Bu videoyla denklem sistemlerine adanmış bir dizi derse başlıyorum. Bugün doğrusal denklem sistemlerinin çözümü hakkında konuşacağız ekleme yöntemi- bu en çok görülenlerden biri basit yollar ama aynı zamanda en etkili olanlardan biri.

Ekleme yöntemi aşağıdakilerden oluşur: üç basit adımlar:

1. Sisteme bakın ve her denklemde aynı (veya zıt) katsayılara sahip bir değişken seçin;
2. Uygulamak cebirsel çıkarma(zıt sayılar için - toplama) birbirinden denklemler, sonra verin benzer terimler;
3. İkinci adımdan sonra elde edilen yeni denklemi çözün.

Her şey doğru yapılırsa çıktıda tek bir denklem elde edeceğiz tek değişkenli- çözmek zor olmayacak. Daha sonra geriye kalan tek şey, bulunan kökü orijinal sisteme yerleştirmek ve nihai cevabı almaktır.

Ancak pratikte her şey o kadar basit değil. Bunun birkaç nedeni var:

• Toplama yöntemini kullanarak denklemleri çözmek, tüm satırların eşit/karşıt katsayılara sahip değişkenler içermesi gerektiği anlamına gelir. Bu gereksinim karşılanmazsa ne yapmalı?
• Her zaman değil, denklemleri belirtilen şekilde toplayıp/çıkardıktan sonra kolayca çözülebilecek güzel bir yapı elde ederiz. Hesaplamaları bir şekilde basitleştirmek ve hesaplamaları hızlandırmak mümkün mü?

Bu soruların cevabını bulmak ve aynı zamanda birçok öğrencinin başarısız olduğu birkaç ek inceliği anlamak için video dersimi izleyin:

Bu dersle denklem sistemlerine ayrılmış bir dizi derse başlıyoruz. Ve bunların en basitinden, yani iki denklem ve iki değişken içerenlerden başlayacağız. Her biri doğrusal olacaktır.

Sistemler 7. sınıf materyalidir ancak bu ders aynı zamanda bu konudaki bilgilerini tazelemek isteyen lise öğrencileri için de faydalı olacaktır.

Bu tür sistemlerin çözümü için genel olarak iki yöntem vardır:

1. Ekleme yöntemi;
2. Bir değişkeni diğerine göre ifade etme yöntemi.

Bugün ilk yöntemle ilgileneceğiz - çıkarma ve toplama yöntemini kullanacağız. Ancak bunu yapmak için şu gerçeği anlamanız gerekir: İki veya daha fazla denkleminiz olduğunda bunlardan herhangi ikisini alıp birbirine ekleyebilirsiniz. Üye üye eklenirler, yani. “X”lere “X”ler eklenir ve benzerleri verilir, “Y” ile “Y” yine benzer olur ve eşittir işaretinin sağındakiler de birbirine eklenir, benzerleri de verilir. .

Bu tür entrikaların sonuçları yeni bir denklem olacaktır ve eğer kökleri varsa kesinlikle köklerin arasında olacaktır. orijinal denklem. Bu nedenle bizim görevimiz, çıkarma veya toplama işlemini $x$ veya $y$ kaybolacak şekilde yapmaktır.

Bunu nasıl başaracağız ve bunun için hangi aracı kullanacağız - şimdi bunun hakkında konuşacağız.

Toplama yöntemini kullanarak kolay problemleri çözme

Böylece iki basit ifade örneğini kullanarak toplama yöntemini kullanmayı öğreniyoruz.

Görev No.1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

$y$'ın birinci denklemde $-4$, ikinci denklemde ise $+4$ katsayısına sahip olduğunu unutmayın. Birbirlerine zıttırlar, bu yüzden onları toplarsak sonuçta ortaya çıkan "oyunların" karşılıklı olarak yok edileceğini varsaymak mantıklıdır. Bunu ekleyin ve şunu elde edin:

En basit yapıyı çözelim:

Harika, "x"i bulduk. Şimdi bununla ne yapmalıyız? Bunu denklemlerden herhangi birinin yerine koyma hakkımız var. İlkinde yerine koyalım:

\[-4y=12\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]

Cevap: $\left(2;-3 \right)$.

Sorun No. 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Buradaki durum tamamen benzer, sadece “X'ler” için. Bunları toplayalım:

En basit doğrusal denklemimiz var, hadi çözelim:

Şimdi $x$'ı bulalım:

Cevap: $\left(-3;3 \right)$.

Önemli noktalar

Toplama yöntemini kullanarak iki basit doğrusal denklem sistemini çözdük. Tekrar önemli noktalar:

1. Değişkenlerden birinin zıt katsayıları varsa denklemdeki tüm değişkenlerin toplanması gerekir. Bu durumda bunlardan biri yok edilecektir.
2. İkincisini bulmak için bulunan değişkeni sistem denklemlerinden herhangi birinin yerine koyarız.
3. Nihai yanıt kaydı farklı şekillerde sunulabilir. Örneğin, bunun gibi - $x=...,y=...$ veya noktaların koordinatları biçiminde - $\left(...;... \right)$. İkinci seçenek tercih edilir. Hatırlanması gereken en önemli şey, ilk koordinatın $x$ ve ikincisinin $y$ olmasıdır.
4. Cevabı nokta koordinatları şeklinde yazma kuralı her zaman geçerli değildir. Örneğin, değişkenler $x$ ve $y$ olmadığında, örneğin $a$ ve $b$ olduğunda kullanılamaz.

Aşağıdaki problemlerde katsayılar zıt olmadığında çıkarma tekniğini ele alacağız.

Çıkarma yöntemini kullanarak kolay problemleri çözme

Görev No.1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Burada zıt katsayıların olmadığını, ancak aynı katsayıların olduğunu unutmayın. Bu nedenle ikinciyi birinci denklemden çıkarıyoruz:

Şimdi $x$ değerini sistem denklemlerinden herhangi birinin yerine koyarız. İlk önce gidelim:

Cevap: $\left(2;5\right)$.

Sorun No. 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Birinci ve ikinci denklemde yine $x$ için aynı $5$ katsayısını görüyoruz. Bu nedenle ikinciyi birinci denklemden çıkarmanız gerektiğini varsaymak mantıklıdır:

Bir değişkeni hesapladık. Şimdi ikinci yapıyı $y$ değerini değiştirerek bulalım:

Cevap: $\left(-3;-2 \right)$.

Çözümün nüansları

Peki ne görüyoruz? Esas itibariyle şema önceki sistemlerin çözümünden farklı değildir. Tek fark, denklemleri toplamamamız, çıkarmamızdır. Cebirsel çıkarma işlemi yapıyoruz.

Yani iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem gördüğünüzde ilk bakmanız gereken şey katsayılardır. Her yerde aynı ise denklemler çıkarılır, zıt ise toplama yöntemi kullanılır. Bu her zaman bunlardan birinin ortadan kalkması için yapılır ve çıkarmadan sonra kalan son denklemde yalnızca bir değişken kalır.

Tabii ki hepsi bu değil. Şimdi denklemlerin genel olarak tutarsız olduğu sistemleri ele alacağız. Onlar. İçlerinde aynı veya zıt olan hiçbir değişken yoktur. Bu durumda bu tür sistemleri çözmek için kullanılır. ek doz yani her denklemin özel bir katsayı ile çarpılması. Nasıl bulunur ve genel olarak bu tür sistemlerin nasıl çözüleceği, şimdi bunun hakkında konuşacağız.

Bir katsayı ile çarparak problemleri çözme

Örnek 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Ne $x$ ne de $y$ için katsayıların yalnızca karşılıklı olarak zıt olmadığını, aynı zamanda diğer denklemle hiçbir şekilde ilişkili olmadığını görüyoruz. Denklemleri birbirine eklesek veya çıkarsak bile bu katsayılar hiçbir şekilde kaybolmayacaktır. Bu nedenle çarpma işlemine başvurmak gerekir. $y$ değişkeninden kurtulmaya çalışalım. Bunun için ilk denklemi ikinci denklemdeki $y$ katsayısıyla, ikinci denklemi ise birinci denklemdeki $y$ katsayısıyla işarete dokunmadan çarpıyoruz. Çarpıyoruz ve yeni bir sistem elde ediyoruz:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Şuna bakalım: $y$'da katsayılar zıttır. Böyle bir durumda ekleme yöntemini kullanmak gerekir. Ekleyelim:

Şimdi $y$'ı bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için ilk ifadeye $x$ yazın:

\[-9y=18\sol| :\sol(-9 \sağ) \sağ.\]

Cevap: $\left(4;-2 \right)$.

Örnek No.2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Yine hiçbir değişkenin katsayıları tutarlı değildir. $y$ katsayılarıyla çarpalım:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Bizim yeni sistemöncekine eşdeğerdir, ancak $y$'ın katsayıları karşılıklı olarak zıttır ve bu nedenle burada toplama yöntemini uygulamak kolaydır:

Şimdi ilk denklemde $x$ yerine $y$ koyalım:

Cevap: $\left(-2;1 \right)$.

