Тригонометр гэж юу вэ. Бодит амьдрал дээрх тригонометрийн тухай тайлан

Y: 0 = N – мг cos24.5 0

Н = мг cos 24,5 0

Бид массыг орлуулж, хүч нь 819 Н байна.

Хариулт: 819 Н

Анагаах ухаан, биологийн тригонометр

Нэг үндсэн шинж чанаруудамьд байгаль бол түүнд тохиолддог ихэнх үйл явцын мөчлөгийн шинж чанар юм.

Биологийн хэмнэл, биоритмууд- эдгээр нь биологийн үйл явцын шинж чанар, эрчимжилтийн тогтмол өөрчлөлтүүд юм.

Дэлхийн үндсэн хэмнэл- өдөр тутмын тэтгэмж.

Биоритмуудын загварыг тригонометрийн функцуудыг ашиглан бүтээж болно.

Биоритмийн загварыг бий болгохын тулд та тухайн хүний ​​төрсөн он сар өдөр, лавлагааны огноо (өдөр, сар, жил) болон урьдчилан таамаглах хугацааг (өдрийн тоо) оруулах ёстой.

Тархины зарим хэсгийг хүртэл синус гэж нэрлэдэг.

Синусын хана нь эндотелийн доторлогоотой dura mater-ээр үүсгэгддэг. Бусад судлуудаас ялгаатай нь синусын хөндий, хавхлагууд, булчингийн эдүүд байдаггүй. Синусын хөндийд эндотелээр бүрхэгдсэн фиброз таславч байдаг. Синусуудаас цус нь дотоод эрүүний судас руу урсдаг бөгөөд үүнээс гадна гавлын ясны гадна талын венийн судаснууд ба венийн судаснууд хоорондоо холбогддог.

Усан дахь загасны хөдөлгөөн нь синус эсвэл косинусын хуулийн дагуу явагддаг, хэрэв та сүүл дээрх цэгийг засч, дараа нь хөдөлгөөний замналыг анхаарч үзвэл.

Усанд сэлэх үед загасны бие нь графиктай төстэй муруй хэлбэртэй байдаг

функцууд y= tgx.

Хөгжим дэх тригонометр

Бид форматаар хөгжим сонсдогmp3.

Дуу чимээ- энэ бол долгион, энд түүний "график" байна.

Таны харж байгаагаар энэ нь маш нарийн төвөгтэй боловч тригонометрийн хуулийг дагаж мөрддөг синусоид юм.

2003 оны хавар Москвагийн урлагийн театрт гоцлол дуучин Диана Арбенинагийн "Шөнийн мэргэн буудагчид" хамтлагийн "Тригонометр" цомгийн танилцуулгыг зохион байгуулав. Цомгийн агуулга нь "Тригонометр" гэдэг үгийн анхны утгыг илчилдэг - Дэлхийг хэмжих.

Компьютерийн шинжлэх ухаан дахь тригонометр

Тригонометрийн функцуудыг үнэн зөв тооцоолоход ашиглаж болно.

Тригонометрийн функцийг ашиглан та ямар ч зүйлийг ойролцоогоор гаргаж болно

("сайн" гэсэн утгаараа) функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлнэ.

а 0 + a 1 cos x + b 1 нүгэл х + а 2 cos 2x + b 2 нүгэл 2x + a 3 cos 3x + b 3 нүгэл 3x + ...

Тоонуудыг зөв сонгох a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., Компьютерийн бараг бүх функцийг ийм (хязгааргүй) нийлбэр хэлбэрээр шаардлагатай нарийвчлалтайгаар илэрхийлэх боломжтой.

График мэдээлэлтэй ажиллахад тригонометрийн функцууд хэрэгтэй. Тодорхой тэнхлэгийн эргэн тойронд зарим объектын эргэлтийг загварчлах (компьютер дээр дүрслэх) шаардлагатай. Тодорхой өнцгөөр эргэлт үүсдэг. Цэгүүдийн координатыг тодорхойлохын тулд та синус болон косинусаар үржүүлэх хэрэгтэй болно.

Жастин Винделл, программист, дизайнерGoogle Графика Лаб , динамик хөдөлгөөнт дүрс үүсгэхийн тулд тригонометрийн функцуудыг ашиглах жишээг харуулсан үзүүлэнг нийтэлсэн.

Барилга, геодези дэх тригонометр

Хажуугийн урт ба өнцөг дурын гурвалжинХавтгай дээрх нь тодорхой харилцаа холбоогоор холбогддог бөгөөд тэдгээрийн хамгийн чухал нь косинус ба синусын теоремууд гэж нэрлэгддэг.

2ab

= =

Эдгээр томъёонд a,б, в- A, B, C өнцгүүдийн эсрэг байрлах ABC гурвалжны талуудын урт. Эдгээр томьёо нь гурвалжны гурван элемент болох талуудын урт ба өнцгөөс үлдсэн гурван элементийг дахин бүтээх боломжийг олгодог. Тэдгээрийг практик асуудлыг шийдвэрлэхэд, жишээлбэл геодезид ашигладаг.

Бүх "сонгодог" геодези нь тригонометр дээр суурилдаг. Эрт дээр үеэс судлаачид гурвалжинг "шийдвэрлэх" ажлыг эрхэлдэг байсан.

