Shënime të rëndësishme!
1. Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni këtë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini më shumë vëmendje navigatorit tonë burim i dobishëm Për
Shpesh dëgjojmë këtë frazë të pakëndshme: "Thjeshtoni shprehjen." Zakonisht ne shohim një lloj përbindëshi si ky:
"Është shumë më e thjeshtë," themi ne, por një përgjigje e tillë zakonisht nuk funksionon.
Tani do t'ju mësoj të mos keni frikë nga asnjë detyrë e tillë.
Për më tepër, në fund të mësimit ju do ta thjeshtoni këtë shembull në (vetëm!) numër i rregullt(po, në ferr me këto letra).
Por para se të filloni këtë aktivitet, duhet të jeni në gjendje trajtojnë fraksionet Dhe polinomet e faktorit.
Prandaj, nëse nuk e keni bërë këtë më parë, sigurohuni që të zotëroni temat "" dhe "".
A e keni lexuar? Nëse po, atëherë ju jeni gati.
Le të shkojmë (Le të shkojmë!)
Operacionet e thjeshtimit të shprehjeve bazë
Tani le të shohim teknikat bazë që përdoren për të thjeshtuar shprehjet.
Më e thjeshta është
1. Sjellja e ngjashme
Cilat janë të ngjashme? Ju e morët këtë në klasën e 7-të, kur shkronjat në vend të numrave u shfaqën për herë të parë në matematikë.
Të ngjashme- këto janë terma (monome) me të njëjtën pjesë shkronjash.
Për shembull, në total terma të ngjashëm- kjo jam unë.
A ju kujtohet?
Jep të ngjashme- nënkupton shtimin e disa termave të ngjashëm me njëri-tjetrin dhe marrjen e një termi.
Si mund t'i bashkojmë shkronjat? - pyet ti.
Kjo është shumë e lehtë për t'u kuptuar nëse imagjinoni se shkronjat janë një lloj objekti.
Për shembull, një letër është një karrige. Atëherë me çfarë është e barabartë shprehja?
Dy karrige plus tre karrige, sa do të jenë? Ashtu është, karriget: .
Tani provoni këtë shprehje: .
Për të shmangur konfuzionin, le shkronja të ndryshme përfaqësojnë objekte të ndryshme.
Për shembull, - është (si zakonisht) një karrige, dhe - është një tavolinë.
karrige tavolina karrige tavolina karrige karrige tavolina
Numrat me të cilët shumëzohen shkronjat në terma të tillë quhen koeficientët.
Për shembull, në një monom koeficienti është i barabartë. Dhe në të është e barabartë.
Pra, rregulli për sjelljen e të ngjashmeve është:
Shembuj:
Jepni të ngjashme:
Përgjigjet:
2. (dhe të ngjashme, pasi, pra, këto terma kanë të njëjtën pjesë shkronjash).
2. Faktorizimi
Kjo është zakonisht pjesa më e rëndësishme në thjeshtimin e shprehjeve.
Pasi të keni dhënë të ngjashme, më shpesh nevojitet shprehja që rezulton faktorizoj, pra paraqitet në formën e një produkti.
Sidomos kjo e rëndësishme në thyesa: në fund të fundit, për të qenë në gjendje të zvogëloni thyesën, Numëruesi dhe emëruesi duhet të paraqiten si prodhim.
Ju keni kaluar në detaje metodat e faktorizimit të shprehjeve në temën "", kështu që këtu thjesht duhet të mbani mend atë që keni mësuar.
Për ta bërë këtë, zgjidhni disa shembuj (duhet t'i faktorizoni ato)
Shembuj:
Zgjidhjet:
3. Zvogëlimi i një thyese.
Epo, çfarë mund të jetë më e këndshme sesa të kryqëzoni një pjesë të numëruesit dhe emëruesit dhe t'i hidhni ato nga jeta juaj?
Kjo është bukuria e zvogëlimit.
Është e thjeshtë:
Nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtët faktorë, ata mund të reduktohen, domethënë të hiqen nga thyesa.
Ky rregull rrjedh nga vetia themelore e një thyese:
Kjo do të thotë, thelbi i operacionit të reduktimit është se Numëruesin dhe emëruesin e thyesës e ndajmë me të njëjtin numër (ose me të njëjtën shprehje).
Për të reduktuar një fraksion ju duhet:
1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj
2) nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë faktorët e përbashkët, ato mund të kryqëzohen.
