Удирдлагын хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим. Физик ба Айкидо хамгийн жижиг үйл ажиллагаа

Айкидо бол хамгийн бага үйлдэл хийх зарчмын биелэл юм. Манай сэтгэл зүй, технологи нь хамгийн бага үйлдэлтэй байх үзэл баримтлалд тулгуурладаг. Бид амьдралаа хөнгөвчлөхийг үргэлж хичээдэг. Өнөөгийн компьютер хангалттай хурдан биш; Тэд тэгэх ёстой

Намайг сургуульд байхад манай физикийн багш Бадер нэг удаа хичээл тараад намайг дуудаад: “Чи бүх зүйлээс аймаар залхсан юм шиг харагдаж байна; Нэг сонирхолтой зүйл сонс." Тэгээд тэр надад үнэхээр сэтгэл татам гэж бодсон зүйлийг хэлсэн. Одоо ч гэсэн түүнээс хойш маш их цаг хугацаа өнгөрсөн ч миний сэтгэлийг татсаар байна. Тэгээд хэлснээ санах болгондоо ажилдаа ордог. Тэгээд энэ удаад лекцэнд бэлдэж байхдаа дахин нэг зүйлд дүн шинжилгээ хийж байхыг олж мэдэв. Тэгээд лекцэнд бэлдэхийн оронд шийдвэрээ гаргалаа шинэ даалгавар. Миний яриад байгаа сэдэв бол хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим юм.

Тэгэхэд Бадер багш маань надад ингэж хэлсэн юм: “Жишээ нь, таталцлын талбарт бөөмс байгаа байг; Энэ бөөмс хаа нэгтээгээс гарч ирээд өөр газар өөр цэг рүү чөлөөтэй хөдөлдөг. Та үүнийг дээшээ шидээд, дээшээ нисч, дараа нь унасан.

Эхлэх газраас эцсийн газар хүртэл явахад түүнд багагүй хугацаа зарцуулагдсан. Одоо өөр хөдөлгөөн хийж үзээрэй. Түүнийг "эндээс энд" өмнөх шигээ биш, харин дараах байдлаар нүүгээрэй.

Гэхдээ би өмнөх шигээ яг тэр мөчид зөв газраа олсон хэвээр байна."

"Тиймээс" гэж багш үргэлжлүүлэн, "Хэрэв та бөөмийн зам дагуух цаг мөч бүрт кинетик энергийг тооцоолж, түүнээс боломжит энергийг хасч, хөдөлгөөн болсон бүх хугацааны зөрүүг нэгтгэвэл та харах болно. Таны авах тоо бөөмийн жинхэнэ хөдөлгөөнөөс их байх болно.

Өөрөөр хэлбэл Ньютоны хуулиудыг хэлбэрээр биш, харин дараах байдлаар томъёолж болно: дундаж кинетик энерги хасах дундаж потенциал энерги нь объект бодитоор нэг газраас нөгөөд шилжих траекторийн дагуу хамгийн бага утгад хүрдэг.

Үүнийг би та нарт арай тодорхой тайлбарлахыг хичээх болно.

Хэрэв бид таталцлын талбарыг авч, бөөмийн траекторийг тэмдэглэвэл газрын гадаргаас дээш өндөр хаана байна (бид одоохондоо нэг хэмжигдэхүүнээр явах болно; траекторийг хажуу тийш биш зөвхөн дээш доош гүйлгэнэ), кинетик энерги байх ба цаг хугацааны дурын агшин дахь потенциал энерги нь тэнцүү байх болно.

Одоо би траекторийн дагуух хөдөлгөөн хийхдээ кинетик болон боломжит энергийн ялгааг авч, эхнээс нь дуустал бүх хугацаанд нэгтгэдэг. Хөдөлгөөнийг цаг хугацааны эхний мөчид тодорхой өндрөөс эхэлж, өөр тодорхой өндөрт дуусга.

Дараа нь интеграл тэнцүү байна

.

Жинхэнэ хөдөлгөөн нь тодорхой муруй дагуу явагддаг (цаг хугацааны функцээр энэ нь парабол) бөгөөд тодорхой интеграл утгад хүргэдэг. Гэхдээ та өөр хөдөлгөөнийг төсөөлж болно: эхлээд огцом өсөлт, дараа нь зарим нэг хачирхалтай хэлбэлзэл.

Үүнийг шалгаж үзье. Эхлээд энэ тохиолдлыг авч үзье: чөлөөт бөөмс нь боломжит энерги огт байхгүй. Дараа нь дүрэм нь нэг цэгээс нөгөө рүү шилжих үед гэж хэлдэг заасан хугацаакинетик энергийн интеграл хамгийн бага байх ёстой. Энэ нь бөөмс жигд хөдөлж байх ёстой гэсэн үг юм. (Мөн энэ нь зөв, ийм хөдөлгөөний хурд тогтмол гэдгийг та бид мэднэ.) Яагаад жигд байна вэ? Үүнийг олж мэдье. Хэрэв өөрөөр байсан бол бөөмийн хурд нь заримдаа дунджаас давж, заримдаа түүнээс доогуур байж, дундаж хурд нь ижил байх байсан, учир нь бөөмс "эндээс энд" хүрэх ёстой. тохиролцсон хугацаа. Жишээлбэл, хэрэв та гэрээсээ сургууль руугаа машинаар явах шаардлагатай бол тодорхой хугацаа, тэгвэл та үүнийг янз бүрийн аргаар хийж болно: та эхлээд галзуу юм шиг жолоодож, эцэст нь удаашруулж эсвэл ижил хурдтайгаар жолоодож болно, эсвэл эхлээд та бүр явж болно. урвуу тал, тэгээд л сургууль руугаа эргэх гэх мэт бүх тохиолдолд дундаж хурд нь мэдээж ижил байх ёстой - гэрээс сургууль хүртэлх зайг цаг хугацаагаар хуваана. Гэхдээ үүнтэй ч гэсэн дундаж хурдЗаримдаа та хэтэрхий хурдан, заримдаа хэтэрхий удаан хөдөлдөг. Мэдэгдэж байгаагаар дунджаас хазайсан ямар нэг зүйлийн дундаж квадрат нь дундажийн квадратаас үргэлж их байдаг; Энэ нь хөдөлгөөний хурдны хэлбэлзлийн үед кинетик энергийн интеграл нь хөдөлж байх үеийнхээс үргэлж их байх болно гэсэн үг юм. тогтмол хурд. Хурд тогтмол байх үед (хүч байхгүй үед) интеграл хамгийн багадаа хүрнэ гэдгийг та харж байна. Зөв замийм л байна.

Таталцлын талбарт дээш шидэгдсэн биет эхлээд хурдан, дараа нь улам аажмаар дээшилдэг. Энэ нь боломжит энергитэй бөгөөд кинетик ба боломжит энергийн ялгаа нь хамгийн багадаа хүрэх ёстой учраас ийм зүйл тохиолддог. Таныг дээшлэх тусам боломжит энерги нэмэгддэг тул хэрэв та боломжит энерги өндөр байх өндөрт аль болох хурдан хүрвэл бага зөрүү гарах болно. Дараа нь кинетик энергиээс энэхүү өндөр потенциалыг хасч, дундаж утгыг бууруулна. Тиймээс өгсөж, боломжит энергийн сайн сөрөг хэсгийг нийлүүлэх замаар явах нь илүү ашигтай байдаг.

Гэхдээ нөгөө талаас та хэт хурдан хөдөлж эсвэл хэт өндөрт явж чадахгүй, учир нь энэ нь хэт их кинетик энерги шаарддаг. Та өгөгдсөн хугацаанд дээш доош босохын тулд хангалттай хурдан хөдлөх хэрэгтэй. Тиймээс та хэт өндөрт нисэх гэж оролдох хэрэггүй, гэхдээ зүгээр л боломжийн түвшинд хүрэх хэрэгтэй. Үүний үр дүнд шийдэл нь боломжит энергийг аль болох их хэмжээгээр авах хүсэл ба кинетик энергийн хэмжээг аль болох багасгах хүсэл хоёрын хоорондох тэнцвэрийн нэг хэлбэр болох нь тогтоогдсон - энэ бол хамгийн их бууралтад хүрэх хүсэл юм. кинетик ба боломжит энергийн ялгаа."

Багш маань их л байсан болохоор надад ингэж хэлсэн сайн багшмөн хэзээ зогсоох цаг болсныг мэдсэн. Харамсалтай нь би өөрөө тийм биш. Цагтаа зогсох надад хэцүү байна. Тиймээс, миний түүхээр таны сонирхлыг төрүүлэхийн оронд би чамайг айлган сүрдүүлэхийг хүсч байна, би чамайг амьдралын ээдрээтэй байдлаас залхахыг хүсч байна - би чамд хэлсэн зүйлээ батлахыг хичээх болно. Бидний шийдэх математикийн асуудал бол маш хэцүү бөгөөд өвөрмөц юм. Үйлдэл гэдэг тодорхой хэмжигдэхүүн байдаг. Энэ нь кинетик энергийг цаг хугацааны туршид нэгтгэсэн потенциал энергийг хассантай тэнцүү байна.

.

Үүнийг бүү мартаарай p.e. мөн k.e. - цаг хугацааны аль алиных нь үүрэг. Аливаа шинэ замын хувьд энэ үйлдэл нь тодорхой утгыг олж авдаг. Математикийн асуудал бол аль муруйд энэ тоо бусдаас бага байгааг тодорхойлох явдал юм.

Та "Өө, энэ амархан нийтлэг жишээхамгийн их ба хамгийн багадаа. Үйлдлийг нь тооцож, ялгаж, доод хэмжээг нь олох хэрэгтэй” гэсэн юм.

Гэхдээ хүлээ. Бидэнд ихэвчлэн ямар нэг хувьсагчийн функц байдаг бөгөөд тухайн функц хамгийн бага эсвэл хамгийн том болох хувьсагчийн утгыг олох хэрэгтэй. Дунд нь халсан саваа байна гэж бодъё. Дулаан нь түүний дээгүүр тархаж, савааны цэг бүрт өөрийн температур тогтдог. Та хамгийн өндөр цэгийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ бидэнд байгаа бид ярьж байнаогт өөр зүйл - сансар огторгуй дахь зам бүр өөрийн гэсэн дугаартай бөгөөд энэ тоо хамгийн бага байх замыг олох ёстой. Энэ бол математикийн огт өөр салбар юм. Энэ бол энгийн тооцоо биш, харин вариацын тооцоо (үүнийг ингэж нэрлэдэг).

Математикийн энэ салбарт өөрийн гэсэн олон асуудал бий. Тойрог ихэвчлэн гэж тодорхойлсон гэж үзье байршилӨгөгдсөн цэгээс зай нь ижил боловч тойргийг өөрөөр тодорхойлж болох цэгүүд: энэ нь өгөгдсөн уртын муруйнуудын нэг юм. хамгийн том талбай. Ижил периметрийн бусад муруй нь тойргоос бага талбайг хамарна. Тиймээс хэрэв та даалгавраа тавьбал: муруйг олоорой өгөгдсөн периметр, хамгийн том талбайг хязгаарлавал бид таны дассан тооцооноос биш харин вариацын тооцооноос асуудалтай тулгарах болно.

Тиймээс бид интегралыг биеийн туулсан зам дээр авахыг хүсч байна. Ингэж хийцгээе. Гол санаа нь үнэн зам байгаа бөгөөд бидний зурсан өөр ямар ч муруй нь бодит зам биш гэж төсөөлөхөд оршино, ингэснээр хэрэв бид түүнд зориулсан үйлдлийг тооцоолвол харгалзах үйлдлээс авсан тооноос өндөр тоог авах болно. жинхэнэ арга зам.