Барилга, зам, гүүр болон бусад байгууламжийг барих үйл явц нь судалгаа хийхээс эхэлдэг дизайны ажил. Барилгын талбайн бүх хэмжилтийг теодолит, тригонометрийн түвшин зэрэг маркшейдерийн багаж ашиглан гүйцэтгэдэг. Тригонометрийн тэгшилгээний тусламжтайгаар дэлхийн гадаргуу дээрх хэд хэдэн цэгийн өндрийн зөрүүг тодорхойлно.

Дүгнэлт

Тригонометрийг өнцгийг хэмжих хэрэгцээ шаардлагад үндэслэн амьдралд оруулсан боловч цаг хугацаа өнгөрөхөд тригонометрийн функцүүдийн шинжлэх ухаан болон хөгжсөн.

Тригонометр нь физиктэй нягт холбоотой бөгөөд байгаль, хөгжим, архитектур, анагаах ухаан, технологид байдаг.

Тригонометр нь бидний амьдрал, түүний тоглодог хэсэгт тусгагдсан байдаг чухал үүрэг, өргөжих болно, тиймээс түүний хууль тогтоомжийн талаархи мэдлэг нь хүн бүрт зайлшгүй шаардлагатай.

Математик болон гадаад ертөнцийн хоорондын холбоо нь сургуулийн сурагчдын мэдлэгийг "материалжуулах" боломжийг бидэнд олгодог. Энэ нь сургуульд олж авсан мэдлэгийн амин чухал хэрэгцээг илүү сайн ойлгоход тусалдаг.

Практик агуулгатай математикийн бодлого (хэрэглээний шинж чанартай асуудал) гэж бид математикийн холбогдох салбар дахь хэрэглээг харуулсан бодлогыг хэлнэ. эрдэм шинжилгээний салбарууд, технологи, өдөр тутмын амьдралд.

Тригонометрийн үүссэн түүхэн шалтгаан, түүний хөгжил ба тухай түүх практик хэрэглээМанай сургуулийн сурагчдын судалж буй хичээлийн сонирхлыг идэвхжүүлж, бидний ертөнцийг үзэх үзлийг төлөвшүүлж, ерөнхий соёлыг сайжруулдаг.

Энэхүү ажил нь тригонометрийн гоо сайхныг хараахан үзээгүй, эргэн тойрныхоо амьдралд хэрэглэх чиглэлийг сайн мэдэхгүй ахлах сургуулийн сурагчдад хэрэгтэй болно.

Лавлагаа:

Ушаковын толь бичиг

Тригонометр

тригономи тригономи, тригонометр, pl.Үгүй, эхнэрүүд(-аас Гректригонос - гурвалжин ба метро - хэмжилт) ( дэвсгэр.). Гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлын талаархи геометрийн тэнхим.

Нэвтэрхий толь бичиг

Тригонометр

(Грек хэлнээс тригонон - гурвалжин ба... геометр), тригонометрийн функц, тэдгээрийн геометрийн хэрэглээг судалдаг математикийн салбар.

Ожеговын толь бичиг

ТРИГОН Э TRIA,Мөн, болон.Гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар.

| adj. тригонометр,өө, өө.

Ефремовагийн толь бичиг

Тригонометр

болон.
Тригонометрийн функц, тэдгээрийн хэрэглээг судалдаг математикийн салбар
асуудал шийдвэрлэх.

Брокхаус ба Эфроны нэвтэрхий толь бичиг

Тригонометр

Гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг (харна уу) гэж нэрлэдэг тусгай төрлийн функцээр илэрхийлдэг. тригонометр. Эдгээр функцүүдэд тусгай нэр өгсөн: синус, косинус, тангенс, котангенс, секант Тэгээд косекант.

Гол санааг нь авч үзвэл үүнийг төсөөлье ТУХАЙтөвөөс цааш, радиус О.Анумыг тайлбарлая AB.Цэг Адуудсан эхлэлнумууд AB,цэг IN - төгсгөлнумууд AB.Нэг өнцгийг төсөөлье AOB,орой нь цэг дээр байна ТУХАЙ,ба талууд нь цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг АТэгээд IN.Радиусыг өөрчлөх үед О.Анум AB,өгөгдсөн өнцгийн талуудаар хязгаарлагддаг, өөрчлөгддөг, гэхдээ харьцаа AB/OAөөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Энэ хандлага нь үйлчилдэг хэмжүүрөгөгдсөн өнцөг. Тэгш өнцгийг шулуун шугамын эсрэг талд байрлуулж болно ОА,Дараа нь нэг өнцгийг нөгөө өнцгөөс нь ялгахын тулд нэг өнцгийг эерэг тоогоор, нөгөөг нь сөрөг тоогоор илэрхийлэхээр тохиролцов. Хэрэв нумууд ABТэгээд AB",радиусаар тодорхойлогддог О.Атэнцүү, дараа нь өнцөг AOB өнцөгтэй тэнцүү AOB".Хэрэв жишээ нь AB/OA = 1/3 , тэгвэл бид өнцөг гэж хэлэхийг зөвшөөрч байна AOBтэнцүү байна 1/3 мөн тэр өнцөг AOB"тэнцүү байна ( - 1/3) . Тиймээс хийсвэр тоо бүр (эерэг эсвэл сөрөг) маш тодорхой өнцөгт нийцдэг. Хэрэв бид нумын төгсгөлөөс ирсэн бол INперпендикуляруудыг хаяцгаая VRТэгээд BQшууд О.Аба шууд үйлдлийн систем,перпендикуляр О.А, дараа нь бид сегментүүдийг авна ЭСВЭЛТэгээд OQ(Зураг 2) гэж нэрлэдэг. төсөөлөл 0V дээр О.Агэх мэт OS.өнцөг гэж үзье AOBөөрчлөгддөггүй, харин радиус өөрчлөгддөг О.А; энэ тохиолдолд харилцаа OR/OAТэгээд OQ/OAөөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Дараах онцгой тохиолдлууд энд боломжтой. Төсөл 0Vдээр О Асегменттэй ижил чиглэлд чиглүүлж болно О.Аэсвэл эсрэг чиглэлд (Зураг 3).