Shembuj:
Parimi, mendoj, është i qartë?
Do të doja të tërhiqja vëmendjen për një gjë gabim tipik kur kontraktohet. Edhe pse kjo temë është e thjeshtë, shumë njerëz bëjnë gjithçka gabim, duke mos e kuptuar këtë zvogëloni- kjo do të thotë ndajnë numëruesi dhe emëruesi janë i njëjti numër.
Nuk ka shkurtesa nëse numëruesi ose emëruesi është një shumë.
Për shembull: ne duhet të thjeshtojmë.
Disa e bëjnë këtë: gjë që është absolutisht e gabuar.
Një shembull tjetër: zvogëloni.
"Më i zgjuari" do ta bëjë këtë:
Më thuaj çfarë nuk shkon këtu? Do të duket: - ky është një shumëzues, që do të thotë se mund të reduktohet.
Por jo: - ky është një faktor i vetëm një termi në numërues, por vetë numëruesi në tërësi nuk është i faktorizuar.
Ja një shembull tjetër: .
Kjo shprehje është e faktorizuar, që do të thotë se mund ta zvogëloni atë, domethënë, ndani numëruesin dhe emëruesin me, dhe më pas me:
Mund ta ndani menjëherë në:
Për të shmangur gabime të tilla, mbani mend mënyrë e lehtë si të përcaktohet nëse një shprehje është faktorizuar:
Operacioni aritmetik që kryhet i fundit kur llogaritet vlera e një shprehjeje është operacioni "master".
Kjo do të thotë, nëse zëvendësoni disa (ndonjë) numra në vend të shkronjave dhe përpiqeni të llogaritni vlerën e shprehjes, atëherë nëse veprimi i fundit është shumëzimi, atëherë kemi një produkt (shprehja është e faktorizuar).
Nëse veprimi i fundit është mbledhja ose zbritja, kjo do të thotë që shprehja nuk faktorizohet (dhe për rrjedhojë nuk mund të reduktohet).
Për ta përforcuar këtë, zgjidhni vetë disa shembuj:
Shembuj:
Zgjidhjet:
4. Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.
Mbledhja dhe zbritja thyesat e zakonshme- Operacioni është i njohur: ne po kërkojmë emërues i përbashkët, shumëzojeni çdo thyesë me faktorin që mungon dhe shtoni/zbrisni numëruesit.
Le të kujtojmë:
Përgjigjet:
1. Emëruesit dhe janë relativisht të thjeshtë, pra nuk kanë faktorë të përbashkët. Prandaj, LCM e këtyre numrave është e barabartë me produktin e tyre. Ky do të jetë emëruesi i përbashkët:
2. Këtu emëruesi i përbashkët është:
3. Gjëja e parë këtu thyesat e përziera ne i kthejmë ato në të pasakta dhe më pas ndjekim modelin e zakonshëm:
Është një çështje krejtësisht e ndryshme nëse thyesat përmbajnë shkronja, për shembull:
Le të fillojmë me diçka të thjeshtë:
a) Emëruesit nuk përmbajnë shkronja
Gjithçka këtu është e njëjtë me atë të zakonshme thyesat numerike: gjeni emëruesin e përbashkët, shumëzojeni secilën thyesë me faktorin që mungon dhe shtoni/zbrisni numëruesit:
Tani në numërues mund të jepni të ngjashme, nëse ka, dhe t'i faktorizoni ato:
Provojeni vetë:
Përgjigjet:
b) Emëruesit përmbajnë shkronja
Le të kujtojmë parimin e gjetjes së një emëruesi të përbashkët pa shkronja:
· para së gjithash përcaktojmë faktorët e përbashkët;
· pastaj shkruajmë të gjithë faktorët e përbashkët një nga një;
· dhe t'i shumëzoni me të gjithë faktorët e tjerë jo të zakonshëm.
Për të përcaktuar faktorët e përbashkët të emëruesve, së pari i faktorizojmë në faktorët kryesorë:
Le të theksojmë faktorët e përbashkët:
Tani le të shkruajmë faktorët e përbashkët një nga një dhe t'u shtojmë të gjithë faktorët jo të zakonshëm (të pa nënvizuar):
Ky është emëruesi i përbashkët.
