Урлаг таны асуултад хариулдаг. ОХУ-ын Иргэний хууль 152.1.
1. Иргэний зургийг (түүний гэрэл зураг, түүнчлэн дүрсэлсэн дүрс бичлэг, дүрслэх урлагийн бүтээлийг оролцуулан) задруулах, цаашид ашиглахыг зөвхөн тухайн иргэний зөвшөөрлөөр зөвшөөрнө. Иргэн нас барсны дараа түүний дүр төрхийг зөвхөн хүүхэд, амьд үлдсэн эхнэр / нөхөр, тэд байхгүй бол эцэг эхийн зөвшөөрлөөр ашиглаж болно.
Дараах тохиолдолд ийм зөвшөөрөл авах шаардлагагүй.
1) дүрсийг төрийн, нийтийн болон бусад нийтийн ашиг сонирхлын үүднээс ашиглах;
2) олон нийтэд нээлттэй газар, эсвэл дээр хийсэн зураг авалтын үеэр иргэний дүр төрхийг олж авсан; олон нийтийн арга хэмжээ(хурал, хурал, хурал, концерт, үзүүлбэр, спортын тэмцээн, түүнтэй адилтгах арга хэмжээ), ийм дүрсийг ашиглах гол объект болохоос бусад тохиолдолд;
3) иргэн төлбөр төлсөн.
2. Иргэний эргэлтэд оруулах зорилгоор үйлдвэрлэсэн, түүнчлэн 1-д заасныг зөрчиж олж авсан буюу ашигласан иргэний дүрсийг агуулсан мэдээллийн хэрэгслийн хуулбар. энэ нийтлэлийн, хамаарна шүүхийн шийдвэрэргэлтээс гаргаж, нөхөн төлбөргүйгээр устгах.
3. Энэ зүйлийн 1 дэх хэсэгт заасныг зөрчиж олж авсан, ашигласан иргэний зургийг интернетэд тараасан бол тухайн иргэн энэ зургийг устгах, түүнчлэн түүнийг таслан зогсоох, цаашид гаргахыг хориглохыг шаардах эрхтэй. хуваарилалт.
Энд байгаа нөхцөл байдал зарим зүйлийг шаарддаг хууль эрх зүйн мэдлэгчамаас ч биш, шүүгчээс. Таны харж байгаагаар таныг хамгаалах эхний болон дөрөв дэх догол мөр байдаг төрөл бүрийнхүсэхгүй байгаа бол үйлдэнэ. Үүний зэрэгцээ, маш өргөн тайлбартай хоёр дахь догол мөр байдаг бөгөөд үүний үр дүнд та 90% -д бүртгэгдэж болно. ГЭХДЭЭ! Хууль тогтоогч энэ үл хамаарах зүйл заалтыг тусгайлан нэвтрүүлсэн гэдгийг та ойлгох хэрэгтэй заасан газруудБоломжит гэмт хэргийг бүртгэхийн тулд видео тандалт хийх боломжтой байсан.
Хэрэв тусгайлан нийтлэхгүйгээр хүмүүсийг зураг авалтын тухайд гэвэл хуулийн дагуу 2 дахь заалт энд хамаарна: "Иргэний дүр төрхийг олон нийтэд нээлттэй газар, олон нийтийн арга хэмжээнээс бусад тохиолдолд зураг авалтын үеэр авсан. Ийм дүрс нь ашиглалтын гол объект болсон тохиолдолд." Тодруулбал, "Ийм зураг ашиглах гол объект болохоос бусад тохиолдолд" гэсэн хэсэг, өөрөөр хэлбэл, хэрэв та олон нийтийн газар олон нийтийн газар өөрөө зураг авалт хийж байгаа бөгөөд кадр дотор хүн байгаа бол тэр зураг авах боломжгүй. таны эсрэг ямар нэгэн нэхэмжлэл, гэхдээ та ихэвчлэн олон нийтийн газар хүнийг зураг авалтанд оруулж байгаа бол энэ нь аль хэдийн хууль бус юм. Мэргэжилтэн таныг яг юу хийж байгааг тодорхойлж чадна.
>дүрсийг төрийн, олон нийтийн болон бусад нийтийн ашиг сонирхлын үүднээс ашиглах;
Гол нь бүрэн тодорхойгүй байна. Энд миний тодорхой хүсэлт байна: хүн орцонд тамхи татдаг, тэр энэ орцонд амьдардаг. Үүнийг захиргааны зүйл ангиар хориглосон тул зөрчиж байна. Би энэ зөрчлийг зөвхөн гэрэл зургийн материалаар нотолж чадна: миний дуудсан орон нутгийн цагдаагийн ажилтан орцонд ирэхэд тамхичин тамхи татаж дуусаад гэртээ харьсан байх нь логик юм. Би түүнийг тамхи татаж байхад нь зургийг нь авч болох уу? Үүнийг хийх нь хууль ёсны эсвэл хууль бус уу? Эдгээр цэгүүдээс харахад үгүй. Тэгээд яах вэ?
АЛГЕБРЫН СУУРЬ ТЕОРЕМ n (n>0) зэрэгтэй олон гишүүнт бүр: f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, энд a0 / 0, цогцолбор тоонуудын талбарт дор хаяж нэг үндэс z1 байна гэсэн теорем. , тэгэхээр f(z1)=0. O.T.A-аас мөн Безоутын теоремоос харахад f(z) олон гишүүнт нийлмэл тооны талбарт (тэдгээрийн үржвэрийг харгалзан) яг n үндэстэй байна. Үнэн хэрэгтээ Безоутын теоремын дагуу f(z) нь z - z1 (үлдэгдэлгүй) -д хуваагддаг. f(z) = f1(z)(z – z1), улмаар О.Т.А-ын дагуу (n – 1) зэрэглэлийн олон гишүүнт f1(z) болно. мөн z2 үндэстэй гэх мэт. Эцэст нь бид f(z) яг n үндэстэй гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). О.Т.А. 17-18-р зууны алгебрийн үндсэн агуулга . тэгшитгэлийг шийдэх гэж ирсэн.
О.Т.А. 17-р зуунд анх удаа батлагдсан. Францын математикч Жирард, хатуу нотолгоог 1799 онд Германы математикч Гаусс өгсөн. БЕЗОУТЫН ТЕОРЕМ Дурын олон гишүүнийг шугаман хоёр гишүүнд хуваасны үлдэгдлийн тухай теоремыг дараах байдлаар томъёолсон: дурын олон гишүүнт f(x) хоёр гишүүнд хуваагдсаны үлдэгдэл нь f(a)-тай тэнцүү байна. ). Т.Б. анх томьёолсон, нотолсон хүний нэрээр нэрлэсэн Францын математикч XVIII зуун Безу. Т.Б-аас Дараах үр дагавар гарч ирнэ: 1) хэрэв олон гишүүнт f(x) нь (үлдэгдэлгүй) x – a -д хуваагддаг бол a тоо нь f(x) -ийн үндэс болно; 2) хэрэв a тоо нь f(x) олон гишүүнтийн үндэс бол f(x) нь x – a хоёр гишүүнд (үлдэгдэлгүй) хуваагдана; 3) хэрэв f(x) олон гишүүнт дор хаяж нэг язгууртай бол энэ олон гишүүнт энэ олон гишүүнтийн зэрэгтэй яг ижил олон үндэстэй байна (язгуурын үржвэрийг харгалзан үзнэ). ЧЕВА-ЫН ТЕОРЕМ Хэрвээ оройг холбосон шугамууд гурвалжин ABCГурвалжны хавтгайд байрлах О цэгтэй бол эсрэг талууд (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүд) A' B' C' цэгүүд дээр тус тус огтлолцдог бол дараахь тэгш байдал үнэн болно: (*) Энэ тохиолдолд Хэрэв эдгээр сегментүүд ижил чиглэлтэй бол сегментийг эерэг гэж үздэг бол сөрөг гэж үзнэ.
Т.Ч. мөн энэ хэлбэрээр бичиж болно: (ABC’)*(BCA’)*(CAB’) = 1, энд (ABC’) нь анхны гурван харьцаа A, B, C' цэгүүд. Эсрэг теорем нь бас үнэн: хэрэв C', A', B' цэгүүд гурвалжны AB, BC, CA талууд эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүд дээр (*) тэгш байдал хангагдсан байвал AA', BB' шулуунууд болно. ба CC' нь ижил цэг дээр эсвэл параллель огтлолцоно (буруу цэг дээр огтлолцоно). Гурвалжны оройг дайран нэг цэгт огтлолцсон AA', BB', CC' шугамуудыг Chevy шугам буюу Chevyans гэж нэрлэдэг.
Т.Ч. проекктив шинж чанартай байдаг. Т.Ч. хэмжигдэхүүнээр Менелаусын теоремтой давхар байна.
Т.Ч. Үүнийг нотолсон Италийн геометр Жованни Цевагийн нэрээр нэрлэсэн (1678). КОСИНЫ ТЕОРЕМ 1. Т.К. хавтгай тригонометр - аль ч гурвалжинд түүний талуудын квадратыг илэрхийлдэг гэсэн үг нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр талуудын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар хоёр дахин нэмэгдүүлэхгүйгээр түүний бусад хоёр талын квадратууд: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, энд a, b, c нь гурвалжны талуудын урт, C нь гурвалжны талуудын урт юм. a ба b талуудын хоорондох өнцөг. Т.К. энгийн геометр, тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг 2. Т.К. бөмбөрцөг гурвалжны хажуугийн хувьд: бөмбөрцөг гурвалжны нэг талын косинус нь түүний нөгөө хоёр талын косинусын үржвэрийг нэмсэн ижил талуудын синусын тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. Т.К. бөмбөрцөг гурвалжны өнцгийн хувьд: бөмбөрцөг гурвалжны өнцгийн косинус бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна-аас авсан бусад хоёр өнцгийн косинусууд эсрэг тэмдэг, дээр нь нөгөө хоёр өнцгийн синусын үржвэрийг эхний өнцгийн эсрэг талын косинусаар нэмнэ: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. АЙЛЕРИЙН ТЕОРЕМ 1. Т.Э. Харьцуулалтын онолд хэрэв (a, m)=1 бол f(m) нь Эйлерийн функц (бүхэл тоон тоо) болно гэж заасан. эерэг тоонууд m-ээс ихгүй m-ээс ихгүй). 2. Т.Э. polyhedra-ийн тухайд тэг төрлийн аль ч олон өнцөгтийн хувьд томъёо хүчинтэй байна: B + G – P = 2, энд B нь оройн тоо, G нь нүүрний тоо, P нь олон өнцөгтийн ирмэгүүдийн тоо юм.
Гэсэн хэдий ч ийм хамаарлыг анх Декарт анзаарчээ.
Тиймээс Т.Э. олон талт дээр Декарт-Эйлерийн теорем гэж нэрлэх нь түүхэнд илүү зөв юм.
B + G - P тоог олон өнцөгтийн Эйлерийн шинж чанар гэж нэрлэдэг.
Т.Э. хаалттай графикт мөн хамаарна. Фалесийн теорем Пропорциональ хэрчмүүдийн тухай энгийн геометрийн теоремуудын нэг Т.Ф. Хэрэв өнцгийн аль нэг талд нь түүний оройноос эхлэн тэнцүү хэрчмүүдийг дараалан байрлуулж, тэдгээрийн төгсгөлийг өнцгийн хоёр дахь талыг огтолж буй параллель шугамуудыг татвал хоёр дахь хэсэгт нь тэнцүү хэсгүүдийг байрлуулна гэж заасан. өнцгийн тал.
Т.Ф-ийн онцгой тохиолдол. зарим шинж чанарыг илэрхийлдэг дунд шугамгурвалжин. Фермагийн сүүлчийн теорем нь xn + yn = zn тэгшитгэлд (n нь хоёроос их бүхэл тоо) эерэг бүхэл тоонд шийдэл байхгүй гэсэн П.Ферма гайхалтай нотолгоог олж чадсан гэж хэлсэн тэр орон зайгүйн улмаас иш татдаггүй (энэ тайлбарыг Диофантийн номын захад П.Фермат бичсэн), саяхныг хүртэл (90-ээд оны дунд үе) В.Т.Ф. В ерөнхий үзэлнотлогдоогүй байна. ФЕРМИЙН БЯЦХАН ТЕОРЕМ m=p модуль анхны тоо байх үед Эйлерийн теоремын тусгай тохиолдол.