Төсөл ч мөн адил 0Vдээр OSчиглэлтэй байж болно OSэсвэл эсрэг чиглэлд (Зураг 4).

Чиглэл OSшулуун байхаар сонгосон

булан Үйлдлийн системэерэг байсан. Хэрэв өнцөг AOBтэнцүү байна α , Тэр синус α (нүгэл α)нэр хандлага OQ/OAтохиолдолд OQ-тэй ижил чиглэлтэй OS.Хэрэв OQэсрэг чиглэл үйлдлийн систем,Тэр

Гэм α = -OQ/OA

Хандлага OP/OAнэр косинус α, (Cos α)тохиолдолд ЭСВЭЛ-тэй ижил чиглэл О.А.Хэрэв ЭСВЭЛбайна эсрэг чиглэл-тай ОА,Тэр

Cos α = -OP/OA

Т.-ийн сурах бичгүүдээс дараахь томъёоны нотолгоог олж болно.

нүгэл( - α) = -Син α, Кос ( -α) = Cos α,

Нүгэл (π /2 - α) = Cos α, Cos (π /2 -α) = Гэм α,

Нүгэл (π - α) = Син α, Кос (π - α) = -Учир нь α,

Нүгэл (π + α) = - Sin α, Cos (π + a) = -Учир нь α,

Нүгэл(2π - α) = -Син α, Кос (2 π -α) = Cos α,

Нүгэл (2 π + α) = Нүгэл α, Кос (2 π + α) - Cos α.

Эдгээр томьёог ашиглан Sinα болон Cosα-ийн тооцоог α нь π /4-ээс ихгүй эерэг тоо байх тохиолдол болгон бууруулна.

Томьёонуудаас

Нүгэл (α + β) = Sin α Cosß + Cos α Sinß,

Cos (α + ß) = Cos α Cosß - Гэм α Sinß

Сина + Синб = 2Син[(а + б)/2] Кос[(а -b)/2],

Сина- Синб = 2 Нүгэл[(а -b)/2] Cos[(a + b)/2],

Cosa + Cosb = 2Cos[(a + b)/2] Cos[(a -) b)/2],

Коса- Cosb = 2Нүгэл[(a + b)/2] Нүгэл[(а -b)/2].

Функцүүд Нүгэл2 αТэгээд Cos2 αдамжуулан илэрхийлдэг Гэм αТэгээд Cos αдараах байдлаар:

Sin2 α = 2Sin α Cos α,

Cos2 α = Cos 2 α - Нүгэл 2 α.

Харьцааны улмаас

Cos 2 α + Sin 2 α = 1

сүүлчийн томъёо нь дараах хэлбэрийг авна;

Cos2a = 1 -2Нүгэл 2 αэсвэл Cos2a = SCos 2 α - 1.

Энд товчлолоор бичсэн байна Нүгэл 2 αТэгээд Cos 2 aоронд нь (нүгэл α) 2Тэгээд (Cos α) 2. Тригонометрийн функцууд шүргэгч (тг), котангенс (ctg), секант (сек)Тэгээд косекант (косек)дараах байдлаар тодорхойлогддог.

tg α = Sin α /Cos α, cot α = Cos α /Sin α,

sec α = 1/Cos α, cosec α = 1/Sin α

Тангенсийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе.

tg(α + β) = (tg α + tan β)/(1 -tg α tg β)

tg2 α = (2тг α)/(1 - tg 2 α)