Le të kthehemi te letrat. Emëruesit janë dhënë saktësisht në të njëjtën mënyrë:
· faktorizoni emëruesit;
· të përcaktojë faktorët e përbashkët (identikë);
· shkruani një herë të gjithë faktorët e përbashkët;
· t'i shumëzojë me të gjithë faktorët e tjerë jo të zakonshëm.
Pra, me radhë:
1) faktorizoni emëruesit:
2) përcaktoni faktorët e përbashkët (identikë):
3) shkruani të gjithë faktorët e përbashkët një herë dhe shumëzojini me të gjithë faktorët e tjerë (të patheksuar):
Pra, këtu ka një emërues të përbashkët. Pjesa e parë duhet të shumëzohet me, e dyta - me:
Nga rruga, ekziston një mashtrim:
Për shembull: .
Ne shohim të njëjtët faktorë në emërues, vetëm të gjithë me tregues të ndryshëm. Emëruesi i përbashkët do të jetë:
deri në një shkallë
deri në një shkallë
deri në një shkallë
deri në një shkallë.
Le ta komplikojmë detyrën:
Si të bëjmë thyesat të kenë emërues të njëjtë?
Le të kujtojmë vetinë bazë të një thyese:
Askund nuk thotë se i njëjti numër mund të zbritet (ose shtohet) nga numëruesi dhe emëruesi i një thyese. Sepse nuk është e vërtetë!
Shihni vetë: merrni ndonjë thyesë, për shembull, dhe shtoni një numër në numëruesin dhe emëruesin, për shembull, . Çfarë mësuat?
Pra, një rregull tjetër i palëkundshëm:
Kur reduktoni thyesat në një emërues të përbashkët, përdorni vetëm veprimin e shumëzimit!
Por me çfarë ju duhet të shumëzoni për të marrë?
Pra shumëzojeni me. Dhe shumëzojeni me:
Shprehjet që nuk mund të faktorizohen do t'i quajmë "faktorë elementar".
Për shembull, - ky është një faktor elementar. - Njësoj. Por jo: mund të faktorizohet.
Po shprehja? Është elementare?
Jo, sepse mund të faktorizohet:
(ju tashmë keni lexuar për faktorizimin në temën "").
Pra, faktorët elementar në të cilët zgjeroni shprehjen me shkronja janë një analog faktorët kryesorë, në të cilën i zbërtheni numrat. Dhe ne do të merremi me ta në të njëjtën mënyrë.
Shohim që të dy emëruesit kanë një shumëzues. Do të shkojë në emëruesin e përbashkët deri në shkallë (kujtoni pse?).
Faktori është elementar, dhe ata nuk kanë një faktor të përbashkët, që do të thotë se thyesa e parë thjesht do të duhet të shumëzohet me të:
Një shembull tjetër:
Zgjidhja:
Para se t'i shumëzoni këta emërues në panik, duhet të mendoni se si t'i faktorizoni ato? Ata të dy përfaqësojnë:
E shkëlqyeshme! Pastaj:
Një shembull tjetër:
Zgjidhja:
Si zakonisht, le të faktorizojmë emëruesit. Në emëruesin e parë thjesht e vendosim jashtë kllapave; në të dytën - ndryshimi i katrorëve:
Duket se nuk ka faktorë të përbashkët. Por po t'i shikoni me vëmendje, ato janë të ngjashme... Dhe është e vërtetë:
Pra, le të shkruajmë:
Kjo do të thotë, doli kështu: brenda kllapës ne këmbyem termat, dhe në të njëjtën kohë shenja përpara fraksionit ndryshoi në të kundërtën. Kini parasysh, do t'ju duhet ta bëni këtë shpesh.
Tani le ta sjellim atë në një emërues të përbashkët:
E kuptove? Le ta kontrollojmë tani.
Detyrat për zgjidhje të pavarur:
Përgjigjet:
5. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave.
Epo, pjesa më e vështirë ka mbaruar tani. Dhe përpara nesh është më e thjeshta, por në të njëjtën kohë më e rëndësishmja:
Procedura
Cila është procedura e numërimit? shprehje numerike? Mbani mend duke llogaritur kuptimin e kësaj shprehjeje:
A keni numëruar?
Duhet të funksionojë.
Pra, më lejoni t'ju kujtoj.
Hapi i parë është llogaritja e shkallës.
E dyta është shumëzimi dhe pjesëtimi. Nëse ka disa shumëzime dhe pjesëtime në të njëjtën kohë, ato mund të bëhen në çdo rend.
