцах хэрэгтэй. Энэ арга нь теорем дээр суурилдаг - тойрог дотор бичсэн дөрвөн өнцөгтийн диагональуудын үржвэр нь түүний эсрэг талуудын бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна.
Болъё ABCDдөрвөлжин бичээстэй , МЭ -тойргийн диаметр ба цэг О– түүний төв (Зураг 1). Хэрэв та хөвчний доод өнцгийг хэрхэн тооцоолохыг мэддэг бол DOC= a ба DOB =б, өөрөөр хэлбэл тал CDба диагональ Б,тэгвэл Пифагорын теоремын дагуу тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас ADVТэгээд ADCолж болно AB ба AC,тэгээд Птолемейгийн теоремын дагуу, - МЭӨ = (АС· ВD – АВ· CD) /МЭ, өөрөөр хэлбэл өнцгийн дагуух хөвч VOS= б – а. 90, 60, 45°-ийн өнцөгт тохирох дөрвөлжин, ердийн зургаан өнцөгт, найман өнцөгтийн талууд зэрэг зарим хөвчийг тодорхойлоход хялбар байдаг. Энгийн таван өнцөгтийн тал нь бас мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь 72°-ийн нумыг хамардаг. Дээрх дүрэм нь эдгээр өнцгийн ялгааг, жишээлбэл 12 ° = 72 ° - 60 ° хооронд хөвчийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Нэмж дурдахад та хагас өнцгийн хөвчийг олж болно, гэхдээ эдгээр бүх өнцөг нь 3 ° -ын үржвэртэй учраас 1 ° нумын хөвч нь ямар хэмжээтэй тэнцүү болохыг тооцоолоход хангалтгүй юм. 1° хөвчний хувьд Птолемей тооцооллыг олсон бөгөөд энэ нь хөвчний 2/3-аас их (3/2)°, хөвчний 4/3-аас бага (3/4)° - хангалттай хэмжээтэй давхцаж буй хоёр тоо байна. түүний хүснэгтүүдийн нарийвчлал.
Хэрэв Грекчүүд хөвчийг өнцгөөс нь тооцдог байсан бол Энэтхэгийн одон орон судлаачид 4-5-р зууны бүтээлүүдэд бичсэн байдаг. давхар нумын хагас хордууд руу шилжсэн, i.e. яг синусын шугамууд хүртэл (Зураг 2). Тэд мөн косинусын шугамуудыг ашигласан - өөрөөр хэлбэл косинус өөрөө биш, харин дараа нь Европт "синус эсрэг" гэсэн нэрийг авсан "урвуу" синусыг одоо энэ функц 1 - cos-тэй тэнцүү байна a, ашиглахаа больсон. Дараа нь ижил арга барил нь тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын харьцаагаар тригонометрийн функцийг тодорхойлоход хүргэсэн.
Сегментийн хэмжилтийн нэгжид УИХ-ын гишүүн,OP,PAнумын минутыг авсан. Тэгэхээр нумын синус шугам AB= 90° тийм О.Б.- тойргийн радиус; нум AL, радиустай тэнцүү, агуулсан (дугуйрсан) 57°18" = 3438".
Бидэнд хүрч ирсэн Энэтхэгийн синусын хүснэгтүүд (хамгийн эртнийх нь МЭ 4-5-р зуунд эмхэтгэсэн) Птолемейкийнх шиг үнэн зөв биш юм; тэдгээр нь 3°45" интервалаар (жишээ нь квадрат нумын 1/24) бүрддэг.
"Синус" ба "косинус" гэсэн нэр томъёо нь индианчуудаас гаралтай боловч хачирхалтай үл ойлголцол биш юм. Индианчууд хагас хөвчийг "ардхажива" (санскрит хэлнээс "нумын утас" гэж орчуулсан) гэж нэрлээд дараа нь энэ үгийг "жива" гэж товчилсон. Энэтхэгчүүдээс тригонометрийн мэдлэгийг хүлээн авсан мусульман одон орон судлаачид, математикчид үүнийг "жиба" гэж хүлээн авч, дараа нь арабаар "гүдгэр", "синус" гэсэн утгатай "jaib" болж хувирав. Эцэст нь 7-р зуунд. "Жибе" гэдэг үгийг латинаар "синус" гэж шууд орчуулсан. , Энэ нь түүний илэрхийлж буй ойлголттой ямар ч холбоогүй юм. Санскрит "котижива" нь үлдсэн хэсгийн синус (90 ° хүртэл), Латин хэлээр энэ нь sinus complementi, i.e. синус нэмэлт, 17-р зуунд. "косинус" гэсэн үг болгон товчилсон. "Шүргэх" ба "секант" (Латин хэлнээс "шүргэх", "секант" гэсэн утгатай) нэрийг 1583 онд Германы эрдэмтэн Финк нэвтрүүлсэн.
Аль-Баттани (МЭ 900 он) зэрэг Арабын эрдэмтэд тригонометрийн хөгжилд асар их хувь нэмэр оруулсан. 10-р зуунд Абу-л-Вефа гэгддэг Багдадын эрдэмтэн Мухаммед Бужан (940-997) нь синус ба косинусын шугамд шүргэгч, котангенс, секант, косекантын шугамыг нэмж оруулсан. Тэр тэдэнд манай сурах бичигт байдагтай ижил тодорхойлолтуудыг өгдөг. Абул-Вефа мөн эдгээр мөрүүдийн хоорондын үндсэн харилцааг тогтоодог.
Тиймээс 10-р зууны эцэс гэхэд. Исламын ертөнцийн эрдэмтэд синус ба косинусын хамт шүргэгч, котангенс, секант, косекант гэсэн дөрвөн функцтэй аль хэдийн ажиллаж байсан; хавтгай ба бөмбөрцөг тригонометрийн хэд хэдэн чухал теоремуудыг олж, нотолсон; нэгж радиусын тойргийг ашигласан (энэ нь тригонометрийн функцийг тайлбарлах боломжийг олгосон орчин үеийн мэдрэмж); бөмбөрцөг гурвалжны туйлын гурвалжинг зохион бүтээжээ. Арабын математикчид 1"-ийн алхамтай, 1/700,000,000 нарийвчлалтай синус ба шүргэгчийн хүснэгт зэрэг нарийн хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Хэрэглээний маш чухал ажил бол өдөр тутмын таван залбиралд Мекка руу явах чиглэлийг тодорхойлж сурах явдал байв. мусульман байсан.