Тиймээс, даалгавар бол жинхэнэ замыг олох явдал юм. Энэ нь хаана хэвтэж байна вэ? Мэдээжийн хэрэг нэг арга бол үйлдлийг сая сая замаар тоолж, аль зам нь хамгийн бага үйлдэлтэй болохыг харах явдал юм. Энэ бол үйлдэл нь хамгийн бага бөгөөд бодит байх зам юм.

Энэ арга нь нэлээд боломжтой юм. Гэсэн хэдий ч үүнийг илүү энгийн байдлаар хийж болно. Хэрэв хамгийн бага (энгийн функцүүдийн тухайлбал, температур гэх мэт) хэмжигдэхүүн байгаа бол хамгийн бага шинж чанаруудын нэг нь түүнээс жижиг байдлын эхний эрэмбийн зайд шилжих үед функц нь хамгийн бага хэмжээнээсээ хазайдаг явдал юм. зөвхөн хоёр дахь эрэмбийн утгаар үнэлнэ. Мөн муруйн өөр аль ч газарт бага зайд шилжих нь функцийн утгыг мөн жижиг байдлын эхний эрэмбийн утгаар өөрчилдөг. Гэхдээ хамгийн багаар бодоход хажуу тийшээ бага зэрэг хазайх нь эхний ойролцоолсон байдлаар функцийг өөрчлөхөд хүргэдэггүй.

Энэ бол бодит замыг тооцоолохын тулд бид ашиглах гэж байгаа өмч юм.

Хэрэв зам зөв бол түүнээс бага зэрэг ялгаатай муруй нь эхний ойролцоо байдлаар үйл ажиллагааны цар хүрээг өөрчлөхөд хүргэхгүй. Бүх өөрчлөлтүүд, хэрэв энэ нь үнэхээр хамгийн бага байсан бол зөвхөн хоёр дахь ойролцооллоор л харагдах болно.

Үүнийг батлахад хялбар. Хэрэв муруйгаас ямар нэгэн хазайлттай бол өөрчлөлтүүд эхний дарааллаар тохиолдвол эдгээр өөрчлөлтүүд нь хазайлттай пропорциональ байна. Тэд үр нөлөөг нэмэгдүүлэх магадлалтай; өөрөөр хэлбэл энэ нь хамгийн бага байх болно. Гэхдээ өөрчлөлтүүд нь хазайлттай пропорциональ байдаг тул хазайлтын тэмдгийг өөрчлөх нь үр нөлөөг бууруулна. Нэг чиглэлд хазайвал үр нөлөө нь нэмэгдэж, эсрэг чиглэлд хазайвал буурдаг. Энэ нь хамгийн бага байх цорын ганц арга зам бол эхний ойролцоолсноор өөрчлөлт гарахгүй бөгөөд өөрчлөлтүүд нь бодит замаас хазайсан квадраттай пропорциональ байх явдал юм.

Тиймээс бид дараах замыг дагах болно: бид олохыг хүсч буй жинхэнэ замыг (доорх шугамаар) заана. Хүссэнээс бидний тэмдэглэсэн бага хэмжээгээр ялгаатай туршилтын замыг авч үзье.

Гол санаа нь хэрэв бид зам дээрх үйлдлийг тооцоолох юм бол энэ болон бидний замд тооцсон үйлдлийн хоорондох ялгаа (энгийн байхын тулд үүнийг тэмдэглэнэ) эсвэл хоорондын ялгаа нь эхний ойролцоо байх ёстой. тэг. Тэд хоёр дахь дарааллаар ялгаатай байж болох боловч эхнийх нь ялгаа нь тэг байх ёстой.

Мөн энэ нь хэнд ч ажиглагдах ёстой. Гэсэн хэдий ч хүн бүрт тийм ч тохиромжтой биш. Энэ арга нь зөвхөн нэг хос цэг дээр эхэлж, төгсдөг замыг харгалзан үзэхийг шаарддаг, өөрөөр хэлбэл зам бүр тодорхой цагт эхэлж, өөр тодорхой цэг дээр дуусах ёстой. Эдгээр цэгүүд болон мөчүүдийг тэмдэглэсэн болно. Тэгэхээр бидний функц (хазайлт) хоёр төгсгөлд тэг байх ёстой: ба . Энэ нөхцөлд бидний математикийн асуудал бүрэн тодорхойлогддог.

Хэрэв та дифференциал тооцоог мэддэггүй байсан бол энгийн функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд ижил зүйлийг хийж болно. Хэрэв та жижиг утгыг авч, нэмбэл юу болох талаар бодож, эхний дарааллын залруулга хамгийн багадаа тэгтэй тэнцүү байх ёстой гэж маргах болно. Та оронд нь орлуулж, нэгдүгээр зэрэглэл рүү тэлэх болно, нэг үгээр бол та бидний хийх гэж буй бүх зүйлийг давтах болно.

Тиймээс бидний санаа бол орлуулах явдал юм үйл ажиллагааны томъёонд оруулав

,

боломжит энергийг тэмдэглэдэг. Дериватив нь мэдээжийн хэрэг дээр нэмэх нь -ийн дериватив тул үйлдлийн хувьд би дараах илэрхийлэлийг олж авна.

.

Одоо үүнийг илүү нарийвчлан тайлбарлах шаардлагатай байна. Квадрат гишүүний хувьд би авна

.

Гэхдээ түр хүлээнэ үү! Эцсийн эцэст би эхнийхээс өндөр захиалгын талаар санаа зовох хэрэггүй юм. Би болон агуулсан бүх нэр томъёог устгаж чадна илүү өндөр зэрэгтэй, мөн тэдгээрийг “хоёр дахь болон илүү өндөр захиалга" Энэ илэрхийллээс зөвхөн нэг секундын зэрэглэлтэй байх болно, гэхдээ өөр ямар нэг зүйлээс дээд нь бас орж болно. Тэгэхээр кинетик энергитэй холбоотой хэсэг нь:

Дараа нь бидэнд боломжит цэгүүд хэрэгтэй. Би үүнийг жижиг гэж үздэг бөгөөд үүнийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлж чадна. Ойролцоогоор ийм байх болно; дараагийн ойролцоо тооцоонд (энд энгийн деривативууд байдаг тул) залруулга нь -тэй тэнцүү, өөрчлөлтийн хурдаар үржүүлсэн гэх мэт:

.

Зай хэмнэхийн тулд би үүнийг дериватив ашиглан тэмдэглэв. c гэсэн нэр томъёо болон түүний ард байгаа бүх зүйл "хоёр дахь болон дээд зэрэглэлийн" ангилалд багтдаг. Мөн тэдэнд санаа зовох шаардлагагүй болсон. Үлдсэн бүх зүйлийг нэгтгэцгээе:

Хэрэв бид одоо үүнийг сайтар ажиглавал энд бичсэн эхний хоёр нэр томъёо нь миний хүссэн зүйлд зориулж бичих үйлдэлтэй тохирч байгааг харах болно. үнэн зам. Би та бүхний анхаарлыг өөрчлөлтөд анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна, өөрөөр хэлбэл хоорондын ялгаа, үнэн замд юу тохиолдох байсан талаар. Бид энэ ялгааг гэж бичээд вариац гэж нэрлэнэ. "Хоёр дахь болон түүнээс дээш захиалга" -аас татгалзаж, бид олж авдаг

.

Одоо даалгавар иймэрхүү харагдаж байна. Энд миний өмнө зарим нэг салшгүй хэсэг байна. Энэ нь юу болохыг би хараахан мэдэхгүй байна, гэхдээ би юу ч авч байсан энэ интеграл байх ёстой гэдгийг би баттай мэдэж байна. тэгтэй тэнцүү. "За" гэж та бодож магадгүй, "Үүний цорын ганц боломж бол үржүүлэгч нь тэгтэй тэнцүү байх явдал юм." Гэхдээ эхний нэр томъёо нь хаана байна вэ? Та: "Хэрэв энэ нь юу ч биш болж хувирвал түүний уламжлал нь юу ч биш юм; Энэ нь at коэффициент нь мөн тэг байх ёстой гэсэн үг юм." За, энэ нь бүхэлдээ үнэн биш юм. Энэ нь бүхэлдээ үнэн биш, учир нь хазайлт ба түүний деривативын хооронд холболт байдаг; тэдгээр нь бүрэн бие даасан биш, учир нь энэ нь тэг байх ёстой.

Хувьсах тооцооны бүх асуудлыг шийдвэрлэхдээ ижил ерөнхий зарчмыг үргэлж ашигладаг. Та өөрчлөхийг хүсч буй зүйлээ бага зэрэг өөрчил (бидний нэмсэнтэй адил), нэгдүгээр эрэмбийн нөхцлүүдийг харан, дараа нь "авсан зүйлээ дахин өөрчил" гэсэн хэлбэрээр интеграл авахаар бүгдийг цэгцэл. Энэ нь ямар ч дериватив агуулаагүй. "Ямар нэг зүйлийг" -ээр үржүүлж үлдэхийн тулд бүх зүйлийг өөрчлөх зайлшгүй шаардлагатай. Энэ нь яагаад ийм чухал болохыг одоо та ойлгох болно. (Зарим тохиолдолд та үүнийг ямар ч тооцоололгүйгээр яаж хийж болохыг хэлэх томьёо байдаг; гэхдээ тэдгээр нь тийм ч ерөнхий биш бөгөөд цээжлэх нь зүйтэй; тооцооллыг бидний хийдэг арга замаар хийх нь дээр.)

Би шодойн дотор харагдахын тулд яаж дахин хийх вэ? Би үүнийг хэсэг хэсгээр нь нэгтгэснээр хүрч чадна. Эндээс харахад вариацын тооцоонд бүхэл бүтэн заль мэх нь хэлбэлзлийг бичиж, дараа нь тэдгээрийн дериватив алга болохын тулд хэсэг хэсгээр нь нэгтгэх явдал юм. Дериватив гарч ирэх бүх асуудалд ижил заль мэхийг гүйцэтгэдэг.

Хэсэгээр нэгтгэх ерөнхий зарчмыг эргэн санацгаая. Хэрэв танд дурын функцийг үржүүлж, нэгтгэсэн байвал дараахь деривативыг бичнэ.

.

Таны сонирхож буй интегралд зөвхөн сүүлийн нэр томъёо байдаг

.

Манай томъёонд функцийг үржвэр гэж авсан; Тиймээс би илэрхийлэлийг олж авдаг

Интеграцийн хязгаарыг эхний нэр томъёонд орлуулах ёстой. Дараа нь интегралын дагуу би хэсэг хэсгээр интегралаас авсан нэр томъёо, хувиргалт хийх явцад өөрчлөгдөөгүй үлдсэн сүүлчийн гишүүнийг хүлээн авна.

Одоо үргэлж тохиолддог зүйл болж байна - нэгдсэн хэсэг нь алга болно. (Хэрэв энэ нь алга болоогүй бол ийм алга болох нөхцөлийг нэмэх замаар зарчмыг дахин боловсруулах хэрэгтэй!) Замын төгсгөлд энэ нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой гэж бид аль хэдийн хэлсэн. Эцсийн эцэст бидний зарчим юу вэ? Гол нь янз бүрийн муруй нь сонгосон цэгүүдээс эхэлж, дуусах тохиолдолд үйлдэл хамгийн бага байх болно. Энэ нь гэсэн үг бөгөөд . Тиймээс нэгдсэн нэр томъёо нь тэг болж хувирна. Үлдсэн гишүүдээ цуглуулаад бичдэг

.