Dhe së fundi, ne kryejmë mbledhje dhe zbritje. Përsëri, në çdo mënyrë.
Por: shprehja në kllapa vlerësohet jashtë radhe!
Nëse disa kllapa shumëzohen ose pjesëtohen me njëra-tjetrën, fillimisht llogarisim shprehjen në secilën prej kllapave dhe më pas shumëzojmë ose pjesëtojmë ato.
Po sikur të ketë më shumë kllapa brenda kllapave? Epo, le të mendojmë: një shprehje është shkruar brenda kllapave. Kur llogaritni një shprehje, çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, llogaritni kllapat. Epo, ne e kuptuam: së pari llogarisim kllapat e brendshme, pastaj gjithçka tjetër.
Pra, procedura për shprehjen e mësipërme është si më poshtë (veprimi aktual është theksuar me të kuqe, domethënë veprimi që po kryej tani):
Mirë, gjithçka është e thjeshtë.
Por kjo nuk është njësoj si një shprehje me shkronja?
Jo, është e njëjta gjë! Vetëm në vend të operacioneve aritmetike, duhet të bëni ato algjebrike, domethënë veprimet e përshkruara në pjesën e mëparshme: duke sjellë të ngjashme, duke shtuar thyesat, duke reduktuar thyesat, e kështu me radhë. Dallimi i vetëm do të jetë veprimi i faktorizimit të polinomeve (shpesh e përdorim këtë kur punojmë me thyesa). Më shpesh, për të faktorizuar, duhet të përdorni I ose thjesht të hiqni shumëzues i përbashkët jashtë kllapave.
Zakonisht qëllimi ynë është të përfaqësojmë shprehjen si produkt ose koeficient.
Për shembull:
Le të thjeshtojmë shprehjen.
1) Së pari, ne thjeshtojmë shprehjen në kllapa. Aty kemi një diferencë thyesash dhe synimi ynë është ta paraqesim atë si produkt ose koeficient. Pra, i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët dhe shtojmë:
Është e pamundur të thjeshtohet më tej kjo shprehje, të gjithë faktorët këtu janë elementar (e mbani mend akoma se çfarë do të thotë kjo?).
2) Ne marrim:
Shumëzimi i thyesave: çfarë mund të jetë më e thjeshtë.
3) Tani mund të shkurtoni:
Epo, kjo është e gjitha. Asgjë e komplikuar, apo jo?
Një shembull tjetër:
Thjeshtoni shprehjen.
Së pari, përpiquni ta zgjidhni vetë dhe vetëm atëherë shikoni zgjidhjen.
Zgjidhja:
Para së gjithash, le të përcaktojmë rendin e veprimeve.
Së pari, le të mbledhim thyesat në kllapa, kështu që në vend të dy thyesave marrim një.
Më pas do të bëjmë ndarjen e thyesave. Epo, le të shtojmë rezultatin me fraksionin e fundit.
Unë do t'i numëroj hapat në mënyrë skematike:
Së fundi, unë do t'ju jap dy këshilla të dobishme:
1. Nëse ka të ngjashme, duhet të sillen menjëherë. Në çdo moment që shfaqen të ngjashme në vendin tonë, këshillohet që ato të ngrihen menjëherë.
2. E njëjta gjë vlen edhe për thyesat reduktuese: sapo të shfaqet mundësia për të reduktuar, duhet të përfitohet. Përjashtim është për thyesat që shtoni ose zbritni: nëse tani kanë emërues të njëjtë, atëherë reduktimi duhet lënë për më vonë.
Këtu janë disa detyra që duhet t'i zgjidhni vetë:
Dhe çfarë u premtua në fillim:
Përgjigjet:
Zgjidhjet (e shkurtër):
Nëse keni përballuar të paktën tre shembujt e parë, atëherë e keni zotëruar temën.
Tani për të mësuar!
KONVERTIMI I SHPREHJEVE. PËRMBLEDHJE DHE FORMULA THEMELORE
Operacionet bazë të thjeshtimit:
- Duke sjellë të ngjashme: për të shtuar (zvogëluar) terma të ngjashëm, duhet të shtoni koeficientët e tyre dhe të caktoni pjesën e shkronjës.
- Faktorizimi: nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave, zbatimi i tij etj.
- Reduktimi i një fraksioni: Numëruesi dhe emëruesi i një thyese mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, i cili nuk e ndryshon vlerën e thyesës.