Ялангуяа их нөлөө үзүүлсэнтригонометрийн хөгжилд нөлөөлсөн Бүрэн дөрвөлжингийн тухай трактТусийн одон орон судлаач Насир-эд-Дин (1201–1274), мөн ат-Туси гэгддэг. Энэ нь тригонометрийг математикийн бие даасан салбар болгон авч үзсэн дэлхийн анхны ажил байв.
12-р зуунд -аас шилжүүлсэн АрабЛатин цуврал руу одон орны бүтээлүүд, тэдний хэлснээр европчууд анх тригонометртэй танилцсан.
Насир-эд-Диний зохиол нь Германы одон орон судлаач, математикч Иоганн Мюллерт (1436–1476) маш их сэтгэгдэл төрүүлсэн. Түүний үеийнхэн түүнийг Региомонтана гэдэг нэрээр илүү сайн мэддэг байсан (орчуулснаар Латин нэртүүний төрөлх хотКоенигсберг, одоогийн Калининград). Региомонтан нь синусын өргөн хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн (1 минутын дотор, долоо дахь нарийвчлалтай) чухал үзүүлэлт). Тэрээр анх удаа радиусын хүйсийн хуваалтаас хазайж, радиусын арван саяны нэгийг синусын шугамын хэмжүүр болгон авчээ. Тиймээс синусыг хүйсийн жижиг бутархай биш харин бүхэл тоогоор илэрхийлсэн. Танилцуулгын өмнө аравтын бутархайГанцхан алхам үлдсэн ч 100 гаруй жил болсон. Хөдөлмөрийн бүс нутаг Бүх төрлийн гурвалжингийн тухай таван номЛалын орнуудын шинжлэх ухаанд Насир-эд-Диний бүтээл шиг Европын математикт ижил үүрэг гүйцэтгэсэн.
Regiomontanus-ийн хүснэгтүүдийг бусад хэд хэдэн, бүр илүү нарийвчилсан хүснэгтүүд дагажээ. Коперникийн найз Ретикус (1514-1576) хэд хэдэн туслахынхаа хамт 30 жилийн турш өөрийн шавь Оттогийн 1596 онд бөглөж хэвлүүлсэн хүснэгтүүд дээр ажилласан. Өнцөг нь 10 ""-ээр дамжсан бөгөөд радиус нь 1,000,000,000,000,000 хэсэгт хуваагдсан тул синусууд 15 зөв цифртэй болсон.
Тригонометрийн цаашдын хөгжил нь томьёог хуримтлуулах, системчлэх, үндсэн ойлголтуудыг тодруулах, нэр томъёо, тэмдэглэгээг хөгжүүлэх замаар явав. Европын олон математикчид тригонометрийн чиглэлээр ажиллаж байсан. Тэдний дунд Николай Коперник (1473–1543), Тихо Брахе (1546–1601), Иоганнес Кеплер (1571–1630) зэрэг агуу эрдэмтэд бий. Франсуа Вьет (1540-1603) хавтгай ба бөмбөрцөг гурвалжныг шийдвэрлэх янз бүрийн тохиолдлуудыг нэмж, системчилж, "хавтгай" косинусын теорем, олон өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн томъёог нээсэн. Исаак Ньютон (1643-1727) эдгээр функцийг цуврал болгон өргөжүүлж, математикийн шинжилгээнд ашиглах замыг зассан. Леонхард Эйлер (1707-1783) функцийн тухай ойлголт болон өнөө үед хүлээн зөвшөөрөгдсөн бэлгэдлийн утгыг хоёуланг нь нэвтрүүлсэн. Тоо хэмжээ нүгэл x, cos xгэх мэт. тэр тооны функц гэж үздэг x– харгалзах өнцгийн радиан хэмжүүр. Эйлер дугаар өгсөн xбүх төрлийн утга: эерэг, сөрөг, бүр төвөгтэй. Тэрээр мөн тригонометрийн функц ба экспонентийн хоорондын холбоог олж мэдсэн нарийн төвөгтэй аргумент, энэ нь олон тооны, ихэвчлэн маш нарийн төвөгтэй тригонометрийн томъёог нэмэх, үржүүлэх дүрмээс энгийн үр дагавар болгон хувиргах боломжийг олгосон. нийлмэл тоо. Тэрээр мөн урвуу тригонометрийн функцуудыг нэвтрүүлсэн.
18-р зууны эцэс гэхэд. тригонометр нь шинжлэх ухааны хувьд аль хэдийн төлөвшсөн. Тригонометрийн функцууд нь математик анализ, физик, хими, инженерчлэлд - акустик, оптик эсвэл дүүжин савлуур гэх мэт үе үе үйл явц, хэлбэлзэлтэй тулгардаг газар бүрт хэрэглэгдэх болсон.
Аливаа гурвалжныг шийдэх нь эцсийн дүндээ тэгш өнцөгт гурвалжныг (жишээ нь аль нэг өнцөг нь тэгш өнцөгт байгаа гурвалжингуудыг) шийдэхэд хүргэдэг. Өгөгдсөн хурц өнцөг бүхий бүх тэгш өнцөгт гурвалжнууд хоорондоо төстэй тул тэдгээрийн талуудын харьцаа ижил байна. Жишээлбэл, in зөв гурвалжин ABCтүүний хоёр талын харьцаа, жишээлбэл, хөл Агипотенуз руу -тай, жишээлбэл, хурц өнцгийн аль нэгний хэмжээнээс хамаарна А. Тэгш өнцөгт гурвалжны янз бүрийн хос талуудын харьцааг нэрлэдэг тригонометрийн функцуудтүүний хурц өнцөг. Гурвалжинд зургаан ийм харилцаа байдаг бөгөөд зургаан тригонометрийн функц нь тэдгээртэй тохирч байна (Зураг 3-т гурвалжны талууд ба өнцгийн тэмдэглэгээ).
Учир нь А + IN= 90°, тэгвэл
нүгэл А= cos Б= cos(90° – А),
А=ctg Б= ctg (90° - А).
Тодорхойлолтоос харахад ижил өнцгийн тригонометрийн функцуудыг хооронд нь холбосон хэд хэдэн тэгшитгэлүүд гарч ирэв.
Пифагорын теоремыг харгалзан үзэх а 2 + б 2 = в 2, та бүх зургаан функцийг зөвхөн нэгээр нь илэрхийлж болно. Жишээлбэл, синус ба косинус нь тригонометрийн үндсэн шинж чанараар холбоотой байдаг
нүгэл 2 А+ cos 2 А = 1.
Функц хоорондын зарим хамаарал:
Эдгээр томьёо нь аль ч өнцгийн тригонометрийн функцэд хүчинтэй боловч баруун болон зүүн тал нь байж болох тул болгоомжтой ашиглах ёстой. өөр өөр газар нутагтодорхойлолтууд.
