Нижний Новгородын улсын техникийн их сургууль
тэд. Алексеева А.Е
Магадлалын онолын хичээлийн хураангуй
Гүйцэтгэсэн: Ruchina N.A gr 10MEnz
Шалгасан: Гладков В.В.
Нижний Новгород, 2011 он
Магадлалын онол………………………………………
Магадлалын онолын сэдэв………………………………
Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд……………
Санамсаргүй үйл явдал, үйл явдлын магадлал………………………………………………………………
Хязгаарын теоремууд……………………………………
Санамсаргүй үйл явц………………………………………………………
Түүхэн үндэслэл……………………………………………………
Ашигласан уран зохиол……………………………………………………………
Магадлалын онол
Магадлалын онол -заримын магадлалыг зөвшөөрдөг математикийн шинжлэх ухаан санамсаргүй үйл явдалЭхнийхтэй ямар нэгэн байдлаар холбоотой бусад санамсаргүй үйл явдлын магадлалыг ол.
Магадлалтай үйл явдал тохиолддог гэсэн мэдэгдэл , Жишээ нь, 0.75-тай тэнцэх нь өөрөө эцсийн утгыг илэрхийлдэггүй, учир нь бид найдвартай мэдлэгийг эрэлхийлдэг. Танин мэдэхүйн эцсийн үнэ цэнэ нь аливаа үйл явдал тохиолдох магадлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог магадлалын онолын үр дүн юм. Аэв нэгдэлтэй маш ойрхон эсвэл (энэ нь ижил) үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал Амаш жижиг. "Хангалттай бага магадлалыг үл тоомсорлох" зарчмын дагуу ийм үйл явдлыг бараг тодорхой гэж үздэг. Шинжлэх ухаан, практик сонирхол бүхий ийм төрлийн дүгнэлтүүд нь ихэвчлэн үйл явдал болсон эсвэл болоогүй гэсэн таамаглал дээр суурилдаг. Абие биенээсээ бага хамааралтай олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлээс хамаардаг . Тиймээс магадлалын онол нь олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэлийн явцад үүсэх зүй тогтлыг тодруулдаг математикийн шинжлэх ухаан гэж бас хэлж болно.
Магадлалын онолын сэдэв
Магадлалын онолын сэдэв.Тодорхой нөхцлийн хоорондох байгалийн хамаарлыг тайлбарлах Сболон үйл явдал А,Өгөгдсөн нөхцөлд үүссэн эсвэл тохиолдохгүй байгаа эсэхийг нарийн тодорхойлох боломжтой байгалийн шинжлэх ухаан ихэвчлэн дараах хоёр схемийн аль нэгийг ашигладаг.
a) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд Сүйл явдал ирдэг А.Жишээлбэл, сонгодог механикийн бүх хуулиуд ийм хэлбэртэй байдаг бөгөөд энэ нь өгөгдсөн гэж заасан байдаг анхны нөхцөлмөн бие махбодь эсвэл биетүүдийн системд үйлчилж буй хүчнүүд, хөдөлгөөн нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.
б) Нөхцөлөөр Сүйл явдал Атодорхой магадлал байдаг П(A/S), тэнцүү байна r.Жишээлбэл, цацраг идэвхт цацрагийн хуулиудад цацраг идэвхт бодис бүрийн хувьд тодорхой магадлал байдаг гэж заасан байдаг. өгөгдсөн тоо хэмжээтухайн бодис нь тодорхой хугацаанд задрах болно Натомууд.
Үүнийг үйл явдлын давтамж гэж нэрлэе А-аас энэ цувралд nтестүүд (өөрөөр хэлбэл nнөхцөлийг давтан хэрэгжүүлэх С) хандлага h = м/нтоо мтэдгээр туршилтууд Аирсэн, тэдний нийт тоо n.Үйл явдлын бэлэн байдал Анөхцөлд Стодорхой магадлал тэнцүү байна p,Энэ нь бараг бүх хангалттай урт цуврал туршилтуудад үйл явдлын давтамжийг харуулж байна Аойролцоогоор тэнцүү байна r.
Статистикийн хэв маяг, өөрөөр хэлбэл (b) төрлийн схемээр дүрсэлсэн хэв маягийг анх шоо гэх мэт бооцоот тоглоомуудаас олж илрүүлсэн. Төрөлт, нас баралтын статистик хэв маяг нь маш удаан хугацаанд мэдэгдэж байсан (жишээлбэл, нярай хүүхэд хөвгүүн байх магадлал 0.515). 19-р зууны сүүлч ба 20-р зууны 1-р хагас. физик, хими, биологи гэх мэт олон тооны статистик хуулиудыг нээснээр тэмдэглэгдсэн.
Бие биенээсээ маш алслагдсан шинжлэх ухааны салбаруудтай холбоотой статистикийн зүй тогтлыг судлахад магадлалын онолын аргуудыг ашиглах боломж нь үйл явдлын магадлал нь тодорхой энгийн харилцааг үргэлж хангаж байдагт суурилдаг. Эдгээр энгийн харилцаанд үндэслэн үйл явдлын магадлалын шинж чанарыг судлах нь магадлалын онолын сэдэв юм.
Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд
Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд.Математикийн шинжлэх ухааны хувьд магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудыг энгийн магадлалын онол гэж нэрлэгдэх хүрээнд хамгийн энгийнээр тодорхойлдог. Туршилт бүр Т,Магадлалын анхан шатны онолд авч үзсэн зүйл нь зөвхөн нэг үйл явдлаар төгсдөг Э 1 , Э 2 ,..., Э S (хэргээс хамааран нэг арга зам). Эдгээр үйл явдлыг туршилтын үр дүн гэж нэрлэдэг. Үр дүн бүрээр Э кхолбоотой эерэг тоо r руу - энэ үр дүнд хүрэх магадлал. Тоонууд х кнэг хүртэл нэмэх ёстой. Дараа нь үйл явдлуудыг авч үздэг А,гэсэн баримтаас бүрдэх “энэ нь тохиолдох буюу Э би , эсвэл Э j ,..., эсвэл Э к" Үр дүн Э би , Э j ,..., Э ктаатай гэж нэрлэдэг А,мөн тодорхойлолтоор тэд магадлалыг тооцдог Р(А) үйл явдал А, хэмжээтэй тэнцүү байнаэерэг үр дүнгийн магадлал:
П(А) =х би +х с +… +х к . (1)
Онцгой тохиолдол х 1 =х 2 =...х s = 1/Стомъёонд хүргэдэг
Р(А) =r/s.(2)
Формула (2) нь магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг илэрхийлдэг бөгөөд үүний дагуу үйл явдлын магадлалыг тодорхойлдог. Атооны харьцаатай тэнцүү байна rэерэг үр дүн А,тоо руу сбүх "ижил боломжтой" үр дүн. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь зөвхөн "магадлал" гэсэн ойлголтыг "тэнцүү боломж" гэсэн ойлголт болгон бууруулж, тодорхой тодорхойлолтгүй хэвээр байна.
Жишээ. Хоёр шоо шидэх үед 36 боломжит үр дүн тус бүрийг ( би,j), Хаана би- эхний шоо дээр өнхрүүлсэн онооны тоо, j-хоёр дахь дээр. Үр дүн нь адилхан магадлалтай гэж үздэг. Үйл явдал А -"онооны нийлбэр нь 4" гэсэн гурван үр дүн эерэг байна (1; 3), (2; 2), (3; 1). Тиймээс, Р(А) = 3/36= 1/12.
Өгөгдсөн аливаа үйл явдалд үндэслэн хоёр шинэ үйл явдлыг тодорхойлж болно: тэдгээрийн нэгдэл (нийлбэр) ба хослол (бүтээгдэхүүн).
Үйл явдал INүйл явдлыг нэгтгэх гэж нэрлэдэг А 1 , А 2 ,..., А r ,-, Хэрэв энэ нь: "ирдэг эсвэл А 1 , эсвэл А 2 ,..., эсвэл А r ».
С үйл явдлыг үйл явдлын хослол гэж нэрлэдэг А 1 , А. 2 ,..., А r , Хэрэв энэ нь дараах хэлбэртэй бол: "ирдэг ба А 1 , Тэгээд А 2 ,..., Тэгээд А r » . Үйл явдлын хослолыг тэмдгээр, хослолыг тэмдгээр тэмдэглэнэ. Тиймээс тэд бичдэг:
Б = А 1 А 2 … А r , C = А 1 А 2 … А r .
Үйл явдал АТэгээд INХэрэв тэдгээрийг нэгэн зэрэг хэрэгжүүлэх боломжгүй бол, өөрөөр хэлбэл туршилтын үр дүнд нэг ч таатай зүйл байхгүй бол тэдгээрийг нийцэхгүй гэж нэрлэдэг. АТэгээд IN.
Үйл явдлыг нэгтгэх, нэгтгэх үйлдлүүд нь магадлалын онолын хоёр үндсэн теоремтой холбоотой байдаг - магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх теоремууд.
Магадлалын нэмэх теорем: Хэрэв үйл явдлууд А 1 ,А 2 ,...,А rХэрэв тэдгээрийн хоёр нь хоорондоо таарахгүй байвал тэдгээрийн нэгдэх магадлал нь магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Тэгэхээр дээрх хоёр шоо шидэх жишээнд үйл явдал IN -"онооны нийлбэр 4-өөс хэтрэхгүй" гэсэн гурван үл нийцэх үйл явдлын нэгдэл байдаг А 2 ,А 3 ,А 4, онооны нийлбэр нь 2, 3, 4-тэй тэнцүү байх бөгөөд эдгээр үйл явдлын магадлал нь 1/36; 2/36; 3/36. Нэмэх теоремын дагуу магадлал Р(IN) тэнцүү байна
1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.
Үйл явдал А 1 ,А 2 ,...,АХэрэв бусдын аль нэг нь тохиолдсон тохиолдолд тэдгээрийн тус бүрийн нөхцөлт магадлал нь түүний "болзолгүй" магадлалтай тэнцүү байвал r-ийг бие даасан гэж нэрлэдэг.
Магадлалын үржүүлэх теорем: Үйл явдлыг нэгтгэх магадлал А 1 ,А 2 ,...,А r нь үйл явдлын магадлалтай тэнцүү А 1 , үйл явдлын магадлалаар үржүүлнэ А 2 гэсэн нөхцөлтэйгээр авсан А 1 болсон,..., үйл явдлын магадлалаар үржүүлсэн Агэж заасан А 1 ,А 2 ,...,А r-1 ирлээ. Бие даасан үйл явдлуудын хувьд үржүүлэх теорем нь дараах томъёонд хүргэдэг.
П(А 1 А 2 …А r) =П(А 1 )П(А 2 )· … · П(А r), (3)
өөрөөр хэлбэл, бие даасан үйл явдлуудыг нэгтгэх магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Формула (3) нь хоёр хэсэгт зарим үйл явдлыг эсрэгээр нь сольсон тохиолдолд хүчинтэй хэвээр байна.
Жишээ. Нэг суманд 0.2 онох магадлал бүхий бай руу 4 удаа бууддаг. Янз бүрийн цохилтоос онилсон цохилтыг бие даасан үйл явдал гэж үздэг. Байгаа яг гурван удаа онох магадлал хэд вэ?
Туршилтын үр дүн бүрийг дөрвөн үсгийн дарааллаар зааж болно [жишээ нь, (y, n, n, y) нь эхний ба дөрөв дэх цохилт оносон (амжилттай), хоёр ба гурав дахь цохилт нь оноогүй (бүтэлгүйтсэн) гэсэн үг]. Нийт 2·2·2·2 = 16 үр дүн гарна. Бие даасан буудлагын үр дүнгийн бие даасан байдлын таамаглалын дагуу эдгээр үр дүнгийн магадлалыг тодорхойлохын тулд томъёо (3) ба түүний тэмдэглэлийг ашиглана. Тиймээс үр дүнгийн магадлал (y, n. n, n) нь 0.2·0.8·0.8·0.8 = 0.1024-тэй тэнцүү байх ёстой; Энд 0.8 = 1-0.2 нь нэг удаагийн цохилтоор алдах магадлал юм. "Олонтыг гурван удаа онох" үйл явдлыг үр дүн нь (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) давуу талтай. (n, y, y, y), тус бүрийн магадлал ижил байна:
0.2 0.2 0.2 0.8 =...... =0.8 0.2 0.2 0.2 = 0.0064;
тиймээс шаардагдах магадлал нь тэнцүү байна
4·0.0064 = 0.0256.
Шинжилсэн жишээний үндэслэлийг нэгтгэн дүгнэж үзвэл магадлалын онолын үндсэн томъёоны нэгийг гаргаж болно: хэрэв үйл явдал бол А 1 , А 2 ,..., А nбие даасан бөгөөд тус бүр нь магадлалтай p,тэгвэл тохиолдох магадлал яг таарна мүүнээс тэнцүү байна
П n (м)= C n м х м (1 - х) н-м ; (4)
Энд C n м-ийн хослолын тоог илэрхийлдэг nэлементүүд м.Томоор нь n(4) томъёог ашиглан тооцоо хийхэд хэцүү болно.
Магадлалын анхан шатны онолын үндсэн томьёог мөн гэж нэрлэдэг нийт магадлалын томъёо: хэрэв үйл явдал А 1 , А 2 ,..., А rнь хосоороо нийцэхгүй бөгөөд тэдгээрийн нэгдэл нь найдвартай үйл явдал юм, дараа нь аливаа үйл явдлын хувьд INтүүний магадлал нь тэдний нийлбэртэй тэнцүү байна.
Магадлалын үржүүлэх теорем нь нийлмэл тестийг авч үзэхэд онцгой ач холбогдолтой. Тэд үүнийг шалгалт гэж хэлдэг Ттуршилтуудаас бүрддэг Т 1 , Т 2 ,..., Т n-1 , Т n, Хэрэв туршилтын үр дүн бүр Тзарим үр дүнгийн хослол байдаг А би , Б j ,..., X к , Ю лхолбогдох туршилтууд Т 1 , Т 2 ,..., Т n-1 , Т n. Нэг шалтгааны улмаас магадлал нь ихэвчлэн мэдэгддэг
П(А би), П(Б j /А би), …,П(Ю л /А би Б j …X к). (5)
Үржүүлэх теоремыг ашиглан магадлалаас (5) магадлалыг тодорхойлж болно Р(Э) бүх үр дүнгийн хувьд Энийлмэл тест, үүнтэй зэрэгцэн энэ туршилттай холбоотой бүх үйл явдлын магадлал. Практик талаас нь авч үзвэл хоёр төрлийн нийлмэл туршилт нь хамгийн чухал юм шиг санагддаг:
a) тестийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь бие даасан, өөрөөр хэлбэл магадлал (5) нь болзолгүй магадлалтай тэнцүү байна. П(А би), П(Б j),..., П(Ю л);
б) аливаа туршилтын үр дүнгийн магадлалд зөвхөн өмнөх туршилтын үр дүн нөлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл магадлал (5) тэнцүү байна. П(А би), П(Б j /А би),..., П(Ю би /X к). Энэ тохиолдолд бид Марковын гинжин хэлхээнд холбогдсон туршилтуудын талаар ярьдаг. Нийлмэл тесттэй холбоотой бүх үйл явдлын магадлалыг энд анхны магадлалаар бүрэн тодорхойлно Р(А би) болон шилжилтийн магадлал П(Б j /А би),..., П(Ю л /X к).
Магадлалын онолын үндсэн томъёо
Магадлалын онолын томьёо.
1. Комбинаторикийн үндсэн томьёо
а) орлуулах.
\b) байрлуулах
в) хослолууд 
.
2. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт.
Үйл явдалд таатай үр дагаврын тоо хаана байна, бүх энгийн адил боломжтой үр дүнгийн тоо хаана байна.
3. Үйл явдлын нийлбэрийн магадлал
Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем:
Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем:
4. Үйл явдал болох магадлал
Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем:
Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем:
,
Нөхцөлт магадлалүйл явдал болсон тохиолдолд үйл явдал,
Үйл явдал болсон гэж үзвэл үйл явдлын нөхцөлт магадлал.
Комбинаторик бол өгөгдсөн объектуудаас тодорхой нөхцлийн дагуу хэдэн өөр хослол хийж болох тухай асуултуудыг судалдаг математикийн салбар юм. Комбинаторикийн үндэс нь санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг тооцоолоход маш чухал, учир нь Эдгээр нь үйл явдлыг хөгжүүлэх үндсэн боломжит хувилбаруудыг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог.
Комбинаторикийн үндсэн томъёо
k бүлэг элемент байх ба i-р бүлэг нь ni элементээс бүрдэнэ. Бүлэг бүрээс нэг элемент сонгоцгооё. Дараа нь нийт тооИйм сонголт хийх N аргыг N=n1*n2*n3*...*nk хамаарлаар тодорхойлно.
Жишээ 1. Энэ дүрмийг энгийн жишээгээр тайлбарлая. Хоёр бүлэг элемент байг, эхний бүлэг нь n1 элементээс, хоёр дахь нь n2 элементээс бүрдэнэ. Энэ хоёр бүлгээс хэдэн өөр хос элемент хийж болох бөгөөд энэ хос нь бүлэг тус бүрээс нэг элементийг агуулж болох вэ? Бид эхний бүлгээс эхний элементийг авч, түүнийг өөрчлөхгүйгээр бүх боломжит хосуудыг дамжуулж, зөвхөн хоёрдугаар бүлгийн элементүүдийг өөрчилсөн гэж үзье. Энэ элементийн хувьд ийм хос n2 байна. Дараа нь бид эхний бүлгээс хоёр дахь элементийг авч, түүнд тохирох бүх хосыг хийнэ. Мөн n2 ийм хос байх болно. Эхний бүлэгт зөвхөн n1 элемент байгаа тул нийт боломжит сонголтууд нь n1*n2 болно.
Жишээ 2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6-ын цифрүүд давтагдаж байвал гурван оронтой тэгш тоо хэд болох вэ?
Шийдэл: n1=6 (1, 2, 3, 4, 5, 6-аас ямар ч тоог эхний цифрээр авах боломжтой), n2=7 (0-ээс хоёр дахь цифрийг авах боломжтой учир 1, 2) , 3, 4, 5, 6), n3=4 (0, 2, 4, 6-аас эхлэн дурын тоог гурав дахь орон болгон авч болно).
Тэгэхээр N=n1*n2*n3=6*7*4=168.
Бүх бүлгүүдээс бүрдэх тохиолдолд ижил тооэлементүүд, өөрөөр хэлбэл. n1=n2=...nk=n сонголт бүрийг нэг бүлгээс хийсэн, сонгосны дараах элементийг бүлэгт буцаана гэж бид үзэж болно. Дараа нь бүх сонголтын аргуудын тоо nk-тэй тэнцүү байна.
Жишээ. 1, 5, 6, 7, 8 гэсэн цифрүүдээс дөрвөн оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ?
Шийдэл. Дөрвөн оронтой тооны цифр бүрт таван боломж байгаа бөгөөд энэ нь N=5*5*5*5=54=625 гэсэн үг юм.
n элементээс бүрдэх олонлогийг авч үзье. Үүнийг бид нийт хүн ам гэж нэрлэнэ.
Тодорхойлолт 1. n элементийн m-ээр зохион байгуулалт нь m-ийн дурын эрэмбэлэгдсэн олонлог юм янз бүрийн элементүүд, -аас сонгосон хүн ам n элемент дотор.
Жишээ. Гурван элементийн (1, 2, 3) хоёроор өөр өөр зохицуулалт нь (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) олонлогууд байх болно. , 2). Байрлуулалт нь элементүүд болон дарааллаар нь бие биенээсээ ялгаатай байж болно.
Байршлын тоог n-ээс A, m-ээр тэмдэглэж, дараах томъёогоор тооцоолно.
Тайлбар: n!=1*2*3*...*n (унш: "en factorial"), үүнээс гадна 0!=1 гэж үзнэ.
Жишээ 5. Аравтын орон ба нэгжийн орон нь өөр, сондгой хоёр оронтой хэдэн тоо байдаг вэ?
Шийдэл: учир нь Хэрэв 1, 3, 5, 7, 9 гэсэн таван сондгой цифр байгаа бол энэ даалгавар нь таван өөр цифрээс хоёрыг сонгож, хоёр өөр байрлалд байрлуулах явдал юм. заасан тоонууд нь:
Тодорхойлолт 2. m-ийн n элементийн нэгдэл нь n элементтэй олонлогоос сонгогдсон m өөр элементээс бүрдэх ямар ч эрэмбэлэгдээгүй олонлог юм.
Жишээ 6. (1, 2, 3) олонлогийн хувьд (1, 2), (1, 3), (2, 3) хослолууд байна.
Хослолын тоог Cnm-ээр тэмдэглэж, дараах томъёогоор тооцоолно. 
Тодорхойлолт 3. n элементийн орлуулалт нь эдгээр элементүүдийн аль нэг эрэмбэлэгдсэн багц юм.
Жишээ 7a. Гурван элементээс (1, 2, 3) бүрдэх олонлогийн бүх боломжит орлуулалтууд нь: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).
n элементийн өөр өөр сэлгэлтийн тоог Pn гэж тэмдэглэж Pn=n! томъёогоор тооцоолно.
Жишээ 8. Өөр өөр зохиолчдын долоон номыг тавиур дээр нэг эгнээнд хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?
Шийдэл: Энэ асуудал нь долоон сэлгэлтийн тооны тухай юм янз бүрийн ном. Номыг цэгцлэх P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 арга бий.
Хэлэлцүүлэг. Боломжит хослолуудын тоог янз бүрийн дүрмийн дагуу (сэлгэн залгалт, хослол, байршил) тооцоолж болох бөгөөд үр дүн нь өөр байх болно гэдгийг бид харж байна, учир нь Тооцооллын зарчим, томъёо нь өөр өөр байдаг. Тодорхойлолтыг анхааралтай ажиглавал үр дүн нь хэд хэдэн хүчин зүйлээс нэгэн зэрэг хамааралтай болохыг анзаарах болно.
Нэгдүгээрт, бид хэдэн элементээс багцыг нэгтгэж чадах вэ (элементүүдийн нийт хэмжээ хэр их байна).
Хоёрдугаарт, үр дүн нь бидэнд хэрэгтэй элементийн багцын хэмжээнээс хамаарна.
Эцэст нь, багц дахь элементүүдийн дараалал нь бидний хувьд чухал ач холбогдолтой эсэхийг мэдэх нь чухал юм. Дараах жишээг ашиглан сүүлчийн хүчин зүйлийг тайлбарлая.
Жишээ. Эцэг эхийн хуралд 20 хүн оролцож байна. Эцэг эхийн хорооны бүрэлдэхүүнд 5 хүний бүрэлдэхүүнтэй байх ёстой бол хэчнээн өөр хувилбар байдаг вэ?
Шийдэл: Энэ жишээнд бид хорооны жагсаалтын нэрсийн дарааллыг сонирхохгүй байна. Хэрэв үр дүнд нь ижил хүмүүс түүний нэг хэсэг болж хувирвал бидний хувьд энэ нь ижил сонголт юм. Тиймээс бид 5-ын 20 элементийн хослолын тоог томъёогоор тоолж болно.
Хорооны гишүүн бүр ажлын тодорхой чиглэлийг хариуцдаг бол бүх зүйл өөр байх болно. Дараа нь, хорооны жагсаалтын ижил бүрэлдэхүүнтэй, дотор нь 5 байж магадгүй! чухал өөрчлөлтүүд. Янз бүрийн сонголтуудын тоог (бүрэлдэхүүн ба хариуцлагын хүрээнд) энэ тохиолдолд 5-ын 20 элементийн байршлын тоогоор тодорхойлно.
Магадлалын геометрийн тодорхойлолт
Санамсаргүй тестийг G геометрийн мужид (шулуун шугам, хавтгай эсвэл орон зайд) санамсаргүй байдлаар цэг шидэж байна гэж төсөөлье. Анхан шатны үр дүн нь G-ийн бие даасан цэгүүд, аливаа үйл явдал нь энэ талбайн дэд олонлог, G-ийн анхан шатны үр дүнгийн орон зай юм. Бид G-ийн бүх цэгүүд "тэнцүү" бөгөөд дараа нь цэгийн тодорхой дэд олонлогт орох магадлал нь дараах байдалтай байна. түүний хэмжигдэхүүнтэй (урт, талбай, эзэлхүүн) пропорциональ бөгөөд түүний байршил, хэлбэрээс хамаардаггүй.
А үйл явдлын геометрийн магадлалыг дараах харьцаагаар тодорхойлно: , энд m(G), m(A) нь үндсэн үр дүн ба А үйл явдлын бүх орон зайн геометрийн хэмжүүр (урт, талбай эсвэл эзэлхүүн) юм.
Жишээ. r () радиустай тойргийг тэнхлэгийн шугамуудын хоорондох зай нь 2D-тэй тэнцүү 2d өргөнтэй параллель туузаар дүрсэлсэн хавтгай дээр санамсаргүй байдлаар шиддэг. Тойрог тодорхой зурвастай огтлолцох магадлалыг ол.