Çözümün nüansları

Buradaki temel kural şudur: her zaman yalnızca şununla çarparız: pozitif sayılar- bu sizi işaret değiştirmeyle ilgili aptalca ve saldırgan hatalardan kurtaracaktır. Genel olarak çözüm şeması oldukça basittir:

1. Sisteme bakıyoruz ve her denklemi analiz ediyoruz.
2. Ne $y$ ne de $x$ katsayılarının tutarlı olduğunu görürsek, yani ne eşit ne de zıt, o zaman şunu yapıyoruz: kurtulmamız gereken değişkeni seçiyoruz ve sonra bu denklemlerin katsayılarına bakıyoruz. İlk denklemi ikincinin katsayısı ile çarparsak ve ikinciyi buna göre birincinin katsayısı ile çarparsak, sonunda bir öncekine tamamen eşdeğer bir sistem ve $ katsayıları elde ederiz. y$ tutarlı olacaktır. Tüm eylemlerimiz veya dönüşümlerimiz yalnızca bir değişkeni tek bir denklemde elde etmeye yöneliktir.
3. Bir değişken buluyoruz.
4. Bulunan değişkeni sistemin iki denkleminden birine yerleştirip ikincisini buluyoruz.
5. $x$ ve $y$ değişkenlerimiz varsa cevabı noktaların koordinatları şeklinde yazıyoruz.

Ancak bu kadar basit bir algoritmanın bile kendi incelikleri vardır; örneğin, $x$ veya $y$ katsayıları kesirler ve diğer "çirkin" sayılar olabilir. Şimdi bu durumları ayrı ayrı ele alacağız çünkü bunlarda standart algoritmaya göre biraz farklı davranabilirsiniz.

Kesirlerle ilgili problemleri çözme

Örnek 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Öncelikle ikinci denklemin kesirler içerdiğine dikkat edin. Ancak 4$'ı 0,8$'a bölebileceğinizi unutmayın. 5$ alacağız. İkinci denklemi $5$ ile çarpalım:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Denklemleri birbirinden çıkarırız:

$n$'ı bulduk, şimdi $m$'ı sayalım:

Cevap: $n=-4;m=5$

Örnek No.2

\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Sağ.\]

Burada da önceki sistemde olduğu gibi kesirli oranlar ancak hiçbiri için değişken katsayılar tamsayı sayıda birbirine uymaz. Bu nedenle standart algoritmayı kullanıyoruz. $p$'dan kurtulun:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Çıkarma yöntemini kullanıyoruz:

İkinci yapıya $k$ koyarak $p$'ı bulalım:

Cevap: $p=-4;k=-2$.

Çözümün nüansları

Hepsi optimizasyon bu. İlk denklemde hiçbir şeyle çarpmadık ama ikinci denklemi 5$ ile çarptık. Sonuç olarak, ilk değişken için tutarlı ve hatta özdeş bir denklem elde ettik. İkinci sistemde standart bir algoritma izledik.

Peki denklemlerin çarpılacağı sayıları nasıl bulacaksınız? Sonuçta, eğer çarparsanız kesirli sayılar, yeni kesirler elde edeceğiz. Bu nedenle kesirlerin yeni bir tamsayı verecek bir sayı ile çarpılması ve ardından standart algoritmaya göre değişkenlerin katsayılarla çarpılması gerekir.

Sonuç olarak, yanıtın kaydedilme biçimine dikkatinizi çekmek isterim. Daha önce de söylediğim gibi, burada $x$ ve $y$ değil, diğer değerlere sahip olduğumuz için, formun standart olmayan bir gösterimini kullanıyoruz:

Karmaşık denklem sistemlerini çözme

Bugünkü video eğitiminin son notu olarak, gerçekten birkaç tanesine bakalım. karmaşık sistemler. Karmaşıklıkları, hem solda hem de sağda değişkenlere sahip olmaları gerçeğinden oluşacaktır. Bu nedenle bunları çözmek için ön işleme uygulamamız gerekecek.

Sistem No.1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1) \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Her denklem belirli bir karmaşıklık taşır. Bu nedenle her ifadeyi düzenli doğrusal yapıyla ele alalım.

Toplamda orijinal sisteme eşdeğer olan son sistemi elde ediyoruz:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$ katsayılarına bakalım: $3$, $6$'a iki kez sığar, o halde ilk denklemi $2$ ile çarpalım:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$'ın katsayıları artık eşit olduğundan ikinciyi birinci denklemden çıkarırız: $$

Şimdi $y$'ı bulalım:

Cevap: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistem No.2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

İlk ifadeyi dönüştürelim:

Gelelim ikincisine:

\[-3\sol(b-2a \sağ)-12=2\left(a-5 \sağ)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Toplamda, ilk sistemimiz aşağıdaki formu alacaktır:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

$a$ katsayılarına baktığımızda ilk denklemin $2$ ile çarpılması gerektiğini görüyoruz:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

İkinciyi ilk yapıdan çıkarın:

Şimdi $a$'ı bulalım:

Cevap: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Bu kadar. Bu video eğitiminin bu zor konuyu, yani basit doğrusal denklem sistemlerini çözmenizi anlamanıza yardımcı olacağını umuyorum. Bu konuyla ilgili daha birçok ders olacak: daha fazlasına bakacağız karmaşık örnekler, daha fazla değişkenin olacağı ve denklemlerin kendileri zaten doğrusal olmayan olacaktır. Tekrar görüşürüz!

Bunu kullanarak matematik programıİki değişkenli iki doğrusal denklemden oluşan bir sistemi, yerine koyma yöntemini ve toplama yöntemini kullanarak çözebilirsiniz.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda detaylı çözümçözüm adımlarının açıklamaları iki şekilde: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.

Bu program lise öğrencileri için faydalı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olduğu kadar çabuk halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

Denklem girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.

Denklemleri girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda denklemler öncelikle basitleştirilir. Sadeleştirmelerden sonra denklemler doğrusal olmalıdır; elemanların sırasının doğruluğu ile ax+by+c=0 formundadır.
Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2

Denklemlerde yalnızca tam sayıları değil, aynı zamanda ondalık sayılar ve sıradan kesirler biçimindeki kesirleri de kullanabilirsiniz.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Bütün ve kesir V ondalık sayılar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Girerken sayısal kesir Pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Bütün parça kesirden bir ve işaretiyle ayrılır: &

Örnekler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuyu yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü. İkame yöntemi

İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) sistemin bazı denklemlerindeki bir değişkeni diğerine göre ifade etmek;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right.$$

İlk denklemden y'yi x cinsinden ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right.$$

Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde ikinci denklem yalnızca bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

y=7-3x eşitliğinde x yerine 1 sayısını yerine koyarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Çift (1;4) - sistemin çözümü

Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine denir. eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.

Doğrusal denklem sistemlerini toplama yoluyla çözme

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu, yani toplama yöntemini ele alalım. Sistemleri bu şekilde çözerken ve yerine koyma yoluyla çözerken, bu sistemden denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği başka bir eşdeğer sisteme geçiyoruz.

Toplama yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) değişkenlerden birinin katsayıları olacak şekilde faktörleri seçerek sistem terimindeki denklemleri terimle çarpın zıt sayılar;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayın;
3) ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.

Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayarak tek değişkenli 3x=33 denklemi elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Sistemi alalım
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

3x=33 denkleminden x=11'i buluyoruz. Bu x değerini \(x-3y=38\) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38\) değişkenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Böylece denklem sisteminin çözümünü \(x=11; y=-9\) veya \((11;-9)\) ekleyerek bulduk.

Sistemin denklemlerinde y katsayılarının zıt sayılar olması gerçeğinden yararlanarak, çözümünü eşdeğer bir sistemin çözümüne indirgedik (orijinal sistemin denklemlerinin her birinin her iki tarafını toplayarak), burada bir Denklemlerin her biri yalnızca bir değişken içerir.

1. İkame yöntemi: sistemin herhangi bir denkleminden bir bilinmeyeni diğeriyle ifade ederiz ve onu sistemin ikinci denkleminde yerine koyarız.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm.İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden en başından sonuna kadar X ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım orijinaline eşdeğerdir.

getirdikten sonra benzer üyeler sistem şu şekli alacaktır:

İkinci denklemden şunu buluyoruz: . Bu değeri denklemde yerine koymak en = 2 - 2X, alıyoruz en= 3. Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

2. Cebirsel toplama yöntemi: İki denklem toplayarak tek değişkenli bir denklem elde edersiniz.

Görev. Sistem denklemini çözün:

Çözüm.İkinci denklemin her iki tarafını da 2 ile çarparak sistemi elde ederiz. orijinaline eşdeğerdir. Bu sistemin iki denklemini topladığımızda sisteme ulaşıyoruz.