Хувилбар нь одоо бидний өгөхийг хүссэн хэлбэрийг олж авсан: ямар нэг зүйл хаалтанд (үүнийг тэмдэглэе) байгаа бөгөөд энэ бүгдийг -ээс үржүүлж, нэгтгэсэн болно.

Зарим илэрхийллийн интеграл нь үргэлж тэгтэй тэнцүү байдаг нь тодорхой болсон.

.

-аас зарим функц байдаг; Би үүнийг үржүүлж, эхнээс нь дуустал нэгтгэдэг. Тэгээд юу ч байсан би тэг авдаг. Энэ нь функц нь тэгтэй тэнцүү гэсэн үг юм. Ерөнхийдөө энэ нь ойлгомжтой, гэхдээ би танд үүнийг батлах нэг арга замыг зааж өгөх болно.

Урьдчилан сонгосон нэгээс бусад бүх утгын хувьд хаа сайгүй тэгтэй тэнцүү зүйлийг сонгоё. Намайг очих хүртэл энэ нь тэг хэвээр үлдэж, дараа нь тэр хэсэг хугацаанд үсэрч, тэр даруй буцаж унана. Хэрэв та үүнийг зарим функцээр үржүүлсэн интегралыг авбал тэгээс өөр зүйл гарах цорын ганц газар бол түүний үсэрсэн газар юм; мөн та үсрэлт дээрх интегралын утгыг энэ газарт авах болно. Үсрэлтийн интеграл нь өөрөө тэг биш, харин үүнийг үржүүлэхэд тэг өгөх ёстой. Энэ нь үсрэлт байсан газрын функц тэг болж хувирах ёстой гэсэн үг юм. Гэхдээ үсрэлтийг хаана ч хийж болох байсан; Энэ нь хаа сайгүй тэг байх ёстой гэсэн үг юм.

Хэрэв бидний интеграл аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол at коэффициент тэг болох ёстойг бид харж байна. Үйлдлийн интеграл нь замын дагуух хамгийн багадаа хүрдэг бөгөөд ийм нарийн төвөгтэй дифференциал тэгшитгэлийг хангана.

.

Энэ нь үнэндээ тийм ч төвөгтэй биш юм; чи түүнтэй өмнө нь уулзаж байсан. Энэ бол энгийн. Эхний нэр томъёо нь массын хурдатгал юм; хоёр дахь нь боломжит энергийн дериватив, өөрөөр хэлбэл хүч юм.

Тиймээс бид (наад зах нь консерватив системийн хувьд) хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь зөв хариулт руу хөтөлдөг гэдгийг харуулсан; Тэрээр хэлэхдээ, хамгийн бага үйлдэлтэй зам нь Ньютоны хуулийг хангасан зам юм.

Бас нэг зүйл хэлэх хэрэгтэй. Энэ бол хамгийн доод хэмжээ гэдгийг би нотлоогүй байна. Магадгүй энэ нь хамгийн дээд хэмжээ юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь хамгийн бага байх албагүй. Энд бүх зүйл оптик судалж байхдаа бидний ярилцсан "хамгийн богино хугацааны зарчим" -тай ижил байна. Тэнд ч бид эхлээд “хамгийн богино” цагийн тухай ярьсан. Гэсэн хэдий ч энэ хугацаа нь "хамгийн богино" байх албагүй нөхцөл байдал бий болсон. Үндсэн зарчим бол эхний дарааллын аливаа хазайлт юм оптик замцаг хугацааны өөрчлөлт нь тэг байх болно; Энд адилхан түүх байна. "Хамгийн бага" гэж бид үнэндээ жижиг байдлын эхний дарааллаар замаас хазайсантай холбоотой тоо хэмжээний өөрчлөлт тэгтэй тэнцүү байх ёстой гэсэн үг юм. Энэ нь заавал "хамгийн бага" байх албагүй.

Одоо би зарим ерөнхий дүгнэлт рүү шилжихийг хүсч байна. Юуны өмнө энэ түүхийг бүхэлд нь гурван хэмжээстээр хийж болно. Энгийн нэгийн оронд би аль алиныг нь функц болгон, үйлдэл нь илүү төвөгтэй харагдах болно. 3D хөдөлгөөнд та нийт кинетик энергийг ашиглах ёстой: , нийт хурдны квадратыг үржүүлэх. Өөрөөр хэлбэл,

.

Нэмж хэлэхэд, боломжит энерги нь одоо , ба -ийн функц юм. Замын талаар юу хэлэх вэ? Зам гэдэг нь орон зайн тодорхой ерөнхий муруй юм; Энэ нь зурахад тийм ч хялбар биш боловч санаа нь хэвээр байна. Нөхцөл байдлын талаар юу хэлэх вэ? За, энэ нь гурван бүрэлдэхүүн хэсэгтэй. Замыг дагуу болон дагуу, дагуу, эсвэл бүх гурван чиглэлд нэгэн зэрэг шилжүүлж болно. Тэгэхээр одоо энэ нь вектор болсон. Энэ нь ямар нэгэн ноцтой хүндрэл үүсгэдэггүй. Зөвхөн нэгдүгээр эрэмбийн өөрчлөлтүүд тэгтэй тэнцүү байх ёстой тул тооцооллыг гурван ээлжээр дараалан хийж болно. Нэгдүгээрт, та зөвхөн чиглэлд шилжиж, коэффициентийг тэглэх ёстой гэж хэлж болно. Та нэг тэгшитгэл авна. Дараа нь бид чиглэл рүүгээ хөдөлж, хоёр дахь хэсгийг авна. Дараа нь бид үүнийг чиглэлд шилжүүлж, бид гурав дахь хэсгийг авна. Хэрэв та хүсвэл бүх зүйлийг өөр дарааллаар хийж болно. Ямар ч байсан гурвалсан тэгшитгэл гарч ирнэ. Гэхдээ Ньютоны хууль нь мөн гурван хэмжээст гурван тэгшитгэл, бүрэлдэхүүн тус бүрт нэг юм. Энэ бүхэн гурван хэмжээст (энд тийм ч их ажил байхгүй) ажилладаг гэдгийг та өөрөө харах болно. Дашрамд хэлэхэд, та радиусын дагуу эсвэл өнцгийн дагуу шилжих үед юу тохиолдохыг харгалзан ямар ч координатын систем, туйл, дурын системийг авч, Ньютоны хуулиудыг шууд авч болно.

Энэ аргыг ерөнхийд нь хэлж болно дурын тоотоосонцор. Хэрэв танд хоёр бөөмс байгаа бөгөөд тэдгээрийн хооронд ямар нэг хүч үйлчилж, харилцан боломжит энерги байгаа бол та зүгээр л тэдний кинетик энергийг нэмж, харилцан үйлчлэлийн потенциал энергийн нийлбэрээс хасна. Та юугаараа ялгаатай вэ? Хоёр бөөмийн замууд. Дараа нь гурван хэмжээст хөдөлж буй хоёр бөөмийн хувьд зургаан тэгшитгэл үүснэ. Та 1-р бөөмийн байрлалыг чиглэлд, чиглэлд, чиглэлд өөрчилж, 2-р бөөмтэй ижил зүйлийг хийж болох тул зургаан тэгшитгэл байна. Тэгээд ийм байх ёстой. Гурван тэгшитгэл нь 1-р бөөмийн түүнд үйлчлэх хүчний хурдатгалыг, нөгөө гурав нь 2-р бөөмийн хурдатгалыг тодорхойлдог. Тоглоомын ижил дүрмийг үргэлж дагаж мөрдвөл та дурын тооны бөөмсийн хувьд Ньютоны хуулийг авах болно.

Би Ньютоны хуулийг авна гэж хэлсэн. Энэ нь бүхэлдээ үнэн биш, учир нь Ньютоны хуульд үрэлт гэх мэт консерватив бус хүчийг мөн багтаасан байдаг. Энэ нь бүгдтэй тэнцүү гэж Ньютон нотолсон. Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь зөвхөн бүх хүчийг авах боломжтой консерватив системүүдэд хүчинтэй байдаг боломжит функц. Гэхдээ микроскопийн түвшинд, өөрөөр хэлбэл физикийн хамгийн гүн түвшинд консерватив бус хүч байдаггүй гэдгийг та мэднэ. Консерватив бус хүч (үрэлт гэх мэт) нь зөвхөн микроскопийн цогц нөлөөллийг үл тоомсорлодог учраас л үүсдэг: дүн шинжилгээ хийхэд маш олон тоосонцор байдаг. Үндсэн хуулиудыг хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмын хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Цаашид ерөнхий дүгнэлт рүү шилжье. Бөөмс харьцангуйгаар хөдлөхөд юу болохыг сонирхож байна гэж бодъё. Одоогоор бид хөдөлгөөний зөв харьцангуй тэгшитгэлийг олж чадаагүй байна; зөвхөн харьцангуй бус хөдөлгөөнд л үнэн. Асуулт гарч ирнэ: Харьцангуй тохиолдолд хамгийн бага үйлдэл хийх зарчим байдаг уу? Тиймээ, байгаа. Харьцангуй тохиолдлын томъёо нь:

Үйлдлийн интегралын эхний хэсэг нь амралтын масс ба хурдны функцийн интегралын үржвэр юм. Дараа нь потенциал энергийг хасахын оронд скаляр потенциал ба вектор потенциалын цагуудын интегралууд байна. Мэдээжийн хэрэг энд зөвхөн цахилгаан соронзон хүчийг харгалзан үздэг. Бүх цахилгаан ба соронзон орон нь ба-аар илэрхийлэгдэнэ. Энэхүү үйлдлийн функц нь харьцангуй хөдөлгөөний бүрэн онолыг өгдөг бие даасан бөөмсцахилгаан соронзон орон дээр.

Мэдээжийн хэрэг, та миний бичсэн газар бүрт тооцоо хийхээсээ өмнө орлуулах хэрэгтэй гэдгийг ойлгох ёстой. Үүнээс гадна, миний энгийн , , гэж бичсэн газар та яг одоо байгаа цэгүүдийг төсөөлөх хэрэгтэй: , , . Чухамдаа ийм орлуулалт, орлуулалтын дараа л харьцангуйн бөөмийн үйл ажиллагааны томъёог олж авах болно. Үйлдлийн энэхүү томъёо нь харьцангуйн онолын хөдөлгөөний зөв тэгшитгэлийг өгдөг гэдгийг та нарын дундаас хамгийн чадварлаг хүмүүс нотлохыг хичээцгээе. Одоохондоо соронзон оронгүйгээр, өөрөөр хэлбэл, хаях замаар эхлэхийг танд зөвлөж байна. Дараа нь та хөдөлгөөний тэгшитгэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олж авах хэрэгтэй болно, эндээс та санаж байгаа байх. .

Анхааралдаа оруулаарай вектор потенциалхамаагүй хэцүү. Дараа нь өөрчлөлтүүд нь харьцуулашгүй илүү төвөгтэй болдог. Гэвч эцэст нь хүч нь байх ёстой хэмжээтэй тэнцүү болж хувирдаг: . Гэхдээ өөрөө үүнийг хөгжилтэй өнгөрүүлээрэй.