Шийдэл. Энэхүү туршилтын үндсэн үр дүнд бид тойргийн төвөөс тойрогтой хамгийн ойр байгаа туузны төв шугам хүртэлх x зайг авч үзэх болно. Дараа нь анхан шатны үр дүнгийн бүх орон зай нь сегмент юм. Хэрэв түүний төв нь туузанд унасан бол, өөрөөр хэлбэл, туузны ирмэгээс радиусаас бага зайд байрладаг бол туузтай тойргийн огтлолцол үүснэ.
Хүссэн магадлалын хувьд бид дараахь зүйлийг олж авна.
Үйл явдлыг боломжит, магадлалтай, санамсаргүй гэж ангилах. Энгийн ба нийлмэл энгийн үйл явдлын тухай ойлголт. Үйл явдал дээрх үйл ажиллагаа. Санамсаргүй үйл явдлын магадлал ба түүний шинж чанарын сонгодог тодорхойлолт. Магадлалын онол дахь комбинаторикийн элементүүд. Геометрийн магадлал. Магадлалын онолын аксиомууд.
1. Үйл явдлын ангилал
Магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг бол үйл явдлын тухай ойлголт юм. Үйл явдал бол туршлага эсвэл туршилтын үр дүнд тохиолдож болох аливаа баримт юм. Туршлага, туршилт гэж бид тодорхой нөхцлийн хэрэгжилтийг хэлнэ.
Үйл явдлын жишээ:
– буунаас буудах үед бай онох (туршлага - буудлага хийх; үйл явдал - бай онох);
– зоосыг гурван удаа шидэх үед хоёр бэлгэ тэмдэг алдагдах (туршлага - зоосыг гурван удаа шидэх; үйл явдал - хоёр бэлгэ тэмдгийг алдах);
- зорилтот хүрээг хэмжихэд тогтоосон хязгаарт хэмжилтийн алдаа гарч ирэх (туршлага - хүрээний хэмжилт; үйл явдал - хэмжилтийн алдаа).
Үүнтэй төстэй жишээг тоо томшгүй олон гаргаж болно. Үйл явдлуудыг тодорхойлсон том үсгээр Латин цагаан толгойгэх мэт.
Хамтарсан болон хамтарсан бус үйл явдлуудыг ялгаж үздэг. Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол үйл явдлуудыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол үйл явдлуудыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, хоёр шоо шиддэг. Үйл явдал - эхний үхэлд гурван оноо авах, үйл явдал - хоёр дахь үхэлд гурван оноо авах. хамтарсан арга хэмжээ. Дэлгүүрт ижил загвар, хэмжээтэй гутлын багцыг хүлээн авцгаая, гэхдээ өөр өөр өнгө. Үйл явдал - санамсаргүй байдлаар авсан хайрцагт хар гутал, үйл явдал - хайрцагт бор гутал, мөн - үл нийцэх үйл явдлууд.
Тухайн тохиолдлын нөхцөлд тохиолдох нь гарцаагүй бол тухайн үйл явдлыг найдвартай гэж нэрлэдэг.
Тухайн туршлагын нөхцөлд тохиолдох боломжгүй үйл явдлыг боломжгүй гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, стандарт эд ангиудын багцаас стандарт хэсгийг авах нь найдвартай боловч стандарт бус хэсгийг авах боломжгүй юм.
Туршлагын үр дүнд гарч болох боловч гарч ирэхгүй байж болзошгүй үйл явдлыг тохиолдлын эсвэл тохиолдлын гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй тохиолдлын жишээ нь бэлэн бүтээгдэхүүний багцыг шалгах явцад бүтээгдэхүүний согогийг тодорхойлох, боловсруулсан бүтээгдэхүүний хэмжээ болон заасан хэмжээ хоорондын зөрүү, эсвэл автомат удирдлагын системийн аль нэг холбоосын эвдрэл байж болно.
Туршилтын нөхцлийн дагуу эдгээр үйл явдлын аль нь ч бусдаас илүү бодитой боломжгүй бол үйл явдлуудыг адил боломжтой гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, дэлгүүрт хэд хэдэн үйлдвэрүүд гэрлийн чийдэнг (тэнцүү хэмжээгээр) нийлүүлдэг. Эдгээр үйлдвэрүүдийн аль нэгээс гэрлийн чийдэн худалдаж авахтай холбоотой үйл явдлууд адил боломжтой.
Чухал ойлголт бол үйл явдлын бүрэн бүлэг юм. Энэ туршилтын хэлбэр дэх хэд хэдэн үйл явдал бүтэн бүлэг, хэрэв тэдгээрийн ядаж нэг нь туршилтын үр дүнд гарч ирэх нь гарцаагүй. Жишээлбэл, уринганд арван бөмбөг байдаг бөгөөд тэдгээрийн зургаа нь улаан, дөрөв нь цагаан, таван бөмбөг нь тоотой байдаг. - нэг сугалааны үед улаан бөмбөг гарч ирэх, - цагаан бөмбөг харагдах, - тоотой бөмбөг харагдах. Үйл явдал нь хамтарсан үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.
Эсрэг буюу нэмэлт үйл явдлын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Эсрэг үйл явдал нь ямар нэгэн үйл явдал тохиолдохгүй бол зайлшгүй тохиолдох ёстой үйл явдал юм. Эсрэг үйл явдлууд нь хоорондоо нийцэхгүй бөгөөд цорын ганц боломжтой юм. Тэд үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг. Жишээлбэл, хэрэв үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний багц нь сайн, гэмтэлтэй бүтээгдэхүүнээс бүрддэг бол нэг бүтээгдэхүүнийг арилгахад энэ нь сайн - үйл явдал эсвэл гэмтэлтэй - үйл явдал болж хувирдаг.
2. Үйл явдал дээрх үйлдлүүд
Магадлалын онолд санамсаргүй үйл явдлыг судлах төхөөрөмж, арга зүйг боловсруулахад үйл явдлын нийлбэр ба үржвэрийн тухай ойлголт маш чухал байдаг.
Математикийн хичээл нь сургуулийн сурагчдад олон гэнэтийн бэлэг бэлддэг бөгөөд үүний нэг нь магадлалын онолын асуудал юм. Оюутнууд бараг зуун хувь нь ийм даалгаврыг шийдвэрлэхэд бэрхшээлтэй байдаг. Ойлгож, ойлгохын тулд энэ асуудал, та үндсэн дүрэм, аксиом, тодорхойлолтыг мэдэх хэрэгтэй. Номын текстийг ойлгохын тулд та бүх товчлолыг мэдэх хэрэгтэй. Бид энэ бүгдийг сурахыг санал болгож байна.
Шинжлэх ухаан ба түүний хэрэглээ
Учир нь бид санал болгож байна ослын курс"Даммигийн магадлалын онол", тэгээд эхлээд та үндсэн ойлголтуудыг танилцуулах хэрэгтэй үсгийн товчлолууд. Эхлээд "магадлалын онол" гэсэн ойлголтыг тодорхойлъё. Энэ ямар шинжлэх ухаан вэ, яагаад хэрэгтэй вэ? Магадлалын онол бол математикийн судалдаг салбаруудын нэг юм санамсаргүй үзэгдэлболон хэмжээ. Тэрээр мөн эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдээр гүйцэтгэсэн хэв маяг, шинж чанар, үйлдлүүдийг авч үздэг. Энэ нь юунд зориулагдсан бэ? Шинжлэх ухаан судалгаанд өргөн тархсан байгалийн үзэгдлүүд. Аливаа байгалийн ба физик үйл явцболомж байхгүй бол хийж чадахгүй. Туршилтын явцад үр дүнг аль болох нарийвчлалтай бүртгэсэн байсан ч ижил туршилтыг давтан хийвэл үр дүн нь ижил биш байх магадлалтай.
Бид даалгаврын жишээг заавал үзэх болно, та өөрөө харж болно. Үр дүн нь олон хүнээс хамаарна янз бүрийн хүчин зүйлүүд, үүнийг анхаарч үзэх, бүртгэх нь бараг боломжгүй боловч туршилтын үр дүнд асар их нөлөө үзүүлдэг. Тод жишээнүүдГаригуудын замналыг тодорхойлох эсвэл цаг агаарын урьдчилсан мэдээг тодорхойлох, ажилдаа явах замдаа танил хүнтэй уулзах магадлал, тамирчдын үсрэлтийн өндрийг тодорхойлох зэрэг ажлуудыг хийж болно. Магадлалын онол нь хөрөнгийн бирж дээрх брокеруудад маш их тусалдаг. Магадлалын онолын нэг асуудал өмнө нь олон асуудалтай байсан шийдэл нь доор өгөгдсөн 3-4 жишээний дараа таны хувьд зүгээр л өчүүхэн төдий зүйл болно.
Үйл явдал
Өмнө дурьдсанчлан шинжлэх ухаан нь үйл явдлыг судалдаг. Магадлалын онолын хувьд бид асуудлыг шийдэх жишээг хэсэг хугацааны дараа авч үзэх болно, зөвхөн нэг төрлийн санамсаргүй байдлаар судална. Гэсэн хэдий ч үйл явдлууд гурван төрлийн байж болно гэдгийг та мэдэх хэрэгтэй.
- Боломжгүй.
- Найдвартай.
- Санамсаргүй.
Бид тус бүрийг бага зэрэг хэлэлцэхийг санал болгож байна. Боломжгүй үйл явдал хэзээ ч, ямар ч нөхцөлд тохиолдохгүй. Жишээ нь: тэгээс дээш температурт ус хөлдөөх, ууттай бөмбөгнөөс шоо татах.
Бүх нөхцөл хангагдсан тохиолдолд 100% баталгаатай найдвартай үйл явдал үргэлж тохиолддог. Жишээ нь: та хүлээн авсан цалинхийсэн ажлынхаа төлөө дээд зэргийн диплом авсан мэргэжлийн боловсрол, хэрэв та ухамсартай суралцаж, шалгалт өгч, дипломоо хамгаалсан бол гэх мэт.
Бүх зүйл арай илүү төвөгтэй байдаг: туршилтын явцад энэ нь тохиолдож болно, үгүй ч байж болно, жишээлбэл, гурваас илүүгүй оролдлого хийсний дараа хөзрийн тавцангаас хөзрийг татах. Та эхний оролдлогоор үр дүнд хүрч болно, эсвэл огт байхгүй. Энэ нь шинжлэх ухааны судалдаг үйл явдал болох магадлал юм.
Магадлал
Энэ дотор байна ерөнхий утгаарааүйл явдал тохиолдсон туршлагын амжилттай үр дүнд хүрэх боломжийн үнэлгээ. магадлалыг тооцож байна чанарын түвшин, ялангуяа хэрэв тоон үзүүлэлтболомжгүй эсвэл хэцүү. Магадлалын онолын шийдэл бүхий асуудал, эсвэл илүү нарийвчлалтай тооцоолол нь амжилттай үр дүнгийн хамгийн боломжит хувийг олох явдал юм. Математикийн магадлал нь үйл явдлын тоон шинж чанар юм. Энэ нь P үсгээр тэмдэглэгдсэн тэгээс нэг хүртэлх утгыг авна. Хэрэв P нь тэгтэй тэнцүү бол үйл явдал тохиолдох боломжгүй, хэрэв энэ нь нэг бол үйл явдал зуун хувь тохиолдох болно; P нэг рүү ойртох тусам амжилттай үр дүн гарах магадлал өндөр байх ба эсрэгээр тэгтэй ойролцоо байвал үйл явдал бага магадлалтайгаар тохиолдох болно.
Товчлол
Танд удахгүй тулгарах магадлалын асуудал нь дараах товчлолуудыг агуулж болно.
- P ба P(X);
- A, B, C гэх мэт;
Бусад зарим нь бас боломжтой: шаардлагатай бол нэмэлт тайлбар хийх болно. Бид эхлээд дээр дурдсан товчилсон үгсийг тодруулахыг санал болгож байна. Манай жагсаалтын эхнийх нь хүчин зүйл юм. Ойлгомжтой болгохын тулд 5!=1*2*3*4*5 эсвэл 3!=1*2*3 гэсэн жишээг үзүүлэв. Дараа нь, in буржгар хаалтөгөгдсөн олонлогуудыг бичих, жишээлбэл: (1;2;3;4;..;n) эсвэл (10;140;400;562). Дараах тэмдэглэгээ нь олонлог юм натурал тоонууд, магадлалын онолын даалгаварт ихэвчлэн олддог. Өмнө дурьдсанчлан, P нь магадлал, P(X) нь X үйл явдал тохиолдох магадлал юм. Үйл явдлуудыг латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: A - gotcha цагаан бөмбөг, B - цэнхэр, C - улаан эсвэл тус тус . Жижиг үсэг n нь бүх боломжит үр дүнгийн тоо, m нь амжилттай үр дүнгийн тоо юм. Эндээс бид олох дүрмийг олж авдаг сонгодог магадлалВ үндсэн даалгавар: P=m/n. "Даммигийн хувьд" магадлалын онол нь магадгүй энэ мэдлэгээр хязгаарлагддаг. Одоо нэгтгэхийн тулд шийдэл рүү шилжье.