tan α /2 = Sin α /(1 + Cos α) = (1 - Cos α)/Sin α

Тригонометрийн урвуу функцууд гэж нэрлэдэг. дугуй: нуман (нуман син), арккосин (нум Cos), арктангенс (нум tg), арккотангенс (арк ctg), нуман (нуман сек) болон арккосекант (нуман косек).Хэрэв жишээ нь бор α = a,Тэр α = нум tga.Учир нь өгсөн дугаар аолон янзтай тохирч байна α , дараа нь илүү итгэлтэй байхын тулд бид тохиролцсон нуман tgaинтервалд байгаа тоог ойлгох (- π /2, π /2). Энэ интервалд шүргэгч ямар ч утгатай байж болно. Үүний нэгэн адил тоонууд гэж таамаглаж байна нуман Сина, arc ctgaТэгээд нуман косекахооронд хэвтэх - π /2Тэгээд π /2,болон тоонууд Арк КосаТэгээд нуман секхооронд ТУХАЙТэгээд π . Тригонометрийн функцууд маш их байдаг чухал: тэдгээр нь анализ, геометрийн маш олон асуултанд байдаг. Тооцооллыг логарифмын тусламжтайгаар хөнгөвчлөх тул хүснэгтүүд нь тригонометрийн функцуудыг биш, харин тэдгээрийн логарифмуудыг агуулдаг (харна уу). Хүснэгт дэх өнцгийг тоогоор биш, градусаар илэрхийлдэг. Хэрэв энэ өнцөг тэнцүү бол α , дараа нь агуулна 180 α/π градус;Эрдмийн зэрэг олгох 60-р хэсэг гэж нэрлэдэг. минут,мөн минутын 60 дахь хэсэг хоёрдугаарт.Тригонометрийн хүснэгтүүдийг цуваа ашиглан тооцоолно (харна уу).

Шулуун гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг (харна уу) дараах томъёогоор илэрхийлнэ. Гурвалжны өнцгийг үүгээр тэмдэглэвэл А, INТэгээд ХАМТ,болон дамжуулан тэднийг эсэргүүцэж талууд а, бТэгээд -тай,тэгвэл бид авна

A + B + C = π,

SinA/a = SmB/b = SinC/c

a 2 = b 2 + c 2 - 2bс.CosA,

a = b.CosC + c.CosB,

tg[(Α - Β)/2] = [(а - b)/(a + b)]Ctg(C/2)

Хэрэв гурвалжны периметр, i.e. a + b + cтовчхон байхын тулд бид тэмдэглэнэ 2p,тэгвэл бид авна

Эдгээр томъёонд квадрат язгуур эерэг утгатай байна. Хэрэв сгурвалжны талбайг илэрхийлнэ s = 1/2(ab).Sincэсвэл s = √.

Хэрэв Ргурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус ба rнь бичээстэй тойргийн радиус, тэгвэл

R = a/(2SinA) = (abc)/(4s) Тэгээд r = s/p.

Дээрх томьёоноос та үсгүүдийг дахин цэгцлэх замаар бусдыг гаргаж болно. Жишээлбэл, томъёоноос

А 2 = b 2 + c 2 - 2bс.CosA

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac. CosB.

Заасан томъёог ашиглан гурвалжны үлдсэн хэсгүүдийг гурвалжны эдгээр хэсгүүдээс тооцоолно. Үүнтэй төстэй даалгавар, дуудсан гурвалжин шийдвэрлэх, олон олддог практик асуудлууд: геодезийн хайгуулын үед, өндрийг тодорхойлох, хүрэх боломжгүй цэгүүдийн хоорондох зайг олох гэх мэт.

Одоо бид бөмбөрцөг гурвалжин руу шилжиж байна. Эдгээр гурвалжны шийдэл нь сэдэв юм бөмбөрцөг тригонометр. Энэ нь радиустай бөмбөгний гадаргуу дээр байна гэж үзье Ргурвалжин зурсан бөгөөд түүний орой нь байна А, БТэгээд ХАМТ.Бөмбөгний төвийг холбох ТУХАЙцэгүүдтэй А, БТэгээд ХАМТ,Бид гурван хавтгай өнцөг, гурван хоёр өнцөгт өнцгийг агуулсан гурвалсан өнцгийг олж авдаг. Тоо хэмжээ хоёр талт өнцөг, хэний ирмэгүүд байна О.А., О.ВТэгээд үйлдлийн систем,-ээр тэмдэглэнэ А, БТэгээд ХАМТ,ба тэдгээрийн эсрэг талын хавтгай өнцгүүдийн хэмжээ а, бТэгээд -тай.Бид зургаан тоо гэж таамаглах болно A, B, C, a, b, cградусаар илэрхийлэгдэх ба тэдгээрийн аль нь ч 180°-аас хэтрэхгүй байна. Эдгээр тоонуудын хооронд дараах үндсэн хамаарал бий.

Коса = Косб.Косс + Синб. Синк. CosA,

SinA/Sina = SinB/Sinb = SinC/Sinc

Коса.Синб - Sina.Cosb.CosC = Sinc.CosA,

Cosa.SinB - Cosb.CosC.SinA = CosA.Sin C,

Ctga. Синб- CtgA.SinC = Cosb.CosC,

CosA = - CosB.CosC + SinB.SinC.Cosa.

Хэрэв a + b + c = 2p,Тэр

Бөмбөрцөг гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180°-аас ихийг агуулна. Тоо A + B + C -180°дуудсан бөмбөрцөг хэлбэрийн илүүдэл өгөгдсөн гурвалжинмөн үсгээр тодорхойлогддог ε . Өнцөг нь өгөгдсөн бөмбөрцөг гурвалжны аль нэгэнд агуулагдах градусын тоог тодорхойлохын тулд томъёог ашиглана уу.

Бөмбөрцөг гурвалжны талбай нь (π /180) ε.R 2, Хаана Рбөмбөгний радиус.

Lhuillier-ийн томъёо нь гурвалжны хажуугийн дагуух бөмбөрцөг илүүдэлийг тооцоолох боломжтой болгодог.

Мөн Деламбрийн томъёог онцолж үзье.

Нүгэл[(A + B)/2]: Cos = Cos[(a -b)/2]: Cos

Нүгэл[(А - B)/2]:Кос = Нүгэл[(а -б)/2]: Нүгэл

Cos[(A + B)/2]:Нүгэл = Cos[(a + b)/2]:Cos

Учир нь[(А - B)/2]:Нүгэл = Нүгэл[(a + b)/2]: Нүгэл

Напиерийн томъёонууд дээр:

tg[(A + B)/2] = (ctg)(Cos[(a -b)/2]/Cos[(a + b)/2])

тг[(А - B)/2] = (ctg)(Син[(а -б)/2]/Нүгэл[(a + b)/2])

tg[(a + b)/2] = (tg)(Cos[(A -) B)/2]/Cos[(A + B)/2])

тг[(а - б)/2] = (тг)(Син[(А -B)/2]/Нүгэл[(A + B)/2]) Жагсаалтад орсон томъёоноос бид үсгүүдийг дахин цэгцлэх замаар шинийг олж авдаг.

Бөмбөрцөг хэлбэрийн T.-ийн томъёог одон орон судлалд ихэвчлэн ашигладаг.

Тригонометрийн сурах бичгүүдийг жагсаалгүйгээр бид Ж.А.Серретийн "Trait é de Trigonomé trie"-г зааж байна. Т.-ийн түүхийн талаархи мэдээллийг 1759 он хүртэл (Лагранжийн төрсөн он) авчирсан Мориц Кантор, "Ворлесунген ü бэр Гесчичте дер математик" бүтээлээс олж болно. Нэмж дурдахад 1900 онд уг бүтээлийн эхний хэсэг гарч ирэв: А.фон Браунм ühl, "Vorlesungen ü ber Geschichte der Trigonometrie" нь Т.-ийн түүхийг авчирсан. XVII хагасширээ. (логарифмийг зохион бүтээхээс өмнө).

Д.С.

Орос хэлний толь бичиг

Бусад хэсгүүд

Үг "тригонометр" Анх Германы теологич, математикч Питискусын номны гарчигнаас (1505) олдсон. Энэ үгийн гарал үүсэл нь Грек хэлнээс гаралтай: xpiyrovov - гурвалжин, tsetreso - хэмжүүр. Өөрөөр хэлбэл тригонометр бол гурвалжныг хэмжих шинжлэх ухаан юм. Хэдийгээр энэ нэр харьцангуй саяхан гарч ирсэн ч одоо тригонометртэй холбоотой олон ойлголт, баримтууд хоёр мянган жилийн өмнө мэдэгдэж байсан.

Энэхүү үзэл баримтлал нь урт удаан түүхтэйсинус Үнэн хэрэгтээ гурвалжин ба тойргийн сегментүүдийн янз бүрийн харьцаа (мөн үндсэндээ тригонометрийн функцууд) 3-р зуунд аль хэдийн олдсон. МЭӨ д. Эртний Грекийн агуу математикчид - Евклид, Архимед, Пергийн Аполлониус нарын бүтээлүүдэд. Ромын үед эдгээр харилцааг Менелаус (МЭ 1-р зуун) нэлээд системтэйгээр судалж байсан боловч тусгай нэр аваагүй байв.

Дараагийн үед математикийг Энэтхэг, Арабын эрдэмтэд удаан хугацаанд хамгийн идэвхтэй хөгжүүлсэн. IV-V зуунд. Ялангуяа Энэтхэгийн агуу эрдэмтэн Арьябхатагийн (476 - ойролцоогоор 550) одон орон судлалын бүтээлүүдэд тусгай нэр томъёо гарч ирсэн бөгөөд дэлхийн анхны Энэтхэгийн хиймэл дагуулыг түүний нэрээр нэрлэжээ. Тэрээр сегментийг ardhajiva гэж нэрлэсэн.

Хожим нь жива хэмээх богино нэрийг авсан. 9-р зууны Арабын математикчид. Жива (эсвэл жиба) гэдэг үгийг араб хэлний жаиб (гүдгэр) гэсэн үгээр сольсон. 12-р зуунд араб математикийн бичвэрүүдийг орчуулахдаа. энэ үгийг латинаар сольсонсинус (синус - нугалах, муруйлт).

Косинус гэдэг үг хамаагүй залуу.Косинус Энэ нь "нэмэлт синус" гэсэн латин хэллэгийн товчлол юм (эсвэл "нэмэлт нумын синус"; cos a = sin (90° - a) гэдгийг санаарай).

Шүргэх сүүдрийн уртыг тодорхойлох асуудлыг шийдэхтэй холбогдуулан үүссэн. Тангенс (түүнчлэн котангенс, секант, косекант) 10-р зуунд нэвтэрсэн. Арабын математикч Абул-Вафа, тангенс ба котангенсыг олох анхны хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Гэсэн хэдий ч эдгээр нээлтүүд Европын эрдэмтэдэд удаан хугацааны туршид мэдэгдээгүй бөгөөд 14-р зуунд шүргэгчийг дахин нээсэн. эхлээд Английн эрдэмтэн Т.Бравердин, дараа нь Германы математикч, одон орон судлаач Региомонтанус (1467). 

Латин tanger (хүрэх) гэсэн үгнээс гаралтай "шүргэх" нэр нь 1583 онд гарч ирсэн. Тангенсыг "хүрэх" гэж орчуулдаг (шүргэх шугам нь нэгж тойрогт шүргэгч юм).

Орчин үеийн тэмдэглэгээarcsin болон arctg 1772 онд Венийн математикч Шерфер, Францын нэрт эрдэмтэн Лагранж нарын бүтээлүүдэд гарч ирсэн ч арай эрт Ж.Бернулли өөр өөр бэлгэдэл ашигласан гэж үзэж байжээ. Гэхдээ эдгээр тэмдгүүдийг зөвхөн 18-р зууны төгсгөлд л хүлээн зөвшөөрсөн. "Нум" угтвар нь Латин хэлнээс гаралтай нум(нум, нум) нь ойлголтын утгатай нэлээд нийцдэг: arcsin x нь жишээлбэл, синус нь x-тэй тэнцүү өнцөг (мөн нум гэж хэлж болно) юм.

Удаан хугацааны туршид тригонометр нь геометрийн нэг хэсэг болгон хөгжиж ирсэн. Тригонометрийг хөгжүүлэх хамгийн том хөшүүрэг нь практик сонирхол ихтэй байсан одон орон судлалын асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой (жишээлбэл, хөлөг онгоцны байршлыг тодорхойлох, хиртэлтийг урьдчилан таамаглах гэх мэт) үүссэн байж магадгүй юм.

Одон орон судлаачид бөмбөрцөг дээр байрлах том тойргуудаас бүрдэх бөмбөрцөг гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг сонирхож байв.

Ямар ч байсан геометрийн хэлбэрээр тригонометрийн олон томьёог эртний Грек, Энэтхэг, Арабын математикчид нээж, дахин нээжээ. (Үнэн, тригонометрийн функцүүдийн ялгааны томъёог зөвхөн 17-р зуунд мэддэг болсон - тэдгээрийг Английн математикч Напиер тригонометрийн функцээр тооцооллыг хялбарчлах зорилгоор гаргаж авсан. Мөн синус долгионы анхны зураг 1634 онд гарч ирэв.)

К.Птолемейгийн синусын анхны хүснэгтийг эмхэтгэсэн нь (удаан хугацаанд үүнийг хөвчний хүснэгт гэж нэрлэдэг байсан) үндсэн ач холбогдолтой байсан: хэрэглээний хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэх практик хэрэгсэл, юуны түрүүнд одон орон судлалын асуудлууд гарч ирэв.

Тригонометрийн орчин үеийн хэлбэрийг 18-р зууны хамгийн агуу математикч өгсөнЛ . Эйлер(1707-1783), Швейцарь гаралтай, Орост олон жил ажилласан, Санкт-Петербургийн ШУА-ийн гишүүн байжээ. Анх Эйлер тригонометрийн функцүүдийн сайн мэддэг тодорхойлолтыг танилцуулж, дурын өнцгийн функцийг авч үзэж, багасгах томъёог олж авсан хүн юм. Энэ бүхэн бол Эйлер урт наслахдаа математикт хийж чадсан зүйлсийн өчүүхэн хэсэг юм: тэрээр 800 гаруй нийтлэл бичиж, математикийн янз бүрийн салбартай холбоотой сонгодог болсон олон теоремуудыг нотолсон. (1776 онд Эйлер хараагүй болсон ч гэсэн сүүлийн өдрүүдулам олон шинэ бүтээл туурвисаар байв.)

Эйлерийн дараа тригонометр нь тооцооллын хэлбэрийг олж авсан: тригонометрийн томъёог албан ёсоор хэрэглэх замаар янз бүрийн баримтууд нотлогдож эхэлсэн бөгөөд нотолгоо нь илүү нягт, хялбар болсон.

Тригонометрийн хамрах хүрээ нь математикийн төрөл бүрийн салбарууд, байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн зарим хэсгийг хамардаг.

Тригонометрийн хэд хэдэн төрөл байдаг:

Бөмбөрцөг тригонометр нь бөмбөрцөг гурвалжны судалгааг авч үздэг.


Шулуун буюу хавтгай тригонометр нь ихэвчлэн гурвалжинг судалдаг.

Эртний Грек, Эллинист эрдэмтэд тригонометрийг ихээхэн хөгжүүлсэн. Гэсэн хэдий ч Евклид, Архимед нарын бүтээлүүдэд тригонометрийг геометрийн хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Хөвчний уртын теоремуудыг синусын хуулиудад хэрэглэнэ. Архимедийн хөвчийг хуваах теорем нь нийлбэр ба өнцгийн зөрүүний синусын томъёотой тохирч байна.

Одоогийн байдлаар математикчид шинэ тэмдэглэгээг ашиглаж байна алдартай теоремууд, жишээ нь, sin α/ sin β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Анхны тригонометрийн хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн гэж таамаглаж байна Никеагийн Гиппарх"Тригонометрийн эцэг" гэж зүй ёсоор тооцогддог. Тэрээр хэд хэдэн өнцгийн нуман ба хөвчний хэмжигдэхүүнүүдийн хураангуй хүснэгтийг бий болгосон гавьяатай. Түүгээр ч барахгүй 360 градусын тойрог ашиглаж эхэлсэн хүн бол Никеагийн Гиппарх юм.