1) numëruesi dhe emëruesi faktorizoj
2) nëse numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët, ata mund të kryqëzohen.E RËNDËSISHME: vetëm shumëzuesit mund të reduktohen!
- Mbledhja dhe zbritja e thyesave:
; - Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave:
;
Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.
Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!
Tani gjëja më e rëndësishme.
Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.
Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...
Për çfarë?
Për përfundim me sukses Provimi i Unifikuar i Shtetit, për pranim në kolegj me buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.
Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...
Njerëzit që morën arsim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.
Por kjo nuk është gjëja kryesore.
Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...
Por mendoni vetë...
Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?
FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.
Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.
Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.
Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.
Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.
Gjeni koleksionin ku të doni, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!
Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.
Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.
Si? Ka dy opsione:
- Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
- Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR
Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.
Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.
Dhe në përfundim ...
Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.
"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.
Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!
Një shprehje algjebrike në të cilën, së bashku me veprimet e mbledhjes, zbritjes dhe shumëzimit, përdor edhe ndarjen në shprehje shkronjash, quhet shprehje algjebrike e pjesshme. Të tilla janë, për shembull, shprehjet
Thyesë algjebrike quajmë shprehje algjebrike që ka formën e një herësi të pjesëtimit të dy numrave të plotë. shprehjet algjebrike(për shembull, monomë ose polinom). Të tilla janë, për shembull, shprehjet
E treta e shprehjeve).
Shndërrimet identike të shprehjeve algjebrike thyesore në pjesën më të madhe synojnë t'i përfaqësojnë ato në formë thyesa algjebrike. Për të gjetur emëruesin e përbashkët, përdoret faktorizimi i emëruesve të thyesave - terma për të gjetur shumëfishin e tyre më të vogël të përbashkët. Kur zvogëloni fraksionet algjebrike, identiteti i rreptë i shprehjeve mund të cenohet: është e nevojshme të përjashtohen vlerat e sasive në të cilat faktori me të cilin bëhet zvogëlimi bëhet zero.
Le të japim shembuj transformimet e identitetit shprehjet algjebrike thyesore.
Shembulli 1: Thjeshtoni një shprehje
Të gjithë termat mund të reduktohen në një emërues të përbashkët (është i përshtatshëm për të ndryshuar shenjën në emëruesin e termit të fundit dhe shenjën përpara tij):
Shprehja jonë është e barabartë me një për të gjitha vlerat, përveç këtyre vlerave, është e papërcaktuar dhe zvogëlimi i fraksionit është i paligjshëm).
Shembulli 2. Paraqisni shprehjen si thyesë algjebrike
Zgjidhje. Shprehja mund të merret si emërues i përbashkët. Ne gjejmë në mënyrë sekuenciale:
Ushtrime
1. Gjeni vlerat e shprehjeve algjebrike kur vlerat e specifikuara parametrat:
2. Faktorizoni.
Ndër shprehje të ndryshme, të cilat konsiderohen në algjebër, vend i rëndësishëm zënë shuma monomësh. Këtu janë shembuj të shprehjeve të tilla:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Shuma e monomëve quhet polinom. Termat në një polinom quhen terma të polinomit. Monomet gjithashtu klasifikohen si polinome, duke e konsideruar një monom si një polinom të përbërë nga një anëtar.
Për shembull, një polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
mund të thjeshtohet.
Le t'i paraqesim të gjithë termat në formën e monomëve pamje standarde:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Le të paraqesim terma të ngjashëm në polinomin që rezulton:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultati është një polinom, të gjithë termat e të cilit janë monome të formës standarde, dhe midis tyre nuk ka të ngjashëm. Polinome të tilla quhen polinomet e formës standarde.
Për shkalla e polinomit të një forme standarde marrin kompetencat më të larta të anëtarëve të saj. Kështu, binomi \(12a^2b - 7b\) ka shkallën e tretë, dhe trinomi \(2b^2 -7b + 6\) ka të dytën.
Në mënyrë tipike, termat e polinomeve të formës standarde që përmbajnë një ndryshore renditen në rend zbritës të eksponentëve. Për shembull:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Shuma e disa polinomeve mund të shndërrohet (thjeshtohet) në një polinom të formës standarde.
Ndonjëherë termat e një polinomi duhet të ndahen në grupe, duke e mbyllur secilin grup në kllapa. Meqenëse kllapa është transformimi i anasjelltë i kllapave hapëse, është e lehtë të formulohet Rregullat për hapjen e kllapave:
Nëse një shenjë "+" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me të njëjtat shenja.