Benzer terimler getirildikten sonra bu sistem şu şekli alacaktır: İkinci denklemden şunu buluyoruz. Bu değeri denklem 3'te yerine koyarsak X + 4en= 5, şunu elde ederiz , Neresi . Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

3. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi: Sistemde yeni değişkenlerle göstereceğimiz bazı tekrar eden ifadeler arıyoruz, böylece sistemin görünümünü basitleştiriyoruz.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm. Haydi yazalım bu sistem aksi takdirde:

İzin vermek x + y = sen, xy = v. Daha sonra sistemi alıyoruz.

Değiştirme yöntemini kullanarak çözelim. İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden sen başından sonuna kadar v ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım onlar.

Bulduğumuz sistemin ikinci denkleminden v 1 = 2, v 2 = 3.

Bu değerleri denklemde yerine koymak sen = 5 - v, alıyoruz sen 1 = 3,
sen 2 = 2. O zaman iki sistemimiz var

İlk sistemi çözerek iki çift sayı elde ederiz (1; 2), (2; 1). İkinci sistemin çözümü yoktur.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar

1.Denklem sistemlerini yerine koyma yöntemini kullanarak çözebilecektir.

İki değişkenli doğrusal denklemler

Bir okul çocuğunun okulda öğle yemeği yemesi için 200 rublesi var. Bir pasta 25 ruble, bir fincan kahve ise 10 ruble. 200 rubleye kaç tane kek ve fincan kahve satın alabilirsiniz?

Kek sayısını şu şekilde belirtelim: X ve içilen kahve fincanlarının sayısı sen. Daha sonra keklerin maliyeti 25 ifadesiyle gösterilecektir. X ve 10 fincan kahvenin maliyeti sen .

25X- fiyat X Kekler
10y — fiyat sen Bardak kahve

Toplam miktar 200 ruble olmalıdır. Daha sonra iki değişkenli bir denklem elde ederiz X Ve sen

25X+ 10sen= 200

Kaç kökü var? verilen denklem?

Her şey öğrencinin iştahına bağlıdır. 6 kek ve 5 fincan kahve alırsa denklemin kökleri 6 ve 5 olacaktır.

6 ve 5 değer çiftinin denklem 25'in kökleri olduğu söyleniyor X+ 10sen= 200. İlk sayı değişkenin değeri olacak şekilde (6; 5) şeklinde yazılır X ve ikincisi - değişkenin değeri sen .

25 numaralı denklemi tersine çeviren tek kökler 6 ve 5 değil X+ 10sen= 200'den özdeşliğe kadar. İstenirse aynı 200 ruble karşılığında bir öğrenci 4 kek ve 10 fincan kahve alabilir:

Bu durumda denklem 25'in kökleri X+ 10sen= 200 bir değer çiftidir (4; 10).

Üstelik bir okul çocuğu hiç kahve satın almayabilir, ancak 200 rublenin tamamı için kek satın alabilir. O zaman denklem 25'in kökleri X+ 10sen= 200, 8 ve 0 değerleri olacaktır

Veya tam tersi, kek almayın, 200 rublenin tamamı için kahve alın. O zaman denklem 25'in kökleri X+ 10sen= 200 değerler 0 ve 20 olacaktır

Denklem 25'in tüm olası köklerini listelemeye çalışalım X+ 10sen= 200. Değerler konusunda hemfikir olalım X Ve sen tam sayılar kümesine aittir. Ve bu değerlerin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmasına izin verin:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Bu öğrencinin kendisi için uygun olacaktır. Bütün kekleri satın almak, örneğin birkaç tam kek ve yarım kek satın almaktan daha uygundur. Ayrıca kahveyi, örneğin birkaç tam fincan ve yarım fincan yerine bütün fincanlarda almak daha uygundur.

Tek sayı için şunu unutmayın X Eşitliğin hiçbir koşulda sağlanması mümkün değildir sen. Daha sonra değerler X aşağıdaki sayılar 0, 2, 4, 6, 8 olacaktır. X kolayca belirlenebilir sen

Böylece aşağıdaki değer çiftlerini elde ettik (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Bu çiftler Denklem 25'in çözümleri veya kökleridir X+ 10sen= 200. Bu denklemi kimliğe dönüştürüyorlar.

Formun denklemi balta + by = c isminde iki değişkenli doğrusal denklem. Bu denklemin çözümü veya kökleri bir çift değerdir ( X; sen), bu da onu kimliğe dönüştürür.

Ayrıca iki değişkenli bir doğrusal denklemin şu şekilde yazıldığını unutmayın: balta + b y = c, sonra bunun yazıldığını söylüyorlar kanonik(normal) biçim.

İki değişkenli bazı doğrusal denklemler kanonik forma indirgenebilir.

Örneğin, denklem 2(16X+ 3y – 4) = 2(12 + 8X − sen) aklıma getirilebilir balta + by = c. Bu denklemin her iki tarafındaki parantezleri açalım ve 32X + 6sen − 8 = 24 + 16X − 2sen . Bilinmeyenler içeren terimleri denklemin sol tarafında, bilinmeyen içermeyen terimleri ise sağ tarafta gruplandırıyoruz. Sonra alırız 32x− 16X+ 6sen+ 2sen = 24 + 8 . Her iki tarafta da benzer terimler sunarız, denklem 16'yı elde ederiz X+ 8sen= 32. Bu denklem şu şekle indirgenir: balta + by = c ve kanoniktir.

Denklem 25 daha önce tartışıldı X+ 10sen= 200 aynı zamanda iki değişkenli doğrusal bir denklemdir. kanonik form. Bu denklemdeki parametreler A , B Ve C sırasıyla 25, 10 ve 200 değerlerine eşittir.

Aslında denklem balta + by = c sayısız çözümü var. Denklemin çözümü 25X+ 10sen= 200, köklerini yalnızca tamsayılar kümesinde aradık. Sonuç olarak bu denklemi kimliğe dönüştüren birkaç değer çifti elde ettik. Ama pek çoğunda rasyonel sayılar denklem 25 X+ 10sen= 200'ün sonsuz sayıda çözümü olacaktır.

Yeni değer çiftleri elde etmek için keyfi bir değer almanız gerekir. X, sonra ifade edin sen. Örneğin değişkeni ele alalım X değer 7. Sonra tek değişkenli bir denklem elde ederiz 25×7 + 10sen= 200 hangisinde ifade edilebilir sen

İzin vermek X= 15. Daha sonra denklem 25X+ 10sen= 200, 25 × 15 olur + 10sen= 200. Buradan bunu buluyoruz sen = −17,5

İzin vermek X= −3 . Daha sonra denklem 25X+ 10sen= 200, 25 × (−3) olur + 10sen= 200. Buradan bunu buluyoruz sen = −27,5

İki değişkenli iki doğrusal denklem sistemi

Denklem için balta + by = c keyfi değerleri istediğiniz kadar alabilirsiniz X ve değerleri bulun sen. Ayrı olarak ele alındığında böyle bir denklemin sayısız çözümü olacaktır.

Ama aynı zamanda değişkenler de olur X Ve sen bir değil iki denklemle bağlanırlar. Bu durumda sözde oluştururlar iki değişkenli doğrusal denklem sistemi. Böyle bir denklem sistemi bir çift değere (veya başka bir deyişle: “tek çözüme”) sahip olabilir.

Sistemin hiçbir çözümü olmadığı da olabilir. Bir doğrusal denklem sisteminin nadir ve istisnai durumlarda sayısız çözümü olabilir.

İki doğrusal denklem, değerler aşağıdaki durumlarda bir sistem oluşturur: X Ve sen bu denklemlerin her birine girin.

İlk denklem 25'e geri dönelim X+ 10sen= 200. Bu denklemin değer çiftlerinden biri (6; 5) çiftiydi. Bu, 200 ruble karşılığında 6 kek ve 5 fincan kahve alabileceğiniz bir durumdur.

Sorunu, (6; 5) çiftinin 25 numaralı denklemin tek çözümü olacağı şekilde formüle edelim. X+ 10sen= 200. Bunu yapmak için aynı denklemi birbirine bağlayacak başka bir denklem oluşturalım. X kekler ve sen Bardak kahve.

Sorunun metnini şu şekilde ifade edelim:

“Öğrenci 200 rubleye birkaç kek ve birkaç fincan kahve aldı. Bir pasta 25 ruble, bir fincan kahve ise 10 ruble. Birim başına düşen kek sayısının bilindiğine göre öğrenci kaç tane kek ve fincan kahve almıştır? daha fazla miktar Bardak kahve?

Zaten ilk denklemimiz var. Bu denklem 25 X+ 10sen= 200. Şimdi bu durum için bir denklem oluşturalım “Keklerin sayısı kahve fincanlarının sayısından bir birim fazladır” .

Kek sayısı X ve fincan kahve sayısı sen. Bu ifadeyi denklemi kullanarak yazabilirsiniz. x−y= 1. Bu denklem kek ile kahve arasındaki farkın 1 olduğu anlamına gelecektir.

x = y+ 1 . Bu denklem kek sayısının kahve fincan sayısından bir fazla olduğu anlamına gelir. Bu nedenle eşitliği sağlamak için kahve fincanlarının sayısına bir eklenir. En basit problemleri incelerken dikkate aldığımız ölçek modelini kullanırsak, bu kolayca anlaşılabilir:

İki denklemimiz var: 25 X+ 10sen= 200 ve x = y+ 1. Değerlerden beri X Ve sen yani 6 ve 5 bu denklemlerin her birine dahil edilir ve birlikte bir sistem oluştururlar. Bu sistemi yazalım. Denklemler bir sistem oluşturuyorsa, sistem işaretiyle çerçevelenirler. Sistem sembolü süslü parantezdir:

Bu sistemi çözelim. Bu, 6 ve 5 değerlerine nasıl ulaştığımızı görmemizi sağlayacaktır. Bu tür sistemleri çözmek için birçok yöntem vardır. Bunlardan en popüler olanlarına bakalım.

İkame yöntemi

Bu yöntemin adı kendisi için konuşur. Bunun özü, daha önce değişkenlerden birini ifade etmiş olan bir denklemi diğerinin yerine koymaktır.

Bizim sistemimizde hiçbir şeyin ifade edilmesine gerek yoktur. İkinci denklemde X = sen+ 1 değişken X zaten ifade edildi. Bu değişken şu ifadeye eşittir: sen+ 1 . Daha sonra bu ifadeyi değişken yerine ilk denklemde kullanabilirsiniz. X

İfadeyi değiştirdikten sonra sen bunun yerine ilk denklemde +1 X denklemi elde ederiz 25(sen+ 1) + 10sen= 200 . Bu tek değişkenli doğrusal bir denklemdir. Bu denklemin çözümü oldukça kolaydır:

Değişkenin değerini bulduk sen. Şimdi bu değeri denklemlerden birinde yerine koyalım ve değeri bulalım. X. Bunun için ikinci denklemi kullanmak uygundur X = sen+ 1 . Değeri yerine koyalım sen

Bu, (6; 5) çiftinin, amaçladığımız gibi denklem sisteminin bir çözümü olduğu anlamına gelir. (6; 5) çiftinin sistemi karşıladığını kontrol edip emin oluyoruz:

Örnek 2

İlk denklemi yerine koyalım X= 2 + sen ikinci denklem 3'e x− 2sen= 9. İlk denklemde değişken X 2 + ifadesine eşittir sen. Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım. X

Şimdi değerini bulalım X. Bunu yapmak için değeri yerine koyalım sen ilk denklemin içine X= 2 + sen

Bu, sistemin çözümünün (5; 3) çifti değeri olduğu anlamına gelir.

Örnek 3. Değiştirme yoluyla çöz aşağıdaki sistem denklemler:

Burada önceki örneklerden farklı olarak değişkenlerden biri açıkça ifade edilmemiştir.

Bir denklemi başka bir denklemle değiştirmek için önce ihtiyacınız var.

Katsayısı bir olan değişkenin ifade edilmesi tavsiye edilir. Değişkenin katsayısı birdir X ilk denklemde yer alan X+ 2sen= 11. Bu değişkeni ifade edelim.

Değişken ifadesinden sonra X, sistemimiz aşağıdaki formu alacaktır:

Şimdi ilk denklemi ikincinin yerine koyalım ve değeri bulalım sen

Hadi değiştirelim sen X

Bu, sistemin çözümünün bir değer çifti (3; 4) olduğu anlamına gelir.

Elbette bir değişkeni de ifade edebilirsiniz. sen. Bu kökleri değiştirmeyecektir. Ama eğer ifade edersen sen, Sonuç, çözülmesi daha fazla zaman alacak çok basit bir denklem değildir. Bunun gibi görünecek:

Bunu görüyoruz bu örnekte ifade etmek X ifade etmekten çok daha uygun sen .

Örnek 4. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:

İlk denklemde ifade edelim X. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

sen

Hadi değiştirelim sen ilk denkleme girin ve bulun X. Orijinal denklem 7'yi kullanabilirsiniz X+ 9sen= 8 veya değişkenin ifade edildiği denklemi kullanın X. Uygun olduğu için bu denklemi kullanacağız:

Bu, sistemin çözümünün bir değer çifti (5; −3) olduğu anlamına gelir

Ekleme yöntemi

Toplama yöntemi, sistem teriminde yer alan denklemlerin terim terim eklenmesinden oluşur. Bu ekleme, tek değişkenli yeni bir denklemle sonuçlanır. Ve böyle bir denklemi çözmek oldukça basittir.

Aşağıdaki denklem sistemini çözelim:

Birinci denklemin sol tarafını ikinci denklemin sol tarafıyla toplayalım. Ve ilk denklemin sağ tarafı Sağ Taraf ikinci denklem. Aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

Benzer terimlere bakalım:

Sonuç olarak en basit denklem 3'ü elde ettik X= 27 olup kökü 9'dur. Değerini Bilmek X değerini bulabilirsin sen. Değeri yerine koyalım X ikinci denkleme x−y= 3 . 9 elde ederiz – sen= 3 . Buradan sen= 6 .

Bu, sistemin çözümünün bir değer çifti olduğu anlamına gelir (9; 6)

Örnek 2

Birinci denklemin sol tarafını ikinci denklemin sol tarafıyla toplayalım. Ve birinci denklemin sağ tarafı ile ikinci denklemin sağ tarafı. Ortaya çıkan eşitlikte benzer terimleri sunuyoruz:

Sonuç olarak en basit denklem 5'i elde ettik. X= 20, kökü 4'tür. Değerini Bilmek X değerini bulabilirsin sen. Değeri yerine koyalım X ilk denklem 2'ye x+y= 11. Hadi 8+ alalım sen= 11. Buradan sen= 3 .

Bu, sistemin çözümünün bir değer çifti (4;3) olduğu anlamına gelir.

Ekleme işlemi ayrıntılı olarak açıklanmamıştır. Bunun zihinsel olarak yapılması gerekir. Ekleme sırasında her iki denklemin de kanonik forma indirgenmesi gerekir. Yani bu arada ac + by = c .

Ele alınan örneklerden, denklem eklemenin asıl amacının değişkenlerden birinden kurtulmak olduğu açıktır. Ancak bir denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak hemen çözmek her zaman mümkün değildir. Çoğu zaman sistem öncelikle bu sistemin içerdiği denklemlerin eklenebileceği bir forma getirilir.

Örneğin, sistem eklenerek hemen çözülebilir. Her iki denklemi toplarken terimler sen Ve −y toplamları sıfır olduğu için kaybolacaktır. Sonuç olarak, en basit denklem 11 oluşur X= 22, kökü 2'dir. Bu durumda şunu belirlemek mümkün olacaktır: sen 5'e eşittir.

Ve denklem sistemi Toplama yöntemi, değişkenlerden birinin kaybolmasına yol açmayacağından hemen çözülemez. Toplama denklem 8 ile sonuçlanacaktır X+ sen= 28, sonsuz sayıda çözümü var.

Denklemin her iki tarafı da sıfıra eşit olmayan aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir. Bu kural aynı zamanda iki değişkenli doğrusal denklem sistemi için de geçerlidir. Denklemlerden biri (veya her ikisi de) herhangi bir sayıyla çarpılabilir. Sonuç, kökleri bir öncekiyle örtüşecek eşdeğer bir sistem olacaktır.

Bir okul çocuğunun kaç tane kek ve fincan kahve aldığını açıklayan ilk sisteme dönelim. Bu sistemin çözümü bir değer çiftiydi (6; 5).

Bu sistemin içerdiği her iki denklemi de bazı sayılarla çarpalım. Diyelim ki ilk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz.

Sonuç olarak elimizde bir sistem var.
Bu sistemin çözümü hala (6; 5) değer çiftidir.

Bu, sistemde yer alan denklemlerin toplama yönteminin uygulanmasına uygun bir forma indirgenebileceği anlamına gelir.

Sisteme dönelim toplama yöntemini kullanarak çözemedik.

İlk denklemi 6 ile, ikincisini -2 ile çarpın

Daha sonra aşağıdaki sistemi elde ederiz:

Bu sistemin içerdiği denklemleri toplayalım. Bileşen ekleme 12 X ve −12 X sonuç 0, toplama 18 olacak sen ve 4 sen 22 verecek sen 108 ile −20'yi topladığımızda 88 elde ederiz. Sonra denklem 22'yi elde ederiz. sen= 88, buradan sen = 4 .

İlk başta kafanızda denklem eklemek zor geliyorsa, o zaman denklemlerin nasıl toplandığını yazabilirsiniz. Sol Taraf birinci denklemin ikinci denklemin sol tarafıyla ve birinci denklemin sağ tarafının ikinci denklemin sağ tarafıyla:

Değişkenin değerini bilmek sen 4'e eşittir, değeri bulabilirsiniz X. Hadi değiştirelim sen denklemlerden birine, örneğin ilk denklem 2'ye X+ 3sen= 18. Daha sonra tek değişkenli 2 denklemi elde ederiz X+ 12 = 18. 12'yi sağa kaydıralım, işaretini değiştirerek 2 elde edelim X= 6, buradan X = 3 .