Клаудиус Птолемей Гиппархын сургаалийг ихээхэн хөгжүүлж, өргөжүүлсэн. Птолемейгийн теорем Уншсан: бүтээгдэхүүний нийлбэр эсрэг талуудЦикл дөрвөн өнцөгт нь диагональуудын үржвэртэй тэнцүү байна. Птолемейгийн теоремын үр дагавар нь синус ба косинусын дөрвөн нийлбэр ба ялгааны томьёоны эквивалентыг ойлгох явдал байв. Нэмж дурдахад Птолемей хагас өнцгийн томъёог гаргаж авсан. Птолемей тригонометрийн хүснэгтийг эмхэтгэхдээ бүх үр дүнг ашигласан. Харамсалтай нь Гиппарх, Птолемей нарын жинхэнэ тригонометрийн хүснэгт өнөөг хүртэл хадгалагдаагүй байна.

Тригонометрийн тооцоолол нь геометр, физик, инженерийн бараг бүх салбарт хэрэглэгдэх болсон.
Тригонометрийн (гурвалжингийн техник) ашиглан та оддын хоорондох зай, газарзүйн тэмдэглэгээний хоорондох зайг хэмжиж, хиймэл дагуулын навигацийн системийг удирдах боломжтой.

Тригонометрийг навигацийн технологи, хөгжмийн онол, акустик, оптик, санхүүгийн зах зээлийн шинжилгээ, электроник, магадлалын онол, статистик, биологи ба анагаах ухаан, хими ба тооны онол (криптографи), газар хөдлөлт судлал, цаг уур, далай судлал, зураг зүй, газарзүйн шинжлэх ухаанд амжилттай ашигладаг. мөн геодези, архитектур ба фонетик, механик инженерчлэл, компьютер графикд.

Тригонометр бол тригонометрийн функц, тэдгээрийн геометрийн хэрэглээг судалдаг математикийн салбар юм. Тригонометрийн функцууд нь янз бүрийн өнцөг, гурвалжин ба шинж чанарыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг үечилсэн функцууд. Тригонометрийг судлах нь эдгээр шинж чанарыг ойлгоход тусална. Сургуулийн үйл ажиллагаа ба бие даасан ажилТригонометрийн үндсийг эзэмшиж, олон үечилсэн үйл явцыг ойлгоход тусална.

Алхам

Тригонометрийн үндсийг сур

Гурвалжингийн тухай ойлголттой танилц.Үндсэндээ тригонометр бол гурвалжин дахь янз бүрийн харилцааг судалдаг шинжлэх ухаан юм. Гурвалжин гурван тал, гурван өнцөгтэй. Аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градус байна. Тригонометрийг судлахдаа та гурвалжин болон холбогдох ойлголтуудыг мэддэг байх хэрэгтэй, тухайлбал:

• гипотенуз - тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал;
• мохоо өнцөг - 90 градусаас дээш өнцөг;
• хурц өнцөг - 90 градусаас бага өнцөг.

1. Нэгж тойрог барьж сур.Нэгж тойрог нь гипотенуз нэгтэй тэнцүү байхаар ямар ч тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулах боломжтой болгодог. Энэ нь синус, косинус зэрэг тригонометрийн функцуудтай ажиллахад хэрэгтэй. Нэгж тойргийг эзэмшсэний дараа та тодорхой өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг хялбархан олж, эдгээр өнцөг бүхий гурвалжинтай холбоотой асуудлыг шийдэж чадна.

   • Жишээ 1. 30 градусын өнцгийн синус 0.50 байна. Энэ нь эсрэг талын урттай гэсэн үг юм энэ өнцөгхөл нь гипотенузын уртын хагастай тэнцүү байна.
   • Жишээ 2. Энэ хамаарлыг ашиглан 30 градусын өнцөгтэй гурвалжны гипотенузын уртыг тооцоолж, энэ өнцгийн эсрэг талын хөлний урт нь 7 сантиметр байна. Энэ тохиолдолд гипотенузын урт нь 14 сантиметр болно.

2. Тригонометрийн функцуудтай танилц.Тригонометрийг сурахдаа мэдэх шаардлагатай зургаан үндсэн тригонометрийн функц байдаг. Эдгээр функцууд нь хоорондын харилцааг илэрхийлдэг янз бүрийн намуудтэгш өнцөгт гурвалжин ба аливаа гурвалжны шинж чанарыг ойлгоход тусална. Эдгээр зургаан функц нь:

   • синус (нүгэл);
   • косинус (кос);
   • шүргэгч (тг);
   • секант (сек);
   • косекант (косек);
   • котангенс (ctg).

3. Функцуудын хоорондын хамаарлыг санаарай.Тригонометрийг сурахдаа бүх тригонометрийн функцууд хоорондоо холбоотой гэдгийг ойлгох нь маш чухал юм. Хэдийгээр синус, косинус, тангенс болон бусад функцуудыг янз бүрээр ашигладаг боловч тэдгээрийн хооронд тодорхой харилцаа холбоо байдаг тул өргөн хэрэглэгддэг. Эдгээр харилцааг нэгж тойргийг ашиглан ойлгоход хялбар байдаг. Нэгж тойргийг ашиглаж сур, тэгвэл та түүний тодорхойлсон харилцааг ашиглан олон асуудлыг шийдэж чадна.