M.T.F. дараах байдлаар томъёолсон: хэрэв p нь анхны тоо бол ap=a(mod p). a нь p-д хуваагдахгүй тохиолдолд M.T.F. дараах: ap-1=1(mod p). M.T.F. Францын эрдэмтэн Пьер Ферма нээсэн. ХОЛДЕРИЙН ТЭГШ БУС БАЙДАЛ For эцсийн дүнхэлбэртэй байна: , эсвэл in салшгүй хэлбэр: , энд p > 1 ба. Н.Г. математик шинжилгээнд ихэвчлэн ашигладаг.
Н.Г. дахь Кошигийн тэгш бус байдлын ерөнхий дүгнэлт юм алгебрийн хэлбэрба интеграл хэлбэрээр Буняковскийн тэгш бус байдал, үүнд Н.Г. p = 2 үед урвуу. CARDANO FORMULA Үндэс илэрхийлэх томьёо куб тэгшитгэл: x3+px+q=0 (*) түүний коэффициентүүдээр дамжуулан. Куб тэгшитгэл бүрийг (*) хэлбэрт оруулав. ингэж бичсэн байна: . Эхний шоо радикалын дурын утгыг сонгохдоо та хоёр дахь радикалын утгыг (боломжтой гурваас) сонгох хэрэгтэй бөгөөд үүнийг эхний радикалын сонгосон утгатай үржүүлэхэд (-p/3) өгнө. Ингэснээр бид тэгшитгэлийн гурван язгуурыг (*) авна. Г.Кардано, Н.Тартагли эсвэл С.Ферро нарын хэн нь F.K-ийн эзэмшилд байгаа нь одоогоор тодорхойгүй байна. Ф.К. 16-р зуунаас эхлэлтэй. КОШИГИЙН ТЭГШ БУС БАЙДАЛ Хязгаарлагдмал нийлбэрт тохирдог тэгш бус байдал; маш чухал бөгөөд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг янз бүрийн бүс нутагматематик ба математик физиктэгш бус байдал.
Анх 1821 онд Коши үүсгэн байгуулсан.Н.К.-ийн салшгүй аналогийг: Оросын математикч В.Я. Буняковский. МЕНЕЛУСИЙН ТЕОРЕМ Хэрэв шулуун нь ABC гурвалжны талууд эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүдийг C', A', B' цэгүүдээр огтолж байвал дараах хамаарал хүчинтэй байна: (*) Хэрэв шугам нь талыг огтолж байвал хэрчмүүдийн харьцаа эерэг байна. гурвалжны, хэрэв шугам нь хажуугийн өргөтгөлийг огтолж байвал сөрөг байна.
Шударга ба урвуу илэрхийлэл: тэгш байдал (*) хангагдсан бол A, B, C нь гурвалжны орой, A', B', C' нь нэг шулуун дээр байрладаг.
Т.М-ийг нэг шулуун дээрх гурван цэгийн A', B', C' байрлалын шалгуур хэлбэрээр томъёолж болно: A', B', C' 3 цэгүүд нэг шулуун дээр хэвтэхийн тулд. A, B, C нь гурвалжны орой, A', B', C' нь тус тус BC, AC, AB шулуунуудад хамаарах (*) хамаарлыг хангах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. Т.М.-г эртний Грекийн эрдэмтэн Менелаус (1-р зуун) бөмбөрцөг гурвалжин гэж нотолсон бөгөөд үүнийг Евклид (МЭӨ 3-р зуун) мэддэг байсан бололтой. Т.М. бол илүү ерөнхий Карно теоремын онцгой тохиолдол юм. МИНКОВСКИЙ ТЭГШ БУС БАЙДАЛ Тэгш бус байдал p-р хүчдараах хэлбэртэй тоонууд, энд бүхэл тоо p>1, ak ба bk нь сөрөг бус тоо юм.
Н.М. гурвалжны нэг талын урт нь бусад хоёр талын уртын нийлбэрээс ихгүй байна гэсэн сайн мэддэг "гурвалжны тэгш бус байдлын" ерөнхий дүгнэлт юм; Учир нь n хэмжээст орон зай x=(x1, x2, …, xn) ба y=(y1, y2, …, yn) цэгүүдийн хоорондох зайг N.M тоогоор тодорхойлно. 1896 онд Германы математикч Г.Минковски үүсгэн байгуулсан. МОХЛВЕЙДИЙН Формула Гурвалжны талууд (тэдгээрийн урт) ба өнцгийн хоорондох дараах хамаарлыг илэрхийлсэн хавтгай тригонометрийн томьёо: ; , энд a, b, c нь талууд, A, B, C нь гурвалжны өнцөг юм.
Ф.М. Эдгээр томьёог ашигласан Германы математикч К.Молвейдийн нэрээр нэрлэсэн хэдий ч эдгээр томьёог бусад математикчид ч мэддэг байсан НЬЮТОНЫ ХОЁР САН А+б-ийн сөрөг бус бүхэл тоог илэрхийлдэг томьёоны нэр. түүний нөхцөл.
Б.Н. хэлбэртэй байна: , энд Cnk нь бином коэффициент, тоотой тэнцүү байна k-ээр n элементийн хослолууд, i.e. эсвэл. Хэрэв өөр өөр n=0, 1, 2, ... хоёрын коэффициентүүдийг дараалсан мөрөнд бичвэл Паскалийн гурвалжинд хүрнэ. Дурын бодит тооны хувьд (зөвхөн сөрөг бус бүхэл тоо биш) B.N. хоёр гишүүний нийлбэрийг (k>2) өсгөсөн тохиолдолд олон гишүүнт теоремыг хоёр гишүүнт цуваа болгон, харин хоёр гишүүний тоог ихэсгэсэн тохиолдолд олон гишүүнт теорем болгон нэгтгэнэ. сөрөг бус бүхэл тоон n: , энд баруун талд байгаа нийлбэр нь бүх боломжит бүхэл тоон багцад хүрсэн. сөрөг бус тоо a1, a2, …, ak, нийт n-ийг өгч байна. A(n)a1, a2, … ,ak илтгэлцүүрүүдийг олон гишүүнт гэж нэрлэх ба дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ: k=2 үед олон гишүүнт коэффицентүүд хоёр гишүүнт коэффициент болно.
ПОЛКИЙН ТЕОРЕМ Дараах байдлаар томьёолсон: дурын урттай гурван сегмент нэг хавтгайд хэвтэж, нийтлэг цэгдоор дурын өнцөгбие биедээ, андуурч болно зэрэгцээ проекцорон зайн ортогональ хүрээ i, j, k (|i| = |j| =|k|). Энэ теоремыг Германы геометр К.Полке (1860) ямар ч нотолгоогүйгээр томьёолж, улмаар Германы математикч Г.Шварц ерөнхийлсөн бөгөөд анхан шатны нотолгоог нь гаргажээ.
Полке-Шварцын теоремыг дараах байдлаар томъёолж болно: диагональууд нь доройтдоггүй аливаа дөрвөн өнцөгтийг өгөгдсөнтэй төстэй тетраэдрийн зэрэгцээ проекц гэж үзэж болно.
Т.П. практик ач холбогдолтой (ямар ч диагональтай дөрвөн өнцөгтийг, жишээлбэл, зураг болгон авч болно) ердийн тетраэдр) ба аксонометрийн үндсэн теоремуудын нэг юм ПТОЛЕМИЙН ТЕОРЕМ Тойрог дотор бичээстэй дөрвөн өнцөгтийн талууд ба диагональуудын хоорондын хамаарлыг тогтоодог элементар геометрийн теорем: дурын дотор. гүдгэр дөрвөлжинтойрог дотор бичвэл диагональуудын үржвэр нь түүний үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна эсрэг талууд, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангана: AC*BD = AB*CD + BC*AD гэх мэт. Энэ теоремыг нотолсон эртний Грекийн эрдэмтэн Клавдиус Птолемейгийн нэрээр нэрлэгдсэн.
Т.П. Энгийн геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд, синусын нэмэх теоремын тусгай тохиолдлыг батлахад ашигладаг зэрэгцээ суурь: , энд Qн нь доод суурийн талбай, Qв нь дээд суурийн талбай, Qс нь биеийн дунд хэсгийн талбай юм. Энд байгаа биеийн дундаж огтлолыг суурийн хавтгайтай параллель хавтгайтай биеийн огтлолцолоос олж авсан дүрс гэж ойлгож байна. тэнцүү зайэдгээр онгоцноос.
h нь биеийн өндрийг илэрхийлнэ. F.S.-ээс онцгой тохиолдол, олон байна алдартай томъёосургуульд суралцсан биетүүдийн хэмжээ (таслагдсан пирамид, цилиндр, бөмбөрцөг гэх мэт). СИНУСИЙН ТЕОРЕМ a,b,c талуудын хоорондын хамаарлыг тогтоох хавтгай тригонометрийн теорем дурын гурвалжинба эдгээр талуудын эсрэг талын өнцгүүдийн синусууд: , энд R нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.
Бөмбөрцөг хэлбэрийн тригонометрийн хувьд T.S. аналитик байдлаар дараах байдлаар илэрхийлнэ: . СТЕВАРТЫН ТЕОРЕМ дараах байдалтай байна: хэрэв A, B, C нь гурвалжны гурван орой, D нь ВС талын дурын цэг бол AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .WITH. нотолж, “Зарим ерөнхий теоремууд"(1746, Эдинбург). Энэ теоремыг зөвхөн 1749 онд нийтэлсэн багш Р.Симсон Стюартад хэлсэн байдаг.Т.С. гурвалжны медиан ба биссектрисийг олоход ашигладаг.
ТАНГЕНТ ТЕОРЕМ (РЕГИОМОНТАНЫ ТОМЪЁО) Гурвалжны хоёр талын урт ба тэдгээрийн эсрэг талын өнцгийн хагас ба хагас зөрүүний шүргэгч хоорондын хамаарлыг тогтоодог хавтгай тригонометрийн томьёо. хэлбэртэй байна: , энд a, b нь гурвалжны талууд, A, B нь эдгээр талуудын эсрэг талын өнцөг юм. Т.Т. Энэ томьёог үүсгэн байгуулсан Германы одон орон судлаач, математикч Иоханнес Мюллер (Латин Regiomontanus) нэрээр Regiomontanus томьёо гэж бас нэрлэдэг. И.Мюллерийг “Кенигсбергер” гэдэг байсан: германаар Кениг хаан, Берг нь уул, латинаар “хаан”, “уул” гэсэн утгатай. генийн тохиолдол- Регис ба Монтис.
Тиймээс “Региомонтан” гэдэг нь И.Мюллерийн латинчлагдсан овог юм. " Толь бичиг математикийн нэр томъёо", O.V. Мантуров VADIMSOFT-BEST-ИЙН ТОМЪЁО БА ТЕОРЕМ. NAROD.RU.
Хүлээн авсан материалыг бид юу хийх вэ:
Хэрэв энэ материал танд хэрэгтэй байсан бол та үүнийг нийгмийн сүлжээн дэх хуудсандаа хадгалах боломжтой.
Хэрэв бид үүнийг аль хэдийн харсан тооны дараалалхязгаартай бол энэ дарааллын элементүүд түүнд аль болох ойртдог. Маш бага зайд байсан ч гэсэн зай нь бүр бага байх хоёр элементийг үргэлж олж болно. гэж нэрлэдэг үндсэн дараалал, эсвэл Коши дараалал. Энэ дараалал нь хязгаартай гэж хэлж болох уу? Хэрэв энэ нь дээр үүссэн бол
Хэрэв бид талтай квадратыг авбал нэгтэй тэнцүү, тэгвэл бид Пифагорын теоремыг ашиглан түүний диагональыг хялбархан тооцоолж болно: $d^2=1^2+1^2=2$, өөрөөр хэлбэл диагоналын утга $\sqrt 2$-тэй тэнцүү байх болно. Одоо бидэнд хоёр шугамын сегментээр дүрслэгдсэн 1 ба $\sqrt 2$ гэсэн хоёр тоо байна. Гэхдээ бид өмнөх шигээ харилцаа тогтоож чадахгүй. Боломжгүй
P цэг хаана байрлаж байгааг тодорхойлох нь тодорхой дүрсийн дотор эсвэл гадна талд заримдаа маш энгийн байдаг, жишээ нь зурагт үзүүлсэн зураг: Гэхдээ доор үзүүлсэн шиг илүү төвөгтэй дүрсүүдийн хувьд үүнийг хийхэд илүү хэцүү байдаг. . Үүнийг хийхийн тулд та харандаагаар шугам зурах хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч хариултыг хайж байхдаа ижил төстэй асуултуудБид энгийн нэгийг ашиглаж болно,
Үүнийг ихэвчлэн дараах байдлаар томъёолдог: 1-ээс бусад натурал тоо бүрийг бүтээгдэхүүн хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно анхны тоонуудэсвэл үүнтэй төстэй: натурал тоо бүр өөр өөр анхны тоонуудын зэрэглэлийн үржвэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар дүрслэгдсэн байдаг үндсэн хүчин зүйлүүдэнэ өргөтгөлийг өсөх дарааллаар оруулсан.