Örnek 4. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:

İkinci denklemi -1 ile çarpalım. Daha sonra sistem aşağıdaki formu alacaktır:

Her iki denklemi de toplayalım. Bileşen ekleme X Ve −x 0 ile sonuçlanır, 5 eklenir sen ve 3 sen 8 verecek sen ve 7 ile 1'in eklenmesi 8 sonucunu verir. Sonuç, denklem 8'dir. sen= 8'in kökü 1'dir. Değerinin bilinmesi sen 1'e eşittir, değeri bulabilirsiniz X .

Hadi değiştirelim sen ilk denklemde şunu elde ederiz: X+ 5 = 7, dolayısıyla X= 2

Örnek 5. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:

Aynı değişkenleri içeren terimlerin alt alta yerleştirilmesi arzu edilir. Bu nedenle ikinci denklemde 5 terimi sen ve −2 X Yerleri değiştirelim. Sonuç olarak sistem şu şekli alacaktır:

İkinci denklemi 3 ile çarpalım. O zaman sistem şu şekli alacaktır:

Şimdi her iki denklemi de toplayalım. Toplama sonucunda denklem 8'i elde ederiz sen= 16, kökü 2'dir.

Hadi değiştirelim sen ilk denklemde 6 elde ederiz X- 14 = 40. −14 terimini sağa taşıyıp işaretini değiştirelim ve 6 elde edelim. X= 54. Buradan X= 9.

Örnek 6. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:

Kesirlerden kurtulalım. İlk denklemi 36, ikincisini 12 ile çarpın

Ortaya çıkan sistemde ilk denklem −5 ile, ikincisi ise 8 ile çarpılabilir

Ortaya çıkan sistemdeki denklemleri toplayalım. Daha sonra en basit denklem olan −13'ü elde ederiz. sen= −156 . Buradan sen= 12. Hadi değiştirelim sen ilk denkleme girin ve bulun X

Örnek 7. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:

Her iki denklemi de şuna indirgeyelim: normal görünümlü. Burada her iki denklemde de orantı kuralını uygulamak uygundur. İlk denklemde sağ taraf ile, ikinci denklemin sağ tarafı ise ile temsil edilirse sistem şu şekli alacaktır:

Bizim bir orantımız var. Ekstrem ve orta terimlerini çarpalım. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

İlk denklemi -3 ile çarpalım ve ikincideki parantezleri açalım:

Şimdi her iki denklemi de toplayalım. Bu denklemlerin toplanması sonucunda her iki tarafta sıfır olan bir eşitlik elde ederiz:

Sistemin sayısız çözümü olduğu ortaya çıktı.

Ancak gökten rastgele değerler alamayız. X Ve sen. Değerlerden birini belirtebiliriz, diğeri de belirttiğimiz değere bağlı olarak belirlenecektir. Örneğin, izin ver X= 2 . Bu değeri sistemde yerine koyalım:

Denklemlerden birinin çözümü sonucunda elde edilen değer sen her iki denklemi de sağlayacak olan:

Ortaya çıkan değer çifti (2; −2) sistemi karşılayacaktır:

Başka bir değer çifti bulalım. İzin vermek X= 4. Bu değeri sistemde yerine koyalım:

Değerini gözlerinizle anlayabilirsiniz sen sıfıra eşittir. Daha sonra sistemimizi karşılayan bir çift değer (4; 0) elde ederiz:

Örnek 8. Toplama yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözün:

İlk denklemi 6, ikincisini 12 ile çarpın

Geriye kalanları yeniden yazalım:

İlk denklemi -1 ile çarpalım. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

Şimdi her iki denklemi de toplayalım. Toplama sonucunda denklem 6 oluşur B= 48, kökü 8'dir. Yerine B ilk denkleme girin ve bulun A

Üç değişkenli doğrusal denklem sistemi

Üç değişkenli bir doğrusal denklem, katsayılı üç değişkenin yanı sıra bir kesme terimi içerir. Kanonik formda şu şekilde yazılabilir:

balta + by + cz = d

Bu denklemin sayısız çözümü var. İki değişken vermek Farklı anlamlarüçüncü bir değer bulunabilir. Bu durumda çözüm üçlü değerdir ( X; y; z) denklemi bir kimliğe dönüştürür.

Değişkenler ise x, y, züç denklemle birbirine bağlanır, ardından üç değişkenli üç doğrusal denklemden oluşan bir sistem oluşturulur. Böyle bir sistemi çözmek için iki değişkenli doğrusal denklemlere uygulanan yöntemlerin aynısını kullanabilirsiniz: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.

örnek 1. Aşağıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözün:

Üçüncü denklemde ifade edelim X. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

Şimdi yerine koyma işlemini yapalım. Değişken X ifadeye eşittir 3 − 2sen − 2z . Bu ifadeyi birinci ve ikinci denklemlerde yerine koyalım:

Her iki denklemdeki parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım:

İki değişkenli bir doğrusal denklem sistemine ulaştık. İÇİNDE bu durumda Ekleme yöntemini kullanmak uygundur. Sonuç olarak değişken sen kaybolacak ve değişkenin değerini bulabiliriz z

Şimdi değerini bulalım sen. Bunu yapmak için denklemi kullanmak uygundur – sen+ z= 4. Değeri yerine koyun z

Şimdi değerini bulalım X. Bunu yapmak için denklemi kullanmak uygundur. X= 3 − 2sen − 2z . Değerleri yerine koyalım sen Ve z

Dolayısıyla (3; −2; 2) değer üçlüsü sistemimize bir çözümdür. Kontrol ederek bu değerlerin sistemi karşıladığından emin oluruz:

Örnek 2. Toplama yöntemini kullanarak sistemi çözün

İlk denklemi ikinciyle -2 ile çarparak ekleyelim.

İkinci denklem -2 ile çarpılırsa şu formu alır: −6X+ 6y – 4z = −4 . Şimdi bunu ilk denkleme ekleyelim:

Sonuç olarak şunu görüyoruz temel dönüşümler değişkenin değeri belirlenir X. Bire eşittir.

Hadi geri dönelim ana sistem. İkinci denklemi üçüncüyle -1 ile çarparak ekleyelim. Üçüncü denklem -1 ile çarpılırsa şu formu alır: −4X + 5sen − 2z = −1 . Şimdi bunu ikinci denkleme ekleyelim:

Denklemi bulduk x− 2sen= −1 . Değeri yerine koyalım X bunu daha önce bulduk. O zaman değeri belirleyebiliriz sen

Artık anlamlarını biliyoruz X Ve sen. Bu, değeri belirlemenizi sağlar z. Sistemde yer alan denklemlerden birini kullanalım:

Dolayısıyla (1; 1; 1) değer üçlüsü sistemimizin çözümüdür. Kontrol ederek bu değerlerin sistemi karşıladığından emin oluyoruz:

Doğrusal denklem sistemlerinin oluşturulmasıyla ilgili problemler

Denklem sistemlerini oluşturma görevi birkaç değişken girilerek çözülür. Daha sonra problemin koşullarına göre denklemler derlenir. Derlenen denklemlerden bir sistem oluşturur ve çözerler. Sistemi çözdükten sonra çözümünün problem koşullarını karşılayıp karşılamadığını kontrol etmek gerekir.

Sorun 1. Bir Volga arabası şehirden kolektif çiftliğe doğru yola çıktı. İlkinden 5 km daha kısa olan başka bir yoldan geri döndü. Toplamda, araba gidiş-dönüş 35 km yol kat etti. Her bir yolun uzunluğu kaç kilometredir?

Çözüm

İzin vermek X-İlk yolun uzunluğu, sen- saniyenin uzunluğu. Araba gidiş-dönüş 35 km yol kat ettiyse ilk denklem şu şekilde yazılabilir: X+ sen= 35. Bu denklem her iki yolun uzunluklarının toplamını tanımlamaktadır.

Otomobilin ilk yola göre 5 km daha kısa bir yoldan geri döndüğü söyleniyor. O zaman ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: X− sen= 5. Bu denklem yol uzunlukları arasındaki farkın 5 km olduğunu göstermektedir.

Veya ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: X= sen+ 5. Bu denklemi kullanacağız.

Çünkü değişkenler X Ve sen her iki denklem de aynı sayıyı gösteriyorsa onlardan bir sistem oluşturabiliriz:

Bu sistemi daha önce incelenen yöntemlerden bazılarını kullanarak çözelim. Bu durumda ikame yöntemini kullanmak uygundur çünkü ikinci denklemde değişken X zaten ifade edildi.

İkinci denklemi birincinin yerine koy ve bul sen

Bulunan değeri yerine koyalım sen ikinci denklemde X= sen+5 ve bulacağız X

İlk yolun uzunluğu değişken aracılığıyla belirlendi X. Artık anlamını bulduk. Değişken X 20'ye eşittir. Bu, ilk yolun uzunluğunun 20 km olduğu anlamına gelir.

Ve ikinci yolun uzunluğu şu şekilde belirtildi: sen. Bu değişkenin değeri 15'tir. Bu da ikinci yolun uzunluğunun 15 km olduğu anlamına gelir.

Hadi kontrol edelim. Öncelikle sistemin doğru çözüldüğünden emin olalım:

Şimdi çözümün (20; 15) problemin koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

Otomobilin gidiş-dönüş toplam 35 kilometre yol kat ettiği söylendi. Her iki yolun uzunluğunu topluyoruz ve çözümün (20; 15) karşıladığından emin oluyoruz bu durum: 20 km + 15 km = 35 km

Aşağıdaki durum: araba ilkinden 5 km daha kısa olan başka bir yoldan geri döndü . 15 km, 20 km x 5 km'den kısa olduğundan (20; 15) çözümünün de bu koşulu sağladığını görüyoruz: 20 km – 15 km = 5 km

Bir sistem oluşturulurken bu sistemde yer alan tüm denklemlerde değişkenlerin aynı sayıları temsil etmesi önemlidir.

Yani sistemimiz iki denklem içeriyor. Bu denklemler sırasıyla değişkenler içerir X Ve sen Her iki denklemde de aynı sayıları temsil eden 20 km ve 15 km yol uzunlukları.

Sorun 2. Platforma meşe ve çam traversler yüklendi, toplam 300 travers. Tüm meşe traverslerinin tüm çam traverslerinden 1 ton daha hafif olduğu bilinmektedir. Her meşe traversin ağırlığı 46 kg ve her çam traversin ağırlığı 28 kg ise, ayrı ayrı kaç meşe ve çam traversinin bulunduğunu belirleyin.

Çözüm

İzin vermek X meşe ve sen Platforma çam traversleri yüklendi. Toplamda 300 uyuyan varsa ilk denklem şu şekilde yazılabilir: x+y = 300 .

Tüm meşe traversler 46 ağırlığındaydı X kg ve çam olanlar 28 ağırlığındaydı sen kilogram. Meşe traverslerinin ağırlığı çam traverslerinden 1 ton daha hafif olduğundan ikinci denklem şu şekilde yazılabilir: 28y – 46X= 1000 . Bu denklem meşe ve çam traversleri arasındaki kütle farkının 1000 kg olduğunu göstermektedir.

Meşe ve çam traverslerinin kütleleri kilogram cinsinden ölçüldüğü için tonlar kilograma çevrildi.

Sonuç olarak sistemi oluşturan iki denklem elde ederiz.

Bu sistemi çözelim. İlk denklemde ifade edelim X. Daha sonra sistem şu şekli alacaktır:

Birinci denklemi ikinciyle değiştirip buluruz sen

Hadi değiştirelim sen denklemin içine X= 300 − sen ve ne olduğunu öğren X

Bu da platforma 100 meşe ve 200 çam traversinin yüklendiği anlamına geliyor.

Çözümün (100; 200) problemin koşullarını karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim. Öncelikle sistemin doğru çözüldüğünden emin olalım:

Toplamda 300 uyuyan olduğu söylendi. Meşe ve çam traverslerinin sayısını topluyoruz ve çözümün (100; 200) bu koşulu karşıladığından emin oluyoruz: 100 + 200 = 300.

Aşağıdaki durum: tüm meşe traversleri tüm çam traverslerinden 1 ton daha hafifti . 46 × 100 kg meşe traversin 28 × 200 kg çam traversinden daha hafif olması nedeniyle çözümün (100; 200) de bu koşulu sağladığını görüyoruz: 5600 kg – 4600 kg = 1000 kg.

Sorun 3. Ağırlıkça 2: 1, 3: 1 ve 5: 1 oranlarında üç adet bakır-nikel alaşımı aldık. Bunlardan 12 kg ağırlığındaki bir parça, bakır ve nikel içeriği 4: 1 oranında eritildi. İlk parçanın kütlesi iki katına çıkarsa her orijinal parçanın kütlesini bulun daha fazla kütle ikinci.

Doğrusal sistemlerin çözümü cebirsel denklemler(SLAU) şüphesiz dersin en önemli konusudur. lineer Cebir. Büyük miktar Matematiğin tüm dallarındaki problemler doğrusal denklem sistemlerinin çözümüne indirgenir. Bu faktörler bu makalenin nedenini açıklamaktadır. Makalenin materyali, onun yardımıyla şunları yapabilmeniz için seçilmiş ve yapılandırılmıştır:

• toplamak optimal yöntem doğrusal cebirsel denklem sisteminizin çözümleri,
• Seçilen yöntemin teorisini incelemek,
• Ayrıntılı çözümleri inceleyerek doğrusal denklem sisteminizi çözün tipik örnekler ve görevler.

Makale materyalinin kısa açıklaması.

Önce her şeyi verelim gerekli tanımlar, kavramlar ve notasyonların tanıtılması.

Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve aşağıdaki denklemlere sahip doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alacağız: tek karar. İlk olarak Cramer yöntemine odaklanacağız, ikinci olarak bu tür denklem sistemlerinin çözümü için matris yöntemini göstereceğiz ve üçüncü olarak Gauss yöntemini (bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi) analiz edeceğiz. Teoriyi pekiştirmek için kesinlikle birkaç SLAE'yi farklı şekillerde çözeceğiz.

Bundan sonra doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin çözümüne geçeceğiz. Genel görünüm Denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakışmadığı veya sistemin ana matrisinin tekil olduğu. SLAE'lerin uyumluluğunu belirlememize olanak tanıyan Kronecker-Capelli teoremini formüle edelim. Bir matrisin küçük tabanı kavramını kullanarak sistemlerin çözümünü (eğer uyumlularsa) analiz edelim. Ayrıca Gauss yöntemini de ele alacağız ve örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak anlatacağız.

Homojen ve genel çözümlerin yapısı üzerinde kesinlikle duracağız. heterojen sistemler doğrusal cebirsel denklemler. Temel çözüm sistemi kavramını verelim ve nasıl yazılacağını gösterelim. ortak karar Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanan SLAE. Daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım.

Sonuç olarak, doğrusal olanlara indirgenebilecek denklem sistemlerini ve ayrıca çeşitli görevler, hangi SLAE'lerin ortaya çıktığını çözerken.

Sayfada gezinme.

Tanımlar, kavramlar, atamalar.

n bilinmeyen değişkenli (p, n'ye eşit olabilir) p doğrusal cebirsel denklem sistemlerini ele alacağız.

Bilinmeyen değişkenler - katsayılar (bazıları gerçek veya Karışık sayılar), - serbest terimler (aynı zamanda gerçek veya karmaşık sayılar).

SLAE kaydetmenin bu biçimine denir koordinat.

İÇİNDE matris formu Bu denklem sistemini yazmanın şekli şu şekildedir:
Nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenlerin sütun matrisi, - sütun matrisi ücretsiz üyeler.

A matrisine (n+1)'inci sütun olarak serbest terimlerden oluşan bir matris sütunu eklersek, sözde elde ederiz. genişletilmiş matris Doğrusal denklem sistemleri. Genellikle genişletilmiş matris T harfiyle gösterilir ve serbest terimler sütunu ayrılır dikey çizgi kalan sütunlardan, yani

Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözme sistemin tüm denklemlerini kimliğe dönüştüren bilinmeyen değişkenlerin değerleri kümesi denir. Matris denklemi Bilinmeyen değişkenlerin verilen değerleri için de bir kimlik haline gelir.

Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri.

Bir denklem sisteminin çözümü yoksa buna denir. uyumsuz.

Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa buna denir. kesin; birden fazla çözüm varsa o zaman – belirsiz.

Sistemin tüm denklemlerinin serbest terimleri sıfıra eşitse , daha sonra sistem çağrılır homojen, aksi takdirde - heterojen.

Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerini çözme.

Sistemin denklem sayısı bilinmeyen değişken sayısına eşitse ve ana matrisinin determinantı değilse sıfıra eşit, o zaman bu tür SLAE'leri arayacağız temel. Bu tür denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü vardır ve homojen bir sistem durumunda tüm bilinmeyen değişkenler sıfıra eşittir.

Bu tür SLAE'leri incelemeye başladık lise. Bunları çözerken bir denklemi aldık, bilinmeyen bir değişkeni diğerleri cinsinden ifade ettik ve onu geri kalan denklemlerde yerine koyduk, sonra şunu aldık: aşağıdaki denklem, bir sonraki bilinmeyen değişkeni ifade etti ve onu diğer denklemlere yerleştirdi, vb. Veya toplama yöntemini kullandılar, yani bilinmeyen bazı değişkenleri ortadan kaldırmak için iki veya daha fazla denklem eklediler. Bu yöntemler esasen Gauss yönteminin modifikasyonları olduğundan, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.

Temel doğrusal denklem sistemlerini çözmenin ana yöntemleri Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Bunları sıralayalım.

Doğrusal denklem sistemlerini Cramer yöntemini kullanarak çözme.

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmemiz gerektiğini varsayalım.

Denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu, yani .

Sistemin ana matrisinin determinantı olsun ve - A'dan değiştirilerek elde edilen matrislerin determinantları 1., 2.,…, n. sütun sırasıyla serbest üyelerin sütununa:

Bu gösterimle bilinmeyen değişkenler Cramer yönteminin formülleri kullanılarak şu şekilde hesaplanır: . Cramer yöntemi kullanılarak bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümü bu şekilde bulunur.