Үүнийг би онцлон хэлмээр байна ерөнхий тохиолдол(жишээ нь, харьцангуй томъёогоор) үйл ажиллагааны интегралын дор кинетик ба боломжит энергийн хоорондын ялгаа байхаа больсон. Энэ нь зөвхөн харьцангуй бус ойролцоолсон нөхцөлд л тохиромжтой байсан. Жишээлбэл, гишүүн - Энэ бол кинетик энерги гэж нэрлэгддэг зүйл биш юм. Аливаа тодорхой тохиолдолд ямар арга хэмжээ авах ёстой вэ гэдэг асуудлыг туршилт, алдааны дараа шийдэж болно. Энэ нь хөдөлгөөний тэгшитгэл ямар байх ёстойг тодорхойлохтой ижил төрлийн асуудал юм. Та зүгээр л өөрийн мэддэг тэгшитгэлүүдээрээ тоглож, тэдгээрийг хамгийн бага үйлдлийн зарчим гэж бичиж болох эсэхийг харах хэрэгтэй.

Нэр томъёоны талаар бас нэг тэмдэглэл. Үйлдлийг олж авахын тулд цаг хугацааны явцад нэгтгэгддэг функцийг Лагранж гэж нэрлэдэг. Энэ нь зөвхөн бөөмсийн хурд, байрлалаас хамаардаг функц юм. Тиймээс хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмыг мөн хэлбэрээр бичдэг

,

координат ба хурдны бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хаана ба гэсэн үг. Хэрэв та хэн нэгэн "Лагранж"-ын тухай ярихыг сонсвол тэд . Цахилгаан соронзон орон дахь харьцангуй хөдөлгөөний хувьд

.

Үүнээс гадна, би хамгийн нямбай бөгөөд гэдгийг анхаарах ёстой педантик хүмүүсүйлдэл гэж нэрлэдэггүй. Үүнийг "Гамильтоны анхны үндсэн үүрэг" гэж нэрлэдэг. Харин "хамгийн бага зарчим"-ын талаар лекц уншиж байна. үндсэн функцХэмилтон" миний хүч чадлаас давсан. Би үүнийг "үйл ажиллагаа" гэж нэрлэсэн. Үүнээс гадна, улам олон хүмүүс үүнийг "үйлдэл" гэж нэрлэдэг. Түүхэнд үйлдлийг шинжлэх ухаанд ашиггүй өөр зүйл гэж нэрлэдэг байсан ч тодорхойлолтыг өөрчлөх нь илүү утга учиртай гэж би бодож байна. Одоо та ч бас нэрлэж эхэлнэ шинэ шинж тэмдэгүйлдэл, удахгүй бүгд түүнийг энэ энгийн нэрээр дуудаж эхэлнэ.

Одоо би хамгийн богино хугацааны зарчмын талаархи үндэслэлтэй төстэй бидний сэдвийн талаар танд хэлэхийг хүсч байна. Нэг цэгээс нөгөө цэг рүү авсан зарим интеграл нь хамгийн багатай гэсэн хуулийн мөн чанарт ялгаа бий - бүхэл бүтэн замын талаар нэг дор ямар нэг зүйлийг хэлж өгдөг хууль, шилжих үед дараа нь гэсэн хуулийн ялгаа бий. , Энэ нь хурдатгалд хүргэдэг хүч байна гэсэн үг. Хоёрдахь арга нь таны алхам бүрийг тайлагнадаг бөгөөд энэ нь таны замыг инч инчээр зурдаг бөгөөд эхнийх нь туулсан бүх замын талаар ерөнхий мэдэгдлийг шууд өгдөг. Гэрлийн тухай ярихдаа бид эдгээр хоёр аргын хоорондын уялдаа холбоог ярьсан. Одоо би танд хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим байдаг бол дифференциал хууль яагаад байх ёстойг тайлбарлахыг хүсч байна. Шалтгаан нь: орон зай, цаг хугацаанд туулсан замыг авч үзье. Өмнөхтэй адил бид нэг хэмжилтийг хийж, -ээс хамааралтай байдлын графикийг зурах болно. Жинхэнэ зам дагуу энэ нь хамгийн багадаа хүрдэг. Бидэнд ийм зам байгаа бөгөөд энэ нь орон зай, цаг хугацааны тодорхой цэгээр дамжин, өөр хөршийн цэгээр дамжин өнгөрдөг гэж бодъё.

Одоо, хэрэв -ээс хүртэлх бүх интеграл нь хамгийн багадаа хүрсэн бол эхлэн -ээс хүртэлх жижиг хэсгийн дагуух интеграл мөн хамгийн бага байх шаардлагатай. -ээс хүртэлх хэсэг нь доод хэмжээнээс бага зэрэг давсан байж болохгүй. Үгүй бол та энэ хэсэгт муруйг нааш цааш хөдөлгөж, бүхэл бүтэн интегралын утгыг бага зэрэг бууруулж болно.

Энэ нь замын аль ч хэсэг нь хамгийн бага хэмжээг өгөх ёстой гэсэн үг юм. Мөн энэ нь замын аль ч жижиг хэсгүүдэд үнэн юм. Иймээс замын хязгааргүй жижиг хэсэг нь мөн л үйл ажиллагаа нь хамгийн бага байх муруй юм гэж хэлснээр зам бүхэлдээ хамгийн бага утга өгөх ёстой гэсэн зарчмыг томъёолж болно. Хэрэв бид замын нэлээд богино хэсгийг авах юм бол - цэгүүдийн хооронд, бие биентэйгээ маш ойрхон байвал энэ газраас алслагдсан цэгээс нөгөө цэг рүү потенциал хэрхэн өөрчлөгдөх нь хамаагүй, учир нь та бүхэл бүтэн богино сегментийг туулахдаа тэр газраа хэзээ ч бүү орхи. Таны анхаарах ёстой цорын ганц зүйл бол боломжийн эхний дарааллын жижиг өөрчлөлт юм. Хариулт нь зөвхөн боломжийн деривативаас шалтгаална, бусад боломжоос хамаарахгүй. Тиймээс бүхэл бүтэн замын өмчийн талаархи мэдэгдэл нь замын богино хэсэгт юу болж байгаа тухай мэдэгдэл, өөрөөр хэлбэл дифференциал мэдэгдэл болдог. Энэхүү дифференциал томъёололд потенциалын деривативууд, өөрөөр хэлбэл тухайн цэг дэх хүчийг багтаасан болно. Энэ бол бүхэлдээ хууль болон дифференциал хууль хоёрын уялдаа холбоог чанарын талаас нь тайлбарласан тайлбар юм.

Бид гэрлийн тухай ярихдаа бөөмс хэрхэн зөв замыг олох вэ гэсэн асуултыг хэлэлцсэн. ХАМТ дифференциал цэгҮүнийг өнцгөөс нь харахад хялбар байдаг. Агшин бүрт бөөмс хурдатгалыг мэдэрдэг бөгөөд зөвхөн тэр мөчид юу хийх ёстойгоо л мэддэг. Гэхдээ бөөмс аль замыг сонгохоо “шийддэг” гэдгийг сонсоход таны бүх шалтгаан, үр дагаврын зөн совин сэргэж, хамгийн бага үйлдэл хийхийг эрмэлздэг. Тэр хөрш зэргэлдээх замуудыг "үнэрлэж", тэдгээр нь юунд хүргэж болохыг олж мэдээд байгаа юм биш үү? Фотонууд бүх замыг туршиж үзэхгүй байхаар гэрлийн замд дэлгэц байрлуулахад тэд аль замаар явахаа шийдэж чадахгүй байгааг олж мэдээд дифракцийн үзэгдлийг олж авсан.

Гэхдээ энэ нь механикийн хувьд бас үнэн үү? Бөөм зөвхөн "зөв замаар явдаг" төдийгүй бусад төсөөлж болох бүх замналыг эргэн хардаг нь үнэн үү? Хэрэв түүний замд саад тотгор учруулснаар бид түүнийг урагш харахыг зөвшөөрөхгүй бол дифракцийн үзэгдлийн ямар нэгэн аналогийг олж авах уу? Энэ бүхний хамгийн гайхалтай нь бүх зүйл үнэхээр ийм байгаа юм. Квант механикийн хуулиудад яг ингэж хэлдэг. Тиймээс бидний хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим бүрэн боловсруулагдаагүй байна. Энэ нь бөөмс хамгийн бага үйл ажиллагааны замыг сонгосонд оршдоггүй, харин хөрш зэргэлдээх бүх замыг "мэдэрч", үйл ажиллагаа нь хамгийн бага байх замыг сонгоход оршино, энэ сонголтын арга нь гэрлийг сонгох арга хамгийн богино хугацаа. Гэрэл хамгийн богино хугацааг сонгодог гэдгийг та санаж байна: хэрэв гэрэл өөр цаг хугацаа шаардсан замаар явбал өөр үе шаттайгаар ирнэ. Мөн зарим цэгийн нийт далайц нь гэрэл хүрч болох бүх замуудын далайцын хувь нэмэрийн нийлбэр юм. Фазууд нь эрс ялгаатай бүх замууд нь нэмсний дараа юу ч өгдөггүй. Гэхдээ хэрэв та бүхэл бүтэн замуудын дарааллыг олж чадсан бол үе шатууд нь бараг ижил байвал жижиг хувь нэмэр нэмэгдэх бөгөөд хүрэх цэг дээр нийт далайц мэдэгдэхүйц утгыг авах болно. Хамгийн чухал арга замаарЭнэ нь ижил үе шатыг өгдөг олон ойрхон замуудын ойролцоо байдаг.

Квант механикт яг ижил зүйл тохиолддог. Бүрэн квант механик (харьцангуй бус ба электроны эргэлтийг үл тоомсорлодог) дараах байдлаар ажиллана: 1-р цэгээс гарч буй бөөмс тухайн үед 2-р цэгт хүрэх магадлал нь магадлалын далайцын квадраттай тэнцүү байна. Нийт далайцыг бүх далайцын нийлбэр гэж бичиж болно боломжит арга замууд- ирэх ямар ч чиглэлд. Ямар ч төсөөлж болох төсөөллийн замналын хувьд далайцыг тооцоолох шаардлагатай. Дараа нь бүгдийг нь нугалах хэрэгтэй. Бид тодорхой замын магадлалын далайцыг юу гэж үздэг вэ? Бидний үйл ажиллагааны интеграл нь хувь хүний ​​замын далайц ямар байх ёстойг хэлж өгдөг. далайц нь пропорциональ байна, Энэ зам дагуух үйлдэл хаана байна. Энэ нь хэрэв бид далайцын үе шатыг хэлбэрээр илэрхийлбэл гэсэн үг юм нийлмэл тоо, тэгвэл фазын өнцөг нь тэнцүү байх болно. Үйлдэл нь цаг хугацааны эрчим хүчний хэмжигдэхүүнтэй бөгөөд Планкийн тогтмол нь ижил хэмжээстэй байдаг. Энэ нь квант механик хэзээ хэрэгтэйг тодорхойлдог тогтмол үзүүлэлт юм.

Тэгээд бүх зүйл ингэж л ажилладаг. Үйлдэл нь тоотой харьцуулахад бүх замд маш том байх болтугай. Зарим зам нь тодорхой далайцын утга руу хөтөлнө. Ойролцоох замын үе шат нь огт өөр болж хувирах болно, учир нь асар том, жижиг өөрчлөлтүүд ч гэсэн үе шатыг эрс өөрчилдөг (эцсийн эцэст энэ нь маш бага юм). Энэ нь зэргэлдээх замууд ихэвчлэн нэмсэн тохиолдолд тэдний оруулсан хувь нэмрийг унтраадаг гэсэн үг юм. Зөвхөн нэг хэсэгт энэ нь үнэн биш юм - зам болон түүний хөрш хоёулаа ижил үе шаттай байдаг (эсвэл илүү нарийвчлалтай, бараг ижил үйлдэл, дотор өөр өөр байдаг). Зөвхөн ийм замуудыг харгалзан үздэг. Мөн Планкийн тогтмол 0 болох хязгаарлагдмал тохиолдолд квант механикийн зөв хуулиудыг нэгтгэн дүгнэж болно: "Энэ бүх магадлалын далайцыг март. Бөөм яг үнэндээ дагуулан хөдөлдөг онцгой арга- яг юуных нь дагуу, эхнийх нь ойролцоогоор өөрчлөгдөхгүй." Энэ бол хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим ба квант механикийн хоорондын холбоо юм. Квант механикийг ийм маягаар томьёолж болдог гэдгийг 1942 онд миний танд хэлсэн тэр багшийн шавь ноён Бадер нээсэн. [Квант механикийг анх ашиглан томъёолсон дифференциал тэгшитгэлдалайцын хувьд (Шредингер), мөн зарим матрицын математикийг ашигладаг (Гейзенберг).]

Одоо би физикийн хамгийн бага зарчмуудын талаар ярихыг хүсч байна. Энэ төрлийн маш олон сонирхолтой зарчмууд байдаг. Би бүгдийг нь жагсаахгүй, гэхдээ би зөвхөн нэгийг л нэрлэнэ. Хожим нь бид маш сайн наад захын зарчимтай физикийн нэг үзэгдэлд хүрэхэд би энэ тухай танд хэлэх болно. Одоо би талбайн дифференциал тэгшитгэлийг ашиглан электростатикийг дүрслэх шаардлагагүй гэдгийг харуулахыг хүсч байна; Үүний оронд зарим интеграл хамгийн их эсвэл хамгийн багатай байхыг шаардаж болно. Эхлэхийн тулд цэнэгийн нягтыг хаа сайгүй мэддэг ч сансар огторгуйн аль ч цэгийн потенциалыг олох хэрэгтэй гэсэн тохиолдлыг авч үзье. Хариулт нь иймэрхүү байх ёстой гэдгийг та аль хэдийн мэдэж байсан.

Үүнтэй ижил зүйлийг хэлэх өөр нэг арга бол интегралыг үнэлэх явдал юм

;

энэ бол эзлэхүүний интеграл юм. Үүнийг бүх орон зайд авдаг. Зөв боломжит хуваарилалтаар энэ илэрхийлэл хамгийн багадаа хүрдэг.

Электростатиктай холбоотой эдгээр мэдэгдлүүд хоёулаа тэнцүү гэдгийг бид харуулж чадна. Бид дурын функц сонгосон гэж бодъё. Бид боломжийн зөв утгыг нэмээд бага зэрэг хазайлтыг чанар гэж авбал жижиг байдлын эхний дарааллаар өөрчлөлт тэгтэй тэнцүү байх болно гэдгийг харуулахыг хүсч байна. Тиймээс бид бичдэг

Энд бидний хайж байгаа зүйл байна; гэхдээ өөрчлөлт нь жижиг байдлын эхний эрэмбийн байхын тулд ямар байх ёстойг харахын тулд бид өөр өөр байх болно. Эхний улиралд бид бичих хэрэгтэй

Өөрчлөгдөх цорын ганц эхний дарааллын нэр томъёо нь:

Хоёр дахь гишүүнд интеграл хэлбэрийг авна

өөрчлөх хэсэг нь энд байна. Зөвхөн өөрчлөгдөж буй нөхцлүүдийг үлдээж, бид интегралыг олж авна

.

Үүнийг дахин дахин нэгтгэх шаардлагатай. Мөн энд ижил заль мэх нь өөрийгөө санал болгож байна: салахын тулд бид хэсэг хэсгээр нь нэгтгэдэг. Энэ нь -тэй холбоотой нэмэлт ялгааг бий болгоно. Энэ бол бидний деривативаас салдаг байсан үндсэн санаа юм. Бид тэгш байдлыг ашигладаг

.

Бид хязгааргүй үед тэгтэй тэнцүү гэж үздэг тул нэгдсэн нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү байна. (Энэ нь болон үед алга болохтой тохирч байна. Тиймээс бидний зарчмыг дараах байдлаар илүү нарийн томъёолсон болно: зөв зарчмын хувьд энэ нь хязгааргүйд ижил утгатай бусадтай харьцуулахад бага байна.) Дараа нь бид -тэй ижил зүйлийг хийнэ. Бидний интеграл болж хувирна

.

Дурын дурын хувьд энэ өөрчлөлт тэгтэй тэнцүү байхын тулд at коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. гэсэн үг,

Бид хуучин тэгшитгэлдээ буцаж ирлээ. Энэ нь бидний “хамгийн бага” санал зөв гэсэн үг. Тооцооллыг бага зэрэг өөрчилсөн тохиолдолд үүнийг ерөнхийд нь хэлж болно. Буцаж, хэсэг хэсгээр нь нэгтгэе, гэхдээ бүх зүйлийг бүрэлдэхүүн хэсэг болгон тайлбарлая. Дараах тэгш байдлыг бичиж эхэлцгээе.

Зүүн талыг ялгаж салгаснаар энэ нь баруун талтай яг тэнцүү гэдгийг харуулж чадна. Энэ тэгшитгэл нь хэсгүүдийн интеграцийг гүйцэтгэхэд тохиромжтой. Интегралдаа бид орлоно дараа нь эзлэхүүн дээр нэгтгэнэ. Эзлэхүүн дээр интеграл хийсний дараа зөрүүтэй нэр томъёог гадаргуу дээрх интегралаар солино.

Мөн бид бүхэл бүтэн орон зайд интегралддаг тул энэ интеграл дахь гадаргуу нь хязгааргүйд оршдог. Энэ нь гэсэн үг бөгөөд бид ижил үр дүнд хүрнэ.

Одоо л бид бүх төлбөр хаана байгааг мэдэхгүй байгаа асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг ойлгож эхэлж байна. Ямар нэгэн байдлаар цэнэгийг хуваарилдаг дамжуулагчтай болцгооё. Хэрэв бүх дамжуулагч дээрх потенциалууд тогтмол байвал бидний хамгийн бага зарчмыг дагаж мөрдөхийг зөвшөөрнө. Бид зөвхөн бүх дамжуулагчийн гадна байрлах бүс нутагт нэгтгэх болно. Гэхдээ бид дамжуулагч, тэдгээрийн гадаргуу болон гадаргуугийн интеграл дээр өөрчлөгдөж чадахгүй

мөн тэг байна. Үлдсэн эзлэхүүний нэгтгэл

зөвхөн дамжуулагчийн хоорондох зайд хийх шаардлагатай. Мэдээжийн хэрэг бид Пуассоны тэгшитгэлийг дахин авна

Тиймээс бид тус бүр нь тогтмол потенциалтай байдаг дамжуулагчийн хоорондох зайд тооцоолсон ч гэсэн бидний анхны интеграл хамгийн багадаа хүрдэг болохыг харуулсан [энэ нь туршилтын функц бүр дамжуулагчийн өгөгдсөн потенциалтай тэнцүү байх ёстой гэсэн үг юм. үед - дамжуулагчийн гадаргуу дээрх цэгүүд ].

Сонирхолтой зүйл байна онцгой тохиолдол, цэнэг нь зөвхөн дамжуулагч дээр байрлах үед. Дараа нь

Бидний хамгийн бага зарчим нь дамжуулагч бүр өөрийн гэсэн урьдчилан тодорхойлсон потенциалтай тохиолдолд тэдгээрийн хоорондын зай дахь потенциалыг интегралыг аль болох бага байлгахаар тохируулдаг гэдгийг бидэнд хэлдэг. Энэ ямар төрлийн интеграл вэ? Гишүүн нь цахилгаан орон юм. Энэ нь интеграл нь цахилгаан статик энерги гэсэн үг юм. Зөв талбар бол боломжит градиент хэлбэрээр олж авсан бүх талбаруудаас хамгийн бага нийт энергитэй цорын ганц талбар юм.

Би энэ үр дүнг тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж, эдгээр бүх зүйл бодит практик ач холбогдолтой гэдгийг харуулахыг хүсч байна. Би цилиндр конденсатор хэлбэрээр хоёр дамжуулагчийг авлаа гэж бодъё.

Дотоод дамжуулагчийн потенциал нь жишээлбэл, гаднах дамжуулагчийн потенциал тэг байна. Дотор дамжуулагчийн радиусыг , гаднах дамжуулагчийн радиустай тэнцүү байг. Одоо бид тэдгээрийн хоорондох потенциалын хуваарилалт ямар ч байсан гэж үзэж болно. Гэхдээ бид зөв утгыг аваад тооцоолвол , тэгвэл системийн энерги нь . Тиймээс бидний зарчмыг ашиглан та хүчин чадлыг тооцоолж болно. Хэрэв бид буруу боломжит хуваарилалтыг авч, энэ аргыг ашиглан конденсаторын багтаамжийг тооцоолохыг оролдвол бид хэтэрхий их байх болно. асар их ач холбогдолтойхүчин чадал нь тогтмол . Бодит үнэ цэнэтэйгээ яг таарахгүй байгаа аливаа тооцоолсон боломж нь шаардлагатай хэмжээнээс их буруу утгатай болоход хүргэдэг. Гэхдээ буруу сонгогдсон боломж нь ойролцоогоор ойролцоо хэвээр байвал багтаамжийг сайн нарийвчлалтайгаар олж авах болно, учир нь алдаа нь алдаатай харьцуулахад хоёр дахь дарааллын хэмжээ юм.

Би цилиндр конденсаторын багтаамжийг мэдэхгүй гэж бодъё. Дараа нь түүнийг танихын тулд би энэ зарчмыг ашиглаж болно. Би хамгийн бага утгад хүрэх хүртлээ янз бүрийн функцийг боломжит гэж туршиж үзэх болно. Жишээлбэл, би тогтмол талбарт тохирох потенциалыг сонгосон гэж бодъё. (Мэдээж та энд байгаа талбар нь тогтмол биш гэдгийг мэдэж байгаа; энэ нь үүнтэй адил өөрчлөгддөг.) Хэрэв талбар тогтмол бол энэ нь потенциал нь зайнаас шугаман хамааралтай гэсэн үг юм. Дамжуулагч дээрх хүчдэл шаардлагатай байхын тулд функц нь хэлбэртэй байх ёстой

Хэдийгээр (мөн энэ нь тогтмол болон шугаман талбаруудын хооронд нэлээд том ялгаа гарахад хүргэдэг) ч гэсэн би нэлээд боломжийн ойролцоо дүгнэлтийг олж авдаг. Хариулт нь мэдээжийн хэрэг хүлээгдэж буйчлан арай хэт өндөр байна. Гэхдээ том цилиндр дотор нимгэн утсыг байрлуулсан бол бүх зүйл илүү муу харагдаж байна. Дараа нь талбар нь маш хүчтэй өөрчлөгдөж, түүнийг солино тогтмол талбарсайн зүйлд хүргэхгүй. Бид хариултыг бараг хоёр дахин хэтрүүлсэн үед. Жижиг хүмүүсийн хувьд байдал илүү дээр харагдаж байна. Эсрэг хязгаарт, дамжуулагчийн хоорондох зай тийм ч өргөн биш байх үед (жишээлбэл, үед) тогтмол талбар нь маш сайн ойролцоо болж хувирдаг бөгөөд энэ нь аравны нэг хувь хүртэл нарийвчлалтай утгыг өгдөг.