Бодлого 1. Комбинаторик
Оюутны бүлэг нь гучин хүний бүрэлдэхүүнтэй бөгөөд тэднээс дарга, түүний орлогч, үйлдвэрчний эвлэлийн даргыг сонгох шаардлагатай. Үүнийг хийх хэд хэдэн арга замыг олох шаардлагатай байна энэ үйлдэл. Үүнтэй төстэй даалгавар Улсын нэгдсэн шалгалт дээр гарч ирж магадгүй юм. Магадлалын онол, бидний одоо авч үзэж байгаа асуудлуудын шийдэл нь комбинаторикийн курс, сонгодог магадлалыг олох, геометрийн болон түүн дээрх асуудлуудыг багтааж болно. үндсэн томъёо. IN энэ жишээндБид комбинаторикийн курсээс асуудлыг шийдэж байна. Шийдэл рүүгээ явцгаая. Энэ даалгавар нь хамгийн энгийн:
- n1=30 - оюутны бүлгийн боломжит удирдагчид;
- n2=29 - орлогчийн албан тушаалыг авах боломжтой хүмүүс;
- n3=28 хүн үйлдвэрчний эвлэлийн гишүүний албан тушаалд өргөдөл гаргаж байна.
Бидний хийх ёстой зүйл бол боломжит тооны сонголтыг олох, өөрөөр хэлбэл бүх үзүүлэлтийг үржүүлэх явдал юм. Үүний үр дүнд бид: 30*29*28=24360 болно.
Энэ нь тавьсан асуултын хариулт байх болно.
Асуудал 2. Дахин зохион байгуулалт
Чуулганд 6 оролцогч үг хэлж байгаа бөгөөд дарааллыг сугалаагаар тогтоодог. Бид тоо хэмжээг нь олох хэрэгтэй боломжит сонголтуудсугалаа зурах. Энэ жишээн дээр бид зургаан элементийн орлуулахыг авч үзэж байна, өөрөөр хэлбэл бид 6-г олох хэрэгтэй!
Товчлолын догол мөрөнд бид энэ нь юу болох, хэрхэн тооцоолох талаар аль хэдийн дурдсан. Нийтдээ 720 зургийн сонголт байгаа нь харагдаж байна. Эхлээд харахад хэцүү даалгавар нь маш богино бөгөөд энгийн шийдэлтэй байдаг. Эдгээр нь магадлалын онолын авч үздэг ажлууд юм. Асуудлыг яаж илүү шийдэх вэ өндөр түвшин, бид дараах жишээнүүдийг авч үзэх болно.
Асуудал 3
Хорин таван оюутны бүлгийг зургаа, ес, арван хүнтэй гурван дэд бүлэгт хуваах ёстой. Бидэнд: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Энэ нь утгыг орлуулах хэвээр байна шаардлагатай томъёо, бид дараахийг авна: N25(6,9,10). Энгийн тооцооллын дараа бид хариултыг авна - 16,360,143,800. Хэрэв даалгаварт юу авах шаардлагатайг заагаагүй болно тоон шийдэл, тэгвэл бид үүнийг факториал хэлбэрээр өгч болно.
Асуудал 4
Гурван хүн нэгээс арав хүртэлх тоог тааварлав. Хэн нэгний тоо таарах магадлалыг ол. Эхлээд бид бүх үр дүнгийн тоог олж мэдэх ёстой - манай тохиолдолд энэ нь мянга, өөрөөр хэлбэл араваас гурав дахь зэрэг болно. Одоо бүгд таамагласан хувилбаруудын тоог олцгооё өөр өөр тоо, үүнийг хийхийн тулд бид арав, ес, наймыг үржүүлнэ. Эдгээр тоонууд хаанаас ирсэн бэ? Эхнийх нь тоог таамаглаж, түүнд арван сонголт байгаа, хоёр дахь нь аль хэдийн есөн, гурав дахь нь үлдсэн найман сонголтоос сонгох шаардлагатай тул бид 720 боломжит хувилбарыг авах болно. Өмнө нь тооцоолсноор нийтдээ 1000 сонголт байгаа бөгөөд давталтгүйгээр 720 байгаа тул бид үлдсэн 280-ыг сонирхож байна. Одоо бидэнд сонгодог магадлалыг олох томъёо хэрэгтэй байна: P = . Бид хариулт авсан: 0.28.
Бүлэг 12. Магадлалын онол.
1. Танилцуулга
2. Магадлалын онолын хамгийн энгийн ойлголтууд
3. Үйл явдлын алгебр
4. Санамсаргүй тохиолдлын магадлал
6. Сонгодог магадлал. Комбинаторикийн томъёо.
7. Нөхцөлт магадлал. Үйл явдлын бие даасан байдал.
8. Томъёо бүрэн магадлалболон Bayes томъёо
9. Давтан туршилтын схем. Бернулли томъёо ба түүний асимптотик
10. Санамсаргүй хувьсагч (RV)
11. Мөр DSV түгээлтүүд
12. Интеграл функцхуваарилалт
13. NSV түгээлтийн функц
14. NSV-ийн магадлалын нягт
15. Тоон шинж чанар санамсаргүй хэмжигдэхүүн
16. SV-ийн чухал тархалтын жишээ
16.1. Бином тархалт DSV.
16.2. Пуассоны тархалт
16.3. Нэг төрлийн хуваарилалт NSV.
16.4. Хэвийн тархалт.
17. Магадлалын онолын хязгаарын теоремууд.
Танилцуулга
Магадлалын онол бусад олон математикийн салбаруудын нэгэн адил практикийн хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй. Үүний зэрэгцээ бодит үйл явцыг судлахын зэрэгцээ бодит үйл явцын хийсвэр математик загварыг бий болгох шаардлагатай байв. Ихэвчлэн гол, хамгийн чухал хөдөлгөгч хүчсанамсаргүй гэж нэрлэгддэг хоёрдогч үйлдлүүдийг харгалзан үзэхээс хасах бодит үйл явц. Мэдээж юуг гол, юуг хоёрдогч гэж үзэх нь тусдаа ажил. Энэ асуултын шийдэл нь хийсвэрлэл, энгийн эсвэл нарийн төвөгтэй байдлын түвшинг тодорхойлдог математик загварзагвар бодит үйл явцтай нийцэж байгаа түвшин. Үндсэндээ аливаа хийсвэр загвар нь энгийн байдал ба бодит байдалд нийцэх гэсэн хоёр эсрэг тэсрэг хүсэл эрмэлзэлийн үр дүн юм.
Жишээлбэл, буудлагын онолын хувьд нэг цэг дээр байрлах буунаас сумны нислэгийн замыг тодорхойлох нэлээд энгийн бөгөөд тохиромжтой томъёог боловсруулсан болно (Зураг 1).
 |
Тодорхой нөхцөлд дурдсан онол нь жишээлбэл, их бууны бэлтгэлийн үед хангалттай юм.
Гэсэн хэдий ч ижил нөхцөлд нэг буунаас хэд хэдэн удаа буудвал зам нь ойрхон боловч өөр өөр байх нь ойлгомжтой. Хэрэв зорилтот хэмжээ нь тархалтын талбайтай харьцуулахад бага байвал санал болгож буй загварт тооцогдохгүй байгаа хүчин зүйлсийн нөлөөлөлтэй холбоотой тодорхой асуултууд гарч ирдэг. Энэ тохиолдолд нэмэлт хүчин зүйлийг харгалзан үзэх нь бас хүргэнэ нарийн төвөгтэй загвар, үүнийг ашиглах нь бараг боломжгүй юм. Нэмж дурдахад эдгээр санамсаргүй хүчин зүйлүүд олон байдаг бөгөөд тэдгээрийн мөн чанар нь ихэвчлэн мэдэгддэггүй.
Дээрх жишээнд ийм тодорхой асуултууд давж гардаг детерминист загварЖишээ нь: байг тодорхой итгэлтэйгээр онохын тулд хэдэн удаа буудах ёстой вэ (жишээлбэл, )? Байгаа онохын тулд хамгийн бага хэмжээний бүрхүүл ашиглахын тулд тэглэх ажлыг хэрхэн хийх ёстой вэ? гэх мэт.
Бид дараа нь харах болно, "санамсаргүй", "магадлал" гэсэн үгс хатуу болно математикийн нэр томъёо. Гэсэн хэдий ч тэд өдөр тутмын амьдралд маш их тохиолддог ярианы яриа. "Санамсаргүй" гэсэн нэр томъёо нь "байгалийн" гэсэн үгийн эсрэг утгатай гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч энэ нь тийм биш, учир нь байгаль ийм байдлаар бүтээгдсэн байдаг санамсаргүй үйл явцхэв маягийг олж илрүүлэх, гэхдээ тодорхой нөхцөлд.
Үндсэн нөхцөл гэж нэрлэдэг массын дүр.
Жишээлбэл, хэрэв та зоос шидэх юм бол юу гарч ирэхийг урьдчилан таамаглах боломжгүй, сүлд, тоо, та зөвхөн таамаглаж чадна. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та энэ зоосыг эргүүлбэл их тооТөрийн сүлд сургуулиас завсардсан хүмүүсийн эзлэх хувь тодорхой тооноос 0.5-тай бараг ялгаагүй байх болно (дараа нь бид үүнийг магадлал гэж нэрлэх болно). Түүнээс гадна шидэх тоо нэмэгдэх тусам энэ тооноос хазайх нь багасна. Энэ өмчийг нэрлэдэг тогтвортой байдалдундаж үзүүлэлтүүд (ин энэ тохиолдолд- сүлдний хувьцаа). Магадлалын онолын эхний үе шатанд тогтвортой байдлын өмч байгаа эсэхийг практикт шалгах шаардлагатай үед агуу эрдэмтэд хүртэл өөрсдийн баталгаажуулалтыг хийхэд хэцүү гэж үздэггүй байсан гэдгийг хэлэх ёстой. Ийнхүү 4040 удаа зоос шидсэн Буффоны алдартай туршилт, сүлд нь 2048 удаа гарч ирсэн тул бутархай (эсвэл) харьцангуй давтамж) төрийн сүлд нь 0.508 байгаа нь хүлээгдэж буй 0.5 тоотой зөн совингийн хувьд ойролцоо байна.
Тиймээс тодорхойлолтыг ихэвчлэн өгдөг массын санамсаргүй үйл явцын зүй тогтлыг судалдаг математикийн салбар болох магадлалын онолын сэдэв.
Магадлалын онолын хамгийн том ололт нь өнгөрсөн зууны эхэн үеэс эхтэй байсан ч, ялангуяа түүний ачаар гэдгийг хэлэх ёстой. аксиоматик бүтэц A.N-ийн бүтээлүүд дэх онолууд. Колмогоров (1903-1987), ослыг судлах сонирхол эрт дээр үеэс гарч ирсэн.
Анхны ашиг сонирхол нь мөрийтэй тоглоомонд тоон аргыг ашиглахыг оролдсон. Эхнийх нь хангалттай сонирхолтой үр дүнмагадлалын онолууд ихэвчлэн Л.Пачиоли (1494), Д.Кардано (1526), Н.Тарталья (1556) нарын бүтээлүүдтэй холбоотой байдаг.
Дараа нь Б.Паскаль (1623-1662), П.Ферма (1601-1665), Х.Гюйгенс (1629-1695) нар суурийг тавьжээ. сонгодог онолмагадлал. 18-р зууны эхээр Ж.Бернулли (1654-1705) санамсаргүй тохиолдлын магадлалын тухай ойлголтыг таатай боломжуудын тоог бүх боломжит боломжуудын тоонд харьцуулсан харьцаа гэж бий болгосон. Э.Борел (1871-1956), А.Ломницкий (1881-1941), Р.Мизес (1883-1953) нар олонлогийн хэмжүүрийн үзэл баримтлалыг ашиглах тухай онолоо бүтээжээ.
Олонлогийн онолын үзэл бодлыг 1933 онд хамгийн бүрэн гүйцэд хэлбэрээр танилцуулсан. А.Н. Колмогоров "Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд" хэмээх монографидаа. Яг энэ мөчөөс эхлэн магадлалын онол нь математикийн хатуу шинжлэх ухаан болж хувирдаг.
Оросын математикчид магадлалын онолыг хөгжүүлэхэд асар их хувь нэмэр оруулсан. Чебышев (1821-1894), А.А. Марков (1856-1922), С.Н. Бернштейн (1880-1968) болон бусад.
Магадлалын онол өнөө үед эрчимтэй хөгжиж байна.
Магадлалын онолын хамгийн энгийн ойлголтууд
Математикийн аливаа шинжлэх ухааны нэгэн адил магадлалын онол нь тодорхойлогдоогүй, зөвхөн тайлбарласан хамгийн энгийн ойлголтуудыг нэвтрүүлж эхэлдэг.
Үндсэн ойлголтуудын нэг нь туршлага.Туршлага гэдэг нь хязгааргүй олон удаа давтагдах боломжтой тодорхой нөхцлүүд гэж ойлгогддог. Энэхүү цогцолборын хэрэгжилт бүрийг бид туршлага эсвэл туршилт гэж нэрлэх болно. Туршилтын үр дүн өөр байж болох бөгөөд энд тохиолдлын элемент гарч ирдэг. Туршлагын янз бүрийн үр дүн эсвэл үр дүнгүүд гэж нэрлэдэг үйл явдал(илүү нарийвчлалтай, санамсаргүй үйл явдлууд). Тиймээс туршилтыг хэрэгжүүлэх явцад нэг буюу өөр үйл явдал тохиолдож болно. Өөрөөр хэлбэл, санамсаргүй үйл явдал нь туршилтыг хэрэгжүүлэх явцад тохиолдож болох (харагдах) эсвэл тохиолдохгүй туршилтын үр дүн юм.
Туршлагыг үсгээр, санамсаргүй үйл явдлыг ихэвчлэн том үсгээр тэмдэглэдэг
Ихэнхдээ туршилтын явцад түүний үр дүнг урьдчилан тодорхойлох боломжтой бөгөөд үүнийг хамгийн энгийн гэж нэрлэж болох бөгөөд үүнийг илүү энгийн болгон задлах боломжгүй юм. Ийм үйл явдлуудыг нэрлэдэг анхан шатны үйл явдлууд(эсвэл тохиолдлууд).
Жишээ 1.Зоосоо шидүүлээрэй. Туршилтын үр дүн нь: төрийн сүлд алдагдсан (бид энэ үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэдэг); тооны алдагдал (-ээр тэмдэглэгдсэн). Дараа нь бид бичиж болно: туршлага = (зоос шидэх), үр дүн: Энгийн үйл явдлууд нь тодорхой байна энэ туршлага. Өөрөөр хэлбэл, бүгдийг жагсааж байна анхан шатны үйл явдлуудтуршлага үүнийг бүрэн дүрсэлдэг. Үүнтэй холбогдуулан бид туршлага бол анхан шатны үйл явдлуудын орон зай гэж хэлэх болно, бидний тохиолдолд туршлагыг товчоор дараах хэлбэрээр бичиж болно: = (зоос шидэх) = (G; C).
Жишээ 2. =(зоос хоёр удаа шидсэн)= 
Туршлагыг амаар тайлбарлаж, бүх энгийн үйл явдлуудын жагсаалтыг энд оруулав: энэ нь эхлээд зоос шидэхэд төрийн сүлд унасан, хоёрдугаарт төрийн сүлд унасан гэсэн үг юм; Энэ нь зоосны эхний шидэх үед төрийн сүлд, хоёр дахь дээр нь тоо гарч ирсэн гэсэн үг.
Жишээ 3.Координатын системд цэгүүдийг дөрвөлжин рүү шиддэг. Энэ жишээнд анхан шатны үйл явдлууд нь өгөгдсөн тэгш бус байдлыг хангадаг координаттай цэгүүд юм. Товчхондоо дараах байдлаар бичсэн байна.
Буржгар хаалтанд байгаа хоёр цэг нь хоёр цэгийн дараа заасан нөхцөлийг (эсвэл нөхцөлийг) хангасан цэгүүдээс бүрддэг гэсэн үг юм (бидний жишээнд эдгээр нь тэгш бус байдал юм).
Жишээ 4.Эхний сүлд гарч ирэх хүртэл зоос шиддэг. Өөрөөр хэлбэл, зоос шидэлт нь толгойг газардах хүртэл үргэлжилнэ. Энэ жишээнд энгийн үйл явдлуудыг жагсааж болно, гэхдээ тэдгээр нь хязгааргүй тоо:
3 ба 4-р жишээн дээр энгийн үйл явдлуудын орон зай нь хязгааргүй олон үр дагавартай болохыг анхаарна уу. 4-р жишээнд тэдгээрийг жагсааж болно, i.e. дахин тооцоолох. Ийм багцыг тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг. Жишээ 3-т орон зайг тоолж баршгүй.
Аливаа туршлагад байдаг, онолын хувьд асар их ач холбогдолтой өөр хоёр үйл явдлыг танилцуулъя.
Үйл явдлыг дуудъя боломжгүй,туршлагын үр дүнд энэ нь заавал тохиолддоггүй бол. Бид үүнийг хоосон багцын тэмдгээр тэмдэглэнэ. Эсрэгээр, туршлагын үр дүнд гарцаагүй тохиолдох үйл явдлыг дууддаг найдвартай.Найдвартай үйл явдлыг энгийн үйл явдлуудын орон зайтай адилаар - үсгээр тэмдэглэдэг.
Жишээлбэл, шидэх үед шооүйл явдал (9 онооноос бага өнхрөх) найдвартай, үйл явдал (яг 9 оноо эргэлдэх) боломжгүй.
Тиймээс энгийн үйл явдлын орон зайг өгч болно аман тайлбар, түүний бүх анхан шатны үйл явдлуудыг жагсааж, түүний бүх үндсэн үйл явдлыг олж авах дүрэм эсвэл нөхцөлийг зааж өгнө.
Үйл явдлын алгебр
Өнөөг хүртэл бид зөвхөн туршлагаас шууд үр дүн болох анхан шатны үйл явдлуудын тухай ярьж ирсэн. Гэсэн хэдий ч, туршлагын хүрээнд бид энгийн зүйлээс гадна бусад санамсаргүй үйл явдлын талаар ярьж болно.
Жишээ 5.Шоо хаяхдаа нэг, хоёр,..., зургаа унасан гэсэн үндсэн үйл явдлуудаас гадна бусад үйл явдлуудын тухай ярьж болно: (тэгш тооноос унах), (сондгой тооноос унах) , (гурвын үржвэртэй тоог хасах), (4-өөс бага тоог хасах) гэх мэт. Энэ жишээнд заасан үйл явдлуудыг эс тооцвол аман даалгавар, үндсэн үйл явдлуудыг жагсаах замаар тодорхойлж болно:
Анхан шатны үйл явдлууд болон бусад үйл явдлуудаас шинэ үйл явдлуудыг бий болгох нь үйл явдал дээрх үйлдлүүд (эсвэл үйлдлүүд) ашиглан хийгддэг.
Тодорхойлолт.Хоёр үйл явдлын үр дүн нь туршилтын үр дүнд бий болох үйл явдал юм Тэгээдүйл явдал, Тэгээдүйл явдал, өөрөөр хэлбэл хоёр үйл явдал хамтдаа (нэг зэрэг) тохиолдох болно.
Бүтээгдэхүүний тэмдэг (цэг) ихэвчлэн орхигддог:
Тодорхойлолт.Хоёр үйл явдлын нийлбэр нь туршилтын үр дүнд бий болох үйл явдал юм эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал, эсвэлхоёулаа хамт (нэг зэрэг).
Хоёр тодорхойлолтонд бид холбоосыг зориуд онцолсон ТэгээдТэгээд эсвэл- Асуудлыг шийдвэрлэх үед таны ярианд уншигчдын анхаарлыг татахын тулд. Хэрэв бид "ба" гэсэн холбоосыг дуудвал бид ярьж байнаүйл явдлын тухай; Хэрэв "эсвэл" гэсэн холбоо үг дуудвал үйл явдлыг нэмэх шаардлагатай. Үүний зэрэгцээ, өдөр тутмын ярианд "эсвэл" гэсэн холбоосыг ихэвчлэн "зөвхөн эсвэл зөвхөн" гэсэн хоёрын аль нэгийг нь хасах утгаар ашигладаг болохыг бид тэмдэглэж байна. Магадлалын онолд ийм онцгой тохиолдлыг тооцдоггүй: ба , ба , мөн үйл явдал тохиолдохыг илэрхийлнэ.
Хэрэв анхан шатны үйл явдлуудыг тоолох замаар өгсөн бол нарийн төвөгтэй үйл явдлуудыг заасан үйлдлүүдийг ашиглан хялбархан олж авч болно. Үүнийг олж авахын тулд та хоёр үйл явдалд хамаарах бүх энгийн үйл явдлуудыг олох хэрэгтэй, хэрэв байхгүй бол үйл явдлын нийлбэрийг бүрдүүлэхэд хялбар байдаг: та хоёр үйл явдлын аль нэгийг нь авч, түүнд эдгээр үндсэн үйл явдлуудыг нэмэх хэрэгтэй; эхний хэсэгт ороогүй бусад үйл явдал.
Жишээ 5-д бид ялангуяа олж авдаг
Оруулсан үйлдлүүдийг хоёртын гэж нэрлэдэг, учир нь хоёр үйл явдалд зориулж тодорхойлсон. Дараах нэгдмэл үйл ажиллагаа (нэг үйл явдалд зориулагдсан) маш чухал ач холбогдолтой: үйл явдлыг дууддаг эсрэгтухайн туршлагад тухайн үйл явдал тохиолдоогүйгээс бүрдэж байгаа бол үйл явдал. Тодорхойлолтоос харахад бүх үйл явдал болон түүний эсрэг зүйл байдаг дараах шинж чанарууд: Оруулсан үйлдлийг дуудна нэмэлтүйл явдал А.
Үүнээс үзэхэд анхан шатны үйл явдлуудын жагсаалтаар өгөгдсөн бол тухайн үйл явдлын тодорхойлолтыг мэдэж авбал энэ нь хамаарахгүй орон зайн бүх энгийн үйл явдлуудаас бүрдэх болно, тухайлбал 5 үйл явдал
Хэрэв хаалт байхгүй бол үйлдлийг гүйцэтгэхдээ дараах тэргүүлэх чиглэлийг тогтооно: нэмэх, үржүүлэх, нэмэх.
Тиймээс нэвтрүүлсэн үйлдлүүдийн тусламжтайгаар энгийн үйл явдлын орон зайг бусад санамсаргүй үйл явдлуудаар дүүргэдэг. үйл явдлын алгебр.
Жишээ 6.Буудагч бай руу гурван удаа буудсан. Үйл явдлуудыг авч үзье = (буудагч нь бай оносон үед i-р цохилт), i = 1,2,3.
Эдгээр үйл явдлуудаас зарим үйл явдлуудыг зохиоё (эсрэг үйл явдлуудыг мартаж болохгүй). Бид урт тайлбар өгөхгүй; Уншигч тэднийг бие даан хөтлөнө гэдэгт бид итгэдэг.
Б үйл явдал = (гурван сум бүгд бай оносон). Илүү дэлгэрэнгүй: B = ( Тэгээдэхлээд, Тэгээдхоёрдугаарт, Тэгээдгурав дахь сум нь бай оносон). Ашигласан нэгдэл Мөн,Тиймээс үйл явдлууд үрждэг:
Үүний нэгэн адил:
C = (буудсаны аль нь ч бай оносонгүй) 
E = (нэг сум зорилтот түвшинд хүрсэн)
D = (хоёр дахь суманд онох) = ;
F = (хоёр сумаар оносон бай)
N = (дор хаяж нэг цохилт нь бай онох болно)
Мэдэгдэж байгаагаар математикийн хувьд их үнэ цэнэаналитик объект, ойлголт, томъёоны геометрийн тайлбартай.
Магадлалын онолын хувьд туршлага, санамсаргүй үйл явдал, тэдгээрийн дээрх үйлдлүүдийг нүдээр харуулах (геометрийн тайлбар) нь тохиромжтой байдаг. Эйлер-Венн диаграм. Үүний мөн чанар нь туршлага бүрийг тодорхой квадрат руу шидэх цэгүүдээр тодорхойлдог (тайлбарласан) юм. Цэгүүдийг санамсаргүй байдлаар шиддэг бөгөөд ингэснээр бүх цэгүүд тухайн талбайн хаана ч буух боломж тэнцүү байна. Талбай нь тухайн туршлагын хүрээг тодорхойлдог. Туршлага доторх үйл явдал бүрийг талбайн тодорхой талбайгаар тодорхойлдог. Өөрөөр хэлбэл, үйл явдал тохиолдох нь цохих гэсэн үг юм санамсаргүй цэгүсгээр заасан талбайн дотор Дараа нь үйл явдлын үйлдлүүдийг геометрийн хувьд хялбархан тайлбарладаг (Зураг 2).
| |
Х: A + B: дурын
ангаахай
2-р зурагт а) тодорхой болгох үүднээс А үйл явдлыг босоо сүүдэрээр, В үйл явдлыг хэвтээ сүүдэрээр тодруулсан. Дараа нь үржүүлэх үйл ажиллагаа нь давхар бөгстэй тохирч байна - үйл явдал нь давхар ангаахайгаар хучигдсан талбайн хэсэгтэй тохирч байна. Түүнээс гадна, хэрэв тэдгээрийг үл нийцэх үйл явдлууд гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу нэмэх ажиллагаа нь ямар ч ангаахайтай тохирч байна - үйл явдал нь ямар ч ангаахайгаар сүүдэрлэсэн дөрвөлжингийн хэсгийг босоо, хэвтээ, давхар гэсэн үг юм. 2-р зурагт б) үйл явдал нь дөрвөлжингийн сүүдэртэй хэсэгтэй тохирч байгааг харуулсан - талбайд ороогүй бүх зүйл нь дараах үндсэн шинж чанаруудтай бөгөөд тэдгээрийн зарим нь ижил нэртэй үйлдлүүдэд хүчинтэй байдаг тоон дээр, гэхдээ бас тодорхой тоонууд байдаг.
1 0 . үржүүлгийн шилжих чадвар;
2 0 . нэмэх солих чадвар;
3 0 . үржүүлэх холбоо;
4 0 . нэмэлт холбоо,
5 0 . нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлгийн тархалт,
6 0 . үржүүлэхтэй харьцуулахад нэмэхийн тархалт;
9 0 . 
де Морганы хоёрдмол байдлын хуулиуд,
10 0 . 
1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =
Жишээ 7.Иван, Петр хоёр цаг хугацааны интервалаар уулзахаар тохиролцов, жишээлбэл, (0, T). Үүний зэрэгцээ тэд бүгд уулзалтад ирэхдээ нөгөөгөө нэг цагаас илүүгүй хүлээх болно гэж тохиролцов.
Энэ жишээг хэлье геометрийн тайлбар. Дараахь зүйлийг тэмдэглэе: Иван цуглаанд ирэх цаг; Петрийн уулзалтад ирэх цаг. Тохиролцсоноор: 0 . Дараа нь координатын системд бид дараахь зүйлийг олж авна: = Бидний жишээн дээр энгийн үзэгдлийн орон зай нь квадрат гэдгийг анзаарахад хялбар байдаг. 1
0 x нь квадратын энэ шугамаас дээш байрлах хэсэгт тохирч байгаа нь y≤x+ гэсэн хоёр дахь тэгш бус байдалд тохирно. мөн бүх элементүүд ажиллахгүй бол ажиллахгүй, i.e. 
.Тиймээс, Де Морганы хоёрдмол байдлын хоёр дахь хууль: хэзээ хэрэгждэг зэрэгцээ холболтэлементүүд.
Дээрх жишээ нь магадлалын онолыг яагаад физикт, ялангуяа бодит техникийн төхөөрөмжүүдийн найдвартай байдлыг тооцоолоход өргөнөөр ашигладаг болохыг харуулж байна.
ТАНИЛЦУУЛГА
Бидний ойлголт сул учраас олон зүйл бидэнд ойлгомжгүй байдаг;
гэхдээ эдгээр зүйлс бидний ойлголтын хүрээнд ороогүй учраас.
Козьма Прутков
Хоёрдогч мэргэжлээр математикийн чиглэлээр суралцах гол зорилго боловсролын байгууллагуудМатематикийг тодорхой хэмжээгээр ашигладаг бусад хөтөлбөрийн хичээлүүдийг судлах, практик тооцоо хийх чадвар, логик сэтгэлгээг төлөвшүүлэх, хөгжүүлэхэд шаардлагатай математикийн цогц мэдлэг, чадварыг оюутнуудад олгох явдал юм.
Энэхүү бүтээлд хөтөлбөрт тусгагдсан математикийн "Магадлалын онол ба математикийн статистикийн үндэс" хэсгийн бүх үндсэн ойлголтыг ерөнхий боловсролын дунд боловсролын улсын боловсролын стандартад тусгасан болно (ОХУ-ын Боловсролын яам. М., 2002). ), тууштай танилцуулж, үндсэн теоремуудыг томъёолсон бөгөөд ихэнх нь нотлогдоогүй байна. Үндсэн асуудал, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга зам, эдгээр аргыг практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах технологийг авч үзсэн болно. Танилцуулгад нарийвчилсан тайлбар, олон жишээ дагалддаг.
Арга зүйн зааврыг судалж буй материалтай анхан шатны танилцах, лекцийн тэмдэглэл хөтлөх, бэлтгэхэд ашиглаж болно. практик хичээлүүд, олж авсан мэдлэг, ур чадвар, ур чадвараа нэгтгэх. Нэмж дурдахад уг гарын авлага нь бакалаврын ангийн оюутнуудад өмнө нь судалж байсан зүйлийг хурдан эргэн санах боломжийг олгох лавлах хэрэгсэл болгон ашиглах болно.
Ажлын төгсгөлд оюутнууд өөрийгөө хянах горимд хийж болох жишээ, даалгаврууд байдаг.
Удирдамж нь цагийн болон бүтэн цагийн оюутнуудад зориулагдсан болно.
ҮНДСЭН ОЙЛГОЛТ
Магадлалын онол нь массын санамсаргүй үйл явдлын объектив зүй тогтлыг судалдаг. Энэ нь ажиглалтын үр дүнг цуглуулах, дүрслэх, боловсруулах аргуудыг боловсруулахтай холбоотой математик статистикийн онолын үндэс юм. Ажиглалтаар (туршилт, туршилт), i.e. туршлага өргөн утгаарааүг хэллэгээр бодит ертөнцийн үзэгдлийн талаарх мэдлэг бий болдог.
Түүний дотор практик үйл ажиллагааҮр дүн нь урьдчилан таамаглах боломжгүй, тохиолдлын байдлаас шалтгаалдаг үзэгдэлтэй бид байнга тулгардаг.
Санамсаргүй үзэгдлийг түүний тохиолдлын тоог туршилтын тоонд харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлж болно, тэдгээр нь тус бүрт бүх туршилтын ижил нөхцөлд тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй.
Магадлалын онол нь санамсаргүй үзэгдэл (үйл явдал)-ыг судалж, бөөнөөр нь давтагдах үед зүй тогтлыг тодорхойлдог математикийн салбар юм.
Математикийн статистик нь шинжлэх ухааны үндэслэлтэй дүгнэлт гаргах, шийдвэр гаргахад статистикийн мэдээллийг цуглуулах, системчлэх, боловсруулах, ашиглах аргуудыг судалдаг математикийн салбар юм.
Энэ тохиолдолд статистикийн өгөгдөл нь бидний сонирхож буй судалж буй объектуудын шинж чанарын тоон шинж чанарыг илэрхийлсэн тооны багц гэж ойлгогддог. Статистик мэдээллийг тусгайлан боловсруулсан туршилт, ажиглалтын үр дүнд олж авдаг.
Тиймээс статистик мэдээлэл нь мөн чанараараа санамсаргүй олон хүчин зүйлээс хамаардаг математик статистиконолын үндэс болсон магадлалын онолтой нягт холбоотой.
I. МАГАДЛАЛ. МАГАДЛЫГ НЭМЭХ, ҮРЖҮҮЛЭХ ТЕОРЕМ
1.1. Комбинаторикийн үндсэн ойлголтууд
Комбинаторик гэж нэрлэгддэг математикийн салбарт олонлогийг авч үзэх, эдгээр олонлогийн элементүүдийн янз бүрийн хослолуудын найрлагатай холбоотой зарим асуудлыг шийддэг. Жишээлбэл, хэрэв бид 0, 1, 2, 3,: , 9 гэсэн 10 өөр тоог аваад тэдгээрийн хослолыг хийвэл бид гарах болно. өөр өөр тоо, жишээ нь 143, 431, 5671, 1207, 43 гэх мэт.
Эдгээр хослолуудын зарим нь зөвхөн цифрүүдийн дарааллаар (жишээлбэл, 143 ба 431), бусад нь тэдгээрт багтсан цифрүүдээр (жишээлбэл, 5671 ба 1207), бусад нь цифрүүдийн тоогоор ялгаатай байгааг бид харж байна. (жишээлбэл, 143 ба 43).
Тиймээс үүссэн хослолууд нь янз бүрийн нөхцлийг хангадаг.
Бүтцийн дүрмээс хамааран гурван төрлийн хослолыг ялгаж болно. сэлгэлт, байршил, хослол.
Эхлээд ойлголттой танилцъя хүчин зүйл.
1-ээс n хүртэлх бүх натурал тоонуудын үржвэрийг нэрлэдэг n-фактор мөн бичих.
Тооцоолох: a) ; б) ; V) .
Шийдэл. A) .
б) Түүнээс хойш 
, дараа нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж болно
Дараа нь бид авна
V) 
.
Дахин зохион байгуулалт.
Зөвхөн элементүүдийн дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай n элементийн хослолыг солих гэж нэрлэдэг.
Сэлгээг тэмдгээр тэмдэглэнэ П н , энд n нь сэлгэлт бүрт орсон элементийн тоо юм. ( Р- франц үгийн эхний үсэг солих- дахин зохион байгуулалт).
Сэлгээний тоог томъёогоор тооцоолж болно
эсвэл факториал ашиглан:
Үүнийг санацгаая 0!=1 ба 1!=1.
Жишээ 2. Нэг тавиур дээр зургаан өөр номыг хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?
Шийдэл. Шаардлагатай тооны арга нь 6 элементийн сэлгэцийн тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.
Байршлуулалт.
Нийтлэлүүд мдоторх элементүүд nТус бүрд ийм нэгдлүүдийг бие биенээсээ элементүүдээр (дор хаяж нэг) эсвэл тэдгээрийн зохион байгуулалтын дарааллаар ялгаатай гэж нэрлэдэг.
Байршлыг хаана гэсэн тэмдгээр заана м- боломжтой бүх элементүүдийн тоо, n- хослол бүрийн элементийн тоо. ( А-эхний үсэг Франц үг зохицуулалт, энэ нь "байруулах, эмх цэгцтэй болгох" гэсэн утгатай).
Үүний зэрэгцээ энэ нь гэж үздэг nm.
Байршлын тоог томъёогоор тооцоолж болно
,
тэдгээр. бүхний тоо боломжит байршуулалт-аас мэлементүүд nбүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна nдараалсан бүхэл тоо, хамгийн том нь м.
Энэ томъёог хүчин зүйлийн хэлбэрээр бичье.
Жишээ 3. Таван өргөдөл гаргагчийн хувьд янз бүрийн профайлтай сувилалд гурван эрхийн бичгийг хуваарилах хэдэн хувилбарыг нэгтгэж болох вэ?
Шийдэл. Шаардлагатай тооны сонголт нь 3 элементийн 5 элементийн байршлын тоотой тэнцүү байна, i.e.
.
Хослолууд.
Хослолууд нь бүх боломжит хослолууд юм мэлементүүд n, бие биенээсээ дор хаяж нэг элементээр ялгаатай (энд мТэгээд n-натурал тоо, ба н м).
-ийн хослолын тоо мэлементүүд n(-ээр тэмдэглэсэн) ХАМТ-Франц үгийн эхний үсэг хослол- хослол).
IN ерөнхий тохиолдолтоо мэлементүүд n-аас байршуулсан тоотой тэнцүү байна мэлементүүд n, -аас солих тоонд хуваагдана nэлементүүд:
Байршил, сэлгэцийн тоог факториал томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Жишээ 4. 25 хүний бүрэлдэхүүнтэй багт тодорхой газар нутагт ажиллахын тулд дөрвийг хуваарилах хэрэгтэй. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
Шийдэл. Сонгосон дөрвөн хүний дараалал хамаагүй тул үүнийг хийх арга замууд бий.