Örnek.

Cramer'in yöntemi .

Çözüm.

Sistemin ana matrisi şu şekildedir: . Determinantını hesaplayalım (gerekirse makaleye bakın):

Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan sistemin Cramer yöntemiyle bulunabilecek tek bir çözümü vardır.

Gerekli belirleyicileri oluşturup hesaplayalım (A matrisindeki ilk sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek determinantı, ikinci sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek ve A matrisinin üçüncü sütununu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek elde ederiz) :

Formülleri kullanarak bilinmeyen değişkenleri bulma :

Cevap:

Cramer yönteminin en büyük dezavantajı (dezavantaj olarak adlandırılabilirse), sistemdeki denklem sayısı üçten fazla olduğunda determinantların hesaplanmasının karmaşıklığıdır.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemini kullanarak çözme (ters matris kullanarak).

A matrisinin n x n boyutuna sahip olduğu ve determinantının sıfır olmadığı bir doğrusal cebirsel denklem sistemi matris biçiminde verilsin.

A matrisi tersinir olduğundan, ters bir matris vardır. Eşitliğin her iki tarafını solla çarparsak, bilinmeyen değişkenlerden oluşan bir matris sütununu bulmak için bir formül elde ederiz. Doğrusal cebirsel denklemler sisteminin çözümünü bu şekilde elde ettik matris yöntemi.

Örnek.

Doğrusal denklem sistemini çözme matris yöntemi.

Çözüm.

Denklem sistemini matris formunda yeniden yazalım:

Çünkü

daha sonra SLAE matris yöntemi kullanılarak çözülebilir. Kullanarak ters matris bu sistemin çözümü şu şekilde bulunabilir: .

Aşağıdaki matrisi kullanarak ters matrisi oluşturalım: cebirsel eklemeler A matrisinin elemanları (gerekirse makaleye bakın):

Ters matrisi çarparak bilinmeyen değişkenlerin matrisini hesaplamak kalır. ücretsiz üyelerden oluşan bir matris sütununa (gerekirse makaleye bakın):

Cevap:

veya başka bir gösterimle x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matris yöntemini kullanarak doğrusal cebirsel denklem sistemlerine çözüm bulmadaki ana sorun, özellikle ters matrisi bulmanın karmaşıklığıdır. kare matrislerüçüncüden daha yüksek sipariş verin.

Doğrusal denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözme.

n bilinmeyen değişkenli n doğrusal denklem sistemine bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım.
ana matrisin determinantı sıfırdan farklıdır.

Gauss yönteminin özü bilinmeyen değişkenlerin sırayla ortadan kaldırılmasından oluşur: ilk olarak, ikinciden başlayarak x 1 sistemin tüm denklemlerinden çıkarılır, ardından üçüncüden başlayarak x 2 tüm denklemlerden çıkarılır ve yalnızca bilinmeyen değişken x n kalana kadar bu şekilde devam eder. son denklemde. Bilinmeyen değişkenleri sırayla ortadan kaldırmak için sistem denklemlerini dönüştürme işlemine denir. doğrudan Gauss yöntemi. Gauss yönteminin ileri vuruşu tamamlandıktan sonra, son denklemden x n bulunur, sondan bir önceki denklemdeki bu değer kullanılarak x n-1 hesaplanır ve bu şekilde ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine geçerken bilinmeyen değişkenlerin hesaplanması işlemine denir Gauss yönteminin tersi.

Bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için kullanılan algoritmayı kısaca açıklayalım.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek başarabileceğimiz için bunu varsayacağız. Bilinmeyen x 1 değişkenini ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için sistemin ikinci denklemine birincisini çarptığımız denklemi, üçüncü denklemine birincisini ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme birincisini çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edip, elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koysaydık aynı sonuca ulaşırdık. Böylece x 1 değişkeni ikinciden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra benzer şekilde ilerliyoruz, ancak yalnızca sonuçtaki sistemin şekilde işaretlenmiş kısmıyla

Bunu yapmak için sistemin üçüncü denklemine ikinciyi , ile çarparak ekleriz. dördüncü denklem ikinci çarpımı ekleyelim ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme ikinci çarpımını ekleyelim. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve . Böylece x2 değişkeni üçüncüden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra sistemin şekilde işaretlenen kısmı ile benzer şekilde hareket ederek bilinmeyen x 3'ü ortadan kaldırmaya devam ediyoruz.

Böylece sistem aşağıdaki formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine devam ederiz.

Bu andan itibaren Gauss yönteminin tersini başlatırız: son denklemden x n'yi şu şekilde hesaplarız, x n'nin elde edilen değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluruz ve bu şekilde devam ederek ilk denklemden x 1'i buluruz .

Örnek.

Doğrusal denklem sistemini çözme Gauss yöntemi.

Çözüm.

Bilinmeyen x 1 değişkenini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden hariç tutalım. Bunu yapmak için, ikinci ve üçüncü denklemlerin her iki tarafına, birinci denklemin karşılık gelen kısımlarını sırasıyla ve ile çarparak ekleriz:

Şimdi üçüncü denklemden x 2'yi, ikinci denklemin sol ve sağ taraflarını sol ve sağ taraflarına ekleyerek şununla çarpıyoruz:

Bu, Gauss yönteminin ileri vuruşunu tamamlar; geri vuruşa başlarız.

Ortaya çıkan denklem sisteminin son denkleminden x 3'ü buluyoruz:

İkinci denklemden elde ederiz.

İlk denklemden geri kalan bilinmeyen değişkeni buluyoruz ve böylece Gauss yönteminin tersini tamamlıyoruz.

Cevap:

X1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Genel formdaki lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.

İÇİNDE Genel dava p sisteminin denklem sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısı n ile çakışmıyor:

Bu tür SLAE'lerin hiçbir çözümü olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu ifade aynı zamanda ana matrisi kare ve tekil olan denklem sistemleri için de geçerlidir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmadan önce uyumluluğunun belirlenmesi gerekir. SLAE ne zaman uyumlu, ne zaman tutarsız sorusunun cevabı şu şekilde verilmektedir: Kronecker-Capelli teoremi:
N bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir) p denklemlerden oluşan bir sistemin tutarlı olabilmesi için, sistemin ana matrisinin sıralamasının genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit olması gerekli ve yeterlidir; , Sıra(A)=Sıra(T).

Örnek olarak, bir doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu belirlemek için Kronecker-Capelli teoreminin uygulanmasını ele alalım.

Örnek.

Doğrusal denklem sisteminin olup olmadığını öğrenin çözümler.

Çözüm.

. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanalım. İkinci dereceden küçük sıfırdan farklı. Şimdi onu çevreleyen üçüncü dereceden küçüklere bakalım:

Üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşit olduğundan, ana matrisin rütbesi ikiye eşittir.

Buna karşılık, genişletilmiş matrisin rütbesi küçük üçüncü dereceden olduğundan üçe eşittir

sıfırdan farklı.

Böylece, Dolayısıyla Rang(A) Kronecker-Capelli teoremini kullanarak orijinal doğrusal denklem sisteminin tutarsız olduğu sonucuna varabiliriz.

Cevap:

Sistemin çözümü yok.

Kronecker-Capelli teoremini kullanarak bir sistemin tutarsızlığını belirlemeyi öğrendik.

Ancak uyumluluğu sağlanmışsa bir SLAE'ye çözüm nasıl bulunur?

Bunu yapmak için bir matrisin minör tabanı kavramına ve matrisin rütbesine ilişkin bir teoreme ihtiyacımız var.

Küçük en yüksek derece sıfırdan farklı olan A matrisine denir temel.

Bir temel minörün tanımından, sırasının matrisin sırasına eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfır olmayan bir A matrisi için birkaç temel minör olabilir; her zaman bir temel minör vardır.

Örneğin, matrisi düşünün .

Bu matrisin üçüncü dereceden tüm küçükleri sıfıra eşittir çünkü bu matrisin üçüncü satırının elemanları, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen elemanlarının toplamıdır.

Aşağıdaki ikinci dereceden küçükler sıfırdan farklı oldukları için temeldir

Küçükler sıfıra eşit oldukları için temel değildirler.

Matris rütbe teoremi.

P'ye n düzeyindeki bir matrisin sıralaması r'ye eşitse, matrisin seçilen temel minörü oluşturmayan tüm satır (ve sütun) öğeleri, onu oluşturan karşılık gelen satır (ve sütun) öğeleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. temel küçük.

Matris rütbe teoremi bize ne söylüyor?

Kronecker-Capelli teoremine göre sistemin uyumluluğunu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir minör tabanını seçeriz (sıralaması r'ye eşittir) ve aşağıdakileri sağlayan tüm denklemleri sistemden çıkarırız: seçilen esas minörü oluşturmaz. Bu şekilde elde edilen SLAE, atılan denklemler hala gereksiz olduğundan orijinaline eşdeğer olacaktır (matris sıra teoremine göre bunlar, kalan denklemlerin doğrusal bir birleşimidir).

Sonuç olarak sistemin gereksiz denklemleri çıkarıldıktan sonra iki durum mümkündür.

Ortaya çıkan sistemdeki r denklem sayısı bilinmeyen değişken sayısına eşitse bu kesin olacaktır ve tek çözüm Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle bulunabilecektir.

Örnek.

.

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin sıralaması küçük ikinci dereceden olduğundan ikiye eşittir sıfırdan farklı. Genişletilmiş Matris Sıralaması üçüncü dereceden tek minör sıfır olduğundan bu da ikiye eşittir

ve yukarıda ele alınan ikinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan orijinal doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu iddia edebiliriz.

Temel olarak küçük olarak alıyoruz . Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarından oluşur:


Sistemin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle onu matrisin rütbesine ilişkin teoreme dayanarak sistemden hariç tutuyoruz:


Temel doğrusal cebirsel denklem sistemini bu şekilde elde ettik. Cramer yöntemini kullanarak çözelim:


Cevap:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ortaya çıkan SLAE'deki denklem sayısı r ise daha az sayı bilinmeyen değişkenler n, daha sonra denklemlerin sol taraflarında temeli oluşturan terimleri minör olarak bırakıyoruz, geri kalan terimleri ise ters işaretle sistemin denklemlerinin sağ taraflarına aktarıyoruz.

Denklemin sol tarafında kalan bilinmeyen değişkenlere (r tanesi) denir. ana.

Sağ tarafta bulunan bilinmeyen değişkenlere (n - r parça vardır) denir özgür.

Artık serbest bilinmeyen değişkenlerin keyfi değerler alabileceğine, ana bilinmeyen değişkenlerin ise serbest bilinmeyen değişkenler aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edileceğine inanıyoruz. İfadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi kullanılarak çözülmesiyle bulunabilir.

Bir örnekle bakalım.

Örnek.

Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözme .

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin rütbesini bulalım küçükleri sınırlama yöntemiyle. 1 1 = 1'i birinci dereceden sıfır olmayan bir minör olarak alalım. Bu minörün sınırındaki ikinci dereceden sıfır olmayan bir minör aramaya başlayalım:


İkinci dereceden sıfır olmayan bir minörü bu şekilde bulduk. Üçüncü dereceden sıfırdan farklı sınırdaki küçükleri aramaya başlayalım:


Böylece ana matrisin rütbesi üç olur. Genişletilmiş matrisin sıralaması da üçe eşittir, yani sistem tutarlıdır.

Üçüncü mertebenin sıfırdan farklı bulunan minörünü temel alıyoruz.

Açıklık sağlamak için, minörün temelini oluşturan unsurları gösteriyoruz:


Temel minörde yer alan terimleri sistemin denklemlerinin sol tarafına bırakıp geri kalanını zıt işaretler sağ taraflara:


Serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 ve x 5 keyfi değerler verelim, yani kabul edelim , Nerede - keyfi sayılar. Bu durumda SLAE şu şekli alacaktır:


Ortaya çıkan temel doğrusal cebirsel denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözelim:


Buradan, .

Cevabınızda serbest bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.

Cevap:

Rastgele sayılar nerede.

Özetleyin.

Bir genel doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için öncelikle Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumluluğunu belirleriz. Ana matrisin sıralaması genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit değilse sistemin uyumsuz olduğu sonucuna varırız.

Ana matrisin rütbesi genişletilmiş matrisin rütbesine eşitse, o zaman bir minör baz seçeriz ve seçilen baz minörün oluşumuna katılmayan sistem denklemlerini atarız.

Temel minörün sırası ise sayıya eşit bilinmeyen değişkenler varsa, o zaman SLAE'nin bildiğimiz herhangi bir yöntemle bulduğumuz benzersiz bir çözümü vardır.

Temelin sırası bilinmeyen değişken sayısından azsa, sistem denklemlerinin sol tarafında, ana bilinmeyen değişkenlerin bulunduğu terimleri bırakırız, kalan terimleri sağ taraflara aktarırız ve keyfi değerler veririz. serbest bilinmeyen değişkenler Ortaya çıkan doğrusal denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz yönteme göre değişkenler Cramer, matris yöntemi veya Gauss yöntemi.

Genel formdaki doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi.

Gauss yöntemi, her türlü doğrusal cebirsel denklem sistemini, önce tutarlılık açısından test etmeden çözmek için kullanılabilir. Bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması süreci, SLAE'nin hem uyumluluğu hem de uyumsuzluğu hakkında bir sonuca varılmasını ve bir çözüm varsa bulunmasını mümkün kılar.

Hesaplama açısından Gauss yöntemi tercih edilir.

Onu izle Detaylı Açıklama ve genel formdaki doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi makalesindeki örnekleri analiz ettik.

Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan doğrusal cebirsel sistemlere genel bir çözüm yazmak.

Bu bölümde eş zamanlı homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinden bahsedeceğiz. sonsuz küme kararlar.

İlk önce homojen sistemlerle ilgilenelim.

Temel çözüm sistemi n bilinmeyen değişkenli p doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan homojen sistem, bu sistemin (n – r) doğrusal olarak bağımsız çözümlerinin bir koleksiyonudur; burada r, sistemin ana matrisinin temel minörünün sırasıdır.

Doğrusal olarak belirtirsek bağımsız çözümler homojen SLAE, X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r), n'ye 1 boyutunda sütunlu matrislerdir), o zaman genel çözüm Bu homojen sistem, temel çözüm sisteminin vektörlerinin keyfi değerlerle doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir. sabit katsayılar C 1, C 2, ..., C (n-r), yani .

Homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel çözümü terimi ne anlama gelir?

Anlamı basit: formül her şeyi belirler Muhtemel çözümler orijinal SLAE, başka bir deyişle, C 1, C 2, ..., C (n-r) keyfi sabitlerinin herhangi bir değer kümesini alarak, formüle göre orijinal homojen SLAE'nin çözümlerinden birini elde edeceğiz.

Dolayısıyla, eğer temel bir çözüm sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin tüm çözümlerini şu şekilde tanımlayabiliriz.

Homojen bir SLAE'ye yönelik temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.

Orijinal doğrusal denklemler sisteminin temel minörünü seçiyoruz, diğer tüm denklemleri sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyen değişkenler içeren tüm terimleri, zıt işaretli sistem denklemlerinin sağ taraflarına aktarıyoruz. Ücretsiz bilinmeyenler verelim değişken değerler 1,0,0,…,0 ve elde edilen temel doğrusal denklem sistemini herhangi bir şekilde çözerek, örneğin Cramer yöntemini kullanarak ana bilinmeyenleri hesaplayın. Bu, temel sistemin ilk çözümü olan X (1) ile sonuçlanacaktır. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 değerlerini verip ana bilinmeyenleri hesaplarsak X(2) elde ederiz. Ve benzeri. Serbest bilinmeyen değişkenlere 0.0,…,0.1 değerlerini atayıp temel bilinmeyenleri hesaplarsak X(n-r) elde ederiz. Bu şekilde homojen bir SLAE'nin temel çözüm sistemi oluşturulacak ve genel çözümü şeklinde yazılabilecektir.

Homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemleri için genel çözüm, karşılık gelen homojen sistemin genel çözümü ve orijinalin özel çözümü olan formda temsil edilir. heterojen SLAE serbest bilinmeyenlere 0,0,...,0 değerlerini verip, ana bilinmeyenlerin değerlerini hesaplayarak elde ettiğimiz.

Örneklere bakalım.

Örnek.

Temel çözüm sistemini ve homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin genel çözümünü bulun .

Çözüm.

Homojen doğrusal denklem sistemlerinin ana matrisinin sıralaması her zaman genişletilmiş matrisin sıralamasına eşittir. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak ana matrisin rütbesini bulalım. Birinci dereceden sıfır olmayan bir minör olarak sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 öğesini alıyoruz. İkinci dereceden sınırdaki sıfır olmayan küçükleri bulalım:

Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulundu. Sıfır olmayan bir tane bulmak için sınırındaki üçüncü dereceden küçükleri inceleyelim:

Üçüncü dereceden sınırdaki tüm küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle ana ve genişletilmiş matrisin sırası ikiye eşittir. Hadi alalım . Açıklık sağlamak için, onu oluşturan sistemin öğelerine dikkat edelim:

Orijinal SLAE'nin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle hariç tutulabilir:

Temel bilinmeyenleri içeren terimleri denklemlerin sağ taraflarına bırakıp, serbest bilinmeyenli terimleri sağ taraflara aktarıyoruz:

Orijinal homojen doğrusal denklem sisteminin temel çözüm sistemini oluşturalım. Temel sistem Bu SLAE'nin çözümleri iki çözümden oluşur, çünkü orijinal SLAE dört bilinmeyen değişken içerir ve temel minör derecesi ikiye eşittir. X (1)'i bulmak için serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 = 1, x 4 = 0 değerlerini veriyoruz, ardından denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz
.