Энэ теорем нь үлдэгдлийн зэрэгтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд маш хэрэгтэй бөгөөд энэ нь тооны онолын хувьд бүрэн ноцтой теорем бөгөөд үүнд ороогүй болно. сургуулийн курс, түүний баталгааг ердийн аргаар хийж болно сургуулийн түвшин. Үүнийг хэрэгжүүлэх боломжтой янз бүрийн аргаар, мөн хамгийн нэг нь энгийн нотолгоонь бином томьёо буюу Ньютоны бином дээр тулгуурладаг
Ихэнхдээ ордог арга зүйн уран зохиолШууд бус нотлох баримтыг зөрчилдөөнөөр нотлох баримт гэж ойлгож болно. Үнэн хэрэгтээ энэ нь энэ ойлголтын маш явцуу тайлбар юм. Зөрчилдөөнөөр нотлох арга бол хамгийн алдартай шууд бус нотлох аргуудын нэг боловч цорын ганц аргаас хол байна. Бусад шууд бус аргуудХэдийгээр нотлох баримтыг зөн совингийн түвшинд ихэвчлэн ашигладаг боловч энэ програмыг хэрэгжүүлэх нь ховор бөгөөд
Ихэнхдээ багш нар векторуудын скаляр үржвэрийг ашиглан Пифагорын теорем ба косинусын теоремыг бараг тэр даруй нотолдог. Энэ нь мэдээжийн хэрэг сэтгэл татам юм. Гэсэн хэдий ч тайлбар өгөх шаардлагатай. Уламжлалт танилцуулгад хуваарилалт цэгийн бүтээгдэхүүнвекторууд нь Пифагорын теоремоос хожуу нотлогддог, учир нь энэ нотлох баримтыг шууд бусаар ч гэсэн ашигладаг. Энэ нотолгооны хувилбарууд боломжтой. Сургуулийн геометрийн сурах бичигт, гэх мэт
Энэ оны 6-р сард гайхамшигтай математикч, багш, гэгээлэг, дур булаам хүн Дмитрий Германович Фон Дер Фласс (1962-2010) цаг бусаар нас барав. Манай уншигчид энэ нэртэй нэгээс олон удаа таарч байсан - Квант сэтгүүл түүний асуудлыг олон удаа нийтэлдэг. Дмитрий Германович амжилттай ажилласан том шинжлэх ухаан, гэхдээ энэ нь түүний үйл ажиллагааны зөвхөн нэг хэсэг байсан. Хоёр дахь нь байсан математикийн олимпиадуудсургуулийн сурагчид: Тэр Бүх Холбооны тангарагтны бүрэлдэхүүнд ажиллаж байсан Бүх Оросын олимпиадууд, болон дотор сүүлийн жилүүдэд- ба олон улсын. Тэрээр янз бүрийн математикийн зуслан, сургуулиудад лекц уншиж, олон улсын математикийн олимпиадад манай багийн дасгалжуулагчдын нэг байсан.
Бид та бүхний анхааралд Д.Фон Дер Флассын Бүх Оросын их хурлын үеэр уншсан лекцийн бичлэгийг (бага зэрэг товчилсон, зохиогчийн хэв маягийг хадгалсан) хүргэж байна. хүүхдийн төв 2009 онд "Бүргэдчин".
Ийм эртний софист Горгиас байсан. Тэрээр гурван теорем боловсруулдгаараа алдартай. Эхний теорем нь дараах байдалтай байна: Дэлхий дээр юу ч байхгүй. Хоёрдахь теорем: хэрэв ямар нэг зүйл байгаа бол энэ нь хүмүүст мэдэгдэх боломжгүй юм. Гурав дахь теорем: хэрвээ ямар нэг зүйл мэдэх боломжтой бол хөршдөө дамжуулах боломжгүй болно.
Өөрөөр хэлбэл, юу ч байхгүй, хэрэв ямар нэгэн зүйл байвал бид энэ талаар юу ч мэдэхгүй, олж мэдсэн ч бид хэнд ч хэлэх боломжгүй болно.
Эдгээр дөрвөн теорем нь хатуухан хэлэхэд гол асуудал юм орчин үеийн математик.
Горгиагийн анхны теорем
Эхнийхээс эхэлье - дэлхийд юу ч байхгүй, эсвэл математикийн хэлээр орчуулбал математик нь ойлгомжгүй зүйлийг хийдэг. Нэг ёсондоо энэ үнэн. Эцсийн эцэст математикийн объектууддэлхийд байхгүй. Хамгийн энгийн зүйл бол бүх зүйл хаанаас эхэлдэг, математикчдын байнга ашигладаг зүйл юм натурал тоонууд. Натурал тоо гэж юу болохыг бид бүгд мэднэ - 1, 2, 3, 4 гэх мэт. “Гэх мэт” гэсэн үгсийн утгыг бид бүгд ойлгодог нь маш том нууц юм. Учир нь “гэх мэт” гэдэг нь “хязгааргүй олон” тоо байна гэсэн үг. Манай ертөнцөд ямар нэгэн зүйл хязгааргүй их байх орон зай байхгүй. Гэхдээ натурал тооны тухай бодохдоо бид бүгд нэг зүйлийн тухай боддог гэдэгт бид бүгд итгэлтэй байна. Хэрэв миний 7-ын ард 8 байвал таны 7-н араас 8 байх болно. Хэрэв миний 19 анхны тоо бол таны 19 анхны тоо болно. Тийм учраас? Энэ объект дэлхий дээр байдаггүй юм шиг санагдаж байна, гэхдээ бид энэ талаар мэддэг, бид бүгд нэг зүйлийн талаар мэддэг. Энэ бол мэдээж математикийн оньсого биш, гүн ухааны оньсого бөгөөд үүнийг философичид ярилцъя. Аз болоход бид математикийн объектын талаархи ойлголттой хэвээр байгаа нь бидний хувьд хангалттай бөгөөд энэ нь тэдний талаар бодож эхэлсэн бүх хүмүүст адилхан юм. Тиймээс математик боломжтой. Гэхдээ том философийн асуудалүлддэг.
Хэрэв математикчдийн дунд заншилтай бол та энэ талаар нухацтай бодож, өөрөөр хэлбэл ямар нэгэн байдлаар хатуу бодохыг хичээвэл асуудал гарч ирнэ, энэ тухай миний одоо ярих болно. Тэд хүн төрөлхтний ой санамжинд саяхан буюу сүүлийн зуун жилд бий болсон.
Математикт натурал тооноос өөр олон зүйл бий. Манай Евклидийн хавтгай гэж байгаа бөгөөд түүн дээр бид янз бүрийн гурвалжин, өнцөг зурж, тэдгээрийн талаарх теоремуудыг нотолж байна. Бодит тоо байна, нийлмэл тоо байна, функц байна, үүнээс ч аймшигтай зүйл байна ... 19-20-р зууны зааг дээр хаа нэгтээ маш их ажил хийсэн. гайхалтай ажил(хэдийгээр энэ нь мэдээжийн хэрэг арай эрт эхэлсэн боловч) хүмүүс бүх төрлийн математикийн объектуудыг зарчмын хувьд нэг ойлголт болох олонлогийн тухай ойлголт болгон бууруулж болохыг ойлгосон. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв бид багц гэж юу болох, "гэх мэт" гэж юу болох талаар зөн совингийн санаатай байвал бид үндсэндээ бүх математикийг барьж чадна.
Багц гэж юу вэ? За, энэ бол маш их зүйл юм. Асуулт бол та багцаар юу хийж чадах вэ? Хэрэв бидэнд ямар нэгэн иж бүрдэл байгаа бол энэ нь бидэнд байгаа нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь манай дэлхийн аль ч элемент, математикийн объектуудын ертөнцийн талаар бид энэ багцад байгаа эсэхийг асууж, хариулт авах боломжтой гэсэн үг юм. Хариулт нь тодорхой бөгөөд бидний хүсэл зоригоос бүрэн хамааралгүй юм. Энэ бол олонлогтой хийж болох хамгийн анхны, үндсэн зүйл - элемент нь олонлогт хамаарах эсэхийг олж мэдэх.
Мэдээжийн хэрэг, бид ямар нэгэн байдлаар эдгээр багцыг өөрсдөө бүтээх шаардлагатай хэвээр байна. Ингэснээр тэднээс эцэст нь математикийн объектуудын бүх баялгийг бүтээх болно. Тэдгээрийг яаж барьж байгуулах вэ? Бид хоосон багц байгуулж болно: Ø. Хамгийн анхны, хамгийн энгийн. Түүний талаар бид юу мэдэх вэ? Энэ олонлогт хамаарах эсэхээс үл хамааран бид ямар элементийг асуусан ч гэсэн хариулт үргэлж байх болно - үгүй, энэ нь хамаарахгүй. Ингэснээр хоосон багц аль хэдийн өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог. Энэ талаархи бүх асуултын хариултыг шууд хүлээн авдаг. Өө!
Одоо бид энэ хоосон багцыг аль хэдийн авсан байна. Мөн бид хоосон олонлогоос өөр юу ч агуулаагүй олонлогийг байгуулж болно: (Ø). Дахин хэлэхэд, энэ багц бидэнд байгаа нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бид ямар ч элементийн талаар энэ олонлогт хамаарах эсэхийг асууж болно гэсэн үг юм. Хэрэв энэ элемент нь хоосон багц бол "тийм" гэж хариулах болно. Хэрэв энэ элемент өөр байвал хариулт нь "үгүй" байх болно. Тиймээс энэ багцыг бас өгч байна.
Эндээс л бүх зүйл эхэлдэг. Таны ашиглаж болох хэд хэдэн зөн совинтой үйлдлүүд байна. Хэрэв бид хоёр багцтай бол тэдгээрийг нэгтгэж болно. Одоо нэг эсвэл өөр олонлогийн элементүүд байх олонлог бий болно гэж бид хэлж чадна. Дахин хэлэхэд элемент нь үүссэн олонлогт хамаарах эсэх асуултын хариулт хоёрдмол утгагүй юм. Энэ нь бид эвлэл байгуулж чадна гэсэн үг. гэх мэт.
Эцсийн эцэст бид хязгааргүй олон элементүүдийг агуулсан ямар нэг төрлийн багцтай гэдгийг хэзээ нэгэн цагт бид тусад нь зарлах ёстой. Нэгэнт натурал тоо байдаг гэдгийг мэддэг учраас үүнд итгэдэг чөтгөр хязгаарлагдмал олонлогбайдаг. Натурал тоонуудын багц бидэнд бас боломжтой гэдгийг мэдэгдэж байна. Хязгааргүй олонлог гарч ирмэгц та янз бүрийн асуудалд орж, хүссэн бүхнээ тодорхойлж болно. Бүхэл тоог тодорхойлж болно. Бүхэл тоо нь хасах тэмдэгтэй эсвэл тэмдэггүй тэг эсвэл натурал тоо юм. Энэ бүгдийг (миний хэлснээр тийм ч ойлгомжтой биш байж магадгүй) олонлогийн онолын хэлээр хийж болно.
Рационал тоог тодорхойлж болно. Рационал тоо гэж юу вэ? Энэ бол тоологч ба (тэг бус) хуваагч гэсэн хоёр тооны хос юм. Та тэдгээрийг хэрхэн нэмэх, хооронд нь хэрхэн үржүүлэхээ тодорхойлох хэрэгтэй. Ийм хосыг ижил оновчтой тоо гэж үзэх нөхцөл юу вэ?
Бодит тоо гэж юу вэ? Энд сонирхолтой алхам. Жишээлбэл, та үүнийг хязгааргүй гэж хэлж болно аравтын. Энэ нь маш зөв тодорхойлолт байх болно. Энэ нь юу гэсэн үг вэ - төгсгөлгүй аравтын бутархай? Энэ нь бидэнд хязгааргүй тооны дараалал байгаа гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл натурал тоо бүрийн хувьд бидний бодит тооны энэ байранд ямар тоо байгааг мэддэг. Ийм бүх дараалал нь бодит тоог үүсгэдэг. Дахин хэлэхэд бид тэдгээрийг хэрхэн нэмэх, хэрхэн үржүүлэх гэх мэтийг тодорхойлж чадна.
Дашрамд хэлэхэд, математикчид бодит тоог хэрхэн тодорхойлохыг илүүд үздэггүй, харин хэрхэн тодорхойлохыг илүүд үздэг. Бүх оновчтой тоонуудыг авч үзье - бидэнд аль хэдийн байгаа. Одоо бодит тоо нь эдгээрийн олонлог гэдгийг мэдэгдье рационал тоо, энэ нь түүнээс бага байна. Энэ их төвөгтэй тодорхойлолт. Үнэн хэрэгтээ энэ нь өмнөхтэй маш төстэй юм. Жишээлбэл, хэрэв бидэнд 3.1415926 бодит тоо байгаа бол (бид цээжээр мэддэггүй төгсгөлгүй тооны гинжин хэлхээ байдаг) түүнээс бага оновчтой тоонууд юу байх вэ? Хоёр дахь бутархайн бутархайг тасалцгаая. Бид 3.14 гэсэн тоог авдаг, энэ нь биднийхээс бага юм. Бутархайг дөрөв дэх аравтын бутархайн бутархайгаар тасалцгаая - бид 3.1415, биднийхээс бага өөр оновчтой тоо авна. Хэрэв бид бүх рационал тоог өөрийн тооноос бага мэддэг бол энэ тоо өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог нь тодорхой байна. Та 1-р зураг дээрх шиг зургийг тодорхой төсөөлж болно. Шулуун шугам бол бүх бодит тоо бөгөөд тэдгээрийн дотор бидний үл мэдэгдэх зүйл хаа нэгтээ байгаа бөгөөд зүүн талд нь түүнээс бага олон тооны рационал тоонууд байдаг. Бусад бүх оновчтой нь үүнээс илүү байх болно. Зөн совингийн хувьд эдгээр хоёр рационал тооны багцын хооронд ганц зай байгаа бөгөөд бид энэ зөрүүг бодит тоо гэж нэрлэх болно. Энэ бол олонлогийн тухай ойлголтоос эхлээд бүх математик хэрхэн бага багаар тайлагддагийн жишээ юм.
Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? Практикт мэдээжийн хэрэг хэн ч үүнийг ашигладаггүй нь тодорхой байна. Математикч жишээлбэл, нийлмэл хувьсагчийн функцийг судлахдаа тэр болгоныг санахгүй байна нийлмэл тоохос реал, бодит бол хязгааргүй олон тооны рациональ, рационал бол бүхэл тоо гэх мэт. Энэ нь аль хэдийн бүрэн үүссэн объектуудтай ажилладаг. Гэхдээ зарчмын хувьд бүх зүйлийг хамгийн үндсээр нь тайлбарлаж болно. Энэ нь маш урт бөгөөд унших боломжгүй байх болно, гэхдээ зарчмын хувьд боломжтой.
Математикчид дараа нь юу хийх вэ? Тэд нотолж байна өөр өөр шинж чанаруудэдгээр объектууд. Аливаа зүйлийг батлахын тулд та эдгээр бүх объектын анхны шинж чанаруудыг аль хэдийн мэддэг байх хэрэгтэй. Үүнээс гадна математикчид аль анхны шинж чанараас эхлэх талаар бүрэн санал нэгдэх ёстой. Ингэснээр нэг математикчийн олж авсан үр дүнг бусад нь хүлээн зөвшөөрдөг.
Та эдгээр анхны шинж чанаруудыг аксиом гэж нэрлэдэг - бичээд дараа нь улам бүр төвөгтэй математикийн объектуудын бусад бүх шинж чанарыг нотлоход ашиглаж болно. Харин одоо натурал тоогоор бэрхшээлүүд эхэлж байна. Аксиомууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь үнэн гэдгийг бид зөн совингоор мэдэрдэг боловч эдгээр аксиомуудаас гаргаж авах боломжгүй натурал тоонуудын тухай өгүүлбэрүүд байдаг нь үнэн. Натурал тоо нь тодорхой шинж чанарыг хангаж байгаа боловч үндсэн гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн аксиомуудаас үүнийг олж авах боломжгүй гэж үзье.
Тэр даруй асуулт гарч ирнэ: энэ шинж чанар нь натурал тоонуудын хувьд үнэн гэдгийг бид яаж мэдэх вэ? Хэрэв бид үүнийг хүлээж аваад ингэж нотолж чадахгүй бол яах вэ? Хэцүү асуулт. Энэ нь иймэрхүү зүйл болж байна. Хэрэв та зөвхөн натурал тооны аксиомоор хангадаг бол зарчмын хувьд олон зүйлийн талаар ярих боломжгүй юм. Жишээлбэл, натурал тоонуудын дурын хязгааргүй дэд олонлогуудын тухай ярих боломжгүй. Гэсэн хэдий ч хүмүүс энэ нь юу болох талаар ойлголттой байдаг бөгөөд зарчмын хувьд эдгээр дэд бүлгүүдийг ямар шинж чанарууд тодорхойлдог болохыг ойлгодог. Тиймээс аксиомоос гаргаж авах боломжгүй натурал тооны зарим шинж чанаруудын талаар хүмүүс тэдгээр нь үнэн гэдгийг мэдэж болно. Тиймээс математикч Курт Годель натурал тоонуудын тодорхой шинж чанарыг зөн совингийн хувьд үнэн (өөрөөр хэлбэл математикчид үүнийг үнэн гэдгийг эсэргүүцдэггүй) ил тод харуулсан анхны хүн байсан бололтой. Дараа нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн натурал тооны аксиомуудаас ялгах боломжгүй.
Хэсэгчилсэн, үнэндээ маш их их хэмжээгээр(математикийн ихэнх салбарт хангалттай) энэ асуудлыг олонлог болгон бүх зүйлийг сайтар багасгаж, олонлогийн онолын тодорхой багц аксиомуудыг бичих замаар шийдсэн бөгөөд эдгээр аксиомуудын зөв эсэх нь математикчдад ерөнхийдөө маргаангүй байдаг. .
Нэгдлийн аксиом гэж үзье. Хэрэв бидэнд хэд хэдэн олонлог байгаа бол энэ олонлогоос эдгээр олонлогийн бүх элементүүдийг агуулсан олонлог үүсгэе гэж хэлж болно. Ийм багц байгаа талаар үндэслэлтэй эсэргүүцэх зүйл байхгүй. Мөн илүү зальтай аксиомууд байдаг бөгөөд үүнд бага зэрэг асуудал гардаг. Бид одоо зарчмын хувьд эргэлзээ төрүүлж болох олонлогийн онолын гурван төвөгтэй аксиомыг авч үзэх болно.
Жишээлбэл, ийм аксиом байдаг. Бидэнд зарим элементийн багц байгаа гэж бодъё, мөн тэдгээр тус бүрийн хувьд энэ элемент дээрх тодорхой функцийн утгыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлж чадна гэж бодъё. Аксиом нь бид энэ функцийг энэ олонлогийн элемент бүрт хэрэглэж болох бөгөөд хамтдаа тохиолдсон зүйл дахин олонлог үүсгэх болно (Зураг 2). Хамгийн энгийн жишээ: x-ийг x 2 болгон хувиргадаг функц, бид үүнийг хэрхэн тооцоолохыг мэддэг. Хэрэв бидэнд натурал тоонуудын олонлог байгаа бол бид тус бүрийг квадрат болгож чадна гэж бодъё. Үр дүн нь дахин натурал тоонуудын багц болно. Ийм ойлгомжтой аксиом, та санал нийлэхгүй байна уу? Гэхдээ асуудал бол эдгээр функцийг маш нарийн тодорхойлж болох явдал юм цогц байдлаар, багц нь маш том байж болно. Ийм нөхцөл байдал бас бий: бид функцийнхээ талаар энэ нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдсон гэдгийг хэрхэн батлахаа мэддэг, гэхдээ бид тоолж чадна. тодорхой утгаолонлогийн элемент бүрийн хувьд энэ функц нь маш хэцүү эсвэл бүр хязгааргүй хэцүү байдаг. Хэдийгээр тодорхой хариулт байгаа гэдгийг бид мэдэж байгаа бөгөөд энэ нь хоёрдмол утгагүй юм. Ийм байдалд ч гэсэн хүнд хэцүү нөхцөл байдалЭнэ аксиом нь хэрэглэгдэх боломжтой хэвээр байгаа бөгөөд яг ийм ерөнхий хэлбэрээр олонлогийн онолын асуудлын эх сурвалжийн нэг болдог.
Хоёрдахь аксиом нь нэг талаас тодорхой боловч нөгөө талаар асуудал дагуулдаг бол тухайн олонлогийн бүх дэд олонлогуудыг авах аксиом юм. Хэрэв бидэнд ямар нэгэн олонлог байгаа бол өгөгдсөн бүх дэд олонлогоос бүрдэх олонлог бий гэж тэр хэлэв. Хязгаарлагдмал олонлогуудын хувьд энэ нь мэдээжийн хэрэг тодорхой юм. Хэрэв бид хязгаарлагдмал багцтай бол Нэлементүүд байвал энэ нь зөвхөн 2 дэд олонлогтой байх болно Н. Зарчмын хувьд, хэрэв бид маш залхуу биш бол бүгдийг нь бичиж болно. Бидэнд бас хамгийн энгийн хязгааргүй олонлогтой холбоотой асуудал байхгүй. Хараач: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 гэх мэт натурал тоонуудын багцыг авъя. Натурал тооны олонлогийн бүх дэд олонлогуудын гэр бүл байдаг нь яагаад бидэнд тодорхой болсон бэ? Учир нь эдгээр элементүүд юу болохыг бид мэднэ. Натурал тоонуудын дэд олонлогийг та хэрхэн төсөөлж чадах вэ? Бидний авдаг элементүүдэд нэгийг, авахгүй байгаа элементүүдэд нь тэг гэх мэтийг оруулъя. Та үүнийг хязгааргүй хоёртын бутархай гэж төсөөлж болно (Зураг 3). Жижиг тохируулга хүртэл (зарим тоог хоёр өөр хязгааргүй хоёртын бутархайгаар төлөөлж болно гэх мэт) бодит тоонууд нь натурал тоонуудын дэд олонлогуудтай ойролцоогоор ижил байдаг. Тэгээд зөн совингийн хувьд бид үүнийг мэддэг бодит тообүх зүйл эмх цэгцтэй, тэдгээр нь оршдог, тэдгээрийг тасралтгүй шугамаар дүрслэн харуулах боломжтой, тэгвэл энэ газарт бүх зүйл өгөгдсөн олонлогийн бүх дэд олонлогийн талаархи бидний аксиомтой нийцдэг.
Цааш нь бодоод үзэх юм бол жаахан айдастай болчихно. Гэсэн хэдий ч математикчид энэ аксиом үргэлж үнэн байдаг гэж үздэг: хэрэв бидэнд олонлог байгаа бол түүний бүх дэд олонлогууд байдаг. Тэгэхгүй бол зарим нэг бүтээн байгуулалт хийхэд маш хэцүү байх болно.
Хамгийн их асуудалтай байсан өөр нэг аксиом, учир нь тэд эхэндээ үүнд итгэдэггүй байв. Магадгүй та түүний нэрийг сонссон байх - сонголтын аксиом. Үүнийг олон янзаар томъёолж болно янз бүрийн аргаар, зарим нь маш төвөгтэй, зарим нь маш энгийн. Би одоо хамгийн сайныг нь хэлье харааны аргаЭнэ нь үнэн гэдэг нь үнэхээр тодорхой болох сонголтын аксиомыг томъёол. Бидэнд хэд хэдэн иж бүрдэл өгье. Тэд бие биетэйгээ огтлолцож магадгүй, гэхдээ энэ нь хамаагүй - энгийн байх үүднээс огтлолцохгүй байхыг зөвшөөрнө үү. Дараа нь бид эдгээр бүх багцын бүтээгдэхүүнийг бүтээж болно. Энэ юу гэсэн үг вэ? Энэ ажлын элементүүд нь эдгээр зүйлүүд байх болно - бид тус бүрээс нэг элементийг авч, бүгдээс нэг багц үүсгэх болно (Зураг 4). Олонлогоос нэг элементийг сонгох арга бүр нь эдгээр олонлогуудын бүтээгдэхүүний элементийг өгдөг.
Мэдээжийн хэрэг, хэрэв эдгээр багцуудын дундаас сонгох зүйлгүй хоосон нэг нь байвал бүгдийнх нь үр дүн нь бас хоосон байх болно. Мөн сонголтын аксиом үүнийг туйлын илэрхийлдэг илэрхий баримт- Хэрэв эдгээр бүх багц хоосон биш бол бүтээгдэхүүн нь хоосон биш байх болно. Баримт нь ойлгомжтой гэдэгтэй та санал нийлэх үү? Энэ нь эцэст нь хамгийн их үйлчилсэн бололтой хүчтэй аргументуудсонголтын аксиом үнэхээр үнэн гэдгийг дэмжсэн. Бусад томъёололд сонголтын аксиом нь энэ шиг тийм ч тодорхой сонсогдохгүй байна.
Бүх математикийг олонлогийн онолын хэл рүү хөрвүүлэхийг оролдсон математикчид өөрсдийн мэдэгдлийг хэрхэн баталж байгааг ажигласнаар олон газар математикчид үүнийг анзааралгүйгээр энэ аксиомыг ашигладаг болохыг харуулсан. Үүнийг анзаарсан даруйдаа үүнийг тусдаа мэдэгдэл болгон хуваах шаардлагатай болсон нь тэр даруй тодорхой болсон - бид үүнийг ашиглаж байгаа тул бид үүнийг хаа нэг газраас авах ёстой. Бид үүнийг батлах ёстой, эсвэл энэ бол бидний аксиом болгон авч, ашиглахыг зөвшөөрдөг үндсэн илэрхий баримт гэдгийг тунхаглах ёстой. Энэ нь үнэхээр үндсэн баримт болох нь тогтоогдсон бөгөөд үүнийг зөвхөн бусад бүх баримтыг ашиглан нотлох боломжгүй, няцаах боломжгүй, тиймээс хэрэв бид үүнийг хүлээн зөвшөөрвөл аксиом гэж хүлээн зөвшөөрнө. Мэдээжийн хэрэг, үүнийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой, учир нь энэ хэлбэрээр энэ нь үнэхээр илэрхий юм.
Энд л тэд гарч ирсэн том асуудлууд, учир нь энэ баримтыг тодорхой томъёолж, "бид үүнийг ашиглах болно" гэж хэлмэгц математикчид үүнийг ашиглахаар яаран, үүнийг ашиглан олон тооны бүрэн ойлгомжгүй мэдэгдлүүдийг баталжээ. Түүнээс гадна, зөн совингоор буруу мэт санагдах мэдэгдлүүд.
Энд байна тод жишээсонголтын аксиомыг ашиглан батлагдсан ийм мэдэгдэл: та бөмбөг авч, хэд хэдэн хэсэгт хувааж, эдгээр хэсгүүдээс яг ижил хоёр бөмбөг нэмж болно. Энд "хэд хэдэн хэсэгт хуваах" гэдэг нь 7 гэж юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бид эдгээр долоон хэсгүүдийн алинд нь багтаж байгааг цэг болгон хэлдэг гэсэн үг юм. Гэхдээ энэ нь бөмбөгийг хутгаар зүсэхтэй адил биш - энэ нь илүү хэцүү байж болно. Жишээлбэл, бөмбөгийг хоёр хэсэгт хуваахыг төсөөлөхөд хэцүү боловч хялбархан тайлбарласан арга байна. Бүх оновчтой координаттай бүх цэгүүдийг нэг хэсэгт, нөгөө хэсэгт иррационал координаттай бүх цэгүүдийг авч үзье. Цэг бүрийн хувьд бид ямар хэсгүүдэд унасныг мэддэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь бөмбөгийг хоёр хэсэгт хуваах хууль ёсны арга юм. Гэхдээ үүнийг тодорхой төсөөлөхөд маш хэцүү байдаг. Эдгээр хэсэг бүрийг холоос харвал бүхэл бүтэн бөмбөг шиг харагдах болно. Хэдийгээр эдгээр хэсгүүдийн нэг нь үнэндээ маш жижиг, нөгөө нь маш том байх болно. Тиймээс тэд бөмбөгийг 7 хэсэг болгон хувааж, дараа нь эдгээр хэсгүүдийг бага зэрэг хөдөлгөж (тухайлбал, орон зайд, ямар нэгэн байдлаар гажуудалгүйгээр, нугалахгүйгээр хөдөлгөж) буцааж тавих боломжтой гэдгийг тэд сонголтын аксиомын тусламжтайгаар нотолсон. дахин хамтад нь, ингэснээр та хоёр бөмбөг авах болно, яг үүнтэй адил, хамгийн эхэнд байсан бөмбөгтэй адил. Энэ мэдэгдэл хэдийгээр батлагдсан боловч ямар нэгэн байдлаар зэрлэг сонсогдож байна. Гэвч дараа нь тэд сонголтын аксиомын ийм үр дагавартай эвлэрэх нь үүнийг бүрмөсөн орхихоос илүү дээр гэдгийг ойлгосон. Өөр арга байхгүй: эсвэл бид сонголтын аксиомоос татгалзаж, дараа нь бид үүнийг хаана ч ашиглах боломжгүй болж, олон чухал, үзэсгэлэнтэй, зөн совингийн математикийн үр дүн нотлогдохгүй байх болно. Аль ч тохиолдолд бид үүнийг хүлээж авах болно - үр дүн нь амархан нотлогддог, гэхдээ тэр үед бид ийм гаж донтой байдаг. Гэхдээ хүмүүс маш олон зүйлд дасдаг, бас эдгээр гажуудалд дасдаг. Ер нь сонголтын аксиомын хувьд одоо ямар ч асуудал байхгүй бололтой.
Энэ нь бидэнд олонлогийн онолын аксиомын багц, математик байгаа юм байна. Мөн математикт хүмүүсийн хийж чадах бүх зүйлийг олонлогийн онолын хэлээр илэрхийлж болох юм шиг санагддаг. Гэхдээ энд Годелийн арифметикийн нээсэнтэй ижил асуудал гарч ирнэ. Хэрэв бидэнд олонлогийн ертөнцийг (бүх математикийн ертөнц) дүрсэлсэн тодорхой нэлээн баялаг аксиомууд байгаа бол тэдгээр нь үнэн эсэхийг мэдэх боломжгүй өгүүлбэрүүд байх нь гарцаагүй. Эдгээр аксиомуудаас нотлох боломжгүй гэсэн мэдэгдлүүдийг бид үгүйсгэж чадахгүй. Олонлогийн онол маш их хөгжиж байгаа бөгөөд одоо энэ асуудалд хамгийн ойр байна: бид зарим асуултууд нь байгалийн сонсогдож байгаа нөхцөл байдалтай тулгардаг, бид тэдэнд хариулт авахыг хүсдэг, гэхдээ бид хэзээ ч мэдэхгүй гэдэг нь батлагдсан. хариулт, учир нь хариулт болон өөр хариулт хоёулаа аксиомуудаас гарах боломжгүй.
Юу хийх вэ? Олонлогийн онолын хувьд тэд ямар нэгэн байдлаар үүнтэй тэмцэхийг хичээдэг, тухайлбал, зарим шалтгааны улмаас нэмж болох шинэ аксиомуудыг гаргаж ирэхийг хичээдэг. Хэдийгээр хүн төрөлхтөнд ойлгомжтой бүх зүйл 20-р зууны эхээр боловсруулсан олонлогийн онолын аксиомууд руу аль хэдийн буурсан мэт санагдаж байна. Одоо та өөр зүйлийг хүсч байгаа хэвээр байна. Математикчид өөрсдийн зөн совингоо улам хөгжүүлдэг бөгөөд ингэснээр зарим шинэ мэдэгдлүүд нь ямар нэг шалтгаанаар бүх математикчдад гэнэт ойлгомжтой мэт санагдаж, дараа нь эдгээр асуултын зарим асуултын хариултыг тэдний тусламжтайгаар хүлээн авах боломжтой гэж найдаж шинэ аксиом гэж хүлээн зөвшөөрдөг.
Мэдээжийн хэрэг, энэ бүхэн яаж болдгийг би хэлж чадахгүй, үнэхээр гайхалтай нарийн төвөгтэй мэдэгдэл, мөн та нэгдүгээрт, тэдний юу гэж хэлж байгааг ойлгохын тулд, хоёрдугаарт, эдгээр мэдэгдлийг үнэхээр ойлгомжтой, аксиом гэж үзэж болохыг ойлгохын тулд олонлогын онолыг маш гүнзгий судлах хэрэгтэй. Энэ бол хамгийн чухал зүйл юм нууцлаг газруудматематик - олонлогын онол.
Горгиагийн хоёр дахь теорем
Горгиагийн хоёр дахь теорем нь иймэрхүү сонсогдож байна: хэрэв ямар нэгэн зүйл байгаа бол энэ нь хүмүүст мэдэгдэх боломжгүй юм. Одоо би энэ ангилалд хамаарах хэд хэдэн мэдэгдлийн жишээг үзүүлэх болно.
Олонлогийн онолын хувьд асуудал байсан тул бид "сонголтын аксиом үнэн үү?" гэх мэт асуулт асуух эрхтэй юу? Хэрэв бид зөрчилдөөнд орохгүйгээр зүгээр л математик хийхийг хүсч байвал бид зарчмын хувьд сонголтын аксиомыг хүлээн зөвшөөрч, энэ нь үнэн биш гэдгийг хүлээн зөвшөөрч чадна. Аль ч тохиолдолд бид математикийг хөгжүүлж, нэг тохиолдолд зарим үр дүнг олж авах боломжтой, бусад тохиолдолд өөр үр дүнд хүрч чадна, гэхдээ бид хэзээ ч зөрчилдөхгүй.
Харин одоо байдал өөр болсон. Хариулт нь тодорхой, тодорхой тодорхойлогдсон үр дүн байгаа бололтой, гэхдээ хүн төрөлхтөн үүнийг хэзээ ч мэдэхгүй байж магадгүй юм. Хамгийн энгийн жишээ бол (3 Н+ 1) энэ бол миний одоо ярих асуудал юм. Дурын натурал тоог авъя. Хэрэв энэ нь тэгш байвал хагасыг нь хуваа. Хэрэв энэ нь сондгой бол 3-аар үржүүлж, 1-ийг нэмнэ. Бид үр дүнгийн тоотой ижил зүйлийг хийнэ, гэх мэт. Жишээлбэл, хэрэв бид гурваас эхэлбэл бид авдаг
Хэрэв бид долоогоор эхлэх юм бол процесс нь бага зэрэг удаан үргэлжлэх болно. Зарим жижиг тоонуудаас эхлээд энэ гинж нэлээд урт байж болох ч үргэлж нэгээр дуусах болно. Ямар ч тоогоор эхэлсэн ч ийм гинж барьвал дандаа 1 хүрнэ гэсэн таамаглал байдаг. Энэ бол (3) Н+ 1)-асуудал - энэ таамаглал зөв үү?
Миний бодлоор одоогийн бүх математикчид үүнийг үнэн гэдэгт итгэдэг. Мөн зарим увайгүй хүмүүс үүнийг батлах гэж оролддог. Гэвч хэнд ч юу ч бүтсэнгүй. Мөн энэ нь олон арван жилийн турш гарч ирээгүй. Тиймээс энэ бол сонирхол татахуйц сорилтуудын нэг юм. Мэдээжийн хэрэг ноцтой математикчид үүнийг хөгжилтэй оньсого мэт хардаг. Тэнд юу байх нь тодорхойгүй, тэнд юу байх ёстойг хэн мэдэх ёстой. Гэвч ноцтой бус математикчид энэ таамаг үнэн үү, үгүй юу гэдгийг сонирхож байна. Үүнийг батлах хүртэл энд юу ч тохиолдож болно. Нэгдүгээрт, энэ асуулт тодорхой хариулттай байх нь ойлгомжтой: тийм эсвэл үгүй. Аль ч натурал тооноос эхлэн бид нэг рүү гулсах нь үнэн, эсвэл худлаа. Энд хариулт нь ямар ч аксиомын сонголтоос эсвэл хүний хүсэл зоригоос хамаарахгүй нь ойлгомжтой. Тэгэхээр энэ асуултын хариуг хүн төрөлхтөн хэзээ ч мэдэхгүй гэсэн таамаг бий.
Мэдээжийн хэрэг, хэрэв хэн нэгэн энэ таамаглалыг нотлох юм бол бид хариултыг мэдэх болно. Гэхдээ нотлох нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь тэрээр ямар ч натурал тоо 1-д нийлдэг шалтгааныг тайлбарлах бөгөөд эдгээр шалтгаанууд бидэнд тодорхой болно гэсэн үг юм.
Далан гурван оронтой тоо яг ийм шинж чанартай гэдгийг хэн нэгэн нотлох тохиолдол гарч магадгүй бөгөөд энэ хэлхээг үүнээс эхлүүлснээр бид хүссэн хэмжээгээрээ авах нь гарцаагүй. том тоо. Эсвэл энэ гинж өөр газар гогцооно гэдгийг батлах болно. Дахин хэлэхэд энэ нь таамаглал буруу байх шалтгаан болно.
Гэхдээ би, жишээ нь, ийм аймшигтай хар дарсан зүүд зүүдэлдэг: хэрэв энэ мэдэгдэл үнэн, гэхдээ ямар ч шалтгаангүй бол яах вэ? Үнэн, гэхдээ нэг хүн нөгөө хүнд ойлгож, тайлбарлах ямар ч шалтгаан байхгүй. Дараа нь бид хариултыг хэзээ ч мэдэхгүй. Учир нь бүх натурал тоонуудыг давж, тус бүрийн таамаглалыг шалгах л үлдлээ. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь бидний хүч чадлаас гадуур юм. Эрчим хүч хэмнэх хууль үүнийг зөвшөөрдөггүй хязгааргүй тоогүйлгээ дуусах цаг. Эсвэл гэрлийн хурдны хязгаарлагдмал байдал. Бүгдээрээ, физикийн хуулиудхязгааргүй тооны үйлдлийг хязгааргүй хугацаанд хийж, үр дүнг олж мэдэхийг бүү зөвшөөр.
Олон шийдэгдээгүй асуудал яг энэ талбартай холбоотой, өөрөөр хэлбэл зарчмын хувьд тэд үнэхээр шийдэгдэхийг хүсч байна. Тэдний зарим нь шийдэх байх. Та бүгд "Риманы таамаглал" гэсэн нэрийг сонссон байх. Магадгүй та нарын зарим нь энэ таамаглал юу гэснийг бүрхэг ойлгодог байх. Би хувьдаа үүнийг маш бүрхэг ойлгодог. Гэхдээ Риманы таамаглалаар энэ нь зөв гэдэг нь бага багаар тодорхой харагдаж байна. Бүх математикчид үүнд итгэдэг, ойрын ирээдүйд нотлогдоно гэж найдаж байна. Хэн ч баталж, үгүйсгэж чадахгүй байгаа зарим мэдэгдлүүд байдаг бөгөөд таамаглалд ч гэсэн хоёр хариултын аль нь зөв байх нь тодорхойгүй байна. Хүн төрөлхтөн зарчмын хувьд эдгээр асуултын заримд хэзээ ч хариулт авахгүй байх магадлалтай.
Горгиагийн гурав дахь теорем
Гурав дахь теорем нь хэрэв ямар нэг зүйл мэдэх боломжтой бол түүнийг хөршдөө шилжүүлэх боломжгүй гэсэн үг юм. Эдгээр нь орчин үеийн математикийн хамгийн тулгамдсан асуудлууд бөгөөд магадгүй хамгийн хэтрүүлсэн асуудлууд юм. Хүн ямар нэг зүйлийг нотолсон боловч энэ нотолгоог өөр хүнд хэлж чадахгүй. Эсвэл тэр үнэхээр үүнийг нотолсон гэж өөр хүнд итгүүл. Энэ нь тохиолддог. Энэ нутгийн хамгийн анхны жишээ бөгөөд олон нийтэд хамгийн алдартай нь дөрвөн өнгөний асуудал юм. Гэхдээ энэ нь энд үүссэн хамгийн хэцүү нөхцөл байдал биш юм. Би одоо дөрвөн өнгөний асуудлын талаар бага зэрэг ярьж, дараа нь илүү галзуу нөхцөл байдлыг харуулах болно.
Дөрвөн өнгөний асуудал юу вэ? Энэ бол графикийн онолын асуулт юм. График бол зүгээр л ирмэгээр холбогдож болох зарим орой юм. Хэрэв бид эдгээр оройг хавтгай дээр зурж, ирмэгүүд нь хоорондоо огтлолцохгүй байхаар ирмэгээр нь холбож чадвал хавтгай гэж нэрлэгддэг график гарна. График будах гэж юу вэ? Бид түүний оройг янз бүрийн өнгөөр буддаг. Хэрэв бид үүнийг ирмэгтэй зэргэлдээх оройнууд үргэлж өөр өөр өнгөтэй байхаар хийсэн бол будгийг ердийн гэж нэрлэдэг. Би аль болох бага зүйл ашиглан графикийг зөв өнгөөр будахыг хүсч байна янз бүрийн өнгө. Жишээлбэл, 5-р зурагт бид хоёр хосоор холбогдсон гурван оройтой байгаа бөгөөд энэ нь зугтах боломжгүй гэсэн үг бөгөөд эдгээр оройнууд нь гарцаагүй гурван байх болно. өөр өөр өнгө. Гэхдээ ерөнхийдөө энэ графикийг зурахад дөрвөн өнгө хангалттай (мөн гурван өнгө байхгүй, та шалгаж болно).
Зуун жилийн турш нэг асуудал байсаар ирсэн: хавтгай дээр зурж болох графикийг дөрвөн өнгөөр будаж болно гэдэг үнэн үү? Дөрвөн өнгө үргэлж хангалттай байдаг гэдэгт зарим нь итгэж, нотлохыг оролдсон бол зарим нь итгэхгүй, дөрвөн өнгө хангалтгүй байхад жишээ татахыг оролдсон. Мөн ийм асуудал гарсан: асуудлыг боловсруулахад маш хялбар байдаг. Тиймээс олон хүмүүс, тэр ч байтугай ноцтой бус математикчид ч гэсэн үүн дээр довтолж, үүнийг батлах гэж оролдож эхлэв. Мөн тэд асар их хэмжээний нотлох баримт эсвэл няцаалт хийсэн. Тэд тэднийг математикчдад илгээж, сонин хэвлэлээр хашгирав: "Хүрээ! Би дөрвөн өнгөний асуудлыг нотолсон! - тэр ч байтугай алдаатай нотлох баримттай ном хэвлүүлсэн. Нэг үгээр бол маш их чимээ шуугиантай байсан.
Эцэст нь К.Апел, В.Хакен нар нотолсон. Одоо би танд нотлох схемийг ойролцоогоор тайлбарлах болно. Үүний зэрэгцээ бид яагаад энэ нотлох баримтыг бусдад дамжуулах боломжгүй болохыг олж мэдэх болно. Хүмүүс хавтгай график хэрхэн бүтэцтэй болохыг нухацтай судалж эхэлсэн. Тэд хэдэн арван тохиргооны жагсаалтыг танилцуулж, хавтгай график бүр эдгээр тохиргооны аль нэгийг агуулсан байх ёстойг нотолсон. Энэ бол нотлох баримтын эхний хагас юм. Мөн нотлох баримтын хоёр дахь хагас нь эдгээр тохиргоо бүрийн хувьд хэрэв энэ нь бидний графикт байгаа бол дөрвөн өнгөөр будаж болно гэдгийг шалгаж болно.
Бүр тодруулбал, цаашдын нотолгоо нь зөрчилдөөнтэй байдаг. Бидний графикийг дөрвөн өнгөөр будаж болохгүй гэж бодъё. Эхний хагасаас бид жагсаалтаас зарим тохиргоотой гэдгийг мэдэж байна. Үүний дараа эдгээр тохиргоо тус бүрийн хувьд дараах үндэслэлийг гүйцэтгэнэ. Манай график энэ тохиргоог агуулж байна гэж бодъё. Үүнийг хаяцгаая. Индукцийн аргаар үлдсэн зүйлийг дөрвөн өнгөөр будна. Үлдсэн дөрвөн өнгийг хэрхэн будсан ч бид энэ тохиргоог хийж чадах эсэхийг шалгана.
Дахин будаж болох тохиргооны хамгийн энгийн жишээ бол өөр гурван цэгтэй холбогдсон орой юм. Хэрэв манай график ийм оройтой бол бид үүнийг эцэс хүртэл будах нь ойлгомжтой. Бусад бүх зүйлийг өнгөөр болгож, дараа нь энэ оройг ямар өнгөтэй хавсаргаж байгааг хараад дөрөв дэхийг нь сонго. Бусад тохиргооны хувьд үндэслэл нь ижил төстэй боловч илүү төвөгтэй байдаг.
Одоо энэ бүхэн яаж хийгдсэн бэ? Ийм олон тооны тохиргоо бүрийг үргэлж гараар хийж байгаа эсэхийг шалгах боломжгүй - энэ нь хэтэрхий их цаг хугацаа шаарддаг. Мөн энэ шалгалтыг компьютерт даатгасан. Тэрээр олон тооны хэргийг даван туулж, энэ нь тийм гэдгийг үнэхээр баталсан. Үр дүн нь дөрвөн өнгийн асуудлын нотолгоо байв.
Анх ийм л харагдаж байсан. Хүний хэсэгбүх зүйлийг будсан эсэхийг шалгах эцсийн шалгалтыг компьютерт даатгасан хэллэгүүдийг зузаан номонд бичиж, түүнд хавсаргасан, тэр ч байтугай текст компьютерийн програмиш татсан. Энэ програм нь бүх зүйлийг тооцоолж, бүх зүйлийг шалгасан - үнэхээр бүх зүйл хэвийн байгаа бөгөөд энэ нь дөрвөн өнгөт теорем батлагдсан гэсэн үг юм.
Тэр даруй ийм нотлох баримтад итгэж болох эсэх талаар шуугиан дэгдээв. Эцсийн эцэст ихэнх ньнотлох баримтыг хүн биш компьютер хийсэн. "Хэрэв компьютер алдаа гаргавал яах вэ?" - гэж ийм явцуу сэтгэлгээтэй хүмүүс хэлэв.
Энэхүү нотлох баримттай холбоотой асуудал үнэхээр эхэлсэн боловч тэдгээр нь компьютерийн хэсэгт биш, харин хүний хэсэгт байсан юм. Нотлох баримтаас алдаа дутагдал илэрсэн. Нарийн төвөгтэй хайлтуудыг агуулсан ийм урттай текст алдаатай байх нь ойлгомжтой. Эдгээр алдаанууд олдсон боловч аз болоход тэдгээрийг зассан.
Үлдсэн зүйл бол компьютерийн хэсэг байсан бөгөөд тэр цагаас хойш нэгээс олон компьютер дээр, тэр ч байтугай програмыг дахин бичиж, ижил хайлтаар туршиж үзсэн. Эцсийн эцэст, яг юуг давтах ёстой гэж хэлсэн бол хүн бүр өөрийн програмаа бичиж, үр дүн нь байх ёстой эсэхийг шалгаж болно. Жишээлбэл, ийм том компьютер хайлтыг нотлох баримтад ашиглах нь надад асуудал биш юм шиг санагдаж байна. Яагаад? Гэхдээ дөрвөн өнгөний асуудлын жишээн дээр аль хэдийн гарч ирсэн ижил шалтгааны улмаас компьютерийн нотолгоонд хүний нотлох баримтаас хамаагүй илүү итгэх итгэл байдаг. Тэд компьютер бол машин гэж хашгирч байсан, гэхдээ энэ нь хаа нэгтээ эвдэрч, төөрч, буруу тооцоолвол яах вэ ... Гэхдээ энэ нь тийм байж болохгүй. Учир нь компьютер хаа нэгтээ санамсаргүй эвдэрч, алдаа гарсан бол - тэгийг санамсаргүйгээр нэгээр сольсон бол энэ нь буруу үр дүнд хүргэхгүй. Энэ нь ямар ч үр дүнд хүргэхгүй, зүгээр л програм эцэст нь эвдэрнэ. Компьютерийн хийдэг ердийн үйлдэл юу вэ? Ийм ийм бүртгэлээс ийм дугаар аваад ийм газар хяналтаа шилжүүлсэн. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв энэ тоонд нэг битийн өөрчлөлт гарсан бол хяналтыг үл мэдэгдэх газар руу шилжүүлсэн бөгөөд энэ нь удахгүй бүх зүйлийг устгах болно.
Мэдээжийн хэрэг, компьютерт зориулсан програм бичихэд алдаа гарч болзошгүй, гэхдээ энэ нь аль хэдийн байна хүний алдаа. Хүн уг программыг уншаад зөв эсэхийг нь шалгана. Хүн өөр хэн нэгний нотлох баримтыг уншиж, зөв эсэхийг шалгах боломжтой. Гэхдээ хүнд маш их байдаг илүү их боломжкомпьютерээс илүү алдаа гаргах. Хэрэв та өөр хэн нэгний хангалттай урт нотолгоог уншиж байгаа бөгөөд үүнд алдаа байгаа бол үүнийг анзаарахгүй байх бүх боломж бий. Яагаад? Юуны өмнө нотлох баримт зохиогч өөрөө ийм алдаа гаргасан учраас сэтгэл зүйн үндэслэлтэй гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл, тэр үүнийг санамсаргүй шалтгаанаар хийсэн - энэ нь зарчмын хувьд ердийн хүн ийм алдаа гаргаж болох газар юм. Энэ нь та энэ хэсгийг уншиж, үүний дагуу үүнийг анзаарахгүй байх замаар ижил алдаа гаргаж болно гэсэн үг юм. Тиймээс хүний баталгаажуулалт, хүний нотолгоо нь хамаагүй бага юм найдвартай аргаКомпьютерийн программыг өөр машин дээр дахин ажиллуулж үр дүнг шалгахаас илүү баталгаажуулах. Хоёрдахь нь бүх зүйл сайхан байгааг баталгаажуулдаг бөгөөд эхнийх нь азтай юм.
Хүмүүсийн бичсэн математикийн бичвэрийн алдааг олох нь энэ асуудал улам бүр хэцүү болж, заримдаа бүр боломжгүй болж байна. ноцтой асуудалорчин үеийн математик. Бид үүнтэй тэмцэх хэрэгтэй. Яаж - одоо хэн ч мэдэхгүй. Гэхдээ асуудал маш том бөгөөд яг одоо ноцтойгоор үүссэн - үүний хэд хэдэн жишээ бий. Энд магадгүй бага мэддэг, гэхдээ хамгийн орчин үеийн нэг юм. Энэ бол Кеплерийн хуучин таамаглал юм. Тэр бөмбөг оруулах тухай ярьдаг гурван хэмжээст орон зай.
Эхлээд хоёр хэмжээст орон зайд, өөрөөр хэлбэл хавтгайд юу болж байгааг харцгаая. Бид ижил тойрогтой болцгооё. Тэдгээрийг огтлолцохгүйн тулд хавтгай дээр зурах хамгийн нягт арга юу вэ? Хариулт байна - та зургаан өнцөгт торны зангилаанууд дээр тойргийн төвүүдийг байрлуулах хэрэгтэй. Энэ мэдэгдэл нь тийм ч энгийн зүйл биш, гэхдээ амархан.
Гурван хэмжээст орон зайд бөмбөгийг хэрхэн нягт савлах вэ? Эхлээд бид бөмбөлгүүдийг 6-р зурагт үзүүлсний дагуу хавтгай дээр байрлуулна. Дараа нь бид 7-р зурагт үзүүлсэн шиг өөр ижил төстэй давхаргыг тавиад бүхэлд нь дарж, дээр нь өөр ижил төстэй давхаргыг тавина. Энэ нь гурван хэмжээст орон зайд бөмбөг савлах хамгийн нягт арга гэдэг нь ойлгомжтой. Кеплер энэ савлагаа нь гурван хэмжээст орон зайн хамгийн нягт савлагаа байх ёстой гэж (мөн анх томьёолсон хүн бололтой) нотолсон.
Энэ нь 17-р зуунд болсон бөгөөд тэр үеэс хойш энэ таамаглал хэвээр байна. 21-р зууны эхээр түүний нотолгоо гарч ирэв. Мөн та нарын хэн нь ч үүнийг авч уншиж болно. Энэ нь интернетэд олон нийтэд нээлттэй. Энэ бол хоёр зуун хуудастай нийтлэл юм. Үүнийг нэг хүн бичсэн бөгөөд цэвэр математикийн үндэслэл, компьютерийн тооцооллыг хоёуланг нь агуулдаг.
Нэгдүгээрт, зохиогч математикийн үндэслэлийг ашиглан асуудлыг баталгаажуулах хүртэл багасгадаг хязгаарлагдмал тоотохиолдлууд. Үүний дараа заримдаа компьютер ашиглан тэрээр энэ эцсийн, гэхдээ маш олон тооны тохиолдлуудыг шалгадаг, бүх зүйл таарч байгаа бөгөөд - яараарай! -Кеплерийн таамаглал батлагдсан. Энэ нийтлэлийн асуудал энд байна - үүнийг хэн ч уншиж чадахгүй. Учир нь энэ нь хүнд, учир нь зарим газарт энэ нь үнэхээр хэтрүүлсэн гэдэг нь бүрэн ойлгомжгүй байдаг, учир нь уншихад уйтгартай байдаг. Хоёр зуун хуудас уйтгартай тооцоо. Хүн уншиж чадахгүй.
Ерөнхийдөө энэ өгүүлэлд энэ теоремийн нотолгоо байгаа гэдэгт бүгд итгэдэг. Гэхдээ нөгөө талаас, хэн ч үүнийг үнэн зөвөөр нотлоогүй байна, ялангуяа энэ нийтлэлийг хянан шалгасан сэтгүүлд нийтлээгүй, өөрөөр хэлбэл өөрийгөө хүндэтгэдэг математикч "тиймээ, бүх зүйл зөв," гэсэн мэдэгдэлд гарын үсэг зурахад бэлэн биш байна. Кеплерийн таамаглал батлагдсан."
Энэ нь зөвхөн математикийн бусад салбарт ч тохиолддог. Саяхан би олонлогийн онол, загварын онол, тив дэх шийдэгдээгүй асуудлын жагсаалтыг олж харлаа өөр өөр газар нутаг. Нэг таамаглалын хувьд иймэрхүү тайлбарууд байдаг: үүнийг ийм ийм нийтлэлд няцаасан гэж үздэг ч хэн ч үүнд итгэдэггүй.
Нөхцөл байдал ийм байна. Хүн хэлсэн үгээ нотолсон боловч түүнийгээ бусдад дамжуулах, бусдад хэлэх чадваргүй байдаг.
Хамгийн аймшигтай жишээ бол мэдээжийн хэрэг, хязгаарлагдмал энгийн бүлгүүдийн ангилал юм. Энэ нь яг юу вэ, ямар бүлгүүд вэ, хязгаарлагдмал бүлгүүд гэж юу болохыг би томъёолохгүй, хэрэв та хүсвэл өөрөө мэдэж болно. Хязгаарлагдмал бүлгүүд нь нэг ёсондоо энгийн блокуудаас угсардаг бөгөөд тэдгээрийг энгийн бүлгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг жижиг блокуудад задлах боломжгүй болсон. Эдгээр хязгаарлагдмал энгийн бүлгүүд хязгааргүй олон байдаг. Тэдний бүрэн жагсаалт дараах байдалтай байна: эдгээр нь төгсгөлгүй арван долоон цуврал бөгөөд төгсгөлд нь 26-г нэмж оруулсан болно тусдаа бүлгүүд, ямар нэгэн байдлаар баригдсан тусдаа аргаарбөгөөд ямар ч цувралд ороогүй болно. Энэ жагсаалтад бүх хязгаарлагдмал энгийн бүлгүүд багтсан гэж заасан. Асуудал нь математикийн хувьд маш чухал юм. Тиймээс 70-аад онд үүнийг шийдвэрлэх зарим нэг онцгой санаа, итгэл найдвар гарч ирэхэд хэдэн зуун математикч өөр өөр улс орнууд, -аас янз бүрийн байгууллагууд, хүн бүр өөрийн гэсэн хэсгийг авсан. Энэ төслийн архитекторууд байсан бөгөөд хожим нь бүгдийг хэрхэн нэгтгэх талаар бүдүүлэг төсөөлөлтэй байсан. ганц нотолгоо. Хүмүүс яарч, уралдаж байсан нь тодорхой. Үүний үр дүнд тэдний хийсэн бүтээлүүд нийтдээ 10,000 орчим сэтгүүлийн хуудас болсон бөгөөд энэ нь зөвхөн хэвлэгдсэн зүйл юм. Мөн өмнөх хэвлэл эсвэл бичгийн машин хэлбэрээр байсан нийтлэлүүд бас байдаг. Би өөрөө нэг удаа ийм нийтлэлийг уншиж байсан, гэхдээ энэ нь бүрэн нотлох баримтыг агуулсан байсан ч хэзээ ч хэвлэгдээгүй. Эдгээр 10,000 хуудас нь янз бүрийн сэтгүүлд тараагдсан байдаг өөр өөр хүмүүс, Хамт янз бүрийн түвшиндойлгомжтой байх ба үүнтэй холбоогүй, энэ онолын архитекторуудын нэг биш энгийн математикчийн хувьд 10,000 хуудсыг бүгдийг нь унших боломжгүй төдийгүй нотлох баримтын бүтцийг ойлгоход маш хэцүү байдаг. Түүгээр ч барахгүй эдгээр архитекторуудын зарим нь тэр цагаас хойш нас баржээ.
Нотолгоо нь зөвхөн хэн ч уншиж чадахгүй текст хэлбэрээр байсан ч ангиллыг дуусгасан гэж тэд зарласан бөгөөд энэ нь дараах асуудалд хүргэв. Шинэ математикчид хязгаарлагдмал бүлгүүдийн онол руу орох хүсэл багатай байсан. Бага ба бага цөөн хүнүүнийг хийдэг. 50 жилийн дараа энэ нотолгооноос юуг ч ойлгох хүн дэлхий дээр үлдэхгүй байх магадлалтай. Домог байх болно: бидний агуу өвөг дээдэс бүх хязгаарлагдмал энгийн бүлгүүдийг энэ жагсаалтад жагсаасан бөгөөд бусад нь байхгүй гэдгийг баталж чадсан боловч одоо энэ мэдлэг алдагдсан. Маш бодитой нөхцөл байдал. Гэвч аз болоход би ганцаараа энэ байдлыг бодитой гэж үзээгүй тул тэд үүний эсрэг тэмцэж байгаа бөгөөд бүр “Гүн ухааны болон математикийн асуудлуудХязгаарлагдмал энгийн бүлгүүдийн ангиллын нотолгоотой холбоотой." Энэ нотлох баримтыг авчрах гэж оролддог хүмүүс байдаг унших боломжтой хэлбэр, магадгүй хэзээ нэгэн цагт энэ нь үнэхээр бүтэх болно. Энэ бүх бэрхшээлийг даван туулахын тулд яах вэ гэж бодож байгаа хүмүүс байдаг. Хүн төрөлхтөн энэ ажлыг санаж байгаа бөгөөд энэ нь эцэстээ үүнийг даван туулах болно гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч нотлогдож болох, гэхдээ хэн ч уншиж чадахгүй, хэн ч хэнд ч хэлж чадахгүй өөр ижил төвөгтэй теоремууд гарч ирж магадгүй юм.
Дөрөв дэх теорем
За, одоо миний бага зэрэг ярих дөрөв дэх теорем нь хамгийн аймшигтай нь байж магадгүй юм - "тэр чамд хэлж чадсан ч хэн ч сонирхохгүй." Энэ асуудлын тодорхой хэсгийг аль хэдийн сонссон. Хүмүүс хязгаарлагдмал бүлгүүдийг судлах сонирхолгүй болсон. Цөөхөн хүн үүнийг хийж байгаа бөгөөд бичвэр хэлбэрээр хадгалагдан үлдсэн мэдлэг нь хэнд ч хэрэггүй болж, үүнийг хэрхэн уншихаа хэн ч мэдэхгүй. Энэ нь мөн математикийн олон салбарт заналхийлж буй асуудал юм.
Математикийн зарим салбарууд азтай байдаг нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, ижил график онол, комбинаторик. Тэдгээрийг нухацтай хийж эхлэхийн тулд та маш бага зүйлийг мэдэх хэрэгтэй. Та бага зэрэг сурсан, олимпиадын асуудлыг шийдсэн, нэг алхам - та шийдэгдээгүй асуудалтай тулгарлаа. Авах зүйл байна - яараарай, үүнийг авч үзье, сонирхолтой байна, бид үүн дээр ажиллах болно. Гэхдээ энэ газар үнэхээр үзэсгэлэнтэй, түүнийг судлахыг хүсч байгаагаа мэдрэхийн тулд маш их зүйлийг сурах хэрэгтэй математикийн салбарууд байдаг. Үүний зэрэгцээ та замдаа өөр олон сайхан зүйлийг сурах болно. Гэхдээ та замдаа тааралдсан эдгээр гоо үзэсгэлэнд анхаарлаа сарниулах ёсгүй бөгөөд эцэст нь та тэнд очиж, зэрлэг байгальд очиж, тэнд гоо үзэсгэлэнг аль хэдийн олж хардаг, тэгээд ч гэсэн маш их зүйлийг сурч мэдсэнийхээ дараа та энэ газрыг судлах боломжтой болно. математик. Мөн энэ хүндрэл нь ийм газруудад асуудал үүсгэдэг. Математикийн салбар хөгжихийн тулд түүнийг дадлагажуулах хэрэгтэй. Хангалттай тооны хүмүүс үүнийг маш их сонирхож, бүх бэрхшээлийг даван туулж, тэнд очиж, дараа нь үргэлжлүүлэн хийх ёстой. Одоо математик маш нарийн төвөгтэй түвшинд хүрч байгаа тул олон салбарын хувьд энэ нь гол асуудал болж байна.
Хүн төрөлхтөн энэ бүх бэрхшээлийг хэрхэн даван туулахыг би мэдэхгүй, гэхдээ харах нь сонирхолтой байх болно.
Энэ бол үнэндээ.
Их үйл явдал
Шарсан талх хэрхэн хийх тухай шинэ жилийн мэдээллийн товхимолд би 20-р зууны төгсгөлд олон хүний анзаараагүй нэгэн гайхалтай үйл явдал болсон тухай санамсаргүй дурьдаж байсан. Фермагийн сүүлчийн теорем. Энэ талаар надад ирсэн захидлуудын дунд би охидын хоёр хариултыг олсон (миний санаж байгаагаар тэдний нэг нь Зеленоградын есдүгээр ангийн сурагч Вика байсан) тэд энэ баримтыг гайхшруулсан.
Охид орчин үеийн математикийн бодлогуудыг хэр их сонирхож байгаад би гайхсан. Тиймээс зөвхөн охид гэлтгүй бүх насны хөвгүүд - ахлах ангийн сурагчдаас авахуулаад тэтгэвэр авагчид хүртэл Их теоремийн түүхийг судлах сонирхолтой байх болов уу гэж бодож байна.
Фермагийн теоремын баталгаа бол агуу үйл явдал юм. Тэгээд учир нь "Агуу" гэдэг үгээр хошигнох нь заншил биш боловч өөрийгөө хүндэтгэдэг илтгэгч бүр (мөн бид ярихдаа бүгд ярьдаг) теоремын түүхийг мэддэг байх ёстой юм шиг санагддаг.
Хэрэв та математикт миний дуртай шиг тийм ч дуртай биш бол зарим нарийн ширийн зүйлийг сайтар нягталж үзээрэй. Манай сонины уншигчид бүгд математикийн ширэнгэн ой руу тэнүүчилж, сонирхох сонирхолгүй байгааг ойлгосон тул би ямар ч томьёо өгөхгүй байхыг хичээсэн (Фермагийн теоремын тэгшитгэлээс бусад нь), зарим тодорхой асуудлын хамрах хүрээг аль болох хялбарчлахыг хичээсэн.
Фермат хэрхэн замбараагүй болгов
Францын хуульч, хагас цагаар ажилладаг агуу математикч 17-р зуунд Пьер Ферма (1601-1665) тооны онолын салбарт нэгэн сонирхолтой мэдэгдлийг дэвшүүлсэн бөгөөд үүнийг хожим Фермагийн агуу теорем гэж нэрлэх болсон. Энэ бол хамгийн алдартай, гайхалтай математик теоремуудын нэг юм. Фермагийн байнга судалдаг, өргөн зайд тэмдэглэл хөтөлж, хүү Самуэль нь хойч үедээ эелдэгээр хадгалан үлдээсэн Александрийн Диофант (III зуун) "Арифметик" номонд, түүний эргэн тойрон дахь сэтгэлийн хөөрөл тийм ч хүчтэй биш байх байсан байх. агуу математикч ойролцоогоор дараах тэмдэглэлийг олж илрүүлээгүй байна.
"Надад маш гайхалтай нотлох баримтууд байгаа, гэхдээ энэ нь хязгаарт багтахааргүй том байна."
Энэ бичлэг нь теоремийн эргэн тойронд асар их шуугиан дэгдээх шалтгаан болсон юм.
Ингээд нэрт эрдэмтэн теоремоо нотолсон гэдгээ зарлав. Өөрөөсөө асууцгаая: тэр үнэхээр үүнийг нотолсон уу эсвэл зүгээр л худлаа хэлсэн үү? Эсвэл дараагийн үеийн олон математикчдад тайван унтах боломж өгөөгүй тэр тэмдэглэлийн захад харагдах байдлыг тайлбарласан өөр хувилбарууд байдаг уу?
Агуу теоремийн түүх нь цаг хугацааны адал явдалтай адил сэтгэл татам юм. 1636 онд Ферма Xn+Yn=Zn хэлбэрийн тэгшитгэл нь n>2 илтгэгчтэй бүхэл тоонуудын шийдэлгүй гэж хэлжээ. Энэ бол яг ийм зүйл юм Их теоремФерм. Энэхүү энгийн мэт санагдах математикийн томъёонд Орчлон ертөнц гайхалтай нарийн төвөгтэй байдлыг нуун дарагдуулжээ.
Нөхцөл байдал удаан хугацаанд үүсээд байсан тул теорем яагаад ч юм хожимдсон нь хачирхалтай юм, учир нь түүний n = 2 гэсэн онцгой тохиолдол нь бас нэг алдартай юм. математикийн томъёо- Пифагорын теорем хорин хоёр зууны өмнө үүссэн. Фермагийн теоремоос ялгаатай нь Пифагорын теорем нь хязгааргүй тооны бүхэл тоон шийдлүүдтэй, жишээлбэл, дараах Пифагор гурвалжин: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Их теоремийн синдром
Фермагийн теоремыг батлах гэж оролдоогүй хүн байна уу? Ямар ч шинэхэн оюутан өөрийгөө Их теоремд хэрэгжүүлэх үүрэгтэй гэж үздэг байсан ч хэн ч үүнийг баталж чадаагүй. Эхэндээ энэ нь зуун жил ажиллаагүй. Дараа нь дахиад зуу. Математикчдын дунд массын синдром үүсч эхлэв: "Энэ нь Фермат үүнийг яаж нотолсон юм бэ, гэхдээ би үүнийг хийж чадахгүй байна уу?" мөн тэдний зарим нь энэ үндэслэлээр галзуурсан бүх утгаарааэнэ үг.
Теоремыг хэчнээн удаа шалгасан ч тэр нь үргэлж үнэн болдог. Би өндөр хурдтай компьютер (тэр үед үндсэн фрэйм гэж нэрлэдэг байсан) ашиглан бүхэл тоонуудын хооронд хайлт хийж ядаж нэг шийдлийг олохыг хичээж, Их теоремыг үгүйсгэх хүсэл эрмэлзэлтэй нэгэн програмистыг мэддэг байсан. Тэрээр аж ахуйн нэгжийнхээ амжилтанд итгэдэг байсан бөгөөд "Бага зэрэг ахих - тэгвэл сенсаци гарах болно!" гэж хэлэх дуртай байв. Манай гаригийн янз бүрийн газруудад энэ төрлийн эрэлхэг эрэлхийлэгчид нэлээд олон байсан гэж би бодож байна. Тэр мэдээж ганц шийдэл олоогүй. Ямар ч компьютер, тэр ч байтугай гайхалтай хурдтай ч гэсэн теоремыг баталж чадахгүй, учир нь энэ тэгшитгэлийн бүх хувьсагч (дэлгэцийг оруулаад) хязгааргүй хүртэл өсөж болно.
18-р зууны хамгийн уран чадварлаг, үр бүтээлтэй математикч Леонард Эйлер, хүн төрөлхтний бараг зуун жилийн турш баримт бичгүүдийн архивыг судалж, 3 ба 4-р хүчний талаархи Фермагийн теоремыг нотолсон (эсвэл тэр Пьер Фермагийн алдагдсан нотолгоог өөрөө давтсан) ; тооны онол дахь түүний дагалдагч Лежендре - 5-р хүчний хувьд; Дирихлет - 7-р зэргийн хувьд. Гэхдээ ерөнхийдөө теорем батлагдаагүй хэвээр байв.
20-р зууны эхэн үед (1907) Германы баян чинээлэг математикт дурлагч Вольфскель математикийг танилцуулсан хүнд зуун мянган марк гэрээслэн үлдээжээ. бүрэн нотолгооФермагийн теоремууд. Сэтгэлийн хөөрөл эхэллээ. Математикийн тэнхимүүд олон мянган нотолгоогоор дүүрсэн боловч таны таамаглаж байгаагаар бүгд алдаатай байв. Тэд Германы зарим их дээд сургуулиудад байдаг гэж хэлдэг их хэмжээгээрФермагийн теоремын "нотолгоог" хүлээн авч, ойролцоогоор дараах агуулга бүхий маягтуудыг бэлтгэв.
Хүндэт __________________________!
Фермагийн теоремын нотолгоонд ____ хуудасны дээд талын ____ мөрөнд
Томъёонд дараах алдаа илэрсэн:____________________:,
Үүнийг азгүй шагнал горилогчид илгээсэн.
Тэр үед математикчдийн дунд хагас жигшил хоч гарч ирэв - фермер. Мэдлэг дутмаг мөртлөө Их теоремыг батлах гэж яаран оролдох хүсэл тэмүүлэлтэй, дараа нь анзааралгүй өөртөө итгэлтэй аливааг ийм нэрээр нэрлэдэг байв. өөрийн алдаа, цээжиндээ бардам алгадаад "Би Фермагийн теоремыг хамгийн түрүүнд нотолсон!" гэж чангаар мэдэгдэв. Тариачин бүр арван мянга дахь байсан ч өөрийгөө анхных гэж үздэг байсан - энэ нь инээдтэй байсан. Энгийн гадаад төрхАгуу теорем нь фермистүүдэд маш амархан олз болохыг сануулсан тул Эйлер, Гаусс нар ч гэсэн үүнийг даван туулж чадахгүйд огтхон ч ичдэггүй байв.
(Ферматистууд хачирхалтай нь өнөөг хүртэл байсаар байна. Хэдийгээр тэдний нэг нь сонгодог Ферматикч шиг теоремыг нотолсон гэж бодоогүй ч саяхныг хүртэл оролдлого хийсэн - Фермагийн теорем аль хэдийн батлагдсан гэж хэлэхэд тэр надад итгэхээс татгалзсан. батлагдсан).
Хамгийн хүчирхэг математикчид, магадгүй ажлын өрөөнийхөө нам гүмхэнд энэ боломжгүй штанг руу болгоомжтой хандахыг хичээсэн боловч тариачин гэж нэрлэгдэхгүйн тулд, улмаар тэдний өндөр эрх мэдэлд хор хөнөөл учруулахгүйн тулд үүнийг чангаар хэлсэнгүй.
Тэр үед n илтгэгчийн теоремын баталгаа гарч ирэв