Бид эхний томъёог ашиглан олдог
.
Үүнээс гадна асуудлыг шийдвэрлэхдээ хослолын үндсэн шинж чанарыг илэрхийлсэн дараах томъёог ашигладаг.
(тодорхойлолтоор тэд гэж үздэг ба);
.
1.2. Комбинаторын асуудлыг шийдвэрлэх
Даалгавар 1. Тус факультетэд 16 хичээл судалдаг. Даваа гаригийн хуваарьт 3 хичээл оруулах шаардлагатай. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
Шийдэл. Та 16 зүйлийн байршлыг 3-аар зохицуулж чадах шиг 16 зүйлээс 3 зүйлийг төлөвлөх олон арга бий.
Даалгавар 2. 15 объектоос 10 объектыг сонгох шаардлагатай. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
Даалгавар 3. Тэмцээнд 4 баг оролцов. Тэдний хооронд суудал хуваарилах хэдэн хувилбар байж болох вэ?
.
Бодлого 4. 80 цэрэг, 3 офицертой бол гурван цэрэг, нэг офицерийн эргүүлийг хэдэн аргаар байгуулж болох вэ?
Шийдэл. Та эргүүлийн цэрэг сонгож болно
арга замууд, офицерууд арга замаар. Ямар ч офицер цэрэг бүртэй хамт явах боломжтой тул маш олон арга зам бий.
Даалгавар 5. Мэдэгдэж байгаа бол ол.
Түүнээс хойш бид авдаг
,
,
Хослолын тодорхойлолтоор , . Тэр. .
1.3. Санамсаргүй үйл явдлын тухай ойлголт. Үйл явдлын төрлүүд. Үйл явдлын магадлал
Хэд хэдэн өөр үр дагавартай аливаа үйлдэл, үзэгдэл, ажиглалт хэзээ биелдэг энэ цогцолборнөхцөл, бид залгах болно тест.
Энэ үйлдэл эсвэл ажиглалтын үр дүнг гэж нэрлэдэг үйл явдал .
Хэрэв үйл явдал өгөгдсөн нөхцөлтохиолдохгүй ч байж магадгүй гэж нэрлэдэг санамсаргүй . Үйл явдал болох нь тодорхой бол түүнийг дууддаг найдвартай , мөн энэ нь илт тохиолдох боломжгүй тохиолдолд, - боломжгүй.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг нийцэхгүй , хэрэв тэдгээрийн зөвхөн нэг нь л гарч ирэх боломжтой бол.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг хамтарсан , хэрэв өгөгдсөн нөхцөлд эдгээр үзэгдлүүдийн аль нэг нь тохиолдсон нь ижил туршилтын явцад нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг эсрэг , хэрэв туршилтын нөхцөлд тэдгээр нь цорын ганц үр дүн нь нийцэхгүй байвал.
Үйл явдлыг ихэвчлэн латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэдэг. A, B, C, D, : .
A 1 , A 2 , A 3 , : , A n үйл явдлын бүрэн систем нь өгөгдсөн туршилтын явцад дор хаяж нэг нь заавал тохиолдох үл нийцэх үйл явдлын багц юм.
Хэрэв бүрэн систем нь үл нийцэх хоёр үйл явдлаас бүрддэг бол ийм үйл явдлуудыг эсрэг гэж нэрлэдэг ба A ба .
Жишээ. Хайрцаг нь дугаарласан 30 бөмбөгтэй. Дараах үйл явдлуудын аль нь боломжгүй, найдвартай эсвэл эсрэгээр болохыг тодорхойл.
дугаарласан бөмбөгийг гаргаж ирэв (A);
тэгш тоотой бөмбөг авсан (IN);
сондгой тоотой бөмбөг авсан (WITH);
дугааргүй бөмбөг авсан (D).
Тэдгээрийн аль нь бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг вэ?
Шийдэл . А- найдвартай үйл явдал; Д- боломжгүй үйл явдал;
болон ХАМТ- эсрэг үйл явдлууд.
үйл явдлын бүрэн бүлэг бүрдэнэ АТэгээд Д, ВТэгээд ХАМТ.
Үйл явдлын магадлалыг хэмжүүр гэж үздэг объектив боломжсанамсаргүй үйл явдал тохиолдох.
1.4. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт
Үйл явдал тохиолдох объектив боломжийн хэмжүүрийг илэрхийлсэн тоог нэрлэнэ магадлал энэ үйл явдал бөгөөд тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн байна R(A).
Тодорхойлолт. Үйл явдлын магадлал Адовтолгоонд таатай m үр дүнгийн тооны харьцаа гэж нэрлэдэг энэ үйл явдлын тухай А, дугаар руу nбүх үр дүн (тогтворгүй, зөвхөн боломжтой, адил боломжтой), i.e. .
Тиймээс аливаа үйл явдлын магадлалыг олохын тулд туршилтын янз бүрийн үр дүнг харгалзан үзэж, бүх боломжит үл нийцэх үр дүнг тооцоолох шаардлагатай. n,Бидний сонирхож буй үр дүнгийн тоог m сонгож, харьцааг тооцоол мруу n.
Энэ тодорхойлолтоос дараахь шинж чанарууд гарч ирнэ.
Аливаа тестийн магадлал нь нэгээс хэтрэхгүй сөрөг бус тоо юм.
Үнэхээр шаардлагатай үйл явдлын тоо m дотор байна. Хоёр хэсэг болгон хуваах n, бид авдаг
2. Найдвартай үйл явдлын магадлал нэгтэй тэнцүү, учир нь .
3. Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0, учир нь .
Бодлого 1. 1000 тасалбарын сугалаанд 200 азтан тодорно. Нэг тасалбарыг санамсаргүй байдлаар авдаг. Энэ тасалбар ялагч болох магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Төрөл бүрийн үр дүнгийн нийт тоо n=1000. Ялах таатай үр дүнгийн тоо m=200 байна. Томъёоны дагуу бид авдаг
.
Бодлого 2. 18 хэсгээс бүрдсэн багцад 4 гэмтэлтэй байна. 5 хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Эдгээр 5 хэсгээс хоёр нь гэмтэлтэй байх магадлалыг ол.
Шийдэл. Бүх адил боломжтой бие даасан үр дүнгийн тоо n 18-аас 5-ын хослолын тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
А үйл явдалд таатай байх m тоог тоолъё. Санамсаргүй байдлаар авсан 5 хэсгээс 3 сайн, 2 гэмтэлтэй хэсэг байх ёстой. Одоо байгаа 4 согогоос хоёр гэмтэлтэй хэсгийг сонгох аргын тоо нь 4-ийн 2-ын хослолын тоотой тэнцүү байна.
Боломжтой 14 чанарын хэсгээс гурван чанарын хэсгийг сонгох аргын тоо тэнцүү байна
.
Ямар ч бүлэг сайн хэсгүүдийг ямар ч бүлэг гэмтэлтэй хэсгүүдтэй нэгтгэж болох тул нийт хослолын тоо мхэмжээтэй байна
А үйл явдлын шаардлагатай магадлал нь энэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн m-ийн тоог бүх ижил боломжтой бие даасан үр дүнгийн n тоотой харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.
.
Дүн хязгаарлагдмал тооүйл явдал нь тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм.
Хоёр үйл явдлын нийлбэрийг A+B тэмдэг, нийлбэрээр тэмдэглэнэ n A 1 +A 2 + тэмдэгтэй үйл явдлууд: +A n.
Магадлалын нэмэх теорем.
Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Дүгнэлт 1. Хэрэв A 1, A 2, :,A n үйл явдал нь бүтэн системийг бүрдүүлж байвал эдгээр үзэгдлийн магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна.
Үр дүн 2. Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр ба нэгтэй тэнцүү.
.
Бодлого 1. Сугалааны 100 тасалбар байна. 5 тасалбар 20,000 рубль, 10 тасалбар 15,000 рубль, 15 тасалбар 10,000 рубль, 25 тасалбар 2000 рубль хожсон нь мэдэгдэж байна. үлдсэн нь юу ч биш. Худалдан авсан тасалбар дор хаяж 10,000 рублийн ялалт авах магадлалыг ол.
Шийдэл. Худалдан авсан тасалбар нь тус бүр 20,000, 15,000, 10,000 рубльтэй тэнцэх хэмжээний хожил авахаас бүрдсэн үйл явдлуудыг A, B, C гэж үзье. А, В, С үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байгаа тул
Даалгавар 2. Асаалттай захидал харилцааны хэлтэсТехникийн сургууль хотуудаас математикийн шалгалт авдаг А, БТэгээд ХАМТ. Элсэлтийн магадлал туршилтын ажилхотоос А 0.6-тай тэнцүү, хотоос IN- 0.1. Дараагийн шалгалт хотоос ирэх магадлалыг ол ХАМТ.
Магадлалын онол үүссэн нь эрт дээр үеэс эхэлсэн 17-р зууны дунд үезуун, математикчид мөрийтэй тоглоомчдын тавьсан асуудлуудыг сонирхож эхэлсэн бөгөөд өнөөг хүртэл математикийн чиглэлээр суралцаагүй байсан. Эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх явцад магадлал болон математикийн хүлээлт. Үүний зэрэгцээ, тэр үеийн эрдэмтэд - Гюйгенс (1629-1695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665), Бернулли (1654-1705) нар асар их санамсаргүй байдлын үндсэн дээр тодорхой хэв маяг бий болно гэдэгт итгэлтэй байв. үйл явдал. Зөвхөн байгалийн шинжлэх ухааны байдал ийм байдалд хүргэсэн мөрийтэй тоглоомУдаан хугацааны туршид тэдгээр нь магадлалын онолын үзэл баримтлал, аргуудыг бий болгосон бараг цорын ганц тодорхой материал хэвээр байв. Энэ нөхцөл байдал нь магадлалын онолд үүссэн асуудлуудыг шийдвэрлэх албан ёсны математикийн аппаратад тэмдэг үлдээсэн: энэ нь зөвхөн энгийн арифметик болон комбинаторын аргууд руу буурсан.
Байгалийн шинжлэх ухаан, нийгмийн практикийн ноцтой шаардлага (ажиглалтын алдааны онол, буудлагын онолын асуудал, статистикийн асуудал, ялангуяа хүн амын статистик) шаардлагатай болсон. цаашдын хөгжилмагадлалын онол ба илүү боловсронгуй аналитик аппарат ашиглах. хөгжилд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг аналитик аргуудМагадлалын онолыг Мойвр (1667-1754), Лаплас (1749-1827), Гаусс (1777-1855), Пуассон (1781-1840) нар тогложээ. Албан ёсны аналитик талаас нь авч үзвэл Евклидийн бус геометрийг бүтээгч Лобачевскийн (1792-1856) бүтээл нь бөмбөрцөг дээрх хэмжилтийн алдааны онолд зориулагдсан бөгөөд орчлон ертөнцөд ноёрхдог геометрийн системийг бий болгох зорилготой юм. , энэ чиглэлтэй зэргэлдээ байна.
Математикийн бусад салбаруудын нэгэн адил магадлалын онол нь практикийн хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй: онд хийсвэр хэлбэрэнэ нь массын шинж чанартай санамсаргүй үйл явдлуудад хамаарах хэв маягийг тусгадаг. Эдгээр загварууд нь зөвхөн тоглодог чухал үүрэгфизик болон байгалийн шинжлэх ухааны бусад чиглэлээр, олон төрлийн техникийн салбарууд, эдийн засаг, социологи, биологи. Масс бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг аж ахуйн нэгжүүд өргөн хүрээтэй хөгжиж байгаатай холбогдуулан магадлалын онолын үр дүнг аль хэдийн үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүнээс татгалзахаас гадна үйлдвэрлэлийн үйл явцыг өөрөө зохион байгуулахад (үйлдвэрлэлийн статистик хяналт) ашиглаж эхэлсэн.
Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд
Магадлалын онол нь санамсаргүй үйл явдал, санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг удирддаг янз бүрийн хэв маягийг тайлбарлаж, судалдаг. Үйл явдалнь ажиглалт, туршлагын үр дүнд хэлж болох аливаа баримт юм. Ажиглалт буюу туршлага гэдэг нь ямар нэгэн үйл явдал тохиолдож болох тодорхой нөхцлүүдийг ухамсарлах явдал юм.
Туршлага гэдэг нь дурдсан нөхцөл байдлыг ухамсартайгаар бий болгосон гэсэн үг юм. Ажиглалтын явцад эдгээр нөхцлүүдийн ажиглалтын цогцолбор нь түүнийг үүсгэдэггүй, эсвэл нөлөөлдөггүй. Үүнийг байгалийн хүчин эсвэл бусад хүмүүс бий болгодог.
Үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохын тулд юу мэдэх хэрэгтэй вэ
Хүмүүсийн ажиглаж, өөрсдөө бий болгодог бүх үйл явдлыг дараахь байдлаар хуваадаг.
- найдвартай үйл явдлууд;
- боломжгүй үйл явдлууд;
- санамсаргүй үйл явдлууд.
Найдвартай үйл явдлуудтодорхой нөхцөл байдал үүссэн үед үргэлж тохиолддог. Жишээлбэл, хэрэв бид ажил хийвэл, хэрэв бид шалгалтанд тэнцэж, уралдаанд тэнцсэн бол оюутны тоонд хамрагдана гэдэгт итгэлтэй байж болно. Найдвартай үйл явдлуудыг физик, химийн чиглэлээр ажиглаж болно. Эдийн засгийн хувьд найдвартай үйл явдлууд нь одоо байгаа нийгмийн бүтэц, хууль тогтоомжтой холбоотой байдаг. Тухайлбал, банкинд мөнгөө байршуулаад тодорхой хугацаанд авах хүсэлтэй байгаагаа илэрхийлсэн бол тэр мөнгийг нь авна. Үүнийг найдвартай үйл явдал гэж үзэж болно.
Боломжгүй үйл явдлууд тодорхой нөхцөл бүрдүүлсэн бол мэдээж үүсэхгүй. Жишээлбэл, 15 хэмээс дээш температуртай бол ус хөлддөггүй, цахилгаангүйгээр үйлдвэрлэл явуулдаггүй.
Санамсаргүй үйл явдлууд Тодорхой нөхцөл байдал хэрэгжсэн тохиолдолд тэдгээр нь тохиолдож болно, үгүй ч байж болно. Жишээлбэл, бид нэг удаа зоос шидэхэд сүлд унах, унах, сугалааны тасалбар авах, хожих, үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүн гэмтэлтэй, доголдолтой байж болно. Гэмтэлтэй бүтээгдэхүүн гарч ирэх нь тохиромжтой бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхээс илүү ховор тохиолддог санамсаргүй үзэгдэл юм.
Санамсаргүй үйл явдлын хүлээгдэж буй давтамж нь магадлалын тухай ойлголттой нягт холбоотой байдаг. Санамсаргүй тохиолдлын тохиолдох, үүсэхгүй байх зүй тогтлыг магадлалын онолоор судалдаг.
Хэрэв цогцолбор бол шаардлагатай нөхцөлнь зөвхөн нэг удаа хэрэгждэг бол санамсаргүй үйл явдлын талаар хангалттай мэдээлэл хүлээн авдаггүй, учир нь энэ нь тохиолдож магадгүй юм. Хэрэв багц нөхцөлийг олон удаа хэрэгжүүлбэл мэдэгдэж буй хэв маяг гарч ирнэ. Жишээлбэл, дараагийн үйлчлүүлэгчид дэлгүүрт аль кофены машин шаардагдахыг хэзээ ч мэдэхгүй, гэхдээ удаан хугацааны туршид хамгийн их эрэлт хэрэгцээтэй байсан кофены машинуудын брэндийг мэддэг бол эдгээр мэдээлэлд үндэслэн кофены машиныг сонгох боломжтой. эрэлтийг хангах үйлдвэрлэл буюу нийлүүлэлтийг зохион байгуулах.
Бөөн санамсаргүй үйл явдлуудыг удирддаг хэв маягийн талаархи мэдлэг нь эдгээр үйл явдал хэзээ тохиолдохыг урьдчилан таамаглах боломжийг бидэнд олгодог. Жишээ нь, өмнө дурдсанчлан, зоос шидсэний үр дүнг урьдчилан таамаглах боломжгүй, гэхдээ зоосыг олон удаа шидсэн тохиолдолд сүлд нь унана гэж таамаглах боломжтой. Алдаа нь бага байж болно.
Магадлалын онолын аргуудыг өргөн ашигладаг төрөл бүрийн үйлдвэрүүдбайгалийн шинжлэх ухаан, онолын физик, геодези, одон орон, онол автомат удирдлагатай, алдааны ажиглалтын онол, бусад олон онолын болон практик шинжлэх ухаан. Магадлалын онолыг үйлдвэрлэлийн төлөвлөлт, зохион байгуулалт, бүтээгдэхүүний чанарын шинжилгээ, технологийн процессууд, даатгал, хүн амын статистик, биологи, баллистик болон бусад салбарууд.
Санамсаргүй тохиолдлуудыг ихэвчлэн тэмдэглэдэг том үсгээрЛатин цагаан толгойн A, B, C гэх мэт.
Санамсаргүй үйл явдал байж болно:
- нийцэхгүй;
- хамтарсан.
A, B, C... үйл явдлуудыг дуудна нийцэхгүй , хэрэв нэг туршилтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын аль нэг нь тохиолдож болох боловч хоёр ба түүнээс дээш үйл явдал тохиолдох боломжгүй.
Хэрэв нэг санамсаргүй үйл явдал тохиолдсон нь өөр үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол ийм үйл явдлыг дуудна хамтарсан . Жишээлбэл, туузан дамжуургаас өөр хэсгийг салгаж, А үйл явдал нь "хэсэг нь стандартад нийцэж байна" гэсэн утгатай бол B үйл явдал нь "хэсэг нь стандартын шаардлага хангаагүй" гэсэн утгатай бол А ба В нь үл нийцэх үйл явдал болно. Хэрэв С үйл явдал нь "II ангийн нэг хэсгийг авсан" гэсэн утгатай бол энэ үйл явдал А үйл явдалтай холбоотой боловч В үйл явдалтай нийцэхгүй байна.
Хэрэв ажиглалт (туршилт) бүрт таарахгүй санамсаргүй тохиолдлын нэг нь л тохиолдвол эдгээр үйл явдлуудыг бүрдүүлнэ. үйл явдлын бүрэн багц (систем). .
Найдвартай үйл явдал иж бүрэн үйл явдлуудаас дор хаяж нэг үйл явдал тохиолдохыг хэлнэ.
Хэрэв үйл явдлын бүрэн цогцыг бүрдүүлдэг үйл явдлууд хосоороо нийцэхгүй , тэгвэл ажиглалтын үр дүнд эдгээр үйл явдлын зөвхөн нэг нь тохиолдож болно. Жишээлбэл, оюутан шалгалтын хоёр асуудлыг шийдэх ёстой. Дараах үйл явдлуудын зөвхөн нэг нь гарцаагүй тохиолдох болно.
- эхний асуудал шийдэгдэж, хоёр дахь асуудал шийдэгдэхгүй;
- хоёр дахь асуудал шийдэгдэж, эхний асуудал шийдэгдэхгүй;
- асуудал хоёулаа шийдэгдэх болно;
- асуудлуудын аль нь ч шийдэгдэхгүй.
Эдгээр үйл явдлууд үүсдэг үл нийцэх үйл явдлын иж бүрэн багц .
Хэрэв үйл явдлын бүрэн багц нь зөвхөн хоёр үл нийцэх үйл явдлаас бүрдсэн бол тэдгээрийг дуудна харилцан эсрэг эсвэл хувилбар үйл явдал.
Үйл явдлын эсрэг талын үйл явдлыг -ээр тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, нэг зоос шидсэн тохиолдолд мөнгөн тэмдэгт () эсвэл төрийн сүлд () гарч ирж болно.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг адил боломжтой , хэрэв тэдгээрийн аль нь ч объектив давуу талгүй бол. Иймэрхүү үйл явдлууд нь мөн үйл явдлын бүрэн цогцыг бүрдүүлдэг. Энэ нь ажиглалт эсвэл туршилтын үр дүнд дор хаяж нэг нь зайлшгүй тохиолдох ёстой гэсэн үг юм. боломжит үйл явдлууд.
Жишээлбэл, зоосыг нэг шидэх үед нэрийн тэмдэг, эмблем алдагдах, хэвлэсэн нэг хуудсанд 0, 1, 2, 3, 3-аас дээш алдаа гарсан тохиолдолд үйл явдлын бүрэн бүлэг үүсдэг.
Магадлалын тодорхойлолт ба шинж чанарууд
Магадлалын сонгодог тодорхойлолт.Боломж эсвэл таатай тохиолдол гэдэг нь тодорхой нөхцөл байдлын хэрэгжилтийн явцад тохиолдсон үйл явдал юм Атохиолдох. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь таатай тохиолдол эсвэл боломжуудын тоог шууд тооцоолох явдал юм.
Сонгодог ба статистик магадлал. Магадлалын томъёо: сонгодог ба статистик
Үйл явдлын магадлал АЭнэ үйл явдалд таатай боломжуудын тоог тэнцүү байж болох үл нийцэх үйл явдлын тоонд харьцуулна уу Ннэг удаагийн туршилт эсвэл ажиглалтын үр дүнд үүсч болно. Магадлалын томъёо үйл явдал А:
Хэрэв бидний ярьж буй үйл явдлын магадлал нь бүрэн тодорхой бол магадлалыг жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. х, үйл явдлын тэмдэглэгээг заахгүйгээр.
Магадлалыг тооцоолохын тулд сонгодог тодорхойлолт, бүх ижил байж болох үл нийцэх үйл явдлын тоог олж, тэдгээрийн хэд нь тухайн үйл явдлыг тодорхойлоход таатай байгааг тодорхойлох шаардлагатай. А.
Жишээ 1.Шүд шидэх үед 5-ын тоо гарах магадлалыг ол.
Шийдэл. Зургаан царай бүгдээрээ оргилд гарах боломж ижил байдаг нь мэдэгдэж байна. 5-ын тоог зөвхөн нэг талд нь тэмдэглэсэн. Бүх адил боломжтой үл нийцэх үйл явдлын тоо нь 6 бөгөөд үүнээс зөвхөн нэг таатай боломж нь 5 ( М= 1). Энэ нь 5 дугаарыг эргүүлэх магадлалыг хүссэн гэсэн үг юм
Жишээ 2.Нэг хайрцагт ижил хэмжээтэй 3 улаан, 12 цагаан бөмбөг байна. Нэг бөмбөгийг харалгүй авав. Улаан бөмбөг авах магадлалыг ол.
Шийдэл. Шаардлагатай магадлал
Магадлалыг өөрөө олж, дараа нь шийдлийг хар
Жишээ 3.Шоо шидэж байна. Үйл явдал Б- тэгш тоогоор эргэлддэг. Энэ үйл явдлын магадлалыг тооцоол.
Жишээ 5.Нэг саванд 5 цагаан, 7 хар бөмбөг байна. 1 бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурсан. Үйл явдал А- цагаан бөмбөг сугалж байна. Үйл явдал Б- хар бөмбөг сугалж байна. Эдгээр үйл явдлын магадлалыг тооцоол.
Сонгодог магадлалыг бас нэрлэдэг өмнөх магадлал, туршилт эсвэл ажиглалт эхлэхээс өмнө тооцоолсон тул. Сонгодог магадлалын априори шинж чанараас ийм зүйл гарч ирдэг гол сул тал: зөвхөн ховор тохиолдлуудад ажиглалт эхлэхээс өмнө таатай үйл явдлуудыг оролцуулан ижил тэгш боломжтой нийцэхгүй бүх үйл явдлыг тооцоолох боломжтой. Ийм боломжууд ихэвчлэн тоглоомтой төстэй нөхцөл байдалд үүсдэг.
Хослолууд.Хэрэв үйл явдлын дараалал чухал биш бол боломжит үйл явдлын тоог хослолын тоогоор тооцоолно.
Жишээ 6.Тус бүлэгт 30 оюутан суралцдаг. Гурван оюутан компьютер, проектор авчрахаар компьютерийн шинжлэх ухааны тэнхимд очно. Тодорхой гурван сурагч үүнийг хийх магадлалыг тооцоол.
Шийдэл. Бид (2) томъёог ашиглан боломжит үйл явдлын тоог тооцоолно.
Тодорхой гурван оюутан тус тэнхимд орох магадлал:
Жишээ 7. 10 зарагдсан гар утаснууд. Үүний 3 нь гэмтэлтэй. Худалдан авагч 2 утас сонгосон. Сонгосон утас хоёулаа гэмтэлтэй байх магадлалыг тооцоол.
Шийдэл. Бүх ижил боломжтой үйл явдлын тоог (2) томъёог ашиглан олно.
Үүнтэй ижил томъёог ашиглан бид үйл явдалд таатай боломжуудын тоог олдог.
Сонгосон утас хоёулаа согогтой байх магадлал.