Зөвхөн "сайн" өнцөгтэй хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин байдаг (бүхэл тоогоор илэрхийлсэн эсвэл оновчтой тоозэрэг), талуудын харилцааны дор хаяж нэг нь оновчтой байна. Энэ тэгш өнцөгт гурвалжин(45, 45 ба 90 ° өнцгөөр) ба хагас тэгш талт гурвалжин(30, 60, 90 ° өнцгөөр) - эдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн утгыг тодорхойлолтоор шууд тооцоолох боломжтой хоёр тохиолдол юм. Эдгээр утгыг хүснэгтэд үзүүлэв
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Булан | 0 | 30° | 45° | 60° | 90° |
| нүгэл | |||||
| cos | |||||
| тг | |||||
| ctg |
Синусын теоремд орсон харилцаанууд нь энгийн байдаг геометрийн утга. Хэрэв та гурвалжны эргэн тойронд тойрог дүрслэх юм бол ABC(Зураг 4) ба диаметрийг зур Б.Д, дараа нь P бичээстэй өнцгийн теоремоор BCD= П Аэсвэл хэрэв өнцөг нь мохоо бол 180° - А. Ямар ч байсан а = МЭӨ = Б.Днүгэл А = 2 Рнүгэл Аэсвэл Хаана Р– гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн радиус ABC. Энэ бол эртний хүмүүсийн хөвчний хүснэгтүүд яагаад үндсэндээ синусын хүснэгт байсныг тайлбарласан "бэхжүүлсэн" синусын теорем юм.
Косинусын теорем бас батлагдсан -тай 2 = А 2 + б 2 – 2ab cos ХАМТ. нөгөө хоёр талаас нь гурвалжны тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг, мөн гурван талын өнцгийг олох боломжийг танд олгоно. Жишээлбэл, гурвалжны элементүүдийн хооронд хэд хэдэн өөр харилцаа байдаг. шүргэгч теорем: хаана cos(а + б ) = cos a cos b – гэм нүгэл б, cos(а – б) = cos a cos b + гэм нүгэл б. Тригонометрийн функцүүдийн ерөнхий тодорхойлолт Цэгийг нэгжийн хурдаар хөдөлгө нэгж тойроггарал үүсэл дээр төвлөрсөн ТУХАЙцагийн зүүний эсрэг (Зураг 5). Одоогоор т= 0 оноо P0(1; 0). Тухайн үед турттай нумыг дамжин өнгөрдөг тмөн байр сууриа эзэлдэг П т, Энэ нь туяа энэ цэг рүү чиглэсэн өнцөг гэсэн үг ТУХАЙ, мөн тэнцүү байна т.Тиймээс бид цаг мөч бүрийг цаг хугацааны хувьд харьцуулдаг, өөрөөр хэлбэл. цэг тбодит шугам, цэг П тнэгж тойрог.
Тойрог дээр зурсан шугамыг заримдаа "ороомог" гэж нэрлэдэг. Хэрэв та төсөөлж байгаа бол бодит тэнхлэгтөгсгөлгүй сунадаггүй утас хэлбэрээр цэгийг хавсаргана t = 0 цэг хүртэл P0дугуйлж, утаснуудын хоёр үзүүрийг тойрог, дараа нь цэг бүрээр ороож эхэлнэ тгазар цохих болно П т. Энэ тохиолдолд: 1) тэнхлэгийн цэгүүд бие биенээсээ бүхэл тооны тойргийн уртаар, өөрөөр хэлбэл 2-оор зайтай байна pk(к=±1, ±2, …), тойрог дээрх ижил цэг дээр унах; 2) оноо тТэгээд –т-тай харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгүүдэд унах Үхэр; 3) 0 Ј үед тЈ хбулан П 0 OP тхагас хавтгайд байрлуулсан цагт i 0 ба тэнцүү т(Зураг 8).
Эдгээр гурван нөхцөл нь ийм зураглал - ороомгийн албан ёсны тодорхойлолтыг бүрдүүлдэг. 3-р нөхцөлийн улмаас 0 = тЈ х p цэгийн координатууд нь (cos т,нүгэл т). Энэ ажиглалткосинус ба синус гэсэн тодорхойлолтыг өгөхөд хүргэдэг ямар ч тоо тцэгийн абсцисс ба ординатыг тус тус дуудна П т. Тангенсыг мөн координатаар тодорхойлж болно. (1; 0) цэг дээр нэгж тойрог руу шүргэгч зуръя (Зураг 7). Үүнийг шүргэгч тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Цэг Q tшулуун шугамын огтлолцол OP тшүргэгч тэнхлэгтэй координатууд (1; нүгэл т/cos т), түүний ординат нь тодорхойлолтоор tg-тэй тэнцүү байна т. By үнэмлэхүй үнэ цэнэ-аас татсан шүргэгч сегментийн урт Q tтойрог руу. Тиймээс "шүргэх" нэр нь бүрэн үндэслэлтэй юм. Дашрамд хэлэхэд, секант шиг: Зураг дээр. 9 сек т- сегмент OQ t,Гэсэн хэдий ч энэ нь бүхэл бүтэн хэсэг биш, харин түүний нэг хэсэг юм. Эцэст нь котангенсыг огтлолцох цэгийн абсцисса гэж тодорхойлж болно OP ткотангентын тэнхлэгтэй – (0, 1) цэг дээрх нэгж тойрогт шүргэгч: ctg т= cos т/нүгэл т.
Одоо бүх тоонуудын хувьд тригонометрийн функцууд тодорхойлогддог. Марина Федосова |
align=center>
Тригонометр- гурвалжны өнцгийн утга ба талуудын уртын хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн бичил хэсэг, түүнчлэн тригонометрийн функцүүдийн алгебрийн таних тэмдэг.
Тригонометр, тригонометрийн функцийг ашигладаг олон салбар байдаг. Тригонометр буюу тригонометрийн функцийг одон орон судлал, далай, агаарын навигаци, акустик, оптик, электроник, архитектур болон бусад салбарт ашигладаг.
Тригонометрийн үүссэн түүх
Гурвалжны өнцөг ба талуудын хоорондын хамаарлын шинжлэх ухаан болох тригонометрийн түүх ба бусад геометрийн хэлбэрүүд, хоёр мянга гаруй жилийг хамардаг. Эдгээр харилцааны ихэнхийг энгийн алгебрийн үйлдлүүдийг ашиглан илэрхийлэх боломжгүй тул эхлээд тоон хүснэгт хэлбэрээр үзүүлсэн тусгай тригонометрийн функцуудыг нэвтрүүлэх шаардлагатай болсон.
Тригонометрийг эртний одон орон судлаачид бүтээсэн гэж түүхчид үздэг бөгөөд хэсэг хугацааны дараа үүнийг архитектурт ашиглаж эхэлсэн. Цаг хугацаа өнгөрөхөд тригонометрийн цар хүрээ байнга өргөжиж, өнөөдөр бараг бүх зүйлийг багтаадаг. байгалийн шинжлэх ухаан, технологи болон бусад хэд хэдэн үйл ажиллагааны чиглэлүүд.
Эрт зуунууд
Өнцгийн хэмжилтийг градус, минут, секундээр мэддэг байсан нь Вавилоны математикаас гаралтай (эдгээр нэгжийг эртний Грекийн математикт оруулсан нь ихэвчлэн МЭӨ 2-р зуунтай холбоотой байдаг).
Энэ үеийн гол ололт нь тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хөл ба гипотенузын хоорондын хамаарал байсан бөгөөд үүнийг хожим Пифагорын теорем гэж нэрлэх болсон.
Эртний Грек
Ерөнхий ба логик уялдаатай танилцуулга тригонометрийн харьцааЭртний Грекийн геометрт гарч ирсэн. Грекийн математикчид тригонометрийг тусдаа шинжлэх ухаан гэж хараахан тогтоогоогүй байсан;
Эртний үеийн гол ололт тригонометрийн онолонд шийдвэр болсон ерөнхий үзэл"гурвалжныг шийдэх" асуудал, өөрөөр хэлбэл гурвалжны үл мэдэгдэх элементүүдийг олох гурван өгсөнтүүний элементүүд (ядаж нэг нь тал нь).
Хэрэглэсэн тригонометрийн асуудлуудЭдгээр нь маш олон янз байдаг - жишээлбэл, жагсаасан хэмжигдэхүүнүүдийн үйл ажиллагааны бараг хэмжигдэхүйц үр дүнг тодорхойлж болно (жишээлбэл, өнцгийн нийлбэр эсвэл талуудын уртын харьцаа).
Онгоцны тригонометрийг хөгжүүлэхтэй зэрэгцэн Грекчүүд одон орон судлалын нөлөөн дор бөмбөрцөг хэлбэрийн тригонометрийг ихээхэн хөгжүүлсэн. Евклидийн элементүүдэд янз бүрийн диаметртэй бөмбөрцгийн эзлэхүүний харьцааны тухай энэ сэдвээр зөвхөн теорем байдаг боловч одон орон судлал, зураг зүйн хэрэгцээ нь бөмбөрцөг тригонометрийн хурдацтай хөгжилд хүргэсэн бөгөөд түүнтэй холбоотой салбарууд - селестиел координатын систем, онолууд. газрын зургийн төсөөлөл, одон орны багаж хэрэгслийн технологи.
Дундад зууны үе
4-р зуунд эртний шинжлэх ухаан нас барсны дараа математикийн хөгжлийн төв Энэтхэг рүү нүүжээ. Тэд тригонометрийн зарим ойлголтыг өөрчилж, орчин үеийнхтэй ойртуулсан: жишээлбэл, тэд анх удаа косинусыг хэрэглээнд нэвтрүүлсэн.
Тригонометрийн анхны төрөлжсөн шинжлэх ухаан нь Төв Азийн эрдэмтэн (X-XI зуун) "Одон орон судлалын шинжлэх ухааны түлхүүрүүдийн ном" (995-996) бүтээл юм. Тригонометрийн хичээлийг бүхэлд нь багтаасан үндсэн ажилАль-Бируни - "Масудын хууль" (III дэвтэр). Аль-Бируни синусын хүснэгтүүдээс гадна (15 инчийн өсөлтөөр) шүргэгчийн хүснэгтүүдийг (1°-ийн өсөлтөөр) өгсөн.
Арабын түүхүүд орж ирсний дараа XII-XIII зуунЛатин хэл рүү хөрвүүлснээр Энэтхэг, Персийн математикчдын олон санаа Европын шинжлэх ухааны өмч болжээ. Европчуудыг тригонометрийн анхны танил нь 12-р зуунд хоёр орчуулга хийсэн зижийн ачаар болсон бололтой.
Тригонометрт бүрэн зориулагдсан Европын анхны бүтээлийг Английн одон орон судлаач Уоллингфордын Ричард (ойролцоогоор 1320) "Шууд ба урвуу хөвчний тухай дөрвөн зохиол" гэж нэрлэдэг. Тригонометрийн хүснэгтүүд нь ихэвчлэн араб хэлнээс орчуулагддаг, гэхдээ заримдаа эх хувь нь 14-15-р зууны бусад олон зохиолчдын бүтээлүүдэд агуулагддаг. Үүний зэрэгцээ тригонометр нь их сургуулийн хичээлүүдийн дунд байр сууриа эзэлжээ.
Шинэ цаг
Орчин үеийн тригонометрийн хөгжил нь зөвхөн одон орон судлал, зурхайн ухаанд төдийгүй бусад хэрэглээ, ялангуяа их буу, оптик, алсын зайн навигацийн хувьд маш чухал болсон. далайн аялал. Тиймээс 16-р зууны дараа Николаус Коперник, Иоганнес Кеплер, Франсуа Виет зэрэг олон шилдэг эрдэмтэд энэ сэдвийг судалжээ. Коперник "Эргэлтийн тухай" зохиолдоо тригонометрийн хоёр бүлгийг зориулжээ. тэнгэрийн бөмбөрцөг"(1543). Удалгүй (1551) Коперникийн шавь Ретикусын 15 оронтой тригонометрийн хүснэгтүүд гарч ирэв. Кеплер "Одон орон судлалын оптик хэсэг" (1604) хэвлүүлсэн.
Виет "Математикийн канон"-ын эхний хэсэгт (1579) янз бүрийн хүснэгтүүд, тэр дундаа тригонометрийн хүснэгтүүдийг багтаасан бөгөөд хоёрдугаар хэсэгт тэрээр хавтгай ба бөмбөрцөг тригонометрийн талаар нарийвчилсан, системчилсэн боловч нотлох баримтгүй танилцуулсан болно. 1593 онд Вьетнам энэ томоохон бүтээлийн өргөтгөсөн хэвлэлийг бэлтгэв.
Альбрехт Дюрерийн бүтээлүүдийн ачаар синус долгион үүссэн.
XVIII зуун
Тригонометр нь орчин үеийн дүр төрхийг өгсөн. Эйлер "Хязгааргүй байдлын шинжилгээний танилцуулга" (1748) зохиолдоо орчин үеийнхтэй дүйцэхүйц тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг өгч, үүний дагуу урвуу функцуудыг тодорхойлсон.
Эйлер сөрөг өнцөг ба 360°-аас их өнцгийг зөвшөөрөгдөх боломжтой гэж үзсэн нь тригонометрийн функцийг бүхэл бүтэн бодит тооны шулуун дээр тодорхойлж, дараа нь үргэлжлүүлэх боломжтой болгосон. нарийн төвөгтэй хавтгай. Тригонометрийн функцийг мохоо өнцгөөр өргөтгөх тухай асуулт гарч ирэхэд Эйлерээс өмнөх эдгээр функцүүдийн шинж тэмдгүүд нь ихэвчлэн буруу сонгогдсон; Олон математикчид жишээлбэл, косинус ба тангенсыг авч үзсэн мохоо өнцөгэерэг. Эйлер бууралтын томъёонд үндэслэн өөр өөр координатын квадрат дахь өнцгийн эдгээр тэмдгүүдийг тодорхойлсон.
Ерөнхий онол тригонометрийн цувралЭйлер үүссэн цувралын нийлэлтийг судлаагүй бөгөөд судлаагүй боловч хэд хэдэн зүйлийг олж авсан чухал үр дүн. Тэр тусмаа синусын болон косинусын бүхэл тоонуудын өргөтгөлүүдийг гаргаж авсан.
Тригонометрийн хэрэглээ
Тригонометр гэж хэлдэг хүмүүс бодит амьдралшаардлагагүй. За, түүний ердийн хэрэглээний даалгавар юу вэ? Хүрэх боломжгүй объектуудын хоорондох зайг хэмжинэ.
Одон орон судлалын ойролцоох одод хүртэлх зай, газарзүйн тэмдэглэгээний хоорондох зайг хэмжих, хиймэл дагуулын навигацийн системийг хянах боломжийг олгодог гурвалжингийн техник нь маш чухал юм. Тригонометрийг навигацийн технологи, хөгжмийн онол, акустик, оптик, санхүүгийн зах зээлийн шинжилгээ, электроник, магадлалын онол, статистик, биологи, анагаах ухаан (хэт авиан болон компьютерийн томограф зэрэг), эм зүй, хими, тооны онол зэрэг салбарт ашиглах нь анхаарал татаж байна. Үүний үр дүнд криптографи), сейсмологи, цаг уур, далай судлал, зураг зүй, физикийн олон салбар, байр зүй ба геодези, архитектур, фонетик, эдийн засаг, электрон инженерчлэл, механик инженерчлэл, компьютер график, талстографи гэх мэт.
Дүгнэлт:Тригонометр бол бидний хувьд маш том туслагч юм өдөр тутмын амьдрал.
Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлсон. тригонометрийн томъёо. Тригонометрийн функцүүдийн хооронд маш олон холболт байдаг тул энэ нь тригонометрийн томъёоны элбэг дэлбэг байдлыг тайлбарлаж байна. Зарим томьёо нь ижил өнцгийн тригонометрийн функцуудыг холбодог, бусад нь олон өнцгийн функцуудыг холбодог, бусад нь градусыг багасгах боломжийг олгодог, дөрөвдүгээрт - бүх функцийг хагас өнцгийн тангенсаар илэрхийлэх гэх мэт.
Энэ нийтлэлд бид тригонометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай бүх үндсэн тригонометрийн томьёог дарааллаар нь жагсаах болно. Цээжлэх, ашиглахад хялбар болгох үүднээс бид тэдгээрийг зориулалтын дагуу бүлэглэж, хүснэгтэд оруулна.
Хуудасны навигаци.
Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд
Үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдал Нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс хоорондын хамаарлыг тодорхойлох. Эдгээр нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт, мөн нэгж тойргийн тухай ойлголтоос үүдэлтэй. Эдгээр нь нэг тригонометрийн функцийг өөр ямар ч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог.
Эдгээр тригонометрийн томьёо, тэдгээрийн гарал үүсэл, хэрэглээний жишээнүүдийн дэлгэрэнгүй тайлбарыг нийтлэлээс үзнэ үү.
Бууруулах томъёо
Бууруулах томъёосинус, косинус, тангенс ба котангенсийн шинж чанаруудаас дагах, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанар, тэгш хэмийн шинж чанар, түүнчлэн шилжилтийн шинж чанарыг тусгадаг. өгөгдсөн өнцөг. Эдгээр тригонометрийн томъёо нь танд ажиллах боломжийг олгодог дурын өнцөгтэгээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжинэ.
Эдгээр томъёоны үндэслэл, тэдгээрийг цээжлэх мнемоник дүрэм, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг нийтлэлээс судалж болно.
Нэмэлт томъёо
Тригонометрийн нэмэх томъёоХоёр өнцгийн нийлбэр эсвэл зөрүүний тригонометрийн функцууд тэдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр томьёо нь дараах тригонометрийн томьёог гаргах үндэс болдог.
Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг
Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг (тэдгээрийг олон өнцгийн томъёо гэж нэрлэдэг) нь давхар, гурвалсан гэх мэт тригонометрийн функцуудыг хэрхэн харуулдаг. өнцөг () нь нэг өнцгийн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. Тэдний гарал үүсэл нь нэмэлт томъёонд суурилдаг.
Илүү нарийвчилсан мэдээллийг нийтлэлийн томъёонд давхар, гурав дахин гэх мэтээр цуглуулсан болно. өнцөг
Хагас өнцгийн томъёо
Хагас өнцгийн томъёоХагас өнцгийн тригонометрийн функцүүд бүхэл өнцгийн косинусаар хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр тригонометрийн томьёо нь томьёоны дагуу гардаг давхар өнцөг.
Тэдний дүгнэлт, хэрэглээний жишээг нийтлэлээс олж болно.
Зэрэг бууруулах томъёо
Зэрэг бууруулах тригонометрийн томъёо-аас шилжилтийг хөнгөвчлөх зорилготой юм байгалийн зэрэгтригонометрийн функцууд нь синус ба косинусыг нэгдүгээр зэрэгтэй, гэхдээ олон өнцөгт. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн хүчийг эхнийх хүртэл багасгах боломжийг олгодог.
Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёо
Гол зорилго тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёохялбаршуулах үед маш хэрэгтэй функцүүдийн бүтээгдэхүүн рүү очих явдал юм тригонометрийн илэрхийллүүд. Эдгээр томъёог шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг тригонометрийн тэгшитгэл, учир нь тэдгээр нь синус ба косинусын нийлбэр ба зөрүүг хүчин зүйлээр тооцох боломжийг олгодог.
Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёо
Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрээс нийлбэр эсвэл зөрүү рүү шилжих шилжилтийг синус, косинус, синусыг косинусаар үржүүлэх томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ.
cleverstudents зохиогчийн эрх
Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр www.site-ын аль ч хэсгийг, түүний дотор дотоод материал, гадаад төрхийг ямар ч хэлбэрээр хуулбарлаж, ашиглахыг хориглоно.
Тригонометрийн түүх нь одон орон судлалтай салшгүй холбоотой, учир нь энэ шинжлэх ухааны асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд эртний эрдэмтэд харилцаа холбоог судалж эхэлсэн. янз бүрийн хэмжээтэйгурвалжинд.
Өнөөдөр тригонометр бол гурвалжны талуудын өнцөг ба уртын утгуудын хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн бичил салбар бөгөөд тригонометрийн функцүүдийн алгебрийн ижил төстэй байдлын шинжилгээг хийдэг.
"Тригонометр" гэсэн нэр томъёо
Математикийн энэ салбарыг нэрлэсэн нэр томьёо өөрөө анх 1505 онд Германы математикч Питискусын бичсэн номын гарчигнаас нээсэн юм. "Тригонометр" гэсэн үг байдаг Грек гаралтай"гурвалжин хэмжих" гэсэн утгатай. Илүү нарийн яривал бид ярьж байнаЭнэ дүрсийг шууд хэмжих тухай биш, харин түүний шийдлийн тухай, өөрөөр хэлбэл мэдэгдэж буй элементүүдийн тусламжтайгаар түүний үл мэдэгдэх элементүүдийн утгыг тодорхойлох.
Тригонометрийн талаархи ерөнхий мэдээлэл
Тригонометрийн түүх хоёр мянга гаруй жилийн өмнө эхэлсэн. Эхэндээ түүний үүсэх нь гурвалжны өнцөг ба талуудын хоорондын хамаарлыг тодруулах шаардлагатай холбоотой байв. Судалгааны явцад энэ нь тогтоогдсон математик илэрхийлэлЭдгээр харилцаа нь тусгай тригонометрийн функцуудыг нэвтрүүлэхийг шаарддаг бөгөөд эдгээр нь анх тоон хүснэгт хэлбэрээр хийгдсэн байдаг.
Математиктэй холбоотой олон шинжлэх ухааны хувьд хөгжлийн түлхэц нь тригонометрийн түүх байв. Эртний Вавилоны эрдэмтдийн судалгаатай холбоотой өнцгийн (градус) хэмжилтийн нэгжийн гарал үүсэл нь олон тооны хэрэглээний шинжлэх ухаанд хэрэглэгддэг орчин үеийн аравтын тооллын системийг бий болгосон сексийн тооллын системд суурилдаг.
Тригонометр нь анх одон орон судлалын нэг хэсэг болж байсан гэж үздэг. Дараа нь архитектурт ашиглагдаж эхэлсэн. Цаг хугацаа өнгөрөхөд энэ шинжлэх ухааныг ашиглах нь зүйтэй болов янз бүрийн бүс нутаг хүний үйл ажиллагаа. Эдгээр нь одон орон судлал, далайн болон агаарын навигаци, акустик, оптик, электроник, архитектур болон бусад зүйл юм.
Эрт зууны тригонометр
Эрдэмтэд үлдсэн шинжлэх ухааны дурсгалуудын талаархи мэдээллийг удирдан чиглүүлж, судлаачид тригонометрийн түүх нь гурвалжин (бөмбөрцөг) -ийг шийдэх арга замыг хайж байсан Грекийн одон орон судлаач Гиппархын ажилтай холбоотой гэж дүгнэжээ. Түүний бүтээлүүд МЭӨ 2-р зуунаас эхтэй.
Мөн нэг хамгийн чухал амжилтуудЭдгээр цагууд нь тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хөл ба гипотенузын хоорондын хамаарлыг тодорхойлох явдал бөгөөд хожим нь Пифагорын теорем гэж нэрлэгддэг болсон.
Тригонометрийн хөгжлийн түүх Эртний ГрекКоперникээс өмнө давамгайлж байсан геоцентрик онолын зохиогч одон орон судлаач Птолемейгийн нэртэй холбоотой.
Грекийн одон орон судлаачид синус, косинус, шүргэгчийг мэддэггүй байв. Тэд тойргийн хөвчний утгыг дэд нум ашиглан олох боломжийг олгодог хүснэгтүүдийг ашигласан. Хөвчийг хэмжих нэгж нь градус, минут, секунд байв. Нэг градус нь радиусын жаран нэгтэй тэнцүү байв.
Мөн эртний Грекчүүдийн судалгаа нь бөмбөрцөг тригонометрийн хөгжлийг ахиулсан. Ялангуяа Евклид "Зарчмууд"-даа янз бүрийн диаметртэй бөмбөлгүүдийн эзэлхүүнүүдийн хоорондын хамаарлын тухай теоремыг өгдөг. Түүний энэ чиглэлээр хийсэн бүтээлүүд нь холбогдох мэдлэгийг хөгжүүлэхэд түлхэц болсон юм. Энэ нь ялангуяа одон орны багаж хэрэгслийн технологи, газрын зургийн проекцын онол, селестиел координатын систем гэх мэт.
Дундад зуун: Энэтхэгийн эрдэмтдийн судалгаа
Энэтхэгийн дундад зууны одон орон судлаачид ихээхэн амжилтанд хүрсэн. 4-р зуунд эртний шинжлэх ухааны үхэл нь математикийн хөгжлийн төвийг Энэтхэг рүү шилжүүлэхэд хүргэсэн.
Тригонометрийг математикийн сургалтын тусдаа хэсэг болгон бий болгосон түүх Дундад зууны үеэс эхэлсэн. Тэр үед эрдэмтэд хөвчийг синусаар сольсон. Энэхүү нээлт нь талууд ба өнцгийг судлахтай холбоотой функцүүдийг нэвтрүүлэх боломжийг олгосон бөгөөд өөрөөр хэлбэл тригонометр нь одон орон судлалаас салж, математикийн салбар болж хувирсан юм.
Арьябата синусын эхний хүснэгтүүдийг 3 o, 4 o, 5 o-оор зурсан; Хожим нь хүснэгтүүдийн нарийвчилсан хувилбарууд гарч ирэв: ялангуяа Бхаскара 1 о дахь синусын хүснэгтийг өгсөн.
Тригонометрийн талаархи анхны тусгай зохиол 10-11-р зуунд гарч ирэв. Зохиогч нь Төв Азийн эрдэмтэн Аль-Бируни байв. Дундад зууны зохиолч "Масъудын жаяг" (III дэвтэр) хэмээх үндсэн бүтээлдээ тригонометрийн талаар илүү гүнзгий нэвтэрч, синусын хүснэгт (15 инчийн алхамаар) болон шүргэгчийн хүснэгтийг (1°-ийн өсөлтөөр) өгчээ. ).
Европ дахь тригонометрийн хөгжлийн түүх
Араб хэл дээрх зохиолуудыг латин хэл рүү орчуулсны дараа (XII-XIII зуун) Энэтхэг, Персийн эрдэмтдийн ихэнх санааг Европын шинжлэх ухаан зээлж авсан. Европт тригонометрийн тухай анх дурдсан нь 12-р зуунаас эхтэй.
Судлаачдын үзэж байгаагаар Европ дахь тригонометрийн түүх нь "Шууд ба урвуу хөвчний тухай дөрвөн зохиол" эссений зохиогч болсон Английн Ричард Уоллингфордын нэртэй холбоотой юм. Энэ бол түүний ажил нь тригонометрт бүрэн зориулагдсан анхны ажил болсон юм. 15-р зуун гэхэд олон зохиолч тригонометрийн функцийг бүтээлдээ дурдсан байдаг.
Тригонометрийн түүх: Орчин үеийн цаг
Орчин үед ихэнх эрдэмтэд тригонометрийн онцгой ач холбогдлыг зөвхөн одон орон судлал, зурхайн ухаанд төдийгүй амьдралын бусад салбарт ч ойлгож эхэлжээ. Энэ бол юуны түрүүнд их буу, оптик, алсын зайн навигаци юм далайн аялал. Тиймээс 16-р зууны хоёрдугаар хагаст энэ сэдэв олон хүмүүсийн сонирхлыг татав шилдэг хүмүүстэр үеийн, түүний дотор Николаус Коперник, Франсуа Вьета. Коперник "Тэнгэрийн бөмбөрцгийн эргэлтийн тухай" (1543) зохиолдоо тригонометрийн хэд хэдэн бүлгийг зориулжээ. Хэсэг хугацааны дараа, 16-р зууны 60-аад онд Коперникийн оюутан Ретикус "Одон орон судлалын оптик хэсэг" хэмээх бүтээлдээ арван таван оронтой тригонометрийн хүснэгтүүдийг иш татжээ.
"Математикийн канон" (1579) -д тэрээр хавтгай ба бөмбөрцөг тригонометрийн нарийвчилсан, системчилсэн боловч нотлогдоогүй шинж чанарыг өгдөг. Альбрехт Дюрер бол синус долгионыг бий болгосон хүн юм.
Леонхард Эйлерийн гавьяа
Тригонометр өгөх орчин үеийн агуулгамөн төрөл зүйл нь Леонхард Эйлерийн гавьяа байв. Түүний "Хязгааргүй байдлын шинжилгээний танилцуулга" (1748) зохиол нь орчин үеийнхтэй дүйцэхүйц "тригонометрийн функц" гэсэн нэр томъёоны тодорхойлолтыг агуулдаг. Тиймээс энэ эрдэмтэн тодорхойлж чадсан боловч энэ нь бүгд биш юм.
Бүх тооны шулуун дээрх тригонометрийн функцийг тодорхойлох нь зөвхөн зөвшөөрөгдөхүйц биш Эйлерийн судалгааны ачаар боломжтой болсон. сөрөг өнцөг, гэхдээ бас 360°-аас дээш өнцөгтэй. Косинус ба шүргэгч гэдгийг тэр анх бүтээлдээ нотолсон хүн юм зөв өнцөгсөрөг. Косинус ба синусын бүхэл тоог өргөтгөсөн нь мөн энэ эрдэмтний гавьяа байв. Ерөнхий онолтригонометрийн цуваа ба үр дүнгийн цувааны нийлэлтийг судлах нь Эйлерийн судалгааны объект биш байв. Гэсэн хэдий ч шийдэл дээр ажиллаж байна холбоотой ажлууд, тэр энэ чиглэлээр олон нээлт хийсэн. Түүний ажлын ачаар тригонометрийн түүх үргэлжилсэн. Тэрээр бүтээлдээ бөмбөрцөг тригонометрийн асуудлуудыг товчхон хөндсөн.
Тригонометрийн хэрэглээ
Тригонометрийг ашиглахгүй хэрэглээний шинжлэх ухаан, бодит өдөр тутмын амьдралд түүний даалгавруудыг бараг ашигладаггүй. Гэсэн хэдий ч энэ баримт нь түүний ач холбогдлыг бууруулдаггүй. Жишээлбэл, одон орон судлаачдад ойролцоох одод хүртэлх зайг нарийн хэмжих, хиймэл дагуулын навигацийн системийг хянах боломжийг олгодог гурвалжингийн техник нь маш чухал юм.
Тригонометрийг навигаци, хөгжмийн онол, акустик, оптик, санхүүгийн зах зээлийн шинжилгээ, электроник, магадлалын онол, статистик, биологи, анагаах ухаан (жишээлбэл, хэт авиан шинжилгээ, хэт авиан болон компьютерийн томографийн кодыг тайлах), эм зүй, хими, тооны онол, газар хөдлөлт судлал, цаг уур, далай судлал, зураг зүй, физикийн олон салбар, байр зүй, геодези, архитектур, авиа зүй, эдийн засаг, электрон технологи, механик инженерчлэл, компьютер график, кристаллограф гэх мэт.Тригонометрийн түүх, түүний байгалийн болон математикийн шинжлэх ухаанд гүйцэтгэх үүргийг өнөөг хүртэл судалсаар байна. Магадгүй ирээдүйд түүний хэрэглээний талбарууд илүү их байх болно.
Үндсэн ойлголтуудын гарал үүслийн түүх
Тригонометрийн үүсэл, хөгжлийн түүх нэг зуун гаруй жилийн түүхтэй. Энэ хэсгийн үндэс болсон ойлголтуудын танилцуулга математикийн шинжлэх ухаан, мөн агшин зуурынх биш байсан.
Тиймээс "синус" гэсэн ойлголт маш их утгатай урт түүх. -ийн дурдагдсан янз бүрийн харилцаагурвалжин ба тойргийн сегментүүд ч гэсэн олддог шинжлэх ухааны бүтээлүүд, МЭӨ 3-р зуунд хамаарах. Евклид, Архимед, Пергийн Аполлониус зэрэг эртний агуу эрдэмтдийн бүтээлүүд эдгээр харилцааны анхны судалгааг аль хэдийн агуулдаг. Шинэ нээлтүүд нь тодорхой нэр томъёоны тайлбарыг шаарддаг. Ийнхүү Энэтхэгийн эрдэмтэн Арьябхата хөвчийг "нумын утас" гэсэн утгатай "жива" гэж нэрлэжээ. Араб хэл дээрх математикийн бичвэрүүдийг латин хэл рүү орчуулах үед энэ нэр томъёог ижил утгатай синус (өөрөөр хэлбэл "нугалах") гэж сольсон.
"Косинус" гэдэг үг нэлээд хожуу гарч ирсэн. Энэ нэр томъёо нь товчилсон хувилбар юм Латин хэллэг"нэмэлт синус".
Шүргэгч үүсэх нь сүүдрийн уртыг тодорхойлох асуудлыг тайлахтай холбоотой юм. "Шүргэгч" гэсэн нэр томъёог 10-р зуунд Арабын математикч Абу-л-Вафа нэвтрүүлсэн бөгөөд тангенс ба котангенсыг тодорхойлох анхны хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Гэвч Европын эрдэмтэд эдгээр ололт амжилтын талаар мэдээгүй байв. Германы математикч, одон орон судлаач Регимонтанус 1467 онд эдгээр ухагдахууныг дахин нээсэн бөгөөд шүргэгч теоремын баталгаа нь түүний гавьяа юм. Мөн энэ нэр томъёог "хамааралтай" гэж орчуулдаг.
Тригонометр бол гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн шинжлэх ухаан юм.
Тригонометрийг зөвхөн геометрийн нэг хэсэг гэж үзэж болох юм шиг санагддаг, гэхдээ гурвалжны элементүүдийг холбосон тригонометрийн функцууд нь судалгааны объект юм. математик шинжилгээ, мөн тригонометрийн тэгшитгэл - үл мэдэгдэх нь тригонометрийн функцүүдийн аргумент болох тэгшитгэлийг алгебрийн аргуудыг ашиглан судалдаг. Тиймээс тригонометр бол бусад чухал салбаруудын ололт амжилтыг ашигладаг математикийн салбар юм.
Тригонометрийн үндсэн томъёог синусын теорем (Синусын теоремыг үзнэ үү) ба косинусын теорем (Косинусын теоремыг үзнэ үү) өгөгдөнө. Тэдгээрээс гадна 15-р зуунд нээгдсэн тангенсийн теоремыг ихэвчлэн ашигладаг. Германы математикч И.Региомонтан,
,
, 
,
болон К.Молвейдийн томъёо (Германы математикч XVIII сүүл - XIX эхэн үе V.):
,
.
Энд гурвалжны талуудын уртыг, тэдгээрийн эсрэг талын өнцгийн утгыг тус тус зааж өгсөн болно.
Косинусын теоремоос гадна гурвалжны өнцгийг талуудаар нь илэрхийлж болно. томъёог ашиглах:
,
, 
,
гурвалжны хагас периметр хаана байна.
Гурвалжны талбайг Хероны томъёоноос гадна (Хероны томьёог үзнэ үү) гурвалжны хажуу ба өнцгөөр дамжуулан тригонометрийн тусламжтайгаар өөр хэд хэдэн аргаар илэрхийлж болно.
, 
, 
.
Тригонометр нь хүний практик хэрэгцээнээс үүдэлтэй юм. Түүний тусламжтайгаар та хүрч очих боломжгүй объект хүртэлх зайг тодорхойлж, ерөнхийдөө газарзүйн зураг зурах талбайн геодезийн судалгааг ихээхэн хялбаршуулж чадна.
Тригонометрийн мэдлэгийн эхлэл нь эрт дээр үеэс үүссэн. Эрт дээр үед тригонометр нь хөгжсөн ойр холболтодон орон судлалтай байсан бөгөөд түүний туслах хэсэг байв.
Эртний Грекийн эрдэмтэд нэрт одон орон судлаач Птолемей (2-р зуун) "Алмагест" бүтээлдээ тодорхойлсон "хүчний тригонометр"-ийг боловсруулжээ. Птолемей хөвчүүдийн хоорондын хамаарлыг тойрог хэлбэрээр гаргаж авсан (тэр үед байхгүй байсан тул амаар илэрхийлсэн) математикийн бэлгэдэл), тэнцүү байна орчин үеийн томъёохагас ба давхар өнцгийн синусын хувьд хоёр өнцгийн нийлбэр ба зөрүү:
, , .
Тригонометрийн хөгжлийн чухал алхамыг Энэтхэгийн эрдэмтэд хөвчийг синусаар сольсон. Энэхүү шинэчлэл нь 8-р зуунд шилжсэн. тригонометр нь одон орон судлалын хэсгээс аажмаар бие даасан математикийн салбар болж хувирсан Ойрхи болон Ойрхи Дорнодын орнуудад араб хэлний математик болгон. Синусаас гадна бусад тригонометрийн функцуудыг танилцуулж, тэдгээрт зориулсан хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн.
Тригонометрийн нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн ойлголтууд, түүнчлэн тригонометрийн функцүүдийн тэмдэглэгээ, тодорхойлолтууд урт хугацааны явцад бий болсон. түүхэн хөгжил. Жишээлбэл, тригонометрийн үндсэн ойлголтуудыг танилцуулахдаа радиусыг авах нь байгалийн юм шиг санагддаг. тригонометрийн тойрог(Зураг 1) нэгтэй тэнцүү бол энэ нь энгийн санаазөвхөн X-XI зууны үед л батлагдсан. Хэрэв бид тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өнцгийн синусаар хөлийн (синусын шугам) гипотенузын харьцааг (жишээ нь, нэгж тойргийн радиус) ойлгодог бол Дундад зууны үед "синус" гэсэн нэр томъёо нь синусын шугамыг илэрхийлдэг байв. өөрөө. Косинусын шугам болон бусад тригонометрийн функцүүдэд мөн адил хамаарна.
Зөвхөн аажмаар шинэ ойлголтуудыг нэвтрүүлж, математикийн бэлгэдлийг хөгжүүлж, сайжруулсны үр дүнд тригонометр нь тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хамгийн тохиромжтой орчин үеийн хэлбэрийг олж авсан. Энэ нь 18-р зуунд эцсийн хэлбэрээ олж авсан. Л.Эйлерийн бүтээлүүдэд.
Их тойргийн нумуудаас үүссэн бөмбөрцөг дээрх гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг судалдаг бөмбөрцөг тригонометр гэж бас байдаг. Энэ нь бөмбөрцөг геометрийн нэг хэсэг бөгөөд практик одон орон судлаачийн хэрэгцээнээс онгоцонд тригонометрийн өмнө үүссэн түүхтэй.