Nëse një shenjë "-" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me shenja të kundërta.
Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të një monomi dhe një polinomi
Duke përdorur vetitë shpërndarëse shumëzimet mund të shndërrohen (thjeshtohen) në një polinom, produkt i një monomi dhe një polinomi. Për shembull:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Prodhimi i një monomi dhe i një polinomi është identikisht i barabartë me shumën e produkteve të këtij monomi dhe secilit prej termave të polinomit.
Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.
Për të shumëzuar një monom me një polinom, duhet ta shumëzoni atë monom me secilin prej termave të polinomit.
Ne e kemi përdorur tashmë këtë rregull disa herë për të shumëzuar me një shumë.
Prodhimi i polinomeve. Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të dy polinomeve
Në përgjithësi, prodhimi i dy polinomeve është identikisht i barabartë me shumën e prodhimit të secilit term të një polinomi dhe secilit anëtar të tjetrit.
Zakonisht përdoret rregulli i mëposhtëm.
Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të tjetrit dhe të shtoni produktet që rezultojnë.
Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Katroret e shumës, dallimet dhe diferenca e katrorëve
Ju duhet të merreni me disa shprehje në transformimet algjebrike më shpesh se të tjerat. Ndoshta shprehjet më të zakonshme janë \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dhe \(a^2 - b^2 \), pra katrori i shumës, katrori i ndryshimi dhe ndryshimi i katrorëve. A e keni vënë re se emrat shprehjet e specifikuara sikur të mos plotësohej, për shembull, \((a + b)^2 \) është, natyrisht, jo vetëm katrori i shumës, por katrori i shumës së a dhe b. Megjithatë, katrori i shumës së a dhe b nuk ndodh shumë shpesh, në vend të shkronjave a dhe b, ai përmban shprehje të ndryshme, ndonjëherë mjaft komplekse.
Shprehjet \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lehtë mund të shndërrohen (thjeshtohen) në polinome të formës standarde, në fakt, një detyrë të tillë e keni hasur tashmë gjatë shumëzimit të polinomeve; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Është e dobishme të mbani mend identitetet që rezultojnë dhe t'i zbatoni ato pa llogaritje të ndërmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojnë këtë.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - katrori i shumës e barabartë me shumën katrore dhe dyfishoni produktin.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - katrori i diferencës është i barabartë me shumën e katrorëve pa produktin e dyfishtë.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferenca e katrorëve është e barabartë me produktin e diferencës dhe shumës.
Këto tre identitete lejojnë në transformime të zëvendësojnë pjesët e majta të tyre me ato të djathta dhe anasjelltas - pjesët e djathta me ato të majta. Gjëja më e vështirë është të shohësh shprehjet përkatëse dhe të kuptosh se si zëvendësohen ndryshoret a dhe b në to. Le të shohim disa shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit.
§ 1 Koncepti i thjeshtimit të një shprehjeje fjalë për fjalë
Në këtë mësim, do të njihemi me konceptin e "termave të ngjashëm" dhe, duke përdorur shembuj, do të mësojmë se si të bëjmë reduktimin e termave të ngjashëm, duke thjeshtuar kështu shprehjet fjalë për fjalë.
Le të zbulojmë kuptimin e konceptit "thjeshtim". Fjala "thjeshtim" rrjedh nga fjala "thjeshtoj". Të thjeshtosh do të thotë të bësh të thjeshtë, më të thjeshtë. Prandaj, të thjeshtosh një shprehje fjalë për fjalë do të thotë ta bësh atë më të shkurtër, me sasi minimale veprimet.
Merrni parasysh shprehjen 9x + 4x. Kjo është një shprehje fjalë për fjalë që është një shumë. Termat këtu paraqiten si prodhime të një numri dhe një shkronje. Faktori numerik i termave të tillë quhet koeficient. Në këtë shprehje, koeficientët do të jenë numrat 9 dhe 4. Ju lutemi vini re se faktori i përfaqësuar nga shkronja është i njëjtë në të dy termat e kësaj shume.
Le të kujtojmë ligjin shpërndarës të shumëzimit:
Për të shumëzuar një shumë me një numër, mund të shumëzoni çdo term me atë numër dhe të shtoni produktet që rezultojnë.