Одоо би энэ тооцоог хэрхэн сайжруулахыг танд хэлэх болно. (Мэдээж та цилиндрийн хариултыг мэдэж байгаа, гэхдээ та зөв хариултыг нь мэдэхгүй байж болох зарим нэг ер бусын конденсаторын хэлбэрт ижил арга хэрэгждэг.) Дараагийн алхам бол бидний хийж буй бодит потенциалын ойролцоо тооцоолол олох явдал юм. мэдэхгүй. Тогтмол нэмэх илтгэгч зэргийг шалгаж болно гэж бодъё. Гэхдээ хэрэв та үнэнийг мэдэхгүй бол хамгийн сайн ойролцооллыг авсан гэдгээ яаж мэдэх вэ? Хариулт: Тооцоолох; бага байх тусам үнэнд ойртоно. Энэ санааг туршиж үзье. Потенциал нь шугаман биш, харин квадрат дахь квадрат, цахилгаан орон нь тогтмол биш, харин шугаман байг. Хамгийн нийтлэг квадрат хэлбэр, аль нь эргэж байна. Би хамгийн багадаа хүрэх болно. Энгийн зүйл рүү эргэв дифференциал тооцоо, Би хамгийн багадаа итгэлтэй байна

1.1 хариулт нь хүлээгдэж буй 10.492070 биш харин 10.492065 болж хувирав. Сайн хариултыг хүлээж байсан газар энэ нь маш сайн болж хувирдаг.

Би эдгээр бүх жишээг нэгдүгээрт, хамгийн бага үйлдлийн зарчим ба ерөнхийдөө хамгийн бага зарчмын онолын үнэ цэнийг харуулах, хоёрдугаарт, хүчин чадлыг тооцоолохын тулд огт биш харин практик ач холбогдолтой болохыг харуулахын тулд өгсөн. Бид аль хэдийн байгаа гэдгийг бид маш сайн мэддэг. Өөр ямар ч хэлбэрийн хувьд та үл мэдэгдэх хэд хэдэн параметртэй ойролцоо талбарыг оролдоод тэдгээрийг хамгийн бага хэмжээнд тохируулж болно. Та маш сайн хүлээн авах болно тоон үр дүнөөр аргаар шийдвэрлэх боломжгүй асуудлуудад.

Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь гэр бүлийн дунд хамгийн чухал; энэ нь орчин үеийн физикийн гол заалтуудын нэг юм.

Зарчмын анхны томьёоллыг 1744 онд (П. Маупертуйс (Франц)) өгсөн. Эндээс тэрээр гэрлийн тусгал, хугарлын хуулиудыг гаргаж авсан.

Сонгодог механик дахь хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим

Эхлээд нэгтэй физик системийн жишээн дээр бидний энд ярьж байгаа зүйл бол , өөрөөр хэлбэл x(t) функц бүртэй тодорхой тоог холбодог дүрэм гэдгийг эргэн санацгаая. Үйлдэл нь дараах байдлаар харагдаж байна. S[x] = \int \маткал(L)(x(t),\dot(x)(t),t) dt, Хаана \маткал(L)(x(t),\цэг(x)(t),t)Замын чиглэлээс (жишээ нь, координатууд нь эргээд цаг хугацаанаас хамаардаг), цаг хугацааны анхныхаас хамаардаг системүүд байдаг бөгөөд мөн .

Хэчнээн "зэрлэг", "байгалийн бус" байсан ч хамаагүй дур зоргоороо үйлдлийг тооцоолж болно. Гэсэн хэдий ч, боломжит замналуудын дунд зөвхөн нэг л бие нь явах болно. Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь бие хэрхэн хөдлөх вэ гэсэн асуултанд яг тодорхой хариулдаг.

Энэ нь хэрэв системийн Лагранж өгөгдсөн бол бид үүнийг ашиглан бие яг хэрхэн хөдөлж байгааг тогтоож чадна гэсэн үг юм.

Хэрэв асуудлын нөхцлөөс зарчмын хувьд хөдөлгөөний хуулийг олох боломжтой бол энэ нь жинхэнэ хөдөлгөөний хувьд туйлын утгыг авах функцийг бүтээх боломжтой гэсэн үг болохыг анхаарна уу.

Бид хамгийн гайхалтай зүйлсийн нэгийг товчхон авч үзсэн физикийн зарчим- хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмыг баримталж, үүнтэй зөрчилдөж буй жишээн дээр тогтсон. Энэ нийтлэлд бид энэ зарчмыг бага зэрэг нарийвчлан авч үзээд юу болсныг харах болно энэ жишээнд.

Энэ удаад бидэнд бага зэрэг хэрэгтэй болно илүү математик. Гэсэн хэдий ч би нийтлэлийн гол хэсгийг дахин танилцуулахыг хичээх болно анхан шатны түвшин. Бага зэрэг хатуу ба хэцүү мөчүүдБи тэдгээрийг өнгөөр ​​тодруулах болно, та өгүүллийн үндсэн ойлголтыг алдагдуулахгүйгээр алгасаж болно.

Хилийн нөхцөл
Бид хамгийн энгийн объект болох орон зайд чөлөөтэй хөдөлж, ямар ч хүч үйлчилдэггүй бөмбөгөөс эхэлнэ. Мэдэгдэж байгаагаар ийм бөмбөг жигд, шулуун хөдөлдөг. Энгийн байхын тулд тэнхлэгийн дагуу хөдөлдөг гэж үзье

Түүний хөдөлгөөнийг үнэн зөв дүрслэхийн тулд дүрмээр бол анхны нөхцлийг зааж өгсөн болно. Тухайлбал, цаг хугацааны эхний мөчид гэж заасан байдаг

бөмбөг цэг дээр байсан

координаттай

мөн хурдтай байсан

Энэ маягт дахь анхны нөхцөлийг тодорхойлсны дараа бид онцгой байдлаар тодорхойлно цаашдын хөдөлгөөнбөмбөг - энэ нь тогтмол хурдтай хөдөлж, тухайн агшин дахь байрлал

эхний байрлал дээр нэмсэн хурдыг өнгөрсөн хугацаанд үржүүлсэнтэй тэнцүү байна:

Ийм тохируулах арга анхны нөхцөлмаш байгалийн бөгөөд зөн совинтой. Бид цаг хугацааны эхний мөчид бөмбөгний хөдөлгөөний талаар шаардлагатай бүх мэдээллийг тодорхойлсон бөгөөд дараа нь түүний хөдөлгөөнийг Ньютоны хуулиудаар тодорхойлно.

Гэсэн хэдий ч энэ нь тийм биш юм цорын ганц арга замбөмбөгний хөдөлгөөнийг тодорхойлох. Өөр нэг арга бол бөмбөгний байрлалыг хоёр өөр цагт тохируулах явдал юм

Тэдгээр. гэж асуу:
1) тухайн цаг мөчид

бөмбөг цэг дээр байсан

(координаттай

);
2) тухайн цаг мөчид

бөмбөг цэг дээр байсан

(координаттай

"Нэг цэг дээр байсан" гэсэн илэрхийлэл

"Энэ нь бөмбөг тухайн цэг дээр тайван байсан гэсэн үг биш юм

Хэсэг хугацааны дараа

тэр цэгээр нисч чадна

Энэ нь тухайн цаг мөчид түүний байр суурь гэсэн үг

цэгтэй давхцсан

Тухайн цэгт мөн адил хамаарна

Эдгээр хоёр нөхцөл нь бөмбөгний хөдөлгөөнийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Түүний хөдөлгөөнийг тооцоолоход хялбар байдаг. Хоёр нөхцлийг хангахын тулд бөмбөгний хурд тодорхой байх ёстой

Цагийн агшин дахь бөмбөгний байрлал

дахин эхний байрлал дээр нэмсэн хурдыг өнгөрсөн хугацаанд үржүүлсэнтэй тэнцүү байна:

Даалгаврын нөхцөлд бид зааж өгөх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу анхны хурд. Үүнийг 1) ба 2) нөхцлөөс онцгойлон тодорхойлсон.

Хоёрдахь аргаар нөхцөлийг тохируулах нь ер бусын харагдаж байна. Тэднээс яагаад ийм маягаар асуух шаардлагатай байгаа нь тодорхойгүй байж магадгүй юм. Гэхдээ хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмын хувьд даалгавар хэлбэрээр бус 1) ба 2) хэлбэрийн нөхцлийг ашигладаг. анхны байрлалба анхны хурд.

Хамгийн бага үйлдэлтэй зам.
Одоо бодит байдлаас жаахан завсарлая чөлөөт хөдөлгөөнбөмбөг аваад дараах цэвэр математикийн бодлогыг авч үзье. Бид гараараа хүссэнээрээ хөдөлгөж чадах бөмбөгтэй гэж бодъё. Энэ тохиолдолд бид 1) ба 2) нөхцлийг биелүүлэх шаардлагатай. Тэдгээр. хоорондох хугацаанд

Бид үүнийг цэгээс нь шилжүүлэх ёстой

Үүнийг бүрэн хийж болно янз бүрийн арга замууд. Бид ийм арга бүрийг бөмбөгний хөдөлгөөний зам гэж нэрлэх бөгөөд үүнийг бөмбөгний байрлалын цаг хугацааны функцээр тодорхойлж болно.

Бөмбөгний байрлалыг цаг хугацаатай харьцуулсан график дээр эдгээр хэд хэдэн замыг зурцгаая.

Жишээлбэл, бид бөмбөгийг ижил хурдтайгаар хөдөлгөж болно

(ногоон зам). Эсвэл бид үүнийг хагас цагийн турш хэвээр байлгаж чадна

Тэгээд хоёр дахин хурдтайгаар цэг рүү шилжинэ

(цэнхэр замнал). Та эхлээд эсрэг чиглэлд хөдөлгөж болно

тал руу шилжүүлж, дараа нь шилжүүлнэ үү

(хүрэн замнал). Та үүнийг урагш хойш хөдөлгөж болно (улаан зам). Ерөнхийдөө 1) ба 2) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд та хүссэнээрээ хөдөлгөж болно.

Ийм замнал бүрийн хувьд бид тоог холбож болно. Бидний жишээнд, i.e. Бөмбөг дээр үйлчлэх хүч байхгүй тохиолдолд энэ тоо нь түүний хөдөлгөөний бүх хугацаанд хуримтлагдсан кинетик энергитэй тэнцүү байна.

бөгөөд үйлдэл гэж нэрлэдэг.

IN энэ тохиолдолд"хуримтлагдсан" кинетик энерги гэдэг үг нь утгыг тийм ч зөв илэрхийлж чадахгүй. Бодит байдал дээр кинетик энерги нь хаана ч хуримтлагддаггүй; Математикт ийм хуримтлалын тухай маш сайн ойлголт байдаг - интеграл:

Үйлдлийг ихэвчлэн үсгээр илэрхийлдэг

кинетик энерги гэсэн үг. Энэ интеграл гэдэг нь үйлдэл нь тухайн цаг хугацааны туршид бөмбөгний хуримтлагдсан кинетик энергитэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, 1 кг жинтэй бөмбөгийг авч, зарим хилийн нөхцөлийг тогтоож, хоёр өөр траекторийн үйлдлийг тооцоолъё. Гол нь байя

цэгээс 1 метрийн зайд байрладаг

цаг хугацаанаас хол

1 секундын турш. Тэдгээр. Бид цаг хугацааны эхний мөчид байсан бөмбөгийг хөдөлгөх ёстой

Нэг секундын дотор тэнхлэгийн дагуу 1 м-ийн зайд

Эхний жишээнд (ногоон зам) бид бөмбөгийг жигд хөдөлгөж, өөрөөр хэлбэл. ижил хурдтай байх нь тодорхой байна:

м/с. Цаг мөч бүрт бөмбөгний кинетик энерги нь дараахтай тэнцүү байна.

1/2 Ж. Нэг секундын дотор 1/2 Ж хуримтлагдана

кинетик энергитэй. Тэдгээр. Ийм траекторийн үйлдэл нь дараахтай тэнцүү байна.

Одоо бөмбөгийг цэгээс шууд хөдөлгөж болохгүй

Тэгээд хагас секундын турш цэг дээр нь барьцгаая

Тэгээд үлдсэн хугацаанд бид үүнийг цэг рүү жигд шилжүүлнэ

Эхний хагас секундэд бөмбөг амарч, кинетик энерги нь тэг байна. Тиймээс траекторийн энэ хэсгийн үйл ажиллагаанд оруулах хувь нэмэр мөн тэг байна. Хоёр дахь хагас секундэд бид бөмбөгийг хоёр дахин хурдтайгаар хөдөлгөдөг.

м/с. Кинетик энерги нь тэнцүү байх болно

2 J. Энэ хугацааны үйл ажиллагаанд оруулсан хувь нэмэр нь секундын хагасыг 2 Ж үржүүлсэнтэй тэнцүү байх болно, i.e. 1 Ж

-тай. Тийм ч учраас ерөнхий үйлдэлийм замналын хувьд энэ нь болж хувирав

Үүний нэгэн адил, бидний өгсөн 1) ба 2) хилийн нөхцөл бүхий бусад замнал нь энэ траекторийн үйлдэлтэй тэнцүү тодорхой тоотой тохирч байна. Ийм бүх замналуудын дунд хамгийн бага үйлдэлтэй зам байдаг. Энэ зам нь ногоон зам, i.e. гэдгийг баталж болно. бөмбөгний жигд хөдөлгөөн. Бусад ямар ч замналын хувьд энэ нь хичнээн төвөгтэй байсан ч үйлдэл нь 1/2-ээс их байх болно.

Математикийн хувьд функц бүрийн хувьд ийм зураглал тодорхой тоофункциональ гэж нэрлэдэг. Физик, математикийн хувьд манайхтай төстэй асуудлууд ихэвчлэн гарч ирдэг, жишээлбэл. тодорхой функцийн утга хамгийн бага байх функцийг олох. Жишээлбэл, том хэмжээтэй байсан ажлуудын нэг түүхэн утга учирМатематикийг хөгжүүлэх нь даалгавар юм бахистохрон. Тэдгээр. бөмбөг хамгийн хурдан өнхрөх муруйг олох. Дахин хэлэхэд муруй бүрийг h(x) функцээр илэрхийлж болох бөгөөд функц бүрийг тоогоор холбож болно, энэ тохиолдолд бөмбөг өнхрөх хугацаа. Дахин хэлэхэд, функцийн утга нь хамгийн бага байх функцийг олоход асуудал үүсдэг. Ийм асуудлыг авч үздэг математикийн салбарыг вариацын тооцоо гэж нэрлэдэг.

Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим.
Дээр дурдсан жишээн дээр бид хоёр өөр аргаар олж авсан хоёр тусгай замналтай байна.

Эхний траекторийг физикийн хуулиас олж авсан бөгөөд чөлөөт бөмбөгний бодит замналтай тохирч, ямар ч хүч үйлчлэхгүй бөгөөд хилийн нөхцөлийг 1) ба 2) хэлбэрээр зааж өгсөн болно.

Хоёр дахь траекторийг -аас авсан математикийн асуудалөгөгдсөн хилийн нөхцөл бүхий траекторийг олох 1) ба 2)-ийн хувьд үйлдэл нь хамгийн бага байна.

Хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь эдгээр хоёр зам давхцах ёстой гэж заасан байдаг. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бөмбөг 1) ба 2) хилийн нөхцлүүдийг хангасан байдлаар хөдөлсөн нь мэдэгдэж байгаа бол энэ нь ижил хилтэй бусад траектортой харьцуулахад үйлдэл нь хамгийн бага байх ёстой траекторийн дагуу хөдөлсөн байх ёстой. нөхцөл.

Үүнийг хэн нэгэн нь санамсаргүй тохиолдол гэж үзэж болно. Нэг төрлийн траектор, шулуун шугам гарч ирдэг олон асуудал байдаг. Гэсэн хэдий ч хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим нь бусад нөхцөл байдалд, жишээлбэл, жигд таталцлын талбар дахь бөмбөгний хөдөлгөөнд хамаарах маш ерөнхий зарчим болж хувирдаг. Үүнийг хийхийн тулд кинетик энергийг кинетик ба боломжит энергийн ялгаагаар солих хэрэгтэй. Энэ ялгааг Лагранжийн эсвэл Лагранжийн функц гэж нэрлэдэг бөгөөд одоо үйл ажиллагаа нь нийт хуримтлагдсан Лагранжтай тэнцүү болно. Үнэн хэрэгтээ Лагранж функц нь системийн динамик шинж чанаруудын талаархи шаардлагатай бүх мэдээллийг агуулдаг.

Хэрэв бид таталцлын жигд талбарт бөмбөгийг цэгийг өнгөрөх байдлаар хөөргөх юм бол

цаг хугацааны хувьд

мөн цэг дээр ирлээ

цаг хугацааны хувьд

Дараа нь Ньютоны хуулиудын дагуу тэрээр параболоор нисэх болно. Энэ парабола нь үйлдэл нь хамгийн бага байх траекторуудтай давхцах болно.

Тиймээс, боломжит талбарт, жишээлбэл, дэлхийн таталцлын талбарт хөдөлж буй биеийн хувьд Лагранжийн функц нь дараахтай тэнцүү байна.

Кинетик энерги

биеийн хурдаас хамаардаг ба боломж нь түүний байрлалаас хамаардаг, i.e. координатууд

IN аналитик механиксистемийн байрлалыг тодорхойлдог бүхэл бүтэн координатыг ихэвчлэн нэг үсгээр тэмдэглэдэг

Таталцлын талбарт чөлөөтэй хөдөлж буй бөмбөгний хувьд,

координат гэсэн үг

Аливаа хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийлэхийн тулд физикт ихэвчлэн энэ хэмжигдэхүүн дээр цэг тавьдаг. Жишээлбэл,

координатын өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийлнэ

Эсвэл өөрөөр хэлбэл биеийн чиглэлийн хурд

Эдгээр конвенцуудыг ашиглан аналитик механик дахь бөмбөгний хурдыг дараах байдлаар тэмдэглэв

хурдны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хэлнэ

Лагранжийн функц нь хурд, координатаас хамаардаг бөгөөд мөн цаг хугацаанаас шууд хамааралтай байдаг (цаг хугацааны хувьд тодорхой хамааралтай гэдэг нь утга

цаг хугацааны өөр өөр мөчид, бөмбөгний ижил хурд, байрлалд), дараа нь үйлдлийг ерөнхийд нь бичнэ

Үргэлж хамгийн бага биш
Гэсэн хэдий ч өмнөх хэсгийн төгсгөлд бид хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим ажиллахгүй байгаа жишээг авч үзсэн. Үүнийг хийхийн тулд бид дахин ямар ч хүчгүй чөлөөт бөмбөг авч, хажууд нь булгийн ханыг байрлуулав.

Бид цэгүүд байхаар хилийн нөхцөлийг тогтоосон

таарах. Тэдгээр. мөн яг одоо

мөн яг одоо

бөмбөг нэг цэг дээр дуусах ёстой

Боломжит замуудын нэг нь бөмбөг зогсох байх болно. Тэдгээр. хоорондох бүх цаг хугацаа

тэр цэг дээр зогсох болно

Энэ тохиолдолд кинетик ба боломжит энерги тэгтэй тэнцүү байх тул ийм траекторийн үйлдэл нь тэгтэй тэнцүү байх болно.

Хатуухан хэлэхэд потенциал энергийн зөрүү нь 0-тэй тэнцүү биш, харин ямар ч тоотой тэнцүү байж болно. өөр өөр цэгүүдзай. Гэсэн хэдий ч боломжит эрчим хүчний үнэ цэнийг өөрчлөх нь хамгийн бага үйлдэлтэй замнал хайхад нөлөөлөхгүй. Зүгээр л бүх траекторийн хувьд үйл ажиллагааны утга ижил тоо болж өөрчлөгдөх бөгөөд хамгийн бага үйлдэлтэй зам нь хамгийн бага үйлдэлтэй траектор хэвээр байх болно. Тохиромжтой болгохын тулд бөмбөгний хувьд бид тэгтэй тэнцүү потенциал энергийг сонгоно.

Хилийн ижил нөхцөлтэй өөр нэг боломжит физик зам бол бөмбөг эхлээд баруун тийш нисч, цэгийг өнгөрөөх зам байж болно.

цаг хугацааны хувьд

Дараа нь тэр пүрштэй мөргөлдөж, түүнийг шахаж, пүршийг шулуун болгож, бөмбөгийг буцааж түлхэж, тэр цэгийн хажуугаар дахин нисэв.

Бөмбөгийн хурдыг сонгох боломжтой бөгөөд ингэснээр хананаас үсэрч, цэгийг дамжуулна

яг цагтаа

Ийм траекторийн үйлдэл нь тухайн цэгийн хоорондох нислэгийн үед хуримтлагдсан кинетик энергитэй үндсэндээ тэнцүү байх болно.

мөн хана ба ар тал. Бөмбөлөг нь пүршийг шахаж, боломжит энерги нь нэмэгдэх бөгөөд энэ хугацаанд боломжит энерги нь үйлдэлд сөрөг нөлөө үзүүлэх болно. Гэхдээ ийм хугацаа нь тийм ч удаан үргэлжлэхгүй бөгөөд үр нөлөөг мэдэгдэхүйц бууруулахгүй.

Зурагт бөмбөгний хөдөлгөөний физикийн боломжит замыг хоёуланг нь харуулж байна. Ногоон зам нь тайван байдалд байгаа бөмбөгтэй тохирч байгаа бол цэнхэр зам нь хаврын хананаас үсэрч буй бөмбөгтэй тохирч байна.

Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн зөвхөн нэг нь хамгийн бага нөлөөтэй, тухайлбал эхнийх нь! Хоёр дахь зам нь илүү их үйлдэлтэй. Энэ асуудалд бие махбодийн хувьд боломжтой хоёр зам байгаа бөгөөд зөвхөн нэг нь хамгийн бага үйлдэлтэй байдаг. Тэдгээр. Энэ тохиолдолд хамгийн бага үйлдэл хийх зарчим ажиллахгүй.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүд.
Энд юу болж байгааг ойлгохын тулд одоохондоо хамгийн бага үйлдэл хийх зарчмыг үл тоомсорлож, энгийн функцууд руу шилжье. Зарим функцийг авч үзье

мөн түүний графикийг зур:

Би график дээр тэмдэглэв ногоондөрвөн тусгай цэг. Эдгээр нийтлэг зүйл юу вэ? Функцийн график нь бөмбөг эргэлдэж болох бодит слайд гэж төсөөлье. Зориулалтын дөрвөн цэг нь бөмбөгийг яг энэ цэг дээр байрлуулбал хаашаа ч өнхрөхгүй гэдгээрээ онцлог юм. Бусад бүх цэгүүдэд, жишээлбэл, Е цэг дээр тэрээр зогсож чадахгүй бөгөөд доошоо гулсаж эхэлнэ. Ийм цэгүүдийг суурин гэж нэрлэдэг. Ийм цэгүүдийг олох нь ашигтай даалгавар, учир нь функцийн аль ч их эсвэл минимум нь хурц завсарлагагүй бол заавал хөдөлгөөнгүй цэг байх ёстой.

Хэрэв бид эдгээр цэгүүдийг илүү нарийвчлалтай ангилвал А цэг нь функцийн үнэмлэхүй минимум юм. түүний утга нь бусад функцийн утгаас бага байна. В цэг нь максимум ч биш, хамгийн бага ч биш бөгөөд эмээлийн цэг гэж нэрлэдэг. С цэгийг орон нутгийн максимум гэж нэрлэдэг, i.e. үүн дэх утга нь функцийн зэргэлдээх цэгүүдээс их байна. Мөн D цэг - орон нутгийн доод хэмжээ, өөрөөр хэлбэл үүн дэх утга нь функцийн зэргэлдээх цэгүүдээс бага байна.

Ийм цэгүүдийг хайх ажлыг математик анализ гэж нэрлэгддэг математикийн салбар гүйцэтгэдэг. Үгүй бол хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнтэй ажиллах боломжтой тул үүнийг заримдаа хязгааргүй бага анализ гэж нэрлэдэг. Үзэл бодлоос математик шинжилгээсуурин цэгүүд нь нэг онцгой шинж чанартай байдаг бөгөөд үүний ачаар тэд олддог. Энэ өмч гэж юу болохыг ойлгохын тулд эдгээр цэгүүдээс маш бага зайд функц ямар харагддагийг ойлгох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид микроскоп авч, цэгүүдээ үзэх болно. Зураг нь янз бүрийн томруулсан цэгүүдийн ойролцоо функц хэрхэн харагдахыг харуулж байна.

Маш өндөр томруулсан үед (жишээ нь, маш бага хазайлт x) үед хөдөлгөөнгүй цэгүүд нь яг адилхан харагдах ба хөдөлгөөнгүй цэгээс эрс ялгаатай болохыг харж болно. Энэ ялгаа нь юу болохыг ойлгоход хялбар байдаг - хөдөлгөөнгүй цэг дээрх функцийн график нь нэмэгдэхэд хатуу хэвтээ шугам болж, хөдөлгөөнгүй цэг дээр налуу шугам болж хувирдаг. Ийм учраас хөдөлгөөнгүй цэг дээр суурилуулсан бөмбөг доошоо өнхрөхгүй.

Хөдөлгөөнгүй цэг дээрх функцийн хэвтээ байдлыг өөрөөр илэрхийлж болно: хөдөлгөөнгүй цэг дээрх функц нь түүний аргументыг маш бага өөрчлөхөд бараг өөрчлөгддөггүй.

Тэр ч байтугай маргааныг өөрчилсөнтэй харьцуулахад. Бага зэрэг өөрчлөлттэй хөдөлгөөнгүй цэг дээрх функц

өөрчлөлттэй пропорциональ өөрчлөгдөнө

Функцийн налуу их байх тусам функц өөрчлөгдөхөд илүү их өөрчлөгддөг

Үнэн хэрэгтээ, функц нэмэгдэхийн хэрээр энэ нь тухайн цэг дээрх графиктай шүргэгч болж хувирдаг.

Хатуу математик хэлилэрхийлэл "функц нь тухайн цэг дээр бараг өөрчлөгддөггүй

маш бага өөрчлөлттэй

" гэдэг нь функцийг өөрчлөх, түүний аргументыг өөрчлөх хоорондын хамаарлыг хэлнэ

үед 0 байх хандлагатай байдаг

0-д чиглэсэн:

$$дэлгэц$$lim_(∆x-ээс 0) фрак (∆y(x_0))(∆x) = lim_(x-ээс 0) фрак (y(x_0+∆x)-y(x_0))(∆x) = 0$$дэлгэц$$

Тогтвортой бус цэгийн хувьд энэ харьцаа нь тэг биш тоо руу чиглэдэг бөгөөд энэ нь функцийн налуугийн тангенстай тэнцүү байна. Энэ ижил тоог өгөгдсөн цэг дэх функцийн дериватив гэж нэрлэдэг. Функцийн дериватив нь тухайн цэгийн эргэн тойронд функц хэр хурдан өөрчлөгдөхийг харуулдаг жижиг өөрчлөлттүүний аргумент

Тиймээс суурин цэгүүд нь функцийн дериватив нь 0-тэй тэнцүү байх цэгүүд юм.

Хөдөлгөөнгүй траекторууд.
Хөдөлгөөнгүй цэгүүдтэй адилтгах замаар бид хөдөлгөөнгүй траекторийн тухай ойлголтыг танилцуулж болно. Замын зам бүр нь тодорхой үйл ажиллагааны утгатай тохирч байгааг санацгаая, өөрөөр хэлбэл. зарим тоо. Дараа нь ижил хилийн нөхцөлтэй ойролцоох траекторуудын хувьд харгалзах үйл ажиллагааны утга нь хөдөлгөөнгүй траекторийн үйлдлээс бараг ялгаагүй байх траектор байж болно. Ийм траекторийг хөдөлгөөнгүй гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, хөдөлгөөнгүй замд ойр байгаа аливаа траекторийн үйл ажиллагааны утга нь энэ хөдөлгөөнгүй траекторийн үйлдлээс маш бага ялгаатай байх болно.

Дахин хэлэхэд, математикийн хэлээр "бага зэрэг өөр" нь дараах байдалтай байна яг утга. Бидэнд өгөгдсөн функц байгаа гэж бодъё

шаардлагатай хилийн нөхцөл бүхий функцүүдийн хувьд 1) ба 2) i.e.

Замын чиглэл гэж үзье

- суурин.

Бид өөр ямар ч функцийг авч болно

Төгсгөлд нь тэг утгыг авдаг, өөрөөр хэлбэл.

0. Мөн хувьсагчийг авч үзье

Үүнийг бид бага багаар хийх болно. Эдгээр хоёр функц ба хувьсагчаас

Бид гурав дахь функцийг зохиож болно

Энэ нь мөн хилийн нөхцлийг хангана

Буурах үед

замнал, харгалзах функц

Замын замд улам ойртох болно

Түүнээс гадна, бага зэрэг суурин траекторийн хувьд

траекторийн функциональ утга

функцийн утгаас маш бага ялгаатай байх болно

харьцуулсан ч гэсэн

$$дэлгэц$$lim_(ε-ээс 0) frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=lim_(ε-ээс 0) frac (S(x(t)+εg(t) ))-S(x(t)))ε = 0$$дэлгэц$$

Түүнээс гадна, энэ нь ямар ч траекторийн хувьд үнэн байх ёстой

Хилийн нөхцлийг хангах

Функцийн өөрчлөлтийг бага зэрэг өөрчлөх (илүү нарийвчлалтай функциональ өөрчлөлтийн шугаман хэсэг, функцын өөрчлөлттэй пропорциональ) функцын өөрчлөлт гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ.

"Хувьцааны тооцоо" нэр нь "хувилбар" гэсэн нэр томъёоноос гаралтай.

Хөдөлгөөнгүй траекторийн хувьд функциональ өөрчлөлт

Хөдөлгөөнгүй функцийг олох аргыг (зөвхөн хамгийн бага үйлдлийн зарчмын хувьд төдийгүй бусад олон асуудлын хувьд) Эйлер, Лагранж гэсэн хоёр математикч олсон. Үйлдлийн интегралтай төстэй интегралаар функцээр илэрхийлэгддэг суурин функц нь одоо Эйлер-Лагранжийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тодорхой тэгшитгэлийг хангах ёстой болж байна.

Хөдөлгөөнгүй үйл ажиллагааны зарчим.
Замын хөдөлгөөний хамгийн бага үйлдэлтэй нөхцөл байдал нь функцүүдийн хамгийн бага үйлдэлтэй төстэй юм. Замын чиглэл нь хамгийн бага нөлөө үзүүлэхийн тулд хөдөлгөөнгүй зам байх ёстой. Гэсэн хэдий ч бүх хөдөлгөөнгүй траекторууд нь үйл ажиллагааны хамгийн бага зам биш юм. Жишээлбэл, хөдөлгөөнгүй зам нь орон нутгийн хэмжээнд хамгийн бага нөлөө үзүүлдэг. Тэдгээр. түүний үйлдэл бусад хөрш зэргэлдээх замналаас бага байх болно. Гэсэн хэдий ч хаа нэгтээ хол зайд үйл ажиллагаа нь бүр ч бага байх өөр замнал байж магадгүй юм.

Бодит биетүүд хамгийн бага үйлдэлтэй траекторийн дагуу хөдөлдөггүй байж магадгүй юм. Тэд илүү өргөн хүрээний тусгай траекторийн дагуу хөдөлж чаддаг, тухайлбал хөдөлгөөнгүй траекторууд. Тэдгээр. биеийн бодит замнал үргэлж хөдөлгөөнгүй байх болно. Тиймээс хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмыг хөдөлгөөнгүй үйл ажиллагааны зарчим гэж илүү зөв гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч тогтсон уламжлалын дагуу үүнийг хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчим гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь зөвхөн хамгийн бага байхаас гадна траекторийн хөдөлгөөнгүй байдлыг илэрхийлдэг.

Одоо бид тогтмол үйл ажиллагааны зарчмыг сурах бичигт ихэвчлэн бичсэн байдаг тул математик хэлээр бичиж болно.

Эдгээр нь ерөнхий координатууд, i.e. системийн байрлалыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог тооны багц.

Ерөнхий координатын өөрчлөлтийн хурд.

Ерөнхий координат, тэдгээрийн хурд, магадгүй цаг хугацаа зэргээс хамаарах Лагранж функц.

Системийн тодорхой замналаас хамаарах үйлдэл (жишээ нь.

Системийн бодит траекторууд нь хөдөлгөөнгүй, i.e. тэдний хувьд үйл ажиллагааны өөрчлөлт

Хэрэв бид бөмбөг, уян хана бүхий жишээ рүү буцах юм бол энэ нөхцөл байдлын тайлбар одоо маш энгийн болно. Өгөгдсөнийхөө төлөө хилийн нөхцөлбөмбөг байх ёстой бөгөөд энэ үед

болон үеэр

цэг дээр байх

хоёр хөдөлгөөнгүй траектор байдаг. Бөмбөг үнэндээ эдгээр замналуудын аль нэгний дагуу хөдөлж чаддаг. Замын аль нэгийг нь тодорхой сонгохын тулд та бөмбөгний хөдөлгөөнд ногдуулж болно нэмэлт нөхцөл. Жишээлбэл, бөмбөг хананаас үсрэх ёстой гэж хэлээрэй. Дараа нь замналыг хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлно.

Зарим гайхалтай үр дагавар нь хамгийн бага (илүү нарийвчлалтай) үйл ажиллагааны зарчмаас үүдэлтэй бөгөөд бид дараагийн хэсэгт хэлэлцэх болно.