   Тригонометрийн хэрэглээ

   1. Тригонометрийг ашигладаг шинжлэх ухааны гол салбаруудын талаар олж мэдээрэй.Тригонометр нь математик болон бусад олон салбарт ашигтай байдаг нарийн шинжлэх ухаан. Тригонометрийн тусламжтайгаар та өнцөг ба шулуун сегментүүдийн утгыг олох боломжтой. Үүнээс гадна тригонометрийн функцууд нь ямар ч мөчлөгт үйл явцыг дүрслэх боломжтой.

      • Жишээлбэл, пүршний хэлбэлзлийг синусын функцээр тодорхойлж болно.

   2. Багц процессын талаар бод.Заримдаа хийсвэр ойлголтуудматематик болон бусад нарийн шинжлэх ухааныг ойлгоход хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч тэд бидний эргэн тойрон дахь ертөнцөд байдаг бөгөөд энэ нь тэднийг ойлгоход хялбар болгодог. Эргэн тойрон дахь үе үе үзэгдлүүдийг сайтар ажиглаж, тэдгээрийг тригонометртэй холбохыг хичээ.

      • Сар нь урьдчилан таамаглах боломжтой мөчлөгтэй бөгөөд ойролцоогоор 29.5 хоног үргэлжилдэг.

   3. Байгалийн мөчлөгийг хэрхэн судалж болохыг төсөөлөөд үз дээ.Байгальд үе үе олон үйл явц байдгийг ойлгосны дараа эдгээр үйл явцыг хэрхэн судлах талаар бодож үзээрэй. График дээр ийм үйл явц хэрхэн харагдахыг оюун ухаанаараа төсөөл. График ашиглан та ажиглагдсан үзэгдлийг дүрсэлсэн тэгшитгэл үүсгэж болно. Энд тригонометрийн функцууд хэрэгтэй болно.

      • Далайн эрэг дээрх далайн түрлэгийг төсөөлөөд үз дээ. Өндөр түрлэгийн үед ус тодорхой түвшинд хүрч, дараа нь түрлэг ирж, усны түвшин буурдаг. Бага далайн түрлэгийн дараа дахин далайн түрлэг гарч, усны түвшин нэмэгддэг. Энэхүү мөчлөгт үйл явц нь тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжилж болно. Үүнийг дүрсэлж болно тригонометрийн функц, жишээ нь косинус.

      Материалыг урьдчилан судал

      1. Холбогдох хэсгийг уншина уу.Зарим хүмүүс тригонометрийн ойлголтыг анх удаа ойлгоход хэцүү байдаг. Хэрэв та хичээл эхлэхээс өмнө холбогдох материалтай танилцвал илүү сайн ойлгох болно. Судалж буй сэдвээ илүү олон удаа давтахыг хичээгээрэй - ингэснээр та хоорондын харилцааг илүү их олж мэдэх болно өөр өөр ойлголтуудба тригонометрийн ойлголтууд.

         • Үүнээс гадна, энэ нь тодорхой бус цэгүүдийг урьдчилан тодорхойлох боломжийг танд олгоно.

      2. Тэмдэглэл аваарай.Сурах бичгийг алгасах нь юу ч биш байснаас дээр ч тригонометрийг сурах нь удаан, сайтар бодож уншихыг шаарддаг. Аливаа хэсгийг судлахдаа нарийвчилсан тэмдэглэл хөтөл. Тригонометрийн мэдлэг аажмаар хуримтлагддаг гэдгийг санаарай шинэ материалӨмнө нь сурсан зүйл дээрээ тулгуурладаг тул өмнө нь үзсэн зүйлээ тэмдэглэж авах нь таныг урагшлахад тусална.

         • Бусад зүйлсээс гадна өөрт байгаа асуултуудаа бичээд багшаасаа асуугаарай.

      3. Сурах бичигт өгсөн бодлогуудыг шийдвэрлэнэ.Тригонометр нь танд хялбар байсан ч гэсэн та асуудлыг шийдэх хэрэгтэй. Сурсан материалаа үнэхээр ойлгож байгаа эсэхийг шалгахын тулд хичээл эхлэхээс өмнө хэд хэдэн асуудлыг шийдэж үзээрэй. Хэрэв танд үүнтэй холбоотой асуудал гарвал хичээлийн үеэр яг юуг олж мэдэх хэрэгтэйг тодорхойлох болно.

         • Олон сурах бичиг төгсгөлд нь асуудлын хариултыг өгдөг. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та асуудлыг зөв шийдсэн эсэхээ шалгаж болно.

      4. Хичээлдээ хэрэгтэй бүх зүйлээ авчир.Тэмдэглэл, асуудлын шийдлүүдийг бүү мартаарай. Эдгээр материалууд нь өмнө нь судалсан зүйлийнхээ талаар санах ойг сэргээж, материалыг судлахдаа урагшлахад тусална. Мөн сурах бичгийг урьдчилан унших явцад гарсан асуултуудыг тодруулна уу.