NË pamje e përgjithshme shkruhet si më poshtë: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Ky ligj është i vërtetë në të dy drejtimet ac + bc = (a + b) ∙ c
Le ta zbatojmë atë në shprehjen tonë të mirëfilltë: shuma e prodhimeve të 9x dhe 4x është e barabartë me një produkt faktori i parë i të cilit është i barabartë me shumën e 9 dhe 4, faktori i dytë është x.
9 + 4 = 13, kjo është 13x.
9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.
Në vend të tre veprimeve në shprehje, ka mbetur vetëm një veprim - shumëzimi. Kjo do të thotë se ne e kemi bërë më të thjeshtë shprehjen tonë fjalë për fjalë, d.m.th. e thjeshtoi atë.
§ 2 Reduktimi i termave të ngjashëm
Termat 9x dhe 4x ndryshojnë vetëm në koeficientët e tyre - terma të tillë quhen të ngjashëm. Pjesa e shkronjave të termave të ngjashëm është e njëjtë. Termat e ngjashëm përfshijnë gjithashtu numra dhe terma të barabartë.
Për shembull, në shprehjen 9a + 12 - 15 terma të ngjashëm do të jenë numrat 12 dhe -15, dhe në shumën e prodhimit të 12 dhe 6a, numri 14 dhe produkti i 12 dhe 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) termat e barabartë të paraqitur nga prodhimi i 12 dhe 6a.
Është e rëndësishme të theksohet se termat koeficientët e të cilëve janë të barabartë, por faktorët e shkronjave të të cilëve janë të ndryshëm, nuk janë të ngjashëm, megjithëse ndonjëherë është e dobishme të zbatohet ligji shpërndarës i shumëzimit ndaj tyre, për shembull, shuma e prodhimeve 5x dhe 5y është e barabartë me prodhimin e numrit 5 dhe shumën e x dhe y
5x + 5y = 5 (x + y).
Le të thjeshtojmë shprehjen -9a + 15a - 4 + 10.
Terma të ngjashëm në në këtë rast janë termat -9a dhe 15a, pasi ato ndryshojnë vetëm në koeficientët e tyre. Shumëzuesi i shkronjave të tyre është i njëjtë, dhe termat -4 dhe 10 janë gjithashtu të ngjashëm, pasi janë numra. Shtoni terma të ngjashëm:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Ne marrim: 6a + 6.
Duke e thjeshtuar shprehjen, gjetëm shumat e termave të ngjashëm në matematikë, kjo quhet reduktim i termave të ngjashëm;
Nëse shtimi i termave të tillë është i vështirë, mund të gjeni fjalë për to dhe të shtoni objekte.
Për shembull, merrni parasysh shprehjen:
Për çdo shkronjë marrim objektin tonë: b-mollë, c-dardhë, pastaj marrim: 2 mollë minus 5 dardha plus 8 dardha.
A mund të zbresim dardhat nga mollët? Sigurisht që jo. Por ne mund të shtojmë 8 dardha në minus 5 dardha.
Le të paraqesim terma të ngjashëm -5 dardha + 8 dardha. Termat e ngjashëm kanë të njëjtën pjesë shkronjash, kështu që kur sjellni terma të ngjashëm mjafton të shtoni koeficientët dhe të shtoni pjesën e shkronjës në rezultat:
(-5 + 8) dardha - ju merrni 3 dardha.
Duke iu rikthyer shprehjes tonë të mirëfilltë, kemi -5 s + 8 s = 3 s. Kështu, pasi sjellim terma të ngjashëm, fitojmë shprehjen 2b + 3c.
Pra, në këtë mësim ju u njohët me konceptin e "termave të ngjashëm" dhe mësuat se si të thjeshtoni shprehjet e shkronjave duke reduktuar termat e ngjashëm.
Lista e literaturës së përdorur:
- Matematika. Klasa e 6-të: planet e mësimit tek teksti shkollor I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-përpilues L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
- Matematika. Klasa e 6-të: Libër mësuesi për nxënës institucionet arsimore. I.I Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematika. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov dhe të tjerët / redaktuar nga G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Akademia Ruse e Shkencave, Akademia Ruse e Arsimit. M.: "Iluminizmi", 2010.
- Matematika. Klasa e 6-të: studimi për institucionet arsimore të përgjithshme/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
- Matematika. Klasa e 6-të: Teksti mësimor/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.
Imazhet e përdorura: